автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Решение контактных задач теории упругости с податливостью в односторонных связях методом итераций по зазорам

РГ6 од

На правах рукописи

[ЦиА то?

Смирнов Михаил Станиславович

РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ПОДАТЛИВОСТЬЮ В ОДНОСТОРОННИХ СВЯЗЯХ МЕТОДОМ ИТЕРАЦИЙ ПО ЗАЗОРАМ.

Специальность 05.23Л 7 - строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических паук

Санкт-Петербург 1999

Работа выполнена на кафедре упругости Санкт-Пегербургского университета

строительной механики и теории государственного технического

Научный руководитель: заслуженный деятель науки и

техники Российской Федерации, доктор физико-математических наук, профессор Розни Л.А.

Официальные оппоненты: -заслуженный деятель науки и

техники Российской Федерации, доктор технических наук, профессор Постнов В.А.

-кандидат технических наук, доцент Чернышева Н.В.

Ведущая организация: АО "Ленгидропроекг"

Защита состоится 15 февраля 2000г. в 16 часов на заседаиш: диссертационного совета К 063.38.08 в Саякт - Петербургского государственном техническом университеге по адресу. 195251, Санкг Петербург, ул.Полигехническая, 29,111К ауд.411.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментально! библиотеке СПбГТУ.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенных печатью просим направлять на имя ученого секретаря диссертационного совета го указанному выше адрес}'.

Автореферат разослан

.253 -022.84 ,0

Ученый секретар диссертационного совет

Л/ К.Т.Н., дог

Тукавишников В.Л

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Задача определения напряженно-деформированного состояния сооружений и конструкций, содержащих швы и разрезы, представляет собой важную научную и инженерную проблему. Сферой применения результатов исследований в данной области строительной механики являются все чаще встречающиеся на практике задачи по расчету сооружений, содержащих несплошности. В качестве примеров можно привести бетонные плотины с технологическими и деформационным! швами, скальные основания с магистральными трещинами, опоры скольжения различных конструкций и т. п.

Современный этап развития методов расчета сооружений характеризуется переходом от упрощенных моделей к более сложным, к более точному и детальному учету различных факторов. При решении контактных задач теории упругости, в частности, может оказаться важным моделирование эффектов, связанных с неполным контактом взаимодействующих бортов шва, вызванным, например, наличием микрошероховатостей или особенностями рельефа поверхностей. В ряде случаев возможно наличие мелкодисперсного материала, заполняющего пространство между бортами шва и т. п. Добиться учета этих факторов при определении напряженно - деформированного состояния можно введешюм в односторонние связи податливого слоя.

Особый интерес представляют задачи об одностороннем ко1ггакге с трением, в которых может иметь место раскрытие шва, сцепление и проскальзывание контактирующих поверхностей. Несмотря на большое число имеющихся научных и практических разработок, позволяющих с той или иной степенью достоверности моделировать напряженно-деформированное состояние таких тел, данная проблема все еще далека от окончательного решения. Известно, в частности, что при постановке и решении данной задачи сталкиваются с определенными математическими трудностями. ОдНим из приемов, позволяющих улучшить ее математические свойства, также является введение податливости в односторонние связи.

Таким образом, развитие и совершенствование методов, позволяющих учитывать наличие податливости в односторонних связях

при решении контактной задачи теории упругости, является акгуальныь как с точки зрения более точного моделирования явлений, происходящие на контакте упругих тел, так и с точки зрения математических свойсп рассматриваемой задачи.

Целями работы являются:

•разработка эффективного численного метода решения контактно? задачи теории упругости с трением, основывающегося на использование аппарата односторонних связей и позволяющего учитывать наличие податливости в них;

•численное исследование разработанного метода; •применение разработанного метода к решению практических задач по расчету массивных гидротехнических сооружений с учетом различных вариантов омоноличивания их швов.

Научная новизна диссертационной работы состоит в: •постановке задачи теории упругости с трением при наличии податливого упругого слоя, характеризующегося как линейным, так и кусочно-линейным законами деформирования;

• разработке нового численного метода решения подобных задач, представляющего собой развитие известного метода итераций по зазорам на случай наличия в односторонних связях податливого слоя;

•результатах выполненных численных исследований предложенного метода;

•исследовании напряженно-деформированного состояния массивных сооружений с нетрадиционными способами конструктивного решения швов.

На защиту выносятся:

•условия односторонних связей с трением при наличии податливого упругого слоя, характеризующегося как линейным, так и кусочно-линейным законами деформирования при ограничении его сжимаемости;

•асимптотические условия идеальных односторонних связей для задачи с мелким периодическим рельефом трапецеидальной формы, используемой в качестве вспомогательной;

•алгоритм модифицированного метода итераций по зазорам решения задачи теории упругости с трением и податливостью в односторонних связях;

•результаты численных исследований разработанного метода на модельных задачах;

•результаты практических расчетов варианта массивной бетонной плотины Усгь-Среднеканской ГЭС, выполненных с использованием разработанного алгоритма.

Достоверность полученных результатов обеспечивается: •строгостью математических постановок и выкладок; •результатами численных экспериментов по оценке сходимости алгоритмов;

•сравнением с результатами, полученными другими методами; •контролем выполнения условий рассматриваемой задачи, а также-соотвегствия получаемых решений физическому смыслу.

Практическая ценность работы состоит в распространении метода итераций по зазорам решения задачи теории упругости с односторонними связями с трением на случай налитая податливости в односторонних связях. Это представляет практический интерес как с точки зрения регуляризации данной задачи, так и с точки зрения более точного учета различных факторов при моделировании контакта упрушх тел.

Внедрение результатов работы состоит в использовании разработанного алгоритма в расчетах бетонных плотин, в частности -варианта плотины Усгь-Среднеканской ГЭС, выполненных в рамках исследований по вопросу об отказе от цементации межстолбчатых швов в массивных гидротехнических сооружениях.

Апробация работы. Основные полученные результаты докладывались и обсуждались на;

•Международной конференции "Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы конечных и граничных элементов" (Санкт-Петербург, 1998);

•Научно - технической конференции "Фундаментальные исследования в технических университетах" (Санкт-Петербург, 1998);

•Научных семинарах кафедры строительной механики и теории упругости СПбГТУ (1996-1999).

Публикации. По материалам и результатам исследований опубликовано 5 статей.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4

глав, заключения, списка литературы из 53 наименований, изложена на 139 страницах машинописного текста, содержит 50 рисунков и 16 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан анализ состояния исследований по рассматриваемым вопросам, сформулированы цели работы.

Особенностью задач теории упругости с односторонними связями, т.е. с такими связями, которые, по определению И.МРабиновича, препятствуют перемещениям конструкции в одном направлении и не удерживают ее в другом, является то, что поверхность давления, т.е. те части взаимодействующих поверхностей конструкций, точки которых приходят в соприкосновение, заранее неизвестны. При учете трения положение границ поверхностей, в пределах которых имеет место сцепление и сдвиг, также заранее неизвестно. При моделировании односторонних связей условия, налагаемые на перемещения и усилия в конструкциях, выражаются неравенствами.

Математические постановки задач теории упругости с односторонними связями были впервые даны А.Синьоршш и развиты в работах А.В.Вовкушевского, Р.Гловински, Г.Дюво, АС.Кравчука, Ж.-Л Лионса, Л-АРозина, Р.Тремольера, П.Панагиотопулоса, Б.А.Шойхета, Г.Фикера и других. Вопросами анализа и решения вариационных неравенств, описывающих тела с односторонними связями, а также вопросами существования, единственности и устойчивости решения данной задачи занимались А.В.Вовкушевский, Я.Гаслингер, И.Главачек. Р.Гловински, Р.В.Гольдштейн, В.А.Дурнев, Г.Дюво, Ю.В.Житников, А.С.Кравчук, Ж.-Л.Лионс, Я.Ловишек, И.Нечас, ДОден, Е.Пайрс, А.С.Рабинович, ААСпектор, Г.Стампаккья, Р.Тремольер, Г.Фикера, Б. АШойхет и другие.

Известно, что в отличие от случая идеальных (без трения) односторонних связей применение к рассматриваемой задаче закона трения Кулона не позволяет сформулировать вариационные принципы в виде условий экстремума функционала и, следовательно, при численном решении свести ее к классическим задачам математического программирования. Кроме того, в общем случае возникают трудности с доказательством существования и единственности решения задачи при

учете трения. В качестве возможного приема регуляризации данной задачи, т.е. внесения таких изменений в постановку, которые улучшили бы ее математические свойства, но при этом не привели бы к сильным расхождениям в решении исходной и измененной задач, предлагалось использовать введение в односторонние связи податливого слоя.

Вопросам расчета упругих систем с односторонними связями на основе метода конечных элементов посвящены работы М.В.Белого, А.М.Белостоцкого, АВ.Вовкушевского, Т.Грота, Р.Гудмена, В.А.Дурнева, Ж. Дюбуа, В.АЗешшгера, В.Г.Орехова, АБ.Фадеева, Б. АШойхега и др.

Одним из методов решения задачи теории упругости с односторонними связями с трением является метод итераций по зазорам, предложенный АВ.Вовкушевским и Б.АШойхегом. В настоящей работе предлагается дальнейшее развитие метода итераций по зазорам, которое позволило бы распространить его на задачи с трением и податливостью в односторонних связях как в нормальном, так и в касательном направлениях. Кроме того, при модификации метода итераций по зазорам предлагается возможность учета наличия ограничений на сжимаемость материала слоя, что может оказаться важным при моделировании контакта реальных тел.

В первой главе рассматриваются различные формы постановок краевых задач теории упругости с односторонними связями.

