автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния неоднородных упругих тел в условиях плоской деформации

На правах рукописи

Роганова Наталья Анатольевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

Специальность 05.13.18-«Математнческое моделирование, численные методы и комплексы программ» (технические науки)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2010

004605481

Диссертация выполнена в Московском государственном индустриальном университете

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор

Шарафутдинов Г.З.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук

кандидат физико-математических наук

Карцов С.К. Король Е.З.

Ведущая организация - Московский государственный технический университет "МАМИ" (МГТУ МАМИ)

Защита состоится 17 июня 2010 года в 15й часов на заседании диссертационного совета № Д212.129.03 при Московском государственном индустриальном университете по адресу г. Москва, ул. Автозаводская, 16 в зале Ученого совета МГИУ (ауд. 1605)

С диссертационной работой можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного индустриального университета.

Автореферат разослан мая 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета № Д212.129.03 кандидат технических наук

Кузнецов А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования определяется его направленностью на решение одной из важнейших народнохозяйственных проблем — повышение надежности и уровня безопасности эксплуатации различного уровня конструкций и сооружений. В последнее время с целью предотвращения возникновения техногенных катастроф повышаются нормативные требования к эксплуатации многих промышленных объектов. Газопроводы, большое количество которых (разных диаметров и давлений) ежегодно вводится в работу в связи со строительством и развитием городов, поселков, предприятий, нефтепроводы, транспортирующие большие объемы нефти при высоких давлениях, циркуляционные трубопроводы АЭС — вот далеко неполный перечень сооружений, основу которых составляют трубчатые конструкции. Все вышеперечисленные объекты отличаются повышенной сложностью анализа безопасности и рисков, сводящегося, прежде всего, к исследованию их напряженно-деформированного состояния.

Обычно анализ напряженно-деформированного состояния производится в предположении однородности механических, в частности прочностных, свойств материала конструкции или какого-либо изделия или сооружения. Однако некоторые конструкционные, строительные и другие виды материалов являются неоднородными уже вследствие условий их изготовления. Так, неоднородность бетонов, пластмасс и металлов или сплавов возникает в результате неравномерности их созревания, полимеризации или остывания соответственно.

Зависимость механических свойств материалов от координат может возникать и в процессе эксплуатации какого-либо изделия или конструкции в агрессивной среде или при наличии радиации, тепла, влажности и в общем случае при различных сочетаниях многофакторных механических, термических, коррозионных, эрозионных и некоторых других процессов. В частности, непрерывная неоднородность механических свойств материала возникает в сосудах и трубопроводах АЭС под действием тепла, радиации и т.п.

Неоднородность механических свойств материала наблюдается, в частности, в окрестности вертикальных и горизонтальных протяженных горных выработок и гидротехнических сооружений произвольного сечения, сооружаемых с применением буровзрывных работ, искусственным укреплением кольцевой зоны с помощью цементации, созданием ледопородного ограждения и другими способами.

В ряде случаев, например, при развитии упруго-пластических или высокоэластических деформаций механические свойства деформируемого материала при неоднородном напряженно-деформированном состоянии могут существенно зависеть от координат. В многочисленных исследованиях установлено, что в таких состояниях деформируемый материал практически несжимаем; при этом коэффициент Пуассона принимают равным 0,5.

Таким образом, актуальность темы работы определяется в первую очередь широким применением в инженерной практике конструкций и соору-

жений из материалов, обладающими неоднородными механическими характеристиками, и необходимостью разработки современных методов определения их напряженно-деформированного состояния, учитывающих эту неоднородность.

Другой аспект актуальности темы исследования напрямую связан с имеющей важное научное и практическое значение проблемой идентификации механических свойств неоднородных деформируемых материалов. Особую значимость, с практической точки зрения, эта проблема приобретает при изучении воздействия агрессивных сред и радиации на конструкционные материалы, что связано, в первую очередь, с обеспечением безопасности химических производств, атомных энергетических установок, трубопроводов различного назначения. В частности, после завершения срока службы натурных элементов трубопроводов АЭС проводят испытания с целью определения механических свойств до разрушения при повышенных статических давлениях. Анализ результатов испытаний, согласно федеральным нормам и правилам, необходим для обоснования продления назначенного срока эксплуатации объектов атомной энергетики. В этой связи большое значение приобретает разработка оперативных методов контроля напряженно-деформированного состояния и оценки прочностных характеристик материала конструкции.

Разработка методов идентификации механических свойств деформируемых материалов актуальна как в научных исследованиях, так и при получении исходных данных, используемых в прочностных расчетах.

Вместе с тем отметим, что математическое моделирование процессов деформирования неоднородных тел было начато лишь несколько десятилетий назад, в силу чего большое число проблем еще требует своего разрешения.

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей, алгоритмов и программного обеспечения для исследования напряженно-деформированного состояния непрерывно неоднородных упругих тел в условиях плоской деформации, в том числе:

• формулировка модельных задач определения компонент тензоров напряжения и деформации;

• разработка алгоритмов решения плоских задач при статической нагрузке; получение приближенного аналитического решения;

• разработка математического обеспечения для определения основных характеристик неоднородного упругого тела.

Для достижения указанных целей были поставлены и решены следующие основные задачи:

• построение математической модели толстостенной трубы из неоднородного упругого материала, характеризующегося переменным модулем сдвига при постоянном коэффициенте Пуассона;

• разработка алгоритмов и программного комплекса для численного решения задач определения напряженно-деформированного состояния в трубе из неоднородного упругого материала;

• разработка метода идентификации упругих характеристик неоднородных несжимаемых материалов;

• разработка математической модели и приближенного аналитического метода для определения напряженно-деформированного состояния неоднородных упругих тел в условиях плоской деформации;

• разработка алгоритмов и пакета программ, предназначенного для реализации приближенного метода, проведение тестовых расчетов и сравнение полученных результатов с точным аналитическим решением;

• проведение серии вычислительных экспериментов для определения напряженно-деформированного состояния и исследования влияния на него параметров модели неоднородного тела.

Объектом исследования является напряженно-деформированное состояние в элементах конструкций, изделиях, сооружениях и т.п., выполненных из неоднородного упругого материала, в качестве которых выбраны толстостенные трубы, распространенные во многих отраслях промышленности и неоднородные области с цилиндрической полостью (окрестности шахт, горных выработок, ледопородные ограждения шахтных стволов).

Обоснованность и достоверность результатов. Обоснованность полученных результатов базируется на использовании общих уравнений механики деформируемого твердого тела, общепринятых граничных условий и апробированных форм определяющих соотношений связи между напряжениями и деформациями; выполнением интегральных условий равновесия в задачах деформирования трубы. Достоверность полученных результатов обеспечивается сопоставлением их с точным решением задачи Ламе об осе-симметричной плоской деформации полого цилиндра из неоднородного материала; проверкой выполнения граничных условий для каждого приближения при реализации итерационного процесса; сравнением результатов расчетов, полученными другими методами.

Методы и средства исследования. В диссертационной работе применялись методы математического и компьютерного моделирования. При разработке модели и получении решения использованы метод последовательных приближений, метод прогонки, метод комплексных потенциалов Коло-сова-Мусхелишвили, метод интегралов типа Коши и некоторые другие положения теории функций комплексного переменного.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Разработаны математическая модель, методики и алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния в толстостенной трубе при различных соотношениях толщин слоев с неоднородными и однородными механическими характеристиками.

2. Разработана методика определения некоторых механических характеристик неоднородного упругого материала по экспериментальным данным об окружной и продольной деформации на внешней поверхности трубы.

3. Разработаны математическая модель и приближенный аналитический метод решения задач плоской деформации неоднородных тел.

4. Получены новые приближенные аналитические и численные решения задач плоской деформации в телах из неоднородного упругого материала (для случаев сжимаемого и несжимаемого материалов).

На защиту выносятся:

1. Математическая модель деформирования толстостенной трубы из неоднородного упругого материала, подвергнутой действию внутреннего давления и продольному растяжению, методики и алгоритмы определения напряженно-деформированного состояния трубы.

2. Методика определения механических характеристик неоднородного упругого материала по экспериментальным данным об окружной и продольной деформации, измеряемых на внешней поверхности трубы, и осевой силе.

3. Математическая модель и приближенный аналитический метод решения задач плоской деформации тел из неоднородных упругих материалов.

4. Результаты приближенного решения задач плоской деформации неоднородного пространства с круговой цилиндрической полостью бесконечной протяженности, полученные с помощью данного метода.

