автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Концентрация напряжений в элементах конструкций в зависимости от геометрических факторов, анизотропии упругих свойств и структуры

На правах рукописи

г Г о од г 2 дьк

Евдокимов Евгений Евгеньевич

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ, АНИЗОТРОПИИ УПРУГИХ СВОЙСТВ И СТРУКТУРЫ

05.23.17. - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Волгоград - 2000

Работа выполнена на кафедре сопротивления материалов Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии.

Научный руководитель:

заслуженный работник высшей школы Российской Федерации, доктор технических наук, профессор КуксаЛ.В.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Николаев А.П.;

кандидат технических наук, доцент Макаров A.B.

Ведущая организация: "Волгоградгражданпроект"

Защита состоится " /9 "^¿ЧО^^) 2000 года в часов в конференц-зале Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии на заседании диссертационного совета К 064.063.02 по специальности 05.23.17 -строительная механика, по адресу: г. Волгоград, ул. Академическая 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке академии. Автореферат разослан " " Н ОЯ^ГрЯ 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент У V С I X)\ Г.Г. Шкода

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Бурное развитие техники, повышение напряженности деталей машин и элементов конструкций выдвигают новые повышенные требования к механическим свойствам материалов, зависящим от особенностей их структуры, обуславливает необходимость разработки методов расчета с учетом реальных свойств материалов.

Классические представления о сплошном, однородном, изотропном, линейно-упругом теле в большинстве случаев уже не удовлетворяют практику. Поэтому учет реальных свойств материалов имеет большое значение в развитии механики твердого деформируемого тела, так как почти все материалы, применяемые в технике (металлы и сплавы с неоднородной поликристаллической структурой, бетон, кирпич, дерево, различного рода армированные пластики и т.п.) являются композиционными материалами, обладающими неоднородностью строения к анизотропией свойств.

Вопросы учета реальных свойстз материалов в настоящее время рассматриваются в теории упругости, в теории пластичности и ползучести, при разработке критериев прочности, в строительной механике и механике разрушения.

Широкое распространение в технике структурно- неоднородных материалов требует разработки и создания механики их деформирования и разрушения, разработки расчетных моделей структурно-неоднородных тел. Необходимость в этом дополнительно усиливается тем, что свойства самого материала могут в известной степени назначаться в процессе проектирования, т. е. теория нужна не только для расчета конструкций из заданного материала, но и для разработки и проектирования самого материала.

При моделирования реальных свойств таких сложных систем, какой является поликристаллический материал, основная проблема заключается в выборе рациональной модели поликристалла, которая учитывала бы основные структурные особенности материала, и, в то же время, позволила избежать непреодолимые математические трудности. Один из возможных способов реше-

ния этой проблемы заключается в приеме рассмотрения структурно неоднородного тела на различных уровнях, применявшийся в работах В.В. Бо лотина, A.A. Ильюшина, В.А. Ломакина и др.: на уровне размера зерна; наи меньшего объема поликристалла, который можно наделить осредненныш свойствами макрообъема; на самом высоком уровне, определяемом характер нымн размерами рассчитываемого тела.

Изучение концентрации напряжений играет большую роль в оцеш« прочности элементов конструкций, имеющих различные геометрические факторы концентрации. Детальное изучение напряженно-деформированного состояния в местах концентрации является обязательной частью общего прочностного расчета соответствующих конструкций и важнейшей предпосылкой дл> создания оптимальных и надежных конструкций. В связи с широким распространением в современной технике материалов, обладающих неоднородностьк и анизотропией свойств, большое значение приобретает вопрос о влиянии анизотропии материала на концентрацию напряжений и деформаций. Исследованию этого вопроса посвящен ряд работ, что связано с актуальностью проблемы и ее сложностью. Однако крайне мало работ, посвященных исследованию концентрации напряжений и деформаций с учетом и структурных и геометрических факторов.

Таким образом, представляются актуальными исследования концентрации напряжений и деформаций в элементах конструкций на основе разработки моделей структурно-неоднородных тел, учитывающих влияние анизотропии упругих свойств, структурных и геометрических факторов концентрации напряжений, что необходимо для определения уточненных значений коэффициентов концентрации напряжений при выполнении расчетов деталей машин и элементов конструкций, а так же для анализа причин разрушения элементов конструкций.

Целью данной работы является разработка методов расчета элементов конструкций и деталей машин из структурно-неоднородных материалов с раз-

личными геометрическими факторами концентрации напряжений и определение влияния на значения коэффициентов концентрации напряжений анизотропии упругих свойств, структурных и геометрических факторов при различных видах напряженного состояния. В соответствии с целью основными задачами настоящей работы являются:

1) разработка расчетных моделей элементов конструкций из структурно-неоднородных материалов с различными геометрическими факторами концентрации напряжений на основе рассмотрения на различных уровнях и применения метода конечных элементов (МКЭ);

2) разработка алгоритмов автоматического формирования факторов концентрации напряжений, сетки треугольных конечных элементов, сгущающейся в окрестностях геометрических факторов концентрации напряжений, алгоритма вычисления матриц упругих свойств отдельных зерен при заданных и случайных ор'кнтациях их кристаллографических осей и программная реализация этих алгоритмов;

3) разработка алгоритма автоматического формирования и расчета модели структурно-неоднородного тела с различными геометрическими факторами концентрации напряжений и его программная реализация;

4) исследование влияния анизотропии упругих свойств на концентрацию напряжений в пластинах имеющих различные по форме концентраторы напряжений и при различных видах напряженного состояния;

5) определение уточненных значений коэффициентов концентрации напряжений с учетом неоднородности напряженно-деформированных состояний в микрообъемах, обусловленной структурной неоднородностью и взаимодействием различно ориентированных зерен поликристаллов при различных видах напряженного состояния.

Научная новизна и достоверность. В диссертации приведены алгоритмы автоматического формирования сетки треугольных конечных элементов с различными концентраторами напряжений и деформаций и алгоритм автомата-

ческого формирования и расчета модели структурно-неоднородного тела. Представлены результаты расчетов модели структурно-неоднородного тела с различными геометрическими факторами концентрации напряжений при различных видах напряженного состояния. Построены эпюры нормальных напряжений и определены коэффициенты концентрации напряжений с учетом анизотропии упругих свойств, микроструктурных и геометрических факторов. Показано, что с учетом анизотропии упругих свойств коэффициенты концентрации могут принимать значения как большие, так и меньшие, в зависимости от ориентации кристаллов, по сравнению с изотропным решением. Установлено, что коэффициенты концентрации напряжений, определенные с учетом микроструктурных факторов, могут существенно превышать значения, полученные для изотропного материала и для монокристаллов при ориентации кристаллов в различных направлениях.

Достоверность основных результатов подтверждается сравнением с известными решениями, полученными другими исследователями, и анализом результатов расчетов, выполненных для изотропного тела.

Научное и практическое значение результатов исследований. Показана роль неоднородности напряжений и деформаций в упругой области в достижении предельных напряженно-деформированных состояний. В упругой области неоднородность напряжений и деформаций должна быть связана с достижением предела текучести в отдельных микрообъемах и, следовательно, с появлением первых пластических деформаций, а в хрупких металлах - с достижением в отдельных микрообъемах разрушающих напряжений. Установлены зависимости коэффициентов концентрации напряжений от различных геометрических факторов, анизотропии упругих свойств, структуры.

Разработанный метод расчета структурно-неоднородного тела с учетом анизотропии упругих свойств, микроструктурных и геометрических факторов может быть рекомендован для определения уточненных значений коэффициентов концентрации напряжений при выполнении расчетов деталей машин и эле-

ментов конструкций, выполненных из различных поликристаллических материалов и других композиционных материалов, а так же для анализа причин разрушения элементов конструкций.

Внедрение результатов. Тема диссертации связана с проектом: «Проблемы микромеханизма формирования механических свойств конструкционных материалов и расчета напряжешю-деформированных состояний в элементах конструкций с учетом технологических, структурных, масштабных и геометрических факторов» выполняемым по программе Министерства образования Российской Федерации «Разработка и реализация федерально-региональной политики в области науки и образования» (раздел «Научно-методические проблемы строительства и привлечения инвестиций в целях укрепления материально-технической базы системы образования»). Научная работа «Разработка расчетных моделей структурно-неоднородных тел на основе метода конечных элементов», выполненная в соавторстве с Л.В. Куксой, получила II премию на смотре - конкурсе на лучшую научную работу, который проводился Благотворительным дорожным фондом поддержки дорожного образования и науки имени Р.Я. Цыганова в г. Волгограде в 1998 г.

' Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на: 7-ой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1997 г.); IV международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 1999 г.); ежегодных научных конференциях Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии с 1994-2000 год; научных конференциях Волгоградского государственного технического университета в 1998, 2000 годах.

