автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Дискретные модели механических и биомеханических систем с односторонними связями

На правах рукописи

КОЛЕСНИКОВ Геннадий Николаевич

ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ И БИОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ

(ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧАМ БИОМЕХАНИКИ СКЕЛЕТНО-МЫШЕЧНЫХ СИСТЕМ)

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Петрозаводск - 2004

Работа выполнена в Петрозаводском государственном университете

Научный консультант: заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук, профессор В. И. Чернецкий

Официальные оппоненты: заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук, профессор Г. В. Васильков,

Ведущая организация: Санкт-Петербургский институт

информатики и автоматизации РАН

Защита состоится 12 ноября 2004 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.190.03 при Петрозаводском государственном университете по адресу: 185910, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петрозаводского государственного университета

Автореферат разослан У октября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук, профессор В. Г. Темнов,

доктор технических наук, профессор И. К. Савин

кандидат технических наук доцент

Поляков В. В.

ZDOZ-Ч №85

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Механические и биомеханические системы с односторонними связями часто встречаются в природе и технике. В таких системах функции односторонних связей выполняют компоненты, которые сопротивляются только сжатию (надавливанию) или только растяжению. В технике такими системами являются балки и плиты на упругом основании, узлы механизмов и машин с зазорами в опорах, массив гранулированного материала, устройства вибротранспорта и т. д.

На каждом шагу в прямом и переносном смысле слова встречаются биомеханические системы указанного типа - это многочисленные и разнообразные скелетно-мышечные системы ныне существующих, а также ископаемых позвоночных. Функции односторонних связей выполняют сухожильно-мышечные комплексы, которые подобно гибким нитям, способным сопротивляться только растяжению, «выключаются» при появлении в них сил сжатия. Но передвижение позвоночного, например, по некоторой поверхности возможно, если имеет место достаточное противодействие надавливанию на поверхность и гарантирована свобода перемещения в противоположном направлении, по типу одностороннего контакта. Необходимость развития методов математического моделирования скелетно-мышечных систем обусловлена, прежде всего, запросами травматологии в прогнозирование сил, действующих в суставах, мышцах, а также в элементах системы «кость - эндопротез» или «кость - фиксирующее устройство» при движениях пациентов в процессе лечения переломов. Актуальность этих задач предопределена невозможностью или сложностью прямого измерения указанных сил in vivo.

В современных условиях сохраняют свою актуальность поиски ответов на четко сформулированные в начале XX века вопросы, общие для моделирования механических и биомеханических систем с односторонними связями. Сложность появляющихся задач обусловлена, прежде всего, нелинейностью систем по причине естественной самоадаптации их структуры к текущему квазистатическому или динамическому воздействию за счет изменяется соотношения «включенных» и «выключенных» связей. Для односторонней связи возможны два состояния: «включено» и «выключено». Двусторонняя связь, как частный случай односторонней связи, может находиться только в состоянии «включено». Для системы п односторонних связей возможны 2" вариантов, но осуществляется только вариант, отвечающий принципу минимума потенциальной энергии. Определение параметров состояния систем податливых и (или) жестких односторонних связей составляет основную проблему теории таких систем.

Подходы к построению математических моделей внешне различных механических и биомеханических

одних и тех же фундаментальных соотношений механики, в данном случае - полной системы уравнений, устанавливающих необходимые соотношения внешних и внутренних сил, геометрических и физических параметров состояния. Многочисленные исследования посвящены моделированию таких объектов. Однако представленный в литературе опыт указывает на недостаточную вычислительную эффективность известных подходов, методов и алгоритмов. Совершенствование соответствующих комплексов программ сдерживается отсутствием алгоритмов, адекватно отражающих на уровне математической модели те изменения, которые имеют место в физической модели при установлении воздействия на систему.

Цель работы - поиск и обоснование эффективных в вычислительном отношении алгоритмов для моделирования дискретных механических систем с жесткими и податливыми односторонними связями; развитие методов математического описания и численного анализа биомеханических моделей скелетно-мышечных систем как объектов с большим числом односторонних связей.

Методология исследования предполагает анализ и обобщение предшествующего опыта решения подобных задач, выявление ранее неизвестных закономерностей в функционировании исследуемых объектов, формулировку гипотез, их верификацию и использование в разработке более эффективных подходов к решению задач. При выборе и корректировке пути к достижению цели исследования автор стремился следовать часто цитируемым методологическим принципам, которые в XIV веке сформулировал Уильям Оккам (В. В. Горбачев, 2000; В. Б. Губин, 1998). Согласно одному из принципов, решение задачи не должно быть избыточно сложным по сравнению с самой задачей. В современной прикладной математике, по существу, применяется принцип минимальной сложности моделей и алгоритмов. Минимальная сложность модели может быть достигнута, если, в соответствии с принципом Оккама, не умножать сущностей без необходимости. В этом случае результат также будет соответствовать принципу Оккама: «Чем ближе мы находимся к некоторой истине, тем проще оказываются основные законы, ее описывающие».

В диссертации представлена попытка решения достаточно актуальных проблем с опорой на перечисленные принципы, конкретизированные в затронутой области исследований с помощью методологии математического моделирования (А. А. Самарский, А. П. Михайлов, 2001).

Научная новизна работы определяется следующим.

1. Сформулирована и обоснована гипотеза об очередности перехода односторонних связей в действительное состояние при установлении воздействия на механическую систему. С применением выявленного закона очередности разработан эффективный в вычислительном отношении подход к моделированию механических систем с односторонними связями.

Раскрыты причины зацикливания и отсутствия сходимости алгоритма расчета рассматриваемых систем, появившегося исторически первым, но не имевшего математического и достаточного физического обоснования.

2. Найден и математически обоснован новый алгоритм решения линейной задачи о дополнительности в случае положительно определенной матрицы коэффициентов. На основе этого алгоритма разработаны обобщения известных методов для моделирования систем с ограничениями параметров состояния в виде нестрогих неравенств. Предложен метод последовательного выключения связей, который требует для расчета конструктивно-нелинейной механической системы с 2п неизвестными параметрами состояния не большего объема вычислений, чем однократное решение системы п линейных алгебраических уравнений.

3. Разработана методика использования полученных результатов при численном решении отдельных задач динамики с учетом переменных сил сухого трения и вязкого сопротивления в односторонних связях.

4. На основе методологии математического моделирования выполнен анализ известных подходов к решению задач биомеханики скелетно-мышечных систем. Установлена неадекватность использования критериев оптимальности в известных подходах. Найдено и на уровне алгоритма реализовано решение проблемы избыточности в биомеханике (в задаче определения сил в сухожилиях и в суставах по заданным координатам жестких звеньев скелета). С учетом выявленного закона очередности разработан подход к построению биомеханических моделей скелетно-мышечных систем произвольного вида.

5. Разработаны в соавторстве с д. м. н., проф. Р.И. Мельцером конструктивные решения фиксаторов, предназначенных для использования при лечении переломов шейки бедра. Новизна технических решений подтверждена авторскими свидетельствами на изобретения.

Достоверность результатов моделирования обусловлена математическим обоснованием положений, использованных при построении алгоритмов, и подтверждена совпадением результатов решения тестовых примеров с известными по литературе точными данными в случае статических и динамических воздействий. Результаты моделирования костно-мышечной подсистемы тазобедренных узлов человека с использованием разработанной программы адекватны известным по литературе данным телеметрических измерений сил в суставах in vivo, а также данным электромиографии и клинических наблюдений.

Практическая значимость:

1. Построены эффективные в вычислительном отношении алгоритмы компьютерного анализа конструктивно нелинейных систем с жесткими и податливыми односторонними связями. Предложено обобщение алгоритма метода перемещений, не требующее для компьютерного осуществления

создания принципиально новых комплексов программ. Необходима лишь надстройка для управления очередностью стандартных преобразований линейных уравнений в соответствии с установленным критерием.

2. С применением разработанных алгоритмов построена биомеханическая модель костно-мышечной системы тазобедренных узлов человека. Модель, реализованная в виде программы, использована в исследованиях биомеханических аспектов стабильности остеосинтеза переломов бедра.

3. Обоснована избыточность учета геометрической нелинейности в математических моделях скелетно-мышечных систем, предназначенных для прогнозирования внутренних сил по заданному движению. Данный результат позволил существенно упростить математическое описание биомеханической модели скелетно-мышечной подсистемы, обеспечить адекватность и вычислительную эффективность компьютерной версии модели.

4. Найдены зависимости сил в компонентах системы от изменений жесткости односторонних связей. Разработана методика оценки влияния активации системы мышц на силы в сухожилиях и в суставах произвольной скелетно-мышечной системы.

5. Полученные результаты нашли применение при разработке новых конструкций остеофиксаторов, а также в научно-исследовательской работе по совершенствованию методик лечения переломов и в процессе подготовки специалистов в Петрозаводском государственном университете.

Положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритм решения линейной задачи о дополнительности с положительно определенной матрицей коэффициентов. Элементы теории, относящиеся к выявленному пути решения основной проблемы в моделировании деформируемых систем с односторонними связями. Гипотеза об очередности перехода односторонних связей в альтернативное состояние, ее физическое и математическое обоснование.

2. Обобщенный алгоритм метода перемещений для моделирования механических систем с односторонними связями..

3. Базирующийся на методологической основе математического моделирования подход к построению алгоритмов биомеханического анализа скелетно-мышечных систем.

4. Результаты практического применения предложенных моделей, алгоритмов и их компьютерной версии при разработке технических решений остеофиксаторов, новизна и полезность которых подтверждены авторскими свидетельствами на изобретения.

Апробация работы. Материалы диссертации были представлены на следующих конференциях, съездах и семинарах:

VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);

• 20-ая Международная конференция «Математические модели механики сплошных тел. Методы конечных и граничных элементов» (Санкт-Петербург, 2003);

• X и XII международные конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (Переславль-Залесский, 1999; Владимир, 2003);

• семинар академика Н. Ф. Морозова (С-Петербург, 2004);

• Ш-УП Всероссийские конференции по биомеханике (Н. Новгород, 1996, 1998,2000,2002,2004);

• Междисциплинарная конференция с международным участием «Новые биокибернетические и телемедицинские технологии XXI века для диагностики и лечения заболеваний человека» (Петрозаводск, 2003);

• Международная научно-методическая конференция «Университеты в образовательном пространстве региона» (Петрозаводск, 1999);

• Научная конференция "Современные технологии в травматологии и ортопедии" (Москва, ЦИТО, 1999);

• VI съезд травматологов-ортопедов Прибалтийских республик (Таллинн, 1990,

• семинар в Институте прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН (Петрозаводск, 2004);

• семинар по перспективам развития эргономической биомеханики (Севастополь, 1990);

• семинары кафедр механики и математического моделирования систем управления Петрозаводского госуниверситета (1998-2004).

Публикации. Результаты исследования представлены в 39 публикациях, основными из которых являются одна монография и 9 статей, включая описания к двум авторским свидетельствам на изобретения.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы (327 наименований) и приложений. Общий объем работы 267 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлены объект и проблематика исследования, обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, дано общее представление о выполненном исследовании.

В первой главе дан краткий обзор основных этапов развития подходов, имеющих непосредственное отношение к решению задач математического моделирования систем с односторонними связями. Отмечено, что первые экспериментально-теоретические работы в этой области были связаны с проектированием ферм, в которых некоторые стержни «выключа-

лись» при появлении в них растягивающих сил. Эти исследования выполнены Д. И. Журавским в середине XIX века.

В начале второго этапа (1922 г.) была четко сформулирована указанная выше основная проблема, было принято правило, в соответствии с которым реакция и перемещение, совместные с односторонней связью, неотрицательны. Уже тогда продуктивно использовалось то обстоятельство, что односторонние связи, находящиеся в состоянии «включено», могут рассматриваться как обычные двусторонние связи (И. М. Рабинович, 1975). Однако на этом основании ошибочно предполагалось, что для определения действительного состояния системы односторонних связей достаточно воспользоваться следующим итерационным алгоритмом, появившимся исторически первым. На каждой итерации выполняется обычный линейный расчет в предположении, что все односторонние связи являются двусторонними, определяются их реакции и отбрасываются все те связи, реакции которых не отвечают условию неотрицательности их значений.

В дальнейшем на примерах было показано, что такой, казалось бы, физически очевидный подход не гарантирует сходимости к точному решению и таит опасность зацикливания (А.В. Перельмутер, 1978; А. В. Перельму-тер, В. И. Сливкер, 2002). Но причины отсутствия сходимости оставались неизвестными до появления в 2003 г. работ диссертанта, в которых доказано, что при однопараметрическом воздействии на механическую систему односторонние связи переходят из текущего состояния в действительное состояние поочередно, в порядке достижения их реакциями (или перемещениями) порога переключения. Выявленный закон очередности составил основу метода последовательного выключения связей, идея которого с 1999 г. применялась автором при построении алгоритмов биомеханического анализа фрагментов скелетно-мышечных систем. Поиски привели к математическому обоснованию метода и к созданию новых алгоритмов, чему посвящена вторая глава диссертации. Здесь речь идет только об одном из трех основных направлений в теории моделирования деформируемых систем с большим числом односторонних связей.

Два других направления также представлены в диссертации. С появлением одного из них (В. Н. Гордеев, А. В. Перельмутер, 1967) был дан старт очередному этапу в развитии исследуемых методов моделирования. Разработчики программ получили возможность опираться на математически обоснованный метод расчета, поскольку сам расчет сводился к задаче квадратичного программирования с известным арсеналом универсальных алгоритмов. Однако эти алгоритмы воспринимались инженерами как избыточно сложные, и на эмпирическом уровне предпринимались оказавшиеся безуспешными попытки решения проблем с использованием указанного выше «физически очевидного» подхода (А. В. Перельмутер, В. И. Сливкер, 2002).

Синтез известного опыта привел к методам третьего направления — общим методам решения задач специального класса, называемых задачами о дополнительности. Этот класс задач включает в себя задачи как линейного, так и квадратичного программирования (Г. Реклейтис, А. Рейвиндран, К. Рэгдел, 1986). Линейной задачей о дополнительности называют задачу решения смешанной системы неравенств и уравнений, в которой искомыми являются элементы векторов Y и X, представляющих в рассматриваемом случае статические и кинематические параметры состояния моделируемой системы:

По физическому смыслу рассматриваемой в диссертации задачи матрица А квадратная, положительно определенная. Это может быть матрица жесткости или матрица податливости, методы формирования которых, а также соответствующего вектора В хорошо известны (например,

A. Р. Ржаницын, 1982). При использовании такого подхода (П. Панагиото-пулос, 1989; А. Д. Ловцов, 2003; F. Pfeiffer, 2001) задача сводится к поиску неотрицательного решения системы п линейных уравнений (1) с 2л неизвестными, отвечающего условиям (3).

Для поиска неотрицательного решения в настоящее время применяется итерационный метод Лемке, как более эффективный по отношению к другим методам (С. E.Lemke, 1978; Л. Д. Попов, 2001). Но и этот метод требует неприемлемо больших затрат времени даже при использовании современных высокоскоростных компьютеров, о чем говорит, например, опыт сотрудников Мюнхенского технического университета (F. Pfeiffer, Ch. Glocker, 2000).

Логика диссертационного исследования указывает на целесообразность разработки не итерационных, а шаговых алгоритмов, свободных от проблем зацикливания и выбора начального приближения.

Наряду с указанными выше работами, приняты во внимание исследования, авторами которых являются И. И. Аргатов (1998, 2000), В. А. Баженов, Е. А. Гоцуляк, С. Г. Кондаков (1989), А. М. Белостоцкий, М. В. Белый (1998), С. Н. Березинская, Е. И. Кугушев (2002), Г. В. Васильков (2003),

B. В. Величенко (2001, 2003), М. В. Дерябин, В.В.Козлов (1995), В.Ф.Журавлев, Н. А. Фуфаев (1993), А. П.Иванов (1997), Т. С. Ким,

B. Г. Яцура (1989), В. В. Козлов, Д. В. Трещев (1991), П. А. Лукаш (1978), А. М. Масленников (2003), Л. А. Розин (2001), В. Г. Темнов (1987);

C. Н. Черников (1968), D. Avis, В. Kaluzny (2003), V. Drenovac (1987), К. Fukuda, Т. Terlaky (1999), P. Lotstedt (1982) и другие работы.

Y = АХ+В, Г;>0, Xt>0, Y,X,= 0, i = l,...,и..

(1) (2) (3)

Во второй главе представлены новые элементы теории механических систем с односторонними связями, приведены доказательства утверждений, использованных при построении моделей и алгоритмов, дана физическая интерпретация алгоритмов, решены тестовые примеры.

С использованием принципа минимума потенциальной энергии исследован процесс перехода односторонних связей в альтернативное состояние. Очевидно, каждому набору «включенных» и «выключенных» связей соответствует определенное состояние механической системы. В процессе установления воздействия имеет место некоторая очередность данных состояний. И если эту очередность выявить и учесть в математическом описании исследуемой механической системы, то математическая модель будет более адекватна физическому своему прототипу, а путь к решению основной проблемы, возможно, сократится. Сформулирована гипотеза об очередности: при установлении воздействия односторонние связи механической системы переходят из текущего состояния в действительное состояние поочередно, в порядке достижения их реакциями или совместными с ними перемещениями порога переключения. Порогом переключения названа величина реакции (перемещения), при которой односторонняя связь переходит в альтернативное состояние.

Реальные двусторонние связи, разрушаясь, переходят в состояние «выключено», представляя частный, но чрезвычайно важный в практическом отношении случай перехода связей в альтернативное состояние. Ведь определение очередности возможного разрушения компонентов конструкции позволяет прогнозировать и предупреждать развитие аварийной ситуации. Для такого прогноза необходим разработанный метод последовательного выключения связей. Очевидно, что: 1). Связь переходит из состояния «включено» в состояние «выключено», если ее реакция достигает величины порога выключения. Пример - разрушение («выключение») стержня, несущая способность которого исчерпана при сжатии или при растяжении (здесь уместна аналогия с известной теорией слабого звена); 2). Связь переходит из состояния «выключено» в состояние «включено», если совместное с данной связью перемещение достигает порога включения. Пример - закрытие зазора и появление опорной точки.

Случай системы с двумя связями иллюстрируется далее (рис.1).

Как известно, расчет системы с двусторонними связями может быть сведен к поиску координат точки безусловного минимума функции энергии, записанной с точностью до аддитивной постоянной

(4)

Необходимое условие существования безусловного экстремума функции (4) имеет вид . По физическому смыслу в (1). В точке экстремума имеет место минимум (вторые производные по независимым

^(Х) = -!-ХТАХ + ХТВ

переменным равны диагональным коэффициентам матрицы А, положительным по условию задачи).

Для моделей с односторонними связями необходим учет ограничений в виде неравенств. В главе 2 рассмотрена функция с двумя переменными, что позволило решить задачу наглядным способом и выявить принципиально важные особенности разрабатываемого подхода, обобщенные на случай произвольного числа переменных. Функцию (4) запишем в виде

,Х2)=^АиХ^ + АпХхХ2 + * А22х\ + В{Хх + В2Х2. (5)

Ограничения имеет вид:

У2 = А21Х1+А22Х2 + В2; (7)

Найдем связь между координатами точки Со безусловного и точки С условного минимумов. Наибольший интерес представляет случай, когда координаты точки Со отрицательны (рис. 2). Заметим, что в этом случае одна из координат точки С может быть положительной. Это означает, что в физической модели одна из связей может оставаться «включенной».

Пусть У1=0, Уг>0. На уровне физическом модели это означает, что связь 1 «включена», связь 2 «выключена» и согласно условиям (3)

Из условия У] = 0 с учетом (7)1 находим:

Неравенство (8)1 выполняется, если в (9)

В]<0. (10)

Рис. 1. Области допустимых значений дм совместных с односторонними

связями реакций Хх,Хг и перемещений У\,У2.

Связь / «выключена», если Л", = 0. Связь «включена», если У,= 0

Из условия У2>0 с учетом соотношений (7) и (9) получим:

(А21в1)/Ап<в2. (11)

С учетом (10) находим, что неравенство (11) осуществляется при условии

В2>0. (12)

Принимая во внимание (11) и выражения координат точки Со

X? ={АпВ2-А22Вх)1В, Х^=(А21В1-АпВ2)Ю, (13)

где £»0, находим, что

(14)

С учетом соотношений (8) и (14), приходим к выводу: если координата точки Со отрицательна, то соответствующая координата точки С равна нулю, т. е. соответствующее ограничение в виде нестрогого неравен-

0

ства осуществляется в видеравенства. На рис.2 Х2<0, Х2=0.

