автореферат диссертации по строительству, 05.23.11, диссертация на тему:Исследование напряженно-деформированного состояния плиты жесткого аэродромного покрытия с учетом ее одностороннего взаимодействия с основанием

На правах рукописи

ДОЛГАЧЕВ Михаил Владимирович

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛИТЫ ЖЕСТКОГО АЭРОДРОМНОГО ПОКРЫТИЯ С УЧЕТОМ ЕЕ ОДНОСТОРОННЕГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С ОСНОВАНИЕМ

05.23.11 - проектирование и строительство дорог, аэродромов, мостов, метрополитенов и транспортных тоннелей

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 6 ДПР 2012

Хабаровск - 2012

005019078

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Тихоокеанский государственный университет»

Научный руководитель: доктор технических наук

Ловцов Александр Дмитриевич

Официальные оппоненты: Белуцкий Игорь Юрьевич

доктор технических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Тихоокеанский государственный университет», заведующий кафедрой «Мосты, основания и фундаменты»

Баенхаев Александр Викторович

кандидат технических наук,

ФГАОУ ВПО «Дальневосточный федеральный

университет», администратор образовательных

программ по направлению «Строительство»

Инженерной школы

Ведущая организация: ОАО «Проектно-изыскательский институт

воздушного транспорта «Дальаэропроект»

Защита состоится «24» мая 2012 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.294.01 при ФГБОУ ВПО «Тихоокеанский государственный университет» по адресу: 680000, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, д. 136, ауд. 315 л.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тихоокеанского государственного университета.

Автореферат разослан « » апреля 2012 г.

Ученый секретарь _д\

диссертационного со1&Еа--Александр Валентинович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования определяется необходимостью повышения работоспособности конструкций аэродромных покрытий. Жесткие покрытия аэродромов следует относить к классу конструкций с односторонними связями, ввиду способности грунта работать только на сжатие. Задача расчета таких конструкций является конструктивно нелинейной. Очевидна необходимость создания таких методов расчета, которые, с одной стороны, были бы достаточно эффективны, физически «прозрачны» и понятны инженеру, не сложны в использовании и, с другой стороны, позволяли оценить параметры НДС плиты по уточненной расчетной схеме.

Цель работы — исследование напряженно-деформированного состояния (НДС) плиты жесткого аэродромного покрытия с учетом ее одностороннего взаимодействия с основанием.

Объект исследования — система «основание — плита жесткого аэродромного покрытия». Предмет исследования — влияние одностороннего взаимодействия плиты и основания на изменение параметров НДС плиты.

Задачи исследования:

1. Разработать алгоритмы расчета плиты на одностороннем дискретном и/или сплошном основании Винклера с учетом/без учета зазоров между плитой и основанием.

2. Программно реализовать разработанные алгоритмы определения параметров НДС плиты, односторонне контактирующей с основанием.

3. Провести анализ изменения параметров НДС плиты жесткого аэродромного покрытия по сравнению со схемой двустороннего взаимодействия покрытия и основания в случаях: статического силового нагружения; изменения соотношения жесткости плиты и основания; просадки и выпучивания основания.

4. Дать оценку влияния неучёта односторонности взаимодействия плиты с основанием на параметры ее НДС.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Сведение задачи расчета плиты, односторонне контактирующей с основанием Винклера, к линейной задаче дополнительности (ЛЗД) в перемещениях.

2. Разработка модификации алгоритма Лемке решения полученной ЛЗД, как метода перемещений строительной механики и использование его при моделировании контактного взаимодействия основания и плиты аэродромного покрытия.

3. Оценка влияния уточненной расчетной схемы одностороннего взаимодействия плиты аэродромного покрытия с основанием на параметры ее НДС.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием корректных математических моделей и методов, совпадением решений, полученных по разработанным алгоритмам, с известными точными решениями.

Научные положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Алгоритмы расчета плиты на одностороннем дискретном и/или сплошном основании Винклера с учетом/без учета зазоров между плитой и основанием. .

2. Программный комплекс определения параметров НДС пластинчатых систем с односторонними связями.

3. Результаты исследования НДС плит жесткого аэродромного покрытия с использованием разработанной методики.

Практическая значимость работы определяется следующим.

1. Разработан вариант алгоритма Лемке для решения ЛЗД и предложена его трактовка в форме классического метода строительной механики - метода перемещений - с привлечением понятий: «основная система», «единичные и грузовое состояния», «условие эквивалентности основной и заданной систем», известных каждому инженеру.

2. Созданы и программно реализованы эффективные в вычислительном отношении алгоритмы расчета плиты на одностороннем основании Винклера, которые могут быть использованы в учебном процессе, проектных институтах и исследовательских лабораториях. На программную реализацию разработанного алгоритма получены свидетельства об официальной регистрации программы № 2002611286 в реестре программ для ЭВМ и о регистрации программы в ВНТИЦ №0203023180306.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались на научных чтениях памяти профессора М.П. Даниловского (г. Хабаровск, ТОГУ, 1999 г., 2000 г.); на международной научной конференции аспирантов и студентов (г. Хабаровск, ТОГУ, 2002 г.); на конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (г. Владивосток, ДВГТУ, 2002 г.); на V краевом.конкурсе мо-4

лодых ученых и аспирантов в 2002 г.; на III международной конференции творческой молодежи в ДВГУПС в 2003 г.; на II, VI, XI международных конференциях «Новые идеи нового века» в 2002, 2006, 2011 гг.; на заседании кафедры МДТТ ТОГУ в 2004 г.; на расширенном заседании кафедр МДТТ, СК, АД ТОГУ в 2012 г.

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 9 работах, включая 7 статей, из них 1 статья в журнале, рекомендованном ВАК, и 2 свидетельства об официальной регистрации программ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов и списка литературы. Результаты исследований изложены на 223 страницах машинописного текста, включая 101 рисунок, 10 таблиц, список литературы из 167 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, определена ее цель, практическая значимость, а также научные положения,

выносимые на защиту.

В первой главе приводятся краткие сведения о конструктивных решениях жестких аэродромных покрытий, сведения о математических моделях системы «плита-основание» и методах их расчета.

Сборные покрытия аэродромов имеют ряд преимуществ перед монолитными: относительно простая технология строительства; исключение трудоемкой операции по укладке и уходу за бетоном; высокое качество плит за счет их изготовления в условиях хорошо налаженной заводской технологии; возможность круглогодичного строительства и ввода покрытия в эксплуатацию сразу после его возведения. К недостаткам сборных покрытий следует отнести повышенную металлоемкость и очень большое количество швов, ухудшающих ровность покрытия. Для устройства сборных аэродромных покрытий применяют предварительно напряженные железобетонные плиты типа ПАГ-14,18.

Одним из главных требований при строительстве сборных аэродромных покрытий является обеспечение полного контакта плит с основанием. Однако в силу технологических особенностей устройства таких покрытий выполнить это требование практически невозможно. Поэтому площадь контакта, установлен-

ная в нормативных документах, должна составлять не менее 95% от общей площади плиты.

Вопрос возникновения повреждений и разрушения покрытий является очень сложным из-за многообразия факторов, влияющих на их НДС. Проблеме исследования НДС плит, расположенных на деформируемом основании посвящено большое число научных исследований. Результаты расчета существенным образом зависят от принятых моделей плиты, основания и модели их взаимодействия.

Модель плиты, как правило, принимают киркгофовской. В подавляющем большинстве публикаций модель взаимодействия плиты и основания принимается двусторонней: перемещения точек контакта плиты и основания считаются одинаковыми. Модели основания отличаются многообразием. В настоящее время предложено значительное число таких моделей, по-разному отражающих действительное поведение грунта. Наиболее широко используются следующие схемы: модели с одним и двумя коэффициентами постели, модели упругого однородного изотропного полупространства и полуплоскости,- различные комбинации этих моделей.

Исследования, посвященные расчету балок и плит, лежащих на основании, представляющем упругое изотропное полупространство были начаты

B. Г. Герсевановым. Также следует отметить работы, проведённые в этой области Г. Э. Проктором, В. А. Флориным, Б. Н. Жемочкиным, И. Я. Штаерманом, А. П. Синициным, Л. А. Галиным, О. Я. Шехтер и др.

Расчёту пластин и балок на нелинейном основании посвящены работы

C. Н. Клепикова, 3. В. Бабичева, А. В. Вронского, В. Н. Караваева, А. А. Аендульева, В. Н. Шивалова, Е.Г. Соловьева, Л. С. Ольховик и других авторов.

К числу первых исследований работоспособности жестких покрытий дорог и аэродромов при воздействии многократно повторяющихся транспортных нагрузок относятся работы В. Ф. Бабкова, Г. И. Глушкова, А. П. Синицина, Г. Я. Ключникова, В. П. Носова и др. По литературным источникам и опубликованным результатам обследований известно, что между плитой и основанием может возникать зазор. Проблемам, связанным с несущей способностью плит жестких дорожных и аэродромных покрытий при неполном контакте с упругим основанием посвящены работы, В.А.Кульчицкого, Г. Н. Колесникова, Л. Ю. Артемовой, М. И. Раковской и др. 6

Отрицательные последствия морозного пучения также сказываются на работоспособности плит покрытий (работы Г. И. Глушкова, М. П. Полтева, И. А. Медникова, О. Р. Голли и др.). При неравномерном вспучивании или оттаивании основания плита оказывается приподнятой и опирающейся на грунт в отдельных местах. Возникающие при этом напряжения только от влияния собственного веса могут намного превышать предел прочности бетона при изгибе и являться причиной разрушения покрытий аэродромов еще до сдачи их в эксплуатацию.

