автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование продольного удара неоднородных стержневых систем о жесткую преграду при неудерживающих связях

На правах рукописи

Битюрин Анатолий Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОДОЛЬНОГО УДАРА НЕОДНОРОДНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ О ЖЕСТКУЮ ПРЕГРАДУ ПРИ НЕУДЕРЖИВАЮЩИХ СВЯЗЯХ

Специальность 05 13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ульяновск - 2007

003069758

Работа выполнена на кафедре «Теоретическая и прикладная механика»

Ульяновского государственного технического университета

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор, зав

кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета Манжосов Владимир Кузьмич

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор, зав. кафедрой «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета Вельмисов Петр Александрович

- доктор технических наук, зам директора корпоративного института высоких технологий в автомобилестроении Ульяновского государственного университета Антонов Иван Степанович

Ведущая организация - Институт механики и энергетики

Мордовского государственного университета им Н П Огарева г Саранск

Защита диссертации состоится « 30 » мая 2007 г в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д212 277 02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу 432027, г Ульяновск, ул Северный Венец, 32 (ауд 211, Главный корпус)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного технического университета

Автореферат разослан «_» апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

В Р Крашенинников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Выполнение многих технологических операций в машиностроении, металлургии, горном деле, строительстве, производстве строительных материалов, и прочих многочисленных отраслях связано с ударной обработкой и разрушением различных материалов Машины, как средства, основанные на применении удара, используются для выполнения работ, связанных с возбуждением в обрабатываемом материале значительных по величине усилий, приводящих к разрушению материала или его деформированию (например, машины для штамповки деталей, ковки, разрушения горных пород, бетонных покрытий, погружения свай и т д ) Эффективность применения таких машин во многом обусловлена тем, что разрушение материала или его деформирование во многих технологических процессах определяется уровнем возникающих напряжений, а не продолжительностью их воздействия

В основе технологических операций с использованием машин ударного действия лежит нанесение продольного удара неоднородного упругого стержня или системы стержней

В известных работах модель учета неудерживающих связей в задачах продольного удара стержней сводится к тому, что процесс удара считался завершенным, если в ударном сечении возникла деформация растяжения, и происходил разрыв связи Возможность повторного соударения стержней исследователями, как правило, не рассматривалась Такая модель продольного удара с одной стороны отсекала информацию о последующем нагружении стержня при повторных соударениях, а с другой стороны представляла некорректную информацию о восстановлении скорости стержня при продольном ударе В этом плане исследования продольного удара в стержневых системах с учетом неудерживающих связей и возможности повторных ударов актуальны

Предлагаемая работа посвящена математическому моделированию продольного удара неоднородного стержня и системы стержней о жесткую преграду при неудерживающих связях с жесткой преградой и в контактных сечениях При моделировании анализируются волновые процессы, происходящие на участках стержневой системы после разрыва неудерживающих связей

Целью работы является выявление взаимосвязи между величинами напряжений и деформаций, возникающих при ударе и распространяющихся в виде волн по участкам стержневой системы, и параметрами этой системы с учетом неудерживающих связей

Задачи исследования:

1 Провести анализ моделей продольного удара в стержневых системах и разработать модель продольного удара, учитывающую волновые процессы в стержневой системе, неудерживагощие связи в контактных сечениях и возможность повторных ударов в механической системе

2 На основе анализа ударных процессов установить взаимосвязь параметров стержневой системы и ее начального состояния с величиной максимальной продольной деформации, возникающей в ударном и опасном сечениях

3 Оценить влияние параметров стержневой системы и ее начального состояния на число возникающих повторных соударений в сечениях с не-удерживающими связями после разрыва связей в процессе удара

4 Выявить и оценить влияние повторных соударений на изменение величин деформаций и напряжений на участках стержневой системы в результате возникновения новых волновых состояний

5 Разработать программы для численного моделирования и анализа следующих динамических процессов

• продольного удара двухступенчатого стержня о жесткую преграду при неудерживающих связях с жесткой преградой при изменяющейся продольной жесткости поперечных сечений на участках и длине этих участков,

• продольного удара трехступенчатого стержня о жесткую преграду при неудерживающих связях с жесткой преградой при изменяющейся продольной жесткости поперечных сечений на участках и длине этих участков,

• продольного удара однородного стержня о покоящийся однородный стержень, взаимодействующий с жесткой преградой при неудерживающих связях в контактных сечениях,

• продольного удара системы однородных стержней о жесткую преграду при неудерживающих связях в контактных сечениях,

• продольного удара однородного стержня о покоящийся ступенчатый стержень, взаимодействующий с жесткой преградой при изменяющейся продольной жесткости поперечных сечений и неудерживающих связях,

• продольного удара ступенчатого стержня о покоящийся однородный стержень, взаимодействующий с жесткой преградой при неудерживающих связях в контактных сечениях

Методы исследования основаны на использовании

• существующих положений теории удара,

• решений задач о продольном соударении стержней с использованием одномерной волновой теории Сен-Венана и метода Даламбера для описания процесса распространения волн в конечных элементах стержневой системы,

• математических принципов аналитического решения дифференциальных уравнений,

• математического моделирования продольного удара в стержневой системе, представленной в виде множества сопряженных конечных элементов, с учетом волновых процессов внутри каждого элемента, преобразования волн на границах сопряжения элементов и неудерживающих связей

Научная новизна результатов, выносимых на защиту.

1 Разработана новая модель продольного удара неоднородной стержневой системы с учетом волновых процессов внутри каждого элемента, преобразования волн на границах сопряжения элементов и неудерживающих связей в системе

2 Впервые осуществлен процесс моделирования продольного удара неоднородного стержня и системы стержней о жесткую преграду с использованием волновой модели с учетом разрыва контактов и их последующего замыкания в сечениях с неудерживающими связями при различных параметрах стержней и различном предударном состоянии

3 При решении задачи продольного удара неоднородного стержня о жесткую преграду выявлена связь максимальной продольной деформации в ударном и опасном сечениях стержня, продолжительности ударного нагружения с длиной ударного и опасного участков стержня, а также с площадью поперечных сечений на данных участках

4 При решении задачи продольного удара однородного и неоднородного стержней при неудерживающих связях с преградой и в переходном сечении выявлена связь между количеством повторных соударений стержней в сечениях с неудерживающими связями и предударным состоянием стержневой системы, соотношением длин и площадей сечения однородных участков стержней

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов

обеспечивается корректным применением законов механики и одномерной волновой теории удара, строгими математическими выкладками при решении краевых задач для волнового дифференциального уравнения, а также близостью результатов численного и аналитического расчетов

Практическая ценность. Результаты исследований могут быть использованы при расчете и поектировании различных технических систем, использующих ударные технологии

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на II Международной научно-технической конференции «Современные проблемы машиностроения» (Томск, 2004), на международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинфор-

матика в науке и технике» (Ульяновск 2004, 2006 годы), на 3-й всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006), на VI международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2005), на XII международной интернет-конференции молодых ученых и студентов по проблемам машиностроения (Москва, 2005), на 2-й международной научно-практической конференции «Глобальный научный потенциал» (Тамбов, 2006), на международной заочной научно-технической конференции «Актуальные вопросы промышленности и прикладных наук» (Ульяновск, 2004), на третьей международной заочной молодежной научно-технической конференции ЗМНТК-2005 «Молодежь России - науке будущего» (Ульяновск, 2004, 2005), на ежегодных НТК Ульяновского государственного технического университета

Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 научных публикации, в т ч статей — 19, тезисов докладов - 2, одно свидетельство об официальной регистации программы для ЭВМ Одна статья опубликована в журнале из перечня ВАК

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 154 наименования, и 20 приложений Общий объем диссертации - 252 машинописных страницы, включая 97 рисунков и 34 таблицы

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность постановки и задачи исследований, определено содержание решаемых задач, проведен сжатый анализ существующих результатов исследований в области продольного удара, отражена научная новизна диссертационной работы

В первой главе приводятся схемы различных ударных систем, приводится обзор существующих математических моделей продольного удара, обосновывается выбор математической модели, используемой в данной диссертационной работе при математическом моделировании продольного удара Кратко рассмотрено математическое моделирование различных схем продольного удара с применением волновой модели Ставится задача проводимых исследований

Постановка задачи о продольном ударе стержня с учетом его распределенной массы и описания движения поперечных сечений волновыми уравнениями была сформулирована в 19 веке в работах Навье, Буссинеска, Сен-Венана, Сирса В 20 веке исследования продольного удара стержней получи-

ли развитие в работах Тимошенко С П , Николаи Е И , Динника А Н , Бер-жерона Л , Доброгурского С О , Герсеванова Н М , Бидермана В Л , Киль-чевского Н А, Гольдсмита В , Кольского Г, Александрова Е В , Соколин-ского В Б , Беляева 10 В , Саймона Р , Фишера Г , Флавицкого Ю В , Хомякова К С , Хоукса И , Чакраварти П , Зегжды С А , Клея Р В , Кука М А , Кейса Р Т, Иванова К И , Андреева В Д, Алимова О Д, Дворникова Л Т, Шапошникова И Д.ЕремьянцаВ Э,МанжосоваВ К , Сгихановского Б Н, Мясникова А А , Малкова О Б , Саруева Л А , Слистина А П и других

В данных работах модель учета неудерживающих связей в задачах продольного удара стержней сводится к тому, что процесс удара считался завершенным, если в ударном сечении возникла деформация растяжения и происходил разрыв связи Возможность повторного соударения стержней исследователями, как правило, не рассматривалась Такая модель продольного удара не давала возможность проследить последующее нагружение стержневой системы в результате возникновения повторных соударений

В данной работе предложена модель продольного удара стержней при разрывах связей и возникновении повторных соударений Стержневая система представлена в виде множества сопряженных конечных элементов

Волновые процессы в конечных элементах стержневой системы описываются волновым уравнением вида

д2и/х,р 1 а2ц;(*,о_о дх2 а) Ы1

ди (х, г)

где —--, и (х,() - скорость и продольное перемещение поперечного

5/

ди ,(*,?)

