автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование волновых процессов в твердых телах после ударного воздействия

На правах рукописи

ЗАЛЕТДИНОВ Артур Вильевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ ПОСЛЕ УДАРНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

Специальность: 05.13.18 -Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

2 2 МАЙ 2014

Воронеж - 2014

005548449

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)»

Научный руководитель: Локтев Алексей Алексеевич, доктор физико-

математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)», заведующий кафедрой «Строительная механика, машины и оборудование», декан факультета «Информатизация, экономика и управление»

Официальные оппоненты: Алгазин Сергей Дмитриевич, доктор физи-

ко-математических наук, профессор, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук (г. Москва), ведущий научный сотрудник лаборатории механики и оптимизации конструкций;

Некрасова Наталия Николаевна, кандидат технических наук, доцент, Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, доцент кафедры высшей математики

Ведущая организация: Донской государственный технический уни-

верситет (г. Ростов-на-Дону)

Защита диссертации состоится «30» июня 2014 г. в 11:00 на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» по адресу: 394026, г. Воронеж, Московский проспект, 14, конференц-зал

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке и на сайте www.vorstu.ru ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет».

Автореферат разослан «29» апреля 2014 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Барабанов Владимир Федорович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Работа посвящена математическому моделированию процессов распространения волновых поверхностей в плоском упругом элементе, обладающем анизотропными свойствами. Волновые поверхности появляются в мишени из-за ударного воздействия на нее твердого тела, реологические свойства которого распространяются на зону контакта при непосредственном воздействии ударника. Распространение волновых поверхностей с конечными скоростями становится возможным благодаря использованию волновых уравнений мишени типа Уфлянда-Миндлина-Рейснера, учитывающие деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения нормалей к поперечным сечениям, благодаря чему уравнения являются гиперболическими. Определяющие динамическое поведение точек плоского элемента уравнения позволяют предположить, что его деформирование вне области взаимодействия ударника и мишени происходит, в том числе, и за счет распространение с конечными скоростями волн.

Необходимость более точного представления о поведении конструкций под действием нагрузки заставляют проектировщиков и исследователей идти по пути усложнения математических моделей процессов и объектов. Наиболее интересными и сложными в математическом моделировании в области различных инженерно-технических приложений являются задачи динамического воздействия, рассмотренные многими зарубежными и отечественными исследователями Abrate, Al-Mousawi, Inoue, Corbett, Backman, Goldsmith, Cantwell, Morton, Johnson, Jaeger, Richardson, Zhong, Айзикович, Баландин, Гольдсмит, Джонсон, Кильчев-ский, Александров, Ромалис, Локтев и др. Они актуальны как с точки зрения развития фундаментальных разработок, так и с точки зрения моделирования процессов, происходящих в различных телах. Учет линейно упругих, вязкоупругих, изотропных и анизотропных свойств материалов элементов конструкций, подвергающихся динамическому воздействию твердого тела, после чего в первом теле начинают распространяться волновые поверхности, обуславливает более точное представление о характере протекания процесса деформирования, влияние этих свойств не до конца изучено до сих пор. Актуальной является также проблема создания достаточно простой расчетной модели и алгоритмов расчета задач ударного взаимодействия с учетом распространяющихся с конечными скоростями волновых поверхностей, а также их реализация в виде программного приложения.

Работа выполнена в рамках научного направления «Моделирование физических процессов в твердых телах и разработка программных приложений для расчета их параметров» ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)».

Цель исследования: разработка комплекса математических моделей, численных методов, алгоритмов и проблемно-ориентированных программ для построения математических моделей распространения волновых поверхностей в плоских телах, реологические свойства которых описываются различными моделями и физическими параметрами, после ударного воздействия.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1) исследование динамического взаимодействия ударника с пластинками с учетом волновых явлений и возможностей современных методов и алгоритмов.

2) разработка математической модели поведения плоских элементов после динамического воздействия при наличии распространяющихся упругих волн.

3) разработка численного метода определения волновых характеристик динамического воздействия.

4) изучение влияния изотропных и анизотропных свойств материала пластинки, упругих и вязкоупругих свойств области воздействия на конечные динамические характеристики.

5) реализация предлагаемой модели и алгоритмов в виде вычислительного комплекса, пригодного для использования проектными и научно-исследовательскими организациями, определение в ходе численного эксперимента точек встречи прямых и отраженных волновых поверхностей.

Методы исследования. В работе использованы методы асимптотических разложений неизвестных величин в ряды по пространственной координате и времени, а также по специальным функциям, методы сращивания решений контактной и волновой задачи, а также методы математического моделирования физических процессов в твердых телах, численные методы линеаризации искомых функций, методы объектно-ориентированного и визуального программирования. Для исследования процесса распространения волн в упругих средах проводилось имитационное моделирование на ЭВМ.

Тематика работы соответствует п.З «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий», п.4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента», п.8 «Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования» паспорта специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

Достоверность полученных результатов базируется на корректной математической постановке задач. Полученные в работе численные результаты согласуются с общими физическими представлениями. Правильность полученных результатов определяется корректностью математических выкладок и сопоставлением с известными результатами других авторов.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1) математическая модель поведения волновых поверхностей в плоских телах, основанная на использовании неклассических уравнений и граничных условий и расширенная на определение конечных характеристик вблизи области динамического взаимодействия и на некотором удалении от нее.

2) численный метод определения характеристик динамического воздействия, учитывающий распространяющиеся волновые поверхности и различные свойства взаимодействующих тел, основанный на непрерывном объединении решений волновой и контактной задачи и использовании итерационной процедуры для линеаризованных функций и обеспечивающий возможность вычисления широкого спектра величин.

3) численный метод определения точек встречи прямых и отраженных упругих волн, учитывающий многократное отражение волн от границ тела и позволяющий определить точки возникновения экстремальных значений динамических характеристик.

4) структура программного комплекса моделирования и вычисления конечных характеристик динамического взаимодействия с учётом распространения волновых фронтов, отличающаяся гибкой системой взаимодействия программных модулей и реализуемых моделей, позволяющая формировать индивидуальную вычислительную среду для пользователя.

Практическая ценность. Разработанные алгоритмы оценки динамических величин могут быть использованы проектными и научно-исследовательскими организациями в процессе проектирования конструкций, в которых могут распространяться волновые поверхности (плиты перекрытия, оболочечные элементы и т.д.) с целью определения критических точек, нуждающихся в усилении.

Реализация и внедрение результатов исследования. Результаты диссертационного исследования вошли в курс «Прикладная теория колебаний» кафедры «Строительная механика, машины и оборудование» Московского государственного университета путей сообщения.