Обзор работ по данному вопросу показал, что модель коэффициента постели (Фусса-Винклера и модель упругого слоя приводят к близким результатам в весьма широких пределах.

Как правило, модель взаимодействия плиты и основания требует равенства перемещений плиты и основания в точках их контакта. Следовательно, предполагается, что грунт способен работать как на сжатие так и на растяжение. Таким образом, модель взаимодействия плиты и основания оказывается двусторонней. В условиях линейности моделей плиты и основания задача оказывается линейной.

Способность грунта работать только на сжатие обусловливает возможность отрыва плиты от основания. При этом размеры и положение зон отрыва и контакта плиты с основанием заранее неизвестны и должны определяться расчетом. В зоне отрыва взаимодействие между плитой и основанием отсутствует. В этой ситуации модель взаимодействия плиты и основания следует принимать односторонней: силы взаимодействия отличны от нуля в зоне контакта и равны нулю в зоне отрыва. В целом система «плита-основание» оказывается нелинейной и ее следует рассматривать как систему с односторонними связями.

О современном состоянии таких задач, известных как задача Синьорини, можно судить по работам А. С. Кравчука, Л. А. Розина, А. В. Вовкушевского, А. М. Хлуднева, Б. А. Шойхета и многих других. Много внимания данному вопросу уделяется в зарубежных публикациях. Наиболее важными из них, на наш взгляд, являются работы Ж.-Л. Лионса, Дж. Одена, А. Кларбрина, П. Панагиотопулоса, Куака и других.

В работах В. Н. Гордеева, А. В. Перельмутера было показано, что система уравнений и неравенств, записанная для дискретизованной системы с односторонними связями, является условиями оптимальности Куна - Таккера задачи условной минимизации квадратичной формы функционала энергии. С этих пор

7

большинство работ связано с применением или развитием тех или иных методов квадратичного программирования (КП), т. е., к поиску минимума квадратичной функции при линейных ограничениях в виде равенств и неравенств (задача условной минимизации). Для решения задачи КП (как у нас в стране, так и за рубежом) используются итерационные алгоритмы, как правило, различные варианты градиентных методов такие, как метод условного градиента, методы релаксации, методы проекции градиента, методы линейного программирования. К несомненным достоинствам этих методов относятся единственность получаемого решения и наличие оценок скорости сходимости.

В случае использования квадратичных функционалов, записанных в терминах контактных усилий или перемещений условия оптимальности Куна -Таккера для задачи условной оптимизации представляют собой линейную задачу дополнительности (ЛЗД). Применение алгоритмов ЛЗД для решения задач контактного взаимодействия деформируемых тел за редким исключением реализуется зарубежными авторами. В работе А. Кларбрина проведено сравнение вычислительной эффективности большой группы методов (Лагранжа, штрафа, ЛЗД), показано превосходство алгоритмов ЛЗД.

Из известной нам литературы по контактным задачам на удивление мало публикаций, касающихся расчета пластинок, контактирующих с упругим основанием. Первой работой в этом направлении следует считать работу Н. В. Баничука об одностороннем контакте упругой пластины с жестким основанием, расположенным с зазором. Используется вариационная постановка задачи и численный метод минимизации квадратичного функционала.

В связи с этим в представленной диссертации развивается вариант алгоритма Лемке для расчета плит на упругом одностороннем основании Винклера.

Во второй главе исследуются параметры НДС плит на дискретных односторонних опорах.

Рассматривается физически и геометрически линейный изгиб пластин, описываемый технической теорией изгиба Кирхгофа-Лява:

дАУ) <94ги д4т q 4 д

-- + 2—-—- Ч--- = — или = —,

дх дх2ду2 ду4 О О

где Б = ЕНг / 12(1 - и2) - цилиндрическая жесткость пластины; Е, и - соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пластины; к - толщина пластины.

Рис. 1. Пластина: а - модель; б - правило знаков

Пластина произвольной конфигурации, занимающая область О, загружена произвольной внешней нагрузкой, оперта на части границы Гц на двусторонние опоры и на части границы Тк на односторонние опоры. Гц может отсутствовать. Гк представляет собой множество точек хг,уіУ в которых расположены односторонние жесткие опоры і Є Іг, Іг = {г : г = 1,ЫГ } и односторонние упругие опоры і Є /е, Іе = |г : і = + 1,Ыт + Ые К = Ыг + .

Между пластинкой и дискретными опорами имеются зазоры (рис. 1 ,а). Зазоры предполагаются малыми, что позволяет заранее определить те точки пластины, которые могут вступить в контакт с опорами! То есть, координаты хі,уі опор и точек контакта пластины с таковыми совпадают.

На рис. 2, а серым показаны пластина и опоры до деформации, черным -после деформации. Под зоной контакта подразумевается набор дискретных опор, вступивших в контакт с пластиной (показаны черным цветом), под зоной отрыва - не вступивших в контакт с пластиной (остались серыми).

Рис. 1. Односторонний контакт: а - граничные условия; б - учет зазора

Односторонний контакт опоры и пластины осуществляется по нормали к поверхности пластины. Горизонтальные составляющие реакций односторонних связей равны нулю. В этой ситуации граничные условия одностороннего контакта записываются в виде: для зоны контакта

Я. >0, < + £ > 0, + £) > 0, (1)

для зоны отрыва

Нг = 0, < = 0, 0, (2)

где - прогибы пластины в точках х1,ух возможного контакта; Д, - реакции взаимодействия пластины с опорами (рис. 1, б) положительные при сжатии. Зазор £ > 0, если совпадает по направлению с > 0 (рис. 2, а). Прогибы пластинки иг > 0 и осадка упругих опор > 0, если они совпадают по направлению с Щ > 0. Силы взаимодействия пластины с упругими опорами Я. = = с- ■ где с{ - жесткость упругих опор.

При наличии Гц с граничными условиями, обеспечивающими отсутствие смещение тела как жесткого целого, зазорами ^ < 0 обеспечивается предварительное напряжение конструкции. Отрицательными зазорами моделируется также выпучивание грунта при любых условиях опирания.

В работах РозинаЛ.А. для систем с односторонними связями показана справедливость принципа Лагранжа для задачи трехмерной теории упругости.

Введем переменную д1 = + £, представляющую собой зазор между пластиной в деформированном состоянии и опорой (рис. 2,6). Тогда граничные условия (1), (2) перепишутся в виде:

Щ>0, д{> 0, ЯГ9{> 0. Вариационная постановка задачи состоит в следующем:

гшпП£(го<,<?,.),УгуХ £ Мь, Мь =

где Щ = ¡/¿Т£ + I / с ■ ш°ЧПк - /дгтЮ - ' . (4)

п п'к П

гиРи>* го,- + ш' +- С,- > 0 Щ = /г» дш /дп = /2

, (3)

ю

- функционал Лагранжа, являющейся выражением потенциальной энергии изгибаемой пластины, упругих спор и потенциала внешних сил. Для жестких

опор соответствующее перемещение принимается равным нулю.

Конечно-элементная аппроксимация функционала Лагранжа (4) приводит к следующей квадратичной форме

где Д = |гит (рт

| - вектор обобщенных перемещений пластинки, ад - вектор контактных степеней свободы (прогибы пластинки в узлах конечно-элементной сетки) и ф - вектор неконтактных степеней свободы (углы поворота в узлах конечно-элементной сетки). Тогда потенциальная энергия системы запишется в виде:

К" 1С

•um» wip

к к

ipw Ф<р

+

-{

Фт}\

тс тс

WW W(p

к к

tfW (fip

{йеТ о}

с о о о

F*

(5)

где: Кюш = Кшш + С; z = w + uie - вектор взаимных перемещений плиты и

упругой опоры в точках контакта.

Таким образом, задача (3) свелась к задаче выпуклого квадратичного программирования с ограничениями min П^ ( z, ф), z > 0.

Решение данной задачи должно удовлетворять условиям Куна-Таккера, которые в нашем случае выглядят так

ТС К!

WVi шу>

і? т7

ipW tfp

F„,

R = 0, z > 0, R> 0, zTR = 0, (6)

где Е, 0 - единичная и нулевая матрицы.

Задача (6) в терминах г и й выглядит так:

где К = Кшю - KWßKfi[fi

_1К

(7)

ipvi'

R — К К — F

nF — pifi rip W

Система уравнений и неравенств (7) представляет собой стандартную формулировку ЛЗД, для которой: доказаны существование и единственность

решения при положительно определенной и полуопределенной матрице К; разработаны методы решения, сходящиеся за конечное число шагов (К. Лемке, Дж. Данциг, Р. В. Коттл, и др.). Последнее обстоятельство является главным преимуществом по сравнению с известными итерационными методами решения таких задач. Кроме того, алгоритмы ЛЗД с незначительными изменениями используют симплекс-метод решения задачи линейного программирования, что обусловливает их простоту и эффективность (использование алгоритма Лемке для задач линейного программирования в 2 - 3 раза эффективнее обычного симплекс-метода).

