автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование переноса излучения и переноса нейтронов с учетом процессов в сплошных средах

На правах рукописи

Аристова Елена Николаевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ И ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ С УЧЕТОМ ПРОЦЕССОВ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Щ ииа4В4231

Москва - 2009 год

003464231

Работа выполнена в Институте математического моделирования РАН

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН,

профессор Суржиков Сергей Тимофеевич

доктор физико-математических наук, профессор Трощиев Витаний Ефимович

доктор физико-математических наук, профессор Шагапиев Раишт Мирзагалиевич

Ведущая организация:

Физический институт им. П.Н.Лебедева РАН

Защита состоится « 9 » апреля 2009г. в 11°° часов на заседании диссертационного совета Д.002.058.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу: Москва, 125047, Миусская пл, д. 4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН. Автореферат разослан « »

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.058.01, доктор физико-математических наук

Змитренко Н.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Решение уравнения переноса является одной из наиболее трудоемких частей моделирования задач, определяющую роль в которых играет перенос излучения и/или перенос нейтронов. Это связано с большой размерностью задачи, т.е. большим количеством переменных, от которых зависит функция распределения (фазовые переменные и время). Построение эффективных методов решения уравнения переноса в многомерных геометриях является актуальной задачей при математическом моделировании динамических задач высокотемпературной радиационной газовой динамики (ВРГД) для различных приложений от взрыва сверхновой до инерциального термоядерного синтеза, в которых важнейшую роль в перераспределении энергии в системе имеет перенос собственного излучения плазмы. Исследование саморегулируемых нейтронно-ядерных процессов в активных зонах быстрых реакторов приводит к необходимости динамического моделирования процессов переноса нейтронов совместно с выгоранием, реакторной кинетикой и управлением.

Трудности решения уравнения переноса помимо большой размерности связаны с несколькими факторами:

- построение аппроксимации дифференциального оператора в левой части уравнения связано с дилеммой точность-монотонность. По теореме Годунова любые линейные разностные схемы с порядком аппроксимации выше первого немонотонны, а во многих практически важных случаях еще и неположительны, что значительно снижает качество численного решения.

- весьма существенной проблемой является учет спектральной зависимости излучения (или частиц) из-за наличия резонансных областей коэффициентов поглощения, при этом коэффициенты в соседних точках спектра могут отличаться на несколько порядков.

- интеграл рассеяния в правой части уравнения приводит к итерационному процессу решения уравнения переноса, сходимость которого ухудшается, если индикатриса рассеяния содержит особенность преимущественного рассеяния вперед.

- во многих физических приложениях уравнение переноса нужно решать совместно с другими уравнениями, такими как уравнения газовой динамики в задачах переноса излучения, или уравнения выгорания и реакторной кинетики в задачах переноса нейтронов. Объединенная система уравнений может обладать сильной нелинейностью, хотя само уравнение переноса линейно относительно своих переменных. Физически наглядно это для прохождения излучения через среду: поглощаясь, излучение меняет температуру среды, а измененная температура, в свою очередь, значительно изменяет коэффициенты поглощения.

\

Таким образом, взаимодействие излучения с веществом является нелокальным и нелинейным.

-при решении задач переноса нейтронов возможна постановка задачи на собственные значения, при решении которой в обычно используемых методах на итерационный процесс, связанный с рассеянием и делением, накладывается итерационный процесс нахождения собственного значения и собственной функции. Если при этом необходимо найти критическую сборку, т.е. определенное значение собственного числа, то возникает итерационный процесс третьего уровня, так что становится необходимым многократное решение уравнения переноса, что вычислительно очень дорого.

Создание эффективных численных методов для преодоления этих трудностей при моделировании переноса излучения и нейтронов с учетом процессов в сплошных средах очень актуально.

Цель и задачи исследования Настоящая работа посвящена разработке эффективных численных методов решения уравнения переноса в рамках квазидиффузионного подхода. Метод квазидиффузии (В.Я. Гольдин. Квазидиффузионный метод решения кинетического уравнения // ЖВМ и МФ, 1964, т.4, № б, с.1078-1087) заключается в постепенном понижении размерности используемых уравнений. На первом этапе происходит усреднение уравнения переноса по угловым переменным, в результате которого получается многогрупповая система уравнений квазидиффузии (КД). На втором - усреднение по спектру, что приводит к эффективной одногрупповой системе уравнений квазидиффузии. При внешнем усложнении подхода метод квазидиффузии позволяет решить некоторые из вышеперечисленных проблем. Во-первых, метод квазидиффузии нелинеен, так как вводит дробно-линейные функционалы для вычисления компонент тензора квазидиффузии. Во-вторых, уравнения квазидиффузии выражают собой законы сохранения, поэтому консервативность получается автоматически. В-третьих, при умеренной анизотропии рассеяния метод КД позволяет выразить главную часть рассеяния внутри группы через групповые скалярный и векторный потоки, что обеспечивает быструю сходимость итераций по рассеянию. В-четвертых, введение одногрупповой системы уравнений КД позволяет эффективно объединять эту систему с уравнениями, описывающими другие физические процессы внутри системы и учесть их взаимное влияние друг на друга. Для задачи на нахождение собственных значений и/или критических параметров системы значительно сокращается общее число итераций.

Разработка эффективных численных методов решения уравнений на всех этапах метода квазидиффузии в многомерных геометриях и приложения разработанных методов к

математическому моделированию задач атмосферной радиации, управляемого термоядерного синтеза (УТС), а также к моделированию саморегулируемых режимов в активных зонах быстрых реакторов составляют содержание данной работы.

Методы исследования

Методы работы основаны на построении разностных схем для дифференциальных уравнений в частных производных, построении методов решения полученных разностных уравнений и методов ускорения итераций. Проводится сопоставление численных решений с точными решениями, там, где они существуют, а также сравнение результатов математического моделирования с результатами других авторов и натурными экспериментами.

Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в следующем:

• Построены характеристическая и консервативно-характеристическая схемы решения уравнения переноса в собственных характеристических переменных для случая двумерной цилиндрической геометрии, учитывающие структуру логарифмических разрывов решения;

• Предложен аналог монотонной разностной схемы для аппроксимации несамосопряженных уравнений квазидиффузии, и построена комбинированная разностная схема решения уравнений квазидиффузии, сочетающая схему более высокого порядка точности в областях гладкости решения и аналог монотонной на контактных разрывах;

• Для нссамосопряженной системы эллиптических разностных уравнений предложен нелинейный метод ускорения итераций решения эллиптических систем;

• Предложен метод учета сильной анизотропии рассеяния;

• Создан программный комплекс Ц^тАТЯТ для расчета задач газовой динамики при существенной роли собственного излучения плазмы;

• На основе разработанных математических моделей и созданных комплексов программ:

-решен ряд задач атмосферной радиации при наличии сильно анизотропного рассеяния с особенностью преимущественного рассеяния вперед на аэрозолях и в облаках;

- получены прецизионные расчеты теплового баланса атмосферы Земли для рэлеевского рассеяния на атмосферных газах при одновременном применении метода лебеговского усреднения по частотам, развитого А.В.Шильковым;

-проведено сравнение расчета задач УТС при учете излучения в многогрупповом приближении с трехтемпературной моделью плазмы, которое показало, что в трехтемпературной модели центральная область сжатия мишени имеет запаздывающую динамику по сравнению с многогрупповым приближением; -проведено полномасштабное математическое моделирование экспериментов, проводимых в ТРИНИТИ, на лазерных установках PALS и LIL по взаимодействию мощных пучков лазерной энергии с пористыми средами; - исследуются саморегулируемые нейтронно-ядерные режимы в активных зонах быстрых реакторов для создания реакторов нового поколения.

Теоретическая и практическая ценность результатов диссертации заключается: 1) в разработке эффективных численных методов решения уравнения переноса и уравнений квазидиффузии при наличии сильной анизотропии рассеяния совместно с уравнениями, отвечающими за другие физические процессы в полной системе; 2) в подробном исследовании задач УТС на основании предложенных моделей; 3) в предложении рекомендаций по формированию активных зон быстрых реакторов нового поколения, обладающих повышенными экономичностью и безопасностью по нейтронно-ядерным процессам.

Основные публикации

По теме диссертации опубликовано 54 работы. Основное содержание диссертации отражено в статьях [1-31].

Достоверность результатов диссертационной работы определяется их верификацией при разнообразном тестировании, включающем сравнение с точными решениями (при их наличии), сравнением с результатами экспериментов и расчетами по другим моделям, четким физическим смыслом полученных результатов и согласованностью с современными представлениями о предмете исследования.

Апробация результатов диссертации Результаты исследований, приведенных в диссертационной работе, были представлены и обсуждались на Всероссийских и Международных конференциях:

• Международный симпозиум «Численные методы решения уравнения переноса»,

Москва, май 1992;

• Fourth International Aerosol Symposium, St-Petersburg, July 1998;

• Международная конференция "Физика атмосферного аэрозоля", Москва, апрель 1999;

• Joint International Conference on Mathematical Methods and Supercomputing for Nuclear

Applications: Saratoga Springs, New York, October 1997; Madrid, Spain, October 1999;

• Международная конференция "Математические идеи Л.П.Чебышева и их приложение

к современным проблемам естествознания", Обнинск, май 2002;

• XXVII European Conference on Laser Interaction with Matter ECLIM-2002, Москва,

сентябрь 2002;

• VI International Congress on Mathematical Modeling, Нижний Новгород, сентябрь 2004;

• Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование", Дубна, январь

2004; Дубна, январь 2006; Дубна, январь 2008;

• XXXIII Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС,

Звенигород, февраль 2006;

• International Congress on Advances in Nuclear Power Plants, Nice, France, May 2007;

• The 20th International Conference on Transport Theory, Obninsk, Russia, July 2007;

• 5th International Conference on Inertial Fusion Sciences and Applications, Kobe, Japan,

September 2007.

Реализация и внедрение результатов работы Работа выполнялась в рамках научных планов Института математического моделирования РАН, проектов Российского фонда фундаментальных исследований, проектов МНТЦ, договоров с Физико-энергетическим институтом (Обнинск), Научно-исследовательским институтом атомных реакторов (Димитровград), РНЦ "Курчатовский институт".

Научные положения диссертации и разработанные на их основе методики, алгоритмы и программные комплексы использовались для совместных исследований в следующих организациях: Физико-энергетическом институте (Обнинск), Научно-исследовательском институте атомных реакторов (Димитровград), РНЦ "Курчатовский институт", Физическом институте РАН.

Личный вклад соискателя В список положений, выносимых на защиту, включены результаты и выводы, в которых вклад соискателя был основным.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 268 наименований, и изложена на 288 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор работ, относящихся к теме исследования и посвященных преодолению основных трудностей, возникающих при численном решении уравнения переноса; обосновывается актуальность темы, выбор метода квазидиффузии как основного инструмента построения математической модели; формулируется система уравнений ВРГД в рамках квазидиффузионного подхода, а также определяются вычислительные задачи, возникающие при решении этой системы уравнений при расщеплении по физическим процессам. Сформулированы цели проведения исследований, новизна диссертации и научные положения, выносимые на защиту. Приведены сведения об апробации работы и структуре диссертации.

Метод квазидиффузии заключается в постепенном понижении размерности задачи так, что на последнем этапе становится возможным эффективное объединение следствий уравнения переноса с уравнениями сплошной среды, описывающими другие физические процессы, например, с уравнениями газовой динамики дня излучения или реакторной кинетики и выгорания для переноса нейтронов. Усреднением многогрупповых уравнений переноса по углам получается многогрупповая система уравнений квазидиффузии, замкнутая при помощи дробно-линейных функционалов, вычисляемых по решению уравнения переноса. Усреднение полученной многогрупповой системы уравнений квазидиффузии по энергии приводит к эффективной одногрупповой системе уравнений квазидиффузии относительно полных плотности и потока излучения, которая может быть объединена с другими уравнениями сплошной среды, что решает главную задачу - учета нелокального и нелинейного взаимодействия излучения и вещества. Внешнее усложнение процедуры решения уравнения переноса позволяет разрешить ряд трудностей. Во-первых, использование многогрупповой системы уравнений квазидиффузии автоматически означает консервативность схемы. Во-вторых, выделение главной части в члене рассеяния внутри группы позволяет перенести ее налево для уравнений квазидиффузии, так что влияние остаточных членов становится опосредованным через тензор квазидиффузии. Итерационный процесс решения уравнений с такой иерархической структурой быстро сходится при условии малости производных Фреше от введенных дробно-линейных функционалов по решению. Таким образом, решение уравнения переноса сводится к ряду вычислительных задач: 1) решение уравнения переноса при известной правой части, усреднение полученного решения по углам и вычисление тензора квазидиффузии, 2) решение многогрупповой системы уравнений квазидиффузии и усреднение этой системы по энергии в одногрупповую систему, 3) совместное решение полученной одногрупповой системы уравнений

квазидиффузии с другими уравнениями сплошной среды (уравнениями энергии для задач радиационной газовой динамики или выгорания и реакторной кинетики). Диссертация посвящена методам решения поставленных вычислительных задач и моделированию физических задач на основе разработанных алгоритмов.

Глава 1 посвящена построению и сравнению двух схем решения уравнения переноса в собственных характеристических переменных. Метод итераций источника, обычно используемый при решении уравнения переноса при наличии рассеяния (и деления), сводится к тому, что правая часть вычисляется по решению, полученному на предыдущей итерации, поэтому при построении аппроксимации дифференциального оператора, стоящего в левой части уравнения, можно считать правую часть известной. Тогда уравнение переноса можно записать в виде:

_ ЭФ _ ЭФ 1ЭФ . - ,1Ч

П2 =сояО, 12, =5'твсо5(р, = -вт0$7, ве [О,л], <ре \й,2л\.

Переход к собственным характеристическим переменным позволяет записать уравнение, содержащее только две пространственные производные: ЭФ ЭФ

саае^+йп9^-+аФ = е, (2)

аг Э.?

С формальной математической точки зрения связь гире переменными $ и Ь осуществляется по формулам (рис.1)

г, ■—' Г^ГСОвф |г = Л +й „ч

1 < . или 4 (3)

Рис1 = [ф = агая(Л/5) + 71(1-^(5))/2

В отличие от классического метода Владимирова, в котором угловая сетка получается в результате пересечения множества параллельных касательных к окружностям постоянного радиуса пространственной сетки с множеством этих окружностей, в работе предложено независимое построение базовой угловой сетки для каждой из таких окружностей, например, равномерной по (л=со8<р. На практике это означает отказ от метода длинных характеристик и переход к методу коротких характеристик. С одной стороны, это сокращает вычислительные затраты и позволяет разрешить структуру логарифмических разрывов, характерных для слоистых задач в цилиндрической и сферической геометриях. С другой стороны, это усложняет алгоритм обхода ячеек и несколько понижает порядок сходимости метода из-за многократных интерполяций.

В диссертации предложены два алгоритма решения уравнения переноса в собственных характеристических переменных: характеристический и консервативно-характеристический. В характеристическом методе значение в точке пересечения характеристики, выпущенной назад из узловой точки с неизвестным решением, с ребром расчетной ячейки восстанавливается со вторым порядком точности интерполяцией по значениям в трех освещенных узлах, после чего решение в четвертом узле находится интегрированием вдоль отрезка характеристики внутри ячейки. Консервативно-характеристический метод помимо значений в узлах использует интегралы от решения вдоль ребер ячейки (также называемые потоками), при этом квадратичная или псевдоквадратичная интерполяция на каждом ребре строится независимо от других ребер, что позволяет правильно учесть выпуклость функции. В рамках предложенной аппроксимации на ребрах задача перераспределения выходящих потоков по неосвещенным граням решается точно.

В ходе решения задачи необходимо знать значение функции распределения в точках пересечения выпущенной назад характеристики с цилиндром предыдущего радиуса. Для этого предложен итерационный алгоритм построения монотонного сплайна смешанного порядка: второго, если это обеспечивает монотонность, и первого в противном случае. Коэффициенты полученного сплайна используются в дальнейшем при вычислении компонентов тензора квазидиффузии интегрированием по азимутальному и полярному углам.

Для задач в сферической и цилиндрической геометрии характерно наличие логарифмических разрывов, связанных с принципиально разным поведением решения на двух геометрически близких характеристиках, если одна из них только касается области с другими параметрами, а вторая проходит по этой области. На логарифмическом разрыве одна из односторонних производных решения по азимутальному углу обращается в бесконечность. В предложенных методах в области контактных разрывов проводится близкая к касательной вторая характеристика, при этом при проведении интерполяции и при интегрировании учитывается поведение функции на логарифмическом разрыве между этими характеристиками, пропорциональное корню смещенного косинуса азимутального угла.

Проведено сравнение предложенных методов по порядку сходимости на задачах, имеющих точное решение. Показано, что использование консервативного варианта характеристической схемы значительно повышает порядок сходимости при незначительном удорожании расчета. Учет логарифмической структуры разрывов также улучшает качество предложенной схемы. Порядок сходимости консервативно-характеристического метода на владимировской сетке длинных характеристик - второй, а для метода коротких характеристик - чуть выше первого.

Результаты Главы 1 опубликованы в работах [1-2].

Глава 2 посвящена созданию и тестированию всех методов и программ, необходимых при численном решении системы квазидиффузионных уравнений и объединении их с уравнением энергии для вещества, что включает в себя: I) построение разностных схем для многогрупповой системы уравнений квазидиффузии, 2) разработку методов решения полученных разностных уравнений эллиптического типа, 3) усреднение уравнений в эффективную одногрупповую систему, 4) решение объединенной системы усредненных уравнений квазидиффузии с уравнением энергии для вещества.

В расчетной (г-г) области вводится матрично упорядоченная сетка из четырехугольных ячеек. Построение разностной схемы для уравнений квазидиффузии (в заданной группе по энергии) ведется интегро-интерполяционным методом в рамках одной ячейки. Это упрощает ситуацию около контактных границ. В шаблон входят девять величин: значения плотности излучения и нормальные проекции потока в серединах четырех ребер, а в центре ячейки только плотность излучения (рис.2).

Рис.2. Разностная ячейка.

Ранее ВЛ.Гольдиным и А.В.Колпаковым была предложена немонотонная аппроксимация уравнений квазидиффузии, основанная на кусочно-постоянной аппроксимации при вычислении контурных интегралов. Источников немонотонности у этой схемы два: во-первых, расширенный шаблон, так что полученная схема не удовлетворяет принципу максимума даже для самосопряженной задачи теплопроводности, во-вторых, несамосопряженность уравнений квазидиффузии в общем случае. Для преодоления первого источника немонотонности в работе предложена схема с уменьшенным шаблоном, для которой выполняется принцип максимума для самосопряженной задачи. Второе улучшение свойств монотонности достигается приведением тензора квазидиффузии к собственным осям в середине расчетной ячейки в плоскости г-г, что в силу предполагаемой

непрерывности компонент уменьшает недиагональные компоненты тензора квазидиффузии на сторонах расчетной ячейки. Построение аналога монотонной схемы в повернутой системе координат приводит к значительному улучшению свойств монотонности схемы при полном учете несамосопряжснности задачи.

Полученная система разностных уравнений решается методом ц-х-а прогонки, эквивалентной переносу граничных условий на стороны расчетной ячейки. При этом для нахождения //иг получается нелинейный быстросходящийся процесс, а для а - линейный и довольно медленный. В диссертации предложен метод нелинейного ускорения этих итераций, основанный на введении отношений а, вычисляемых в противоположных направлениях. Метод содержит итерационный параметр. Анализ сходимости метода при различных значениях итерационного параметра позволил предложить метод подстройки итерационного параметра под оптимальное значение в ходе итерационного процесса. Для несамосопряженной системы уравнений число необходимых для сходимости итераций пропорционально размерности разностной сетки по одному направлению.

Решение многогрупповой системы уравнений квазидиффузии усредняется в эффективную одногрупповую систему уравнений квазидиффузии для дальнейшего объединения полученной одногрупповой системы уравнений с уравнением энергии для вещества. При этом обменный член энергией между излучением и веществом выражается через произведение среднего коэффициента поглощения на суммарную по спектру плотность излучения и полную излучательную способность вещества. Эффективная линеаризация для применения метода Ньютона требует введения разностного аналога производной Фреше от усредненного коэффициента поглощения по температуре. Эта производная складывается из двух частей: первая отвечает за локальное просветление вещества при подъеме температуры, вторая, существенно нелокальная, отвечает за перестройку спектра на временном шаге вследствие изменения температур на расстояниях порядка длины пробега в окрестности данной точки. Эта производная вычисляется разностным образом на двух последовательных итерациях решения многогрупповой системы уравнений переноса с квазидиффузией на заданном временном шаге.

Предложенные методы тестировались на двух широко известных одномерных задачах Флека и их двумерных обобщениях. Первая задача Флека показала важность введения эффективной температуры усреднения при подготовке групповых констант для получения правильной скорости фронта волны изучения, вторая, обладающая контактной границей, показала важность введения производной Фреше от усредненного коэффициента поглощения (вплоть до численной разрешимости задачи).

Была рассмотрена задача, построенная на базе второй задачи Флека, о проникновении внешнего изотропного излучения с температурой 1 кэВ в трубу с внешним радиусом 1.1 см, внутренним - 1 см и длиной 5 см. Оптические характеристики внутренности трубы соответствуют умеренному коэффициенту поглощения в задаче Флека, а стенки обладают большим коэффициентом поглощения:

_у/г) при 0< г < 1 см,

(4)

к(у) =

V

10

— (1-£_ч"т) при 1 см<г<1.1 см, V

£{Т) = 8.11-10^7*. (5)

Данная задача характерна тем, что фронт излучения в основной части трубы перпендикулярен контактной границе. На контактной границе происходит изменение направления движения волны излучения от распространения вдоль оси г для внутренности трубы к распространению по радиусу для стенок трубы. Это приводит к большим значениям недиагонального компонента тензора квазидиффузии около контактной границы (рис. 3 б), которыми нельзя пренебречь для построения аналога монотонной схемы. Использование аналога монотонной схемы с поворотом координат в плоскости г-г позволяет провести расчет этой задачи.

Огт

о в

и 75 0 7 0 65 06 0 55 05 0 45 04 0 35 03 0 25 0 2 0 15 0 1

02Г

0 45 04 0.35 03 0 25 02 0 15 0 1 0 05 0

йгг

0В

— 0 75

— 07

— 0 65

— 0.6

— 0 55

05

— 0 45

— 04

035

¡8 0.3

1 025

0.2

0 15

■ 01

■ 0.05

а) Дт

Г!

в)Ргг

Рис.3. Компоненты тензора квазидиффузии в восьмой группе, где находится максимум падающего планковского излучения. Справа от каждого рисунка приведена шкала линий уровня для момента времени 500 пс.

На рис. 4 приведены значения усредненного коэффициента поглощения по температуре для двух моментов времени, а также величины производных Фреше. Видно, как области с большим отрицательным значением этой производной (темные области),

соответствующие просветлению вещества с ростом температуры, соседствуют с областями с большим положительным значением производной, что соответствует сдвигу спектра в низкоэнергетичную область.