сечения стержня на } - том элементе, t - время, —---продольная леек

формация на 7-ом элементе в сечении х

Решение уравнения (1) по методу Даламбера представляется в виде

и}(*,') = /,(яг~х) + <р}(а? + х), хн <x<xJ (2)

Рассмотрим схему стержня, состоящего из двух разнородных элементов (у-й и] + 1-й), граничащих в сечении х = х} (рис 1). Границами ./-го элемента являются сечения х;, и хр границами у + 1-го элемента являются сечения

X] И Ху+1

В сечении ху-го элемента формируется прямая волна (а Г - ), падает на это сечение со стороны у-го элемента обратная волна <?>,(«/ + ху_,) На сечение х1 /-го элемента падает прямая волна - ), формируется

в этом сечении на у-м элементе обратная волна ср} (а ^ + х]) Полагаем, что и а,- скорость распространения волн деформаций соответственно по у-му и у+1-му элементам

Г' V)

----

(у + 1)-й 'пемент Ху-и"^

эпемен' у-й элемент

--- 4 ^_

Рис I Схема сопряжения разнородных элементов стержня

В сечении л) у + 1-го элемента формируется прямая волна /у+ДЯу.,.!?-*,), падает на это сечение со стороны у+1-го элемента обратная волна +

Для решения уравнения (1) задаются необходимые начальные и граничные условия После решения уравнения определим параметры прямой волны, формируемой в сечении х1 у+1-го элемента

= -р- + + (3)

0 1 О

где г =-—г— —--отношение волновых сопротивлении сопряженных

в сечении х] у-го и у ч- 1-го элементов

Далее определим параметры обратной волны, формируемой в сечении х1 у-го элемента

<р) («/ + Х;) = " ) + ГТГ + ) (4)

Г/ 1

Равенства (3) и (4) более компактно можно представить в виде

/,'+1(^+1'= 9/0) + <р)+ + С>)

<р)(а}г + х]) = Г;(]) /¡(а/ - + qlp(J)<p'J+](aJ+lt + х(6) а г

где 9/0) = 2—— —-— - коэффициент прохождения прямой волны

г,+1

/Да^-лг^) через сечение х] в у+1-й элемент, ^,0) = у

1-г

коэффици-

ент отражения обратной волны ср'1+] (а + х)) от сечения х, ву+1 -й элемент, г.-1

Гг = —--коэффициент отражения прямой волны / (а Л — х,) от сечения

' г +1

2

х, ву-й элемент, £/,,(/) =--коэффициент прохождения обратной волны

г; +1

^7+1 + ) чеРез сечение х1 в у-й элемент

При исследовании использованы относительные величины, характери-

~ V

зующие прямые и обратные волны /'(Ш-х)=/'(а!-х)/—,

а

V ~

ф\а1 + х)=<р\Ш + х) /—, деформацию в сечении <) = - /'(а1 - х) +

а

<р'(а/ + х), скорость сечения у(х, () = ^ = /'(а? - д:)+£>'(<7/ + х) Здесь

Уо

¥0 - начальная предударная скорость стержня

Методом характеристик, вытекающего из метода Даламбера, строится поле состояний в системе координат ¡-х На рис 2 приводится поле состояний при ударе однородного и неоднородного двухступенчатого стержней, взаимодействующих между собой в контактном сечении, о жесткую преграду. Наклонные линии, выражающие графики линейных функций /\at-x) и (р\а1 + х), делят поле состояний на соответствующие области состояний 10 -1г7 на первом участке, и Н0 - Нзз на втором участке и Ш0 - Ш34 на третьем участке Состояние сечения, положение которого определяется координатой х, характеризуется следующими параметрами относительная продольная деформация в сечении относительная скорость сечения у(х,0 Исполь-

- 1127 ---

29

Ь$ ^ П,о «< 1,1

"47 Й

системы о

иле состоянии при продольном ударе стержневой жесткую преграду при /, =0,6/, /2 =/3 =0,2/, 2 =0,5

зуя полученные функции прямых и обратных волн, строятся соответствующие диаграммы этих величин (рис 3, 4)

Во второй главе осуществляется моделирование продольного удара двух- и трехступенчатого неоднородных стержней о жесткую преграду в случае большей и в случае меньшей продольной жесткости поперечных сечений в направлении жесткой преграды

Для случая большей продольной жесткости поперечных сечений в направлении жесткой преграды осуществлено математическое моделирование удара двухступенчатого стержня о жесткую преграду при различных длинах и соотношениях площадей сечений В ходе проведенного анализа результатов был сделан вывод, что величина максимальной по модулю относительной продольной деформации в опасном сечении £тах не зависит от длины начального участка /), а зависит только от соотношения площади поперечных

сечений сопряженных участков А

В соответствии с проведенным анализом результатов моделирования продольного удара для ступенчатых стержней в случае меньшей продольной жесткости поперечных сечений в направлении жесткой преграды, был сделан вывод, что максимальная по величине продольная деформация наблюдается на ударном участке

При математическом моделировании продольного удара трехступенчатого стержня особое внимание было уделено продолжительности ударного процесса величине максимальной продольной деформации во время ударного процесса и наличию повторных ударов стержневой системы о жесткую преграду

Эти характеристики выражают степень нагрузки на стержневую систему при протскаии ударного процесса, что необходимо учитывать при проектировании ударных систем

Анализ результатов моделирования позволяет сформулировать следующие выводы

1 В случае повышения продольной жесткости поперечных сечений трехступенчатого стержня в направлении жесткой преграды (А < 1) продолжительность ударного процесса Г снижается при любых соотношениях длин участков /,, 12, и Таким образом, изменение продольной жесткости поперечных сечений влияет на продолжительность удара и соответственно на длительность нагруженного состояния сгержневой системы При А >1 продолжительность Г увеличивается

2 Величина максимальной относительной продольной деформации ?тах

на участках стержневой системы при А >1 выше, чем при А <1, при любых

Ш 0.41 1161 U HI I

(I.J I. и

tf = n.s

л, Ь =№ ,Q.SI ^ = 2

0.81',.

Шеи,

!A'a

Ш

l.Bia

ft = 0.5

4 tj = IW 6

p 7j ■ o.o* f

= .7 Ц » 0,2 „

У И * '>-"'> и

1 iVfOI/U I

12 H ' 14

We 7{ = -0,42 --- ■■ ■■

IA^^^^U1- ¡2 = -0,1)5 " 7{ - -0.91

m

1'ис. 3. Диаграммы прямых воли (затемненный растр укалывает направление распространении соответствующей волны деформации)

13

В 11,21 «.Я (Ш I

0.5

Ц.41. я ■

К.....

1 -о.кз7

ТЦ 7

Ф 0.5

пш

—та—?