Апробация. Основные положения и результаты докладывались и обсуждались на Всероссийских научно-практических конференциях «Математика, информатика, естествознание в экономике и в обществе» (Москва, 2009 г.,2010 г., 2012 г.), на Всероссийской научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Москва 2010, 2012 г.), а также на семинарах Московского государственного университета путей сообщения и Московского финансово-юридического университета.

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 4 статьи опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, получено свидетельство на программу для электронных вычислительных машин. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателем предложены: в [1] — многоуровневая структура расположения и взаимосвязи элементов в составе сложной системы, послужившая прообразом предложенной в диссертации модели распространения волновых поверхностей, [2] - получена система определяющих процесс распространения волн уравнений, определены коэффициенты степенных разложений неизвестных функций, [3] -разработан и реализован алгоритм определения точек пересечения прямых и отраженных волн, [4] - предложен вычислительный алгоритм расчета динамической осадки верхнего строения железнодорожного пути и он же реализован в виде программного приложения, [6] - реализована модель использования фрактального представления в процессе распространения упругих волн при учете их отражения от границы раздела сред, [7] - подобраны и обоснованы граничные и начальные условия для решения системы уравнений, реализован алгоритм ее решения в программном виде, [8] - реализован метод определения напряжений в виде программного приложения и оценено влияние анизотропных свойств на конечные величины.

Структура и объём диссертации. Диссертация включает в себя введение, четыре главы, заключение и изложена на 128 страницах машинописного текста, в

том числе 4 таблицы, 26 рисунков. Список использованных источников насчитывает 125 наименований

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертации. Указаны основные цели работы, кратко изложена структура диссертации, охарактеризована ее научная новизна, научная и практическая значимость, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, а также представление результатов различных частей и всей работы в целом научной общественности на конференциях, семинарах и симпозиумах.

Глава 1 посвящена общей постановке задач распространения волновых поверхностей, зарождающихся после ударного воздействия на плоские тела других твердых тел, рассматриваются начальные и граничные условия, их влияние на процесс решения и используемые методы.

В главе рассматривается задача о поперечном ударе упруго шара по упругой балке Бернулли-Эйлера, и вводятся уравнения движения тела и балки

пу = -Р{}),Е1?-% + рР*=Р{Щх-£), (1)

дх

где т - масса тела, у - перемещение тела, - прогиб балки, Е - модуль Юнга, / - момент инерции сечения балки относительно средней линии, - площадь сечения балки, р - ее плотность, 8(х-^)~ дельта функция, х - координата, отсчитываемая вдоль оси балки, точка над величиной означает частную производную по времени.

Также упоминаются уравнения описывающие удар шара о балку

у = а + , сс = к'Р 2/3, (2)

где а - местное смятие материалов тела и балки, к' - коэффициент, зависящий от геометрии соударяемых тел и упругих характеристик их материалов.

Существенное внимание в главе уделяется экспериментальным исследованиям волновых процессов в телах. В главе систематизированы и исследованы современные подходы к задачам динамического воздействия на плоские элементы распространения волновых поверхностей и представлены в виде таблицы, обоснованы постановка цели диссертационного исследования.

Глава 2 посвящена моделированию процесса распространения цилиндрических волн-полосок, которые возникают при динамическом контакте ударника и тонкой мишени (например, балки, пластинки или оболочки, рис. 1), при этом используется модифицированный лучевой метод. После начала взаимодействия ударника и пластинки, в последней образуется контактная область радиусом г0, и от ее границы начинают распространяться квазипродольная и квазипоперечная волны, фронты которых являются поверхностями сильного разрыва. Отметим, что в пластинке поверхности сильного разрыва представляют собой цилиндрические поверхности-полоски, расширяющиеся с нормальными скоростями С{а) (а =1 -продольная волна, а =2 - поперечная).

За фронтами волновых поверхностей любая искомая функция Z(xa,t) представляется в виде лучевого ряда, вид искомой функции зависит от формы записи

определяющих уравнений для мишени, если волновые уравнения записаны в перемещениях, то и Ъ представляют собой линейные перемещения в направлении координатных осей, а также угловые перемещения вокруг этих же осей:

\к

=£

к=о

¿/I

г —

""-г

(3)

где = &21 д^, знаки «+» и «-» относятся к значениям производной 2{к), подсчитанным перед волновой поверхностью Е и за ней соответственно, в - нормальная скорость волны — единичная функция Хевисайда, 5 — длина дуги, отсчитываемая вдоль луча, t - время.

фронт квазнпродопьнон

фронт квазипоперечной волны сдвига

Рис. 1. Схема ударного взаимодействия твердого тела и мишени посредством буфера и последующего распространения волновых поверхностей

Лучевой метод основан на применении геометрических и кинематических условий совместности, предложенных Томасом

в

02,

■(к)

дэ

"(к+1)

+-

■да

61

(4)

где 5 - пространственная координата вдоль прямого луча, а остальные две пространственные координаты являются одновременно и поверхностными координатами на волновой поверхности (координатные линии являются взаимно ортогональными), 5 - 5 - производная по времени на поверхности волнового фронта.

Условия совместности используются для перехода от производных по пространственной координате к производным по времени старшего порядка, т.к. в волновые уравнения изначально входят и те и другие виды производных. При решении волновой задачи нужно задаться конкретной точкой мишени, в которой необходимо вычислить динамические характеристики. Динамическое поведение точек пластинки описывается уравнениями:

Я

Г д2ср 1 д(рл

дг1

дг

-А

<Р

V

+ кКОг:

дм ~дг~

<Р =-

/г3 д2<р

(5)

(д2м> {дг2~ дер У + кв

с 1 1 ау \ V

г дг

д2м>

С,

д и \ ди\ _ и , д и

(6)

А.

8V 1 дцг

дг1

дг

V.

2

/г3 дV

-КИСв:Чг = -Р--ф, (7)

h3 Иъ h3

где D, =^Br,De = —Be,Dk =—Bk,Cr=hBr,Ce=hBe,Ck=hBk, D^ = DrO0 +2Dk,

E К 5

Br=-r-—, Bg =-§—, Bk =аю, Erar = EqOq, К =—, Dn Dg и Cr, Cg - соответ-

1 - oroQ 1 -<Jrae 6

ственно жесткости изгиба и растяжения-сжатия для направлений г, в ; Dk- жесткость кручения; Ск - жесткость сдвига; Ег, Ев и о>, ав - модуль упругости и коэффициент Пуассона для направлений г, в; Grz, G& - модуль сдвига в плоскостях rz и fe соответственно; w(r,&) - нормальное перемещение срединной плоскости, и{г,в) и v(r,d) - тангенциальные перемещения срединной поверхности соответственно по координатам г, в; (¡Кг, в) и у.Кг,в) - углы поворота нормалей в направлениях г, в.

