автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Напряженно-деформированное состояние неоднородных тел с ослаблениями

РГ6 од ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ I у пин

БЕНИН Андрей Владимирович

На правах рукописи

УДК 624.04

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ С ОСЛАБЛЕНИЯМИ

Специальность 05.23.17—Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1993

Работа выполнена в Петербургском государственном университете путей сообщения.

Научный руководитель —

доктор технических наук, профессор В. 3. ВАСИЛЬЕВ

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Г. Б. КОЛЧИН;

кандидат технических наук, доцент Е. В. КОНОПЕЛЬКО

Ведущая организация — ВНИИ гидротехники им. Б.Е.Веденеева.

Защита состоится » . . 1993 г.

в . . /•) , . час. . . мин. на заседании специализирован-

ного совета К 114.03.02 Петербургского государственного университета путей сообщения по адресу: 190031, Санкт-Петербург, Московский пр., 9, ауд. £

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке института.

Автореферат разослан . . 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат технических наук,

доцент М. П. ЗАБРОДИН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблема.

Исследования напряженно-деформированного состояния упруга! массивов о ослаблениями давно привлекают внимание опецие-лиотов. Это объясняется тем, что получаемые в ггроцесое решения результаты находят широкое применение в инженерной практике, и в первую очередь, в горном деле. В нестоящее время трехмерная задача для однородных сплошных пассивов изучена достаточно подробно. Это можно сказать и о массиве, имексцем непрерывную неоднородность по глубине.

Иначе обстоит дело при деформации радиально неоднородных упругих объектов типа массива или полупространстве о ослаблениями. Обычно в етих случаях ограничиваются решением в рамках плоской задачи теории упругости. Однако такой подход серьезно искажает реальную картину распределения полей напряжений и перемещений.

В представленной работе предлагается решение осесиммет-ричных задач для двух типов радиально неоднородных объектов:

- массива с цилиндрической полостью, загруженного по участку ее поверхности:

- полупространства, ослабленного Сесконечно глубокой цилиндрической выработкой, нагруженного как по дневной поверхности, так и по боковой поверхности полости.

Диссертация выполнена в еответствии с хозрасчетной темой "Исследование напряженно-деформированного состояния массива с ослаблениями", per.N 1738, разрабатываемой кафедрой "Прочность материалов и конструкций" ПГУПС.

Целью диссертационной работы явялется построение аналитических решений для исследования нвпрякенно-деформированного состояния радиально неоднородных объектов типа массива и полупространства о ослаблениями при оеесимметричной деформации, а также численная реализация втих решений.

Метод иосладований - теоретический, основанный на точных аналитических решениях задач теории упругости о широким применением ЭВМ для их численной реализации.

Научную новизну работы составляют:

-использование общего решения осесимметричных задач в форме К.В.Соляника-Краоса для многослойных тел;

- обощение метода неполных решений, разработанного применительно к однородных среден В.3.Васильевым, на случай радиально неоднородных тел:

- построение аналитических реиениЯ для радиально неоднородных упругих объектов типа мвосивв н"' полупространства о цилиндрическими ослаблениями:

- разработка алгоритмов численного решения полученных уравнений и составление программ для ГОШ;

- получение с помощью составленных программ новых чио-леннух результатов, относящихся к напрякенно-деформарованноыу состоянию ооеонмметричных конструкций;

Практическая ценность работы состоит в?

т разработке нового подхода к определении напрякенно-де-формарованного состояния оооотыетричнцх конструкций, что способствует повышению точности и вффоктишости шшенериых расчетов;

- выводе простых инженершх формул, учитывающих влияние

радиальной неоднородности среда на распределение полей напряжений;

- создан™ пакета программ для решения самых прикладных задач мехшшют горных пород и строительных конструкций. На защиту выносятся;

1. Аналитические решения задач о<5 оеесимметричной деформации радиадьно неоднородного упругого массива о цилиндрической полостью, находящегося под действием нагрузки, распределенной по ее поверхности.