Ш'о

Ми

^я та я

¡7 -t.il

Рис, 4. Диаграммы функций обратных волн (затемненный растр указывает направление распространения соответствующей волны деформации)

соотношениях /;, /?, 13 Следовательно, в случае увеличения продольной жесткости поперечных сечений стержневой системы в направлении жесткой преграды величина Гтах снижается, в случае уменьшения продольной жесткости - увеличивается

3 При А =0,5 и А =0,33 величина максимальной относительной продольной деформации сохраняет свое постоянное значение при любом соотношении длин//, /2, Iз Соответственно, £тах=2,25 при А =0,33 и ?тах = 1,78 при А =0,5 При А =2, А =3 и различных ¡¡, l2, h величина £тах изменяется, однако четкая закономерность ее изменения в зависимости от длин участков стержневой системы не выявлена Данный факт связан с особенностями распространения и преобразования ударных волн на участках стержневой системы

В третьей главе осуществляется математическое моделирование продольного удара системы двух однородных стержней различной площади поперечных сечений о жесткую преграду при неудерживающих связях в контактных сечениях

В ходе анализа полученных результатов моделирования можно сформулировать следующие выводы

1 При ударе однородного стержня длиной /|=0,4/ о стержень, взаимодействующий с преградой, при соотношении А=0,5 наблюдается повторное соударение стержней в контактном сечении х-1[

2 Максимальная относительная продольная деформация £тах в опасном сечении при ударе стержня меньшего поперечного сечения по стержню, взаимодействующему с жесткой преградой, будет зависеть от длины /] и от параметра А При переходе /] через значение 0,5/ максимальная деформация ^гпах изменяется скачкообразно

3 При ударе однородного стержня о стержень меньшего поперечного сечения, взаимодействующий с преградой, при /[=0,4/, А=2 наблюдается повторное соударение стержней в контактном сечении х=1\

4 Величина максимальной относительной продольной деформации гГтах в сечении х = /, взаимодействующим с жесткой преградой, при 0< 1\ <0,5/ не зависит от длины /j однородного стержня 1, а зависит только от А С увеличением А максимальная деформация по модулю увеличивается

5 При 0,5/ < /] <0,8/ £тах зависит и от длины 1\ и от параметра А С увеличением 1\ и А максимальная деформация возрастает

6 При ударе однородных стержней о жесткую преграду, взаимодействующих в контактном сечении, в случае увеличения продольной жесткости поперечных сечений в направлении жесткой преграды повторные соударения не наблюдаются

7 В процессе удара однородных стержней при /|=0,5/ и Л =0,33 возникает ненагруженное состояние второго стержня

8 В соответствии с анализом результатов моделирования сделан вывод, что максимальная относительная продольная деформация в опасном сечении не зависит от длины первого стержня /] , а зависит только от А С уменьшением параметра А величина максимальной деформации етах возрастает,

с увеличением А уменьшается

9 При ударе системы однородных стержней о жесткую преграду, взаимодействующих между собой в контактном сечении при неудерживающих связях, максимальная относительная продольная деформация £тах в сечении х = I, взаимодействующем с жесткой преградой, при 0 < /] <0,5/ не зависит от длины /] однородного стержня 1, а зависит только от АС увеличением А максимальная деформация по модулю увеличивается

10 В этом же случае при 0,5/ < <0,8/ £тах зависит и от длины /| и от параметра А С увеличением /] и А максимальная деформация возрастает

11 При изменении длины начального участка /] на интервале 0,51<1\ </, £тах начинает существенно зависеть от длины /( При увеличении /|, ?тах также увеличивается

В четвертой и пятой главах осуществлено моделирование продольного удара системы однородного и неоднородного двухступенчатого стержней различной площади поперечных сечений о жесткую преграду при неудерживающих связях в контактных сечениях

В ходе анализа результатов моделирования продольного удара однородного стержня, двигающегося с предударной скоростью в напрвлении жесткой преграды, о неоднородный двухступенчатый стержень, взаимодействующий с жесткой преградой при неудерживающих связях, можно сформулировать следующие выводы

1. При ударе однородного стержня о ступенчатый стержень, взаимодействующий с преградой, при 1\=12 =0,4/, Л =0,5 наблюдается повторное соударение стержней в контактном сечении х=1\.

2 Выявлена зависимость величины максимальной относительной продольной деформации £тах в опасном сечении о г длин учас1ков /2, /3 и

величины А Например, с увеличением длин участков /,, /2 и параметра

А величина ?тах по модулю увеличивается от 0,67 при 1\ =/2=0,2/, А =0,5

до 1,12 при /, =0,6/ и /2=0,2I, А =0,33

3 При /) = 0,3/, А =0,33 величина £тах сохраняет свое постоянное значение равное 0,79 при любой длине участка /2 из интервала 0,1/< /2<0,6/ Сходная ситуация наблюдается при /2=0,2/, А =0,33 и Л =0,5 для любой длины участка /1 из интервала 0,1/с/] <0,5/

Из анализа полученных результатов математического моделирования продольного удара неоднородной стержневой системы, состоящей из однородного одноступенчатого стержня и неоднородного двухступенчатого стержня, движущейся с предударной скоростью в направлении жесткой преграды, можно сформулировать следующие выводы

1 При соотношении А =0,5 и А =0,33 величина максимальной относительной продольной деформации в опасных сечениях стержневой системы сохраняет свое постоянное значение при любом соотношении длин /?, 1з Соответственно, £тах=2,25 при А-0,33 и ггтач=1,78 при А =0,5 В соответствии с этим есть основание полагать, что величина максимальной относительной продольной деформации в опасном сечении увеличивается с уменьшением А

2 В случае меньшей продольной жесткости поперечных сечений стержневой системы в направлении жесткой преграды (А >1) величина максимальной относительной продольной деформации £тах в опасных сечениях увеличивается с ростом соотношения А Например, при А= 3 £тах=4,3, при А =2 £тах =4

3 В этом же случае, необходимо отметить, что величина гтах слабо зависит от соотношения длин участков стержневой системы 1\, /2, /3

4 При ударе неоднородной стержневой системы, состоящей из однородного одноступенчатого стержня и неоднородного двухступенчатого стержня о жесткую преграду, имеют место повторные удары в сечениях с неудержи-вающими связями

Исходя из анализа результатов моделирования продольного удара неоднородного двухступенчатого стержня об однородный одноступенчатый стер-

жель, взаимодействующий с жесткой преградой при неудерживающих связях, можно сформулированы следующие выводы

1 В случае удара ступенчатого и однородного стержней о жесткую преграду, повторные соударения в сечениях с неудерживающими связями возникают при /1=0,6/, /2 =/з=0,2/ и Л=0,33

2 Из анализа результатов моделирования следует, что имеет место зависимость величины стах в опасных сечениях от соотношения А Например, при /,=0,4/ и ¡2 = 0,5/, Л =0,5 ятах =1,73, при /,=0,4/ и /2 = 0,5/, Л =0,33 ?тах= 1,29, при /] =12 =0,2/ 2 =0,33 гтах =1,17, при /,=/2=0,2/ А =0,5 ?тах=0,88

3 При анализе результатов математического моделирования максимальной относительной продольной деформации в ударных сечениях в зависимости от длин однородных участков стержневой системы /], /2, /3 и значения

А можно сделать вывод, что соотношение длин участков 1\, 12, /3 существенно не влияет на величину максимальной относительной продольной деформации

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе осуществлено математическое моделирование продольного удара о жесткую преграду ступенчатых стержневых систем различных длин и площадей поперечных сечений, а также с различным расположением контактных поверхностей В результате проведенной работы можно сформулировать следующие выводы

1 При моделировании продольного удара неоднородного стержня о жесткую преграду при неудерживающей связи в ударном сечении, получены новые данные о продольной деформации и скорости в различных сечениях стержня и характере их изменения во времени

2 В отличие от известных работ, используемая математическая модель и результаты моделирования показали возможность повторных соударений при тех или иных состояниях параметров системы с неудерживающими связями Учет повторных соударений и последующих нагружений элементов стержневой системы позволяет оценить общую продолжительность ударного нагружения и получить более полную информацию о характеристиках цикла нагружения стержневой системы Установлено, что с учетом повторных соударений элементов стержневой системы общая продолжительность ударного процесса увеличивается в 2 - 6 раз в зависимости от параметров ударной сис-

темы Величина максимальной продольной деформации при учете цикличности нагружения стержневой системы увеличивается в 1,5 - 2,5 раза

3 Разработанные математическая модель и программа для ЭВМ «Моделирование продольного удара неоднородного стержня о жесткую преграду при неудерживающих связях» позволили получить новые данные о нагруженное™ элементов стержневой системы при различных соотношениях ее параметров

4 Результаты моделирования могут быть использованы при расчете и проектировании технических систем, реализующих ударные технологии с использованием эффекта продольного удара

Основные результаты диссертационной работы изложены в следующих публикациях

1 Битюрин А А, Манжосов В К Возникновение ненагруженного состояния в однородном стержне при соударении стержневой системы с жесткой преградой // Изв вузов Машиностроение - 2006 - № 11 - С 27 - 32

2 Манжосов В К, Битюрин А А Модель продольного удара неоднородного стержня о жесткую преграду // Механика и процессы управления Сборник научных трудов - Ульяновск, 2004 - С 79-88

3 Манжосов В К, Битюрин А А Модель продольного удара неоднородного стержня о жесткую преграду // Современные проблемы машиностроения Труды II Международной научно-технической конференции -ТПИ Томск, 2004 - С 268-272

4 Манжосов В К, Битюрин А А Модель продольного удара неоднородного стержня о жесткую преграду // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники Труды Международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике» (18 - 20 мая 2004 года), Т 7, Ульяновск, 2004, с 147 -149