Рассмотрим в рамках плоской задачи тело, занимающее область И (рис.1).

Граница области ¡Г2 состоит из трех непересекающихся участков: ¿Ю^+Зо+Я.

Пусть в области справедливы обычные

уравнения линейной теории упругости. На части границы 8„ заданы перемещения, на части границы Бг ставятся граничные условия

Рис. 1

границы Б

напряжения, на части односторонних связей.

Пусть поверхность Б, состоящая из конечного числа гладких

участков, определяет геометрическое положение разреза в упругом теле. Между его бортами имеется слой из податливого материала Величину начального зазора в шве (в свету, без учета податливого слоя) обозначим 5П, полную толщину податливого слоя обозначим

Будем считать, что материал слоя работает линейно упруго, но величина сжатия слоя не может превышать некоторого предельного значения у„ < В частном случае при постановке соответствующих граничных условий данное ограничение можно не ставить.

При формулировке условия на поверхности в введем предположения о малости величин 6,, и по сравнению с длиной шва, о плавности их изменения в пределах каждого из гладких участков поверхности Б, о локализации влияния особых точек (где имеются изломы поверхностей, разрывы функций величины зазоров и толщины податливого слоя) в их небольшой окрестности.

С учетом вышеизложенного, условия односторонних связей на поверхности 8 будут иметь следующий вид.

а) В случае гладких бортов иша, идеальных связей и при наличии податливого слоя;

Ьх» -пип(-~,V,,)-8П <0, (Аи„ - у„) - 8П)- оп = 0,

(I)

где Аи„- взаимное сближение взаимодействующих бортов шва, К„-коэффициенг жесткости податливого слоя в нормальном направлении, стп и

ох - соответственно проекции вектора контактных напряжений дп на нормальный и касательный орты к борту шва Индексы "+" и здесь и далее указывают на то, к какому из двух бортов относятся соответствующие величины. Нормальные орты к каждому из бортов шва считаются внешними, касательные орты к противолежащим бортам шва -противоположно направленными.

Согласно (1) контактные напряжения не могут быть растягивающими и должны быть разными нулю при раскрытии шва Допустимое взаимное нормальное сближение противолежащих точек на контакте определяется величиной зазора и деформируемостью податливого слоя.

б) В случае бортов шва с мелким периодическим рельефом,

идеальных связей и при отсутствии податливого слоя, если размер зубцов 1, образующих контактирующие поверхности и Б", невелик по сравнению с длиной шва, имеет смысл перейти к соответствующей асимптотической задаче для гладких в пределе поверхностей (рис.2).

При этом на них ставятся граничные условия, соответствую щие рельефу поверхностей и Б":

Рис. 2

1»

(АШп^-З^О, 1 = 1,2,. .„К,

¡=1

адай1®)-^«* (2)

где Ли = й+— й-, причем й+ и и" - вектора перемещений точек на противолежащих предельных поверхностях, N - число граней зубца,

п+® - нормаль к ьй грани зубца, 6; - зазор, соответствующий 1-й грани, -некоторые констант.

Приведем вариационную постановку для данного случая: (ДйЛ-б^а наЯ наБ,,,

П(и)->ц£ (3)

гдеП(й) - функционал полной энергии системы, Ц -заданные компоненты вектора перемещений.

в) В случае гладких бортов шва при наличии податливого слоя и при учете трения решение рассматриваемой задачи будет зависеть от последовательности нагружения. В данной работе ограничимся только случаем пропорционального роста всех воздействий и начальных зазоров в ходе нагружения. Это дает возможность учитывать при постановке задачи только их окончательные значения. Граничные условия на Б можно

записать в виде:

ДЦц-тш(-~,Уп)-5„ <0, <тп=стп'-чтп"<0, ат"= а/.

|Дих|>Ы сгт. -Диг <0, (]ах|+&п)-МНДЦг|]=а

*

где Аит -взаимное касательное смещение противолежащих точек на бортах шва, К, - коэффициент жесткости податливого слоя в касательном направлении, Г - коэффициент трения.

Смысл дополнительных по сравнению с (1) условий заключается в следующем. Касательные напряжения подчиняются закону трения Кулона Направление действия касательных напряжений и направление сдвига должны быть противоположными. Направления взаимного касательного смещения поверхностей, вызванных сдвигом и деформациями податливого слоя, должны совпадать.

Сформулировать эквивалентную вариационную постановку для данной задачи в общем случае не удается.

Во второй главе рассматривается алгоритм решения задачи теории упругости с односторонними связями с трением при наличии податливого слоя в односторошшх связях на основе метода итераций по зазорам.

Рассмотрим в качестве вспомогательной асимптотическую задачу с идеальными односторошшми связями, соответствующую мелкому периодическом}' рельефу с зубцами трапецеидальной формы (рис.3). При этом в (2) N=3. Форма зубца задается так, чтобы одна из его граней была параллельна предельной поверхности Б0+, а две другие наклонены к ней на угол ф=акЛ|*£

Рис. 3

Рис.4

Если задать величины зазоров следующим образом: 51 ~83 =§тят<р+8* созф, 53 = 8*,

где смысл функций 8* > 0 и 3. > 0 понятен из рис.3, после ряда

преобразований условия (2) можно будет привести к виду: При 8Т <| Аиг | :

Аиа-б;-£-(3,-!Диг|)<0, стп =ап <;0, аг=а+=аг [Дип-8*-£-(8т-|Дц,М-аа =0, |аг1<-Г-ап, стх • Аит < 0, Ост, | •ап).(о.-| Аи, |) =0; При от ^ Аит! :

(5)

Аи,-8;<0, [Аия -8* ]-сп - 0,

СТП = = СЧ = =0.

(б)

При 8г = 0 условия (5) совпадают с условиями асимптотической задачи, соответствующей пилообразному рельефу контактирующих поверхностей (рис.4). Последняя используется в качестве вспомогательной в известном варианте метода итераций по зазорам для случая отсутствия податливого слоя.

Предположим, что задача с условиями (4) на Б решена, в результате чего определены ст.. Ли. . Тогда, задавая о, и 8*п в (5) по формулам

учитывая неравенство 5. <| Ли. | , получим полное совпадение условий (4) и (5). В этом случае решения задач теории упругости с условиями (4) и (5) на 8, очевидно, также будут совпадать. Однако, поскольку стп,стт, Ли, неизвестны, и их требуется определить, то возможен следующий этерационный процесс. В качестве первого приближения примем = 0 и 8*(1-' = 8Ц. При этом условие д% <| Аит | вьшолняется. На каждом следующем шаге 8, и 5*„ определяются по формулам, вытекающим из (7):

8Т и б! =8. -(8,-! Аит ¡),

К

(?)

„<Н>

либо:

в<» = А. 2

кг

( 2 к„ к„ ;

причем о<°> = 0 или с<0) = а(т1\ а(п0) - 0 или а(п0)

В приведенных формулах верхний индекс в скобках соответствует номеру итерации.

Если в процессе итераций на некотором шаге к окажется, что й^ >| и^ |, то, согласно (6), должно быть ст^ = 0. Тогда, в соответствии с

(8), на следующем шаге и опять осуществляется

К-с

переход к условиям (5). Аналогичный результат получается при использовании формулы (9) вместо (8).

В случае, когда податливость в касательном направлении не учитывается, т.е. К,~><х>, согласно (8) и (9) б^ =0^=1,2,... , и в качестве вспомогательной можно использовать задачу с пилообразным рельефом (рис.4). Метод итераций по зазорам для случая отсутствия податливого слоя также оказывается частным случаем рассматриваемого здесь метода

Для решения на каждом шаге итерационного процесса вспомогательной задачи с идеальными односторонними связями используется метод конечных элементов. В этом случае условие минимума функционала в (3) заменяется условием минимума квадратичной формы

П(й) Лм'рэд - [ч]'[Ь]->ш£ (10)

где [я]- вектор перемещений узлов конечно-элементной сетки, причем штрих означает операцию транспонирования, [К]- матрица жесткости, [Ь] - вектор узловых внешних сил. Кинематические ограничения в (3) также заменяются их дискретными аналогами.

Для эффективного решения данной задачи можно воспользоваться известным алгоритмом редукции числа неизвестных. Он состоит в переходе от задачи (10) к двойственной ей задаче выпуклого программирования. Размерность последней значительно меньше

и

размерности (10) и равна числу поставленных кинематических ограничений на перемещения узлов конечно-элементной сетки. Решение двойственной задачи осуществляется на основе метода наискорейшего градиентного спуска. Данный алгоритм реализовал в программном комплексе ДУПР, который при выполнении расчетом использовался для решети вспомогательных задач.

В третьей главе приводятся результаты численных исследований рассматриваемого метода

Практические исследования метода, выполнялись для ряда различных задач. По результатам этих исследований сформулированы следующие выводы:

1) В рассмотренных задачах наблюдалась хорошая сходимость итерационного процесса модифицированного метода итераций по зазорам, причем характер сходимости оказался близким к монотонному. С увеличением податливости до определенного предела количество итераций, необходимое для получения решения, по сравнению со случаем отсутствия податливости изменяется незначительно. Однако, при приближении величины податливости к некоторому достаточно большому значению, количество итераций, необходимое для получения решения с заданной точностью, заметно возрастает.

2) Использование различных вариантов метода приводит к одним и тем же результатам. Число итераций при этом практически не изменяется. Однако, при высокой податливости слоя использование формулы (9) оказывается предпочтительнее использования формулы (8).

3) Влияние податливости в односторонних связях на распределение напряжений оказывается заметным только при достаточно высоком ее значении. В то же время, на распределение перемещений и, прежде всего, на положение зон сдвигов даже небольшое увеличение податливости влияет достаточно сильно. С физической точки зрения это можно объяснить локальным характером закона трения Кулона - условия наступления предельного состояния в определенной точке определяются напряжениями только в данной точке. Введение податливого слоя сглаживает закон трения.

