автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Расчетно - экспериментальный метод исследования напряженно - деформированного состояния составных конструкций в зонах концентрации напряжений

09-1 2114

На правах рукописи

ФРИШТЕР Людмила Юрьевна

РАСЧЕТНО - ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СОСТАВНЫХ КОНСТРУКЦИЙ В ЗОНАХ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ

Специальность 05.23,17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени до'ктора технических наук

Москва-2008

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном строительном университете

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Шаблинский Георгий Эдуардович

доктор технических наук, профессор Смирнов Владимир Анатольевич

доктор технических наук, профессор Шарафутдинов Геннадий Зиатдинович Ведущая организация: Институт машиноведения им. А.А. Благонравова Российской академии наук

у С30

Защита состоится 17 марта 2009 г. в ] О_часов на заседании

диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу: 129337, г, Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан " 03 " 02/ 200^г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Н.Н.

ВВЕДЕНИЕ

Задача более полного и экономного использования природных ресурсов требует оптимального проектирования с точки зрения учета свойств применяемых материалов, повышения прочности и надежности составных конструкций и сооружений, имеющих сложную форму границы и состоящих из материалов с постоянными, но различными по величине физико-механическими характеристиками, работающими при действии вынужденных деформаций и, в частности, температурных.

Напряженно-деформированное состояние (НДС) составных конструкций и сооружений характеризуется значительной концентрацией напряжений в местах сопряжения элементов из разных материалов из-за различия механических характеристик. Наиболее сложное НДС возникает в зоне концентрации напряжений, обусловленной как формой границы или "геометрическим фактором", так и конечным разрывом заданных вынужденных деформаций, механических свойств, выходящим на поверхность контакта элементов составных конструкций.

Исследование локального НДС в составной области существенной конструктивной неоднородности актуально при расчете и проектировании конструктивных элементов атомных электростанций, гидротехнических сооружений, при решении гранично-контактной задачи плотина-основание, исследовании прискальных блоков бетонирования при их остывании, при резком изменении формы границы конструкции, например, угловой или ступенчатой форме.

Значительный интерес представляет использование метода фотоупругости для определения напряжений от заданных несовместностей или заданных вынужденных деформаций (дисторсий) и, в частности, температурных, не удовлетворяющих условиям совместности, что приводит к возникновению напряжений. К числу таких задач относятся исследования напряжений от температурных градиентов, от изменения температур в стыках разнородных материалов с различными коэффициентами теплового расширения, от скачкообразного изменения дисторсий, имеющих конечный разрыв в стыках областей с различными механическими свойствами, а также напряжений от монтажа и последовательности изготовления конструкций, от посадки с натягом и др.

Актуальность работы состоит в получении с наибольшей достоверностью локального НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений, обусловленной действием разрывных вынужденных деформаций и конструктивной неоднородностью формы границы. Методы решения данной задачи многообразны.

Метод размораживания вынужденных деформаций, использующий процедуру предварительного замораживания элементов модели с последующим размораживанием всей модели, является эффективным, универсальным и перспективным методом моделирования напряжений от заданных вынужденных деформаций.

Метод фотоупругости, являющийся континуальным методом, и метод размораживания деформаций, как его подраздел, позволяют получить НДС в

зоне концентрации напряжений на поверхности контакта элементов составных конструкций со скачком вынужденных деформаций на моделях из оптически чувствительного материала.

Численные методы расчета, основанные на дискретизации расчетной области, позволяют провести исследования различных вариантов конструктивных форм сооружений в процессе проектирования. Численные методы расчета в зоне концентрации напряжений требуют дополнительных знаний о НДС в области особой точки упругого тела для верификации результатов решения.

Аналитические методы расчета предполагают, что в окрестности нерегулярной точки границы области решение задачи теории упругости представляется в виде асимптотического ряда и бесконечно дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат решения однородных краевых задач для модельных областей (конуса и клина). Эти решения зависят от локальных характеристик: величины телесного и плоского угла, типа краевых однородных условий, механических характеристик в случае кусочно - однородных областей.

Современные способы визуализации данных эксперимента в сочетании с численными и аналитическими методами исследования расширяют возможности метода фотоупругости. Многие работы последнего времени относятся к исследованию локального НДС, к расшифровке и интерпретации экспериментальных данных.

Экспериментальное решение на модели в окрестности геометрического концентратора напряжений - вершины углового выреза границы, не "читается" или плохо "читается" при любом увеличении фрагмента области. На некотором удалении от локального источника концентрации напряжений имеются уверенные экспериментальные данные, которые при приближении к нерегулярной точке границы меняются непрерывно и монотонно. Поэтому для экстраполяции уверенных экспериментальных данных в область, где картина полос не читается или "плохо" читается предлагается комплексный расчетно-экспериментальный подход получения и анализа напряженного состояния в зоне концентрации напряжений (окрестности нерегулярной точки границы области).

Цель работы: разработка расчетно-экспериментального метода исследования НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений.

Идея работы: совместить преимущества метода фотоупругости и метода размораживания деформаций, позволяющих просто и наглядно получать на модели НДС в зоне концентрации напряжений, и преимущества теоретико-численного подхода при анализе особенностей напряженного состояния (НС) в областях с нерегулярной точкой границы для расшифровки и анализа экспериментального решения в зоне концентрации напряжений.

Объект исследования: а) НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений, полученное на моделях метода фотоупругости; б) экспериментальное решение задачи теории упругости в окрестности нерегулярной точки, линии границы области, в которую выходит конечный разрыв вынужденных деформаций по линии, поверхности контакта областей, составляющих

упругое однородное или кусочно-однородное тело; в) метод размораживания деформаций в исследовании НДС составных конструкций.

Задачи исследования:

1. Анализ современного состояния метода размораживания деформаций: возможности и недостатки моделирования НДС составных конструкций, задач теории упругости при действии разрывных вынужденных деформаций общего вида, не удовлетворяющих условиям совместности ( глава I).

2. Теоретическое доказательство возможных схем моделирования НДС конструкций методом размораживания деформаций в зависимости от разрезки модели на микро и макроэлементы, вида заданных дисторсий (глава II).

3. Моделирование НДС составных конструкций методом фотоупругости. Применение моделирования задач с вынужденными деформациями методом размораживания для получения решения задачи теории упругости кусочно-однородных тел и учета влияния на их НДС механических характеристик методом фотоупругости на моделях из стандартного оптически чувствительного материала ( глава III).

4. Анализ НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений как окрестности особых точек и линий границы однородных и кусочно-однородных тел в рамках линейно-упругой постановки в плоском и пространственном случае. Линия, поверхность контакта элементов, составляющих конструкцию, по которой создан конечный разрыв вынужденных деформаций, объемных сил, постоянных в областях физико-механических характеристик, выходит в точку, линию концентрации напряжений (глава IV).

5. Теоретико-экспериментальное обоснование метода исследования напряженного состояния составных конструкций в зоне концентрации напряжений при действии разрывных вынужденных деформаций. Линия контакта областей со скачком вынужденных деформаций выходит в точку концентрации напряжений на границе области ( глава V ).

6. Получение методом размораживания деформаций напряженного состояния (НС) плоских конструкций при действии вынужденных деформаций с целью его анализа в области, максимально приближенной к зоне концентрации напряжений, с учетом визуализации экспериментальных данных при цифровой съёмке и обработке, стандартными способами разделения напряжений, разработанными в методе фотоупругости ( глава VI ).

7. Экстраполяция экспериментальных данных, полученных в области вершины углового выреза границы составной плоской моделд с "читаемой" картиной полос на область, где картина полос не читается или "плохо" читается ( глава VII).

8. Теоретико-экспериментальный анализ НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений с использованием полученного на моделях методом размораживания НДС в зоне концентрации напряжений. Апробация расчетно-зкспериментального метода исследования НДС составных конструкций на примерах исследования фотоупругого решения в зоне концентрации напряжений на составных плоских моделях с различными углами выреза гра-

ницы, в вершину которого выходит скачок вынужденных деформаций по линии контакта элементов, составляющих модель (глава VII).

Научная новизна работы состоит в разработке расчетно-экспериментального метода исследования НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений, обусловленной конструктивной неоднородностью - формой границы, и разрывом вынужденных деформаций, выходящим на поверхность контакта элементов составных конструкций, на основе экспериментальных данных метода фотоупругости. Разработка метода включает: теоретико-экспериментальное обоснование, апробацию на плоских составных моделях с угловым вырезом границы из стандартного полимерного материала, методических разработок метода размораживания деформаций, отвечающих поставленной в работе цели и задачам исследования, предложенную формулу и порядок экстраполяции данных в область концентрации напряжений, где картина полос не читается или "плохо" читается. Предложенный метод исследования НДС в зоне концентрации напряжений решает задачу механики деформируемого твердого тела в окрестности особой точки границы области, в которую выходит разрыв вынужденных несовместных деформаций, на основе экспериментальных данных фотоупругости. Предложенный метод позволяет получить и анализировать локальное НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений при действии разрывных вынужденных деформаций.

На защиту выносится:

1. Расчетно-экспериментальный метод исследования НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений: теоретико - экспериментальное обоснование, порядок и формула экстраполяции экспериментальных данных в зону концентрации напряжений, апробация, применение.

2. Теоретико-экспериментальный анализ и представление решения задачи теории упругости с вынужденными деформациями для кусочно-однородных и однородных тел в окрестности нерегулярных точек или линий границы области как общий методологический подход, расширяющий возможности исследований НДС составных конструкций методами фотоупругости и размораживания деформаций, как по классу конструкций и решаемых задач в зоне концентрации напряжений, так и по получению экспериментальных данных и их анализу.

3. Методические разработки теории моделирования, расширяющие круг задач, эффективно решаемых с применением метода фотоупругости и размораживания деформаций.

> Применение моделирования задач с вынужденными деформациями для получения решений упругих кусочно-однородных задач и учета влияния механических характеристик на НДС кусочно-однородных тел методом фотоупругости с использованием свойства "размораживания" деформаций и стандартного полимерного материала.

> Доказательство возможностей получения схем моделирования задач теории упругости при действии вынужденных деформаций методом размораживания в зависимости от разрезки упругого тела на микро и макроэлементы и вида заданных дисторсий.

> Анализ возможностей получения методом размораживания деформаций напряженного состояния конструкций в зоне концентрации напряжений с использованием визуализации экспериментальных данных при цифровой съёмке и обработке, и стандартных способов разделения напряжений, разработанных в методе фотоупругости.

> Экспериментально полученное на фотоупрутих моделях НС конструкций и его анализ в области, максимально приближенной к вершине углового выреза границы модели.

> Обоснование, порядок и формула экстраполяции экспериментальных данных, полученных по области модели с читаемой картиной полос, на область концентрации напряжений, в которой картина полос не читается или "плохо" читается.

> Расчетно-экспериментальное исследование напряженного состояния конструкций в зоне концентрации напряжений на плоских моделях с различными углами выреза границы, в вершину которого выходит скачок вынужденных деформаций по поверхности контакта элементов, составляющих модель.

> Применение разработанных способов экспериментального решения задачи механики твердого тела для исследования НДС конструкций и сооружения.

Методы исследования: метод фотоупругости, метод размораживания деформаций, способы разделения напряжений, разработанные в методе фотоупругости, уравнения механики деформируемого твёрдого тела, методы теории подобия и анализа размерностей применительно к исследованию НДС строительных конструкций.

Достоверность результатов работы определяется получением основных теоретических представлений из. рассмотрения общей системы уравнений механики деформируемого твёрдого тела, применением разработанных метода размораживания деформаций и метода фотоупругости, сопоставлением значений напряжений, полученных теоретически, экспериментально непосредственно по картине полос, главных напряжений, полученных экспериментально методом разделения напряжений. Точность результатов, полученных согласно предложенному методу экстраполяцией экспериментальных данных, "приближённость" сечения к зоне концентрации напряжений (нерегулярной точке границы области), определяется точностью измерения экспериментальных данных и практической точностью метода фотоупругости.

Практическая значимость работы.

> Предлагаемый расчетно-экспериментальный метод позволяет получить и анализировать НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений, обусловленной конструктивной формой границы и разрывными вынужденными деформациями.

> Предлагаемый метод рекомендован для исследования НДС конструкций в местах резкого изменения формы границы, имеющих ступенчатую или угловую форму границы, при действии скачкообразного изменения вынужденных деформаций, температур в стыках разнородных материалов с различными коэффициентами теплового расширения, механическими свойствами,

при учёте напряжений от монтажа, последовательности изготовления конструкций, от посадки с натягом.

> Расширение круга задач, эффективно решаемых методом фотоупругости и методом размораживания деформаций за счет возможностей экспериментального исследования локального НДС составных конструкций и сооружений в зоне концентрации напряжений с различными вариантами конструктивного оформления границы: входящие углы, при действии вынужденных несовместных деформаций, разрыв которых выходит в точку концентрации напряжений.

> Предлагаемый метод и его теоретико-экспериментальное обоснование могут быть использованы в лабораториях фотоупругости научно-исследовательских институтов, при проектировании узлов конструкций со сложной формой границы и действием разрывных вынужденных деформаций.

> Предлагаемый в работе метод позволяет повысить достоверность результатов исследования НДС конструкций в зоне концентрации напряжений, обусловленной конструктивной неоднородностью формы границы и действием разрывных вынужденных деформаций, сопоставить и верифицировать численные и аналитические результаты решения.

> Предлагаемый метод позволяет исследовать особенности решения задачи теории упругости при действии вынужденных деформаций, конечный разрыв которых выходит в нерегулярную точку (линию) границы упругого тела на основе экспериментальных данных фотоупругости.

Работа поддержана грантом по программе "Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники ", подпрограмма: 211. Архитектура и строительство. НИР: 03.01.342, 03.01.394 и программой научно-технических работ МГСУ.

Внедрение работы.

Выводы и рекомендации по результатам исследований термонапряженного состояния подземного здания Колымской ГЭС и элементов конструкций типовых зданий АЭС внедрены в проекты сооружений и усовершенствование технологических процессов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работе, по мере завершения соответствующих разделов, были доложены на IV Всесоюзном семинаре "Оптико-геометрические исследования деформаций и напряжений и их стандартизация" (Менделеево,1982), Всесоюзной конференции "Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений" (Киев, 1982), Всесоюзном семинаре "Новые поляризационные методы и приборы для исследования напряженно-деформированного состояния, анализа состава и молекулярной структуры вещества" (Москва, 1983), Всесоюзной конференции "Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений". ИЭС им. Е.О.Патона (Киев, 1983), Всесоюзном совещании по теории упругости неоднородного тела (Кишинев, 1983); VIII Всесоюзной конференции по механике горных пород (Тбилиси, 1985); Координационном совещании "Прочность и сейсмостойкость энергетического оборудования" (Фрунзе, 1985); Всесоюзном семинаре "Интерференционно-оптические методы механики твердого де-

формируемого тела и механики горных пород" (Новосибирск, 1985); Всесоюзной конференции "Строительство ГЭС в высокогорных условиях" (Цхалту-бо,1986); Всесоюзном научно-техническом совещании по прочности и трещи-ностойкости бетонных и железобетонных гидротехнических сооружений при температурных воздействиях (Нарва, 1988); на ежегодных научно-технических конференциях МИСИ-МГСУ; Всесоюзной выставке "НТТМ-84" ВДНХ; областной научно-технической конференции "Прогрессивные технологические процессы в машиностроении и стимулирование их внедрения в производство" (Харьков, 1990); Международной конференции "Испытательное оборудование для экспериментальных исследований механических свойств и конструкций" (ИМЭКО-Москва,1989); Международной конференции "Сварные конструкции" АН Украинской ССР; ИЭС им. Е.О.Патона (Киев, 1990); Всесоюзном совещании "Расчетные предельные состояния бетонных и железобетонных конструкций энергетических сооружений", "ПРЕДСО-90" (Усть-Нарва,1990); Международной конференции "PHOTOMECHANICS'95", The International Society for Optical Engineering (Новосибирск, 1995); коллоквиуме под руководством профессора Г.С. Варданяна "Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций" (МГСУ,1999); Хесинских чтениях "Экспериментальная механика. Перспективы развития и применения" (Москва, 2001); научном семинаре "Развитие методов экспериментальной механики", посвященном 100-летию со дня рождения профессора Н.И. Пригоровского, РАН, Институт машиноведения им.А.А.Благонравова (Москва, 2003); Костинских чтениях "Экспериментальная механика и расчет сооружений", МГСУ (Москва, 2004); XXIV Российской школе по проблемам науки и технологий, посвященной 80-летию со дня рождения академика В.П.Макеева, Екатеринбург: УРО РАН, 2004; Власовских чтениях (Москва, МГСУ, 2006), VI научно-практической и учебно-методической конференции "Фундаментальные науки в современном строительстве", М., МГСУ, март 2008г., объединенный научный семинар кафедр сопротивления материалов, строительной механики, информатики и прикладной математики МГСУ под руководством профессоров Г.С. Варданяна, H.H. Леонтьева (М., МГСУ, 2008г.), \ 1-ой международной научно - практической конференции "Строительство - среда жизнедеятельности" (М., МГСУ, апрель 2008г.), Всероссийской научно-практической конференции "Инженерные системы - 2008" (М., РУДН, 7-10 апреля 2008).

Личный вклад автора. Автором лично выполнена постановка и решение проблемы исследования НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений при действии вынужденных деформаций, разрыв которых выходит в точку геометрического концентратора, на основании данных эксперимента. Автором лично разработан расчетно-экспериментальный метод исследования НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений, обусловленной конструктивной неоднородностью - формой границы и разрывом вынужденных деформаций, выходящим на поверхность контакта элементов составных конструкций, на основе данных метода фотоупругости. Разработка метода включает; теоретике - экспериментальное обоснование, апробацию на моделях с угловым вырезом границы из стандартного полимерного ма-

териала, методических разработок метода размораживания деформаций, отвечающих поставленной в работе цели и задачам исследования, предложенную формулу и порядок экстраполяции данных в область концентрации напряжений, где картина полос не читается или "плохо" читается. Автором лично получены основные выводы и результаты диссертационной работы, представленные к защите.

В проведении экспериментальных, расчетных исследований принимали участие сотрудники Лаборатории исследования напряжений МИСИ-МГСУ.