Пусть X® <0 и Л^-сО. Принимая во внимание неравенства (10) и

(12), а также условие А22 > 0 , находим с учетом (13), что если XI0 < 0, то

Л12> 0. (15)

Показано, что если две координаты точки Сд отрицательны, то обязательно равна нулю та координата точки С, которая соответствует наибольшей по модулю отрицательной координате точки . Для доказательства достаточно показать с учетом (14), что

Х2 < . (16)

Принимая во внимание (13), запишем

(17)

Х\ -Х\ = Ап(В1-В2)-АиВ2 + А22В\.

Рис. 2. Точки безусловного (Сд) и условного (С) минимума функции энергии для модели с двумя односторонними связями

Используя неравенства (10), (12), (15), а также учитывая симметрию и положительную определенность матрицы А приходим к неравенству (16).

Если рассматривается функция п переменных (и > 2) и число к отрицательных координат точки безусловного минимума 2 <к<п , то, обращаясь, например, к методике парных сравнений, заключаем:

если =minXf и при этом X® <0, то Хк =0. (18)

Физическая интерпретация условия (18) сводится к следующему. На начальной стадии установления воздействия реакции связей достаточно малы и не превышают порога переключения. При увеличении параметра воздействия реакции связей изменяются. Если реакция некоторой связи достигает порога переключения, данная связь переходит в состояние, отвечающее минимуму потенциальной энергии системы. Переход связи в альтернативное состояние ведет к появлению фактически новой конструкции, и если параметры ее состояния отвечают ограничениям задачи, то процесс прекращается. Иначе шаг процесса повторяется.

Функция энергии (4) может быть выражена через перемещения Y¡ ( / = 1,2,...,«), совместные с имеющимися связями:

(19)

Алгоритмы формирования матрицы коэффициентов Н и вектора F хорошо известны (см., например, А. Р. Ржаницын, 1982). Применяя методику, проиллюстрированную на примере функции (5), можно показать, что осуществление неравенства Y® <0, формально аналогичного условию (14), по физическому смыслу означает «включение» связи 2. Итак,

если Y¡¡ = min Y¡* и при этом Yf < 0, то Yk = 0. (20)

Условия (18) и (20) на уровне формального рассмотрения неразличимы. В практическом отношении важность этих условий заключается в том, что они устанавливают легко вычисляемый критерий, позволяющий шаг за шагом выполнить анализ всех односторонних ограничений, которые имеют вид нестрогих неравенств, и выявить те из них, которые обязательно осуществляются в виде равенств.

В главе 2 рассмотрены тестовые примеры (А. В. Перельмутер, В. И. Сливкер, 2002), ценные тем, что попытки их решения с применением некоторых известных алгоритмов сводятся к перебору вариантов или порождают тупиковые для программных комплексов ситуации (например, зацикливание). Предлагаемый подход свободен от этих недостатков. Так, для системы с пятью сопротивляющимися только растяжению связями (рис. 3 и 4) на шаге 1 получаем: A'i=3,585;<V2=-3,852; Л'3=0,832; Л^-0,832; N<= -4,110.

F(y)=¿ythy + ytf

Связь №5 «выключена» по условию (18). Шаг 2: A^j=12,440; //2=0,893; ^3=2,887; N¿=-2,887: N5=0. Связь № 4 «выключена». На шаге 3 получено известное точное решение: Л^=12,440; N2=0,893; Л^=5,774; N^=N¡=0.

Связи с одинаковыми реакциями переходят в альтернативное состояние синхронно. В приближенном подходе связи с почти равными реакциями переводятся в альтернативное состояние на одном шаге алгоритма.

Представленная модификация метода последовательного выключения связей достаточно универсальна и по объему вычислений приемлема, если число шагов относительно невелико. Методологически очевидно, что уменьшить объем вычислений можно, если от распознавания «выключающейся» связи по результатам полного расчета на шаге перейти к более раннему их выявлению. Развитие этой идеи представлено во второй главе.

Очевидно, необходим анализ возможности повторного включения (выключения) односторонних связей, что требуется для ответов на вопросы о сходимости и конечности метода и для оценки объема вычислений.

Ответы на эти вопросы найдены в диссертации с использованием аппарата жордановых исключений. Методологически объясняется это тем, что состояние модели до и после перехода связи в альтернативное состояние точно описывается системой линейных алгебраических уравнений соответственно до и после одного шага жордановых исключений, выполненного с диагональным разрешающим элементом.

На формальном уровне проблема сводится к задаче (1)-(3). Методы решения подобных задач интенсивно развиваются. Алгоритмы решения опираются на тождественные преобразования системы п линейных уравнений (1) с 2л неизвестными. В методологическом отношении наиболее близким к разработанному подходу является criss-cross метод, породивший се-

Рис. 3. Заданная система и действующие на тело силы

Рис. 4. Зависимости реакций от условного параметра воздействия р, отождествленного с номером шага.

Порог переключения

меиство алгоритмов для задач линеиного и квадратичного программирования (К. Fukuda, Т. Terlaky, 1999; Е. Klafszky, T. Terlaky, 1990).

Если в (1) X = 0 , то имеет место очевидное решение Y = В, X = 0 .

По условию (3) из 2п переменных обязательно равны нулю п величин, в общем случае представленные априори неизвестным смешанным набором переменных У, и Х^ , для каждой из которых соответствующее неравенство (2) выполняется в виде равенства. Очевидно, если все обязательно равные нулю переменные перевести в правую часть системы, сформировав из них вектор X , то другая половина переменных будет представлена элементами вектора и равна свободным членам преобразованных уравнении

У = АХ + В . (21)

Если до преобразований уравнение / выражало собой зависимость

то после выполнения шага жордановых исключений с разрешающим элементом Ац уравнение / будет выражать зависимость

Алгоритм 1. Повторять:

Если все свободные члены уравнений неотрицательны, то задача решена. Иначе по условию

В1=ттВ1, В1 < О

(24)

определяется разрешающая строка (/) . Выполняется шаг жордановых исключений с разрешающим элементом Ац .

Если i в (1) выбрано по условию (24), то получим систему (21) вида

'гГ

=

Уп

\ ч

Лц-

АпАи

Аи

Ап1

Ан Аи

"Ап ...

Аа Аа

АЛАт Ат

Аи Аи

А\п~

АтАИ

АтАт

\ /

у] +

х'п

) К , ч

В\ ~Г~ АИ Аи

Аи

в„ " Ат А»

(25)

Алгоритм 1 генерирует, условно говоря, очередное (указанное далее в верхних индексах) поколение коэффициентов и свободных членов (25):

В\ =ВХ + АцВ/ =В,_1 ^ В1

Ап '

В(+1 = В(+1 + А1+ЦВ1 ,--,В)=В] +АрВ, ;..., Вп=Вп+ А^В) . Если в системе (25) разрешающей по алгоритму 1 является строка у, то

где

(28)

Сходимость алгоритма за конечное число шагов к единственному решению обоснована доказанными в диссертации утверждениями.

Утверждение 1. Если следовать алгоритму 1, то значение свободного члена в уравнении, которое однажды было выбрано разрешающим, в последующем может только возрастать.

Для доказательства достаточно показать, что

Утверждение 2. Если следовать алгоритму 1, то невозможен повторный выбор какой-либо строки в качестве разрешающей.

Утверждение 3.Алгоритм 1 конечен.

Очевидно, число строк, которые могли бы быть разрешающими, конечно и с каждым шагом только уменьшается. Верхняя оценка числа шагов равна числу ограничений в виде нестрогих неравенств.

В главе 2 дано физическое и более общее формальное обоснование подхода, реализованного в алгоритме 1. Алгоритм осуществляет эффективный метод формирования системы уравнений (21), описывающих основную систему смешанного метода строительной механики, в которой роль неизвестных играют равные нулю перемещения «включенных» и реакции «выключенных» односторонних связей. Тип связей не ограничивается.

Разработана модификация алгоритма 1, отличающаяся от стандартного алгоритма Гаусса только очередностью шагов прямого хода с выбором ведущей строки по условию (24). В этом случае переменные не переводятся из одной части уравнений в другую, физический смысл уравнений не изменяется.

Алгоритм 2. Повторять:

Если свободные члены всех уравнений неотрицательны, то прямой ход метода Гаусса завершен. Иначе по условию (24) определяются ведущие строка и элемент А„, выполняется очередной шаг прямого хода.

Обратный ход выполняется по стандартной схеме метода Гаусса.

Если условия У, > 0 (2) осуществляются в виде равенств не для всех уравнений системы, то прямой и обратный ход метода Гаусса выполняются не в полном объеме. Более того, эти вычисления не выполняются вовсе, если в системе (1) все соотношения описывают состояние только односторонних связей системе и при этом все В, > 0, т.к. в этом случае У = В, X = 0.

В общем случае объем вычислений по алгоритму 2 не превышает объема вычислений при однократном решении системы линейных алгебраических уравнений вида стандартным методом Гаусса. Такая (парадоксальная на первый взгляд) эффективность позволяет говорить об ал-

в** - в* > о.

(29)

горитмах нового поколения для моделирования механических систем с односторонними связями. Разработка данных алгоритмов отвечает цели диссертационного исследования.

При моделировании механических и биомеханических объектов с односторонними связями могут появляться ситуации, когда одна часть ограничений имеет вид равенств Y\ =0, / = 1,...,А, а другая их часть представлена неравенствами вида Г,- >0, j — к + \,...,п . Если априори известно, что

Yj = 0, то переменные Xj, i = 1,...,к исключаются по алгоритму прямого хода метода Гаусса без использования условия (24). Затем к подсистеме (n-к) уравнений применяется алгоритм 2.

Оценки объема вычислений приведены в главе 2.

В диссертации впервые, насколько известно автору, предложены эффективные в вычислительном отношении обобщения алгоритмов, реализующих основные методы строительной механики (смешанный метод, метод сил и метод перемещений) при моделировании конструкций, компонентами которых наряду с двусторонними связями являются односторонние связи. Ранее эти алгоритмы как таковые применялись для анализа конструкций с двусторонними связями (А. Р. Ржаницын, 1982; А. А. Борисевич, 1998).

Состояние механической системы описывается (полной) системой уравнений, которая включают в себя три группы соотношений. Первую группу составляют уравнения баланса внешних (Р) и внутренних (N) сил

CN + Р = 0, (30)

где С - матрица коэффициентов. Во вторую группу включены условия совместности неизвестных перемещений U и пассивных деформаций D:

CTU = D0 - D, (31)

где - заданные начальные (или активные) деформации податливых компонентов. Уравнения третьей группы описывают зависимости усилий в податливых компонентах модели от деформаций этих компонентов:

SD = N. (32)

Квадратная матрица S представляет жесткости податливых компонентов.

Исключив вектор D из (31) и (32), получим вариант уравнений смешанного метода строительной механики

" S"1 СТ

-С о

где I - единичная матрица; R = CSC-"" - матрица жесткости.

Адекватная модель скелетно-мышечной системы представляет собой набор абсолютно жестких тел (костей), соединенных идеальными шарни-

(33)

рами (суставами) и податливыми односторонними связями (сухожильно-мышечными комплексами и связками), сопротивляющимися только растяжению. Возможны уточнения при учете податливости хрящей и других факторов (S. L. Delp, J. P. Loan, 2000). Можно выделить две подсистемы, одна из которых образована жесткими телами (звеньями), вторая - податливыми компонентами и узлами. Силы в податливых компонентах представим элементами вектора Ф, силы контактного взаимодействия звеньев -элементами вектора р. Запишем две группы уравнений равновесия:

(34)

где С(ьф), £(кф) и С(Ар) - матрицы коэффициентов; Р(6) - вектор внешних сил и моментов; Р^- вектор внешних сил, приложенных к узлам. По аналогии с (31) запишем вторую группу соотношений:

(35)

Взаимные смещения по направлению реакций в точках контакта жестких звеньев равны нулю, что отражено в правой части (35).

По аналогии с (32) запишем физические соотношения:

Ф = 8Б. (36)

Число неизвестных - компонентов векторов Ф, р, и^), Э - равно числу уравнений п. Исключив вектор D, получим по аналогии с (33):

S-1 0

0 0

~ С(кФ) 0

~С(ЬФ) ~С(Ьр)

"(кф) »-(ЪФ)

-т о

о

Ф Do

Р 0

U(*) p(i)

P<»

(37)

Если т - число податливых компонентов модели, buk- соответственно число жестких тел и узлов, то я = т + \2Ь + Ък для трехмерной модели.

Несложно решить систему (37) и записать формулы для искомых векторов. Однако более простые алгоритмы рассмотрены в четвертой главе.

В матрице Сфр) число строк больше числа столбцов, т. е. абсолютно жесткие звенья модели образуют механизм. Если же матрица квадратная и

существует обратная матрица С^), то вектор перемещений U(b)=0, т. е.

двигательная функция опорно-двигательного аппарата отсутствует.

В двух заключительных разделах главы 2 рассматриваемая задача исследуется в обобщенном виде на формальном уровне. Приведено обоснова-

ние единственности решения экстремальной задачи min Ф(Х) для положи-

ХеК

тельно определенной квадратичной формы Ф(Х), где множество точек

К = Кп — декартово произведение лучей К(, К( = {Х('.Х(>0},

£ = 1,...,п. Отдельный раздел посвящен обоснованию предлагаемого алгоритма решения указанной экстремальной задачи. Примеры, иллюстрирующие эффективность разработанного алгоритма приведены в приложении.

В третьей главе рассмотрены некоторые задачи динамики. Необходимость данной части исследования обусловлена тем, что эффективность представленных во второй главе новых алгоритмов позволяет рекомендовать их для использования в шаговых вычислительных схемах при моделировании механических и биомеханических систем с односторонними связями в случае динамических воздействий. Такие задачи разнообразны и весьма актуальны, а соответствующие методы моделирования требуют совершенствования (В. Л. Бидерман, 1980; В. В. Величенко, 2001; А. П. Иванов, 1997; Я. Г. Пановко, 1977). Применительно к задачам биомеханики необходимость учета эффектов динамического взаимодействия тел в системах с односторонними связями обусловлена, например, потребностями изучения причин переломов (В. Н. Крюков 1986; И.Ф.Образцов, 1988), создания средств защиты от повреждений в целях профилактики травматизма на производстве, в спорте и в экстремальных ситуациях (А. С. Аруин, В. М. Зациорский, 1988; S. L. Delp, J. P. Loan, 2000).

В известных программных комплексах предусмотрена возможность анализа систем, компонентами которых являются односторонние связи (А. В. Перельмутер, В. И. Сливкер, 2002). Однако, что уже отмечалось, время счета часто оказывается неприемлемым даже при использовании высокоскоростных компьютеров. Эта проблема еще более актуальна для моделей скелетно-мышечных систем (М. L. Kaplan, J. H. Heegaard, 2001).

Для решения задач динамики систем с односторонними связями представляется целесообразным применение метода конечных разностей в сочетании с методом последовательного выключения связей (по главе 2).

Для учета эффекта демпфирования в односторонних связях применена модель Кельвина - Фойгта, устанавливающая связь между силой N, в линейном элементе, его жесткостью S„ деформацией D„ коэффициентом вязкого сопротивления w(- и скоростью деформирования D,:

N^Sft+wft . (38)

Уравнение движения записано в обычной форме (В. Л. Бидерман, 1980):

Здесь R = CSCT - матрица жесткости. Вязкость системы характеризуют элементы матрицы Л = CwCT . Диагональные матрицы S и w характеризуют соответственно упругость и вязкость компонентов модели. Инерция учитывается матрицей М. Величина и скорость мышечного сокращения представлены элементами векторов

Используется конечно-разностный аналог уравнения (39)

моделирующий состояние объекта в момент времени t, =ir.

(41)

где

р(0 =2r2p('>+2M(,>(2U«.u("1>) + rA(,>u(",>-2r2R(,>uW . (42)

Определив перемещения, можно численно найти скорости и ускорения компонентов биомеханической модели, затем силы.

N(,) = S<"D<'> + w«D« - S<"CTU('> - A<"CTU(". (43)

Применение данной методики позволяет определить силы взаимодействия тел, а также изучить закономерности движения системы в целом и относительное движение отдельных ее компонентов.

Пример (А. П. Иванов, 1997). Система двух тел одинаковой массы и двух упругих элементов 1 и 2 ударяется о жесткое препятствие (рис. 5). Скорость V в момент удара известна, жесткости упругих элементов заданы соотношением S2 = 2SX. Элемент 2 сопротивляется только сжатию.

Решение. Принимаем Л/,=Л/2=1; =1. Перемещение тел 1 и 2 относительно их положения в начальный момент контакта механической системы с препятствием обозначим Ux и U2 соответственно. Все параметры условные, т. к. иллюстрируется только методика вычислений. Результаты вычислений представлены на рис. 6 - 8, их достоверность подтверждена совпадением с известным решением (А. П. Иванов, 1997).

В главе 3 рассмотрена на тестовых примерах методика применения разработанных алгоритмов, в частности, при моделировании движения тела при косом ударе о шероховатую горизонтальную плоскость. Нормальная и касательная составляющие силы сопротивления движению при соударении интерпретированы как реакции некоторых односторонних податливых связей, учтены силы сухого трения и вязкого сопротивления в этих связях. При соударении тело десЬосмисуется. плошаль контакта увеличивается и возрастает жесткость 5 = 5д(1 + ^^^тах)^ > где = 104; £/тах = 0,5. Принято: коэффициент трения 0,5; # = 9,81; Лц=Л22=100; Мц=М22=Ю;

} = 822 = 5; г = 0,01. Решение (рис. 9-12) адекватно известным данным, которые получены с использованием уравнений Лагранжа и вспомогательной замены переменных (А. П. Иванов, 1997).

В данном примере имеют место повторные соударения, что нежелательно в таких часто встречающихся ситуациях, как посадка летательного аппарата, захват роботом-манипулятором предмет и т. д. Инструментом решения некоторых задач могут служить разработанные алгоритмы. Различные фазы движения (соударение, скольжение, перелет) моделируются в

Рис. 6. Вычисленные перемещения тел 1 и 2 систем с одним (а) и с двумя (б) интервалами контакта.

2 тт.

О' -2 -4'

I

Рис.7. Зависимости перемещений тел 1 и 2 от времени ?

0

-1

(в)

М2

Рис. 9. Зависимости горизонтального (!/() и вертикального (С/2) перемещений от времени I. Начальная скорость: У,= 5; К2=2,5. В состоянии покоя тело деформировано действием силы собственного веса, и2*0

1 2 3 t/1

Рис. 10. Траектория движения центра тяжести деформируемого тела

Рис. 11. Индикаторы состояния z'i и !2 связей 1 и 2.

1 - связь «включена»; 0 - связь «выключена»

рамках одного и того же унифицированного подхода, без использования дополнительных гипотез, например, о коэффициентах восстановления.

В главе 4 рассматривается применение разработанных алгоритмов в задачах биомеханики скелетно-мышечных систем. Математические модели скелетно-мышечных систем в настоящее время быстро совершенствуются (В. М. Bolhuis van, Gielen CCAM. 1999). Однако затраты времени на их компьютерную реализацию остаются неприемлемо большими, т. е. имеет место та же общая проблема эффективности в вычислительном отношении, что и в других областях исследований напряженно-деформированного состояния систем с односторонними связями. Так, задача прогнозирования сил в мышцах опорно-двигательного аппарата велосипедиста на одном обороте педалей (плоская модель, 7 жестких сегментов и 18 мышц, 14 уравнений равновесия) требовала в 2001 г. для своего решения до трех часов счета на рабочей станции с процессором SGI Octane. Другие модели еще более расточительны (М. L. Kaplan, J. H. Heegaard, 2001). Причину появления такой ситуации можно объяснить отсутствием адекватных инструментов исследования. Обнадеживающие результаты получены с использованием модели, базирующейся на применении полной системы уравнений. В этом направлении известны два подхода. В одном из них используется полная система уравнений в дифференциальной форме (В. М. Bolhuis van, Gielen CCAM. 1999). Другой подход, предложенный диссертантом (1999), основан на использовании той же системы уравнений в виде соотношений конечных величин. Однако применения одной только полной системы

Изменение жесткости свя зей = = 5 в зависи мости от времени I

Реакция условной горизонтальной связи (/)

Реакция вертикальной связи N 2 (0 . Коэффициент динамичности равен 6. В состоянии покоя реакция равна силе веса

Зависимости горизонтальной (У\) и вертикальной скорости от времени

Рис. 12

уравнений явно недостаточно. Необходим учет выявленного в диссертации (глава 2) закона очередности перехода односторонних связей в действительное состояние.

