автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Деформация двухслойного полупространства с подкрепленной выработкой при осесимметричном нагружении

На правах рукописи

МИШИН Михаил Васильевич

ДЕФОРМАЦИЯ ДВУХСЛОЙНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ПОДКРЕПЛЕННОЙ ВЫРАБОТКОЙ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ

Специальность, 05 23 17-Строительнаямеханика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ООЗ174865

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2007

003174865

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Петербургский государственный университет путей сообщения»

Ведущая организация - Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет".

Защита состоится « 15 » ноября 2007 г в 1330 часов на заседании диссертационного совета Д 218 008 01 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Петербургский государственный университет путей сообщения» по адресу 190031, г С-Петербург, Московский пр , д 9, ауд 3-237.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГУПС Автореферат разослан » октября 2007 г Ученый секретарь диссертационного совета

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор ВАСИЛЬЕВ ВИТАЛИЙ ЗАХАРОВИЧ

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор МИХАЙЛОВ БОРИС КУЗЬМИЧ

кандидат технических наук

РЕПКО АНАТОЛИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

д т н , профессор

Л Л Масленникова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы В практике строительства нередко встречаются деформируемые системы в виде слоистого массива с вертикальной цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены включением В первую очередь к ним относятся шахты и опускные колодцы При этом, конструкции надшахтных сооружений, как правило, занимают осесимметричное, или близкое к нему расположение относительно оси вертикальной выработки Это позволяет трактовать их как пространственные осесимметричные сооружения, допускающие для расчетов соответствующие аналитические и численные методы строительной механики В этом случае возникает необходимость исследования напряженно-деформируемого состояния системы "слой-полупространство". Основной задачей, при этом, является определение давления массива на крепь и осадки дневной поверхности.

По проблеме осесимметричной деформации слоя с цилиндрическим отверстием известны работы- Айзенберга Д.Ю., Шапиро Г.С, Гринченко ВТ и Улитко А.Ф., Васильева В.З., Невзорова Н.И, а также публикации зарубежных авторов Stenberg Б, ЗаёоАУэку М А, ГЫзэ Е Ь

Для полупространства с выработкой показательны работы Лехницкого С.Г для массива с выработкой, находящегося только под действием собственного веса. Каплуном А.С и Филиным А.П. рассмотрена задача для массива с ослаблением, подкрепленным трубой Результаты экспериментально-теоретических исследований перемещений в сыпучем изотропном массиве вблизи вертикальной выработки с податливой крепью представлены в трудах Булычева Н С.

Контактные задачи для многослойных объектов в настоящее время наиболее популярны Показательными являются работы таких авторов, как Александров ВМ, Подковалихина ЕА, Приварников А.К., Марченко В Л., Шамарин Ю Е, Заикин А.Д., Хапилова Н С , ЧебаковМ.И. и Конопелько Е.В

Ввиду значительной трудоемкости расчетов, на практике подобные задачи решаются на базе современных расчетных комплексов, ориентированных на численные методы, которые, как известно, являются приближенными. По этой причине они не способны улавливать тонкие локальные эффекты напряженно-деформированного состояния рассматриваемых объектов Следовательно, эталоном являются результаты, полученные в рамках точных аналитических построений.

В этой связи в диссертации поставлена и решена задача о пространственной осесимметричной деформации двухслойного полупространства с вертикальной цилиндрической выработкой, подкрепленной податливым включением Исчерпывающего аналитического решения такой задачи до настоящего времени в теории упругости нет

Теоретическую основу выполненных в диссертации исследований составляют

* классическое общее решение осесимметричной задачи теории упругости в форме К В Соляника - Красса,

■ решения задач для слоя с подкрепленным отверстием, полупространства с податливым включением, представленные в монографиях и статьях В.З Васильева.

Целью работы является построение аналитического решения осесимметричной задачи для двухслойного полупространства с подкрепленной вертикальной цилиндрической выработкой Разработка компьютерных программ, позволяющих получать численные результаты на базе приведенных аналитических построений. Исследование напряженно-деформированного состояния

рассматриваемого объекта в целом и в зонах контакта слагающих тел Определение величины осадки дневной поверхности и давления породы на крепь

Научную новизну работы составляют

• аналитическое решение задачи для двухслойного полупространства с выработкой, подкрепленной податливым включением при произвольном осесимметричном нагружении дневной поверхности массива;

• совокупность разрешающих уравнений для системы "слой-полупространство",

• алгоритм реализации аналитического решения для двухслойного полупространства с подпиленной выработкой,

• численные результаты и выводы, способствующие более эффективному прогнозу прочности составных объектов

Достоверность полученных результатов предопределяется.

• применением классических аналитических методов математической теории упругости;

• точным выполнением граничных условий,

• сопоставлением новых результатов с некоторыми классическими, которые получаются при помощи других аналитических построений

Практическую ценность работы определяют:

• аналитическое решение задачи для двухслойного полупространства с податливым включением, при произвольном осесимметричном нагружении дневной поверхности массива,

• программы для ЭВМ, разработанные на базе полученных аналитических построений по исследованию напряженно-деформированного состояния слоя с подкрепленным цилиндрическим вырезом, полупространства с выработкой, подкрепленной податливым включением; двухслойного полупространства с выработкой, подкрепленной жестким включением;

• численные результаты, определяющие основу прогноза прочности исследуемых объектов, а также характер изменения напряженно-деформированного состояния системы "слой-полупространство"

На защиту выносится:

1. Аналитическое решение пространственной задачи для двухслойного полупространства с выработкой, подкрепленной податливым креплением при произвольном осесимметричном нагружении.

2. Разрешающие уравнения, обеспечивающие возможность применения метода последовательных приближений в рамках сходимости процесса

3. Результаты исследования напряженно-деформированного состояния двухслойного полупространства с ослаблением при различных вариантах подкрепления его стенок и нагружения дневной поверхности массива

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих научных семинарах и конференциях

■ Недели науки «Шаг в будущее» ПГУПС, С-Пб 2005, 2006 и 2007г, научные семинары кафедры "Прочность материалов и конструкций" ПГУПС, С-Пб 2005, 2006 и 2007 г.