Для определения контактной силы и динамического прогиба необходимо найти поперечное перемещение w(t), которое входит в систему уравнений (5) и (6). Остальные уравнения представляют собой независимые подсистемы, решаемые отдельно друг от друга. Функции, определяемые из соотношений (7), не влияют на исследуемые динамические характеристики, поэтому дальше рассматривается только система связанных уравнений. Для определения коэффициентов лучевого ряда (3) для искомой функции необходимо продифференцировать определяющие волновые уравнения (5)-(7) для пластинки к раз по времени, взять их разность на различных сторонах волновой поверхности Z и применить условие совместности для перехода от скачка производной от функции Z по координате к скачку производной от искомой функции по времени более высокого порядка. В результате из уравнений движения (5), (6) получаем систему рекуррентных дифференциальных уравнений, решая которую можно получить скачки искомых величин с точностью до произвольных констант. ' А 8(0,

В,

/

1 - §-]хЛк+1) = 2^*1 + Ог^Х<к) - С%{к) + К(к_1у (9)

где Х,(к)=%(к)=[<р,(*+1)]. К = г = г0+а,

_ 52(0ф-1) 1 <Ч(*-1) . с2-2 Ев ЬС5Х<к~') ч

--др--°Г ¿1 Д^®**"1) Л + ЬгЬ <°<е(к-1)'

_ с-Х5ХЛк-1) , /уНс*-') , 02-1т --^--—Е— + С-^г + Ог %{к_1у

Ограничившись в дальнейшем пятью членами лучевого ряда для искомых функций, что позволит определить их с необходимой точностью, а также полагая к = -1, 0, 1, 2, 3, получим скачки соответствующего порядка на первой и второй волне. Найденные скачки позволяют записать выражения для искомых функций 1¥п()гв виде отрезков лучевых рядов с точностью постоянных интегрирования:

«-1 1—П * ' Ь-/, Л.

8Х®

ЫЧьМ10>

где уа= /-(г -г0)О(а)'\ о/^ и их 5 - производные вычисляются приуа=0.

Таким образом, были определены искомые функции с точностью до произвольных постоянных (/=0,1,...4), которые определяются из граничных условий. Данные выражения для определения параметров динамического воздействия вблизи области контакта используются впервые для анизотропного плоского слоя, это относится к новизне данного исследования.

Для существования в мишени волн, распространяющихся с конечными скоростями и влияющими на перемещения точек пластинки вне области контакта, необходимо использовать уравнения типа (5) - (7) записанные в более полном виде д2ю 1 дер 1 д2<р 1 с, с,сгг+с, дV с-,+с,дю \2c.idw Л д2а>

дг

г дг г2 дв2

Г С,

схг

С,

д м д<р дг2 ~дг

дгдв

| с4 ( д\у дЛ | с4 С] \ гдг г) с,

схг г2дв2

дв

дуг ~гдв

дт

сРу дГ

д2и \ди_ дг2 г дг

Су д и с2 и с2аг+с3 д2у с2+сгду _д2и

д\

схг2 дв- с.

с/ дв2 Сх г2

д2у | 1 ду дг2 гдг

схг дгдв с/ дв дт

Ов + с3 д2и с2 + С3 ди _ б2г схг дгдв схг2 дв~ дт2'

= (11)

аУ | 1 ду/ у/] , ^ ЭУ , <*в+Ъ ^ог+с^дц) \2cJ\dw дг2 г дг г2) с,г2 дв2 схг дгдв схг2 дв сх [г дв 1

где г= ——,т к

_ КСп

с4--' с5

ОТ дв1

=—> и А и V

ков: Р Я\ д/; рсх

дУ

5т2'

г

Т

(1-(7гав)р' 02 (\-<тгав)р' р ' , д - нагрузка, Ях - радиус сферического ударника.

В уравнениях (11) через с,, с2, с3, с4, с5 обозначены квадраты скоростей упругих волн, коэффициенты 1, 2 соответствуют продольным волнам растяжения-сжатия, распространяющимся в направлениях г и в соответственно, коэффициент 3 соответствует волне сдвига продольных сечений в плоскости гв, коэффициенты 4, 5 соответствуют поперечным волнам сдвига в плоскостях, перпендикулярных плоскостям гх, вг соответственно. Поскольку скорости волн связаны с упругими характеристиками материала в данном направлении, то их значения однозначно определяют свойства материала пластинки. Для решения системы уравнений (11) запишем их в пространстве Лапласа, входящие в данную систему уравнений изображения неизвестных перемещений и нагрузку от силы взаимодействия

в месте контакта Р(0 в виде разложений в ряды по полиномам Лежандра

* = £ £ *2„+„А,+1 «»(те), (12)

п=0 т=0 V ¿Л У

где Л - радиус мишени; г, - координата точки, в которой происходит динамический контакт; х - принимает значения ф, щ ж, и, V; черта над переменной показывает, что данная величина используется в пространстве Лапласа.

Выражения (12) для определения перемещений точек анизотропной пластинки на значительном удалении от контактной области в задачах динамического воздействия на нее используются впервые.

Таким образом, предлагается математический метод моделирования волновых процессов в твердых телах, он прошел апробацию на примере распространения упругих волн в плоском элементе, испытывающем динамическое воздействие другого тела, при этом предлагаются две модификации метода: для области вблизи зоны воздействия и для области на достаточном удалении от нее.

Глава 3 посвящена разработке эффективного численного метода для определения конечных характеристик, зависящих от природы волновых процессов и от граничных условий для смежных сред. Предлагаемый метод характеризуется составлением интегро-дифференциального уравнения, описывающего поведение точек мишени вблизи области воздействия и на удалении от нее с учетом широкого спектра параметров материалов тел и самого воздействия, которое на последнем этапе решается численно. Для использования данного метода разработан следующий алгоритм:

1) Определение положения зоны взаимодействия ударника и мишени. Определение точек, в которых должны быть найдены искомые величины.

2) Выбирается модель взаимодействия двух тел, в зависимости от их реологических свойств, формы и скорости воздействия, для нахождения зависимости смятия от контактной силы используются результаты решения контактной задачи в виде соотношения (2) или одного из (13)

р ' 1-1'

Р(1)=Е1(а(1)-к(1)), = т' А', (13)

о

где Т] =Г71/£1 , Т] — время релаксации, /' - переменная интегрирования, Г)х — коэффициент вязкости, а, ж - перемещение верхнего и нижнего торца буфера.

