автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния тел с жесткими круговыми включениями при конечных плоских деформациях



На правах рукописи УДК 519.634

00500401л

РЯБОВА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО - ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ С ЖЕСТКИМИ КРУГОВЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ ПРИ КОНЕЧНЫХ ПЛОСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-йЯЕнмл

ТВЕРЬ 2011

005004012

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Тверского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук, доцент

Зингерман Константин Моисеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Георгиевский Дмитрий Владимирович доктор физико-математических' наук, профессор Цветков Виктор Павлович

Ведущая организация НТЦ "НИИ шинной промышленности"

Защита состоится "23" декабря 2011 г. в 16 часов на заседании совета Д 212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170002, г. Тверь, Садовый пер., 35, ауд. 200.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170100, г.Тверь, ул. Володарского, 44а.

Объявление о защите диссертации опубликовано "22" ноября 2011 года на сайте ВАК и на официальном сайте Тверского государственного университета по адресу: http://university.tversu.ru/aspirants/abstract/

Автореферат разослан "22" ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук доцент

Дудаков С.М.

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Актуальность темы работы определяется широким применением резин и резиноподобных материалов в современной технике, необходимостью прогнозировать напряженно-деформированное состояние (НДС) и возможное разрушение элементов конструкций, изготовленных из этих материалов (резинометаллические амортизаторы, шины и др.), с использованием методов математического моделирования. Такие элементы конструкций обычно эксплуатируются в условиях многократного деформирования, при этом деформации в них не малы (например, деформации в шинах достигают 50%).1 При таких деформациях существенное влияние на НДС оказывают эффекты геометрической и физической нелинейности. Зависимость долговечности высокоэластичных материалов от напряжений является нелинейной. Например, при изменении напряжений на 30-40% долговечность может измениться в несколько раз. Поэтому важно с максимально возможной точностью учесть нелинейные эффекты при математическом моделировании НДС изделий из таких материалов.

В процессе деформирования и разрушения резиноподобных материалов и композитов на их основе микроструктура этих материалов может существенно меняться.2 Разрушение сопровождается образованием микрополостей. Деформирование резин и других полимеров сопровождается их частичной кристаллизацией. Кристаллизация резин представляет собой фазовый переход первого рода, при котором меняется плотность материала, а также существенно меняются его упругие свойства: жесткость кристаллической фазы на 2-3 порядка превосходит жесткость аморфной фазы. С учетом этого при математическом моделировании НДС резин в процессе их кристаллизации можно рассматривать области, в которых материал находится в кристаллическом состоянии, как жесткие включения. Изменение плотности материала приводит к тому, что размер этих включений меняется в процессе кристаллизации.

Образование микрополостей или жестких включений приводит к перераспределению деформаций и напряжений в материале. Поэтому необходимо при построении моделей, описывающих эти явления, учесть эффекты, связанные с перераспределением конечных деформаций.

При построении математических моделей НДС изделий из резиноподобных материалов эти материалы обычно рассматриваются как нелинейно-упругие или вязкоупругие. Учет вязкоупругих свойств важен в случае, когда

Тамлицкий Ю.А., Мудрук В.И., Швачич М.В. Упругий потенциал наполненных резин // Каучук и резина, 2002. — № 3. — с. 29-39.

2Бухина М.Ф., Зорина Н.М., Морозов Ю.Л. Частично закристаллизованный эластомер как модель нанокомпозита /7 Инженерно-физический журнал, 2005. - Т. 78, № 5. - с. 19-23.

период времени, в течение которого происходит нагружение, сопоставим со временем релаксации. Вязкоупругие процессы сопровождаются переходом части энергии деформации в тепловую энергию, что может быть важно при анализе теплового состояния элементов конструкций. Для моделирования вязкоупругих свойств материала могут быть использованы определяющие соотношения с экспоненциальными или слабосингулярными ядрами; при этом определяющие соотношения со слабосингулярными ядрами позволяют более точно описать механическое поведение резиноподобных материалов.

В связи с вышеизложенным возникает необходимость в решении следующей научной задачи: построение и исследование математических моделей, описывающих НДС в нелинейно-упругих и вязкоупругих телах с жесткими включениями и полостями (в том числе и возникающими в процессе нагружения) при конечных деформациях и их перераспределении; разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения для расчета НДС таких тел.

Необходимость в решении такой задачи подтверждается также и тем, что до настоящего времени не были разработаны приближенные аналитические методы расчета НДС тел, содержащих жесткие включения для случая конечных плоских деформаций. Ранее математические модели для описания НДС нелинейно-упругих и вязкоупругих тел при конечных деформациях были развиты в работах Дж. Адкинса, А. Грина, А.И. Лурье, Н.Ф. Морозова. Ф. Мурнагана, В.В. Новожилова, Л.И. Седова, К.Ф. Черных. Теория наложения больших деформаций была предложена Г.С. Тарасьевым и обобщена на случай многократного наложения (перераспределения) больших деформаций В.А. Левиным. Математические модели для описания механического поведения нелинейно-упругих и вязкоупругих материалов при больших деформациях предложены в работах A.A. Адамова, Ю.А. Гамлицкого, Д.В. Георгиевского, A.A. Ильюшина, М.А. Колтунова, В.А. Левина, А. Лиона, Б.Е. Победри, Ю.Н. Работнова. Физико-механические свойства резин, особенности кристаллизации резин рассмотрены в работах Л. Трелоара, М.Ф. Бухиной. Аналитические и численные методы расчета НДС структурно-неоднородных упругих и вязкоупругих тел развиты в работах В.И. Воровича, В.И. Горбачева, Л.М. Зубова, В.П. Матвеенко. C.B. Шешенина. Методы расчета НДС шин развиты в работах А.Е. Белкина, В.Л. Бидермана, Б.Л. Бухина, О.Н. Мухина. Приближенные аналитические методы расчета НДС бесконечно протяженных тел, содержащих отверстия различной формы, при конечных плоских деформациях и их перераспределении были разработаны K.M. Зингерманом. Приближенные аналитические методы расчета НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения (в том числе и возникающие после нагружения) с учетом их взаимовлияния, взаимовлияния включений и отверстий, возможного

изменения размеров включений при конечных плоских деформациях и их перераспределении ранее не были разработаны.

Цель работы: разработка математических моделей, описывающих НДС в бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих телах, содержащих жесткие включения круговой формы и другие концентраторы напряжений, при конечных плоских деформациях и их перераспределении; разработка методов расчета НДС, алгоритмов и программного обеспечения, реализующих эти методы на основе указанных моделей.

Методы исследований. Построение моделей осуществляется на основе уравнений нелинейной теории упругости при больших деформациях с учетом их перераспределения в случае многоэтапного нагружения. Все задачи решены в основном методом возмущений (метод последовательных приближений). При решении линеаризованных задач применялся метод Колосова-Мусхелишвили; при этом в случае многосвязных областей использовался алгоритм последовательных приближений Шварца. При решении задач вязкоупругости применялось преобразование Лапласа.

Положения, выносимые на защиту:

— разработан метод построения математических моделей, описывающих НДС тел при перераспределении конечных плоских деформаций, на основе записи уравнений нелинейной теории упругости и вязкоупругости, в том числе записи граничных условий на контуре жестких включений, включая модель, описывающую НДС при деформировании предварительно нагруженных бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с возникающими в них круговыми жесткими включениями, и модель, описывающую НДС при деформировании предварительно нагруженных бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с круговыми жесткими включениями при возникновении в этих телах полостей различной формы;

— предложены новые формулы для расчета НДС тел с жесткими круговыми включениями приближенными аналитическими методами решения краевых задач;

— в программный комплекс для расчета НДС тел при перераспределении конечных плоских деформаций были добавлены возможности расчета НДС тел с жесткими круговыми включениями (имеющимися в теле изначально или возникающими после приложения нагрузки); модификация выполнена на основе разработанных приближенных численно-аналитических методов;

—исследованы численные результаты решения задач о концентрации напряжений вблизи круговых жестких включений и отверстий с учетом их взаимовлияния и нелинейных эффектов с применением указанного программного комплекса.

Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов; обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с. контролируемой точностью для каждого приближения и точным выполнением граничных условий для каждого приближения; подтверждается совпадением результатов решения линейной задачи упругости с известным аналитическим решением, малым различием между результатами, полученными методами возмущений и Ньютона-Канторовича.

Научная новизна:

— разработан метод построения математических моделей, описывающих при конечных плоских деформациях НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих или вязкоупругих тел с жесткими круговыми включениями, возникающими после предварительного нагружеиия, с учетом изменения размеров включений после образования; ранее такие модели не были построены;

— разработан метод построения математических моделей, описывающих при конечных плоских деформациях НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих или вязкоупругих тел с жесткими круговыми включениями для случая, когда в этих телах после нагружеиия образуются полости различной формы; ранее такие модели не были построены;

— впервые предложен способ нахождения решения линеаризованных задач для каждого приближения метода возмущений или метода Ньютона-Канторовича, удовлетворяющего граничным условиям на контурах жестких круговых включений.

Теоретическая и практическая значимость

Предлагаемая работа вносит вклад в нелинейную теорию упругости при больших деформациях с учетом их перераспределения: созданы математические модели для описания НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с жесткими круговыми включениями при конечных плоских деформациях; разработаны на основе уже имеющихся подходов приближенные численно-аналитические методы расчета НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел. содержащих жесткие включения круговой формы (в том числе и возникающие после нагружения) с учетом их взаимовлияния, взаимовлияния включений и отверстий, возможного изменения размеров включений при конечных плоских деформациях и их перераспределении; предложен подход, позволяющий для каждого приближения метода возмущений или метода Ньютона-Канторовича найти решение, удовлетворяющее граничным условиям на контурах жестких круговых включений.

Практическая значимость состоит в решении при конечных плоских

деформациях задачи о НДС вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения и отверстия, для случая, когда механические свойства материала тела описываются интегральными определяющими соотношениями со слабосингулярным ядром, предложенными А.А. Адамовым (использованы четырехпараметрическое ядро М.А. Колтунова и его частный случай - ядро А.Р. Ржаницына); решение этой задачи важно для анализа деформирования и прочности однонаправленных резинокордных композитов с учетом вязкоупругих свойств резиноподобных материалов.

Разработанная модифицированная версия программного комплекса, реализует алгоритмы решения класса задач о напряженно-деформированном состоянии тел, содержащих произвольно расположенные жесткие круговые включения и отверстия, при конечных плоских деформациях и их перераспределении. С использованием модифицированного программного комплекса решены новые задачи о НДС нелинейно-упругих тел с жесткими круговыми включениями при конечных плоских деформациях с учетом их перераспределения, вызванного изменением размеров включения или образованием полостей вблизи него; решение этих задач важно при прочностном анализе резиноподобных материалов в процессе их кристаллизации и при моделировании возможного разрушения однонаправленных волокнистых композитов с высокоэластичной матрицей.

Проведен анализ НДС бесконечно протяженных тел, содержащих произвольно расположенные жесткие круговые включения и отверстия, для случая конечных плоских деформаций; исследованы нелинейные эффекты, эффекты взаимовлияния жестких круговых включений, эффекты взаимовлияния жестких круговых включений и отверстий; эти эффекты существенны при анализе разрушения элементов конструкций из резинокордных композитов.

Полученные результаты и методы могут быть применены для анализа прочности элементов конструкций из резиноподобных материалов и для расчета НДС в изделиях из резины при ее кристаллизации после деформации и в предварительно деформированных однонаправленных волокнистых композитах при возникновении в них дефектов (полостей).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедр вычислительной математики и математического моделирования Тверского государственного университета, на VI и VII Всероссийских семинарах "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 2005, 2007); на VI международном научном симпозиуме "Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела" (Тверь, 2006); на конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2007, 2009, 2010); на

XVIII и XXI Всероссийских Симпозиумах "Проблемы шин и резинокордных композитов" (Москва, 2007. 2010). Некоторые результаты работы были включены в монографию.3 Модифицированный программный комплекс "Наложение", разработанный в ходе выполнения диссертационной работы, был использован при тестировании программного комплекса РГОЕЭУБ. Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, проект № 03-01-00233.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 16 научных работ, в том числе 5 статей опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Диссертация содержит 102 страницы, рисунков — 60. Список литературы включает 105 источников.

2. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируются цели диссертационной работы, дается краткий обзор литературы по теме диссертации, кратко излагается содержание работы и обсуждаются возможности применения полученных результатов.

В первой главе кратко изложен метод построения моделей, использованный в работе. Этот метод основан на записи уранений и граничных условий нелинейной теории упругости при больших деформациях с учетом их перераспределения в случае многоэтапного нагружения. Приведены кинематические соотношения этой теории, записаны уравнения равновесия и граничные условия, рассмотрены определяющие соотношения нелинейной упругости и вязкоупругости, используемые далее в работе при решении задач. Сформулированы постановки задач о распределении напряжений в упругих и вязкоупругих телах с жесткими включениями для случая конечных плоских деформаций.

Например, для описания НДС в случае изменений размеров жесткого кругового включения, возникающего после приложения нагрузки, используется следующая модель. Имеется бесконечно-протяженное нелинейно-упругое тело из материала Муни. В начальном (ненапряженном) состоянии в теле отсутствуют напряжения и деформации. Затем, под воздействием внешней начальной нагрузки, приложенной к телу, в теле возникают начальные большие напряжения и деформации. Тело переходит в промежуточное состояние. В теле возникают жесткие включения. Их возникновение не меняет напряженно-деформационное состояние в оставшейся части тела. Далее

3Левин В. А., Калинин В. В., Зингерман К. М., Вершинин А. В. Развитие дефектов при конечных деформациях. Компьютерное и физическое моделирование. — М.: Физматлит. 2007. — 392 с.

радиус каждого включения меняется на заданную величину. При этом происходит смещение частиц тела на границе включений. В результате этого в теле в окрестности включений возникают большие дополнительные деформации и соответствующие им напряжения, которые накладываются на начальные деформации и напряжения. Тело переходит в конечное состояние. Динамические эффекты, вызванные изменением размера, не учитываются.

В работе используются следующие основные обозначения, принятые в теории наложения больших деформаций:4 Ф/ь.т — аффинор деформаций при переходе из к-го в т-с состояние; Д¡¡<т — относительное изменение объема

к

при переходе из к-го в т-е состояние; £o,n — тензор обобщенных полных напряжений в п-м состоянии, отнесенный к базису к-го состояния; <г^п — тензор полных истинных напряжений в n-м состоянии; — тензор истинных напряжений на бесконечности в п-и состоянии; щ — вектор перемещений из (к — 1)-го в к-е состояние; ü — смещение частиц тела на границе включения; Г — граница включения; Fк,т — тензорная мера деформаций, описывающая изменение деформаций при переходе тела из состояния к в состояние т, соответствующая мере Фингера (Fo.i — тензорная мера Фингера).

Далее приведена математическая постановка задачи в координатах к-го состояния для тела, находящегося в п-м состоянии для случая отсутствия массовых сил. Главный вектор внешних сил, приложенный к контуру каждого включения, равен нулю.