■ Общегородской научный семинар по теории упругости на базе кафедры "Прочность материалов и конструкций" ПГУПС, С-Пб 2007г

■ Семинар кафедры "Строительная механика и теория упругости"

Санкт-Петербургский государственный политехнический

университет, 2007г

■ Научный семинар специалистов в области геомеханики, ОАО научно-исследовательский институт горной геомеханики и маркшейдерского дела. Межотраслевой научный центр ВНИМИ,

С-Пб, 2007г

• Семинар кафедры "Строительная механика", Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2007 г

По материалам диссертации опубликовано девять печатных работ и получено четыре свидетельства об официальной регистрации программ для ЭВМ

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения литературы и приложения, содержит 137 страниц текста, включая 57 рисунков и 9 таблиц Библиография содержит 111 наименований, из которых 20 на иностранном языке

5

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении сформулирована и обоснована тема исследования, показана её актуальность

В первой главе приводится классификация пространственных задач теории упругости, описание типов общих решений, используемых при их разработке, а также подробное библиографическое исследование по каждому указанному разделу Установлено, что в настоящее время внимание расчетчиков больше всего приковано к наиболее сложному классу задач для тел усложненной конфигурации, или тел композитного типа. К ним относятся слоистые массивы, многослойные цилиндры, а также решаемая в диссертации задача Однако исчерпывающего аналитического решения для нее не обнаружено

Вторая глава посвящена решению контактной пространственной осесимметричной задачи теории упругости для слоя с отверстием при наличии податливого подкрепления. Ее постановка и подробное изучение обусловлено тем, что полученные здесь результаты являются базовыми для решения основной задачи, рассмотренной в четвертой главе диссертации. Граничные условия записываются так-

&г=Р}(.г)> тгг =?;(>■) при г = -1, а<г<со,

<72=Р2(.г)> Тгг=Я2(г) ПРИ 2 = а<,г< со, (1) аг =/(г), тгг = 0 при г = а, -1<г<1.

Здесь ( = 2£-толщина слоя, а- радиус выработки Начало цилиндрической системы координат выбрано так, что срединная плоскость слоя совпадает с плоскостью г — 0, а ось 2 совпадает с осью выреза. Функции Р\{г)> Р2 (г)> Ч\ (г)> 92 (г) предполагаются представимыми в виде интеграла Вебера Контактные касательные

напряжения, характеризующие силы трения между массивом и включением, полагаются равными нулю, ввиду того, что крепь считается абсолютно гладкой При постановке задачи вводится неизвестная функция /(г), определяющая радиальные контактные напряжения между подкреплением и слоем Для ее отыскания используется условие совместности радиальных перемещений включения и слоя при г--а'

Р{г) = и(г), -1<г< +£, (2)

где- /^(г) — радиальное перемещение включения,

и{г) — радиальное перемещение цилиндрического отверстия Связь между давлением на крепь и ее перемещением принимается известной и заданной в виде F(z) = (//•/(г). (3) Здесь у/ - величина, характеризующая податливость крепления, которая задается в форме = Е0~', где Е0 — модуль Юнга материала крепи, £ - безразмерный параметр, вытекающий из решения

Ламе:

{1-уоЖ 2Я8

1+! + у0_( 5 а

(4)

В выражении (4) 3, И, у0 - соответственно толщина стенки, средний радиус и коэффициент Пуассона цилиндрического включения.

Далее вводится новая безразмерная величина, учитывающая соотношение механических постоянных материала массива и крепления д = £Е-Е0~1 Она является своего рода относительной податливостью

Решение, удовлетворяющее уравнениям статики и совместности деформаций, а также позволяющее точно выполнить условия (1), достигается с использованием элементарной части,

тригонометрических рядов и несобственных интегралов. Представление о структуре формул для напряжений и перемещений дает, к примеру, выражение для и{г)

«(г) = (.2м,гТ1В+±- ^Г[впк,(1,г) ~^гКп(Х„г)+2(1 - у)*,^))]^+ 4м; п—1

-4,{\гК0(1„г) + 2(1- «/^(^г))]608^* +

+ ■! /{со+Д-? - ++[д»+2(/ - у)ПР(у)+^(у^кугУ^у^г,

2п О

в которой- В, Ап> А°п, Вп, В°„, С (у), С0 (у), В{у), Б0 (у) -постоянные, совокупности постоянных и произвольные функции определяемые из граничных условий, у - параметр с плавным спектром изменения от 0 до оо, который определяется условием J¡(ya) = 0, Лп - дискретный параметр, спектр изменения которого задается соотношением $лх\Хп1 = 0, Кд{Л.пг), К,(Лпг)- функции Макдональда; И^ (у, г) - функция Вебера, являющая собой комбинацию функций Бесселя первого и второго рода от действительного аргумента В результате выполнения граничных условий и последующих преобразований неизвестные функции С(у), С0(у), й(у), О0(у)

выражаются через А„, А°п, Вп, В°п После введения новых

совокупностей произвольных постоянных решение задачи сводится к

двум операторным уравнениям, которые в данном случае являются

бесконечными системами линейных алгебраических уравнений 00 00 Ап =2Х«4* +«„> Я«=2Хи В*+Ьп, п = 12.3... (5)

1=1 1=1

Первая, из них соответствует нагружению слоя, симметричному относительно срединной плоскости г = 0, а вторая -обратносимметричному

Ввиду громоздкости формул, в автореферате приводим лишь выражение для свободного члена первой системы

КаК^а) а/ +8(Япа)2К,(ЯпаГ, ^т^'МР) +

Здесь Р(у) и ООО- комбинации интегральных трансформант Вебера от функций внешних нагрузок, /с и и - коэффициенты разложения в ряд Фурье грузовой функции /(г), которые удается связать с А* и В* при использовании условия (3) Регулярность приведенных выше бесконечных систем была доказана Васильевым В 3. и им же получены некоторые численные результаты для слоя с отверстием без подкрепления (нулевая жесткость).

Нами, в продолжение данного исследования, была составлена программа определения напряжений и перемещений в слое на базе полученных аналитических построений Рассмотрено как четное, так и нечетное нагружение. В обоих случаях исследовалось несколько вариантов задания функции внешней нагрузки, в том числе, когда нагрузка удалена от границ отверстия При этом рассмотрен наиболее редкий вид нагружения - касательными силами, действующими по плоским граням г = ±£ Получены новые численные результаты, способствующие более эффективному прогнозу прочности исследуемых объектов

В третей главе решается задача для полупространства с выработкой, подкрепленной податливым включением Граничные условия записываются следующим образом

0"z = p(r\ xn = q{r ) при z = 0, a < r < oo,

(p)

crr = f(z), тп=0 при r-a, 0<z<oo.