ч

а) 1=0.25 не

Сри 1

8 5Е+07

ЗЕ+07 4 ■

1Е+07 Щ • Щ 1

ЗЕ+06

1Е+06

300000 3

100000 N

30000 и

10000 2

3000 1

1000

300

100 1

30

10

н 1

в) 1=0.25 не

-

ш

г) 1=0.5 НС

Срит

1Е+08

— 1Е+07

— 1Е+06

— 100000

— 10000

— 1000

— 100

10

0

-10

-100

-1000

-10000

-1Е+08

Рис.4. Усредненный коэффициент поглощения (а,б) и производная Фреше по температуре от него (в, г) для моментов времени 250пс и 500 пс. Справа от каждого рисунка приведена шкала линий уровня.

Температурные поля для пяти моментов времени приведены на рис.5.

1=2. не

1=3 не

И

1=4 не

Рис.5. Динамика температуры. Результаты Главы 2 опубликованы в работах [3-11].

Глава 3 посвящена методу учета сильной анизотропии рассеяния, которая характерна для задач переноса излучения в облаках и в присутствии аэрозолей в атмосфере, а также для ряда других задач от защиты реакторов до медицинских приложений использования лазера, Ранее для умеренной анизотропии рассеяния было предложено в члене рассеяния выделять

нулевой, первый и второй моменты разложения индикатрисы рассеяния по полиномам Лежандра и остаток. При использовании метода квазидиффузии главные члены рассеяния в уравнении переноса выражаются через плотность и поток излучения, а в уравнениях квазидиффузии соответствующие члены переносятся справа налево, обеспечивая значительное ускорение сходимости итераций по рассеянию, поскольку при таком преобразовании уравнения квазидиффузии зависят от рассеяния опосредовано через коэффициенты квазидиффузии. Однако наличие в индикатрисе рассеяния сильной особенности преимущественного рассеяния вперед делает такое преобразование недостаточным: во-первых, при этом очень плохо затухают коэффициенты разложения индикатрисы по полиномам Лежандра, и остаток разложения велик, и, во-вторых, в этом случае восстановление индикатрисы по первым трем членам не гарантирует положительности основной части члена рассеяния. В диссертации предложено в этом случае выделять 5-образную особенность индикатрисы рассеяния с малым носителем в окрестности углов прямого пролета без рассеяния. Оставшееся гладкое продолжение индикатрисы частично разлагается по полиномам Лежандра, а остатки интеграла рассеяния после выделения главных частей регулярной и сингулярной компонент индикатрисы преобразуются в дробно-линейные функционалы. Для вычисления интегралов в этих функционалах предложена замена переменных, позволяющая учесть другие возможные особенности индикатрисы рассеяния. В предложенном методе аналогичным образом предложено учитывать анизотропию отражения в граничных условиях.

Сходимость метода тестировалась на задаче рассеяния в однородном плоском слое 0<г<10, граничащем с вакуумом с двух сторон, с изотропным источником q=\, полным сечением о= 1 и сечением рассеяния гт,=с. Для индикатрисы рассеяния Хеньи-Гринстейна

п'нгЛМ) =--г-2-ттт и<1) =--^г.

"0И 2 (\-\-g -2gn) 2(1-£)2

была исследована зависимость числа итераций по рассеянию от параметров жесткости задачи g и с. Здесь # - параметр, отвечающий за особенность преимущественного рассеяния вперед. Чем ближе величина g к единице, тем ближе особенность к ¿-особенности при ц—>1. В обычных методах итераций источника наихудшая сходимость имеет место при отсутствии поглощения. Количество итераций по рассеянию в предложенном методе (последние четыре колонки) в сравнении с рядом других методов из работы А.В.Волощенко представлено в Табл. 1.

Наибольшее число итераций по рассеянию возникает для задачи средней жесткости (параметр g=0.99) при отсутствии выделения 5-особенности. В остальных случаях число

итераций невелико и колеблется от 9 до 15. Ужесточение критерия сходимости ведет к двукратному росту числа итераций при замене е на е2.

Число итераций при критерии сходимости шах

V,

Таблица 1.

<£ = 10 при изменении параметров g и с.

Число итераций

Р.БА" №АЬ РМ-5С Цо

8 с 0.95 0.99 0.999 1.

0.9 0.9 20-15 66-45 9 И 12

0.99 66-23 392-89 12 17 19

0.99 0.9 28 48 12 21

0.99 75 120 13-21 15 21

0.999 0.99 5-7 12

Далее в диссертации рассмотрен ряд задач атмосферной радиации. Прохождение излучения в атмосфере связано с двумя классами задач. Во-первых, прямые задачи, когда по известным распределениям веществ с заданными свойствами требуется найти поле излучения атмосферы или его (излучения) какие-либо интегральные характеристики. Во-вторых, обратные задачи, т.е. задачи диагностики состояния атмосферы по прохождению сигнала (роль которого может играть и естественный источник - Солнце). В обоих случаях немаловажную роль играет сильно анизотропное рассеяние на аэрозолях и в облаках.

В диссертации предлагается метод корректного учета сильной анизотропии рассеяния, примененный для исследования рассеяния солнечного излучения в атмосфере, содержащей аэрозоли и облачные слои. Рассеяние в облаках и на аэрозолях характеризуется дельтаобразной особенностью преимущественного рассеяния вперед, т.е. большой долей рассеяния на малые углы (рис.ба). Рассеяние на малые углы существенно при наличии сосредоточенных источников, роль которых в задачах атмосферной радиации играет солнечное излучение.

Используется приближение плоской атмосферы, широко распространенное для климатических расчетов. Это позволяет не учитывать азимутальную зависимость интенсивности падающего и рассеянного света I, сведя ее к равномерному распределению относительно азимутального угла (х)• что уменьшает число независимых переменных до одной пространственной переменной (£) и одной угловой (//) - косинусу угла с нормалью, направление которой выбрано от верхней границы атмосферы к земле. Однако разность азимутальных углов между направлением распространения и рассеяния света входит как

параметр в косинус угла рассеяния = + от которого зависит

индикатриса рассеяния и по этому углу ведется интегрирование в интеграле рассеяния. Переход к многомерным задачам в рамках данной методики сведется к увеличению независимых переменных в уравнении переноса и связанных с этим проблемам, не ограничивая применимость данного метода учета анизотропного рассеяния.

Рис.6а. Индикатриса рассеяния для модели водяного Рис.66. Выделение ^особенности в

облака с широким распределением частиц по индикатрисе рассеяния. Пунктиром

размерам, обладающая сильной особенное- нарисована регулярная компонента

тью преимущественного рассеяния вперед.. и>гее($.

Стационарное уравнение переноса в приближении плоской атмосферы для света заданной частоты имеет вид:

(6)

-1 о

где V- коэффициент поглощения, а Я - коэффициент рассеяния.

В предлагаемом методе интенсивность излучения / представляется в виде суммы трех компонент:

1) ¡о - нерассеянное солнечное излучение, в том числе зеркально отраженное от поверхности земли,

2) // - излучение, рассеянное на малые углы, в том числе с многократным рассеянием,

3) ¡2 - все оставшееся излучение.

На верхней границе атмосферы задается падающее солнечное излучение в виде 8-функции угла: 1=с{-д^ц-1М,). На нижней границе атмосферы, т.е. на поверхности земли с альбедо г, задается условие отражения, при этом предполагается, что доля излучения 9 отражается зеркально, а доля \-в- диффузно. Метод позволяет учитывать и более сложные

варианты граничных условий отражения, но за неимением соответствующих данных пришлось ограничиться комбинацией зеркального и диффузного отражения.

Решение задачи для компоненты ¡о выписывается аналитически в виде затухающей экспоненты от текущей оптической толщины, деленной на косинус угла падения.

Учет однократного рассеяния компоненты ¡о в компоненте // проводится полуаналитически с высокой степенью точности, для многократного рассеяния этой компоненты решения использованы алгоритмы ускорения итераций на основе потоковой квазидиффузии, которая является естественной здесь, поскольку решение для этой компоненты распадается на две ветви с существенными значениями в окрестности углов падения и зеркального отражения ±//().

Уравнение переноса для компоненты /2 содержит решения для ¡о и //. Для его решения используется метод квазидиффузии, модифицированный для учета сильной анизотропии рассеяния.

Отметим характерные черты предложенного метода. 1. Вычисление интеграла рассеяния.

a) Метод позволяет использовать максимально полную информацию об индикатрисе рассеяния при ее наличии, не ограничиваясь знанием только нескольких первых коэффициентов разложения индикатрисы рассеяния по полиномам Лежандра.

b) Для корректного учета рассеяния на малые углы индикатриса рассеяния делится на гладкую регулярную часть с областью определения [-1,1], и сингулярную, с малым носителем в окрестности ц=1\ №(£)=№„,/,(£)+№,(рис.66). Главная часть сингулярной компоненты индикатрисы рассеяния может быть представлена в виде 8-функции, подстановка которой в уравнение переноса приводит к эффективному уменьшению коэффициента рассеяния. При этом в правой части остается поправочный член рассеяния на малые углы, который можно не учитывать в тех областях фазового пространства, где рассеяние на малые углы несущественно (вдали от сосредоточенного источника).

c) Вычисление нулевого, первого и второго коэффициентов разложения регулярной компоненты индикатрисы по полиномам Лежандра используется для выделения главной части в интеграле регулярного рассеяния, что существенно ускоряет сходимость итераций по оператору рассеяния.

(1) После выделения главных частей в регулярной и сингулярной составляющих индикатрисы рассеяния, соответствующие интегралы от остатков преобразуются в дробно-линейные функционалы, что также ускоряет сходимость итераций, е) Вычисление интегралов в этих дробно-линейных функционалах может производиться либо напрямую, либо с заменой переменных Эта замена позволяет хорошо

учитывать особенности индикатрисы рассеяния (и^), но при этом интерполируется интенсивность излучения. В зависимости от поведения функций, имеется возможность интерполировать более гладкую из них, выбирая либо непосредственное вычисление интеграла, либо с заменой переменных. 0 Если выбран метод вычисления интеграла рассеяния от остатков индикатрисы с использованием замены переменных, сетка интегрирования по х продуцируется сеткой, на которой задана индикатриса рассеяния (см. пи. а)), в силу однозначности связи £ и / при фиксированных /¿//,/е [0,к]. g) Член рассеяния на малые углы после выделения главного члена и»^ в предположении дифференцируемости интенсивности излучения может быть приведен к Фоккер-Планковскому виду, т.е. к диффузии в фазовом пространстве. Однако мы не используем это представление, поскольку с нашей точки зрения предположение о дифференцируемости функции распределения является очень сильным предположением, которое вряд ли справедливо в окрестности //=0 и /и=±/4>-

2. Для ускорения сходимости итераций по интегралу рассеяния использован метод квазидиффузии, в котором наряду с уравнением переноса используются его макроскопические следствия - уравнения для плотности и потока излучения, замкнутые при помощи введения дробно-линейных функционалов. При этом интеграл рассеяния также представляется в виде, максимально использующем информацию о плотности и потоке излучения (см. пункт 1.с)). Скорость сходимости итераций по рассеянию такой расширенной системы определяется величиной производных Фреше введенных дробно-линейных функционалов, и в рассмотренных задачах скорость сходимости оказывается весьма высокой.

3. Численная схема как для уравнения переноса, так и для уравнений квазидиффузии выписывается в предположении постоянства коэффициентов поглощения и рассеяния на каждом расчетном интервале. Нерассеянное солнечное излучение входит в виде экспоненциального источника в уравнения для компонент /;, ¡2, кроме того, в уравнения для 12 входит решение для компоненты /;. Численная схема учитывает экпоненциальную зависимость 10, а зависимость всех остальных членов по пространству предполагается кусочно-линейной.

Методика расчета поглощения и рассеяния солнечного излучения при заданной частоте была опробована на нескольких модельных задачах атмосферной радиации для вертикального и наклонного углов падения солнечного излучения с индикатрисой рассеяния, характерной для рассеяния в облаке с широким распределением частиц по

размерам (рне. 6) и обладающей очень сильной особенностью преимущественного рассеяния вперед. Было выявлено влияние каждой из компонент решения на уширение солнечного пучка, а также отмечено возникновение разрывов решения на границах облака.

Была решена задача о рассеянии солнечного излучения для реальной модели атмосферы, состоящей из воздуха с рэлеевским законом рассеяния и ряда модельных аэрозолей (фонового стратосферного, континентального, городского, морского - рис. 10), при отсутствии поглощения. Рассеяние на аэрозолях также обладает особенностью преимущественного рассеяния вперед, соответствующие индикатрисы рассеяния были рассчитаны в книге (М.Я.Маров, В.П.Шари, Л.ДЛомакина. Оптические характеристики модельных аэрозолей атмосферы земли. ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, М.: 1989, 230с) и представлены на рис.7. Из предложенных для сравнения вариантов мы выбрали расчет для длины волны 0.55// при нормальном падении солнечного излучения. Распределение аэрозолей соответствует профилю II рабочей группы «Стандартная радиационная атмосфера» (Перенос радиации в рассеивающих и поглощающих атмосферах. Стандартные методы расчета. Под ред. Ж.Ленобль. - Д.: Гидрометеоиздат, 1990, 230с.) и представлено в Табл. 2. Все остальные данные также соответствуют этому варианту. Расчет велся в физических переменных в слое —104км<^<0км.

Таблица 2.

Распределение аэрозолей и оптические толщины для реальной модели атмосферы.

Городской

—> —> —> —> —> —> —> —> —> —> —> —> —> —>

-104 км -30 км

Стратосферный аэрозоль <-т=0.003->

Х=2.18-10'4км"

Континентальный аэрозоль Х=0.0025 км"' т=0.025

Морской аэрозоль >¿=0.025 км"1 т=0.05

+ Рэлеевское рассеяние атмосферных газов ->

1=0.095

аэрозоль А=0.5 км"1 т=1.

Континентальный аэрозоль Ы).1 км"1 т=0.2

-20 км

-12 км

-2 км

0 ©

Для чисто рассеивающей атмосферы сохранение полного радиационного потока по высоте является точным следствием уравнения переноса. Данные о потоке при различных углах падения солнечного излучения при наибольшей оптической толщине атмосферы по рассеянию в сравнении с лучшими результатами рабочей группы «Стандартная радиационная атмосфера» приведено в Табл. 3. Предложенный метод сохраняет поток по

высоте и при наклонном падении, что эффективно также увеличивает толщину атмосферы по рассеянию.

Рис.7. Задача IV. Индикатрисы рассеяния континентального, морского, городского и стратосферного аэрозолей с увеличенным масштабом углов преимущественного рассеяния вперед.

Таблица 3.

Полный поток на длине волны 0.55 мкм для чисто рассеивающей атмосферы, содержащей атмосферные газы с рэлеевским рассеянием и ряд аэрозолей с сильно анизотропным рассеянием. Сравнение с результатами рабочей группы «Стандартная радиационная атмосфера» в случае, когда в нижнем двухкилометровом слое имеется городской аэрозоль с оптической толщиной по рассеянию, равной 1.

Косинус угла падения солнечного излучения Результат предложенного метода Поток постоянен по высоте Результаты рабочей группы

z=30km z=2km z=0km

Мо=1. 2.575 2.863 2.852 1.785

цо=0.75 1.759 2.070 2.059 1.097

йо=0.5 0.997 1.292 1.282 0.517

А.В.Шильковым с соавторами была разработана система кодов атмосферной радиации АТКАВ, включающая восстановление коэффициентов поглощения атмосферными газами по параметрам линий из базы данных ШТЯЛЫ и подготовку коэффициентов поглощения и

рассеяния, усредненных по Лебегу. Вид уравнения переноса сохраняется при использовании лебеговских групп. Точность метода лебеговского усреднения на 400 эффективных группах совпадает с точностью методов типа 'Мпе-Ьу-Нпе* при сокращении на четыре порядка количества используемых энергетических точек. Разработанная методика учета анизотропии рассеяния была включена в систему кодов атмосферной радиации АТЛАО.

Результаты расчетов по предложенной методике при учете как поглощения всеми атмосферными газами, так и молекулярного рэлеевского рассеяния, представлены в Таблице 4.

Таблица 4.

Полное поглощение всеми атмосферными газами в линиях с учетом и без учета молекулярного рассеяния (Вт/м2).

Альбедо поверхности 0.2 Альбедо поверхности 0.8

0=30° 0=75° 0=30° 0=75°

Поглощение 178.2 73.8 200.4 81.7

Поглощение и рассеяние 175.6 71.0 197.5 79.0

Изменение потока по высоте для случая поглощения всеми атмосферными газами без учета и с учетом рассеяния приведено на Рис. 8. Результатов 'line-by-line' расчетов для рассеивающих атмосфер крайне мало.

На рис. 9 приведена зависимость скорости радиационного выхолаживания от давления, полученная методами 'line-by-line' разными авторами для чисто поглощающей атмосферы и по расчетам в системе ATRAD.

Таким образом, можно заключить, что метод лебеговского усреднения дает точность расчета методов 'line-by-line' при сокращении объема вычислений в 10000 раз. Предложенный метод учета анизотропии рассеяния хорошо работает как в лебеговских обобщенных, так и в физических переменных. При объединении метода лебеговского усреднения с методом учета сильной анизотропии рассеяния удается получить прецизионные результаты расчетов по тепловому балансу атмосферы Земли с учетом рассеяния, которые практически недоступны для других методов расчета.

Результаты Главы 3 опубликованы в работах [12-17].

0,4 0,6

5=Р/Р0

Рис.8. Поток солнечного излучения в стандартной летней атмосфере средних широт при молекулярном поглощении в линиях всеми атмосферными газами (сплошная линия) и при учете рассеяния (пунктир).

Рис.9. Скорость радиационного выхолаживания дня стандартной летней атмосферы средних широт.

Глава 4 посвящена описанию программного комплекса LATRANT, созданного для математического моделирования задач инерциального термоядерного синтеза. Программный комплекс учитывает перенос излучения в многогрупповом приближении и движение газа по улучшенной лагранжевой методике в двухтемпературном приближении в переменных r-z. Программный комплекс был создан на базе газодинамического комплекса ATLANT, созданного А.Б.Искаковым, и программного комплекса LATRA совместного решения уравнений переноса излучения и энергии вещества, созданного автором диссертации.

Уравнения газовой динамики в двухтемпературном односкоростном приближении для электронного и ионного компонент плазмы с учетом переноса излучения в лагранжевой системе координат имеют вид

^+/>divu = 0, (7)

р~ + grad(/)e + р1+рш)=\куа —ilv, (8)

dt J с

de

р—i- + divWe + (pe + ypaj) div u = pQie +Qr+pQe+pQ2, (9)

dt

de-

+ (1 - jOpiü) div u = -pQie + pQ,. (10)

dt

Здесь:

Tj-Te обменный член энергией между электронной и ионной

компонентами плазмы;

й,=" Р¥

3/(Z) , , отвечает за кинетику ионизации, в этой формуле 2

Qz---äz~ ' ^

заряд иона, 1(2) - энергия ионизации, F(Z,p,Te) -скорость ионизации;

Q _ (к'и1' - к* 11у член обмена энергией между излучением и веществом,

V - спектральная плотность излучения,

Яд-/, у3 планковская равновесная плотность излучения

иур! = 4яВу = —---—-

с СХР( / е) (/, -постоянная Планка, к- постоянная Больцмана,

а— постоянная Стефана-Больцмана),

к?а - спектральный коэффициент поглощения с поправкой на вынужденное переизлучение. Остальные обозначения универсальны. В дальнейшем мы пренебрегаем членом давления

излучения в уравнении движения (2), поскольку оно существенно только для сверхвысоких температур.

Система (1) - (7) замыкается уравнениями состояния: р, = рЛ Р,те), Pi = p,(pJi),

£е=£е(Р'ТеХ Е, = С,-(Р, 7]).

На границах расчетной области задается либо условие непротекания, либо значения внешнего давления, а также значения тепловых потоков для электронного и ионного компонента.

Для спектрального описания задачи используется многогрупповое приближение, уравнение переноса в квазистационарном приближении в r-z геометрии имеет вид:

с дt dz дг г д(р 7л

i2z=cos#, П, = sin fl cos р, П^ = -sin6>sin(P, dO. = imOdOdip, где р - индекс группы, индикатриса рассеяния в данной группе, к'- коэффициент рассеяния в группе, а по спектральному коэффициенту поглощения к^ вычисляются три средних групповых коэффициента поглощения по формулам:

1 Л>+1

к*(Г,р) = J Kv(r,pfv)US,(r,v)rfv/ J Uj,,(T,v)dv, (12)

/ vp

к&(7\р,©) = 1" Kv(r,p,v)U^,;(Q,v)t/v / '¡UvPl{@,\)dv, (13)

V, / V,

к5(Г,р,в) VJ„ Kv(7\p,v) 30 j l 39 последний из коэффициентов используется в многогрупповых уравнениях квазидиффузии. Здесь в - эффективная температура усреднения. Используемая в расчетах база данных DESOPLA (ФИ РАН) включает в себя таблицы групповых коэффициентов поглощения крп, Г/5, для значений плотностей 10~5, 104, 10~3, 10"2, 0.1, 2.5, 20, и 100 г/см3, температур 2.610"5, 103, Ю-2, 5.-10"2, 0.1, 0.5, 1, 3, 10 кэВ,

и значений эффективной температуры &. 0.5 кэВ, 1 кэВ, 2 кэВ, 3 кэВ для наиболее часто используемых в экспериментах по УТС веществ. Под 0 первоначально понималось максимальное значение температуры в расчете, которое должно было либо априорно оцениваться, либо определяться из предварительного

расчета. В дальнейшем была сделана модификация использования всей базы данных по 0, используя оценку величины 0по положению максимума пришедшего излучения.

Применение метода квазидиффузии для решения уравнения переноса позволяет эффективно учитывать нелинейное и нелокальное взаимодействие излучения с веществом.

Расщепление по физическим процессам приводит к следующей схеме расчета уравнений на одном временном шаге:

0. Запоминание всех необходимых нестационарных величин с предыдущего временного шага;

1. Расчет уравнений газовой динамики с искусственной вязкостью - разлет ячеек с дробными шагами по времени, величину которых диктует явный алгоритм газовой динамики; вычисление вклада искусственной вязкости в уравнения энергии;

2. Расчет вклада электронной и ионной теплопроводности в уравнения энергии;

3. Решение групповых уравнений переноса, их усреднение по направлениям полета фотонов в квазидиффузионные многогрупповые уравнения;

4. Суммирование и усреднение групповых уравнений квазидиффузии по энергии в эффективную одногрупповую систему уравнений квазидиффузии;

5. Совместное решение двух уравнений энергии для электронного и ионного компонента плазмы и эффективной одногрупповой системы уравнений квазидиффузии;

6. Расчет энергетического баланса.

Для решения многогруппового уравнения переноса излучения совместно с уравнениями энергии для электронного и ионного компонент вещества используются методики, описанные в Главах 1 и 2.

Самым дорогим в вычислительном отношении является решение уравнения переноса. Поэтому для удешевления расчета могут использоваться некоторые приближения, например, многогрупповое диффузионное приближение (не учитывающее анизотропии распространения излучения по углам) или еще более простая трехтемпературная модель, в которой излучение описывается планковской функцией с радиационной температурой 0.