2. Аналитические решения задач об исследовании напряженно-деформированного состояния радиально неоднородного полупространства, ослабленного бесконечно глубокой цшг.ш др*лческоЗ выработкой при действии осесимметричной нагрузки.

3. Пакет программ для расчета напряжения и перемещений в радаалыю неоднородных массивных телах о ослаблениями.

4. Результаты и анализ численного исследования решений перечисленных выше задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуадались:

- на 11-ой Межгосударственной конференции "Проблемы прочности материалов и сооружения на транспорте", Алма-Ата, 1992 г.;

- на 4б-ой научно-технической конференции Ташкентского института инженеров железнодорожного транспорта, 1991 г.:

- на 52-ой и 53-ей научно-технических конференциях ПИИТа о участием студентов, молодых ученых и аспирантов, 1992,93 гг.{

- на научном семинаре кафедры "Сопротивление материалов" Санкт-Петербургского Государственного Технического Университета, 1993 г.;

- на научном семинаре факультета "Мосты и тоннели" ив базе кафедры "Прочность материалов и конструкций" ПГУПС, 1993 г.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 7 печатных работ.

Объем и структура диссертации. Работа ооотоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложений в виде справки и акта о внедрении результатов исследования в производство. Библиография содерамт 92 наименования, из них 15 на иностранных язша! (11 на англцйо-ш, 3 ив французском и 1 на немецком).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы работы, формулируется цель даосертационного исследования, приводятся сведения о научной новизне и практической значимости, освещаются те полоиешя, которые автор выносит на защиту.,

Первая глава посвящена краткому обзору работ, содержащих решения задач теории упругооти неоднородных тел. Отмечена работы Г.Б.Колчнна, В.П.Плевако, Е.А.Кузнецова, С.Г.Лехницкого, В.А.Ломакина, С.А.АСрацухшна, А.Э.Пуро и других.авторов.

В настоящее время получены общие решения для плоских задач пря произвольней зависимости упругих характеристик материала от координат и для пространственных задач в случае зависимости параиетров Лама от одной декартовой коордщтгн (обычно, глубины г). Однако общего решения для пространственных задач при радиальной неоднородности пока не существует, исследователи в в тем с луч се используют различные приблигздшые

методы, такие тк итерационный метод, метод малого параметра, метод возмущения и, наиболее часто применяемый, метод аппроксимации (разделения). Применяя данный метод можно практически любое ооесимметричное тело при радиальной неоднородности материала разделить на концентрические цилиндры, материал квздого иэ которых является однородным. Имеется большое количество публикаций о деформации ооотавных объектов, вюпочвицих материалы о различными упругими постоянными, для исследования которых обычно используется аппарат классической теории упругости однородны тел, и задача сводится главным образом к удовлетворению тех или иных контактных условий. Весьма интенсивно исследуют ети проблемы зарубежные авторы - Б.Роговский, Х.Тосияки, Исида. Среда наиих ученых моюто отметить публикации А.Н.Мктрчяна и С.О.Папояна, В.З.Васильева и. М.Б.Зотова, А.П.Филина и А.С.Каплуна, Н.И.Невзорова и ряда других. Тем ие менее, целый ряд вопросов, в том члоле и вопрос о влиянии радиальной неоднородности материала на напряженно-деформированное состояние тел типа массива или полупространстве, ослабленных цилиндрическими полостями, еще полностью не освещены и здесь имеется большое поле для исследований..

В заключение первой главы приводятся основные соотношения общего решения осесшметричных задэч в форме К.В.Соляни-ка-Красса.

Вторая глава посвящена аналитическому решению задачи для массива с цилиндрической полостью, модуль сдвиге которого есть функция радиуса: .

р(г) при л г« г

|

" " = (10 - оопэг при Р > Гп " ^

здеоь о - радиус полоотн.

Боковая поверхность выработки нагружена нормальной ооесиммет-ричной нагрузкой p(z). Гршшчние условия задачи имеют вид» о » р(г). г я О при г « а, - о> < z < + и, (2)

Г М

В ооответстш о методом разделения исходное тело резби-ваетоя на полые бесконечные цилиндры к массив о полостью.