Здесь а- радиус выработки; начало координат расположено на дневной поверхности массива, а ось z совпадает с осью выемки и направлена вниз Выполнение условий (6), с использованием интегрального представления неизвестной функции /(z), приводит к системе двух операторных уравнений.

СО

С(г) = ад \н, (Л, гШЖМ) + Л(г),

(7)

00 00 ОД = {X,r)C(r)d{ya)+g2{Xa)\H3 {Х,у)Ч\г)сЦуа).

о о

В (7) использованы следующие обозначения: ~ С{уа){1 -у2)/уад р0а2, D(Z) = fc(Aa)/р0а-, h{ya), g,(Aa), g2(Xa), H,(A,y), H2 (Л,у), Н} (Л,у)- комбинации известных функций, Л00- свободный член, зависящий только от внешней нагрузки

В отличие от решения В.З. Васильева, система (7) позволяет учесть силы трения q{r), действующие на дневной поверхности В многослойных основаниях они появляются между слагаемыми телами, в нашем случае - между слоем и полупространством. На основании приведенного решения была разработана программа в системе Windows на языке Delphi для определения напряжений и перемещений полупространства с выработкой, подкрепленной податливым включением С ее помощью подсчитаны давление на крепь и осадка дневной поверхности массива при различных вариантах задания функции внешней нагрузки

В четвертой главе диссертации решена пространственная задача теории упругости для двухслойного полупространства с выработкой, подкрепленной податливым включением. Нагружение дневной поверхности массива - произвольное осесимметричное.

Граничные условия задачи выглядят так:

а2 = р(г), тГ2 = 0 при г = 0, а<г < оо, (8)

сгг = /(г), тгх=0 при г=а, 0<г< оо.

Материал слоя с цилиндрическим отверстием (тело I) имеет упругие постоянные д (модуль сдвига), Е, (модуль Юнга) и у1 (коэффициент Пуассона); соответственно, полупространство (тело II) -М2,Е2 и v1.

Неизвестная функция /(г) раскладывается на две составляющие: /¡(г) и ///(г). Первая действует при 0<2<г, вторая при I < г < со.

В качестве основных неизвестных вводятся функции х(г) и у(г),

характеризующие распределение нормальных и касательных контактных напряжений по плоскости г - ? = 21.

Для их отыскания используются условия сплошности.

и1(г) = ип(г) при г = а<г< со, (9)

= при г = Ъ а<г<ю

Здесь и ¡(г) и ип(£), w/(z) и w//(z) - соответственно радиальные и вертикальные перемещения слоя и основания.

В итоге решения задач для слоя с отверстием, основания с выработкой и выполнения условий (9) приходим к системе 6-ти операторных уравнений, относительно 6-ти неизвестных.

^ =ПЛ/[ 4,*) + £1,а[х\у\ Лп\ + (\3[у(у), Лп\ + Ь,{Хп\ Я« ="//,/[ Я,*] + П1;а[х\у), Лп\(у), Л„\ + Аи[Хп\ С(У) = П//7>/[ ЦЛ), Н,{Л>Г))+ПЩ2\х\у)\

ЖЛ)=С1,У,$С(У\ Ф;(гД)]+а/К;2[/(г),Ф2(г,я)|, (Ю)

V + П4Я,г)]+[С(г)}+[Д^). адг)] + Ак/И

Операторы Од/, С112, и ТД

представляют собой бесконечные ряды или интегралы При этом суммирование ведется по переменным Л,, Л„, I,п = 1,2,3 , интегрирование по параметрам у, Л, £, спектр изменения которых от О до оо

х*(?)> У*(У) - трансформанты Вебера от функций х(г), у(г),

12

А*, В*,С(у), В(Л) - совокупности постоянных и неизвестные функции, определяемые из решения для верхнего слоя и нижнего основания, ^к/М _ свободные члены, зависящие только от нагрузки на дневной поверхности.

Ключевым моментом, предопределяющим достоверность разрешающей системы, является следующее В случае равенства упругих постоянных материала слоя и полупространства контактные напряжения, действующие по границе их взаимодействия, должны совпадать с напряжениями, возникающими в однородном массиве на глубине Действительно, если V] = у2, Е! -Е2, то получим

задачу для однородного массива Однако, не следует полагать, что при этом система (10) должна «автоматически» трансформироваться в систему (7). Дело в том, что решение для двухслойного массива принципиально отличается от решения для массива однородного Для однородного полупространства имели систему двух операторных уравнений, а для двухслойного - шести. Но в тоже время, если эти две, принципиально разные задачи, при определенных условиях, дают одинаковые результаты, можно утверждать, что новое решение достоверно

На базе разработанной автором программы для ЭВМ построены графики изменения контактных нормальных и касательных напряжений на глубине г = Показано, что на уровне десятого приближения расхождение с результатами для однородного полупространства, во всех случаях не более 3%

В пятой главе, на основе полученного аналитического решения, выполнен анализ напряженно-деформированного состояния двухслойного полупространства с подкрепленной выработкой На

основании составленной автором программы получены составляющие тензора напряжений и вектора полного перемещения для двух вариантов креплений - жесткого и податливого.

Ниже представлены графики осадки дневной поверхности двухслойного массива и давление верхнего слоя на подкрепление при различных значениях а = ц, / 1л2. Принято:

при а <г < 2а, :р0 при 2а<г<3а, \!=у2-03. при За < г < со,

Р(г) =

Рис.2 Осадка дневной поверхности двухслойного полупространства с податливым креплением, ш = 0.01

0.0

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 ^

0.2

0.4

0.8

г а

—1 с = 10 N \ /] и

( 1 /еч С-0 кестка ;репь) .1

1// • \ я

г Г п 1, (6 одкре >100 ез плени

А

Рис.3 Давление верхнего слоя на подкрепление, т = 0.1

Проиллюстрировано существенное влияние податливости крепи на величину и характер распределения по глубине контактных радиальных напряжений, а также на осадку дневной поверхности.

-зо.о

?=о

-40.0 " (жесткая крепь)

-50.0 -|---

I

2|Д2 \У

ро а--

-ю.о

-20.0

С =0.1 £=1.0

^ 2100 ;

(без подкрепления)

Основные выводы и результаты

1. Выполнено аналитическое решение пространственной осесимметричной задачи для двухслойного полупространства с вертикальной цилиндрической выработкой, подкрепленной податливым включением Оно сведено к системе шести операторных уравнений.