Публикации. Основное содержание проведенных исследований опубликовано в пяти печатных работах.

На защиту выносятся следующие основные положения диссертации:

1) разработка расчетных моделей элементов конструкций и деталей машин из структурно-неоднородных материалов с различными геометрическими факторами концентрации напряжений на основе применения МКЭ;

2) разработка алгоритмов автоматического формирования факторов концентрации напряжений и сетки треугольных конечных элементов, вычисления матрицы упругих свойств отдельного случайно ориентированного зерна, автоматического формирования и расчета модели структурно-неоднородного тела, а также программная реализация этих алгоритмов;

3) результаты расчета пластин ограниченных размеров, ослабленных различными геометрическими факторами концентрации напряжений, при различных видах напряженного состояния, и выполненных из изотропного материала, анизотропных материалов (монокристаллов) и поликристаллических металлов;

4) установленные зависимости коэффициентов концентрации напряжений от геометрических факторов концентрации напряжений, анизотропии упругих свойств и микроструктурных факторов при различных видах напряженного состояния.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Содержание работ изложено на 136 страницах машинописного текста, включает 51 рисунков, 21 таблиц, список литературных источников из 119 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы выбор и актуальность темы диссертации, сформулированы цели и основные задачи исследований, изложены основные положения, которые составляют научную новизну диссертационной работы и выносятся на защиту.

В первой главе разработан алгоритм автоматического формирования и расчета моделей элементов конструкций из структурно-неоднородных материалов с различными геометрическим факторами концентрации напряжений, в

основу построения которых положен прием рассмотрения на различных уровнях. Расчет моделей проводится с применением МКЭ. При использовании метода конечных элементов формирование системы уравнений (1) включает вычисление матрицы жесткости модели (2) как сумму соответствующих п членов матрицы жесткости отдельных элементов (3):

№}=И; (1)

1

МФГИМ^, (3)

где - матрица жесткости расчетной модели; {<?} - вектор перемещений; {р} - вектор нагрузок; \к\ - матрица жесткости отдельного элемента; [о] - некоторая прямоугольная матрица, элементы которой зависят от вида конечного элемента и координат рассматриваемой точки; \ЕС] - матрица упругих свойств; А, 1 - площадь и толгцина элемента, соответственно.

Решение системы уравнений (1) позволяет вычислить вектор деформаций {г} и напряжений {сг} по формулам

{*}=№}; (4)

М=№}- (5)

Возможность применения МКЭ связана с разработкой алгоритма вычисления матриц упругих свойств отдельного зерна, ориентированного случайным образом и характеризующегося высокой анизотропией упругих свойств.

Связь между напряжениями и деформациями анизотропного тела в тензорной форме задается зависимостями:

<?Ц=Сик1£к1> (6)

(7)

Компоненты с\т и для лабораторной системы координат определяются на основании использования закона преобразования тензора 4-го ранга:

(8)

4« = аыа)пакра^тщ>ч ■ (9)

При этом значения тензора 4-го ранга для кристаллографических осей координат определяются из известных матриц упругих модулей и податливо-стей. С целью случайного задания ориентировки зерен с помощью датчика случайных чисел случайным образом выбирали углы Эйлера, затем вычисляли матрицы направляющих косинусов.

При расчете по методу конечных элементов одним из самых трудоемких этапов является построение сетки конечных элементов. Разработан и реализован в программе эффективный алгоритм автоматического формирования факторов концентрации напряжений (круглое отверстие, эллиптическое отверстие с различным соотношением полуосей, поперечная и продольная трещина) и построения сетки треугольных конечных элементов, сгущающейся в окрестностях этих факторов. Разработанный алгоритм автоматического построения сетки треугольных конечных элементов включает формирование элементов в местах особенностей в областях, моделирующих минимальный объем, который можно наделить осредненными свойствами макрообъема.

Разработанный алгоритм автоматического формирования и расчета модели структурно-неоднородного тела с факторами концентрации напряжений и деформаций включает следующие основные этапы (рис. 1): 1) выбор и ввод исходных данных; 2) автоматическое формирование факторов концентрации напряжений и построение сетки треугольных конечных элементов, сгущающейся в окрестностях этих факторов; 3) вычисление матриц упругих свойств отдельных зерен при случайных ориентациях их кристаллографических решеток (рассматриваются кубические и гексагональные кристаллы); 4) автоматическое формирование матрицы индексов; 5) вычисление матрицы жесткости отдельных элементов; 6) автоматическое формирование вектора нагрузок для различных видов напряженного состояния; 7) автоматическое формирование матрицы жесткости модели на основе применения матрицы индексов и матриц жесткости отдельных элементов; формирование системы уравнений; 8) решение сис-

Ввод исходной информации о рассматриваемой конечпоэлементной модели.

Упругие

свойства

отдель-

ного

элемента-

Кол-во базовых областей, кол-во и вид базовых линий, коор. граничных узлов, коэфф. сгущения узлов.

Выбор напряжений для различных видов напр. состояния.

Автомат, формирование сетки треугольных, элементов.

Вычисление матрицы упругих сб-в при случайных орискт. кри-сталограф. решеток

Ш

-"¡тЯ^кр0^«г.

Вычисление матрицы жесткости отдельных эле-ме1гто8

Формирование матри-

цы ин-

Рнс. 1. Укрупненная блок-схема алгоритма автоматического формирования и расчета модели структурно-неоднородного тела.

темы уравнений по схеме Халецкого; 9) вычисление деформаций и напряжений для отдельных элементов; вычисление коэффициентов концентрации напряжений.

Во второй главе проведена апробация разработанного метода расчета структурно-неоднородного тела. Выполнена оценка сходимости результатов по мере увеличения количества конечных элементов. Анализируя рис. 2, можно отметить, что, уже при количестве конечных элементов к-2100 и более, значение коэффициента концентрации напряжений изменяется в четвертом знаке после запятой. С целью сопоставления результатов разработанного метода рас-

а„

2,95 2,92

]

2,88 ! 2,84 ;

2,8

1200 1400

2.9Й7 12,992 | 2,994;

2,995 ¡2,995

1600 1800 2000 2200

Рис. 2. Зависимость значения коэффициента концентрации напряжений аа от количества конечных элементов к, полученная для изотропной пластины с круглым отверстием при одноосном растяжении.

чета с известными решениями рассматривалась изотропная пластина, ослабленная эллиптическим отверстием с различным соотношением полуосей. Коэффициент концентрации напряжений в этом случае определяется по формуле

«„ = 1 + 2^, (10) о

где а и Ь - большая и малая полуоси эллипса.

Результаты расчета, приведенные в табл. 1 показывают, что расхождение между известными и расчетными значениями не превышает точности 4,5%, что можно считать вполне достаточно.

Таблица 1.

Сравнение расчетных значений коэффициентов концентрации напряжений, нолученных для изотропной пластины, ослабленной эллиптическим отверстием

с различным соотношением полуосей, с точным решением.

а Ь Расхождение, %

точное решение расчетные значения

I 3 2,995 1,2

2 5 4,932 1,4

3 7 7,185 2,6

4 9 8,802 2,2

5 11 11,46 4,0

6 13 13,51 3,8

7 15 15,68 4,4

8 17 17,80 4,5

9 19 18,31 3,6

10 21 21,95 4,3

В третьей главе исследуется концентрация напряжений в элементах конструкций из анизотропных материалов. Наиболее существенной анизотропией упругих свойств обладают неметаллические материалы, однако, анизотропия упругих свойств металлических монокристаллов также весьма значительна. Очевидно также, что реальный поликристалл имеет сложную структуру, но при наличии текстуры по своим свойства и структуре может приближаться к монокристаллу. Поэтому, вопросы влияния анизотропии упругих свойств монокристаллов на концентрацию напряжений, которые рассматриваются в данной главе, представляют значительный практический интерес.

С помощью разработанного метода расчета структурно-неоднородного тела рассматривалась концентрация напряжений в пластинах ограниченных размеров, ослабленных круговым отверстием, эллиптическим отверстием и поперечной трещиной, при различных видах напряженного состояния. Материал пластин - монокристаллы, имеюшие кубическую (алюминий, железо, медь) и гексагональную (магний, титан, цинк) кристаллическую решетку.