Решение ЛЗД (7) начинается с выбора основной системы. Основная система получается из заданной превращением односторонних связей в двусторонние (в дальнейшем — двусторонние связи основной системы).

Обозначим 2 = г + £. Тогда (7) можно записать в виде:

Я = Кг + Яд, Е > 0, ¿>0, йтг = 0, (8)

где Дд = В.р — К£, К - матрица жесткости конструкции по направлению перемещений г, построенная в основной системе: К:/ (/,_/ =ПТ) — реакция в связи

г от единичного смещения связи - грузовой вектор, компоненты которого .представляют собой сумму реакций в двусторонних связях основной системы от заданной нагрузки (Яр) и заданного смещения опор (К£). Веденная переменная X, представляет собой расстояние от точки г основания до точки его возможного контакта с плитой. Можно сказать, что основная система представляет собой плиту, опертую на двусторонние опоры, загруженную заданной нагрузкой и осадкой основания. Этот прием позволяет свести задачу расчета контакта тел с зазорами к задаче без зазоров.

Для решения системы уравнений и неравенств (8) воспользуемся алгоритмом Лемке, который представляет собой итерационную процедуру, реализуемую за конечное число шагов. Расширяем задачу введением дополнительной искусственной переменной Щ~> 0 такой, что

Я-Кг - ^е + Яр > 0, (9)

где e=:jl 1 ... lj .To есть все введенные связи подвергаются искусственному предварительному обжатию, обеспечивающему отсутствие растягивающих усилий во всякой двусторонней связи основной системы.

Следовательно, основная система конструкции модифицируете;; введением предварительного обжатия. Исходная система уравнений и неравенств (8) расширяется до системы уравнений

R-Kz - R^e = RF (10)

и неравенств

R> 0, z>0, R-z = 0, Ro>0. (11)

Основная система будет эквивалентна заданной, если Д0 = 0.

Расчет плиты на одностороннем основании состоит из трех этапов: 1) формирование контактной матрицы жесткости К и грузового вектора RF любым подходящим методом; 2) решение задачи дополнительности (10), (11) с целью определения рабочей схемы конструкции; 3) определение параметров НДС конструкции с учетом заданной нагрузки и выявленной на втором этапе рабочей схемы конструкции. Алгоритм решения ЛЗД.

Итерация 1 реализуется с целью определить уровень предварительного обжатия Rq , обеспечивающего «момент отрыва» пластинки от одной из связей, и осуществляется в такой последовательности:

1. Определение номера I ведущей строки из условия Rm = min Rm < 0;

2. Осуществление шага однократного замещения Жордана-Гаусса;

3. Выбор номера с ведущего столбца по формуле с = I.

По окончании выполнения первой итерации имеем: найденную и введенную в базис величину предварительного обжатия R0; номер I связи, для которой найденный уровень предварительного обжатия обеспечивает «момент отрыва» - Rl вышла из базиса и, следовательно, оказалась равной нулю; номер с = I перемещения, который следует ввести в базис на следующей итерации, поскольку wc, взаимно дополнительное к Rt, может оказаться большим нуля.

Следовательно, по окончании первой итерации имеем новую рабочую схему, в которой связь I выключилась из работы.

Итерация 2 и последующие реализуются с целью выявить очередную рабочую схему, соответствующую новому (уменьшенному) уровню предварительного обжатия. Следовательно, надо так минимально изменить уровень предварительного обжатия, чтобы в новой рабочей схеме не появились усилия отрыва во введенных связях. Такой подход диктует следующий порядок действий:

1. Определение номера I ведущей строки по правилу минимального

Кп- . До; отношения —г1- = тш .

4 4<>0 Ас

Отметим, что рассмотрение только положительных компонентов Дс > О ведущего столбца с диктуется необходимостью уменьшать Яд; а выбор ведущей строки I по минимальному отношению обеспечит отсутствие растягивающих усилий во введенных связях в новой рабочей схеме - обеспечит отсутствие отрицательных компонент в грузовом векторе. Отметим также, что номер ведущей строки определяет номер той переменной (из числа базисных), которая «автоматически» будет выведена из базиса на шаге однократного замещения.

2. Осуществление шага однократного замещения Жордана-Гаусса;

3. Выбор номера с ведущего столбца по правилу дополняющей нежесткости: в базис на следующей итерации будет вводиться переменная, дополнительная к базисной переменной, выведенной из базиса в текущей итерации. По окончании выполнения второй и последующих итераций имеем: введенную в базис переменную (если это ги,, то реализуется отрыв пластинки от опоры - выключение связи с; если это йс, то реализуется контакт пластинки с опорой - включение связи с); «автоматически» выведенную из базиса на шаге однократного замещения переменную (в случае выключения связи это Щ = 0 ;

в случае включения связи - -Ш! = 0), либо Дд; номер базисной переменной, которая будет введена в базис на следующей итерации.

Следовательно, по окончании второй и последующих итераций имеем новую рабочую схему, в которой связь с включилась либо выключилась из работы.

Критериями окончания работы алгоритма являются:

1. тривиальное решение - грузовой вектор, сформированный перед выполнением первой итерации, не имеет отрицательных компонент; тогда

Я = т = 0, Я0 = 0 и все односторонние связи работают на сжатие;

2. лучевое решение - правило минимального отношения при выборе ведущей строки неприменимо, поскольку все компоненты ведущего столбца неположительны; тогда становится невозможным уменьшить Я0 и, следовательно, отсутствует рабочая схема без предварительного обжатия; при Д0 = 0 тело

будет смещаться как жесткое целое;

3. нормальное завершение итерационного процесса - на второй или последующих итерациях из базиса выводится Н0; тогда найденная рабочая схема будет соответствовать действительной работе конструкции, поскольку снято искусственно введенное предварительное обжатие односторонних связей.

Коротко говоря, для заданной нагрузки тривиальное решение соответствует всюду включенным односторонним связям, лучевое решение соответствует жесткому смещению тела, нормальное решение определяет рабочую

схему конструкции.

С применением разработанного алгоритма был решен ряд модельных задач, в том числе и таких, которые имеют точное решение.

Решение вышеописанных задач показало эффективность предложенного алгоритма, поскольку получены результаты, совпадающие с точным решением для одномерной задачи и результаты, качественно соответствующие теории контактных задач, в которых рассматриваются задачи контактного взаимодействия упругого и жесткого тел. Следует отметить, что каждый шаг предложенного алгоритма имеет ясный физический смысл последовательной смены рабочих схем при уменьшении предварительно введенного искусственного обжатия.

Рассмотренные задачи демонстрируют возможность применения разработанного алгоритма для расчета пластин на осадку опор и оптимизации контактного давления формой и размерами зазора между пластиной и опорами. Осадка опор моделируется с помощью задания необходимых величин зазоров. Полученные численные результаты свидетельствуют о том, что параметры НДС односторонне опертой пластинки значительно отличаются от таковых для пластинки, опертой двусторонне (особенно в зоне отрыва). Однако напряжения в пластинке незначительно различаются при разных условиях опирания.

/ П'

к - - 1 к

/ /

1 3

Решение вышеописанных тестовых задач показало эффективность ¡хредложекного алгоритма, поскольку получены результаты, совпадающие с точными решениями с любой Рис. 3. Пластина на основании Винклера наперед заданной точностью.

В третьей главе исследуются параметры НДС плиты на упругом одностороннем основании Винклера. Рассматривается изгиб пластинки, занимающей область Г2 произвольной конфигурации (рис. 3). Гц - часть границы с

двусторонним опиранием. О! - часть области О со сплошным односторонним основанием Винклера, которое расположено с зазором относительно пластинки. Тк - совокупность односторонних жестких дискретных опор в точках х^ у{ (гё /г) и односторонних упругих дискретных опор в точках х^ 2/; [г € 1е). Между дискретными опорами и пластинкой присутствуют зазоры ^{ге1к).

Изгиб пластинки описывается уравнением V= (^ — г) / £>, где г(х, у) = с ■ к(х, у) (12)

- силы взаимодействия пластины и сплошного основания; с - коэффициент постели. Силы взаимодействия пласти-

г ны и дискретных упругих опор

Рис. 4. Дискретизация задачи

На ГI' сжимающие силы взаимодействия г (в случае сплошного основания) и К{ (¿б/^)(в случае дискретного основания) принимаются за положительные. Прогибы пластинки т > О, > 0 и основания гие > 0, ги? > 0 на О! и Тк, если совпадают по направлению с г > О, Е{ > 0.

Односторонний контакт пластины и основания осуществляется по нормали к поверхности пластины. В оговоренной ситуации условия одностороннего контакта записываются в виде: для зоны контакта

г > 0, юе + ги + £ = 0; х, у е П';

> 0, < + +£. = 0; х^у{еТк,

#¿>0,^ + ^ = 0; *„1/4€Гх> г€/г; для зоны отрыва

г = 0, и)е =0, ю+ £ > 0; х,у е П';

Д. = 0, < = 0, щ + $ > 0; у, 6 Гк, г е /е;

Я{ = 0, ш. + £ > 0; у,- г е /г.