Важные результаты по анализу биомеханических систем представлены в статьях «Российского журнала по биомеханике» (под ред. Ю. И. Няшина) и в других публикациях (И. А. Копылов, П. А. Кручинин, И. В. Новожилов, 2003; Р. И. Мельцер, 2000; В.М. Зациорский, Б. И. Прилуцкий, 1992; В. С. Гурфинкель, Ю. П. Иваненко, Ю. С.Левик, 1999; Н. М. Анишкина, В. А. Антонец, А. Л. Грибков, 1998; А. В. Зинковский, В. А. Шолуха, 1992). К настоящему времени достаточно подробно изучены биомеханические модели в виде антропоморфных механизмов или систем абсолютно жестких теле использованием уравнений Лагранжа (В.В.Белецкий, 1984; А. М. Формальский, 1982; Й. Виттенбург, 1980). Впервые такой подход был представлен в книге «Введение в механику живых механизмов» (О. Fischer, 1906). Известен опыт систематизированного изложения динамики живых организмов как области теоретической механики, впервые предпринятый Я. И. Грдиной в ряде опубликованных им в 1911-1916 гг. монографий (Т. В. Путята, Б. Н. Фрадлин, 1970). Такой подход позволяет найти для каждого сустава сумму моментов всех мышечных сил, соответствующих данному взаимному угловому смещению звеньев, соединяемых суставом. Но

реальное число мышц, приводящих в движение эти звенья, больше числа степеней свободы в суставе. Поэтому возникает задача распределения нагрузки на мышцы (число мышц «избыточно»). Одних только уравнений статики недостаточно для определения сил в мышцах. В этой связи в литературе появился и стал общепринятым термин «проблема избыточности в биомеханике» (Е. Y. Chao, К. N. An, 1978). В качестве соотношений, дополняющих уравнения равновесия, использовались не уравнения полной системы (см. главу 2), а некоторые критерии оптимальности (В. М Зациорский, Б. И. Прилуцкий, 1992). Указанный подход, позволив решить ряд частных задач, не привел к построению достаточно универсальной методики. Причина заключается в том, что в данном случае для построения целевой функции необходимо знание не только физиологически обусловленных ограничений мышечной активности, но и находящихся за пределами механики сложных, не вполне изученных механизмов управления движениями многокомпонентной скелетно-мышечной системы (Р. Гранит, 1973; A. L. Hof, 2003). Таким образом, поиски ключа к решению задач биомеханики предпринимались вне поля механики, что порождало новые сложности. Ясно, что такой подход не вполне корректен, а математическая модель не является полной с точки зрения механики. При таком подходе на центральную нервную систему возложена, по существу, чуждая ей «обязанность» решения известной в механике проблемы статической неопределимости («The statically indeterminacy is resolved by the central nervous system», J. Rasmussen, M. Damsgaard, M. Voigt. 2001). В условиях, когда неполнота математического описания исследуемого объекта ускользала от внимания исследователей, возникла «проблема избыточности» в биомеханике скелетно-мышечных систем.

Очевидно, самоустанавливающийся в каждый момент времени при физиологически и анатомически допустимых параметрах единственный набор внутренних сил может быть найден путем решения полной системы уравнений с учетом указанной выше очередности переключения односторонних связей. Управляя на уровне модели жесткостью и натяжением сухожильно -мышечных комплексов, можно имитировать функцию управления со стороны центральной нервной системы. Отсюда следует возможность прямой или косвенной проверки некоторых гипотез о регуляции движений на стыке физиологии и биомеханики (Р. Гранит, 1973).

Возникающие при этом задачи механики являются, вообще говоря, нелинейными. Но если изменения параметров состояния объекта достаточно малы, то, как известно, линейное приближение обычно приводит к адекватному решению задачи. Имея корректный метод линейного анализа, можно уточнить решение, применив известные шаговые методы.

На любом достаточно малом отрезке времени скелетно-мышечная система может рассматриваться как конструкция, в которой под управлением

центральной нервной системы изменяется активная составляющая Do (31) удлинения сухожильно-мышечного комплекса и создается натяжение, необходимое для обеспечения опорной и двигательной функций. Данному D0 отвечают пассивные деформации D (31). Эта конструкция имеет принципиально важную особенность - непрерывно изменяющуюся (адаптирующуюся) конфигурацию жестких звеньев скелетной системы. Можно сформулировать гипотезу: для адекватного математического описания биомеханической модели скелетно-мышечной системы с целью прогнозирования сил в ее компонентах по заданному движению достаточно геометрически линейного приближения. Верифицировать гипотезу можно, сопоставляя результаты моделирования с известными данными (G. Bergmann, F. Graichen, A. Rohlmann, 1993) телеметрических измерений сил в суставах in vivo.

Если движения достаточно медленные, что имеет место в период лечения переломов, то можно ограничиться задачами статики.

Разработанная методика иллюстрируется без ущерба для возможных обобщений на примере абстрактной модели (рис. 13 и табл. 1). Искомые параметры состояния, указанные в (34) и (35), получены шаге 2 метода последовательного выключения связей (глава 2): Ф=[6,728 5,349 0 0 of;

р = [- 0,889 -6,667 -4,339 3,128]Т; U(Ä) = [0 0 - 0,023 - 0,226 0 - 0,039]Т

. Результаты анализа соответствуют известным данным о функционировании двуглавых и двухсуставных мышц (В. М. Зациорский, А. С. Аруин, В. Н. Селуянов, 1981).

Рассмотрена декомпозиция задачи, что позволяет упростить схему вычислений. На первой стадии вычисляются только силы в податливых компонентах модели. На второй - реакции суставов с использованием найденных сил. Приведен пояснительный пример анализа известной с 1951 г. простейшая модели (В. М. Зациорский, А. С. Аруин, В. Н. Селуянов, 1981).

«Выключение» связей можно имитировать уменьшением их жесткости. В главе 4 предложены соотношения для изменений AN сил в компонентах скелетно-мышечной системы при изменении жесткости (или активации) мышц. Использован матричный ряд Тейлора, учтены все члены разложения и получена точная в рамках модели формула:

(44)

где

Z = SCTR"1C, (45)

а - диагональная матрица переменных коэффициентов активации; вектор и матрица - некоторые постоянные.

0 2 4 6 8 1 1 --.-.-,-.-.-.--| Р2

Рис. 13. Модель с четырьмя степенями свободы, две из которых принадлежат узлу. Компоненты 1 и 2 моделируют односуставные мышцы. Компоненты 3,4 и 5 образуют двуглавый двухсуставной комплекс. Л/=10.

Таблица 1

Компонент Проксимальная точка Дистальная точка Погонная жесткость

X У X У

А 5 10 5 0 00

1 6,5 10 5,7 4 200

2 5,7 1,8 10 -1,3 180

3 3 10 3,8 2,5 100

4 6 10 3,8 2,5 100

5 3,8 2,5 3,5 0 400

Матричная дробно-рациональная функция (44) определяет характер изменения сил в сухожильно-мышечных комплексах при произвольном изменении их активации или жесткости (если возможна указанная в (44) операция обращения матрицы).

Говоря о практическом применении разработанных алгоритмов и методик, отметим, следующее. Одним из современных методов оперативного лечения переломов, в частности, переломов проксимального метаэпифиза бедренной кости является стабильно-функциональный остеосинтез (А. В. Каштан, 1979; Р. И. Мельцер, 1999), обеспечивающий возможность

мобилизации больных с первых дней после операции в пределах функциональных возможностей пациента преклонного возраста. Применение результатов данной работы в подобных совместных исследованиях отражено в диссертации и в публикациях автора.

Для определения сил, действующих на создаваемую в результате ос-теосинтеза систему «кость - фиксатор», использовались известные анатомические данные (W. F. Dostal, J. G. Andrews, 1981). Были использованы алгоритмы, представленные в главе 2. Необходимые для вычислений характеристики жесткости сухожильно--мышечных комплексов определялись с использованием анатомической длины и площади физиологического поперечного сечения мышц (R. D. Crowninshield, R. A. Brand, 1981).

Таблица 2

Ситуация Наибольшее значение реакции тазобедренного сустава {единица измерения—вес тела пациента) Расхождение

Физические измерения, поданным Bergmann et al., 1993 Математическая модель

Медленная ходьба, от 1 до 3,2 км/час от 2,80до 3,24 3,06 от +8,4 % до -2,9 %

«Споткнулся-упал» от 7,20 до 8,70 Нижняя оценка 6,50 от 10,8% до 33,8 %

Подъем вытянутой ноги (физиотерапия после эндопротезирования) В среднем:

1,50 1,67 (от 1,15 до 2,20, в зависимости от угла подъема) 10,2 %

В модельных расчетах конфигурация скелетной системы в различных фазах движения определялась по известным данным об углах в суставах (А. С. Витензон, 1998). Адекватность модели оценивалась путем сравнения результатов вычислений (табл. 2) с известными данными физических измерений сил в тазобедренных суставах in vivo (G. Bergmann, F. Graichen, A. Rohlmann, 1993). Данные (табл. 2) без учета сил инерции и потому должны рассматриваться как нижние оценки реакции тазобедренных суставов паци-

ентов. Адекватность рассмотренной математической модели, реализованной в программном комплексе, нашла подтверждение также при сопоставлении результатов вычислений с известными данными (А. С. Витензон, 1998) об активации мышц при типичных движениях нижней конечности (табл. 3).

Таблица 3_

Мышцы

Движение конечности

Активизированные мышцы:

1 Iliopsoas

2 Pectineus

3 Sartorius

4 Rectus Femoiis

5 Adductorongus

6 Adductor Brevis

7 Adductor Minimus

8 Adductor Magnus (Middle)

9 Adductor Magnus (Posterior)

lOGracilis

11 Gluteus Maximus

12 Gluteus Medius (Anterior)

13 Gluteus Medius (Middle)

14 Gluteus Medius (Posterior)

15 Gluteus Minimus (Anterior)

16 Gluteus Minimus (Middle)

17 Gluteus Minimus (Posterior)

18 Tensor Fasciaata

19Piriformis

20 Obturator Internus

21 Gemelus Superior

22 Gemelus Inferior

23 Obturator Femoris

24 Obturator Externus

25 Biceps Femoris (Long Head)

26 Simitendinosus

27 Semimembranosus

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. В настоящее время создание эффективных в вычислительном отношении математических моделей механических и биомеханических систем с ограничениями параметров состояния в виде нестрогих неравенств существенно сдерживается по причине отсутствия адекватных алгоритмов, гарантирующих приемлемые затраты вычислительных ресурсов при решении задач статики и динамики.

2. В диссертации на методологической основе математического моделирования выполнен анализ изменения параметров состояния механической системы с односторонними связями при установлении воздействия. Выявлена, физически и математически обоснована очередность перехода односторонних связей в действительное состояние.

3. С использованием установленного закона очередности предложен и обоснован критерий, детерминирующий на уровне алгоритма выбор ограничения в виде нестрогого неравенства, которое гарантированное осуществляется в виде равенства при моделировании процесса установления воздействия на систему с односторонними связями.

4. Предложен и обоснован с использованием закона очередности путь решения основной проблемы теории механических систем с односторонними связями.

5. Предложен с необходимыми доказательствами шаговый алгоритм для определения неотрицательного решения системы п линейных алгебраических уравнений с 2п неизвестными в случае положительно определенной матрицы коэффициентов.

6. Выявлены ранее неизвестные причины зацикливания и отсутствия сходимости алгоритма, появившегося исторически первым, но не имевшего математического и достаточного физического обоснования.

7. Разработаны обобщения алгоритмов метода перемещений и метода сил для моделирования деформируемых механических систем, компонентами которых являются одно- и двусторонние связи..

8. Разработана методика использования предложенных алгоритмов при решении некоторых задач динамики систем с односторонними связями.

9. На методологической основе математического моделирования выполнен анализ известных подходов к математическому описанию биомеханических моделей скелетно-мышечных систем. Выявлена неадекватность использования критериев оптимальности в одном из распространенных в настоящее время подходов к решению проблемы избыточности (или статической неопределимости) в биомеханике скелетно-мышечных систем.

10. Предложено и численно реализовано решение проблемы избыточности, основанное на использовании полной системы уравнений механики и выяв-

ленного закона очередности перехода односторонних связей в действительное состояние.

11. Предложена методика определения изменений сил в компонентах ске-летно-мышечной системы при изменении коэффициента активации мышц. Представлены точные в рамках модели формулы для общего, случая, а также зависимости для частного случая изменения жесткости сухожильно-мышечных комплексов.

12. Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена их математическим и физическим обоснованием и подтверждена совпадением результатов компьютерного моделирования с известными по литературе точными решениями тестовых примеров и задач статики и динамики систем с односторонними связями. Достоверность результатов компьютерного моделирования биомеханических систем подтверждена адекватностью результатов численного моделирования опубликованным данным телеметрических измерений сил в тазобедренных суставах пациентов in vivo, а также данным электромиографии и клинических наблюдений.

13. Разработанные алгоритмы и методики реализованы в виде программного комплекса и использованы в исследованиях биомеханических аспектов стабильности остеосинтеза переломов проксимального метаэпифиза бедра. По результатам исследований предложены технические решения остеофик-саторов, на которые получены авторские свидетельства на изобретения (в соавторстве с профессором, д. м. н. Р. И. Мельцером).

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

Монография:

1. Колесников Г. Н. Дискретные модели механических и биомеханических систем с односторонними связями. - Петрозаводск, Изд-во ПетрГУ. 2004. 204 с.

Статьи и авторские свидетельства на изобретения:

2. Колесников Г. Н. Шаговый алгоритм решения линейной задачи о дополнительности с положительно определенной матрицей коэффициентов // Вестник Поморского университета. Серия "Естественные и точные науки". 2004. № 1(5) с. 78-82.

3. Колесников Г. Н. Дискретные модели деформируемых систем с односторонними ограничениями перемещений. Электронный журнал "Исследовано в России", 2004 г. № 8. С. 76-85. http://zhumal.ape.reIarn.ru/articles/2004/008.pdf

4. Колесников Г. Н. Очередность перехода односторонних связей упругих механических систем в действительное состояние / Труды XX международной конф. «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Метод граничных и конечных элементов». Т. 3 (доклада: конференции). - С-Пб., 2004. С. 17-22.

5. Колесников Г. Н., Мельцер Р. И., Иванисенко А.В., Захаров А. Ю. Оценка сопротивления ротационной нагрузке системы кость-фиксатор // Ортопедия, травматология и протезирование. 1992. № 2. С. 26-28.

6. Мельцер Р. И., Колесников Г. Н. Количественная оценка стабильности систем «кость-фиксатор»//Вестник хирургии. 1997. Том 156(4). С. 109-110.

7. Колесников Г. Н., Мельцер Р. И., Ошукова С. М., Серов А. М. Система оценки стабильности остеосинтеза переломов шейки бедра // Вестник хирургии. 1999. Том 158 (2). С. 36-39.

8. Колесников Г. Н., Мельцер Р. И., Баракат М. О биомеханическом моделировании тазобедренного узла до и после оперативной коррекции шеечно-диафизарного угла // Медицинский академический журнал. 2003. Т. 3, № 2, приложение 3. С. 123.

9. Колесников Г. Н., Мельцер Р. И. Фиксатор для остеосинтеза вертельных переломов бедра. А. с. 1801401 (СССР). МКИЗ А61 В 17/58, 1989 / ПетрГУ. № 4916197/14; Заявлено 04.03.91; Опубл. 15.03.93. Бюл. №10. 3 с: ил.

10. Мельцер Р. И., Колесников Г. Н. Фиксатор вертельных переломов бедра. А. с. 1710014 (СССР). МКИЗ А61 В 17/58 / ПетрГУ. № 4764883/14; Заявлено 06.12.89; Опубл.07.02.92. Бюл. № 5.3 с: ил.

11. Колесников Г. Н. Об очередности жордановых исключений в алгоритмах моделирования механических систем с односторонними связями. - Деп. в ВИНИТИ. № 2028-В2003.- ПетрГУ, Петрозаводск, 2003. 12 с.

12. Колесников Г. Н. Закон очередности перехода односторонних связей в действительное состояние и его применение в математических моделях упругих механических систем. - ПетрГУ, Петрозаводск, 2003. 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.05.03, №981-В2003.

13. Колесников Г. Н., Номеровкин А. А. Шаговый алгоритм расчета механических систем с жесткими и податливыми односторонними связями при силовом и кинематическом воздействиях. - ПетрГУ, Петрозаводск, 2003. 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.07.2003, № 1429-В2003.

14. Колесников Г. Н. О решении проблемы избыточности в биомеханике ске-летно-мышечных систем. - ПетрГУ, Петрозаводск, 2003.20 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.06.2003, №1100-В2003.

Тезисы докладов на Всероссийскихимеждународныхконференциях:

15. Колесников Г. Н. Трехмерная модель скелетно-мышечной системы опорно-двигательного аппарата // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикл. механике. Аннотации докладов. - Екатеринбург: УрО РАН, 2001. - С. 344.

16. Колесников Г. Н. Очередность перехода односторонних связей упругих механических систем в действительное состояние. - Тез. докл. XX международной конф. «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Метод граничных и конечных элементов». - С-Пб., 2003. - С. 101-103.

17. Колесников Г. Н. Интервальная оценка усилий в задаче компьютерного моделирования нагруженного состояния нижней конечности // Тез. докл. Десятой международной конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам. - Переславль-Залесский, 7-12 июня 1999 г. - М.: МГИУ, 1999.-С. 154-156.

18. Колесников Г. Н. Метод последовательного исключения реакций и его применение в моделировании механических систем с односторонними связями

//Тез. докл. XII международной конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам. - (30 июня - 5 июля 2003 г., Владимир, Россия). - М., МГИУ, 2003. - С. 126-127.

19. Колесников Г. Н. О решении проблемы избыточности в биомеханике ске-летно-мышечных систем // Материалы междисциплинарной конф. «Новые биокибернетические и телемедицинские технологии 21 века для диагностики и лечения заболеваний»- Петрозаводск: ПетрГУ, 2003.- С. 82.

20. Колесников Г. Н. О моделях для прогнозирования сил в сухожилиях и суставах по заданному движению позвоночного // VII Всероссийская конф. по биомеханике «Биомеханика-2004». Тез. докл. В двух томах. - Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2004.- Том 1, с. 31 - 34.

21. Колесников Г. Н. Трехмерная модель скелетно-мышечной системы опорно-двигательного аппарата человека//Тез. докл. V Всероссийской конф. по биомеханике. - Н. Новгород, 29 мая - 2 июня 2000 г. - ИПФ РАН. - С. 46.

22. Колесников Г. Н., Мельцер Р. И. Методика комплексной оценки стабильности остеосинтеза переломов проксимального метаэпифиза бедра //IV Всероссийская конф. по биомеханике «Биомеханика-98». Тез. докл. - Н. Новгород: ИПФ РАН, 1998.-С. 148.

23. Колесников Г. Н., Мельцер Р. И. Биомеханический анализ стабильности остеосинтеза вертельных переломов бедра // III Всероссийская конф. по биомеханике. Тез. докл. Том Н.-Н. Новгород: ИПФ РАН, 1996.-С.91-92.

24. Мельцер Р. И., Колесников Г. Н. Зависимость ротационной стабильности модели кость-фиксатор от биомеханических характеристик перелома шейки бедра // III Всероссийская конф. по биомеханике. Тез. докл. Том II. - Н. Новгород: ИПФ РАН, 1996. - С.116-117.

25. Колесников Г. Н., Мельцер Р. И. Биомеханический анализ и оптимизация диафизарной накладки нового типа // Тез. докл. VI съезда травматологов-ортопедов Прибалтийских республик. -Таллинн, 1990. - С. 112-113.

26. Колесников Г. Н., Мельцер Р. И., Серов А. М. Применение результатов компьютерного моделирования скелетно-мышечной субсистемы в курсе травматологии // Университеты в образовательном пространстве региона: опыт, традиции, инновации. — Тез. докл. международной научно-метод. конф. (Петрозаводск, 18-20 мая 1999 г.). - Петрозаводск, Издательство Петрозаводского государственного университета, 1999. - С.53-54.

27. Колесников Г. Н., Мельцер Р. И., Иванисенко А. В., Мячин Н. Л. Роль биомеханического моделирования в лечении переломов проксимального метаэпи-физа бедра // Научная конф. "Современные технологии в травматологии и ортопедии", 25-26 марта 1999 г. - М.: ЦИТО, 1999. - С. 22.

28. Мельцер Р. И., Колесников Г. Н., Мячин Н. Л., А. М. Серов, Лихтинова А. Н. Сравнительная экспериментальная оценка стабильности остеосинтеза в условиях возрастного остеопороза // Научная конф. "Современные технологии в травматологии и ортопедии", 25-26 марта 1999 г. - М.: ЦИТО, 1999. - С. 174.

29. Kolesnikov G. N. About modeling of the muscle-skeletal system of the lower limb // Rus. J. ofBiomech. 1999. - № 2. - P. 10-11.

30. Kolesnikov G. N., Sotin A. V. Computing of intervals of hip joint force with application ofcomplete set ofequations // Rus. J. ofBiomech. 1999. № 2. P. 11-12.

Доклады и тезисы докладов нарегиональныхконференциях:

31. Колесников Г. Н. Аппроксимация процесса консолидации переломов шейки бедренной кости распределением Пуассона // Актуальные вопросы травматологии и ортопедии. -Тез. докл. научно-практ. конф. травматологов и ортопедов Северо-запада России. - г. Великий Новгород, 27-29 мая 1998 г. С. 42-43.