С использованием методики, разработанной на кафедре сопротивления материалов ВолгГАСА, были построены векториальные модели модуля упругости, модуля сдвига и коэффициента Пуассона различных металлов (рис. 3). Векториальные модели представляют собой зависимости величин упругих постоянных от направлений по отношению к положению кристаллографических осей, показанные в трехмерной графической форме. Это позволяет получить наглядное представление об анизотропии упругих свойств. При построении векториальных моделей использовались известные уравнения теории упругости кристаллов, выражающие зависимость модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона от направлений, задаваемых матрицами направляющих косинусов. Для изотропного материала векториальные модели упругих свойств представляют собой сферическую поверхность, т. к. упругие свойства не зависят от ориентации кристаллов (рис.3 а, б, в). Векториальные модели модуля Юнга (рис. 3 г, ж, к, н) позволяют определить ориентировки кристаллов по направлению наименьшего и наибольшего значения для различных металлов. Для кубических кристаллов модуль Юнга имеет наибольшее значение по направлениям <111>, а наименьшее — по направлениям <100> (рис. 4 а, б). Для гексагональных кристаллов модуль упругости имеет экстремальные значения в направлениях <0001> и <2110> (рис. 4 в, г). Построенные по результатам расчета эпюры нормальных напряжений для пластины с круглым отверстием и выполненной из алюминия и железа показаны на рис. 5. Аналогичные результаты были получены для пластин из меди, магния, титана и цинка, значения коэффициентов концентрации напряжений приведены в табл. 2. Можно отметить, что значения коэффициентов концентрации напряжений для пластины, ослабленной круглым отверстием, при одноосном растяжении и с учетом анизотропии упругих свойств могут принимать как большие, так и меньшие значения по сравнению с решением, полученным для изотропной пластины. В зависимости от степени анизотропии упругих свойств монокристаллов рассмотренных металлов коэффициент концентрации растягивающих напряжений может дости-

Рис. 3. Векториальные модели упругих свойств металлов: а, б, в - квазиизотропного железа; г, д, е - алюминия; ж, з, и - железа; к, л, м - титана; н, о, п - цинка; а, г, ж, к, н - для модуля Юнга; б, л, з, л, о - для модуля сдвига; в, е, и, м, п - для коэффициента Пуассона.

[111]

а)

б)

10001] А

£

[2110]

■Х3 [ОНО]

в)

1 442110]

Рис. 4. Схема для определения направлений, соответствующих экстремальным значениям модуля Юнга: а, б - для кубических кристаллов; в, г - для гексагональных кристаллов.

гать значений от аа =2,074 (для цинка) до аа =4,154 (для меди), что существенно отличается от изотропного решения. В третьей главе также приведены эпюры нормальных напряжений и значения коэффициентов концентрации напряжений, полученные по результатам расчетов пластины, выполненной из различных металлов и ослабленной эллиптическим отверстием и поперечной трещиной при различных видах напряженного состояния. Ориентация кубических кристаллов в направлении Етп приводит к уменьшению растягивающих напряжений, при этом, чем более анизотропным является металл, тем значительнее уменьшаются коэффициенты концентрации напряжений. Для гексагональных кристаллов магния и титана, ориентированных в направлении Ет,п, эпюры растягивающих напряжений такие же, как и для изотропной пластины и коэффициенты концентрации напряжений достигают значений близких к изотропному решению, для цинка коэффициент концентрации напряжений значительно уменьшается. Ориентация кубических и гексагональных кристаллов в

30 МПа ,

аг МПа

(У , МПа

О 10 20 30 40

0\, МПа

Г)

40 30 20 10

. О / , мм

СГ =30 МПа

Рис. 5. Эпюры нормальных напряжений для пластины, ослабленной круговым отверстием: а, б - из алюминия, в, г - из железа. Ориентация кристаллов в направлении £„,„ (а, в) и Етах (б, г).

О" , МПа

направлении Е^ приводит к повышению значений растягивающих напряжений, при этом наибольшее значение коэффициента концентрации наблюдается для пластины, выполненной из меди, а наименьшее и близкое к изотропному решению - для пластины, выполненной из цинка. Анализ значений коэффициентов концентрации напряжений, полученных для пластины, ослабленной поперечной трещиной, показывают наличие зависимости концентрации напряжений от анизотропии упругих свойств, аналогичной рассмотренной для пластин с круглым и эллиптическим отверстиями.

Таблица 2

Значения коэффициентов концентрации напряжений в пластине, ослабленной круглым отверстием, в зависимости от анизотропии упругих свойств при одно-

осном растяжении.

Материал

изотроп- в на- в на- изотроп- в на- в На-

ный ма- правле- правле- ный ма- правле- ПраВЛе-

териал нии ЕтШ иии Еш териал нии Ет-т НИИ

алюминий 2,837 3,133 -1,003 -0,997

железо 2,427 3,746 -0,978 -0.932

медь 2,995 2,285 4,154 -1,056 -0,969 -0,882

магний 2,997 3,212 -1,013 -0,972

титан 3,003 3,259 -1,002 -0,864

цинк 2,074 3,000 -1,916 -1,048

В четвертой главе на основании обзора литературных источников пока-

зано наличие межзеренной и внугризеренной неоднородности напряжений в поликристаллических материалах, обусловленной взаимодействием различно ориентированных зерен, уровень которой можно характеризовать микроструктурными коэффициентами концентрации напряжений и деформаций. Наличие существенной концентрации напряжений и деформаций в микрообъемах поликристалла, возникающей вследствие его неоднородной структуры, свидетельствует о необходимости учета микроструктурных факторов концентрации напряжений и деформаций при определении коэффициентов концентрации напряжений, в особенности при исследовании концентрации напряжений в окрестностях геометрических факторов.

Для оценки влияния микроструктурных факторов концентрации напряжений на распределение напряжений в окрестностях геометрических факторов концентрации напряжений с помощью разработанной модели структурно-неоднородного тела рассматривались пластины ограниченных размеров, ослабленные круглым и эллиптическим отверстием при различных видах напряженного состояния. Материал пластины — поликристаллнческие металлы, имеющие кубическую и гексагональную кристаллическую решетку. Построенные по результатам расчета эпюры нормальных напряжений для алюминия и железа показаны на рис. 6. Аналогичные результаты были получены для пластин, выполненных из меди, магния, титана и цинка. Анализируя данные, приведенные в табл. 3, можно отметить существенное увеличение коэффициентов концентрации напряжений по сравнению с решениями, полученными для изотропного материала, а также наличие зависимости их значений от степени анизотропии упругих свойств металла. Сравнение коэффициентов концентрации напряжений, полученных с учетом полкристаллнчности, со значениями, рассчитанными для изотропных пластин и пластин из монокристалла при ориентации кристаллов по направлению Етах, показывает, что при одноосном растяжении коэффициенты концентрации напряжений, определенные с учетом неоднородности напряжений, обусловленной взаимодействием различно ориентированных зерен, значительно превышают коэффициенты концентрации напряжений как для изотропного материала, так и для монокристалла при ориентации кристаллов по направлению Етах. При двухосном равномерном растяжении коэффициенты концентрации напряжений имеют значения, близкие к изотропному решению, что соответствует падению уровня неоднородности микронапряжений, а при чистом сдвиге - существенно превышают.

Полученные результаты показывают, что предлагаемая модель структурно-неоднородного тела и разработанный метод расчета позволяют определять уточненные значения коэффициентов концентрации напряжений в элементах конструкций, имеющие различные геометрические факторы концентрации на-

Рис. 6. Эпюры ау, построенные для пластины с круговым отверстием при одноосном растяжении и выполненной из: а - алюминия, б - железа; 1 - квазии-зогрошгый металл, 2 - поликристаллический металл.

Таблица 3.

Коэффициенты концентрации напряжений, полученные с учетом микроструктурных факторов концентрации напряжений, для пластины с круглым отвер-

Металл «СС

квазиизотропный металл поликристаллический металл

алюминий 2,995 5,061

железо 5,640

медь 5,983

магний 6,074

титан 6,151

цинк 7,048

пряжений и при различных видах напряженного состояния. Предлагаемые подходы могут найти применение так же при расчетах композиционных материалов и исследовании концентрации напряжений в текстурированных материалах.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Разработаны расчетные модели элементов конструкций на основе МКЭ с геометрическими факторами концентрации напряжений из поликристаллических материалов, при построении которых использован прием рассмотрения на различных уровнях: 1) на уровне размера зерна; 2) наименьшего объема поликристалла, который можно наделить осредненными свойствами макрообъема; 3) на самом высоком уровне, определяемом характерными размерами рассчитываемого элемента конструкции.

2. Обоснован выбор геометрии концентраторов напряжений и вида напряженного состояния. Разработан алгоритм автоматического формирования матрицы упругих свойств отдельного, ориентированного случайным образом, зерна поликристаллического тела, с использованием закона преобразования тензора 4-го ранга для кубических и гексагональных кристаллов. Разработаны алгоритмы автоматического формирования геометрических факторов концентрации напряжений, сетки треугольных конечных элементов и расчета модели структурно-неоднородного тела с различными факторами концентрации напряжений на основе применения метода конечных элементов.

3. Выполнена апробация разработанного метода расчета структурно-неоднородного тела и оценка сходимости результатов по мере увеличения количества конечных элементов. Рассмотрены результаты сопоставления расчетных значений, полученных для изотропных пластин с различными концентраторами напряжений: круглое отверстие, эллиптическое отверстие с различным соотношением полуосей, поперечная и продольная трещина, при различных видах напряженного состояния с известными решениями. Приведенные результаты показывают достаточную точность разработанного метода расчета.