Эти группы условий можно объединить, если ввести функцию д(х,у) = г (ж, ?/) + у) и величины <?,- = .г<+£,-) характеризующие зазор

между пластиной и основанием после приложения нагрузки: > >0, д> 0, г-д = 0; г,уеП';

^ > 0, г,- > 0, Л^ • = 0; а^у,- еГ*.

где 2(ж,у) = ад (ж, у) + (х,?/), ^ = + ги? - взаимное удаление контактных

точек пластинки и основания.

Вариационная постановка задачи с учетом наличия дискретных упругих опор и винклеровского основания запишется в виде:

тт П^ (ги, гуе ), Уи/,гие €

■ш,гое и; + гое + ^ > 0, ги; + + ^ > 0 = дш/дп = /2, 1,1/ 6 Гц

го

и

где П^ + - fqwdn-J2Fj■^u>j■

п П' <6/. п

Будем рассматривать конечно-элементную дискретизацию системы «пластина-основание». Пластину представим набором конечных элементов (рис. 4, а). Конечно-элементная сетка пластины имеет тп узлов. Дискретизация сил взаимодействия г (ж, у) пластины и основания на О! осуществляется введением в узлы КЭ-сетки пластины жестких связей, соединенных со штампами, которые в свою очередь, контактируют с основанием Винклера (рис. 4, б). Размеры штампов определяются размерами и количеством элементов, ассоциированных с узлом КЭ-сетки (рис. 4 а, б).

Таким образом, дискретизованное основание представляет собой систему не связанных друг с другом жестких штампов, опирающихся на винклеровское основание (рис. 4, б, в). В результате задача расчета пластинки на одностороннем винклеровском основании свелась к расчету пластины на дискретных упругих односторонних опорах жесткостью с(. = с • А{, где А{ — площадь штампа, ассоциированного с узлом КЭ-сетки (рис. 4, а, б).

Условия контакта запишутся в виде г > 0, Л > 0, гт ■ И = 0, где г{ - взаимное удаление г -х узлов пластинки и системы штампов; Щ — узловые усилия взаимодействия указанных выше узлов.

Дальнейшая процедура получения стандартной формы ЛЗД и алгоритм ее решения совпадают с описанными в главе 2.

В четвертой главе разработанный и оттестированный алгоритм был апробирован для исследования изменения параметров НДС плиты жесткого аэродромного покрытия в различных ситуациях: статическое силовое нагружение; изменение соотношения жесткости плиты и основания; просадка и выпучивание основания.

Известно, что в реальных условиях эксплуатации покрытия подвижная нагрузка от колес самолета может прикладываться в любых точках плиты покрытия. В связи с этим был проведен численный эксперимент с целью выявить влияние одностороннего характера взаимодействия плиты с основанием на параметры ее НДС.

В качестве одного из объектов исследования была принята аэродромная плита марки ПАГ-14. Размеры плиты: длина 6,0 м, ширина 2,0 м, толщина

0,14 м. Бетон плиты класса ВЗО с модулем упругости Еь = 2,5 хЮ4 МПа и коэффициентом Пуассона ¡л = 0,12. Плита контактирует с основанием Винклера.

Было рассмотрено несколько характерных случаев нагружений. При этом нагрузка складывалась из нагрузки от собственного веса плиты и нагрузки от опоры воздушного судна.

В первом случае нагрузка в виде силы F = 83,6 кН (что соответствует расчетной нагрузке на колесо от воздушного судна типа Ту-154Б с нормативной нагрузкой на опору Fn - 456 кН) прикладывалась в наиболее характерных (в отношении влияния на напряженно-деформируемое состояние) зонах: в углу; в центре короткого и длинного краев; в центре плиты. Площадь отпечатка пневматика принималась равной площади квадрата со стороной 0,34 м, что согласуется с площадью отпечатка пневматика одноколесной эквивалентной нагрузки для расчета жесткой плиты на прочность при изгибе (СНиП 2.05.08-85).

Во втором и третьем случаях нагрузка принималась согласно схеме передачи нагрузки на покрытие от Ту-154Б и Ил-62М (соответственно 6 и 4 колес опоры). Движения воздушного судна по плите аэродромного покрытия моделировалось различными вариантами расположения опоры самолета на плите.

Во всех случаях было исследовано изменение параметров НДС плиты при различных коэффициентах постели с = \0+ 360 МИ/ , при просадке (£ < 0,04 м), пучении грунта £, > -0,02 м и в отсутствии зазоров. Указанные значения с, £ приняты согласно СНиП 2.05.08-85.

Результаты проведенных расчетов показали, что во всех рассмотренных случаях наибольшие прогибы возникают при нагружении плиты в углах и по короткой стороне. При этом в сравнение со схемой двустороннего взаимодействия плиты с основанием напряжения увеличились до 35 %, а прогибы в разы (возможно различие прогибов и в знаках).

Из работ авторов, исследовавших закономерности морозного пучения грунтов известно, что схема наиболее неблагоприятного для работы плиты расположения растущего горба пучения находится под центром плиты. В соответствии с указанным утверждением моделирование выпучивания грунта осуществлялось введением отрицательных зазоров между плитой и основанием именно в центральной части. Результаты численного эксперимента представлены в виде различных графиков, позволяющих оценить параметры напряженно-

деформированного состояния. На рис. 5 представлены характерные случаи из проведенной серии расчетов с большой разницей параметров НДС при одностороннем (сплошная линия; закрашенная поверхность) и двустороннем (пунктир; незакрашенная поверхность) взаимодействии плиты с основанием. На рис. 5, а показаны эпюры напряжений и прогибов при одноколесной нагрузке; на рис. 5, б - при шестиколесной нагрузке и просадке основания; на рис. 5, в-при четырехколесной нагрузке и выпучивании основания.

а,, МПа

сг„ МПа

36.7Г

б) о» МПа

Рис. 5. Исследование НДС плиты ПАГ-14

м>, м

0.0050— ■0.0!]£-

0.03-

0.03-0.ОЬ-

Полученные в работе результаты показывают необходимость применения разработанного алгоритма для оценки НДС плиты аэродромного покрытия.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ

1. Разработан и программно реализован неитерационный алгоритм метода перемещений с предварительным обжатием для решения задач одностороннего контакта плиты с дискретным и/или сплошным винклеровским основанием. Каждый шаг алгоритма носит ясный физический смысл, понятный инженеру, поскольку позволяет оперировать привычными ему понятиями: основная система; единичные состояния; условия эквивалентности основной и заданной систем.

Разработанный алгоритм программно реализован и официально зарегистрирован в реестре программ для ЭВМ и в ВНТИЦ.

2. Исследовано изменение параметров НДС плит жесткого аэродромного покрытия по уточненной расчетной схеме в различных случаях, встречающихся при их проектировании и обследовании.

3. Установлено, что уточнение расчетной схемы учетом одностороннего взаимодействия плиты жесткого аэродромного покрытия с основанием приводит к результатам, отличающимся от результатов, полученных без учета одностороннего взаимодействия: как правило, наблюдается рост напряжений и прогибов в зоне контакта плиты и основания (до 35%). При просадке или вспучивании грунта возможно качественное изменение параметров НДС плиты в зоне отрыва плиты от основания и в окрестности границы зон контакта и отрыва — напряжения могут отличаться по знаку. При учете односторонности взаимодействия между плитой и основанием изменение коэффициента постели основания оказывают гораздо более значимое влияние на параметры НДС плиты, чем без учета.

4. Расчет плит жестких аэродромных покрытий рекомендуется проводить согласно нормативным документам с использованием уточненной расчетной схемы, учитывающей односторонность взаимодействия плиты и основания.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Долгачев М. В. Моделирование взаимодействия пластины и грунта при его выпучивании и просадке / М. В. Долгачев, А. Д. Ловцов // Вестник Тихоокеанского государственного университета. - 2012. — № 1(24). - С. 131-139.

2. Долгачев М. В. Расчет пластин на жестких односторонних опорах методом перемещений с введением искусственного предварительного напряжения / М. В. Долгачев, А. Д. Ловцов // Строительная механика и механика материалов: сборник научных трудов. Выпуск 2; Хаб. гос. техн. ун-т. - Хабаровск, 2002. - Деп. в ВИНИТИ, № 1650-В2002. - С. 49-66.

3. Расчет пластин на одностороннем упругом основании: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ / М. В. Долгачев, А. Д. Ловцов. - № 2002611286. зарег. 31.07.2002. Реестр программ для ЭВМ Москва, 31 июля 2002 г.

4. Долгачев М. В. К расчету пластин на одностороннем основании Винклера методом перемещений / М. В. Долгачев, А. Д. Ловцов // Новые идеи нового века: Международная научная конференция аспирантов и студентов ИАС ХГТУ. New Ideas of the New Century: The International Scientific Students of the IACE KSUT. - Хабаровск, 2002. - С. 16-19.

5. Долгачев M. В. Метод перемещений расчета пластин на одностороннем основании / М. В. Долгачев, А. Д. Ловцов // Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI веке: труды третьей международной научной конференции творческой молодежи. - Хабаровск, 2003. — Т.2. - С. 72-76.

6. Долгачев М. В. Расчет пластин на дискретных односторонних опорах / М. В. Долгачев, А. Д. Ловцов // Дальний Восток: проблемы развития архитектурно-строительного комплекса: материалы региональной научно-практической конференции. - Хабаровск, 2003. - Вып 4. - С. 210-216.