2. Методом сопоставления нового аналитического решения с классическим, которое получено другим способом и в иной форме, доказана достоверность системы разрешающих уравнений. Тем самым обоснована возможность применения метода последовательных приближений для получения численных результатов при сходимости процесса

3. Составлена программа исследования НДС рассматриваемого объекта на базе приведенных аналитических построений

4. Отдельно исследован случай относительно жесткого крепления Изучено влияние параметра а = ц2 и функции внешней нагрузки на характер деформированного состояния объекта

5. Многовариантные расчеты для случая податливого включения подтверждают факт существенного влияния податливости крепи на величину и характер распределения по глубине контактных напряжений, а также на осадку дневной поверхности массива.

6 Расширен спектр аналитических решений для слоя с отверстием и полупространства с выработкой за счет учета влияния касательных нагрузок на плоских гранях.

7 По итогам работы над объектами типа «слой-полупространство» разработано пять программ для ЭВМ, для четырех из которых получены свидетельства об официальной регистрации.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах

1 Мишин, М В Расчет осадки дневной поверхности двухслойного полупространства с выработкой, подкрепленной жестким включением [Текст] / М В. Мишин // Научно-технический журнал «Строительная механика инженерных конструкций и сооружений» -М РУДН -2007 -№1 -С 5-8 -ISSN 1815-5235

2 Мишин, М В Осесимметричная деформация двухслойного полупространства с выработкой, подкрепленной абсолютно жестким включением [Текст] / М В Мишин // Вестник Тамбовского университета Сер Естественные и технические науки - 2006 -Т 11 - Вып 4 - С 597-599 - ISSN 1810-0198

3 Мишин, М В Разработка аналитического решения задачи для двухслойного полупространства с выработкой, подкрепленной податливым включением [Текст] / М В Мишин // "Шаг в будущее" Неделя науки-2007 Материалы научно-технической конференции -СПб ПГУПС -2007 -С 63-68

4 Васильев, В 3, Мишин, М В Анализ напряженно - деформированного состояния слоя вблизи цилиндрического выреза с податливым подкреплением [Текст] / В 3 Васильев, М В Мишин // Вестник Казахской Академии Транспорта и Коммуникаций им М Тынышпаева -Алматы -2007 - С 36-42 -ISSN 1609-1817

5 Мишин, М В Численная реализация аналитического решения задачи для однородного полупространства с выработкой, подкрепленного податливым включением [Текст] / MB Мишин//Академический журнал Западной Сибири №4 -Тюмень-2006-С 3-4

6 Мишин, М В Осесимметричная деформация слоя с податливым включением [Текст] / М В Мишин // Академический журнал Западной Сибири №6 - Тюмень Вектор-Бук -2006 -С 3-5

7 Мишин, М В Деформация слоя с цилиндрическим вырезом, подкрепленным податливым включением [Текст] / MB Мишин // Известия Петербургского университета путей сообщения -СПб ПГУПС -2007 -Вып 3(12) - С 174-186

8 Мишин, М В Осесимметричная деформация полупространства, ослабленного абсолютно жестким включением Вариант нагружения дневной поверхности полупространства нагрузкой произвольного вида [Текст] / MB Мишин // Естественные и технические науки №4 - М ООО «Компания «Спутник +» - 2006 -С 285-287 -ISSN 1684-2626

9 Васильев, В 3, Мишин, М В Библиографическое исследование аналитических решений осесимметричных задач для объектов типа «слой-полупространство» [Текст] / В 3 Васильев, М В Мишин // Материалы научно-технической конференции - СПб ПГУПС -2005 -С 231-332

10 Деформация двухслойного полупространства с выработкой, подкрепленной жестким включением свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ -№ 2007611471 Рос Федерация [Текст] / М В Мишин, заявл 13 02 07, зарег 9 05 07 - 63с

11 Деформация полупространства с выработкой, подкрепленной упругодеформируемым включением свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ -№ 2007610771 Рос Федерация [Текст] / М В Мишин, заявл 22 12 06, зарег 16 02 07 - 65с

12 Осесимметричная деформация упругого полупространства, нагруженного по дневной поверхности произвольной нагрузкой свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ2006613907 Рос. Федерация [Текст]/MB Мишин, заявл 180906,зарег 15 1106 -48с

13 Деформация слоя с цилиндрическим вырезом, подкрепленным упругодеформируемым включением свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ-№ 2007610944 Рос Федерация [Текст] / М В Мишин, заявл 9 01 07, зарег 1 03 07 - 70с

Подписано к печати -f-i ОЧ[ Формат 60x84 1/16

Ризография Бумага для множит апп Печ л 1.0 Тираж 100 экз Заказ № Типография ПГУПС 190031, Санкт-Петербург, Московский пр, д 9

ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

1.1 Классификация задач.

1.1.1 По виду граничных условий.

1.1.2 По форме возможного решения.

1.2 Общие решения пространственных задач.

1.3 Обзор существующих аналитических подходов по типу разрешающих уравнений.

1.3.1 Замкнутые решения.

1.3.2 Аналитические построения, приводящие к одному операторному уравнению.

1.3.3 Решения, сводимые к совокупности операторных уравнений.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ.

2 ДЕФОРМАЦИЯ СЛОЯ С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ВЫРЕЗОМ, ПОДКРЕПЛЕННЫМ ПОДАТЛИВЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Компоненты тензора напряжений и вектора полного перемещения.20 2.3. Построение и анализ системы разрешающих уравнений.

2.4 Исследование напряженно-деформированного состояния слоя на базе полученного аналитического решения.

2.4.1. Четное нагружение слоя.

2.4.2 Вариант нечетного нагружения

В практике строительства нередко встречаются деформируемые системы, представляющие собой слоистый массив с вертикальной цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены включением. В первую очередь к ним относятся шахты и опускные колодцы. При этом, конструкции надшахтных сооружений, как правило, занимают осесимметричное, или близкое к нему расположение относительно оси вертикальной выработки. Это позволяет трактовать их как пространственные осесимметричные сооружения, допускающие для расчетов соответствующие аналитические и численные методы строительной механики. В этом случае возникает необходимость исследования напряженно-деформируемого состояния системы "слой-полупространство". Основной задачей, при этом, является определение давления массива на крепь и осадки дневной поверхности.