32. Иванова И. У., Мельцер Р. И., Колесников Г. Н., Серов А. М., Музыкантский С. М. Зависимость исходов оперативного лечения от клинико-биомеханической характеристики субкапитальных переломов // Актуальные вопросы неотложной хирургии. Тез. докл. XXI научно-практ. конф. хирургов республики Карелия совместно с Санкт-Петербургским научно-исследовательским институтом скорой медицинской помощи им. проф. И.И. Джанелидзе. - Санкт-Петербургский научно-исследовательский институт скорой медицинской помощи им. проф. И.И. Джанелидзе, 1997. - С.90-91.

33. Колесников Г. Н., Мельцер Р. И. Индексная оценка стабильности остеосин-теза переломов проксимального метаэпифиза бедра различными фиксаторами // Актуальные вопросы травматологии и ортопедии.-Тез. докл. научно-практ. конф. травматологов и ортопедов Северо-запада России. - г. Великий Новгород, 27-29 мая 1998 г. С. 39-41.

34. Колесников Г. Н., Мельцер Р. И. О стабильности систем «кость-фиксатор» // Тез. докл. XV научно-практ. конф. хирургов-травматологов Северо-запада Российской Федерации. - Петрозаводск, 1992. С. 75-77.

35. Колесников Г. Н., Мельцер Р. И., Ошукова С. М. Биомеханический анализ фиксаторов для лечения переломов проксимального метаэпифиза бедра // Тез. докл. IX научно-практ. конф. травматологов-ортопедов КАССР.- Петрозаводск, 1989.- С. 27-29.

36. Колесников Г. Н., Мельцер Р. И., Ошукова С. М., Серов А. М. Экспериментальная оценка стабильности остеосинтеза чрезвертельных переломов бедра // Хирургия повреждений. Материалы IV ежегодной итоговой научно-практ. конф. (27 февраля 1998 г.). Сб. тезисов. - Петрозаводск, 1998. С.13.

37. Колесников Г. Н., Мельцер Р. И., Ошукова С. М., Серов А. М. Теоретическое обоснование распределения сил в диафизарном компоненте систем «кость-фиксатор» // Тез. докл. XXI научно-практ. конф. хирургов республики Карелия совместно с Санкт-Петербургским научно-исследовательским институтом скорой медицинской помощи им. проф. И.И. Джанелидзе (Петрозаводск, 27-29 мая 1998 г.)..Санкт-Петербургский научно-исследовательский институт скорой медицинской помощи им. проф. И.И. Джанелидзе, 1998. С. 96.

38. Колесников Г. Н., Серов А. М., Гатин Р. Р., Мельцер Р. И. Биомеханические аспекты стабильности остеосинтеза переломов проксимального метаэпи-физа бедра // Хирургия повреждений. Материалы IV ежегодной научно-практ. конф. (Петрозаводск, 27 февраля 1998 г.). - Петрозаводск, 1998. С.13-14.

39. Мельцер Р. И., Колесников Г. Н., Гатин Р. Р., Захаров А. Ю. О возможной несостоятельности системы «кость-фиксатор», получаемой при накостном ос-теосинтезе // Тез. докл. XV научно-практ. конф. хирургов-травматологов Северо-запада Российской Федерации. - Петрозаводск, 1992. С. 73-75.

Подписано к печати 04.10.04. Формат 60x84 1/1 Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 2. Усл. кр.-отт. 10. Тираж 100 экз. Изд. № 182

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Петрозаводский государственный университет

Отпечатано в типографии Издательства ПетрГУ 185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33

»19 18 1

РНБ Русский фонд

2005-4 16485

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ

1.1. Практический опыт и теория

1.2. Основная проблема теории и пути ее решения

1.3. Квадратичное программирование и решение основной проблемы

1.4. Интерпретация проблемы как линейной задачи о дополнительности

1.5. Выводы

ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ

2.1. Гипотеза исследования

2.1.1. Двухсторонняя связь как частный случай односторонней связи

2.1.2. Очередность перехода односторонних связей в состояние «выключено»

2.1.3. Очередность перехода односторонних связей в состояние «включено»

2.2. Обоснование гипотезы об очередности переключения односторонних связей

2.3. Вариант метода последовательного выключения связей

2.4. Жордановы исключения в моделях механических систем с односторонними связями

2.5. Шаговый метод определения неотрицательного решения системы линейных уравнений

2.5.1. Алгоритм и его обоснование

2.5.2. Физическая интерпретация алгоритма

2.5.3. Об одной возможности уменьшения объема вычислений

2.5.4. Обобщение алгоритма на случай ограничений в виде системы равенств и неравенств

2.6. Примеры

2.6.1. Старт алгоритма в предположении, что односторонние связи «выключены»

2.6.2. Старт алгоритма в предположении, что односторонние связи «включены»

2.7. Соотношение объемов вычислений при анализе линейной и нелинейной моделей

2.8. Метод последовательного выключения связей

2.8.1. Пример

2.8.2. Оценка объема вычислений

2.9. Метод последовательного включения связей и алгоритм метода сил

2.10. Полная система уравнений для дискретных моделей механических систем с односторонними связями

2.11. О законе очередности в моделировании механических систем с односторонними связями

2.12. О решении полной системы уравнений

2.13. Модель с двумя подсистемами

2.13.1. Истоки проблемы

2.13.2. Две подсистемы уравнений

2.13.3. Пример

2.14. О двух модификациях метода последовательного выключения связей

2.15. Резюме: обобщенные алгоритмы метода сил, метода перемещений и смешанного метода для моделей с односторонними связями

2.16. О единственности решения экстремальной задачи min ф(х) хек п для квадратичной положительно определенной формы ф{х)

2.17. Обоснование алгоритм решения экстремальной

Задачи min ф(х)

2.18. Выводы

ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ СИСТЕМ С

ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ

3.1. Уравнения движения

3.2. Столкновение с жесткой преградой

3.3. Соударение с горизонтальной опорой

3.4. Сухое трение и вязкое сопротивление в односторонних связях при косом ударе

3.4.1. Движение без повторных соударений

3.6. Выводы

ГЛАВА 4. МОДЕЛИ С ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ В ЗАДАЧАХ БИОМЕХАНИКИ

СКЕЛЕТНО-МЫШЕЧНЫХ СИСТЕМ

4.1. О задачах биомеханики скелетно-мышечных систем

4.1.1. Биомеханические модели скелетно-мышечных систем

4.1.2. О применении биомеханических моделей скелетно-мышечных систем

4.1.3. Методы моделирования

4.1.4. Об управлении параметрами состояния сухожильно-мышечных комплексов

4.1.5. Проблема избыточности в биомеханике скелетно-мышечных систем

4.1.6. О критериях оптимальности и корректности их применения

4.1.7. Псевдообращение в решении проблемы избыточности

4.1.8. Полная система уравнений для геометрически нелинейной модели скелетно-мышечной системы

4.1.9. О необходимости учета геометрической нелинейности

4.2. Модель с односуставными мышцами

4.3. Двухсуставные сухожильно-мышечные комплексы

4.4. Декомпозиция задачи

4.5. Зависимость усилий от активации мышц

4.6. О методике проверки гипотез об оптимальности скелетно-мышечных систем

4.7. Применение полученных результатов в интересах травматологии

4.8. Выводы 193 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В природе и технике часто встречаются объекты, адекватными физическими моделями которых служат деформируемые системы, перемещения компонентов которых ограничены только в одном направлении. По этой причине в математическом описании таких моделей необходимыми оказываются системы неравенств.

В реальных объектах односторонние ограничения перемещений осуществляются с помощью некоторых устройств, называемых в механике односторонними, или неудерживающими, связями. Такие связи не препятствуют раздельному движению тел, но «включаются» при появлении контакта и противодействуют взаимопроникновению тел. Например, дискретное множество связей в виде некоторых податливых элементов, сопротивляющихся только сжатию, может имитировать взлетно-посадочную полосу. При взлете летательного аппарата имеет место сход с односторонних связей, при приземлении летательного аппарата эти связи включаются в работу. Другие примеры легко найти в таких областях человеческой деятельности, как строительство (ванты подвесных конструкций, балки и плиты на упругом основании, массив сыпучего грунта), машиностроение (детали механизмов и машин с неизбежными в них зазорами) и т. д.

К объектам с односторонними связями, которые встречаются буквально на каждом шагу, относятся скелетно-мышечные системы. В биомеханических моделях роль односторонних связей, сопротивляющихся только растяжению, играют сухожильно-мышечные комплексы, в которых согласованное по величине и времени изменение натяжения и расслабления приводит в движение компоненты скелета. Сухожильно-мышечные комплексы являются односторонними внутренними связями биомеханической модели опорно-двигательного аппарата позвоночного. Перемещение же позвоночного в пространстве возможно, если существует нечто, известное как твердь и моделируемое системой односторонних внешних связей, сопротивляющихся только надавливанию.

В отличие от обычной двухсторонней связи, для которой возможно единственное состояние «включено», односторонняя связь существует в одном из двух своих возможных состояний — «связь включена» или «связь выключена». Подобный принцип функционирования компонентов часто встречается в природных и технических системах. К числу таких компонентов могут быть отнесены гидравлический клапан, диод в электротехнике и т. д. Отличительная особенность рассматриваемых механических систем - их податливость (хотя отдельно взятые компоненты системы могут быть абсолютно жесткими), вследствие чего изменение параметров состояния (реакций связей и совместных с ними перемещений) описывается кусочно-линейными зависимостями. Точки перелома на графиках этих зависимостей соответствуют моментам перехода односторонних связей из состояния «включено» («выключено») в состояние «выключено» («включено»).

Обобщая, можно сказать, что односторонние связи встречаются в природе и технике едва ли не чаще, чем двухсторонние связи. Однако данное обстоятельство не имеет адекватного отражения в литературе по моделированию механических систем. Безусловно, теория механических систем с односторонними связями в значительной мере базируется на результатах, полученных при изучении систем с двухсторонними связями. Очевидно, однако, что системы с односторонними связями нуждаются в более полном изучении. Такую исторически сложившуюся ситуацию можно объяснить сложностью задач анализа напряженно-деформированного состояния механических систем с большим числом односторонних связей. Ускоренное развитие методов решения подобных задач стало возможным с появлением высокоскоростных компьютеров, совершенствованием методов прикладного анализа и, главное, с осознанием математического моделирования как методологии, которая играет важную синтезирующую роль, не подменяя собой математику, механику и другие научные дисциплины, но опираясь на их методы [149].

В выполненном исследовании роль методологии математического моделирования проявилась в оказавшемся весьма эффективным синтезе результатов анализа физических и формальных аспектов основной проблемы теории механических систем, в которых наличие односторонних связей влечет за собой появление нелинейности (имеет место так называемая конструктивная нелинейность [107, 125]). Эффективность такого синтеза в выполненном исследовании подтверждена тем, что с опорой на методологию математического моделирования удалось разработать новый шаговый алгоритм решения линейной задачи о дополнительности, который в задачах рассматриваемого класса оказался более эффективным по сравнению с другими известными методами решения таких же задач. Данный алгоритм составил основу эффективных в вычислительном отношении математических моделей механических систем с односторонними связями. Это позволило на завершающем этапе исследования рассмотреть модель произвольной скелетно-мышечной системы как объект с односторонними связями и обосновать эффективный в вычислительном отношении подход к биомеханическому анализу таких систем. Данный подход имеет достаточно строгое математическое обоснование (разделы 2.16,2.17,4.1.6,4.1.9).

Сложность задач моделирования механических систем с односторонними связями объясняется быстрым ростом числа возможных состояний механической системы при увеличении числа таких связей. Если в механической системе имеется п односторонних связей, то возможны 2" вариантов состояния, из которых осуществляется только один вариант, отвечающий принципу минимума потенциальной энергии [125, 135]. Переменный характер внешних воздействий влечет соответствующее изменение наборов включенных и выключенных односторонних связей, что при большом их числе усложняет задачу инженера по анализу напряженно-деформированного состояния конструкции с целью обеспечения надежности при достаточной ее экономичности. Основная проблема теории рассматриваемых механических систем заключается в определении осуществляющегося состояния системы односторонних связей

Не менее сложными являются и задачи биомеханики скелетно-мышечных систем, необходимость решения которых существует в травматологии [224], спорте [66] и в других областях [67, 131, 218]. Решение обозначенных задач невозможно без использования соответствующих математических моделей, алгоритмов и программных комплексов. Актуальность разработки и совершенствования таких моделей и алгоритмов обусловлена необходимостью прогнозирования сил в суставах при лечении переломов [110], сил в мышцах при выполнении движений в спорте, в трудовых процессах [10] и т.д. В этих случаях адекватная математическая модель является важнейшим инструментом прогнозирования и анализа внутренних сил, поскольку невозможны прямые измерения сил в мышцах in vivo. Заметим, что известные измерения сил in vivo [194, 229, 327] остаются в настоящее время уникальными экспериментами, результаты которых могут быть использованы при тестировании соответствующих математических моделей биомеханических систем.

Трудности, с которыми разработчикам программных комплексов приходится сталкиваться в осуществлении компьютерного анализа механических и биомеханических систем с односторонними связями, быстро растут с увеличением числа таких связей в системе, что уже отмеалось. Граница, за которой получение точного решения задачи о действительном состоянии системы односторонних связей становится процедурой технически невозможной или катастрофически неэффективной в вычислительном отношении, достигается быстро даже при использовании высокоскоростных компьютеров [261, 297, 298]. Эти затруднения были неизбежным следствием отсутствия адекватного математического описания такого физического явления, как переход системы односторонних связей в альтернативное состояние. Мы говорим «были», поскольку в предпринятом исследовании сделан очередной шаг в изучении этого явления, а именно, установлен закон очередности перехода односторонних связей в альтернативное состояние [82]. Полученный результат составил основу разработанных методов и соответствующих алгоритмов решения задачи о напряженно-деформированном состоянии механической системы с односторонними связями [83, 84]. Наибольшее практическое значение имеет предложенный в работе обобщенный алгоритм метода перемещений.

Метод прост в компьютерной реализации. Его осуществление сводится к несложным модификациям известных программных комплексов линейного, например, конечно-элементного, расчета конструкций. При этом ограничения на число односторонних связей диктуются теми же причинами, что и ограничения на число двухсторонних связей в указанных программных комплексах. Иначе говоря, предложено обобщение и построен метод, одинаково пригодный к анализу механических систем с односторонними и двухсторонними связями. При этом, что любопытно, наличие односторонних связей при использовании предложенного алгоритма численного анализа механической системы с учетом конструктивной нелинейности не усложняет расчет по сравнению с однократным линейным расчетом аналогичной системы с двухсторонними связями.

В предложенном методе двухсторонняя связь с ее единственно возможным состоянием «включено» естественным образом интерпретируется как частный случай односторонней связи, которая существует в одном из двух своих взаимоисключающих состояний — «включено» или «выключено».

Данное исследование появилось в связи с необходимостью компьютерного анализа напряженно-деформированного состояния биомеханических двухкомпонентных систем «кость — фиксатор», которые создаются хирургами-травматологами при оперативном лечении переломов бедренной кости [72, 110]. В таких системах металлические фиксаторы играют роль несущей конструкции при нагрузках, идентичных таковым для неповрежденной кости в повседневных движениях. Фиксаторы предназначены для обеспечения стабильного, анатомически правильного положения фрагментов кости в период послеоперационной реабилитации. Травматологи обозначают данное качество системы термином «стабильность». Двухкомпонентная система «кость - фиксатор» в период послеоперационной реабилитации функционирует как составная часть более сложной биомеханической многокомпонентной системы, каковой является скелетно-мышечная система с имплантированным фиксатором [110] или эндопротезом в других случаях [72]. Создание адекватной математической модели для количественной оценки стабильности оказалось весьма сложной задачей, решение которой потребовало разработки нового подхода к анализу сил, действующих в сухожильно-мышечных комплексах и в суставах при заданной конфигурации скелета.

Эмпирические и теоретические аспекты, связанные с развитием математического моделирования скелетно-мышечных систем, обсуждаются в публикациях, которые образуют непрерывный поток, где определяющее значение принадлежит статьям, публикуемым в журналах «Journal of Biomechanics», «Biological Cybernetics», «Computers in Biology and Medicine», «Gait and Posture», «Физиология человека». В публикациях, включая Интернет-ресурсы, накоплен огромный материал, но только немногие исследования получили широкое признание специалистов или изменили представление о функционировании биомеханических систем [224]. Многие вопросы требуют дальнейшего изучения. Анализ литературы выявил актуальность не только хорошо известной проблемы избыточности в биомеханике скелетно-мышечных систем [67], но и других вопросов, происхождение которых и пути их решения требуют специального рассмотрения, выходящего за рамки данной работы. Камнем же преткновения на пути создания адекватных биомеханических моделей скелетно-мышечных систем оказалась проблема создания эффективного в вычислительном отношении метода определения действительного состояния односторонних связей при большом их числе в деформируемой механической системе.

Таким образом, попытка решения задачи о стабильности остео-синтеза натолкнулась на весьма сложную проблему. В итоге предпринятое исследование приобрело комплексный характер, что предполагает использование некоторых данных из смежных областей. Необходим, кроме того, учет интересов потенциальных пользователей создаваемой математической модели, в данном случае - травматологов. Решение появляющихся проблем не является прерогативой одного специалиста. В этих условиях методология математического моделирования [149] позволяет найти эффективный путь к цели между «рифами» эклектики, избыточной формализации, ограниченности эмпирики.

Изучение литературы по теме работы позволило обосновать актуальность поисков решения проблем, определивших цель исследования: уменьшение объема вычислений при моделировании дискретных механических и биомеханических систем с жесткими и податливыми односторонними связями. Достижение данной цели предполагает:

1) выявление и осуществление новых возможностей в моделировании механических систем с односторонними ограничениями параметров состояния и создание более эффективных в вычислительном отношении методов и алгоритмов решения задачи о действительном состоянии механической системы с большим числом односторонних жестких и податливых связей;

2) развитие методов математического описания и численного анализа биомеханических моделей скелетно-мышечных систем как объектов с большим числом односторонних связей.

Достижение цели исследования предполагает анализ предшествующего опыта, формулировку гипотез, их верификацию.

При выборе и корректировке пути к достижению указанной цели автор стремился следовать часто цитируемым в литературе методологическим принципам, которые в XIV веке сформулировал Уильям Ок-кам [48, 53]. Согласно одному из принципов, решение задачи не должно быть избыточно сложным по сравнению с самой задачей. В современной вычислительной математике, по существу, применяется принцип минимальной сложности моделей, методов, алгоритмов [149]. Минимальная сложность модели может быть достигнута, если, в соответствии с принципом Оккама, не умножать сущностей без необходимости. В этом случае результат также будет соответствовать принципу Оккама: «Чем ближе мы находимся к некоторой истине, тем проще оказываются основные законы, ее описывающие».

В данной работе представлена попытка решения достаточно актуальных проблем с опорой на перечисленные принципы, конкретизацией которых в интересующей нас области исследований является методология математического моделирования [149].

В первой главе внимание акцентировано на актуальности совершенствования математических моделей механических систем с односторонними связями. Кратко описана история развития подходов, применяемых при построении исследуемых моделей. Тенденцией развития математического описания математических моделей механических систем является упрощение используемых методов и алгоритмов с целью повышения их вычислительной эффективности. Выявлены затруднения, возникающие при компьютерной реализации известных моделей. Затруднения выражаются в часто неприемлемо большом времени счета и обусловлены несовершенством математических моделей, используемых при решении основной проблемы теории механических систем с односторонними ограничениями перемещений.

По результатам анализа литературы установлено, что отсутствие метода анализа больших механических систем, обладающего достаточно высокой вычислительной эффективностью, затрудняет решение ряда важных задач, прежде всего в области машиностроения и биомеханики. Исходя из этого определена главная задача исследования, заключающаяся в разработке пути решения основной проблемы теории механических систем с односторонними связями, более эффективного в вычислительном отношении по отношению к известным методам решения проблемы при моделировании стержневых систем с большим числом жестких и податливых односторонних связей.

Во второй главе представлены новые элементы теории дискретных механических систем с односторонними связями. Введено в рассмотрение понятие порога переключения односторонней связи. С учетом данного понятия реальная двухсторонняя связь может толковаться как частный случай односторонней связи. Выполнен анализ физических и формальных аспектов основной проблемы теории механических систем с односторонними связями. На основе анализа сформулирована гипотеза об очередности перехода односторонних связей из текущего их состояния в альтернативное состояние. Правомерность гипотезы доказана с использованием принципа минимума потенциальной энергии деформации, а на уровне формального рассмотрения -с использованием аппарата жордановых исключений.