7. Расчет пластинчатых систем на дискретных односторонних опорах:' Программный комплекс для IBM PC 486 / М. В. Долгачев, А. Д. Ловцов. - № 50200300554 ; Зарегистрирована ВНТИЦ 27.06.2003 г. № А/113.

8. Долгачев М. В. Обзор алгоритмов линейной задачи дополнительности в применении к контактным задачам / М. В. Долгачев // Новые идеи нового века 2006: материалы шестой международной научной конференция ИАС ТОГУ. The New Ideas Of The New Century 2006: The Sixth International Scientific Conference Proceeding of the IACE PNU. - Хабаровск, 2006. - С. 280-284.

9. Долгачев М. В. Применение метода Лемке для расчета пластин на одностороннем основании Винклера / М. В. Долгачев // Новые идеи нового века -2011: материалы одиннадцатой международной научной конференция ИАС ТОГУ. The New Ideas Of The New Century 2011: The Eleven International Scientific Conference Proceeding of IACE PNU: в 2 т. - Хабаровск, 2011. - С. 25-32.

ДОЛГАЧЕВ Михаил Владимирович

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛИТЫ ЖЕСТКОГО АЭРОДРОМНОГО ПОКРЫТИЯ С УЧЕТОМ ЕЕ ОДНОСТОРОННЕГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С ОСНОВАНИЕМ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать 16.04.2012 г. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая. Гарнитура «Тайме». Печать цифровая. _Усл. печ. л. 1,4. Тираж 120 экз. Заказ 94._

Отдел оперативной полиграфии издательства Тихоокеанского государственного университета. 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.

Оглавление.

Перечень условных обозначений.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1. Конструктивные решения жестких аэродромных покрытий.

1.2. Сведения о моделях системы «плита-основание» и методах их расчета.

1.3. Методы и алгоритмы расчета систем с односторонними связями.

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ НДС ПЛИТЫ НА ДИСКРЕТНЫХ

ОДНОСТОРОННИХ ОПОРАХ.

2.1 Определение параметров НДС плиты на дискретных жестких односторонних опорах.

2.1.1. Гипотезы, граничные условия и вариационный принцип Лагранжа технической теории изгиба тонких пластин на дискретных жестких односторонних опорах.

2.1.2. Приведение вариационной задачи расчета пластин на дискретных жестких односторонних опорах к задаче выпуклого квадратичного программирования с ограничениями.

2.1.3. Основные этапы расчета пластин на одностороннем основании.

2.1.4. Алгоритм решения линейной задачи дополнительности.

2.1.5. Примеры расчета балок и пластин на жестких односторонних опорах.

2.1.6. Влияние зазоров на кинематические возможные перемещения и функционал энергии.

2.1.7. Сведение задачи контакта пластины и жестких опор с зазорами к задаче без зазоров.

2.1.8. Примеры расчета балок и пластин на дискретных жестких односторонних опорах с зазорами.

2.2. Определение параметров НДС плиты на дискретных упругих односторонних опорах.

2.2.1. Влияние упругих свойств дискретных опор на постановку задачи.

2.2.2. Получение системы разрешающих уравнений и неравенств при изгибе пластин на дискретных упругих односторонних опорах.

2.2.3. Получение контактной матрицы жесткости.

2.2.4. Примеры расчета стержневых конструкций и пластин на дискретных упругих односторонних опорах.

2.2.5. Вариационный критерий Лагранжа для расчета пластин на упругих односторонних опорах с зазорами.

2.2.6. Сведение задачи контакта пластины и упругих опор с зазорами к задаче без зазоров.

2.2.7. Примеры расчета стержневых систем и пластин на дискретных упругих односторонних опорах с зазорами.

ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ НДС ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ ВИНКЛЕРА КАК СИСТЕМЫ С ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ

3.1 Вариационная постановка задачи.

3.2 Дискретизация задачи.

3.3 Алгоритм решения.

3.4 Численная реализация.

ГЛАВА 4. АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ НДС ПЛИТЫ ЖЕСТКОГО АЭРОДРОМНОГО ПОКРЫТИЯМ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ СТАТИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ.

4.1 Влияние силового воздействия на НДС плиты жесткого аэродромного покрытия.

4.2 Влияние просадки грунта на НДС.

4.3 Влияние выпучивания грунта на НДС.

Актуальность темы исследования определяется необходимостью повышения работоспособности конструкций аэродромных покрытий. Жесткие покрытия аэродромов следует относить к классу конструкций с односторонними связями, ввиду способности грунта работать только на сжатие. Задача расчета таких конструкций является конструктивно нелинейной. Очевидна необходимость создания таких методов расчета, которые, с одной стороны, были бы достаточно эффективны, физически «прозрачны» и понятны инженеру, не сложны в использовании и, с другой стороны, позволяли оценить параметры НДС плиты по уточненной расчетной схеме.

Цель работы - исследование напряженно-деформированного состояния (НДС) плиты жесткого аэродромного покрытия с учетом ее одностороннего взаимодействия с основанием.

Объект исследования - система «основание - плита жесткого аэродромного покрытия». Предмет исследования - влияние одностороннего взаимодействия плиты и основания на изменение параметров НДС плиты.

Задачи исследования:

1. Разработать алгоритмы расчета плиты на одностороннем дискретном и/или сплошном основании Винклера с учетом/без учета зазоров между плитой и основанием.

2. Программно реализовать разработанные алгоритмы определения параметров НДС плиты, односторонне контактирующей с основанием.

3. Провести анализ изменения параметров НДС плиты жесткого аэродромного покрытия по сравнению со схемой двустороннего взаимодействия покрытия и основания в случаях: статического силового нагружения; изменения соотношения жесткости плиты и основания; просадки и выпучивания основания.

4. Дать оценку влияния неучёта односторонности взаимодействия плиты с основанием на параметры ее НДС.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Сведение задачи расчета плиты, односторонне контактирующей с основанием Винклера, к линейной задаче дополнительности (ЛЗД) в перемещениях.

2. Разработка модификации алгоритма Лемке решения полученной ЛЗД, как метода перемещений строительной механики и использование его при моделировании контактного взаимодействия основания и плиты аэродромного покрытия.

3. Оценка влияния уточненной расчетной схемы одностороннего взаимодействия плиты аэродромного покрытия с основанием на параметры ее НДС.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием корректных математических моделей и методов, совпадением решений, полученных по разработанным алгоритмам, с известными точными решениями.

Научные положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Алгоритмы расчета плиты на одностороннем дискретном и/или сплошном основании Винклера с учетом/без учета зазоров между плитой и основанием.

2. Программный комплекс определения параметров НДС пластинчатых систем с односторонними связями.

3. Результаты исследования НДС плит жесткого аэродромного покрытия с использованием разработанной методики.

Практическая значимость работы определяется следующим.

1. Разработан вариант алгоритма Лемке для решения ЛЗД и предложена его трактовка в форме классического метода строительной механики - метода перемещений - с привлечением понятий: «основная система», «единичные и грузовое состояния», «условие эквивалентности основной и заданной систем», известных каждому инженеру.

2. Созданы и программно реализованы эффективные в вычислительном отношении алгоритмы расчета плиты на одностороннем основании Винклера, которые могут быть использованы в учебном процессе, проектных институтах и исследовательских лабораториях. На программную реализацию разработанного алгоритма получены свидетельства об официальной регистрации программы № 2002611286 в реестре программ для ЭВМ и о регистрации программы в ВНТИЦ №0203023180306.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались на научных чтениях памяти профессора М.П. Даниловского (г. Хабаровск, ТОГУ,

1999 г., 2000 г.); на международной научной конференции аспирантов и студентов (г. Хабаровск, ТОГУ, 2002 г.); на конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (г. Владивосток, ДВГТУ, 2002 г.); на V краевом конкурсе молодых ученых и аспирантов в 2002 г.; на III международной конференции творческой молодежи в ДВГУПС в 2003 г.; на II, VI, XI международных конференциях «Новые идеи нового века» в 2002, 2006, 2011 гг.; на заседании кафедры МДТТ ТОГУ в 2004 г.; на расширенном заседании кафедр МДТТ, СК, АД ТОГУ в 2012 г.

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 9 работах, включая 7 статей, из них 1 статья в журнале, рекомендованном ВАК, и 2 свидетельства об официальной регистрации программ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов и списка литературы. Результаты исследований изложены на 223 страницах машинописного текста, включая 101 рисунок, 10 таблиц, список литературы из 167 названий.

Основные выводы и рекомендации

В заключении приведем основные результаты работы.

1. Разработан и программно реализован неитерационный алгоритм метода перемещений с предварительным обжатием для решения задач одностороннего контакта плиты с дискретным и/или сплошным винклеровским основанием. Каждый шаг алгоритма носит ясный физический смысл, понятный инженеру, поскольку позволяет оперировать привычными ему понятиями: основная система; единичные состояния; условия эквивалентности основной и заданной систем.

Разработанный алгоритм программно реализован и официально зарегистрирован в реестре программ для ЭВМ и в ВНТИЦ.

2. Исследовано изменение параметров НДС плит жесткого аэродромного покрытия по уточненной расчетной схеме в различных случаях, встречающихся при их проектировании и обследовании.