Уравнение равновесия:

V-[(1 +До,O^So,* •**,»]= 0- (1)

Уравнение несжимаемости:

1 + Д0;П = 1. (2)

Граничные условия:

условие на границе включения

условие на бесконечности

^о,п|00 = ^~„. (4)

к

Зависимость между тензором <то.п, и тензором £о,п в базисе к-го состояния имеет вид

So,n = (1 + До,1.)Фл,„-1' «го,» • Фм"1 • (5)

1 Левин В.А., Зингерман K.M. Плоские задачи теории многократного наложения больших деформаций. Методы решения. — М.: Физматлит, 2002. - 272 с.

Определяющее соотношение для потенциала Муни:

ff0.n = |[(l + /?)Fo1„+(l-i?)F0,n-1]-poI„I, F0,„ = ®S,„-«o,n- (6)

Геометрические соотношения

п к

1 + Д0,„ = det Ф0,„, Фо,п = Фо^ • Фм. = VuP' W

p=fc+1

Во второй главе рассмотрены методы и алгоритмы решения класса плоских задач теории многократного наложения больших деформаций. Рассмотрено применение метода возмущений (метода последовательных приближений), а также применение метода Колосова-Мусхелишвили к решению линеаризованных задач'. Для решения линеаризованных задач для многосвязных областей используется метод последовательных приближений Шварца. При решении задач вязкоупругости для каждого приближения используется преобразование Лапласа.

Для решения нелинейной задачи используется метод возмущений. Параметр определяется следующим образом: q ~ стш2х IG 1 ГДС Отах = шах \afj\ (1 < i < 2, 1 < j < 2), G (для несжимаемых материалов ц) — модуль сдвига линейной упругости. Нулевое значение параметра q соответствует ненагруженному телу. Для всех величин, входящих в постановку задачи, записывается разложение в ряд по этому параметру.

Решение исходной нелинейной задачи ищется в перемещениях в виде ряда

un = u(°)+u^ + ..., (8)

Таким образом, решение исходной нелинейной задачи сводится к последовательному решению линеаризованных задач.

Линеаризованные задачи решаются методом Колосова-Мусхелишвили. В рассмотрение вводится комплексная переменная z = х + гу, комплексное представление вектора перемещения для каждого приближения — w = и + iv, где и и v компоненты вектора перемещения для рассматриваемого приближения. Решение задачи ищется в виде

w = w,

одя.

+ и>част., (9)

где — решение однородного уравнения, а.и/чкт. — некоторое частное

решение линеаризованных уравнений равновесия. Решение однородного уравнения ищется в виде

где Ф(г). Ф(г) — функции, аналитические в области, занимаемой телом. Здесь и далее индекс, указывающий номер приближения, опущен. Напряжения ищутся по формулам

5/ = (<тц+аа)№ = 2[Ф(г)+Ф(г)]. 5Я = ((Т22-<Л1+2т12)ев>1. = ,

Где , ,,

т / ч # - I \

Таким образом, нахождение решения линейной задачи сводится к отысканию функций 1р(г) и тр(г), которые определяются из граничного условия и условия на бесконечности.

В соответствии с методом Колосова-Мусхелишвили отобразим бесконечную часть плоскости г на область |£| > 1 соотношением г = окружность = 1 обозначим 7. Если а — произвольная точка на окружности 7, а ¡р(а), <р'{сг), ■ф(а) — граничные значения при С ет извне 7, то граничное условие примет вид:

(12)

где д - заданная функция на контуре, которая определяется заданным перемещением, условием на бесконечности и видом частного решения для данного приближения.

Если найти функцию у?(£), то функцию ?/>(£) можно вычислить непосредственно из граничного условия.

Переходя к сопряженным значениям, граничное условие можно записать так:

- ^ЙУН - = ш (13)

ш (а)

Тогда, находя интеграл типа Коши от левой и правой части равенства, получим

Л. I 1 X 1 / ф(а)йа_ _ I

2тЫ/ ст-£, 2тгг / ш'((т) сг - $ 2тгг / сг - £ тгг / ст - £ '

Т 7 7 7

Пусть 5+ конечная часть плоскости, ограниченная 7, а 5" - бесконечная часть плоскости, состоящая из точек, расположенных вне у. Если в качестве положительного направления выберем то, что оставляет область 5+ слева, то интегралы типа Коши вычисляются по формуле

/ 1Ш = _/(,) + /(ос) при г в Б", (15)

2т J I. — г \

Из свойств интегралов, типа Коши вытекает следующее.

Для того чтобы непрерывная на окружности 7 функция /(а) была

граничным значением функции, голоморфной вне 7, необходимо и достаточно,

чтобы _

— I = о для всех £ внутри 7. (16)

2т / <т -

Следовательно,

= = 0 (17)

2пг / а — £ 2тг? / <7 - £

7 Т

и из условия (14) получим

.,(0 = ±1 + — ^. (18)

Остается найти функцию Из условия (12) получаем уравнение

_К1р{$ _ I = в(е) для вссх 5 внутри 7, (19)

^ ; 2тгг / ш'(ст) ^ - С

7

где - известная функция

*(0 = £ (20) т ] а

откуда

= + (21)

Д2тггТш'(а) * ~ £

Рассмотрим частный случай кругового включения. Тогда

а

+ ^ "'(О = АО = = = +

Так как функция голоморфна вне 7 и ^г(оо) = 0. то ■ ^(е) = | + р + ... при >1.

Следовательно,

.„'ГС\_______

е2 е3

= + при >1,

= + при |£|<1,

и, значит,

^> = с2£2+сзе + ... при |е|<1.

ы

Таким образом,

I "(о) о (22)

2тгг / Л (о) о ц

= --^(0- (23)

К

Соотношения (18), (20) и (23), позволяющие найти комплексные потенциалы ср и ф из граничного условия, выведены впервые. Затем решение находится по формулам (9) — (11).

В случае нескольких включений и отверстий для решения однородной задачи используется метод последовательных приближений Шварца.

Рассмотрим частный случай бесконечно-протяженного тела с двумя круговыми включениями.

Начальное приближение берется в виде

^ = (*и + а22Г = ^¿и. = ^ ~ аи + =

Функция д в правой части на начальном этапе имеет вид дт = где и/

- перемещение, соответствующее некоторому частному решению.

На >ом шаге итерационного процесса находятся аналитические функции Р^Ч^к)- на контуре из граничного условия

К¥и)0;к) - (= + - Ш&) = (24)

о о

по следующим формулам

Л) = { ^^ .

ктгг / Ы=1

^(ь, „ IА + + 4 / « ро)

^ ^ ; 2тгг / 46 Ъа' а - Е,к т / ст -

Н=1 М=1

Затем определяются . и находится функция в правой части

граничного условия для следующей итерации:

5£». = С4 + 2 + - (27)

Рис. 1: Зависимость |cth//î| от х: а) радиус уменьшается на 0,2; б) радиус не изменяется.

siL=-2 i*ü)(w - . (28)

ди+1) = gU) _ J_ _ g + ^ _ . (29)

Номер контура k на каждом шаге меняется.

В третьей главе рассматриваются результаты решения задач, постановки и методы решения которых приведены в первых двух главах. При решении задач используется модифицированный программный комплекс "Наложение", разработанный в ходе выполнения диссертационной работы. Исследуется зависимость напряженно-деформированного состояния от вида и величины начального нагружения, материала тела, размеров включений, формы контуров отверстий, взаимного расположения включений и отверстий, порядка образования (для вязкоупругих тел — от времени образования). Анализируется влияние нелинейных эффектов. Также сравниваются результаты решения задач, полученных методом возмущений и методом Ньютона-Канторовича; методом возмущений и методом конечных элементов.