4. Обоснованы положения кристаллов в направлениях экстремальных значений модуля упругости на основе анализа построенных векториальных моделей модуля Юнга, модуля сдвига, коэффициента Пуассона для кубических и гексагональных кристаллов.

5. Исследовано влияние анизотропии упругих свойств на концентрацию напряжений для пластины, ослабленной круглым и эллиптическим отверстиями при одноосном растяжении. Построены эпюры нормальных напряжений и определены коэффициенты концентрации напряжений для пластины, выполненной из различных металлов: алюминия, железа, меди, магния, титана и цинка. Показано, что значения коэффициентов концентрации напряжений, определенные с учетом анизотропии упругих свойств, существенно отличаются от изотропного решения.

6. Рассмотрено влияние анизотропии упругих свойств на концентрацию напряжений при двухосном равномерном растяжении и чистом сдвиге. Показано влияние вида напряженного состояния и степени анизотропии упругих свойств для пластин ограниченных размеров, ослабленных круглым и эллиптическим отверстиями. Установлено, что при чистом сдвиге коэффициенты концентрации напряжений изменяются более значительно (по сравнению с изотропным решением) в зависимости от ориентации кристаллов.

7. На основании обзора литературных- источников показано наличие меж-зеренной и внутризеренной неоднородности напряжений в поликристалличе-

ских материалах, уровень которой можно характеризовать микроструктурными коэффициентами концентрации напряжений. Приведенные результаты исследований показывают наличие существенной концентрации напряжений в микрообъемах поликристалла, возникающей вследствие его неоднородной структуры, и свидетельствуют о необходимости учета микроструктурных коэффициентов концентрации напряжений и деформаций при оценке прочности конструкций, в особенности при наличии геометрических факторов концентрации напряжений.

8. С помощью разработанной модели структурно-неоднородного тела рассмотрено влияние микроструктурных факторов концентрации напряжений на распределение нормальных напряжений в пластинах, выполненных из поликристаллических металлов с кубической и гексагональной кристаллическими решетками и ослабленных круглым и эллиптическим отверстиями. Построены эпюры нормальных напряжений, определены коэффициенты концентрации напряжений. Установлено, что коэффициенты концентрации напряжений, рассчитанные с учетом микроструктуры, при одноосном растяжении существенно превышают значения, полученные для изотропного материала. Показана зависимость коэффициентов концентрации напряжений от степени анизотропии упругих свойств.

9. Выполнено сравнение коэффициентов концентрации напряжений, полученных с учетом микроструктурных факторов, со значениями, рассчитанными для изотропных пластин и пластин при ориентации кристаллов по направлению экстремальных значений модуля упругости. Показано, что при одноосном растяжении коэффициенты концентрации, определенные с учетом неоднородности напряженно-деформированных состояний в микрообъемах, обусловленной взаимодействием различно ориентированных зерен, превышают коэффициенты концентрации напряжений для изотропного материала и полученные с учетом анизотропии упругих свойств при ориентации кристаллов по направ-

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Кукса Л.В., Евдокимов Е.Е. Конечноэлементная модель поликристаллического агрегата // 7-ая межвуз. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи» {Самара, 28-30 мая 1997 г.): Тр. 7-ой межвуз. конф. - Самара: 1997. - 4.1.-С. 78-80.

2. Кукса Л.В., Евдокимов Е.Е. Концентрация напряжений в элементах конструкций в зависимости от геометрических и структурных факторов // IV Ме-ждун. конф. «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 29-30 июня 1999 г.): Тез. докл. — Санкт-Петербург,

1999.-С. 77-78.

3. Кукса Л.В., Евдокимов Е.Е. Разработка расчетных моделей структурно-неоднородных тел с геометрическими факторами концентрации напряжений на основе метода конечных элементов // Вестник ВолгГАСА. - 1999. - Вып. 1.-С. 40-47.

4. Кукса Л.В., Арзамаскова Л.М, Евдокимов Е.Е. Механические свойства и методы расчета элементов конструкций из структурно-неоднородных материалов // Юбил. науч. техн. конф. проф.-препод. состава, посвященная 70-летаю высш. строит, образования в Волгоградской обл. Тез. докл. - Волгоград,

2000. - С. 48.

5. Кукса Л.В., Евдокимов Е.Е. Концентрация напряжений в элементах конструкций в зависимости от анизотропии упругих свойств //Надежность и долговечность строительных материалов и конструкций: Материалы II международ. науч. техн. конф: в 3 ч./ ВолгГАСА. - Волгоград, 2000. - Ч. 1. - С. 140-142.

Бумага офсетная Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд.л. 1,0 Формат 60x84 1/16 Тираж 100. Заказ № 23^. Волгоградская государственная архитектурно-строительная академия. 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 1.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА ПЕРВАЯ. РАЗРАБОТКА РАСЧЕТНОЙ МОДЕЛИ И МЕТОДА РАСЧЕТА СТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ФАКТОРАМИ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ.

1.1. Обоснование приема построения модели структурно-неоднородного тела на основе рассмотрения на различных уровнях.

1.2. Выбор геометрии концентраторов напряжений и вида напряженного состояния.

1.3. Формирование матрицы упругих свойств.

1.4. Разработка алгоритма автоматического формирования сетки треугольных конечных элементов с различными концентраторами напряжений.

1.5. Разработка алгоритма автоматического формирования и расчета модели структурно-неоднородного тела с факторами концентрации напряжений. Оценка точности.

1.6. Выводы по первой главе.

ГЛАВА ВТОРАЯ. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ.

2.1. О роли концентрации напряжений в оценке прочности элементов конструкций.

2.2. Апробация разработанного метода расчета структурно-неоднородного тела с концентраторами напряжений.

2.3. Концентрация напряжений в пластинах, ослабленных центрально расположенным эллиптическим отверстием. Поперечные и продольные трещины.

2.4. Концентрация напряжений в зависимости от вида напряженного состояния.

2.5. Выводы по второй главе.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ.

1. О роли анизотропии упругих свойств в оценке напряженно-деформированных состояний в местах концентрации напряжений.

2. Концентрация напряжений в анизотропных пластинах, ослабленных круговым отверстием.

3. Концентрация напряжений в анизотропных пластинах, ослабленных эллиптическим отверстием.

4. Влияние вида напряженного состояния и степени анизотропии упругих свойств.

5. Выводы по третьей главе.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ.

1. Неоднородность напряженно-деформированных состояний в микрообъемах поликристаллов.

2. Неоднородность напряжений в микрообъемах поликристаллов при неравномерном одноосном растяжении.

3. Концентрация напряжений в элементах конструкций из поликристаллических металлов с кубической кристаллической решеткой.

4. Концентрация напряжений в элементах конструкций из поликристаллических металлов с гексагональной кристаллической решеткой.

5. Выводы по четвертой главе.

Актуальность темы

Бурное развитие техники, повышение напряженности деталей машин и элементов конструкций выдвигают новые повышенные требования к механическим свойствам материалов, зависящим от особенностей их структуры, обуславливает необходимость разработки методов расчета с учетом реальных свойств материалов.

Классические представления о сплошном, однородном, изотропном, линейно-упругом теле в большинстве случаев уже не удовлетворяют практику. Поэтому учет реальных свойств материалов имеет большое значение в развитии механики твердого деформируемого тела, так как почти все материалы, применяемые в технике (металлы и сплавы с неоднородной поликристаллической структурой, бетон, кирпич, дерево, различного рода армированные пластики и т.п.) являются композиционными материалами, обладающими неоднородностью строения и анизотропией свойств.

Широкое распространение в технике структурно - неоднородных материалов требует разработки и создания механики их деформирования и разрушения, разработки расчетных моделей структурно-неоднородных тел. Необходимость в этом дополнительно усиливается тем, что свойства самого материала могут в известной степени назначаться в процессе проектирования, т. е. теория нужна не только для расчета конструкций из заданного материала, но и для разработки и проектирования самого материала [9].

При моделировании реальных свойств таких сложных систем, какой является поликристаллический материал, основная проблема заключается в выборе рациональной модели поликристалла, которая учитывала бы основные структурные особенности материала, и, в то же время, позволяла бы избежать непреодолимые математические трудности. Один из возможных способов решения этой проблемы заключается в приеме рассмотрения структурно5 неоднородного тела на различных уровнях, применявшийся в работах В.В. Болотина, A.A. Ильюшина, В.А. Ломакина и др.: на уровне размера зерна; наименьшего объема поликристалла, который можно наделить осредненными свойствами макрообъема; на самом высоком уровне, определяемом характерными размерами рассчитываемого тела. В работах [39, 45] на основе расчета статистической модели поликристалла, разработанной с использованием приема рассмотрения на различных уровнях, исследуются напряженно-деформированные состояния в микрообъемах различных поликристаллов при различных видах напряженного состояния и рассматриваются микроструктурные факторы концентрации напряжений и деформаций. Однако практически отсутствуют работы, посвященные исследованию концентрации напряжений и деформаций с учетом и структурных, и геометрических факторов.