3. Установлено, что уточнение расчетной схемы учетом одностороннего взаимодействия плиты жесткого аэродромного покрытия с основанием приводит к результатам, отличающимся от результатов, полученных без учета одностороннего взаимодействия: как правило, наблюдается рост напряжений и прогибов в зоне контакта плиты и основания (до 35%). При просадке или вспучивании грунта возможно качественное изменение параметров НДС плиты в зоне отрыва плиты от основания и в окрестности границы зон контакта и отрыва -напряжения могут отличаться по знаку. При учете односторонности взаимодействия между плитой и основанием изменение коэффициента постели основания оказывают гораздо более значимое влияние на параметры НДС плиты, чем без учета.

4. Расчет плит жестких аэродромных покрытий рекомендуется проводить согласно нормативным документам с использованием уточненной расчетной схемы, учитывающей односторонность взаимодействия плиты и основания.

1. Агеев В. Д. Напряженно деформированное состояние плит сборных покрытий дорог и аэродромов с учетом включения стыковых соединений в их работу: Дис. канд. техн. наук. - М., 1989.-208 с.

2. Агеев В. Д., Федулов В. К. Сборные покрытия дорог и аэродромов // Автомобильные дороги: Обзорная информация. М., 1996. - Вып. 6. -64 с.

3. АртемоваЛ. Ю. Несущая способность плит жестких аэродромных покрытий при неполном контакте с упругим основанием: Дис. . канд. техн. наук. М., 2002.-187 с.

4. Алейников С. М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований. М.: Изд-во «АСВ», 2000. - 754 с.

5. Александров А. В., Потапов В. Д. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высш. шк., 1990. - 400 с.

6. Александров В. М., Варович И. И. Механика контактных взаимодействий. М.: Наука, 2001. - 600 с.

7. Аленин В. П. Итерационные методы расчета систем с внешними и внутренними односторонними связями // Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора техн. наук. Омск, 2002. 34 с.

8. Баженов В. А., Гоцуляк Е. А., Кондаков Г. С., Оглобля А. И. Устойчивость и колебания деформируемых систем с односторонними связями. -Киев.: Выща шк. Головное изд-во, 1989. 399 с.

9. Баничук Н. В. Численное решение задачи о прогибе упругой пластины, стесненной ограничениями // Инж. Журнал, МТТ, 1967. №4. С. 138142.

10. Берщанский Я. М., Мееров М. В. Теория и методы решения задач дополнительности // Автоматика и телемеханика. 1983. - № 6. - С. 5-31.

11. Бураго Н. Г., Кукуджанов В. Н. Обзор контактных алгоритмов. РАН, МТТ. 2002.

12. Ведешкин Ю. К. О сходимости процесса последовательного уточнения эффективной системы // Труды Ташиит «Динамика и устойчивость транспортных и гражданских сооружений». Ташкент, 1973. - Вып. 99.

13. Вовкушевский А. В. Расчет массивных сооружений с разрезами // Известия ВНИИГ, 1975. Т. 108. - С. 152-164.

14. Вовкушевский А. В., Шойхет Б. А. Моделирование разрезов в массивных бетонных сооружениях с помощью идеальных односторонних связей. Известия ВНИИГ, 1977, Т. 116, С. 60-65.

15. Вовкушевский А. В., Зейлигер В. А. К решению задач теории упругости с односторонними связями методом конечных элементов // Известия ВНИИГ, 1979. Т. 129 - С. 27-31

16. Вовкушевский А. В., Шойхет Б. А. Расчет массивных гидротехнических сооружений с учетом закрытия швов. М.: Энергия, 1981, 136 с.

17. Вовкушевский А. В. О вариационных постановках задачи Синьорини с трением // Изв. Академии Наук СССР. Механика твердого тела, 1984. - № 6 - С. 73-78.

18. Вовкушевский А. В. Постановка и решение контактной задачи теории упругости с трением при произвольном процессе нагружения // Труды ЛПИ, 1985-405 с.-С. 9-13.

19. Вовкушевский А. В., Дурнев В. А. Численная реализация некоторых способов решения задачи Синьорини с трением // Труды ЛПИ, 1985. -405 с.-С. 14-19.

20. Вовкушевский А. В. Вариационная постановка и методы решения контактной задачи с трением при учете шероховатости поверхностей // Изв. Академии Наук СССР: Механика твердого тела, 1991. № 3 - С. 151160.

21. Воробьев В. Л., Попов Г. Я. Изгиб полубесконечной пластины, сцепленной с линейно-деформируемым основанием общего типа // Изв. АН ССР. Механика твердого тела. 1974. - №4. - С. 59 - 68.

22. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости . -М.: Наука, 1986.-304 с.

23. Главачек И., ГаслингерЯ., Нечас И., ЛовишекЯ. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986. - 272 с.

24. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. - 576 с.

25. Гольдштейн Р. В., Клейн И. С., Эскин Г. И. Вариационно-разностный метод решения некоторых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений трехмерных задач теории упругости. М.: Препринт / ИПМ АН СССР, 1973.-33 с.

26. Горбунов-Посадов М. И. Плиты на упругом основании. М.: Стройиз-дат, 1941. - 74 с.

27. Горбунов-Посадов М. И., Маликова Т. А., Соломин В. И. Расчет конструкций на упругом основании. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Стройи-здат, 1984. - 679 с.

28. Гордеев В. Н., Перельмутер А. В. Расчет упругих систем с односторонними связями как задача квадратичного программирования // Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1967. - Вып. 15. -С. 208-212.

29. ГОСТ 25912.0-83 ГОСТ 25912.3-83. Плиты железобетонные предварительно напряженные для аэродромных покрытий. - М.: Изд-во стандартов, 1984. - 20 с.

30. ГОСТ 21924.0-84 ГОСТ 21924.3-84. Плиты железобетонные для покрытий городских дорог. - М.: Изд-во стандартов, 1985. - 51 с.

31. Дарков А. В., Кузнецов В. И. Основы теории расчета балок на упругом основании. М.: Трансжелдориздат, 1940. - 88 с.

32. Демин Б. И. К расчету балочных плит на упругом основании с учетом начального зазора // Тр. / Гос. НИИ гражд. авиации. М., 1981.-С.9-11.

33. Демин Б. И., Смолка Б. И. К вопросу проектирования жестких аэродромных покрытий на прочных искусственных основаниях // Тр. / МО. 1968. - Вып. 115. - С. 41 - 62.

34. Дидов Б. В. О расчете плит, лежащих на упругом основании // Вопросы расчета оснований и фундаментов. M.-JL: Глав. ред. строит, лит-ры, 1938. - №9.-С. 82-112.

35. Динник А. Н. Круглая плита на упругом основании // Изв. Киевского политехнического ин-та. 191(jL|Ch. 3. - С. 286 - 308.

36. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. -510 с.

37. Дутов Г. Д. Расчет балок на упругом основании (новый метод). JL: изд. КУБУЧ, 1929.-89 с.

38. Дойхен Ю. М., Ким Т. С., Ловцов А. Д., Тен Ен Со. Расчет конструкций, контактирующих с упругим основанием: Учеб пособие. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 2001. - 203 с.

39. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.-384 с.

40. Емельянов И. Г., Кузнецов В. Ю. Контактная задача для физически нелинейной оболочки // Разрушение и мониторинг свойств металлов: Вторая международная конференция. Екатеринбург, 26 -30 мая 2003. УрО РАН.

41. Жемочкин Б. Н., Синицин А. П. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании. М.: Гос- стройиздат, 1962. - 239 с.

42. Жесткие покрытия аэродромов и автомобильных дорог / Г. И. Глушков, В. Ф. Бабков, В. Е. Тригони и др. М.: Транспорт, 1994. - 349 с.

43. Жуманов Н. Ж. К расчету анизотропных плит на упругом основании // Строительная механика и расчет сооружений. М.,1973. - № 6. - С. 26 -29.

44. Изыскания и проектирование аэродромов / Г. И. Глушков, В. Ф. Бабков, В. Е. Тригони и др. М.: Транспорт, 1981. - 463 с.

45. Ким Т. С., Яцура В. Г. Алгоритм расчета систем с односторонними связями // Сб. науч. тр.: Автоматизированное оптимальное проектирование конструкций. Хабаровск: Изд-во ХПИ, 1977. - С. 48-54.

46. Ким Т. С., Яцура В. Г. Об использовании алгоритмов матеметического программирования для расчета систем с односторонними связями //Автоматизированное оптимальное проектирование конструкций: Сб. науч. тр. Хабаровск: Изд-во ХПИ, 1977. - С. 39-47.

47. Ким Т. С., Яцура В. Г. Расчет систем с односторонними связями как задача о дополнительности // Строит, механика и расчет сооружений. -1989.-№3.-С. 41-43.

48. Кисилев В. А. Балки и рамы на упругом основании. Л.: Главная редакция строительной литературы, 1936. - 228 с.

49. Киселев В. А. Расчет пластин. М.: Стройиздат, 1973. - 151 с.

50. Клейн Г. К. Расчет балок на сплошном основании, непрерывно неоднородном по глубине // Строительная механика и конструкции. М.: Стройиздат, 1954. - С. 120.

51. Клейн Г. К., Дураев А. Е. Учет возрастания модуля деформации грунта с увеличением глубины при расчете балок на сплошном основании // Гидротехническое строительство. 1971. - №7. - С. 19 - 21.

