автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Разработка методов решения задач строительной механики с учетом трения и односторонних связей

На правах

разработка методов решения задач строительной механики

с учетом трения и односторонних связей

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Научный консультант: Заслуженный деятель науки и техники РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Розин Леонид Александрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Родионов Александр Александрович,

доктор технических наук, профессор Сливкер Владимир Исаевич,

доктор технических наук, профессор Харлаб Вячеслав Данилович

Ведущая организация: ОАО «Всероссийский научно-исследовательский

институт гидротехники им. Б. Е. Веденеева»

Защита состоится 16 мая 2006 г. в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.229.15 при ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» по адресу: 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29, гидрокорпус-И, ауд. 411.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке СПбГПУ

Автореферат разослан -/^апреля 2006 г.

И. о. ученого секретаря диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Одной из важнейших задач, часто встречающейся при расчете конструкций в строительстве, машиностроении, приборостроении, робототехники и других отраслях инженерной деятельности, является задача определения усилий контактного взаимодействия между деформируемыми телами или частями одного и того же тела с заранее неизвестной зоной контакта. Во многих случаях именно состояние контактной зоны является определяющим с точки зрения прочности и работоспособности сооружений и конструкций. Область строительной механики, относящаяся к задачам контактного взаимодействия деформируемых тел, одна из наиболее динамично развивающихся областей механики. Практика ставит множество новых проблем, требующих постановки новых задач и разработки методов их решения. Как правило, эффективными оказываются проблемно-ориентированные методы и алгоритмы, которые учитывают специфические особенности приложений. Несмотря на большое число работ, посвященных задачам с односторонними связями и трением Кулона, остается еще много нерешенных проблем, относящихся к строительной механике и представляющих большое значение для практики. Постановкам и разработкам методов решения некоторых из подобных задач посвящена настоящая диссертация.

Цели работы состоят в следующем: постановка задач строительной механики для продольной и изгибной деформаций балки, взаимодействующей посредством трения Кулона (при заданном предельном трении) с линейно и нелинейно-упругим винклеровским основанием; разработка методов, алгоритмов и их программная реализация для решения указанных задач; применение разработанных методов к расчету магистральных трубопроводов, трубопроводов, проходящих по дну шельфовой зоны морей или заглубленных в грунт с нелинейно-упругими характеристиками, и предназначенных для транспортировки нефти и газа; решение задач с идеальными односторонними связями на основе задачи дополнительности, алгоритма Лемке и его модификаций и трактовка этих алгоритмов в духе методов строительной механики; применение линейной задачи дополнительности и алгоритма Лемке к решению задач с заданными предельными силами трения; применение линейной задачи дополнительности и

алгоритма Лемке к решению задач одностороннего контакта с трением Кулона с использованием известного метода итераций по предельным силам трения. Научная новизна.

- Сформулированы вариационные постановки задач и разработаны методы их решения для продольной и изгибной деформации балки, взаимодействующей посредством трения Кулона с дискретными опорами (жесткими и/или упругими) или со сплошным упругим основанием винклеровского типа при заданном предельном трении;

- Разработаны методы и алгоритмы расчета балки-трубопровода, находящейся в нелинейно-упругой среде под действием заданных перемещений грунта, получены решения ряда конкретных задач и выполнен анализ как эффективности предложенных методов расчета, так и полученных результатов;

- Для задач идеального контакта упругих деформируемых тел на примере плоской задачи теории упругости показан способ дискретизации, приводящий к проблеме условной оптимизации квадратичного функционала, условия Куна— Таккера для которого приводят к линейной задаче дополнительности; разработаны варианты алгоритма Лемке для решения линейной задачи дополнительности и предложена их трактовка в форме классических методов строительной механики — метода сил, метода перемещений, смешанного метода — с привлечением понятий: «основная система», «единичные и грузовое состояния», «условие эквивалентности заданной и основной систем»;

- Для задач расчета продольной и изгибной деформации балки, взаимодействующей с упругим винклеровским основанием посредством трения Кулона, показан способ сведения проблемы безусловной минимизации выпуклого недиф-ференцируемого функционала к проблеме условной минимизации выпуклого дифференцируемого функционала, условия Куна-Таккера которого приводят к линейной задаче дополнительности стандартного вида. Разработаны соответствующие алгоритмы решения линейной задачи дополнительности; выполнено сопоставление разработанного метода и метода поточечной релаксации;

- Разработан вариант метода блочной релаксации, объединяющий в себе сильные стороны методов поточечной релаксации и решения линейной задачи дополнительности. Показано применение алгоритмов линейной задачи дополнительности к решению задач с односторонними связями и трением.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием корректных математических методов, исследованием внутренней сходимости итерационных процессов и сопоставлением решений, полученных различными способами.

Практическая значимость. Разработки и рекомендации, полученные в диссертации, имеют теоретическое и практическое значение для развития и построения численных алгоритмов расчета систем с односторонними связями и трением Кулона. Проведена серия расчетов различных заглубленных в грунт шельфовой зоны моря трубопроводов на действие движущихся ледовых образований; рассмотрены различные типы оснований (глина, песок) и их жестко-стные характеристики. Выполнен анализ полученных результатов.

Апробация работы. Основные положения и результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались на: Третьих чтениях памяти проф. М. П. Даниловского «Дальний Восток: проблемы развития архитектурно-строительного комплекса» (Хабаровск, 2000 г.); Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. (Пермь, 2001); Региональной научно-практической конференции «Дальний Восток: проблемы развития архитектурно-строительного комплекса» (Хабаровск, 2003 г.); XX и XXI международных конференциях «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2003, 2005 гг.); Третьей международной научной конференции «Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI веке» (Хабаровск, 2003); Международной конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики» (Хабаровск, 2003); VI международной конференции «Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения» (Санкт-Петербург, 2005 г.); Кафедре «Строительная механика и теория упругости» СПбГПУ (2003, 2005); Международной научно-технической конференции «Вычислительная механика деформируемого твердого тела» (Москва, 2006); Международной научной конференции ИАС ТОГУ «Новые идеи нового века» (Хабаровск, 2001, 2002,2006).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 204 наименований; изложена на 352 страницах, содержит 135 рисунков и 13 таблиц.

Автор выражает глубокую признательность заслуженному деятелю науки я техники РФ, доктору физико-математических наук, профессору Л. А. Розину га постоянное внимание к работе, ценные советы и консультации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении диссертации изложено обоснование актуальности темы, дан обзор состояния проблемы, сформулированы цели работы и приведено краткое изложение содержания по главам.

Состояние проблемы. Впервые задачу о контакте деформируемых тел как вариационную задачу с ограничениями в форме неравенств рассмотрел А. Синьорини. В дальнейшем этой проблеме было посвящено большое количество работ А. В. Вовкушевского, Р. Гловинского, Р. В. Гольдштейна, Ж. Дюво, Н. Кикуши, А. Кларбрина, А. С. Кравчука, Т. А. Ларсена, Ж.-Л. Лионса, Дж. Одена, П. Панагиотопулоса, Л. А. Розина, А. А. Спектора, Р. Тремольера, Р. П. Федоренко, Г. Фикера, А. М. Хлуднева, Б. А. Шойхета и многих др. Эти исследования служат основой построения численных методов.

При численном решении задачи контакта упругих тел сводятся к конечномерным задачам с дискретными односторонними связями. В этом смысле они приближаются к задачам строительной механики с односторонними связями. Методы решения указанных задач мало различаются, что открывает возможности их одновременного развития и переноса с одних задач на другие. В задачах строительной механики подобной проблемой занимались В. А. Баженов, В. Н. Гордеев, Е. А. Гоцуляк, О. С. Зенкевич, Т. С. Ким, Г. Н. Колесников, Г. С. Кондаков, Л. С. Ляхович, А. И. Оглобля, А. В. Перельмутер, И. М. Рабинович, В. И. Сливкер, А. Франкавилла, В. Д. Харлаб, В. Г. Яцура и многие др.

В силу разделения односторонних связей на идеальные связи и связи с трением контактные задачи условно можно разбить на два типа. К первому типу относятся задачи об идеальном контакте линейно упругих тел, допускающие переход к проблеме условной оптимизации некоторого функционала. В этом случае задача имеет решение и это решение единственно. Второй тип задач можно сформулировать в виде вариационного неравенства, но соответствующего принципа минимума нет. Исключение составляет случай известных предельных сил трения, для которого возможна постановка задачи в виде принци-

па минимума выпуклого функционала и, следовательно, построение методов решения с гарантированной сходимостью

Двойственные вариационные постановки и постановки задач в виде функционалов, аналогичных обобщенным функционалам Треффтца, позволяют резко сократить количество неизвестных дискретизованной задачи. Неизвестными в этом случае являются силы контактного взаимодействия и взаимные перемещения точек зоны отрыва, что приводит к использованию контактных матриц жесткости и податливости. В случае использования квадратичных функционалов, записанных в терминах контактных усилий или перемещений условия оптимальности Куна - Таккера для задачи условной оптимизации представляют собой так называемую линейную задачу дополнительности (ЛЗД). Для стержневых систем с идеальными односторонними связями ЛЗД можно сформировать непосредственно, не рассматривая соответствующий функционал. Следовательно, решение контактной задачи можно получить либо путем решения задачи квадратичного программирования, либо путем непосредственного решения задачи дополнительности. В работах Дж. Данцига, Р. В. Коттла, К. Е. Лемке и др. разработаны эффективные алгоритмы решения ЛЗД, которые можно трактовать как некоторые модификации симплекс-метода. Наиболее эффективный из них — алгоритм Лемке — обладает рядом преимуществ по сравнению с большинством методов квадратичного программирования.

В настоящей диссертации разрабатываются методы решения задач строительной механики с заданными предельными силами трения, с идеальными и неидеальными односторонними связями.

В первой главе работы рассматривается цикл задач, относящихся к продольной деформации многопролетной балки на дискретных жестких или линейно-упругих опорах или на сплошном линейно-упругом основании.

В п. 1.2 рассматривается задача о многопролетной балке (возникающая при расчете магистральных трубопроводов), на которую в продольном направлении по оси х действует температура и реакции в виде сил трения на опорах. Номера пролетов соответствуют номерам правых опор. Последние пронумерованы от 0 до т. Балка жестко защемлена на опоре 0 и свободно лежит на других опорах, взаимодействуя с ними по схеме односторонних связей с трением Кулона. В качестве продольного внешнего воздействия принята температура,

что не отражается на характере решения задачи при любом другом подобном внешнем воздействии.

Обозначим через: Т{ - температуру; Е1 - продольную жесткость балки, постоянные в пределах пролета /; /( — длину пролета /; /, > 0 — коэффициент трения опоры /; < 0 - поперечную реакцию этой опоры, найденную из расчета балки в поперечном направлении; а - коэффициент линейного расширения; — реакцию взаимодействия балки и опоры / (в дальнейшем будем называть реакцией трения на опоре / ); Ní - продольную силу в пролете г.

Условия трения между балкой и опорой i при простом процессе загруже-ния запишутся в виде

Получена вариационная постановка описанной задачи в форме вариационного неравенства

определенного на любых геометрически возможных перемещениях V и являющегося принципом возможных перемещений для рассматриваемой задачи с трением. Рассмотрим недифференцируемый функционал

^ -%{ТкЕк -Тк+1Е1+1 К -аТтЕтУт + ±/к \\ук\, у(0) = 0, (3)

*=1 4=1 4=1

который является выпуклым. На основании известной теоремы Лионса вариационная постановка задачи в форме неравенства (2) при м(0) = 0 эквивалентна следующей вариационной задаче:

Ли1,...,ит)= Ы У(у,,...,у„). (4)

Здесь учтено, что =<2^+ И,/Е1 = - ум)д. Функционал J представля-

ет собой полную потенциальную энергию системы, а (4) является обобщением обычного принципа минимума потенциальной энергии на случай задачи с трением. Функционал (3) недифференцируемый, поэтому для решения задачи (4) воспользуемся итерационным методом поточечной релаксации:

«с;. u?\ulv...,u'm)<J(u[+\...iu't:¡,vi, .,«;), (5)

для которого в книге Р. Гловинского и др. доказана сходимость к решению задачи. Решение неравенства (5) для нахождения м;г+1 сводится к в решению исходной задачи для двухпролетной балки с пролетами /, / +1 с трением на средней опоре когда на крайних опорах /-1 и /+1 заданы перемещения и",1 и игм. Строится точное алгоритмическое решение подобной задачи.

Сходимость метода релаксации можно ускорить, если воспользоваться приемом построения верхней (нижней) релаксации. В этом случае после определения и1 в (г + 1)-м приближении, которое обозначим окончательное его значение принимается по формуле

(6)

где \<о)<2 (0 < < 1) - параметр верхней (нижней) релаксации. В практических расчетах величину параметра, близкую к а>ор1, будем подбирать по результатам численных экспериментов.

В п. 1.3 кроме трения учитывается податливость опор в продольном направлении. Структура параграфа совпадает с таковой в п. 1.2. Закон податливости / — ой опоры принят по формуле

иС1^Р1,/К1={М,-Мн,)/К1 (7)

где К; > 0 — коэффициент жесткости опоры /. Взаимное смещение балки и опоры /, т. е. величина проскальзывания на контакте между балкой и опорой / будет

+ (8) где мс( — перемещение опоры I. На контакте между опорой I и балкой, при простом процессе загружения, должна выполняться группа условий трения Кулона типа (1) с заменой м, на Аиг

Вариационное неравенство в данном случае будет

Функционал

= ¡Екф№к-*£а(ТкЕк -ТмЕм)ук-аТтЕтут +

является выпуклым и недифференцируемым. Вариационная постановка задачи в форме неравенства (9) эквивалентна следующей вариационной задаче для функционала(10)

)■ (И)

У| г»»Ут »Чс1 •••■•Ус*

Здесь учтено, что функция и определяется своими значениями их, ..., ит. Для решения (11) используем метод поточечной релаксации

Vйr/v, (12)

где переменные с номером / в функционале 3 расположены попарно и обозначены и,, ис1 как т1 и как ст/у. Точное решение неравенства (12) для нахождения с7'+| осуществляется путем точного решения исходной задачи для двухпролетной балки с пролетами /, / +1 и трением на средней опоре, когда на крайних опорах / — 1 и / +1 заданы стД4,1 и ст'+|.

В п. 1.4 рассматривается продольная деформация балки, взаимодействующей со сплошным упругим основанием посредством трения Кулона. Решение строится в два этапа. На первом этапе выполняется дискретизация вариационных постановок задач путем разбиения балки на отдельные участки и применения квадратурных формул к соответствующим интегралам. В результате приходим к задаче о балке, взаимодействующей с дискретными упругоподат-ливыми опорами, расположенными на концах соответствующих участков. Используются методы и алгоритмы типа тех, которые предложены в п.п. 1.2, 1.3. Однако здесь приходится иметь дело с большим количеством опор и необходимостью выяснить погрешности, связанные с шагом дискретизации.

Во второй главе рассматриваются трубопроводы, проходящие в шельфо-вой зоне морей и предназначенные для транспортировки нефти и газа. При этом возникает задача об их изгибе от внешних воздействий таких, как движущиеся ледовые массы, тралы и тому подобное, что делает важной задачу изгиба балки-трубопровода, взаимодействующей с упругим основанием при наличии трения Кулона. В п. 2.1 рассматривается изгиб балки, взаимодействующей с двумя

линейно-упругими основаниями винклеровского типа, имеющими различные коэффициенты жесткости (рис. 1). С одним из них балка взаимодействует непосредственно по схеме двустороннего основания, а с другим — посредством трения Кулона. Предполагается, что балка—трубопровод расположена вдоль оси х . Изгиб балки происходит в плоскости хг. В перпендикулярной к ней плоскости ху действует заданная внешняя нагрузка ^„<0, направленная вдоль оси у и прижимающая балку к основанию.