Автор благодарен профессору, д.т.н. Золотову Александру Борисовичу, профессору, д.т.н. Акимову Павлу Алексеевичу, профессору, к.т.н. Мозгале-вой Марине Леонидовне за доброжелательные советы и помощь в проведении численных исследований.

Автор благодарен Новикову Серафиму Ивановичу, Архипову Владимиру Александровичу, к.н.т. Жаворонку Игорю Владимировичу за помощь в проведении эксперимента.

Автор сердечно благодарен профессору, д.т.н. Варданяну Гумедину Су-реновичу, профессору д.т.н. Савостьянову Вадиму Николаевичу за многолетнее сотрудничество, доброе отношение и неизменную доброжелательность.

Автор благодарно помнит профессора, научного руководителя ЛИН МИСИ д.т.н. Хесина Геннадия Львовича и всех коллег Лаборатории исследования напряжений.

Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 44 статьях.

Объём и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения с основными выводами, списка использованной литературы из 168 наименования. Работа изложена на 391 е., из них 136 рисунков, 7 таблиц, 16 с. библиографии.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы исследований, формулируются цели, идея и задачи диссертационной работы, приводятся основные положения научной новизны, практической ценности и достоверности полученных результатов.

В главе I дан анализ современного состояния метода размораживания деформаций, его возможностей и недостатков, обосновано применение метода для решения поставленной в работе задачи.

Метод размораживания деформаций или в более широкой формулировке метод размораживания вынужденных деформаций развит и применен в работах М. Левена и Р. Симпсона, С.Г. Гутмана, Г.С. Варданяна, Н.И. Пригоровско-го, Г.Л. Хесина, Н.С. Розанова, И.А. Михайловой, В.Н. Савостьянова, М.Н. Двереса, Б.Н. Евстратова, И.А. Разумовского, С.Е. Бугаенко, В.Н. Бронова, З.Э. Абдулаяиева и многих других. "Замораживание" деформаций в заготовках и последующий "отжиг-размораживание" составной модели позволяют получить НДС в модели, соответствующее искомому.

Преимущество метода замораживания в том, что не требуется воспроиз-

ведения температурного поля в модели, используется стандартное оборудование для проведения эксперимента и моделируется НДС конструкций со сложной формой границ (геометрическая концентрация).

Метод размораживания практически универсален и рекомендован при решении плоской задачи теории упругости, а также некоторых случаев объемной задачи, характерных наличием ограничений для температурных воздействий. Для частного случая, когда температурные деформации в одном из направлений не вызывают напряжений, решены многие задачи инженерной практики: исследование термонапряженного состояния конструктивных элементов ядерных реакторов, энергетического оборудования, в сварных и резьбовых соединениях, конструкциях, имеющих зоны концентрации, в задачах машиностроения, гидротехники и др.

Моделирование задач с вынужденными деформациями общего вида, не удовлетворяющими условиям совместности, рассматривается в работах Г.С. Варданяна, Н.И. Пригоровского, С.Е. Еугаенко, М.Н. Двереса, Б.Н. Евстратова, И.А. Разумовского, В.Н. Броиова, В.Н. Савостьянова, Л.Ю, Фриштер и др,

Недостаток метода размораживания, связанный с невозможностью моделировать объемные деформации на моделях из-за несжимаемости материала в высокоэластическом состоянии, преодолен в работах С.Е. Бугаенко, Н.И. Пригоровского, М.Н. Двереса, Б.Н. Евстратова, В.Н. Савостьянова., Д.И. Омельченко, Л.Ю. Фриштер.

Моделирование упругих задач с вынужденными деформациями общего вида методом размораживания выявляет необходимость аналитического описания схем моделирования в зависимости от разрезки упругого тела на микро и макроэлементы.

В § 1, 2, применив аналитический метод, получены и затабулированы комплексные корни трансцендентных уравнений для случаев однородного и составного клиньев. Выделены минимальные значения действительной части корней в зависимости от угла раствора однородного клина с шагом тг/180, вида однородных граничных условий для всего возможного интервала изменения коэффициента Пуассона v = [0;0.5]. Выделены минимальные значения действительной части корней в зависимости от угла раствора составного клина, соотношения механических характеристик областей: Е1/Е2, vxjv2, и вида однородных граничных условий.

В § 1.3 метод размораживания деформаций применен для решения инженерных задач. Исследовано термонапряженное состояние бетонного свода подземного здания Колымской ГЭС в строительный период в момент времени наиболее неблагопрятный для напряженного состояния свода. Исследовано напряженное состояние сферической защитной оболочки АЭС в области конструктивной неоднородности, обусловленной технологическими проходками.

В граничных зонах сопряжения элементов конструкций, в которые выходит конечный разрыв (скачок) вынужденных деформаций, возможна концентрация напряжений. Теоретические и экспериментальные исследования концентрации напряжений, обусловленной формой границы, отражены в рабо-

тах Г. Нейбера, Р. Петерсона, Н.Г. Савина и В.И. Тульчия, Б.Н. Ушакова, И.П. Фомина, Н.А. Махутова, В.В. Васильева, В.П. Нетребко и многих др. Экспериментально методом фотоупругости зоны геометрической концентрации напряжений конструкций, обусловленной разрывом вынужденных деформаций, попадающим в точку концентрации напряжений, практически не исследовано.

Метод размораживания разработан, хорошо апробирован и может служить основой для разработки экспериментального исследования НДС конструкций (решения задачи теории упругости) при действии несовместных вынужденных деформаций. Картина полос, полученная методом размораживания на модели в области геометрической концентрации напряжений - вершины острого углового выреза, характеризуется высокими порядками и градиентами полос. В окрестности источника концентрации напряжений порядки полос либо не читаются, либо "плохо" читаются при любом увеличении фрагмента окрестности. Экстраполяция уверенных экспериментальных данных в область, где картина полос не читается или "плохо" читается, возможна лишь при получении и анализе НС в окрестности нерегулярной точки границы области. Для исследования локального НДС конструкций в зоне геометрической концентрации напряжений необходим комплексный анализ: экспериментальный, численный, аналитический. Поэтому экспериментальный и расчетно-аналитический подход к исследованию НДС конструкций определяет, по существу, средство для достижения поставленной в работе цели: разработка метода исследования НДС составных конструкций в зоне геометрической концентрации напряжений при действии разрывных вынужденных деформаций с использованием свойства "размораживания".

В главе II рассматриваются схемы моделирования методом размораживания упругих задач с вынужденными деформациями, в которых закон Гука имеет вид:

5у=21Л<Гу+Хан5у+е*, (2.1)

где б у = 2/и<Ту + Л<г~3у или £у = аТ6у вынужденные деформации, не

удовлетворяющие условиям совместности. В зависимости от разрезки упругого тела V на малые элементы или макроэлементы рассматриваются схема I и схема II моделирования упругих задач методом размораживания. В схеме III применяется метод устранения деформаций С.П. Тимошенко, которая справедлива при разрезке тела V как на малые, так и на макроэлементы Уп1 = \,к , В соответствии с порядком моделирования НДС методом размораживания упругое тело V разделяется: а) согласно общепринятой схеме 1 на малые элементы, в которых созданы однородные деформации еЦ, не имеющие "собственных" напряжений, сг? = 0; б) согласно схеме II на макроэлементы, имеющие "собственные" напряжения аг'у , деформации £¡¡=2/хг'у + Ясг'цбу +Ед, 1,]еУр, р = 1,п, = Собирая элементы И,,/ = !,« в упругое тело V,

обеспечивается выполнение условий непрерывности по поверхностям контак-

та элементов, что вызывает образование дополнительного НДС: сгЦ, в'ц, и", удовлетворяющего соотношению (2.1). Экспериментально проводится режим "размораживания", при котором высвобождаются созданные в элементах деформации, возникает дополнительное НДС . В случае схемы II дополнительные напряжений ау накладываются на "собственные" напряжения сгу,

имеющиеся в отдельных элементах Уп1 = \,п тела V.

Решение задачи теории упругости для кусочно-однородных или однородных тел можно представить в виде:

<т9=&и+о$\ и, =«}">, (2.2)

где 1)=(оу, еу, и,-) - решение исходной кусочно-однородной или однородной задач теории упругости при заданных воздействиях и, в частности, вынужденных деформациях общего вида; г?=(<4> «,') - решения двух или нескольких упругих однородных задач для отдельных элементов, составляющих упругое тело, с заданными механическими характеристиками, объёмными силами, вынужденными деформациями, закреплениями; Гу"\ „<">) -

решение вспомогательной кусочно-однородной или однородной задачи при действии вынужденных деформаций е'у в каждом из элементов, составляющих

упругое тело, обусловленное выполнением условий непрерывности по поверхности стыка элементов. Перемещения в выражении (2.2) отсчитываются от естественного состояния тела.

Представление решения кусочно-однородной (§ 2.2) и однородной (§ 2.3) задач теории упругости с использованием задач с вынужденными деформациями в виде (2.2) доказывает расчетные схемы I, II, III в зависимости от разрезки упругого тела на элементы и вида заданных вынужденных деформаций: непрерывных, кусочно-непрерывных, кусочно-однородных.

Представление (2.2) справедливо при разбиении тела V как на два элемента, так и на любое конечное число элементов К,,/= 1,и. При увеличении числа п элементов, на которые разбивается тело V, "собственные" напряжения сг'у —^ 0, деформации в отдельных элементах становятся однородными, что

сводит схему II к схеме I решения упругой задачи методом размораживания.

В § 2.4 доказывается, что упругое тело V с заданными деформациями возможно последовательно собирать из элементов с вынужденными деформациями, имеющими как регулярную поверхность стыка элементов, так и нерегулярную. Особенности напряжений, деформаций, возникающие за счет нерегулярной поверхности разрезки, при стыковке элементов взаимоуничтожаются.

Последовательность решения упругой задачи вида (2.2) отражает идею метода размораживания деформаций и является основой для разработки метода моделирования НДС составных конструкций на фотоупругих моделях.

В главе ГО рассматривается моделирование НДС составных конструкций методом фотоупругости. Моделирование задач с вынужденными деформациями методом размораживания применяется для получения решения задачи теории упругости кусочно-однородных тел и учета влияния на их НДС механических характеристик методом фотоупругости на моделях из стандартного оптически чувствительного материала.

Решение упругой задачи кусочно-однородного пространственного тела V, составленного из частей У1 и К1; имеющих различные плотности у]иу2> модули упругости и коэффициенты Пуассона:^, иЕ2, у2соответственно, при действии в областях вынужденных деформаций £,'/,/ = 1,2, поверхностных, объёмных сил Рц, 1 = 1,2 представимо ( § 3.1) при помощи решений однородных задач в виде:

л=0 и=0

Здесь а'у и'г решение в каждой отдельно взятой области К1(£1,к1) и К2(£2,у2) от действия = 1,2 соответственно.

Решению при п = О соответствует НДС однородного тела (Е, к) при действии вынужденных деформаций вида:

Решения при и = 1,2... соответствуют решениям однородных задач (Е,у) при действии дисторсий вида:

£ = 5>й, / = 1 (¿,/6^)5 1 = 2 0Рйп

(1 + 1 (1 + у)Е,

В § 3.2 анализируется разложение решения кусочно-однородной задачи в ряд решений однородных задач для частных случаев соотношения механических характеристик Е,, 1 = 1,2 на НДС упругого тела. Полученные соотношения подтверждают известные зависимости, выявляют дополнительное НДС, обусловленное неоднородностью механических свойств, характеризуют влияние коэффициента Пуассона на НДС упругого тела, а также совпадают с полученными ранее оценками влияния Е/, /=1,2 на НДС упругого тела.

В § 3.3 дана методика моделирования однородных задач вида (3.1) с дис-торсиями (3.2) при исследовании НДС составных конструкций методом фотоупругости. Экспериментальная реализация, помимо исследований однородной по'свойствам модели при заданных воздействиях, требует испытания также моделей двух видов:

а) однородных моделей с "полными" деформациями, действующими в одной из областей (/=2): ¿^'"(^Г")- (3.3)

л-1

б) однородных моделей с вынужденными деформациями "частного" вида:

(3.4)

Экспериментально решение задачи с дисторсиями (3.3) осуществляется применением однотипного методического приема. Область У2(Е,у) с замороженными деформациями отрезается от модели (гс-1) и склеивается с областью У{(Е,у), свободной от нагрузок. После отжига в модели реализуется напряженное состояние, соответствующее я-ой задаче.

В эксперименте испытывают модели из стандартного оптически чувствительного материала с механическими характеристиками Е (£ < < ) и 1^ = 0.5 в высокоэласгическом состоянии у>у2), что обеспечивает па-

раметры разложения |/Л/|<1, |£/|<1, / = 1,2.

С учетом данных эксперимента показано, что ряд решений задач с дисторсиями вида (3.3) мажорируется сходящимся числовым рядом и его сумму можно оценить, используя линейные рекуррентные соотношения, выполняющиеся с заданной точностью, не превосходящей точности при определении напряжений экспериментальным .методом фотоупругости (5...8%). Этого удаётся достичь при испытании 3-4 моделей.

Решение задач с дисторсиями (3.4) реализуется с использованием размораживания свободных температурных деформаций, имея в виду их аналогию с температурными деформациями вида аТду. Рассмотрение скачков дисторсий

на границе раздела областей Г=К, Г\У2 показывает, что для получения результата требуемой точности достаточно испытаний 1 - 2 моделей.

В § 3. 4 дан порядок моделирования НДС составных конструкций методом фотоупругости и размораживания деформаций на моделях из стандартного оптически чувствительного материала, не требующего направленного синтеза.

В § 3. 5 разработанный метод применен при решении инженерных задач. Исследовано влияние "растепления" горного массива в области подземного здания Колымской ГЭС на термонапряжениое состояние бетонного свода. Учтено изменение модуля упругости оттаявшей породы по сравненшо с много-летнемерзлым массивом. Определено влияние снижения жесткости перекрытия в элементе "горячий бокс-перекрытие" типового здания АЭС в период эксплуатации. Рассмотрено влияние изменения модуля упругости бетона при равномерном остывании квадратного в плане объёмного блока (£,), заделанного в упругое основание (£2).

При моделировании НДС составных конструкций и сооружений наблюдаются зоны концентрации напряжений в местах сопряжения элементов из ма-

териалов с постоянными, но различными механическими свойствами, а также за счет разрыва вынужденных деформаций по линии (поверхности) контакта элементов, составляющих конструкцию, и формы границы. Местная концентрация напряжений, обусловленная конструктивной формой границы, скачком вынужденных деформаций, механических свойств, выходящим в точку (линию) границы сопрягаемых элементов конструкции определяет предмет и новизну исследований последующих глав.

Возникает необходимость анализа экспериментального решения задачи теории упругости для составных тел, в нерегулярную точку (линию) границы которых выходит скачок вынужденных деформаций. Возникает вопрос не столько о моделировании особенности НДС упругого тела, обусловленной тем, что разрыв дисторсий выходит в точку концентрации напряжений, сколько о "расшифровке" экспериментальных данных, о возможностях анализа НДС в окрестности нерегулярной границы упругого тела, полученного методом фотоупругости.

В главе IV приводится обзор методов анализа особенностей решения задачи теории упругости, обусловленных формой границы или "геометрическим фактором". Цель такого обзора: - выработать общий аналитический подход, характеризующий сингулярность решения в окрестности нерегулярной точки границы упругого тела, пригодный для анализа экспериментально полученного на модели упругого решения в области геометрического концентратора.

Исследуется, в основном, НДС в окрестности нерегулярной точки на особой линии границы тела, что соответствует исследованию конструкций и сооружений, наиболее часто применяемых в строительной практике.

Особенности решения упругой задачи с вынужденными деформациями в окрестности нерегулярной точки на особой линии рассматриваются различными подходами: в криволинейной системе координат - § 4. 2, в локальной декартовой системе координат - § 4. 3, с применением элементов теории подобия - § 4. 4, и анализа размерностей - § 4. 5.

Вопросам поведения решений уравнений Лапласа, Пуассона и эллиптических уравнений для областей с негладкими границами посвящены работы В.А. Кондратьева, В.В. Фуфаева, M.L Williams, Я.С. Уфлянда, А.И. Каландии, Г.П. Черепанова, Д.Б. Боджи, O.K. Аксентян, А.Я. Александрова, К.С. Чобаня-на, Л.А. Багирова, И.Т. Денисюка, В.Д. Кулиева и многих др.

Решение упругой задачи в области с нерегулярной точкой на особой линии границы сводится к решению двух однородных плоских задач: плоской деформации и поперечного сдвига.

Представление решения упругой задачи в окрестности нерегулярной точки на особой линии границы в виде двух однородных плоских задач справедливо в случае, если: а) заданные несовместные деформации, объёмные силы непрерывны по области упругого тела, б) заданные несовместные вынужденные деформации, объёмные силы - кусочно-непрерывные функции по области тела, причём скачок значений вынужденных деформаций, объёмных сил по внутренней поверхности контакта областей выходит на особую линию гра-

ницы тела; в) поверхность контакта областей Fj и V2 упругого тела V, имеющих различные механические характеристики E¡,v¡,i = 1,2 соответственно, выходит на особую линию границы тела. В случае в) решение упругой задачи в окрестности нерегулярной точки границы сводится к двум плоским задачам для составного тела.

Применение теории подобия позволяет анализировать влияние геометрического параметра t, характеризующего "степень" приближения к нерегулярной точке, на НДС упругого тела в окрестности нерегулярной точки границы. Анализ изменения значений геометрического параметра /е[1,со) показывает, что решение упругой задачи в окрестности нерегулярной точки границы можно представить в виде суммы решений задач: а) решение сингулярной задачи (сингулярная составляющая решения). Рассматриваются однородные плоские задачи: плоская деформация и поперечный сдвиг; б) решеиие упругой задачи, обусловленное влиянием "общего поля напряжений" или заданных нагрузок, зависящих от геометрического параметра. Соотношения между решениями задач а), б) в общей сумме решений в окрестности нерегулярной точки границы тела взаимоменяются от "степени" приближения к нерегулярной точке.

Применяя методы теории подобия и размерностей, в § 4. 5 приводятся критерии, необходимые и достаточные, чтобы получить в окрестности нерегулярной точки на особой линии границы области однородную краевую задачу и перейти к автомодельному решению. Полученные критерии позволяют охарактеризовать порядки изменения НДС от координат точки при приближении к нерегулярной точке границы изнутри области.