Изучение концентрации напряжений играет большую роль в оценке прочности элементов конструкций, имеющих различные геометрические факторы концентрации. Детальное изучение напряженно-деформированного состояния в местах концентрации является обязательной частью общего прочностного расчета соответствующих конструкций и важнейшей предпосылкой для создания оптимальных и надежных конструкций [56].

В связи с широким распространением в современной технике материалов, обладающих неоднородностью и анизотропией свойств, большое значение приобретает вопрос о влиянии анизотропии материала на концентрацию напряжений и деформаций. Исследованию этого вопроса посвящен ряд работ, что связано с актуальностью проблемы и ее сложностью [52, 53, 76, 77, 84].

Тем не менее, в настоящее время еще недостаточно исследована концентрация напряжений в поликристаллических материалах с учетом анизотропии упругих свойств и геометрических факторов, что обусловлено, в частности, сложностью модели материала и сложностью контура элемента конструкции в зоне концентрации, т. е., сложностью геометрической модели. 6

Таким образом, представляются актуальными исследования концентрации напряжений в элементах конструкций на основе разработки моделей структурно-неоднородных тел, учитывающих влияние анизотропии упругих свойств, структурных и геометрических факторов концентрации напряжений, что необходимо для определения уточненных значений коэффициентов концентрации напряжений при выполнении расчетов деталей машин и элементов конструкций, а так же для анализа причин разрушения.

Цель работы

Целью настоящей работы является разработка методов расчета элементов конструкций и деталей машин из структурно-неоднородных материалов с различными геометрическими факторами концентрации напряжений и определение влияния на значения концентрации напряжений анизотропии упругих свойств, структурных и геометрических факторов концентрации напряжений.

В соответствии с целью основными задачами настоящей работы являются:

1) разработка расчетных моделей элементов конструкций из структурно-неоднородных материалов с различными геометрическими факторами концентрации напряжений на основе рассмотрения на различных уровнях и применения метода конечных элементов;

2) разработка алгоритмов автоматического формирования факторов концентрации напряжений, сетки треугольных конечных элементов, сгущающейся в окрестностях геометрических факторов концентрации напряжений, алгоритма вычисления матриц упругих свойств отдельных зерен при заданных и случайных ориентациях их кристаллографических осей и программная реализация этих алгоритмов;

3) разработка алгоритма автоматического формирования и расчета модели структурно-неоднородного тела с различными геометрическими факторами концентрации напряжений и его программная реализация; 7

4) исследование влияния анизотропии упругих свойств на концентрацию напряжений в пластинах имеющих различные по форме концентраторы напряжений и при различных видах напряженного состояния;

5) определение уточненных значений коэффициентов концентрации напряжений с учетом неоднородности напряженно-деформированных состояний в микрообъемах, обусловленной структурной неоднородностью и взаимодействием различно ориентированных зерен поликристаллов при различных видах напряженного состояния.

Работа выполнена на кафедре «Сопротивление материалов» Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии. Тема диссертации связана с проектом: «Проблемы микромеханизма формирования механических свойств конструкционных материалов и расчета напряженно-деформированных состояний в элементах конструкций с учетом технологических, структурных, масштабных и геометрических факторов» выполняемым по программе Министерства образования Российской Федерации «Разработка и реализация федерально-региональной политики в области науки и образования» (раздел «Научно-методические проблемы строительства и привлечения инвестиций в целях укрепления материально-технической базы системы образования»).

Научная работа «Разработка расчетных моделей структурно-неоднородных тел на основе метода конечных элементов», написанная в соавторстве с Л.В. Куксой, получила II премию на смотре - конкурсе на лучшую научную работу в дорожной области, который проводился Благотворительным дорожным фондом поддержки дорожного образования и науки имени Р.Я. Цыганова в г. Волгограде в 1998 г.

Основное содержание диссертации

В первой главе на основании обзора литературных источников обоснован прием построения модели структурно-неоднородного тела на основе рас8 смотрения на различных уровнях, выбор геометрии концентраторов напряжений и вида напряженного состояния. Разработаны алгоритмы автоматического формирования факторов концентрации напряжений (круглое отверстие, эллиптическое отверстие с различным соотношением полуосей, поперечная и продольная трещина), построения сетки треугольных конечных элементов, сгущающейся в окрестностях этих факторов, автоматического формирования и расчета модели структурно-неоднородного тела на основе применения метода конечных элементов.

Во второй главе выполнена апробация разработанного метода расчета структурно-неоднородного тела и оценка сходимости результатов по мере увеличения количества конечных элементов. Установлено количество конечных элементов, необходимое для обеспечения хорошей сходимости результатов расчетов. Построены эпюры нормальных напряжений для изотропных пластин с различными факторами концентрации напряжений: круглое отверстие, эллиптическое отверстие, поперечная и продольная трещины. Определены коэффициенты концентрации напряжений для различных видов напряженного состояния. Показано, что расхождение между известными и полученными по результатам расчета значениями не превышает достаточной точности.

В третьей главе на основе анализа построенных векториальных моделей модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона для кубических и гексагональных кристаллов установлены положения кристаллов различных металлов по направлениям экстремальных значений модуля упругости. Исследовано влияние анизотропии упругих свойств на концентрацию напряжений для пластин ограниченных размеров с различными геометрическими факторами концентрации напряжений при различных видах напряженного состояния. Показано, что в зависимости от ориентации кристаллов, коэффициенты концентрации напряжений могут принимать значения существенно меньшие или большие решений, полученных для изотропного тела. 9

В четвертой главе на основании обзора литературных источников показана необходимость учета неоднородности напряженно-деформированных состояний в микрообъемах поликристаллов, обусловленной взаимодействием различно ориентированных зерен, при исследовании концентрации напряжений в окрестностях геометрических факторов концентрации напряжений. Построены эпюры нормальных напряжений и определены коэффициенты концентрации напряжений в пластинах, выполненных из поликристаллических металлов, при различных видах напряженного состояния. Приведено сопоставление полученных значений коэффициентов концентрации со значениями, рассчитанными для пластин из изотропного материала и монокристалла. Показано изменение коэффициентов концентрации напряжений, обусловленное учетом различных факторов: геометрии отверстия, анизотропии упругих свойств, структуры материала, вида напряженного состояния.

Основные положения диссертации

На защиту выносятся следующие основные положения диссертации:

1) разработка расчетных моделей элементов конструкций и деталей машин из структурно-неоднородных материалов с различными геометрическими факторами концентрации напряжений на основе применения метода конечных элементов;

2) разработка алгоритмов автоматического формирования факторов концентрации напряжений и сетки треугольных конечных элементов, вычисления матрицы упругих свойств отдельного случайно ориентированного зерна, автоматического формирования и расчета модели структурно-неоднородного тела, а также программная реализация этих алгоритмов;

3) результаты расчета пластин ограниченных размеров, ослабленных различными геометрическими факторами концентрации напряжений, при различных видах напряженного состояния, и выполненных из изотропно

10 го материала, анизотропных материалов (монокристаллов) и поликристаллических металлов;

4) установленные зависимости коэффициентов концентрации напряжений от геометрических факторов концентрации напряжений, анизотропии упругих свойств и микроструктурных факторов при различных видах напряженного состояния.

Научная новизна и достоверность

В диссертации приведены алгоритмы автоматического формирования сетки треугольных конечных элементов с различными концентраторами напряжений и деформаций и алгоритм автоматического формирования и расчета модели структурно-неоднородного тела. Представлены результаты расчетов модели структурно-неоднородного тела с различными геометрическими факторами концентрации напряжений при различных видах напряженного состояния. Построены эпюры нормальных напряжений и определены коэффициенты концентрации напряжений с учетом анизотропии упругих свойств, микроструктурных и геометрических факторов. Выполнено сравнение полученных результатов с известными решениями, полученными для изотропного материала. Показано, что с учетом анизотропии упругих свойств коэффициенты концентрации могут принимать значения как большие, так и меньшие, в зависимости от ориентации кристаллов, по сравнению с изотропным решением. Установлено, что коэффициенты концентрации, определенные с учетом микроструктурных факторов, могут существенно превышать значения, полученные для изотропного материала и для монокристаллов при ориентации кристаллов в направлении наибольшего модуля упругости.