В настоящее время основными нормативными документами, регламентирующими расчет таких объектов, являются СНиП 2.09.03-85 «Сооружения промышленных предприятий» и СНиП П-94-80 «Подземные горные выработки Расчет сводится к решению осесимметричной задачи для упругого полупространства, нагруженного по кольцевому участку поверхности дневного слоя. Однако данная методика, во-первых, не учитывает влияние шахтных стволов на напряженно-деформированное состояние породы, а во-вторых, не позволяет определять осадку дневной поверхности многослойного массива.

Следует отметить, что наиболее близкие к рассмотренной задаче аналитические решения принадлежат Конопелько Е.В. - для многослойного полупространства с жестким включением; В.З.Васильеву - для полупространства с выработкой, подкрепленной податливым включением.

Ввиду значительной трудоемкости расчетов, на практике подобные задачи решаются на базе современных расчетных комплексов, ориентированных на численные методы, которые, как известно, являются приближенными. По этой причине они не способны улавливать тонкие локальные эффекты напряженнодеформированного состояния рассматриваемых объектов. Следовательно, эталоном являются результаты, полученные в рамках точных аналитических построений.

В этой связи в диссертации поставлена и решена задача о пространственной осесимметричной деформации двухслойного полупространства с вертикальной цилиндрической выработкой, подкрепленной податливым включением. Точного аналитического решения такой задачи до настоящего времени в теории упругости нет.

Основные результаты и выводы по главе

1. Составлена программа исследования напряженно-деформированного состояния двухслойного полупространства с подкрепленной выработкой на базе приведенных аналитических построений.

2. Отдельно исследован случай относительно жесткого крепления. Изучено влияние параметра ю = ц71 \х2 и функции внешней нагрузки на характер деформированного состояния объекта.

3. Многовариантные расчеты для случая податливого включения подтверждают факт существенного влияния податливости крепи на величину и характер распределения по глубине контактных напряжений, а также на осадку дневной поверхности массива.

4. Для двухслойного полупространства с выработкой, стенки которой подкреплены жестким включением, получено свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ.

Заключение

Основным итогом диссертационной работы является решение пространственной контактной задачи для двухслойного полупространства с вертикальной цилиндрической выработкой, подкрепленной податливым включением при осесимметричном нагружении. Результаты работы более детально могут быть сформулированы следующим образом:

1. Выполнено точное аналитическое решение пространственной осесиммет-ричной задачи для двухслойного полупространства с вертикальной цилиндрической выработкой, подкрепленной податливым включением. Оно сведено к системе шести операторных уравнений.

2. Методом сопоставления нового аналитического решения с классическим, которое получено другим способом и в иной форме, доказана достоверность системы разрешающих уравнений. Тем самым обоснована возможность применения метода последовательных приближений для получения численных результатов при сходимости процесса.

3. Составлена программа исследования НДС рассматриваемого объекта на базе приведенных аналитических построений.

4. Отдельно исследован случай относительно жесткого крепления. Изучено влияние параметра со = р,7 / \х2 и функции внешней нагрузки на характер деформированного состояния объекта.

5. Многовариантные расчеты для случая податливого включения подтверждают факт существенного влияния податливости крепи на величину и характер распределения по глубине контактных напряжений, а также на осадку дневной поверхности массива.

6. По итогам работы над объектами типа «слой-полупространство» разработано пять программ для ЭВМ, для четырех из которых получены свидетельства об официальной регистрации.

1. Агуф, Е.И., Васильев, В.З. Первая основная задача для слоя с круговым отверстием Текст. / Е.И. Агуф, В.З. Васильев // НТТ. 1980. - №4. - С. 68-77.

2. Айзенберг, .Ю., Шапиро Г.С. О передаче давления через слой, имеющий цилиндрическое отверстие Текст. / Д.Ю. Айзенберг, Г.С. Шапиро // Инж. сб. 1950. - №7. С. 12-16.

3. Александров, А. Я. Некоторые зависимости между решениями плоской и осе-симметричной задач и решение осесимметричных задач при помощи аналитических функций Текст. / А.Я. Александров // ДАН СССР. -1959. т. 129. - №4.

4. Александров, А. Я. Решение осесимметричной задачи теории упругости при помощи зависимостей между осесимметричным и плоским состояниями Текст. /

5. A. Я. Александров //АН СССР. ПММ. - 1961. - т. 25. - вып. 5.

6. Александров, А.Я. Некоторые зависимости между решениями плоской и осесимметричной задачи теории упругости для бесконечной плиты Текст. / А.Я Александров //Докл. АН СССР. 1959. - 129. - №4. - С. 755-757.

7. Александров, В.М., Клиндухов, В.В. Контактные задачи для двухслойного упругого основания с неидеальной механической связью между слоями Текст. /

8. B.М. Александров, В.В. Клиндухов // Изв. РАН. Мех. тверд, тела 2000. -№3. с. 84-92.

9. Александров, В.М., Калкер Д.Д. Пожарский Д.А. К расчету напряжений в осесимметричной контактной задаче для двухслойного основания Текст. / В.М. Александров, Д.Д, Калкер, Д.А.Пожарский // Изв. РАН. Мех. тверд, тела 2000. -№5.-с. 118-130.

10. Александров, В.М., Калякин А.А Плоская и осесимметричная контактные задачи для трехслойного упругого полупространства Текст. / В.М. Александров, А.А. Калякин // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2005. - №5. - с. 39-47.

11. Александров, В.М., Калякин А.А. Постановка и метод решения плоской контактной задачи для трехслойного упругого основания Текст. / В.М. Александров, А.А. Калякин // Вестн. МГУ. Сер 1. -2004. -№5. С. 49-53.

12. Александров, В.М., Калякин, А.А. Интегральные уравнения контактных задач для слоистого упругого полупространства Текст. / В.М. Александров, А.А. Калякин // Вестн. МГУ. Сер. 1. 2005. - №3. - С. 67-69.

13. Александров, В.М., Чебаков М.И Аналитические методы в контактных задачах теории упругости Текст. / В.М. Александров, М.И. Чебаков // М.: ФИЗМАТ-ЛИТ. -2004.-302 е., ил.-ISBN 5-9221-0519-1.

14. Арутюнян, Н. X., Абрамян Б. Л. Некоторые осесимметричные контактные задачи для полупространства и упругого слоя с вертикальным цилиндрическим вырезом Текст. / Н. X. Арутюнян, Б. Л. Абрамян // Изв. АН Арм. ССР. Механика. -1969.-22.-№2.-с. 3-13.

