автореферат диссертации по обработке конструкционных материалов в машиностроении, 05.03.01, диссертация на тему:Фундаментальные решения в прочностных расчетах армированных корпусов режущих инструментов

ВВЕДЕНИЕ.

1. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ПЛОСКОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ С ЛИНЕЙНЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ.

1.1. Механическая постановка задачи.,.

1.2. Задача о действии сосредоточенной силы в плоскости с включением по бесконечной прямой—.

1.3. Фундаментальное решение.

1.4. Сингулярное решение.

1.5. Заключительные замечания.

2. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ПЛОСКОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ С ЛИНЕЙНЫМ ОГРАНИЧЕННЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ.

2.1. Механическая постановка задачи.

2.2. Формализация.

2.3. Факторизация и общее решение.—.—.

2.4. Выделение частного решения.

2.5. Фундаментальное решение.

2.6. Сингулярное решение.

3. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ИЗОТРОПНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ С ЖЕСТКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ ПО ОКРУЖНОСТИ.

3.1. Механическая формулировка задачи.

3.2. Формализация и решение.

3.3. Задача 1.1. .,.,,„,,„,.,.„,,.«„.=,,„„.,,.

3.4. Задача 1.2.

3.5. Задача 2.

3.6. Фундаментальное и сингулярное решение.

4. ПЕРСПЕКТИВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ АРМИРОВАННЫХ КОРПУСОВ РЕЖУЩИХ ИНСТРУМЕНТОВ.

4.1. Анализ возможности использования композиционных материалов для изготовления корпусов инструментов.

4.2. Примеры использования композитов на основе бетона в корпусах инструмента.

4.3.Методика расчета напряженно-деформированного состояния армированных корпусов режущих инструментов.

4.3 Л. Выбор критерия прочности инструмента.

4.3.2. Вычисление полевых характеристик напряженно-деформированного состояния в теле корпуса инструмента.

4.3.3. Расчет напряженного состояния во внутренних точках.

4.3.4. Расчет напряженного состояния в граничных точках тела.

4.4. Выводы.

В настоящее время существует ряд инструментов с корпусами из ком-позицитов на основе бетона, которые обладают высокой демпфирующей способностью. Композиты на основе бетона имеют относительно невысокий модуль упругости по сравнению со сталью, традиционно применяемой для изготовления корпусов инструментов. При этом возникает задача установления их прочности, определяющей предельные значения режимов резания, а соответственно и область применения этих инструментов (тонкая, чистовая, получистовая обработка).

Для повышения прочности корпуса инструментов применяется армирование различными материалами, например, металлической проволокой, волокнами, такими как сткекловолокна, бороволокна и др.

Для решения задачи о прочности армированных корпусов возникает необходимость в определении напряженно-деформированного состояния корпуса в процессе работы инструмента. Наличие включений в корпусе инструмента усложняет эту задачу. Вместе с тем композиты на основе бетона относятся к разномодульным материалам, что еще больше затрудняет расчеты. Возникает необходимость в решении задачи с включением.

Задачи теории упругости с включениями явились предметом исследований многих отечественных и зарубежных авторов. Впервые задачу теории упругости для бесконечной плоскости с эллиптическим абсолютно жестким ядром решил Н. И. Мусхелишвили [69]. К настоящему времени основным направлением исследований при опенке прочности композиции, состоящей из матрицы и имеющихся в ней жестких включений, являлось изучение поля напряжений и перемещений в окрестностях вершин этих дефектов. Данная задача сначала была решена для изотропных матриц [8, 10, 11, 15, 16, 23]. В этих работах изложены методы определения коэффициентов интенсивности 5 напряжений возле жестких криволинейных включений с точками возврата на контуре. Показано, что распределение напряжений и перемещений к матрице вблизи вершин дефектов имеет определенную функциональную зависимость в локальных координатах с началом в точке возврата. Для случая анизотропных тел [18, 20, 57, 92] дан подробный анализ влияния анизотропии на напряжённо-деформированное состояние возле угловых точек жестких включений. Оценка локального напряженно-деформированного состояния в окрестности жесткого концентратора несколько отличная от результатов упомянутых работ, получена в статье [121],

Важным достижением при исследовании функционального распределения напряжений и перемещений возле вершины жесткого остроконечного концентратора является тот факт, что это распределение инвариантно [8, 11, 15, 16, 18] к форме включения и виду нагружения пластины. Поэтому для оценки напряженно-деформированного состояния пластины в окрестности вершины абсолютно жесткого включения достаточно знать коэффициенты интенсивности напряжений для каждого конкретного случая воздействия силовых факторов в упругом теле.

Исторически первыми задачами о концентрации напряжений вокруг упругих включений были задачи о напряженно-деформированном состоянии растягиваемой неограниченной пластины с впаянной круговой инородной шайбой. Наиболее полные сведения о распределении напряжений вокруг таких включений содержатся в монографиях [69, 90]. В работе [122] были сформированы и решены в законченной форме краевые задачи, касающиеся круглого упругого вкладыша, частично сцепленного с внутренней стороной бесконечной среды из другого материала, причем несцепленные участки на поверхности стыка рассматривались как круговые дуги несплощности или кривые трещины. Получены точные решения для случаев одноосевото растя6 жения приложенного в бесконечности и сосредоточенного усилия приложенного к вкладышу или же к окружающему материалу.