Необходимо отметить, что при использовании общего решения ооеоишетричных задач в <Хорш К.В.Соляника-Краооа удается значительно упростить решение, если рассматривать задачу со смешанными граничными условиями. Повтому в качестве основных неизвестных вводятоя функции f((е) и g((z), хврентеризувдио распределение, ооотвественно, каоательных напряжений t и

гя

радиальных перемещение и на поверхностях контакта, а в качестве уоловия сопряжения рассматриваются уоловия совместности ооевых перемещения w и равенства радиальных напряжение 0р на границах контакта. Граничные уоловия в атом олучае имеют вид!

- первый цилиндр

о ■ р(е), х = О при г ■ <а , - « < в < + * ;

Г ги

(3)

u » g,(z), г ■ г.(е) при г «г., - » < z < + « ¡

I РК I 3

-1-ый цилиндр U Я g.(z), V в 1,(2) при Г* Г. ,-«<S<+»!

i га I ,1

(4)

U a eUl(z). Трж " при г = ■» ( Е < t » I

- пространство о полостью радиусом г

П

U ■ е (й), t И f (г) при Г ■ Р , - со < 2 < + «J. (5)

А ГВ П П

' Кроме того, долаш быть выполнены уоловия сопряжения: а » О , В В W при Г в Р , - со < Z < + «о J (6)

г, rui 1 I

здесь г и PU1 - внешний и внутренний радиусы цилиндров.

предполагается, что функции р(в), f((z) и й,(в) предота-вимы в виде интегралов Фурье, в частности:

с* со

p(z) - J peU)008Xz<U + J pe(X)einXz<lX, (7)

о о '

где роЦ) - интегральная косинус- , а Рш(Х) - синуо-трансфор-ианта функции P(z).

Решение задач (3) - (5) достигается при помощи функций напряжений в форме, предлоаенной К.В.Соляником-Крпсоа.

. Составляющие тензора напрягюнкй н вектора перемещений для задачи о полом бесконечном цилиндре вираяаютел формулами типа»

»

0r* -jr J{[c(X)-0°(X)]lo(Xr)Xr - [о(Х) - (2 - 2t> + О • '

+ XV)0o(X)]i1(Xr) + [-du)+d°U)]k0Ur)lr - [d(X)-(2-2i>+

»

+ xWttjjKjUríJcosXzdX + -jr ||[A(X)-A°(X)]l0(Xr)Xr -

O

- [i(X)-(2-2w+XV)A°(X)]lt(Xp) + [-В(Х)+В°(Х)]К0(Хг)Хг -

- [B(X)-(2-2y+X3ra)B°(X)]K1(Xr)|slnXzdX5 (8)

а для задачи (5) об упругом массиве с полостью типа!

со

"г = J{" Е(Х> [^(Xi-) + XrK0(Xr)] +

О

+ E°(X)XriC0(Xr) + Е°(Х)[ (Хг)а + ЭО-^К^Хг^оовХгаХ +

т

+ у- У(1)[к,(Хг) + ХгК0(1г)] + Р°(Х)1гК0(Хр) +

о

+ Р°(Х)[ (Хг)8 + 2(1-У)]к1(Хг)}в1п\г<1Х| (9)

где А0,А, В? В, О? О, И? I), В? Е, Р? Р - функции.

определяемые из граничши условий {

1„(Хг), 1,(Хг) - модафицированние функции Бесоеля 1-го

рода;

К0(Хг), К((Хг) - функции Ыакдональда;

V - ковффициент Пуеосона;

X - параметр с непрерывным опектрсы изменения.

Решение задач (ЗЫ5) позволяет овязать функции А°,А, В? В, О? О, О? Б, Е? Е, и Г о ооответотвуацнш косинуо- шш синуо-транофорыантема функций р(в), 1{(г) д е^с)

Для определения тренсфоцтнт Г* (X), (X), ¿[ (X) в

10 |1 IА

попользуются условия оопряяения по контактным поверхностям. Путем использования интегральных преобразований Фурье уоловия (6) приводятся к оовокупнооти двух систем алгебраических уравнений, первая из которых связана о четной составляющей функции нагрузки (кооинуо-транофорыантой), а вторая -о нечетной (синуо-трансфорыантой функции р(е)). Количество уравнений в кагдой нз систем равно удвоенному количеству гра-ющ контакта.