15. Арутюнян, Н.Х., Абрамян БЛ. Некоторые осесимметричные контактные задачи для полупространства и упругого слоя с вертикальным цилиндрическим вырезом Текст. / Н.Х. Арутюнян, БЛ. Абрамян // Изв. АН Арм. ССР. Механика. - 1969. -22,-№2.-С. 3-13.

16. Булычев, Н.С. Механика подземных сооружений в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов Текст. / Н.С. Булычев // М.: Недра. 1989. 270с.: ил. - ISBN 5-247-00294-6.

17. Булычев, Н.С. Основные вопросы строительной механики вертикальных шахтных стволов, сооружаемых бурением и обычными способами Текст. / Н.С. Булычев // Автореферат дисс. на соискание ученой степени д-ра техн. наук. -Л.1971.

18. Булычев, Н.С. Некоторые результаты исследования перемещений в сыпучем изотропном массиве вблизи вертикальной выработки с податливой крепью Текст. / Н.С. Булычев// Сборник ВНИМИ. 1961.

19. Булычев, Н.С., Фотиева, Н.Н., Стрельцов, Е.В. Проектирование и расчет крепи капитальных выработок Текст. / Н.С. Булычев, Н.Н. Фотиева, Е.В. Стрельцов // М.: Недра. 1986,- С.287.

20. Васильев, В.З., Агуф, Е.И. Первая основная задача для слоя с круговым отверстием Текст. / В.З. Васильев, Е.И. Агуф // М.: Известия Академии Наук СССР. -Механика Твердого Тела. 1980 . - С.68-77.

21. Васильев, В. 3. Осесимметричная деформация полупространства с жестким полубесконечным включением Текст. / В. 3. Васильев // Изв. ВУЗов. Стр-во и арх. - 1969. - №6. - С. 25-27.

22. Васильев, В. 3. Осесимметричная деформация упруго изотропного полупространства с бесконечной цилиндрической выемкой Текст. / В. 3. Васильев // Изд. АН. СССР. МТТ. - 1968. - №5. - С. 124-129.

23. Васильев, В. 3. Осесимметричная деформация упругоизотропных тел Текст. / В. 3. Васильев // Автореферат дис. Д-ра тех. Наук. ЛИСИ. - JI. - 1980. - 26 с.

24. Васильев, В.З. Напряжения в упругом изотропном полупространстве вблизи торца вертикальной цилиндрической выемки Текст. / В.З. Васильев // Прикладная механика. 1967. -т.5.-вып.7. -С. 109-117.

25. Васильев, В.З. Осесимметричная деформация упругоизотропного слоя с цилиндрическим вырезом Текст. / В.З. Васильев // Тр. ЛИСИ.-1973. -№73. С. 15-22.

26. Васильев, В.З. Концентрация напряжений в полупространстве вблизи цилиндрического выступа при осесимметричном нагружении. Текст. / МТТ 1974, №4, с. 46-58.

27. Васильев, В.З. Концентрация напряжений около торца полубесконечного кругового цилиндра при осесимметричном нагружении Текст. / В.З. Васильев // Изв. ВУЗов. Машиностроение. 1972. -№12. - С. 29-31.

28. Васильев, В.З. Осесимметричная деформация полупространства с упругоподкре-пленной цилиндрической полостью Текст. / В.З. Васильев // Прикладная механика. 1979.-т. 15. - С. 17-22.

29. Васильев, В.З. Осесимметричная деформация упругого изотропного полупространства с бесконечной цилиндрической выемкой Текст. / В.З. Васильев // Изв. АН СССР. МТТ. - 1968. - №5. - С. 124-129.

30. Васильев, В.З. Осесимметричная деформация элементов строительных конструкций Текст. / В.З. Васильев // JL: Стоииздат. -Ленингр. Отд-ние. -1988.-87 с.

31. Васильев, В.З. Применение метода неполных решений в случае первой основной задачи для полубесконечного цилиндра Текст. / В.З. Васильев // Тр. ЛИСИ. -1973.-№73.-С. 23

32. Васильев, В.З. Пространственные задачи прикладной теории упругости Текст. / В.З. Васильев // М.: транспорт. 1993. - 366 с.

33. Галеркин, Б. Г. К общему решению задач теории упругости в трех измерениях с помощью функций напряжений и перемещений Текст. / Б. Г. Галеркин // Докл. АН СССР, А, 1931. -№10. - С.281-286.

34. Галин, Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости Текст. / Л.А. Галин // М.: Наука. 1980.

35. Галин, Л.А. Пространственные контактные задачи териии упругости для штампов круговой формы в плане Текст. / Л.А. Галин // Прикл. матем. и мех. Т. 10. - вып.4. - 1946.

36. Гастев, В. А. К вопросу об общем решении трехмерной задачи теории упругости Текст. / В. А Гастев // Труды ВВМИСУ. 1940. - вып.2. - С. 3-1.

37. Гринченко, В.Т., Улитко, А.Ф. Смешанная осесимметричная задача для теории упругости для цилиндра конечной длины Текст. / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко // Сб. "Сопр. Матер, и теор. Сооружений". 1971. - вып. XV.

38. Гринченко, В.Т., Улитко, А.Ф. Точное решение задачи о распределении напряжений около кругового отверстия в упругом слое Текст. / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко // Прикладная механика. 1968. -Т.4. - В. 10. - С. 38-45.

39. Гродский, Г. А. Интегрирование общих уравнений равновесия изотропного тела при помощи ньютоновских потенциалов и гармонических функций Текст. /

40. Г. А. Гродский // Изв. АН СССР. отд. Матем. И естествен. Наук. - 1935. - №4. -С. 587-614.

41. Дау, Езай Аналитическое решение осесимметричной задачи для слоистого полупространства с упругоподкрепленной выработкой Текст. / Езай Дау // Автореф. дисс. канд. тех. наук. СПб. 2004. - 13 с.

42. Динник, А. Н. О давлении горных пород и расчет крепи круглой шахты Текст. / А. Н. Динник // Инженерный журнал. 1925. - №7. - С. 1-12.

43. Довнороович, В.И. Пространственная контактная задача о жестком круговом в плане штампе с певерхностью, изображаемой некоторым полиномом относительно декартовых координат / В.И. Довнороович, // Там же с. 31 46.

44. Заикин, А.Д. Напряжения в весомой полуплоскости, содержащей полукруглую выемку Текст. / А.Д. Заикин // Прикл. мех. и техн. физ. -2000. -41. -№1. С. 152-161.