Полученные результаты теоретического исследования основной проблемы теории механических систем с односторонними связями послужили основой для создания нового подхода и соответствующих алгоритмов анализа напряженно-деформированного состояния рассматриваемых стержневых систем. Разработанные алгоритмы имеют достаточное теоретическое обоснование и могут рассматриваться как обобщения известных алгоритмов метода сил, метода перемещений и смешанного метода на случай стержневых систем с односторонними связями и жесткими компонентами. В моделируемой механической системе могут быть как двухсторонние, так и односторонние связи произвольного вида.

Разработанные алгоритмы имеют ограничения на общее количество связей. Природа ограничений не отличается от той, которая имеет место в случае использования метода Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений, а также в конечно-элементных моделях, реализованных в известных программных комплексах численного анализа механических систем.

Во второй главе рассмотрены примеры, которые показывают, что применительно к моделированию стержневых систем такое усовершенствование не требует дополнения известных программных комплексов сложными процедурами. При этом объем вычислений, сопровождающих анализ конструктивно-нелинейной механической системы с 2п неизвестными параметрами состояния по одному из предложенных алгоритмов не превышает объема вычислений при однократном решении системы п уравнений методом Гаусса. Данный результат может быть воспринят как парадоксальный, но лишь на первый взгляд.

Приведены доказательства формулируемых предложений, численные примеры и графические иллюстрации. Выявлены, в частности, новые возможности повышения вычислительной эффективности и универсальности алгоритмов, открываемые предложенной методикой применения жордановых исключений и исключений по методу Гаусса в математическом описании механических систем с односторонними связями. Ключевая роль в обеспечении высокой вычислительной эффективности предлагаемых методов и алгоритмов принадлежит выявленной в диссертации очередности перехода односторонних связей в альтернативное состояние.

Разработанная шаговая схема решения задачи сводится к поиску координат точки условного минимума с ограничениями в виде системы равенств и нестрогих неравенств. Эта же схема может рассматриваться и как поиск неотрицательного решения системы п линейных алгебраических уравнений с 2п неизвестными. Найдены условия, при выполнении которых на очередном шаге одно из нестрогих неравенств гарантированно осуществляется в виде равенства. Доказано, что при установлении однопараметрического воздействия механическая система с односторонними связями не возвращается в ранее пройденное состояние. Данное обстоятельство использовано в целях повышения вычислительной эффективности алгоритма.

Материалы второй главы (разделы 2.16, 2.17) теоретически обосновывают одно из направлений в моделировании стержневых систем с односторонними связями, которое (направление) появилось исторически первым, но не получило необходимого развития.

Разработка достаточно эффективных в вычислительном отношении методов и алгоритмов анализа состояния механических систем с односторонними ограничениями перемещений создает новые возможности для развития способов решения задач динамики таких систем с использованием подходящих шаговых процедур. Данное положение также нашло отражение в выполненном исследовании.

Приложение разработанных алгоритмов к некоторым задачам динамики механических систем с односторонними связями рассмотрено в третьей главе. С точки зрения методологии данного исследования движение механической системы с односторонними связями интерпретируется как очередность состояний этой системы, упорядоченных во времени и в пространстве. Это методологическое положение реализовано на уровне математической модели аппроксимацией дифференциального уравнения движения его конечно-разностным аналогом с шагом по времени. Эффективность дискретной модели продемонстрирована при решении тестовых задач о столкновении системы двух тел с жесткой преградой и о соударении с горизонтальной опорой.

Достоверность результатов численного моделирования подтверждена их совпадением с аналитическими решениями, известными в теории механических соударений. Реалистичные результаты получены также при решении представленной в третьей главе задачи о косом ударе деформируемого тела без учета его вращения. При моделировании учтено изменение в процессе соударения сил сухого трения в области пятна контакта и вязкого сопротивления в односторонней связи, которая (связь) в процессе движения неоднократно переходит из состояния «включено» в состояние «выключено».

Полученные результаты позволили расширить круг задач и с использованием численных методов рассмотреть на примерах некоторых закономерности движения того же тела без повторных соударений. Результаты численного моделирования согласуются с описанными в литературе данными.

В четвертой главе внимание концентрируется на другой области применения результатов выполненного исследования, которая связана с анализом биомеханических аспектов в травматологии, в частности -с прогнозированием стабильности остеосинтеза при лечении переломов проксимального метаэпифиза бедра. В появляющихся в этой связи задачах требуется, прежде всего, достаточно достоверное определение сил в суставах и в мышцах травмированной конечности. Представляя собой с точки зрения механики естественную систему с односторонними связями, костно-мышечная система травмированной конечности является очевидным объектом математического моделирования с использованием разработанных во второй главе методов и алгоритмов. И потому неудивительно, что в области построения математического описания биомеханических моделей скелетно-мышечных систем существовала проблема, которая не могла быть решена без использования достаточно универсальных и экономичных по времени счета алгоритмов. Такие алгоритмы, базирующиеся на использовании полной системы уравнений, разработаны и представлены в четвертой главе. Их применение иллюстрируется решением примеров.

В четвертой главе показана неправомерность расширительного толкования известной гипотезы об оптимальности управления состоянием мышц со стороны центральной нервной системы и некорректность использования известных критериев оптимальности взамен геометрических и физических соотношений.

Рассмотрен известный по литературе способ учета геометрической нелинейности в биомеханической модели скелетно-мышечной системы с использованием полной системы уравнений, записанных в дифференциальной форме. Выявлена неадекватность такого подхода, приводящая к неоправданному увеличению объема вычислений. Показана достаточность более простых геометрически линейных соотношений в математическом описании исследуемых моделей, предназначенных для прогнозирования внутренних сил по заданному движению.

Предложена записанная в виде матричных дробно-рациональных функций модель зависимости усилий в системе сухожильно-мышечных комплексов от уровня активации мышц.

Рассмотрены тестовые примеры, анализ результатов решения которых подтверждает адекватность моделей и алгоритмов, разработанных с использованием выдвинутых положений.

В заключительной части формулируются общие выводы по работе.

В приложении 1 приведено известное описание итерационного метода Лемке и решение двух тестовых примеров по разработанному в диссертации шаговому алгоритму, который является более эффективной в вычислительном отношении альтернативой указанному методу при решении задач рассматриваемого класса.

Приложение 2 включает в себя иллюстрации и некоторые комментарии к биомеханической модели костно-мышечной системы тазобедренных узлов человека, разработанной с использованием полученных в диссертации результатов.

Научная новизна работы определяется следующим.

1. Сформулирована и обоснована гипотеза об очередности перехода односторонних связей в действительное состояние при установлении воздействия на механическую систему. С применением выявленного закона очередности разработан эффективный в вычислительном отношении подход к моделированию механических систем с односторонними связями. Раскрыты причины зацикливания и отсутствия сходимости алгоритма расчета рассматриваемых систем, появившегося исторически первым, но не имевшего математического и достаточного физического обоснования.

2. Найден и математически обоснован новый алгоритм решения линейной задачи о дополнительности в случае положительно определенной матрицы коэффициентов. На основе этого алгоритма разработаны обобщения известных методов для моделирования систем с ограничениями параметров состояния в виде нестрогих неравенств. Предложен метод последовательного выключения связей, который требует для расчета конструктивно-нелинейной механической системы с 2п неизвестными параметрами состояния не большего объема вычислений, чем однократное решение системы п линейных алгебраических уравнений

3. Разработана методика использования полученных результатов при численном решении отдельных задач динамики с учетом переменных сил сухого трения и вязкого сопротивления в односторонних связях.

4. На основе методологии математического моделирования выполнен анализ известных подходов к решению задач биомеханики скелетно-мышечных систем. Установлена неадекватность использования критериев оптимальности в известных подходах. Найдено и на уровне алгоритма реализовано решение проблемы избыточности в биомеханике (в задаче определения сил в сухожилиях и в суставах по заданным координатам жестких звеньев скелета). С учетом выявленного закона очередности разработан подход к построению биомеханических моделей скелетно-мышечных систем произвольного вида.

5. Разработаны в соавторстве с д. м. н., проф. Р.И. Мельцером конструктивные решения фиксаторов, предназначенных для использования при лечении переломов шейки бедра. Новизна технических решений подтверждена авторскими свидетельствами на изобретения.

Достоверность результатов моделирования механических систем с односторонними связями при статическом и динамическом воздействиях подтверждена совпадением полученных в диссертации численных решений тестовых задач с известными по литературе точными решениями [125]. Адекватность результатов моделирования биомеханической системы с односторонним связями, а именно — скелетно-мышечной системы тазобедренных суставов человека подтверждена их соответствием опубликованным в статье [194] данным физических измерений сил в тазобедренных суставах, а также данным электромиографии [34, 35] и клинических наблюдений [110].

Практическая значимость:

1. Построены эффективные в вычислительном отношении алгоритмы компьютерного анализа конструктивно нелинейных систем с жесткими и податливыми односторонними связями. Предложен алгоритм, который требует для расчета конструктивно-нелинейной механической системы с 2п неизвестными параметрами состояния не большего объема вычислений, чем однократное решение системы линейных алгебраических уравнений с п неизвестными.

2. Предложено обобщение алгоритма метода перемещений, не требующее для компьютерного осуществления создания принципиально новых комплексов программ. Необходима лишь надстройка для управления очередностью стандартных преобразований линейных уравнений в соответствии с установленным критерием.

3. С применением разработанных алгоритмов построена биомеханическая модель костно-мышечной системы тазобедренных узлов человека. Модель, реализованная в виде программы, использована в исследованиях биомеханических аспектов стабильности остеосинтеза переломов бедра. Обоснована избыточность учета геометрической нелинейности в математических моделях скелетно-мышечных систем, предназначенных для прогнозирования внутренних сил по заданному движению. Данный результат позволил существенно упростить математическое описание биомеханической модели скелетно-мышечной подсистемы, обеспечить адекватность и вычислительную эффективность компьютерной версии модели.

4. Полученные результаты нашли применение при разработке новых конструкций остеофиксаторов, а также в научно-исследовательской работе по совершенствованию методик лечения переломов и в процессе подготовки специалистов в Петрозаводском государственном университете.

Положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритм решения линейной задачи о дополнительности с положительно определенной матрицей коэффициентов. Элементы теории, относящиеся к выявленному пути решения основной проблемы в моделировании деформируемых систем с односторонними связями. Гипотеза об очередности перехода односторонних связей в альтернативное состояние, ее физическое и математическое обоснование.

2. Обобщенный алгоритм метода перемещений для моделирования механических систем с односторонними связями.

3. Базирующийся на методологической основе математического моделирования подход к построению алгоритмов биомеханического анализа скелетно-мышечных систем.

4. Результаты практического применения предложенных моделей, алгоритмов и их компьютерной версии при разработке технических решений остеофиксаторов, новизна и полезность которых подтверждены авторскими свидетельствами на изобретения.

Апробация работы. Материалы диссертации были представлены на следующих конференциях, съездах и семинарах: • VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);

20-ая Международная конференция «Математические модели механики сплошных тел. Методы конечных и граничных элементов» (Санкт-Петербург, 2003);

X и XII международные конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (Переславль-Залесский, 1999; Владимир, 2003); семинар академика Н. Ф. Морозова (С-Петербург, 2004);

III-VII Всероссийские конференции по биомеханике (Н. Новгород, 1996, 1998, 2000, 2002, 2004);

Междисциплинарная конференция с международным участием «Новые биокибернетические и телемедицинские технологии XXI века для диагностики и лечения заболеваний человека» (Петрозаводск, 2003);

Международная научно-методическая конференция «Университеты в образовательном пространстве региона» (Петрозаводск, 1999);

Научная конференция "Современные технологии в травматологии и ортопедии" (Москва, ЦИТО, 1999);

- VI съезд травматологов-ортопедов Прибалтийских республик (Таллинн, 1990; семинар в Институте прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН (Петрозаводск, 2004); семинар по перспективам развития эргономической биомеханики (Севастополь, 1990); семинары кафедр механики и математического моделирования систем управления Петрозаводского госуниверситета (1998-2004). ряд региональных конференций, доклады на которых перечислены в автореферате диссертации.

Публикации. Результаты исследования представлены в 39 публикациях, основными из которых являются одна монография и 9 статей, включая описания к двум авторским свидетельствам на изобретения.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, раздела с основными выводами, списка литературы (327 наименований) и приложений. Общий объем работы 267 страниц.

4.8. Выводы

Перечислим наиболее значимые, на наш взгляд, результаты, отраженные в четвертой главе. Основное внимание в данной главе обращено на исследование биомеханических аспектов определения сил в компонентах скелетно-мышечной системы произвольного вида. В таких системах физиологически предопределены односторонние ограничения на параметры состояния компонентов, в связи с чем необходимо применение для их анализа моделей, описанных в предыдущих главах данной работы.

В четвертой главе рассмотрен с точки зрения механики механизм управления силами в сухожильно-мышечном комплексе.

Проанализированы известные подходы, применяемые при построении биомеханических моделей скелетно-мышечных систем. Рассмотрены причины появления проблемы избыточности в биомеханике скелетно-мышечных систем, изучены известные способы решения данной проблемы. Показана некорректность применения критериев оптимальности при решении проблемы избыточности в известных алгоритмах прогнозирования сил в компонентах биомеханических моделей скелетно-мышечных систем. Предложен путь решения проблемы с использованием известной из механики полной системы уравнений, записанной в виде соотношений конечных величин. Разработанные алгоритмы проиллюстрированы решением тестовых примеров.

Рассмотрена известная методика учета геометрической нелинейности в математическом описании исследуемых моделей. По результатам анализа биомеханических аспектов функционирования скелетно-мышечных систем найдены основания для предположения о достаточности геометрически линейных соотношений в математическом описании моделей. Правомерность данного предположения подтверждена при сопоставлении результатов численного моделирования с данными измерений сил в тазобедренных суставах, а также с данными электромиографии и клинических наблюдений. Подтверждение выдвинутого предположения создает основу для построения новых эффективных в вычислительном отношении биомеханических моделей скелетно-мышечных систем, предназначенных для прогнозирования сил в их компонентах по заданному движению. Эта новая возможность использована при решении задач биомеханического анализа как поврежденной, так и физиологически нормальной костно-мышечной системы тазобедренных суставов в интересах травматологии.

Кроме того, установлены зависимости сил в податливых компонентах физической модели от произвольного изменения их жесткости. Эти зависимости, полученные в виде матричных дробно-рациональных соотношений, предложено использовать для моделирования изменений сил в компонентах скелетно-мышечной системы, наблюдаемых при изменении активации мышц.

Достоверность результатов численного моделирования с использованием разработанных подходов и алгоритмов обусловлена их теоретическим обоснованием и подтверждена адекватностью известным по литературе данным физических измерений сил в тазобедренных суставах.

Новизна и практическое значение полученных результатов подтверждены их использованием в течение ряда лет в научно-исследовательской работе специалистами в области травматологии. В частности, на технические решения фиксаторов, которые были разработаны в соавторстве с д.м.н., профессором Р. И. Мельцером и предназначены для использования при лечении переломов проксимального метаэпифиза бедра, получены два авторские свидетельства на изобретения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Односторонние связи в различных своих воплощениях встречаются в природе и в технике едва ли не чаще, чем обычные двухсторонние связи, традиционно изучаемые в механике. Теория, на которой базируется создание математических моделей механических систем с односторонними связями, появилась относительно недавно и в настоящее время находится в стадии интенсивного формирования. Системы с односторонними связями оказались существенно более сложными для анализа по отношению к системам с двухсторонними связями. Основная причина затруднений заключается в том, что односторонняя связь существует в одном из двух своих возможных состояний «включено» или «включено», в то время как для двухсторонней связи возможно только одно состояние «включено». Использование алгоритмов математического программирования в известных работах и возможностей современных компьютеров позволило существенно расширить круг решаемых на практике задач анализа механических систем с односторонними связями.

Однако возникающие при компьютерном анализе таких систем затруднения выражаются часто в неприемлемо большом времени счета, что обусловлено несовершенством известных математических моделей. Возможности компьютерного анализа механических систем с односторонними связями в настоящее время существенно ограничены по сравнению с возможностями анализа гораздо более детально изученных конструкций с двухсторонними связями. Очевидно, для разработчиков программных комплексов и других специалистов желательным было бы изменение сложившейся ситуации и выравнивание указанных возможностей. Выравнивание возможностей, что также очевидно, означало бы достижение качественно нового уровня в математическом моделировании механических систем с односторонними связями.

В диссертационном исследовании предложен и достаточно строго обоснован на физическом и математическом уровнях обобщенный алгоритм метода перемещений, одинаково эффективный в вычислительном отношении при моделировании механических систем с одно-и двухсторонними связями. При этом двухсторонняя связь рассматриваются как частный случай односторонней связи, которая (теоретически) всегда находится в состоянии «включено». Предложены также два других алгоритма, не лишенные практического смысла, но представляющие в большей степени теоретический интерес.

Вычислительная эффективность указанного алгоритма, на первый взгляд, парадоксальна (конструктивно-нелинейный расчет не сложнее линейного). Такая непривычно высокая для нелинейных расчетов вычислительная эффективность является следствием, как представляется, достаточно полной адекватности математической модели ее физическому прототипу. Создание адекватной математической модели стало возможным исключительно за счет использования выявленного в ходе диссертационного исследования закона очередности перехода односторонних связей в действительное состояние. Данное утверждение об очередности появилось в рамках выполненного исследования первоначально в виде гипотезы, сформулированной автором на основе анализа физического содержания основной проблемы механики стержневых систем с ограничениями параметров состояния в виде нестрогих неравенств. Достаточно строгое математическое обоснование правомерности гипотезы приведено в диссертации, а известные по литературе тестовые примеры, иллюстрирующие эффективность алгоритма в вычислительном отношении, рассмотрены в как в основном тексте, так и в приложении к диссертации.

Эффективность указанного выше алгоритма выражается не только в уменьшении объема вычислений, необходимых для точного решения задачи определения действительного состояния системы односторонних связей. Данный алгоритм, как следует из материалов исследования, не требует для своего компьютерного воплощения создания принципиально новых программных комплексов. Принципиально необходимо лишь изменение очередности исключения неизвестных, выполняемых при решении системы уравнений с использованием метода Гаусса. При этом система уравнений формируется по стандартным методикам, которые реализованы в известных программных комплексах конечно-элементного анализа. Для определения указанной очередности предложен и теоретически обоснован критерий, вычисление которого может быть сведено к поиску наименьшего из отрицательных элемента в векторе свободных членов указанной системы уравнений.

Ограничения в случае использования разработанного алгоритма диктуются теми же соображениями, что и при компьютерном анализе механических систем с обычными двухсторонними связями и при решении системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Эффективность разработанных алгоритмов подтверждена с использованием тестовых примерах, точные решения которых известны по литературе. При этом рассмотрены как задачи статики, так и отдельные задачи динамики (в частности, задачи о движении с соударениями для системы двух тел с односторонними связями, о косом ударе тяжелой частицы с учетом переменных сил сухого трения и вязкого сопротивления в односторонних связях). Результаты численного моделирования при решении тестовых задач идентичны известным по литературе решениям, которые были найдены другими способами.

Анализ результатов численного моделирования косого удара (приземления) тяжелой деформируемой частицы и последующего движения без повторных соударений позволил детализировать некоторых известные закономерности такого движения на рассмотренном примере. Данный материал представлен в третьей главе.

Естественными прототипами механических систем с односторонними связями являются скелетно-мышечные системы. Прогнозирование сил в компонентах костно-мышечной системы, например, тазобедренных суставов человека необходимо для оценки стабильности остеосинтеза при лечении переломов, а также для оценки надежности эндопротезирования. Существует множество других важных задач травматологии, профилактики травматизма, оптимизации движений в спорте и в трудовых процессах, где также необходимо прогнозирование внутренних сил по заданному движению. Однако, если задачи биомеханики скелетно-мышечных систем в случае физиологической нормы отнести к стандартным и условно считать их исследованными в достаточной степени, то такие же задачи в случае переломов и других патологий опорно-двигательного аппарата требуют учета ряда особенностей. То обстоятельство, что движения пациентов в процессе лечения переломов достаточно медленные, упрощает процедуру решения задачи, позволяя ограничиться в большинстве случаев рамками статики.

Однако препятствием на пути решения таких задач было отсутствие достаточно эффективного подхода к построению биомеханических моделей скелетно-мышечных систем произвольного вида. С появлением и с использованием указанного выше разработанного в диссертации алгоритма удалось преодолеть основную часть проблем, сопровождавших, в частности, создание компьютерных моделей костно-мышечной системы тазобедренных узлов в целях анализа биомеханических аспектов стабильности остеосинтеза при лечении переломов проксимального метаэпифиза бедра. Результаты данной части диссертационной работы нашли ряд применений в медико-технических исследованиях специалистов соответствующего профиля при совершенствовании методик лечения переломов проксимального метаэпифиза бедренной кости.