4) Введение ограничений на деформируемость податливого слоя в нормальном направлении при значительной ветчине его податливости

может привести к серьезному перераспределению напряжений и изменению положения зон сдвигов,

5) В рассмотренных примерах учет податливости в касательном направлении оказывал большее влияние на напряженно-деформированное состояние, чем учет податливости в нормальном направлении.

В таблице 1 иллюстрируется сходимость итерационных процессов, выполненных по формуле (8), для задачи о взаимодействии с трением бетонных блоков,

находящихся на скальном основании, под действием гидростатической нагрузки

Рис,:

(рис.5). При этом || &х |

2>

т(г)

¡1С

1

5Х<>}2, где

<г)е\¥,

множество контактных пар узлов конечно-элементной сетки, а индекс (г) указывает на то, что данное значение 6Т или относится к (г)-й контактной паре узлов.

Для задачи о растяжении защемленной полосы, находящейся на жестком основании (рис.6), приведены графики распределения касательных напряжений (рис.7) и касательных смещений (рис.8) вдоль поверхности контакта Сплошная линия соответствует отсутствию податливого слоя, пунктирная- учету податливости только в касательном направлении при

Кх-МО4 МН/м3

;.5м?

11 (,)и 1,1

I! 111 Н \ I I 11 I П н,и 1 П'П I I

__20 м_

Рис. 6

О

Л.

и

V

20

&г,КПа

¿Илии

с I !

1

1

//

I 4- — Л м

20

10

Рис.7 Рис.8

Таблица 1. Сходимость итерационных процессов модифицированного метода итераций по зазорам.

Итера- -ко Кп=15,625-105 Кп=15,625-Ю4 К„-15;625-Ю3

ция Кг-КО МИм3 МН/м3 МН/м3

К,=6Д5-10} Кт=6Д5-104 Кт=6Д5-10:'

МН/м3 МН/м3 МН/м3

!!5г!! Ы !|5'п|Г ВД Ц5*«11 М 1[5*„||

-Ю"5м •10"5м ■10 7 м ■10"5м ■10^ м •10"5м •10"5м ■10"5м

1 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 2.2125 7,7593 2,2125 7,7593 2.2131 7.7593 2.3826

3 0 2,2730 7,7526 2,2793 7.7014 2,3783 7.2207 5,6374

4 0 2.2820 7,7545 2,2891 7,7027 2.3958 7.4583 5.1243

5 0 7,7535 2.2907 7,7037 2.3990 7.2498 5.7008

6 0 2.2835 7,7535 2,2909 7,7037 2,3990 7,3310 5.5219

7 - - . . - 7,2895 5,4983

8 _ - - | 7.3091 5,5285

9 - I 7.3013 5.5644

10 1 - ! 7,3049 5,5574

1 » 1 - - - | 7.3032 5,5617

12 1 - - - I 7.3030 5.5615

В четвертой главе приводятся результаты расчетов напряженно-деформированного состояния варианта массивной бетонной плотины Усть-Средпеканской ГЭС при различных конструктивных решениях межстолбчатых технологических швов. При выполнении расчетов использовался рассматриваемый метод.

При проектировании массивных шдротехшгческих сооружений для условий Крайнего Севера рассматривались варианты, в которых надежное опирание частей сооружения обеспечивалось бы через специальные опорные пояса (шпонки), бетонируемые по окончании температурных деформаций в бетоне. Шпонки, хотя и являются концентраторами напряжений, должны ликвидировать вредное влияние начального зазора.

неизбежного дня условий Крайнего Севера при использовании традиционной цементации швов, и внести определенность в статическую работу сооружения.

В настоящей работе рассматривались два варианта устройства шпонок- в вертикальном и горизонтальном направлениях. В обоих случаях с помощью податливого слоя моделируются эффекты, связанные с концентрацией напряжений в зонах шпонок.

В вертикальных шпонках, устраиваемых по поверхности контакта, основную роль при передаче усилий между столбами плотины будет играть трение. Деформационные характеристики слоя, введенного при расчете в односторонние связи, определяются приведением характеристик пространственной задачи к плоской.

В результате решения задачи оказалось, что в низовом шве сдвиг между столбами имеет место по всей длине, в верховом шве- в верхних двух третях. За счет сдвига столбы плотины в известной мере начинают деформироваться самостоятельно и приобретают дополнительный наклон в сторону нижнего бьефа В результате напряжения а, у верховых граней столбов снижаются до низких значений, но остаются сжимающими, поэтому напряженно-деформированное состояние остается удовлетворительным (рис.9).

Рис.9 Рис.10

При использовании горизонтальных шпонок усилия, передаваемые через них, определенные при расчете фрагмента, по краям которого

задавались перемещения, полученные при расчете плотины в целом, оказались существенно ниже чем при расчете всего сооружения (тайя.2, рисДО). Это связано с невозможностью достаточного сгущения конечно-элементной сетки в зонах шпонок. Дополнительную податливость, связанную с этим, при повторном расчете сооружения предложено моделировать введением в односторошше связи податливого слоя. Деформационные характеристики слоя определялись на основе сопоставления результатов расчетов плотины в целом и ее фрагмента В результате выполнения корректирующего расчета в предположении, что определенное для наиболее напряженной шпонки значение податливости слоя можно распросграшпъ на остальные шпонки, получены удовлетворительные результаты (табл.2).

Таблица 2. Усилия, передаваемые через шпонку (в числителе-до уточнения, в знаменателе- после уточнения).

Усилие При расчете сооружения в целом При расчете фрагмента

Горизонтальное 5314 КН / 5179 КН 3573 КН/5215КН

Вертикальное 3901 КН / 3851КН 3544 КН/3605 КН

Растягивающие напряжения сту в зоне вблизи шпонки увеличились после уточнения почти в три раза, сжимающие напряжения а, также существенно выросли, хотя и остались в пределах допустимых.

Важно отметить, что в подобных случаях рассматриваемый метод может оказаться весьма удобным, поскольку повторный расчет выполняется на той же самой сетке, что и первый расчет без податливого слоя. Это связано с тем, что данный вариант метода итераций по зазорам не требует введения дополнительных податливых элементов для моделирования податливости в односторонних связях.

В заключении обсуждаются основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан эффективный численный метод решения контактной задачи теории упругости с трением, основывающийся на использовании аппарата односторонних связей и позволяющий учитывать наличие в них податливости. Учет податливости в односторонних связях представляет практический интерес как с точки зрения более точного моделирования эффектов, происходящих на контакте упругих тел, так и с точки зрения улучшения математических свойств рассматриваемой

задачи. Предложенный метод является развитием известного метода итераций но зазорам. Суть метода сводится к решетппо серии вспомогательных задач с идеальными односторонними связями.

2. При постановке задачи и разработке алгоритма ее решения оказалось, что наибольшие сложности возникают при учете податливое! и в односторонних связях в касательном направлении. При этом возникла необходимость в использовании в качестве вспомогательной новой асимптотической задачи с трапецеидальным рельефом зубцов взаимодействующих поверхностей. Для данной задачи получены соответствующие граничные условия.

3. Предложены и численно исследованы два варианта итерационных процессов модифицированного метода итераций по зазорам. В первом случае зазоры на каждом шаге итераций определяются на основе решения, полученного на одном предыдущем шаге, во втором случае - на двух предыдущих шагах. Численные исследования показали, что процессы сходятся достаточно быстро, однако, при увеличении податливости слоя скорость сходимости падает. При высокой податливости слоя второй варнант дает лучшие результаты, чем первый вариант.

4. Исследовано влияние наличия податливости в односторонних связях на напряженно-деформированное состояние. В частности установлено, что учет податливости оказывает сглаживающее влияние на контактные напряжения и приводит к изменению положения границ между зонами сдвига и сцеплепия. В ряде рассмотренных задач учет податливости в касательпом направлении оказывает большее влияние на напряженно - деформированное состояние чем учет податливости в нормальном направлении.

5. Рассмотрена проблема определения напряженно-деформированного состояния массивных бетонных плотин для различных вариантов конструктивного решения деформационных швов. При решении подобных задач в ряде случаев требовался учет податливости в односторонних связях. Применение рассматриваемого метода позволяло определить напряженно-деформированное состояние ряда конкретных сооружений.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Розин Л.А., Рукавишников В.А., Смирнов М.С. Расчетные обоснования возможности отказа от применения цементации деформационных швов в бетонных строительных конструкциях на основе решения задачи теории упругости с односторонними связями. // Строительная механика и расчет сооружений: Сборник научных трудов СПбГТУ N456, СПб, 1996. с. 145-149.

2. Смирнов М.С. Решение контактной задачи теории упругости с податливостью в односторонних связях методом итераций по зазорам. /У Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского,- Казань: УНИПРЕСС, 1998, с.138-139.

3. Смирнов М.С. 'Задачи теории упругости с податливостью в односторонних связях. // Материалы научно-технической конференции "Фундаментальные исследования в технических университетах" (Санкт-Петербург, 25-26 июня 1998 г.), СПб, 1998, с.99.

4. Розин Л.А., Смирнов М.С. Применение метода конечных элементов к решению контактных задач теории упругости. // Научно-технические ведомости СПбГТУ, №3,1999.С.24-29.

5. Смирнов М.С. Численные исследования задачи Синьоршш с трением п податливостью в односторонних связях на основе метода итераций по зазорам. - СПбГГУ - СПб, 1999, -12с. - Рукопись, деп. в ВИНИТИ 29.11.99, № 3511-В99.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКИ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ поддтливости в ОДНОСТОРОННИХ СВЯЗЯХ.