Практическая значимость. Решение задачи Ламе для неоднородного материала и разработанная методика определения его упругих характеристик позволяют использовать полученную информацию при расчетах и эксплуатации конструкций из неоднородного материала. На этой же основе может быть разработана система оперативного контроля напряженно-деформированного состояния трубопровода и оценки индуцированной внутренней средой неоднородности материала. Разработанный комплекс компьютерных программ позволяет по заданным характеристикам неоднородного упругого тела, находящегося в условиях плоской деформации, определять его напряженно-деформированное состояние.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались

• на научных конференциях «Ломоносовские чтения» в МГУ им. М.В. Ломоносова (в 2009 г. и в 2010 г.);

• на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством акад. РАН И.Г. Горячевой;

• на заседании секции научного совета НИИ механики МГУ;

• на заседании кафедры высшей математики МГИУ.

Ряд положений диссертации был использован в учебном курсе «Уравнения математической физики» и нашел применение в учебном процессе МГИУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ, в том числе 2 — в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 130 наименований и 2 приложений. Работа изложена на 122 страницах машинописного текста и содержит 35 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования.

В первой главе выполнен аналитический обзор отечественных и зарубежных литературных источников, посвященных проблемам определения напряженно-деформированного состояния неоднородных упругих тел. Исследованы существующие физико-математические модели напряженно-деформированного состояния неоднородных упругих тел и применяемые для их расчета аналитические и численные методы. Проанализированы работы Г.Б. Колчина, Э.А. Фавермана, В.А. Ломакина, Ду Цин-хуа, В.И. Андреева, А.И. Александровича, М. Мишику, К. Теодосиу и ряда других авторов. В них обосновано применение модели неоднородного изотропного упругого тела, исследованы различные численные методы, применяемые к данной модели, в том числе разностные схемы и приближенно-аналитические методы. Показано преимущество приближенно-аналитических методов. Рассмотрено влияние различного вида неоднородностей на напряженно-деформированное состояние.

Обоснована необходимость разработки математической и численной модели напряженно-деформированного состояния неоднородных толстостенных труб. Задача о деформировании толстостенной трубы, внутри которой находится активно действующая агрессивная или радиоактивная среда, приводящая к неоднородному изменению механических характеристик материала, имеет большое практическое значение. Детальный анализ решения этой задачи важен, в частности, и в силу того, что трубчатые образцы часто используются при определении механических характеристик материалов.

Экспериментальные исследования свидетельствуют о том, что действие агрессивных сред и радиации приводит к существенным изменениям механических свойств материалов. Воздействию радиационных сред на трубчатые образцы (сосуды и трубопроводы давления АЭС, элементы корпусов реакторов) посвящено достаточно большое число работ, среди которых отметим монографию В.В. Герасимова о коррозии реакторных материалов и классическую работу Дж. Динса и Дж. Винйарда по радиационным эффектам в твердых телах. Модели деформирования конструкций в условиях радиационного облучения рассматривались, в частности, A.A. Ильюшиным и П.М. Огибаловым. Анализ экспериментальных данных показал, что по мере увеличения дозы облучения изменяется модуль упругости материала. Ю.М. Широков и Н.П. Юдин отмечают увеличение модуля упругости. В исследовании В. Вудса, Д. Буппа и Дж. Флетчера приводится факт значительного изменения модуля Юнга в некоторых случаях, например, его трехкратный рост для графита при дозе облучения nvt = 1020нейтр / см1.

Одним из важных вопросов теории упругости неоднородных тел является вопрос о влиянии коэффициента Пуассона на напряженное состояние. В работе М.М. Плотникова показано, что коэффициент Пуассона слабо влияет

на напряжения. Основываясь на этом факте некоторые авторы (например, В.И. Андреев в монографии «Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел») используют в расчетах предельное значение коэффициента у = 0,5. Ряд исследователей также отмечают незначительное влияние радиации на значение коэффициента Пуассона.

Проведен анализ методик определения напряженно-деформированного состояния грунтовых сред в окрестностях шахтных стволов, сооружаемых буровзрывным способом или с использованием ледопородных ограждений шахт. Применение камуфлетных взрывов, так же как и построение ледопородных ограждений при проходке шахтных стволов, приводит к неоднородным механическим характеристикам грунтов в окрестности выработок. В окрестности ледопородного цилиндра формируется зона неоднородности механических характеристик мерзлого фунта. Установлено, что взаимодействие ледопородного ограждения и окружающего массива талого грунта усиливает неоднородность механических характеристик грунта в окрестности шахтного ствола.

Отмечается необходимость учета неоднородности упругих свойств грунтовых сред при проведении расчетов напряженно-деформированного состояния подземных сооружений и развития методик прогноза влияния неоднородности среды на надежность функционирования таких сооружений, в частности, шахтных стволов.

На основе проведенного анализа обоснована актуальность работы, определены и сформулированы задачи исследования.

Во второй главе приводятся результаты разработки математической модели напряженно-деформированного состояния толстостенной трубы из неоднородного материала, методы решения соответствующего класса задач о действии внутреннего давления р и/или продольной силы Г и примеры их применения для исследования напряженно-деформированного состояния в толстостенной трубе. Рассматриваемая математическая модель позволяет учесть неоднородность деформируемого материала, обусловленную различными причинами ее возникновения.

Неоднородность материала толстостенной трубы задается в виде непрерывной зависимости модуля сдвига ц от радиуса г в пределах от внутренней поверхности трубы (г=а) до внешней (г=Ь) при постоянном значении коэффициента Пуассона V. Модель предполагает наличие в теле трубы диффузионного фронта г = с, (а < с < Ь), возникающего под действием агрессивной среды. Он представляет собой границу раздела неоднородного (поврежденного) материала (внутренний слой толстостенной трубы) и неповрежденного материала с исходными характеристиками (внешний слой). Материал внутреннего слоя характеризуется непрерывным модулем сдвига ц{г) и постоянным значением коэффициента Пуассона у(0, внешнего слоя — модулем сдвига цй и коэффициентом Пуассона у(о]. При этом предполагается, что /л{с) = /¿0. Пусть в процессе деформирования трубы неоднородная зона

постепенно распространяется по направлению к внешней поверхности трубы, в силу чего полагаем ц{г) = цйМ(г), 0 < M(r) < 1, а < г < с.

Исследуемые варианты напряженно-деформированного состояния трубы характеризуются осевой симметрией, в силу чего радиальная компонента вектора перемещений представима в виде и = и(г), окружное перемещение равно нулю, а продольная деформация сг — постоянна. Ненулевые компоненты тензора деформаций е определяются соотношениями er=duldr,sa=ulr,sz=e = const. Закон Гука для компонент тензора напряжений а при уф 0,5 используется в следующем виде

2 М(г)

СГ, =-

l-2v

. 2 Ж)

СГ =

l — 2v

Ыг)

l-2v

. du (и ,л ,« (du /, ч f du и

Уравнение равновесия относительно радиального перемещения и = и(г) принимает вид:

, d2u

г dr

du l-2v /л(г) _ v df-i(r)

dr 1-v

1-v dr

Рассмотрен процесс деформирования двухслойной толстостенной трубы, внутренний слой которой состоит из неоднородного материала, внешний— из однородного. Кроме того полагается, что материал внутреннего слоя несжимаем. Такая ситуация, допускающая аналитические исследования, возможна, например, при развитии пластических деформаций во внутреннем слое трубы. Компоненты тензора напряжения во внутреннем слое трубы задаются формулами

(О 1 тг и{ > =--£ ,Г + —1

crlr" = 2т, + 2 т2

}4и-41

г Г

а£ = 2ml + 2 т2

cjf = 2т, + 2тг + Ъц{г)гг,

где щ,п^ — постоянные интегрирования, определяемые путем удовлетворения граничным условиям.

Решение задачи Ламе классической теории упругости для внешнего слоя трубы при наличии продольной деформации имеет вид

„<.>(Г) = ^+.

2 Мо

1

» ■

l-2v

г

т

Г

2уц,

2 2 l-2v

О"(0) = сг> иг

:_!_,.

l-2v ^ гг 2 l-2v 2v „ , 2(1 - v)fiQ

l-2v

\-2v

где п,,п} — постоянные интегрирования, также определяемые путем удовлетворения краевым условиям. Учет условий сопряжения и краевых условий приводит к уравнениям

М(,,(с) = «(0>(с), сг'"(с) = о-'°)(с), = ~Р, = О, 2Я-'\afrdr + 2л \а?Ыг = Г,

а с

где индексом / отмечена принадлежность соответствующей величины внутренней области; индексом о — внешней. Кроме того, осевая деформация ег по всему сечению трубы полагается постоянной. Решение полученной системы из пяти уравнений относительно пяти неизвестных (постоянных интегрирования т1,т2,п1,п2 и продольной деформации ег) дает все необходимые для оценки напряженно-деформированного состояния величины.