Обозначим: Ь - длина

нии оси у основание предпо- рис ^

лагается жестким. В направлении 2 балка опирается на упругоподатливое основание с коэффициентом жесткости Кх > 0. Реакция этого основания действует на балку вдоль оси г противоположно уу и равна —Кгм>. Кроме того, между балкой и той частью основания, к которой она прижимается силой , возникают по оси г силы трения Кулона ^ с коэффициентом трения />0. Действие на эту часть упруго податливого основания, коэффициент жесткости которого обозначим Кс>0, вызывает его перемещение м'с=Р1/Кс.

На контакте между балкой и основанием при простом процессе загруже-ния должна выполняться группа условий трения Кулона подобная (1) с заменой ^ на - на ^ и и1 — на Дм>. Здесь — взаимное смещение балки и ос-

нования:

На концах 0, Ь в качестве граничных условий примем для определенности, например, и>(0) = 0, Э(0) = 0 и М(Ь) = 0, £)(Ь) = 0, где М ~ изгибающий момент, а () — перерезывающая сила в балке.

балки; Е1 - изгибная жесткость балки; — перемеще- м

ние оси балки по направлению г; р(х) — заданная внешняя нагрузка, действующая вдоль оси г. В направле-

Д-и> = м> + и»с + .

Вариационное неравенство для данной задачи имеет вид t j2... tlf .* ¿

+ (к ~Wc) + /K|(|W' +Wc|-|W + ^ 0-

0

Рассмотрим недифференцируемый функционал .2 *\2

о \ / о о о

У(н'*, IV*),

который является выпуклым. На основе известной теоремы Лионса можно заключить, что вариационная постановка задачи в виде неравенства (14) эквивалентна следующей вариационной задаче

н>(0) = (¿ш/Л)!^ = 0, = (16)

для выпуклого функционала (15), дискретизованного в терминах узловых величин или , 3*, и>*( (обозначенных или гп*) для каждой опоры / = 1,..., т.

Применим, итерационный метод поточечной релаксации «/'(щ-р1,..., яг'*1, ст(г+|, ст'+1,..., mrm)<J^{mrxJЬ\ ..., пхгт) \/ш*. (17)

Очевидно, что точное решение неравенства (17) для нахождения шг*х может быть осуществлено путем точного решения исходной задачи для двухпролет-ной балки с пролетами /, / +1 и трением на средней опоре, когда на крайних опорах заданы ет,!4,1 и ат,г+1.

В п. 2.2 рассматривается изгиб балки, взаимодействующей с нелинейно-упругим основанием при учете трения Кулона. Подобные задачи могут схематизировать работу заглубленных трубопроводов, находящихся в основании шельфовой зоны морей и предназначенных для транспортировки нефти и газа. Балка-трубопровод взаимодействует с тремя окружающими ее винклеровскими основаниями: слой 1 расположен над трубопроводом; слой г равен диаметру трубопровода и соответствует слою, в котором расположен трубопровод; слой 2 расположенный ниже трубопровода (рис. 2). Перемещения грунта в слоях 1, 2 становятся возможными только в результате их взаимодействия с

лллл!

трубопроводом посредством соответствую- ..............Дно

щих сил трения с коэффициентами ^^^^

трения /х, /2. Со слоем г балка взаимодействует непосредственно. Балка-трубопровод расположена вдоль оси х и изгибается в плоскости хг вдоль оси г. Слой 1 грунта схематизируется нелинейно-упругой пружиной АГ1с. Слой г грунта в пределах диаметра

трубопровода схематизируется нелинейно-упругой пружиной Кг. На трубопровод дей- Рис- 2

ствует нагрузка р(х). Слой 2 схематизируется нелинейно-упругой пружиной К2с.

Величины возможного взаимного проскальзывания между балкой — трубопроводом и соответственно слоями 1 и 2 будут Ди>,2 = + Ди>2г = н>2с + м>. Для каждого слоя условия трения запишутся в виде, подобном (1) с заменой и, на Дн^ или Дм>2г, - на Ри, Р2,. Жесткостные характеристики слоев принимаются в виде вогнутых функций, обеспечивающих выпуклость функционалов энергии УДиО, Ас(щс),

Пользуясь далее преобразованиями аналогичными выполненным в п. 2.1, получим следующее вариационное неравенство

I

о

О

В данном случае соответствующий функционал

(18)

является выпуклым. Эквивалентная (18) вариационная задача для дискретизо-ванного функционала (19) будет

w(0) = (dwjdx)x=0 = 0, J1(üjx,üj2,..., G7j = inf J'(gt,*, ст^,...,ет*), (20)

где ст, и tu] обозначают четверки величин wt, , wlcj, w2ci и w*, Э*, w*cI, w*2ci для каждой опоры / = 1,..., т.

Применим для решения (20) итерационный метод поточечной релаксации

J'(K\ •••» ^-V» ^Г'» "•> тЫ> Щ> тМ> тт) VCT*, (21)

для которого в нашем случае также можно построить точное решение.

Третья глава посвящена расчету заглубленных в грунт шельфовой зоны моря балок-трубопроводов на действие движущихся ледовых образований.

В п. 3.1 построены соответствующие трехслойные расчетные схемы (рис. 3). Отличие их от расчетной схемы, принятой в п. 2.2, состоит в том, что загружение балки-трубопровода является кинематическим в виде заданных перемещений грунта.

Дно

щ

01

wo

W,

02

Jf

в

S7,

Рис. 3

Обозначим ширину действия ледового образования на грунт вдоль оси х через . Предположим, что только в пределах Ьщ происходит перемещение грунта м>0 (х), действующее на трубопровод - кинематическое нагружение. Осреднен-ные положительные значения перемещений по слоям обозначим соответственно м'о,, м>0, н>02. Возможна расчетная схема в предположении, что уу02 = 0, а ^01 > ^о» Другими словами слой 1 грунта «обтекает» трубопровод, а слой 2

удерживает трубопровод за счет силы трения . Возможна также схема, когда и>01 > и' и м>02 > XV, т. е. трубопровод сверху и снизу «обтекается» грунтом. В первом случае трубопровод дополнительно изгибает предельная сила трения возникающая между трубопроводом и слоем 1. Во втором случае к

ним присоединяется предельная сила трения = со стороны слоя 2. За пределами участка кинематического воздействия длиной балка — трубопровод работает по схеме п. 2.2 при р(х) = 0, м'(х) = 0. Выбор той или иной схемы «обтекания» трубопровода грунтом зависит от вида эпюры перемещения грунта и от априорно неизвестного перемещения трубопровода -и?. В связи с этим следует отметить, что схема с «обтеканием» трубопровода слоями 1, 2 мажорирует ситуацию с запасом. Кроме того, взаимодействие балки и части грунта, происходящее без посредства трения, носит односторонний характер - грунт работает только на сжатие. Это потребовало разработки двух подходов к решению задачи.

В п. 3.2 рассматривается первый из них, представляющий собой двойной итерационный процесс. Усилия в пружине Кг перед трубопроводом обозначим

. Тогда для узла I, находящегося в пределах имеем: Р! = Ч12 - ) для н>0, - и>,. > 0; Р/ = 0 для и>0( - ^ < 0; и>0/ > 0, > 0. (22) Полные усилия, передающиеся на трубопровод в узле / на участке будут ~Ч\г (н'/) + ?! ■> где Чи ~ усилие в пружине К2 за трубопроводом. Вне зоны имеем:

при м>1 > 0 (сжатие); при и>(. < 0 (растяжение). (23)

Определение нагрузки р или Р/ основано на следующем итерационном процессе: в первом приближении полагаем м> = = 0 (абсолютно жесткий трубопровод); далее по формулам (22) определяем нагрузку р® = <7г2(™0); методом поточечной верхней релаксации строим решение задачи и^ от р®; по и^ с использованием (22), (23) находим р® (для случая №(<0 в усилие взаимодействия следует понимать как нагрузку р за пределами далее

методом поточечной верхней релаксации строим решение задачи ', находим р® и т. д.

Заметим, что р^ (к = 2,3,...) можно определять по формуле Р/ для м>ш - Ун, > 0 на всем протяжении балки. Как показали численные эксперименты, итерации быстро сходятся по норме = Р^ при ^-^о- Это

имеет место когда тах и^ < м>0.

Для схемы с обтеканием трубопровода верхним слоем итерационный процесс несколько меняется путем добавления на каждом шаге, следующим за первым, силы трения /¡1^1. При этом определяется по нагрузке р^'^

при к = 2,3,____Аналогичным образом для схемы с обтеканием слоев 1, 2 имеем

, которое определяется по нагрузке р^'^ + /2.

В п. 3.3 рассматривается второй подход, основанный на методе поточечной верхней релаксации с включением в него непосредственно заданного кинематического воздействия. В большинстве случаев этот второй подход оказался более эффективным.

Будем считать, что связи между трубопроводом и грунтом по обе стороны от трубопровода являются односторонними. Такая схема физически представляется более естественной. Следует заметить, что в рассматриваемых задачах, когда отличное от нуля и> > 0 имеет место только в пределах , односторонний эффект между трубопроводом и пружиной, находящейся за ним, может проявляться на сравнительно малых участках вне . Однако, учет этого фактора, во-первых, представляет принципиальный интерес и, во-вторых, позволяет разработать эффективный алгоритм расчета трубопровода на кинематическое воздействие н'0(х). Итак, пусть в пределах усилия, передающиеся от пружины на узел /, будут

+ приО^м^м^; ?2г(иО = 0, прим^и^. (24)

Вне Ь^ эти усилия примут вид

-Яи К ), - Ч2г ( ) = 0 при и>, > 0; (щ) = 0, д2г (иг) при < 0. (25)

На основе формул (24), (25), предлагается алгоритм решения задачи, в котором сохраняется общая схема метода поточечной релаксации. На каждом ша-

ге итерационного процесса определяются ггт'+| для двухпролетной балки с узлами / — 1, /, / + 1 и заданными ст^1, из уравнения равновесия

Параграф 3.4 содержит результаты расчетов различных заглубленных в грунт шельфовой зоны моря трубопроводов на действие движущихся ледовых образований. Рассматриваются различные виды грунтов (глина, песок) и их нелинейные жесткостные характеристики. Проведена серия расчетов различных трубопроводов и получены силы взаимодействия трубопровода с фунтом перед ним, прогибы трубопровода, изгибающие моменты и перерезывающие силы. Выполнен анализ полученных результатов.

В четвертой главе работы рассматривается идеальный контакт деформируемых тел V и V, имеющих почти параллельные границы V и V малой кривизны, разнесенные одна от другой на величину заданного зазора т]п(%), где £ - длина дуги на Ь", V (координата точки Г (/") на кривой V (£')). Величина зазора соизмерима с перемещениями точек деформируемых тел. Нормали е'п, е" к границам Ь\ V непараллельные, однако будем пренебрегать этим и считать их параллельными. В этом случае для предполагаемой области контакта классические граничные условия Синьорини не приводят к большим погрешностям. Примем на ¿" правую систему ортов е", е* и орт е" направим по внешней нормали к кривой Ь* Аналогичным образом введем систему ортов на Ь'. Условия идеального контакта на V, V запишутся в виде:

где: г{^) = —пт(и" — и') —нормальная составляющая взаимных перемещений на Ь", V; <т ", и векторы напряжений и перемещений на Ь", Ь'\ п = п" = — п\ т, = т" = —т| — векторы направляющих косинусов ортов е" = —е'я и е" = —е|; А^=А"=— А\ —матрица направляющих косинусов внешних норма-

+ ) ПРИ > ™о,> О,) = • + К ) ~ Яг* К, - ) при 0 < < и>( а'и Щ - Я 2:1 (" ) ПРИ ^ <

0/>

1. г(£) + т]п (£) > 0; 2.<хг (£ ) = т[" = 0; 3. А^' = А[о';

4.о;(£) = пгА[в' "^0; 5.[>(£) + щ(<*)>„ = 0,

(26)

лей и", п' для почти одинаковых кривых V, сгя(£), сгг(£) - нормальная и касательная составляющие сил контактного взаимодействия; символ ( ) -

означает соответственно ( ) или ( ) ; символы без индексов относятся ко всей области.

В п. 4.1 рассматривается метод сил решения задач с идеальными односторонними связями. Выпишем функционал Кастильяно , определенный на статически возможных напряжениях, удовлетворяющих уравнениям 1. Аг<т + р = О, еГ; 2.A> = gs, еБа (27)

и условиям 2, 3,4 в (26):

П2 (о) = 'ас/у + А^оаЬ + |/7„пг А т$ас1£, (28)

Г 5„ Л

где А, А^ - матрицы операций дифференцирования и направляющих косинусов пх, пу внешней нормали п к поверхности 5; Б — матрица упругости; р -вектор объемных сил; g5 - вектор заданных поверхностных сил.

Проведем аппроксимацию а, исходя из следующего представления сил контактного взаимодействия

+ (29)

(=1

где: <хп0(£), <уп1(4) - напряжения контактного взаимодействия, представляющие собой следы птАт,а0,птАтьа, функций <т0,с(. (/ = 1,1)

на Ь ; а0 - функция, равновесная с заданной нагрузкой; о, — система самоуравновешенных функций, удовлетворяющих однородным уравнениям (27); л:(. — компоненты

вектора обобщенных сил взаимодействия. Тогда а » ап + У* |ст,лг, = <тп + И • х.

Подставим последнее выражение в (28) и получим задачу квадратичного программирования (КП)

-П2(х) = 1п£[-П2(х)], (30)

где: -П2(х) = |хгАх + х7А/.,+хгц + С, Л = - матрица податливо-

сти по направлениям х, (контактная матрица податливости); Л^=Л^+ЛИ =

= £ £7в"'ст0сЛ> - | ( а£е)Г - вектор взаимных перемещений точек контактной поверхности от заданных статических и кинематических нагрузок; ц = -1 т]п ( п¿ц — вектор обобщенных зазоров по направлению х;

С = £ и^А^а^ = со/ю/ — потенциальная энергия системы в от-

сутствии контакта.

Условия Куна-Таккера для задачи КП (30) запишутся в виде: 1.г = Лх + Л/г +т|; 2.х>0; З.г>0; 4.хтг = 0, (31)

где г есть взаимное обобщенное перемещение точек контактной поверхности по направлению х. Условия 3, 4 в (31) представляют собой дискретный аналог условий 1, 5 в (26). Таким образом, задача отыскания точки максимума функционала (28), аппроксимированного в терминах контактных сил взаимодействия, свелась к ЛЗД (31).

ЛЗД (31) записана для дискретизованной по области контакта конструкции, освобожденной от всех односторонних связей, действие которых заменено усилиями х. Такую систему естественно назвать основной системой метода сил. Число к членов ряда в (29) можно понимать как степень контактной статической неопределимости дискретизованной системы.