Иллюстрацией решения задачи об изменении размеров жесткого включения является следующий расчет. Расчет выполнен для материала Муни при одноосной растягивающей нагрузке ст^/ц = 0,8. На рис. 1 а) приведена зависимость абсолютной величины компоненты тензора полных истинных напряжений |о-ц//х| от х. Для сравнения справа приведена зависимость kn/VI от X для случая, когда размеры включений не изменялись рис. 1 б). Пунктирная линия соответствует нелинейному решению задачи. Как видно из сравнения рис. 1 а) и рис. 1 б), изменение размеров существенно влияет на напряженно-деформированное состояние на линии, соединяющей центры включений.

В заключении формулируются основные результаты работы.

В диссертации имеется приложение, в котором частично приведен код и интерфейс модифицированного программного комплекса "Наложение" .

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Построена математическая модель деформирования предварительно нагруженных бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с возникающими в них круговыми жесткими включениями при конечных плоских деформациях. Модель учитывает возможность изменения размеров включений после их образования и может быть использована, в частности, для расчета НДС и исследования на прочность резин при их кристаллизации, вызванной предварительной деформацией.

Получены приближенные численно-аналитические решения плоских задач для бесконечно протяженных нелинейно-упругих тел с возникающими в них жесткими круговыми включениями, размеры которых могут меняться после нагружения, и вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения, в случае, когда механические свойства материала тела описываются интегральными определяющими соотношениями со слабосингулярным ядром М.А. Колтунова или ядром А.Р. Ржаницына.

Указанные методы реализованы в виде модифицированной версии программного комплекса. Результаты работы данного программного комплекса могут быть представлены как в аналитической форме, так и в числовой форме — в виде таблиц и графиков. С применением модифицированного программного комплекса протестированы приближенные аналитические методы расчета НДС тел с возникающими в них круговыми жесткими включениями при конечных плоских деформациях. Проведено сравнение решений, полученных методом возмущений и методом Ньютона-Канторовича. Например, при напряжении на бесконечности а^ = разность между решением, полученным методом возмущений, и пятым приближением метода Ньютона-Канторовича не превышает 5%. Различие между четвертым и пятым приближением в методе Ныотона-Канторовича составляет примерно 0,5%. С применением модифицированного программного комплекса исследовано также напряженно-деформированное состояние тел с круговыми жесткими включениями: исследованы нелинейные эффекты, влияние изменения размеров жесткого кругового включения на концентрацию напряжений, взаимовлияние двух жестких круговых включений. Например, для задачи о взаимовлиянии двух включений Наличие второго включения привело к увеличению максимального напряжения агт на контуре включения в 1,8 раза. Для задачи об изменении размеров (радиус включения уменьшался на 20%) максимальное напряжение ст^ на контуре включения стало меньше в 1,7 раза по сравнению со случаем, когда размеры включения не изменялись

(линейное решение задачи), для нелинейного решения в 2 раза, поправка от учета нелинейности составила примерно 30%. Для вязкоупругого материала (полидиенэпоксиуретан) напряжение со временем уменьшается, например, за 12 сек. напряжение aw на контуре включения стало меньше на 2% (для нелинейного решения).

2. Построена для случая конечных плоских деформаций математическая модель деформирования предварительно нагруженных бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с круговыми жесткими включениями при возникновении в этих телах полостей различной формы. Модель может быть использована для расчета НДС и исследования на прочность деформирования предварительно нагруженных однонаправленных волокнистых композитов при возникновении в-них полостей с учетом эффектов перераспределения конечных деформаций.

Получены приближенные численно-аналитические решения плоских задач для бесконечно протяженных нелинейно-упругих тел с жесткими круговыми включениями, в которых после нагружения образуются полости, и вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения и отверстия, в случае, когда механические свойства материала тела описываются интегральными определяющими соотношениями со слабосингулярным ядром М.А. Колтунова или ядром А.Р. Ржаницына.

С применением разработанной модифицированной версии программного комплекса, реализующего выше указанные модели и методы решения плоских задач, исследовано взаимовлияние жестких круговых включений и полостей различной формы. Например, при образовании отверстия в форме эллипса вблизи включения напряжение <rw уменьшилось в 2,2 раза по сравнению со случаем, когда отверстие не образовывалось. Учет нелинейности вызвал снижение напряжения на 38% при напряжении на бесконечности (<т~ = = 0.5/i). Учет нелинейных эффектов в моделях, описывающих деформирование композиционных материалов на основе резины, является весьма существенным. Например, при изменении напряжений на 38% долговечность резины может измениться примерно в 4 раза.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Рябова O.A., Зингерман K.M. Численно-аналитическое моделирование напряженно-деформированного состояния вблизи жестких включений в теле из нелинейно-упругого материала с учетом их взаимовлияния // Вестник Тверского государственного университета. Серия "Прикладная математика". — Тверь, 2007. — № 27(55) - С. 89-98.

[2] Рябова O.A., Зингерман K.M. Нелинейная модель образования жестких включений в бесконечно-протяженном упругом теле и методы ее исследования // Вестник Тверского государственного университета. Серия "Прикладная математика". — Тверь, 2009. — № 28 - С. 37-44.

[3] Зингерман K.M., Рябова O.A. Взаимовлияние полости и жесткого включения в нелинейно-упругом теле при конечных деформациях // Известия ТулГУ. Естественные науки. — Тула: изд-во ТулГУ, 2010. — Вып. 2. — С. 64-72.

[4] Зингерман K.M., Рябова O.A. Программный комплекс для прочностных расчетов для тел с включениями // Программные продукты и системы. — Тверь, 2011. — № 1(93). — С. 153-155.

[5] Рябова O.A. Моделирование конечных плоских деформаций бесконечно протяженных упругих тел с жесткими включениями // Вестник Тверского государственного университета. Серия "Прикладная математика". — Тверь, 2011. — № 8 - С. 65-72.

[6] Рябова O.A., Зингерман K.M. Задача о жестком включении в теле из нелинейно-упругого сжимаемого материала при конечных деформациях // Сложные системы: обработка информации, моделирование и оптимизация. — Тверь: Тверской государственный университет, 2004. — С. 172-180.

[7] Рябова O.A., Зингерман K.M. О взаимовлиянии жестких включений в вязкоупругом теле при конечных деформациях. // Материалы VI Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения". — Казань: Казанский государственный университет, 2005. — С. 191-194.

[8] Рябова O.A., Зингерман K.M. Расчет напряженно-деформированного состояния около жесткого включения в вязкоупругом теле при конечных деформациях. ,// Тез. докл. VI международного научного симпозиума "Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела" . — Тверь: Тверской государственный технический университет, 2006. — С. 51.

[9] Рябова O.A., Зингерман K.M. Влияние собственных больших деформаций на напряженно-деформированное состояние упругого тела при изменении размеров возникшего в нем жесткого включения. /'/ Материалы VI Всеросийсского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения". — Казань: Казанский государственный университет, 2007. — С. 231-234.

[10] Зингсрман K.M., Рябова O.A. Расчет напряжений вблизи жестких включений в телах из резиноподобного вязкоупругого материала с четырехпараметрическим ядром релаксации при конечных плоских деформациях /7 Труды XVIII симпозиума "Проблемы шин и резинокордных композитов". — М.: ООО "Научно-технический центр "НИИШП", 2007. — Т.1. - С. 158-163.