В качестве примера определено напряженно-деформированное состояние трубы, внутренний и внешний радиусы которой соответственно равны а-1 и Ь = 5 см. для а) внутреннего давления р = 2-104кГ/см2 при отсутствии продольной растягивающей силы, б) продольного растяжения трубы, производимого при условном напряжении ст'"5 =1000 кГ/см2. Граница внутреннего поврежденного слоя с изменяется в пределах от а до Ь, упругие характеристики однородного слоя трубы: = 106 кГ/см2, V = 1 / 3, неоднородный материал несжимаем и его модуль сдвига задан в виде МО = М>(1 - к(с4 - г4) / (с4 - а4)).

а) внутреннее давление б) продольное растяжение

Рис. 1 - Зависимости &г(г) при различном положении границы неоднородности С, цифрами 1, 2, 3,4 и5 отмечено положение границы неоднородности равное 1,2, 3,4 и 5 см соответственно.

Полученные результаты позволяют установить зависимость напряжений, деформаций и перемещений на внешней поверхности трубы от положения границы неоднородности, связанную с изменением свойств материала трубы. Так, например, в первом случае (рис. 1.а) при выходе границы неоднородности на внешнюю поверхность продольное напряжение на ней увеличивается почти в три раза по сравнению с номинальным напряжением.

На рис. 2 приведены зависимости радиального перемещения иъ и продольной деформации ег на внешней поверхности трубы от положения гра-

ницы неоднородности с: цифрой 1 помечены кривые для случая внутреннего давления, цифрой 2 — для случая продольного растяжения.

Рис. 2. - Зависимости иь (с) и ег (с) на внешней поверхности трубы

С использованием полученного аналитического решения разработаны процедура определения прочностных характеристик неоднородного несжимаемого материала и методика оперативного контроля за напряженно-деформированным состоянием трубопроводов. Используемыми параметрами в этом случае являются внутреннее р и внешнее удавления, продольная сила .Р, окружная еа и продольная е2 деформации, измеряемые на внешней поверхности трубы.

В качестве примера рассмотрен случай, когда на внутренней поверхности трубы (г = а) задано равномерное давление р, на внешней поверхности трубы (г = Ь) давление отсутствует. Кроме того, принимается сг = 0. Для реализации последнего условия к концам трубы, считаемую достаточно длинной, должна быть приложена определяемая экспериментально сила Р. Помимо этого, учитываются условия сопряжения при г = с,

Известные значения давления и окружной деформации на внешней поверхности трубы приводят к системе двух уравнений

1

\-2у

-п. -

л2=0,

Ъ 1 «.

2,ц

откуда находятся щ и п2 ■ Граничное условие на внутренней поверхности

трубы и условие сопряжения перемещений на границе раздела с

1 с 1 ~тг=-1—и1+-«21 с 2 //„

2 т,

•2 \ тг = —р,

а с ¿/и0 с

дают значения коэффициентов /и, и т2, после чего напряжения в трубе определяются по приведенным выше формулам.

Учет условий сопряжения для напряжений при г = с и равновесия в продольном направлении приводит к двум соотношениям

4 т2 = р +

•) у

1

-1

1-2 к

2А)

а

а

позволяющим установить, к примеру, двухпараметрическую форму представления модуля сдвига деформируемого неоднородного материала.

Для случая v ^ 0,5 разработан пакет программ расчета напряженно-деформированного состояния трубы, неоднородной по всей толщине. В частности, реализованы итерационный процесс определения напряженно-деформированного состояния и метод прогонки. Рассчитаны напряжения в толстостенной трубе из неоднородного упругого материала, подверженной а) действию равномерного внутреннего давления и б) продольному растяжению под действием заданной постоянной силы. Модуль сдвига задан соотношением р(г) = ju0exp(k//), вид неоднородности варьируется путем изменения значений параметров к, i.

Полученные распределения напряжений в зависимости от радиуса г в случае действия внутреннего давления р = 104 кГ/см2 для указанного вида неоднородности материала свидетельствуют о том, что наибольшее влияние неоднородность оказывает на компоненты напряжений <т,(г) и сгДг) и практически не оказывает никакого влияния на аг (г). При одноосном растяжении трубы в продольном направлении (с использованием тех же параметров трубы, но для нагрузки р = 0, q = 0, F = 24000л- кГ, of" = 103 кГ/см2) наиболее заметно влияние неоднородности на распределение напряжений аг(г). Влияние неоднородности на значения двух других компонент напряжений незначительно. Результаты, полученные разными способами, различаются не более, чем на 1,5%.

В третьей главе представлена математическая модель, описывающая напряженно-деформированное состояние неоднородного тела в плоском случае. Неоднородность материала задана в виде v = const, (J. = p.0M(x,,x2),

0<Л/(дг,,дг2)<1, где S - область, занятая телом, д, — размерный

множитель. Все рассматриваемые функции непрерывны вместе с производными требуемого порядка. Введены безразмерные компоненты тензора напряжений Ту, связанные с размерными компонентами а у этого тензора соотношениями cs,j=2\iljMxlj. Уравнения равновесия и граничные условия в напряжениях, выраженные относительно величин rtJ, преобразованы к виду

В рамках задачи плоской деформации теории упругости условие совместности при учете закона Гука и уравнений равновесия приводится к виду

dlnM 5 In М din М дЪ.М

дхх дх2 сос, ох2 дх} дх2 (i)

2ц0М(х,,х2)т-./;|г

(1 - у)V2 (т,! + т22) =

Э1п М

дх,

- + Т,-

Э1п М

дх.

дх.

д\пМ дЬхМ -+т.

дх,

дх.,

"" ^ 12

где V2 — двумерный оператор Лапласа. Полученное уравнение отличается от уравнений, используемых в аналогичных случаях С.Г. Михлиным, Ду Цин-хуа, В.А. Ломакиным, В.И. Андреевым.

Для решения системы уравнений (1)-(2) применен метод последовательных приближений. Система преобразуется к виду:

,(2)

дх1

дх,

т - — 1-п

дх,

(1-у)У2(т<{

22 )'

-+- " 22 дх2

д

дх, 41

- _т(*> " — 4-5

д]пМ дх1

-+т

дЫМ

дх| 81п М

дх,

Э1п М

дЫМ дх,

--т:

81пМ

5с,

(3)

дс,

г<*>

Э1пМ дх.

51пЛ/

йс,

Нулевое приближение задается в виде г^0' = 0. Тогда

. 5гй>

ох, дх-,

= 0,

'22 _

дх, дх-.

= 0,

У2(тЦ' + т^) = 0.

Первые два уравнения тождественно удовлетворяются путем введения функции напряжений Ф^х,^):

дх.?

г<»-

а2Ф,

т;«)= аф<, ох1&2

(4)

При учете (4) последнее из уравнений (3) сводится к бигармоническо-му уравнению относительно функции напряжений Ф,(х,,х2). Найденная функция Ф1(х1,х2) дает возможность получить первое приближение рассматриваемой задачи. Для нахождения второго приближения в уравнения (3) подставляются выражения (4). Преобразованная система имеет вид

_д_

8х1

г(2)-1и

г<2>

гд2Ф, дх22

-ым^-

+-

г-®

дх,дх2

дх,

дх.,

1 дг 32ф' -1пЛ/-----

т<2)-22

дх{дх2 . 52Ф,

&2

= 0,

= 0.

Эта система уравнений удовлетворяется при

т(2)_Э2Ф2 1|1 —

дх1

а*?' 22

э2ф2

Эл,2

-1пЛ/

уф,

г<2)=-

а2ф.

сцзх2

дх¡дх2

где Ф2(х,,х2) — функция напряжений, соответствующая второму приближению. Последнее из уравнений системы (3) после подстановки в него

г® преобразуется к виду

(1-У)У4Ф2 =(1-У)72(1ПЛЛ72Ф]) +

+2-

сЦЗх2

1п М

а2Ф, йх,йх2

ах,2

ьм

а2о,

ас2

дх1

ас,2

Совершенно аналогично вычисляются третье и все последующие приближения

" и! йх,2

г(*+1)

И!

1п" М 5 Ф

2,1

1п"М 5 п\ дх\

(5)

И!

оххохг

л=0

(и + 1)!