Достоверность основных полученных результатов подтверждается сравнением с известными результатами, выполненными другими исследователями, и анализом результатов расчетов, полученных для изотропного тела. И

Научное и практическое значение результатов исследований

Показана роль неоднородности напряжений и деформаций в упругой области в достижении предельных напряженно-деформированных состояний. В упругой области неоднородность напряжений и деформаций должна быть связана с достижением предела текучести в отдельных микрообъемах и, следовательно, с появлением первых пластических деформаций, а в хрупких металлах - с достижением в отдельных микрообъемах разрушающих напряжений. Установлены зависимости коэффициентов концентрации напряжений от различных геометрических факторов, анизотропии упругих свойств, структуры.

Разработанный метод расчета структурно-неоднородного тела с учетом анизотропии упругих свойств, микроструктурных и геометрических факторов может быть рекомендован для определения уточненных значений коэффициентов концентрации напряжений при выполнении расчетов деталей машин и элементов конструкций, выполненных из различных поликристаллических материалов и других композиционных материалов, а так же для анализа причин разрушения элементов конструкций.

Апробация работы

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

1) 7-ой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1997 г.);

2) IV международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 1999 г.);

3) ежегодных научных конференциях Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии с 1994-2000 год;

4) научных конференциях Волгоградского государственного технического университета в 1998, 2000 годах.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

12

1. Кукса JI.В., Евдокимов Е.Е. Конечноэлементная модель поликристаллического агрегата // 7-ая межвуз. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 28-30 мая 1997 г.): Тр. 7-ой межвуз. конф. -Самара: 1997. - 4.1. - С. 78-80.

2. Кукса Л.В., Евдокимов Е.Е. Концентрация напряжений в элементах конструкций в зависимости от геометрических и структурных факторов // IV Междун. конф. «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 29-30 июня 1999 г.): Тез. докл. - Санкт-Петербург, 1999.-С. 77-78.

3. Кукса Л.В., Евдокимов Е.Е. Разработка расчетных моделей структурнонеоднородных тел с геометрическими факторами концентрации напряжений на основе метода конечных элементов // Вестник ВолгГАСА. -1999.-Вып. 1.-С. 40-47.

4. Кукса Л.В., Арзамаскова Л.М, Евдокимов Е.Е. Механические свойства и методы расчета элементов конструкций из структурно-неоднородных материалов // Юбил. науч. техн. конф. проф.-препод. состава, посвященная 70-летию высш. строит, образования в Волгоградской обл. Тез. докл. - Волгоград, 2000. - С. 48.

5. Кукса Л.В., Евдокимов Е.Е. Концентрация напряжений в элементах конструкций в зависимости от анизотропии упругих свойств //Надежность и долговечность строительных материалов и конструкций: Материалы II международ, науч. техн. конф: в 3 ч./ ВолгГАСА. - Волгоград, 2000. - Ч. 1.-С. 140-142.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Содержание работ изложено на 136 страницах машинописного текста, включает 51 рисунок, 21 таблицу, список литературных источников из 119 наименований.

4.4. Выводы по четвертой главе

1. На основании обзора литературных источников установлено наличие межзеренной и внутризеренной неоднородности напряжений в поликристаллических материалах, уровень которой можно характеризовать микроструктурными коэффициентами концентрации напряжений и деформаций. Показано наличие существенной концентрации напряжений в микрообъемах поликристалла, возникающей вследствие его неоднородной структуры, что свидетельствуют о необходимости учета микроструктурных факторов концентрации напряжений и деформаций при оценке прочности конструкций, в особенности при наличии геометрических факторов концентрации напряжений.

2. На основе разработанной модели структурно-неоднородного тела рассмотрено влияние микроструктурных факторов концентрации напряжений на распределение нормальных напряжений в пластинах, выполненных из поликристаллических металлов с кубической и гексагональной кристаллическими решетками и ослабленных круглым и эллиптическим отверстием. Построены эпюры нормальных напряжений, определены коэффициенты концентрации напряжений. Установлено, что коэффициенты концентрации напряжений, рассчитанные с учетом микроструктуры, при одноосном растяжении существенно превышают значения, полученные для изотропного материала. Показана зависимость коэффициентов концентрации от степени анизотропии упругих свойств.

3. Выполнено сравнение коэффициентов концентрации напряжений, полученных с учетом полкристалличности, со значениями, рассчитанными для изотропных пластин и пластин из монокристалла при ориентации кристаллов по направлению наибольшего модуля упругости. Показано, что при одноосном растяжении коэффициенты концентрации, определенные с учетом неоднородности напряжений, обусловленной взаимодействием различно ориентированных зерен, значительно превышают коэффициенты концентрации напряжений

121

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе приведены результаты исследований концентрации напряжений в элементах конструкций в зависимости от геометрических факторов, анизотропии упругих свойств и структуры, полученные на основе расчета разработанной расчетной модели структурно-неоднородного тела.

1. Разработаны расчетные модели элементов конструкций на основе МКЭ с геометрическими факторами концентрации напряжений из поликристаллических материалов, при построении которых использован прием рассмотрения на различных уровнях: 1) на уровне размера зерна; 2) наименьшего объема поликристалла, который можно наделить осредненными свойствами макрообъема; 3) на самом высоком уровне, определяемом характерными размерами рассчитываемого элемента конструкции.

2. Обоснован выбор геометрии концентраторов напряжений и вида напряженного состояния. Разработан алгоритм автоматического формирования матрицы упругих свойств отдельного, ориентированного случайным образом, зерна поликристаллического тела, с использованием закона преобразования тензора 4-го ранга для кубических и гексагональных кристаллов. Разработаны алгоритмы автоматического формирования геометрических факторов концентрации напряжений, сетки треугольных конечных элементов и расчета модели структурно-неоднородного тела с различными факторами концентрации напряжений на основе применения метода конечных элементов.

3. Выполнена апробация разработанного метода расчета структурно-неоднородного тела и оценка сходимости результатов по мере увеличения количества конечных элементов. Рассмотрены результаты сопоставления расчетных значений, полученных для изотропных пластин с различными концентраторами напряжений: круглое отверстие, эллиптическое отверстие с различным соотношением полуосей, поперечная и продольная трещина, при различных

122 видах напряженного состояния с известными решениями. Приведенные результаты показывают достаточную точность разработанного метода расчета.

4. Обоснованы положения кристаллов в направлениях экстремальных значений модуля упругости на основе анализа построенных векториальных моделей модуля Юнга, модуля сдвига, коэффициента Пуассона для кубических и гексагональных кристаллов.

5. Исследовано влияние анизотропии упругих свойств на концентрацию напряжений для пластины, ослабленной круглым и эллиптическим отверстиями при одноосном растяжении. Построены эпюры нормальных напряжений и определены коэффициенты концентрации напряжений для пластины, выполненной из различных металлов: алюминия, железа, меди, магния, титана и цинка. Показано, что значения коэффициентов концентрации напряжений, определенные с учетом анизотропии упругих свойств, существенно отличаются от изотропного решения.

6. Рассмотрено влияние анизотропии упругих свойств на концентрацию напряжений при двухосном равномерном растяжении и чистом сдвиге. Показано влияние вида напряженного состояния и степени анизотропии упругих свойств для пластин ограниченных размеров, ослабленных круглым и эллиптическим отверстиями. Установлено, что при чистом сдвиге коэффициенты концентрации напряжений изменяются более значительно (по сравнению с изотропным решением) в зависимости от ориентации кристаллов.

7. На основании обзора литературных источников показано наличие меж-зеренной и внутризеренной неоднородности напряжений в поликристаллических материалах, уровень которой можно характеризовать микроструктурными коэффициентами концентрации напряжений. Приведенные результаты исследований показывают наличие существенной концентрации напряжений в микрообъемах поликристалла, возникающей вследствие его неоднородной структуры, и свидетельствуют о необходимости учета микроструктурных коэффициентов концентрации напряжений и деформаций при оценке прочности конст

123 рукций, в особенности при наличии геометрических факторов концентрации напряжений.

8. С помощью разработанной модели структурно-неоднородного тела рассмотрено влияние микроструктурных факторов концентрации напряжений на распределение нормальных напряжений в пластинах, выполненных из поликристаллических металлов с кубической и гексагональной кристаллическими решетками и ослабленных круглым и эллиптическим отверстиями. Построены эпюры нормальных напряжений, определены коэффициенты концентрации напряжений. Установлено, что коэффициенты концентрации напряжений, рассчитанные с учетом микроструктуры, при одноосном растяжении существенно превышают значения, полученные для изотропного материала. Показана зависимость коэффициентов концентрации напряжений от степени анизотропии упругих свойств.

9. Выполнено сравнение коэффициентов концентрации напряжений, полученных с учетом микроструктурных факторов, со значениями, рассчитанными для изотропных пластин и пластин при ориентации кристаллов по направлению экстремальных значений модуля упругости. Показано, что при одноосном растяжении коэффициенты концентрации, определенные с учетом неоднородности напряженно-деформированных состояний в микрообъемах, обусловленной взаимодействием различно ориентированных зерен, превышают коэффициенты концентрации напряжений для изотропного материала и полученные с учетом анизотропии упругих свойств при ориентации кристаллов по направлению Етах.