3) Формулируются граничные условия на контуре области взаимодействия, на границах мишени и в местах опирания

™ =0. (14)

дг г = г0

4) Решается волновая задача с точностью до переменных коэффициентов в асимптотических разложениях неизвестных величин. В работе предлагается использовать две модификации решения волновой задачи. Первая используется вблизи области появления волновых поверхностей, а вторая на удалении от области взаимодействия тел. Для модели для удаленной зоны процесс распространения волновых поверхностей предлагается разделить на четыре этапа:

а) Непосредственно после динамического взаимодействия ударника и мише-

ни от области контакта начинают распространяться по всем направлениям продольные и поперечные волны; дойдя до нижней поверхности пластинки, они отражаются и взаимодействуют между собой. Наибольший интерес представляет определение напряжений в контактной области, на нижней поверхности пластинки, в местах взаимодействия прямых и отраженных волн, особенно в тех точках, где встречается большое количество фронтов отраженных волн.

б) После некоторого количества отражений к фронты волн отдаляются от контактной области и из сферических становятся цилиндрическими (рис. 1), это будет происходить на расстоянии и4к ~ И^к + 1 от места удара, т.е. появление в пластинке цилиндрических волн-полосок возможно при соблюдении следующего условия

-Д «у/к + 1<Я/И. (15)

Для этого этапа характерно, что напряжения на фронтах цилиндрических волн тем больше, чем они ближе к контактной области.

в) Упругие волны отражаются от границ пластинки и взаимодействуют с прямыми волнами, при этом возможно появление значительных напряжений недалеко от точек крепления.

г) Отраженные от границ пластинки цилиндрические волны доходят до контактной области и взаимодействуют с существующими там сферическими волнами. В общем случае распространение волн с учетом отражений от границы раздела сред можно описать с помощью многоуровневых структур, с элементами самоподобия, как у фракталов.

5) Результат решения волновой задачи в виде отрезков степенных рядов подставляется в уравнения (15) и (14), характеризующие контактную задачу

т (а+ Й-) = -/'(?), рИкг1м> = 2кг^г +/'(?). (16)

На этом этапе для построения общего решения вблизи области динамического воздействия на плоский элемент необходимо решение волновой задачи подставить в (16) с учетом граничного условия (14) и разрешить получившуюся систему относительно коэффициентов при различных степенях /.

Функции и'(/), Щ(), Q(t), входящие в нее нужно представить в виде степенных рядов по времени и С этой целью необходимо для ближней зоны мишени записать ряды (10) для мишени на границе области контакта, т.е. при г = г0

Для дальней зоны используется выражение для перемещений в виде (12), при этом коэффициенты рядов представляются в виде соотношений (18), записанных вблизи исследуемой точки

х2п+т = х2п+т £° + х2п+т £' + х2п+т ^ + х2п+т ^ ' ГДе £ = Р • 0

6) Из полученных систем алгебраических уравнений определяются переменные коэффициенты в разложениях для неизвестных перемещений для ближней зоны

с(2)_0с(1)_0 „(О _ т/г (2) _ С(2Уо

1 ' 0 ' 1 " -о^у 2 " ^(оЮ-сЯр }

и для дальней

6) Определяется характерное время протекания волнового процесса или процесса взаимодействия тел (в зависимости от определяемых функций), для этого можно использовать один из подходов, рассмотренных в главе 1.

7) Определяется минимальный временной интервал для линеаризации неизвестных величин в итоговых определяющих выражениях. Предполагается, что на каждом достаточно малом интервале (п- 1)т<1<пх неизвестные величины изменяются линейно /(яг) = (/„ - /„_! )/т.

8) Вычисляются неизвестные величины по итерационной схеме, при получении конечных соотношений считается, что линейная зависимость неизвестной величины от времени имеет место, если временной интервал мал:

В качестве нулевых приближений берутся данные начальных и граничных условий. Входящие в (21) величины, представляют собой комбинации известных или ранее найденных величин. Выражения (21) вычисляются для конкретной точки пластинки и места удара, т.е. г и в принимают определенные значения.

Приведённая численная процедура используется для определения точек встречи прямых и отраженных от границ мишени упругих волн и может быть автоматизирована как при помощи существующих математических пакетов MATLAB, Maple, так и при помощи стандартных возможностей языков программирования С++, Delphi и т.д.

9) Вычисляется удельный вес последнего слагаемого отрезка ряда, если значения превосходят допустимую величину, то при решении волновой задачи учитывается еще одно слагаемое. На основании численного исследования схемы (21) можно показать ее устойчивость и быструю сходимость за счет знакопеременно-сти основных разложений в ряды, уменьшения удельного веса в общем значении

Т 3/2

т, =ri,s, = 5М + Vi_xT+yi_x—,al =s,-wh Р1=(ц/Ьу ,у,

Pi

V,=Vl-i+yiT(2l)

т

xcos(/wfl) xl„+mDirac{(i-j)x)+x\^m((/-у» +

6 120

dr..

величины, каждого последующего слагаемого (последнее слагаемое дает прибавку в 1%).

Для ближней зоны конечное выражение для нормального перемещения можно представить в виде

1 ' р!тг1 6 р/ГОо3 12

рклгц р1исга\т рИт$

120 +

+

рИлг^ ^/и рИлгц ) ркпг1 4 рЬкг1

12^(е, Л № 1 ,«

рИъпг1 О«2-^2'2 р!ш4{Ег )в(х)-0(2) [720'

(22)

10) Вычисляется относительная ошибка при превышении некоторого значения уменьшается временной интервал линеаризации. Выбор временного интервала разбиения процесса взаимодействия зависит от времени первичного взаимодействия ударника и мишени, разбиение этой величины даже на десять отрезков дает относительную ошибку в определении конечных величин не более 3%, что является вполне хорошим результатом для реального использования.