+ 2-

ХН

, 1п М о Ф(_, (и+1)! йс,^

у/ 1Г1п"'М32Ф,_; .¿о ; (л + 1)! дх1

дхгг

¿Г ' (И + 1)! &2

Доказана сходимость рядов в выражениях (5). Отмечено следующее обстоятельство, влияющее на скорость сходимости: если в некоторой области 1пЛ/ имеет положительный знак, то сходимость соответствующего ряда будет усиливаться в силу переменности знаков членов ряда.

Для решения последнего уравнения системы (5), которое достаточно сложно для аналитического или численного решения, предложен подход, использующий методы теории функций комплексного переменного. Данный подход позволяет получить аналитические формы первого, второго и других приближений. В его основе лежит приведение оператора Лапласа в (5) к другой канонической форме, дающей возможность произвести интегрирование этого уравнения для случая односвязной области, используя рациональные аналитические функции. В обозначениях Р^ =Р1(г,1) = Ф1с{х,,х2), последнее из уравнений (5) примет вид

4(1 где

дг28г2

(6)

/Дг,г) = 2(1-2у)

_ч а2

Ъгог 2 )+^ С2* 2 ) + Сз* (2>2

д21 _ч\л+1

л=0

= 1)'

л=0

(и + 1)! 0202 '

,(1п М{г,

(п + 1)! д22 '

, (1п М(г,

(и + 1)! &2

Требуемые для учета граничных условий безразмерные комбинации компонент тензора напряжений выражаются как

" 22 ПГ ' П\ дгд! '

л=о

При этом соответствующие комбинации для размерных компонент тензора напряжений представимы в виде:

a(W), (Ы). и11 22

' + 2io»+1) = 2ц(г, ?)(тГ -t¡Í+'> + 2^'>), а при использовании конформного отображения z = та(^), q = ре'9 в виде:

аГ'-аГ»-

_<*♦!) _ (*+1) , 2ю{Ы) = Го(4+1) - ст(<+1> + 2/а<*">1 Ч2™'^-

рта'Ч?)

В качестве нулевого приближения комплексной функции напряжений берется .РДг, 1?) - 0 > тогда /0(г, :) = 0и уравнение (6) принимает вид

= 0.

dz2dz2

Его решение, выраженное через комплексные потенциалы ф, и х,, дается формулой Гурса: 2Fl(z,z)=^(z) + z§x{z) + %l(z) + %l(z).

Для получения второго приближения в первую очередь находится функция fx(z, z), которая выражается через Ф,(г) и Ч',(z), найденные в процессе первого приближения. Уравнение (6) для второго приближения уже является неоднородным; его общее решение состоит из общего решения соответствующего бигармонического уравнения и любого частного решения исходного неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения определяется формулой Гурса, а частное решение неоднородного уравнения находится при помощи непосредственного интегрирования. В связи с этим M{z,~z) выбирается так, чтобы функция lnM(z, z) представляла собой некоторую рациональную функцию. Общее решение уравнения (6) относительно функции F2(z,~z) выражается в виде

2F2(z, z) = z$2(z) + гф2(2) + x2(z) + X2(z) + 1 (9)

+ 2(1^) ^2(1" Шп (Z'J) + T2l(Z'J) + T}'(Z' где Tkx{z, T) - IJc^j(z, z)dzdz , k = \, 2,3. Далее определяются безразмерные компоненты тензора напряжений:

+ ^ =4-^-4lnМ(г, z)& = 2[ф2(г) + ЩЩ -

ozoz ozoz L J

-21пМ[ф,(2) + ф,(г)] + ^-[2(1 - 2у)£ц(г, I) + ^(2,2) + г)],

д22

-21пМ[гФ[(г) + ЧВД] + ^-[2(1 - 2у)541(2, г) + 551(2) г) + 561(г,7)],

где Ф2(г) = фиг); = =

дгдг дгог огШ

¡¿ьп-Я&й.

Затем составляется комбинация, необходимая для учета граничных условий: г® - = [Ф2(г) + Ф^)] - рФ'2(2) + ¥,(*)] -

- 1п М {[0,(2) + ад] - е21а рф{(2) + % (2)]} +

+ 2(ГЬ) (2(1 ~ ~ +

При использовании конформного отображения 2 = ,го(<;), д = ре'8 эта комбинация принимает вид

ст(2)-гст(2)

трр рэ -

= [ф^ + Ф&)] (?) + 4%)]

-1пм|[ф? (?) + Ф^)] - « + +

1

2(1-V)

2(1-2У)

к,«,

Используя граничные условия, при помощи рядов Фурье и интегралов типа Коши, находим комплексные потенциалы Ф2 и х¥г (выраженные относительно переменной г). Последующие приближения определяются аналогичным образом. Для представления приближенных решений на каждом шаге необходимо иметь выражения для комплексных функций напряжений, вто-

рые производные от которых позволяют получить необходимые комбинации тензора напряжений.

В четвертой главе разработанный приближенно-аналитический метод решения применяется к задаче определения напряженно-деформированного состояния неоднородного массива горных пород. В качестве первого примера рассмотрена задача о действии равномерного внутреннего давления Р на контур круговой цилиндрической полости в бесконечном пространстве. Неоднородность материала задана двухпараметрическим семейством функций вида

m

R

V

x2+x2 v 1 т л2 у

x2+x2 = r2>R2,

где д, — размерный модуль сдвига, тн q — параметры, определяющие вид неоднородности материала. Коэффициент Пуассона предполагается постоянным, равным 0,5. В рассматриваемом случае имеется возможность получить аналитическое решение, позволяющее сравнить его результаты с результатами предложенного метода.

Принимая в качестве нулевого приближения тривиальное решение, ищется первое приближение. Для этого граничное условие на контуре отверстия преобразуется в виде

Функции Ф,(г) и хР,(г) являются голоморфными в области S и пред-ставимы рядами вида

Ф1(г)=А+4+4+...>

z z z z z z

Поэтому граничное условие на контуре кругового отверстия принимает вид

Ае-* ++...++Ae*to+ +£e-ia +2А е-г,°+...-

R R R R R R

la В7 В{ ,а Р

-

R R2 R 2 fx(R)

P R2 ' 2M(R) z2

Следовательно, Ф,(г) = 0 и ^(z) =---,что дает первое приближение

(1) . , Л Р Я2е2'а („ , , ч Р Я2еш (1) 2ц(К) г 2/1^) г

Таким же образом во втором приближении найденыФ2(г) = 0 и Ч/2(г), после чего определены выражения, необходимые при нахождении компонент тензора напряжений. В той же последовательности действий, как и при нахождении второго приближения, найдено третье приближение. Сравнение его с аналитическим решением данной задачи показывает хорошую сходимость итерационного процесса к аналитическому решению.

В качестве второго примера применения разработанного в главе 3 приближенно-аналитического метода рассмотрена задача об одноосном растяжении неоднородного упругого пространства с цилиндрической полостью, при этом на бесконечности задано напряжение сгп =р, а поверхность кругового выреза радиуса Я свободна от внешних воздействий. Модуль сдвига задан в том же виде, как и в предыдущем примере, коэффициент Пуассона у считается постоянным (0 < V < 0,5).

С помощью приемов, изложенных выше, определены комплексные потенциалы для первого, второго и третьего приближений, после чего найдены выражения для компонент тензора напряжений в каждом случае.

Построены графики, характеризующие изменение компонент тензора напряжений в сечении а = тт / 2 при различных значениях параметра д, влияющего на характер неоднородности, для случая 1' = 0,33. Отмечено увеличение коэффициента концентрации окружного напряжения на контуре отверстия более чем в два раза по сравнению с однородным материалом. Расчеты показали, что для ослабленного в окрестности цилиндрической круговой полости материала наблюдается снижение коэффициента концентрации окружных напряжений по сравнению с однородным материалом.

Проведен анализ зависимости компонент тензора напряжений от вида неоднородности, связанной с изменением параметра При положительных значениях q уже три первых приведенных приближения позволяют достаточно точно оценить напряженное состояние в рассматриваемом сечении. При отрицательных значениях этого параметра сходимость процесса несколько замедляется.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

1. Анализ литературы показал широкое распространение в технике конструкционных материалов, либо изначально неоднородных (в силу природных причин, за счет неоднородных условий синтеза материала или его обработки), либо приобретающие такие свойства в процессе эксплуатации (например, при действии радиации или агрессивных сред) или деформирования (например, в упруго-пластичной или высокоэластичной областях), и вместе с тем недостаточную проработку многих проблем, связанных с неоднородностью материалов, что естественным образом объясняется относительно небольшим сроком развития этой дисциплины.