На основе предлоиенной охеш решения задвчи оостсвлеи алгоритм п программа расчета напряЕвнно-дефоршровашюго состояния радиально неоднородного массива о полостью.

Проведены численные исследования для олучая загруяекия

исходного тела нормллмюЛ нагрузкой, приложенной по поверхности выработки, типа !

P(z) »

О, - га < s < - i;

Р, - г s a s l; (10).

О, г < a < + со .

Расчеты выполнены при степенной зависимости (.'.одулл сдвига от рядиусп (тпбл. 1), постояшюм ковффпшенте Пупоооно принятым равным 0.3 и радиусе полости а ■» 1.

Особо рассмотрен вопрос корректности выбора толщин uiï— лшлров, на которые разбивается исходное тело.

В результате расчетов установлено, что наибольшее ллнл-:шо радиальная неоднородность окяэивяег на распределение напряжения о и и (рио.1)( и практически не оказывает влияния нп распределение t и а , что касается перемещения, то как и

rat г

в случае однородного массива, радиальные перемещения и более чем в 5 раз превосходят осегше w. Следует отметать, что а практических расчетах решение осескшетричной задачи часто заменяется решением плоской задачи, не учитывающей напряжение а. Однако при расчетах выяснено, что, например, при длине нагруг!ения 2L я 0.5а в зависимости от вида неоднородности максимальные значения достигают от О.бЗр (при уменьшении модуля сдвига у у границы полости массива в 5 раз) до 0.92р (при увеличении ¡1 - в 4 раза). Причем максимума достигают не в сечении z/а = 0, которое рассматривается при плоском решении, а в сечении z/а * 0.125. Даже при- увеличении длины нагрукения до 4а, максимальные значения при уменьшении ц в 5 раз достигают 0.3р. Таким образом, использование результатов решения плоской задачи может привести к серьезным сшибкам

Та&тщв 1.

Функции и я й(г) ц номера ооответствущих кривых на рисунках

ш кривых вид функции Р • (1(г) изменение модуля сдвига на границе полости

1 0 • /10(1. - 0.200(г/а-3)8) уменьшен в Ь раз

2 а » И0(1 - О.125(г/а-3)а) уменьшен в 2 раза

3 Р ■ и0 материал однородный

4 Р к Л0(1 + 0.250(г,/а-Э)а) увеличен В 2 раза

5 ч п |10(1 + 0.500(г/а-3)а) увеличен в 3 раза

6 а В р0(1 + 0.750(р/а~3)а) увеличен в 4 раза

-0.50 -0.25 -0.80 -0.« -0.« -0.05 0 0.05 ^/р.

• ОЛ -0Л -0.fi О 0.2 ОА О.е 0.8

при проектирования подобтт объектов.

Для шшэнертн рпсчетов полезно иметь простые форлули, позволяющие учитывать влияние радиальной неоднородности материала на напряженно-деформированное ооотояше массива при различной длине нагруиения. Для их вывода напряжения представлены в виде суши напряжений, возникоквдх в однородной среде и напряжений-добавок О1^, учитывающих неоднородность среды:

"и <11>-

На рис.2 предстввлрны завио1шости изменеиия функций 0Н и и"

ж р

от длины нагруявния 21 и пида неоднородности (коэффициента /j/(jo> где ilо~ модуль сдвига пространства, принятий равным 1), результатом , аппроксимирования которых являются оледукаме выражения (s я Ц/(10)'.

d о;(хд) ■ awVbIox р0 - <12>

здесь А(I) » 4.25(1 - I) + 1.322 l3i

BU) » 4.579 - 5.159 I + 1.629 I3'. относительная погрешность при расчете по дашюй формуле не превыпает 9% ;

2) <¡1 - р0 (1 - X) [ AU) 4 ]. (13)

здесь A(t) = -0.045 + 0.033 1% В(г) = -0.044 + 0.036 t; относительная погрешность при расчете не превышает 11% . Не рис.2 также представлены сами функции р я и(г), для которых производился расчет.