[11] Рябова O.A., Зингерман K.M. Об учете взаимовлияния кордных нитей в резинокордном композите при конечных деформациях // Труды XVIII симпозиума "Проблемы шин и резинокордных композитов". — М.: ООО "Научно-технический центр "НИИШП", 2007. - Т.2. - С. 146-149.

[12] Зингерман K.M., Рябова O.A. Напряженно-деформированное состояние вязкоупругого тела, содержащего отверстие и жесткое включение, при конечных деформациях // Современные проблемы математики, механики, информатики. Материалы конференции. — Тула: изд-во ТулГУ, 2009. — С. 182-184.

[13] Рябова O.A. Расчет напряжений при образовании отверстия в нелинейно-упругом теле с жестким включением // Современные проблемы математики, механики, информатики. Материалы конференции. — Тула: изд-во ТулГУ, 2009. - С. 261-264.

[14] Зингерман K.M., Рябова O.A. Метод расчета напряжений в вязкоупругих телах с отверстиями и жесткими включениями при больших деформациях ,// Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела: Труды второй международной конференции. — Казань: Казанский гос. ун-т, 2009. - С. 174-177.

[15] Рябова O.A., Зингерман K.M. Расчет микронапряжений вблизи полостей, образованных в вязкоупругом композите при конечных плоских деформациях /'/' Доклады 21 симпозиума "Проблемы шин и резинокордных композитов". — М.: ООО "Научно-технический центр "НИИШП", 2010. - Т.2. - С. 133-137.

[16] Рябова O.A. Исследование напряженног-о состояния вблизи жесткого включения в нелинейно-упругом теле при конечных плоских деформациях // Современные проблемы математики, механики, информатики. Материалы конференции. - Тула: изд-во ТулГУ, 2010. - С. 196-198.

Технический редактор: А.В.Жильцов Подписано в печать 18.11.2011. Формат 60x84 1 /16. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 470. Тверской государственный университет Редакционно-издательское управление Адрес: 170100, г. Тверь, ул. Желябова, 33. Тел. РИУ: (4822) 35-60-63

Введение

Глава 1. Математическая модель напряженных состояний нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с жесткими включениями и отверстиями при больших деформациях

1. Основные обозначения

2. Кинематика деформаций

3. Определяющие соотношения

4. Уравнения равновесия и граничные условия

5. Постановка краевых задач

Глава 2. Методы решения плоских задач теории наложения больших упругих и вязковпругих деформаций

1. Применение метода возмущений к решению задач упругости

2. Решение линеаризованной задачи

3. Метод последовательных приближений Шварца

4. Метод НыотонагКанторовича

5. О решении задач вязкоу пру гости

Глава 3. Решение некоторых плоских задач теории наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций

1. Задача о напряженно-деформированном состоянии вблизи жестких включений

2. Образование и изменение размеров жестких включений

3. Взаимовлияние полостей и жестких включений

Актуальность темы работы определяется широким применением резин и резиноподобных материалов в современной технике, необходимостью прогнозировать напряженно-деформированное состояние (НДС) и возможное разрушение элементов конструкций, изготовленных из этих материалов (резинометаллические амортизаторы, шины и ДР-)> с использованием методов математического моделирования. Такие элементы конструкций обычно эксплуатируются в условиях многократного деформирования, при этом деформации в них не малы (например, деформации в шинах достигают 50%) [12]. При таких деформациях существенное влияние на НДС оказывают эффекты геометрической и физической нелинейности. Зависимость долговечности высокоэластичных материалов от напряжений является нелинейной. Например, при изменении напряжений на 30-40% долговечность может измениться в несколько раз. Поэтому важно с максимально возможной точностью учесть нелинейные эффекты при математическом моделировании НДС изделий из таких материалов.

В процессе деформирования и разрушения резиноподобных материалов и композитов на их основе микроструктура этих материалов может существенно меняться [8, 103]. Разрушение сопровождается образованием микрополостей. Деформирование резин и других полимеров сопровождается их частичной кристаллизацией. Кристаллизация резин представляет собой фазовый переход первого рода, при котором меняется плотность материала, а также существенно меняются его упругие свойства: жесткость кристаллической фазы на 2-3 порядка превосходит жесткость аморфной фазы. С учетом этого при математическом моделировании НДС резин в процессе их кристаллизации можно рассматривать области, в которых материал находится в кристаллическом состоянии, как жесткие включения. Изменение плотности материала приводит к тому, что размер этих включений меняется в процессе кристаллизации.

Образование микрополостей или жестких включений приводит к перераспределению деформаций и напряжений в материале. Поэтому необходимо при построении моделей, описывающих эти явления, учесть эффекты, связанные с перераспределением конечных деформаций.

При построении математических моделей НДС изделий из резиноподобных материалов эти материалы обычно рассматриваются как нелинейно-упругие или вязкоупругие. Учет вязкоупругих свойств важен в случае, когда период времени, в течение которого происходит нагружение, сопоставим со временем релаксации. Вязкоупругие процессы сопровождаются переходом части энергии деформации в тепловую энергию, что может быть важно при анализе теплового состояния элементов конструкций. Для моделирования вязкоупругих свойств материала могут быть использованы определяющие соотношения с экспоненциальными или слабосингулярными ядрами; при этом определяющие соотношения со слабосингулярными ядрами позволяют более точно описать механическое поведение резиноподобных материалов.

В связи с вышеизложенным возникает необходимость в решении следующей научной задачи: построение и исследование математических моделей, описывающих НДС в нелинейно-упругих и вязкоупругих телах с жесткими включениями и полостями (в том числе и возникающими в процессе нагружения) при конечных деформациях и их перераспределении; разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения для расчета НДС таких тел.

Необходимость в решении такой задачи подтверждается также и тем, что до настоящего времени не были разработаны приближенные аналитические методы расчета НДС тел, содержащих жесткие включения для случая конечных плоских деформаций. Ранее математические модели для описания НДС нелинейно-упругих и вязкоупругих тел при конечных деформациях были развиты в работах Дж. Адкинса, А. Грина [15], А. И. Лурье [46, 47], Н. Ф. Морозова [49], Ф. Мурнагана [104], В. В. Новожилова [53], Л. И. Седова [80]—[82], К. Ф. Черных [90]. Теория наложения больших деформаций была предложена Г. С. Тарасьевым и обобщена на случай многократного наложения (перераспределения) больших деформаций В.А. Левиным [40, 44, 100]. Математические модели для описания механического поведения нелинейно-упругих и вязкоупругих материалов при больших деформациях предложены в работах А. А. Адамова [1, 2], Ю. А. Гамлицкого [12, 96], Д. В. Георгиевского [57, 98, 99], А. А. Ильюшина [23, 24], М. А. Колтунова [31]—[33], В. А. Левина [40], А. Лиона, Б. Е. Победри [56], Ю. Н. Работнова [58]. Физико-механические свойства резин, особенности кристаллизации резин рассмотрены в работах Л. Трелоара [86, 87, 105], М. Ф. Бухиной [5]-[7]. Аналитические и численные методы расчета НДС структурно-неоднородных упругих и вязкоупругих тел развиты в работах В. И. Воровича [11], В. И. Горбачева, Л. М. Зубова, В. П. Матвеенко, С. В. Шешенина. Методы расчета НДС шин развиты в работах А.Е. Белкина, В.Л. Бидермана, Б.Л. Бухина, О.Н. Мухина. Приближенные аналитические методы широко применяются при решении различных классов задач матеметической физики и механики [2]-[4], [10, 15, 16, 17, 22, 34, 39], [48]-[51], [78], [81]-[83]. Возможности их применения существенно возросли с появлением развитых систем компьютерной алгебры, реализованных для персональных ЭВМ. Например, в работах В.П.Цветкова и его учеников [9, 89) рассмотрено применение приближенных аналитических методов к исследованию вращательного движения намагниченной гравитирующей конфигурации. Приближенные аналитические методы расчета НДС бесконечно протяженных тел, содержащих отверстия различной формы, при конечных плоских деформациях и их перераспределении были разработаны К. М. Зингерманом [18, 42, 43,101]. Приближенные аналитические методы расчета НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения (в том числе и возникающие после нагружения) с учетом их взаимовлияния, взаимовлияния включений и отверстий, возможного изменения размеров включений при конечных плоских деформациях и их перераспределении ранее не были разработаны.