2. Разработаны математическая модель, алгоритмы и комплекс программ для исследования напряженно-деформированного состояния в толстостенной трубе под действием внутреннего давления и продольного растяжения. Труба предполагается неоднородной с различным соотношением толщины внешнего однородного и внутреннего неоднородного слоев. Получены данные, характеризующие влияние неоднородности на напряженно-деформированное состояние в зависимости от

положения границы слоев, разработан метод идентификации механических свойств несжимаемых неоднородных материалов, предложен способ оперативного контроля за напряженно-деформированным состоянием трубопровода и оценки индуцированной внутренней средой неоднородности материала трубы.

3. Разработана математическая модель для исследования напряженно-деформированного состояния в случае плоской деформации неоднородных тел.

4. Разработан итерационный метод, позволяющий при помощи теории функций комплексного переменного получить приближенные решения в аналитическом виде, и реализующий эти приближения программный комплекс, примененный, в частности, для расчета напряженно-деформированного состояния шахтных стволов, сооружаемых либо с помощью буровзрывного метода, либо с помощью метода ледопород-ных ограждений. Программный комплекс внедрен в учебный процесс Московского Государственного Индустриального Университета в рамках учебного курса «Уравнения математической физики».

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ НАУЧНЫХ ТРУДАХ

1. Роганова H.A., Шарафутдинов Г.З. Применение функций комплексного переменного в задачах плоской деформации неоднородных тел // Известия МГИУ. 2008. №1 (10). С. 75-84.

2. Роганова H.A., Шарафутдинов Г.З. Приближенный метод решения плоских задач теории упругости неоднородных тел // Машиностроение и инженерное образование. 2009. №3 (20). С. 63-71.

3. Роганова H.A., Шарафутдинов Г.З. Моделирование процесса деформирования толстостенной трубы из неоднородного материала// Вестник БГТУ. 2009. №3 (23). С. 104-109.

4. Шарафутдинов Г.З., Роганова H.A. Исследование деформационного масштабного эффекта в толстостенной трубе, подверженной действию агрессивной среды // Тезисы докладов научной конференции «Ломоносовские чтения - 2009». Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. С. 155.

5. Шарафутдинов Г.З., Роганова H.A. Об одном применении функций комплексного переменного в задачах теории упругости неоднородных тел // Тезисы докладов научной конференции «Ломоносовские чтения - 2009». Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. С. 155.

6. Шарафутдинов Г.З., Роганова Н.А, Об Оперативной оценке напряженно-деформированного состояния трубопровода // Тезисы докладов научной конференции «Ломоносовские чтения -2010». Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, (в печати).

ВВЕДЕНИЕ.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ.

1.1 Неоднородные упругие материалы.

1.2 О задачах теории упругости неоднородных тел.'.

1.3 Механические характеристики неоднородных материалов.

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛАМЕ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УПРУГОГО МАТЕРИАЛА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДЕЙСТВИЯ АГРЕССИВНОЙ СРЕДЫ НА МАТЕРИАЛ.

2.1 Исследование влияния неоднородности материала на напряженно-деформированное состояние толстостенной трубы.

2.2 Об определении характеристик неоднородных материалов.

2.3 Идентификация механических свойств неоднородных материаловЗб

2.4 Влияние неоднородности на компоненты тензора напряжений.

2.5 Применение метода прогонки в случае сжимаемого материала.

ГЛАВА 3. ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ.

3.1 Основные соотношения и постановка задачи.

3.1.1 Плоская деформация.

3.1.2 Плоское напряженное состояние.

3.2 Приближенное решение задачи плоской деформации.

3.2.1 Схема организации приближенного решения.

3.2.2 Сходимость последовательных приближений.

3.3 Применение функций комплексного переменного при реализации последовательных приближений.

3.3.1 Представление компонент тензора напряжений при помощи функций комплексного переменного.

3.3.2 Реализация процедуры последовательных приближений при использовании функций комплексного переменного.

ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ.

4.1 Неоднородность механических свойств горных пород и грунтов.

4.2 Действие равномерного внутреннего давления на контур круговой цилиндрической полости.

4.2.1 Однородный массив горных пород.

4.2.2 Неоднородный массив.

4.3 Одноосное растяжение неоднородного упругого пространства с круговой цилиндрической полостью.

4.3.1 Постановка задачи.

4.3.2 Решение задачи для однородного тела. Первое приближение.

4.3.3 Второе приближение.

Актуальность темы исследования определяется его направленностью на решение одной из важнейших народнохозяйственных проблем — повышение надежности и уровня безопасности эксплуатации различного уровня конструкций и сооружений. В последнее время с целью предотвращения возникновения техногенных катастроф повышаются нормативные требования к эксплуатации многих промышленных объектов. Газопроводы, большое количество которых (разных диаметров и давлений) ежегодно вводится в работу в связи со строительством и развитием городов, поселков, предприятий, нефтепроводы, транспортирующие большие объемы нефти при высоких давлениях, циркуляционные трубопроводы АЭС — вот далеко неполный перечень сооружений, основу которых составляют трубчатые конструкции. Все вышеперечисленные объекты отличаются повышенной сложностью анализа безопасности и рисков, сводящегося, прежде всего, к исследованию их напряженно-деформированного состояния.

Обычно анализ напряженно-деформированного состояния производится в предположении однородности механических, в частности прочностных, свойств материала конструкции или какого-либо изделия или сооружения. Однако некоторые конструкционные, строительные и другие виды материалов являются неоднородными уже вследствие условий их изготовления. Так, неоднородность бетонов, пластмасс и металлов или сплавов возникает в результате неравномерности их созревания, полимеризации или остывания соответственно [5, 50, 63, 80].

Зависимость механических свойств материалов от координат может возникать и в процессе эксплуатации какого-либо изделия или конструкции в агрессивной среде или при наличии радиации, тепла, влажности и в общем случае при различных сочетаниях многофакторных механических, термических, коррозионных, эрозионных и некоторых других процессов [18, 26, 34,

42, 45, 50, 51, 61-63, 70, 81, 91]. В частности, непрерывная неоднородность механических свойств материала возникает в сосудах и трубопроводах АЭС (корпуса реакторов, главные циркуляционные трубопроводы, трубы отвода и коллектора парогенераторов и другие), которые эксплуатируются в течении длительного срока службы (30 лет) под воздействием высокого внутреннего давления в высокотемпературных, коррозионных и радиационных условиях, что приводит к неоднородным механическим свойствам материала по толщине этих конструкций [29, 38, 92,105].

Неоднородность механических свойств материала наблюдается также в окрестности вертикальных и горизонтальных протяженных горных выработок и гидротехнических сооружений произвольного сечения, сооружаемых - с применением буровзрывных работ, искусственным укреплением кольцевой зоны с помощью цементации, созданием ледопородного ограждения и другими способами [10, 12, 22—25, 38, 97].

В ряде случаев, например, при развитии упруго-пластических или высокоэластических деформаций механические свойства деформируемого материала при неоднородном напряженно-деформированном состоянии могут существенно зависеть от координат [7, 8, 70, 104, 111]. В многочисленных исследованиях установлено, что в таких состояниях деформируемый материал практически несжимаем; при этом коэффициент Пуассона принимают равным 0,5.

Таким образом, актуальность темы работы определяется в первую очередь широким применением в инженерной практике конструкций и сооружений из материалов, обладающими неоднородными механическими характеристиками, и необходимостью разработки современных методов определения их напряженно-деформированного состояния, учитывающих эту неоднородность.

Другой аспект актуальности темы исследования напрямую связан с имеющей важное научное и практическое значение проблемой идентификации механических свойств неоднородных деформируемых материалов. Особую значимость, с практической точки зрения, эта проблема приобретает при изучении воздействия агрессивных сред и радиации на конструкционные материалы, что связано, в первую очередь, с обеспечением безопасности химических производств, атомных энергетических установок, трубопроводов различного назначения. В частности, после завершения срока службы натурных элементов трубопроводов АЭС проводят испытания с целью определения механических свойств до разрушения при повышенных статических давлениях [28, 29]. Анализ результатов испытаний, согласно федеральным нормам и правилам, необходим для обоснования продления назначенного срока эксплуатации объектов атомной энергетики. В этой связи большое значение приобретает разработка оперативных методов контроля напряженно-деформированного состояния и оценки прочностных характеристик материала конструкции.

Разработка методов идентификации механических свойств деформируемых материалов актуальна как в научных исследованиях, так и при получении исходных данных, используемых в прочностных расчетах.

Вместе с тем отметим, что математическое моделирование процессов деформирования неоднородных тел было начато лишь несколько десятилетий назад, в силу чего большое число проблем еще требует своего разрешения.