Контактную матрицу податливости А и вектор Аг можно формировать

непосредственно, без построения о, (/ = 0, А:). Столбец А, (/ = 1, к) матрицы податливости представляет собой вектор взаимных перемещений г, возникающих в основной системе от х, = 1 при прочих Xj =0 (/ = 1, к; } * /'). Вектор АГ

есть вектор г в основной системе от заданной нагрузки. Ясно, что А положительно определена, если каждое из контактирующих тел закреплено от жесткого смещения.

Для решения ЛЗД (31) можно воспользоваться алгоритмом Лемке: 1.2 = Ах + р + А^ + я; 2. х>0; 3.2>0; 4. хт1 = 0; 5.р^0, (32)

где р имеет в данном случае смысл искусственно введенного зазора одинакового для всех контактных пар точек. На первом шаге алгоритма зазор р вводится в базис так, чтобы осуществился «момент касания» для одной из контактных пар точек. Дальнейшее выполнение алгоритма можно интерпретиро-

вать как процесс сближения деформируемых тел, сопровождаемый на каждом шаге включением/выключением односторонних связей (сменой рабочих схем). Пошаговый процесс заканчивается, если р вышел из базиса (р = 0). Следовательно, искусственно введенный зазор выбран (исчерпан), и решение расширенной задачи соответствует заданной.

Предлагается следующая модификация алгоритма Лемке для задач с параметрическим изменением части внешнего воздействия: Д8 + Аи + ц =

= рА„ + Лс, где: р - параметр изменения вектора Лу, 0 < р < 1; Лу, Лс - векторы, представляющие собой любую возможную комбинацию Лн, ц такую, что Ае + Ли + ц = Ау + Лс . Используем р как параметр расширения задачи (31):

\Л = Ах + рЛу + Лс; 2.х>0; З.г>0; 4.хгг = 0; 5.р>0. (33)

Расширенная задача (33) будет эквивалентна исходной (31) при р — 1. Значение параметра р определяется на первом шаге системой неравенств =

= рАуI + ЛС1 > 0 (/ = 1, непротиворечивой для случаев: 1) Л„ > 0, Лс - произволен; 2) Л„ - произволен, Ле > 0; 3) Л„ < 0, Лс - произволен.

Случаи 1, 2 формально соответствует алгоритму Лемке. Отличие состоит в том, что параметр р возрастает (по крайней мере, не уменьшается) при переходе к очередному шагу алгоритма. Итерационный процесс заканчивается, если р > 1. Можно поставить задачу отследить процесс деформирования конструкции во всем диапазоне 0 < р < оо. Тогда итерационный процесс заканчивается по получению лучевого решения, что соответствует неизменности последней рабочей схемы при дальнейшем увеличении р.

В случае 3 на шаге п = 1 не удается получить допустимое базисное решение: параметр р < 0 при прочих базисных переменных X, > 0. Однако последующая стандартная процедура шагов п> 2, сопровождаемая ростом параметра р, позволяет получить допустимое базисное решение. Критерии окончания вычислительного процесса такие же, как и в случае 1.

На основе выше разобранного можно построить следующие алгоритмы. Алгоритмы с параметрическим ростом силовой нагрузки (АУ = А8,

Ас = Ан + ц) позволяют отследить изменение размеров и положения зон кон-

такта/отрыва при простом загружении. Алгоритмы с параметрическим ростом кинематической нагрузки (Л„ = Аи, Ас = Ае + дают возможность отследить

изменение зоны контакта при пропорциональном росте внешнего кинематического воздействия и неизменных начальных зазорах и силовой нагрузке (в том числе и при отсутствии таковых или отсутствии одного из них). Алгоритмы с параметрическим изменением зазора (Лу = ц, Лс = Аг + Ли) и неизменных силовой и кинематической нагрузках (если они есть) полезны при рассмотрении перемещения одного из тел относительно другого. Такая ситуация возникает, например, при вспучивании (п^О) или оседании (ц>0) основания, односторонне взаимодействующего с конструкцией. Алгоритмы позволяют отследить или спрогнозировать развитие зон контакта/отрыва в этом случае.

В п. 4.2 на простых примерах показан физический смысл каждого шага предложенных алгоритмов, проведено тестирование алгоритмов на задачах, имеющих аналитическое решение, решен ряд модельных задач.

В п. 4.3 рассматривается метод перемещений решения задач с идеальными односторонними связями. Выпишем функционал Лагранжа, определенный на множестве кинематически возможных перемещений и, удовлетворяющих граничным условиям

и = и„ (34)

и условиям 1 в (26):

П,(и) = {|(Аи)гВ(Аи)Л-]игрЛ- (35)

у у

Проведем аппроксимацию и, исходя из следующего представления взаимных перемещений в области возможного контакта

гф-гюф + ЕгМ)-*,. 06)

/=1

где: 2гя0(£), (£) - взаимные перемещения точек на поверхности контакта, являющиеся следами пг(и£-ио), пг(и"-и|) функций Ыд — Цц, и*— и) (| = П~*)на Ь"; -и'0 - функция, удовлетворяющая условию 1 в (26) и (34); и'-и} - система функций, удовлетворяющих условию 1 в (26) и однородным уравнениям (34); г, — компоненты вектора обобщенных взаимных перемещений точек кон-

тактной поверхности. В общем случае удобно принимать перемещения > 0, если они не ограничиваются односторонней связью. Обозначим и0 = и^ - и^,

л

11,= и"-и' и представим искомое решение в виде: и »и0 + = и0 + Ш.

Подставим и в (35) и получим задачу КП

П,(2)= ¡пт(ж), (37)

где: = + +С; Н = |(Аи)Г0(Аи)£/у - матрица жесткости

конструкции по направлению ъ (контактная МЖ); = + + =

+ £ и^еЬ - вектор обобщенных усилий взаимодействия (по направлению г) точек контактной поверхности от заданных кинематической на и статических (в V и на Б^) нагрузок;

С — -^ | (Аи0)ГО(Аи0)сЛ>- | и\pdv- £ и^^сЬ = сою/ — потенциальная энергия

системы в отсутствии контакта.

Условия Куна-Таккера для задачи (37): 1. х = Кг + 2. х>0; З.г + п^О; 4. хт(г + ц) = 0, (38)

где х — вектор обобщенных усилий взаимодействия точек контактной поверхности по направлению г \ г\ — вектор заданных обобщенных зазоров по направлению г. Условия 2 —4 в (38) представляют собой дискретный аналог условий 1 — 5 в (26). Введем обозначение г = х + х\ и перепишем (38) в виде:

1. х = Кг + Кр; 2. х>0; З.г>0; 4.хгг = 0, (39)

где 2 — вектор с компонентами + т]1 — расстояниями между точками контактной поверхности после деформации, = - Яц = И,. +

Таким образом, задача отыскания стационарного значения функционала П,(г) свелась к ЛЗД (39). Последняя записана для дискретизованной по области контакта конструкции, в которой все односторонние связи превращены в двусторонние и перемещения г по направлению односторонних связей приняты за неизвестные. Такую систему естественно назвать основной системой метода перемещений, а число к членов ряда в (36) можно понимать как степень кинематической неопределимости дискретизованной системы.

Контактную матрицу жесткости И и вектор можно формировать непосредственно, без построения и,- (/ = 0, к). Столбец К, матрицы жесткости представляет собой вектор реакций х во введенных связях основной системы, возникающих от единичной дислокации г, = 1 при прочих Zj = О

(у = 1, к; у /). Вектор есть вектор реакций х в основной системе от заданной нагрузки.

Для решения ЛЗД (39) можно воспользоваться алгоритмом Лемке: 1.х = Кг + ре + Ир.; 2.х>0; 3.££0; хг2 = 0; (40)

где р имеет смысл искусственно введенного обжатия, приложенного в точках каждой контактной пары и сжимающего введенные связи основной системы. Величина этого обжатия одинакова для всех контактных пар. Расширенная ЛЗД (40) будет эквивалентна исходной (39) при р = 0. Последующий алгоритм минимизирует р. На первом шаге определяем величину обжатия р такую, чтобы обеспечить «момент отрыва» одного тела от другого в какой-либо контактной паре / (момент выключения связи: х1 =0) при прочих связях, остающихся обжатыми. Дальнейшее шаги алгоритма можно интерпретировать как процесс снятия искусственно введенного обжатия односторонних связей, сопровождаемый на каждом шаге сменой рабочих схем. Пошаговый процесс заканчивается, если р вышел из базиса (р = 0). Следовательно, предварительное искусственное обжатие снято, и решение расширенной задачи соответствует заданной.

Для положительно полуопределенной матрицы К возможно получение лучевого решения, которое свидетельствует о невозможности снять предварительное обжатие без получения неопределенных перемещений, что соответствует жесткому смещению одного из тел.

Предлагаются следующие алгоритмы с параметрическим изменением внешнего воздействия. Полагаем, что внешнее воздействие, характеризуемое вектором = + + И + К7, можно представить в виде = рКу + , где К„, - векторы, представляющие собой любую возможную комбинацию , , , К7 такую, что Кн ++ К^ + = Ку + Кс; р - параметр изменения вектора К„. Как и в методе сил можно построить алгоритмы с параметрическим изменением: силовой нагрузки (Ку = К^, Нс = + + И^); кинемати-

ческой нагрузки (Н„ = НИ, = + + !*„); зазора (!*„ = !*,,,

Н^^+Н^ + Н^ит. п.

В п. 4.4 на простых примерах показан физический смысл каждого шага предложенных алгоритмов, проведено тестирование алгоритмов на задачах, имеющих аналитическое решение, решен ряд модельных задач;

В п. 4.5 для дискретизованной задачи показано применение смешанного метода решения задачи идеального контакта. Область возможного контакта деформируемых тел разбивается на зону предполагаемого контакта и зону предполагаемого отрыва. В зоне предполагаемого контакта односторонние связи заменяются двусторонними. В качестве неизвестных принимаются перемещения по направлению введенных связей. В зоне предполагаемого отрыва отбрасываются односторонние связи и их действие заменяется неизвестными усилиями. В результате получается основная система смешанного метода. Уравнения равновесия и совместности деформаций для этой системы при ограничениях на знак взаимных перемещений и усилий взаимодействия и при условии дополняющей нежесткости приводят к ЛЗД. Для решения последней используются алгоритмы, аналогичные применяемым в методе сил и перемещений. Предложен вариант метода Лемке, трактуемый как алгоритм с введением либо искусственного зазора, либо искусственного обжатия. На простом примере показан физический смысл шагов этого алгоритма, решены модельные задачи.

Таким образом, последовательность расчета систем с идеальными односторонними связями совпадает с таковой при расчете статически неопределимых систем строительной механики. Сначала выбирается «основная система» метода сил (перемещений, смешанного). Затем формируется матрица податливости (жесткости, смешанных соотношений) и грузовой вектор. Далее решается система уравнений и неравенств ЛЗД. Значения параметров напряженно-деформированного состояния конструкции восстанавливаются по найденным из решения ЛЗД значениям взаимных перемещений и усилий взаимодействия односторонних связей.

В пятой главе работы рассматривается ЛЗД в применении к расчету линейно деформируемых систем с трением. При известных предельных силах трения показан способ сведения проблемы безусловной минимизации выпуклых недифференцируемых квадратичных функционалов (4), (11), (16) к задаче

для выпуклых дифференцируемых функционалов, но с минимизацией при дополнительных условиях. Условия Куна-Таккера такого функционала приводят к линейной задаче дополнительности стандартного вида.

В п. 5.1 рассмотрена продольная деформация многопролетных балок, взаимодействующих посредством трения Кулона с дискретными жесткими или линейно-упругими опорами или линейно-упругим сплошным основанием Винклера. Разберем случай жестких опор. Представим перемещения опорных сечений м# (/ = 1, т) в виде разности

м(. =и+-и7 (41)

неотрицательных величин > 0, > 0, таких, что

и1и~= 0. (42)

Тогда

|и,| = и*+и;. (43)

Условия трения 1 в (1) можно записать в виде

1.^+^-/^=0, 2. Г* > 0; з.г^/^+г; =0, 4. г; > 0. (44) Из равенств 1, 3 в (44), получим зависимости:

= 2/А; (45)

Для введенных переменных и,+ , и~, Г*, можно показать, что условия

о, «,,-/£- =о (46)

эквивалентны условиям трения (1).

Подставим (41), (43) в (3) и получим задачу условной минимизации У(и,+,иГ,...,м;,0= ^ ¡"С П( , (47)

V, ао.у, V, =0 (|=1, т)

эквивалентную (4). Условия Куна-Таккера для задачи (47) приводят к ЛЗД:

г*1 га -а1г.-ц гт1ы

$¡1 1-А АЛ«"1 1~гт] Ы (48)

2. ¥* > 0, Ц; >0; 3. и+ > 0, и" £ 0; 4. и+гР; = 0, и г¥~ = 0

при дополнительном ограничении (42). Показано, что для решения задачи (48) можно воспользоваться аналогом алгоритма с искусственно введенным обжатием метода перемещений, используя условие (42) наряду с условиями 4 в (48) для выбора ведущей строки.

Формирование системы уравнений 1 в (48) осуществляется следующим образом. Сначала выбирается «основная система» превращением связей трения в абсолютно жесткие связи. В качестве неизвестных принимаются перемещения по направлению введенных связей. Вектор гт имеет своими компонентами реакции во введенных связях основной системы от заданной температурной нагрузки. Матрица А — контактная матрица жесткости основной системы по направлению введенных связей. Вектор гг имеет своими компонентами предельные силы трения. После решения ЛЗД реакции трения и перемещения опорных сечений определяются по формулам (45), (41).

Для случаев упругих опор неизвестными являются реакции трения и взаимные перемещения. Условия Куна-Таккера приводят к ЛЗД, подобной (48). Столбец / матрицы А определяется как вектор реакций во введенных связях основной системы от единичной дислокации в связи /.

Для дискретизованной задачи алгоритм с искусственно введенным обжатием приводит к точному решению, поскольку в пределах каждого шага система линейна и решение получается точным. Недостаток перехода от негладкой задачи к гладкой состоит в увеличении размерности задачи вдвое.

В п. 5.2 рассматривается изгиб балки, взаимодействующей посредством трения с линейно-упругим сплошным основанием Винклера. Структура п. 5.1 и 5.2 совпадают, за исключением того, что для получения ЛЗД стандартного вида в системе уравнений задачи Куна—Таккера проводится конденсация контактных степеней свободы — прогибов балки по концам участков. Отметим, что при малом количестве участков (т <100) алгоритм Лемке оказался эффективнее метода поточечной верхней релаксации по расходу машинного времени.

В п. 5.3 для балок на жестких опорах и линейно деформируемых основаниях разработана комбинация методов поточечной верхней релаксации (ПВР) и алгоритма Лемке для ЛЗД (ЛЗД+АЛ) с целью использовать сильные стороны каждого из методов. А именно: эффективность ЛЗД+АЛ при малом количестве участков и малые требования к объему машинной памяти метода ПВР при практически любом количестве участков. Эта комбинация представляет собой вариант метода блочной верхней релаксации (БВР), когда на каждом шаге итерационного процесса минимизируется функционал не при одном значении /, а при нескольких значениях /:

J (их ,...,, ,• • М/+и,И/+п+|,• • •>Чя) — <1 (и1 »• • •»»Уг-п»' * У|+п'Ч+л+1'• • •»Чп)• (49)

Размер блока в (49) равен 2п +1 и принимается достаточно малым. Для решения задачи (49) на каждом шаге итерации г +1 применяется ЛЗД+АЛ. Количество шагов на итерации теперь меньше т и определяется соотношением числа участков т и размерами блока 2п +1.