Цель работы: разработка математических моделей, описывающих НДС в бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих телах, содержащих жесткие включения круговой формы и другие концентраторы напряжений, при конечных плоских деформациях и их перераспределении. Разработка методов расчета НДС, алгоритмов и программного обеспечения, реализующих эти методы на основе указанных моделей.

Методы исследований. Построение моделей осуществляется на основе уравнений нелинейной теории упругости при больших деформациях с учетом их перераспределения в случае многоэтапного нагружения. Все задачи решены в основном методом возмущений (метод последовательных приближений). При решении линеаризованных задач применялся метод Колосова-Мусхел ишвил и; при этом в случае многосвязных областей использовался алгоритм последовательных приближений Шварца. При решении задач вязкоупругости применялось преобразование Лапласа.

Положения, выносимые на защиту: разработан метод построения математических моделей, описывающих НДС тел при перераспределении конечных плоских деформаций, на основе записи уравнений нелинейной теории упругости и вязкоу пру гости, в том числе записи граничных условий на контуре жестких включений, включая модель, описывающую НДС при деформировании предварительно нагруженных бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с возникающими в них круговыми жесткими включениями, и модель, описывающую НДС при деформировании предварительно нагруженных бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с круговыми жесткими включениями при возникновении в этих телах полостей различной формы; предложены новые формулы для расчета НДС тел с жесткими круговыми включениями приближенными аналитическими методами решения краевых задач; в программный комплекс для расчета НДС тел при перераспределении конечных плоских деформаций были добавлены возможности расчета НДС тел с жесткими круговыми включениями (имеющимися в теле изначально или возникающими после приложения нагрузки); модификация выполнена на основе разработанных приближенных численно-аналитических методов; исследованы численные результаты решения задач о концентрации напряжений вблизи круговых жестких включений и отверстий с учетом их взаимовлияния и нелинейных эффектов с применением указанного программного комплекса.

Научная новизна: разработан метод построения математических моделей, описывающих при конечных плоских деформациях НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих или вязкоупругих тел с жесткими круговыми включениями, возникающими после предварительного нагружения, с учетом изменения размеров включений после образования; ранее такие модели не были построены; разработан метод построения математических моделей, описывающих при конечных плоских деформациях НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих или вязкоупругих тел с жесткими круговыми включениями для случая, когда в этих телах после нагружения образуются полости различной формы; ранее такие модели не были построены; впервые предложен способ нахождения решения линеаризованных задач для каждого приближения метода возмущений или метода Ньютона-Канторовича, удовлетворяющего граничным условиям на контурах жестких круговых включений.

Теоретическая и практическая значимость.

Предлагаемая работа вносит вклад в нелинейную теорию упругости при больших деформациях с учетом их перераспределения: созданы математические модели для описания НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с жесткими круговыми включениями при конечных плоских деформациях; разработаны на основе уже имеющихся подходов приближенные численно-аналитические методы расчета НДС бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел, содержащих жесткие включения круговой формы (в том числе и возникающие после нагружения) с учетом их взаимовлияния, взаимовлияния включений и отверстий, возможного изменения размеров включений при конечных плоских деформациях и их перераспределении; предложен подход, позволяющий для каждого приближения метода возмущений или метода Ньютона-Канторовича найти решение, удовлетворяющее граничным условиям на контурах жестких круговых включений.

Практическая значимость состоит в решении при конечных плоских деформациях задачи о НДС вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения и отверстия, для случая, когда механические свойства материала тела описываются интегральными определяющими соотношениями со слабосингулярным ядром, предложенными А. А. Адамовым [2] (использованы четырехпараметрическое ядро М. А. Колтунова и его частный случай - ядро А. Р. Ржаницына); решение этой задачи важно для анализа деформирования и прочности однонаправленных резинокордных композитов с учетом вязкоупругих свойств резиноподобных материалов.

Разработанная модифицированная версия программного комплекса, реализует алгоритмы решения класса задач о напряженно-деформированном состоянии тел, содержащих произвольно расположенные жесткие круговые включения и отверстия, при конечных плоских деформациях и их перераспределении. С использованием модифицированного программного комплекса решены новые задачи о НДС нелинейно-упругих тел с жесткими круговыми включениями при конечных плоских деформациях с учетом их перераспределения, вызванного изменением размеров включения или образованием полостей вблизи него; решение этих задач важно при прочностном анализе резиноподобных материалов в процессе их кристаллизации и при моделировании возможного разрушения однонаправленных волокнистых композитов с высокоэластичной матрицей.

Проведен анализ НДС бесконечно протяженных тел, содержащих произвольно расположенные жесткие круговые включения и отверстия, для случая конечных плоских деформаций; исследованы нелинейные эффекты, эффекты взаимовлияния жестких круговых включений, эффекты взаимовлияния жестких круговых включений и отверстий; эти эффекты существенны при анализе разрушения элементов конструкций из резинокордных композитов.

Полученные результаты и методы могут быть применены для анализа прочности элементов конструкций из резиноподобных материалов и для расчета НДС в изделиях из резины при ее кристаллизации после деформации и в предварительно деформированных однонаправленных волокнистых композитах при возникновении в них дефектов (полостей).

Достоверность результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов; обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью для каждого приближения и точным выполнением граничных условий для каждого приближения; подтверждается совпадением результатов решения линейной задачи упругости с известным аналитическим решением, малым различием между результатами, полученными методами возмущений и Ньютона-Канторовича.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Основные результаты работы:

1. Построена математическая модель деформирования предварительно нагруженных бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с возникающими в них круговыми жесткими включениями при конечных плоских деформациях. Модель учитывает возможность изменения размеров включений после их образования и может быть использована, в частности, для расчета НДС и исследования на прочность резин при их кристаллизации, вызванной предварительной деформацией [63, 70].

Получены приближенные численно-аналитические решения плоских задач для бесконечно протяженных нелинейно-упругих тел с возникающими в них жесткими круговыми включениями, размеры которых могут меняться после нагружения, и вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения, в случае, когда механические свойства материала тела описываются интегральными определяющими соотношениями со слабосингулярным ядром М. А. Колтунова или ядром А. Р. Ржаницына.

Указанные методы реализованы в виде модифицированной версии программного комплекса [74]. Результаты работы данного программного комплекса могут быть представлены как в аналитической форме, так и в числовой форме — в виде таблиц и графиков. С применением модифицированного программного комплекса протестированы приближенные аналитические методы расчета НДС тел с возникающими в них круговыми жесткими включениями при конечных плоских деформациях.