В главе IV делается вывод о том, что в силу автомодельности решения упругой задачи напряжения, деформации, перемещения в некоторой окрестности нерегулярной точки границы области допускают группу подобия и обладают свойством гомогенности функций, характерным тем, что такие функции представимы в виде степенных комплексов. Такими же свойствами (подобия, гомогенности) должно обладать и экспериментальное решение, полученное на модели в виде картины полос методом фотоупругости. Поэтому порядки полос в некоторой окрестности нерегулярной точки границы модели так же, как и напряжения, должны обладать свойством подобия, гомогенности и быть представимы в виде степенных комплексов, /п~сЛгл'', что подтверждается исследованиями данных эксперимента в последующих главах V, VII.

В главе V рассматривается расчетно-зксперименталькое обоснование метода исследования НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений. Для этого проводится теоретико-экспериментальное исследование НДС в плоской области конструктивной неоднородности границы при действии разрывных вынужденных деформаций с использованием фотоупругих моделей. Определяется возможность восстановления данных эксперимента в области концентрации напряжений (сингулярного решения упругой задачи), в которой изохромы на полимерной модели метода фотоупругости не читаются или "плохо" читаются.

В § 5.1 рассматривается плоская задача теории упругости в окрестности

нерегулярной точки границы, в которую выходит линия контакта областей со скачком вынужденных деформаций. Однородное или кусочно-однородное тело, находящееся в плоском напряженном состоянии, имеет на границе угловую точку. По границе контакта Г = Г] и Г, областей Ц иП2, составляющих упругое тело, вынужденные деформации, объёмные силы имеют скачок вида:

|г, 5 и = х,у. (5.1)

Модули упругости, коэффициенты Пуассона, коэффициенты линейного расширения областей О] и 0.2 постоянны и различны: г,] еО] и

£21^21^2 Ь] е 02 соответственно. Граничные условия в окрестности нерегулярной точки 0(0,0) на границе I0 однородны.

Рассмотрим малую окрестность точки 0(0,0) части тела В в виде 2 2 2

х +у <£] ; г <е0, е^е^- положительные достаточно малые числа.

Применяем группу подобия:

yl = ty^> г1 = г, сгу^Щу, щ=щ. (5.2)

Разрешающая система уравнений плоской задачи теории упругости в этой окрестности перепишется:

=0, (5-3 а)

дя 'Г1 ' г а/1 ■ м

1

£>¡,«^=0; 1^»л|ге=7^|га. ("б)

Щп\Г. = ; «/1г, = ' (5'3 в)

+ + (5.3 Г)

где А = 1,(х1,у))е01; к.=2,(х^,у{)е0.2> пД ~п]- нормаль к

линии контакта областей Г = Г, иг2, ГВ - граница области, содержащей 01фе-стность нерегулярной точки границы. При изменении геометрического параметра 1, характеризующего "степень" приближения к нерегулярной точке границы, вид разрешающей системы уравнений (5.3) меняется (§ 5. 2) следующим образом.

а) При неограниченном возрастании геометрического параметра — Е\ «е,, £,->0; г2-»0, плоская задача теории упругости ку-

сочно-однородного тела (Ек, Ук, ак,к = 1,2) с заданными нагрузками: вынужденными деформациями, температурными деформациями, объёмными силами, в окрестности нерегулярной точки 0(0,0) границы, приводится к однородной краевой задаче для кусочно-однородного тела с однородными граничными условиями (канонической, сингулярной).

Решение =(<х|, Щ, й-') полученной однородной краевой задачи с

однородными граничными условиями характеризует особенность НДС в нерегулярной точке 0(0,0) и её окрестности, зависит от заданной формы границы, типа однородных граничных условий и значений механических характеристик материала (Ек, Ук, к = 1,2). Нетривиальное решение полученной однородной краевой задачи определим как собственное решение.

б) При ¿->1 система уравнений (5.3) совпадает с исходной при действии заданных нагрузок. При г -> 1 НДС: 4" - и") обусловлено заданными нагрузками и граничными условиями.

в) В промежуточном диапазоне изменения значений параметра г е (1 + а, Л?), где N > 0 - достаточно велико, а > 0 - достаточно мало, действует как собственное НДС , так и НДС ^" от заданных нагрузок.

В § 5. 3 согласно рассмотренным случаям изменения параметра í доказывается, что решение плоской задачи кусочно-однородного тела в окрестности нерегулярной точки границы можно представить в виде:

а9 = Ц+а%, Щ = или 1 = 1с+1\ (5.4)

где |"с = (Щ, й-) - сингулярное решение однородной краевой задачи, характеризует особенность НДС в окрестности нерегулярной точки границы; =(б0> ёу, «/')-решение системы (5.3), обусловленное влиянием действия

заданных нагрузок следующего вида: сгТ, I ,

г 1гв ? 1гв

1 1

—а^Гдц, а также влиянием действия скачка вынужденных деформаций и объёмных сил (5.1) по линии контакта Г = Г] и Г2 областей Ц ий2:

Рассматривая влияние геометрического параметра г на вид разрешающей системы уравнений плоской задачи в окрестности нерегулярной точки границы, в § 5. 4 определены характерные области действия НДС.

а) Существует такая окрестность нерегулярной точки границы плоской области, в которой ст,-,- о-?-, сгу -»0. Особенность собственных напряжений

Оу (деформаций имеет степенной вид гКеЛ~', Я е [0,0.5], Порядки полос в области концентратора напряжений на модели (области сингулярного решения) не читаются ни при каком увеличении окрестности нерегулярной точки.

б) Существует такая окрестность нерегулярной точки границы области, в которой а у я сг£, (Ту «0 и справедлива несингулярная однородная упругая задача с тем же "собственным" значением ттЛеЛ , что и в сингулярной задаче. Область несингулярного решения не содержит окрестность сингулярного решения и саму нерегулярную точку, а примыкает к ней. При стремлении извне к границе области сингулярного решения напряжения, деформации меняются

непрерывно, их значения велики, но конечны. Порядки полос на модели, соответствующие несингулярной области решения, читаются за возможным исключением некоторых.

в) При достаточном удалении от нерегулярной точки границы существует такая область, в которой &ц = сгд, &Ц =0, и напряжения обусловлены заданными нагрузками (общим полем напряжений).

В области несингулярного решения однородной плоской упругой задачи в § 5. 5 даны оценки решения, используя которые можно экстраполировать решение на сечения, близко расположенные к нерегулярной точке границы, с учетом данных эксперимента и практической точности измерения данных методом фотоупругости.

Анализируя НС в вершине прямоугольного клина на примере известного экспериментального решения М. Фрохта (рис. 5.1), выбирая область несингулярного решения (т = 7), примыкающая к сингулярной области, восстанавливается значение нагрузки. Делается вывод о возможности восстановления порядка полос в малой окрестности вершины клина, исходя из практической возможности экспериментального решения и точности метода фотоупругости в рамках линейно-упругой постановки.

Экспериментальное решение термоупругой задачи рассматривается на составной плоской модели, в одной из областей которой созданы температурные деформации аТду, а другая область свободна от нагрузок. Скачок вынужденных деформаций Ав^ = аТ8у по линии контакта областей, составляющих

модель, выходит в нерегулярную точку 0(0,0) границы с прямым торцом. Картина полос, полученная методом размораживания для одной из областей модели, приведена на рис.5.2.

Собственные напряжения в окрестности нерегулярной точки 0(0,0) границы области с прямым торцом имеют вид: ссЛ/Т

сгг=-(с1соз<? + с2зт6г); ств = тгв=0 (5.5)

г

Особенность собственных радиальных напряжений в области с прямым торцом (рис.5.2) такая же, как и особенность радиальных напряжений для прямоугольного клина (рис.5.1) под действием силы в задаче М.Фрохта: при

г0 иг — -— —> оо. Поэтому картина изохром рис.5.1, соответствующая радикальным напряжениям в экспериментальном решении М.Фрохта, является картиной собственных радиальных напряжений вида (5.5) в окрестности нерегулярной границы прямого торца области (рис.5.2).

В области с прямым торцом построены эпюры порядков полос (изохром) для нескольких радиальных сечений, приведенные на рис.5.3.

Установлено подобие эпюр порядков полос. По экспериментальным данным выбрано расчетное сечение в области несингулярного решения однородной задачи (г-г). Учитывая непрерывность и подобие изменения порядков полос, в сечении (д-д) построены эпюры порядков изохром (рис.5.3), а по ним

и собственных радиальных напряжений (5.5). Сечение (д-д) располагается в области сингулярного решения, где картина полос не читается или "плохо" читается.

Рис. 5.1. Сопоставление теоретической и экспериментальной картин полос согласно работе М. Фрохта

Рис.5.2. Сопоставление теоретической и экспериментальной картин полос для области с прямым торцом границы

Рис. 5.3. Эпюры порядков полос по данным эксперимента. Сечение г-г - расчетное

Применение общего представления НС в окрестности нерегулярной точки границы области и его анализ выявляют следующие неясные вопросы: а) что означают острые углы изохром на картине полос модели (рис.5.2; рис.5.3) в области концентратора; б) как согласуется положение нейтральной оси для модельного клина, характеризующего "особенность" решения в окрестности нерегулярной точки, и отсутствие на картине полос модели нулевой изохромы т = О, приходящей в нерегулярную точку; в) как экспериментально доказать (увидеть) существующее самоуравновешенное НДС, переходящее в сингулярное решение в окрестности нерегулярной точки гра-

вицы; г) как экспериментально в сечении г = г0 окрестности нерегулярной точки границы определить угол в = ва, при котором "собственные" радиальные напряжения асг = 0 (или тс = 0).

Для оценки и экстраполяции решения в зоне концентрации напряжений (окрестности нере^лярной точки границы области) необходимы подробные данные эксперимента в этой области для их анализа. Поэтому возникает необходимость оценить возможности получения методом фотоупругости и размораживания деформаций напряженного состояния в области, максимально приближенной к области концентрации напряжений, с учетом подробности визуализации данных эксперимента при цифровой съёмке и обработке, стандартными способами разделения напряжений.

В главе VI напряженное состояние составных конструкций в зоне концентрации напряжений при действии разрывных вынужденных деформаций рассматривается на плоских моделях с угловым вырезом. Анализируются возможности получения методом фотоупругости напряженного состояния в области концентрации напряжений.

Цифровая обработка данных эксперимента позволяет фрагментировать картины полос и изоклин с малым параметром изменения, что расширяет возможности метода фотоупругости.

Экспериментальное решение получено на составной плоской модели длиной /=180 мм, шириной 46 (48) мм методом размораживания деформаций. В одной из областей модели fi2 созданы температурные деформации аТ8у, а другая область fij-не нагружена. Скачок температурных деформаций по поверхности контакта областей выходит в нерегулярную точку 0(0,0) границы -вершину выреза модели. Экспериментальное решение анализируется в области вершины выреза границы модели с различными углами раствора торца: а) прямого 2а = 180°; б) "срезанного" прямого торца а = 105°; /? = 75°; а + /? = 1 80°; в) торца с симметричным углом выреза 2а - 260° .

Используя подробные экспериментальные данные, полученные при цифровой съёмке, возможно фрагментировать область торца модели таким образом, что применимы стандартные способы разделения напряжений метода фотоупругости: графический и метод разности касательных напряжений, в области, максимально приближенной к зоне концентрации напряжений.

Выбирая различные фрагменты области модели, построены картины изостат в целом в области торца модели, так и картины изостат в области, прилегающей к зоне концентрации напряжений.

Разделяя напряжения методом касательных напряжений в нескольких сечениях модели с различными растворами торца, учитывая непрерывность изменения порядков полос и параметров изоклин, построены эпюры напряжений в сечениях достаточно близко расположенных к зоне концентрации напряжений.

Результат разделения напряжений показывает, что во всех рассмотренных сечениях области с различными углами выреза границы наблюдаются

точки, в которых СГ| = -<т2, а площадки, наклоненные под углом 45° к главным, находятся в условиях чистого сдвига: гшах = <jx , a¡ = [(о, + <т2)/2] = 0 •

Точки, в которых наблюдаются площадки чистого сдвига, располагаются в вершинах острых углов изохром и их окрестностях. Результат разделения напряжений показывает, что линия, соединяющая острые вершины углов изохром, выходящая в вершину выреза границы т. 0(0,0), является линией "чистого сдвига", в каждой точке которой наблюдаются площадки чистого сдвига.

Полученные в главе VI результаты разделения напряжений показывают, что современные возможности визуализации экспериментальных данных при цифровой съёмке и обработке данных, применение стандартных методов разделения напряжений позволяют получить НС в области, прилегающей к зоне концентрации напряжений, что расширяет возможности метода фотоупругости по анализу экспериментального решения. Для зоны концентрации напряжений (области сингулярного решения задачи теории упругости), в которой картины полос не читаются ни при каком увеличении фрагмента области, необходима разработка метода, позволяющего экстраполировать уверенные данные эксперимента на область концентрации напряжений.

В главе VII предложенным расчетно-экспериментальным методом проводится анализ НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений, в которую выходит линия контакта областей со скачком вынужденных деформаций. Приводится формула и порядок экстраполяции данных эксперимента в области концентрации напряжений.

НДС конструкций в зоне концентрации напряжений анализируется по данным экспериментального решения на плоских составных моделях. Разрыв температурных деформаций по линии контакта областей, составляющих модель, выходит в нерегулярную точку границы - вершину углового выреза границы с различными углами раствора, рассмотренными в гл. V, VI.

По данным разделения напряжений в § 7. 1 напряженное состояние в зоне концентрации напряжений одной из областей модели характеризуется следующим образом

Область I- область, прилегающая к оси симметрии модели Г: у = 0, где главные сжимающие напряжения а2 значительно превосходят по модулю главные растягивающие напряжения crj: ^»о,, CTj-^О при (x,7)->(x,0); crd = 0 . Радиальные напряжения в области I: агша2.

Область III - область, прилегающая к границе выреза модели, в которой растягивающие главные напряжения <Т] значительно превосходят модуль сжимающих напряжений <т2 : crj »|сг21; а2 0 при (x,y)->S, где граница области S: у = ах, а = tga, 2а - угол раствора торца модели; и2 = 0. Радиальные напряжения в области III: ar s сг,.

Область II - переходная область, в которой наблюдаются вершины острых углов изохром и значительные градиенты параметра изоклин, образующих петли.

В переходной области II наблюдаются точки, в которых главные напряжения О] = -<т2 ■ Область II содержит линию чистого сдвига, которая проходит через вершины острых углов изохром и в каждой точке которой наблюдаются площадки чистого сдвига. По данным эксперимента площадки чистого сдвига совпадают с радиальными. Радиальное напряжение по площадке чистого сдвига равно нулю: аг = ст,- = 0, гтах Ф 0.

Такое распределение радиальных напряжений в окрестности вершины выреза границы плоской модели соответствует "теоретическому" радиальному распределению напряжений:

аЕТ

о> =с/(г)<р(в) = -^гг(с]сове + с25тв), <70=^ = 0. (7.1)

. На площадках чистого сдвига при в = 0О аг= 0.

Согласно данным анализа глав IV и V решение задачи теории упругости ?1 в окрестности нерегулярной точки границы плоской области, в которую выходит конечный разрыв вынужденных деформаций, представимо в виде:

77 = ^+77", (7.2)

где г]с- "собственное" решение однородной краевой задачи в окрестности нерегулярной точки границы области, характеризующее особенность решения; г/"* - НДС, обусловленное действием заданных нагрузок, зависит от геометрического параметра - "степени приближения" к особой точке. Представление (7.2) справедливо и в пространственном случае для точек на особой линии границы области.

Согласно теоретическому представлению НДС в виде (7.2) в окрестности особой точки границы плоской области существует два самоуравновешенных напряженных состояния.

Первое - самоуравновешенное радиальное напряженное состояние, полученное как решение плоской однородной краевой задачи в окрестности нерегулярной точки границы области, переходящее в сингулярное НС при приближении к нерегулярной точке границы изнутри области.

Другая оставшаяся часть самоуравновешенного плоского НС в области вершины углового выреза границы, соответствует напряжениям, обусловленным действием заданных нагрузок или общего поля напряжений.

Картина полос т (изохром) для одной из областей 02 модели с прямым торцом, полученная методом размораживания, приведена на рис.7.1. По данным разделения напряжений в окрестности точки 0(0,0) при угле в к 57,5° иг = 0. С учетом этого собственные напряжения в окрестности нерегулярной точки 0(0,0) прямого торца плоской области имеют вид: аЕТ с

иг=-[-1,57ссв0 + зш0]3 ав = тгв=0, (7.3)

где с -неизвестная постоянная.

Радиальные напряжения (7.3) в сечении малого радиуса г = г0 в области П2 модели (рис.7.1) статически эквивалентны действию вертикальной силы, направленной вдоль оси ОХ: Рв = £ЛГ = -с?(1,57ж + 1)/4, при этом горизонтальный распор Рг = £7 = 0 .

Рассматривается модельная задача - прямоугольный клин бесконечной длины под действием сосредоточенной силы, статически эквивалентной экспериментально полученным радиальным напряжениям в сечении малого радиуса модели. На рис.7.2 дана картина полос для клина раствора 2а = я/2 под действием сосредоточенной силы, полученная в работе М. Фрохта. Угол наклона нейтральной оси составляет 0 = 57,5° с вертикальной границей модельного клина (рис.7.2 ). Изохромы, соответствующие радиальному напряженному состоянию ( рис.7.2 ) имеют характерные дуги окружностей, касающиеся нейтральной оси в вершине клина. "Похожие" дуги изохром (рис. 7.1 ) наблюдаются в области точки 0(0,0) плоской области и касаются линии чистого сдвига. Совпадение угла наклона линии чистого сдвига в области прямого торца модели и нейтральной оси модельного клина, совпадение параметра изоклины в вершинах изохром модели и вычисленного угла наклона главных площадок подтверждает экспериментально существование самоуравновешенного радиального напряженного состояния в окрестности вершины выреза плоской области, отвечающего собственному напряженному состоянию <Ту в

общем представлении НС: сг^ = <Ту + сг;".