В качестве примера определения величин в ближней зоне рассмотрено ударное взаимодействие твердого тела с ортотропной пластинкой посредством линейно упругого буфера и исследуем зависимость прогиба и контактной силы от начальной скорости ударного воздействия и ортотропных свойств пластинки. Выражения (13) и (22) были приведены к безразмерному виду. На рис. 2 приведены зависимости динамического прогиба от времени для различных значений соотношения Ев/Ег (рис. 2а), которые указаны цифрами у кривых, и различных значений соотношения С«/(это соответствует разным значениям модуля сдвига в двух перпендикулярных направлениях) (рис.2б), для трансверсально-изотропной пластинки, кривая 1 соответствует 0^/6^=0.01, кривая 2 - 0.2, кривая 3 - 0.4, кривая 4 - 0.5, что соответствует изотропной пластинке. При уменьшении соотношения Ев/Ег происходит увеличение прогиба (см рис.2а) до некоторого значения при Ев/Ег» 1; при увеличении Ев/Ег происходит уменьшение прогиба, поскольку последний член отрезка ряда (16) уменьшается при росте соотношения Ед/Ег >1. Из рис.2б видно, что увеличение значения соотношения скоростей приводит к уменьшению прогиба. Рис. 3 иллюстрирует зависимость контактной силы от времени для различных значений Ев/Ег (рис. За): кривая 1 соответствует Ев/Ег =0.2, кривая 2 - 0.5, кривая 3-1, кривая 4-4, кривая 5 - 8, и для различных соотношений скоростей продольной и поперечной волн (рис. 36), которые принимают те же значения, что и для рис.2б. Из рис. За видно, что при увеличении Ев/Ег контактная сила уменьшается, а из рис. 36 следует, что с увеличением значения соотношения скоростей контактная сила уменьшается. На динамические характеристики контактного взаимодействия большее влия-

ние оказывает модуль упругости в радиальном направлении и модуль сдвига в тангенциальной плоскости.

20-Ю"2 -1-1-1-1-1--1510'2

О О.Б 1 1.5 2 2.5 3 О 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Время г Время г

а) б)

Рис. 2. Зависимость динамического прогиба от времени для различных значений соотношения: а) Ев/Ег, б) в^/в^

О 20 40 60 80 100 о 20 40 60 80 100

Время г Время '

а) б)

Рис. 3. Зависимость контактной силы от времени для различных значений соотношения: а) Ев/Ег, б) с/2)/о0)

Вторая модификация метода предназначена для определения точек мишени, в которых сходятся фронты прямых и отраженных волн и могут возникнуть экстремальные напряжения.

Преимуществом данного метода является то, что численная процедура линеаризации неизвестных величин используется на самом последнем этапе решения задачи, т.е. после составления интегро-дифференциального уравнения, определяющего динамическое поведение точек мишени. В отличие от большинства традиционных численных методов, здесь можно наблюдать влияние каждого параметра системы на конечные величины от этапа формулировки задачи до получения итоговых графических зависимостей. Этот факт делает предлагаемый метод предпочтительным для инженеров-проектировщиков и исследователей, поскольку они могут оперативно вносить изменения в задаваемые характеристики и управляющие параметры

с целью получения допустимых значений определяемых величин.

Вторым критерием эффективности (наряду со сходимостью) можно считать точность, а ее предлагается определить по степени соответствия с данными натурного эксперимента. На рис. 4 показаны зависимости силы от времени для различных используемых методов: кривая 1 - предлагаемый численный метод, кривая 2 -метод конечных элементов, кривая 3 - аналитический метод Филиппова А.П. Видно, что предлагаемый метод дает наилучшее приближение к результату обработки экспериментальных данных [7] (пунктирная кривая) по максимальной величине силы, по времени контакта и по характеру самой зависимости. Полученные результаты определения кинематических и силовых параметров наиболее близко соответствуют экспериментальным данным, при сравнении с результатами использования аналитических и традиционных численных методов. Вместе с тем реализованный метод имеет преимущества аналитических методов в части наглядности и возможности выделения наиболее важных управляемых параметров, как элементов конструкции, так и параметров динамического воздействия и волновых процессов. Большинство современных вычислительных комплексов, реализующих стандартных численные методы, могут дать похожие возможности после многократных экспериментов по математическому моделированию и численных исследований. Если же сравнивать между собой

только численные методы то получим табл. 1, из которой видно, что предлагаемый метод дает лучшие результаты при определении неизвестных динамических величин.

Таблица 1

Показатели Максимальное Кол-во Относитель- Количество

значение силы итераций ная ошибка операций на

Методы взаимодеиствия (%) одной итера-

(б/р) ции

Предлагаемый метод 0.927 10 3 8

Метод простых итераций 0.934 20 6 10

Метод Ритца 0.864 14 5 8

Метод Рунге-Кутта 0.940 8 7 6

Эксперимент 0.916

Таким образом, предложен эффективный численный метод определения зависимости искомых величин от динамического воздействия. Предложенный метод хорошо приспособлен для описания волновых процессов в различных средах, с его помощью в главе исследовано влияние анизотропных свойств мишени и реологических свойств области контакта на конечные характеристики воздействия.

Время г

Рис. 4 Зависимость сипы взаимодействия от времени для различных методов решения

В главе 4 разработан программный комплекс, реализующий математическую модель распространения волн в упругой среде. Комплекс апробирован при изучении волновых процессов в упругой ортотропной пластинке после ударного воздействия твердого тела по ее поверхности.

Рис. 5. Алгоритм работы программного комплекса моделирования распространения волн в изотропной пластинке

Программный комплекс (алгоритм работы приведен на рис. 5) представляет собой совокупность взаимосвязанных программных модулей, отвечающих за

реализацию моделей контактного взаимодействия (вблизи области зарождения волновых поверхностей), волновых процессов (на удалении от первоначально активной области) с учётом взаимодействия прямых и отражённых волн, аналитического метода сращивания частных решений, численного метода определения динамических величин.

Для корректной работы необходимо наличие начальных данных, таких как Еп Е& ст„ (Те - модули упругости (ГПа) и коэффициенты Пуассона для направлений г, в соответственно, р - плотность материала (кг/м3), И - высота пластинки (м), г - временной интервал, на котором будет произведено исследование (с), / — величина уменьшения скорости волны при отражении (0</<1).

На рис. 6 изображена модульная структура программного комплекса, который позволяет моделировать волновые процессы и вычислять конечные характеристики динамического взаимодействия. Комплекс содержит три образующие подсистемы, отвечающие за моделирование волновых процессов, вычисления динамических характеристик, обработки и хранения данных. В зависимости от реальных потребностей исследователя комплекс может быть переконфигурирован для решения только контактных или только волновых задач с минимальными изменениями в модульной структуре, в него могут быть включены новые модули, учитывающие различную геометрическую форму тел, нелинейные свойства материа-

Рис. 6. Модульная струюура программного комплекса

Комплекс предоставляет большие вычислительные возможности и в тоже время позволяет пользователю проследить влияние того или иного параметра на

конечные величины на каждом этапе моделирования и расчета, что отличает его от существующих коммерческих приложений.