Упругие включения криволинейной канонической формы рассмотрены в работах [1, 89, 91, 97]. Для более сложного контура включения с угловыми точками возврата решения аналогичных задач представлены в [8-9, 11, 12, 15, 16, 18, 19, 20, 75, 76, 77, 97, 109]; где уделено должное внимание влиянию формы включения на напряженно-деформированное состояние материала матрицы. Исследованию напряженно-деформированного состояния плоскости с упругими тонкостенными включениями посвящены, например, работы [10, 23, 34. 42, 43, 54]. Точные замкнутые решения об упругом равновесии тел с криволинейными упругими включениями ограничены, как известно [97], случаем эллиптического и кругового цилиндрического включений в плоской задаче, а также эллипсоидального и его предельных случаев в пространственной задаче.

Распределение напряжений вблизи вершины криволинейного упругого остроконечного включения при продольном сдвиге, когда обе составляющие композита изотропны, дано в работах [9, 12], а для анизотропных составляющих в [113] растяжение анизотропной плоскости, содержащей невзаимодействующие анизотропные остроугольные включения, рассмотрено в работе [9].

Более сложной задачей в сравнении со случаем изолированных включений является проблема исследования взаимодействия включений в упругих изотропных пластинах и телах. Взаимовлияние упругих гладких включений рассмотрено в [1, 14, 40]. Для случая жестких линейных включений этот вопрос изучен в [17,21].

Круговое упругое включение при наличии разреза между ним и матрицей рассмотрено в работах [41, 50]. Распространение одной или двух симмет7 ричных трещин на границе раздела между жестким криволинейным включением и матрицей при деформации продольного сдвига исследовано в [13, 118]. Здесь построены решения для случая эллиптического, квадратного и прямоугольного включений с закругленными углами, а также для включений с точками возврата на контуре.

В настоящее время получен ряд результатов, касающихся теории включений для периодической системы их расположения, что в конечном итоге может быть использовано при выработке рекомендаций для оптимального конструирования композиционных материалов [56, 59]. Например, периодическая задача для пластины с упругими взаимодействующими ядрами приведена в работах [52, 61], а для тонкостенных включений - в [42]. Однако даже в случае жестких линейных включений такие результаты малочисленны [108, 121]. Напряженно-деформированное состояние возле вершин циклически расположенных линейных абсолютно жестких концентраторов напряжений исследовано в работе [95].

Важным моментом при исследовании напряженно-деформированного состояния тел с концентраторами напряжений являются решения задач теории упругости и механики разрушения, позволяющие учитывать различные условия на границе тела. Первая задача этого класса - определение напряжений в полуплоскости с концентраторами типа полостей, трещин, включений (например, полуплоскость с включением при вдавливании в нее штампа [4]).

Из приведенного выше анализа, не претендующего на исчерпывающую полноту, вытекает, что исследованию по эффективному методу расчета изделий, содержащих элементы арматуры ( включения ) посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных ученых.

Следует отметить что, перечисленные задачи теории включений достаточно сложны в их математической постановке и решении. В настоящее вре8 мя весьма эффективными методами при решении этих проблем механики разрушения и теории упругости являются методы теории функций комплексного переменного [5, 6, 52, 53, 58, 69], задачи сопряжения [69], метод сингулярных интегральных уравнений [32, 51, 68, 79] и интегральных преобразований (см., например, [44, 99, 121]). Основные теоретические положения теории сингулярных интегральных уравнений изложены в работах [35, 39, 68]. Сложность задач теории упругости после сведения к сингулярным уравнениям заключается именно в том, что указанные уравнения в редких случаях удается решить в точной или замкнутой форме. Поэтому используют приближенные квадратурные прямые методы [33, 34, 39, 48], основанные на свойствах полиномов Чебышена и Якоби [55, 60], а также асимптотические методы.

В последнее время инженеры и ученые, специалисты в области физических наук, широко используют численные методы исследований. Эти методы основаны на приближенном решении уравнений, описывающих физическую задачу. Широкое распространение при решении задач механики деформируемых тел получил метод граничных элементов. Описание этого метода применительно к задачам упругости дано в книге [27].

Теоретическая основа метода граничных интегральных уравнений (ГНУ) состоит в том, что исходные уравнения в частных производных заменяются интегральным тождеством для упругих перемещений [22, 67, Ш, 116]. Основой для формирования граничного интегрального уравнения при решении смешанных задач механики является фундаментальное решение.