На основании предложенного программного комплекса был решен ряд задач инерциапьного термоядерного синтеза. Как известно, гидродинамические неустойчивости и перемешивание препятствуют достижению давлений и температур, необходимых для начала термоядерной реакции. Поэтому физически очень важной задачей является достижение максимальной симметрии обжатия мишени. Увеличение количества лазерных пучков технически значительно усложняет каждый выстрел из-за проблемы синхронизации пучков и не позволяет разрешить проблему неоднородности из-за интерференционных явлений

внутри самих высококогерентных пучков, их перекрытия и еще ряда технических и физических трудностей. Для улучшения симметрии сжатия мишени было предложено несколько подходов. Первый из них - это переход к мишеням типа «лазерный парник», в которых лазерное излучение поглощается и переизлучается в рентгеновском диапазоне стенками камеры, и уже это рентгеновское излучение сжимает мишень. При этом энергия лазера, идущая собственно на сжатие мишени, значительно уменьшается. Второй физической идеей было использование симметризующего предимпульса для создания плазменной короны до прихода основного лазерного импульса. Однако при этом часть энергии предимпульса переизлучается в мягком рентгене, что также ухудшает условия сжатия центральной области основным импульсом. Третий вариант увеличения симметрии обжатия мишени заключается в покрытии мишени малоплотной пеной. Одной из главных особенностей малоплотных сред является их способность сжиматься под действием ударной волны до плотностей в несколько раз более высоких, чем те же вещества с полной плотностью. Однако удаление от центра сферы зоны поглощения лазерного излучения приводит к снижению эффективности мишени. Перспективность использования слоя абсорбера-аблятора при сознательном уменьшении эффективности мишени, но при достижении устойчивости сжатия, вызвало волну как экспериментальных, так и теоретических исследований на основе различных математических моделей. Основными механизмами сглаживания неоднородностей являются диффузионная и радиационная теплопроводность. Для увеличения радиационной теплопроводности было предложено использовать либо покрытие пен тонкой пленкой из тяжелых атомов (золота или меди), или добавлять такие тяжелые атомы непосредственно в пену.

На основе созданного комплекса ЬАТ11АЫТ: 1. Было проведено математическое моделирование мишеней типа «лазерный парник» изотропным внешним излучением с температурой 150эВ. Моделирование сферически-симметричных задач в двумерной постановке показало, что все схемы хорошо поддерживают симметричность при сжатии и разлете мишени. Было проведено сравнение результатов сжатия и разлета модельной четырехслойной двухоболочечной мишени из стекла и дейтерий-тритиевой смеси между и внутри стеклянных оболочек при учете переноса излучения в многогрупповом диффузионном приближении и в трехтемпературном приближении. Было показано, что использование трехтемпературной модели дает запаздывающую динамику сжатия центральной области горючего по сравнению с многогрупповым расчетом (рис. 10) за счет

преднагрева центральной области горючего высокоэнергетичными фотонами и большую температуру центральной области горючего.

Central агаа radius dynamics Cantolare*alwfroMamperatijra dynamics

Рис.10. Динамика сжатия центральной области ВТ горючего (слева) и электронная температура центральной области (справа).

2. Была рассчитана существенно двумерная задача о сжатии той же сферической мишени внешним изотропным излучением с температурой, меняющейся в зависимости от полярного угла. Результаты расчетов показывают, что наблюдается симметризация сжатия внутренней оболочки по сравнению с несимметричным сжатием внешней оболочки.

3. Было проведено исследование взаимодействия лазерного излучения с фольгами для дальнейшего сравнения с результатами покрытия фольг малоплотными пенами. Плазменная корона фольги в три раза увеличивает радиус светящейся с тыльной стороны области по сравнению с радиусом фокального лазерного пятна. При этом выходящее излучение становится значительно более изотропным по радиусу.

4. Были рассчитаны две задачи о взаимодействии лазерного излучения с двумя мишенями, состоящими из пористого полиэтилена на алюминиевой подложке. В первой задаче эта мишень со стороны падения лазерного излучения была покрыта тонкой пленкой меди, а во втором случае кластеры меди были распределены равномерно в пене. Количество атомов меди на единицу площади во втором случае было в полтора раза меньше, чем в первом. Эффективность конверсии лазерного излучения в рентгеновское показана на рис.11.

Сравнение компонент баланса энергии показывает, что во втором случае до 80% лазерной энергии высвечивается. Эта задача показывает, что хотя доля собственно энергии излучения в этих задачах ничтожно мала, именно перенос излучения осуществляет обмен энергией между отдельными частями системы.

Рис.11. Распределение энергии по составляющим для задачи I (слева) и II (справа).

На рис.12 представлен поток излучения со стороны подложки для этих двух мишеней. Видно, что в задаче с кластерами меди существует момент времени (около 2 не), после которого поток излучения нарастает за очень короткое время. Этот эффект регистрируется в экспериментах: для пены данной толщины (порядка 500 мкм) время появления интенсивного свечения в эксперименте составляло также 2 не.

Рис. 12. Зависимость от времени интегрального потока излучения с обратной стороны мишени для первой (слева) и второй (справа) задач.

5. На установке PALS (Prague Asterix Laser System) была проведена серия экспериментов по взаимодействию излучения йодного лазера с плоскими пористыми мишенями. Энергия лазерного импульса в эксперименте оценивалась в 150-175 Дж. Длительность импульса около 0.8 не с шириной импульса на полувысоте 320 пс. Такие значения параметров соответствуют потоку лазерной энергии порядка 5-Ю14 Вт/см2 на поверхности мишени.

Рис. 13. Электронная температура для пены TAC (9.1 мг/см\ 3 гармоника лазера) на моменты времени 400, 500 и бООпс, и ионная температура на момент бООпс.

Использовались пористые мишени из триацетата целлюлозы на алюминиевой подложке толщины 5 мкм. Толщина пены около 400 мкм. При этом предполагались две основные плотности пористого вещества - 9.1-10 3 г/см3 и 4.5-10"3 г/см':

-0.0405<z<-0.0400 см Al />=2.7 г/см3 (толщина слоя 5мкм)

-0.0400<z< 0.0000 см TAC />,=9.U0~3 г/см3; (толщина слоя 400мкм)

/>2=4.5-10"3 г/см3

Для ряда выстрелов использовалась пена с добавками 9.9% по массе атомов меди

ТАС +9.9% Си />]=9.1-Ю"3 г/см3;

Первоначально для сравнения расчета с экспериментом в качестве поглощенной лазерной энергии была заложена энергия 130Дж. На рис.13 приведены распределения температур для моментов времени, соответствующих максимуму падающего излучения, и ближе к окончанию лазерного импульса.

В эксперименте регистрировались показания рентгеновской электронно-оптической камеры (РЭОК) прихода гамма-квантов с энергией больше 1.5 кэВ. Фотографии РЭОК по горизонтальной оси дают временную развертку регистрируемого рентгеновского излучения с полным временем 2 не по ширине фотографии, а по вертикальной оси - развертку по толщине мишени с полной толщиной 2000мкм по высоте фотографии. По этим данным вычислялись две скорости: скорость распространения рентгеновского фронта как касательная к нижней части цветного изображения в носике на границе с черным фоном и скорость гидротепловой волны по сечению этого рисунка в максимуме регистрируемого излучения. Пример фотографий с РЭОК приведен на рис. 14.

а) выстрел М 28205: Elas=170,4 Дж; 2нс. b) выстрел М 28232: Elas - 163 Дж; 2нс.

Рис.14. Показания РЭОК для пены TAC (9.1 мг/см', 3 гармоника лазера, толщина фольги 5 мкм) в экспериментах (а, б) на установке PALS.

Программный комплекс позволяет моделировать показания РЭОК. Результат такого моделирования приведен на рис.15. Скорости распространения рентгеновского фронта и гидротепловой волны, измеренные по приведенным данным, оказались значительно выше, чем соответствующие скорости, измеренные по экспериментальным данным. Заметим, что сравнение рис. 14 а) и рис. 14 Ь) показывает, что в экспериментах не достигается полной повторяемости результатов: если на левой картинке видно свечение алюминиевой подложки ко времени примерно 1.5нс, то на правой картинке этого свечения не наблюдается даже и к 2нс для почти одинаковой энергии выстрелов. В ФИ РАН по теории сильного взрыва были проведены оценки вложенной лазерной энергии, которые показали, что регистрируемые в эксперименте скорости ударных волн соответствуют значительно меньшим вложенным энергиям. Решение одномерных уравнений Максвелла, полученное численно также в ФИ РАН, показало, что на слоистой структуре пленок из TAC отражается до 70% лазерной энергии. Поэтому было проведено исследование задач взаимодействия лазерного излучения

с пенными структурами с меньшими значениями вложенной лазерной энергии. Результаты моделирования для пены 9.1 мг/см' при облучении на третьей гармонике йодного лазера при различных энергиях приведено на рис.15. Аналогичные данные, полученные для пены 4.5 мг/см3 при облучении мишени на первой гармонике лазера в эксперименте представлены на рис. 16, а при математическом моделировании - на рис. 17.

t(s)

5.0x10"" 1 0*10" 1,5x10" 2 0x10* t(s)

= 50 Дж

е) Eabs = 6 Дж, ¡не f) Eabs = 6 Дж

Рис. 15. Результаты моделирования показаний РЭОК (слева) и энергетический баланс системы (справа) для пены TAC (9.1 мг/см3, 3 гармоника лазера, толщина фольги 5 мкм) в расчетах при разных энергиях выстрелов.

Ь) Eabs= 130 Дж

о 0,0

d) Eabs

с) Eabs = 50 Дж; 1нс

a) Eabs= 130 Дж; 0,6нс

0.02 г

а) выстрел № 28256: Elas= 174 Дж; 2нс Ь) выстрел № 28270: Elas = 177Дж; 2нс

Рис. 16. Показания РЭОК для пены TAC TAC (4.5 мг/см1, 1 гармоника лазера, толщина фольги 5мкм) в экспериментах.

a) Eabs = 50 Дж; 1нс h) Eabs = 50 Дж

с) Eabs = 10 Дж, 1нс d) Eabs = 10 Дж

Рис. 17. Результаты моделирование показаний РЭОК (слева) и энергетический баланс системы (справа) для пены TAC (4.5 мг/см1, 1 гармоника лазера, толщина фольги 5мкм) в расчетах при разных энергиях выстрелов.

TAC_NonEq

4.5mg/cc

10J

0,0 O.OOEtOOO

5.00Е-010 1.00Е-009

t

Добавление тяжелых кластеров меди (9.9% по массе) в пену TAC значительно усиливает механизмы оптического сглаживания неоднородностей. Добавление кластеров тяжелых элементов приводит к существенной доли лазерного излучения, преобразованного в рентгеновское, которое выносится вовне из мишени, при этом, естественно, уменьшается интенсивность газодинамического движения. Результаты показаний РЭОК можно увидеть на рис. 18, и соответствующие результаты моделирования показаний РЭОК и баланс энергии -на рис.19.

База данных оптических коэффициентов DESOPLA содержит коэффициенты, равновесные по ионному составу, а также рассчитанные при учете неравновесности ионного состава плазмы. Как было показано Н.Н.Калиткиным в 2008 году, эффекты неидеальности плазмы очень слабо влияют на термодинамические функции, но оказывают влияние на ионный состав. Сравнение результатов при одной и той же энергии выстрелов с равновесными по ионному составу коэффициентами поглощения из базы данных DESOPLA и с неравновесными (рис.19), показывает, что при использовании неравновесных коэффициентов в расчете значительно увеличивается вынос энергии вовне и замедляется скорость рентгеновского фронта. Таким образом, использование неравновесных по ионному составу коэффициентов в большей мере отвечает физической ситуации в эксперименте.

Сводные данные по вложенным в пористые мишени энергиям и скоростям рентгеновского и гидротеплового фронтов, наблюдаемых в экспериментах и полученных в расчетах, представлены в Таблице 5.

а) выстрел № 28211, Е1ю= 158,6 Дж б) выстрел № 28220, ЕШ= 155 Дж

Рис. 18. Показания РЭОК для пены ТАС+9.9%Си (9.1 мг/см3, 3 гармоника лазера, фольга 5мкм) в эксперименте.

ТАС+9 9%Си

е) ЕаЬн = 1НДж; 1нс. /) ЕаЬ* = 18 Дж

Равновесные к-ты поглощения.

р=9 НЮ'д/ст

2.00Е-010

4.00Е-010 6.00Е-010 рй

8.00Е-010

а) ЕаЬь = 130Дж; 1нс. Равновесные коэффициенты поглощения

с) ЕаЬа = 130 Дж; 1нс. Неравновесные к-ты поглощения

Ь) КаЬх = 130Дж

Л) ЕаЬх = 130Дж

о

0-0 5.0x10

1.0x10'' 1.5x10"' Ите(8)

2.0x10"

ТАС+9.9%Си 9.1 тд/сс; Зw Ет = 1SJ

1.0x10' 1.5x10' 2,0x10 йте(5)

00 5.0x10"

Рис. 19. Моделирование показаний РЭОК (слева) и энергетический баланс системы (справа) для пены ТАС+9.9%Си (9.1 мг/см1, 3 гармоника лазера, фольга 5мкм) в расчетах при разных энергиях выстрелов.

Таблица 5.

Сравнение экспериментальных и численных результатов по скорости рентгеновского фронта в зависимости от выбранной поглощенной энергии.

Свойства мишени № выстрела Е,Дж V, (10'см/с) Vht (10' см/с)

9,1 мг/см3, Зсо ср. данные 7.7 2.4

28205 170 6.6 2.8

28207 157.5 11. 1.8

28218 94 10. 2.5

28232 163 9. 3.3

моделирование 130 13.1 5.0

моделирование 50 7.2 3.8

моделирование 6 3-5.4 2.5

4,5 мг/см3,1ю 28268 173 2.9

28256 174 3.0

моделирование 50 4.7

моделирование 10 3

ТАС+ Си 9,1 мг/см3,3(9 ср. данные 7.5 2.7

28211 159 8 2.8

28220 155 6.4 3

моделирование 130 Eq 12.4 5.7

моделирование 130 NE И. 4.2

моделирование 18 3.6 1.9

Таблица 5 показывает, что скорости рентгеновского и гидротеплового фронтов, полученные в экспериментах, измеряются неустойчиво. Сравнение теоретических и экспериментальных результатов позволяет сделать следующие выводы. 1) Перенос излучения определяет перераспределение энергии в системе. 2) Использование неравновесных по ионному составу коэффициентов поглощения в большей мере отвечает результатам экспериментов. 3) Величина поглощенной лазерной энергии составляет 30-40% от заявленной в эксперименте.

Для примера приведем сравнение для аналогичных экспериментов на установке LIL. Поток лазерной энергии на поверхности мишени того же порядка, что и на установке PALS. Существенное отличие заключается в длительности импульса (около 3 не) и размере пятна на поверхности мишени (радиус 500 мкм). Приведем данные по полной лазерной энергии и пропущенной энергии, полученные в эксперименте и в расчете (рис. 20 и рис. 21).

---- ЧЛ'Чк»

-

-05 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Рис.20. Временные зависимости падающей, пропущенной и отраженной лазерной мощности для эксперимента 1ЬРЗ.

3x10,!

2x10"

иГ %

1x10"

0.0 1,0x10" „„ 2,0x10" 3,0x10'

Рис.21. Временные зависимости падающей и пропущенной лазерной мощности при моделировании эксперимента 1ЬРЗ. Плотность ТМРТА однородна.

4000- ^аЬя

3500-

3000-

2500-

^ 2000 -п)1500- О) ш 1000500- / ^т'.вггв! / / / Р ---- ..... Е

П- /.и,^'--

" -----■-1-1-1-■-1-■-

0,0 1,0x10'9 2,0x10'' 3,0x10'8 4.0x10 е

Рис. 22. Баланс энергий для моделирования эксперимента 1ЬРЗ на установке 1ЛЬ.

Оценки величины компонентов баланса энергии, сделанные авторами экспериментов на 1ЛЬ, практически точно совпадают с результатами моделирования (см. рис. 22), кроме одного пункта: авторы оценивали потери на рентгеновское излучение нагретой плазмы в 100 Дж и признали, что в своих оценках потеряли по крайней мере порядок величины. При математическом моделировании баланс энергий сходится и представлен на рис. 22. Нетрудно видеть, что потери на излучение составляют значительно большую величину, чем в физических оценках, - 1200-1500 Дж.

Результаты Главы 4 опубликованы в работах [18-25].

В Главе 5 описан метод пересчета усредненных по спектру сечений для динамического моделирования саморсгулируемых нейтронно-ядерных режимов. Методы эффективного понижения размерности уравнения переноса на основе квазидиффузионного подхода позволяют получить эффективную одногрупповую систему уравнений для полного скалярного и векторного потока нейтронов, которая может быть объединена в динамическом расчете с уравнениями выгорания, реакторной кинетики и управления.

Исследование саморегулируемых нейтронно-ядерных режимов (СНЯР) в активных зонах (АЗ) быстрых реакторов требуют динамического моделирования процессов, происходящих в АЗ. Эти процессы описываются уравнениями переноса нейтронов, выгорания и реакторной кинетики, а также введенного управления. Идея СНЯР первого рода (СНЯР-1) бьиа предложена Л.П.Фсоктистовым в 1988 году для гомогенной зоны. Она заключалась в том, что если в АЗ критическая концентрация плутония-239 ниже равновесной, то может возникнуть саморегулируемый режим, в котором концентрация плутония-239 со временем слегка растет, подтягиваясь к равновесной. В.Я.Гольдиным с сотрудниками в 1992г. были начаты работы по математическому моделированию СНЯР. Была подтверждена возможность реализации СНЯР-1, и в 1995г. был предложен СНЯР-2, основанный на гетерогенности АЗ. Введение зон малого обогащения (в которых концентрация плутония ниже равновесной) и зон большого обогащения (в которых концентрация выше равновесной) в АЗ позволяет значительно улучшить параметры саморегулируемого режима по длительности кампании, равномерности энерговыделения во времени и пространстве. Предложенное управление, при котором выведение поглотителя (карбида бора) из АЗ используется только в самом начале кампании для вывода реактора на режим, а затем используется только тонкое управление введением соединений обедненного урана, позволяет осуществить работу АЗ реактора в СНЯР-2 в течение трех лет и более, что существенно превышает реакторную кампанию существующих и проектируемых быстрых реакторов, составляющую 140 суток. При этом (кроме первых 10-20 суток до установления режима) реактор работает без запаса реактивности.

Так как было совершенно очевидно, что создаваемая модель должна быть динамической и включать уравнения выгорания и кинетики, то первоначальная модель была одномерно-цилиндрической, позволявшей хорошо представить главную физическую суть явлений. Надо четко представлять себе, что и в настоящее время полный нестационарный многогрупповой расчет уравнения переноса нейтронов совместно с уравнениями выгорания и кинетики с учетом запаздывающих нейтронов (и других процессов) в многомерных геометриях является чрезвычайно трудоемким делом, возможным в единичных ситуациях на высокопроизводительных машинах. Трехмерные расчеты ядерных реакторов чаще всего

сводятся к решению стационарных уравнений диффузии, реже - переноса. Метод квазидиффузии позволяет эффективно понижать размерность задачи, сводя ее к нестационарной усредненной одногрупповой, численное решение для которой совместно с уравнениями выгорания и кинетики ищется на каждом шаге по времени. При этом многогрупповая система уравнений переноса нейтронов с квазидиффузией в квазистационарном приближении время от времени пересчитывается, так что усредненные микросечения реакций со временем также изменяются в соответствии с изменением спектра.

Улучшение математической модели велось постепенно: сначала были введены в расчет двумерные утечки через торцы реактора на основе расчета двумерного одногруппового уравнения диффузии, а потом и одногруппового уравнения переноса с квазидиффузией, усредненные коэффициенты для которого были получены в ходе одномерного расчета. В диссертации описывается переход к двумерной многогрупповой задаче решения уравнения переноса и получение эффективной одногрупповой системы уравнений квазидиффузии для дальнейшего использования в нестационарном двумерном расчете совместно с уравнениями выгорания и кинетики. Заметим, что в предлагаемом СНЯР-2 для реактора реального типа отпадает необходимость в тяжелой системе компенсирующих стержней, управление реактором значительно облегчается, поэтому геометрия реактора лишается сильной асимметрии и практически близка к двумерной цилиндрической геометрии.

Расчеты в настоящей работе выполнены для стандартного 26-группового приближения библиотеки БНАБ-93.

Поскольку саморегулируемый нейтронно-ядерный режим поддерживает в реакторе квазистационарное распределение скалярного потока нейтронов у/р с очень малой постоянной времени Я, будем решать стационарное уравнение переноса нейтронов, которое в r-z-геомстрии имеет вид:

óz dr г дв> vp 2ж7Ц ¿

6 (15)

Здесь угловые переменные азимутальный угол ве [0,;г], полярный угол (ре [0,2;г],

=cas9, £lr = sinocos <р, Q.T = -sinflsinf>, dQ. = sin BdOdip, (16)

Первый член справа в (15) отвечает рассеянию всех видов из высокоэнергетичных групп и внутри рассматриваемой группы; для быстрых реакторов рассеяния с увеличением энергии

нет. Остальные два члена описывают размножение нейтронов, включая учет запаздывающих нейтронов; (У - возможный внешний источник нейтронов.

£

Для всех процессов предполагается Ы(т = ^1Ы'сг', где Ь - количество

/. т

рассматриваемых элементов в цепочке превращений, включая все изотопы, V -концентрация изотопа номера 1.

В соответствии с общепринятыми обозначениями:

• о>= гт, + я/ + (Гщ + п„2п + о^л - полное сечение всех процессов столкновения нейтронов в

группер (р=1,...,Р), включая:

• Чф) + - сечение рассеяния (упругое и неупругое);

• о„2„ -сечение поглощения нейтрона с рождением двух нейтронов;

• а, - суммарное сечение рассеяния и реакций п~*2п, п—>3п;

• и^(П-А') - индикатриса рассеяния;

• а/- сечение деления;

• «Тлу - сечение поглощения нейтрона с излучением у кванта; •/?*- доля запаздывающих нейтронов в группе к,

• [¡¿Р - доля группы g в запаздывающих нейтронах;

- доля нейтронов деления группы к, попадающих в группу р;

- доля запаздывающих нейтронов группы g, попадающих в группу р;

• сг - концентрация предшественников запаздывающих нейтронов;

• = 1п 2 / Г,, Те - период полураспада предшественников запаздывающих нейтронов группы g.

б

Условие нормировки: ^ Ре = р.