1.1 Граничные условия для идеальных односторонних связей при наличии податливого слоя: по бортам шва в упругом теле.

1.2 Гипотезы относительно напряженно-деформированного состояния слоя и их учет в граничных условиях.

1.3 Постановка задачи теории упругости с идеальными односторонними связями при наличии -податливого слоя в дифференциальной форме.

1.4 Вариационная постановка контактной задачи теории упругости при наличии податливости в идеальных односторонних связях.

1.5 Моделирование контакта ппрабленых поверхностей.

1.6 Граничные условия односторонних связей с трением при наличии податливого слоя вдоль бортов

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ПОДАТЛИВОГО СЛОЯ В ОДНОСТОРОННИХ СВЯЗЯХ С ТРЕНИЕМ МЕТОДОМ ИТЕРАЦИЙ ПО ЗАЗОРАМ.

2.1 Постановка задачи теории упругости с идеальными односторонними связями на основе метода конечных элементов.

2.2 Решение вариационной задачи методом наискорейшего градиентного спуска,.

2.3 О методах решения задачи Сяньорики с трением и учете податливости в односторонних связях.

2.4 Вспомогательная задача и граничные условия для нее.

2.5 Модификация метода итераций но зазорам для случая учета податливости в односторонних связях.

ГЛАВА 3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ПО ПРИМЕНЕНИЮ МЕТОДА ИТЕРАЦИЙ ПО ЗАЗОРАМ К РЕШЕНИЮ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ПОДАТЛИВОСТЬЮ В ОДНОСТОРОННИХ СВЯЗЯХ.

3.1 Цель численных экспериментов и технология их выполнения.„.,.,.„.„.,.,.

3.2 Решение задачи о взаимодействии двух бетонных блоков под действием гидростатической нагрузки.

3.3 Решение задачи о растяжении защемленной полосы, находящейся на жестком основании.

ГЛАВА4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИТЕРАЦИЙ ПО

ЗАЗОРАМ К РАСЧЕТУ МАССИВНЫХ

ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ С УЧЕТОМ

НАЛИЧИЯ ШВОВ.

4.1 Различные способы обеспечения совместной работы частей массивных сооружений и их учет при определении напряженно- деформированного состояния.

4.2 Расчет массивной бетонной плотины с вертикальными межстолбчатыми ншонками.

4.3. Расчет массивной бетонной плотины с горизонтальными межстолбчатыми шпонками.

Определение напряженно-деформированного состояния массивных тел, содержащих разрезы, представляет собой важную научную проблему. Несмотря на имеющиеся научные разработки, ряд аналитических решений и программных комплексов, позволяющих с той или иной степенью достоверности моделировать напряженно-деформированное состояние таких тел, данная проблема далека от окончательного решения.

Актуальность дальнейших разработок по данной тематике подтверждается часто встречающимися на практике задачами по определению напряженно-деформированного состояния массивных тел, содержащих несплошности. Особый интерес представляют задачи об одностороннем контакте с тоением. в которых, может иметь место

Л X л. раскрытие шва» сцепление и проскальзывание контактируюпщх поверхностей. В качестве примеров можно привести бетонные плотины и другие гидротехнические сооружения, которые при возведении разрезаются технологическими и деформационными температурно-осадочными швами, скальные основания, содержащие магистральные трещины, опоры скольжения различных конструкций и т. п.

Сложности при постановке и решении контактных задач теории упругости связаны с нелинейностью, возникающей при учете наличия неспдошностей в упругом теле. Учет трения делает данную задачу еще значительно более сложной. Известно, что такая задача с математической точки зрения является недостаточно корректной, в общем случае для нее не удается доказать существования и единственности решения. Поэтому данная задача является предметом исследований в многочисленных работах, в которых, в частности, предлагаются различные методы ее регуляризации. Кроме того, решение задачи теории угфугосги с односторонними связями с трением зависит от последовательности возведения сооружения и приложения нагрузок,

Несмотря на описанные выше проблемы существующие в настоящее время алгоритмы и методы решения контактных задач дают возможность получить решения, учитывающие влияние несштошностей в массивных телах., а значит поиблизиться к более а точному описанию их напряженно-деформированного состояния, что является невозможным при использовании для этого моделей сплошного тела.

Решение контактной задачи теории упругости в настоящее время является одним из наиболее динамично развивающихся разделов строительной механики, причем у исследователя имеется достаточно большой выбор различных моделей и методов дня учета наличия несплощностей в упругом теле. Каждый из этих методов имеет свои достоинства и недостатки. Те или иные модели и методы применимы в большей или меньшей степени к решению различных конкретных задач. Выбор используемого подхода остается за исследователем. При этом, как правило, учитываются не только конкретные факторы, имеющие место в исследуемой задаче, но и наличие соответствующих программных комплексов и вычислительных инструментов, а также и различные субъективные факторы.

С течением времени и совершенствованием вычислительной •техники в развитии методов и алгоритмов расчетов происходят изменения. Современный этап развития методов определения напряженно-деформированного состояния сооружений характеризуется переходом от упрощенных математических моделей к более сложным, более точному и детальному учету различных факторов, ранее не учитывавшихся или учитывавшихся упрощенно. Как уже отмечалось, особую акгуальность имеет' развитие математических моделей позволяющих получить определенные результаты относительно существования и единственности решения для контактных задач с учетом трения. Развитие и совершенствование методов решения задач, поставленных на основе таких моделей, также является актуальной научной проблемой.

Па А17ПР утргтрпгят 1Я 7ч/I Т)а&тгг1?ги2тг11я тл т;пг расчетные схемы, в которых имеются соединения и элементы, препятствующие перемещениям конструкции в одном направлении и не удерживающие ее в другом направлении" называются системами с односторонними связями [32]. При моделировании односторонних связей условия» налагаемые на перемещения и усилия в конструкциях, выражаются неравенствами. Особенностью таких задач является то, что поверхность давления, т.е. те части взаимодействующих поверхностей конструкций, точки которых приходят в соприкосновение, заранее неизвестны. При учете трения положение границ поверхностей, в пределах которых имеет место сцепление и сдвиг, также заранее неизвестно.

Существует большое число работ, в которых ставятся и аналитическими методами решаются контактные задачи теории упругости. Первые аналитические решения пространственных контактных задач теории упругости были получены Я.Буссинеском в 1885 году- для давления абсолютно твердого штампа, имеющего круглое основание, на упругое полупространство и Г. Герцем в 1895 году- для контакта двух упругих тел с криволинейными поверхностями [2]. Расчету упругих систем с односторонними связями аналитическими методами посвящены в частности работы В.М,Абрамова, Л.А.Галина, А,Л,Галина, Э.Н.Кузнецова, В.Я.Леонова, А. И. Лурье, АЛява, Н.И.Мусхелишвшш, И. М. Рабиновича, Э.Рейсснера, М. А. Садовского, С.П.Тимошенко, М.М. Филоненко-Бородича, В.А.Флорина, Г.Фромма, С.А.Чаплыгина, й.Я.Штаермана и других специалистов. Достаточно полное описание существующих аналитических решений можно найти в книге [18].

Несмотря на то, что задачи с односторонними связями были известны достаточно давно, и для некоторых из них были получены аналитические решения, теоретические основы для строгой математической постановки подобных задач были разработаны относительно недавно. Краевая задача теории упругости с граничными условиями в виде неравенств для той части поверхности тела, которая взаимодействует с жестким штампом, была впервые рассмотрена А. Синьорини в 1933 году. Более полно ее теория была изложена им в 1959 году [53]. С тех пор контактная задача теории упругости носит его имя. Для условий в виде неравенств, характеризующих состояние односторонних связей, Синьорини предложил термин "сомнительные граничные условия". Это связано с тем, что заранее неизвестно, какая именно ситуация будет иметь место в каждой точке на поверхности контакта.

Строгие математические постановки задач теории упругости с односторонними связями, а также задач теории пластин с односторонними связями даны в работах А.В.Швкушевского, Р.Гловински, Г.Дюво, A.C.Кравчука, Ж.-Л.Лионса, П.Панагиотопулоса, Л.А.Розина, Р.Тремольера и других.

Г.Дюво и Ж.-Л. Лионе в своей монографии [23]. опубликованной в 1972 году, исследовали как задачу Синьорини с идеальными связями (т.е. без трения), так и задачу Синьорини с кулоновским трением. Закон трения, описывающий взаимодействие контактирующих поверхностей, был предложен Ш. Кулоном еще в 1781 году за несколько десятилетий до того, как были разработаны основы механики деформированного тела, в частности уравнения линейной теории упругости и теория напряжений, и за столетие до первых успешных формулировок контактной задачи [53]. Закон Кулона успешно используется при решении ряда инженерных задач [21,25,28], однако его использование в сочетании с уравнениями линейной теории упругости вызывает затруднения.

В работе [23] показывается, что для задачи теории упругости с идеальными односторонними связями существует эквивалентная вариационная постановка в виде условия экстремума функционала полной энергии системы, применение же к ней закона Кулона не позволяет сформулировать вариационных принципов в виде условий экстремума функционала и, следовательно, при численном решении свести ее к классическим задачам математического программирования. Кроме того, в общем случае не удается доказать существования и единственности решения задачи. Поэтому корректная' формулировка задачи Синьорини с трением была объявлена в работе [23] открытой проблемой.