52. Коренев Б. Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании. -М.: Гос. изд-во литературы по строительству и архитектуре, 1954.-232 с.

53. Кравчук А. С. К задаче Герца для линейно и нелинейно упругих тел конечных размеров. ПММ, 1977. - Т. 41 - № 2. - С. 327-329.

54. Кравчук А. С. Постановка задачи о контакте нескольких деформируемых тел как задачи нелинейного программирования. ПММ, 1978. -Т. 42. - № 3 - С. 466-474.

55. Кравчук А. С. О двойственности в контактных задачах. ПММ, 1979. -Т. 43-№5.-С. 887-892.

56. Кравчук А. С. О вариационном подходе в теории контактных задач для нелинейно упругих слоистых тел. ПММ, 1979. - Т. 43 - № 5 - С. 893901.

57. Кравчук А. С. Метод матрицы А. А. Ильюшина в контактных задачах // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: АН УзССР, 1981. - вып. 63 - С. 57-68.

58. Кравчук А. С. Вариационный метод исследования контактных взаимодействий и его реализация на ЭВМ // Расчеты на прочность, 1984. -Вып. 15.-С. 33-50.

59. Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.:МГАПИ, 1997. - 340 с.

60. Кобринский А. А., Кобринский А. Е. Двумерные виброударные системы // Динамика и устойчивость. М.: Наука, 1981. - 336 с.

61. Коваленко О. Ф. Вариационные принципы механики для систем с односторонними связями // Исследования по строительным конструкциям. -Томск, 1972.-С. 132-143.

62. Коренев Б. Г., Черниговская Е. И. Расчет плит на упругом основании. -М.: Гос. изд-во лит-ры по строит-ву, архитектуре и строительным материалам, 1962. 355 с.

63. Корнишин М. С., Рогалевич В. В. Поперечный изгиб круглых пластин при смешанных граничных условиях // Строительная механика и расчет сооружений. М.: 1974. - № 5. - С. 6 - 9.

64. Крылов А. Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании. Л.: изд. АН СССР, 1931.- 154 сщч\

65. Ловцов А. Д. Алгоритмы расчета конструкций с переменными связями // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: Аннотации докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. - С. 401402.

66. Ловцов А. Д., Ким Т. С. Многослойные конструкции как системы с переменными связями // Современные проблемы машиностроительного комплекса: Сборник научных трудов. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 1998. - С. 35-38.

67. Лукашевич А. А. Современные методы строительной механики: Учебное пособие. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 2003. - 135 с.

68. Львов Г. И. Вариационная постановка контактной задачи для линейно упругих и физически нелинейных пологих оболочек. ПММ, 1982. -Т. 46. - № 5 - С. 841-846.

69. Манвелов Л. И., Бартошевич Э. С. Расчет прямоугольной плиты на упругом основании // Строительная механика и расчет сооружений. -М., 1963.-№5.- С. 12-16.

70. Медников И. А. Изгиб плит на упругом основании при вспучивании грунта // Строительная механика: Тр. / МАДИ. М., 1973. - Вып. 61.-С. 24-36.

71. Медников И. А. Изгиб плиты на упруго-пластическом основании с учетом просадки грунта при действии нагрузки и температуры // Исследования по строительной механике: Тр. / МАДИ. М., 1978. -Вып. 149.-С. 54-70.

72. Никишин В. С., Китороаге Т. В. Плоские контактные задачи теории упругости с односторонними связями для многослойных сред. М.: ВЦ РАН, 1994.-43 с.

73. Орловский В. С. Проектирование и строительство сборных дорожных покрытий. -М.: Транспорт, 1978. -150 с.

74. Палатников Е. А. Прямоугольная плита на упругом основании. М.: Стройиздат, 1964. - 236 с.

75. Палатников Е. А. Расчет железобетонных плит покрытий аэропортов. -М.: Оборонгиз, 1961. 96 с.

76. Пальмов В. А. Об одной простейшей контактной задаче теории упругой устойчивости // Изв. АН АрмССР. Механика, 1980. - Т. 33. - № 3. -С. 41-53.

77. Пастернак П. JI. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. М.: Стройи-здат, 1954. - 56 с.

78. Пелех Б. Л., Сухорольский М. А. Контактные задачи теории упругих анизотропных оболочек. Киев: Наукова думка, 1980.

79. Перельмутер А. В. Использование методов квадратичного программирования для расчета систем с односторонними связями // Исследования по теории сооружений, 1972. Вып. 19. С. 138-147.

80. Перельмутер А. В. К расчету систем с односторонними дискретными связями //Строительная механика и расчет сооружений, 1976. №1.

81. Перельмутер А. В. О сходимости уточненной рабочей системы // Строит. механика и расчет сооружений. 1978. - № 5. - С. 76-77.

82. Перельмутер А. В., Сливкер В. И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. Киев.: ВПП «Компас», 2001. - 448 с.

83. Пластины. Теория упругости, пластичности и ползучести. Численные методы // Справочник по строительной механике корабля в трех томах. Т. 2. Под ред. Г. В. Бойцова, О. М. Палий, В. А. Постнова, В. С. Чувиковского. Л.: Судостроение, 1982 - 464 с.

84. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Т. 1. Под ред. И. А. Биргера, Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. -832 с.

85. Попп К. О негладких системах в механике // Прикладная математика и механика, 2000. Т. 64. № 5. С. 795-804.

86. Пфайффер Ф., Глоккер К. Контакты в системах твердых тел Прикладная математика и механика. 2000, Т. 64, № 5, С. 805-816.

87. Пчелкина Л. Б., Демин Б. П., Кульчицкий В. А. Влияние начальных зазоров на напряженное состояние сборного покрытия // Автомобильные дороги. М., 1986. - № 3. - С. 18 -19.

88. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1979. - 319 с.

89. Рабинович И. М. Некоторые вопросы теории сооружений, содержащих односторонние связи // Инженерный сборник. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1950.-Т. VI.

90. Рабинович И. М. Курс строительной механики стержневых систем. Ч. 2. -М., 1954.

91. Рабинович И. М. К задаче расчета статически неопределимых систем с односторонними связями (доказательство единственности решения) // Исследования по теории сооружений. Госстройиздат, 1961. - Вып. 10.

92. Рабинович И. М. Вопросы теории статического расчета сооружений с односторонними связями. М.: Стройиздат, 1975. - 144 с.

93. Резников Л. М. К вопросу расчета систем с односторонними связями. // Строит, механика и расчет сооружений, 1977. № 3. С. 54-56.

94. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике: В 2-х кн. Кн. 2. Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 320 с.

95. Реконструкция бетонных покрытий аэропортов / Г. И. Глушков, Л. И. Манвелов, А. В. Михайлов, Б. С. Раев-Богословский. М.: Транспорт, 1965.-222 с.

96. ЮЗ.Розин Л. А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. - 224 с.

97. Розин JI. А., Смирнов М. С. Решение контактной задачи теории упругости с податливостью в односторонних связях // Известия вузов. Строительство, 2000. N. 5.

98. Саусвелл Р. В. Введение в теорию упругости для инженеров и физиков: Пер. со второго англ. издания М.: ИЛ, 1948. - 675 с.

99. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993. -664 с.

100. Стаин В. М. Определение прогибов плиты на упругом основании с учетом отрыва // Строительная механика и расчет автодорожных конструкций: Тр. / МАДИ. М., 1979. - Вып. 167. - С. 79 - 83.

101. Степушин А. П. Исследование несущей способности жестких аэродромных покрытий на двухслойных основаниях при многократном воздействии самолетных нагрузок: Дис. . канд. техн. наук. М„ 1973.228 с.

102. Степушин А. П. Исследование несущей способности жестких аэродромных покрытий на двухслойных основаниях при многократном воздействии самолетных нагрузок: Дис. . канд. техн. наук. М„ 1973.228 с.

103. Стыковое соединение железобетонных, имеющих верхнюю и нижнюю рабочую арматуру, плит сборных покрытий автомобильных дорог и аэродромов: А. С. № 723016 / Л. В. Петровский, В. И. Галахин, М. Н. Леонтьев и др. -1980. бюл. № 11.

104. Стыковое соединение плит: А. С. № 450856 / Б. М. Савенок. 1977. -бюл. № 35.

105. Татаринов В. В. Метод динамического расчета жестких аэродромных покрытий: Дис. . канд. техн. наук. М., 1986. -174 с.

106. Терещенко В. Я. Двойственные вариационные задачи для граничных функционалов теории упругости. ПММ, № 1980. Т. 44. № 6. С. 10531059.

107. Терещенко В. Я. О выпуклых функционалах в вариационных задачах теории упругости, аналогичных обобщенным функционалам Треффтца. -ПММ, 1980.-Т. 44. -№ 1.-С. 185-188.

108. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки: Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1963. - 636 с.

109. Пб.Травуш В. И. Прямоугольная неизолированная плита на линейно- деформируемом основании // Строительная механика и расчет сооружений. М., 1975. - № 3. - С. 31 - 35.

110. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир, 1967.-506 с.

111. Хлуднев А. М. Вариационный подход к проблеме контакта пологой оболочки с жестким телом // Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: Наука, 1981. - С. 109-114.