Полученные результаты показывают, что предлагаемая модель структурно-неоднородного тела и разработанный метод расчета позволяют определять уточненные значения коэффициентов концентрации напряжений в элементах конструкций, имеющие различные геометрические факторы концентрации напряжений и при различных видах напряженного состояний. Предлагаемые под

125

1. Автоматизированный метод исследования деформированного состояния с помощью делительных сеток / Л.В. Кукса, Е.П. Богданов, С.П. Овчарук, В.И. Эльманович // Заводская лаборатория. - 1979. №7. - С. 653-655.

2. Ашихмин В.Н., Трусов П.В. Статистические параметры распределения упругих мезонапряжений в поликристаллах с кубической решеткой // Физ. мезомех. 1999. - 2, №1-2. - С. 69-75.

3. Ашкенази Е. К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов. -Ленинград: Машиностроение, 1980. 247 с.

4. Бабич Ю.Н., Цыбенко A.C. Методы и алгоритмы автоматического формирования сетки треугольных элементов. Киев: Издание Института проблем прочности АН УССР, 1978. - 96 с.

5. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

6. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. - 631 с.

7. Безухов Н.И., Лужин О.В. Применение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. М.: Высшая школа, 1974.-200 с.

8. Болотин В.В., Гольденблатт И.И., Смирнов А.Ф. Строительная механика, современное состояние и перспективы развития. М.: Стройиздат, 1972. -191с.

9. Болотин В.В., Москаленко В.Н. Задача об определении упругих постоянных микронеоднородной среды // ЖПМТФ. 1968. - №1. - С. 66-72.

10. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980. 375с.

11. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1980. - 973 с.

12. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Зархин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах. М.: Машиностроение, 1988. - 256 с.

13. Влияние вида напряженного состояния на характер распределения микродеформаций в металлах / JI.B. Кукса, В.И. Ковальчук, A.A. Лебедев и др. // Проблемы прочности. 1976. - №6. - С. 55-59.

14. Гилева JI. В., Шайдуров В. В. Каскадный многосеточный алгоритм в методе конечных элементов для плоской задачи теории упругости / ВЦСО РАН. Красноярск, 1996. - 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 25.12.96, № 3776-В96.

15. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1974. - 479 с.

16. Гудков С.И. Механические свойства промышленных цветных металлов при низких температурах. М.: Металлургия, 1971. - 304 с.

17. Гурьев A.B., Маловечко Г.В. К вопросу об оценке анизотропии упругих свойств металлических кристаллов // В кн. : Металловедение и прочность материалов. Волгоград: ВолгПи, 1971. - Т.З. - С. 24-33.

18. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976. - 96 с.

19. Епанешников A.M., Епанешников В.А. Программирование в среде Turbo Pascal 7.0. M.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996. - 288 с.127

20. Епанешников A.M., Епанешников В.A. Delphi 4. Среда разработки. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. - 304 с.

21. Захарова Т. JI. Упругопластическое состояние пластины из анизотропного материала, ослабленной эллиптическим отверстием / Чуваш, гос. пед. инт. Чебоксары, 1996. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.06.96, № 1976-В96.

22. Зайцев Ю.В. Механика разрушения для строителей. М.: Высшая школа, 1991.-288 с.

23. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 541 с.

24. Зорин С.А., Максименко В.Н. Оценка прочности композитных пластин с повреждениями типа трещин около подкрепленных отверстий // Вопр. авиац. науки и техн. Сер. Аэродинам, и прочн. летат. аппаратов. 1995. -№1. - С. 115-127.

25. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд. Моск. ун-та, 1978. -288 с.

26. Ильюшин A.A. Некоторые проблемы неоднородной теории упругости // В. кн.: Проблемы теории пластичности. Механика, Новое в зарубежной науке. М.: Мир, 1976. - № 7. С. 219.

27. Ильюшин A.A. Основные направления развития проблемы прочности и пластичности // В кн.: Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971. - С. 5-18.

28. Калоеров С.А., Авдюшина Е.В. Концентрация напряжений в анизотропной полуплоскости с отверстиями и трещинами // Теор. и прикл. мех. (Киев). 1997,- №27. - С. 63 - 72.128

29. Касумов А.К. Об учете в методе конечных элементов нежесткого соединения элементов // Спектр, теория операторов и ее прил. 1997. - №6. - С. 223-226.

30. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. - 312 с.

31. Келли А., Гровс Г. Кристаллография и дефекты в кристаллах. М.: Мир, 1974.-496 с.

32. Коллинз Дж. Повреждение материалов в конструкциях. Анализ, предсказание, предотвращение. М.: Мир, 1984. - 624с.

33. Колчин Г.Б. Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов. Кишенев: Картя Молдовеняска, 1971. - 172 с.

34. Котречко С.А., Мешков Ю.Я. Статистическое моделирование квазихрупкого разрушения поликристаллических металлов //14 Междунар. конф. «Физ. проч. и пластич. матер.» (Самара, 27-30 июня 1995 г.): Тез. докл. -Самара, 1995.-С. 30-31.

35. Кудрявцев И.П. Текстуры в металлах и сплавах. М.: Металлургия, 1965. - 292 с.

36. Кукса Л.В. Масштабный эффект пластических свойств поликристаллических материалов // Проблемы прочности.- 1986.-№5.-С.90-92.

37. Кукса Л.В. Микродеформации и микронапряжения в структурно- неоднородных материалах: Учеб. пособие. Волгоград: Изд. ВолгИСИ, 1993. -102 с.

38. Кукса Л.В. Общие закономерности и особенности микронеоднородной деформации в поликристаллах при различных видах напряженного со129стояния и температурах испытания // Проблемы прочности.-1990.-№8.-С.58-64.

39. Кукса Л.В. О минимальных размерах элементарной ячейки поликристалла, имеющей осредненные механические свойства макрообъема // Проблемы прочности.- 1987.-№9.-С. 58-61.

40. Кукса Л. В. Сравнительные исследования неоднородности упругой и пластической деформации металлов // Проблемы прочности.-1986.-№3.-С.59-63.

41. Кукса Л.В. Упругий расчет статистической модели поликристалла с применением метода конечных элементов // В кн: Всесоюзн. конференция по теории упругости (Ереван, нояб. 1979 г.): Тез. докл.-Ереван: АН СССР, АН Арм. ССР, 1979.-С.261-262.

42. Кукса Л.В., Евдокимов Е.Е. Конечноэлементная модель поликристаллического агрегата // 7-ая межвуз. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 28-30 мая 1997 г.): Тр. 7-ой межвуз. конф. Самара: 1997.-4.1.-С. 78-80.

43. Кукса Л.В., Евдокимов Е.Е. Разработка расчетных моделей структурно-неоднородных тел с геометрическими факторами концентрации напряжений на основе метода конечных элементов // Вестник ВолгГАСА. 1999. -Вып. 1.-С. 40-47.

44. Кукса Л.В., Эльманович В.И. Исследование напряженно-деформированного состояния отдельных зерен поликристаллического кремностного железа // Проблемы прочности.-1977.-№6.-С.48-51.130

45. Кукса JI.B., Эльманович В.И. Применение метода конечных элементов к исследованию микронеоднородности упругих напряжений и деформаций в поликристаллах // Проблемы прочности.-1979.-№7.-С.70-75.

46. Кхана (J. Khanna), Гули (R.F. Hooley) Сравнение и оценка матриц жесткости // Ракетная техника и космонавтика. 1966. -№2. - С. 31-39.

47. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. M.-JL: Гостехиздат, 1947. -355 с.

48. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. -415 с.

49. Ломакин В.А. Проблемы механики структурно-неоднородных твердых тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. - №6. - С. 45-52.

50. Ломакин В.А., Кукса Л.В., Бахтин Ю.Н. Масштабный эффект упругих свойств поликристаллических материалов // Прикл. механика.-1982.-Т.18.-№9. -С. 10-15.

51. Мавлютов P.P. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций. М.: Наука, 1981.-141 с.

52. Максименко В.Н., Павшок В.Н. Напряженно-деформированное состояние поврежденных слоистых композитных пластин // Конф. "Расчет, методы мех. деформир. тверд, тела" (Новосибирск, 11-14 сент., 1995 г.): Тез. докл. Новосибирск, 1995. - С. 42.

53. Максименко В.Н., Сакунов В.А Задача об анизотропной конечной или бесконечной пластине с отверстиями и трещинами // Сб. науч. тр. НГТУ.— 1997,—№1. с. 145-150, 157-15.131

54. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел / Вайнберг Д.В., Городецкий A.C., Киричевский В.В., Сахаров A.C. // Прикл. механика. 1972. - Т.8. -№8. - С. 3-28.

55. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Сахаров A.C., Ки-слоокий В.Н., Киричевский В.В. и др. // Киев: Вища школа; Лейпциг: ФЕБ Фахбухферпаг, 1982. - 479 с.

56. Метод суперэлементов в расчетах прочности судовых конструкций / По-стнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов A.A. // Судостроение. -1975. -№11. -С. 6-9.

57. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980. - 254с.

58. Най Дж. Физические свойства кристаллов. М.: Мир, 1967. - 385 с.

59. Николаев А.П., Бандурин Н.Г., Торунов И.К. Применение произвольного четырехугольного конечного элемента с матрицей 48x48 для расчета оболочек вращения // Строит, и архитектура 1980. - №5. С.44-48.

60. Николаев А.П., Клочков Ю.В., Кисилев А.П. Особенности формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента размером 54x54 // Строительство. 1998. №2. - С. 32-37.

61. Новожилов В.В. О связи между напряжениями и упругими деформациями в поликристаллах // В кн.: Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды. К шестидесятилетию акад. Л.И. Седова. М.: Наука, 1969. - С. 365-376.

62. Остросаблин Н. И. Наитеснейшие границы изменения практических констант упругости анизотропных материалов // Прикл. мех. и техн. физ.-1992. -№1.- С. 107-114.132

63. Пашина С.И. Особенности реализации МКЭ для решения трехмерных задач теории упругости большой размерности применительно к персональному компьютеру // Откр. -подзем, разраб. мощ. руд. месторожд. Кол. науч. центр. Горн. ин-т. Апатиты. 1995. - С. 92-96.

64. Поляков Д.Б., Круглов И.Ю. Программирование в среде Турбо Паскаль (версия 5.5). М.: МАИ, 1992. - 576 с.

65. Постнов В.А., Дмитриев С.А. Метод суперэлементов в расчетах инженерных конструкций. Д.: Судостроение, 1979. - 288 с.

66. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JL: Судпромгиз, 1974. - 342 с.

67. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977. - 280 с.

68. Прочность, устойчивость, колебания / Под ред. И.А. Биргера. М.: Машиностроение, 1968. - Т.2. - 463 с.

69. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наук, думка, 1968. - 887 с.

70. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.-541 с.

71. Сопротивление материалов / Под ред. А.Ф. Смирнова. М.: Высш. шк., 1975.-480 с.

72. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1997. -350 с.

73. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. - 575 с.133

74. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1975.-Т.1.-832 с.

75. Филин А.П. Современные проблемы использования ЭЦВМ в механике твердого деформируемого тела. Л.: Стройиздат, 1974. - 411 с.

76. Фридман Я.В. Механические свойства металлов. М.: Машиностроение, 1974. - Т. 1. - 472 с. Т.2. - 368 с.

77. Хантингтон Г. Упругие постоянные кристаллов // Успехи физических наук. -1964. т. 74, вып. 2. -С. 302, вып. 3. -С. 464.

78. Хилл Р. Упругие свойства составных сред; некоторые теоретические принципы // Механика. Периодический сборник переводов иностранных статей. М.: Мир, 1964. №5. - С. 127-143.

79. Шмид Е., Боас В. Пластичность кристаллов, в особенности металлических.-М.: ГОНТИ., 1938.-318 с.

80. Шоркин B.C. Напряженно-деформированное состояние в окрестности концентратора напряжений // Прикл. пробл. прочн. и пластич.-1996.-№54. С.222-228.

81. Эдельман (Adelman В.М.), Казеринес (Catherines D.S.), Уолтон (Walton W.C.) Точность вычисления напряжений методом конечных элементов // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - №3. - С. 102-103.

82. Anderheggen Е. A conforming triangular finite element plate bending solution // Int. J. Num. Meth. Eng. 1970. - 2. P. 259-264.

83. Bakalus M., Chrzanowski M. Accuracy of the finite element solution involving material anisotropy // Selec. Probl. Struct. Mech. Mach. Des. Prod. Eng. Motor and Railway Vehicles Org. Chem. Cracow, 1995.-P.7-24.

84. Boas W., Ogilvie G.I. The plastic deformation of a crystal in a polycrystalline aggregate // Acta Metallurgic. 1954. - 2, N5. - P. 655-659.

85. Cowin S.C., Mehrabadi M.M. The mirror symmetries of anisotropic elasticity // IUTAM Symp. Anisotropy, Inhomogen. and Nonlinear. Solid Mech. (Notting134ham, 30 Aug. 3 Sept., 1994.): Proc. IUTAM - ISIMM Symp., - Dordrecht, 1995.-P. 31-36.

86. Daunys M., Narvydas E. Investigation of the stress strain state at low cycleLloading in stress concentration zones // 6 Int. Symp. Creep and Coupled Proces., Bialowieza, 23-25 Sept., 1998: Proc. Bialystok, 1998. - P. 163-172.

87. Dluzewzki Pawel H. Crystal orientation spaces and remarks on the modeling of polycrystal anisotropy// S.Mech. andPhys. Solid.-1991.-39, №5. P. 651-661.

88. Fabrice Barbe, Samuel Forest, G. Cailletaud. Continuum modelling of grain size in polycrystals / Book of Abstacs II, 4th EUROMECH Solid Mechanics Conference, Metz, France, June 26-30, 2000. P. 77.

89. Finite elements in linear statics and dynamiks the natural approach / Argyris J.H., Mliegnek H.P, Buhlmeier J., Mai M.M. // Isd - Ber. - 1974. - N174. -P.l-52.

90. Gambin Wiktor. Finite element analysis of textured materials // Mech. teor. is-tosow. 1996. - 34, N 4. - P. 713-732.

91. Kombination von Finiten Elementen und Textur / Raabe D., Beckers B., Gade D., Gottstein G., Kopp R. // Freiberg. Forschungsh. B. 1996. - N 279. - P. 111-116.

92. Krause G. Erfassung mikrostruktureller Deformationsvorgange bei FE-analysen // Freiberg. Forschungsh. B. 1996. - N 279. - P. 79 - 84.

93. Lam K. Y„ Zhang J. M. On damage effect tensors of anisotropic solids // Z. angew. Math, und Mech. 1995. - 11, N 1. P. 163-170.

94. Lannoy F.G. Triangular finite elements and numerical integration // Comput. Struct. 1977. -7. - P. 613-625.

95. Li Xikul. Finite element analysis for coupled creep elastoplastic damage response // Comput. Struct. Mech. and Appl. 1995. - 12, N 1. - P. 26-38.

96. Mar A., Hicks M. A. A'Benchmark computational study of finite element error estimation // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1996. - 39, N 23. - P. 3969-3983.135

97. Nho I.S., Shin J.G., Yim S.J. Finite element analysis for plastic large deformation and anisotropic damage // Proc. 3-rd Int. Offshore and Polar Eng. Conf., Singapure, June 6-11. 1993. - Vol. 4. - P. 526-532.

98. Ondris L. Fast algorithm for assembling blocks of global equations in FE programs // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1989. - 28, №12. - P. 2907-2922.

99. On the modelling of anisotropic damage and related issues / C. Martin, D. Halm, H. Trumel, A. Dragon. Book of Abstacs II, 4th EUROMECH Solid Mechanics Conference, Metz, France, June 26-30, 2000. P. 160.

100. Rees D.W.A. Stress concentrations arising from a slot in a plate under biaxial stress // Strain.-1997.-33, №3. P. 87-92.

101. Sadegh A. M., Cowin S. C., Luo G. M. Inversions related to the stress-strain-fabric relationship // Mech. Mater.-1991.-11, №4. P. 323-336.

102. Takeji Abe. Elastic deformation of polycristtaline metal. Bulletin of ISME, 1972.- 15, N86.-P. 917-927.

103. Wu Mao S. Material anisotropy effect on stress intensity factors and the effective elastic compliance // Eng. Fract. Mech. 1994. - 48, №2.- P. 177—198.

104. Yang Mingsheng. Wu Jingning. Automatic FE mesh generation and condensation based on quadtree // Comput. Struct. Mech. and Appl. 1995. - 12, N 4. -P. 409-416, 428.

105. Zhao Hua. Stress concentration factors within bolt-nut connector under elasto-plastic deformation // Int. J. Fatigue.-1998.-20, №9.-P.651-659.

106. Zheng H., Abel A. Stress concentration and fatigue of profiled reinforcing stells // Int. J. Fatigue. 1998. - 20, №10. - P. 767-773.

107. Zhongguo youse jinshu xuebao / Xiaochun W., Xinpu S., Minde X., Bingye X. // Chin. J. Nonferrous Metals. 1997. - 7, N3. - P. 85-89.

108. Евдокимова Евгения Евгеньевича «Концентрация напряжений в элементах конструкций в зависимости от геометрических факторов, анизотропии упругих свойств и структуры»