На рис. 7 изображены результаты имитационного моделирования с помощью предложенного комплекса, а именно показана зависимость изменения координаты перемещения волна от времени со следующими начальными данными: Ег = 250 ГПа, Ев = 150 ГПа, аг = 0.3, ств = 0.3, р = 6000 кг/м3, h = 0.1 м, t = 0.25 с, / = 0.5. На рис. 7 достаточно чётко видно, что прямые и отражённые волны взаимодействуют в разных точках пластинки от 0 до Л. Даже при таком небольшом временном интервале определить точки пересечения аналитически представляется достаточно сложным. Поэтому точки пересечения волн были вынесены на отдельную диаграмму (рис. 7), здесь показаны только точки, в которых произошло усиление волновых характеристик из-за наложения волн.

0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 h 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

Рис. 7. Точки пересечения прямых и отражённых волн, в которых происходило усиление волновых характеристик за счёт их сонаправленности.

Дальнейший анализ данных показывает, что наибольшее число «усиливающихся» взаимодействий находиться ровно посередине пластинки. Самая большая суммарная интенсивность зафиксирована после 0.2184 секунды с начала эксперимента. Из девяти проведённых экспериментов с различными показателями в 77% случаев наибольшую нагрузку испытывала средняя часть объекта под областью взаимодействия тел. Если после удара по окончанию определённого отрезка времени наблюдаются точки, в которых встречаются разнонаправленные волны, то, необходимо укреплять объект от расслаивания материала и, напротив, если наблюдаются точки, в которых волны двигаются сонаправленно, т.е. усиливают напряжение, то необходимо укреплять материал объекта от возможной потери прочности при сжатии. Можно сделать вывод о необходимости принятия превентивных мер по защите объектов от разрушительных воздействий волновых процессов.

Развитием предложенной математической модели и численного метода послужила разработка программного комплекса, позволяющего изучить влияние различных реологических свойств области взаимодействия двух твёрдых тел на конечные волновые характеристики. Результаты проведенного численного эксперимента по определению величин силы взаимодействия соответствуют результатам аналитических расчетов рис. 3. В главе разработан программный комплекс, реализующий предложенные в главах 2,3 модели и методы, для определения точек встречи волн и динами-

: : i— к— ТГ ;

! ! ...... A 'à"" A

! : ; A « Л A '/Ж ...A.*.

; A ; t AA à * î Л

...... ......:...... „____ài..... "À ;...... -- A.....A... ----A- A.„ ¿-A "A---- -----A A ÎJ ..A tft

A A A A A

: ::::x:?i A A A \

..... À ; A -A....

A

-- 1 ■ ! ■ 1 1 : 1 1 - ¡ 1 ■ 1 ¡ I 1 1 : 1 1 ■ ! - ■ 1 J 1 1 - ! 1 ■ 1 J I 1 I I 1 . 1 ¡ - L

0 2 4 6 8 10 12 14 16 13 20 22 24

t

ческих характеристик воздействия. Комплекс подтверждает результаты использования аналитического лучевого метода, а также позволяет получить новые результаты с учетом распространения и многократного отражения волновых поверхностей, что выделяет его на фоне современных инженерных вычислительных комплексов, реализующих известные численные методы. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для электронных вычислительных машин.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Исследованы и классифицированы модели и подходы к описанию динамического взаимодействия ударника с плоскими элементами с учетом волновых явлений и возможностей современных методов и алгоритмов.

2. Разработана математическая модель динамического поведения плоских элементов после ударного воздействия, хорошо приспособленная для описания кратковременных процессов и позволяющая описать волновые явления в мишени и изучить влияние анизотропных свойств материала пластинки на динамические характеристики ударного воздействия, упругих и вязкоупругих свойств области воздействия, а также геометрических характеристик расчетной схемы на конечные динамические характеристики.

3. Разработан численный метод, позволяющий определить волновые характеристики динамического воздействия, с учетом анизотропных свойств мишени, упругих и вязкоупругих свойств ударника.

4. Определены точки взаимодействия прямых и отраженных волн и наиболее вероятные места возникновения наибольших напряжений в конструкциях, испытывающих динамическое воздействие.

5. Разработан программный комплекс, который позволяет определить траекторию распространения волновых поверхностей в плоском анизотропном элементе, а также характеристики динамического поведения мишени в зависимости от различных геометрических и реологических свойств.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Залетдинов A.B. Комплекс моделей систем физической защиты на основе многоуровневого описания сложных систем / Залетдинов A.B., Хохлачёв Е.В., Рожнов A.B., Алешкивич A.A., Орлов Г.Ю. // Нейрокомпьютеры: разработка и применение. — 2009. - №12. - С.76-82.

2. Залетдинов A.B. Распространение упругих волн в ортотропной пластинке от динамического воздействия ударника / Залетдинов A.B., Локтев A.A. // Динамика сложных систем. - 2010. - №3 - Т. 4. - С. 39-45.

3. Залетдинов A.B. Определение точек взаимодействия прямых и отраженных волн в пластинке / Залетдинов A.B., Локтев A.A. // Вестник МГСУ. — 2010. - №4. -Т.З.-С. 92-98.

4. Залетдинов A.B. Расчет осадки полотна железнодорожного пути от действия динамической нагрузки с помощью лучевого метода / Залетдинов A.B., Сычева A.B., Локтев A.A. // Нелинейный мир. - 2013. - №11. - С. 67-76.

Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ

5. Залетдинов A.B. Программная реализация математической модели распространения волн, образующихся от ударного воздействия, в изотропной пластинке / Залетдинов A.B. - Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011610885 от 20.01.2011. - М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, 2011.

Статьи и материалы конференций

6. Залетдинов A.B. Математическое моделирование процесса распространения от точечного источника упругих волн в пластинке с помощью фракталов / Залетдинов A.B., Локтев A.A. // Всероссийская научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве», 31 марта 2010 г. - М.: МГСУ, 2010. - С. 86 - 94.

7. Залетдинов A.B. Моделирование работы железнодорожного полотна при динамическом нагружении / Залетдинов A.B., Сычева A.B., Локтев A.A. // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Математика, информатика, естествознание в экономике и обществе», 31 января 2014 г. - М.: МФЮУ, 2014. - С. 195-203.

8. Залетдинов A.B. Определение напряжений на фронтах ударных волн в ор-тотропной пластинке / Залетдинов A.B., Локтев A.A., Локтев Д.А. // Двенадцатая межвузовская научно-практическая конференция молодых ученых, докторантов и аспирантов, 15-22 апреля 2009. - М.: МГСУ, 2009. - С. 472-479.