45. Каплун, А.С. Осе симметричная задача для упругого полупространства с вертикальным цилиндрическим каналом, подкрепленным трубой Текст. / А.С. Каплун // Автореф. дисс. канд. техн. наук. JI. 1977. - 23 с.

46. Каплун, А.С., Филин, А.П. Осесимметричное загружение полупространства с вертикальным цилиндрическим каналом Текст. / А.С. Каплун, А.П. Филин // В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука. - 1975. - С. 256-264

47. Кизыма, Я. М. Давлении упругого цилиндра на упругий слой Текст. / Я. М. Ки-зыма // Изв. АН СССР. 1972. - №3.

48. Кизыма, Я. М. Осесимметричная задача о давлении упругого цилиндра на упругое полупространство Текст. / Я. М. Кизыма // Изв. АН СССР. МТТ. - 1969. -№4.

49. Кизыма, Я. М. Симметричная задача о контактном взаимодействии упругого цилиндра и упругого полупространства Текст. / Я. М. Кизыма // В сб. "Контактные задачи и их инженерное приложение". Докл. конф. М. - 1969.

50. Клюкин, А.А. Осесимметричная задача теории упругости о полупространстве с бесконечным цилиндрическим включением при наличии трения на поверхности контакта Текст. / А.А. Клюкин // Вопросы мех. Строит. Констр. И матер. -JI -1984.-С. 24-27.

51. Конопелько, Е.В. Определение напряженно-деформированного состояния многослойных осесимметричных объектов Текст. / Е.В. Конопелько // Автореферат дисс. к.т.н.-Л.: 1984,16с.

52. Кулагина, М.Ф., Иванова, В.И Первая основная задача теории упругости для области, состоящей из полосы и полуплоскости Текст. / М.Ф. Кулагина, В.И. Иванова // Вест. Самар. гос. техн. ун-та. 2003.-№9 - С. 89-96.

53. Леонов, М.Я. Общая задача о давлении кругового штампа на упругое полупространство / М.Я. Леонов // Прикл. матем. и мех. Т.17.-В.1-1953

54. Лехницкий, С. Г. Исследование механических процессов в однородных массивах, ослабленных горными выработками Текст. / С. Г. Лехницкий // Л.:ВНИМИ. 1970. - С. 3-8.

55. Лехницкий, С. Г. Определение напряжений в упруго изотропном массиве в близи вертикальной цилиндрической выработки круглого сечения Текст. / С. Г. Лехницкий // Изв. АН. СССР.-ОТН. 1938. -№3. - С. 69-76.

56. Лившиц, П. 3. Напряженное состояние в упругом цилиндре, нагруженном по боковой поверхности касательными усилиями Текст. / П. 3. Лившиц // Инж. сб.-1960. С.З(М7.

57. Лурье, А. И. Напряженное состояние в упругом цилиндре, нагруженном по боковой поверхности Текст. / А. И. Лурье // Инж. сб. 1953. -17. - С. 43-58.

58. Лурье, А. И. Пространственные задачи теории упругости Текст. / А. И. Лурье // М:ГТТИ.- 1955.-492 с.

59. Лурье, А.И. Теория упругости Текст. / А.И. Лурье // М.: Наука. 1970.

60. Ляв, А. Математическая теория упругости Текст. / А. Ляв // М. -Л.: ОНТИ. -1935-674 с.

61. Марченко, В.Л., Шамарин, Ю.Е. Исследование контактных давлений в многослойных осесимметричных конструкциях Текст. / В Л. Марченко, Ю.Е. Шамарин // Пробл. прочн. 1998. - №4. - С.73-82.

62. Монастирський, Б.Э. Задача про контакт двох nienpocTopiB з кшьцевою вшмкою на одному. 4.2. Числовий метод i результата. Текст. / Б.Э. Монастирський // ФЬ-xiM. мех. матер. 2003. - 39. - №4. - С. 37-41.

63. Монастирський, Б.Э., Ют, Г.С. Контактная задача для полупространства и жесткого основания с осесимметричной выемкой Текст. / Г.С. Ют, Б.Э. Монастирський//Мат. методи та ф1з.-мех. поля.-1988.^1-№4. С.11.

64. Невзоров, Н.И. Осесимметричная деформация плит с упругим включением: Ав-тореф. дисс. канд. техн. наук. Л. 1990.

65. Никишин, B.C. Статические контактные задачи для многослойных упругих тел Текст. / B.C. Никишин // Механика контактных взаимодействий. .:Физматлит. -2001.-С. 30-54.

66. Панасюка, В.В Предельное равновесие хрупких тел с трещиной Текст. / В.В. Панасюка // Киев: Наук. Думка. 1968. - 246 с.

67. Папкович, Н. Ф. Обзор некоторых общих решений основных дифференциальных уравнений покоя изотропного тела Текст. / Н. Ф. Папкович // Прикл. Матем. И мех. 1937. -T.I. - вып.1. - С 117-132.

68. Подковалихина, Е.А., Приварников, А.К. Первая граничная осесимметричная задача для многослойного основания с цилиндрическим отверстием Текст. / Е.А. Подковалихина, А.К. Приварников // Теор. и прикл. мех. 2005. -№4. С. 38-43.

69. Розин, J1.A. Контактная задача теории упругости с односторонними связями и зацеплением Текст. / JI.A. Розин // Изв. вузов. Стр-во. 2002. №10. - С.52-56.

70. Розин, J1.A. Смирнов, М.С. Решение контактных задач теории упругости с податливостью в односторонних связях Текст. / J1.A. Розин, М.С. Смирнов // Изв. вузов. Стр-во. 2000. - №5. - С.27-32.

71. Снеддон, И. Преобразование Фурье Текст. / И.Снеддон // М: ИЛ. -1955. -667с.

72. Солдатенков, И.А. О вдавливании со сцеплением штампа в упругую полуплоскость при наличии касательной нагрузки Текст. / И.А. Солдатенков // Прикл. мат. и мех. М. -1999. - 63. - №1. - С.111-118.

73. Солдатенков, И.А. К решению контактной задачи теории упругости для толстой полосы со сцеплением Текст. / И.А Солдатенков // Прикл. мат и мех. М. 2003. - 67. - №5. - С.877-884.

74. Соловьев, Ю. И. Об интегральных уравнениях осесимметричной задачи теории упругости Текст. / Ю. И. Соловьев // Сб. "Труды конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности ". Новосибирск. -1969.