Если говорить о научной ценности результатов, имеющих отношение к моделированию скелетно-мышечных систем, то следует обратить внимание на ряд отраженных в литературе фактов, невольно сдерживающих развитие методов и алгоритмов такого моделирования. Эти факты в ряде случаев говорят о неадекватном, явно усложненном описании биомеханических моделей скелетно-мышечных систем, предназначенных для прогнозирования внутренних сил по заданному движению или по заданной конфигурации скелетной системы. Неадекватность выражается в использования гипотетических критериев оптимальности взамен геометрических и физических соотношений, которые известны в механике деформируемого тела. Данные критерии появились в известной литературе по биомеханике как результат избыточно широкого толкования гипотезы об оптимальности управления функционированием мышц со стороны центральной нервной системы. Гипотеза, вообще говоря, не встречает возражений. Однако неправомерность ее применения в задачах биомеханики выражается в том, что центральной нервной системе приписывается несвойственная ей функция решения чисто механической проблемы статической неопределимости (см., например, [305]). Неадекватность применения гипотезы явилась причиной неполноты математического описания биомеханических моделей скелетно-мышечных систем. Неполнота математического описания модели ускользала от внимания исследователей, в связи с чем в семидесятых годах XX века появился термин «проблема избыточности в биомеханике».

В данной работе с использованием полной системы уравнений найдено и реализовано на уровне алгоритмов решение указанной проблемы избыточности. Предложен отличающийся адекватностью и вычислительной эффективностью новый подход к построению биомеханических моделей скелетно-мышечных систем.

Применение разработанных алгоритмов, предназначенных для использования в биомеханических моделях скелетно-мышечных систем, проиллюстрировано решением тестовых примеров.

Рассмотрена с точки зрения механики модель механизма управления силой натяжения сухожильно-мышечного комплекса.

Выполнен анализ известной методики учета геометрической нелинейности в математическом описании исследуемых моделей. Найдены основания для предположения о достаточности геометрически линейных соотношений в математическом описании моделей при прогнозировании внутренних сил по заданной конфигурации скелетной системы. Правомерность данного предположения подтверждена при сопоставлении результатов численного моделирования с данными измерений сил в тазобедренных суставах, а также с данными электромиографии и клинических наблюдений.

С учетом полученных данных разработанный подход может быть рекомендован для использования при построении эффективных в вычислительном отношении биомеханических моделей скелетно-мышечных систем, предназначенных для прогнозирования сил в их компонентах по заданной конфигурации жестких звеньев скелетной системы. Эта новая возможность использована при решении задач биомеханического анализа как поврежденной, так и физиологически нормальной костно-мышечной системы тазобедренных суставов в интересах травматологии.

Установлены зависимости сил в податливых компонентах физической модели от изменения их жесткости. Данные зависимости получены в виде матричных дробно-рациональных соотношений, они могут быть использованы при оценке приращений сил в компонентах скелетно-мышечной системы, наблюдаемых при изменении активации мышц.

Перспективы развития работы связаны с применениями предложенного шагового алгоритма решения линейной задачи о дополнительности с положительно определенной матрицей коэффициентов как альтернативы известному итерационному методу Лемке. В этой связи определенный интерес может представлять использование нового алгоритма при разработке математических моделей механического взаимодействия балок и плит с основанием при сложных схемах воздействия, а также плит покрытия и основания дорожных и аэродромных покрытий, моделирования причин расслоения трехслойных и других подобных конструкций. Опыт применения данного метода указывает на возможности повышения вычислительной эффективности алгоритмов решения линейной задачи о дополнительности не только с симметричной матрицей коэффициентов, но и с положительно определенными матрицами иной структуры, которые встречаются в других приложениях.

Перспективы развития диссертационной работы связаны также с применениями разработанного подхода к построению биомеханических моделей скелетно-мышечных систем в многочисленных и разнообразных задачах статики и динамики таких систем как в физиологической норме, так и при патологиях. Важной представляется обеспечиваемая разработанным подходом возможность проверки некоторых гипотез о функционировании скелетно-мышечных систем, связанных, в частности, с проверкой адекватности известных по литературе критериев оптимальности таких систем и уточнение области применения этих критериев. Осуществление этих возможностей на стыке наук, очевидно, требует участия в совместных исследования специалистов других областей.

1. Абрамов JL М. Математическое программирование / JI. М. Абрамов, В. Ф. Капустин. JL: Изд-во ЛГУ, 1981. 328 с.

2. Айзерман М. А. Классическая механика / М. А. Айзерман. М.:1. Наука, 1980. 368 с.

3. Александер Р. Биомеханика / Р. Александер. М.: Мир, 1970. 340 с.

4. Антонец В. А. Статистическое моделирование непроизвольныхмикроколебаний конечности / В. А. Антонец, Э. П. Ковалева // Биофизика. 1996. Т. 41. Вып. 3. С. 704-709.

5. Антонова JL Н. Определение реализующегося движения механических систем с сухим трением как задача квадратичного программирования / JI. Н. Антонова, В. В. Никольский // Изв. Тул-ГУ. Сер. Проблемы машиностроения. 1997. С. 7 9.

6. Аргатов И. И. Расчет штабеля контейнеров с найтовами как механической системы с односторонними связями / И. И. Аргатов // Судостроение. 2000. № 2. С. 21 -23.

7. Аргатов И. И. Энергетические теоремы и вариационные принципымеханики упругих систем с односторонними связями / И. И. Аргатов // Изв. вузов. Строительство. 1998. № 9. С. 15 20.

8. Аргатов И. И. Асимптотическое решение задачи об упругом теле,лежащем на нескольких малых опорах / И. И. Аргатов, С. А. Назаров // ПММ. 1994. Т. 58. № 2. С. 110 118.

9. Аруин А. С. Эргономическая биомеханика /А. С. Аруин,

10. B. М. Зациорский. М.: Машиностроение, 1988. 256 с. П.Аттетков А. В. Методы оптимизации / А. В. Аттетков,

11. C. В. Галкин, В. С. Зарубин; Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001.440 с.

12. Баженов В. А. Устойчивость и колебания деформируемых системс односторонними связями / В. А. Баженов, Е. А. Гоцуляк, С. Г. Кондаков; Под ред. В. И. Гуляева. Киев, 1989. 398 с.

13. Байокки К. Вариационные и квазивариационные неравенства / К.

14. Байокки, А. Капело. М.: Наука, 1988. 448 с.

15. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры /

16. Д. В. Беклемишев. М.: Наука, 1983. 336 с.

17. Белецкий В. В. Двуногая ходьба / В. В. Белецкий. М.: Наука, 1984.288 с.

18. Беллман Р. Динамическое программирование и уравнения в частных производных: Пер. с англ. / Р. Беллман, Э. Энджел. М.: Мир, 1974. 208 с.

19. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механикесплошных сред / О. М. Белоцерковский. М.: Наука, 1994. 442 с.

20. Бендолл Дж. Мышцы, молекулы и движение: Очерк по мышечному сокращению / Дж. Бендолл. М.: Мир, 1970. 256 с.

21. Березинская С. Н. Об уравнениях движения механических системс условными односторонними связями: Препринт №16 / С. Н. Березинская, Е. И. Кугушев; ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. М., 2002. 32 с.

22. Березовский В. А. Биофизические характеристики тканей человека: Справочник / В. А. Березовский, Н. Н. Колотилов. Киев: Наукова думка, 1990. 224 с.

23. Бернштейн Н. А. Биология и физиология движений / Н. А. Бернштейн; Под ред. В. П. Зинченко. М., 1997. 608 с.

24. Бидерман В. JI. Теория механических колебаний / В. JI. Бидерман.

25. М.: Высш. школа, 1980. 408 с.

26. Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инженерных задач / И. А. Биргер. М.: Гостехиздат, 1956. 230 с.

27. Биркгоф Дж. Динамические системы / Дж. Биркгоф. М.: Гостехиздат, 1941.320 с.

28. Борисевич А. А. Общие уравнения строительной механики / А. А.

29. Борисевич. Минск: Дизайн ПРО, 1998. 144 с.

30. Бранков Г. Основы биомеханики/ Г. Бранков. М.: Мир, 1981. 254 с.

31. Вабищевич П. Н. Численное моделирование / П. Н. Вабищевич.

32. М.: Изд-во МГУ, 1993. 152 с.

33. Васильков Г. В. Эволюционные задачи строительной механики.

34. Синергетическая парадигма: Учебное пособие / Г. В. Васильков. Ростов н/Д.: Инфосервис, 2003. 180 с.

35. Величенко В. В. Матричная теория удара в механических системах с переменным составом связей / В. В. Величенко // VIII Всерос. съезд по теор. и прикл. мех.: Аннот. докл. УрО РАН. Екатеринбург, 2003. С. 757 760.

36. Величенко В. В. Механика трансформирующихся систем / В. В.

37. Величенко // ДАН. 2003. Т. 388. № 6. С. 149 150.

38. Виба Я. А. Оптимизация и синтез виброударных машин /

39. Я. А. Виба. Рига: Зинатне, 1988. 253 с.

40. Витензон А. С. Закономерности нормальной и патологическойходьбы человека /А. С. Витензон; ЦНИИПП. М., 1998. 271 с.

41. Витензон Ф. С. Искусственная коррекция движений при патологической ходьбе / Ф. С. Витензон, Е. М. Миронов, К. А. Петрушанская; ЦНИИПП. М., 1999. 503 с.

42. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел / Й. Виттенбург. М.:1. Мир, 1980. 294 с.

43. Вовкушевский А. В. Расчет массивных гидротехнических сооружений с учетом раскрытия швов / А. В. Вовкушевский, Б. А. Шойхет. М.: Энергия, 1981. 136 с.

44. Ворович И. И. Некоторые вопросы преподавания основ классической механики в университетском курсе: Препринт № 252/ И. И. Ворович; Институт проблем механики АН СССР. М., 1985. 26 с.

45. Ворович И. И. Динамика массивных тел и резонансные явления вдеформируемых средах / И. И. Ворович, В. А. Бабешко, О. Д. Пряхина. М.: Научный мир, 1999. 246 с.

46. Воронов А. В. О моделировании рациональных вариантов техникибега на коньках / А. В. Воронов, Э. К. Лавровский // Современные проблемы биомеханики: Сб. науч. тр. Вып 7. Биомеханика мышц и структура движений; ИПФ РАН. Н. Новгород, 1992. С. 144-163.

47. Галин А. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости / А. А. Галин. М.: Наука, 1980. 304 с.

48. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. М.: Физматгиз,1967. 575 с.

49. Герман Дж. Разрушение: В 7 т. / Дж. Герман, Г. Либовиц. Т. 7. Разрушение неметаллов и композитных материалов. Ч. 2. Органические материалы. Механика разрушения кости. М.: Мир, 1976. С. 391 -463.

50. Главачек И. Решение вариационных неравенств в механике /

51. И. Главачек, Я. Гаслингер, И. Нечас. М.: Мир, 1986. 272 с.

52. Годунов С. К. Разностные схемы (введение в теорию) / С. К. Годунов, В. С. Рябенький. М.: Наука, 1977. 440 с.

53. Голдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяющихсятел / В. Голдсмит. М.: Стройиздат, 1965. 448 с.

54. Гольдштейн Ю. Б. Статика стержневых конструкций /

55. Ю. Б. Гольдштейн. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 1997. 276 с.

56. Горбачев В. В. Проблемы современного естествознания /

57. В. В. Горбачев // Вестник РАЕН. 2000. № 1. С. 1 6.

58. Гордеев В. Н. Расчет упругих систем с односторонними связямикак задача квадратичного программирования / В. Н. Гордеев, А. В. Перельмутер // Исследования по теории сооружений. Вып. 15. М.: Стройиздат, 1967. С. 208-212.

59. Горячева И. Г. Механика дискретного контакта / Механика контактных взаимодействий; Под ред. И. И. Воровича, В. М. Александрова. М.: Наука, 2001. С. 418-437.

60. Гранит Р. Основы регуляции движений / Р. Гранит. М.: Мир, 1973.337 с.

61. Гребенников Е. А. Конструктивные методы анализа нелинейныхсистем / Е. А. Гребенников, Ю. А. Рябов. М.: Наука, 1979. 431 с.

62. Губин В. Б. Об одном варианте принципа бритвы Оккама /

63. В. Б. Губин // Философские науки. 1998. № 2. С. 136 150.

64. Гурфинкель В. С. Соотношение сила жесткость скелетной мышцы зависит от уровня активации сократительного аппарата и предыстории сокращения / В. С. Гурфинкель, Ю. П. Иваненко, Ю. С. Левик // Физиология человека. 1999. Т. 25. № 3. С. 95 -101.

65. Гурфинкель В. С. Скелетная мышца: структура и функция / В. С.

66. Гурфинкель, Ю. С. Левик. М.: Наука, 1985. 147 с.56.'Демидович Б. П. Численные методы анализа / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. 3. Шувалова. М.: Физматгиз, 1961. 368 с.

67. Демьянов В. Ф. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление / В. Ф. Демьянов. М.: Наука, 1990. 431 с.

68. Дерябин М. В. Общие принципы динамики и теория односторонних связей / М. В. Дерябин // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1998. № 1. С. 53 59.

69. Дерябин М. В. К теории систем с односторонними связями / М. В.

70. Дерябин, В. В. Козлов // ПММ. 1995. Т. 59. № 4. С. 531 539.

71. Дещеревский В. И. Математические модели мышечного сокращения / В. И. Дещеревский. М.: Наука, 1977. 160 с.

72. Дубовицкий А. Я. Задачи на экстремум при наличии ограничений /

73. A. Я. Дубовицкий, А. А. Милютин // ЖВМФ. 1965. Т. 5. № 3. С. 395-453.

74. Дюво Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе.1. М.: Наука, 1980.384 с.

75. Жуковский Н. Е. О начале наименьшего действия / Н. Е. Жуковский // Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1959. С. 425-429.

76. Журавлев В. Ф. Уравнения движения механических систем с идеальными односторонними связями / В. Ф. Журавлев // ПММ. 1978. Т. 42. №5. С. 781 -788.

77. Журавлев В. Ф. Механика систем с неудерживающими связями /

78. B. Ф. Журавлев, Н. А. Фуфаев. М: Наука, 1993. 240 с.

79. Зациорский В. М. Биомеханика опорно-двигательного аппаратачеловека / В. М. Зациорский, А. С. Аруин, В. Н. Селуянов. М.: Физкультура и спорт, 1981. 143 с.

80. Зациорский В. М. Нахождение усилий мышц человека по заданному движению / В. М. Зациорский, Б. И. Прилуцкий // Современные проблемы биомеханики: Сб. науч. тр. Вып 7. Биомеханика мышц и структура движений; ИПФ РАН. Н. Новгород, 1992. С. 81-123.

81. Зинковский А. В. Антропометрические механизмы: моделирование, анализ и синтез движений / А. В. Зинковский, В. А. Шолуха; СПбГТУ. СПб., 1992. 72 с.

82. Зукас Дж. А. Динамика удара / Дж. А. Зукас, Т. Николас, X. Ф.

83. Свифт. М.: Мир, 1958. 296 с.

84. Иванов А. П. Динамика систем с механическими соударениями /

85. А. П. Иванов. М., 1997. 336 с.

86. Иванов А. П. Об ударах в системе с несколькими неудерживающими связями / А. П. Иванов // ПММ. 1987. Т. 51. № 4. С. 559 -566.

87. Каплан А. В. Повреждения костей и суставов / А. В. Каплан. М.:1. Медицина, 1979. 568 с.

88. Карманов В. Г. Математическое программирование / В. Г. Карманов. М.: Физматлит, 2001. 264 с.

89. Ким Т. С. Расчет систем с односторонними связями как задача одополнительности / Т. С. Ким, В. Г. Яцура // Строит, механика и расчет сооружений. 1989. № 3. С. 41 44.

90. Киндерлерер Д. Введение в вариационные неравенства и их приложения/Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья. М.: Наука, 1983. 256 с.

91. Климов В. С. К теории вариационных неравенств / В. С. Климов //

92. Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль, 1982. С. 109 119.

93. Клиническая биомеханика / Под ред. В. И. Филатова. Д.: Медицина, 1980. 200 с.

94. Кнетс И. В. Деформирование и разрушение твердых биологических тканей / И. В. Кнетс, Г. О. Пфафрод, Ю. Ж. Саулгозис. Рига: Зинатне, 1980.319 с.

95. Козлов В. В. Конструктивный метод обоснования теории систем снеудерживающими связями / В. В. Козлов // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 6. С. 883 894.

96. Козлов В. В. Об ударе с трением / В. В. Козлов // Изв. АН СССР.1989. Сер. МТТ. № 6. С. 54 60.

97. Козлов В. В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами / В. В. Козлов, Д. В. Трещев, М.: Изд-во МГУ, 1991. 168 с.

98. Колесников Г. Н. Закон очередности перехода односторонних связей в действительное состояние и его применение в математических моделях упругих механических систем / Г. Н. Колесников; ПетрГУ. Петрозаводск, 2003. 20 с. Деп. в ВИНИТИ 21.05.03, №981 -В2003.

99. Колесников Г. Н. Об очередности жордановых исключений в алгоритмах моделирования механических систем с односторонними связями / Г. Н. Колесников; ПетрГУ. Петрозаводск, 2003. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 21.11.03, № 2028 В2003.

100. Колесников Г. Н. Фиксатор для остеосинтеза вертельных переломов бедра. А. с. 1801401 (СССР). МКИ3 А61 В 17/58, 1989 / Г. Н. Колесников, Р. И. Мельцер; ПетрГУ. №4916197/14; Заявлено 04.03.91; Опубл. 15.03.93. Бюл. №10. 3 е.: ил.

101. Колесников Г. Н. О биомеханическом моделировании тазобедренного узла до и после оперативной коррекции шеечно-диафизарного угла / Г. Н. Колесников, Р. И. Мельцер, М. Ба-ракат // Медицинский академический журнал. 2003. Т. 3. № 2, приложение 3. С. 123.

102. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Введение винформатику с позиций математического моделирования / Под ред. А. А. Самарского. М.: Наука, 1988. 176 с.

103. Коновалов А. А. Удары в оружии / А. А. Коновалов;. Ижевск: ЗАО

104. Издательский дом "Удмуртский университет": 2000. 89 с.

105. Копылов И. А. О реализуемости движений по Н. А. Бернштейну /

106. И. А. Копылов, П. А. Кручинин, И. В. Новожилов // Изв. РАН, МТТ. 2003. №5. С. 39-49.

107. Коренев Г. В. Очерки механики целенаправленного движения /

108. Г. В. Коренев. М.: Наука, 1980. 192 с.

109. Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства вмеханике / А. С. Кравчук. М.: Изд-во МГАПИ, 1997. 340 с.

110. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. М.: Наука, 1975. 512 с.

111. Краснощеков П. С. Принципы построения моделей /

112. П. С. Краснощеков, А. А. Петров. М.: Изд-во ТВП, 2000. 412 с.

113. Крюков В. Н. Механика и морфология переломов / В. Н. Крюков.

114. М.: Медицина, 1986. 160 с.

115. Кугушев Е. И. Закономерности движения механических систем содносторонними связями: Препринт № 15 / Е. И. Кугушев, О. В. Сорокина; ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. М., 2002. 28 с.

116. Кугушев Е. И. Принцип Даламбера Лагранжа в механическихсистемах с односторонними связями: Препринт № 14 / Е. И. Кугушев, О. В. Сорокина; ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. М., 2002. 32 с.

117. Кузнецов Ю. Н. Математическое программирование /

118. Ю. Н. Кузнецов, В. И. Кузубов, А. Б. Волощенко. М.: Высш. школа, 1980. 300 с.

119. Куфнер А. Нелинейные дифференциальные уравнения / А. Куфнер, С. Фучик. М., 1988. 304 с.

120. Лебедев А. Н. Моделирование в научно-технических исследованиях / А. Н. Лебедев. М.: Радио, 1989. 224 с.

121. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевыхзадач / Ж.-Л. Лионе. М.: Наука, 2002. 588 с.

122. Лукаш П. А. Основы нелинейной строительной механики / П. А.

123. Лукаш. М.: Стройиздат, 1978. 204 с.

124. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики /

125. Г. И. Марчук. М.: Наука, 1989. 608 с.

126. Математическое моделирование / Под ред. Дж. Эндрюса, Р. Мак

127. Лоуна; Пер. с англ. М.: Мир, 1979. 278 с.

128. Мельцер Р. И. Клинико-биомеханические и технико-инструментальные аспекты оперативного лечения переломов проксимального метаэпифиза бедра у больных преклонного возраста: Дис. . докт. мед. наук. Петрозаводск, 1999. 444 с.