Вариационные постановки для задачи Синьорини с идеальными связями, основанные на вариационных уравнениях Кастильяно и Рейссиера, были предложены Л.А.Розииым [38]. Вопросы, связанные с различными формами постановок контактных задач, рассмотрены в работах А.С.Кравчука [26,27]. Вопросами анализа и решения вариационных неравенств, описывающих тела с односторонними связями, занимались А.В. Вовкушевский, Я.Гаслингер, И.Гдавачек, Р.Гловински, Я.Ловишек, И.Нечас, А. А. Спектр, Р.Тремольер, Б.А.Шойхет. Некоторые специальные задачи с односторонними связями рассматривали Я.Гаслингер, И.Главачек, Д.Гриолн, Г.Ланцош, Г.Леви, Я.Ловишек, И.Нечас, Х.Парланд, У.Прагер, Б. Санчес-Паленсия, П.Саке, Т.Тинг.

Эти работы вместе с работами ряда других ученых заложили теоретические основы для построения численных методов решения задач данного типа. Появление и развитие вычислительной техники и машинно-ориентированных алгоритмов решения задач теории упругости, прежде всего метода конечных элементов, сделали возможным практическую реализацию численных методов для решения задач по определению напряженно-деформированного состояния массивных тел с разрезами. Общие теоретические и прикладные основы метода конечных элементов как основного вычислительного метода современной строительной механики были заложены в работах Е.Вилсона, Р.Галлагера, А.С.Городецкого, О.Зенкевича» Д. Куранта, Д.Одена, В.А.Поетнова, Л.А.Розина, Н.Н.Шапошникова и многих других ученых.

Кроме аналитических и численных методов решения задач теории упругости с односторонними связями имеются численно-аналитические методы, большинство из которых заключается во введении в число конечных элементов специальных элементов, построенных на основе аналитических решений и. моделирующих напряженно-деформированное состояние вблизи особых точек (например, элементы с надрезами). Численно-аналитические методы решения контактной задачи теории упругости разработаны Х.Андерсенем, В.А.Зейлигером, П.И.Васильевым, И.Я.Хархуримом,

A.А.Храпковым, и другими.

Вопросам существования, единственности и устойчивости решения задачи Синьоринн посвящены работы А. В. Вовкушевского,

B.А.Дурнева, Г.Дюво, Ж.-Л.Лионса, Д.Одена, Е.Пайрса, Г.Стампаккьи, Г.Фикеры, Б.А.Шойхета и других ученых. В работе Г.Фикеры [46] приводится доказательство существования и единственности решения задачи Синьорини с идеальными односторонними связями. Для единственности решения задачи необходимо только, чтобы тело или его отдельные части не имели возможности жесткого смещения. В противном случае решение всегда существует при ограничении возможных жестких смещений, но может быть неединственньш. Если же кинематически возможные перемещения могут неограниченно возрастать, решение существует лишь при определенных видах нагрузки, а именно таких, при которых отдельные части тела прижимаются друг к другу или жестким упорам, или все тело - к жестким упорам [16].

Для задачи Синьорини с трением, как известно, не доказало существование выпуклого функционала, остаются открытыми и фундаментальные вопросы существования и единственности решения. Более того, на простых примерах можно показать, что решение данной задачи может быть неединственным [16].

В работах А. В. Вовкушевского, П.Панагиотопулоса и других для задачи в конечномерной постановке доказывается существование критического значения коэффициента трения, при превышении которого истинной величиной коэффициента трения в данной задаче возможно существование нескольких решений, А.В.Вовкушевским и В.А.Дурневым [10] оно экспериментально подтверждено и исследовано. Б.А.Шойхетом доказано существование решения задачи Синьорини с трением для случая конечномерной постановки [49].

Г.Дюво и Ж.-ЛЛионе показали [23], что с математической точки зрения причиной трудностей как. при решении задач теории упругости с односторонними связями с трением Кулона,, тэте и с доказательством существования и единственности ее решения является недостаточная гладкость нормальных к поверхности контакта напряжений.

Д.Оден и Е.Пайрс в статье [52] дали физическое объяснение этому, заключающееся в том, что закон трения Кулона носит локальный характер, т.е. ставит достижение предельного состояния в данной точке поверхности контакта в зависимость от напряжений исключительно в этой точке. На самом деле микромеханические явления, определяющие произойдет или нет сдвиг в данной точке, происходят в некоторой ее окрестности. В связи с этим Д.Оден и Е.Пайрс предложили отличающийся от кулоновского закон трения. Его идея состоит в сглаживании контактных напряжений за счет предположения, что сдвиг контактирующих поверхностей появляется тогда, когда сдвигающее усилие достигает величины пропорциональной не значениям нормальных контактных напряжений в данной точке, как предполагается в законе Кулона, а средней величине нормальных напряжений в окрестности данной точки. Такой закон позволяет учесть нелокализованные в одной точке микромеханические явления, имеющие место в зоне контакта, и добиться большей гладкости функции нормальных контактных напряжений. В частности, в предложенном законе трения предполагается учет дополнительной податливости в односторонних связях в касательном направлении. Эта теория, однако, приводит к настолько сложным расчетным зависимостям, что говорить о ее практической реализации вряд ли возможно.

А.В.Вовкушевский показал [8,9], что улучшения свойств данной задачи можно добиться более простым путем- введением податливого в нормальном направлении слоя в односторонние связи. Это может иметь и самостоятельный физический смысл, например, при моделировании контакта шероховатых поверхностей или швов, заполненных податливым материалом, в частности трещин в скальном массиве, заполненных мелкодисперсным милонитом.

В этом случае нормальные контактные напряжения оказываются связанными с нормальными перемещениями бортов шва и не могут неограниченно возрастать даже при приближении к особым точкам, например - краям жесткого штампа, Это может повлиять на устойчивость решения задачи и расширить диапазон сходимости итерационных процессов. Математически это выражается тем, что с увеличением податливости слоя увеличивается величина критического коэффициента трения, при превышении которого решение может оказаться неединственным. Иными словами, включение податливого слоя приводит к качественным изменениям свойств рассматриваемой задачи с точки зрения единственности решения,- удается получить качественную оценку для величины критического коэффициента трения для физически ясной задачи. Величина критического коэффициента трения, однако, является трудно оцениваемой и вряд ли может быть использована для решения вопроса о единственности решения при выполнении практических расчетов.

Таким образом, введение податливого слоя в односторонние связи может оказаться полезным как метод регуляризации исходной задачи, что повышает актуальность работ по созданию соответствующих алгоритмов ее решения.

Я.Гаслингером, И.Главачеком, Я.Ловишеком, И. Нечасом [19] были получены строгие результаты о существовании решения для одного частного случая- поверхности контакта бесконечной длины. Тем самым авторы исключили возможность появления особых точек на поверхности контакта (например, под углом штампа). Известны некоторые другие частные задачи, рассматривавшиеся Р.В.Гольдштейном, Ю.В.Житниковым, А.С.Рабиновичем для которых доказывается существование и единственность решения.

При решении задачи теории упругости с идеальными односторонними связями решение не зависит от последовательности возведения сооружения и приложения нагрузок. При учете трения последовательность возведения сооружения и приложения нагрузок следует принимать во внимание [27). Это можно сделать путем пошагового приложения нагрузок [9].

Для моделирования односторонних контактов при использовании метода конечных элементов часто используют так называемые контакт-элементы (§ар-элементы). Контакт-элементы были впервые предложены Р.Гудменом в 1968 году [50]. Контакт-элемент представляет собой вытянутый вдоль поверхности шва элемент, жесткостью свойства которого характеризуются коэффициентами нормальной и касательной жесткости, изменением значений которых в ходе итерационного процесса производится моделирование условий одностороннего контакта [2-8.,29,45]. Р.Гудменом была построена матрица жесткости такого элемента, которая включается в глобальную матрицу жесткости системы также как и матрицы жесткости обычных элементов.

Т. Гротом [51] было предложено учитывать с помощью контакт-элементов снижение сопротивляемости сдвигу после того, как он начался, а также явление дилатансии [25,45]. Он также предложил комбинированный итерационный процесс, при котором глобальная матрица жесткости системы перестраивается на каждом шаге приложения нагрузок, но в пределах каждого шага итерации ведутся с постоянной матрицей методом начальных напряжений.

Различные модификации контакт-элементов предлагались Ж.Дюбуа, В.Г.Ореховым и другими специалистами.

В то же время модель контакт-элемента не основывается на строгой математической постановке и по сути представляет собой сведение конструктивно нелинейной задачи к задаче физически нелинейной. Сами контакт-элементы при этом играют только сфуктурообразующую роль, суть проблемы остается в решении нелинейных уравнений равновесия [32]. В работе [7], например, податливость элементов на контакте трактуется как введение в обычную задачу теории упругости штрафного параметра, нелинейно зависящего от контактных напряжений. В пространственных задачах при использовании контакт-элементов часто проявляется вычислительная неустойчивость и плохая сходимость [4,5]. В ряде случаев использование контакт-элементов приводит к результатам не точно отвечающим физическому смыслу задачи [28],

В связи с этим в последнее время наблюдается рост интереса к математическим моделям, в которых контакт-элементы не используются. Такой моделью стал аппарат односторонних связей при решении задач теории упругости. При его использовании для определения.напряженно-деформированного состояния массивных тел с разрезами на взаимные перемещения противолежащих точек на взаимодействующих бортах шва накладываются ограничения. Математически эти ограничения имеют вид неравенств, что и определяет нелинейный характер данной задачи. При отсутствии трения такая задача сводится к проблеме отыскания экстремума функционала полной энергии системы при наложении на функции перемещений ограничений в виде неравенств.

При конечноэлементной дискретизации задачи вводится понятие контактной пары узлов - т.е. пары противолежащих узлов на контактирующих поверхностях. Тогда ограничения накладываются на взаимные перемещения этих узлов, а вместо поиска минимума функционала отыскивается минимум квадратичной формы от перемещений узлов сетки.