75. Соляник-Красса, К. В. К решению осесимметричных задач теории упругости Текст. / К. В. Соляник-Красса // Докл. АН. СССР. -1957. Т. XXXVI. - №3. -С.481-484.

76. СНиП 2.09.03-85. Строительные нормы и правила. Сооружения промышленных предприятий.- М.: Госстрой СССР, 1986. 97 с.

77. СНиП П-94-80. Строительные нормы и правила. Нормы проектирования. Часть II. Подземные горные выработки. Глава 94. М.: Госстрой СССР, 1982. - 38 с.

78. Справочник по специальным функциям с формулами, гарфиками и математическими таблицами. Под. ред. М Абрамовича и И.Стига. М.:Наука. - 1979. - 830с.

79. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В трех томах. Том II Текст. /Оформление обложки Шапиро С. Л., Олексенко А. А. СПб.: Издательство «Лань». - 1997. - 800 с.

80. Чебаков, М.И. Пространственная контактная задача для слоя с учетом сил трения в неизвестной области контакта Текст. / М.И. Чебаков // Докл. РАН. 2002. 383.-№1.-С.67-70

81. Чемерис, В. С. Об интегральных уравнениях осесимметричной теории упругости Текст. / В. С. Чемерис // "Прикл. Механика". 1965. -1. - №5.

82. Черепанов, Г. П, Ершов, JI. В. Механика разрушения Текст. / Г. П. Черепанов, JI. В. Ершов // «Машиностроение». 1977. - 224 с.

83. Штаерман, И.Я. Контактная задача теории упругости Текст. / И.Я. Штаерман// Гостехиздат. М. - JL - 1949.

84. Blenkam, К. A., Wilhoite, I.C. Stresses Due to a Band of Normal stress of the Entrance of a circular Hole. Техт. / K.A. Blenkarn, I.C. Wilhoite //-Trans. ASME. Journ. Appl. Mech. - Ser. E, 1962. - 29. - p. 647-650.

85. Boussinesque, J. Applications des potentiels a l'etude de l'equilibre et du mouvement des solides elastiques Техт./ J. Boussinesque // 1885.

86. Chen, Jun-guo, Meng, Jin-jun, Dong, Zheng-zhu Техт. / Suzhou keji xuebao. Gong-cheng jishu ban / Jun-guo Chen, Jin-jun Meng, Zheng-zhu Dong // J. Univ. Sci. and Technol. Suzhou. Eng. and Technol. 2005.- 18. -№2-p.32-34, 47.

87. Elata, David On the problem of rigid inclusions between two dissimilar elastic half-spaces with smooth surfaces Техт. / David Elata // Int. J. Solids and Stract. 1999. 36. -№17.-p. 2633-2636.

88. Filon, L. On the Elastic Equilibrium of Circular Cylinders under certain practical System of Loads / L. Filon // Phil. Trans. Of the Royal Soc. London. vol. -198. -1902.

89. Iyengar, К. T. S. R., Yogananda С. V. The end problem of hollow cylinders Техт. / К. Т. Iyengar // "Trans. ASME". 1966. - E33. - №3 (Рус. перевод. Прикладная механика. -№3. - ЕЗЗ. - 1966).

90. Gao, Y.C., Mai, Y.W. The contact proplem of a rubber half-space dented by a rigid con apex Техт. / Y.C. Gao, Y.W. Mai // Arch. Appl. Mech. 2002. -72. -№ 4-5. p. 213-228.

91. Michell, J. H. The uniform torsion and flexure of incomplete Tores with application to helical springs Техт. / J. H. Michell // Proc. London. Math. Soc. - 1900. - v. 31.

92. Narain, Prem. A note on an asymertical mixed boundary value problem for a half-space with a cylindrical cavity Техт. / Prem Narain // Proc. Glasgow Math. Assoc. -vol. 7.-№1.- 1965.

93. Reiss, E.L. Extention of an Infinite Plate with a Circular Hole Техт. / E.L. Reiss // J. Soc. Industr. and Appl. Math. 1963. - vol.11. -No.4.

94. Rusia, К. S. On certain asymertical mixed boundary value problem for a half-space with a cylindrical cavity Техт. / К. S. Rusia // Journ. Sci and Engng. Res. vol. 10. -№1.- 1966.

95. Schwarze, N. Nrans. Arbitrary load distribution on a layered half space Техт. / N. Schwarze // ASME . J.Tribol. 2000. - 122. - №4. - p. 672-681.

96. Shibuya, Toshikazu, Kai, Terutaka, Kishimoto, Kikuo, Inoue Hirotsugu, Takahashi Kentaro Nihon kikai gakkai ronbunshu Техт. / Toshikazu Shibuya // A Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A - 2003. - 69. - № 687. - p.l545-1551.

97. Sneddon, I.N. Boussinesq's problem for a plat-ended cylinder Техт. / I.N. Sneddon //Proc. Cambridge Phil. Soc. 1946. - v.42. - pp. 29 - 39.

98. Srivastav, R. P. An axisymmetric mixed boundary value problem for a half-space with a cylindrical cavity Техт. / R. P. Srivastav // "J. Math, and Mech.", 1964. 13. - №3.

99. Srivastav, R. P., Narain Prem. Stress distribution due to pressured exterior crack in an infinite isotropic elastic medium with coaxial cylinder cavity Техт. / R. P. Srivastav, Prem Narain // Internat. Journ. Engng. Sci. vol. 4. - № 6. - 1966.

100. Sternberg, E. Three dimensional stress concentration in the theory of elasticity Техт. / E. Sternberg // Appl. Mech. Revs, 1958 - 11. - p. 1-4.

101. Terezawa, K. On the elastic equilibrium of a semi infinite solid under given boundary condition with same application Техт. / К. Terezawa // J. of College of Sci. Imp. Univ. - Tokyo - 1916. - 377. - p. 16-31.

102. Wozniak, M., Hummel, A., Paauk, V.J. Axisymmetric contact problems for an elastic layer resting on a rigid base with a Winkler type excavitation Техт. / M Wozniak, A. Hummel //Int.J.Solids and Struct. 2002,- 39. -№15. -p. 4117-4131.

103. Youngdahl, C.K., Sternberg, E. Three-dimensional stress concentration arround a cylindrical hole in a semiinfinite elastic body Техт. / С.К. Youngdahl, E. Sternberg // Trans.ASME.-Joum.Appl.-Mech.-Ser. E. 1966 — p.855-865.