5 Манжосов В К, Битюрин А А Продольный удар неоднородного стержня о жесткую преграду // Актуальные вопросы промышленности и прикладных наук Сборник статей Международной заочной научно-технической конференции (1 октября - 20 декабря 2004 года) - Ульяновск, 2004 -С 135-140

6 Битюрин А Л Метод характеристик для расчета продольного удара неоднородного стержня о жесткую преграду // Молодежь Поволжья - науке будущего Труды второй Всероссийской заочной молодежной научно - технической конференции ЗМНТК - 2004 (01 октября - 31 декабря 2004 года) -Ульяновск, 2004 - С 12-15

7 Битюрин А А, Манжосов В К Моделирование продольного удара однородных стержней при неудерживающих связях // Математическое моде-

лирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов Труды Шестой Международной конференции (19 - 21 октября 2005 года) - Ульяновск, 2005 - С 25-27

8 Битюрин А А, Манжосов В К Моделирование продольного удара однородных стержней при неудерживающих связях // Вестник УлГТУ -2005 № 3 С. 23 - 25

9 Битюрин А А Продольный удар ступенчатого стержня о жесткую преграду // XVII Международная интернет-конференция молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения (МИКМУС-2005) 21 - 23 декабря 2005 года Тезисы докладов - М 2005 - С 177

10 Битюрин А А, Манжосов В К Влияние длины ударного участка стержня на деформацию в ударном сечении и предельную предударную скорость // Механика и процессы управления Сборник научных трудов - Ульяновск, 2005 -С 12-19

11 Битюрин А А , Манжосов В К Модель продольного удара однородных стержней при неудерживающих связях // Механика и процессы управления Сборник научных трудов - Ульяновск, 2005 - С 20-27

12 Битюрин А А Влияние характера соударения неоднородных стержней с жесткой преградой на ударный процесс // Молодежь России - науке будущего Труды третьей Всероссийской заочной молодежной научно - технической конференции ЗМНТК - 2005 (01 октября - 31 декабря 2005 года) -Ульяновск, 2005 - С 23-25

13 Битюрин А А Особенности процесса удара неоднородного стержня о жесткую преграду при различных координатах переходного сечения // Молодежь России - науке будущего Труды третьей Всероссийской заочной молодежной научно - технической конференции ЗМНТК - 2005 (01 октября -31 декабря 2005 года) - Ульяновск, 2005 - С 26-28

14 Битюрин А А , Манжосов В К Ненагруженное состояние однородного стержня при ударе о жесткую преграду // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники Труды международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинфор-матика в науке и технике» (16 - 18 мая 2006 года), Т 4, Ульяновск, 2006 - С 34-37

15 Битюрин А А, Манжосов В К Отсутствие отрыва однородных стержней при неудерживающих связях в контактном сечении // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники Труды международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике» (16 - 18 мая 2006 года), Т 4, Ульяновск, 2006 - С 38-41

16 Битюрин А А Влияние параметров однородных стержней при ударе о жесткую преграду на максимальную деформацию в опасном сечении // «Математическое моделирование и краевые задачи» Труды Третьей всероссийской научной конференции (29 - 31 мая 2006 года), Ч 1 - Самара, 2006 -С 36-38

17 Битюрин А Л , Манжосов В К Модель продольного удара однородного и неоднородного стержней о жесткую преграду при неудерживающих связях // Вестник УлГТУ 2006 № 1 С 20-23

18 Битюрин А А Модель продольного удара однородного стержня о покоящийся ступенчатый при неудерживающих связях // XVII Международная интернет-конференция молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения (МИКМУС-2005) 21 - 23 декабря 2005 года Избранные труды конференции - М 2006 - С 141-145

19 Битюрин А А Влияние параметров однородных стержней на длительность напряженного состояния в опасном сечении при ударе о жесткую преграду // Сборник материалов 2-й международной научно-практической конференции «Глобальный научный потенциал» (23 - 24 июня 2006 года) -Тамбов, 2006 - С 79-81

20 Битюрин А А , Манжосов В К Моделирование продольного удара неоднородного стержня о жесткую при раду при неудерживающих связях // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2006614044, М РОСПАТЕНТ 27 11 2006

21 Битюрин А А Влияние длины однородного стержня на деформацию в опасном сечении при ударе о жесткую преграду // XVIII Международная интернет-конференция молодых ученых и студентов по современным проблемам машиноведения (МИКМУС-2006) 27-29 декабря 2006 года Тезисы докладов - М-2006-С 167

22 Битюрин А А , Манжосов В К Модель продольного удара однородного и неоднородного стержней о жесткую преграду при неудерживающих связях // Вестник УлГТУ - 2006 № 3 С 23-26

Битюрин Анатолий Александрович

Модечирование продольного удара неоднородных стержневых систем о жесткую преграду при неудерживающих связях

Автореферат

Подписано в печать // О У 2007 Формат 60x84/16 Бумага писчая Уел печ л 1,40 Уч-изд л 1,00 Тираж 100 экз Заказ

Типография УлГТУ, 432027, г Ульяновск, Северный Венец, 32

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОДОЛЬНОГО УДАРА СТЕРЖНЕВЫХ СИТЕМ

1.1. Основные типы ударных машин и механизмов.

1.2. Модели продольного удара в стержневых системах.

1.2.1. Модели продольного удара стержней как абсолютно твердых тел.

1.2.2. Модель удара Герца.

1.2.3. Модель Релея продольного удара стержней.

1.2.4. Модель удара сосредоточенной массы по стержню без учета распределенных сил инерции стержня.

1.2.5. Модель удара сосредоточенной массы по стержню без учета распределенных сил инерции стержня, ориентированная на определение коэффициента динамичности.

1.2.6. Модель удара сосредоточенной массы по стержню, ориентированная на определение коэффициента динамичности с учетом приведенной массы стержня.

1.2.7. Энергетическая модель удара.

1.2.8. Модель удара, когда распределенная масса стержневой системы заменена множеством сосредоточенных масс (дискретная модель).

1.2.9. Волновая модель продольного удара сосредоточенной массы по стержню, взаимодействующему с абсолютно жесткой преградой (модель продольного удара Сен-Венана).

1.2.10. Волновая модель продольного удара по стержню с разнородными участками.

1.3. Преобразование продольной волны деформации постоянной интенсивности на границах стержневой системы.

1.3.1. Преобразование продольной волны при переходе через произвольное сечение.

1.3.2. Граница - свободный торец.

1.3.3. Граница - абсолютно жесткая преграда на торце стержня.

1.3.4. Граница - сосредоточенная масса на торце стержня.

1.3.5. Граница - линейный упругий элемент на торце стержня.

1.3.6. Граница- сопряжение разнородных участков стержня.

1.3.7. Граница- идеальное сопряжение разнородных участков стержня при падающих на границу прямой и обратной волн.

1.4. Постановка задачи исследования.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОДОЛЬНОГО . УДАРА НЕОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ О ЖЕСТКУЮ ПРЕГРАДУ ПРИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ В УДАРНОМ СЕЧЕНИИ

2.1. Моделирование удара двухступенчатого стержня о жесткую преграду при меньшей продольной жесткости поперечных сечений ударного участка стержня в направлении жесткой преграды.

2.2. Моделирование продольного удара двухступенчатого стержня о жесткую преграду при большей продольной жесткости поперечных сечений ударного участка стержня в направлении жесткой преграды.

2.3. Моделирование продольного удара многоступенчатого стержня о жесткую преграду в случаях повышения и понижения продольной жесткости поперечных сечений участков в направлении ударного сечения.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОДОЛЬНОГО УДАРА ОДНОРОДНЫХ СТЕРЖНЕЙ О ЖЕСТКУЮ ПРЕГРАДУ ПРИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ В СЕЧЕНИИ ИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И В СЕЧЕНИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С ПРЕГРАДОЙ

3.1. Моделирование продольного удара однородного стержня меньшего поперечного сечения по однородному стержню, взаимодействующему с жесткой преградой.

3.2. Моделирование продольного удара однородного стержня большего поперечного сечения по стержню, взаимодействующему с жесткой преградой.

3.3. Моделирование продольного удара однородных стержней, при большей продольной жесткости их поперечных сечений в направлении жесткой преграды.

3.4. Моделирование продольного удара однородных стержней, при меньшей продольной жесткости их поперечных сечений в направлении жесткой преграды.

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОДОЛЬНОГО УДАРА ОДНОРОДНОГО И НЕОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЕЙ О ЖЕСТКУЮ ПРЕГРАДУ, ПРИ НЕУДЕРЖИВАЮЩИХ СВЯЗЯХ В СЕЧЕНИИ ИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И В СЕЧЕНИИ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕМ С ПРЕГРАДОЙ

4.1. Моделирование продольного удара стержня меньшего поперечного сечения по ступенчатому стержню, взаимодействующему с жесткой преградой, при неудерживающих связях в ударном сечении.

ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОДОЛЬНОГО УДАРА СТУПЕНЧАТОГО И ОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЕЙ О ЖЕСТКУЮ ПРЕГРАДУ, ПРИ НЕУДЕРЖИВАЮЩИХ СВЯЗЯХ

5.1. Моделирование продольного удара ступенчатого стержня по однородному стержню, взаимодействующему с жесткой преградой, при неудерживающих связях в контактном сечении и в преграде.

Выполнение многих технологических операций в машиностроении, металлургии, горном деле, строительстве, производстве строительных материалов, и прочих многочисленных отраслях связано с ударной обработкой и разрушением различных материалов. Машины, как средства, основанные на применении удара, используются для выполнения работ, связанных с возбуждением в обрабатываемом материале значительных по величине усилий, приводящих к разрушению материала или его деформированию (например, машины для штамповки деталей, ковки, разрушения горных пород, бетонных покрытий, погружения свай и т. д.). Эффективность применения таких машин во многом обусловлена тем, что разрушение материала или его деформирование во многих технологических процессах определяется уровнем возникающих напряжений, а не продолжительностью их воздействия.

В основе технологических операций с использованием машин ударного действия лежит нанесение продольного удара неоднородного упругого стержня или системы стержней.

Постановка задачи о продольном ударе стержня с учетом его распределенной массы и описания движения поперечных сечений волновыми уравнениями была сформулирована в 19 веке в работах Навье, Буссинеска, Сен-Венана, Сирса. В 20 веке исследования продольного удара стержней получили развитие в работах Тимошенко С. П. [134], Динника А. Н. [48], Бержерона JL [24], Доброгурского С. О. [49], Герсеванова Н. М. [40], Бидермана В. JI. [25], Кильчевского Н. А. [70 - 73], Гольдсмита В. [41], Кольского Г. [81], Александрова Е. В., Соколинского В. Б. [5], Беляева Ю. В. [20 - 23] , Саймона Р. [119], Фишера Г. [144], Флавицкого Ю. В. [145], Хомякова К. С. [147], Хоукса И., Чакраварти П. [148], Зегжды С. А. [56], Клея Р. В. [75], Иванова К. И., Андреева В. Д. [57 - 60], Алимова О. Д. [7 - 9], Дворникова JL Т. [47], Шапошникова И. Д. [151], Еремьянца В. Э. [50, 51], Манжосова В. К. [96 - 101], Стахановского Б. Н. [130, 131], Мясникова А. А. [103], Малкова О. Б. [93], Саруева JL А. [121, 122], Слистина А. П [125 - 127] и других.

В известных работах модель учета неудерживающих связей в задачах продольного удара стержней сводится к тому, что процесс удара считался завершенным, если в ударном сечении возникла деформация растяжения, и происходил разрыв связи. Возможность повторного соударения стержней исследователями, как правило, не рассматривалась. Такая модель продольного удара с одной стороны отсекала информацию о последующем нагружении стержня при повторных соударениях, а с другой стороны представляла некорректную информацию о восстановлении скорости стержня при продольном ударе. В этом плане исследования продольного удара в стержневых системах с учетом неудерживающих связей и возможности повторных ударов актуальны.

Предлагаемая работа посвящена математическому моделированию продольного удара неоднородного стержня и системы стержней о жесткую преграду при неудерживающих связях с жесткой преградой и в контактных сечениях. При моделировании анализируются волновые процессы, происходящие на участках стержневой системы после разрыва неудерживающих связей.

Целью работы является выявление взаимосвязи между величинами напряжений и деформаций, возникающих при ударе и распространяющихся в виде волн по участкам стержневой системы, и параметрами этой системы с учетом неудерживающих связей.

Методы исследования основаны на использовании

• существующих положений теории удара;

• решений задач о продольном соударении стержней с использованием одномерной волновой теории Сен-Венана и метода Даламбера для описания процесса распространения волн в конечных элементах стержневой системы;

• математических принципов аналитического решения дифференциальных уравнений;

• математического моделирования продольного удара в стержневой системе, представленной в виде множества сопряженных конечных элементов, с учетом волновых процессов внутри каждого элемента, преобразования волн на границах сопряжения элементов и неудерживающих связей.

Научная новизна результатов, выносимых на защиту.

1. Разработана новая модель продольного удара неоднородной стержневой системы с учетом волновых процессов внутри каждого элемента, преобразования волн на границах сопряжения элементов и неудерживающих связей в системе.

2. Впервые осуществлен процесс моделирования продольного удара неоднородного стержня и системы стержней о жесткую преграду с использованием волновой модели с учетом разрыва контактов и их последующего замыкания в сечениях с неудерживающими связями при различных параметрах стержней и различном предударном состоянии.

3. При решении задачи продольного удара неоднородного стержня о жесткую преграду выявлена связь максимальной продольной деформации в ударном и опасном сечениях стержня, продолжительности ударного нагружения с длиной ударного и опасного участков стержня, а также с площадью поперечных сечений на данных участках.

4. При решении задачи продольного удара однородного и неоднородного стержней при неудерживающих связях с преградой и в переходном сечении выявлена связь между количеством повторных соударений стержней в сечениях с неудерживающими связями и предударным состоянием стержневой системы, соотношением длин и площадей сечения однородных участков стержней.

Практическая ценность. Результаты исследований могут быть использованы при расчете и проектировании различных технических систем, использующих ударные технологии.

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОДОЛЬНОГО УДАРА

СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Выводы:

1. В случае удара ступенчатого и однородного стержней о жесткую преграду, повторные соударения в сечениях с неудерживающими связями наблюдаются только при /] =0,6/, /2 =/з=0,2/ и А=0,33. При других параметрах 1\, /2, /3 и А при А< 1, повторные удары не наблюдаются.

2. Из анализа графиков (рис. 5.1.11 и 5.1.12) следует, что зависимость величины £тгх в опасных сечениях от соотношения А прослеживается слабо. При /j = 0,4/ и /2 = 0,5/, А =0,5 Бтах =1,73, при /,=0,4/ и /2 = 0,5/, Л =0,33 ?тах=1,29, при /] =/2=0,2/ Л =0,33 smax =1,17, при /,=/2=0,2/ Л =0,5 тах =0,88.

3. Как видно из графиков, при изменении длин участков /] и /2 от 0,11 до 0,41 £тах не меняется в зависимости от длины /j (рис. 5.1.12) или /2 (рис. 5.1.11). При длине этих участков более 0,41 с увеличением их длины имеет место возрастание величины ?тах (рис. 5.1.11 и 5.1.12), однако в некоторых случаях (рис. 5.1.11,6 линия 3 и 5.1.11, в линия 4) значение f тах снижается.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе осуществлено математическое моделирование продольного удара о жесткую преграду ступенчатых стержневых систем различных длин и площадей поперечных сечений, а также с различным расположением контактных поверхностей. В результате проведенной работы можно сформулировать следующие выводы:

1. При моделировании продольного удара неоднородного стержня о жесткую преграду при неудерживающей связи в ударном сечении, получены новые данные о продольной деформации и скорости в различных сечениях стержня и характере их изменения во времени.

2. В отличие от известных работ, используемая математическая модель и результаты моделирования показали возможность повторных соударений при тех или иных состояниях параметров системы с неудерживающими связями. Учет повторных соударений и последующих нагружений элементов стержневой системы позволяет оценить общую продолжительность ударного нагружения и получить более полную информацию о характеристиках цикла нагружения стержневой системы. Установлено, что с учетом повторных соударений элементов стержневой системы общая продолжительность ударного процесса увеличивается в 2 - 6 раз в зависимости от параметров ударной системы. Величина максимальной продольной деформации при учете цикличности нагружения стержневой системы увеличивается в 1,5 - 2,5 раза.

3. Разработанные математическая модель и программа для ЭВМ «Моделирование продольного удара неоднородного стержня о жесткую преграду при неудерживающих связях» позволили получить новые данные о нагруженности элементов стержневой системы при различных соотношениях ее параметров.

4. Результаты моделирования могут быть использованы при расчете и проектировании технических систем, реализующих ударные технологии с использованием эффекта продольного удара.

1. Абрамов А. Б., Абрамов Б. М. Определение усилий при продольно -поперечном ударе // Изв. вузов. Строительство и архитектура.- 1975- № 9.-С. 58 64.

2. Авдеева А. И. Волновые процессы при распространении силовых импульсов по ставу штанг / А. И. Авдеева: Автореф. дисс. канд. техн. наук-Томск 1999-27 с.

3. Адищев В. В., В. Б. Кардаков. Точное решение задачи об ударе по стержню с учетом дисперсии // Изв. вузов. Строительство. 1992. - № 4. -С. 46-48.

4. Адищев В. В., Вдовин В. Е., Кардаков В. Б. Формирование волн напряжений при ударе по стержню с учетом дисперсии // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1990. - № 6. - С. 35 - 40.