С точки зрения подтверждения достоверности полученных

OU 0.5 ÛV 0.2 0

•ta

-ел -as -0.8

GVp.

функция

' I 1

h r e» 0.Ё5 a

1 1 /- t» too a

г ¡ t 200 a

«i 0.3 i / / / 3 4

1 -i-H- Î

— —_ -__

f/A

0.2

U

-«

-са

функция gg

1 - 0.25 a

Á t' í.00 a

1 i ¡ К l\ r --

/ —

atf -J" '"" VXJS.>A¡ 0.5 y —* 2 i í

¡ 7 1/ T

¡ e- 2.00 « i

m

Рас. 2.

результатов гхредсташшот интерес случай, когда упругие характеристики сроды постоянни. Такой вариант задачи доведен до численных результатов В.3. Васильевым. Сравните числении: значений напрлжеш1Я и перемеаешгй, получегашх в данной рабого по предложенной охеие и в работах В.3.Васильева, полностью подтверждает достоверность результатов. Такие проведен сравнительный анализ результатов решеш1Я рассматриваемой задачи и аналогичной плоской задачи при значительной длине нзгруггешгя (I >> а), н здесь получено хоров:ев соответствие результатов.

В третьей глапе' рассмотрена задача об ооескшетрячной деформация радкально неоднородного полупространства, оолнб-лешюго вертикально;! бесконечно глубокой цилиндрической выработкой и загруженного по участку ео псвррхностп. Гршшшшо уоловнл задачи имеют вид:

О а о, V =» О При г = 0, О 5 Г <

е е*

и о I = Г(д) при г ч а, О я г < о, (14)

Здесь а - радиус выработка; начало координат расположено на дневной попэрнюоти массива, а ось г совпадает о осью виешш и направлена вниз. Предполагается, что пса компоненты тензора напрякешШ обращаются в нуль при г,а + ». Неоднородность массива виранается зависимость». (1).

Аналогично как вто опло сделано во второй главе, иоход-иоэ тело разбивается на цилиндрические соствшшщиог полубес-копочниэ цилиндры и полупространство о вертикальной полостью. В 2(вчество основных неизвестных вновь введены функции Г((г) и С, (в), характеризуй дао распределение касательных напряжений и радиальных перемещений на поверхностях контакта, а условия сопряжения аналогичны принятом в предыдущей задаче.

Тогда граничные условия для-любого 1-го цилиндра> 0*0, х = О при г « 0, г, « г * г, ,

в га 1 1♦1

ц Е 8,(2) , X = 1,.(а) при г ■ г,, о & г < » ,

I -я I 1 (15)

ч я 8, . (2) , г "I, Л&) при Г "Г, ■ , 0 С 2 < » ,

1 + » Р8 I ♦ 1 1 ♦ »

при втом, учитывая;(14)!

при г,» л (г) = , в((г) »

Граничные уоловия для полупроотранствв | 0=0, X = О при 2« О, Г & Г < а

я г я ' п

и = § (и) , г « X (с) при г * г , О «е<в> . (-.6)

п тж п п

Условия сопряженияг °г " аГ 5 " 111111 ' 0 « г < » , (17)

1 I 1

На основе принятого общего решения ооесимыетричных задач для компонент тензора напряжений я вектора перемещений для задачи (15) получены выражения типа!

= Г НК + (г " V ГГ^ - [к + <г -

»

" } 1|{[0(Х) - су^уХЮХг -

О

со

- [с(Х> - (2-2у+Хага)С1(Х)]11(Хг)|ооаХг <1Х + £ +

0 (18)

+ В1(Х)]ХзЖ0(Хг) - [МХ) - (2-21м-Хага)П1(Х)]к1(Хг)} оовХг йХ; а для задачи (16) - выражения типа:

СФ

О- ^ |{[к())+(г-»в)В°(|)]»£Пв(7.г) - ¡2(7) + 2(1-у)е°су>-0

со

- угв°ы]и1(ьг)} 0"'"1г + р |{-В(Х)[к4(Хр) 4- ХгК0<Хг)] +

0 (19)