Для составных плоских моделей с различными растворами торцов: 2а = 180°, 260°(рис7.3б), 270°(рис.7.3а), 300°, 330°(рис.7.3в), 360°(узкий вырез по линии контакта областей) экспериментально показано, что угол наклона линии чистого сдвига, определяемый по картине изохром, в некоторой достаточно малой окрестности вершины выреза модели совпадает с углом наклона нейтральной оси вспомогательного клина соответствующего раствора под действием сосредоточенной силы, статически эквивалентной экспериментально полученным радиальным напряжениям в сечении малого радиуса модели. Такое совпадение расчетно-экспериментальных данных показывает существование самоуравновешенного радиального НС в окрестности нерегулярной точки границы, характеризующего особенность НС и определяемого как решение однородной краевой задачи.

Сопоставление значений радиальных напряжений, вычисленных согласно теоретическому распределению (7.1), значений главных напряжений сг1 и <т2, полученных экспериментально методом разделения напряжений, порядков полос по данным эксперимента для плоских моделей с различными растворами торцов доказывает существование в окрестности вершины выреза плоской области двух самоуравновешенных НС и справедливость теоретического представления (7.2).

Рис.7.1. Картина полос т в области мо- Рис.7.2.Картина полос т модельного кли-дели с прямым торцом с указанием угла на- ,ю согласно работе М.Фрохта. Угол накло-

кпона линии чистого сдвига 0 = 57,5 на нейтральной оси в = 51,50

Рис. 7.3. Картина полос в области С12 торца плоской модели с углом раствора 2а и указанием угла наклона линии чистого сдвига в0 для случаев: а) а = 135°, вй — 80°, б) « = 130°, в0 ~78°, в) а = 165°, в0 =83,5°

Рост порядков полос, наблюдаемый изнутри области, а не в самой вершине выреза области на картинах изохром, объясняется также существованием самоуравновешенного радиального состояния сг?. в окрестности нерегуляр-

ной точки границы.

Неравенство нулю порядков полос в области чистого сдвига окрестности нерегулярной точки границы доказывает существование дополнительного самоуравновешенного НС егЦ, обусловленного действием заданных нагрузок

или общего поля напряжений.

Предложенный метод анализа НДС зоне концентрации напряжений плоской области позволяет экстраполировать уверенные экспериментальные данные, полученные по области с "читаемой" картиной изохром, на сингулярную область решения, где картина полос не читается или "плохо" читается.

Возможность построения эпюр по области с "нечитаемой" картиной изохром первоначально обусловлена экспериментально установленным фактом -подобие эпюр порядков полос в радиальных сечениях в области вершины выреза границы (окрестности нерегулярной точки границы) составных плоских моделей с различными углами раствора торцов.

Порядок полос для сечений окрестности нерегулярной точки границы плоской области можно записать в виде: т-с /(г) гр(в), где / (г) - функция переменной г, характеризующая особенность НС в окрестности нерегулярной т. 0(0,0) границы области, порядок которой 1(р{9)- функция угла в, д е [0, а\, одинакова для проведенных сечений фиксированного радиуса. Порядки полос для (¡+1), г сечений фиксированных радиусов соотносятся:

С учетом (7.4 ) порядки полос для любого {1+1) сечения по данным порядков полос для -ого сечения большего радиуса в некоторой области вершины выреза границы т. 0(0,0) запишутся в виде:

де гм </}, - радиусы сечений г, (г+1) соответственно в области

т. 0(0,0); Ш/ - известные, читаемые порядки полос в сечении радиуса тм - определяемые порядки полос в сечении радиуса , для которого порядки изохром "плохо" читаются или не читаются, - минимальное значение действительной части комплексного корня характеристического уравнения модельного клина соответствующего раствора, определяется расчетно..

Согласно зависимости (7.5) построены эпюры порядков полос т в сечениях 1,2, 3 области вершины выреза границы модели с углами раствора торца 2а = 260° (рис.7.4 а) и 2а = 300° (рис.7.5). В рассмотренных сечениях практически совпадают эпюры порядков полос, построенные по соотношению (7.5) и по экспериментальным данным напрямую по картине полос модели. Совпадение эшор порядков полос ( рис.7.4 а, рис.7.5 ) позволяет применить формулу (7.5) для экстраполяции данных эксперимента.

(7.5)

Рис. 7.4. Одна из областей модели с раствором торца 2а =260°: а) эпюры порядков полос т в сечениях 1, 2, 3; б) эпюры порядков полос т в сечениях 3, 4 и радиальных напряжений (Тг в сечении 4 (пунктир)

Рис.7.5. Одна из областей плоской модели с раствором торца 2а = 300°. Эпюры порядков полос т в сечениях 1, 2, 3, 4 и радиальных напряжений <гг сечении 4 (пунктир)

По экспериментальным данным в области вершины выреза плоской модели (рис.7.4 а, рис.7.5) выбирается расчетное сечение 3. Данное сечение близко расположено к области сингулярного решения однородной краевой задачи. В сечении 3 порядки полос достаточно велики, начинают слегка размываться, но читаются.

Учитывая непрерывность изменения порядков полос, зависимость (7.5), по данным сечения 3 построены эпюры порядков полос в сечении 4, расположенном в области с "нечитаемой" картиной полос.

Для плоской модели с раствором торца 2а = 260° (рис. 7.46) и 2а = 300° (рис. 7.5) порядки полос в сечении 4 определяются соответственно:

2а = 260°;

и-

)

= (1,26(6))0,4372т3, /714=1,11^3, Ло = 0,5628 ;

2а = 300°: т4 = (1,б)0'4878 тъ = 1,26я?3 , Л,, =0,5122.

Учитывая эпюры изохром, в сечении 4 в зоне концентрации напряжений построены эпюры "собственных" радиальных напряжений с,. вида (7.1) для

областей с растворами торцов 2а = 260° (рис 7.46, пунктир), 2а = 300° (рис 7.5, пунктир). Неизвестные коэффициенты определяются по данным эксперимента.

В § 7. 5 приводится порядок построения эпюр порядков полос т и радиальных напряжений аг в зоне концентрации напряжений при действии вынужденных деформаций, разрыв которых выходит в точку концентрации на границе модели.

Экстраполируя непрерывно в рамках линейно-упругой постановки задачи экспериментальные данные, полученные по области с "читаемой" картиной изохром, на зону концентрации напряжений, где картина полос не читается или "плохо" читается, возможно построить эпюру порядков полос т и собственных радиальных напряжений в сечении, приближенность которого к источнику концентрации напряжений (нерегулярной точке границы) обусловлена точностью измерения экспериментальных данных на модели и практической точностью метода фотоупругости.

Основные выводы и результаты работы

1. Разработан расчетно-экспериментальный метод исследования НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений, включая теоретико - экспериментальное обоснование, апробацию, применение.

2. Применение моделирования задач с вынужденными деформациями

с использованием свойства "размораживания" деформаций для исследования НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений, обусловленной конструктивной неоднородностью формы границы и разрывными вынужденными деформациями, методом фотоупругости, для решения задач теории упругости кусочно-однородных тел, учета влияния на их НДС механических характеристик на моделях из стандартного полимерного материала, для исследования особенностей решения задачи теории упругости в окрестности нерегулярной точки границы, в которую выходит разрыв вынужденных деформаций, на основе экспериментальных данных фотоупругости, для решения задач инженерной практики.

3. Теоретико-экспериментальный анализ и представление решения задачи теории упругости с вынужденными деформациями для кусочно-однородных и однородных тел в окрестности нерегулярных точек или линий границы области как общий методологический подход, расширяющий воз-

можности исследований НДС составных конструкций методом фотоупругости и методом размораживания деформаций, как по классу конструкций и решаемых задач в зоне концентрации напряжений, так и по получению экспериментальных данных и их анализу.

Доказаны следующие представления решения задачи теории упругости, составляющие теорию моделирования и теоретическое обоснование разработанного метода:

1. Представление решения задачи теории упругости для кусочно-однородных или однородных тел (гл. II, III,V) в виде:

гг -л' +П-М „ -„(") р -Р(") гдет} = (сгу, Ejj, 2i;)-решение исходной кусочно-однородной или однородной

задач теории упругости при заданных воздействиях и, в частности, вынужденных несовместных деформациях общего вида; ",') - решения

двух (или нескольких) упругих однородных задач для отдельных элементов, составляющих упругое тело, с заданными механическими характеристиками, объёмными силами, вынужденными деформациями, закреплениями;

и(")) - решение вспомогательной кусочно-однородной или

однородной задачи при действии вынужденных деформаций s]j в каждом из

элементов, составляющих упругое тело, обусловленное выполнением условий непрерывности по поверхности стыка элементов.

Такая последовательность решения задачи теории упругости отражает идею метода размораживания деформаций и является основой для разработки ряда методик моделирования НДС конструкций (упругих тел) с использованием свойства "размораживания" и их применения, в частности, в данной работе:

а) Разработка метода моделирования задач теории упругости для кусочно-однородных тел методом фотоупругости на моделях из стандартного оптически чувствительного материала.

б) Теоретическое доказательство возможных схем моделирования НДС конструкций (задач теории упругости) при действии вынужденных деформаций методом размораживания в зависимости от разрезки модели на микро и макроэлементы и вида дисторсий.

2. Представление решения задачи теории упругости в окрестности нерегулярной точки на особой линии границы области (гл. IV, V, VII) виде:

где 77 ~ НДС в окрестности нерегулярной точки на особой линии границы однородного или кусочно-однородного тела с однородными граничными условиями. В данную линию (точку) выходит поверхность (линия) контакта областей, по которой создан конечный разрыв (скачок) вынужденных деформаций, объёмных сил, постоянных в областях механических характеристик; 7f- собственное решение однородной краевой задачи в окрестности нерегулярной точки на особой линии границы области, в пространственном случае представимо в виде решения двух плоских однородных задач: плоской дефор-

мации и антиплоской деформации; Г)" - НДС, обусловленное действием заданных нагрузок, зависит от геометрического параметра - "степени приближения" к особой точке. Данное представление так же справедливо и применяется для плоской упругой задачи (гл.У, VII).

Расчетно-эксперименталъный метод исследования НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений при действии разрывных вынужденных деформаций включает следуюгцие разработки и обобгцения.

1. Дан анализ НДС в окрестности особых точек и линий границы однородных и кусочно-однородных тел в рамках линейно-упругой постановки в плоском и пространственном случае. Поверхность (линия) контакта областей, составляющих упругое тело, по которой создан конечный разрыв (скачок) вынужденных деформаций, объемных сил, постоянных в областях физико-механических характеристик, выходит в нерегулярную линию (точку) границы упругого тела. Исследуется, в основном, НДС в окрестности нерегулярной точки на особой линии границы тела, что соответствует исследованию конструкций и сооружений, наиболее часто применяемых в строительной практике. Сформулирован общий аналитический подход, характеризующий сингулярность решения в окрестности нерегулярной точки границы упругого тела, пригодный для анализа экспериментально полученного на модели упругого решения в области геометрического концентратора.

Показано, что порядки полос в некоторой окрестности нерегулярной точки границы модели так же, как и напряжения, должны обладать свойством подобия, гомогенности и быть представимы в виде степенных комплексов, т - СЛгя_1, что подтверждается исследованиями данных эксперимента в зоне концентрации напряжений.

2. Предложена и доказана схема расчетно-экспериментального исследования напряженного состояния конструкций в зоне концентрации напряжений, а также экспериментального решения в окрестности нерегулярной точки границы плоской области, в которую выходит линия контакта областей со скачком вынужденных деформаций. Согласно этой схеме существует два самоуравновешенных НС.

Первое - самоуравновешенное радиальное НС, полученное как решение плоской однородной краевой задачи в окрестности нерегулярной точки границы области, переходящее в сингулярное НС при приближении к нерегулярной точке границы изнутри области.

Другая оставшаяся часть самоуравновешенного плоского НС в области вершины углового выреза границы, соответствует напряжениям, обусловленным действием заданных нагрузок или общего поля напряжений.

3. Экспериментально установлено существование самоуравновешенного радиального НС в окрестности нерегулярной точки границы составной плоской области, которое характеризует особенность НС и определяется как решение однородной краевой задачи. Существование такого самоуравновешенного радиального НС объясняет рост порядков полос, наблюдаемый изнутри области концентрации напряжений, а не в самой вершине выреза модели. От-

сутствие нулевой, полосы объясняется существованием другого самоуравновешенного НС, обусловленного общим полем напряжений.

4. Доказано существование "несингулярной" окрестности нерегулярной точки границы плоской области, в которой справедливо несингулярное решение плоской однородной краевой задачи, переходящее при уменьшении радиуса сечения в сингулярное решение, для которого картина полос и изоклин в зоне концентрации напряжений - вершины выреза модели, размываются и не читаются ни при каком увеличении области. Даны оценки НС в области несингулярного решения упругой задачи, позволяющие экстраполяцию данных эксперимента.

5. Экспериментально установлено подобие эпюр порядков полос в радиальных сечениях области несингулярного решения однородной краевой задачи на плоских составных моделях с различными углами выреза границы при действии вынужденных несовместных деформаций, разрыв которых выходит в точку концентрации напряжений.

6. Приводится порядок обработки данных эксперимента и предлагается формула экстраполяции порядков полос в зону концентрации напряжений:

где m¡- порядки полос по данным эксперимента в расчетном сечении r¡ области несингулярного решения однородной краевой задачи, тм порядки полос в сечении меньшего радиуса rM <r¡, расположенного в области с нечитаемой или "плохо" читаемой картиной изохром модели, Á¡¡ = min Reí - минимальное значение действительной части комплексного корня характеристического уравнения однородной краевой задачи для модельного клина, определяется расчетно.

В работе предложены следующие методологические разработки.

1. Показано, что способы визуализации экспериментальных данных при цифровой съёмке и обработке в совокупности с разработанными способами разделения напряжений метода фотоупругости и возможностями численной обработки данных позволяют получить НС в области, максимально приближенной к зоне концентрации напряжений. На плоских моделях с различными углами выреза границы, в вершину которого выходит заданный разрыв вынужденных деформаций, экспериментально получено НС в сечениях, прилегающих к области с "нечитаемой" картиной изохром. Линия, соединяющая вершины острых углов изохром, выходящая в вершину выреза границы, является линией "чистого сдвига", в каждой точке которой наблюдаются площадки чистого сдвига.

2. Представления решения задач с вынужденными деформациями в зависимости от вида заданных деформаций, схемы разрезки области упругого тела и последовательности создания дисторсий в элементах тела позволяют использовать рассмотренные схемы решения упругих задач как методику анализа решения задачи теории упругости с заданными дисторсиями.

3. Предложенный метод исследования НС конструкций в зоне концентрации напряжений (окрестности нерегулярной точки границы составной плоской области) апробирован на составных моделях плоских областей с различными углами выреза границы. Причем скачок температурных деформаций по линии контакта элементов, составляющих модель, выходит в источник концентрации напряжений - вершину выреза на границе.

Предлагаемый расчетио-экспериментальный метод позволяет получить и анализировать НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений, обусловленной конструктивной формой границы и вынужденными деформациями, разрыв которых выходит в точку концентрации напряжений.

Предлагаемый метод рекомендован для исследования НДС конструкций в местах резкого изменения формы границы, имеющих ступенчатую или угловую форму границы, при действии скачкообразного изменения вынужденных деформаций, температур в стыках разнородных материалов с различными коэффициентами теплового расширения, механическими свойствами, при учёте напряжений от монтажа, последовательности изготовления конструкций, от посадки с натягом.

Предлагаемый метод расширяет круг задач и вопросов, эффективно решаемых методом фотоупругости и методом размораживания деформаций за счет возможностей экспериментального исследования локального НДС составных конструкций и сооружений в зоне концентрации напряжений с различными вариантами конструктивного оформления границы: входящие углы, при действии вынужденных деформаций, разрыв которых выходит в точку концентрации напряжений.

Предлагаемый в работе метод позволяет повысить достоверность результатов исследования НДС конструкций в зоне геометрического концентратора напряжений при действии разрывных вынужденных деформаций, сопоставить и верифицировать численные и аналитические подходы решения.

Моделирование задач теории упругости с вынужденными деформациями для кусочно-однородных и однородных тел методом "размораживания" применено при решении следующих инженерных задач.

Исследовано термонапряженное состояние подземного здания бетонного свода Колымской ГЭС: а) в строительный период в момент времени наиболее опасный для напряженного состояния свода здания, б) в период эксплуатации подземного здания ГЭС с учетом изменения модуля упругости мерзлых пород, вмещающих здание, при их опаивании;

Исследовано НС сферической защитной оболочки здания АЭС в области конструктивной неоднородности, обусловленной технологическими проходками. Исследовано влияние изменения модуля упругости элементов перекрытий за счет снижения их жесткости на НС системы "горячий бокс-перекрытие" типового здания АЭС.

Исследовано термонапряженное состояние квадратного в плане блока, заделанного в упругое основание, при его остывании с учетом зависимости модуля упругости бетона от температуры.

Основные результаты, приведенные в диссертации, опубликованы в следующих работах:

1. Фриштер JI.IO. Применение метода "размораживания" свободных температурных деформаций к решению кусочно-однородных задач. Деп. во ВНИИИС Госстроя СССР, per. № 3606, М., 1982, 10 с.

2. Фриштер Л.Ю. О моделировании температурной задачи составных тел методом фотоупругости. Деп. во ВНИИС Госстроя СССР, per. № 3626, М.,1982, 9с.

3. Савостьянов В.Н., Сидорова Г.И., Исайкин A.C., Фриштер Л.Ю. Способ моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций и сооружений. Авт. свидетельства №1767368, № 1767369, дата per. 08.06.92.

4. Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю., Трушина Н.Е. Учет погрешности, вызываемой неравенством коэффициентов Пуассона материалов модели и натуры при решении объёмной задачи // Сб. трудов под. ред. Г.Л.Хесина, №188, М. :МИСИ, 1982, с.169-181.

5. Варданян Г.С., Фриштер Л.Ю. Моделирование термоупругих напряжений в составных конструкциях. Известия АН АРМ.ССР. "Механика", вып. XXXVIII, №6, 1986, с.3-10.

6. Г.Л.Хесин, Г.С.Варданян, В.Н.Савостьянов, А.С.Исайкин, Л.Ю. Фриштер, О.А.Когодовский. Термонапряженное состояние свода подземного здания ГЭС при строительстве и эксплуатации. Гидротехническое строительство^, 1988 , с. 20-26.