*=1

В диссертации описаны квазидиффузионные преобразования членов рассеяния и деления в правой части уравнения переноса, позволяющие привести это уравнение к виду

_ ЭФ" „ ЭФР £2 ЭФ' ... . Л^. 1 аг аг г оф V 4л

+ 5 / 2и£„ (3(П2гО* + 2£1Г£120* + + £1^)-!)/} +

+

= (17)

В этой форме уравнений важно, что члены рассеяния и деления приводятся к виду, содержащему полные и групповые скалярный и векторный потоки, а также ряд

коэффициентов, усредняемых по спектру решения (члены с чертой сверху). При этом в соответствии с методом квазидиффузии групповые скалярные и векторный потоки нейтронов находятся из независимой системы многогрупповых уравнений квазидиффузии. Эта система для задачи на собственные значения имеет вид (18)-(20), а для пересчета сечений при известной постоянной времени имеет вид (21)-(23): тгр | 1 д(г№г")

дг г дг

_ _ (18)

+а-ршомг+емрсн-гЫ,

ог г ог 4=1

г Эг__У _ (21)

4.1

(22) (23)

В методе квазидиффузии (при малой анизотропии рассеяния) главные члены рассеяния внутри самой р-ой группы переносятся налево для нулевого и первого моментов разложения индикатрисы рассеяния по полиномам Лежандра, т.е. учитывается их главная часть. Решение для скалярного и векторного потока зависят от второго (и, возможно, более высоких) моментов индикатрисы рассеяния только через коэффициенты квазидиффузии, поэтому итерации по рассеянию объединяются с итерациями члена деления. В правой части уравнений (18)-(20) или (21)-(23) первая сумма отвечает рассеянию из энергетически более высоких групп, и к моменту расчета данной группы р эти члены на данной итерации источника уже известны. Этим расчет реактора на быстрых нейтронах выгодно отличается от аналогичного расчета реакторов на тепловых нейтронах, где существует рассеяние из низкоэнергетических групп в группы с большей энергией. Остальные два члена деления в (18) или (21) не могут быть определены до решения системы (18)-(20) или (21)-(23) для всех групп, поэтому они берутся из решения усредненных по энергии уравнений квазидиффузии с предыдущей глобальной итерации.

Усреднение в одну группу (21)-(23) производится по аналогии с методом, который был разработан для задач переноса излучения. Полученная система эффективных одногрупповых уравнений квазидиффузии может быть записана не в квазистационарном приближении, а в нестационарном виде, пригодном для динамического расчета (усреднение уравнений для поиска собственного значения аналогичны)

+ +апг-<х„2„ -2<т„„> = N (а/У - (24)

у д( дг г дг

= . , (25)

дг г дг

+ + + (26) дг дг г

Правые части Л2 и <1, включают в себя как просуммированные по всем группам правые части

уравнений (19)-(20), так и добавки, связанные с возможным знакопеременным усреднением

в левых частях уравнений. Для ряда задач эти добавки не очень существенно влияют на

расчет критических параметров, но с увеличением геометрических размеров АЗ быстрых

реакторов влияние этих поправок становится существеннее.

Таким образом, при нахождении собственного значения вместо двойного цикла итераций (по рассеянию и делению и для нахождения р или метод квазидиффузии позволяет использовать один, причем быстро сходящийся. Проведенные расчеты активных зон быстрых реакторов типа БН-800 и БОР-бО, способных работать в СНЯР-2, потребовали 8-20 итераций для нахождения Кф В обычно используемых методах источника суммарное число итераций по рассеянию и делению (т.е. количество решений многогруппового уравнения переноса для определения значительно больше. Нахождение критических параметров начальной сборки делает необходимым еще один итерационный процесс приведения Кец к единичному значению методом секущих.

На основании предложенных методик были рассчитаны критические параметры реакторов БОР-бО и реактора типа БН-800, которые способны работать в СНЯР-2. Оптимизация режима СНЯР-2 по длительности кампании, равномерности энерговыделения во времени и пространстве требует большого количества динамических расчетов. Для их проведения используется более дешевая полуторамерная модель, использующая двумерные утечки через торцы реактора. В диссертации предложено ее улучшение введением не только средних утечек, но и утечек в каждой группе.

Результаты Главы 5 опубликованы в работах [26-31].

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Созданы эффективные методики и комплексы программ решения многогруппового уравнения переноса совместно с квазидиффузией для решения задач переноса излучения в сплошной среде. Предложенные методы обладают повышенными свойствами монотонности и учитывают особенности решения. Методы эффективного понижения размерности уравнения переноса позволили создать экономичную и точную методику, учитывающую взаимное влияние переноса фотонов и газодинамических процессов в системе.

2. Предложен метод учета сильной анизотропии рассеяния в уравнении переноса, значительно сокращающий количество итераций по рассеянию. Решен ряд задач атмосферной радиации с рассеянием на аэрозолях и облаках, обладающих особенностью преимущественного рассеяния вперед. Применение предложенного метода учета анизотропии рассеяния совместно с методом лебеговского усреднения по частоте (А.В.Шильков) позволило получить прецизионные результаты, не имевшие аналогов в мире, для задачи об энергетическом балансе атмосферы Земли.

3. На основании разработанных автором методик расчета переноса излучения и известных газодинамических методик создан программный комплекс LATRANT для моделирования задач радиационной газовой динамики в r-z-геометрии при существенной роли собственного излучения плазмы. Полномасштабное моделирование задач УТС позволило объяснить экспериментальные результаты, полученные на установках PALS и LIL.

4. Создан эффективный метод и комплекс программ расчета многогрупповой системы уравнений переноса нейтронов с квазидиффузией в двумерной r-z геометрии, значительно сокращающий число итераций по рассеянию и делению, применяемый для проведения поисковых работ по оптимизации активных зон быстрых реакторов нового типа, предложенных и разрабатываемых в ИММ РАН, которые обладают повышенными свойствами безопасности и экономичности.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Е.Н. Аристова, Д.Ф. Байдии, В.Я. Гольдии. Два варианта экономичного метода решения уравнения переноса в r-z геометрии на основе перехода к переменным Владимирова // Математическое моделирование, 2006, т. 18, № 7, стр.43-52.

2. D.F. Baydin, E.N. Aristova, V.Ya. Gol'din. Comparison of the efficiency of the transport equation calculation methods in characteristics variables // Transport Theory and Statistical Physics, 2008, v.37, № 2&4, pp. 286-306.

3. Е.Н. Аристова, A.B. Колпаков. Комбинированная разностная схема для аппроксимации эллиптического оператора на косоугольной ячейке // Математическое моделирование, 1991, т.З, №4, стр.93-102.

4. Д.Ю. Анистратов, Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин. Нелинейный метод решения задач переноса излучения в среде // Математическое моделирование, 1996, т.8, №12, стр.З-29.

5. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин, А.В. Колпаков. Методика расчета переноса излучения в теле вращения // Математическое моделирование, 1997, т.9, №3,с.91-108.

6. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин, А.В. Колпаков. Перенос излучения через кольцевую щель в теле вращения // Математическое моделирование, 1997, т.9, №4, с.3-10.

7. E.N. Aristova, V.Ya. Gol'din, A.V. Kolpakov. Multidimensional Calculations of Radiation Transport by Nonlinear Quasi-Diffiisional Method. Proceedings of the Joint Intern.Conference M&C99 on Mathematics and Computation, Reactor Physics and Environmental Analysis in Nuclear Applications, Published by Senda Editorial, S.A. Isla de Saipan, 47, 28035 Madrid, Spain, v.l, p.667-676.

8. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин. Эффективное понижение размерности уравнения переноса. Энциклопедия низкотемпературной плазмы, 2000, Вводный том, т. 1, с. 462-471.

9. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин. Нелинейное ускорение итераций решения эллиптических систем уравнений // Математическое моделирование, 2001, т. 13, № 9, с. 82-90.

10. Е.Н. Аристова. Аналог монотонной схемы для решения несамосопряженной системы уравнений квазидиффузии в r-z-геометрии И Математическое моделирование, 2009, т.21, № 2, с. 47-59.

11. E.N. Aristova. Simulation of radiation transport in channel on the basis of quasi-diffusion method // Transport Theory and Statistical Physics, 2008, v.37, № 5&7, pp. 483-503.

12. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдии. Метод учета сильной анизотропии рассеяния в уравнении переноса // Математическое моделирование, 1997, т.9, №6, с.39-52.

13. E.N. Aristova, V.Ya. Gol'din. The method of consideration of a strong scattering anisotropy in transport equation. Proceedings of the Joint International Conference on Mathematical Methods and Supercomputing for Nuclear Applications, Saratoga Springs, New York, October 5-9, 1997, American Nuclear Society, Inc., La Grange Park, Illinoise 60526 USA,vol.2, pp. 1507-1516.

14. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин. Расчет анизотропного рассеяния солнечного излучения в атмосфере (моноэнергетический случай) // Математическое моделирование, 1998, т.10, №9, с. 14-34.

15. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин, А.В. Шильков, С.В. Шилькова. Система ATRAD для расчетов атмосферной радиации: расчеты солнечного излучения для летней атмосферы средних широт // Математическое моделирование, 1999, т. 11, N5, с. 117125.

16. А.В. Шильков, С.В. Шилькова В.Я. Гольдин, Е.Н. Аристова. Экономичные прецизионные расчеты атмосферной радиации на основе системы ATRAD // ДАН, 1999, т.369, №5, с.611-613.

17. E.N. Aristova, V.Ya. Gol'din. Computation of anisotropy scattering of solar radiation in atmosphere (monoenergetic case) // Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer, 2000, v. 67, p. 139-157.

18. Е.Н. Аристова, А.Б. Искаков. LATRANT: двумерная лагранжевая методика расчета течений излучающего газа в приложении к задачам УТС // Математическое моделирование, 2004, т. 16 №3, с.63-77.

19. E.N. Aristova, А.В. Iskakov, I.G. Lebo, V.F. Tishkin. 2D Lagrangian code LATRANT for simulation radiation gas dynamic problems. Proceedings of SPIE, v. 5228, ECLIM2002, Editors: O.N.Krokhin, S.Y.Gus'kov, Yu.A.Mercul'ev, December 2003, pp. 131-142.

20. Е.Н. Аристова, Д.И. Асоцкий, В.Ф. Тишкин. О параллельном алгоритме расчета течений излучающего газа LATRANT-P // Математическое моделирование, 2004, т. 16 №4, с.105-113.

21. Е.Н .Аристова, И.Г. Лебо, В.Ф. Тишкин. LATRANT: двумерная программа для моделирования газодинамических течений с существенным переносом радиации // Вестник Нижегородского ун-та им. Н.И.Лобачевского, Серия «Математическое моделирование и оптимальное управление», 2005, вып. 1(28), стр.22-29.

22. Е.Н. Аристова. Изучение разлета многослойных фольг под действием лазерного излучения на основе программного комплекса LATRANT. Математика. Компьютер.

Образование: Сб. научных трудов. Том. 2, под ред. Г.Ю.Ризниченко. - М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2006, с. 146-157.

23. Е.Н. Аристова. Моделирование процессов переноса энергии лазерного импульса при существенной роли собственного излучения плазмы на основе комплекса LATRANT. В сб.: Проблемы вычислительной математики, математического моделирования и информатики, МЗ Пресс, Москва, 2006, с. 7-33.

24. V. Rozanov, D. Barishpoltsev, Е. Aristova and others. Energy transfer in low-density porous targets doped by heavy elements // Journal of Physics: Conference Series, 2008, v. 112,022010, (4pp).

25. Е.Н. Аристова, E.M. Иванов, О.Б. Денисов, Н.Ю. Орлов. База данных оптических коэффициентов плазмы DESOPLA и ее использование в программном комплексе LATRANT для решения задач инерциального термоядерного синтеза // Математическое моделирование, 2008, т. 20, №12, стр.3-14.

26. В.Я. Гольдин, Г.А. Пестрякова, Ю.В. Трощиев, Е.Н. Аристова. Исследование саморегулируемого нейтронно-ядерного режима 2-го рода в быстром реакторе // Математическое моделирование, 2000, т. 12 № 4, с. 33-38.

27. В.Я. Гольдин, Г.А. Пестрякова, Ю.В. Трощиев, Е.Н. Аристова. Саморегулируемый нейтронно-ядерный режим в реакторе с жестким спектром и карбидным топливом // Математическое моделирование, 2002, т. 14, № 1, с. 27-40.

28. В.Я. Гольдин, Г.А. Пестрякова, Ю.В. Трощиев, Е.Н. Аристова. Быстрый реактор на оксидном уран-плутониевом топливе в саморегулируемом режиме II Атомная энергия, 2003, т.94, вып.З, стр.184-190.

29. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин. Расчет уравнения переноса нейтронов совместно с уравнениями квазидиффузии в r-z геометрии // Математическое моделирование, 2006, т. 18 № 11,с.61-66.

30. V.Ya. Gol'din, E.N. Aristova, G.A. Pestryakova, M.I. Stoynov, Yu.V. Troschiev. Active zone of the safe fast uranium-plutonium reactor working without a reactivity margin during long time. International congress on advances in nuclear power plants. International congress on advances in nuclear power plants, Proceedings of ICAPP 2007, May 13-18, 2007, Nice, France, paper 7133,7pp.

31. Е.Н. Аристова, В.Я. Гольдин. Экономичный расчет многогруппового уравнения переноса нейтронов для пересчета усредненных по спектру сечений // Математическое моделирование, 2008, т.20, № 11, стр. 41-54.

Подписано в печать 12.02.2009 г. Печать лазерная цифровая Тираж 100 экз.

Типография Aegis-Print 115230, Москва, Варшавское шоссе, д. 42 Тел.: (495) 785-00-38 www.autoref.webstolica.ru

Введение

Глава 1. Решение уравнение переноса в r-z геометрии в собственных характеристических переменных 1.1.1. Постановка задачи

1.1.2. Переход к переменным Владимирова

1.1.3. Угловая дискретизация 3 О

1.1.4. Характеристический и консервативно-характеристический методы решения

1.1.5. Анализ аппроксимации функции распределения на логарифмических разрывах

1.1.6. Интегрирование по углам

1.1.7. Результаты численного исследования

Глава 2. Решение уравнений квазидиффузии при слабой анизотропии рассеяния

§2.1. Построение комбинированной разностной схемы для уравнений диффузии на косоугольной ячейке

2.1.1. Постановка задачи

2.1.2. Построение разностной схемы

2.1.3. Метод решения системы разностных уравнений

2.1.4. Численные исследования

§2.2. Нелинейное ускорение итераций решения эллиптических систем уравнений

2.2.1. Введение

2.2.2. Метод моментов

2.2.3. Нелинейный метод ускорения

2.2.4. Результаты расчетов

§2.3. Квазидиффузионный метод решения многогрупповой системы уравнений переноса и энергии для вещества

2.3.1. Многогрупповая система уравнений переноса и квазидиффузии при слабой анизотропии рассеяния

2.3.2. Разностная схема для уравнения переноса

2.3.3. Разностная схема для уравнений квазидиффузии

2.3.4. Эффективная одногрупповая система уравнений квазидиффузии и уравнение энергии вещества

2.3.5. Совместное решение усредненных уравнений квазидиффузии и уравнения энергии

2.3.6. Введение производной Фреше от усредненного коэффициента поглощения

2.3.7. Организация итерационного процесса

2.3.8. Результаты расчетов

§2.4. Аналог монотонной схемы для несамосопряженной системы уравнений квазидиффузии

2.4.1. Постановка задачи

2.4.2. Различные формы записи многогрупповой системы уравнений квазидиффузии

2.4.3. Гибридная разностная схема для групповых уравнений квазидиффузии 104 2.4.5. Результаты расчетов

Глава 3. Метод учета сильной анизотропии рассеяния.

Климатические задачи

§3.1. Метод учета сильной анизотропии рассеяния в обычной схеме квазидиффузии

3.1.1. Введение

3.1.2. Квазидиффузионная система уравнений при наличии анизотропии рассеяния и граничные условия отражения

3.1.3. Учет сильной анизотропии в уравнении переноса

3.1.4. Исследование скорости сходимости метода

§3.2. Метод учета сильной анизотропии рассеяния в потоковой схеме квазидиффузии при наличии сосредоточенного источника излучения

3.2.1. Введение

3.2.2. Метод лебеговского усреднения

3.2.3. Разложение решения на компоненты

3.2.4. Численная схема

3.2.5. Результаты расчетов

§3.3. Использование предложенного метода учета анизотропии рассеяния в совокупности с методом лебеговского усреднения по частотам

Глава 4. LATRANT: двумерная лагранжевая методика расчета течений излучающего газа в приложении к задачам ИТС Программный комплекс LATRANT и его применение к решению задач УТС

§ 4.1. Введение

§ 4.2. Методика расчета

4.2.1. Постановка задачи

4.2.2. Дискретизация и алгоритмы решения разностных задач

4.2.3. Дискретизация и решение уравнений газовой динамики

4.2.4. Решение групповых уравнений переноса, определение коэффициентов квазидиффузии и решение системы уравнений квазидиффузии для групповых плотности и потока излучения

4.2.5. Усреднение групповых уравнений квазидиффузии

4.2.6. Решение усредненных уравнений квазидиффузии совместно с уравнениями энергии

4.2.7. Контроль энергетического баланса в системе

4.2.8. Сравнение квазиодномерных тестовых расчетов с использованием модели многогруппового переноса и трехтемпературной модели

4.2.9. Двумерные расчеты неоднородного радиационного сжатия внешним излучением

5.1.2. Постановка задачи для многогруппового уравнения переноса 245

5.1.3. Многогрупповые уравнения квазидиффузии 251

5.1.4. Усреднение в одногрупповую систему уравнений квазидиффузии 255

5.1.5. Организация итерационного процесса 257

5.1.6. Результаты расчетов 259 Заключение 265 Литература 268

Введение

Во многих задачах математической физики, таких как математическое моделирование процессов, протекающих в звездах, в задачах управляемого термоядерного синтеза, при разработке теплозащиты летающих аппаратов, в медицинских приложениях использования лазера и многих других возникает необходимость численного решения многомерного уравнения переноса излучения [1-3]. При проектировании активных зон реакторов и в задачах защиты реакторов встает задача нахождения решения уравнения переноса нейтронов, во многом родственного уравнению переноса излучения [4-9]. Уравнение переноса является линейным интегро-дифференциальным уравнением первого порядка относительно функции распределения частиц (фотонов или нейтронов). Отличает эти два типа уравнений переноса структура правой части, отвечающая за источники возникновения частиц. Соответственно, могут отличаться и постановки задач для переноса излучения и нейтронов: если для переноса излучения ставится начально-краевая задача, то в задачах переноса нейтронов помимо начально-краевой задачи возможна постановка задачи на нахождение собственных значений. Однако многие проблемы решения для обеих разновидностей уравнения переноса являются общими.

Первые численные методы решения этого уравнения были созданы в ходе работы над советским и американским атомными проектами и касались, главным образом, решения уравнения переноса в одномерной сферической геометрии. Практически это был первый опыт численного решения уравнений в частных производных. Первые предложенные методы интегрирования уравнения переноса можно разделить на два больших класса: это методы, которые в дальнейшем стали называться Sn методами Карлсона (в советском атомном проекте его аналогом был КН метод В.Я.Гольдина)

10-13] и характеристические методы, самым знаменитым из которых является метод Владимирова [14-17]. Если Sn методы восходят к разностной аппроксимации непосредственно уравнения в частных производных, то характеристические методы базируются на сведении уравнения переноса к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) вдоль некоторого набора характеристик или на представлении уравнения переноса в интегральной форме. Соответственно достоинства и недостатки у каждого из этих классов методов свои. К достоинствам Sn метода нужно отнести консервативность (при разностной аппроксимации уравнения, записанного в в дивергентной форме), возможность включения в расчет учета других физических процессов, легко достижимую аппроксимцию второго порядка точности, а к недостаткам — по теореме Годунова [17] следующую из второго порядка аппроксимации теоретичекую и практическую немонотонность метода [17], а во многих практически важных случаях и неположительность схемы. В свою очередь, методы характеристик тоже можно разделить на два больших подкласса: метод длинных характеристик и метод коротких характеристик. По-видимому, на сегодняшний день метод длинных характеристик может обеспечить любую точность решения при использовании, во-первых, соответствующего метода решения ОДУ и, во-вторых, тщательно подобранного набора характеристических направлений [20-22]. Метод Владимирова является примером блестящего сочетания метода длинных характеристик и относительной экономичности метода, достижимой в одномерных сферической и цилиндрической геометриях [1416]. Однако в более сложных геометриях метод длинных характиристик, для которого решение в заданной точке пространства получается численным интегрированием ОДУ по всей характеристике, начиная от границы, является слишком затратным. Кроме того, метод характеристик без дополнительных условий не обеспечивает консервативности, а неудачный выбор характеристических направлений может приводить к так называемому «эффекту луча» [23], при котором среди выбранных направлений в данной точке может отсутствовать направление «на источник», обеспечивающий главную часть, например, плотности частиц. Угловая гетерогенность решения в заданной точке является неотъемлемым свойством решения уравнения переноса при пространственной гетерогенности распределения источников. «Эффект луча» оказывается особенно неприятным при расчете потоков в удаленных от источника неоднородностях, что приводит к сильной чувствительности методов характеристик к выбору угловой сетки. В методах коротких характеристик решение в заданном узле разностной сетки ищется интегрированием не от границы всей расчетной области, а интегрированием вдоль отрезка характеристики, приходящей в узел с освещенной грани расчетной ячейки. Этот метод сталкивается с необходимостью многократных интерполяций на освещенных гранях для получения значения в точке ухода характеристики, что ухудшает качество получаемого численного решения по сравнению с методом длинных характеристик.

Примерно одновременно с Sn методом и методом характеристик был предложен метод прямого интегрирования Рихтмайера [24]. Несколько позже для случая сферической геометрии был предложен метод характеристических трубок Трощиева, объединяющий достоинства Sn и характеристического методов, однако тяжело распротраняемый на случай учета других физических процессов и многомерных геометрий [25]. Тогда же был предложен дискретный Sn метод (D Sn метод) [12].

Простота реализации Sn метода в многомерных геометриях, второй порядок аппроксимации и консервативность сделали Sn метод весьма привлекательным в глазах многих поколений вычислителей [26-38].

Следующим классом предложенных схем повышенного порядка аппроксимации для решения уравнения переноса стали моментная Diamond Difference (DD) схема, использующая только основное уравнение баланса, и родственные ей нодальные схемы, увеличивающие порядок аппроксимации с увеличением числа используемых уравнений баланса [39,40].

Варьируя форму дополнительных соотношений DD схемы, удается улучшить качество сеточного решения, не отказываясь от второго порядка аппроксимации. При этом прибегают, например, к учету в дополнительных соотношениях эффекта криволинейности расчетной ячейки в (r,z) геометрии [41], к разбиению ячейки на части отрезками характеристик исходного уравнения [32] или отрезками, параллельными граням ячейки [34,36], к многошаговым схемам [42], к аппроксимации уравнения в интегральной форме [43], а также представление решения в ячейке в виде билинейной [35] или экспоненциальной функции [33]. Аналогичным образом удается улучшить качество нодальных схем с большим числом моментов. При этом используется полиномиальное [21], кусочно-полиномиальное [43] или экспоненциальное представление решения [44]. Однако эти улучшенные схемы не являются безусловно положительными и монотонными. Как уже было сказано, решение, полученное из неположительной схемы, может содержать отрицательные скалярные потоки, и сгущение сеток все равно может приводить к появлению у решения нефизических осцилляций большой амплитуды. Метод, соединяющий характеристический подход с сохранением консервативности, предложен в [45]. Порядок положительной и монотонной схемы можно повысить, увеличив число уравнений баланса [46] Во всех методах такого типа встает задача распределения выходящего потока по граням ячейки. Некорректность распределения потоков по граням ячейки приводит к большим ошибкам при расчете сингулярных решений (например, в задачах с сильно гетерогенными средами или сосредоточенными источниками). Требование корректности распределения потоков - основа построения некоторых одношаговых схем первого порядка точности (SC и VW схемы, [48]). Преобразование SC схемы к двухшаговой форме [49] существенно повышает точность расчета задач с сосредоточенными источниками.