Проведено сравнение решений, полученных методом возмущений и методом Ньютона-Канторовича. Например, при напряжении на бесконечности а^ = 2,5/х) разность между решением, полученным методом возмущений, и пятым приближением метода Ньютона-Канторовича не превышает 5%. Различие между четвертым и пятым приближением в методе Ньютона-Канторовича составляет примерно 0,5%. С применением модифицированного программного комплекса исследовано также напряженно-деформированное состояние тел с круговыми жесткими включениями: исследованы нелинейные эффекты, влияние изменения размеров жесткого кругового включения на концентрацию напряжений, взаимовлияние двух жестких круговых включений. Например, для задачи о взаимовлиянии двух включений наличие второго включения привело к увеличению максимального напряжения агт на контуре включения в 1,8 раза. Для задачи об изменении размеров (радиус включения уменьшался на 20%) максимальное напряжение а^ на контуре включения стало меньше в 1,7 раза по сравнению со случаем, когда размеры включения не изменялись (линейное решение задачи), для нелинейного решения в 2 раза, поправка от учета нелинейности составила примерно 30%. Для вязкоупругого материала (полидиенэпоксиуретан) напряжение со временем уменьшается, например, за 12 сек. напряжение а^ на контуре включения стало меньше на 2% (для нелинейного решения).

2. Построена для случая конечных плоских деформаций математическая модель деформирования предварительно нагруженных бесконечно протяженных нелинейно-упругих и вязкоупругих тел с круговыми жесткими включениями при возникновении в этих телах полостей различной формы. Модель может быть использована для расчета НДС и исследования на прочность деформирования предварительно нагруженных однонаправленных волокнистых композитов при возникновении в них полостей [65, 66, 71].

Получены приближенные численно-аналитические решения плоских задач для бесконечно протяженных нелинейно-упругих тел с жесткими круговыми включениями, в которых после нагружения образуются полости, и вязкоупругих тел, содержащих жесткие круговые включения и отверстия, в случае, когда механические свойства материала тела описываются интегральными определяющими соотношениями со слабосингулярным ядром М.А.Колтунова или ядром А.Р.Ржаницына.

С применением разработанной модифицированной версии программного комплекса, реализующего выше указанные модели и методы решения плоских задач, исследовано взаимовлияние жестких круговых включений и полостей различной формы. Например, при образовании отверстия в форме эллипса вблизи включения напряжение а^ уменьшилось в 2,2 раза по сравнению со случаем, когда отверстие не образовывалось. Учет нелинейности вызвал снижение напряжения на 38% при напряжении на бесконечности (сг^ = а\£ = 0.5//). Учет нелинейных эффектов в моделях, описывающих деформирование композиционных материалов на основе резины, является весьма существенным. Например, при изменении напряжений на 38% долговечность резины может измениться примерно в 4 раза.

Заключение

1. Адамов АА. Об идентификации модели наследственной вязкоупругости при конечных деформациях // Структурная механика неоднородных сред.- Свердловск, 1982. С. 8-11

2. Адамов A.A. , Матвеенко В.П., Труфанов H.A., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. — Екатеринбург: УрО РАН, 2003. — 411 с.

3. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости (применение методов теории функций комплексного переменного).- М.: Наука, 1978. 464 с.

4. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. — М.: Высшая школа, 1968. — 512 с.

5. Бухина М.Ф. Кристаллизация каучуков и резин. — М.: Химия, 1973. 239 с.

6. Бухина М.Ф. Техническая физика эластомеров. — М.: Химия, 1984. 224 с.

7. Бухина М.Ф., Курлянд С.Н. Морозостойкость эластомеров. — М.: Химия, 1989. 176 с.

8. Бухина М.Ф., Зорина Н.М., Морозов Ю.Л. Частично закристаллизованный эластомер как модель нанокомпозита // Инженерно физический журн. — 2005. - Т. 78, N 5. - С. 19-23.

9. Беспалько Е.В., Михеев С.А., Пузынин И.В. Цветков В.П. Гравитирующая быстровращающаяся сверхплотная конфигурация с реалистическими уравнениями состояния // Мат.моделирование, 2006. — Т.118, № 3. — С. 103-119.

10. Виленкин Н.Я. Метод последовательных приближений. — М.: Наука, 1968.- 108 с.

11. И. Ворович И.И. Некоторые проблемы концентрации напряжений// Концентрация напряжений. Киев, 1968. Вып. 2. С. 45-53.

12. Гамлицкий Ю.А., Мудрук В.И., Швачич М.В. Упругий потенциал наполненных резин // Каучук и резина, 2002. — № 3. — с. 29-39.

13. Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды. — М.: Наука, 2000. — 214 с.

14. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. — М.: Мир, 1965. — 455 с.

15. Демидов С.П. Теория упругости. — М.: Высшая школа, 1979. — 432 с.

16. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. — 314 с.

17. Зингерман K.M. Решение класса плоских задач теории многократного наложения больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах: дис. . доктора физ.-мат. наук. — Тверь, 2001. — 154 с.

18. Зингерман K.M. Левин В.А. Перераспределение конечных упругих деформаций после образования включений. Приближенное аналитическое решение. Прикладная математика и механика. — М., 2009. — Т.З, вып. 6.- С. 983-1001.

19. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. — Киев: Наукова думка, 1986.- 538 с.

20. Ивлев Д.Д., Ершов JI.B. Метод возмущений в теории упругопластического тела М.: Наука, 1978. - 208 с.

21. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. — М.: изд-во МГУ, 1971. — 222 с.

22. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. — М.: Наука, 1970. — 280 с.

23. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. — М.: Физматлит, 2001. — 704 с.

24. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984. 752 с.9 5

25. Каратеодори К. Конформное отображение. — M.-JL: гос. технико-теоретическое изд-во, 1934. — 129 с.

26. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. — М.: изд-во МГУ, 1979. 208 с.

27. Коренев Г.В. Тензорное исчисление. — М.: изд-во МФТИ, 1996. — 239 с.

28. Колосов Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости. — Юрьев: Типогр. Маттисена, 1909. — 187 с.

29. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. — М.: Высшая школа, 1976. — 277 с.

30. Колтунов М.А., Майборода В.П., Зубчанинов В.Г. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов. — М.: Машиностроение, 1983. — 239 с.

31. Колтунов М.А., Кравчук A.C., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. — М.: Высшая школа, 1983. — 239 с.

32. Космодамианский A.C. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами. — Киев: Вища школа, 1975. — 228 с.

33. Кудинов А.Н., Колдунов В.А. Численная модель и алгоритм решения задачи теории упругости оболочечных конструкций // Вестник Тверского государственного университета. Сер. Прикладная математика. — Тверь, 2003.- № 2. С. 52-64.

34. Кумпяк Д.Е. Векторный и тензорный анализ. — Тверь: изд-во ТГУ, 2007.- 158 с.

35. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоу пру гости. — М.: Мир, 1974. 338 с.

36. Лаврентьев М.А. Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики. — M.-JI.: изд-во технико-теоретической литературы, 1946. 159 с.

37. Левин В.А.Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. — М.: МАИК Наука. Физматлит, 1999. — 224 с.

38. Левин В.А., Зингерман K.M. Плоские задачи теории многократного наложения больших деформаций. Методы решения. — М.: Физматлит, 2002.- 272 с.

39. Левин В.А., Калинин В.В., Зингерман K.M., Вершинин A.B. Развитие дефектов при конечных деформациях. Компьютерное и физическое моделирование. — М.: Физматлит, 2007. — 392 с.

40. Левин В.А., Тарасьев Г.С. Наложение больших упругих деформаций в пространстве конечных состояний // Доклады АН СССР, 1980. — 251, № 1. С. 63-66.

41. Линьков A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. — СПб.: Наука, 1999. — 382 с.

42. Лурье А.И. Теория упругости. — М.: Наука, 1970. — 940 с.

43. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980. — 512 с.

44. Ляв А. Математическая теория упругости.— М.-Л.: научно-техническое изд-во НКТП СССР, 1935. 662 с.