+ В°(Х)[ХгК0(Хг) + (Хг)3К1(Х1») + 2(1-У)К1(Хг)]| оовХгйХ,

где Ак, А1ы, В, В0, 0, 0 , й, Е, Е° - неизвестные

Функции, определяемые из граничных условий! У| < 7»г* 1) - функция Бесоеля 2-го рода от действительного аргумента,

Я„(7>г)> Я,(У.г) - функции Вебера| « л

X, у - параметры о иепрериЕнш спектром изменения; 7к - даскретнШ параметр, определяемый условием

-О,

Решешю совокупности задач (15) и (16) позволяет связать К> А,,.,'В, в°. О, 0,, 3), П., Е, Е° о трансфорыаятвми f* (X)

К 1а 1.1 1 В

а б? (X) разлскс-ния неизвестных функция и б, (г)

1а 1*

соответственно по синусу п косинусу в интеграл Фурьэ. Следует отметить, что запись граничных уоловий (15) и (16) п смешанной фср!^е позволяет сооець ий десяти функций А1к, В, Б°, 0, 0°, П, Б0, Е и Е° определить а яшом виде, а две - в интегральном.

Для определения 1*о(Х) и ¿*С(Х) используются грашгчные условия, выпаппеЕиэ которых приводит к система операторных уравнений. Путем использования преобразований Еебера и интегральных преобразования Сурье полученная система оводатся к системе пнтегрзлыга уравнений второго рода вида!

Зп

п

в,(пД) йп * ф,(х), (20)

|»Т

где п - количество границ контакта. В частном случае, при отсутствии сил трения по поверхностям контакта количество уравнений в системе сокращается вдвое. Решение системы уравнений (20) достигается численно.

Сходимость указанного процесса не доказана в общем виде. Но, за счет замени переменных и введения новой совокупности неизвестных

С|НШ = Л^^^и); С^Х) . Х'г^уХг.^с'Ц),.

(21)

б|н(х) - х^диг^^ш; "^(х) > л^к^хг^^'.ц),

удается добиться быстрого процесса сходимости при численном експерименте (здесь 1 - номер далнндра, 1 = 1, 2,..., п- 1).

Проведено исследование напрягенно-дефоршрованпого сос-ТОЯ1ШЯ полупространства о полостью при нагру8:ении вида!

= иое-" (22)

и отсутствии касательных сил на поверхности полости. . При анализе полученных результатов выяснено, что:

- определяющими, как и' в случае однородного массива,

являются напряжения апревышающие по абсолютному значению

примерно в 2 раза максимальные значения О и примерно в 49

раза -а . *

- при увеличение модуля сдвига м у границы полости наблюдается роет по абсолютному значению нормальных напряжений О^ и при снижении значений вертикальных перемещений кг , уменьшение ц - приводит к обратным результатам.

Как и во 2-ой главе, для подтверждения достоверности

результатов расчета проведено сравнение о результатами решения аналогичной задачи, полученними В.З.Васильевым для однородной среды.

Далее показано, что полученное решение, может быть использовано и для раочета полупроотраства, загруженного на дневной поверхности, при наличии цилиндрической выработки, подкрепленной несколькими слоями крепи. При втоы торцевая поверхность крепи должна быть свободна от нагрузки. Такая схема моделирует широко применяемый в настоящее время в шахтном строительстве метод последовательного наращивания конструкций, когда выработка- сначала подкрепляется одним слоем крепи, затем, со временем, по мере ухудшения ее механичеоких овойств, наращивается второй слой крепи и т.д. Выполнены численные расчеты для случая нагружения нормальными силами, равномерно распределенным! на дневной поверхности полупространства по площади кольца о внешним радиусом гк.

В четвертой глава рассмотрена задаче об ооесимметричноа деформации неоднородного полупространства о вертикальной цилиндрической выработкой, загруженного на дневной поверхности, В тон числе и по торцу кропи. Граничные условия задачи!