129. Мельцер Р. И. Фиксатор вертельных переломов бедра. А. с.1710014 (СССР). МКИ3 А61 В 17/58. / Р. И. Мельцер, Г. Н. Колесников; ПетрГУ. № 4764883/14; Заявлено 06.12.89; 0публ.07.02.92. Бюл. № 5. 3 е.: ил

130. Миронов С. П. Современный чрескостный остеосинтез в травматологии / С. П. Миронов, А. И. Городниченко // Кремлевская медицина. Клинический вестник. 2002. № 4. С. 7-10. http ://www.pmc.ru: 8100/data/Vestnik/V2002-4/01 .pdf

131. Миронов С. П. Клинический анализ движений организационные, общие и методические аспекты / С. П. Миронов, А. И. Романов, В. К. Решетняк // Кремлевская медицина. Клинический вестник. 1999. № 4. http://www.pmc.ru: 8100/data/V estnik/V2000-4/soder.html

132. Мовшович И. А. Биомеханика тазобедренного сустава и основные особенности тотальных эндопротезов / И. А. Мовшович, Н. С. Гаврюшенко // Современные проблемы биомеханики. Вып. 4. Рига, 1987. С. 104- 121.

133. Моисеев Н. Н. Методы оптимизации / Н. Н. Моисеев, Ю. П. Иванилов, Е. М. Столярова. М.: Наука, 1978. 352 с.

134. Нестеров Ю. В. Полиномиальные методы в линейном и квадратичном программировании / Ю. В. Нестеров // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1988. № 3. С. 3 6.

135. Никитин JI. В. Модель биоупругого тела / JI. В. Никитин // Изв.

136. АН СССР. МТТ. 1971. №3. С. 154-157.

137. Образцов И. Ф. Оптимальные биомеханические системы / И. Ф.

138. Образцов, М. А. Ханин. М.: Медицина, 1989. 272 с.

139. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения.

140. Выпуклые и невыпуклые функции энергии / П. Панагиотопулос. М.: Наука, 1989. 494 с.

141. Пановко Я. Г. Введение в теорию механического удара /

142. Я. Г. Пановко. М.: Наука, 1977. 232 с.

143. Пановко Я. Г. Устойчивость и колебания упругих систем / Я. Г.

144. Пановко, И. И. Губанова. М.: Физматгиз, 1987. 352 с.

145. Перельмутер А. В. Использование методов квадратичного программирования для расчета систем с односторонними связями / А. В. Перельмутер // Исследования по теории сооружений. Вып. 19. М.: Стройиздат, 1972. С. 138 147.

146. Перельмутер А. В. Основы расчета вантово-стержневых систем /

147. А. В. Перельмутер. М.: Стройиздат, 1969. 90 с.

148. Перельмутер А. В. Расчетные модели сооружений и возможностьих анализа / А. В. Перельмутер, В. И. Сливкер. Киев: Изд-во «Сталь», 2002. 600 с. http://www.scadgroup.com/

149. Погожев И. Б. Применение математических моделей заболеваний в клинической практике / И. Б. Погожев; Под ред. Г. И. Марчука. М.: Наука, 1988. 192 с.

150. Подлубная 3. А. Состав, структура и структурные переходы втолстых нитях поперечно-полосатых мышц позвоночных / 3. А. Подлубная // Биофизика. 1999. Т. 44. Вып.4. С. 700 707.

151. Подрушняк Е. П. Костно-суставный аппарат человека при старении / Е. П. Подрушняк// Ортопед, травматол. 1983. № 2. С. 1-9.

152. Понтрягин JI. С. Математическая теория оптимальных процессов

153. JI. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе. М.: Наука, 1969.384 с.

154. Попов Л. Д. Введение в теорию, методы и экономические приложения задач о дополнительности / Л. Д. Попов. Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. ун-та, 2001. 124 с.

155. Проблемы прочности в биомеханике / Под ред. И. Ф. Образцова.

156. М.: Высшая школа, 1988. 311 с.

157. Пуритис Ю. П. Регенерация костной ткани после переломов / Ю.

158. П. Пуритис // Современные проблемы биомеханики. Вып. 5. Рига: Зинатне, 1988. С. 43-53.

159. Путята Т. В. Ярослав Иванович Грдина / Т. В. Путята,

160. Б. Н. Фрадлин. М.: Наука, 1970. 110 с.

161. Пфафрод Г. О. Изменение механических свойств костного регенерата в процессе сращения / Г. О. Пфафрод, В. М. Витинын, Я. Б. Лайзан // Современные проблемы биомеханики. Вып. 5. Рига: Зинатне, 1988. С. 5 42.

162. Рабинович И. М. Вопросы теории статического расчета сооружений с односторонними связями / И. М. Рабинович. М.: Строй-издат, 1975. 144 с.

163. Рабинович И. М. Некоторые уроки из истории строительной механики / И. М. Рабинович // Строительная механика и расчет сооружений. 1970. № 2. С. 17 23.

164. Payee Э. Дж. Динамика системы твердых тел. Т.1 / Э. Дж. Payee.1. М.: Наука, 1983. 463 с.

165. Регирер С. А. Математическое описание свойств мышечной ткани / С. А. Регирер, П. И. Усик, И. В. Чернова // Механика полимеров. 1975. № 4. С. 579 584.

166. Регирер С. А. Современные проблемы механики мышечного сокращения / С. А. Регирер, А. К. Цатурян // Соврем, пробл. биомеханики. Вып. 1. Рига, 1983. С. 3 17.

167. Регирер С. А. Мышечное сокращение и внутриклеточные диффузионные процессы / С. А. Регирер, Г. Г. Черная // Современные проблемы биомеханики. Вып. 7; ИПФ РАН. Н. Новгород, 1992. С. 35-62.

168. Реклейтис Г. Оптимизация в технике: В 2-х кн. Кн. 2 / Г. Реклейтис, А. Рейвиндран, К. Рэгсдел. М.: Мир, 1986. 320 с.

169. Ржаницын А. Р. Строительная механика / А. Р. Ржаницын. М.:1. Высш. школа, 1982. 400 с.

170. Розин J1. А. Вариационные постановки задачи теории упругостис идеальными односторонними связями. Задача Синьорини / JI. А. Розин // Метод конечных элементов и строит, механика: Тр. ЛПИ, № 363. Л., 1979. С. 3-15.

171. Розин Л. А. Задачи расчета сооружений с податливостью и дилатансией в односторонних связях / Л. А. Розин // Изв. вузов. Строительство. 2001. № 7. С. 7 11.

172. Розин Л. А. Задачи теории упругости и численные методы ихрешения / Л. А. Розин. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. 552 с.

173. Рубленик И. М. Биомеханическое исследование погружного остеосинтеза при косых переломах диафиза длинных костей / И. М. Рубленик, В. В. Паладюк, В. Л. Васюк // Ортопед, трав-матол. 1988. № 5. С. 20 22.

174. Самарский А. А. Введение в численные методы / А. А. Самарский. М.: Наука, 1982. 272 с.

175. Самарский А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. М.:1. Наука, 1989. 616 с.

176. Самарский А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

177. Сеппо А. И. Металлический остеосинтез переломов костей наоснове точных клинико-технических наук / А. И. Сеппо. Таллинн: Периодика, 1978. 80 с.

178. Скворцов Д. В. Клинический анализ движений: Анализ походки /

179. Д. В. Скворцов; НМФ "МБН". М., 1996. 344 с.

180. Слива С. С. Компьютерные стабилоанализаторы для реабилитации и тренировки статокинетической устойчивости / С. С. Слива // Тез. докл. VI Всероссийской конф. «Биомеханика-98», Н.Новгород, 1 5 июня 1998 г.; ИПФ РАН. Н. Новгород, 1998. С. 209.

181. Стоименов JI. Г. О решении проблемы косого удара тел. Моделиудара шероховатых тел / JI. Г. Стоименов // Прикл. механика. 1992. Т.28. Вып. 8. С. 3-10.

182. Судакова А. П. О лечении переломов проксимального конца бедренной кости у лиц пожилого и старческого возраста / А. П. Судакова, Д. Ю. Судаков // Ортопед, травматол. 1991. № 9. С. 38-40.

183. Темнов В. Г. Конструктивные системы в природе и строительнойтехнике / В. Г. Темнов. Л.: Стройиздат, 1987. 256 с.

184. Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов /

185. С. П. Тимошенко. М.: Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1957. 536 с.

186. Тимошенко С. П. Механика материалов / С. П. Тимошенко, Дж.

187. Гере. М.: Мир, 1976. 670 с.

188. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы / Р. Тьюарсон. М.: Мир, 1977.192 с.

189. Фан Цзи. О системах линейных неравенств / Цзи Фан // Линейные неравенства и смежные вопросы. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. С. 214-262.

190. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости /

191. Г. Фикера. М.: Мир, 1974. 160 с.

192. Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. Т. 2. / А. П. Филин. М.: Наука, 1978. 616 с.

193. Формальский A.M. Моделирование антропоморфных механизмов / А. М. Формальский. М.: Наука, 1982. 368 с.

194. Хидиров Ю. Э. Дополнительные задачи и вариационные неравенства в дополнительных системах пространств / Ю. Э. Хидиров; Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 1993. 17 с. Деп. в ВИНИТИ 17.21.93, № 1933- В93.

195. Хидиров Ю. Э. Односторонний упруго-пластический изгиб жестко закрепленной пластинки / Ю. Э. Хидиров // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль, 1986. С. 57-62.

196. Хилл А. Механика мышечного сокращения. Старые и новыеопыты / А. Хилл. М.: Мир, 1972. 184 с.

197. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. М.: Мир,1989. 655 с.

198. Человек. Медико-биологические данные. М.: Медицина, 1977.496 с.

199. Чернецкий В. И. Математическое моделирование динамическихсистем / В. И. Чернецкий. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 1996. 432 с.

200. Черников С. Н. Линейные неравенства / С. Н. Черников. М.:1. Наука, 1968. 488 с.

201. Черникова Н. В. Алгоритм для нахождения общей формулы неотрицательных решений системы линейных уравнений / Н. В. Черникова // ЖВМФ. 1964. Т. 4. № 4. С. 733 738.

202. Черноусько Ф. JI. Вариационные задачи механики и управления:

203. Численные методы / Ф. JI. Черноусько, Н. В. Баничук. М.: Наука, 1973.238 с.

204. Шестаков Д. А. Математическая модель механических свойствволокон скелетной мышцы с учетом растяжимости актиновых нитей / Д. А. Шестаков, А. К. Цатурян // Биофизика. 1998. Т. 43. Вып. 2. С. 329-334.

205. Шулькин Ю. Б. Влияние односторонних связей на величину критической нагрузки / Ю. Б. Шулькин // Исследования по механике строительных конструкций: Межвуз. темат. сб. тр.; ЛИСИ. Л., 1985. С. 56-63.

206. Шулькин Ю. Б. Теория упругих стержневых систем /

207. Ю. Б. Шулькин. М.: Наука, 1984. 272 с.

208. Янсон X. А. Биомеханика нижней конечности человека /

209. X. А. Янсон. Рига: Зинатне, 1975. 324 с.

210. Alart P. A mixed formulation for frictional contact problems prone to

211. Newton like methods / P. Alart, A. Curnier // Comparitive Meth. Appl. Mech. Engng. 1991. Vol. 92. P. 353 375.

212. Alkjaer T. Comparison of inverse dynamics calculated by two andthree-dimensional models during walking / T. Alkjaer, E. Simonsen, P. Dyhre-Poulsen // Gait Posture. 2001. Vol. 13(2). P. 73 77.

213. Allum J. H. J. Proprioceptive control of posture: a review of new concepts / J. H. J. Allum, B. R. Bloem, M. G. Carpenter // Gait and Posture. 1998. Vol. 8(3). P. 214 242.

214. Ament C. A fuzzy logic model of fracture healing / C. Ament, E. P.

215. Hofer // J. Biomech. 2000. Vol. 33(8). P. 961 968.

216. An K.N. Physiological considerations of muscle force through theelbow joint / K. N. An, K. R. Kaufman, E. Y. S. Chao // J. Bio-mech. 1989. Vol. 22. P. 1249 1256.

217. An K. N. Determination of muscle and joint forces: a new techniqueto solve the indeterminate problem / K. N. An, В. M. Kwak, E. Y. Chao et al.// J. Biomech. Eng. 1984. Vol. 106. P. 364 367.

218. Anderson F. C. A dynamic optimization solution for vertical jumpingin three dimensions / F. C. Anderson, M. G. Pandy // Computer Meth. Biomech. Biomed. Engng. 1999. Vol. 2. P. 201 -231.

219. Anderson F. C. Static and dynamic optimization solutions for gait arepractically equivalent / F. C. Anderson, M. G. Pandy // J. Biomech. 2001. Vol. 34(2). P. 153-161.

220. Anderson F. C. Application of high performance computing to numerical simulation of human movement / F. C. Anderson, J. M. Ziegler, M. G. Pandy et al. // J. Biomech. Engng. 1995. Vol. 117. P. 155 157.

221. Andriacchi T. P. Studies of human locomotion: past, present and future / T. P. Andriacchi, E. J. Alexander // J. Biomech. 2000. Vol. 33(10). P. 1217- 1224.

222. Arnold A. S. Evaluation of a deformable musculoskeletal model: application to planning muscle tendon surgeries for crouch gait / A. S. Arnold, S. S. Blemker, S. L. Delp // Annals of Biomed. Engng. 2001. Vol. 29. P. 1-11.

223. Arnold A. S. Accuracy of muscle moment arms estimated from MRIbased musculoskeletal models of the lower extremity / A. S. Arnold, S. Salinas, D. J. Asakawa, S. L. Delp // Computer Aided Surgery. 2000. Vol. 5. P. 108-119.

224. Audu М. L. A comparison of optimal control algorithms for complexbioengineering studies / M. L. Audu, D. T. Davy // Optimal Control Applications and Methods. 1988. Vol. 9. P. 101 106.

225. Bean J. C. Biomechanical model calculation of muscle contractionforces: a double linear programming method/J. C. Bean,

226. D. B. Chaffin, A. B. Schultz//J. Biomech. 1988. Vol. 21. P. 59-66.

227. Ben Belgacem F. Numerical Simulation of Some Variational Inequalities Arisen from Unilateral Contact Problems by the Finite Element Methods / F. Ben Belgacem // SIAM J. on Numerical Analysis. 2000. Vol. 37(4). P. 1198 1216.

228. Bergmann G. Hip contact forces and gait patterns from routine activities / G. Bergmann, G. Deuretzbacher, M. Heller et al. // J. Biomech. 2001. Vol. 34(7). P. 859 871.

229. Bergmann G. Frictional heating of total hip implants. Part 2: finiteelement study / G. Bergmann, F. Graichen, A. Rohlmann et al. // J. Biomech. 2001. Vol. 34(4). P. 429-435.

230. Bergmann G. Hip joint forces during walking and running, measuredin two patients / G. Bergmann, F. Graichen, A. Rohlmann // J. Biomech. 1993. Vol. 26. P. 969 990.

231. Betts J. T. Application of sparse nonlinear programming to trajectoryoptimization / J. T. Betts, W. P. Huffman // J. Guidance Control and Dynamics. 1992. Vol. 15. P. 198-206.

232. Bischoff J. E. Finite element modeling of human skin using an isotropic, nonlinear elastic constitutive model / J. E. Bischoff,

233. E. M. Arruda, K. Grosh // J. Biomech. 2000. Vol. 33.P. 645 652.

234. Blickhan R. The spring mass model for running and hopping / R.

235. Blickhan // J. Biomech. 1989. Vol. 22. P.1217 1227.

236. Bolhuis В. М. van. A comparison of models explaining muscle activation patterns for isometric contractions / van Bolhuis В. M., Gielen CCAM // Biol. Cybem.1999. Vol. 81. P. 249 261.

237. Bosboom E. M. Passive transverse mechanical properties of skeletalmuscle under in vivo compression / E. M. Bosboom, M. K. Hesselink, C. W. Oomens et al. // J. Biomech. 2001. Vol. 34(10). P. 1365- 1368.

238. Brand R. A. The sensitivity of muscle force predications to changes inphysiologic cross-sectional area / R. A. Brand, D. R. Pedersen, A. J. Friederich // J. Biomech. 1986. Vol. 19. P. 589 596.

239. Cappozzo A. A general computing method for the analysis of humanlocomotion / A. Cappozzo, T. Leo, A. Pedotti // J. Biomech. 1975. Vol. 8. P. 307-320.

240. Ceder L. Effect of strategy changes in the treatment on femoral neckfractures during a 14-year period / L. Ceder, B. Stromqvist, L. Hansson // Clin. Orthop. 1987. Vol. 218. P. 53 57.

241. Centaro Taga. A model of the neuro-musculo-skeletal system for anticipatory adjustment of human locomotion during obstacle avoidance / Centaro Taga // Biol. Cybern. 1998.Vol. 78.P. 9 17.

242. Chao E. Y. Determination of internal forces in human hand / E. Y.

243. Chao, K. N. An // J. Eng. Mech. 1978. Vol. 104. P. 255 272.

244. Chao E. Y. Graphical interpretation of the solution to the redundantproblem in biomechanics / E. Y. Chao, K. N. An // J. Biomech. Engng. 1978. Vol. 100. P. 159 167.

245. Chao E. Y. Application of optimization principles in determining theapplied moments in human leg joints during gait / E. Y. Chao, K. Rim // J. Biomech. Engng. 1973. Vol. 6. P. 497 510.

246. Chen С. Smoothing methods for convex inequalities and linear complementarity problems / C. Chen, O. L. Mangasarian // Math. Prog. 1995. Vol. 71. P. 51-69.

247. Chow С. K. Studies of human locomotion via optimal programming /

248. С. K. Chow, D. H. Jacobson // Math. Biosciences. 1971. Vol. 10. P. 239-306.

249. Collins J. J. The redundant nature of locomotors optimization laws /

250. J. J. Collins//J. Biomech. 1995. Vol. 28. P. 251 -267.

251. Conforto S. Hemodynamics as a possible internal mechanical disturbance to balance / S. Conforto, M. Schmid, V. Camomilla et al. // Gait Posture. 2001. Vol. 14(1). P. 28-35.

252. Cottle R. W. Complementary pivote theory of mathematical programming / R. W. Cottle, G. B. Dantzig // Linear Algebra and its Applications. 1968. Vol. 1 (1). P. 103 125.

253. Crowninshield R. D. A physiologically based criterion of muscleforce prediction in locomotion / R. D. Crowninshield, R. A. Brand //J. Biomech. 1981. Vol. 14. P. 793-801.

254. Crowninshield R. D. Use of optimization techniques to predict muscleforces /R. D. Crowninshield // J. Biomech. Engng. 1978. Vol. 100. P. 88 92.

255. Crowninshield R. D. A biomechanical investigation of the human hip

256. R. D. Crowninshield, R. C. Johnston, J. G. Andrews et al.// J. Biomech. 1978. Vol. 11. P. 75 85.

257. Davy D. Т. A dynamic optimization technique for predicting muscleforces in the swing phase of gait / D. T. Davy, M. L. Audu // J. Biomech. 1987. Vol. 20. P. 187-201.

258. Delp S. L. A software system to develop and analyze models of musculoskeletal structures / S. L. Delp, J. P. Loan // Computers in Biology and Medicine. 1995. Vol. 25. P. 21 34.

259. Delp S. L. A computational framework for simulating and analyzinghuman and animal movement / S. L. Delp, J. P. Loan // Computing in Science and Engineering. 2000. Vol. 2. P. 46 — 55.

260. Delp S. L. Force- and moment-generating capacity of lower-limbmuscles before and after tendon lengthening / S. L. Delp, F. E. Zajac // Clinical Orthopaedics and Related Research. 1992. Vol. 284. P. 247-259.

261. Delp S. L. An interactive graphics-based model of the lower extremity to study orthopaedic surgical procedures / S. L. Delp, J. P. Loan, M. G. Hoy et al. // IEEE Transactions Biomed. Engng. 1990. Vol. 37. P. 757-767.

262. Dennerlain J. T. Tensions of the flexor digitorum superficialis arehigher than a current model predicts / J. T. Dennerlain, E. Diao, C. D. Jr. Mote et al И J. Biomech. 1998. Vol. 31. P. 295-301.

263. Dostal W. F. A three-dimensional biomechanical model of hip musculature / W. F. Dostal, J. G. Andrews // J. Biomech. 1981. Vol. 14. P. 803-812.

264. Drenovac V. A method for the numerical integration of mechanicalsystems with unilateral constraints: study of impact in multibody systems / V. Drenovac // Mathematics and Computers in Simulation. 1987. Vol. 29. P. 413-420.

265. Duda G. N. Musculoskeletal loading and its implication for clinicalpractice: February 2000, Charite, Berlin. / G. N. Duda, N. P. Haas, G. Bergmann // J. Biomech. 2001. Vol. 34(7). P. 837.

266. Dul J. Muscle synergism II. A minimum - fatigue criterion for loadsharing between synergistic muscles / J. Dul, G. E. Johnson, R. Shiavi et al. // J. Biomech. 1984. Vol. 17. P. 675 684.