5. Александров Е. В., Соколинский В. Б. Прикладная теория и расчет ударных систем . М.: Наука, 1969. - 199 с.

6. Алиев М. Н. Обоснование параметров ударной системы шарнирно -рычажного ударного механизма для обрубки литья // М. Н. Алиев: Автореф. дисс. канд. техн. наук Бишкек - 1998 - 25 с.

7. Алимов О. Д., Дворников Л. Т. Бурильные машины. М.: Машиностроение, 1976 - 295 с.

8. Алимов О. Д., Манжосов В. К., Еремьянц В. Э., Мартыненко Л. М. Графодинамический метод расчета ударных систем с использованием ЭЦВМ. Фрунзе: Илим, 1975. - 39 с.

9. Алимов О. Д., Манжосов В. К., Еремьянц В. Э. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах .- М.: Наука, 1985.- 354с.

10. Аналитическое моделирование ударного воздействия при вбивании свай. Analitical modelling of hammer impact for pile driving / Deeks A. J., randolph M. F. // Int. I. Numer. And Anal. Meth. Geomech- 1993- 17, № 5 C. 279 - 302. - Англ.

11. Андреев В. Д., Иванов К. И. Распространение энергии ударного импульса по инструменту применительно к бурению глубоких взрывных скважин перфораторами с независимым направленным вращением бура.-в сб.: Взрывное дело, № 58/15. М.: Недра, 1966 С. 219 - 223.

12. Андреева JI. В. Применение волновой теории к исследованию процесса вибропогружения свай // Транспортное строительство. 1975. - № 4. -С. 50-51.

13. Анисимов Н. И., Толоконников Л. А. Удар жесткой массой по упруго вязко - пластическому стержню // ПМ. - Киев: Изд - во «Наукова думка». - 1973. - Т. IX. - Вып. 11. - С. 64 - 68.

14. Анисимов Н. И. Продольные упруго пластические волны в стержне / Н. И. Анисимов // Сб. «Исследования по механике деформируемых сред». - Тула. - Изд - во Тульского политехнического ин - та, 1972. - С. 27 -32.

15. Баженов В. Г., Котов В. Л., Крылов С. В., Баландин В. В., Врагов А. М. Экспериментально теоретический анализ нестационарных процессов взаимодействия деформируемых ударников с грунтовой средой // ПМТФ. - 2001. - № 6. - С. 190 - 198.

16. Баранов В. Л., Могильников Б. В. Ударное нагружение стержня конечной длины из упруго вязкопластического материала // Изв. вузов. Машиностроение. - 1986. - № 3. - С. 29 - 31.

17. Баранова В. И., Лампси А. И. Влияние повторных ударов на механические свойства стали // Изв. вузов. Машиностроение. 1960. - № 10. - С. 103- 105.

18. Басс Б. А. Сравнительный анализ оборудования для рыхления мерзлых грунтов ударом большой энергии // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1974.-№ 5.-С. 152- 158.

19. Бедрина Е. А., Галдин Н. С. Математическое планирование эксперимента в обоснование основных параметров гидроударников для ковшей активного действия экскаваторов // Строительные и дорожные машины,-2004-№7-С. 33 -34.

20. Беляев Ю. В. Возможности упрощенной постановки задач о соударении упругих тел // Сб. трудов Московского инженерно строительного института. - М., 1978. - № 156.

21. Беляев Ю. В. Некоторые практические результаты решения задачи об ударе о сваю при забивке // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1986.-№6.-С. 113-117.

22. Беляев Ю. В., Бойко Л. А. Приложение теории упруго пластических волн к определению потерь энергии при погружении свай // Изв. вузов. Машиностроение. - 1973. - № 4. - С. 21 - 26.

23. Беляев Ю. В. Продольный удар по упругому стержню с амортизатором при действии сухого трения // Изв. вузов. Машиностроение. 1982. -№ 7. - С. 33 - 38.

24. Бержерон Л. От гидравлического удара в трубах до разряда в электрической сети. М.: Машгиз, 1961. - 347 с.

25. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. М.: Высш. шк. -1972.-416 с.

26. Битюрин А. А. Возникновение ненагруженного состояния в однородном стержне при соударении стержневой системы с жесткой преградой / А. А. Битюрин, В. К. Манжосов // Изв. вузов. Машиностроение. 2006. -№ 11.-С. 27-32.

27. Битюрин А. А., Манжосов В. К. Моделирование продольного удара однородных стержней при неудерживающих связях // Вестник УлГТУ. -2005. №3. С. 23 -25.

28. Битюрин А. А., Манжосов В. К. Модель продольного удара однородного и неоднородного стержней о жесткую преграду при неудерживаю-щих связях // Вестник УлГТУ. 2006. № 3. С. 23 - 26.

29. Битюрин А. А., Манжосов В. К. Моделирование продольного удара неоднородного стержня о жесткую преграду при неудерживающих связях // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2006614044, М.: РОСПАТЕНТ 27.11.2006.

30. Васильевский Ю. И. Продольный удар по полубесконечному стержню через упругую прокладку // ПМ. Киев: Изд - во «Наукова думка», 1967. - Т. III. - Вып. 4. - С. 129 - 130.

31. Веклич Н. А., Малышев Б. М. Продольный удар жесткого тела по закрепленному стержню // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1972. -№ 6. - С. 140 - 146.

32. Волчков Ю. М. Квазиодномерная модель взаимодействия ударника и преграды // ПМТФ. 2000. - № 5. - С. 205 - 210.

33. Гаврилюк И. П., Макаров В. Л., Москальков М. Н. Два подхода к численному решению задачи об ударе по поверхности сплошного упругого цилиндра // ПМ. Киев: «Наукова думка». - 1979. - Т. XV. - Вып. 3. -С. 91-94.

34. Гаипова А. Н. Разностный метод решения задачи об ударе вязко -пластического стержня о жесткую преграду // Изв. АН СССР. 1968. - № 1. -С. 128- 130.

35. Гельман И. Б. Удар груза о жесткую балку // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1968. - № 11. - С. 60 - 63.

36. Герсеванов Н. М. Теория продольного удара с применением к определению сопротивления свай. Собр. соч. - Т. I. - М.: Стройвоенмориздат, 1948.-С. 70-94.

37. Гольдсмит В. Удар. М.: Стройиздат, 1965. - 448.

38. Горбунов В. Ф., Лазуткин А. Г., Ушаков Л. С. Импульсный гидропривод горных машин. Новосибирск.: Изд-во «Наука» Сибирское отделение. - 1986. - 198 с.

39. Горелик Г. С. Колебания и волны // М.: ГИТТЛ, 1950 553 с.

40. Гринев В. Г., Филиппов А. П. О границах основной частоты стержня, несущего сосредоточенную массу // ПМ. Киев: Изд - во «Наукова думка». - 1973. - Т. IX. - Вып. 2. - С. 85 - 90.

41. Дандыбаев Е. С. Влияние параметров гидропривода на динамику кривошипно коромысловых ударных машин / Е. С. Дандыбаев: Автореф. дисс. канд. техн. наук.- Бишкек.- 2005.- 25с.

42. Дандыбаев Е. С. Анализ потерь давления в сливной магистрали ударных машин с гидроприводом / Е. С. Дандыбаев // Современные проблемы машиностроения / Труды II межд. конф Томск.: Изд - во ТПУ,- 2004-С. 363 - 366.

43. Дворников Л. Т., Тагаев Б. Т. К вопросу о влиянии формы бойков ударных механизмов на эффективность разрушения горных пород. Фрунзе: Илим, 1972.-С. 64-70.

44. Динник А. Н. Удар и сжатие упругих тел: Ивбр. тр. Киев: АН УССР, 1952.-Т. 1.-152 с.

45. Доброгурский С. О. К вопросу о напряжениях и усилиях при ударе // Вопросы расчета и конструирования деталей машин. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1942. - С. 3 - 106.

46. Еремьянц В. Э., Дандыбаев Е. С. Моделирование рабочих процессов в кривошипнокоромысловых ударных механизмах с гидроприводом // Проблемы механики современных машин / Матер. II межд. конф. Т. 3,- Улан -Удэ.: Изд - во ВСГТУ. - 2003. - С. 147 - 151.

47. Есин Н. Н. Пневматические машины ударного действия для бурения шпуров. Новосибирск: Наука, 1978. - 215с.

48. Есипенко В. Г. Погрешности в определении усилия и скорости смещения при неучете волновых процессов в бойках ударных механизмов // Изв. вузов. Машиностроение. 1986. - № 3. - С. 32 - 33.

49. Жуков И. А. Формирование упругих волн в волноводах при ударе по ним полукатеноидальными бойками / И. А. Жуков: Автореф. дисс. канд. техн. наук.- Томск.- 2005,- 21с.

50. Зукас Д., Николас Т. Динамика удара. М.: Мир, 1985. - 296 с.