о « р{*). г « О при 2 а О, а $ V ( а

" . (23)

а » о, т «о при г «в, о < и < »

Г ■ ГШ

При ревешш задачи удалось обобщить метод неполных решений, разработанный В.З.Васильевым применительно к однородным средам, на олучай радаально неоднородных тел. Данный метод •позволяет избегать обращения к система интегральных уравнений. Решение сводится к последовательному решению двух типовых задач, наздая пз которых имеет замкнутое решение.

Первая типовая задача - четное неполное решение 3 О «= 2п, п « О, 1, 2,...), соответотвукщее деформации однородного полупространства о выработкой, подкрепленной абсолютно жесткой крепью и загруженного на дневной поверхности, с граничными условиями!

о = Р.(г), - г » 0 при 2» о, о«г<»

' (24).

и в О, Т = 0 при г в а, О * а < »

ГШ - . '

При нулевом решении функция р0(г) соответствует заданной на дневной лроверхяостм нагрузке р(г). В результате решения задачи (24) определяется, возкающие.давление массива на жесткую крепь (функция.1с^+|((г)), используемое в дальнейшем в качестве граничного условия для последующего неполного решения. .

Вторая типовая задача - нечетное неполное решение (порядка 3 2п + 1), деформация неоднородного полупространства о вертикальной выработкой и нагрузкой, приложенной по ее*боковой поверхности, С граничными условиями вида:

я = О , х = О при г «0| -45Г < «

. (25)

а = 1,, , . (г), г -в о при г = в, о * г < »

Г < ^^ X / Г*

Но, данная задача.решается уже в случае неоднородного массива. Решение задачи (25) достигается при помощи решения полученного во второй главе для неоднородного массива о полостью, в котором функция Я^л'Ф) продолжается "четно" относительно плоскости г/а = О. На дневной поверхности полупространства (при г = 0) возникают нормальные напряжения Оя, изменение которых в зависимости от г характеризуются функцией р^<а)(г), которая используется для построения следующего четного неполного решения и весь процесс повторяется вновь.

Роз у ль тирующее напряженное сотояниа , доставляемое наложением конечного числа Н неполных решений < определяется так:

М-1

С • С + <26>

На основе предложенной схемы и составленных программ рассмотрен конкретный случай нвгружения нормальными силами, равномерно распределенными по площади кольца.

Установлено, что радиальная неоднородность масоива оказывает наибольшее влияние на распределение напряжений О^ и 0р (рио.З), практически не влияет на распределение с^ и г^. Определенное влиягме радиальной неоднородности оказывается и на распределении перемещений. На основании полученных решений выяснено, что при возрастании модуля сдвига ц у границы полооти определяющими являютоя напрякеиия значения ко-

торых значительно превосходят значетш приложенной нагрузки.

При уменьшении {1 напряжения 0,0 и О. имеют приблизительно

в г "

одинаковые макимальниа значения, равные прилояетюй нагрузке р, однако достигают пх в разных сечениях. В обоих олучаях наиболее опасными являются сечения на дневной поверхности при г/а » О и т/а я 4.

Проведено сравнение результатов раочвта по программам и результатов, полученных В.З.Васальевым для аналогичной задачи в однородной постановка, показшншцев достоверность полученных выводов,

Как и во второй главе, получены инкенерные формулы, поэ-волязщиэ очень просто определить добавочные напрякеиия, зависима от вида неоднородности и длины нагруяеиия. Так для нал-

10

12

1.6

1в

Рис. 3.

ряжений 0ft при укреплении Maocimat

<J¡¡ « 0.0167 pQ ((4a - 1) + 0.695 « Ь ) (|1/Ц 0- 1) (27).

Аналогичная формула для случая ослабления маоеива: °¡¡ " Р0(-°-178 * Аа+ А - 0.912) (J4 / М 0 - 1> (28).

Погрешность вычислений по формулам (27-28) нэ более 10Я.

В заключении приведены основные выводы по работе, которые могут быть сформулированы следующим образом.