Решить данную задачу можно прямыми методами минимизации функционала с ограничениями, например методом наискорейшего градиентного спуска [3,12,43], .или путем сведения условия экстремума квадратичной формы к системе линейных алгебраических уравнений. В последнем случае кинематические граничные условия на той части границы, где заданы перемещения, учитываются в этой системе обычным образом [34,39,41,45,47], а для удовлетворения условий односторонних связей приходится организовывать итерационный процесс, на каждом шаге которого решается эта система, причем на первом его шаге все односторонние связи предлагаются включенными в работу (например, при нулевом начальном зазоре нормальные перемещения противолежащих узлов приравниваются) или наоборот. На каждом последующем шаге производится корректировка граничных условий, путем выключения из работы тех связей, усилия в которых на предшествующем шаге оказались растягивающими или наоборот, включения связей, усилия в которых оказались сжимающими. Примеры использования такого подхода можно найти в [4,5,31].

При этом число неизвестных в конечно-элементной задаче, как правило, является достаточно большим, что приводит к сложностям при их решении. Например, при использовании градиентных методов количество итераций, необходимое для получения решения даже в достаточно простой задаче достигало тысяч [12]. В связи с этим А.В,Вовкушевский и В.А.Зейлигер предложили эффективный алгоритм статической конденсации [12,35], основанный на переходе от исходной задачи минимизации функционала Лагранжа к задаче поиска максимума двойственного ему функционала. Этот алгоритм позволяет резко снизить размерность задачи путем снижения числа неизвестных за счет предварительного исключения тех из них, на которые не наложено односторонних ограничений. В результате применения 'данного метода порядок решаемой в ходе итерационного процесса задачи определяется только числом наложенных на узлы ограничений на перемещения. Очевидно, это число значительно меньше общего числа неизвестных, что позволило сделать данную задачу лучше обусловленной и резко сократить затраты машинного времени на ее решение.

Данный алгоритм был реализован в программном комплексе ТУ ОС (Теория Упругости - Односторонние Связи), ориентированном еще на ЭВМ БЭСМ-6 [13], и подтвердил свою высокую эффективность. Дальнейшее развитие исследований в данной области сопровождалось модернизацией данного программного продукта, в частности, в виде переведенной для Ме1-совместимых компьютеров программы, получившей при этом название ДУПР [35].

Алгоритм статической конденсации применительно к решению пространственных задач с односторонними связями был также разработан АМ.Белостоцким и М.В.Белым, но на основе использования суперэлементной техники [4,5]. Решение пространственных задач, как известно, сопряжено с резким увеличением количества неизвестных, поэтому здесь оказывается весьма эффективным использование суперэлементной процедуры, в частности ее многоуровневого варианта, предложенного М.В.Белым [4,5,47]. В этом случае на последнем суперэлементном уровне производится исключение неизвестных, после которого остается решить задачу квадратичного программирования относительно скачков нормальных перемещений на поверхности шва. После их определения находятся скачки касательных перемещений, а затем, при помощи стандартной процедуры, - перемещения узлов суперэлементов всех уровней. В [4] отмечается, что экономия арифметических операций, необходимых для решения задачи, достигается не только за счет того, что вычисление решения во внутренних узлах не производится, но и за счет того, что для нелинейных задач скорость сходимости итерационных процессов на последнем суперэлементном уровне возрастает.

Практическая реализация этого алгоритма в программном комплексе СТАДИЮ показала его высокую эффективность [6,32].

Решение задач теории упругости с односторонними связями с трением, как правило, сводится к решению серии задач с идеальными односторонними связями. Наиболее известным методом решения данной задачи является метод итераций по предельным силам трения [11,26,27,30]. В нашей стране он известен прежде всего благодаря работам А.С.Кравчука.

В этом методе в начале итераций взаимные касательные перемещения противолежащих узлов приравниваются. При этом, если происходит сдвиг по контакту, т.е. касательные напряжения, передаваемые через контактную пару узлов, оказываются больше предельных, связь, наложенная на взаимные касательные перемещения этих узлов, снимается, а к самим узлам прикладываются силы трения, противоположные направлению сдвига. Величины этих сил определяются значением предельных контактных напряжений, полученным на предыдущем шаге. Компоненты этих сил добавляются к общему вектору сил и уточняются на каждом шаге итераций. Данный процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута сходимость с заданной точностью.

Известно большое число разновидностей данного метода. В частности, возможны иные последовательности организации итерационного процесса. Например, ограничений на взаимные касательные смещения противолежащих узлов не ставится, учет трения производится только путем приложения к ним сил, препятствующих сдвигу, причем на первом шаге они задаются равными нулю. А.С.Кравчук показал, что в случае сходимости данного итерационного процесса, решение будет удовлетворять граничным условиям односторонних связей с трением [II]. В ряде работ предлагается введение т.н. релаксационных параметров-коэффициентов ускорения сходимости, значения которых назначаются из вычислительного опыта [4,5,32]. Ю.В.Андреевым и А.Б.Фадеевым предложена модификация данного метода. позволяющая смоделировать ряд нелинейных эффектов, возникающих при решении задач геомеханики, а именно на контакте взаимодействующих скальных блоков [45], - наличие сцепления, зависящего от величины взаимного касательного смещения, и эффект дилатансии, возникающий при сдвиге за счет- выхода из зацепления друг с другом микрошероховатостей на противолежащих гранях. При этом взаимные нормальные и касательные смещения противолежащих узлов не являются независимыми, а связаны между собой в соответствии с эмпирическими соотношениями, предложенными авторами метода.

Несмотря на различия в деталях все вышеописанные и ряд других подходов объединены одним, - учет трения в односторонних связях производится путем приложения к поверхностям контакта препятствующих сдвигу сил, величины которых определяются итерационным путем таким образом, чтобы удовлетворять граничным условиям односторонних связей с учетом трения.

Алгоритм метода итераций по предельным силам трения реализован в ряде промышленных программных комплексов, в частности упомянутом выше отечественном программном комплексе СТАДИО [4,5,32].

А.В.Вовкушевским и Б.АШойхетом предложен принщшиально иной метод моделирования швов с трением, получивший название метода итераций по зазорам [8Д11Д6], Он также сводится к решению серии задач с идеальными односторонними связями, но с мелким периодическим рельефом. Для моделирования .поверхности такой конфигурации яри использовании традиционных граничных условий потребовалось бы очень сильное сгущение конечно-элементной сетки. А.В.Вовкушевский и Б.А.Шойхет предложили заменить истинную поверхность контакта гладкой предельной поверхностью, а учет наличия мелких штраб (неровностей, выступов) на ней производить путем постановки соответствующих асимптотических граничных условий. Такая задача также получила название асимптотической. Она также сводится к проблеме поиска экстремума функционала с ограничениями в виде неравенств. Решить данную задачу, как уже отмечалось, можно на основе метода конечных элементов. Разработка асимптотического метода, и его программная реализация позволили, в частности, приближенно моделировать штрабленые (т.е. выполненные с большим числом мелких зубьев) швы массивных гидротехнических сооружений [15,16].

Метод итераций по зазорам основан на использовании в качестве вспомогательной асимптотической задачи, соответствующей мелкому периодическому рельефу пилообразного вида, причем угол наклона поверхности воображаемых штраб прямо связан с коэффициентом трения взаимодействующих поверхностей. Физический смысл такой модели очевиден, - наличие трения связано с существованием микронеровностей на контактирующих поверхностях, а характеристики трения определяются их формой и размерами. Однако, в реальных телах при сдвиге происходит выход мшфонеровносгей из зацепления друг с другом. В асимптотической задаче выход воображаемых зубцов из зацепления при сдвиге невозможен, за счет чего появляется расширение зоны контакта, не соответствующее моделируемому явлению трения. АВ.Вовкушевский и Б.А.Шойхег показали, что этого несоответствия можно избежать путем подбора соответствующего значения величины зазора. Для того чтобы решение задачи удовлетворяло граничным условиям с трением, на каждом шаге итерационного процесса решается асимптотическая задача, причем величина зазора в шве меняется в соответствии с решением, полученным на предыдущем шаге. Алгоритм метода итераций по зазорам был реализован в ряде версий программных комплексов ТУОС-ДУПР и показал высокую эффективность.

Разработанные методы решения задач теории упругости с односторонними связями и их реализация в программных комплексах позволили получить решения для большого числа практических задач, в частности в гидротехническом строительстве.

Так при исследовании вопроса о напряженно-деформированном состоянии арочно-гравитшщонной плотины Саянской ГЭС рассматривались различные варианты устройства шва-надреза на напорной грани [16]. Для этой же плотины [16], а также плотин Братской и Усть-Илимской ГЭС был выполнен ряд исследований, касающихся прочности цементационной завесы под первыми столбами плотин. Полученные результаты хорошо согласовывались с данными натурных наблюдений и оказались более реалистичными чем результаты, полученные при использовании упрощенных моделей.