По результатам численных экспериментов можно сделать вывод об определенном преимуществе предлагаемого варианта БВР перед методом ПВР для большеразмерных задач, как по времени счета, так и по чувствительности скорости сходимости итерационного процесса к величине параметра релаксации. ЛЗД+АЛ для большеразмерных задач явно уступает в эффективности в сравнении с методами поточечной и блочной верхней релаксации.

В п. 5.4 рассматривается контактная задача с трением в случае плоской задачи теории упругости. Полагается, что предельные силы трения неизвестны. Показано применение разработанных в п.п. 4.2, 5.1 алгоритмов ЛЗД для решения задач идеального контакта и контакта с трением.

Используется известный эвристический алгоритм итераций по предельным силам трения: на первом шаге предполагается, что ет® = О на V, V. Решая задачу (39) об идеальном одностороннем контакте, получаем на V, Ь" нормальные контактные напряжения сг^; на втором шаге решаем задачу с трением (48) при известных предельных силах трения /а^ и получаем тангенциальные контактные напряжения о®; на третьем шаге снова решаем задачу об идеальном одностороннем контакте, добавляя к существующей нагрузке тангенциальные контактные напряжения о®, полученные на предыдущем шаге; в результате имеем нормальные контактные напряжения <т®\ итерационный процесс продолжается до тех пор, пока разности и сг^41^ — не

станут достаточно малыми.

Таким образом, на нечетных шагах, где решается задача идеального одностороннего контакта, определяются размеры и положение зон контакта и отрыва; на четных шагах (где решается задача с известными предельными силами трения) для зоны контакта определяются размеры и положение зон сцепления и скольжения. С использованием данного алгоритма решен ряд модельных задач.

В заключении диссертации кратко сформулированы основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные результаты и выводы, полученные в диссертационной работе, состоят в следующем:

1. Сформулированы вариационные постановки задач для продольной деформации многопролетной балки, взаимодействующей посредством трения Кулона с жестким и упругими дискретными опорами при заданном предельном трении. Задача сводится к минимизации выпуклых и недифференцируемых функционалов энергии.

2. Разработана схема метода поточечной верхней релаксации для решения задач, указанных в п. 1. Итерационный процесс поточечной верхней релаксации на каждом шаге сводится к необходимости решения соответствующих вариационных неравенств. Методами строительной механики последовательно строится точное решение этих неравенств. Решен ряд модельных задач. Проделан анализ процесса решения, компьютерной реализации метода, точности результатов и т. п. Большое внимание уделяется выбору оптимального коэффициента верхней релаксации и зависимости его от параметров задачи.

3. Разработан метод расчета продольной деформации балки, взаимодействующей со сплошным основанием посредством трения Кулона при заданном предельном трении. Метод состоит из двух этапов. На первом этапе производится дискретизация задачи, которая приводит исходную задачу к балке на дискретных опорах, расположенных на концах участков дискретизации. Здесь возникают дополнительные проблемы точности дискретизации и применения метода поточечной верхней релаксации при большом числе опор. Решен ряд модельных задач и выявлено влияние различных факторов на точность и эффективность применяемых подходов.

4. Разработан метод расчета изгиба балки, взаимодействующей с двумя сплошными упругими основаниями винклеровского типа. С одним основанием балка контактирует непосредственно, а с другим — посредством силы трения Кулона. Эти винклеровские основания предполагаются линейно упругими. Коэффициент жесткости основания может меняться вдоль оси балки. Предлагаемая схема может быть использована при расчете трубопроводов. Разработаны

методы дискретизации и поточечной верхней релаксации для решения подобных задач. Решены примеры, позволяющие судить об эффективности метода и характере получаемых результатов.

5. Поставлена задача и разработан метод расчета балки—трубопровода, заглубленного в грунт с нелинейно-упругими характеристиками. Схема состоит из трех сплошных нелинейно-упругих винклеровских оснований. С одним из них балка контактирует непосредственно, а с двумя другими - посредством трения Кулона. Разработана схема дискретизации метода верхней релаксации. Нелинейно-упругие характеристики оснований предполагаются вогнутыми функциями с тем, чтобы их упругие энергии были выпуклыми функционалами. Разработан алгоритм решения соответствующих нелинейных задач, составляющих этапы метода поточечной верхней релаксации. Решен ряд конкретных задач и выполнен анализ полученных результатов и схем их получения. Разработанные алгоритмы в общем случае могут служить для расчета балок на нелинейно-упругих винклеровских основаниях.

6. Поставлена задача расчета балок-трубопроводов, заглубленных в грунт и предназначенных для транспортировки нефти и газа. В качестве внешнего воздействия рассматриваются движущиеся ледовые образования, взаимодействующие с грунтом, в который заглублены трубопроводы. Здесь в качестве воздействия на балки—трубопроводы фигурирует заданное перемещение грунта. Предложены два метода решения подобной задачи. Первый из них состоит из внешних итераций и внутренних итераций. Внешние итерации позволяют определить нагрузку на грунт, отвечающую заданным смещениям фунта. При этом предполагается, что связь между трубопроводом и фунтом, находящимся перед ним, является односторонней. Внутренними итерациями является поточечная верхняя релаксация. Второй метод основан только на методе поточечной релаксации с включением в него заданного перемещения фунта. В ряде случаев этот второй метод оказался более эффективным.

7. Выполнены расчеты трубопроводов, взаимодействующих с различными фунтами. Рассматривались различные исходные параметры задач о взаимодействии трубопровода с движущимся ледовым образованием, приводятся полученные результаты и выполнен их анализ.

8. Для задач идеального контакта упругих деформируемых тел на примере плоской задачи теории упругости показан способ дискретизации, приводящий к проблеме условной оптимизации квадратичного функционала, условия Куна-Таккера для которого приводят к линейной задаче дополнительности.

9. Разработаны варианты алгоритма Лемке для решения линейной задачи дополнительности и предложена их трактовка в форме классических методов строительной механики — метода сил, метода перемещений, смешанного метода — с привлечением понятий: «основная система», «единичные и грузовое состояния», «условие эквивалентности заданной и основной систем».

10. На простых примерах показан физический смысл каждого шага предложенных алгоритмов, проведено тестирование алгоритмов на задачах, имеющих аналитическое решение, решен ряд модельных задач.

11. Для задач расчета продольной и изгибной деформации балки, взаимодействующей с жесткими и линейно упругими дискретными опорами или упругим винклеровским основанием посредством трения Кулона, показан способ сведения проблемы безусловной минимизации выпуклого недифференцируе-мого функционала к проблеме условной минимизации выпуклого дифференцируемого функционала, условия Куна-Таккера которого приводят к линейной задаче дополнительности стандартного вида.

12. Разработаны соответствующие алгоритмы решения линейной задачи дополнительности, показан их физический смысл в терминах метода перемещений строительной механики; проведено сравнение результатов решений указанными алгоритмами с результатами решений методом поточечной верхней релаксации, свидетельствующее о практически полном их совпадении.

13. Разработан вариант метода блочной релаксации, объединяющий в себе сильные стороны методов поточечной верхней релаксации и решения линейной задачи дополнительности; проведен сравнительный анализ этих трех методов и определены области эффективного применения каждого из них.

14. Рассмотрено применение известного алгоритма итераций по предельным силам трения к решению контактных задач, когда предельные силы трения заранее неизвестны. Разработанные алгоритмы ЛЗД применяются последовательно для определения зон контакта/отрыва и зон проскальзывания/сцепления в зоне контакта.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. РозинЛ. А., Ловцов А. Д., Смирнов М. С. Расчет магистральных трубопроводов при действии температуры и трения на опорах // Изв. вузов. Строительство. —

2003. — № II.-С. 15-20.

2. РозинЛ. А., Ловцов А. Д, Смирнов М. С. Продольная деформация многопролетной балки с трением и податливостью опор // Изв. вузов. Строительство. —

2004.-№8.-С. 17-22.

3. РозинЛ. А., Ловцов А. Д. Изгиб балки, взаимодействующей с упругим основанием при наличии трения Кулона // Изв. вузов. Строительство. - 2005. - № 7. -С. 22-31.

4. Ловцов А. Д. Алгоритмы расчета систем с односторонними связями методом сил // Научно-технические ведомости СПбГТУ. - 2003. - № 3. - С. 186 - 192.

5. Ловцов А. Д. Алгоритмы метода перемещений для расчета систем с односторонними связями // Научно-технические ведомости СПбГТУ. — 2004. — № 2. -С. 220 - 227.

6 .РозинЛ. А., Ловцов А. Д.) Смирнов М. С. Продольная деформация балки, взаимодействующей с упругоподатливым основанием посредством трения // Научно-технические ведомости СПбГТУ. -2005. -№ 1.-С. 145- 153.

7. Розин Л. А., Ловцов А. Д. Изгиб балки-трубопровода, взаимодействующей с нелинейно-упругим основанием при действии трения Кулона // Научно-технические ведомости СПбГТУ. - 2005. - № 3. - С. 132 - 142

8. Ловцов А. Д. Применение алгоритма Лемке к задаче изгиба балки, взаимодействующей с упругим основанием посредством трения Кулона // Вестник гражданских инженеров. - 2006. - № 5. - С. 19 - 26.

9. Леонов С. В., Авдеев А. И., Ловцов А. Д. Способ определения в судебной медицине однократности травмирующего воздействия по перелому кости // Патент на изобретение №2194443. Зарегистрирован в Государственном реестре изобретений Российской Федерации г. Москва, 20 декабря 2002 г.

10. Ловцов А. Д. Метод перемещений расчета систем с односторонними связями как задача дополнительности // Фундаментальные и прикладные вопросы механики: Сборник докладов международной конференции / Под ред. К. А. Чехонина. - Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 2003. - Т. 2. - С. 314 - 325.

11. JJoeifoe А. Д., Долгачев M. В. Метод перемещений расчета пластин на одностороннем основании // Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI веке: Труды Третьей Межд. научной конф. творч. молодежи. -Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2003. - С. 72-76.

12 .Ловцов А. Д. Линейная задача дополнительности в применении к расчету многопролетных балок с трением на жестких опорах // Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения: Труды VI Междунар. конф. - Спб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2005.-С. 282-291.

13. Ловцов А. Д. Модернизация метода блочной релаксации на основе алгоритма Лемке для расчета деформируемых систем с трением // Вычислительная механика деформируемого твердого тела: Труды Междунар. научно-техн. конф. — М.: Изд-во МГСУ, 2006. - Т. - С. Z6$

14. Ловцов А. Д. Линейная задача дополнительности в применении к расчету многопролетных балок с трением на упругих опорах // Новые идеи нового века 2006 : материалы шестой международной научной конференции ИАС ТОГУ. The New Ideas Of The New Century 2006: The Sixth International Scientific Conference Proceedings of the IACE PNU. / Тихоокеанский государственный университет. - Хабаровск: Изд-во Тихоокеанского гос. ун- та, 2006. - С. 110-114.

15. Ловцов А. Д. Частный случай продольной деформации балки, взаимодействующей с упругим основанием посредством трения Кулона // Новые идеи нового века 2006 : материалы шестой международной научной конференции ИАС ТОГУ. The New Ideas Of The New Century 2006: The Sixth International Scientific Conference Proceedings of the IACE PNU. / Тихоокеанский государственный университет. — Хабаровск: Изд-во Тихоокеанского гос. ун- та, 2006. — С. 115119.

16. Ловцов А. Д. Алгоритмы расчета конструкций с переменными связями // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: Аннотации докладов. - Екатеринбург: УрО РАН, 2001. - С. 401-402.

17. Ловцов А. Д. Алгоритмы линейной задачи дополнительности в применении к расчету систем с односторонними связями // Тез. докл. XX Междунар. конф. «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Метод граничных и конечных элементов», 24 — 26 сент. 2003 г. Спб., С. 128 — 129.

18. Розин Jl. А., Ловцов А. Д. Взаимодействие деформируемых систем с нелинейно-упругой средой при наличии трения Кулона // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. Тезисы докладов XXI международной конференции. 4 — 7 октября 2005 г. — СПб: ВВМ, 2005. С. 164 - 165.

19. Ким Т. С., Ловцов А. Д. Многослойные конструкции как системы с переменными связями // Сборник научных трудов «Современные проблемы машиностроительного комплекса». Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 1998. с. 35-38.

20. Ким Т. С., Ловцов А. Д. Расчет многослойных конструкций с односторонним взаимодействием слоев как плоская задача теории упругости // Дальний Восток: проблемы развития архитектурно-строительного комплекса: Третьи чтения памяти профессора М. П. Даниловского / Хабар, гос. техн. ун-т. - Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 2000. Вып. 3. - С. 203 - 210.

21. Ловцов А. Д., Медведева А. С. Алгоритм смешанного метода расчета задач одностороннего контакта упругих тел // Новые идеи нового века: Международная научная конференция аспирантов и студентов ИАС ХГТУ. New Ideas of the New Century: The International Scientific Students of the IACE KSUT. / Хабар, гос. техн. ун-т. — Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 2001. — С. 42-47.

22 .Ловцов А. Д. Балка на одностороннем основании Винклера, загруженная равномерно распределенной нагрузкой // Сборник научных трудов «Строительная механика и механика материалов». Выпуск 2; Хаб. гос. техн. ун-т. - Хабаровск 2002. - С. 27-48. - Библ. 1 назв. (Рукопись деп. 30.09.2002 в ВИНИТИ, № 1650-В2002)

23. Ловцов А. Д., Долгачев М. В. К расчету пластин на одностороннем основании Винклера методом перемещений // Новые идеи нового века: Международная научная конференция аспирантов и студентов ИАС ХГТУ. New Ideas of the New Century: The International Scientific Students of the IACE KSUT. / Хабар, гос. техн. ун-т. - Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 2002. - С. 16 - 19.

24. Ловцов А. Д., Долгачев М. В. Расчет пластин на жестких односторонних опорах методом перемещений с введением искусственного предварительного напряжения нагрузкой И Сборник научных трудов «Строительная механика и ме-

ханика материалов». Выпуск 2; Хаб. гос. техн. ун-т. — Хабаровск 2002. — С. 4966. (Рукопись деп. 30.09.2002 в ВИНИТИ, № 1650-В2002)

25. Ловцов А. Д., Долгачев М. В. Расчет пластин на дискретных односторонних опорах И Дальний Восток: проблемы развития архитектурно-строительного комплекса: Материалы региональной научно-практической конференции. -Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 2003. - С. 210-216.

26.ЛовцовА.Д. Смешанный метод решения задач одностороннего контакта упругих тел // В сб.: «Строительная механика и механика материалов». Выпуск 3 / Хаб. гос. техн. ун-т. - Хабаровск, 2003. - С. 43 - 51: ил. - Библиогр.: 5 назв. - Рус. Деп. в ВИНИТИ 29.07.04. №1325 - В2004.

27. Ловцов А. Д., Долгачев М. В. Расчет пластин на одностороннем основании Винклера методом перемещений// Сборник научных трудов «Строительная механика и механика материалов». Выпуск 3; Хаб. гос. техн. ун-т. - Хабаровск 2003. - С. 52-59. (Рукопись деп. 29.07.2004 в ВИНИТИ, № 1325 - В2004)

28. Ловцов А. Д. К продольной деформации балки, взаимодействующей с жестким основанием посредством трения Кулона // Совершенствование методов расчета строительных конструкций, зданий и сооружений: сб. науч. тр.— Хабарове: Изд - во Хабар, гос. техн. ут - та, 2005. Вып. 4. С. 85 - 90.