Подписано в печать 28.04.2014 г. Тираж 100 экз. Формат бумаги 60x84 1/16. Объем 1,0 п.л. Заказ - №152. Отдел оперативной полиграфии МИИТ, _127994, г. Москва, ул. Образцова, д 9, стр. 9_

%

> "

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ

СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

На праваХурукописи

04201459427

ЗАЛЕТДИНОВ Артур Вильевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ ПОСЛЕ УДАРНОГО

ВОЗДЕЙСТВИЯ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Локтев Алексей Алексеевич

Воронеж-2014

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ.........................................................4

ГЛАВА 1. Распространение волновых поверхностей в твердых телах 13

1.1. Введение...................................................13

1.2 Основные понятия о распространении волновых поверхностей после удара.............................................................18

1.3 Современные подходы к задачам распространения волновых поверхностей........................................................24

1.4 Экспериментальные исследования волновых процессов в твердых телах..............................................................43

1.5 Выводы по главе.............................................47

ГЛАВА 2. Методы математического моделирования поведения неизвестных величин на фронтах волновых поверхностей.............................48

2.1 Основные принципы лучевого метода...........................49

2.2 Использование лучевого метода для решения задачи распространения волн в ортотропной пластинке.........................................51

2.3 Определение динамических характеристик с помощью сферических функций и полиномов Лежандра.......................................59

2.4 Использование функции Бесселя для определения неизвестных величин............................................................62

2.5 Выводы по второй главе........................................65

ГЛАВА 3. Численно-аналитические методы построения непрерывных решений

для волновой и контактной задачи............................................67

I 3.1 Алгоритм численно-аналитического | метода построения непрерывного решения................................|............................68

3.2 Сращивание решений волновой и контактной задачи для области вблизи зоны взаимодействия тел.......................................69

3.3 Примеры определения динамических характеристик с учетом волновых процессов вблизи зоны контакта.......................................76

3.4 Сращивание контактного и волнового решения для удаленной от зоны взаимодействия области.............................................82

3.5 Численные исследования.....................................89

3.6 Выводы по третьей главе.....................................93

ГЛАВА 4. Программная реализация алгоритмов определения характеристик динамического воздействия с учетом волновых процессов.................96

4.1 Основы алгоритмизации и построения вычислительного комплекса . 96

4.2 Построение моделей вычислительных процессов..................99

4.3 Численные исследования процессов распространения волн в изотропной среде для упругой модели взаимодействия тел...............102

4.4 Численные исследования процессов распространения волн в анизотропной среде для упругой модели взаимодействия тел.............114

4.5 Численные исследования процессов распространения волн в анизотропной среде для вязкоупругой модели взаимодействия тел.........120

4.6 Выводы по четвертой главе.................................. 122

ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................123

Библиографический список..........................................125

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая диссертационная работа посвящена математическому моделированию процессов распространения волновых поверхностей в плоском упругом элементе, обладающем изотропными или анизотропными свойствами. Волновые поверхности появляются в мишени из-за ударного воздействия на нее твердого упругого или вязкоупругого тела, реологические свойства которого распространяются на зону контакта при непосредственном воздействии ударника. Распространение волновых поверхностей с конечными скоростями становится возможным благодаря использованию волновых уравнений мишени типа Уфлянда-Миндлина-Рейснера, учитывающие деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения нормалей к поперечным сечениям, благодаря чему уравнения являются гиперболическими. Определяющие динамическое поведение точек плоского элемента уравнения позволяют предположить, что его деформирование вне области взаимодействия ударника и мишени происходит, в том числе, и за счет распространение с конечными скоростями волн. В качестве методов решения используются методы асимптотических разложений по времени и пространственной координате (лучевой метод), по специальным функциям (цилиндрическим - функциям Бесселя, сферическим - с полиномами Лежандра), по малому параметру вблизи определяемой точки мишени, метод сращивания волнового и контактного решения, а также численный метод линеаризации искомых функций.

Задачи о распространении волн в контактирующих динамическим образом телах впервые рассмотрел Сен-Венан Б.Д. (задача о продольном ударе двух стержней), он учел распространение волн в соударяемых тешах, но не учитывал

1 'и

контактное смятие материалов в месте взаимодеиствия. Ощутимыи вклад в теорию ударного взаимодействия тел с последующей их деформацией за счет колебаний внес Тимошенко С.П. в 1913 г., объединив колебательные движения балки конечной длины с контактной теорией Герца в единую стройную теорию. Зинер С. В 1941 обобщил эту задачу на случай балки бесконечной длины. В дальнейшем теория ударного взаимодействия типа Тимошенко развивалась для

стержней и балок Crook A.W., Yamamoto S.A., Россихиным Ю.А., для пластин -Mindlin R.D., Conway H.D, Lee H.C., Уфляндом Я.С., Кильчевским H.A., Филлиповым А.П., Филлиповым И.Г. Горшковым А.Г., Тарлаковским Д.В., Россихиным Ю.А, Локтевым A.A. Волновой подход к теории ударного воздействия стал возможен благодаря работам Уфлянда 1948 года, Миндлина 1957 и Рейснера в 1945 году, которые при выводе уравнений для плоского элемента учли поперечных сдвиг и инерцию вращения. Полноценная волновая теория динамического контакта была предложена Филлиповым А.П. в 1968 году и получил дальнейшее развитие в последующие годы: были получены результаты решения задач ударного взаимодействия связанных с учетом волновых свойств мишени (Филлипов А.П., Скляр В.Л. 1971), многослойности конструкции пластинки (Choi I.H., Lim С.Н. 2004, Егорычев О.О. 2005), различных форм ударника и методов решения (Россихин Ю.А., Шитикова М.В. 1994), термоупругих свойств ударника (Гонсовский В.Л. и др. 1993), термоупругих свойств мишени (Локтев A.A. 2008), вязкоупругих свойств ударника (Сеницкий Ю.Э. 1982, Локтев A.A. 2007), наличия начальных напряжений на границе пластинки (Филиппов И.Г., Филиппов С.И. 2007, Товстик П.Е. 2008, Локтев A.A. 2010) и т.д.

В работе разработан математический метод моделирования поведения точек твердого тела с учетом волновых процессов при динамическом воздействии, а также с учетом упругих и вязкоупругих свойств ударника, изотропных и анизотропных свойств материала мишени, разработан вычислительный комплекс, который реализует доработанную методику динамического контакта с учетом волновых процессов и строит по полученным

контактной силы и динамического прогиба.

Актуальность исследования.

Настоящая диссертационная работа посвящена математическому моделированию процессов распространения волновых поверхностей в плоском упругом элементе, обладающем анизотропными свойствами. Волновые поверхности появляются в мишени из-за ударного воздействия на нее твердого

аналитическим

графики поведения волновых фронтов,

тела, реологические свойства которого распространяются на зону контакта при непосредственном воздействии ударника. Распространение волновых поверхностей с конечными скоростями становится возможным благодаря использованию волновых уравнений мишени типа Уфлянда-Миндлина-Рейснера, учитывающие деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения нормалей к поперечным сечениям, благодаря чему уравнения являются гиперболическими. Определяющие динамическое поведение точек плоского элемента уравнения позволяют предположить, что его деформирование вне области взаимодействия ударника и мишени происходит, в том числе, и за счет распространение с конечными скоростями волн.