В [16] также приведены результаты исследований для варианта бетонной плотины Богучанской ГЭС с нетрадиционным наклонным расположением штрабленых швов. Несколько позже для этого же гидроузла проводились исследования окончательного варианта каменно-набросной плотины с асфальтобетонной диафрагмой [14,42], Результаты работ показали, что использование упрощенных моделей может привести к занижению расчетных значений напряжений и смещений в диафрагме по сравнению с результатами, полученными путем использования аппарата односторонних связей, более точно учитывающим особенности работы сооружения,

В конце восьмидесятых - начале девяностых годов в связи с планировавшимся строительством ряда гидротехнических сооружений в условиях Крайнего Севера встал вопрос о недостаточной надежности и высокой стоимости традиционного способа омоноличивашм технологических швов в массивных бетонных конструкциях путем цементации, затрудненной при средаеэксплуатационных отрицательных температурах, и возможности полного или частичного отказа от нее Ряд исследований на основе использования аппарата односторонних связей, проведенных для вариантов бетонных плотин Амгуэмской и Усть-Среднеканской ГЭС, в некоторых из которых принимал участие и автор настоящей работы [15,40], показал, что полный отказ от цементации возможен только в некоторых случаях и при выполнении очень строгих условий. В связи с этим изучалась возможность организации передачи усилий между столбами через специальные опорные пояса- шпонки, и разрабатывалась методика оценки напряженно-деформированного состояния сооружений с ними, базирующуюся на применении аппарата односторонних связей.

Во всех вышеперечисленных исследованиях использовались различные версии программного комплекса ТУОС-ДУПР.

При расчете мнсгосекционной плотины Танг-Е-Дук в Иране, отличающейся оригинальной конструкцией и нестандартной технологией возведения [4,6], для достаточно полного учета нелинейных эффектов, оказывающих серьезное влияние на напряженно-деформированное состояние этого сооружения, потребовалось решение пространственной задачи с односторонними связями и учетом последовательности возведения. Полученное с помощью комплекса СТАДИО решение характеризуется качественно иным и более реалистичным распределением напряжений и перемещении но сравнению с линейно-упругой постановкой [4,6]. Напряженное состояние при этом оказалось существенно зависящим от последовательности возведения сооружения.

Вопрос о моделировании нелинейных эффектов в швах и макротрещинах при динамических, воздействиях остается открытым. В частности, с помощью комплекса СТАДИЮ производились попытки решения задач с односторонними связями в динамической постановке путем прямого интегрирования по времени, например для заданной акселерограммы землетрясения. Полученные решения' показали наличие "паразитических" высокочастотных осцилляции ускорений, которые не удается устранить при уменьшении шага по времени [41

Использование аппарата односторонних связей с момента своего появления предполагалось для моделирования контакта поверхностей упругих тел без учета наличия податливого слоя, в отличие от метода контакт-элементов, изначально ориентированного именно на подобные задачи и отвечающего им по своей сути. В то же время учет податливости в односторонних связях может оказаться весьма важным как в целях регуляризации недостаточно корректно поставленной задачи Синьорини с трением, так и для моделирования реальных физических явлений, а чаще - сразу в обеих целях.

Использование метода итераций по зазорам для решения задачи Синьорини с трением дает возможность учесть податливость в односторонних связях без введения дополнительных податливых элементов. Это связано с тем, что, в отличие от метода итераций по предельным силам трения, где в ходе итерационного процесса контролируются контактные усилия, в этом методе путем изменения зазоров контролируются величины взаимных смещений поверхностей. Это значит, что деформации в податливом слое в принципе можно смоделировать дополнительным увеличением зазоров.

Общая схема такого подхода предложена АВ.Вовкушевским в работе [8], где введение податливого слоя преследовало цели регуляризации, а в качестве вспомогательной использовалась та же асимптотическая задача, что используется для случая отсутствия податливого слоя. Однако, такой подход справедлив для случая, когда учитывается податливость слоя только в нормальном направлении. Кроме того, высказанная в [81 идея до сих пор не проверялась на практике.

Целями настоящей работы являются, во-первых, дальнейшее развитие метода итераций по зазорам, которое позволило бы распространить его на задачи Синьорини с трением и податливостью в односторонних связях как в нормальном, так и в касательном направлениях, во-вторых, практическое исследование этого метода. Кроме того, при модификации метода итераций по зазорам предполагается учесть физическую нелинейность деформирования материала локально деформируемого слоя, выраженную в ограничении на его сжимаемость, что может оказаться важным при моделировании контакта реальных тел.

Основной материал работы изложен в четырех главах.

В первой главе формулируются постановки контактных задач теории упругости с податливостью в односторонних связях. При этом в начале рассматривается случай идеальных связей, затем - связей с трением. Большое внимание уделяется постановкам задач в вариационной форме и постановке асимптотической задачи, что является основой для решения вспомогательной задачи с идеальными односторонними связями на каждом шаге процесса метода итераций по зазорам.

Во второй главе вначале формулируется алгоритм решения вспомогательной задачи, основанный на использовании метода конечных элементов в сочетании с методом наискорейшего градиентного спуска В качестве вспомогательной для' рассматриваемого случая предлагается новая асимптотическая задала, выводятся граничные условия для нее. Выводятся и обсуждаются формулы итерационного процесса, целью которого является ликвидация несоответствий между граничными условиями односторонних связей с трением и податливостью в односторонних связях и условиями асимптотической задачи.

Третья глава посвящена практическому изучению предложенного метода. В качестве объектов исследований выбраны две задачи - о взаимодействии бетонных блоков под действием гидростатической нагрузки и о растяжении защемленной полосы на жестком' основании. Исследуется сходимость итерационных процессов в зависимости от различных факторов - податливости слоя, наличия ограничений на его сжимаемость, учете податливости только в одном из направлений, величине коэффициента трения, использовании различных вариантов метода. Также изучается влияние податливого слоя на напряженно-деформированное состояние конструкций.

В четвертой главе приводятся примеры использования рассматриваемого метода при выполнении практических расчетов в области гидротехнического строительства. Рассмотрены два варианта решения проблемы омоноличивания массивной бетонной плотины, альтернативные традиционной цементации, - устройство вертикальных и горизонтальных межстолбчатых шпонок. В качестве объекта исследования использовался вариант глухой бетонной плотины Усгь-Среднеканской ГЭС. Для определения напряженно-деформированного состояния сооружения и его фрагментов в рассмотренных случаях потребовался учет податливости в односторонних связях, поэтому для решения задач использовался модифицированный метод итераций по зазорам.

В заключении обсуждаются основные результаты работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе рассмотрена проблема решения контактной задачи теории упругости при наличии податливого слоя в односторонних связях с трением. Учет податливости в односторонних связях представляет интерес, во-первых, с точки зрения более точного моделирования .явлений, происходящих на контакте упругих тел, а во-вторых, с точки: зрения улучшения математических свойств данной задачи. Основные результаты работы заключаются в следующем.

1) Сформулирована постановка рассматриваемой задачи, в которой предполагается, что деформации податливого слоя в односторонних связях связаны с контактными напряжениями линейкой или кусочно-линейной зависимостями. Последний случай обусловлен наличием ограничения на сжимаемость слоя.

2) Для решения подобных задач разработан метод, представляющий собой модификацию известного метода итераций' по зазорам, заключающуюся в его распространении на более общий случай - случай наличия податливости в односторонних связях,. 'Наибольшие трудности при разработке данного алгоритма оказались связанными с необходимостью учета податливости слоя в касательном направлении.

3) В связи с необходимостью учета податливости в касательном направлении в процессе модификации метода потребовалось разработать новую вспомогательную задачу, в которой, в отличие от известного варианта метода, фигурирует не одна, а две функции зазоров, определяемые на каждом шаге итераций. В качестве такой задачи предложена задача с идеальными односторонними связями, характеризующаяся мелким периодическим рельефом с зубцами трапецеидальной формы. Для данной задачи получены граничные условия.

4) Решение исходной задачи осуществляется путем решения серии указанных вспомогательных задач. Цель данного итерационного процесса - ликвидация несоответствий между условиями исходной задачи и вспомогательной задачи. Решение вспомогательной задачи осуществляется на основе метода конечных элементен в сочетании с методом наискорейшего градиентного спускай

5) Предгюжено два варианта итерационных процессов. На каждом шаге итераций функции зазоров во вспомогательных задачах определяются по результатам решения задач на предыдущих шагах. В первом варианте метода учитываются результаты, полученные на одном предшествующем шаге, во втором - на двух предшествующих шагах. В случае сходимости процессов полученное решение должно удовлетворять условиям исходной задачи,

6) Выполнены численные исследования модифицированного метода итерации по зазорам. По их результатам сделаны выводы о наличии внутренней сходимости метода. Количество итераций, необходимое для получения решения с заданной точностью, с увеличением податливости в односторонних связях растет незначительно. Однако, при значительном увеличений податливости скорость сходимости метода, заметно издает. При высокой податливости слоя использование второго варианта метода оказывается предпочтительнее чем использование первого варианта.

7) Исследовано влияние наличия податливости в односторонних связях на напряженно-деформированное состояние. В частности установлено, что учет податливости оказывает сглаживающее влияние на контактные напряжения и приводит к изменению положения границ между зонами сдвига и сцепления. Ограничение на сжимаемость слоя при высокий его податливости также заметно влияет на распределение усилий и перемещений. В ряде рассмотренных задач учет податливости в касательном направлении оказывал заметно большее влияние на напряженно - деформированное состояние чем учет податливости в нормальном направлении.

8) В рамках исследований по вопросу о замене цементации межстолбчатых швов массивных бетонных сооружений другими мероприятиями рассмотрена проблема определения напряженно -деформированного состояния массивных бетонных плотин для различных вариантов конструктивного решения деформационных швов. В частости рассмотрены варианты передачи усилий между столбами плотины через вертикальные и горизонтальные опорные пояса - шпонки. При решении подобных задач в ряде случаев требовался учет податливости в односторонних связях. Применение рассматриваемого метода к. решению данных задач показало его эффективность.

Таким образом, полученные- результаты и сделанные по итогам работы выводы позволяют заключить, что предложенный метод решения контактной задачи теории упругости с трением и податливостью в односторонних связях может быть применен для решения практических задач как в целях рехуляризации, так. и для более детального учета различных факторов, влияющих на напряженно-деформированное состояние массивных тел, содержащих швы и разрезы.