Чтобы соединить в рамках единой сеточной схемы высокий порядок аппроксимации и свойства положительности и монотонности, переходят к нелинейным схемам, т.е. взвешенным схемам с весовыми параметрами, зависящими от сеточного решения. Первоначально расчет ячейки выполняется со значениями параметров, отвечающих наибольшему из возможных порядков аппрксимации. Если полученное решение не удовлетворяет условию положительности и/или монотонности, проводится коррекция сеточного решения: ячейка пересчитывается со значениями параметров, гарантирующих полное или частичное выполнение рассматриваемых условий. При коррекции порядок схемы снижается. Наиболее известными из нелинейных схем являются взвешенная алмазная схема WDD [48], 9WDD [51-53], адаптивные AWDD [54,28], адаптивные нодальные схемы [55].

Расчет по нелинейным схемам тоже может вызывать ряд вычислительных неприятностей. Во-первых, в ситуации жесткой коррекции, когда параметры схемы меняются скачком, может приводить к отсутствию сходимости итераций по столкновениям из-за цикличности изменения решения на соседних итерациях. Однако даже в ситуации мягкой коррекции, когда параметры меняются плавно, сходимость в некоторых случаях ухудшается. Во-вторых, для схем высокого порядка аппроксимации условие положительности/монотонности может нарушаться в каждой ячейке, что влечет за собой либо ограничение области коррекции, и, следовательно, не полную монотонность, либо снижение порядка аппроксимации во всей области решения. В-третьих, в положительных и частично монотонных нелинейных схемах (например, AWDD и 9WDD) необходимость проведения коррекции и выбор ее параметров определяются априори заданными параметрами монотонизации. При этом сеточные решения с различными значениями параметров монотонизации при сгущении пространственной и угловой сеток могут сходиться к различным предельным функциям [56]. И, наконец, в сильно гетерогенных областях с сильно меняющимся точным решением задачи коррекция может заметно исказить результат. Эти обстоятельства требуют тщательного подбора параметров коррекции, которые устанавливаются, как правило, эмпирическим путем. При этом информация о поведении решения, определяющая необходимость проведения коррекции и параметры коррекции, получается с помощью неположительной и немонотонной схемы, способной исказить решение качественно.

Еще один класс монотонных нелинейных методов высокого порядка точности носит название TVD схем (Total Variation Diminish) [57-64], основанные на введение ограничений на потоки. Другой подход к построению нелинейных схем высокого порядка аппроксимации с подсеточным разрешением разрывов предложен в [65]. Этот метод использует плавающий шаблон, что позволяет определить возможное положение разрыва решения внутри ячейки. Эти методы наиболее полно применяются для конструирования схем газовой динамики.

Все, что было сказано выше, относится к разностной аппроксимации дифферетщалъного оператора в уравнении переноса. Исследование порядка аппроксимации уравнения переноса производится в предположении непрерывности и ограниченности частных производных функции распределения вплоть до некоторой степени п, отвечающей порядку главного члена погрешности аппроксимации. Однако решение задач для уравнения переноса, как правило, имеет особенности на внешних граничных поверхностях, в окрестности сосредоточенных источников, на характеристиках, касательных к поверхностям разрыва свойств среды. Это означает, что вблизи особенностей решение сингулярное, т.е. обладает большими по величине градиентами, или является недифференцируемым, или даже разрывным. Это приводит к тому, что, по утверждению Р.М.Шагалиева [66], в расчетах реальных гетерогенных задач порядок сходимости, оцениваемый по ошибке решения при сгущении сеток, в три раза меньше декларируемого порядка аппроксимации (в предположении гладкости функции и ее производных порядок сходимости и порядок аппроксимации для устойчивых разностных схем обязаны совпадать): для схем третьего порядка аппроксимации имеет место сходимость первого порядка, для схем второго порядка - сходимость порядка 0.7-0.6, а для схем первого - 0.3. При таком анализе становится ясно, что схемы первого порядка аппроксимации являются совершенно неудовлетворительными по порядку сходимости.

Для надежности проводимых расчетов необходимо использовать схему, не только обеспечивающую хорошую аппроксимацию в каждой ячейке, но и правильно передающую важные качественные свойства точного решения:

- положительность (неотрицательность решения при неотрицательных источниках и индикатрисе рассеяния);

- монотонность (сохранение в сеточном решении числа и расположения эктремумов точного решения);

- корректность распределения потоков по граням ячейки.

Трудности решения транспортного уравнения не исчерпываются только разностной аппроксимацией уравнения в частных производных. В общем случае функция распределения частиц зависит от семи переменных: трех пространственных, двух угловых, энергетической и времени. Современная эра суперкомпьютеров позволила во многом разрешить эту проблему с точки зрения памяти для задач со многими измерениями. Однако многомерные динамические расчеты в многорупповом приближении, обеспечивающем необходимую точность, даже сейчас возможны в единичных случаях на многопроцессорных вычислительных системах. Эффективные параллельные алгоритмы решения задач переноса разрабатываются во ВНИИЭФ и в ИПМ РАН им. М.В.Келдыша [66-71].

Спектральное описание решения задач переноса излучения (и переноса нейтронов) также представляет значительные трудности. Связаны они с двумя факторами. Общим местом уже является сложная зависимость коэффициентов уравнения переноса от энергии частиц. Эта сложная зависимость коэффициетов поглощения и других, входящих в уравнение, включающих как непрерывный, так и линейчатый спектры, приводит к необходимости либо использовать чрезвычайно подробную сетку по энергии (не менее 10 точек на каждую линию), либо применять некоторые приближения для описания и расчета задачи. На этом этапе введение иерархии вычислительных моделей является наиболее оправданным [72-74]. Например, в наиболее точных методах 'line-by-line' при учете всех линий поглощения атмосферными газами в задаче теплового баланса атмосферы Земли получается система уравнений переноса, содержащая порядка нескольких миллионов энергетических точек. Если учесть необходимую пространственную и угловую дискретизацию задачи, то такой расчет даже для одномерной пространственной геометрии становится возможен в единичных случаях, особенно при наличии рассеяния. Более простой моделью спектрального представления задачи является многогрупповое приближение, при введении которого используется эффективное усреднение по отрезкам частот, соответствующим некоторому разбиению энергетической шкалы. Строгое введение групповых коэффициентов поглощения возможно в ограниченном числе случаев: для оптически тонкого тела, для непрерывного спектра, для излучения, близкого к локальному термодинамическому равновесию [75]. Тем не менее, практика расчетов показывает, что для большого числа задач может быть использовано многогрупповое приближение при соответствующем выборе весовой функции. Вопрос выбора весовой функции при усреднении спектральных коэффициентов частично обсуждается в Главе IV. Аналогичная проблема усреднения возникает при расчете групповых микроконстант, требующихся для реакторных задач, т.к. при различных взаимодействиях нейтронов с ядрами также возникают резонансные области с изменением величины микросечений этих реакций на несколько порядков вблизи резонанса [6]. Еще более простой моделью является локальное представление спектральной плотности излучения в виде равновесной функции излучения абсолютно черного тела с локальной температурой, что приводит к так называемой трехтемпературной модели, требующей коэффициента поглощения, усредненного по Росселанду во всем энергетическом диапазоне. Это первый аспект проблемы спектрального представления решения. Второй заключается в том, что если трудность представляет собой вычисление и реальное использование спектральных коэффициентов поглощения в широком диапазоне температур и давлений даже в случе равновесной плазмы, для задач прохождения излучения по неравновесной плазме необходимым этапом является включение в общую схему расчета кинетики населенности уровней атомов, что ведет к дальнейшему экспоненциальному нарастанию сложности модели. Выстраивание правильной иерархии моделей и правильный выбор модели для конкретной задачи также является предметом математического моделирования.

Во многих практически важных случаях расчета задач переноса излучения нам важны его интегральные по спектру характеристики типа скалярного потока. Для этого случая А.В.Шильковым был предложен метод лебеговского усреднения по частотам, который позволяет сократить вычислительную трудоемкость задачи минимум на несколько порядков при предварительной обработке констант. Подробнее этот метод будет описан в Главе 3.

Еще одна проблема возникает в задачах с рассеянием', при наличии сильной анизотропии рассеяния метод итераций источника, который обычно применяется в этих задачах, медленно сходится. Кроме того, чем сильнее анизотропия рассеяния, тем больше членов разложения индикатрисы рассеяния по (присоединенным) полиномам Лежандра нужно использовать, и тем хуже сходятся старшие моменты функции распределения. При недостаточном количестве используемых членов разложения возможна неположительность восстановленной индикатрисы рассеяния. Ускорением итераций при сильной анизотропии рассеяния занимались многие авторы, отметим здесь работы [76-94]. Еще один возможный источник возникновения итераций - задачи на нахождение собственного значения в реакторных задачах. Обзор быстрых итерационных методов обоих типов, возникающих при решении уравнения переноса, можно найти в [95].

И, наконец, последняя проблема заключается в том, что обычно уравнение переноса должно решаться не само по себе, а в совокупности с дополнительными уравнениями, например, уравнениями газовой динамики для переноса света, или с уравнениями выгорания и реакторной кинетики для расчета активных зон ядерных реакторов. Как правило, взаимодействие различных компонентов решения такой объединенной системы приводит к нелинейности задачи, что необходимо учитывать при разработке алгоритмов численного решения.

В предлагаемой работе основой численного решения задач переноса света или частиц является метод квазидиффузии, предложенный В.Я.Гольдиным в 1964 году [93-94]. Он также относится к классу нелинейных методов решения уравнения переноса, но не к классу методов коррекции скалярного потока. Суть его сводится к постепенному понижению размерности задачи введением ряда дробно-линейных функционалов (нелинейность!), слабо зависящих от решения. Это обеспечивает, с одной стороны, автоматическую консервативность и большую точность решения, полученного из дополнительной системы уравнений квазидиффузии, а с другой - возможность эффективно строить численные алгоритмы для объединной системы полученных уравнений редуцированной размерности с уравнениями, отвечающими за другие физические процессы. Понижение размерности задачи проходит в два этапа: первый отвечает усреднению уравнения переноса по углам, после чего получаются уравнения квазидиффузии, эта процедура в каком-то смысле аналогична выводу уравнений газовой динамики из уравнения Больцмана (только с другой процедурой замыкания системы уравнений). На втором этапе происходит усреднение по энергии, результатом которого является эффективная одногрупповая система уравнений квазидиффузии для скалярного и вектроного потока (излучения или частиц), которая уже может быть объединена с уравнениями, описывающими другие физические процессы, происходящие в системе. Кроме того, использование уравнений квазидиффузии позволяет значительно уменьшить количество итераций источника в задачах с умеренной анизотропией рассеяния. В настоящей работе метод квазидиффузии был развит для эффективного расчета задач при сильной анизотропии рассеяния. Работы коллег [96-103] развивали метод квазидиффузии в одномерной геометрии и создавали начальные методики решения двумерных (квази)диффузионных уравнений, которые при неявной аппроксимации по времени приводят к эллиптическим пространственным задачам. Был создан одномерный комплекс программ для решения задач ВРГД [104-108]. Работа по исследованию устойчивости квазидиффузионного метода и по созданию методик решения двумерного уравнения переноса в методе квазидиффузии ведется параллельно в США [109-117]. В англоязычной литературе как многогрупповые уравнения квазидиффузии, так и эффективная одногрупповая система уравнений квазидиффузии называются уравнениями низкого порядка в противовес собственно уравнению переноса, которое называется уравнением высокого порядка. В большинстве работ по квазидиффузии используется регулярное вычисление интегралов, необходимых для замыкания системы уравнений квазидиффузии. Объединение квазидиффузионного подхода с методами Монте-Карло для вычисления интегралов предложено в [118].

Система уравнений ВРГД

При изучении таких физических явлений, как процессы в лазерных термоядерных мишенях, газовые разряды, динамика звездных атмосфер, мощные взрывы и т.п., важную роль играет правильный учет переноса энергии собственным излучением сильно нагретого вещества. Взаимодействие излучения с веществом является нелинейным и нелокальным. Прохождение излучения через вещество связано с состоянием вещества на всем пути следования, с другой стороны, проходящее излучение из-за поглощения и переизлучения меняет состояние вещества. Для корректного учета взимодействия излучения с веществом в диссертации представлено описание системы уравнений высокотемпературной радиационной газовой динамики (ВРГД) и необходимые алгоритмы для ее эффективного решения в двумерной r-z геометрии, развивающие методики, примененные для одномерных вариантов пространственной геометрии [107].

Запишем уравнения ВРГД без учета рассеяния излучения в сопутствующей системе координат в одножидкостном двухтемпературном приближении: + pdivw = 0, (1) dt du °Г Wv р— + gvad{pe + pi + pco) = I куа-dv, (2) dt о c ds p-f- + di vWe + (pe + ypa>)divu = pQie +Qr+ pQe, (3) dt dsp-^ + divWi + (Pi + (1 - r)pco)d\wu = -pQie + pQ., (4) dt

Здесь (1) - уравнение неразрывности, (2) - уравнение движения среды с учетом давления излучения (правая часть), (3),(4) - уравнения энергии для электронного и ионного компонентов плазмы с учетом теплопроводности, искусственной вязкости pcodivu и обмена энергией между веществом и собственным излучением. Обозначения газодинамических величин универсальны: р - плотность, й — скорость, р=р(Т,р) - давление, е=Е(Т,р) -внутренняя энергия вещества, We, Щ — потоки энергии за счет электронной и ионной теплопроводности, v - частота излучения, с — скорость света, W — спектральный поток излучения.

Член обмена энергией между электронной и ионной компонентами плазмы Т-Т

Qb^-1—*- (5)

Р¥ может быть взят либо в форме Брагинского [3], либо в форме Калиткина

П9], со

Qr=\{<Uv-KvaUvPl)dv (6) о

- член обмена энергией между излучением и веществом, V — спектральная плотность излучения, домноженная на скорость света, ttv , nv 8я7г v

UPl = 4 лВу = -----(7) pl съ Qxp(hv/kTe)-l

- планковская равновесная плотность излучения (h — постоянная Планка, к — постоянная Больцмана, сг - постоянная Стефана-Больцмана), куа — спектральный коэффициент поглощения с поправкой на вынужденное переизлучение. Остальные обозначения универсальны. В дальнейшем мы пренебрегаем членом давления излучения в уравнении движения (2), поскольку оно существенно только для сверхвысоких температур. Qe и Ог источники энерговыделения в электронной и/или ионной компонентах плазмы.

Система (1) - (7) должна быть дополнена уравнениями состояния:

Pe=Pe(P>Te\ Pi = Pi (Л ), ee=se{p,Te), s^SiipJi).

Уравнение переноса излучения, как было показано в [2,120,121], должно также записываться в сопутствующей системе координат. Однако аккуратный учет членов порядка и/с в уравнении переноса предъявляет чрезмерно жесткие требования к точности численных схем в ситуации, когда функция распределения близка к равновесной [104]. Использование квазидиффузионного метода [1034,105], в котором плотность излучения, входящая в обменный член Qr, определяется из системы уравнений, аналогичных моментным уравнениям газовой динамики для уравнения Больцмана, позволяет сохранить нужную точность и в этом случае. Эти квазидиффузионные уравнения в нерелятивистском приближении с точностью до членов порядка и/с были строго получены А.В.Шильковым и частично опубликованы в [103]. Без учета членов, соответствующих томпсоновскому рассеянию, они имеют вид:

Третьи члены в левых частях уравнений описывают работу сил давления излучения, а четвертые — существенное вблизи резонансов допплеровское смещение энергии фотонов из-за различия газодинамической скорости в разных точках пространства.

В уравнениях (9),(10) используются коэффициенты квазидиффузии Dy,

Щк, учитывающие угловую зависимость интенсивности излучения функции распределения) Iv = I(f,Q,v,t) KvaUvPl-KvaU\ (9)

-KVWV. a" j '

10)

J a£ljlvd& j QPjQkIvdQ

-~—, -=-. (11)

9 J/vq lJk \ivda y }

4 л an

Здесь Q - направление полета фотона, определяемое двумя углами: полярным углом 0 и азимутальным углом (р.

Полное уравнение переноса в сопутствующей системе координат имеет чрезвычайно сложный вид. Так как основные переносные эффекты учитываются уравнениями квазидиффузии (9),(10), в которых используются устойчивые дробно-линейные функционалы (11), слабо зависящие от функции распределения Iv, для вычисления последней допустимо использовать уравнение переноса, не содержащее членов порядка и/с (работа сил давления излучения и допплер-эффект): Q . v/v + кУаГ = KvaBv. (12) с dt

В физических приложениях принято как частоту, так и температуру измерять в энергетических единицах (например, в кэВ), в этих переменных планковские плотность и интенсивность излучения имеют вид

15 У3 RVssUb

4/Г

Bv=-P~, (13)

Помимо спектральных уравнений квазидиффузии (9),(10) рассматриваются интегральные по спектру уравнения с усредненными коэффициентами, в которых члены с производной по частоте пропадают, но работа сил давления излучения остается: р d U - ^ U дщ

--+ div W + D,-с dt р с дх • + di wW + Dy — = -Qr, (14) pdWj дЩи) щди- «

--J- +-J-— + —^—= Wjdv. (15) с dt p dxj с дх, о

При удачном выборе усреднения коэффициентов уравнений (9),(10) по решению спектральной задачи коэффициенты системы уравнений (14),(15) являются устойчивыми дробно-линейными функционалами спектральных функций. Заметим, что при усреднении по энергии непосредственно уравнения переноса член поглощения в левой части полученного уравнения зависел бы от направления полета фотонов (угловых переменных), так что пришлось бы вводить и решать сопряженное уравнение переноса.

Уравнения (1)-(15), дополненные соответствующими уравнениями состояния (8) и данными об оптических свойствах веществ куа = к(Т,р,у), составляют систему уравнений ВРГД в рамках квазидиффузионного подхода.

Для надежной аппроксимации уравнения переноса нам необходимы выпуклые сетки с близкими оптическими толщинами соседних ячеек (кроме случая контактных границ). Необходимость аккуратного описания газодинамического движения контактных границ накладывает серьезные ограничения на использование эйлеровой газодинамики. Возможности расчетов в лагранжевых переменных ограничены из-за сильных искажений ячеек сетки. Поэтому разумно ориентироваться на использование смешанных ларанжево-эйлеровых газодинамических алгоритмов.

Общим подходом, позволяющим решать сложные системы уравнений, является метод расщепления по физическим процессам. В алгоритме решения системы (1)-(15) можно выделить шесть вычислительных задач:

1. Решение спектрального (группового) уравнения переноса (12) для заданных распределений температур и плотностей в веществе. Вычисление спектральных коэффициентов квазидиффузии.

2. Определение спектральных (групповых) значений плотностей и потоков излучения из уравнений (9),(10). На основе полученных распределений проводится усреднение коэффициентов групповых уравнений для получения коэффициентов уравнений (14),(15).

3. Совместное решение интегральных по спектру уравнений квазидиффузии и уравнений внутренней энергии вещества для электронной и ионной компонент с замороженными потоками теплопроводности. Получение согласованных распределений температуры и плотности излучения. Автоматический учет обменного члена между электронной и ионной компонентами плазмы. Отметим, что при температурах больше 1 эВ и невысоких плотностях вещества основную роль в перераспределении энергии между элементами массы играет именно перенос излучения.

4. Расчет теплопроводности в (3),(4) при известных плотностях и радиационных членах.

5. Газодинамический расчет для определения плотностей, скоростей и температур в веществе, координат лагранжевой частицы из уравнений (1)-(4) при известных потоках тепла и радиационных членах.

6. Интерполяция величин, определяемых нестационарными уравнениями, на новую лагранжевую сетку. При решении уравнения переноса (12) вопрос интерполяции становится очень сложным ввиду большого числа переменных, от которых зависит функция распределения. В работе [101] показано, что использование квазидиффузионного подхода позволяет использовать в уравнении переноса так называемое X-приближение, снимающее эту проблему.

Диссертация посвящена созданию методов и программ решения уравнения переноса в двумерной цилиндрической геометрии в рамках квазидиффузионного подхода, объединению полученных программ с известными газодинамическими кодами для решения системы уравнений ВРГД и применению разработанных методов к задачам управляемого термоядерного синтеза. Кроме того, в диссертации предложен метод учета сильной анизотропии рассеяния, позволивший решить ряд задач атмосферной радиации. Аналогичные методы применены в исследованиях саморегулируемых нейтронно-ядерных режимов в быстрых реакторах.

Первая глава посвящена первой из указанных вычислительных задач, а именно, в первой главе изложен экономичный метод решения уравнения переноса, основанный на переходе к собственным характеристическим переменным. Предложены два варианта метода. Показано, что построение консервативно-характеристической разностной схемы значительно повышает точность численного решения по сравнению с характеристической схемой. Для оценки порядка точности схемы приведены результаты расчетов тестовой задачи, имеющей точное решение. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [256-258,262].

Во второй главе приведена методика решения второй и третьей задач для единого уравнения энергии вещества без разделения на электронный и ионный компонент плазмы. Приведена неявная разностная аппроксимация многогрупповой системы уравнений квазидиффузии на произвольных матрично упорядоченных четырехугольных сетках. Предложен нелинейный метод ускорения сходимости итерационного процесса для решения эллиптической разностной системы уравнений с автоматической подстройкой итерационного параметра к оптимальному значению. Предложен почти монотонный вариант разностной схемы, основанный на приведении тензора квазидиффузии к собственным осям в плоскости (r,z) в середине расчетной ячейки. Используется комбинированная разностная схема: в областях гладкости решения - немонотонная, а на контактных границах - почти монотонная. Описан метод усреднения многогрупповой системы уравнений квазидиффузии в эффективную одногорупповую систему уравнений квазидиффузии и методы решения полученных одногрупповых квазидиффузионных уравнений совместно с уравнением энергии для вещества. Показана важность введения производной Фреше от усредненного коэффициента поглощения по температуре. Приведены результаты численного исследования ряда методических задач, основанных на первой и второй задачах Флека. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [231-233, 235, 236, 244, 245, 248, 263].

В третьей главе изложен метод учета умеренной и сильной анизотропии рассеяния в задаче с сосредоточенными источниками (солнечное излучение). Метод учета сильной анизотропии рассеяния основан на выделении в индикатрисе рассеяния сингулярной и регулярной частей. В регулярной части индикатрисы рассеяния выделяются первые три члена разложения по полиномам Лежандра, главная часть сингулярной части эффективно уменьшает сечение рассеяния. В оставшихся интегралах возможна замена переменных, позволяющая учесть особенности индикатрисы рассеяния. Приведены результаты климатических расчетов для атмосферы Земли. При использовании метода лебеговского усреднения по частотам получены прецизионные результаты для теплового баланса атмосферы Земли при наличии не только поглощения, но и рассеяния атмосферными газами. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [234, 237, 238-243, 246].