267. Dul J. Muscular Synergism! On criteria for load sharing betweensynergistic muscles / J. Dul, G.E. Johnson, R. Shiavi et al. // J. Biomech. 1984. Vol. 17. P. 663-673.

268. Dupuis D. E. Actin filament mechanics in the laser trap /

269. D. E. Dupuis, W. H. Guilford, J. Wu et al.// J. Muscle Research and Cell Motility. 1997. Vol. 18. P. 17-30.

270. Enright P. J. Optimal finite thrust spacecraft trajectories using collocation and nonlinear programming / P. J. Enright, B. A. Conway // J. Guidance Control and Dynamics. 1991. Vol. 14. P. 981 985.

271. Finni T. Muscle mechanics during human movement revealed by invivo measurements of tendon force and muscle length / T. Finni; University of Jyvaskyla. Jyvaskyla, 2001. 83 p.

272. Freund J. A dynamic model of the forearm including fatigue /J.

273. Freund, E.-P. Takala // J. Biomech. 2001. Vol. 34(5). P. 597 605.

274. Fukuda K. Criss-cross methods: A fresh view on pivot algorihms / K.

275. Fukuda, T. Terlaky // Mathematical Programming. 1997. Vol. 79. P. 369-395.

276. Ghosh Т. K. Analytic determination of an optimal human motion /

277. Т. K. Ghosh, J. Boykin // J. Optimization Theory and Applications. 1976. Vol. 19. P. 327-346.

278. Gillard D. М. Isometric muscle length tension curves do not predictangle torque curves of human wrist in continuous active movements / D. M. Gillard, S. Yakovenko, T. Cameron et al. // J. Biomech. 2000. Vol. 33(11). P. 1341 - 1348.

279. Glitsch U. The three-dimensional determination of internal loads inthe lower extremity / U. Glitsch, W. Baumann // J. Biomech. 1997. Vol. 30. P. 1123-1131.

280. Gonzales R. V. Development and evaluation of a musculoskeletalmodel of the elbow joint complex / R. V. Gonzales, E. L. Hutchins, R. E. Barr et al. // J. Biomech. Engng. 1996. Vol. 118. P. 32 40.

281. Gonzalez R. V. How muscle architecture and moment arms affectwrist flexion extension moments / R. V. Gonzalez, T. S. Buchanan, S. L. Delp // J. Biomech. 1997. Vol. 30. P. 705 - 712.

282. Gossez J.-P. Surjectivity results for pseudo monotone mappings incomplementary systems / J.-P. Gossez //J. Math. Analysis and Appl. 1976. Vol. 53. P. 484 494.

283. Gross S. A finite element analysis of hollow stemmed hip prosthesesas a means of reducing stress shielding of the femur / S. Gross, E. W. Abel // J. Biomech. 2001. Vol. 34(8). P. 995 1003.

284. Happee R. Inverse dynamics optimization including muscular dynamics, a new simulation method applied to goal directed mo-vements / R. Happee // J. Biomech. 1994. Vol. 27. P. 953 960.

285. Harding D. C. Finger joint force minimization in pianists using optimization techniques / D. C. Harding, K. D. Brandt, B.M. Hillberry //J. Biomech. 1993. Vol. 26. P. 1403 1412.

286. Hardt D. E. Determining muscle forces in the leg during human walking: an application and evaluation of optimization methods / D. E. Hardt // J. Biomech. Engng. 1978. Vol. 100. P. 72 78.

287. Hargraves С. R. Direct trajectory optimization using nonlinear programming and collocation / C. R. Hargraves, S. W. Paris // J. Guidance Control and Dynamics. 1987. Vol. 10. P. 338 342.

288. Harker P. T. Finite-dimentional variational inequality and nonlinearcomplementarity problems: a survey of theory, algorithms and applications / P.T. Harker, J.-S. Pang // Math. Programming. 1990. Vol. 48. P. 161 -220.

289. Hatze H. A complete set of control equations for the human muscleskeletal system/H. Hatze//J. Biomech. 1977. Vol. 10. P. 799 805.

290. Hatze H. An efficient simulation method for discrete value controlled large — scale neuromyoskeletal system models /Н. Hatze // J. Biomech. 2001. Vol. 34(2). P. 267 271.

291. Hatze H. Energy-optimal controls in the mammalian neuromuscularsystem/H. Hatze, J. D. Buys//Biol. Cybern. 1977. Vol. 27. P. 9-20.

292. Hatze H. The complete optimization of a human motion / H. Hatze //

293. Math. Biosciences. 1976. Vol. 28. P. 99 135.

294. Heegaard J. H. An augmented Lagrangian method for discrete largeslip contact problems / J. H. Heegaard, A. Curnier // Int. J. Num. Meth. in Engng. 1993. Vol. 36. P. 569 593.

295. Heller M. O. Musculoskeletal loading conditions at the hip duringwalking and stair climbing / M. O. Heller, G. Bergmann, G. De-uretzbacher et al. // J. Biomech. 2001. Vol. 34(7). P. 883 893.

296. Herzog W. Validation of optimization models that estimate the forcesexerted by synergistic muscles / W. Herzog, T. R. Leonard // J. Biomech. 1991. Vol. 24. P. 31 39.

297. Herzog W. Individual muscle force estimations using non linear optimal design / W. Herzog // J. Neuroscience Methods. 1987. Vol. 21. P. 167- 179.

298. Hilding D. Minimization of maximum unilateral force / D. Hilding,

299. A. Klarbring, J.-S. Pang // Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. 1999. Vol. 177. P. 215-234.

300. Hilding D. A heuristic smoothing procedure for avoiding local optimain optimization of structures subject to unilateral constraints / D. Hilding // Struct. Multidisc. Optim. 2000. Vol. 20. P. 29-36.

301. Hill A. V. The heat of shortening and the dynamics constants of muscle / A. V. Hill // Proceedings of the Royal Society, Ser. B. 1938/ Vol. 126. P. 136- 195.

302. Hof A. L. Muscle mechanics and neuromuscular control / A. L. Hof //

303. J. of Biomech. 2003. Vol. 36. P. 1031 1038.

304. Hogan N. The mechanics of multi joint posture and movement control / N. Hogan // Biol. Cybern. 1985. Vol. 52. P. 315 331.

305. Hogfors C. Structure and internal consistency of a shoulder model /

306. C. Hogfors, D. Karlsson, B. Peterson // J. Biomech. 1995. Vol. 28. P. 767-777.

307. Huxley A. F. Cross-bridge action: present views, prospects, and unknowns / A. F. Huxley //J. Biomech. 2000. Vol. 33(10). P. 11891195.

308. Isac G. Nonlinear complementarity problem and Galerkin method / G.1.ac //J. Math. Analysis and Appl. 1985. Vol. 108. P. 563 574.

309. Ito M. Contribution of trabecular and cortical components to the mechanical properties of bone and their regulating parameters / M. Ito, A. Nishida, A. Koga et al. // Bone. 2002. Vol. 31(3). P. 351 358.

310. Kaplan M. L. Predictive algorithms for neuromuscular control of human locomotion / M. L. Kaplan, J. H. Heegaard // J. Biomech. 2001. Vol. 34(8). P. 1077 1083.

311. Karamardian S. Generalized complementarity problem / S.

312. Karamardian // J. Optimization Theory and Appl. 1971. Vol. 8(3). P. 161-168.

313. Karlsson D. Towards a model for force predictions in the humanshoulder/ D. Karlsson, B. Peterson // J. Biomech. 1992. Vol. 25. P. 189- 199.

314. Kaufman K. R. Incorporation of muscle architecture into the musclelength tension relationship / K. R. Kaufman, K. N. An, E. Y. S. Chao // J. Biomech. 1989. Vol. 22. P. 943 - 948.

315. Kautz S. A. General coordination principles elucidated by forwarddynamics: Minimum fatigue does not explain muscle excitation in dynamic tasks / S. A. Kautz, R. R. Neptune, F. E. Zajac // Motor Control. 2000. Vol. 4. P. 75 80.

316. Keyak J. H. Prediction of femoral fracture load using automated finiteelement modeling / J. H. Keyak, S. A. Rossi, K. A. Jones et al. // J. Biomech. 1997. Vol. 31. P. 125 133.

317. Klarbring A. Nested approach to structural optimization in nonsmoothmechanics / A. Klarbring, M. Ronnqvist // Struct. Optim. 1995. Vol. 10. P. 78 -86.

318. Komi P. V. Stretch shortening cycle: a powerful model to studynormal and fatigued muscle / P. V. Komi // J. Biomech. 2000. Vol. 33. P. 1197- 1206.

319. Latash М. L. There is no motor redundancy in human movements.

320. There is motor abundance/ M. L. Latash //Motor Control. 2000. Vol. 4. P. 257-259.

321. Lemay M. A. A dynamic model for simulating movements of the elbow, forearm, and wrist / M. A. Lemay, P. E. Crago // J. Biomech. 1996. Vol. 29. P. 1319-1330.

322. Lemke С. E. Some pivote schemes for linear complementary problem

323. С. E. Lemke // Math. Progr. Study. 1978. Vol. 27. P. 15 35.

324. Lewis A. D. Experimental and numerical study of forces duringoblique impact / A. D. Lewis, R. J. Rogers // J. Sound and Vibrations. 1988. Vol. 125(3). P. 403-412.

325. Lloyd D. G. A model of load sharing between muscles and soft tissues at the human knee during static tasks / D. G. Lloyd, T. S. Buchanan // J. Biomech. Engng. 1996. Vol. 118. P. 367 376.

326. Lotstedt P. Mechanical systems of rigid bodies subject to unilateralconstraints / P. Lotstedt // SIAM J. Appl. Math. 1982. Vol. 41(2). P. 281 -296.

327. Mabrouk M. A unified variational model for the dynamics of perfectunilateral constraints / M. Mabrouk // European J. Mech. A. / Solids. 1998. Vol. 17(5). P. 819-848.

328. Maganaris C. N. In vivo measurement-based estimations of the moment arm in the human tibialis anterior muscle tendon unit / C. N. Maganaris //J. Biomech. 2000. Vol. 33. P. 375 - 379.

329. Maganaris C. N. Tensile properties of the in vivo human gastrocnemius tendon / C. N. Maganaris, J. P. Paul // J. Biomech. 2002. Vol. 35. P. 1639- 1646.

330. Mangasarian O. L. Equivalence of the complementarity problem to asystem of nonlinear equations / O. L. Mangasarian // SIAM J. . Appl. Math. 1976. Vol. 31(1). P. 89-92.

331. Martin J. С. A governing relationship for repetitive muscular contraction / J. C. Martin, N. A. Brown, F. C. Anderson et al. // J. Biomech. 2000. Vol. 33. P. 969 974.

332. Martins J. A. C. A numerical model of passive and active behavior ofskeletal muscles/J. A. C. Martins, E. B. Pires, L. R. Salvado et al.//Comp. Meth. Appl. Mechs. Eng. 1998. Vol. 151. P. 419^33.

333. McMahon T. A. The mechanics of running-how does stiffness couplewith speed / T. A. McMahon, G. C. Cheng // J. Biomech. 1990. Vol. 23. P. 65-78.

334. Moreau J. J. Quadratic programming in mechanics: dynamics ofone sided constraints / J. J. Moreau // SIAM J. on Control. 1966. Vol. 4(1). P. 153 - 158. http://www.math.utah. edu/~beebe

335. Muramatsu T. Mechanical properties of tendon and aponeurosis ofhuman gastrocnemius muscle in vivo/T. Muramatsu, T. Muraoka, D. Takeshita et al.//J. Appl. Physiol. 2001. Vol. 90. P. 1671-1678.

336. Mussa-Ivaldi F. A. Integrable solutions of kinematic redundancy viaimpedance control / F. A. Mussa-Ivaldi, N. Hogan // Int. J. Robot. Res. 1991. Vol. 10. P. 481-491.

337. Mussa-Ivaldi F. A. Kinematic networks: a distributed model for representing and regularization motor redundancy / F. A. Mus-sa-Ivaldi, P. Morasso, R. Zaccharia // Biol. Cybern. 1988. Vol. 60. P. 11-16.

338. Neptune R. R. Evaluation of performance criteria for simulation ofsubmaximal steady-state cycling using a forward dynamic model / R. R. Neptune, M. L. Hull // J. Biomech. Engng. 1998. Vol. 120. P. 334-340.

339. Neptune R. R. Standard mechanical energy analyses do not correlatewith muscle work in cycling / R. R. Neptune, A. J. van den Bogert // J. Biomech. 1998. Vol. 31(3). P. 239-245.

340. Neptune R. R. Optimization algorithm performance in determiningoptimal controls in human movement analyses / R. R. Neptune // J. Biomechanical Engineering. 1999. Vol. 121(2). P. 249 252.

341. Olree K. S. Fundamental patterns of bilateral muscle activity in human locomotion / K. S. Olree, C. L. Vaughan // Biol. Cybern. 1995. Vol. 73(5). P. 409-414.

342. Pandy M. G. A parameter optimization approach for the optimal control of large-scale musculoskeletal systems/M. G. Pandy, F. C. Anderson, D. G. Hull//J. Biomech. Eng. 1992. Vol. 114. P. 450460.

343. Pandy M. G. Optimal control of non-ballistic muscular movements: Aconstraint based performance criterion for rising from a chair / M. G. Pandy, B. A. Garner, F. C. Anderson // J. Biomech. Eng. 1995. Vol. 117. P. 15-26.

344. Pandy M. G. An optimal control model for maximum-height humanjumping / M. G. Pandy, F. E. Zajac, E. Sim et al. // J. Biomech. 1990. Vol. 23. P. 1185- 1198.

345. Patriarco A. G. An evaluation of the approaches of optimization models in the prediction of muscle forces during human gait / A. G. Patriarco, R. W. Mann, Simon S. R. et al. // J. Biomech. 1981. Vol. 14. P. 513-525.

346. Pedersen D. R. Pelvic muscle and acetabular contact forces duringgait / D. R. Pedersen, R. A. Brand, D. T. Davy // J. Biomech. 1997. Vol.30. P. 959-965.

347. Pedotti A. Optimization of muscle force sequencing in locomotion /

348. A. Pedotti, V. V. Krishnan, L. Stark // Math. Biosciences. 1978. Vol. 38. P. 57-76.

349. Pfeiffer F. Contacts in multibody systems / F. Pfeiffer, Ch. Glo-cker //

350. J. Appl. Math, and Mech. 2000. Vol. 64(5). P. 773 782.

351. Pfeiffer F. Multibody systems with unilateral constraints / F. Pfeiffer

352. J. Appl. Math, and Mech. 2001. Vol. 65(4). P. 665 670.

353. Piazza S. J. Three-dimensional dynamic simulation of total knee replacement motion during a step up task / S. J. Piazza, S. L. Delp //ASME J. Biomech. Engng. 2001.Vol. 123.P. 589 606.

354. Prilutsky В. I. Forces of individual cat ankle extensor muscles duringlocomotion predicted using static optimization / В. I. Pri-lutsky, W. Herzog, T. L. Allinger // J. Biomech. 1997. Vol. 30. P. 10251033.

355. Prilutsky В. I. Tendon action of two-joint muscles: transfer of mechanical energy between joints during jumping, landing, and running / В. I. Prilutsky, V. M. Zatsiorsky // J. Biomech. 1994. Vol. 27(1). P. 25-34.

356. Raasch С. C. Muscle coordination of maximum-speed pedaling /

357. С. C. Raasch, F. E. Zajac, B. Ma // J. Biomech. 1997. Vol. 30. P. 595 602.

358. Raikova R. A general approach for modelling and mathematical investigation of the human upper limb / R. Raikova // J. Biomech. 1992. Vol. 25. P. 857-867.

359. Ralston H.J. Energy-speed relation to optimal speed during levelwalking / H. J. Ralston // Int. Zeitschrift Angewandte Physiologie. 1958. Vol. 17. P. 277-283.

360. Rasmussen J. Muscle recruitment by the min/max criterion a comparative numerical study / J. Rasmussen, M. Damsgaard, M. Voigt //J. Biomech. 2001. Vol. 34 (3). P. 409-415.

361. Robertson D. G. Mechanical energy generation, absorption and transfer amongst segments during walking/ D. G. Robertson, D. A. Winter // J. Biomech. 1980. Vol. 13 (10). P. 845 854.

362. Rockafellar R. Т. Monotone operators and the proximal point algoritm / R. T. Rockafellar // SIAM J. Control and optimization. 1976. Vol. 14(5). P. 877-898.

363. Rohlmann A. A Nonlinear Finite Element Analysis of Interface Conditions in Porous Coated Hip Endoprostheses / A. Rohl-mann, E. J. Cheal, W. C. Hayes et al. // J. Biomech. 1998. Vol. 21. P. 605 -611.

364. Rohlmann A. Effects of Stem Design and Material Properties on

365. Stresses in Hip Endoprostheses / A. Rohlmann, U. MoBner,G. Bergmann et al. // J. Biomed. Engng. 1987. Vol. 9. P. 77-83.

366. Rohlmann A. Finite-Element Analysis and Experimental Investigation in a Femur with Hip Endoprosthesis / A. Rohlmann, U. MoBner, G. Bergmann et al. // J. Biomech. 1983. Vol. 16. P. 727 742.

367. Rohrle H. Joint forces in the human pelvis leg skeleton during walking / H. Rohrle, R. Scholten, C. Sigolotto et al.'// J. Biomech. 1984. Vol. 17. P. 409-424.

368. Schneider E. Loads acting in an intramedullary nail during fracturehealing in the human femur / E. Schneider, M. C. Michel, M. Genge et al. // J. Biomech. 2001. Vol. 34(7). P. 849 857.

369. Seireg A. The prediction of muscular load sharing and joint forces inthe lower extremities during walking / A. Seireg, R. J. Arvikar // J. Biomech. 1975. Vol. 8. P. 89 102.

370. Selbie W. S. A simulation study of vertical jumping from differentstarting postures / W. S. Selbie, G. E. Caldwell // J. Biomech. 1996. Vol. 29. P. 1137- 1146.

371. Simpson A. H. The response of muscle to leg lengthening /

372. A. H. Simpson, P. E. Williams, P. Kyberd et al.// J. Bone and Joint Surgery. 1995. British Volume 77. P. 630 636.

373. Spagele Т. Modelling, simulation and optimisation of a human vertical jump / T. Spagele, A. Kistner, A. Gollhofer // J. Biomech. 1999. Vol. 32. P. 521-530.

374. Stolk J. Hip-joint and abductor-muscle forces adequately represent invivo loading of a cemented total hip reconstruction / J. Stolk, N. Verdonschot, R. Huiskes // J. Biomech. 2001. Vol. 34 (7). P. 917 -926.

375. Tashman S. Modeling and simulation of paraplegic ambulation in areciprocating gait orthoses / S. Tashman, F. E. Zajac, I. Perkash // J. Biomech. Engng. 1995. Vol. 117. P. 300 308.

376. Taylor S. J. Forces and moments telemeter from two distal femoralreplacements during various activities / S. J. Taylor, P. S. Walker // J. Biomech. 2001. Vol. 34 (7). P. 839 948.

377. Waldman S. D. Dynamic contact stress and rolling resistance modelfor total knee arthroplasties / S. D. Waldman, J. T. Bryant // J. Biomech. Engng. 1997. Vol. 119. P. 254 260.

378. Walker P. S. A knee simulating machine for performance evaluationof total knee replacements / P. S. Walker, G. W. Blunn, D. R. Broome et al. //J. Biomech. 1997. Vol. 30. P. 83 89.

379. Wirtz D. C. Critical evaluation of known bone material properties torealize anisotropic FE simulation of the proximal femur / D. C. Wirtz, N. Schiffers, T. Pandorf, K. et al. // J. Biomech. 2000. Vol. 33(10). P.1325- 1330.

380. Wren T. A. L. A computational model for the adaptation of muscleand tendon length to average muscle length and minimum tendon strain / T. A. L. Wren //J. Biomech. 2003. Vol. 36. P. 1117 1124.

381. Wu G. The control of body orientation and center of mass locationunder asymmetrical loading / G. Wu, M. MacLeod // Gait Posture. 2001. Vol. 13(2). P. 95-101.

382. Yamaguchi G. Т. A computationally efficient method for solving theredundant problem in biomechanics / G. T. Yamaguchi, D. W. Mo-ran, J. Si // J. Biomech. 1995. Vol. 28(8). P. 999 1005.

383. Zajac F. E. Muscle coordination of movement: a perspective /

384. F. E. Zajac // J. Biomech.1993. Vol. 26(1). P. 109 124.

385. Zee M. Moment dependency of the series elastic stiffness in the human plantar flexors measured in vivo / M. Zee, M. Voight // J. Biomech. 2001. Vol. 34. P. 1399- 1406.