7. Савостьянов В.Н., Двалишвили В.В., Ларионов A.B., Фриштер Л.Ю., Сахаров В.Н., Старчевский A.B. Оценка сравнительного влияния нагрузочных факторов на напряженное состояние свода подземного здания ГЭС в много-летНемерзлом массиве. Решение инженерных задач методом фотоупругости // Сб. тр. под .ред. Г.Л.Хесина. М. : МИСИ, 1988, с. 37-42.

8. Савостьянов В. Н., Цинцадзе П.П., Фриштер Л.Ю., Алексеева Е.Г., Булгаков В.Е. Моделирование термонапряженного состояния коробчатых конструкций зданий АЭС методом фотоупругости. Решение инженерных задач методом фотоупругости // Сб. науч. тр. под ред. Г.Л.Хесина. М. : МИСИ, 1988, с.23-28.

9. Варданян Г.С., Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю. Измерение напряжений в кусочно-однородной задаче теории упругости с учетом неравенства коэффициентов Пуассона материалов модели и натуры. Материалы международной конференции "Испытательное оборудование для экспериментальных исследований механических свойств материалов и конструкций", ИМЕКО. М., 1989.

1'0. Vardanjan G.S., Frishter L.J. Modellierung thermoelastischer Spannungen in zusammengesetzten Konstruktionen. Spannungsoptische Untersuchungen. Beiträge (3). Bauakademie. DDR. Berlin. 1986, 4-7.

11. Н.Савостьянов, А.И.Дикарев, Фриштер Л.Ю. Моделирование кусочно-однородной задачи методом фотоупругости. Материалы международной конференции "Сварные конструкции" АН Укр. ССР, ИЭС им. Е.О. Патона, Киев,1990, с.36.

12. В.Н.Савостьянов, А.С.Исайкин, Л,Ю. Фриштер, Г.И. Сидорова, Г.А. Мариннчева. Применение "искусственной сжимаемости" при экспериментальном решении объёмной задачи теомоупругости. Материалы международной конференции "Сварные конструкции" АН Укр.ССР, ИЭС им.Е.О. Патона, Киев, 1990, с.23-24.

13. Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю., АлексееваЕ.Г. Исследование при-скальных блоков при зимнем бетонировании. Расчетные предельные состояния бетонных и железобетонных конструкций энергетических сооружений. ПРЕДСО-90 // Материалы конф. и совещаний по гидротехнике. ВНИИГ им. В.В. Веденеева. СПб., 1991, с. 29-32.

14. Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю. Моделирование кусочно- однородной задачи механики деформируемого твердого тела методом фотоупругости. Известия АН РАН. Механика твердого тела. М., №6, 1993, с.38-43.

15. Завалишин С.И., Смирнов С.Б., Морозова Д.В., Фриштер Л.Ю. Исследование напряженного состояния сферической оболочки АЭС. Энергетическое стороительство, №4,1994, с.66-67.

16. Vardanjan G.S., Savosteanov V, N., Frishter L.J. The development pho-toelasticity method for solutions of piece-homogeneous elastic problems of solid mechanics. Proceeding SPIE the international Society for Optical Engineering. Photomechanics'95 Novosibirsk, 1995, c. 44.

17. Фриштер Л.Ю., Савостьянов В.H. О представлении кусочно-однородной задачи теории упругости в виде суммы однородных задач. Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве // Сб. науч. тр. Вып.9. М.: МГСУ, 1999, с.169-178.

18. Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю.Вопросы влияния коэффициента Пуассона на решение задач теории упругости, моделируемых методом фотоупругости. Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций // Материалы коллоквиума. М. : МГСУ, 1999, с.9-11.

19. Фриштер Л.Ю. Напряженное состояние пластины в области её границы при действии вынужденных деформаций. Экспериментальные исследования напряжений и деформаций // Материалы коллоквиума. М. : МГСУ, 1999, с. 27-29.

20. Фриштер Л.Ю., Савостьянов В.Н. Термонапряженное состояние в окрестности особой точки на границе двух сред. Сб. прикладных научно-технических работ областного ф-та ПГС // Под ред.В.С. Кузнецова. М., МГСУ, 2000, с. 140-148.

21. Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю. Экспериментальное решение объёмной задачи термоупругости кусочно-однородных тел. Сб. прикладных научно-технических работ областного ф-та ПГС // Под ред.В.С. Кузнецова. М., МГСУ, 2000, с. 132-139.

22. Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю. Особенность термонапряженного состояния торца составной пластины с учетом кусочной однородности материала. Экспериментальная механика. Перспективы развития и применения // Хесинские чтения. М. : МГСУ, 2001, с. 77-84.

23. Доркин В.В., Морозова Д.В., Фриштер Л.Ю. Напряженное состояние

защитной оболочки реактора с учетом конструктивных неоднородностей. Проблемы аксиоматики в гидро-газодинамике // Сб. статей. №10 - М.: Век книги, 2002, с. 172-179.

24. Варданян Г.С., Мозгалева M.J1., Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю. О собственных значениях в решении задач для областей, содержащих нерегулярные точки. Известия ВУЗов. "Строительство", №10, Новосибирск, 2003, с.28-31.

25. Фриштер Л.Ю. Теоретико-экспериментальное исследование особенности термонапряженного состояния плоской области, содержащей нерегулярную точку. Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве // Сб. науч.тр. Вып №10, М.: МГСУ, 2003, с. 148-166.

26. Варданян Г.С., Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю. О схемах решения задач теории упругости с вынужденными деформациями методом размораживания. Экспериментальная механика и расчет сооружений // Костянские чтения". М.: МГСУ, 2004, с, 120-125.

27. Варданян Г.С., Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю. Решение задачи механики деформированного твердого тела методом фотоупругости с использованием свойств "размораживания". Развитие методов экспериментальной механики. Материалы науч. семинара под ред. Н.А.Махутова. - М.: ИМАШ РАН, 2003, с. 60-68.

28. Фриштер Л.Ю. Исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности нерегулярной точки границы упругого тела методом фотоупругости. XXIV Российская школа по проблемам науки и технологий // Краткие сообщения.- Екатеринбург: УрО РАН, 2004, с. 25-27.

29. Варданян Г.С., Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю. Экспериментальное решение задач теории упругости методом фотоупругости с использованием свойств "размораживания"// Власовские чтения. М.: МГСУ, 2006, с. 23-27.

30. Варданян Г.С., Фриштер Л.Ю. Анализ НДС в окрестности нерегулярной точки на особой линии области с применением элементов теории размерности. International journal for computational civil and structural engineering. Volume 3, Issue 2, 2007, p. 75-81.

31. Фриштер Л.Ю. Исследование НДС в окрестности нерегулярной точки границы плоской области при действии вынужденных деформаций методом фотоупругости. International journal for computational civil and structural engineering. Volume 3, Issue 2, 2007, p. 101-106.

32. Фриштер Л.Ю. Расчетно-экспериментальный метод исследования НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений. Вестник МГСУ, №1, М.:МГСУ, 2008, с. 265-271.

33. Фриштер Л.Ю. Теоретико-экспериментальный анализ напряженно -деформированного состояния в окрестности нерегулярной точки границы плоской области от несовместных деформаций. Вестник МГСУ, №1, М.:МГСУ, 2008, с. 169-174.

34. Фриштер Л.Ю. Анализ НДС в зонах концентрации напряжений составных конструкций и машин с применением элементов теории размерности.

Проблемы машиностроения и надежности машин. №3, М., Наука, 2008, с. 3742.

35. Фриштер Л.Ю. О возможностях получения методом фотоупругости напряженного состояния в области концентрации напряжений. Вестник МГСУ, №1, М.: МГСУ, 2008, с. 165-168.

36. Фриштер Л.Ю. Экстраполяция экспериментальных данных метода размораживания деформаций в области концентрации напряжений. Вестник МГСУ, №1, М.: МГСУ, 2008, с. 272-276.

37. Фриштер Л.Ю. Расчетно-экспериментальный метод исследования НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. №2, М., 2008, с. 20-27.

38. Фриштер Л.Ю. Исследование локального НДС конструкций в зонах концентрации напряжений. Материалы VI научно - практической конференции "Фундаментальные науки в современном строительстве", М., МГСУ, апрель 2008, с. 32-38.

39. Фриштер Л.Ю. Расчетно-экспериментальный метод исследования НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений. Тезисы Всероссийской научно-практической конференции "Инженерные системы - 2008", М., РУДН, 7-10 апреля 2008, с.55.

40. Фриштер Л.Ю. Оценки решения однородной плоской задачи теории упругости в окрестности нерегулярной точки границы. Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве // Сб. науч. тр. Вып. 11. М.: МГСУ, 2008, с. 126-132.

41. Фриштер Л.Ю. Исследование локального НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений. Материалы 11-ой международной научно-практической конференции "Строительство - формирование среды жизнедеятельности" М., МГСУ, апрель 2008, с. 594-599.

42. Фриштер Л.Ю. Расчетно-экспериментальный метод исследования НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений. Труды всероссийской научно-практической конференции "Инженерные системы - 2008", М., РУДН, 2008, с. 218-222.

43. Фриштер Л.Ю. Анализ методов исследования локального напряженно-деформированного состояния конструкций в зонах концентрации напряжений. Вестник МГСУ, №3, М.: МГСУ, 2008, с. 38-44.

44. Фриштер Л.Ю. Исследование напряженно-деформированного состояния конструкций при действии вынужденных деформаций в зонах концентрации напряжений. Academia. Архитектура и строительство. Российская академия архитектуры и строительных наук. № 4, М., 2008, с. 94-97.

КОПИ-ЦЕНТР св. 7:07:10429 Тираж 100 экз. тел.:8-495-185-79-54 г. Москва, ул. Енисейская, д. 36

2007275273

Введение.

Глава I . Моделирование напряженно-деформированного состояния конструкций при действии вынужденных деформаций методом фотоупругости с использованием свойства "размораживания"

§1.1. Современное состояние метода "размораживания": возможности и недостатки.

§ 1. 2. О собственных значениях в решении упругих задач для плоских областей, содержащих нерегулярные точки.

1.2. 1. Случай однородной плоской области.

1. 2. 2. Случай составной плоской области.

§1.3. Применение метода размораживания для решения инженерных задач.

1.3. 1. Экспериментальное решение нестационарной задачи термоупругости на примере исследования температурных напряжений в своде подземного здания ГЭС.

1.3.2. Исследование влияния конструктивных неоднородностей на

НС сферической оболочки.

Выводы по главе I.

Глава II. Схемы моделирования НДС конструкций при действии вынужденных деформаций методом размораживания.

§2.1. Схемы моделирования НДС конструкций методом размораживания.

§ 2. 2. Представление решения линейной задачи теории упругости с использованием задач с вынужденными деформациями.

§ 2. 3. Доказательство схем I, II, III моделирования решения однородных упругих задач методом размораживания.

§ 2. 4. Моделирование методом размораживания решения упругой задачи в частных случаях действия вынужденных деформаций и разрезки упругого тела на элементы.

Выводы по главе II.

Глава III. Моделирование НДС составных конструкций методом фотоупругости.

§3.1. Постановка задачи. Разложение решения кусочно — однородной упругой задачи в ряд решений однородных задач.

§3.2. Частные случаи разложения решения кусочно — однородной задачи теории упругости в ряд решений однородных задач.

§3.3. Методика экспериментального решения кусочно-однородной задачи теории упругости.

3.3. 1. Экспериментальная и расчетная схемы решений задач с вынужденными деформациями методом "размораживания".

3.3.2. Методика моделирование однородных задач с вынужденными деформациями "полного" и "частного" вида.

§3.4. Порядок проведения эксперимента.

§3.5. Применение предложенного метода для решения инженерных задач.

3. 5. 1. Исследование термонапряженного состояния свода подземного здания Колымской ГЭС с учетом влияния изменения модуля упругости горных пород при их оттаивании.

3. 5.2. Исследование термонапряженного состояния коробчатой конструкции с учетом влияния изменения жесткости одного из элементов.

3. 5. 3. Термонапряженное состояние квадратного в плане блока, заделанного в упругое основание при его остывании.

Выводы по главе III.

Глава IV. Об особенностях упругой задачи с вынужденными деформациями в окрестности нерегулярной точки на особой линии.

Введение.

§ 4. 1. Обзор работ по решению краевых задач для эллиптических уравнений в областях с нерегулярными точками границы.

§4.2. Применение криволинейной системы координат для исследования НДС в окрестности нерегулярной точки на особой линии.

§ 4. 3. Применение теории подобия при решении задачи теории упругости в перемещениях в окрестности нерегулярной точки на особой линии.

§ 4. 4. Применение теории подобия при решении задачи теории упругости в общей постановке в окрестности нерегулярной точки на особой линии.

§ 4. 5. Анализ НДС в окрестности нерегулярной точки на особой линии с применением элементов теории размерности.

Выводы по главе IV.

Глава V. Теоретико-экспериментальное обоснование метода исследования НДС конструкций в зоне концентрации напряжений.

§ 5. 1. Исходная упругая задача.

§ 5. 2. Плоская упругая задача в перемещениях в окрестности нерегулярной точки границы.

§5.3. Представление решения плоской упругой задачи в окрестности нерегулярной точки границы области.

5. 3. 1. Плоская упругая задача в смешанной постановке.

5.3.2. Анализ решения плоской упругой задачи в зависимости от геометрического параметра.

5. 3. 3. Доказательство представления решения плоской задачи теории упругости в окрестности нерегулярной точки.

§5.4. Анализ представления упругого решения в окрестности нерегулярной точки границы в виде суммы решений.

5. 4. 1. Области НДС в окрестности нерегулярной точки границы. 198 5. 4. 2. Анализ представления НДС в окрестности вершины прямоугольного клина на примере известного экспериментального решения М. Фрохта.

5. 4. 3. Анализ представления НДС в зоне концентрации напряжений на примере экспериментального решения термоупругой задачи.

5. 4. 3. 1. Иллюстрация областей НДС в зоне концентрации напряжений при экспериментальном решении термоупругой задачи.

5. 4. 3. 2. Иллюстрация представления НДС в окрестности нерегулярной точки границы области на примере экспериментального решения термоупругой задачи для плоской модели.

§ 5. 5. Несингулярная однородная плоская задача теории упругости.

Оценка решения.

Выводы по главе V.

Глава VI. Экспериментальное исследование НДС в зоне концентрации напряжений методом фотоупругости и размораживания деформаций.

§6.1. Постановка задачи и экспериментальное решение плоской упругой задачи в области с нерегулярной точкой границы.

§ 6.2. Описание данных эксперимента.

§ 6.3. Разделение напряжений методом фотоупругости в области нерегулярной точки границы плоской модели.

6.3.1. Графическое построение траекторий главных напряжений.

6.3.2. Метод разности касательных напряжений.

6.3.3. Пример разделения напряжений методом разности касательных напряжений в области прямого торца модели.

§ 6.4. Примеры разделения напряжений в области торца модели с различными углами выреза границы.

6.4.1. Разделение напряжений в области модели с "прямым скошенным" торцом.

6.4.2. Разделение напряжений в области торца модели, имеющей заданный угол выреза.

Выводы по главе VII.

Глава VII. Анализ напряженного состояния конструкций в зоне концентрации напряжений.

Введение.

§ 7. 1. Схема анализа напряженного состояния конструкций в зоне концентрации напряжений.

§ 7. 2. Экспериментальное доказательство существования самоуравновешенного радиального напряженного состояния в зоне концентрации напряжений плоской модели.

7.2. 1. Пример плоской модели № 2 с прямым торцом.

7. 2. 2. Сопоставление положений линии чистого сдвига в области вершины выреза плоской модели и нейтральной оси модельного клина для различных углов раствора.

7. 2. 3. Пример модели № 4 с углом раствора торца

7. 2. 4. Пример модели с углом раствора торца 3300, 3600.

7. 2. 5. Пример плоской модели с торцом произвольного раствора.

§ 7. 3. Анализ напряженного состояния в зоне выреза торца модели. Возможности применения схемы анализа НДС в зоне концентрации напряжений.

7. 3. 1. Схема анализа НС в зоне концентрации напряжений и возможности ее применения для прямого торца модели.

1.3.2. Схема анализа НС и возможности ее применения для торца модели № 4.

7. 3. 3. Возможности применения схемы анализа НС для торца модели произвольного раствора.

§ 7. 4. Порядок построения эпюр порядков полос и радиальных напряжений в зоне концентрации напряжений с нечитаемой картиной изохром.

Выводы по главе VII.

Задача более полного и экономного использования природных ресурсов требует оптимального проектирования с точки зрения учета свойств применяемых материалов, повышения прочности и надежности составных конструкций и сооружений, имеющих сложную форму границы и состоящих из материалов с постоянными, но различными по величине физико-механическими характеристиками, работающими при действии вынужденных деформаций и, в частности, температурных.

Напряженно-деформированное состояние (НДС) составных конструкций и сооружений характеризуется значительной концентрацией напряжений в местах сопряжения элементов из разных материалов из-за различия механических характеристик. Наиболее сложное НДС возникает в зоне концентрации напряжений, обусловленной как формой границы или "геометрическим фактором", так и конечным разрывом заданных вынужденных деформаций, механических свойств, выходящим на поверхность контакта элементов составных конструкций.

Исследование локального НДС в составной области существенной конструктивной неоднородности актуально при расчете и проектировании конструктивных элементов атомных электростанций, гидротехнических сооружений, при решении гранично-контактной задачи плотина-основание, исследовании прискальных блоков бетонирования при их остывании, при резком изменении формы границы конструкции, например, угловой или ступенчатой форме.

Значительный интерес представляет использование метода фотоупругости для определения напряжений от заданных несовместностей или заданных вынужденных деформаций (дисторсий) и, в частности, температурных, не удовлетворяющих условиям совместности, что приводит к возникновению напряжений. К числу таких задач относятся исследования напряжений от температурных градиентов, от изменения температур в стыках разнородных материалов с различными коэффициентами теплового расширения, от скачкообразного изменения дисторсий, имеющих конечный разрыв в стыках областей с различными механическими свойствами, а также напряжений от монтажа и последовательности изготовления конструкций, от посадки с натягом и др.