В работе разработана модель учета волновых поверхностей в

соударяющихся телах, предложен алгоритм учета различных реологических

свойств взаимодействующих тел, основанный на аналитическом методе

представления неизвестных величин в виде разложений по пространственной

координате и времени, начальных и граничных условиях, конечные интегро-

дифференциальные уравнения решаются с использованием численных методов.

Разработанный алгоритм реализован в виде программного приложения,

который может быть использован широким кругом специалистов.

Необходимость более точного представления о поведении конструкций под

действием нагрузки заставляют проектировщиков и исследователей идти по

пути усложнения математических моделей процессов и объектов. Наиболее

интересными и сложными в математическом моделировании в области

различных инженерно-технических приложений являются задачи

динамического воздействия, рассмотренные многими зарубежными и

отечественными исследователями Abrate, Al-Mousawi, Inoue, Corbett, Backman,

Goldsmith, Cantwell, Morton, Johnson, Jaeger, Richardson, Zhong, Айзикович,

Баландин, Гольдсмит, Джонсон, Кильчевский, Александров, Ромалис, Локтев и

др. Они актуальны как с точки зрения развития фундаментальных разработок,

так и с точки зрения моделирования процессов, происходящих в различных

телах. Учет линейно упругих, вязкоупругих, изотропных и анизотропных

свойств материалов элементов конструкций, подвергающихся динамическому

6

воздействию твердого тела, после чего в первом теле начинают распространяться волновые поверхности, обуславливает более точное представление о характере протекания процесса деформирования, влияние этих свойств не до конца изучено до сих пор. Актуальной является также проблема создания достаточно простой расчетной модели и алгоритмов расчета задач ударного взаимодействия с учетом распространяющихся с конечными скоростями волновых поверхностей, а также их реализация в виде программного приложения.

Работа выполнена в рамках научного направления «Моделирование физических процессов в твердых телах и разработка программных приложений для расчета их параметров» ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)».

Цель исследования. Разработка комплекса математических моделей, численных методов, алгоритмов в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для построения математических моделей распространение волновых поверхностей в плоских телах, реологические свойства которых описываются различными моделями и физическими параметрами, после ударного воздействия.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1) исследование динамического взаимодействия ударника с пластинками с учетом волновых явлений и возможностей современных методов и алгоритмов.

2) разработка математической модели поведения плоских элементов после динамического воздействия при наличии распространяющихся упругих волн.

3) разработка численно-аналитического метода определения волновых характеристик динамического воздействия.

4) изучение влияния изотропных и анизотропных свойств материала пластинки, упругих и вязкоупругих свойств области воздействия на конечные динамические характеристики.

5) реализация предлагаемой модели и алгоритмов в виде вычислительного комплекса, пригодного для использования проектными и научно-

исследовательскими организациями, определение в ходе численного эксперимента точек встречи прямых и отраженных волновых поверхностей.

Методы исследования. В работе использованы методы асимптотических разложений неизвестных величин в ряды по пространственной координате и времени, а также по специальным функциям, методы сращивания решений контактной и волновой задачи, а также методы математического моделирования физических процессов в твердых телах, численные методы линеаризации искомых функций, методы объектно-ориентированного и визуального программирования. Для исследования процесса распространения волн в упругих средах проводилось имитационное моделирование на ЭВМ.

Тематика работы соответствует п.З «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий», п.4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента», п.8 «Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования» паспорта специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

Достоверность полученных результатов базируется на корректной математической постановке задач. Полученные в работе численные результаты согласуются с общими физическими представлениями. Правильность полученных результатов определяется корректностью математических выкладок и сопоставлением с известными результатами других авторов.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1) математическая модель поведения волновых поверхностей в плоских телах, основанная на использовании неклассических уравнений и граничных условий и расширенная на определение конечных характеристик вблизи области динамического взаимодействия и на некотором удалении от нее.

2) численный метод определения характеристик динамического

воздействия, учитывающий распространяющиеся волновые поверхности и

8

различные свойства взаимодействующих тел, основанный на непрерывном объединении решений волновой и контактной задачи и использовании итерационной процедуры для линеаризованных функций и обеспечивающий возможность вычисления широкого спектра величин.

3) метод определения точек встречи прямых и отраженных упругих волн, учитывающий многократное отражение волн от границ тела и позволяющий определить точки возникновения экстремальных значений динамических характеристик.

4) структура программного комплекса моделирования и вычисления конечных характеристик динамического взаимодействия с учётом распространения волновых фронтов, отличающаяся гибкой системой взаимодействия программных модулей и реализуемых моделей, позволяющая формировать индивидуальную вычислительную среду для пользователя.

Практическая ценность. Разработанные алгоритмы оценки динамических величин могут быть использованы проектными и научно-исследовательскими организациями в процессе проектирования конструкций, в которых могут распространяться волновые поверхности (плиты перекрытия, оболочечные элементы и т.д.) с целью определения критических точек, нуждающихся в усилении.

Реализация и внедрение результатов исследования. Результаты диссертационного исследования вошли в курс «Прикладная теория колебаний» кафедры «Строительная механика, машины и оборудование» Московского государственного университета путей сообщения.

Апробация. Основные положения и результаты докладывались и обсуждались на Всероссийских научно-практических конференциях «Математика, информатика, естествознание в эконо мике и в обществе» (Москва, 2009 г.,2010 г., 2012 г.), на Всероссийской научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Москва 2010, 2012 г.), а также на семинарах Московского государственного университета путей сообщения и Московского финансово-юридического университета.

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 7 печатных работах, из них 4 статей опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателем предложены: [18] - многоуровневая структура расположения и взаимосвязи элементов в составе сложной системы, послужившая прообразом предложенной в диссертации модели распространения волновых поверхностей, [19] - получена система определяющих процесс распространения волн уравнений, определены коэффициенты степенных разложений неизвестных функций, [20] - разработан и реализован алгоритм определения точек пересечения прямых и отраженных волн, [21] - предложен вычислительный алгоритм расчета динамической осадки верхнего строения железнодорожного пути и он же реализован в виде программного приложения,

[22] - реализована модель использования фрактального представления в процессе распространения упругих волн при учете их отражения от границы раздела сред,

[23] - подобраны и обоснованы граничные и начальные условия для решения системы уравнений, реализован алгоритм ее решения в программном виде, [24] -реализован метод определения напряжений в виде программного приложения �