29.ДойхенЮ. М., Ким Т. С., Ловцов А. Д. ТенЕн Со. Расчет конструкций, контактирующих с упругим основанием: Учеб. пособие. — Хабаровск: Изд-во Хабар. гос. техн. ун-та, 2001. — 203 с.

30. Ловцов А. Д., Долгачев М. В. Расчет пластинчатых систем на дискретных односторонних опорах // Программный комплекс для 1ВМ РС 486: Зарегистрирован ВНТИЦ 27.06.2003 г. -№ А/113 №0203023180306.

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97

Подписано в печать 07.04.2006. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100. Заказ 451Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: 550-40-14

Тел./факс: 297-57-76

\

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРОДОЛЬНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ БАЛКИ,

ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С ДИСКРЕТНЫМИ ОПОРАМИ И СПЛОШНЫМ ОСНОВАНИЕМ ПРИ ПОМОЩИ ТРЕНИЯ КУЛОНА

1.1.0 минимизации выпуклых и недифференцируемых функционалов в задачах строительной механики.

1.2. Продольная деформация многопролетной балки, взаимодействующей с жесткими дискретными опорами посредством трения.

1.3. Продольная деформация многопролетной балки, взаимодействующей с упругими дискретными опорами посредством трения.

1.4. Продольная деформация балки, взаимодействующей со сплошным упругим основанием посредством трения.

ГЛАВА 2. ИЗГИБ БАЛКИ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С УПРУГИМ

ОСНОВАНИЕМ ПОСРЕДСТВОМ ТРЕНИЯ КУЛОНА.

2.1. Изгиб балки, взаимодействующей с линейно-упругим основанием посредством трения.

2.2. Изгиб балки, взаимодействующей с нелинейно-упругим основанием посредством трения.

ГЛАВА 3. ДЕЙСТВИЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЛЕДОВЫХ ОБРАЗОВАНИЙ В ШЕЛЬФОВОЙ ЗОНЕ МОРЯ НА ЗАГЛУБЛЕННЫЙ В ГРУНТ ТРУБОПРОВОД.

3.1. Общая расчетная схема. Варианты движения грунта относительно трубопровода и их воздействия на трубопровод.

3.2. Метод расчета трубопровода при помощи итераций по нагрузке с использованием метода поточечной релаксации на каждом ее шаге.

3.3. Процесс итераций, основанный непосредственно на методе поточечной релаксации с включением в него кинематического воздействия.

3.4. Результаты расчетов трубопроводов.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ В ПРИМЕНЕНИИ К РАСЧЕТУ УПРУГИХ СИСТЕМ С ИДЕАЛЬНЫМИ ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ И ТРАКТОВКА МЕТОДОВ ЕЕ РЕШЕНИЯ В ФОРМЕ МЕТОДОВ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ.

4.1. Метод сил.

4.2. Примеры расчета систем с идеальными односторонними связями методом сил.

4.3. Метод перемещений.

4.4. Примеры расчета систем с идеальными односторонними связями методом перемещений.

4.5. Смешанный метод.

ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ В ПРИМЕНЕНИИ К РАСЧЕТУ СИСТЕМ С ТРЕНИЕМ.

5.1. Продольная деформация многопролетных балок, взаимодействующим посредством трения с дискретным или сплошным основанием.

5.2. Изгиб многопролетных балок, взаимодействующих с упругим основанием посредством трения Кулона.

5.3. Модернизация метода блочной релаксации на основе алгоритма Лемке для расчета продольной деформации балок, взаимодействующих посредством трения с дискретными жесткими опорами.

5.4. Применение алгоритма Лемке к решению задач с односторонними связями и трением Кулона.

Одной из важнейших задач, часто встречающейся при расчете конструкций в строительстве, машиностроении, приборостроении, робототехники и других отраслях инженерной деятельности, является задача определения усилий контактного взаимодействия между деформируемыми телами или частями одного и того же тела с заранее неизвестной зоной контакта. Во многих случаях именно состояние контактной зоны является определяющим с точки зрения прочности и работоспособности сооружений и конструкций.

Основное свойство связей, действующих в зоне предполагаемого контакта, состоит в способности препятствовать взаимным перемещениям тел в одном направлении и не удерживать их в другом направлении (работать только в одну сторону). Поэтому такие связи называются «односторонними». Существуют различные схемы односторонних связей. Наиболее распространенными из них являются схемы с идеальными связями без трения и связи с учетом трения Кулона. При моделировании односторонних связей условия, налагаемые на перемещения и усилия в конструкциях, выражаются неравенствами. Особенностью таких задач является то, что размеры и положение зон контакта и отрыва заранее неизвестны. При учете трения, кроме того, неизвестными оказываются размеры и положение зон проскальзывания и сцепления в пределах зоны контакта. Для некоторых задач существует область, в которой контактирующие тела касаются один другого, однако силы взаимодействия равны нулю. Таким образом, так называемая «точка касания», где взаимные перемещения и силы взаимодействия равны нулю, для этих задач может представлять собой «зону касания». Такая ситуация характерна для отдельных случаев взаимодействия балок и изгибаемых пластин с жестким основанием. Зона контакта при этом стягивается в точку или представляет собой некоторую кривую. Данная особенность обусловлена моделями балок и пластин, построенными на гипотезах плоских сечений и прямых нормалей.

Широко распространенными системами с односторонними связями в строительстве, например, являются гибкие балки, плиты и оболочки на упругом основании, массивные бетонные сооружения с технологическими швами и т. п. Трещины, возникшие в период работы сооружения, также предполагают схематизацию взаимодействия отдельных частей этого сооружения посредством односторонних связей. Эти явления оказывают большое влияние на напряженное состояние сооружений, их прочность и надежность

Контактная задача предполагает взаимодействие как минимум двух тел, представляющих собой элементы одной конструкции. Следовательно, появляется проблема моделирования каждого из тел, находящихся в контактном взаимодействии, и проблема моделирования собственно контактного взаимодействия, объединяющего модели элементов конструкции в состав единой модели. Поэтому проблема решения задач контактного взаимодействия отличается большой сложностью в силу как неограниченного разнообразия сочетаний типов конструкций (находящихся в контактном взаимодействии), так и условий их контактного взаимодействия. Главная математическая трудность состоит именно в условиях контакта, которые выражаются в негладких многозначных соотношениях сила-перемещение или сила-скорость, описывающих физическую невозможность появления растягивающих контактных усилий и взаимопроникновения тел. Это делает задачу нелинейной, и такого рода задачи называются конструктивно нелинейными. Число публикаций в этой области огромно и продолжает стремительно увеличиваться. О современном состоянии вопроса в нашей стране можно судить по сборнику свежих обзоров как постановок различных контактных задач, так и аналитических, численно-аналитических и численных методов их решения [2]. О размахе исследований в контактной механике как у нас в стране, так и зарубежом можно составить представление по обширному (693 наименования) обзору [15]. В этом обзоре представлены контактные алгоритмы, являющиеся частью численных методов решения задач механики сплошной среды и отвечающие за определение, прослеживание и расчет контактных, межфазных и подвижных свободных границ.

Область приложения контактных постановок задач и соответствующих алгоритмов непрерывно расширяется [15]. Известны применения контактных алгоритмов для мультипликации [15], для задач биомеханики скелетно-мышечных систем [54, 55], для нужд судмедэкспертизы [68] и т. п. В обзорах [103, 105] рассматриваются многообразные задачи, расчетную схему которых можно представить системами с односторонними связями, и указывается на необходимость дальнейшего развития и совершенствования методов расчета таких задач.

Исследования контактных задач имеют давнюю историю. Первые аналитические решения пространственных контактных задач теории упругости были получены Я. Буссинеском в 1885 году для давления абсолютно твердого штампа, имеющего круглую форму основания, на упругое полупространство и Г. Герцем в 1895 году - для контакта двух упругих тел с криволинейными поверхностями [2]. Расчету упругих систем с односторонними связями аналитическими и численно-аналитическими методами посвящено множество работ. Достаточно полное описание существующих аналитических решений можно найти в книгах [28, 38,137].

Впервые задачу о контакте деформируемых тел как вариационную задачу с ограничениями в форме неравенств рассмотрел А. Синьорини в 1933 г. Вторично и с большей полнотой А. Синьорини изложил свои результаты в 1959 г. [59]. Результаты Синьорини были обобщены в различных направлениях в ряде работ Ж.-Л. Лионса, Ж. Дюво [40], Г. Фикера, Г. Леви (обзор этих работ и результатов дан в книге Г. Фикера [128]), Главачека И. и др. [31], П. Панагиото-пулоса [96] и др. Эти исследования служат теоретической основой построения численных методов. Среди работ о контакте деформируемых тел отметим, во-первых, работы по конструированию различных функционалов [44, 45, 60, 62, 111, 125, 126, 146, 166, 184, 197] или применению теории двойственности [24 -26, 33, 125], ориентированных на вычислительную эффективность создаваемых алгоритмов (функционалы в терминах контактных перемещений и усилий и алгоритмы такого же плана); во-вторых - работы, обобщающие существующие методики на конкретные классы конструкций [90, 132- 134]. Двойственные вариационные постановки и постановки задач в виде функционалов, аналогичных обобщенным функционалам Треффтца, позволяют резко сократить количество неизвестных дискретизованной задачи. По сути, неизвестными в этом случае являются силы контактного взаимодействия и взаимные перемещения точек зоны отрыва. Алгоритмически такой подход приводит к использованию контактных матриц жесткости, податливости (в зависимости от используемого вариационного принципа). Использование контактных матриц в разнообразных задачах контакта деформируемых тел показано, например, в [11, 12, 41, 146, 197].

Из-за сложности задач аналитические решения удается получить только для узкого круга простых одномерных контактных задач. Таковы задачи одностороннего взаимодействия балки с линейно упругим винклеровским основанием [124, 39, 74]; осесимметричные задачи взаимодействия круглой пластинки с жестким основанием или штампом [6]; простейшие задачи контакта с трением [26, 155]. Однако эти задачи, с одной стороны, помогают уяснить суть рассматриваемого явления; с другой стороны - могут послужить в качестве тестов при разработке программ, реализующих более общие алгоритмы. Отметим, что в [92] получено аналитическое решение для сложной задачи идеального контакта слоистых сред.

В силу разделения односторонних связей на идеальные связи и связи с трением контактные задачи условно можно разделить на два класса (типа), различающиеся математическим аппаратом их исследования.

К первому типу относятся задачи о контакте линейно упругих тел без трения, являющиеся консервативными задачами и допускающие переход к проблеме разыскания стационарной точки некоторого функционала [20, 23, 26, 27, 58, 96, 111]. Вариационные принципы для таких задач можно считать обобщениями вариационных принципов линейных задач с обычными двусторонними связями. Отличие вариационных постановок задач первого типа от классических (не контактных) заключается в необходимости удовлетворения дополнительным ограничениям на допустимые функции, имеющим форму неравенств. Известное условие положительной определенности потенциальной энергии деформации обеспечивает и здесь единственность решения и его существование. Как хорошо известно из нелинейного программирования [8, 16, 29, 32, 42, 91, 96, 106, 110, 129, 131, 135], задача минимизации выпуклого функционала при некоторых дополнительных ограничениях на гладкость границы области имеет решение и это решение единственно.

Второй тип - это неконсервативные задачи, приводимые к вариационным неравенствам. Здесь, как правило, приходится исследовать процесс изменения НДС контактирующих тел в зависимости от времени или некоторого другого параметра, определяющего процесс смены состояний внешних воздействий и внутренних параметров [19, 21, 22, 26, 59, 58, 96, 166]. Задачу можно сформулировать в виде вариационного неравенства, но соответствующего принципа минимума нет [26, 58, 96, 166]. Исключение составляет случай известных предельных сил трения, для которого возможна постановка задачи в виде принципа минимума выпуклого функционала и, следовательно, построение методов решения с гарантированной сходимостью.

Методы решения конкретных контактных задач (см., например, [61, 63, 64]) были построены на базе методов, развитых ранее в указанных выше исследованиях по нелинейному программированию, в таких задачах, как оптимальное распределение ресурсов, проектирование конструкций минимального веса и т. п. Дискретизация при этом производилась по МКЭ, МГЭ или МКР. Среди множества публикаций, посвященным разработкам методов решения конкретных задач укажем монографию Гловинского, Лионса и Тремольера [32], в которой систематически излагается построение численных методов на основе вариационных принципов. Алгоритмам решения задач идеального контакта и контакта с трением посвящено большое количество публикаций; укажем следующие статьи и монографии [2, 15, ,26, 123, 143, 147- 149, 173, 193, 202, 204]. Одной из первых таких работ была статья [9] о решении контактной задачи для упругой пластины, взаимодействующей с жестким основанием, расположенным с зазором. Был применен метод локальных вариаций с использованием функционала Лагранжа и разработана его эффективная программная реализация [136].

Остановимся далее на характеристике современных численных методов контактной механики. Вариационные формулировки, в частности, формулировки контактных задач в виде вариационных неравенств играют важную роль как в изучении вопросов корректности начально-краевых задач, существования и единственности решений, так и в построении численных методов. Контактные граничные условия рассматриваются как ограничения и включаются в вариационное уравнение с помощью метода множителей Лагранжа или метода штрафных функций. Обзор методов учета ограничений для вариационных задач общего вида имеется в монографиях [106, 166]. Алгоритмы нелинейного программирования, применяемые в контактной механике [2, 7, 32, 36, 37, 106, 142, 146, 166 - 173, 181, 188 и др.], можно разбить на три большие группы: методы множителей Лагранжа; методы штрафа; расширенные (augmented) методы множителей Лагранжа. Последний из названных методов представляет собой комбинацию первых двух. Для всех этих методов характерно сведение задачи условной оптимизации к задаче безусловной оптимизации введением ограничений в функционал. На основе методов штрафа формируются различного рода gap-элементы [65, 67, 93, 142, 163, 171, 188]. Отметим, что в ряде известных программ, наряду с методом последовательного уточнения рабочих схем, реализованы именно эти перечисленные выше методы.

При численном решении задачи контакта упругих тел сводятся к конечномерным задачам с дискретными односторонними связями. В этом смысле они приближаются к задачам строительной механики с односторонними связями, т. е. к задачам расчета стержневых систем и других тонкостенных конструкций с опорами, элементами или узлами одностороннего действия. В частности в строительстве к системам такого рода принадлежат вантовые конструкции; фермы, элементы которых работают только на сжатие и т. п. Методы решения указанных задач мало различаются, что открывает возможности их одновременного развития и переноса одних задач на другие. Проблема расчета систем с односторонними связями для задач строительной механики в нашей стране впервые была поставлена И. М. Рабиновичем [107, 108]. Для решения таких задач стали применять и активно применяют до сих пор итерационные алгоритмы последовательного уточнения рабочей схемы [107, 108, 1, 4, 5, 11, 12, 14, 34]. В зарубежной литературе основополагающая статья этого плана принадлежит Зенкевичу и Франкавилла [159]. Развитием ее идей являются статьи [192, 201]. Из последующих статей можно указать [144, 145, 191, 202], где эти алгоритмы называются прямыми методами или методами «попытка-ошибка» (trial-error).