51. Зегжда С. А. Продольное соударение двух систем стержней // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1969. - № 4. - С. 132 - 143.

52. Иванов А. И. О безударных движениях в системах с неудерживаю-щими связями // ПММ. 1992. - Т. 56. - Вып. 1. - С. 3 - 15.

53. Иванов А. И. Динамика систем с механическими соударениями. -М.: Международная программа образования, 1997. 336 с.

54. Иванов К. И. Влияние формы ударника на коэффициент передачи энергии удара в породу // В сб. «Горный породоразрушающий инструмент». -Киев: Техника, 1970. С. 166 - 169.

55. Иванов К. И., Латышев В. А., Андреев В. Д. Техника бурения при разработке месторождений полезных ископаемых. М.: Недра, 1987. - 272 с.

56. Иносов В. Л., Вайнкоф Я. Ф., Андреева Л. В. Определение напряжений в свае при ударном погружении на основе волновой теории // ПМ. -Киев: Изд во «Наукова думка». - 1977. - Т. XIII. - № 12. - С. 46 - 50.

57. Исаков А. Л., Шмелев В. В. Об эффективности передачи ударного импульса при забивании металлических труб в грунт // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1998. - № 1. - С. 89 - 97.

58. Искрицкий Е. А., Будников Н. А. Исследование общего действия удара на железобетонное балочное перекрытие на основе волновой теории изгибных колебаний // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1980. -№3.-С. 35-39.

59. Кангур X. Ф., Клейс И. Р. Экспериментальное и расчетное определение коэффициента восстановления скорости при ударе // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1988. - № 5. - С. 182 - 185.

60. Кантович JI. И. Статика и динамика буровых шарошечных станков / JI. И. Кантович, В. Н. Дмитриев. М.: Недра, 1984. - 361 с.

61. Каргин В. А. Исследование и создание виброударных машин и технологий / В. А. Каргин: Автореф. дисс. докт. техн. наук. Новосибирск. -1987.-47с.

62. Касымбеков С. Н. Перфоратор с ручным приводом на основе механизма переменной структуры / С. Н. Касымбеков: Автореф. дисс. канд. техн. наук,- Бишкек. 1996. - 23 с.

63. Квитко С. И. Анализ конструкторских схем и обоснование требований к точности изготовления гидравлических молотов / С. И. Квитко: Автореф. дисс. канд. техн. наук. Бишкек. - 1998. - 27 с.

64. Кильчевский Н. А. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар. Киев: Наукова думка, 1976. - 314 с.

65. Кильчевский Н. А., Шальда Л. М. К теории соударения упругих тел // Изв АН СССР. Механика твердого тела. 1973. - № 6. - С. 43 - 47.

66. Кильчевский Н. А., Шальда Л. М. Продолжительность соударения упругих тел и неньютоновский коэффициент восстановления // ПМ. Киев: «Наукова думка». - 1974. - Т. X. - Вып. 5. - С. 123 - 126.

67. Кильчевский Н. А. Теория соударения твердых тел. М.: Изд - во «Наукова думка», 1969. - 431 с.

68. Киричек А. В., Соловьев Д. Л., Силантьев С. А. Ударное устройство для статико-импульсной деформационной обработки // КШП ОМ Д. 2002. -№ 10.-С. 35-40.

69. Клей Р. В. Ударные волны в твердых телах и механика горных пород. М.: Госгортехиздат, 1962. - С. 410 - 440.

70. Климова Д. Н., Огурцов К. И. О напряжениях и первичных разрушениях в горной породе при нормальном ударе // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1992. - С. 93 - 98.

71. Клушин Н. А. Исследование, создание и внедрение ручных пнев-моударных машин со сниженной вибрацией / Н. А. Клушин: Автореф. дисс. докт. техн. наук. Новосибирск. - 1975. - 55 с.

72. Клушин Н. А., Абраменков Э. А., Маслаков П. А., Варнелло Э. П., Ганжин Л. А. Ручные пневматические молотки с пониженной вибрацией для строительно-монтажных работ // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1970,-№9.-С. 134- 139.

73. Коваленко К. Р., Подлозный Э. Д. Применение метода точечных отображений к исследованию виброударных режимов стержней // ПМ. Киев: Изд - во «Наукова думка», 1967. - Т. III. - Вып. 6. - С. 54 - 60.

74. Козлова 3. П. Замечания об ударном воздействии // ПММ. 1999. -Т. 63.- Вып. 4,- С. 696- 697.

75. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. М.: Изд-во иностр. лит, 1955. - 192 с.

76. Корнеев А. И., Николаев А. П. Расчет параметров рикошета при косом ударе упругопластического тела по жесткой преграде // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1990. - № 2. - С. 140 - 144.

77. Костылев А. Д. Расчет ударной мощности пневмопробойника и его основных параметров // Изв. вузов. Строительство. 2001. - № 5.-С. 90 - 97.

78. Котляревский В. А., Майорова Е. Г., Шишкин А. И. Волны напряжений в грунтах при наличии кавитационных эффектов // ПМТФ. 1978. -№ 2. - С. 95 - 98.

79. Кузина 3. Н., Леонов А. И., Марков А. А. Нелинейные волны в уп-руговязком стержне и задача об ударе стержня конечной длины о жесткую преграду // ПМТФ. 1978. - № 1. - С. 143 - 153.

80. Кукуджанов В. Н. О соударении стержней конечной длины из жест-копластического материала с упрочнением // Известия РАН. Механика твердого тела. 1994. - № 4. - С. 116 - 123.

81. Куравлев Н. В. Уменьшение структурных неоднородностей материалов деталей при ударном нагружении // КШП ОМД.- 2003.- № 7. С. 35-40.

82. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 2. М.; Л.: Гостехиздат, 1951. - 544 с.

83. Ле Хань Чау. О соударении пьезокерамических стержней // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1987. - № 3. - С. 182 - 184.

84. Маврин А. И. К теории ударного погружения свай // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1967. - № 8. - С. 24 - 28.

85. Маланов С. Б., Уткин Г. А. Косой удар материальной точкой по бесконечной струне на упругом основании // ПММ. 1988. - Т. 52. - Вып. 5. -С.861 - 863.

86. Маланов С. Б., Уткин Г. А. Ударное взаимодействие сосредоточенного объекта с одномерной упругой системой // ПММ. 1988. - Т. 52. -Вып. 1.-С. 42-46.

87. Малков О. Б. Динамика стержневых систем с внутренними граничными поверхностями / О. Б. Малков: Автореф. дисс. докт. техн. наук.-Омск 2000 - 23 с.

88. Малый В. И. Выпучивание стержня при продольном ударе. Большие прогибы // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1975. - № 1. -С. 52-61.

89. Малышев Б. М. Устойчивость стержня при ударном сжатии // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1966. - № 4. - С. 137 - 142.

90. Манжосов В. К. Модели удара в стержневых системах // Методические указания. Ульяновск: УлГТУ, 1998. - 60 с.

91. Манжосов В. К. Модели продольного удара. Ульяновск, 2006159 с.

92. Манжосов В. К., Битюрин А. А. Модель продольного удара неоднородного стержня о жесткую преграду // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники: Труды Международной конференции

93. Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике» (18 -20 мая 2004 года), Т. 7, Ульяновск, 2004, с. 147 149.

94. Манжосов В. К., Битюрин А. А. Модель продольного удара неоднородного стержня о жесткую преграду // Современные проблемы машиностроения. Труды II Международной научно-технической конференции. -ТПИ: Томск, 2004. С. 268 - 272

95. Манжосов В. К., Битюрин А. А. Модель продольного удара неоднородного стержня о жесткую преграду // Механика и процессы управления: Сборник научных трудов. Ульяновск, 2004. - С. 79 - 88.

96. Мясников А. А. Обоснование рациональной конструкции механического генератора волн продольных колебаний машин ударного действия для разрушения горных пород: автореф. дисс. . канд. техн. наук / А. А. Мясников // Алма-Ата, 1983. 19 с.

97. Некрасов В. П., Королев В. В. Ударное нагружение круглой пластины, жестко скрепленной с оболочкой // Изв. вузов. Машиностроение. -1974.-№7.-с. 31 -36.

98. Никитин JI. В. Распространение волн в упругом стержне при наличии сухого трения // Инженерный журнал. 1963.-Т Ш.-Вып. I. С. 154 - 157.

99. Николаи Е. JI. К теории продольного удара упругих стержней // Труды Ленингр. индустр. ин та. - № 3 - Ленинград, 1939. - С. 85 - 93.

100. Павлова Н. И., Шрейнер Л. А. Разрушение горных пород при динамическом нагружении. М.: Недра, 1964. - 160 с.

101. Пановко Я. Г. Введение в теорию механического удара. М.: Наука, 1977.-220 с.

102. Парамонов В. Н. Математическое моделирование устройства свайных фундаментов в условиях плотной городской застройки // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1998. - № 4. - С. 13-18.