Актуальность работы состоит в получении с наибольшей достоверностью локального НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений, обусловленной действием разрывных вынужденных деформаций и конструктивной неоднородностью формы границы. Методы решения данной задачи многообразны.

Метод размораживания вынужденных деформаций, использующий процедуру предварительного замораживания элементов модели с последующим размораживанием всей модели, является эффективным, универсальным и перспективным методом моделирования напряжений от заданных вынужденных деформаций.

Метод фотоупругости, являющийся континуальным методом, и метод размораживания деформаций, как его подраздел, позволяют получить НДС в зоне концентрации напряжений на поверхности контакта элементов составных конструкций со скачком вынужденных деформаций на моделях из оптически чувствительного материала.

Численные методы расчета, основанные на дискретизации расчетной области, позволяют провести исследования различных вариантов конструктивных форм сооружений в процессе проектирования. Численные методы расчета в зоне концентрации напряжений требуют дополнительных знаний о НДС в области особой точки упругого тела для верификации результатов решения.

Аналитические методы расчета предполагают, что в окрестности нерегулярной точки границы области решение задачи теории упругости представляется в виде асимптотического ряда и бесконечно дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат решения однородных краевых задач для модельных областей (конуса и клина). Эти решения зависят от локальных характеристик: величины телесного и плоского угла, типа краевых однородных условий, механических характеристик в случае кусочно - однородных областей.

Современные способы визуализации данных эксперимента в сочетании с численными и аналитическими методами исследования расширяют возможности метода фотоупругости. Многие работы последнего времени относятся к исследованию локального НДС, к расшифровке и интерпретации экспериментальных данных.

Экспериментальное решение на модели в окрестности геометрического концентратора напряжений - вершины углового выреза границы, не "читается" или плохо "читается" при любом увеличении фрагмента области. На некотором удалении от локального источника концентрации напряжений имеются уверенные экспериментальные данные, которые при приближении к нерегулярной точке границы меняются непрерывно и монотонно. Поэтому для экстраполяции уверенных экспериментальных данных в область, где картина полос не читается или "плохо" читается предлагается комплексный рас-четно-экспериментальный подход получения и анализа напряженного состояния в зоне концентрации напряжений (окрестности нерегулярной точки границы области).

Цель работы: разработка расчетно-экспериментального метода исследования НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений.

Идея работы: совместить преимущества метода фотоупругости и метода размораживания деформаций, позволяющих просто и наглядно получать на модели НДС в зоне концентрации напряжений, и преимущества теоретико-численного подхода при анализе особенностей напряженного состояния (НС) в областях с нерегулярной точкой границы для расшифровки и анализа экспериментального решения в зоне концентрации напряжений.

Объект исследования: а) НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений, полученное на моделях метода фотоупругости; б) экспериментальное решение задачи теории упругости в окрестности нерегулярной точки, линии границы области, в которую выходит конечный разрыв вынужденных деформаций по линии, поверхности контакта областей, составляющих упругое однородное или кусочно-однородное тело; в) метод размораживания деформаций в исследовании НДС составных конструкций.

Задачи исследования:

1. Анализ современного состояния метода размораживания деформаций: возможности и недостатки моделирования НДС составных конструкций, задач теории упругости при действии разрывных вынужденных деформаций общего вида, не удовлетворяющих условиям совместности ( глава I ).

2. Теоретическое доказательство возможных схем моделирования НДС конструкций методом размораживания деформаций в зависимости от разрезки модели на микро и макроэлементы, вида заданных дисторсий ( глава II ).

3. Моделирование НДС составных конструкций методом фотоупругости. Применение моделирования задач с вынужденными деформациями методом размораживания для получения решения задачи теории упругости кусочно-однородных тел и учета влияния на их НДС механических характеристик методом фотоупругости на моделях из стандартного оптически чувствительного материала ( глава III).

4. Анализ НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений как окрестности особых точек и линий границы однородных и кусочно-однородных тел в рамках линейно-упругой постановки в плоском и пространственном случае. Линия, поверхность контакта элементов, составляющих конструкцию, по которой создан конечный разрыв вынужденных деформаций, объемных сил, постоянных в областях физико-механических характеристик, выходит в точку, линию концентрации напряжений ( глава IV ).

5. Теоретико-экспериментальное обоснование метода исследования напряженного состояния составных конструкций в зоне концентрации напряжений при действии разрывных вынужденных деформаций. Линия контакта областей со скачком вынужденных деформаций выходит в точку концентрации напряжений на границе области ( глава V ).

6. Получение методом размораживания деформаций напряженного состояния (НС) плоских конструкций при действии вынужденных деформаций с целью его анализа в окрестности, максимально приближенной к области концентрации напряжений, с учетом визуализации экспериментальных данных при цифровой съёмке и обработке, стандартными способами разделения напряжений, разработанными в методе фотоупругости ( глава VI).

7. Экстраполяция экспериментальных данных, полученных в области вершины углового выреза границы составной плоской модели с "читаемой" картиной полос на область, где картина полос не читается или "плохо" читается ( глава VII).

8. Теоретико-экспериментальный анализ НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений с использованием полученного на моделях методом размораживания НДС в зоне концентрации напряжений. Апробация расчетно-экспериментального метода исследования НДС составных конструкций на примерах исследования фотоупругого решения в зоне концентрации напряжений на составных моделях плоских областей с различными углами выреза границы, в вершину которого выходит скачок вынужденных деформаций по линии контакта областей, составляющих модель ( глава VII).

Научная новизна работы состоит в разработке расчетно-экспериментального метода исследования НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений, обусловленной конструктивной неоднородностью - формой границы, и разрывом вынужденных деформаций, выходящим на поверхность контакта элементов составных конструкций, на основе экспериментальных данных метода фотоупругости. Разработка метода включает: теоретико-экспериментальное обоснование, апробацию на плоских составных моделях с угловым вырезом границы из стандартного полимерного материала, методических разработок метода размораживания деформаций, отвечающих поставленной в работе цели и задачам исследования, предложенную формулу и порядок экстраполяции данных в область концентрации напряжений, где картина полос не читается или "плохо" читается. Предложенный метод исследования НДС в зоне концентрации напряжений решает задачу механики деформируемого твердого тела в окрестности особой точки границы области, в которую выходит разрыв вынужденных несовместных деформаций, на основе экспериментальных данных фотоупругости. Предложенный метод позволяет получить и анализировать локальное НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений при действии разрывных вынужденных деформаций.

На защиту выносится:

1. Расчетно-экспериментальный метод исследования НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений: теоретико - экспериментальное обоснование, порядок и формула экстраполяции экспериментальных данных в зону концентрации напряжений, апробация, применение.

2. Теоретико-экспериментальный анализ и представление решения задачи теории упругости с вынужденными деформациями для кусочно-однородных и однородных тел в окрестности нерегулярных точек или линий границы области как общий методологический подход, расширяющий возможности исследований НДС составных конструкций методами фотоупругости и размораживания деформаций, как по классу конструкций и решаемых задач в зоне концентрации напряжений, так и по получению экспериментальных данных и их анализу.

3. Методические разработки теории моделирования, расширяющие круг задач, эффективно решаемых с применением метода фотоупругости и размораживания деформаций.

Применение моделирования задач с вынужденными деформациями для получения решений упругих кусочно-однородных задач и учета влияния механических характеристик на НДС кусочно-однородных тел методом фотоупругости с использованием свойства "размораживания" деформаций и стандартного полимерного материала.

Доказательство возможностей получения схем моделирования задач теории упругости при действии вынужденных деформаций методом размораживания в зависимости от разрезки упругого тела на микро и макроэлементы и вида заданных дисторсий.

Анализ возможностей получения методом размораживания деформаций напряженного состояния конструкций в области концентрации напряжений с использованием визуализации экспериментальных данных при цифровой съёмке и обработке, и стандартных способов разделения напряжений, разработанных в методе фотоупругости.

Экспериментально полученное на фотоупругих моделях НС конструкций и его анализ в окрестности, максимально приближенной к вершине углового выреза границы модели.

Обоснование, порядок и формула экстраполяции экспериментальных данных, полученных по области модели с читаемой картиной полос, на область концентрации напряжений, в которой картина полос не читается или "плохо" читается.

Расчетно-экспериментальное исследование напряженного состояния конструкций в зоне концентрации напряжений на плоских моделях с различными углами выреза границы, в вершину которого выходит скачок вынужденных деформаций по поверхности контакта областей, составляющих модель.

Применение разработанных способов экспериментального решения задачи механики твердого тела для исследовании НДС конструкций и сооружения.

Методы исследования: метод фотоупругости, метод размораживания деформаций, способы разделения напряжений, разработанные в методе фотоупругости, уравнения механики деформируемого твёрдого тела, методы теории подобия и анализа размерностей применительно к исследованию НДС строительных конструкций.

Достоверность результатов работы определяется получением основных теоретических представлений из рассмотрения общей системы уравнений механики деформируемого твёрдого тела, применением разработанных метода размораживания деформаций и метода фотоупругости, сопоставлением значений напряжений, полученных теоретически, экспериментально непосредственно по картине полос, главных напряжений, полученных экспериментально методом разделения напряжений. Точность результатов, полученных согласно предложенному методу экстраполяцией экспериментальных данных, "приближённость" сечения к зоне концентрации напряжений (нерегулярной точке границы области), определяется точностью измерения экспериментальных данных и практической точностью метода фотоупругости.

Практическая значимость работы.

Предлагаемый расчетно-экспериментальный метод позволяет получить и анализировать НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений, обусловленной конструктивной формой границы и разрывными вынужденными деформациями.

Предлагаемый метод рекомендован для исследования НДС конструкций в местах резкого изменения формы границы, имеющих ступенчатую или угловую форму границы, при действии скачкообразного изменения вынужденных деформаций, температур в стыках разнородных материалов с различными коэффициентами теплового расширения, механическими свойствами, при учёте напряжений от монтажа, последовательности изготовления конструкций, от посадки с натягом.

Расширение круга задач, эффективно решаемых методом фотоупругости и методом размораживания деформаций за счет возможностей экспериментального исследования локального НДС составных конструкций и сооружений в зоне концентрации напряжений с различными вариантами конструктивного оформления границы: входящие углы, при действии вынужденных несовместных деформаций, разрыв которых выходит в точку концентрации напряжений.

Предлагаемый метод и его теоретико-экспериментальное обоснование могут быть использованы в лабораториях фотоупругости научно-исследовательских институтов, при проектировании узлов конструкций со сложной формой границы и действием разрывных вынужденных деформаций.

Предлагаемый в работе метод позволяет повысить достоверность результатов исследования НДС конструкций в зоне концентрации напряжений, обусловленной конструктивной неоднородностью формы границы и действием разрывных вынужденных деформаций, сопоставить и верифицировать численные и аналитические результаты решения.

Предлагаемый метод позволяет исследовать особенности решения задачи теории упругости при действии вынужденных деформаций, конечный разрыв которых выходит в нерегулярную точку (линию) границы упругого тела на основе экспериментальных данных фотоупругости.

Работа поддержана грантом по программе "Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники подпрограмма: 211. Архитектура и строительство. НИР: 03.01.342, 03.01.394 и программой научно-технических работ МГСУ.

Внедрение работы.

Выводы и рекомендации по результатам исследований термонапряженного состояния подземного здания Колымской ГЭС и элементов конструкций типовых зданий АЭС внедрены в проекты сооружений и усовершенствование технологических процессов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работе, по мере завершения соответствующих разделов, были доложены на IV Всесоюзном семинаре "Оптико-геометрические исследования деформаций и напряжений и их стандартизация" (Менделееве, 1982), Всесоюзной конференции "Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений" (Киев, 1982), Всесоюзном семинаре "Новые поляризационные методы и приборы для исследования напряженно-деформированного состояния, анализа состава и молекулярной структуры вещества" (Москва, 1983), Всесоюзной конференции "Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений". ИЭС им. Е.О.Патона (Киев, 1983), Всесоюзном совещании по теории - упругости неоднородного тела (Кишинев, 1983); VIII Всесоюзной конференции по механике горных пород (Тбилиси, 1985); Координационном совещании "Прочность и сейсмостойкость энергетического оборудования" (Фрунзе, 1985); Всесоюзном семинаре "Интерференционно-оптические методы механики твердого деформируемого тела и механики горных пород" (Новосибирск, 1985); Всесоюзной конференции "Строительство ГЭС в высокогорных условиях" (Цхалтубо,1986); Всесоюзном научно-техническом совещании по прочности и трещиностойкости бетонных и железобетонных гидротехнических сооружений при температурных воздействиях (Нарва, 1988); на ежегодных научно-технических конференциях МИСИ-МГСУ; Всесоюзной выставке "НТТМ-84" ВДНХ; областной научно-технической конференции "Прогрессивные технологические процессы в машиностроении и стимулирование их внедрения в производство" (Харьков, 1990); Международной конференции "Испытательное оборудование для экспериментальных исследований механических свойств и конструкций" (ИМЭКО-Москва,1989); Международной конференции "Сварные конструкции" АН Украинской ССР; ИЭС им. Е.О.Патона (Киев, 1990); Всесоюзном совещании "Расчетные предельные состояния бетонных и железобетонных конструкций энергетических сооружений", "ПРЕДСО-90" (Усть-Нарва, 1990); Международной конференции "PHOTOMECHANICS'95", The International Society for Optical Engineering (Новосибирск, 1995); коллоквиуме под руководством профессора Г.С. Варданяна "Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций" (МГСУД999); Хесинских чтениях "Экспериментальная механика. Перспективы развития и применения" (Москва,2001); научном семинаре "Развитие методов экспериментальной механики", посвященном 100-летию со дня рождения профессора Н.И. Пригоровского, РАН, Институт машиноведения им.А.А.Благонравова (Москва, 2003); Костинских чтениях "Экспериментальная механика и расчет сооружений", МГСУ (Москва, 2004); XXIV Российской школе по проблемам науки и технологий, посвященной 80-летию со дня рождения академика В.П.Макеева, Екатеринбург: УРО РАН, 2004;

Власовских чтениях (Москва, МГСУ, 2006), VI научно-практической и учебно-методической конференции "Фундаментальные науки в современном строительстве", М., МГСУ, март 2008г., объединенный научный семинар кафедр сопротивления материалов, строительной механики, информатики и прикладной математики МГСУ под руководством профессоров Г.С.Варданяна, H.H. Леонтьева (М., октябрь 2007г.), 11-ой международной научно-практической конференции "Строительство - среда жизнедеятельности" (М., МГСУ, апрель 2008г.), Всероссийской научно-практической конференции "Инженерные системы - 2008" (М., РУДН, 7-10 апреля 2008).

Личный вклад автора. Автором лично выполнена постановка и решение проблемы исследования НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений при действии вынужденных деформаций, разрыв которых выходит в точку геометрического концентратора, на основании данных эксперимента. Автором лично разработан расчетно-экспериментальный метод исследования НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений, обусловленной конструктивной неоднородностью - формой границы и разрывом вынужденных деформаций, выходящим на поверхность контакта элементов составных конструкций, на основе данных метода фотоупругости. Разработка метода включает: теоретико - экспериментальное обоснование, апробацию на моделях с угловым вырезом границы из стандартного полимерного материала, методических разработок метода размораживания деформаций, отвечающих поставленной в работе цели и задачам исследования, предложенную формулу и порядок экстраполяции данных в область концентрации напряжений, где картина полос не читается или "плохо" читается. Автором лично получены основные выводы и результаты диссертационной работы, представленные к защите.

В проведении экспериментальных, расчетных исследований принимали участие сотрудники Лаборатории исследования напряжений МИСИ-МГСУ.

Автор благодарен профессору, д.т.н. |Золотову Александру Борисовичу), профессору, д.т.н. Акимову Павлу Алексеевичу, профессору, к.т.н. Мозгалёвой Марине Леонидовне за доброжелательные советы и помощь в проведении численных исследований.

Автор благодарен Новикову Серафиму Ивановичу, Архипову Владимиру Александровичу, к.н.т. Жаворонку Игорю Владимировичу за помощь в проведении эксперимента.

Автор сердечно благодарен профессору, д.т.н. Варданяну Гумедину Суреновичу, профессору д.т.н. Савостьянову Вадиму Николаевичу за многолетнее сотрудничество, доброе отношение и неизменную доброжелательность.

Автор благодарно помнит профессора, научного руководителя ЛИН МИСИ д.т.н. Хесина Геннадия Львовича и всех коллег Лаборатории исследования напряжений.

Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 44 статьях.

Объём и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения с основными выводами, списка использованной литературы из 168 наименования. Работа изложена на 391 е., из них 136 рисунков, 7 таблиц, 16 с. библиографии.

Основные выводы и результаты работы

1. Разработан расчетно-экспери ментальный метод исследования НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений: включая теоретико-экспериментальное обоснование, апробацию, применение.

2. Применение моделирования задач с вынужденными деформациями с использованием свойства "размораживания" деформаций для исследования НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений, обусловленной конструктивной неоднородностью формы границы и разрывными вынужденными деформациями, методом фотоупругости, для решения задач теории упругости кусочно-однородных тел, учета влияния на их НДС механических характеристик на моделях из стандартного полимерного материала, для исследования особенностей решения задачи теории упругости в окрестности нерегулярной точки границы, в которую выходит разрыв вынужденных деформаций, на основе экспериментальных данных фотоупругости, для решения задач инженерной практики.

3. Теоретико-экспериментальный анализ и представление решения задачи теории упругости с вынужденными деформациями для кусочно-однородных и однородных тел в окрестности нерегулярных точек или линий границы области как общий методологический подход, расширяющий возможности исследований НДС составных конструкций методом фотоупругости и методом размораживания деформаций, как по классу конструкций и решаемых задач в зоне концентрации напряжений, так и по получению экспериментальных данных и их анализу.

Доказаны следуюгцие представления регаення задачи теории упругости, составляющие теорию моделирования и теоретическое обоснование разработанного метода:

1. Представление решения задачи теории упругости для кусочно-однородных или однородных тел (гл. II, III,V) в виде:

Г. =cr'.+CF^H) и=и^Н) £ =£{н) у у у ' ' ' ' у у ' где 77 = (сгу, и,)-решение исходной кусочно-однородной или однородной задач теории упругости при заданных воздействиях и, в частности, вынужденных несовместных деформациях общего вида; // = (ег,у, ¿ф, и-) - решения двух (или нескольких) упругих однородных задач для отдельных элементов, составляющих упругое тело, с заданными механическими характеристиками, объёмными силами, вынужденными деформациями, закреплениями;

- решение вспомогательной кусочно-однородной или однородной задачи при действии вынужденных деформаций £у в каждом из элементов, составляющих упругое тело, обусловленное выполнением условий непрерывности по поверхности стыка элементов.