45. Морозов Н.Ф. Математические основы теории трещин. — М.: Наука, 1984.- 255 с.

46. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966. — 708 с.

47. Найфэ А. Методы возмущений. — 1976. — 456 с.

48. Немировский Ю.В., Резников B.C. Прочность элементов конструкций из композиционных материалов. — Новосибирск: Наука, 1986. — 167 с.

49. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. — Л.-М.: изд-во технико-теоретической лит., 1948. — 370 с.

50. Олейник O.A., Иосифьян Г.А. Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред — М.: изд-во МГУ, 1990. — 154 с.

51. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. — М.: Наука, 1981. 688 с.

52. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. — М.: изд-во МГУ, 1995. 366 с.

53. Победря Б.Е. Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций. — М.: Физматлит, 2006. — 272 с.

54. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела — М.: Наука, 1988. 712 с.

55. Рябова O.A. (соавтор Зингерман K.M.) О взаимовлиянии эллиптического отверстия и отверстия в форми трехлучевой звезды // Вестник Тверского государственного университета. — Тверь, 2003. — С. 71-78.

56. Рябова O.A. (соавтор Зингерман K.M.) О взаимовлиянии жестких включений в вязкоупругом теле при конечных деформациях. // Материалы

57. VI Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения". — Казань: Казанский государственный университет, 2005. — С. 191-194.

58. Рябова O.A. (соавтор Зингерман K.M.) Влияние собственных больших деформаций на напряженно-деформированное состояние упругого тела при изменении размеров возникшего в нем жесткого включения. // Материалы

59. VII Всеросийсского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения". — Казань: Казанский государственный университет, 2007. — С. 231-234.

60. Рябова O.A. Расчет напряжений при образовании отверстия в нелинейно-упругом теле с жестким включением // Современные проблемы математики, механики, информатики. Материалы конференции. — Тула: изд-во ТулГУ, 2009. С. 261-264.

61. Рябова O.A. (соавтор Зингерман K.M.) Взаимовлияние полости и жесткого включения в нелинейно-упругом теле при конечных деформациях // Известия ТулГУ. Естественные науки. — Тула: изд-во ТулГУ, 2010. — Вып. 2. С. 64-72.

62. Рябова O.A. (соавтор Зингерман K.M.) Программный комплекс для прочностных расчетов для тел с включениями // Программные продукты и системы. Тверь, 2011. - № 1 (93) - С. 153-155.

63. Рябова O.A. Моделирование конечных плоских деформаций бесконечно протяженных упругих тел с жесткими включениями / / Вестник Тверского государственного университета. Серия "Прикладная математика" — Тверь, 2011. — № 8 — С. 65-72.

64. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. — М.: Наука, 1979. — 427 с.

65. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. — Киев: Наукова думка, 1968. 887 с.

66. Свистков А.Л., Евлампиева С.Е. Итерационный метод расчета напряженно-деформированного состояния в ансамблях включений // Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов. — Екатеринбург, 1997. — С. 171-203.

67. Стасюк К.Г., Осив И.Н. Задача о напряженно-деформированном состоянии кусочно-однородной пластины с разрезами на эллиптической линии раздела матиериалов // Прикладная механика. — Киев, Наукова думка, 1979. — T.XV (XXV), № 9. С. 72-78.

68. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. — 284 с.

69. Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1994. — Т.1. — 528 с.

70. Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1994. — Т.2. — 560 с.

71. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. — М.: Мир, 1992. — 472 с.

72. Толоконников Л.А. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях // Прикладная математика и механика. — 1957. — Т. 21, № 6. С. 815-822.

73. Толоконников Л.А. Плоская деформация несжимаемого материала // Доклады АН СССР. 1958. - Т. 119, № 6. - С. 1124-1126.

74. Трелоар Л.Р. Структура и эластичность каучука // Успехи физических наук. 1946. - Т. XXVIII. Вып. 2-3. - С. 259-284.

75. Трелоар Л.Р. Физика упругости каучука. М.: Иностранная литература, 1953. 240 с.

76. Цвелодуб И.Ю. Плоские задачи для упругой среды с жесткопластическими включениями // Физическая мезомеханика, 2009. — Я® 12 — С. 73-76.

77. Цветков В.П. Экстремум энергии вращающейся намагниченной гравитирующей конфигурации как условие равновесия / / Вестник Тверского государственного университета. Серия "Прикладная математика" — Тверь, 2011. № 8 - С. 73-76.

78. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. — Л.: Машиностроение, 1986. — 336 с.

79. Фаронов В.В. Delphi. Программирование на языке высокого уровня. — СПб.: Питер, 2007. 640 с.

80. Фрейман Е.И. Вариант численного решения задачи теории многократного наложения больших деформаций для случая твердотельных фазовых переходов // Вестник Тверского государственного университета. Серия "Прикладная математика" Тверь, 2011. — № 8 — С. 29-42.

81. Шостак Р.Я. Операционное исчисление. Краткий курс. — М.: Высш. школа, 1972. 280 с.

82. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1968. - 402 с.

83. Эшебли Дж. Континуальная теория дислокаций. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — 247 с.

84. Яновский А.Г., Гамлицкий Ю.А. Наномеханика эластомерных композитов: принципы, возможности, результаты // XVIII Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов". — М.: НИИШП, 2007. — Т.1. — С. 26-40.

85. Georgievskii D.V. Isotropic nonlinear tensor functions in the theory of constitutive relations // Journal of Mathematical Sciences, 2002. — V. 112, No 5 — P.4498-4516.

86. Georgievskii D.V. Asymptotics with Respect to a Small Geometric Parameter for Solutions of Tree-Dimensional Lame Equations // Russian Journal of Mathematical Physics, 2009. V. 16, No 1 - P.74-80.

87. Levin V.A. Theory of Repeated Superposition of Large Deformations. Elastic and Viscoelastic Bodies // Intern. J. Solids and Structures. — 1998. — V. 35, No. 20.- P. 2585-2600.

88. Levin V.A., Zingerman K.M. Interaction and microfracturing pattern for suc-cesive origination (introduction) of pores in elastic bodies: finite deformation // Trans. ASME. Jornal of Applied Mechanics. 1998. Vol. 65. No. 2, P. 431-435.

89. Moony M.A. Theory of large elastic deformation // Journal of Applied Physics, 1940. № 11. - P. 582-592.

90. Motasem N.H. Saidan. Deformation-Indused Crystallization In Rubber-Like Materials. Doktors der Ingenieurwissenschaften genehmigte Dissertation. — Darmstadt, 2005. 110 p.

91. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. — New York: Willey, 1951. 140 p.

92. Treloar L.R.G. The physics of rubber elasticity. — Bristol: Oxford University Press, 1975. 310 p.iOZ

93. Программный комплекс для прочностных расчетов для тел с включениями

94. Модифицированный программный комплекс "Наложение" предназначен для расчета напряженно-деформированного состояния упругих и вязкоупругих тел, содержащих жесткие включения и отверстия, при конечных деформациях.

95. Основной программой является ^«¿/сж>5-приложение, созданное в среде Delphi.

96. Код модифицированной версии программного комплекса «Наложение»

97. Пример интерфейса модифицированной версии программного комплекса «Наложение»я Геометрия

98. Ко/мчество концентраторов напряжений

99. Порядок образования концентраторов напряжен ■*! Л Одновременно1. С Последовательно1. Форма• В промежуточном состоянии С В конечном состоя«««1. ЕШВа Явс |щ

100. Номер В на концентратора Размер X центра У центра Угол Привязка С1 С21 с 0 02 с 0 0Л1Г! Нагрузки на бесконечности