112. Хлуднев А. М. Вариационный подход к задаче об упругом контакте двух пластин // ДАН СССР, 1982. Т. 262. -№ 4. - С. 851-852.

113. ХогЭ., Apopa Я. Прикладное оптимальное проектирование // Механические системы и конструкции: Пер. с англ. М.: Мир, 1983. - 478 с.

114. Черниговская Е. И. Расчет балок и плит, лежащих на упругом основании с учетом явления отрыва их от основания // Исследования по динамике сооружений и расчету конструкций на упругом основании. -М., 1961.-С. 113-114.

115. Шапиро Г. С. Изгиб полубесконечной плиты, лежащей на упругом основании // Прикладная математика и механика. 1943. - T. VII, вып. 4. -С. 316-320.

116. Шапошников H. Н., Тарабасов Н. Д., Петров В. Б., Мяченков В. И. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость. М.: Машиностроение, 1981. - 333 с.

117. Шехтер О. Я. Расчет бесконечной плиты, лежащей на упругом основании конечной и бесконечной мощности и нагруженной сосредоточенной силой (без введения гипотезы Циммермана) // Свайные и естественные основания: сборник. М., 1939. - Вып. 10.-С. 133-139.

118. Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. М.: Гостехиз-дат, 1949.-272 с.

119. Шулькин Ю. Б., Астрахан А. X. Расчет подземного трубопровода как системы с односторонними связями методом перемещений // Строит, механика и расчет сооружений, 1979. № 6. - С. 32-35.

120. Щуйский П. И. Некоторые вопросы прочности плит на упругом основании: Автореф. дисс. . канд. техн. наук. М.: ЦНИПС, 1952.-13 с.

121. ЯнютинЕ. Г., БесненковаВ. И. Неустановившиеся колебания круговых пластин и цилиндрических оболочек на упругом одностороннем основании // Проблемы машиностроения. К.: 1982. - Вып. 16. - С. 53-57.

122. Янютин Е. Г. Нестационарное деформирование цилиндрической оболочки, односторонне контактирующей со средой // Проблемы машиностроения. К.: 1985. - Вып. 23. - С. 6-11.

123. Янютин Е. Г. Нестационарные колебания балки на упругом одностороннем инерционном основании // Динамика и прочность машин. X., 1985.-Вып. 42.-С. 37-43.

124. Auricchio F., Sacco Е. Augmented Lagrangian finite elements for plate contact problems Int. J. for Num. Meth. Eng. 1996, № 39, pp. 4141-4158.

125. Bathe K.-J., ChaudharyA. A solution method for planar and axisymmetric contact problems Int. J. for Num. Meth. Eng. 1985, № 21, pp. 65-88.

126. Bjorkman G., Klarbring A., SjodinB., Larsson Т., RonnqvistM. Sequential quadratic programming for non-linear elastic contact problems Int. J. for Num. Meth. Eng. 1995, V. 38, № 1, pp. 137-165.

127. Borovicka H. / Druckverteilung unter elastischen Platten. Ingr. Arch.,. 1939.-B. 10, H. 2.-S. 113-125.

128. ChandR., Haug E. J., Rim K. Analysis of Unbounded Contact Problems by Means of Quadratic Programming. J. Optimization Theory and Applications, Oct. 1976, v. 20 (2), pp. 171 - 190.

129. Cootie R. W. On solving complementarity problems as linear programs. Math. Programming Study, 1978, pp. 88- 107.

130. Eaves B.C. Computing stationary points. Math. Programming Study, 1978, № 7, pp. 1 - 14.

131. Evers J. J. M. More with Lemke complementarity algorithm. Math. Programming, 1978, № 15, pp. 214-219.

132. Fancello E. A., Feijoo R. A. Shape optimization in frictionless contact problems Int. J. for Num. Meth. Eng. 1994, V. 37, № 13, pp. 2311-2335.

133. Francawilla A., Zienkiewicz O. C. A note on numerical computation of elastic contact problem Int. J. for Num. Meth. Eng., 1975, № 9, pp. 912 - 924.

134. Hertz H. / Uber das Gleichgewicht schwimmender elastischer Platten. Ann. der Physik und Chemie, 1884. - XXII. - s. 449 - 455.

135. Johnson R. A., Quigley C. J. Frictionless geometrically non-linear contact using quadratic programming Int. J. for Num. Meth. Eng. 1989, № 28, pp. 127144.

136. Kikuchi N, Oden J. T. Contact problems in elasticity: a study of variational inequalities and finite element methods. SIAM Philadelphia, 1988, 495 p.

137. Klarbring A. A mathematical programming approach to three-dimensional contact problems with friction Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1986, №. 58, pp. 175-200.

138. Klarbring A. On discrete and discretized non-linear elastic structures in unilateral contact (stability, uniqueness and variational principles) Int. J. Solids Structures. 1988 V. 24, № 5, pp. 459-479.

139. Klarbring A., Bjorkman G. A mathematical programming approach to contact problems with friction and varying contact surface Computers and Structures. 1988, V. 30, № 5, pp. 1185-1198.

140. Kostreva M. M. Cycling in linear complementarity problems. Math. Programming. 1979, V. 18, № 1, pp. 127-130.

141. Kwak B. M., Lee S. S. A complementarity problem formulation for two-dimensional frictional contact problems Computers and Structures. 1988, V. 28, № 4, pp. 469-480.

142. Laursen T. A., Chawla V. Design of energy coserving algorithms for friction-less dynamic contact problems Int. J. for Num. Meth. Eng. 1997, №40, pp. 863-886.

143. Lemke C.E. Some pivot schemes for the linear complementarity problem. -Math. Programming Study, 1978, № 7, pp. 15 35.

144. Mangasarian O. L. Characterization of linear complementarity problems as linear programs. Math. Programming Study, 1978, pp. 74 87.

145. Mechain-Renaud C., CimetiereA. Influence of a curvature discontinuity on the pressure distribution in 2D frictionless contact problems Int. J. of Eng. Sci. 2000, №38, pp. 197-205.

146. Mohan S. R. Existence of solution rays for linear complementarity problems with Z-matrices. Math. Programming Study. 1978, № 7, pp. 108-119.

147. Murty K.G. Computational complexity of complementary pivot methods. -Math. Programming Study, 1978, № 7, pp. 61 73.

148. Nguyen Dang Hung, Gery de Saxce. Frictionless contact of elastic bodies by finite element method and mathematical programming technique Computers and Structures. 1980, № 11, pp. 55-67.

149. Oden J. T., Pires E. B. Numerical analysis of certain contact problems in elasticity with non-classical friction laws Computers and Structures 1983 V. 16, №№ 1-4, pp. 481-485.

150. Oden J. T., Pires E. B. Nonlocal and nonlinear friction laws and variational principles for contact problems in elasticity J. Appl. Mech. 1983. № 50, pp. 67-76.

151. Panagiotopoulos P. D., Lazaridis P. P. Boundary minimum principles for the unilateral contact problems Int. J. Solids Structures. 1987, V. 23, №11, pp. 1465-1484.

152. Pang J. S. On a class of least-element complementarity problem Math. Programming. 1979, V. 16, № 1, pp. 111-126.

153. Pang J. S., Kaneko I., Hallman W. P. On the solution of some (parametric) linear complementarity problems with application to portfolio selection, structural engineering and actural graduation Math. Programming. 1979, V. 16, № 3, pp. 325-347.

154. Pang J. S., Lee P. S. C. A parametric linear complementarity technique for the computation of equilibrium prices in a single commodity spatial model. Math. Programming. 1981, V. 20, № 1, pp. 81-102.

155. Park J. K., KwakB. M. Three-dimensional frictional contact analysis using the homotopy method J. Appl. Mech. 1994, № 61, pp. 703-709.

156. Sargent R. W. H. An efficient emplementation of the Lemke algorithm and its extension to deal with upper and lower bounds. Math. Programming Study. 1978, №7, pp. 36-54.

157. Spellman, Don L. / Faulting of Concrete Pavements // Highway Research Record. 1972. - No.407. - p. 101 - 109.

158. Tin-Loi F., Xia S. H. Nonholonomic elastoplastic involving unilateral fric-tionless contact as a mixed complementarity problem Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2001, № 190, pp. 4551-4568.

159. Tomlin J. A. Robust implementation of Lemke's method for linear complementarity problem. Math. Programming Study. 1978, № 7, pp. 55-60.

160. Yogeswaren E. K., Reddy J. N. A study of contact stresses in pin-loaded or-thotropic plates // Computers and Structures. 1988, V. 30, № 5, pp. 10671077./

161. Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

162. Долгачев М. В. Моделирование взаимодействия пластины и грунта при его выпучивании и просадке / М. В. Долгачев, А. Д. Ловцов // Вестник Тихоокеанского государственного университета. 2012. - № 1(24). - С. 131-139.

163. Расчет пластин на одностороннем упругом основании: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ / М. В. Долгачев, А. Д. Ловцов. № 2002611286. зарег. 31.07.2002. Реестр программ для ЭВМ Москва, 31 июля 2002 г.

164. Расчет пластинчатых систем на дискретных односторонних опорах: Программный комплекс для IBM PC 486 / М. В. Долгачев, А. Д. Ловцов. № 50200300554 ; Зарегистрирована ВНТИЦ 27.06.2003 г. № А/113.