103. Патенко Г. Н. Нелинейная модель удара упругого стержня с сосредоточенной массой // Изв. вузов. Машиностроение. 1991. - № 5. - С. 9 - 12.

104. Петреев А. М., Мезенцев И. В. Об отскоке в системе «ударник -бур порода» // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых.- Новосибирск - 1996.- № 2- С. 66-71.

105. Петреев А. М. Ограничения быстроходности перфораторов // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых- Новосибирск- 1993.-№ 1.- С. 68-71.

106. Петреев А. М., Смоляницкий Б. Н. Показатели экономичности и совершенствование пневмомолотов // Изв. вузов. Строительство. 2001. - № 8.-С. 111 - 115.

107. Подлозный Э. Д. О виброударном режиме, возникающим в сваях -оболочках при погружении в скальные и полускальные грунты одночастот-ным вибратором // Сб. «Динамика и прочность машин», № 3. Харьков: Изд - во Харьковского ун - та, 1966. - С. 215 - 223.

108. Подлозный Э. Д. Распространение волн напряжений вдоль сваи при виброударном режиме ее погружения // ПМ. Киев: Изд - во «Наукова думка». - 1966. - Т. II. - В. 7. - С. 11 - 19.

109. Попов Г. Н., Разумов С. В. Расчетная модель грунтоуплотняющих машин ударного действия // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1986.-№8.-С. 103- 108.

110. Раскин Я. М. К вопросу о коэффициенте восстановления скорости при ударе реальных тел // Изв. вузов. Машиностроение. -1961.-№2.-С. 31-42.

111. Рудаков Ю. Ф., Кудря Н. А. Исследование напряжений в ударной системе буровых машин методами дискретного математического моделирования с применением малогабаритных ЭВМ // Твердые сплавы и тугоплавкие металлы М.: Металлургия - 1974- № 15.

112. Сабодаж П. Ф. Удар составного упругого стержня переменного поперечного сечения о жесткую преграду // ПМ. Киев: Изд - во «Наукова думка». - 1976. - Т. XII. - № 3. - С. 84 - 89.

113. Саймон Р. Расчет на вычислительных машинах волн напряжений от удара бойка в бурильных машинах // Механика горных пород. М.: Недра, 1966.-С. 76-94.

114. Санкин Ю. Н., Юганова Н. А. Продольные колебания упругих стержней ступенчато-переменного сечения при соударении с жестким препятствием // ПММ. 2001. - Т. 65. - В. 3. - С. 442 - 448.

115. Саруев Л. А., Слистин А. П., Авдеева А. И. Передача энергии по ставу штанг при продольном импульсном воздействии . Томск, 1995. -6с.-Деп. В ВИНИТИ 29.11.95, № 3164-В95.

116. Саруев Л. А. Рабочие процессы и выбор параметров станов для бурения взрывных скважин малого диаметра / Л. А. Саруев: Автореф. дис. . докт. техн. наук. Томск. - 1986. - 24 с.

117. Сеняков Ю. Э. Модели упругого удара в динамике сооружений. -М.: Наука, 1967. 171 с.

118. Слепян Л. И., Троянкина Л. В. Разрушение хрупкого стержня при продольном ударе // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1969. -№ 2. - С. 63 - 72.

119. Слистин А. П. Расчет параметров процесса передачи продольного ударного воздействия по стержням: автореф. дисс. канд. техн. наук / А. П. Слистин. Томск, 1990. - 18 с.

120. Слистин А. П., Саруев JI. А. Моделирование процесса соударения бойка с хвостовиком ударного инструмента // Известия Томского политехнического университета. 2005. - Т. 308, № 2. - С. 116-119.

121. Слистин А. П., Авдеева А. И. Расчет параметров процесса передачи продольного ударного воздействия по составным стержням // Томский политехи. ун-т.- Томск 1998. - 155 е.- Деп. в ВИНИТИ, № 2347 - В 98.

122. Снитко Н. К., Ежов Е. Ф. Горизонтальные колебания свай при эксцентричном ударе в процессе забивки // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1980. - № 11. - С. 54 - 57.

123. Солодовников Р. В., Смелянская JI. Н. Поперечный удар по балке, нагруженной продольными силами // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1962.-№ 2. - С. 3 - 12.

124. Стихановский Б. Н. КПД передачи энергии при упругом соударении стержней // Тр. межвуз. науч. конф. по электр. машинам ударного действия: сб. докл. Новосибирск: НЭТИ, 1967. - С. 119 - 121.

125. Стихановский Б. Н. Передача энергии ударом. Омск, 1995. - Ч. 2/3. - 180 с. - Деп. В ВИНИТИ, № 1729. - В 95

126. Стойчев В. Б., Можаев И. В. Прогнозирование параметров процесса погружения свай труб пневматическими ударными машинами // Изв. вузов. Строительство. - 2004. - № 3. - С. 81 - 85.

127. Суворов Д. Г. Математические модели ударных пневматических машин // ПММ. 1988. - Т. 52. - Вып. 1. - С. 49 - 55.

128. Тимошенко С. Д. Колебания в инженерном деле. М.: Физматгиз, 1959.- 440 с.

129. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. - 724 с.

130. Ткачев П. Г. Моделирование ударного взаимодействия пневмопро-бойников с технологической средой. Саратов. - 1994. - 207 с.

131. Третьяков П. В. Интегральные решения волнового уравнения // ПММ. 1991. - Т. 55. - Вып. 2. - С. 250 - 255.

132. Труды Американского общества инженеров-механиков, Конструирование и технология машиностроения (Transactions of the ASME, Journal of Mechanical Design & Journal of Engineering for Industry), 1978. № 2.

133. Ушаков А. И., Михеев А. В. Математическое описание процесса соударения бойка с инструментом // Материалы II международного научного симпозиума «Механизмы и машины ударного, периодического и вибрационного действия». Орел: ОрелГТУ, 2003. - С. 374 - 378.

134. Федулов А. И., Иванов Р. А. Научные основы применения ударных устройств. Исследование процессов ударного разрушении // Изв. вузов. Строительство. 2001. - № 11. - С. 103 - 106.

135. Федулов А. И., Р. А. Иванов К расчету величины внедрения ударного инструмента в мерзлый грунт // Физико технические проблемы полезных ископаемых. - Новосибирск: Наука, 1996. - № 2. - С. 54 - 60.

136. Филиппов А. П. Колебания механических систем. Киев.: «Науко-ва думка», 1965. - 457 с.

137. Филиппов А. П., Попович А. Ю. Распространение волн сжатия в стержнях из вязко упругого материала // ПМ. - Киев: Изд - во «Нау-кова думка». - 1976. - Т. XII. - № 7. - С. 45 - 50.

138. Фишер Г. Определение импульсов напряжений при ударном бурении // Разрушение и механика горных пород. М.: Госгортехиздат, 1962. - С. 278 - 300.

139. Флавицкий Ю. В., Хомяков К. С. Определение импульсов напряжений при продольном соударении упругих тел. М.: ИГД им. А. А. Скочин-ского, 1964. - 31 с.

140. Холмогоров Н. Н. Об ударном взаимодействии двух несвободных тел // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1961.-№4.-С.50-61.

141. Хомяков К. С. Разработка и исследование методики моделирования системы ударного действия на ЭЦВМ / К. С. Хомяков: Автореф. дисс. канд. техн. наук. Москва. - 1965. - 16 с.

142. Хоукс И., Чакраварти П. Поведение волны деформации в штангах станков ударного бурения // Разрушение и механика горных пород. М.: Гос-гортехиздат, 1962. - С. 311 - 337.

143. Чернышев Ю. Г. О коэффициенте восстановления при забивке свай // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1972. - № 7. - С. 148 - 151.

144. Чихладзе Э. Д., Мчедлов П. О. Удар упругого стержня с прикрепленной жесткой массой о жесткую преграду. Петросян // ПМ. - Киев: «Нау-кова думка». - 1976. - Т. XII. - № 11. - С. 91 - 94.

145. Шапошников И. Д., Дворников JI. Т., Леонтьев Г. С. К исследованию волн деформаций в элементах вращательно-ударного механизма бурильной машины // Тр. ФПИ. Фрунзе, 1969. - Вып. 38. - С. 71-81.

146. Шер Е. Н., Александрова Н. И., Сердечный А. С. О передаче импульса при ударе по инструменту через прослойку жидкости в машинах ударного действия // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых- Новосибирск 1998.- № 6.- С. 35 - 40.

147. Шехтер О. Я. Исследование распространения волн от нагрузки, приложенной к верхнему концу бесконечно длинного стержня // Сб. «Проблемы механики». Вып. III. - М.: ИЛ, 1961. С. 31 - 41.

148. Шимановский А. О. Динамика стержневых систем при действии ударных нагрузок / А. О. Шимановский: Автореф. дисс. канд. техн. наук. -Москва, 1992.- 16 с.