Реализовывать эти алгоритмы можно в форме методов сил, перемещений и смешанного метода. Алгоритм метода перемещений, например, таков (для односторонних связей, работающих на сжатие): все односторонние связи заменяются двусторонними; делается расчет на заданную нагрузку обычными способами строительной механики и определяются те связи, которые работают на растяжение; на следующей итерации эти связи отбрасываются; тем самым принимается новая рабочая схема, и весь процесс повторяется на следующем шаге с новой рабочей схемой; так продолжается до тех пор, пока в рабочей схеме все усилия в односторонних связях не окажутся сжимающими. Достоинством такого алгоритма является его простота; недостатком - отсутствие строгого обоснования сходимости итерационного процесса. Некоторые исследователи предпринимали попытку доказательства сходимости процесса последовательного уточнения рабочей схемы [17], однако строгого и завершенного доказательства сходимости получить не удалось. Этот факт не является случайным, поскольку описанный процесс не всегда сходится, что следует из примера, приводимого в [100, 101]. Однако, простота алгоритма настолько привлекательна, что им пользуются до сих пор [4, 34, 104 и др.]. При этом эффективность алгоритма повышается благодаря использованию контактных матриц.

В работах [35, 98, 99] было показано, что система уравнений и неравенств, записанная для дискретизованной системы с односторонними связями (линейной физически и геометрически), является условиями оптимальности Куна - Таккера задачи условной минимизации квадратичной формы функционала энергии. С этих пор большинство работ специалистов нашей страны по строительной механике связано с применением или развитием тех или иных методов нелинейного программирования, т. е., к поиску минимума функции многих переменных при линейных ограничениях в виде равенств и неравенств (задача условной минимизации).

Проблема расчета систем с идеальными односторонними связями рассматривалась в [48, 49]. В этих работах было показано, что сведение указанной проблемы к задаче линейного программирования некорректно [49] и был предложен алгоритм [48], аналогичный алгоритму Лемке линейной задачи дополнительности [50]. В случае использования функционалов, записанных в терминах контактных усилий или перемещений, и в случае, если эти функционалы являются квадратичными, условия оптимальности Куна - Таккера представляют собой так называемую линейную задачу дополнительности (ЛЗД) [8, 110, 175]. Для стержневых систем с идеальными односторонними связями ЛЗД можно сформировать непосредственно, не рассматривая соответствующий функционал. Следовательно, решение ЛЗД можно получить путем решения эквивалентной задачи квадратичного программирования, применяя, например, методы, описанные выше. Однако можно говорить и о том, что решение выпуклой задачи квадратичного программирования можно получить путем решения эквивалентной задачи дополнительности. Разработанный Лемке [175] эффективный и простой метод решения ЛЗД обладает рядом преимуществ по сравнению с большинством методов квадратичного программирования.

Применение алгоритмов ЛЗД для решения задач контактного взаимодействия деформируемых тел за редким исключением [50, 46, 47, 82 - 89, 53 - 57, 109] реализуется зарубежными авторами [146, 167, 168, 174, 189, 195, 196, 198, 199 и др.]. В работе [146] проведено сравнение вычислительной эффективности большой группы методов (Лагранжа, штрафа, ЛЗД) и показано, что наиболее эффективные алгоритмы методов множителей Лагранжа на 52% более затратны по времени счета в сравнении с методами ЛЗД, наиболее эффективные алгоритмы методов штрафа - на 23%. Таким образом, на основе тестирования алгоритмов контактных задач, показано превосходство алгоритмов ЛЗД в тех задачах, где они применимы. Именно поэтому целью обзора теории и методов решения задач дополнительности [13] (134 ссылки) является привлечение внимания к этому классу задач.

Известно много типов задач дополнительности и алгоритмов их решения [13]. Данное направление активно развивается зарубежом. Особенно эффективны эти алгоритмы для ЛЗД, когда оптимизируется выпуклый квадратичный функционал. В большинстве публикаций, посвященных решению линейной задачи дополнительности, либо исследуются границы применимости метода Лемке, либо предлагаются его обобщения [8, 102, 152, 153, 156, 157, 164, 170, 175 -177, 179, 180, 185 - 187, 194, 200]. Главной отличительной особенностью алгоритмов ЛЗД является то, что в случае как положительно определенной, так и полуопределенной матрицы они позволяют получить решение (если оно есть) за конечное число шагов. Все эти алгоритмы можно трактовать как некоторые модификации симплекс-метода линейного программирования, что обусловливает их простоту и эффективность.

Развиваются методы решения нелинейной задачи дополнительности [13]. В последнее время реализуется следующий подход решения задач дополнительности. Из физических соображений формулируется задача дополнительности, как правило - нелинейная. Затем осуществляется переход к соответствующей задаче нелинейного программирования [42]. Опубликованы пионерные работы в приложении к задачам контактной механики. В [174] впервые получили принцип дополнительности на основе закона трения, который привел к ЛЗД для двумерной задачи и нелинейной задаче дополнительности для трехмерной задачи. В статье [189] формулировка нелинейной дополнительности для трехмерной контактной задачи трансформируется в систему нелинейных уравнений, которая решается методом гомотопии. В статье [167] используется формулировка дополнительности для трехмерной линейно упругой задачи с трением. Область контакта предполагается известной заранее. Конечномерная задача эквивалентна параметрической ЛЗД, включающей производные [164]. В статье [168], являющейся развитием работы [167], решена задача с заранее неизвестной областью контакта. Как правило, на практике эффективными оказываются проблемно-ориентированные алгоритмы, которые учитывают специфические особенности приложений.

Несмотря на большое число работ, посвященных задачам с односторонними связями и трением, остается еще много нерешенных проблем, относящихся к строительной механике и представляющих большое значение для практики. Разработкам методов решения некоторых из подобных проблем, посвящена настоящая диссертация.

Диссертация состоит пяти глав, введения и заключения. В первых трех главах содержится разработка методов, алгоритмов и программ расчета балок, взаимодействующих с основаниями при помощи трения Кулона, когда известны предельные силы трения.

В п. 1.1 рассмотрены подходы к решению проблемы минимизации выпуклых недифференцируемых функционалов, возникающих в строительной механике при учете трения Кулона.

В п. 1.2 рассматривается цикл задач, относящихся к продольной деформации многопролетной балки на дискретных жестких опорах. Условия трения между балкой и опорами принимаются как при простом процессе нагружения. Ставится задача в виде вариационного неравенства, которое сводится к задаче минимизации функционала потенциальной энергии, содержащего член с не-дифференцируемой силой трения. В результате задача сводится к минимизации выпуклого и недифференцируемого функционала. Для решения применяется метод поточечной верхней релаксации, где на каждом шаге строится точное решение. Составлены программы расчета и решено большое число различных задач. Проделан анализ точности решения, выбора оптимального параметра релаксации, зависимости процесса расчета от значений исходных данных, влияние различных факторов на эффективность компьютерной реализации и т. п.

В п. 1.3 рассматривается цикл задач и вопросов, аналогичных содержащимся в п. 1.2, но относящихся к случаю упруго-податливых опор. Здесь выявлено влияние податливости опор в процессе взаимодействия балки и опор при помощи трения Кулона. Рассмотрено, как работают предлагаемые в п. 1.2 метод и алгоритм для данного типа задач.

В п. 1.4 рассматривается продольная деформация балки, взаимодействующей со сплошным упругим основанием посредством трения Кулона. Решение строится в два этапа. На первом этапе выполняется дискретизация вариационных постановок задач путем разбиения балки на отдельные участки и применения квадратурных формул к соответствующим интегралам. В результате приходим к задаче о балке, взаимодействующей с дискретными упруго-податливыми опорами, расположенными на концах соответствующих участков. Используются методы и алгоритмы типа тех, которые предложены в п.п. 1.2, 1.3. Однако здесь приходится иметь дело с большим количеством опор и необходимостью выяснить погрешности, связанные с шагом дискретизации. Решен ряд задач, выполнены оценки и даны соответствующие рекомендации, касающиеся точности расчетов и эффективности их компьютерной реализации.

Глава 2 посвящена изгибу балки, взаимодействующей с окружающей средой посредством трения. В п. 2.1 рассматривается изгиб балки, взаимодействующей с двумя упругими основаниями. С одним из них непосредственно, а с другим - посредством трения Кулона. В п. 2.1 в качестве этих оснований приняты линейно деформируемые упругие основания винклеровского типа. Здесь приходится иметь дело с двумя основаниями, которые могут иметь различные коэффициенты жесткости. В отличие от главы 1, где при продольной деформации имели место для балки дифференциальные уравнения второго порядка, в главе 2 имеют место уравнения 4-го порядка, что приводит к необходимости перестраивать соответствующим образом метод поточечной верхней релаксации.

В п. 2.2 рассматривается изгиб балки в нелинейно-упругой среде с трением Кулона. Подобные задачи могут схематизировать работу трубопроводов, находящихся в основании шельфовой зоны морей и предназначенных для транспортировки нефти и газа. Балка-трубопровод взаимодействует с тремя окружающими ее винклеровскими основаниями. С одним из них она взаимодействует непосредственно, а с двумя другими - при помощи трения Кулона. Жест-костные характеристики оснований принимаются в виде вогнутых функций, обеспечивающих выпуклость функционалов энергии. Метод поточечной верхней релаксации приводит к необходимости решения последовательности нелинейных алгебраических уравнений. Разработаны метод, алгоритмы и компьютерная реализация решения подобных задач. Решены примеры и выполнен анализ результатов и процесса их получения.

Предложенный в п. 2.2 метод может быть непосредственно использован вообще при расчете балок на основании винклеровского типа с нелинейными упругими характеристиками.

Глава 3 посвящена расчету заглубленных в грунт шельфовой зоны моря балок-трубопроводов на действие движущихся ледовых образований. Обычно трубопроводы заглубляются в грунт основания водной среды, чтобы избежать непосредственного взаимодействия с движущимся льдом. Однако остается вероятность взаимодействия льда с грунтом и передачи на трубопровод усилий через грунт. Это приводит к изгибу заглубленного в грунт трубопровода от действия перемещений грунта. В п. 3.1 построена соответствующая расчетная схема, аналогичная той, которая принята в п. 2.2. Однако в отличие от нее за-гружение балки-трубопровода является кинематическим в виде заданных перемещений грунта. Кроме того, взаимодействие балки и части грунта, происходящее без посредства трения, носит односторонний характер - грунт работает только на сжатие. Это потребовало разработки двух подходов к решению задачи.

Первый из них (п. 3.2) представляет собой двойной итерационный процесс. На каждом шаге поточечной релаксации выполняются итерации по нагрузке. В результате определяются окончательные нагрузки, соответствующие заданному кинематическому загружению, и на нее производится окончательный расчет.

Второй подход в п. 3.3 основан на методе поточечной верхней релаксации с включением в него непосредственно заданного кинематического воздействия. В большинстве случаев этот второй подход оказался более эффективным.

Параграф 3.4 содержит результаты расчетов трубопроводов. Рассматриваются различные типы оснований (глина, песок) и их жесткостные характеристики. Проведена серия расчетов различных трубопроводов и получены силы взаимодействия трубопровода с грунтом перед ним, прогибы трубопровода, изгибающие моменты и перерезывающие силы. Выполнен анализ полученных результатов.

В главе 4 для задач идеального контакта упругих деформируемых тел на примере плоской задачи теории упругости показан способ дискретизации, приводящий к проблеме условной оптимизации квадратичного функционала, условия Куна-Таккера для которого приводят к линейной задаче дополнительности (ЛЗД). В п. 4.1 показано, что проблема отыскания минимума квадратичного функционала, являющегося аналогом функционала Кастильяно для задач с идеальным односторонним контактом, сводится к ЛЗД в ее классической форме, если аппроксимировать поле напряжений в терминах контактных сил взаимодействия. Для получившейся ЛЗД шаговый алгоритм Лемке интерпретирован как алгоритм с искусственно введенным зазором, обеспечивающим на первом шаге «момент касания» деформируемых тел. Физически процедура выполнения этого алгоритма представляет собой процесс сближения деформируемых тел, сопровождаемый на каждом шаге включением/выключением односторонних связей (сменой рабочих схем). Смена рабочих схем характеризует изменение зон контакта/отрыва. Пошаговый процесс заканчивается, если искусственно введенный зазор исчерпан. Предложены различные варианты решения ЛЗД при параметрическом изменении части внешнего воздействия: силового; кинематического; изменения зазоров и т. п. Построенные алгоритмы позволяют отеледить изменение положения и размеров зон контакта/отрыва при простом загру-жении силовой, кинематической нагрузкой; при вспучивании или проседании основания и т. п. Последовательность расчета систем с односторонними связями совпадает с таковой при расчете статически неопределимых систем методом сил. Сначала выбирается «основная система» путем отбрасывания односторонних связей и замены их действия неизвестными усилиями. Затем формируется контактная матрица податливости и грузовой вектор. Далее решается система уравнений и неравенств ЛЗД. Значения параметров НДС конструкции восстанавливается по найденным из решения ЛЗД значениям взаимных перемещений и усилий взаимодействия.

В п. 4.2 на простых примерах показан физический смысл каждого шага предложенных алгоритмов, проведено тестирование алгоритмов на задачах, имеющих аналитическое решение, решен ряд модельных задач.

В п. 4.3 показано, что минимизация квадратичного функционала, являющегося аналогом функционала Лагранжа для задач с идеальным односторонним контактом, сводится к классической форме ЛЗД, если аппроксимировать поле перемещений в терминах взаимных перемещений точек предполагаемой контактной поверхности. Алгоритм Лемке можно интерпретировать как алгоритм с искусственно введенным обжатием, обеспечивающим на первом шаге «момент отрыва» одной из точек контактной пары от другой. Рассмотренный алгоритм физически представляет собой процесс снятия искусственно введенного обжатия односторонних связей, сопровождаемый на каждом шаге их выключением/включением. Пошаговый процесс заканчивается, если предварительное искусственное обжатие снято. Для положительно полуопределенной контактной матрицы жесткости возможно лучевое решение, свидетельствующее о невозможности снять предварительное обжатие без получения неопределенных перемещений, что соответствует жесткому смещению одного из тел.

Как и в методе сил можно построить алгоритмы с параметрическим изменением: силовой нагрузки; кинематической нагрузки; зазора. Последовательность расчета систем с односторонними связями совпадает с таковой при расчете статически неопределимых систем методом перемещений. Сначала выбирается «основная система» путем превращения всех односторонних связей в двусторонние. Затем формируется контактная матрица жесткости и грузовой вектор. Далее решается система уравнений и неравенств ЛЗД. Значения параметров НДС конструкции восстанавливается по найденным из решения ЛЗД значениям взаимных перемещений и усилий взаимодействия.

В п. 4.4 на простых примерах показан физический смысл каждого шага предложенных алгоритмов, проведено тестирование алгоритмов на задачах, имеющих аналитическое решение, решен ряд модельных задач;

В п. 4.5 для дискретизованной задачи показано применение смешанного метода решения задачи идеального контакта. Область возможного контакта деформируемых тел разбивается на зону предполагаемого контакта и зону предполагаемого отрыва. В зоне предполагаемого контакта односторонние связи заменяются двусторонними. В качестве неизвестных принимаются перемещения по направлению введенных связей. В зоне предполагаемого отрыва отбрасываются односторонние связи и их действие заменяется неизвестными усилиями. В результате получается основная система смешанного метода. Уравнения равновесия и совместности деформаций для этой системы при ограничениях на знак взаимных перемещений и усилий взаимодействия и при условии дополняющей нежесткости приводят к ЛЗД. Для решения последней используются алгоритмы, аналогичные применяемым в методе сил и перемещений. Предложен вариант метода Лемке, трактуемый как алгоритм с введением либо искусственного зазора, либо искусственного обжатия. На простом примере показан физический смысл шагов этого алгоритма, решены модельные задачи.