В четвертой главе описан программный комплекс LATRANT для моделирования задач инерциального термоядерного синтеза, построенный на основе предложенных автором методик, описанных в главах 1-3, и лагранжевой методики расчета газодинамических течений. В программном комплексе LATRANT используется двухтемпературное приближение для электронного и ионного компонента плазмы. На основе данного комплекса проведено сравнение трехтемпературной модели, широко используемой при моделировании задач УТС, с многогрупповым приближением. Показано, что эти трехтемпературная модель дает запаздывающую динамику сжатия центральной области горючего для сферических мишеней по сравнению с многогрупповым расчетом. Проведено сравнение результатов математического моделирования с результатами экспериментов, проведенных на установках PALS и LIL. Показано, что влияние различных факторов приводит к значительно меньшему поглощению лазерной энергии пеной на установке PALS, чем это предполагалось при постановке эксперимента. Показано, что введение в пену кластеров тяжелых металлов значительно повышает конверсию лазерного излучения в рентгеновское. Результаты сравнения с экспериментами на установке LIL показывают хорошее согласие численного и натурного экспериментов. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [252-255,260, 264, 266]

В пятой главе на основании предложенных подходов была создана оригинальная методика решения многогруппового уравнения переноса нейтронов для исследования саморегулируемых нейтронно-ядерных режимов в быстрых реакторах. Предложенные методы необходимы для расчета критической сборки, а также для пересчета усредненных по спектру сечений в ходе динамического расчета. Было предложено усовершенствование полуторамерной динамической модели, на основе которой проводится оптимизация режима. Основные результаты опубликованы в работах [247, 249-251,259,261,265,268].

Основные положения, выносимые на защиту

1. Созданы эффективные методики и комплексы программ решения многогруппового уравнения переноса совместно с квазидиффузией для решения задач переноса излучения в сплошной среде. Предложенные методы обладают повышенными свойствами монотонности и учитывают особенности решения. Методы эффективного понижения размерности уравнения переноса позволили создать экономичную и точную методику, учитывающую взаимное влияние переноса фотонов и газодинамических процессов в системе.

2. Предложен метод учета сильной анизотропии рассеяния в уравнении переноса, значительно сокращающий количество итераций по рассеянию. Решен ряд задач атмосферной радиации с рассеянием на аэрозолях и облаках, обладающих особенностью преимущественного рассеяния вперед. Применение предложенного метода учета анизотропии рассеяния совместно с методом лебеговского усреднения по частоте (А.В.Шильков) позволило получить прецизионные результаты, не имевшие аналогов в мире, для задачи об энергетическом балансе атмосферы Земли.

3. На основании разработанных автором методик расчета переноса излучения и известных газодинамических методик создан программный комплекс LATRANT для моделирования задач радиационной газовой динамики в r-z-геометрии при существенной роли собственного излучения плазмы. Полномасштабное моделирование задач УТС позволило объяснить экспериментальные результаты, полученные на установках PALS и LIL.

4. Создан эффективный метод и комплекс программ расчета многогрупповой системы уравнений переноса нейтронов с квазидиффузией в двумерной r-z геометрии, значительно сокращающий число итераций по рассеянию и делению, применяемый для проведения поисковых работ по оптимизации активных зон быстрых реакторов нового типа, предложенных и разрабатываемых в ИММ РАН, которые обладают повышенными свойствами безопасности и экономичности.

Выводы и проблемы. Успехи экспериментального исследования воздействия мощных лазерных пучков на малоплотные среды вызвали ответный всплеск исследований такого рода задач на основе математического моделирования. Заметим, что в экспериментах температура вещества непосредственно измерена быть не может, и некоторые заключения о величине температуры делаются по косвенным признакам — по данным измерений с рентгеновских электронно-оптических камер. Это позволяет отследить области, в которых температура поднялась выше некоторого порогового значения (если регистрируется излучение с энергией выше 1.5 кэВ, то температура среды заведомо выше 130 эВ). Математическое моделирование позволяет получить интересующие физиков данные непосредственно в ходе расчетов. Однако моделирование таких сложных структурированных объектов как пена сопряжено либо с чрезвычайной трудоемкостью расчетов, если хоть приблизительная структура пены прописана подробно, либо с упрощением ситуации, связанным с гомогенизацией неоднородностей, и, как следствие, выпадением из адекватного рассмотрения интересных начальных стадий испарения малоплотного вещества. Упрощение связано с двумя факторами. Во-первых, в настоящее время в модели не учтено запаздывание давления по сравнению с энергией, связанное с разлетом твердых слоев пены и превращением ее в плазму. Такое запаздывание введено в одномерный программный комплекс DIANA [216]. При отсутствии запаздывания необходимо сопоставлять время гомогенизации и характерное время лазерного импульса. Во-вторых, равномерное размазывание по пространству плотности пены приводит к тому, что если средняя плотность оказывается подкритической, то гомогенизированная среда через малое время после начала импульса может начать пропускать лазерное излучение практически до подложки (при ее наличии), хотя для структурированной пены поглощение лазерного излучения происходит в надкритичных хлопьях пористого вещества, т.е. имеет несколько другое пространственное распределение энерговыделения на начальных стадиях процесса. По окончании процесса образования плазмы и ее гомогенизации плазма становится подкритичной, и соответствующий расчет адекватным физическому явлению. В настоящем параграфе две рассмотренные задачи относятся к надкритическим задачам, соответственно вторая проблема для них не является актуальной. Рассмотренные далее задачи для серии экспериментов на установке PALS также выбраны из соображений большей адекватности математической постановки физическому эксперименту, т.е. рассматриваются надкритические задачи, поэтому, например, не рассматривалось взаимодействие пен очень низкой плотности с лазерным излучением на третьей гармонике. Моделирование взаимодействия лазерного импульса с сильно подкритическими средами требует уточнения математической модели.

§ 4.6. Сравнение результатов математического моделирования с экспериментами на PALS

На установке PALS (Prague Asterix Laser System) была проведена серия экспериментов по взаимодействию излучения йодного лазера на первой (А,=1.315мкм) и третьей гармонике (А,=0.438мкм) с плоскими пористыми мишенями. Для этой серии экспериментов имеется обширный и доступный экспериментальный материал [217]. Использовались пористые мишени из триацетата целлюлозы на алюминиевой подложке толщины 5 мкм. Толщина пены около 400 мкм. При этом предполагались две основные плотности

3 3 3 3 пористого вещества-9.1-10" г/см и 4.5-10" г/см:

-0.0405<z<-0.0400 см А1 р=2.7 г/см3 (толщина слоя 5мкм),

-0.0400<z< 0.0000 см ТАС pf=9.1 • 10"3 г/см3; (толщина слоя 400мкм), р2=4.5-10"3г/см3.

Для ряда выстрелов использовалась пена с добавками 9.9% по массе атомов меди

ТАС +9.9% Си р\—9.1-10"3 г/см3. Энергия лазерного импульса в эксперименте оценивалась в 150-175 Дж. Длительность импульса около 0.8 не с шириной импульса на полувысоте 320 пс. Такие значения параметров соответствуют максимальному потоку

14 2 лазерной энергии порядка 5-10 Вт/см на поверхности мишени.

При аппроксимации лазерного импульса предполагалось, что временное и пространственное распределения интенсивности падающего лазерного излучения независимы: i(r,t)=i0m(r), по пространству импульс предполагался имеющим гауссовский профиль с полушириной 50 мкм, при этом гауссовский профиль вида

О 00

А, о г j(r) = — exp(-(r/r0) ) обеспечивает условие нормировки \Ix{r)rdr = 1. При го о аппроксимации временной зависимости лазерного импульса поиск среди функций вида /0 (/) = С (V/tmax )2" ехр{п - n{t/tmgx)2) при сравнении с экспериментальным профилем и заданной шириной импульса на полувысоте привел к выбору значений п—2, /тах=388 пс. Профиль был несколько уширен при значении времени максимума потока энергии ?тах=400 пс, при этом ширина импульса на полувысоте равна 325 пс. Константа С выбирается из

00 условия нормировки по времени jl0(t)dt - Elas. о

В эксперименте были выбраны две основные схемы фокусировки импульса - фокус на некотором расстоянии от мишени и фокус внутри мишени. В обоих случаях положение мишени выбиралось таким образом, чтобы диаметр фокального пятна на поверхности мишени составлял указанные 300 мкм. При математическом моделировании не учитывалось схождение или расхождение лазерных лучей: в любом случае прохождение и поглощение лучей за счет обратного тормозного механизма предполагалось параллельным оси z.

Диагностический комплекс для серии экспериментов состоял из рентгеновской электронно-оптической камеры (РЭОК), электронно-оптической камеры и установки трехкадровой теневой фотографии. РЭОК регистрировала рентгеновское излучение в диапазоне энергий выше 1.5 кэВ с разрешением 1.9 мкм/пиксель и 2 пс/пиксель. РЭОК располагалась в плоскости мишени и позволяла получать изображения процесса распространения фронта рентгеновского излучения по толщине мишени. Электронно-оптическая камера (ЭОК) располагалась перпендикулярно к тыльной стороне фольги и регистрировала оптическое свечение тыльной стороны фольги с временной разверткой 11 пс/пиксель. Для регистрации процесса разлета фольги с тыльной стороны мишени использовалась трехкадровая теневая фотография на основе ПСЗ-матриц. Схема эксперимента изображена на Рис. 1.

Рис.1. Диагностический комплекс установки PALS. РЭОК расположена в плоскости мишени, излучение на первой или третьей гармонике падает по нормали к поверхности пены.

Фотографии РЭОК по горизонтальной оси дают временную развертку регистрируемого рентгеновского излучения с полным временем 2 не по ширине фотографии, а по вертикальной оси - развертку по толщине мишени с полной толщиной 2000 мкм по высоте фотографии (Рис.2). По этим данным вычислялись две скорости: скорость распространения рентгеновского фронта как касательная к нижней части цветного изображения в носике на границе с черным фоном и скорость гидротепловой волны по сечению этого рисунка в максимуме регистрируемого излучения.

Первоначально для сравнения расчета с экспериментом в качестве поглощенной лазерной энергии была заложена энергия 130 Дж, потери оценивались в 25-50 Дж. На Рис.3 приведены распределения температур, полученные в расчете при энергии лазерного импульса 130 Дж, для моментов времени, соответствующих максимуму падающего излучения, и ближе к окончанию лазерного импульса. Максимальная электронная температура в расчете достигает 1800 эВ, ионная значительно меньше — порядка 1100эВ. На этих рисунках можно наблюдать приход ударной волны на алюминиевую подложку и ее отражение. Однако основными целями экспериментов с пенами является выявление эффективности и скоростей сглаживания неравномерности облучения. а) выстрел №28205: Elas=170,4 Дж; 2нс. Ь) выстрел 28232: Elas = 163 Дж; 2нс.

Рис.2. Показания РЭОК для пены ТАС (9.1 мг/см3, 3 гармоника лазера, толщина фольги 5 мкм) в экспериментах (а, б).

Программный комплекс позволяет моделировать показания РЭОК. Результат такого моделирования приведен на Рис.4 а). На Рис. 4 Ь) приведен покомпонентный баланс энергий, полученный при - моделировании эксперимента при данной энергии выстрела.

Скорости распространения рентгеновского фронта и гидротепловой волны, измеренные по приведенным расчетным данным для энергии выстрела 130 Дж, оказались значительно выше, чем соответствующие скорости, измеренные в эксперименте (Табл.1). Встал вопрос о несовпадении результатов численного и натурного экспериментов. Сравнение Рис. 2 а) и Рис. 2 Ь) показывает, что в экспериментах не достигается полной повторяемости результатов: если на левой картинке видно свечение алюминиевой подложки ко времени примерно 1.5 не, то на правой картинке это свечение гораздо слабее и наблюдается позже при примерно одинаковой энергии выстрелов.

В ФИ РАН им. П.Н.Лебедева по теории сильного взрыва были проведены оценки вложенной лазерной энергии, которые показали, что регистрируемые в эксперименте скорости волн, а также время выхода оптического излучения с противоположной от лазера стороны алюминиевой подложки (к 5-6 не) соответствуют значительно меньшим вложенным энергиям. Решение одномерных уравнений Максвелла, полученное численно также в ФИ РАН, показало, что на слоистой структуре пленок из ТАС отражается до 70% лазерной энергии. Поэтому было проведено исследование задач взаимодействия лазерного излучения с пенными структурами с меньшими значениями вложенной лазерной энергии. Результаты моделирования для пены 9.1 мг/см3 при облучении на третьей гармонике йодного лазера при энергиях лазерного импульса 50 Дж и даже 6 Дж приведены на Рис.4 с) и Рис.4 е).

Рис.3. Электронная температура для пены ТАС (9.1 мг/см3, 3 гармоника лазера) на моменты времени 400, 500 и бООпс, и ионная температура на момент бООпс.

Аналогичные данные, полученные для пены вдвое меньшей плотности 4,5 мг/см3, при облучении мишени на первой гармонике лазера в эксперименте представлены на Рис.5, а при математическом моделировании - на Рис. 6.

Добавление тяжелых кластеров меди (9.9% по массе) в пену ТАС очень значительно усиливает механизмы оптического сглаживания неоднородностей. Добавление кластеров тяжелых элементов приводит к значительной доли лазерного излучения, преобразованного в рентгеновское, которое в значительной степени выносится вовне из мишени, при этом, естественно, уменьшается интенсивность газодинамического движения.

Результаты показаний РЭОК можно увидеть на Рис.7, и соответствующие результаты моделирования показаний РЭОК и баланс энергии - на Рис.8. ч») a) Eabs= 130 Дж; 0,6нс b) Eabs= 130 Дж

-оог с) Eabs = 50 Дж; 1нс о N

-О От -0.02 d) Eabs = 50 Дж

1.00Е-010 З.ООЕ-ОЮ

5.00E-01Q

7.00Е-010

9.00Е-010 t,ps е) Eabs = 6 Дж, 1нс J) Eabs = 6 Дж

Рис. 4. Моделирование показаний РЭОК для пены ТАС (9Л мг/см , 3 гармоника лазера, толщина фольги 5 мкм) в расчетах при разных энергиях выстрелов (а, с, е) и энергетический баланс (b, d, f). а) выстрел 28256: Elas= 174 Дж; 2нс Ь) выстрел 28270: Elas = 177Дж ; 2нс

Рис. 5. Показания РЭОК для пены ТАС ТАС (4.5 мг/см3, 1 гармоника лазера, толщина фольги 5мкм) в экспериментах (а, Ь). a) Eabs = 50 Дж ; 1нс

0 04

0.02'

-002

-ом в ja о ш

E^-SOJ f-4.5401 gfem' .

ТАС /

1» / / / / ' / ' / ' / 1 / ' / * X A J'^'-'. —.

0.0

Ь) Eabs = 50 Дж

5,0x10"'° ((s) 1,0x10-'

1,5x10*

1,в

1.в-1,41.2-Е 1.0 0.80.6

TAC.NonEq

4,5mg/cc

10J Einn« * "* / ' / / / -EJ*L. t .-.

0.0 О.ООЕ+ООО

5.00Е-010

1.00Е-009

1,5ое-оов с) Eabs = 10 Дж, 1нс d) Eabs = 10 Дж

Рис. 6, Моделирование показаний РЭОК для пены ТАС (4.5 мг/см3, I гармоника лазера, толщина фольги 5мкм) в расчетах при разных энергиях выстрелов (а, с) и энергетический баланс (b, d). а) выстрел № 28211, Elas= 158,6 Дж б) выстрел М 28220, Etas= 155 Дж

Рис. 7. Показания РЭОК для пены ТАС+9.9%Си (9.1 мг/см3, 3 гармоника лазера, фольга 5мкм) в эксперименте.

База данных оптических коэффициентов DESOPLA содержит коэффициенты, равновесные по ионному составу, а также рассчитанные при учете неравновесности ионного состава плазмы. Как было показано в [218], эффекты неидеальности плазмы очень слабо влияют на термодинамические функции, но оказывают влияние на ионный состав. Сравнение результатов при одной и той же энергии выстрелов с равновесными по ионному составу коэффициентами поглощения из базы данных DESOPLA и с неравновесными (Рис.8), показывает, что при неравновесных коэффициентах значительно увеличивается вынос энергии вовне и замедляется скорость рентгеновского фронта. Таким образом, использование неравновесных по ионному составу коэффициентов в большей мере отвечает физической ситуации в эксперименте.

Сводные данные по скоростям рентгеновского и гидротеплового фронтов, наблюдаемых в экспериментах и полученных в расчетах, при различных значениях вложенных энергий представлены в Табл.1.

-1-- 1---г

4.00Е-010 6.00Е-010 8.00Е-010

J) Eabs = 18 Дж e) Eabs = 18 Дж; 1нс. Равновесные к-ты поглощения.

Рис. 8. Моделирование показаний РЭОК для пены ТАС+9.9%Си (9.1 мг/см3, 3 гармоника лазера, фольга 5мкм) в расчетах при разных энергиях выстрелов (а, с, е) и энергетический баланс (b, d, f). a) Eabs ~ 130Дж; 1нс. Равновесные к-ты поглощения с) Eabs = 130 Дж; 1нс. Неравновесные к-ты поглощения

I.OxlO"* 1,5x10'" 2.0x10'' tkne(i)

ТАС*9,9%Си 9.1 т&сс; 3w ЕЯ1 = 18J

5.0x10'

Ь) Eabs = 130ДЖ

ТДС+в.9%Си

1.0X10* 1.5x10* 2.0x10* tirmfs) d) Eabs = 130Дж

Заключение

1. В диссертации созданы методики решения многогруппового уравнения переноса с квазидиффузией в двумерной цилиндрической геометрии. Метод квазидиффузии обладает рядом преимуществ по сравнению с прямыми методами решения уравнения переноса. Он нелинеен, обеспечивает консервативность и большую точность получаемого решения, позволяет значительно сократить число итераций по рассеянию (и, возможно, делению), а также позволяет эффективно учесть взаимное влияние переноса излучения и/или нейтронов и других физических процессов, протекающих в сплошной среде. Уравнения метода квазидиффузии имеют иерархическую структуру с понижением количества независимых переменных, от которых зависит искомое решение. На первом этапе решения многогруппового уравнения переноса предложены характеристический и консервативно-характеристический методы с помощью перехода к переменным Владимирова. Эти методы позволяют разрешить структуру логарифмических разрывов решения, которые характерны для гетерогенных задач в сферической и цилиндрической геометриях. Порядок сходимости консервативно-характеристического метода на сетке Владимирова второй, при использовании более экономичной угловой сетки порядок сходимости метода снижается до первого. Однако точность вычисления коэффициентов квазидиффузии остается высокой. На втором этапе решения многогрупповой системы уравнений квазидиффузии была предложена гибридная схема, сочетающая схему более высокого порядка аппроксимации в областях гладкости решения и менее точную, но обладающую лучшими свойствами монотонности, на световых фронтах и контактных границах. Лучшие свойства монотонности достигаются за счет двух факторов. Во-первых, для самосопряженной задачи схема строится так, чтобы система разностных уравнений удовлетворяла принципу максимума. Во-вторых, для несамосопряженной задачи минимизируются недиагональные компоненты тензора квазидиффузии на сторонах расчетной ячейки приведением тензора к собственным осям в середине ячейки. На третьем этапе метода квазидиффузии получается эффективная одногрупповая система относительно полных скалярного и векторного потоков, которая может быть объединена с уравнениями, отвечающими за другие процессы в физической системе, например, с уравнениями энергии для вещества. На этом этапе была показана важность введения разностного аналога производной Фреше от усредненного коэффициента поглощения по температуре.

2. В диссертации предложен метод учета сильной анизотропии рассеяния в уравнении переноса. Наличие в индикатрисе рассеяния особенности преимущественного рассеяния вперед приводит к плохому затуханию коэффициентов разложения индикатрисы по полиномам Лежандра и плохой сходимости обычно используемых итерационных методов решения уравнения переноса. В диссертации предложено разделение индикатрисы на регулярную и сингулярную части, в каждой из которых выделяются главные члены, вычисляемые через скалярный и векторный потоки в уравнении переноса. Все остаточные члены преобразуются в дробно-линейные функционалы. В уравнениях квазидиффузии главные члены рассеяния переносятся в левую часть. Показано, что скорость сходимости такого итерационного метода очень высокая. Для решения ряда задач переноса солнечного излучения заданной частоты в атмосфере в присутствии облаков и аэрозолей использовался потоковый метод квазидиффузии, позволивший учесть поведение решения в окрестности сосредоточенного источника. На основании предложенного метода и метода лебеговского усреднения по частоте А.В.Шилькова были получены прецизионные результаты по тепловому балансу атмосферы Земли при наличии рэлеевского рассеяния всеми основными атмосферными газами.

3. На основе методик из п.1 и известного газодинамического кода ATLANT построен программный комплекс LATRTANT для решения задач У ТС. Комплекс использует базу данных групповых оптических коэффициентов DESOPLA, созданную в ФИАН им П.Н.Лебедева. Моделирование задач по сжатию сферических двухоболочечных мишеней потоком внешнего изотропного излучения показало, что более простая трехтемпературная модель дает запаздывающую динамику сжатия центральной области горючего. Учет переноса излучения в многогрупповом приближении приводит к худшим условиям сжатия для обеспечения условий горения центральной области термоядерного горючего по сравнению с трехтемпературной моделью. На основе программного комплекса LATRANT было проведено полномасшабное моделирование серии экспериментов, проведенных на установках PALS и LIL по взаимодействию мощных пучков лазерной энергии порядка 5-1014Вт/см2 с пенными мишенями. Было показано, что результаты экспериментов на PALS совпадают с результатами моделирования в предположении значительно меньших вложенных в мишень энергий лазера, что подтверждается одномерными расчетами уравнений Максвелла, показывающими, что отражается до 50% лазерной энергии, а также оценками вложенной энергии по теории сильного взрыва, проведенными в ФИАН. Результаты расчетов находятся в хорошем согласии с результатами экспериментов на установке LIL.

4. Создан оригинальный метод и комплекс программ расчета многогруппового уравнения переноса нейтронов для проведения поисковых работ по созданию быстрых реакторов нового типа, предложенных и разрабатываемых в ИММ РАН, обладающих естественной безопасностью по нейтронно-ядерным процессам. Возможность длительной работы реактора (до трех лет и более) без перегрузок топлива и без запаса реактивности с КВА порядка единицы делает предлагаемый реактор значительно более экономичным. Для проведения предварительных оптимизационных расчетов реакторов, способных работать в саморегулируемом нейтронно-ядерном режиме, предложено усовершенствование более экономичной полуторамерной методики.

1. Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер. Физика ударных волн и высокотемпературныхгидродинамических явлений. М., Наука, 1966, 686с.

2. Д. Михалас. Звездные атмосферы, т. 1-2. М.: Мир, 1982.

3. В.В. Соболев. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. Москва, 1956.

4. С.И. Брагинский. Явления переноса в плазме. Вопросы теории плазмы, Вып.1 . Подред. М.А. Леонтович, М., Госатомиздат, 1963, 287 с.

5. Б.Довисон. Теория переноса нейтронов. М., Атомиздат, 1960.

6. А. Вейнберг, Е. Вигиер. Физическая теория ядерных реакторов. Изд-во Иностраннойлитературы, М., 1961, 732с.

7. Г.И. Марчук, В.И. Лебедев. Численные методы в теории уравнения переносанейтронов. М., Атомиздат, 1981, 454с.