1. Главным итогом диссертационной работы являются новые аналитические реиения осесимметричных задач теории упругости для радиально неоднородных объектов типа массива о цилиндрической полостью и полупространства о бесконечно глубокой цилиндрической выработкой.

2. Построенные аналитические решения задач позволяют определить напряженно-деформированное состояние вблизи шахт, тоннелей и других выработок.

3.Численные доказательства сходимости полученных решений разрешающих систем уравнений подтверждают корректность применения метода разделения (аппроксимации), который, таким образом, позволяет строить оходящиеоя итерационные процессы решения задач подобного tima.

4. С помощью составленных программ последонаш вопросы влияния радиальной неоднородности маосзва на нелрягашо-де-фор.ироппллое состояние полупространства и пространства, оо~ лаблешшх цшшндричеомаш выработкам. Полученные результаты представляют теоретический и практический интерес при изу-чешпi подобных объектов.

5. Получены простые аналитические формулы, позволяющие

учитывать радиальную неоднородность среды и длину нагруаения, которые могут Сыть использованы при инженерных расчетах объектов типа массива или полупространства.

Содержание диссертационного. исследования отражено в оледуицих публикациях:

1. Бенин A.B., Разуваев С.Г. Библиографический обзор аналитических решений задач 'механики деформируемого тела, связанных с тороидальными областями и неоднородными средами. //Исследования но строит, механике (сборник научных статей). Выпуск 4/ Ленинградский ид-т инкепонроа а.-д. трансп. -Л., 1991• -с.11-16. -Деп. в ВИНИТИ 06.02.1992 г., Н 426-В92

2.Бенин A.B. Осесимметрачная деформация неоднородного полого цилиндра бесконечно большого внешнего радиуса. // В сб.: " Тезмсы докладов на пятьдооят второй студенческой научно-технической иоаферетлш о участием молодых ученых и специалистов." - Петербургский ин-т инженеров ж.-д. трансп. -Спб., 1992. -с.43,

3.Васильев В.3..Невзоров H.H.,Бенин Л.В.,Разуваев С.Г. О пространственных задачах теорий упругости для однородных в неоднородных сред // в св.!" Тезисы докладов на И-ой Межгосударственной научно-технической конференции "Проблемы прочности материалов н сооружений яа транспорте", АлИИТ, 1-4 октября 1992 г.", Алма-Ата, 1992-, -с.б.

4. Бенин A.B. Осесшметричная деформация составного полупространства с выработкой, подкрепленной жестким включением //Исследования по строит, механике (сборник научных статей). Выпуск 5 / Петербургский ин-т инкененров ».-д. трансп. -СПб.,

1992. -0.10-19. -Деп. в ВИНИТИ 03.02.1993 г., N 275-В93

5. Бенин A.B. Напряжешю-дефорировагаюе состояние неоднородной среды о цилиндрической полооыо, загруженной по участку боковой поверхности равномерю распределетаоым давлением //Исследования по строит, механике (сборник научных статей). Выпуск 5 / Петербургский ин-т инкененров ж.-д. трансп. -СПб., 1992. -о.20-30. -Деп. в ВИНИТИ 03.02,1993 г., II 275-В93

6. Бенин A.B. Деформация неоднородного полупространства, ослабленного бесконечно глубокой цилиндрической выработкой. // В сб.: " Тезисы докладов на пятьдесят третей студенческой научно-технической конференции-о участием молодых ученых и специалистов." -Петербургский ini-т инкенеров «.-д. трансп. -Спб., 1993. -0.36.

7. Бенин A.B. Влияние радиальной неоднородности материала на напряженно - деформированное состояние полупространства о вертикальной выработкой //Исследования по отроит, механике (оборшгк научных статей). Выпуск б / Петербургский гос. унаверомтет путей сообщения. -СПб., 1993. (в печати)

Подписано к печати 28Д0.93г., /сл. пвч. л. 1,56

Печать офоагная, Ьунага для множит, апп. Формат 6Ux8<» 1/16 Тирая 100 ок?. Заказ iCÄV, Бесплатно

* РТЛ ПГ/ПС ~ ~19(JÜ31,C.-ЯатврбургТ Московский прГ.9