В главе 5 рассматривается ЛЗД в применении к расчету линейно деформируемых систем с трением при известных предельных силах трения. Показан способ сведения проблемы безусловной минимизации выпуклых недифферен-цируемых квадратичных функционалов, полученных в главах 1, 2, к проблеме условной минимизации выпуклого дифференцируемого функционала. Условия

Куна-Таккера такого функционала приводят к линейной задаче дополнительности стандартного вида.

В п. 5.1 для продольно деформирующейся балки, взаимодействующей с жесткими или линейно упругими опорами или со сплошным линейно-упругим основанием получена задача условной минимизации для гладкого выпуклого функционала. Решение этой задачи проводится в форме метода перемещений с использованием алгоритма Лемке для решения ЛЗД: выбирается «основная система» превращением связей трения в абсолютно жесткие связи; в качестве неизвестных принимаются перемещения по направлению введенных связей; формируется контактная матрица жесткости и грузовой вектор; вводится искусственное повышение предельных сил трения так, чтобы на одной из опор ^ наступил «момент проскальзывания». На каждом из последующих шагов искусственные предельные силы трения уменьшаются до перехода к новой рабочей схеме, характеризующейся включением/выключением какой-либо связи трения. Алгоритм заканчивает работу по снятию искусственных предельных сил трения. Значения параметров НДС конструкции восстанавливается по найденным из решения ЛЗД значениям взаимных перемещений и усилий взаимодействия. Показан простой пример, иллюстрирующий применение разработанного алгоритма. Проведено решение задач глав 1, 2 при помощи данного алгоритма, обнаружившее практически полное совпадение с результатами метода поточечной верхней релаксации.

В п. 5.2 рассматривается изгиб балки, взаимодействующей посредством трения с линейно-упругим сплошным основанием Винклера. Структура п. 5.1 и 5.2 совпадают, за исключением того, что для получения ЛЗД стандартного вида в системе уравнений задачи Куна-Таккера проводится конденсация контактных степеней свободы - прогибов балки по концам участков. Проведен сравнительный анализ метода поточечной верхней релаксации и метода Лемке решения ^ ЛЗД. Выявлены преимущества и недостатки того и другого.

В п. 5.3 для балок на жестких опорах и линейно деформируемых основаниях разработана комбинация методов поточечной верхней релаксации и ЛЗД алгоритм Лемке) с целью использовать сильные стороны каждого из методов, ф А именно: эффективность ЛЗД (алгоритм Лемке) при малом количестве участков и малые требования к объему машинной памяти метода поточечной верхней релаксации при практически любом количестве участков. Эта комбинация представляет собой вариант метода блочной верхней релаксации. Проведен сравнительный анализ трех методов - поточечной верхней релаксации, блочной верхней релаксации, ЛЗД (алгоритм Лемке) - и определены области эффективного применения каждого из них.

В п. 5.4 рассматривается контактная задача с трением в случае плоской задачи теории упругости. Полагается, что предельные силы трения неизвестны. Показано применение разработанных в п.п. 4.2, 5.1 алгоритмов ЛЗД для реше-* ния задач идеального контакта и контакта с трением. Используется известный эвристический алгоритм итераций по предельным силам трения. Решены модельные задачи.

В заключении приведены основные результаты работы.

Автор выражает глубокую признательность заслуженному деятелю науки и техники РФ, доктору физико-математических наук, профессору Л. А. Розину за постоянное внимание к работе, ценные советы и консультации.

Основные результаты и выводы, полученные в диссертационной работе, состоят в следующем:

1. Сформулированы вариационные постановки задач для продольной деформации многопролетной балки, взаимодействующей посредством трения Кулона с жестким и упругими дискретными опорами при заданном предельном трении. Задача сводится к минимизации выпуклых и недифференцируемых функционалов энергии.

2. Разработана схема метода поточечной верхней релаксации для решения задач, указанных в п. 1. Итерационный процесс поточечной верхней релаксации на каждом шаге сводится к необходимости решения соответствующих вариационных неравенств. Методами строительной механики последовательно строится точное решение этих неравенств. Решен ряд модельных задач. Проделан анализ процесса решения, компьютерной реализации метода, точности результатов и т. п. Большое внимание уделяется выбору оптимального коэффициента верхней релаксации и зависимости его от параметров задачи.

3. Разработан метод расчета продольной деформации балки, взаимодействующей со сплошным основанием посредством трения Кулона при заданном предельном трении. Метод состоит из двух этапов. На первом этапе производится дискретизация задачи, которая приводит исходную задачу к балке на дискретных опорах, расположенных на концах участков дискретизации. Здесь возникают дополнительные проблемы точности дискретизации и применения метода поточечной верхней релаксации при большом числе опор. Решен ряд модельных задач и выявлено влияние различных факторов на точность и эффективность применяемых подходов.

4. Разработан метод расчета изгиба балки, взаимодействующей с двумя сплошными упругими основаниями винклеровского типа. С одним основанием балка контактирует непосредственно, а с другим - посредством силы трения

Кулона. Эти винклеровские основания предполагаются линейно упругими. Коэффициент жесткости основания может меняться вдоль оси балки. Предлагаемая схема может быть использована при расчете трубопроводов. Разработаны методы дискретизации и поточечной верхней релаксации для решения подобных задач. Решены примеры, позволяющие судить об эффективности метода и характере получаемых результатов.

5. Поставлена задача и разработан метод расчета балки-трубопровода, заглубленного в грунт с нелинейно-упругими характеристиками. Схема состоит из трех сплошных нелинейно-упругих винклеровских оснований. С одним из них балка контактирует непосредственно, а с двумя другими - посредством трения Кулона. Разработана схема дискретизации метода верхней релаксации. Нелинейно-упругие характеристики оснований предполагаются вогнутыми функциями с тем, чтобы их упругие энергии были выпуклыми функционалами. Разработан алгоритм решения соответствующих нелинейных задач, составляющих этапы метода поточечной верхней релаксации. Решен ряд конкретных задач и выполнен анализ полученных результатов и схем их получения. Разработанные алгоритмы в общем случае могут служить для расчета балок на нелинейно-упругих винклеровских основаниях.

6. Поставлена задача расчета балок-трубопроводов, заглубленных в грунт и предназначенных для транспортировки нефти и газа. В качестве внешнего воздействия рассматриваются движущиеся ледовые образования, взаимодействующие с грунтом, в который заглублены трубопроводы. Здесь в качестве воздействия на балки-трубопроводы фигурирует заданное перемещение грунта. Предложены два метода решения подобной задачи. Первый из них состоит из внешних итераций и внутренних итераций. Внешние итерации позволяют определить нагрузку на грунт, отвечающую заданным смещениям грунта. При этом предполагается, что связь между трубопроводом и грунтом, находящимся перед ним, является односторонней. Внутренними итерациями является поточечная верхняя релаксация. Второй метод основан только на методе поточечной релаксации с включением в него заданного перемещения грунта. В ряде случаев этот второй метод оказался более эффективным.

7. Выполнены расчеты ряда задач трубопроводов, взаимодействующих с различными грунтами. Рассматривались различные исходные параметры задач о взаимодействии трубопровода с движущимся ледовым образованием, приводятся полученные результаты и выполнен их анализ.

8. Для задач идеального контакта упругих деформируемых тел на примере плоской задачи теории упругости показан способ дискретизации, приводящий к проблеме условной оптимизации квадратичного функционала, условия Куна-Таккера для которого приводят к линейной задаче дополнительности (ЛЗД).

9. Разработаны варианты алгоритма Лемке для решения линейной задачи дополнительности и предложена их трактовка в форме классических методов строительной механики - метода сил, метода перемещений, смешанного метода - с привлечением понятий: «основная система», «единичные и грузовое состояния», «условие эквивалентности заданной и основной систем».

10 На простых примерах показан физический смысл каждого шага предложенных алгоритмов, проведено тестирование алгоритмов на задачах, имеющих аналитическое решение, решен ряд модельных задач.

11. Для задач расчета продольной и изгибной деформации балки, взаимодействующей с жесткими и линейно упругими дискретными опорами или упругим винклеровским основанием посредством трения Кулона, показан способ сведения проблемы безусловной минимизации выпуклого недифференцируе-мого функционала к проблеме условной минимизации выпуклого дифференцируемого функционала, условия Куна-Таккера которого приводят к линейной задаче дополнительности стандартного вида.

12. Разработаны соответствующие алгоритмы решения линейной задачи дополнительности, показан их физический смысл в терминах метода перемещений строительной механики; проведено сравнение результатов решений указанными алгоритмами с результатами решений методом поточечной верхней релаксации, свидетельствующее о практически полном их совпадении.

13. Разработан вариант метода блочной релаксации, объединяющий в себе сильные стороны методов поточечной верхней релаксации и решения линейной задачи дополнительности; проведен сравнительный анализ этих трех методов и определены области эффективного применения каждого из них.

14. Рассмотрено применение алгоритмов линейной задачи дополнительности к решению задач с трением, когда предельные силы трения заранее неизвестны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Алейников С. М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований. М.: Изд-во «АСВ», 2000.-754 с.

2. Александров В. М., Ворович И. И. Механика контактных взаимодействий. М.: Наука, 2001.-600 с.

3. Александров А. В., Потапов В. Д. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990. - 400 с.

4. Аленин В. П. Итерационные методы расчета систем с внешними и внутренними односторонними связями // Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора техн. наук. Омск, 2002. 34 с.

5. Баженов В. А., ГоцулякЕ. А., Кондаков Г. С., Оглобля А. И. Устойчивость и колебания деформируемых систем с односторонними связями. Киев: Выща шк. Главное изд-во, 1989. - 399 с.

6. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1982. - 583 с.

7. Баничук Н. В. Численное решение задачи о прогибе упругой пластины, стесненной ограничениями // Инж. журнал. МТТ. 1967. № 1. С. 138 142.

8. БерщанскийЯ. М., Мееров М. В. Теория и методы решения задач дополнительности. Автоматика и телемеханика, 1983, №6. - С. 5 - 31.

9. БурагоН. Г., Кукуджанов В. Н. Обзор контактных алгоритмов // Изв. РАН, МТТ, 2003.-С. 1-73.

10. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 552 с.

11. Ведешкин Ю. К. О сходимости процесса последовательного уточнения эффективной системы // Труды ТашИИТ «Динамика и устойчивость транспортных и гражданских сооружений». Ташкент, 1973. - Вып. 99.

12. Вержбицкий В. М. Основы численных методов: Учебник для вузов. М.: Высш. шк., 2002. 840 с.

13. Вовкушевский А. В. Вариационная постановка и методы решения контактной задачи с трением при учете шероховатости поверхностей // Изв. Академии Наук СССР: Механика твердого тела, 1991. № 3 - С. 151 -160.

14. Вовкушевский А. В. Моделирование разрезов в массивных бетонных сооружениях с помощью идеальных односторонних связей. Известия ВНИ-ИГ им. Б. Е. Веденеева, Т. 116, 1977. - с. 60 - 65.

15. Вовкушевский А. В. О вариационных постановках задач Синьорини с трением. // Известия АН СССР. МТТ. 1984, №6 - С.73-78.

16. Вовкушевский А. В. Постановка и решение контактной задачи теории упругости с трением при произвольном процессе нагружения // Труды ЛПИ, 1985-405 с.-С. 9-13.

17. Вовкушевский А. В. Расчет массивных сооружений с разрезами // Известия ВНИИГ, 1975.-Т. 108.-С. 152-164.

18. Вовкушевский А. В., Дурнев В. А. Численная реализация некоторых способов решения задачи Синьорини с трением. Труды ЛПИ, 1985, № 405. - с. 14-19.

19. Вовкушевский А. В., Зейлигер В. А. К решению задач теории упругости с односторонними связями методом конечных элементов. Известия ВНИИГ им. Б. Е. Веденеева, Т. 129, 1979.-е. 27-31.

20. Вовкушевский А. В., Шойхет Б. А. Расчет массивных гидротехнических сооружений с учетом раскрытия швов. -М., Энергоиздат, 1981 136 с.

21. Вовкушевский А. В., Шойхет Б. А. Моделирование разрезов в массивных бетонных сооружениях с помощью идеальных односторонних связей. Известия ВНИИГ, 1977, Т. 116, С. 60-65.

22. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости . М.: Наука, 1986.-304 с.

23. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая минимизация. -М.: Мир, 1985. 509 с.

24. Главачек И., ГаслингерЯ., Нечас К, ЛовишекЯ. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986. - 272 с.

25. Гловински Р. Г., Лионе Ж, Тремолъер Р. Численное исследование вариационных неравенств. -М., Мир, 1979 576 с.

26. Гольштейн Е. Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971.-351 с.

27. Гордеев В. Н., Перелъмутер А. В. Расчет систем с односторонними связями как задача квадратичного программирования. Исследования по теории сооружений. Вып. 15. - М.: Стройиздат, 1967. - С. 208 - 212.

28. Гордон Л. А. Метод штрафа в конечноэлементных схемах решения конструктивно-нелинейных задач статики сооружений. Известия ВНИИГ им. Б. Е. Веденеева, т. 129, 1979.-е. 22-31.

29. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. - 510 с.

30. Дойхен Ю. М., Ким Т. С., Ловцов А. Д. Тен Ен Со. Расчет конструкций, контактирующих с упругим основанием: Учеб. пособие. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 2001. - 203 с

31. ДювоГ., Лионе Ж-Л. Неравенства в механике и физике. М, Наука, 1980 383 с.

32. Емельянов И. Г., Кузнецов В. Ю. Контактная задача для физически нелинейной оболочки // Разрушение и мониторинг свойств металлов: Вторая международная конференция. Екатеринбург, 26 -30 мая 2003. УрО РАН.

33. Измаилов А. Ф., Солодов В. М. Численные методы оптимизации: Учеб. пособие. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 304 с.

34. Керчман В. И. Экстремальные свойства упругой энергии и новые вариационные принципы в односторонних задачах для штампов и трещин // Изв. АН СССР, МТТ, 1981, №. 5. -. С. 68 77.

35. Керчман В. И. Экстремальные свойства границы контакта в задаче Синьорини джля полупространства // ДАН СССР, 1981, Т. 259, № 5. с. 1064 -1068.

36. Ким Т. С., Ловцов А. Д. Многослойные конструкции как системы с переменными связями // Сборник научных трудов «Современные проблемы машиностроительного комплекса». Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. унта, 1998. с. 35-38.

37. Ким Т. С., ЯцураВ. Г. Алгоритм расчета систем с односторонними связями // Сб. науч. тр.: Автоматизированное оптимальное проектирование конструкций. Хабаровск: Изд-во ХПИ, 1977. - С. 48-54.

38. Ким Т. С., Яцура В. Г. Об использовании алгоритмов математического программирования для расчета систем с односторонними связями // Автоматизированное оптимальное проектирование конструкций: Сб. науч. тр. Хабаровск: Изд-во ХПИ, 1977. - С. 39-47.

39. Ким Т. С., Яцура В. Г. Расчет систем с односторонними связями как задача о дополнительности // Строит, механика и расчет сооружений. 1989. - №3. -С. 41-44.