Сшштк литературы.

1. Строительные нормы и правила Плотины бетонные а железобетонные. СНиП2.06.06.-85. ~М: Стройиздат , 1985.

2. Александров A.B., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. -М.: Высшая школа, 1990.-400с.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.: Учебное пособие. - М.: Наука, 1987. -600с.

4. Белостоцкий A.M. Численное моделирование статического и динамического напряженно-деформированного состояния пространственных систем "сооружение - основание водохранилище" с учетом нелинейных эффектов открытия а закрытия швов и макротрещин.: Автореферат диссертации . доктора технических наук. -М.51998.-58с.

5. Белостоцкий A.M., Белый М.В. Численное решение трехмерных задач об одностороннем контакте с трением для упругих систем. // Сб. научных трудов МГСУ, М.,1998, с. 15-34.

6. Белостоцкий A.M. Чамов Б.М., Чамов И.К. Статический и динамический расчет реальной трехмерной системы "бетонное сооружение - скальное основание" при учете нелинейных эффектов открытия- закрытия швов и макротрещин.// Сб. научных трудов МГСУ, М., 1998, с. 35-39.

7. Ваяавина Л.С., Вовкушевский А.В. Применение метода штрафа для численного решения задачи контакта упругих тел. // Исследования и расчет строительных конструкций энергетических сооружений: Межвуз.сб.- Л.: ЛПИ, 1987, е.116-122.

8. Вовкушевский A.B. Вариационная постановка и методы решения контактной задачи с трением при учете шероховатости поверхностей. /У Известия АН СССР. МТТ, 1991, с.56-62.

9. Вовкушевский A.B. Постановка и решение контактной задачи теории упругости с трением при произвольном процессе загружеиия. // Труды ЛПИ, 1985, N405, с.9-13.

10. Вовкушевский A.B., Дурнев В.А. Об устойчивости решения задачи теории упругости е условием трения на границе. // Известия ВНИЙГим. Б. Б.Веденеева, 1984, т. 17 Г, с. 86-91.

11. Вовкушевский A.B., Дурнев В,А. Численная реализация некоторых способов решения задачи Синьорини с трением. // Труды ЛПИ, 1985, N405, с.14-19.

12. Вовкушевский A.B., Зейлигер В,А, К решению задач теории упругости с односторонними связями методом конечных элементов. // Известия ВНИЙГ мм. Б.Б,Веденеева. 1979. т. 129, с.27-31.

13. Вовкушевский A.B., Зейлигер В,А, Программа решения задачи упругости с односторонними связями методом конечных элементов для ЭВМ БЭСМ-6.- Л.; Издательство ВНИйГ, 1980.

14. Вовкушевский A.B., Константинов И.А., Кузнецов B.C., Чернышева Н.В. Использование различных расчетных схем с односторонними связями при исследовании напряженно-деформированного состояния каменно-набросной плотины с асфальтобетонной диафрагмой. // Строительная механика и расчет сооружений: Сборник научных трудов СПбГТУ, СПб, 1992, с. 2234.

15. Вовкушевский A.B., Рукавишников В.А., Смелов В.А. Расчетные исследования напряженного состояния бетонной плотины Усть-Среднеканской ГЭС с неомоноличенными швами. // Строительная механика и расчет сооружений: Сборник научных трудов СПбГТУ, СПб, 1992, с.45-47.

16. Вовкушевский A.B., Шойхет Б.А. Расчет массивных гидротехнических сооружений с учетом раскрытия швов,-МсЭнергоиздат, 1981,-1 Зое.

17. Гаджиев А. Б. Деформационные швы гидросооружений. - М.-Л. : Энергия, 1969.

18. Галин Л, А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругостй., -М.: Наука, 1980.-303с,

19. Главачек И.;. Гаслингер Я,, Нечае И. Ловишек Я, Решение вариационных неравенств в механике. ~М.: Мир, 1986. --270с.

20. Гольдштейн. Б.Г. Теория деойствешюстя в математическом программировании ж ее приложения, -М.: Наука,1971.-351 с.

21. Гришин М.М.;, Розанов НИ., Белый JI.Д., Васильев П.И. и др. Бетонные плотины (на скальных основаниях). : Учеб. пособие для вузов. - М.: Стройиздат, 1975,- 352 с.

22. Демкин Н.Б.; Рыжов Э.В. Качество поверхности и контакт деталей машин. -М.: Машиностроение, 1981.-245с.

23. Дюво Г, Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. -М.: Наука, 1980.- 383с.

24. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. --М.: Недра, 1974.

25. Иванов ПЛ. Грунты и основания гидротехнических сооружений. Механика грунтов: Учебник для гидротехнических специальностей вузов. ~М.: Высшая школа, 1991.-447с,

26. Кравчук А.С. К постановке краевых задач с трением на границе. /7 Механика деформируемого тела: Сборник статей. Куйбышев, 1976, вып.2, с. 102-105.

27. Кравчук А,С. К теории контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения. /У Прикладная математика м механика, 1980, т.44, вып.1., с. 122-129.

28. Мгалобелов Ю.Б. Прочность и устойчивость скальных оснований бетонных плотин. --М.: Энергия, 1979,

29. Орехов В.Г., Зерцалов М.Г. Механика разрушений инженерных сооружений и горных массивов.: Учебное пособие, - М.: Изд-во АС В, 1999. - 330с.

30. Паншиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. - М.: Мир, 1989. - 494с.

31. Пискунов В.Г., Бузун И.М. и др. Расчет крановых консгрукгщй методом конечных элементов. -М.: Машиностроение, 1991.-240с.

32. Пйчугин Д.В. Расчет трехмерных конструкций с односторонними связями при учете контактного трения методом суперзлементов.: Автореферат диссертации . кандидата технических наук. - М., 1999. -1 Ус,

33. Подбор составов растворов для омоноличивания бетонных нлотин. Исследование технологических свойств растворов* прочностных и деформационных характеристик цементного камня.: Отчет о научно-исследовательской работе, ВНИИГ, рук.темы Сулимов В.Р., №102-59-78. - СПб, 1991. - 52с.

34. Постов В.А,, Хархурим И.Я. Метод конечных элементов. -Лл Судостроение, 1974. - 34.2с.

35. Разработка программы расчета массивных конструш.дай с учетом раскрытия швов для персональной ЭВМ: Отчет о научно-исследовательской работе, Л1ТУ, рук, темы Розин Л. А,, №111004, -Л.Д990.-45с.

36. Расчетные исследования напряженного состояния плотины Усть-Среднеканской ГЭС с учетом раскрытия швов: Отчет о научно-исследовательской работе. ЛГТУ, рук. темы Розин Л.А., №111003, - Л.Д 990. - 68с.

37. Расчетные исследования напряженно-деформированного состояния Усть-Среднеканской ГЭС с неомоноличенными деформационными швами: Отчет о научно-исатедоватепьской работе. СПбГТУ, рук, темы Розин Л.А., №3.29-91. - СПб, 199?.-61с.

38. Розин Л. А. Вариационные постановки задач для упругих систем. -Л л Издательство ЛГУ, 1978,- 224с,

39. Розин Л.А. • Задачи теории упругости и численные методы их решения. -СПб.: Издательство СПбГТУ, 1998.-532с.

40. Розин Л.А., Рукавишников В,А., Смирнов М.С. Расчетные обоснования возможности отказа от применения цементации деформационных швов в бетонных строительных коншрукциях на основе решения задачи теории упругости с односторонними связями. /У Строительная механика и расчет сооружений: Сборник научных трудов СПбГТУ N 456, СПб, 1996. с. 145-149,

41. Сабоннадьер Ж,-К, Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР. -М.: Мир, 1989. -190с.

42. Савченко И.И., Чернышева Ы.В. Влияние сезонного различия модулей деформации грунта штотины на напряженно-деформированное состояние асфальтобетонной диафрагмы. /У Строительная механика и расчет сооружений: Сборник научных трудов СПбГГУ N 456, СПб, 1996, с. 149-157.

43. Самарский А.А. Введение в численные методы. - Мл Наука, 1997,-239с.

44. Телешев В.И. Консгрукгивно-технологические мероприятия по обеспечению трещмностойкости и монолитности массивных гидротехнических сооружений.: Учебное пособие. -Л.: ЛПИ, 1983.

45. Фадеев А.Б, Метод конечных элементов в геомеханике. ~М.: Недра, 1987.

46. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. -М: Мир, 1974. --159с.

47. Хечумов Р л,. Кеттлер Х.; Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. -М.: Издательство АСВ, 1994.-335с.

48. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. -М.: Наука, 1970,- 134 с.

49. Шойхет Б. А. О разрешимости конечноэлементной аппроксимации задачи Синьорина с трением. // Известия ВНИЙГ им. Б.Е.Веденеева, 1984, т. 171, с. 91-93.

50. Goodman R.E., Taylor R.L., Brekke T.L. A model for the mechanics of jointed rock. Proe, ASCE. Vol.94. No. EM3, 1968.

51. Grotb T. Description and applicability of the BEFEM code. -"AppI.Rock Mech.Mining". Proc. Conf Lulea.1-3, June,1980.- London, 1981, p. 204-208.

52. Oden J.T., Fires Б.В. Nonlocal & Nonlinear Friction Laws and Variational. Principles for Contact Problems in Elasticity. -Trans.

ASME, Applied Mechanic, 1983, vol.50, N1, p.67-76.

53. Signorrai A. Question? oli elastisiti поп linearizzata о semlmeanzzata о semilinearizzata-4'R.end. di Matem e della siil appl.",1959, ser'18, p. 1731.