Такая последовательность решения задачи теории упругости отражает идею метода размораживания деформаций и является основой для разработки ряда методик моделирования НДС конструкций (упругих тел) с использованием свойства "размораживания" и их применения, в частности, в данной работе: а) Разработка метода моделирования задач теории упругости для кусочно-однородных тел методом фотоупругости на моделях из стандартного оптически чувствительного материала. б) Теоретическое доказательство возможных схем моделирования НДС конструкций (задач теории упругости) при действии вынужденных деформаций методом размораживания деформаций в зависимости от разрезки упругого тела на микро и макроэлементы и вида дисторсий.

2. Представление решения задачи теории упругости в окрестности нерегулярной точки на особой линии границы области (гл. IV, V, VII) виде:

Т] — Т]° + Т]Н , где т] — НДС в окрестности нерегулярной точки на особой линии границы однородного или кусочно-однородного тела с однородными граничными условиями. В данную линию (точку) выходит поверхность (линия) контакта областей, по которой создан конечный разрыв (скачок) вынужденных деформаций, объёмных сил, постоянных в областях механических характеристик; г]с— собственное решение однородной краевой задачи в окрестности нерегулярной точки на особой линии границы области, в пространственном случае представимо в виде решения двух плоских однородных задач: плоской деформации и антиплоской деформации; т]н - НДС, обусловленное действием заданных нагрузок, зависит от геометрического параметра - "степени приближения" к особой точке. Данное представление так же справедливо и применяется для плоской упругой задачи (гл.У, VII).

Расчетно-экспериментальный метод исследования НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений при действии разрывных вынужденных деформаций включает следующие разработки и обобщения.

1. Дан анализ НДС в окрестности особых точек и линий границы однородных и кусочно-однородных тел в рамках линейно-упругой постановки в плоском и пространственном случае. Поверхность (линия) контакта областей, составляющих упругое тело, по которой создан конечный разрыв (скачок) вынужденных деформаций, объемных сил, постоянных в областях физико-механических характеристик, выходит в нерегулярную линию (точку) границы упругого тела. Исследуется, в основном, НДС в окрестности нерегулярной точки на особой линии границы тела, что соответствует исследованию конструкций и сооружений, наиболее часто применяемых в строительной практике. Сформулирован общий аналитический подход, характеризующий сингулярность решения в окрестности нерегулярной точки границы упругого тела, пригодный для анализа экспериментально полученного на модели упругого решения в области геометрического концентратора.

Показано, что порядки полос в некоторой окрестности нерегулярной точки границы модели так же, как и напряжения, должны обладать свойством подобия, гомогенности и быть представимы в виде степенных комплексов, т. ~ С Яг , что подтверждается исследованиями данных эксперимента в зоне концентрации напряжений.

2. Предложена и доказана схема расчетно-экспериментального исследования напряженного состояния конструкций в зоне концентрации напряжений, а также экспериментального решения в окрестности нерегулярной точки границы плоской области, в которую выходит линия контакта областей со скачком вынужденных деформаций. Согласно этой схеме существует два самоуравновешенных НС.

Первое — самоуравновешенное радиальное НС, полученное как решение плоской однородной краевой задачи в окрестности нерегулярной точки границы области, переходящее в сингулярное НС при приближении к нерегулярной точке границы изнутри области.

Другая оставшаяся часть самоуравновешенного плоского НС в области вершины углового выреза границы, соответствует напряжениям, обусловленным действием заданных нагрузок или общего поля напряжений.

3. Экспериментально установлено существование самоуравновешенного радиального НС в окрестности нерегулярной точки границы составной плоской области, которое характеризует особенность НС и определяется как решение однородной краевой задачи. Существование такого самоуравновешенного радиального НС объясняет рост порядков полос, наблюдаемый изнури области концентрации напряжений, а не в самой вершине выреза области. Отсутствие нулевой полосы объясняется существованием другого самоуравновешенного НС, обусловленного общим полем напряжений.

4. Доказано существование "несингулярной" окрестности нерегулярной точки границы плоской области, в которой справедливо несингулярное решение плоской однородной краевой задачи, переходящее при уменьшении радиуса сечения в сингулярное решение, для которого картина полос и изоклин в зоне концентрации напряжений - вершины выреза модели, размываются и не читаются ни при каком увеличении области. Даны оценки НС в области несингулярного решения упругой задачи, позволяющие экстраполяцию данных эксперимента.

5. Экспериментально установлено подобие эпюр порядков полос в радиальных сечениях области несингулярного решения однородной краевой задачи на плоских составных моделях с различными углами выреза границы при действии вынужденных несовместных деформаций, разрыв которых выходит в точку концентрации напряжений.

6. Приводится порядок обработки данных эксперимента и предлагается формула экстраполяции порядков полос в зону концентрации напряжений: гтм = ri+\J где mi - порядки полос по данным эксперимента в расчетном сечении /;• в окрестности несингулярного решения однородной краевой задачи, Щ+\ порядки полос в сечении меньшего радиуса /}+1 < , расположенного в области с нечитаемой или "плохо" читаемой картиной изохром модели, Л0 ~ min ReÄ- минимальное значение действительной части комплексного корня характеристического уравнения однородной краевой задачи для модельного клина, определяется расчетно.

В работе предложены следующие методологические разработки.

1. Показано, что способы визуализации экспериментальных данных при цифровой съёмке и обработке в совокупности с разработанными способами разделения напряжений метода фотоупругости и возможностями численной обработки данных позволяют получить НС в области, максимально приближенной к зоне концентрации. На плоских моделях с различными углами выреза границы, в вершину которого выходит заданный скачок вынужденных деформаций, экспериментально получено НС в сечениях, прилегающих к области с "нечитаемой" картиной изохром. Линия, соединяющая вершины острых углов изохром, выходящая в вершину выреза границы, является линией "чистого сдвига", в каждой точке которой наблюдаются площадки чистого сдвига.

2. Представления решения задач с вынужденными деформациями в зависимости от вида заданных деформаций, схемы разрезки области упругого тела и последовательности создания дисторсий в элементах тела позволяют использовать рассмотренные схемы решения упругих задач как методику анализа решения задачи теории упругости с заданными дисторсиями.

3. Предложенный метод исследования НС конструкций в зоне концентрации напряжений (окрестности нерегулярной точки границы составной плоской области) апробирован на составных моделях плоских областей с различными углами выреза границы. Причем скачок температурных деформаций по линии контакта областей, составляющих модель, выходит в источник концентрации напряжений - вершину выреза на границе.

Предлагаемый расчетно-экспериментальный метод позволяет получить и анализировать НДС составных конструкций в зоне концентрации напряжений, обусловленной конструктивной формой границы и вынужденными деформациями, разрыв которых выходит в точку концентрации напряжений.

Предлагаемый метод рекомендован для исследования НДС конструкций в местах резкого изменения формы границы, имеющих ступенчатую или угловую форму границы, при действии скачкообразного изменения вынужденных деформаций, температур в стыках разнородных материалов с различными коэффициентами теплового расширения, механическими свойствами, при учёте напряжений от монтажа, последовательности изготовления конструкций, от посадки с натягом.

Предлагаемый метод расширяет круг задач и вопросов, эффективно решаемых методом фотоупругости и методом размораживания деформаций за счет возможностей экспериментального исследования локального НДС составных конструкций и сооружений в зоне концентрации напряжений с различными вариантами конструктивного оформления границы: входящие углы, при действии вынужденных деформаций, разрыв которых выходит в точку концентрации напряжений.

Предлагаемый в работе метод позволяет повысить достоверность результатов исследования НДС конструкций в зоне геометрического концентратора напряжений при действии разрывных вынужденных деформаций, сопоставить и верифицировать численные и аналитические подходы решения.

Моделирование задач теории упругости с вынужденными деформациями для кусочно-однородных и однородных тел методом "размораживания" применено при решении следующих инженерных задач.

Исследовано термонапряженное состояние подземного здания бетонного свода Колымской ГЭС: а) в строительный период в момент времени наиболее опасный для напряженного состояния свода здания, б) в период эксплуатации подземного здания ГЭС с учетом изменения модуля упругости мерзлых пород, вмещающих здание, при их оттаивании;

Исследовано НС сферической защитной оболочки здания АЭС в области конструктивной неоднородности, обусловленной технологическими проходками. Исследовано влияние изменения модуля упругости элементов перекрытий за счет снижения их жесткости на НС системы "горячий бокс-перекрытие" типового здания АЭС.

Исследовано термонапряженное состояние квадратного в плане блока, заделанного в упругое основание, при его остывании с учетом зависимости модуля упругости бетона от температуры.

1. Фрохт М.М. Фотоупругость: Пер. с анг./под ред. Н.И. Пригоровского. М.-Л.: ГИТТЛ, Т.1, 1948, 432 е.; Т2, 1950, 488с.

2. Дюрелли А., Райли . Введение в фотомеханику: Пер.с анг./Под Н.И. Пригоровского. М.: Мир, 1970

3. Александров А.Я., Ахметзянов М.Х. Поляризационно-оптические методы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1974, 576 с.

4. Метод фотоупругости. В трех томах/ Под ред. Г.Л. Хесина.- М.: Стройиздат,1975,т.1. с. 326, т.2, с.311.

5. Экспериментальная механика: В 2т./Пер.с англ; Под ред. А.Кобаяси. М.: Мир, 1990. Т.1. 615с.; Т.2. 551с.

6. Экспериментальная механика. Перспективы развития и применения (Хесинские чтения.2001 г.). Сб. статей. М.: МГСУ, 2001, 154с.

7. Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций. Материалы коллоквиума. М.: МГСУ, 1999, 72 с.

8. Развитие методов экспериментальной механики. Под ред. H.A. Маху-това, Б.Н.Ушакова, М.М. Гаденина. М.: ИМАШ РАН, 2003, 188с.

9. Экспериментальная механика и расчет сооружений (Костинские чте-ния.2004 г.). Сб. статей. М.: МГСУ, 2004, 274 с.

10. Кошеленко A.C., Позняк Г.Г. Теоретические основы и практика фотомеханики в машиностроении.- М.: Изд. дом "Граница", 2004, 296 с.

11. Разумовский И.А. Интерференционно-оптические методы механики деформируемого твердого тела: Учеб. пособие. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007, 240 с.

12. Шарафутдинов Г.З. О причинах возникновения и дисперсии двойного лучепреломления. Экспериментальная механика и расчет сооружения.- М.: МГСУ, 2004, с.28-34.

13. Шарафутдинов Г.З. Об основах метода интегральной фотоупругости. Вестн. МГУ. Сер.1. Математика. Механика. 1995. №5. с.70-79.

14. Шарафутдинов Г.З. Линеаризация в задачах нелинейной фотоупругости. В сб. Экспериментальная механика. Перспективы развития и применения. Хесинские чтения. М.: МГСУ, 2001, с.54-60.

15. Шарафутдинов Г.З., Эльберт Ю.В. О применении метода "замораживания" в нелинейной фотоупругости. Развитие методов экспериментальной механики. Под ред. H.A. Махутова и др.-М.: ИМАШ РАН, 2003, с. 140-150.

16. Шабанов А.П. Определение параметров двойного лучепреломления в полярископе с белым источником света. Развитие методов экспериментальной механики. Под ред. H.A. Махутова и др.-М.: ИМАШ РАН, 2003, с.140-150.

17. Краснов JI.A. Цветность изохром в фотоупругости. Экспериментальная механика и расчет сооружений. М., МГСУ, 2004, с.49-62.

18. Ахметзянов М.Х., Тихомиров В.М., Суровин П.Г. Определение коэффициентов интенсивности напряжений при смешанном типе нагружения трещин //Изв. высш. уч. завед. Строительство. 2003. №1 (529). с.19-25.

19. Ахметзянов М.Х., Тихомиров В.М., Суровин П.Г. Определение коэффициентов интенсивности напряжений для трещин смешанного типа. В сб. Экспериментальная механика и расчет сооружений (Костинские чтения). М.: МГСУ, 2004, с.63-67.

20. Тихомиров В.М. Определение коэффициентов интенсивности напряжений методом фотоупругости в трехмерных задачах механики разрушения. Развитие методов экспериментальной механики. Под. ред. H.A. Махутова и др.- М.: ИМАШ РАН, 2003, с. 103-112.

21. Тихомиров В.М., Тырин В.П. Определение коэффициентов интенсивности напряжений для пространственных трещин с использованием метода рассеянного света// Заводская лаборатория. 1989. Т.55. №11. с.96-98.

22. Албаут Г.Н., Барышников В.Н. Исследование задач механики трещин в эластомерах при больших упругих деформациях. В сб. Развитие методов экспериментальной механики. Под. ред. H.A. Махутова и др.- М.: ИМАШ РАН, 2003, с.157-168.

23. Албаут Г.Н., Барышников В.Н. Основы методов нелинейной фотоупругости и их применение в инженерном проектировании конструкций. Новосибирск: НГАСУ, 1977, 107с.

24. Албаут Г.Н., Табанюхова М.В., Харинова Н.В. Определение первого коэффициента интенсивности напряжений в элементах с угловыми вырезами. В сб. Экспериментальная механика и расчет сооружений (Костинские чтения). М.: МГСУ, 2004, с.166-175.

25. Нетребко В.П. Исследование методом фотоупругости коэффициентов интенсивности напряжений около наклонных трещин в ортотропных пластинах. Развитие методов экспериментальной механики. Под. ред. H.A. Маху-това и др.- М.: ИМАШ РАН, 2003, с.69-77.

26. Разумовский И.А., Фомин A.B. Методы исследования неоднородных полей остаточных напряжений. Развитие методов экспериментальной механики. Под. ред. H.A. Махутова и др.- М.: ИМАШ РАН, 2003, с.91-102.

27. Разумовский И.А., Штеренлихт A.JI. Определение локально -неоднородных полей остаточных напряжений в плоских деталях с использованием метода разрезки. Проблемы машиностроения и надёжности машин. 2000. С.4, с.47-52.

28. Кулиев В.Д., Разумовский И.А. К проблеме определения остаточных напряжений в биметаллах. Докл. АН СССР.1990.Т.315. С.З, с.561-565.

29. Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи. М.: Наука, 2005, 719 с.

30. Ушаков Б.Н. Анализ напряжений в композитных конструкциях с применением фотоупругости. Экспериментальная механика. Перспективы развития и применения ( Хесинские чтения.2001 г.). Сб. статей. М.: МГСУ, 2001, с. 85-91.

31. Ушаков Б.Н., Тартаковер Е.И. Анализ напряженно-деформированного состояния натурных пневматических шин с применением фотоупругости. В сб. Экспериментальная механика и расчет сооружений (Костинские чтения).М.: МГСУ, 2004, с. 151-156.

32. Фомин A.B. Обратные задачи фотоупругости . Экспериментальная механика. Перспективы развития и применения.- М., МГСУ, 2001, с.61-65.

33. Бугаенко С.Е. Моделирование напряжений от заданных несовместностей в поляризационно-оптическом методе. Диссерт. на соиск. учен. ст. д.т.н., М., 1983.

34. Савостьянов В.Н. Моделирование напряженно-деформированного состояния конструкций и сооружений, вызванного вынужденными деформациями, методом фотоупругости. Диссерт. на соиск. учен. ст. д.т.н., М., 1989.

35. Дверес М.Н., Евстратов Б.Н., Пригоровский Н.И., Фомин A.B. Трехмерные задачи механического моделирования термоупругих напряженных состояний. Материалы 8-ой Всес. конф. по методу фотоупругости, Таллин. 1979. Т.2, Таллин,1979, с.192-197.

36. Фриштер Л.Ю. Моделирование термоупругой задачи кусочно-однородных тел поляризационно-оптическим методом. Диссерт. на соиск. учен. ст. K.T.H., М., 1983.

37. Leven М.М., Sampson R.C. Photoelastic stress and deformation analysis of nuclear reactor components.- Proc. Soc. Exptl Stress Analysis, 1959, 17 , №1, p.161-180 .

38. Гутман C.E. Остаточные напряжения от наращивания конструкции в нагруженном состоянии. В. сб. "Поляризационно-оптический метод исследования напряжений". Л., Изд-во ЛГУ, 1960, с.131-141.

39. Варданян Г.С. Экспериментальный метод определения температурных напряжений и их концентрации." Изв. АН Арм. ССР. Сер. физ.- мат. наук, 1961, №5.

40. Варданян Г.С. Пригоровский Н.И. Моделирование термоупругих напряжений в поляризационно-оптическом методе. Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1962, № 4.

41. Пригоровский Н.И., Варданян Г.С. Определение температурных напряжений с применением "замораживания" и "размораживания". В кн.: Проблемы прочности в машиностроении. Вып.8. Изд. АН СССР, 1962.

42. Исследование температурных напряжений. Под ред. Пригоровского Н.И., Москва, Наука, 1972, 228с.

43. Дверес М.Н., Евстратов Б.Н., Пригоровский Н.И. Моделирование термоупругих объёмных напряженных состояний на "замораживаемых" моделях. В сб. "Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений в конструкциях". М., Наука, 1977, с. 61-73.

44. Бугаенко С.Е. Задачи с дополнительными деформациями и их моделирование. Прикладная механика, 1978. Т. 14, №11, с.116-119.

45. Поляризационно-оптический метод исследования напряжений. Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы за 19661970гг. М.,1970 (АН СССР Госниимашиноведения); за 1971-1978гг., М.,1979, 267с.

46. Поляризационно-оптический метод исследования напряжений. Труды V Всесоюзной конференции 23-27 июня 1964 г., ЛГУ, 1966, 776 с.

47. Труды VII Всесоюзной конференции по поляризационно-оптическому методу исследования напряжений. Таллин. 23-26 ноября 1971. Таллин, АН Эстонской ССР, Таллин, 1971.Т. III, с.3-76, T.IV, 159с.