40. Кобринский А. А., Кобринский А. Е. Двумерные виброударные системы // Динамика и устойчивость. М.: Наука, 1981. - 336 с.

41. Коваленко О. Ф. Вариационные принципы механики для систем с односторонними связями // Исследования по строительным конструкциям. -Томск, 1972.-С. 132-143.

42. Колесников Г. Н. Дискретные модели деформируемых систем с односторонними ограничениями перемещений // Электронный журнал «Исследовано в России», 2004, № 8.- С. 76 85. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/008.pdf.

43. Колесников Г. Н. Дискретные модели механических и биомеханических систем с односторонними связями: Петрозаводск, ПетрГУ, 2004. 204 с.

44. Колесников Г. Н. Дискретные модели механических и биомеханических систем с односторонними связями (приложение к задачам биомеханики скелетно-мышечных систем): Автореферат диссертации . доктора технических наук. Петорзаводск, 2004. - 32 с.

45. Колесников Г. Н., Раковская М. И. Алгоритмы решения линейной задачи о дополнительности и дискретные модели механических систем // Электронный журнал «Исследовано в России», http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/164.pdf. С. 1770 - 1778.

46. Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: МГАПИ, 1997. - 340 с.

47. Кравчук А. С. Метод вариационных неравенств в контактных задачах // Механика контактных взаимодействий / Под. ред. И. И. Воровича, В. М. Александрова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - С 93 - 115.

48. Кравчук А. С. Метод матрицы А. А. Ильюшина в контактных задачах // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: АН УзССР, 1981. - Вып. 15. - С. 33 - 50.

49. Кравчук А. С. Постановка задачи о контакте нескольких деформируемых тел как задачи нелинейного программирования // ПММ, 1978, Т. 42, вып. 3.- С. 466 474.

50. Кравчук А. С. Решение контактной задачи с известной функцией Грина // ПММ, Т. 46, вып. 2. С. 283 - 288.

51. Кравчук А. С., Васильев В. А. Численные методы решения контактной задачи для линейно и нелинейно упругих тел конечных размеров // Прикл. мех. 1980. Т. 16. №6. С. 9-15.

52. Курков С. В. Конечные элементы для контактных задач // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. Тез. докл. XXI междунар. конф. 4-7 октября 2005 г. -СПб.: ВВМ, 2005. С. 123 - 124.

53. Ловцов А. Д. Алгоритмы метода перемещений для расчета систем с односторонними связями // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2004. -№2.-С. 220-227.

54. Ловцов А. Д. Алгоритмы расчета конструкций с переменными связями // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: Аннотации докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. - С. 401-402.

55. Ловцов А. Д. Алгоритмы расчета систем с односторонними связями методом сил // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2003. - № 3. -С. 186- 192.

56. Ловцов А. Д. Модернизация метода блочной релаксации на основе алгоритма Лемке для расчета деформируемых систем с трением // Междунар. научно-техн. конф. «Вычислительная механика деформируемого твердого тела», 31 янв. 2 февр. 2006. - М.:

57. Ловцов А. Д. Применение алгоритма Лемке к задаче изгиба балки, взаимодействующей с упругим основанием посредством трения Кулона // Вестник гражданских инженеров. 2006. - № 5.

58. Ловцов А. Д., Долгачев М. В. Расчет пластин на одностороннем упругом основании // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ. № 2002611286. - Реестр программ для ЭВМ. - Москва, 31 июля 2002 г.

59. Ловцов А. Д., Долгачев М. В. Расчет пластинчатых систем на дискретных односторонних опорах // Программный комплекс для IBM PC 486: Зарегистрирован ВНТИЦ 27.06.2003 г. -№ д/113 №0203023180306.

60. Львов Г. И. Вариационные постановки контактной задачи для линейно упругих и физически нелинейных пологих оболочек // ПММ. 1982. Т. 46. Вып. 5. С. 841 846.

61. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 488 с.

62. Никишин В. С., Китороаге Т. В. Плоские контактные задачи теории упругости с односторонними связями для многослойных сред. М.: ВЦ РАН, 1994.-43 с.

63. Орехов В. Г., Зерцалов М. Г. Механика разрушений инженерных сооружений и горных массивов. М.: Изд-во АСВ, 1999. - 330 с.

64. Пальмер А., Гудместад О. Т. Шельфовые трубопроводы в Арктике. В книге: Основные разработки шельфовых нефтегазовых месторождений и строительство морских сооружений в Арктике. М. Изд - во «Нефть и газ», 2000 - 770 с.

65. Палъмов В. А. Об одной простейшей контактной задаче теории упругой устойчивости // Изв. АН АрмССР. Механика, 1980. - Т. 33. - № 3. - С. 4153.

66. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложение. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. М., Мир, 1989 - 494 с.

67. Пелех Б. Л., Сухорольский М. А. Контактные задачи теории упругих анизотропных оболочек. Киев: Наукова думка, 1980.

68. Перельмутер А. В. Использование метода квадратичного программирования для расчета систем с односторонними связями. Исследования по теории сооружений, 1972, вып. 19, С. 138- 147.

69. Перельмутер А. В. К расчету систем с односторонними дискретными связями //Строительная механика и расчет сооружений, 1976. № 1.

70. Перельмутер А. В. О сходимости уточненной рабочей системы // Строит, механика и расчет сооружений. 1978. - № 5. - С. 76-77.

71. Перельмутер А. В., Сливкер В. И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. Киев, Изд-во «Сталь», 2002. - 600 с.

72. Попов Л. Д. Введение в теорию, методы и экономические приложения задач о дополнительности // Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2001. 124 с.

73. Попп К. О негладких системах в механике // ПММ. Т. 64. - Вып. 5. -2000.-С. 795-804.

74. Пфайффер Ф., Глоккер К. Контакты в системах твердых тел // ПММ. Т. 64.-Вып. 5.-2000.-С. 805 -816.

75. Юб.Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1979. - 319 с.

76. Раковская М. И. Об одном алгоритме решения линейной задачи о дополнительности / Петрозаводск: ПетрГУ, 2004. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 06.08.2004, № 1378-В2004

77. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике: В 2-х кн. Кн 2. Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 320 с.111 .Розин Л. А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. - 224 с.

78. Розин Л. А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. 532 с.

79. ИЗ.Розин Л. А. Об аппроксимации сплошных оснований дискретными опорами // Изв. ВНИИГ. 1970. - Т. 92. - С. 55 - 60.

80. МА.Розин Л. А. Продольная деформация в неразрезной балке с учетом трения на опорах // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2003. - №3. - С. 182-186.

81. Розин Л. А. Стержневые системы как системы конечных элементов. Л.; Изд-во Ленингр. ун-та, 1976. - 232 с

82. Розин Л. А., Ловцов А. Д. Изгиб балки, взаимодействующей с упругим основанием при наличии трения Кулона // Изв. вузов. Строительство. 2005. -№ 7.-С. 22-31.

83. Розин Л. А., Ловцов А. Д. Изгиб балки-трубопровода, взаимодействующей с нелинейно-упругим основанием при действии трения Кулона // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2005. - № 3. - С. 132 - 142

84. Розин Л. А., Ловцов А. Д., Смирнов М. С. Продольная деформация балки, взаимодействующей с упругоподатливым основанием посредством трения // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2005. - № 1. - С. 145 - 153.

85. Розин Л. А., Ловцов А. Д., Смирнов М. С. Продольная деформация многопролетной балки с трением и податливостью опор // Изв. вузов. Строительство. 2004. - № 8. - С. 17 - 22.

86. Розин Л. А., Ловцов А. Д., Смирнов М. С. Расчет магистральных трубопроводов при действии температуры и трения на опорах // Изв. вузов. Строительство. 2003.-№ 11.-С. 15-20.

87. Терешенко В. Я. Двойственные вариационные задачи для граничных функционалов линейной теории упругости // ПММ, 1980, Т. 44, вып. 6. с. 1053 - 1059.

88. Терешенко В. Я. О выпуклых функционалах в вариационных задачах теории упругости, аналогичных обобщенным функционалам Треффтца // ПММ, 1980, Т. 44, вып. 1. с. 185 - 188.

89. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: Физ.-мат. лит., 1963. 635 с.

90. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974. -159 с.

91. ХедлиДж. Нелинейное и динамическое программирование М.: Мир, 1967.-506 с.

92. Хейгеман Л., ЯнгД Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986. -448 с.

93. Ъ\ Химмелъблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.-534 с.

94. Хлуднев А. М. К проблеме контакта линейно упругого тела с упругими и жесткими телами // ПММ. 1983. Т. 47. Вып. 6. С. 999 1005.

95. ХЪЬ.Хог Э., АрораЯ. Прикладное оптимальное проектирование: Механические системы и конструкции. М.: Мир, 1983. - 478 с.

96. Черноусъко Ф. Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и управления (Численные методы). М.: Наука, 1973. - 238 с.

97. УЫ.Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. М.: ГИТТЛ, 1949. - 270 с.

98. Auricchio F., Sacco Е. Augmented Lagrangian finite elements for plate contact problems Int. J. for Num. Meth. Eng. 1996, № 39, pp. 4141-4158.143 .Barber J. R., Ciavarella Contact mechanics // Int. J. Solids Structures, 2000, № 37.-pp. 29-43.

99. Bathe K. J., Chaudhary A. A solution method for planar and axisymmetric contact problems // SIAM review, 1985, vol. 22. pp. 28-85.

100. Buczkowski R., Kleiber M. Elasto-plastic interface model for 3D-frictional orthotopic contact problems // Int. J. for Num. Meth. Eng., 1997. Vol. 40. pp. 599-619.

101. Bohm J. A comparison of different contact algorithms with application // Computers & Structires, 1987. Vol. 26, № 1/2. - pp. 207 - 221.

102. C. Agelet de Saracibar A new frictional time integration algorithm for large slip multi-body frictional contact problems // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 1997, Vol. 142.-pp. 303-334.

103. Cootie R. W. On solving complementarity problems as linear programs. // Math. Programming Study, 1978. pp. 88 - 107.

104. Cottle R. W., Dantzig G. B. Complementarity pivot theory of mathematical programming 11 Linear Algebra and its Application, 1968, Vol. 1. pp. 103- 125.

105. Doudoumis I. N., Mitsopoulou E. N. On the solution of the unilateral contact frictional problem for general static loading conditions // Computers & Structures, 1988, Vol. 30, №5.-pp. 1111 1126.

106. Dundurs J. An educational elasticity problem with friction. Part 3: General load paths // J. Appl. Mech., 1983. Vol. 50. pp. 77 - 84.

107. Eaves B.C. Computing stationary points. // Math. Programming Study, 1978, №7.-pp. 1-14.

108. EversJ. J. M. More with Lemke complementarity algorithm. // Math. Programming, 1978, № 15.-pp. 214-219.

109. FancelloE. A., FeijooR. A. Shape optimization in frictionless contact problems // Int. J. for Num. Meth. Eng., 1994, V. 37, № 13. pp. 2311 - 2335.

110. Francawilla A., Zienkiewicz О. C. A note on numerical computation of elastic contact problem // Int. J. for Num. Meth. Eng., 1975, № 9. pp. 912 - 924. //

111. Kikuchi N., OdenJ. T. Contact problems in elasticity: A study of variational inequalities and finite elements I ISIAM, Philadelphia, 1988

112. Klarbring A. On discrete and discretized non-linear elastic structures in unilateral contact (stability, uniqueness and variational principles) // Int. J. Solids Structures, 1988, V. 24, № 5. pp. 459 - 479.

113. Laursen Т. A., Oancea V. G. On the constitutive modeling and finite element computation of rate-dependent frictional sliding in large deformation // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 1997, Vol. 143. pp. 197 - 227.

114. Lee S. S., Kwak В. M. A complementarity problem formulation for two-dimensional frictional contact problems // Computers & Structures, 1988, Vol. 28.-pp. 469-480.

115. Lemke С. E. Bimatrix equilibrium points and mathematical programming // Management Science, 1965, Vol. 11, № 7. pp. 681 - 689.

116. Lemke С. E. Some pivot schemes for the linear complementarity problem. // Math. Programming Study, 1978, № 7. pp. 15 - 35.

117. Mohan S. R. Existence of solution rays for linear complementarity problems with Z-matrices // Math. Programming Study, 1978, № 7. pp. 108 - 119.

118. Oden J. Т., Pires E. B. Nonlocal and nonlinear friction laws and variational principles for contact problems in elasticity // J. Appl. Mech., 1983, № 50. pp. 67 -76.

119. Oden J. Т., Pires E. B. Numerical analysis of certain contact problems in elasticity with non-classical friction laws // Computers and Structures, 1983, V. 16 № 1/4.-pp. 481 -485.

120. Panagiotopoulos P. D., Lazaridis P. P. Boundary minimum principles for the unilateral contact problems // Int. J. Solids Structures, 1987, Vol. 23, № 11. pp. 1465- 1484

121. PangJ. S. On a class of least-element complementarity problem // Math. Programming, 1979, V. 16, № 1. -pp. Ill 126.

122. Parisch H. A consistent tangent stiffness matrix for three-dimensional nonlinear contact analysis // Int. J. for Num. Meth. Eng., 1989, Vol. 28. pp. 1803 -1812.

123. ParkJ. K., Kwak В. M. Three-dimensional frictional contact analysis using the homotopy method // J. Appl. Mech, 1994, Vol. 61. pp. 703 - 709.

124. Sachdeva T. D., Ramakrishnan С. V. A finite element solution for the two-dimensional elastic contact problems with friction // Int. J. for Num. Meth. Eng., 1981, Voll7.-pp. 1257- 1271.

125. Saleeb A. F., Chen K., Chang Y. P. An effective two-dimensional frictional contact model for arbitrary curved geometry // Int. J. for Num. Meth. Eng., 1994, Vol. 37.-pp. 1297- 1321.

126. Sargent R. W. H. An efficient implementation of the Lemke algorithm and its extension to deal with upper and lower bounds // Math. Programming Study, 1978, №7.-pp. 36-54.

127. Seok-Soon Lee A computational method for frictional contact problem using finite element method // Int. J. for Num. Meth. Eng., 1994, Vol. 37, № 2. pp. 217-228.

128. Simunovic S. A linear programming formulation for incremental contact analysis // Int. J. for Num. Meth. Eng., 1995, Vol. 38. pp. 2703 - 2725.

129. Sipcic S. R., Rabinovich V. L., RuggR. A. Boundary variational formulation of a frictionless contact problem for composite finite bodies // AIAA Journal, 1994, Vol. 32, №2.-pp. 365-370.

130. Sun S. M., Tzou H. S., Natori M. C. Parametric quadratic programming method for dynamic contact problems with friction // AIAA Journal, 1994, Vol. 32, № 2. -pp. 371 -378.

131. Tin-Loi F., Xia S. H. Nonholonomic elastoplastic involving unilateral frictionless contact as a mixed complementarity problem // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 2001, Vol. 190. pp. 4551 - 4568.

132. Underhill W. R. C., Dokainish M. A., Oravas G. Ж. A method for contact problems using virtual elements // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 1997, Vol. 143.-pp. 229-247.

133. YogeswarenE. K., ReddyJ.N. A study of contact stresses in pin-loaded orthotopic plates // Computers and Structures, 1988, V. 30, № 5. pp. 1067 -1077.

134. Zhi-Hua Zhong, Jaroslav Mackerle Static contact problem a review // Engineering computation. - 1992. - V. 9. - № 1. - pp. 3 - 37.