8. Г.И Марчук. Численные методы расчета ядерных реакторов. М., Атомиздат, 1958,381с.

9. В.В. Смелое. Лекции по теории переноса нейтронов. М., Атомиздат, 1978.

10. В.Я. Голъдин. Методы расчета переноса нейтронов и горения в термоядерном изделии1948-1960гг.) Международный симпозиум, Дубна, 14-17 мая 1996г. В сб: «Наука и общество: история советского атомного проекта (49-50-е годы)», 1999, т.2, с. 497501.

11. Я Карлсон, Дж. Белл. Решение транспортного уравнения Sn методом. В сб.: «Физикаядерных реакторов», М., Атомиздат, 1959, с. 408-432.

12. B.C. Владимиров. Численное решение кинетического уравнения для сферы//

13. Вычислительная математика, т.З, 1958, с.3-33.

14. B.C. Владимиров. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. Тр.

15. Матем. ин-таим. Стеклова АН СССР, 1961, 158с.

16. B.C. Владимиров II Журн. вычисл. мат. и мат. физ., М., 1968, т. 8, № 4.

17. В.Я. Голъдин. Характеристическая разностная схема для нестационарногокинетического уравнения // ДАН, т.133, стр. 748-751, 1960.

18. С.К.Годунов, B.C. Рябенький. Разностные схемы (введение в теорию), М., «Наука», 1973.

19. Н.Н. Калиткин. Численные методы. М., Наука, 1978, 512с.

20. И.Р. Суслов. Метод характеристик в областях со сложной геометрией // Атомнаяэнергия, т. 65, вып. 1, стр. 57-58, 1988.21. 7.7. Azmy. Arbitrary High Order Characteristic Method for Solving the Neutron Transport

21. Equation // Ann. Nucl. Energy, v. 19, pp.593-606, 1992. 22.I.R. Suslov. WWER Benchmarking Characteristics vs. Monte-Carlo. Book of Abstract Int. Conf. on Transport Theory, July 22-28, Obninsk, Russia, 2007, pp. 129-131.

22. K.D. Lathrop. Remedies for Ray-Effects // Nuclear Science and Engineering, v.l, pp 461469, 1995.

23. P. Рихтмайер, К. Mopmon. Разностные методы решения краевых задач. М., Мир, 1972,418с.

24. А.В. Никифорова, В.А. Тарасов, В.Е. Трощиев. О решении кинетических уравнений дивергентным методом характеристик // ЖВМ и МФ, 1972, т.12, №4, с. 1041-1048.

25. В.Е. Трощиев. О математических свойствах Sn методов решения кинетическихуравнений //ЖВМ и МФ, 1975, т.15, №5, с. 1209-1221.

26. Н. Khalil. A Nodal Diffusion Technique for Synthetic Acceeration of Nodal Sn

27. Calculations // Nuc.Sci. and Eng., v.90, pp.263-280, 1985.

28. Л.П. Басс, A.M. Волощенко, Т.А. Гермогенова. Методы дискретных ординат в задачах опереносе излучения. Монография ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, М., 1986.

29. О.С. Широковская. Об одной модификации DSn метода // Вопросы атомной науки итехники. Серия «Математическое моделирование физических процессов», 1989, Вып.1, с. 24-29.

30. P. Barbucci, D.Di. Pasquantonio. Exponential Supplementary Equations for Sn Methods:

31. The One-Dimensional Case //Nuc. Sci. Eng, v. 63, pp. 179-187, 1977.

32. J.E .Morel, E. W. Larsen. A Multiple Balance Approach for Differencing the Sn Equations //

33. Nuc. Sci. and Eng., v. 105, pp. 1-15, 1990.

34. J.E. Morel, J.E. Dendy jr., T.A. Wareing. Diffusion-Accelerated Solution of the Two

35. Dimensional S„ Equation with Bilinear-Discontinuous Difference // Nuc. Sci. and Eng., v.l 15, pp.304-319, 1993.

36. K.D. Lathrop. A Comparison of Angular Difference Schemes for One-Dimensional Spherical

37. Geometry SN equations //Nuc. Sci. and Eng.: 134, 239-264 (2000).

38. M.L. Adams. A New Transport Discretization Scheme for Arbitrary Spatial Mesh in (x,y)geometry. Proc. of Int. Top. Meeting Advances in Mathematics, Computations and Reactor Physics, Pittsburg, April 28-May2, v.3, pp.13.2.2-1-13.2.2-9, 1991.

39. Т.А. Гермогенова. Метод пространственных моментов в задачах о переносе излученияв слое. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша, №39, 1997.

40. A.M. Вологцепко, С.В. Гуков, Е.П. Кондратенко. К-шаговая полуявная схема дляуравнения переноса. Препринт №54 ИПМ им. М.В.Келдыша, 1994.

41. J.J. Ullo, J.J. Doming, H.L. Dodds, R.E. Pevey. A Comparison of Nodal Transport Methods

42. Based on Exponential and Polynomial Expansions // Trans. Am. Nucl. Soc., v. 43, pp.367-369,1982.

43. В.Е. Трощиев., А.В. Нифанова., Ю.В. Трощиев. Характеристический подход каппроксимации законов сохранения в кинетических уравнениях переноса излучений // ДАН, 2004, т. 394, № 4, с. 454-458.

44. W.F. Walters, Т.A. Wareing. An Accurate Strictly Positive Nonlinear Characteristics

45. Scheme for the Discrete Ordinate Equation // Transp. Theory and Stat. Phys., v. 25, № 2, pp. 197-215, 1996.

46. А.В. Воронков, Е.П. Сычугова. Линейный' характеристический метод дискретныхординат для решения уравнения переноса в x-y-z геометрии. Препринт №91 ИПМ им. М.В.Келдыша, 1996.

47. K.D. Lathrop. Spatial Differencing of the Transport Equation: Positivity vs. Accuracy // J. of

48. Сотр. Phys., v.4, № 4, pp. 475-490, 1969.

49. K.A. Mathews. On the propagation of rays in Discrete Ordinates // Nuc. Sci. Eng., v. 132,pp. 155-180, 1999.

50. K.A. Mathews, B.M. Minor. Adaptive Characteristic Spatial Quadratures for Discrete

51. Ordinates Neutral Particle Transport the Rectangular Cell Case // Transp. Theory and Stat. Phys., v.22, pp. 655-685, 1993.

52. W.A. Rhoades, W. W. Engle. A New Weighted-Diamond Formulation for Discrete Ordinates

53. Calculations //Trans. Am. Nucl. Soc., v.27, pp.776-777, 1977.

54. B. Petrovic, A. Haghighat. New Directional Theta-Weighted Sn Differencing Scheme and its

55. Application to Pressure Vessel Fluence Calculations, Proc. of Radiation Protection and Shielding Meeting, Falmouth, MA, v.l, pp3-10, 1996.

56. G.E. Sjoden, A. Haghighat. The Exponential Directional Weighted (EWD) Sn Differencing

57. Scheme in 3D Cartesian Geometry, Proc. of the Int. Conf. on Mathematical Methods and Supercomputing for Nuclear Applications, Saratoga Springs, Oct.5-9, v.2, pp. 1267-1276, 1997.

58. B.G. Carlson. A method of characteristics and other improvements in solution methods forthe transport equation //Nuc. Sci. and Eng.: 61, 408-425 (1976).

59. T.A. Germogenova, A. V. Shwetsov, A.M. Voloschenko. Adaptive Positive Nodal Method for

60. Transport Equation // Transp. Theory and Stat. Phys., v. 23, pp.923-970, 1994.

61. E.T. Tomlison, W.A. Roades, WW. Engle (jr.). Flux Extrapolation Models used in the DOT

62. Discrete Ordinates Neutron Transport Code, ORNL/TM-7033, 1980.

63. S. Osher, S.R. Chakravathy. High Resolution Shemes Using Flux Limiter for Hyperbilic

64. Conservation Laws // S1AM J. Numer. Anal., v.21, p. 985-1011, 1984.

65. A. Harten. Class of High Resolution Total Variation Stable Finite-Dofference Schemes //

66. SIAM J. Numer. Anal., v. 21, p. 1-23, 1984.

67. КВ. Вязников, В.Ф. Тишкин, А.П.Фаворский. Построение монотонных разностныхсхем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа // Мат. Моделирование, т.1, №5, 1989.

68. Е.В. Диянкова, О.С. Широковская. LD-схема для уравнения переноса в сферическойгеометрии // Вопросы Атомной Науки и Техники, Сер. «Математическое моделирование физических процессов», 1989, вып.1, с.40-43.

69. Е.В. Диянкова, О.С. Широковская. Разностная схема повышенного порядкааппроксимации для уравнения переноса // Математическое моделирование, 1994, т.6, №2, с. 113-122.

70. В.М. Головизнин. Балансно-характеристический метод численного решения уравненийгазовой динамики // ДАН, 2005, т.403, №4, с.1-6.

71. А. С. Холодов. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией дляуравнений гиперболического типа // ЖВМ и МФ, т. 18, №6, с.1476-1492, 1978.

72. A. Harten. ENO shemes with Subcell Resolution // J. Сотр. Phys., v.83, p. 148-184.

73. С.А. Лосев, С. Т. Сурэюиков и др. Моделирование радиационных процессов в механикесплошной среды. М., 1990.

74. С.Г. Суржиков. Вычислительный эксперимент в построении радиационных моделеймеханики излучающего газа. М., Наука, 1992, 157с.

75. С. Т. Суржиков. Радиационный перенос тепла в низкотемпературной плазме. ЭНТП,

76. МАИК Наука/Интерпериодика, т.1, с.417-462, 2000.

77. Б.Н. Четверушкин. Математическое моделирование задач динамики излучающегогаза. М.: Наука, 1985.

78. Сборник под ред. А.С.Монин "Оптика океана", т.1, М., Наука, 1983, с.307-338.

79. А.П. Васильков, Б.Ф. Келъбамехаиов. Дистанционные оптические пассивные методыисследования океана, Уральское отд. АН СССР, 1991, 108с.

80. Т.А. Гермогенова. О характере решения уравнения переноса для плоского слоя.// ЖВМи МФ, 1961г., т.1, №6, с. 1001-1019.

81. Т.А. Гермогенова. О дискретном спектре характеристического уравнения теориипереноса. //ЖВМ и МФ, т. 14, №6, с. 1526-1543, 1974.

82. В.Я. Голъдин, В.А. Кузюк, А.Х. Рахматулина. Нелинейный метод расчета переносаэлектронов //ЖВМ и МФ, т.16, №2, с.417-425, 1975.

83. М Landesman, J.E. Morel. Angular Fokker-Plank Decomposition and Representation

84. Techniques.//Nuc. Sci. and Eng., v. 103, p.1-11, (1989).

85. G. Cefus, E. W. Larsen. Stability Analysis of Fine-Mesh Rebalance // J. Trans. Am. Nucl.

86. Soc., v.56, p.309-310,1988.

87. G. Cefus, E. W. Larsen. Stability Analysis of Coarse-Mesh Rebalance // J. Nucl. Sci. Eng.,v.105, p.31-39,1990.

88. W. W. Engle Jr., F.R. Mynatt. A Comparison of Two Methods of Inner Iteration Convergence

89. Acceleration in Discrete Ordinates Codes // J. Trans. Am. Nucl. Soc., v.ll, p.193-194, 1968.

90. W.A. Rhoades, R.L. Childs, WW. Engle Jr. Comparison of Rebalance Stabilization Methodsfor Two-Dimensional Transport Calculations // J. Trans. Am. Nucl. Soc., v.30, p.583-583, 1978.

91. J.E. Aull, W.A. Rhoades, H.L. Dodds. A Modified Approach to Diffusion Acceleration in

92. Neutron Transport Problems // J. Trans. Am. Nucl. Soc., v.32, p.306-307, 1979.

93. W.A. Rhoades. Impovements in Discrete Ordinates Acceleration // J. Trans. Am. Nucl. Soc.,v.39, p.753-, 1981.

94. L.J. Lorence, J.E. Morel, E. W. Larsen. An S2 Synthetic Acceleration Scheme for the One

95. Dimensional Sn Equations with Linear Discontinuos Spatial Differencing.// Nuc. Sci. and Eng., v. 101,341 (1989)

96. M.M. Miften, E. W. Larsen. The Quasi-Diffusion Method for Solving Transport Problems in

97. Planar and Spherical Geometries. // Transport Theory and Statistical Physics, v. 22, № 2&3, p. 165 (1993).

98. Т.А. Сушкевич. Математические модели переноса излучения. М., БИНОМ, 2006, 661с.

99. А.Д. Гаджиев, С.Б. Серов. "Улучшенное полиномиальное представление для дельтаобразных индикатрис рассеяния" // ВАНТ, сер. «Матем. моделир. физ. процессов», 1990, вып.1, с.32-34.

100. J.H. Joseph, W.H. Wiscombe, J.A. Weinman. The Delta-Eddington Approximation for

101. Radiative Flux Transfer // J. Atmos. Sci., 1976, 33, 2452-2459.

102. В.Я. Голъдин. Квазидиффузионный метод решения кинетического уравнения. // Ж.вычисл. матем. и матем. физ., 1964, т.4, №~6, с. 1078-1087.

103. В.Я. Голъдин. О математическом моделировании задач сплошной среды снеравновесным переносом. В сб. «Современные проблемы матем. физ. и вычисл. матем.» М.: Наука, 1982, 340 с.

104. M.L. Adams, Е. W. Larsen. Fast iterative methods for discrete-ordinates particle transportcalculations. //Progress in Nuclear Energy, v. 40, Issue 1, 2002, pp. 3-159.

105. В.Я. Голъдин, H.H. Калиткин, Т.В. Шишова. Нелинейные разностные схемы длягиперболических уравнений // Журн. вычисл. мат. и мат. физ., М., 1965, т. 5, № 5., с. 938-944.

106. В.Я. Голъдин, Г.В. Данилова, Н.Н. Калиткин. Численное интегрирование многомерногоуравнения переноса // В сб. «Численные методы решения задач математической физики», М., 1966, С. 190-193.

107. В.Е. Трощиев. Решение кинетического уравнения и уравнений квазидиффузии посогласованным разностным схемам. В сб.: «Численные методы решения задач математической физики», М., Наука, 1966, с. 177-185.

108. В.Я. Голъдин, Д.А. Гольдина, А.В. Колпаков. О решении двумерной стационарнойзадачи квазидиффузии. М.: Ин.прикл.матем., 1982, препр. № 49, 13 с.

109. В.Я. Голъдин, А.В. Колпаков. Нелинейный метод потоковой прогонки для решения многомерного диффузионного уравнения. — М.: Ин.прикл.матем., 1982, препр. №22, 13с.

110. В.Я. Голъдин, А.В. Колпаков. Комбинированные методы решения многомерной стационарной системы уравнений квазидиффузии. В сб.: Вычислительные методы линейной алгебры, М., 1983г., Отдел Вычисл. Матем. АН СССР, Труды Всес. конф. М„ 1982г., с.60-71.

111. В.Я. Голъдин, В.А. Дегтярев, А.В. Колпаков. Приближенный учет нестационарности в уравнениях квазидиффузии. -М.: Ин.прикл.матем., 1984, препр. № 122.

112. А.В. Шилъков. Математическая модель для описания неравновесной излучающей плазмы. М.: Ин.прикл.матем., 1988, препр. №125.

113. В.Я. Голъдин, А.В. Шилъков. Уравнения высокотемпературной радиационной газовой динамики в квазидиффузионном виде. М.: Ин. прикл. матем., 1981, препр. № 43.

114. В.Я. Голъдин, Д.А. Гольдина, А.В. Колпаков, А.В. Шилъков. О моделировании задач высокотемпературной РГД. М.: Ин.прикл.матем., 1984, препр. № 102.

115. А.А. Чарахчъян, ЮД. Шмыглевскгш. Численные методы в динамике излучающего газа // ЖВМ и МФ, т.20, №5, с. 1249-1265, 1980.

116. В.Я. Голъдин, А.В. Колпаков. Математическое моделирование лазерного сжатия сферической термоядерной мишени со стеклянной оболочкой // Математическое моделирование, 1995, Т. 7, № 11, С. 29-38.

117. D.Y. Anistratov. The Generalized Quasidiffiision Method for Solving Adjoint Transport Problems with Alternating Solutions // Trans. Am. Nucl. Soc., v. 83, 348-350 (2000).

118. A. Constantinescu, D.Y. Anistratov. Stability Analysis of the Quasidiffiision Method for ID Periodic Heterogeneous Problems // Trans. Am. Nucl. Soc., v. 95, 565-567 (2006).

119. D.Y. Anistratov. Consistent Spatial Approximation of the Low-Order Quasidiffusion Equations on Coarse Grids //Nuclear Science and Engineering, v. 149, p. 138-161 (2005).

120. H. Hiruta, D.Y. Anistratov, M.L. Adams. 'Splitting Method for Solving the Coarse-Mesh Discretized Low-Order Quasidiffusion Equations // Nuclear Science and Engineering, v. 149, p. 162-181 (2005).

121. H. Hiruta, D.Y. Anistratov. Homogenization Method for 2D Low-Order Quasidiffusion Equations for Reactor Core Calculations // Nuclear Science and Engineering, v. 154, p. 328-352 (2006).

122. W. Wieselquist, D.Y. Anistratov. The Quasidiffusion Method for 2D Transport Problems on AMR Grids // Trans. Am. Nucl. Soc., v. 96, p. 565-567 (2007).

123. W.A. Wieselquist, D.Yu. Anistratov. The Quasidiffusion Method for Transport Problems in 2D Cartesian Geometry on Grids Composed of Arbitrary Quadrilaterals // Trans. Am. Nucl. Soc., v. 97, p. 475-478, (2007).

124. D.Y. Anistratov. Nonlinear Quasidiffusion Acceleration Methods with Independent Discretization // Trans. Am. Nucl. Soc., v. 95, p. 553-555 (2006).

125. E.W. Larsen, J. Yang. A Functional Monte Carlo Method for k-eigenvalue problems // Nuc. Sci. and Eng., v. 159, p. 107-126, 2008.

126. H.H. Калиткин. О двухтемпературной плазме. — М.: Ин.прикл.матем., 1971, препр. № 8, 9с.

127. J.I. Castor. Radiative transfer in spherically symmetric flows // The Astrophysical J., 1972, V. 178, P. 779-792.

128. N. Kaneko, K. Morita, M. Maekawa. The comoving-frame equation of radiative transfer in a curvilinear coordinate system // J. Astrophysics and Space Science, 1984, V. 87, №2, P. 333-346.

129. H.H. Калиткин. Свойства вещества и МРГД-программы // Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1982, 340 с.

130. Б.Н. Четверушкин. Построение тестов и некоторые вопросы численного решения уравнения переноса нейтронов. В сб.: «Вычислительные методы в теории переноса» под. ред. Г.И.Марчука, М., Атомиздат, 1969, с. 189-201.

131. Н.Н. Калиткин, JI.B. Кузьмина. Об естественных интерполяционных сплайнах // Математическое моделирование, 1994, т.6, №4, с.77-110.

132. М.И. Башрова, В.Я. Карпов, М.И. Мухина. Характеристико-интерполяционный метод решения уравнения переноса // Дифференциальные уравнения, 1986, т.22, №7, с. 1141-1148.

133. АД. Гаджиев, В.Н. Писарев, А.А. Шестаков. Метод расчета двумерных задач теплопроводности на неортогональных сетках // ЖВМ и МФ., т. 22, № 2., с. 339-347, 1982.

134. Б.Н. Четверушкин. Об одном итерационном алгоритме решения разностных уравнений //ЖВМ и МФ, 1976, т. 16, №2, с.519-524.

135. А.А. Самарский, Е.С. Николаев. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

136. А.А. Самарский. Теория разностных схем. М., Наука, 1989, 616с.

137. Дж. Деммелъ. Вычислительная линейная алгебра. М., «Мир», 2001, 429с.

138. Ю.В. Воробьев. Метод моментов в прикладной математике. — М., Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1958, 186с.

139. О.Ю. Милюкова, Б.Н. Четверушкин. Параллельный вариант попеременно-треугольного метода // ЖВМ и МФ, т.38, №2, с.228-238, 1998.

140. В.Я. Голъдин, С.В. Шилькова. Нелинейный метод решения системы разностных уравнений типа стационарной квазидиффузии // Математическое моделирование, т.16, №1, с.97-106, 2004.

141. Р.П. Федоренко. Введение вычислительную физику. М., Изд-во Моск. физ.-техн. института, 1994, 516с.

142. В.Е. Трощиев, В.Ф. Юдинцев, В.И. Федянин. Об ускорении сходимости итераций при решении кинетического уравнения // ЖВМ и МФ, 1968, т.8, №2, с. 452-458.

143. В.Е. Трощиев, В.А. Шумилин. Разностная схема решения двумерного уравнения переноса на нерегулярных четырехугольных сетках // ЖВМ и МФ, 1986, т.26, №2, с. 230-241.

144. В.Е. Трощиев. О классах сеток, допускающих консервативные аппроксимации двумерного оператора переноса треугольным разностным оператором // ЖВМ и МФ, т.16, №3, с.793-797, 1976.

145. А.Н. Москвин, В.А. Шумилин. Методика решения двумерного уравнения переноса на нерегулярных многоугольных сетках // ВАНТ, «Математическое моделирование физических процессов», 2005, Вып.1, с. 31-40.

146. J.A. Fleck, Jr. and J.D. Cummings. An Implicit Monte Carlo Scheme for Calculating Time and Frequency Dependent Nonlinear Radiation Transport // J. of Computational Physics, 1971, V. 8, № 3, P. 313-342.

147. Л.П. Федотова, P.M. Шагалиев. Конечно-разностный КМ-метод для двумерных нестационарных процессов переноса в многогрупповом кинетическом приближении // Математическое моделирование, 1991, т. 3, № 6, С.29-42.

148. В.В. Соболев. Рассеяние света в атмосферах планет. М., Наука, 1972, 111стр.

149. Д. Дейрменджан. Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами, М., "Мир", 1971.

150. Д.Ю. Анистратов, В.Я. Гольдип. Решение многогрупповых уравнений переноса методом квазидиффузии М., Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1986, № 128.

151. В.Я. Голъдин, А.В. Колпаков, А.В. Соколов. Методы решения многогруппового уравнения переноса методом квазидиффузии М., Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1978, N 80.

152. P. Miazza, J. Ligou. The Exact Kernel I* Method Applied to the Charged-Particle Transport Equation.//Nuc. Sci. and Eng., v. 105, p.59-78 (1990).

153. K. Przybylski, J. Ligou. Numerical Analysis of the Boltzmann Equation Including Fokker-Planck Terms.//Nuc. Sci. and Eng., v. 81, p. 92-101, 1982.

154. AM. Voloschenko. Completely Consistent Pi Synthetic Acceleration Scheme for Charged-Particle Transport Calculations. Proceeding 1996 Topical Meeting Radiation Protection and Shielding, Falmouth, Massachusets, v.l, p.408-417, 1996.

155. М.И. Будыко. Справочник "Тепловой баланс Земли". Л. Гидрометеоздат, 1978.

156. Сборник под ред. А.С. Монин "Оптика океана", т.1, М., Наука, 1983, с.307-338.