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей, алгоритмов и программного обеспечения для исследования напряженно-деформированного состояния непрерывно неоднородных упругих тел в условиях плоской деформации, в том числе:

• формулировка модельных задач определения компонент тензоров напряжения и деформации;

• разработка алгоритмов решения плоских задач при статической нагрузке; получение приближенного аналитического решения;

• разработка математического обеспечения для определения основных характеристик неоднородного упругого тела.

Для достижения указанных целей были поставлены и решены следующие основные задачи:

• построение математической модели толстостенной трубы из неоднородного упругого материала, характеризующегося переменным модулем сдвига при постоянном коэффициенте Пуассона;

• разработка алгоритмов и программного комплекса для численного решения задач определения напряженно-деформированного состояния в трубе из неоднородного упругого материала;

• разработка метода идентификации упругих характеристик неоднородных несжимаемых материалов;

• разработка математической модели и приближенного аналитического метода для определения напряженно-деформированного состояния неоднородных упругих тел в условиях плоской деформации;

• разработка алгоритмов и пакета программ, предназначенного для реализации приближенного метода, проведение тестовых расчетов и сравнение полученных результатов с точным аналитическим решением;

• проведение серии вычислительных экспериментов для определения напряженно-деформированного состояния и исследования влияния на него параметров модели неоднородного тела.

Объектом исследования является напряженно-деформированное состояние в элементах конструкций, изделиях, сооружениях и т.п., выполненных из неоднородного упругого материала, в качестве которых выбраны толстостенные трубы, распространенные во многих отраслях промышленности и неоднородные области с цилиндрической полостью (окрестности шахт, горных выработок, ледопородные ограждения шахтных стволов).

Методы исследования. В диссертационной работе применялись методы математического и компьютерного моделирования. При разработке модели и получении решения использованы метод последовательных приближений, метод прогонки, метод комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили, метод интегралов типа Кошй и некоторые другие положения теории функций комплексного переменного.

Теоретическая значимость работы заключается в развитии приближенных аналитических методов решения плоских задач теории упругости неоднородных тел.

Практическая значимость. Решение задачи Ламе для неоднородного материала и разработанная методика определения его упругих характеристик позволяют использовать полученную информацию при расчетах и эксплуатации конструкций из неоднородного материала. На этой же основе может быть разработана система оперативного контроля напряженно-деформированного состояния трубопровода и оценки индуцированной внутренней средой неоднородности материала. Разработанный комплекс компьютерных программ позволяет по заданным характеристикам неоднородного упругого тела, находящегося в условиях плоской деформации, определять его напряженно-деформированное состояние.

Обоснованность и достоверность результатов. Обоснованность полученных результатов базируется на использовании общих уравнений механики деформируемого твердого тела, общепринятых граничных условий и апробированных форм определяющих соотношений связи между напряжениями и деформациями; выполнением интегральных условий равновесия в задачах деформирования трубы.

Достоверность полученных результатов обеспечивается сопоставлением их с точным решением задачи Ламе об осесимметричной плоской деформации полого цилиндра из неоднородного материала; проверкой выполнения граничных условий для каждого приближения при реализации итерационного процесса; сравнением результатов расчетов, полученными другими методами. Для рассмотренных в диссертации случаев результаты различаются не более чем на 1,5%.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель напряженно-деформированного состояния толстостенной трубы из неоднородного упругого материала, подвергнутой действию внутреннего давления и продольному растяжению.

2. Методика определения механических характеристик толстостенной трубы из неоднородного упругого материала по экспериментальным данным об окружной и продольной деформации.

3. Приближенный аналитический метод для решения задач в случаях плоской деформации и обобщенного плосконапряженного состояния тел из неоднородных упругих материалов.

4. Результаты приближенного решения задач плоской деформации неоднородного пространства с круговой цилиндрической полостью бесконечной протяженности, полученные с помощью данного метода.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Разработаны математическая модель, методики и алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния в толстостенной трубе при различных соотношениях толщин слоев с неоднородными и однородными механическими характеристиками.

2. Разработана методика определения некоторых механических характеристик неоднородного упругого материала по экспериментальным данным об окружной и продольной деформации на внешней поверхности трубы.

3. Разработаны математическая модель и приближенный аналитический метод решения задач плоской деформации неоднородных тел.

4. Получены новые приближенные аналитические и численные решения задач плоской деформации в телах из неоднородного упругого материала (для случаев сжимаемого и несжимаемого материалов). Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы докладывались

• на научных конференциях «Ломоносовские чтения» в МГУ им. М.В. Ломоносова (в 2009 г. и в 2010 г.);

• на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством акад. РАН И.Г. Горячевой;

• на заседании секции научного совета НИИ механики МГУ;

• на заседании кафедры высшей математики МГИУ.

Ряд положений диссертации был использован в учебных курсах «Математические модели в естествознании» и «Уравнения математической физики» и нашел применение в учебном процессе МГИУ.

Основное содержание работы отражено в 5 печатных трудах, которые включены в список литературных источников [82-84, 113,114].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 130 наименований и 2 приложений. Работа изложена на 122 страницах машинописного текста и содержит 35 рисунков.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Проведен анализ литературы, показавший широкое распространение в технике конструкционных материалов, либо изначально неоднородных (в силу природных причин, за счет неоднородных условий синтеза материала или его обработки), либо приобретающие такие свойства в процессе эксплуатации (например, при действии радиации или агрессивных сред) или деформирования (например, в упруго-пластичной или высокоэластичной областях), и вместе с тем недостаточную проработку многих проблем, связанных с неоднородностью материалов, что естественным образом объясняется относительно небольшим сроком развития этой дисциплины.

2. Разработаны математическая модель, алгоритмы и комплекс программ для исследования напряженно-деформированного состояния в толстостенной трубе под действием внутреннего давления и продольного растяжения. Труба предполагается неоднородной с различным соотношением толщины внешнего однородного и внутреннего неоднородного слоев. Получены данные, характеризующие влияние неоднородности на напряженно-деформированное состояние в зависимости от положения границы слоев, разработан метод идентификации механических свойств несжимаемых неоднородных материалов, предложен способ оперативного контроля за напряженно-деформированным состоянием трубопровода и оценки индуцированной внутренней средой неоднородности материала трубы.

3. Разработана математическая модель для исследования напряженно-деформированного состояния в случае плоской деформации неоднородных тел.

4. Разработан итерационный метод, позволяющий при помощи теории функций комплексного переменного получить приближенные решения в аналитическом виде, и реализующий эти приближения программный комплекс, примененный, в частности, для расчета напряженно-деформированного состояния шахтных стволов, сооружаемых либо с помощью буровзрывного метода, либо с помощью метода ледопородных ограждений.

1. Александрович А.И. Плоская неоднородная задача теории упругости // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1973. №1. С. 52—59.

2. Алексеенко H.H., Амаев А.Д., Николаев В.А., Горынин. И.В. Радиационное повреждение стали корпусов водо-водяных реакторов. М.: Энергоиздат, 1981. 191 с.

3. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука, 1978, 230 с.

4. Амбарцумян С.А., Хачатрян A.A. Основные уравнения теории упругости для материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию // Инж. журнал. МТТ. 1966. №2. С 44-53.

5. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М.: Изд-во АСВ, 2002. 288с.

6. Андреев В.И., Потехин И.А. О способе создания оптимальных конструкций на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел // Вестн. Отд-ния строит, наук. Рос. акад. архит. и строит, наук. 2007. №11. С.48-52.

7. Андреев В.И. Упругое и упруго-пластическое равновесие толстостенных цилиндрических и сферических непрерывно-неоднородных тел: Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук (далее: Дис. . докт. техн. наук). М., 1986. 427 с.

8. Аннин Б.Д., Черепанов Г.П. Упруго-пластическая задача. Новосибирск: Наука, 1983. 238 с.

9. Артемьев А. В. Инженерно-геологическое изучение естественных пластических и разрывных деформаций горных пород. М.: Наука, 1964.

10. Баклашов И.В., Картозия Б.А. Механика горных пород. М.: Недра, 1975. 271 с.

11. Баклашов И.В., Руппенейт K.B. Прочность незакрепленных горных выработок. М.: Недра, 1970. 139 с.

12. Басарыгин Ю.М., Булатов А.И., Проселков Ю.М. Осложнения и аварии при бурении нефтяных и газовых скважин. М.: Недра-Бизнесцентр, 2000. 679 с.