48. Материалы VIII Всесоюзной конференции по фотоупругости. Таллин. 25-28 сентября 1979г., АН Эстонской ССР, Таллин. 1971. T.I, с.12-151, T.II, с. 180-226, T.IV, 283с.

49. Долгополов В.В. Автореф. канд. диссерт. МИСИ, М., 1969, 13с.

50. Бугаенко С.Е. Моделирование напряжений методом замораживания деформаций.- М.: Энергоатомиздат, 1987, 112 с.

51. Савостьянов В.Н., Агаханов Э.К. Моделирование взвешивающих и фильтрационных сил в методе фотоупругости. Гидротехническое строительство, Энергопрогресс, М., 1966, №7, с.8-10.

52. Агаханов Э.К. Моделирование кусочно-потенциальных сил в методе фотоупругости. Экспериментальная механика. Перспективы развития и применения (Хесинские чтения.2001 г.). Сб. статей. М.: МГСУ, 2001, с. 41-45.

53. Тараторин Б.И. Моделирование напряжений в конструкциях ядерных реакторов.М., Атомиздат, 1973, 231с.

54. International Conference on structural mechanics in reactor technology, 3d, vol. 3, London, 1974.

55. Исайкин A.C. Исследование напряженного состояния корпусов высокого давления из предварительно напряженного железобетона поляризаци-онно оптическим методом. Диссерт. на соиск. уч. ст. к.т.н., М., 1982, 195 с.

56. Абдулалиев З.Э., Пригоровский Н.И. Моделирование термоупругих напряжений в зонах сварных соединений. В кн. Поляризационно-оптический метод и его приложения к исследованию тепловых напряжений и деформаций. Киев, Наукова думка, 1976, с.3-11.

57. Бугаенко С.Е. Моделирование в замораживаемых моделях затяга резьбовых соединений. Машиноведение, № 1, 1970.

58. Разумовский И.А., Фомин A.B. Расчет температурных напряжений в разнородных резьбовых соединения. М., Наука, 1980, с. 102-109.

59. Ушаков Б.Н. Фролов И.П. Концентрация напряжений в композитных конструкциях. Расчеты на прочность. Вып. 18. 1977, с.28-58.

60. Чобанян К.С., Ширинян P.A. Исследование явления малонапряжен-ности края стыка соединения из разнородных материалов. В кн. Материалы VIII Всесоюзной конференции по методу фотоупругости. 1979. Т.З, Таллин, 1979, с.291-296.

61. Розанов Н.С. Постановка модельных исследований температурныхнапряжений в остывающих блоках. Изв. ВНИИГ, Т.73, 1963.

62. Розанов Н.С., Михайлова И.А. Исследование термонапряженного состояния строительных блоков. Изв.ВНИИГ, №84, 1976, с.85-11.

63. Хесин Г.Л., Долгополов В.В., Савостьянов В.Н. Исследование термонапряженного состояния бетонных блоков гидротехнических сооружений методом фотоупругости. Гидротехническое строительство, №12, 1968, с.12-15.

64. Бугаенко С.Е. Моделирование напряжений от заданных несовместных деформаций материала. В кн. Материалы VIII Всесоюзной конференции по методу фотоупругости. Таллин. 1979. Т.2, Таллин, 1979, с. 183-187.

65. Бугаенко С.Е. Моделирование напряжений от заданных несовместных деформаций поляризационно-оптическим методом. Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1980, № 4, с.8-11.

66. Бугаенко С.Е. Об условиях на границах разрывов тензора дисторсии или его производных. Изв. АН СССР, Мех. тверд, тела, 1979, №1, с.94-99.

67. Бугаенко С.Е. Напряженно-деформированнное состояние у поверхностей разрывов заданных деформаций или их производных. В кн. Материалы VIII Всесоюзной конференции по методу фотоупругости. 1979. Таллин. Т.2, Таллин, 1979, с.188-191.

68. Стрельчук H.A., Савостьянов В.Н., Варданян Г.С., Омельченко Д.И. Моделирование температурных перемещений элементов конструкций и сооружений. В кн. Труды VII Всес. конф. по методу фотоупругости. Таллин. 1971. Т.З, Таллин, 1971, с.12-19.

69. Евстратов Б.Н., Пригоровский Н.И., Разумовский И.А. Исследование напряжений в пространственных конструкциях энергетического оборудования методом механического моделирования. В сб.

70. Исслед. напряж. в конструкциях". М., 1980, с.56-66.

71. Савостьянов В.Н., Сидорова Г.И., Исайкин А.С.,Фриштер Л.Ю. Способ моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций и сооружений. Авт. свид № 1767368, № 176369. М. Дата регистр. 08.06.92, 1990.

72. Савостьянов В.Н., Фрнштер Л.Ю. Экспериментальное решение объёмной задачи термоупругости кусочно-однородных тел. В.сб. прикладных научно- технических работ областного факультета ПГС / Под ред. Кузнецова B.C., М., МГСУ, 2000, с.132-139.

73. Савостьянов В.Н., Омельченко Д.И.Моделирование напряженно- деформированного состояния сооружений при различных коэффициентах Пуассона материала модели и натуры. Изв. Вузов, Строительство и архитектура, 1989, №7, с.21-22.

74. Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Теория упругости неоднородных тел. Кишинев. Штиинца, за 1923-1969гг.- 1972, 246с., за 1970-1973гг.- 1977, 143с.

75. Купрадзе В.Д. и др. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М., Наука, 1976, с.58-59.

76. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел.-М., МГУ, 1976, с. 164-174.

77. Саркисян B.C. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела. Ереван, Ереванский гос.ун-т,1976, с. 30-34, 223-243.

78. Нетребко В.П. Фотоупругость анизотропных тел.- М.: Изд-во МГУ, 1988, 116 с.

79. Огибалов П.М., Малинин Н.И., Нетребко В.П., Кишкин Б.П. Конструкционные полимеры. Кн.2. М.: Изд-во МГУ, 1972, 306 с.

80. Ушаков Б.Н., Фролов И.П. Напряжения в композитных конструкциях. -М.: Машиностроение, 1979,134 с.

81. Петухов В.Н. Метод фиксации тепловых напряжений в металлопла-стмассовых деталях. Учен, записки Пермского ун-та, 1971. №262.

82. Ушаков Б.Н. Метод определения температурных напряжений в композитных конструкциях. В кн. Труды 8-го симпозиума по экспериментальным исследованиям в механике твердого тела. Т.2. Варшава, 1978.

83. О моделировании кусочно-однородных задач теории упругости по-ляризационно-оптическим методом. В кн. Материалы VIII Всесоюзной конференции по методу фотоупругости. Таллин. 1979. Т.1, Таллин, 1979, с.33-37.

84. Варданян Г.С., Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю. О моделировании термоупругой задачи составных тел методом фотоупругости.- Рук. депонир. во ВНИИИС Госстроя СССР, регистр. № 3626, М., 1982.

85. Фриштер Л.Ю. Применение метода "размораживания" свободных температурных деформаций к решению кусочно-однородных тел.-Рук. депонир. во ВНИИИС Госстроя СССР, регистр. № 3609, М., 1982.

86. Варданян Г.С., Фриштер Л.Ю. О моделировании одного класса кусочно-однородных задач теории упругости. Изв. АН Арм. ССР, 1985. Вып. XXXVIII, № 6, с.3-10.

87. Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю. Моделирование кусочно-однородной задачи механики деформируемого твёрдого тела, М., 1993, Изв. РАН, МТТ, №6, с.38-43.

88. Нейбер Г. Концентрация напряжений. ОГИЗ-Гостехиздат, 1947, 204с.

89. Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений. М., Мир, 1977, 302 с.

90. Савин Г.Н., Тульчий В.И. Справочник по концентрации напряжений.1. Киев, 1976.

91. Махутов H.A. Сопротивлений элементов конструкций хрупкому разрушению. М., Машиностроение, 1973, 200 с.

92. Васильев В.В. Концентрация напряжений в угловых элементах и деталях ступенчатой формы. М., Машгиз, 1962, 76 с.

93. Золотов А.Б., Акимов П.А. Некоторые аналитическо-численные методы решения краевых задач строительной механики. Монография- М.: Изд. АСВ, 2004, 200 с.

94. Сидоров В.Н., Золотов А.Б., Акимов П.А., Мозгалева M.JI. Дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий, сооружений. //Изв. ВУЗов. Строительство, 2004, № 10, с. 814.

95. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости,- М., Наука, 1975,576 с.

96. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической упругости.- М., Наука, 1981, с.З05-325.

97. Варданян Г.С., Савостьянов В.Н., Мозгалёва M.JL, Фриштер Л.Ю. О собственных значения в решении задач для областей, содержащих нерегулярные точки. Изв. ВУЗов. Строительство, 2003, №3, с. 28-31.

98. Аксентян O.K. Особенности напряженно-деформированного состояния плиты в окрестности ребра.- ПМ и М, 1967, Т.31, вып. 1, с. 178-186.

99. Чобанян К.С., Геворкян С.Х. Поведение поля напряжений около угловой точки линии раздела в задаче плоской деформации составного упругого тела.- Изв. АН Арм. ССР. Механика. Вып. XXIV, №5, 1971, 16-24 с.

100. Исследование напряженно-деформированного состояния подземных сооружений Колымской ГЭС поляризационно оптических методом. Отчет по НИР МИСИ, ЛИН, № гос. регист. 81007528, М., 1982, 76с.

101. Хесин Г.Л., Варданян Г.С., Савостьянов В.Н., Исайкин A.C., Фриш-тер Л.Ю., Когодовский O.A. Термонапряженное состояние свода подземного здания ГЭС при строительстве и эксплуатации. Гидротехническое строительство, М.: Энергоатомиздат, 1988, №8, с.20-26.

102. Дёмин И.И. Комплекс программ для решения задач инженерной геокриологии при проектировании грунтовых плотин на вечномерзлых основания. М.: Инфорэнерго. 1983.

103. Каган A.A., Кривоногова Н.Ф. Многолетнемерзлые скальные основания сооружения. Л.: Стройиздат, 1978.

104. Фрид С.А., Левених Д.П. Температурные воздействия на гидротехнические сооружения в условиях Севера. Л.: Стройиздат, 1978.

105. Руководство по проектированию гидротехнических туннелей. М.: Стройиздат, 1983.

106. Розин М.Н., Фликман Б.М., Румянцев В.А. Особенности производства подземных работ на строительстве Колымской ГЭС. Гидротехническое строительство. 1983, № 2.

107. Завалишин С.И., Смирнов С.Б., Морозова Д.В., Фриштер Л.Ю. Исследование напряженного состояния сферической оболочки АЭС. Энергетическое стороительство.1994, №4, с.66-67.

108. Исследование напряженно деформированного состояния строительных конструкций АЭС НП и защитной оболочки реакторного отделения здания атомной электростанции. Отчет по НИР, ЛИН МИСИ, 1992, 72 с.

109. Доркин В.В., Морозова Д.В., Фриштер Л.Ю. Напряженное состояние защитной оболочки реактора с учетом конструктивной неоднородности. Сб. ст. Проблемы аксиоматики в гидро-газодинамике. № 10 М.: Век книги, 2002, с.173-179.

110. Тимошенко С.П., Войнович-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963, с.587-617.

111. Бугаенко С.Е., Бронов В.М., Методы деформирования "замораживаемых" моделей. Зав. лаб., 1971, № 7.

112. Новацкий В. Теория упругости. М., Мир, 1975, с.465-548.

113. Боли Е., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М., Мир, 1964, с.517.

114. Vardanjan G.S., Frishter L.J. Modellierung thermoelastischer Spannungen in zusammengesetzten Konstruktionen. Spannungsoptische Untersuchungen. Beiträge (3). Bauakademie. DDR. Berlin. 1986 (Соавтор Г.С.Варданян).

115. Савостьянов В.Н., Агаханов Э К. Об эквивалентности систем воздействий в статической задаче механики деформируемого твердого тела. В сб. Развитие методов возведения, расчета и проектирования строительных конструкций. М.,1989, с. 12-13.

116. Гевирц Г.Я., Терновский М.Н., Мостков В.М., Челноков В.Л. Вопросы облегчения подземных конструкций и способов их возведения в условиях вечной мерзлоты. ГС, №2, М., 1980, с. 14-19.

117. Цинцадзе П.П. Моделирование термонапряженного состояния коробчатых конструкций методом фотоупругости. Дис.на соиск. уч. ст. к.т.н., МИСИ, М.Д986, 147 с.

118. Обследование и анализ состояния строительных конструкций реакторного отделения АЭС. Отчет по НИР, № гос.регистр. 01850058633. НИС Гидропроекта. М., 1985,128 с.

119. Исследование термонапряженного состояния прискальных блоков бетонирования методом фотоупругости. Отчет по НИР, МИСИ, гос. регистр. № 01.085.0.033503, М., 1985.р

120. Лурье А. И. Теория упругости. М., Наука, 1970, 939 с.

121. Ляв. А., Математическая теория упругости, ОНТИ, М., 1935, 674 с.

122. Фуфаев В. В. К задаче Дирихле для областей с углами. Докл. АН СССР, 1960, т. 131, № 1, с. 37.

123. Фуфаев В. В. О конформных преобразованиях областей с углами и о дифференциальных свойствах решения уравнения Пуассона в областях с углами. Докл. АН СССР, 1963, т. 152, №4, 838 с.

124. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений вобластях с коническими или угловыми точками, Труды Московского математического общества-М.:, МГУ, 1967, т. 16, с. 209-292.1

125. Кондратьев В. А. Асимптотика решения уравнения Новье Стокса в окрестности угловой точки границы. ПМ и M, М., Наука, вып. 1, 1967, 119-123с.

126. Эскин Г. И. Общие краевые задачи для уравнений главного типа в плоскости с угловыми точками. УМН, 18, вып. 3, 1963, 241—242 с.

127. Williams M. L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension. J. Appl. Mech., 1952, v. 19, № 4, p. 526.

128. Williams M. L. The complex- variable approach to stress singularities. -J. Appl. Mech., 1956, vol. 23, № 3, p. 477.

129. Каландия А. И. Замечания об особенности упругих решений вблизи углов. ПММ, т. 33, вып. 1, 1969, 132-134 с.

130. Арсенян В. А., Заргарян С. С. Численное решение плоских задач теории упругости для областей с углами. Изв. АН Арм. ССР, Механика, т. XXXVI, №1, 1983, 47-55 с.

131. Аветисян А. Г., Чобанян К. С. Характер напряжений в заделанной окрестности края поверхности соединения составного тела, нагруженного в условиях плоской задачи теории упругости. Изв. АН Арм. ССР, Механика, XXV, №6, 1972, 13-25 с.

132. Денисюк И. Т. Напряжённое состояние вблизи особой линии поверхности раздела сред. Изв. РАН, МТТ, 1995, № 5, 64-70 с.

133. Денисюк И. Т. Решение одной задачи сопряжения для составной области с угловыми точками на линиях раздела. Изв. вузов, Математика, 1996, № 6, 17-24 с.

134. Денисюк И. Т. Одна задача сопряжения аналитических функций в аффинно-преобразованных областях с кусочно-гладкими границами. Изв. вузов, Математика, 2000, № 6, 70-74 с.

135. Образцов И.Ф., Кулиев В.Д., Разумовский И.А., Фарзалибеков Н.Э.

136. Докл. АНСССР.Т.308. С.З, 1989, с.570-574.

137. Кулиев В.Д., Разумовский И.А. К проблеме определения остаточных напряжений в биметаллах. Докл. АН СССР.Т.315. СЗД990, с.561- 565.

138. Багиров JI.A., Беркун В.В. Об асимптотике решения плоских задач теории упругости в устье трещины. МТТ, 1986, № 2, с. 119-122.

139. Зак А. Р. Напряжения в окрестности угловой линии в телах вращения, Прикладная механика, 1964, т. 31, №1, 6 с.

140. Александров А. Я., Зиновьев Б. М., Куршин J1. М., Об одном численном методе решения задач теории упругости с учётом особенностей напряжённого состояния вблизи угловых точек и линий. — МТТ, 1980, № 3, 39-41 с.

141. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М. Наука, 1974,640 с.

142. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задачах в областях с коническими точками. Math. Nachr., 1977, т. 76.

143. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задачах вблизи ребра. ДАН ССР, 1976, т.229, №1.

144. Беркун В.Б., Попов В.А. Об эффекте немонотонного поведения показателей сингулярности в решениях плоской задачи теории упругости в окрестности угловой точки границы. Изв. АН Арм. ССР. XLI, № 2, 1988, с.61-64.

145. Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. М., Гостехиз-дат, 1949.

146. Рекач В. Г. Руководство к решению задач по теории упругости. М., Высшая школа, 1966, 227 с.

147. Bazant Z. P. Three-dimensional harmonic function near termination of intersection of gradient singularity lines: a general numerical method. — Jnt. J. Eng. Sei., 1974, v. 12, №3.

148. Седов JI. И. Методы подобия и размерности в механике. М., Наука, 1972, 440 с.

149. Варданян Г.С. Основы теории подобия и анализа размерностей. Учебное пособие МИСИ, М., 1977, 121 с.

150. Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений. Справочное пособие. Касаткин Б.С., Кудрин А.Б., Лобанов Л.М., Пивто-рак В.А., Полухин П.И., Чиченов Н.А. Киев, Наукова думка.1981, с.358-385.

151. Варданян Г.С., Фриштер Л.Ю. Анализ НДС в окрестности нерегулярной точки на особой линии области с применением элементов теории размерности. International journal for computational civil and structural engineering. Volume 3, Issue 2, 2007, p. 75-81.

152. Фриштер Л.Ю. Расчетно-экспериментальный метод исследования НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. №2, М., 2008, с.20-27.

153. Фриштер Л.Ю. Теоретико-экспериментальный анализ напряженно -деформированного состояния в окрестности нерегулярной точки границы плоской области от несовместных деформаций. Вестник МГСУ, №1, М.: МГСУ, 2008, с. 169-174.

154. Фриштер Л.Ю. О возможностях получения методом фотоупругости напряженного состояния в области концентрации напряжений. Вестник МГСУ, №1, М.: МГСУ, 2008, с.165-168.

155. Фриштер Л.Ю. Экстраполяция экспериментальных данных метода размораживания деформаций в области концентрации напряжений. Вестник МГСУ, №1, М.: МГСУ, 2008, с.272-276.