157. А.П. Васильков, Б.Ф. Кельбамеханов. Дистанционные оптические пассивные методы исследования океана, Уральское отд. АН СССР, 1991, 108с.

158. И.Л. Цветкова, А.В. Шилъков. Осреднение уравнения переноса в резонансно поглощающей среде. // Математическое моделирование, 1989, т.1, № 1, с.91-100.

159. А.В. Шилъков. Методы осреднения сечений и энергетического спектра в задачах переноса нейтронов. //Ж. Матем. моделирование. 1991, т. 3 , No 2, с. 63-81.

160. А. V. Shilkov. Generalized Multigroup Approximation and Lebesque Averaging Method in Particle Transport Problems. // J. Transport Theory and Statistical Physics, 1994, v.23, №6, p. 781-814.

161. C.B. Можейко, И.Л. Цветкова, А.В. Шильков. Расчет переноса излучения в горячем воздухе. // Математическое моделирование, 1992, т. 4, № 1, с. 65-82.

162. А.В. Шильков, И.Л. Цветкова, C.B. Шилькова. Система кодов и банк данных "ATRAD" для прецизионных расчетов атмосферной радиации.// Математическое моделирование, 1994, т. 6, № 7, с. 91-102.

163. А.В. Шильков, ИЛ. Цветкова, С.В. Шилькова. Система "ATRAD" для расчетов атмосферной радиации: реконструкция микросечений поглощения и рассеяния.// Математическое моделирование, 1996, т. 8, № 8, с. 104-127.

164. А.В. Шильков, И.Л. Цветкова, С.В. Шилькова. Система "ATRAD" для расчетов атмосферной радиации: лебеговское осреднение спектров и сечений поглощения // Математическое моделирование, 1997, т. 9, № 6, с.3-24.

165. Т.А. Гермогенова. О характере решения уравнения переноса для плоского слоя // ЖВМ и МФ, 1961г., т. 1, №6, с. 1001-1019.

166. Т.А. Гермогенова. О дискретном спектре характеристического уравнения теории переноса// ЖВМ и МФ, 1974г., т. 14, №6, с. 1526-1543.

167. В.Я. Голъдин, В.А. Кузюк, А.Х. Рахматулина. Нелинейный метод расчета переноса электронов //ЖВМ и МФ, 1975г., т.16, №2, с.417-425.

168. В.Я. Голъдин, Г.В.Данилова, Б.Н. Четверушкин. Приближенный метод расчета нестационарного кинетического уравнения // В сб. «Вычисл. методы в теории переноса», М., Атомиздат, 1969, с.50-58.

169. Т.А. Гермогенова, Т.А. Сушкевич. Решение уравнения переноса методом средних потоков. // В сб. «Вопросы физ. защиты реакторов», Вып.З, М., Атомиздат, 1969, с.34-46.

170. В.Я. Голъдин, Е.Н. Аристова, А.В. Шильков. Разработка методов расчета, программы и тестирование методов расчета переноса излучения при сильной анизотропии рассеяния. // Отчет ИММ РАН N8, июнь 1997г.

171. Перенос радиации в рассеивающих и поглощающих атмосферах. Стандартные методы расчета. Под ред. Ж. Ленобль. JL: Гидрометеоиздат, 1990,230с.

172. М.Я. Маров, В.П. Шари, Л.Д. Ломакина. Оптические характеристики модельных аэрозолей атмосферы земли. ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, М.: 1989, 230с.

173. О.В. Moskalev. The Reconstraction of a Positive Function From Its Finite Fourier Series // J. Transport Theory and Statistical Physics, 1993, v.22,N~2\&3, p.347-358.

174. Н.Н. Калиткин, JI.B. Кузьмина. Естественные интерполяционные сплайны высоких степеней // Математическое моделирование, 1997, т.9, №6, с.67-81.

175. А.В. Шилъков, С.В. Шшъкова. Система ATRAD для расчетов атмосферной радиации: Результаты расчетов переноса теплового излучения в безоблачной летней атмосфере средних широт // Математ. моделирование. 1999, т.11, № 1, с. 18-24.

176. В.A. Fomin, Yu.V. Gershanov. Tables of the Benchmark Calculations of Atmospheric Fluxes for ICRCCM Test Cases. Part 1: Long-Wave Clear-Sky Results. // Preprint of Russian Research Centre 'Kurchatov Institute', IAE-5981/1, Moscow,1996.

177. Y. Fouquart, B. Bonnel, V. Ramaswamy. Intercomparing Shortwave Radiation Codes for Climate Studies: Long Wave Results. // J. Geophysical Research, 1991,v. 96,N D5,p. 89558968.

178. R.A. McClatchey, R.W. Fenn, J.E.A. Selby, F.E. Volz andJ.S. Goring. Optical properties of the atmosphere, 3rd ed., 110 pp., Environ. Res. Pap. 411, Air Force Cambridge Res.Lab., Bedford, Mass., 1972.

179. R.A. McClatchey, et. al. A Preliminary Cloudless Standard Atmosphere for Radiation Computation. // World Climatic Research Program. 1986, WCP 112, World Met.Organ. /TD, № 24.

180. L.S. Rothman, et. al. The Hitran Molecular Data Base: 1992 edition. // J. Quant. Spectrosc. and Radiat. Transfer, 1992, v. 48, p. 467-507.

181. R.G. Ellingson, J. Ellis, S. Fels. The Intercomparison of Radiation Codes Used in Climate Models: Long Wave Results. // J. Geophysical Research, 1991, v. 96, № D5, p. 8929-8953.

182. С.Ю. Гуськов, Н.Н.Демченко, В.Б.Розанов и др. Симметричное сжатие мишеней «лазерный парник» малым числом лазерных пучков // Квантовая электроника, 2003, т.ЗЗ, с.95-104.

183. И.Г. Лебо, И.В.Попов, В.Б.Розанов, В.Ф. Тишкин. Численное моделирование теплового выравнивания и гидродинамической компенсации в мишенях «Лазерный парник» // Квантовая электроника, 1995, №22, с.1257-1261.

184. Н.И. Боков, А.А. Бунатян, А.А. Лыков и др. О возможности снижения чувствительности микромишени к несимметрии лазерного облучения. — Новосибирск, ПМТФ, 1982, №4, с20.

185. С.Ю. Гуськов, В.Б. Розанов. Взаимодействие лазерного излучения с пористой средой и образование неравновесной плазмы // Квантовая электроника, 1997, т.24, №8, с.715-720.

186. В.Б. Розанов. О возможности сферического сжатия мишеней с термоядерным горючим при использовании для облучения двух лазерных пучков // УФЫ, 2005, т,174, №4, с.371-382.

187. Н.Г. Борисенко, Ю.А. Меркулъев. Мишени с микрогетерогенной структурой для сферического облучения. Труды ФИАН. М., Наука, 1992, т.220, с.28-46.

188. Е.Н. Аврорин, А.И.Зуев, Н.Г. Карлыханов и др. Расчеты мишеней для JITC по программе «Заря». // Вопросы атомной науки и техники, сер. Методики и программы численного решения задач математической физики, 1985, вып.2, с.21-28.

189. М. Dunne, М. Borghesi, A. Ivase et al. Evaluation of a foam buffer target design for spatially uniform ablation of a laser-irradiated target // Phys. Rev. Lett., 1995, v.75, №21, p.3858-3861.

190. T. Afshar-rad, M. Desselberger, M. Dunne et al. Supersonic propagation of an ionizayion front in low density foam targets driven by thermal radiation // Phys. Rev. Lett., 1994, v.73, pp.74-77.

191. J. Limpouch, NN. Demchenko, S.Yu. Gus'kov et al. Laser interaction with plastic foam-metallic foil layered targets // Plasma Phys. Control. Fusion, 2004, v.46, p.1831-1846.

192. А.Э.Бугров, И.Н. Бурдонский, B.B. Гаврилов и др. Взаимодействие мощного лазерного излучения с малоплотными пористыми средами // ЖЭТФ, 1997, т.11, с.903-918.

193. А.Э. Бугров, И.Н. Бурдонский, В.В. Гаврилов и др. Процессы поглощения и рассеяния мощного лазерного излучения в малоплотных пористых средах // ЖЭТФ, 1999, т.115, №3, с.805-818.

194. W. Nazarov. An In-Situ Polymerization Technique for the Production of Foam-Filled Laser Targets // J. Moscow Phys. Soc., 1998, v.8, p.251-255.

195. A.B. Iskakov, I.G. Lebo and V.F. Tishkin, 2D Numerical Simulation of the Interaction of High-Power Laser Pulses with Plane Targets Using the "ATLANT-C" Lagrangian Code // Journal of Russian Laser Research, 2000, Vol. 23, № 3, p. 247-263.

196. Ю.В.Афанасьев, Е.Г. Гамалий, В.Б.Розанов. Основные уравнения динамики и кинетики лазерной плазмы. В сб. Труды ФИАН М., Наука, 1982, т. 134, №10.

197. И.Г. Лебо, В.Ф. Тишкин. Исследование гидродинамической неустойчивости в задачах лазерного термоядерного синтеза. М., Наука, Физматлит, 2006, с.208-218.

198. И.В.Авилова, JI.M. Биберман, B.C. Воробьев и др. Оптические свойства горячего воздуха. М. Наука, 1970, 320с.

199. Н.Ю. Орлов. Модели горячих конденсированных сред. ЭНТП, МАИК Наука/Интерпериодика, т.1, с.409-417, 2000.

200. Н.Ю. Орлов. Ионная модель вещества // Математическое моделирование, 1992, Т.4, №8, С. 19-30.

201. В.Г. Новиков, А.Ф. Никифоров, В.В. Валько. Коэффициенты поглощения фотонов в плазме по модели Дирака-Фока-Слэттера и их сравнение с результатами полуэмпирических методов // Теплофизика высоких температур, 1993, Т. 31, №6,1. C. 881-889.

202. R. Feynman, N. Metropolis, Е. Teller. Equations of state of elements based on the generalized Fermi-Thomas theory // Phys. Rev., 1949, 75, pp. 73-79.

203. B.F. Rozsnyai, Relativistic Hartree-Fock-Slater calculations for arbitrary temperature and matter density // Phys. Rev., 1972, 5A, No 3, pp. 1137-1149.

204. А.Ф.Никифоров, В.Б. Уваров. Описание состояния вещества в области высоких температур на основе уравнений самосогласованного поля // Численные методы механики сплошной среды, 1973, 4, с. 114-117.

205. B.F. Rozsnyai, An overview of the problems connected with theoretical calculations for hot plasmas // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1982, 27, No. 3, pp. 211-217.

206. N.Yu. Orlov. Ion Model of a Hot Dense Plasma // Laser and Particle Beams, 1997, 15, pp. 627-634.

207. Н.Ю. Орлов, В.Е. Фортов. Сравнительный анализ теоретических моделей плотной высокотемпературной плазмы и метод функционала плотности // Физика плазмы, 2001, 27, № 1, с. 45-57.

208. Н.Ю. Орлов. Квантово-статистический расчет свойств смеси химических элементов с учетом флуктуаций чисел заполнения электронных состояний // ЖВМ и МФ, 1987, 27, с. 1058-1067.

209. N. Yu. Orlov. Calculation of the Radiative Opacity of a Hot Dense Plasma // Contributions to Plasma Physics, 1999, 39, pp. 177-180.

210. N. Yu. Orlov, Theoretical Models of Hot Dense Plasmas for Inertial Confinement Fusion // Laser and Particle Beams, 2002, 20, pp. 547-549.

211. N. Yu. Orlov, S. Yu. Gus 'kov, S.A. Pikuz, V.B. Rozanov, T.A. Shelkovenko, N. V. Zmitrenko,

212. D.A. Hammer. Theoretical and experimental studies of the radiative properties of hot dense matter for optimizing soft X-ray sources // Laser and Particle Beams, 2007, vol. 25, pp. 415-423.

213. C. Bowen, A. Decoster, C.J. Fontes, K.B. Fournier, O. Peyrusse, Yu.V. Ralchenko. Review of the NLTE emissivities code comparison virtual workshop // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 2003, vol. 81, p. 71.

214. С.Т. Суржиков. Оптические свойства газов и плазмы. Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004.

215. Г.А. Вергупова, Е.М. Иванов, В.Б. Розанов. Расчет оптических характеристик неравновесной плазмы алюминия и меди. Препринт ФИАН им. П.Н.Лебедева, 1999, N74, 32 с.

216. Г.А. Вергунова, Е.М. Иванов, В.Б. Розанов. Спектры излучения плазмы при воздействии лазерных импульсов малой длительности и высокой интенсивности на твердотельные мишени // Квантовая электроника, 2003, 33, с. 105-109.

217. J.C. Stewart, K.D. Pyatt Jr. Lowering of ionization potentials in plasmas // Astrophysical Journal, 1966, 144, p. 1203.

218. W. Cunto, C. Mendoza, F. Ochsenbein, C.J. Zeippen. TOPbase at the CDS // Astronomy & Astrophysics, 1993, 275, p. L5.

219. P.А. Волкова, B.M. Головизнин, В.К. Коршунов, Двумерные вариационно-разностные схемы газовой динамики с мультиплетным числом термодинамических степеней свободы, М., 1982, препринт ИПМ им. М.В.Келдыша №64.

220. Н.Г. Борисенко, И. В. Акимова, А.И.Громов и др. Поглощение интенсивного1Слазерного излучения (до 10 Вт/см ) и перенос энергии в подкритических средах, в т.ч. содержащих добавки тяжелых элементов. Препринт ФИАН им. П.Н.Лебедева, — М., 2005, №26,45с.

221. Н.Н. Калиткин, И. А. Козлитин. Микрополевые поправки к термодинамике неидеальной плазмы. // Математическое моделирование, 2009, т. 21, № 5.

222. S. Depierreux, С. Labaune, D.T. Michel et al. Smoothing of a laser beam intensity fluctuations in a low density foam plasma // Phys. Rev. Letters, 2009 (в печати).

223. L. Spilzer, R. Harm. Transport phenomena in a completely ionized gas // Phys. Rev. 1953, v.89, № 5, p.977-981.

224. А.И. Лебо, И.Г.Лебо. Взаимодействие мощных лазерных импульсов с малоплотными мишенями в экспериментах на установке «PALS» // Матем. моделирование, 2009, т.21, №1, с.75-91.

225. Л.П. Феоктистов. Анализ одной концепции физически безопасного реактора. -Препринт ИАЭ-4605/4, 1988.

226. Л.П. Феоктистов. Безопасность ключевой момент возрождения ядерной энергетики // Успехи физ. наук, 1993, № 8, с. 89-102.

227. В.Я. Голъдин, Д.Ю. Анистратов. Реактор на быстрых нейтронах в саморегулируемом нейтронно-ядерном режиме // Мат. моделирование, 1995, т. 7, № 10, с. 12-32.

228. В.Я. Голъдин, Ю.В. Трощиев, Г.А. Пестрякова. Об управлении реактором на быстрых нейтронах в саморегулируемом режиме 2-го рода // ДАН, 1999, т. 369, №2, с. 170— 172.

229. В.Я. Голъдин, Г.А. Пестрякова, Ю.В. Трощиев. Усовершенствование математической модели саморегулируемого реактора // Мат. моделирование, 2002, т. 14, № 12, с. 3947.

230. В.Я. Голъдин, Г.А. Пестрякова, Ю.В. Трощиев. Управление быстрым реактором с оксидным уран-плутониевым топливом в саморегулируемом режиме без запаса реактивности // Атомная энергия, 2004 г., т. 97, вып. 1, с. 3-9.

231. В.Я. Голъдин, Ю.В. Трощиев. Управление мощностью быстрого реактора в саморегулируемом режиме и его пуск // Атомная энергия, 2005, т. 98, вып. 1, с. 1824.

232. М.Н. Николаев, A.M. Цибуля, А.ГЦикунов. и др. Комплекс программ CONSYST/ABBN — подготовка констант БНАБ к расчетам реакторов и защиты. Отчет ГНЦ РФ ФЭИ №9865, 1998.

233. О.Д. Казачковский, В.А. Елисеев, В.И. Матвеев и др. Перспективы использования смешанного оксидного топлива в быстрых реакторах с натриевым охлаждением // Атомная энергия, 2004, т. 96, вып. 5, с. 361-366.

234. Е.Н.Аристова, А.В. Колпаков. Комбинированная разностная схема для аппроксимации эллиптического оператора на косоугольной ячейке // Математическое моделирование, т.З, №4, 1991, стр.93-102

235. E.N. Aristova, А. V. Kolpakov. A Combined Finite Difference Scheme for an Elliptic Operator in an Oblique-Angled Cell // MMCE, vol.1, № 2., 1993, pp. 187-196.

236. Д.Ю. Анистратов, E.H. Аристова, В.Я. Голъдин. Нелинейный метод решения задач переноса излучения в среде // Математическое моделирование, т.8, №12, 1996, стр.З-29.

237. Е.Н. Аристова, В.Я. Голъдин. Метод учета сильной анизотропии рассеяния в уравнении переноса. Труды межд. конф. СМСР-96 (Computational Modelling and Computing in Physics) 16-21 сент., Дубна, 1997, c.77-81.

238. E.H. Аристова, В.Я. Голъдин, А.В. Колпаков. Методика расчета переноса излучения в теле вращения // Математическое моделирование, т.9, №3, 1997,с.91-108.

239. Е.Н. Аристова, В.Я. Голъдин, А.В. Колпаков. Перенос излучения через кольцевую щель в теле вращения // Математическое моделирование, т.9, №4, 1997, с.3-10.

240. Е.Н. Аристова, В.Я. Голъдин. Метод учета сильной анизотропии рассеяния в уравнении переноса // Математическое моделирование, т.9, №6, 1997, с.39-52.

241. E.N. Aristova, V.Ya. Gol'din. Calculation of Anisotropic Scattering of Solar Radiation in Atmosphere (Monoenergetic Case) // Aerosols (science, devices, sofitware& technologies of the former USSR), 1998, v.4e, №3, pp.103-114.

242. E.H. Аристова, В.Я. Голъдин. Расчет анизотропного рассеяния солнечного излучения в атмосфере (моноэнергетический случай) // Математическое моделирование, т.10, №9, 1998, с.14-34.

243. Е.Н.Аристова, В.Я. Голъдин, А.В. Шильков, С.В. Шилькова. Система ATRAD для расчетов атмосферной радиации: расчеты солнечного излучения для летней атмосферы средних широт // Математическое моделирование, т.11, №5, 1999, с.117-125.

244. А.В. Шильков, С.В. Шилькова В.Я. Голъдин, Е.Н. Аристова. Экономичные прецизионные расчеты атмосферной радиации на основе системы ATRAD // ДАН, 1999, т.З69, №5, с.611-613.

245. А. V. Shil'kov, S.V. Shil'kova, V.Ya. Gol'din, E.N. Aristova. Efficient Precise Computation of Atmospheric Radiation Based on the ATRAD System // Doklady Mathematics, vol.60, №.3, p.469-471.

246. E.H. Аристова, В.Я. Голъдин. Эффективное понижение размерности уравнения переноса. Энциклопедия низкотемпературной плазмы, 2000, вводный т.1, М., МАИК Наука/Интерпериодика, с. 462-471.

247. E.N. Aristova, V.Ya. Gol'din. Computation of anisotropy scattering of solar radiation in atmosphere (monoenergetic case) // Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer, v. 67, p.139-157, 2000.

248. В.Я. Голъдин, Г.А. Пестрякова, Ю.В. Трощиев, E.H. Аристова. Исследование саморегулируемого нейтронно-ядерного режима 2-го рода в быстром реакторе // Математическое моделирование, т. 12 (2000), № 4, с. 33-38.

249. Е.Н. Аристова, В.Я. Голъдин. Нелинейное ускорение итераций решения эллиптических систем уравнений // Математическое моделирование, т. 13-(2001), № 9, с. 82-90.

250. В.Я. Голъдин, Г.А. Пестрякова, Ю.В. Трощиев, Е.Н. Аристова. Саморегулируемый нейтронно-ядерный режим в реакторе с жестким спектром и карбидным топливом // Математическое моделирование, т. 14 (2002), № 1, с. 27-40.

251. В.Я. Голъдин, Г.А. Пестрякова, Ю.В. Трощиев, Е.Н. Аристова. Быстрый реактор на оксидном уран-плутониевом топливе в саморегулируемом режиме // Атомная энергия, (2003), т.94, вып.З, стр. 184-190.

252. E.N. Aristova, А.В. Iskakov, I.G. Lebo, V.F. Tishkin. 2D Lagrangian code LATRANT for simulation radiation gas dynamic problems. Proceedings of SPIE, v.5228, ECLIM2002, Editors: O.N.Krokhin, S.Y.Gus'kov, Yu.A.Mercul'ev, December 2003, pp.131-142.

253. E.H. Аристова, А.Б. Искаков. LATRANT: двумерная лагранжевая методика расчета течений излучающего газа в приложении к задачам УТС // Математическое моделирование, т. 16 (2004), №3, с.63-77.

254. Е.Н.Аристова, Д.И. Асоцкий, В.Ф. Тишкин. О параллельном алгоритме расчета течений излучающего газа LATRANT-P // Математическое моделирование, т. 16 (2004), №4, с.105-113.

255. Е.Н.Аристова, В.Я. Голъдин, А.С. Дементьев. Разностное решение двумерного стационарного уравнения переноса в переменных Владимирова // Математическое моделирование, т. 18 (2006), № 6, с. 44-52.

256. Е.Н.Аристова, Д.Ф. Байдин, В.Я. Голъдин. Два варианта экономичного метода решения уравнения переноса в r-z геометрии на основе перехода к переменным Владимирова // Математическое моделирование, т. 18 (2006), № 7, стр.43-52.

257. Е.Н. Аристова, В.Я. Голъдин. Расчет уравнения переноса нейтронов совместно с уравнениями квазидиффузии в r-z геометрии // Математическое моделирование, т. 18 (2006), № И, с.61-66.

258. E.N. Aristova, D.F. Baydin, V.Ya. Gol'din. Comparison of the efficiency of the transport equation calculation methods in characteristics variables // Transport Theory and Statistical Physics, 2008, v.37, № 2&4, p. 286-306.*

259. E.N.Aristova. Simulation of radiation transport in channel on the basis of quasi-diffusion method // Transport Theory and Statistical Physics, 2008, v.37, № 5&7, p. 483-503.

260. V. Rozanov, D. Barishpoltsev, E.N. Aristova et al. Energy transfer in low-density porous targets doped by heavy elements // Journal of Physics: Conference Series, v. 112 (2008), 022010, (4pp).

261. E.H. Аристова, В.Я. Гольдин. Экономичный расчет многогруппового уравнения переноса нейтронов для пересчета усредненных по спектру сечений // Математическое моделирование, т.20, №11, стр. 41-54, (2008).

262. Е.Н. Аристова. Аналог монотонной схемы для решения несамосопряженной системы уравнений квазидиффузии в r-z-геометрии // Математическое моделирование, 2009, т.21, №2, с.47-59.

263. В.Я. Гольдин, Г.А. Пестрякова, М.И. Стойнов, Е.Н. Аристова. Проект активной зоны реактора типа БН-800, работающего без запаса реактивности с минимальным управлением в течение длительного времени // Математическое моделирование, 2009, (в печати).