13. Бескоровайный Н.М. Конструкционные материалы ядерных реакторов: Учеб. для студентов вузов ядерных спец. / Н.М. Бескоровайный, Б.А. Калин, П.А. Платонов и др. М.: Энергоатомиздат, 1995. 704 с.

14. Бовт А.Н., Ловецкий Е.Е., Селяков В.И. Механическое действие камуфлетного взрыва. М.: Недра, 1990. 184 с.

15. Бовт А.Н., Михайлов A.A., Николаевский В.Н, Шурыгин EJI. Камуфлетный взрыв в малопористой твердой среде. / Журнал прикладной механики и теоретической физики, 1986, № 1, с. 147—151.

16. Большаков В.И., Андрианов И.В., Данишевский В.В. Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутренней структуры. Днепропетровск: Пороги, 2008. 196 с.

17. Борисовец В.А. Неоднородности волнового характера в породах вблизи выработок, сооружаемых буровзрывным способом // Шахтное строительство. 1972. № 9. С. 7-11.

18. Булатов А. И., Дейкин В. В. Упругопластическое напряженное состояние цементного кольца при изменении внешнего и внутреннего давления на крепь скважины / В кн.: Совершенствование техники и технологии крепления скважин. Тр. ВНИИКРнефть, 1984, С. 3—10.

19. Булатов Г.С., Гедговд К.Н., Любимов Д.Ю. Диффузионные процессы высокотемпературного взаимодействия карбонитрида урана с тугоплавкими металлами // Материаловедение. 2007. № 11. С. 7-12.

20. Буренин A.A. К моделированию деформирования материалов, по разному сопротивляющихся растяжению и сжатию. A.A. Буренин, В.М.

21. Ярушина // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных по/род. Сб. статей к 75-летию Е.И.Шемякина. М.: Физматлит. 2006. С. 100-106.

22. Ватульян А.О. Проблемы идентификации неоднородных свойств твердых тел // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2007. №4(54). С.93-103.

23. Вечная мерзлота и освоение нефтегазоносных районов. Под ред. Мельникова. М.: ГЕОС, 2002. 402 с.

24. Воларович М.П., Баюк Е.И. Влияние всестороннего давлениялдо 4000 кгс/см на упругие свойства образцов горных пород // Докл. АН СССР. 1960, т. 135, № 1. С. 65-68.

25. Вялов С. С. Реологические свойства и несущая способность мерзлых грунтов. М.: Изд. АН СССР, 1959.

26. Вялов С. С., Зарецкий Ю.К. Прочность и ползучесть мерзлых грунтов и расчеты ледогрунтовых ограждений. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 254 с.

27. Герасимов В.В. Коррозия реакторных материалов. М.: Атомиз-дат, 1980. 256 с.

28. Герасимов В.В., МонаховА.С. Материалы ядерной техники. М.: Энергоиздат, 1982. 287 с.

29. Гетман А.Ф. Концепция безопасности «течь перед разрушением» для сосудов и трубопроводов давления АЭС. М.: Энергоатомиздат, 1999. 258 с.

30. Гетман А.Ф., Козин Ю.Н. Неразрушающий контроль и безопасность эксплуатации сосудов и трубопроводов высокого давления. М.: Энергоатомиздат, 1997. 288 с.

31. Голыдтейн М.Н. Механические свойства грунтов. М.: Стройиз-дат, 1971. 367с.

32. Гольдштейн М. Н., Бабицкая С. С, Мизюмский В. А. Методика испытания грунтов на ползучесть и длительную прочность // Вопросы геотехники. № 5. Днепропетровск: ДИИТ, 1962. 120 с.

33. Григолюк Э.И., Филыптинский Л.А. Периодические кусочно-однородные упругие структуры. М.: Наука, 1992. 288 с.

34. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1987. 368 с.

35. Дине Дж., Винйард Дж. Радиационные эффекты в твердых телах. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960. 243 с.

36. Ду Цин-хуа. Плоская задача теории упругости неоднородной изотропной среды // Проблемы механики сплошной среды. К семидесятилетию академика Н.И. Мусхелишвили. М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 152-156.

37. Жуков A.M. О коэффициенте Пуассона в пластической области // Известия АН СССР. Отд. техн. наук. 1954, № 12. С. 86-91.

38. Зарецкий Ю.К., Чумичев Б.Д., Щеболев А.Г. Вязкопластич-ность льда и мерзлых грунтов. Новосибирск: Наука, 1986. 184 с.

39. Захаров А.И. Влияние облучения на физические свойства и структуру твердых тел // Успехи физ. наук, 1955. № 4. С 57.

40. Игнатьков Д.А. Остаточные напряжения в неоднородных деталях. Кишинев: Штиинца, 1992. 302 с.

41. Ильюшин A.A. Пластичность. M.-JL: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948. 376с.

42. Ильюшин A.A., Ленский B.C. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1959. 371 с.

43. Исследования прочности и деформирования горных пород. А.И. Берон, Е.С. Ватонин, М.И. Койфман и др. М.: Наука, 1973. 208 с.

44. Кацауров И.Н. Механика горных пород. Вып. 1 / В кн. Физико-механические свойства горных пород. М.: Изд. МГИ, 1966. 126 с.

45. Келли Б. Радиационные повреждения твердых тел. М.: Атомиз-дат, 1970. 236 с.

46. Койфман М.И. Классификация механических свойств твердых тел и вопросы классификации горных пород / В кн. Современные проблемы механики горных пород. JL: Наука, 1972. С. 252-267.

47. Коган Б.М. Напряжения и деформации.в покрытиях с непрерывно меняющимся модулем упругости // Сб. «Труды Харьковского автодорожного ин-та». 1957. Вып. 19.

48. Колосов Г.В. Влияние коэффициентов упругости на распределение напряжений в плоской задаче теории упругости // Изв. Электротехн. ин-та, вып. 17. Л., 1931. С. 85-88.

49. Колчин Г.Б. Плоские задачи теории упругости неоднородных тел. Кишинев: Штиинца, 1977. 119 с.

50. Колчин Г.Б. Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов. Кишинев: Изд-во «Картя Молдовеняскэ», 1971. 172 с.

51. Конобеевский С.Т. Действие облучения на материалы. Введение в радиационное материаловедение / Радиационное материаловедение. Д.М. Скоров, Ю.Ф. Бычков, А.И. Дошковский, В.В. Чепкунов. М.: Атомиздат, 1967. 401 с.

52. Коханенко Ю.В., Фесенко СВ. Влияние модулей Юнга компонентов слоистого композита с периодической системой трещин на характер краевых эффектов // Прикл. механика. 2003. Т.39. №1. С. 116-121.

53. Круглицкий Н. Н. Физико-математические основы регулирования свойств дисперсий глинистых минералов. Киев: Наукова думка, 1968.

54. Кузнецов А.И. Плоская деформация неоднородных пластических тел // Вестник Ленинградского университета. 1958. №13. С. 112-131.

55. Кузнецов Г.Н. Механические свойства горных пород. М.: Угле-техиздат, 1947. 179 с.

56. Кукуджанов В.Н. Разностные методы решения задач механики деформируемых тел. Учебн. пособие. М.: МФТИ, 1992. 123с.

57. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1958. 678 с.

58. Лехницкий С.Г. Радиальное распределение напряжений в клине и полуплоскости с переменным модулем упругости // Прикладная математика и механика. 1962. Т. 26. вып 1. С. 146-151.

59. Лехницкий С.Г. Об одном частном случае осесимметричной деформации цилиндра с модулем упругости, меняющимся по длине // Сб. «Исследования по упругости и пластичности», изд. ЛГУ. 1968. № 7.

60. Линьков А. М. Плоские задачи о статическом нагружении кусочно-однородной линейно упругой среды // Прикладная математика и механика. 1983. Т. 47. вып. 4. С. 644-651.

61. Локощенко A.M. Ползучесть и длительная прочность металлов в агрессивных средах. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. 178 с.

62. Локощенко A.M. Моделирование процесса ползучести и длительной прочности металлов. М.: МГИУ, 2007. 264 с.

63. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во1. Моск. ун-та, 1976. 367 с.

64. Методы исследования напряжений в конструкциях / Под ред. Н.И. Пригоровского. М.: Наука, 1976. 131 с.

65. Михайлов Н. Н. Изменение физических свойств горных пород в околоскважинных зонах. М.: Недра, 1987. 152 с.

66. Михлин С.Г. Плоская задача теории упругости // Труды Сейсмологического института АН СССР. № 65. 1935.

67. Мишику М., Теодосиу К. Решение при помощи теории функций комплексного переменного статической плоской задачи теории упругости для неоднородных изотропных тел // Прикладная математика и механика. 1966. Т.30. вып.2. С. 379-387.

68. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

69. Огибалов П.М. Расчет толстостенных труб в пределах и за пределами упругости при малых и больших деформациях // Изв. Артил. инж. акад. им Ф.Э. Дзержинского, 1958. Т. 109.

70. Олыпак В., Рыхлевский Я., Урбановский.В. Теория пластичности неоднородных тел. М.: Мир, 1964. 156 с.

71. О напряженном состоянии сцементированной среды при ка-муфлетном взрыве / А.Н. Бовт, В.И. Кобец, A.M. Масленников и др. /Журнал прикладной механики и теоретической физики, 1980, № 3, с. 137—142.

72. Перри К.К., Лисснер Г.Р. Основы тензометрирования. М.: Изд-во иностр. Лит, 1957. 324 с.

73. Плевако В.П. К теории упругости неоднородных сред // Прикладная математика и механика. 1971. Т. 35. вып. 5. С 853-860.

74. Плотников М.М. О влиянии коэффициента Пуассона на поле напряжений неоднородного анизотропного цилиндра // Известия вузов. Сер. Машиностроение. 1968. № 3. С.55-58.

75. Победря Б.Е. Численные методы теории упругости и пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. 344с.

76. Прейсс А.К. Определение напряжений в объеме детали по данным измерений на поверхности. М.: Наука, 1979. 128 с.

77. Пригоровский Н.И. Методы и средства определения полей деформаций и напряжений: Справочник. М.: Машиностроение, 1983. 248 с.

78. Пуро А.Э. О построении общих решений теории упругости неоднородных тел // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. вып. 6. С. 1039-1045.

79. Рац M.B. Неоднородность горных пород и их физических свойств. М.: Наука, 1968.

80. Рахманкулов М. М. Металлургия стратегических металлов и сплавов. М.: Теплотехник, 2008. 504 с.

81. Ремнев Ю.И. О влиянии облучения на напряжения и малые деформации в твердом теле // Докл. АН СССР. 124. № 3. 1959. С. 540-541.

82. Роганова H.A., Шарафутдинов Г.З. Применение функций комплексного переменного в задачах плоской деформации неоднородных тел // Известия МГИУ. 2008. №1 (10). С. 75-84.

83. Роганова H.A., Шарафутдинов Г.З. Приближенный метод решения плоских задач теории упругости неоднородных тел // Машиностроение и инженерное образование. 2009. №3 (20). С. 63-71.

84. Роганова H.A., Шарафутдинов Г.З. Моделирование процесса деформирования толстостенной трубы из неоднородного материала // Вестник БГТУ. 2009. №3 (23). С. 104-109.

85. Руппенейт К.В. Некоторые вопросы механики горных пород. М.: Углетехиздат, 1952, 384 с.

86. Руппенейт К.В., Либерман Ю.М. Введение в механику горных пород. М.: Госгортехтздат, 1960, 356 с.

87. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова Думка, 1968. 888 с.

88. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1982. 264 с.

89. Скоров Д.М. Реакторное материаловедение. / Д.М. Скоров, Ю.Ф. Бычков, А.И. Дашковский; Под ред. Д.М. Скорова. М.: Атомиздат, 1979. 344 с.

90. Смирнов В.И. Сооружение подземных емкостей камуфлетными взрывами и выбор методов их закрепления // Шахтное строительство. 1973. № 12. С. 14-17.

91. Снеддон И.И., Берри Д.С. Классическая теория упругости. М.: Физматлит, 1961. 220 с.

92. Спивак A.A. Поведение среды при подземном взрыве. / Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1980, №4, с. 48-55.

93. Справочник по конструкционным материалам: Справочник / Б.Н. Арзамасов, Т.В. Соловьева, С.А. Герасимов и др.; Под ред. Б.Н. Арзама-сова, Т.В. Соловьевой. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2005. 640 с.

94. Справочник по креплению нефтяных и газовых скважин / А. И. Булатов, Л. Б. Измайлов, В. И. Крылов и др. М.: Недра, 1981. 240 с.

95. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Прочность горных пород и устойчивость выработок на больших глубинах. М.: Недра, 1985. 271 с.

96. Теория упругости неоднородных тел / Библ. указ. отеч. и иностр. лит-ры / Сост. Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Кишинев: Штиинца, 1972. 246 с.

97. Теория упругости неоднородных тел / Библ. указатель работ за 1974-1977 гг. / Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Кишинев: «Картя Молдавеня-скэ», 1977. 197 с.

98. Тер-Мкртичьян JI.H. Некоторые задачи теории упругости неоднородных упругих сред // Прикладная математика и механика. 1961. Т. 25. вып. 6. С. 1120-1125.

99. Тихонов C.B. Об упругопластическом состоянии толстостенной трубы из неоднородного материала под действием внутреннего давления // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2007. N6 (56). С. 13-20.

100. Торлин В.Н. Прямая и обратная задачи теории упругости для неоднородного тела // Прикладная механика. 1976. Т. 12. № 3.

101. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: Изд-во иностр. лит., 1953.240 с.

102. Улыбин С.А. Теплоносители энергетических реакторов. М.-Л.: Энергия, 1966. 272 с.

103. Финк К., Рорбах X. Измерение напряжений и деформаций. М.: Машгиз, 1961. 535 с.

104. Фомин А.В, Определение напряженного состояния в объеме детали по известным перемещениям или напряжениям на части ее поверхности // Машиноведение. 1982. № 4. С. 67-73.

105. Хан X. Теория упругости. М.: Мир, 1988. 343 с.

106. Цитович H.A. Механика мерзлых грунтов. М.: Высшая школа, 1973. 446 с.

107. Шарафутдинов Г.З. Некоторые осесимметричные задачи для-упругой неоднородной толстостенной трубы // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2008. №2. С. 34-39.

108. Шарафутдинов Г.З. Осесимметричная деформация толстостенной трубы из высокоэластичного материала // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2009. №2. С. 108-120.

109. Шарафутдинов Г.З. О постоянных Ламе и определяющих соотношениях механики деформируемых тел // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2004. №1. С. 55-58.

110. Шарафутдинов Г.З., Роганова H.A. Об одном применении функций комплексного переменного в задачах теории упругости неоднородных тел // Тезисы докладов научной конференции «Ломоносовские чтения». Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. С. 155.

111. Шевченко Ю.Н. Общее решение задачи теории упругости при переменном модуле упругости // Доклады АН УССР. 1958. №10. С. 356-359.

112. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 400 с.

113. Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядерная физика. М.: Наука, 1980.728 с.

114. Шумский П.А. Механизм деформирования и перекристализа-ции льда / Исследования по физике и механике мерзлых грунтов. Сб. 4. М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 129-136.

115. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. М.: Мир, 1985.421 с.

116. Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений. Под ред. Б.С. Касаткина. Киев: Наукова думка, 1981. 583 с.

117. Яремийчук Р. С., Семок Г. Г. Обеспечение надежности и качества стволов глубоких скважин. М.: Недра, 1982. 264 с.

118. Chitkara N.R., Aleem A. Extrusion of axi-symmetric bi-metallic tubes: some experiments using hollow billets and the application of a generalised slab method of analysis // Int. J. Mech. Sei. 2001. V. 43. P .2857-2882.

119. Conway H.D. A general solution for plain stress in polar coodinates with varying modulus of elasticity // Rev. roumaine sei. Ser. Mech. Appl. 1965. №10.

120. Mbanefo U., Westmann R.A. Axisymmetric stress analysis of a broken, debonded fiber // J. Appl. Mech. 1990. V. 57. P. 654-660.

121. Rizzo F. J., Shippy D. J. A formulation and solution procedure for the general non-homogeneous elastic inclusion problem // Int. J. Solids and Structures. 1968. № 4. P. 1161-1179.

122. Sadd M.H. Elasticity. Theory, Applications and Numerics. Aster-dam: Elsevier, 2005. 461 p.

123. Sanger F.J., Sayles F.H. Thermal and reological computations for artificially frozen ground construction / Engineering Geology, 1979, v. 13, P. 311337.

124. Torquato S. Random heterogeneous media: Microstructure and improved bounds on the effective properties // Appl. Mech. Rev. 1991. V. 44. P. 3776.

125. Torquato S. Random Heterogeneous Materials. Microstructure and Macroscopic Properties. New York: Springer, 2002. 701 p.

126. Woods W.K., Bupp L.P., Fletcher J.F. Irradiation damage to artificial graphite // Proceedings of the International Conferenceon the Peaceful Uses of Atomic Energy. 1957. № 7. P. 455.