Первое фундаментальное решение для линейно-упругой изотропной среды, заполняющей все трехмерное пространство, было представлено лордом Кельвином ( В. Томсоном ) в мемуаре 1848 г., но опубликовано много позднее [120]. Оно выражало перемещение в точке А среды, вызванное со9 средоточенным в В усилием. Решение явилось удобным средством формирования разрешающих уравнений для различных краевых задач теории упругости. Благодаря этому; построение фундаментальных решений для различных сред, конфигураций тел и классов решений приобрело самостоятельное значение. Ценность таких решений связывают, в первую очередь, с их аналитической формой записи. Был расширен набор сосредоточенных факторов воздействия ( сосредоточенный момент, центр расширения, двойная сила, силовой тензор, тепловой источник; см. [65, 86] ). Для линейных сред оператор, преобразующий сосредоточенное воздействие Р(В) в вектор перемещения и (А) оказывается линейным: и(А) = 0(А,В)Р(В), (1) и поэтому его также называют тензором влияния, тензором Кельвина - Со-мильяны, тензором Грина, матрицей Кельвина. Явное решение в форме (1), записанное для среды, заполняющей не все пространство, но некоторую его область, принято называть функцией Грина.

Попытка обобщения решения Кельвина на динамические процессы предприняты еще в 1849 г. Дж. Стоксом [73]: найдено выражение смещения под действием возмущающей силы в некоторый момент времени; показано свойство упругой системы совершать изохронные колебания вследствие всего лишь линейности соотношений обобщенного закона Гука. Однако, явное выписывание матрицы фундаментальных решений и обоснование математического аппарата для решения динамических задач однородной изотропной упругости выполнено В. Д. Купрадзе [62] и поэтому соответствующая фундаментальная матрица носит его имя. Матрица В. Д. Купрадзе выписана также для статических и динамических задач термоупругих изотропных и мо-ментных сред [45, 62, 63, 114, 72, 113].

10

Обобщение решения Стокса - Купрадзе на случай произвольной анизотропии выполнено Д, Г. Натрошвили [70]. Нестационарный динамический тензор Грина получен Н. М. Хуторянским для произвольной анизотропии [104, 105], что позволило его конкретизировать для частных случаев анизотропии [102].

Для линейной изотропной стабильной вязкоупругой среды фундаментальное решение выполнено Н. М. Хуторянским на случай квазистатики [98], а совместно с Л. А. Игумновым - для динамических задач [101, 49].

В последние годы построены фундаментальные решения для злектро-упругих сред для установившихся колебаний [112] и , в двухмерном варианте, для неустановившихся процессов [103].

К настоящему времени построены фундаментальные решения: когда сосредоточенная сила действует на жесткое включение по дуге окружности [1191, для анизотропной пластины с линейным жестким включением [74], и для линейного жесткого включения по отрезку прямой [17]. В последней работе целью исследования ставилась задача определения коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности концов включения.

Вместе с тем следует отметить, что ряд нерешенных;, вопросов, важных для практических целей, до сих пор оставался не изученным или изученным недостаточно. К ним относятся: математическое вырождение системы уравнений при формировании граничных интегральных уравнений, когда обе, и верхняя, и нижняя, поверхности включения лежат в одной плоскости, т. е. грани включения компланарны; построение фундаментальных и сингулярных решений для плоских упругих сред содержащих линейные включения, и т. д.

В настоящее время, решение этих вопросов применительно к проектирования режущих инструментов с корпусами из композиционных материалов, обладающих высокой демпфирующей способностью позволит резко соп кратить затраты конструкторского труда на проведение всевозможных экспериментов и повысить эффективность проектирования режущих инструментов из современных композиционных материалов, наиболее экономичных по сравнению с традиционными стальными и чугунными [88].

Поэтому проектирования режущих инструментов с армированными корпусами из композиционных материалов с высокой демпфирующей способностью и их расчет на прочность на основе построения фундаментальных решений, учитывающих наличие включений в конструкции является актуальным.

На основании проведенного обзора литературы и анализа основных проблем была определена цель работы. Она состоит в расширении области применения инструментов с армированными корпусами из композитов на основе построения фундаментальных решений для прочностных расчетов, с учетом наличия включений в их конструкции.

Поставленная цель определила основные задачи работы:

1. Построение фундаментальных и сингулярных решений для двумерных упругих сред, содержащих одно линейное включение;

2. Построение фундаментальных и сингулярных решений для упругих сред, когда элементы имеют ограниченную протяженность;

3. Разработки методики расчета напряженно-деформированного состояния армированных корпусов режущих инструментов.

Приведем краткое содержание диссертационной работы.

В первом разделе рассматривается плоская задача линейной изотропной упругости. Включение постулируется как неотъемлемое свойство среды. Методом граничных представлений задача сведена к матричной краевой задаче Римана. Найдены кусочно-аналитические функции, дающие ее строгое реше

12 ние. Определены комплексные потенциалы. Построено фундаментальное и сингулярное решение для такой среды ( случай нерастяжимой гибкой нити ).

Полученное решение обладает свойством аддитивности и однородности, благодаря чему возможно проведение суперпозиции и построение таким путем граничных интегральных уравнений.

Во втором разделе диссертационной работы решена задача по построению фундаментального и сингулярного решений для упругой плоскости с включением нерастяжимой нити по отрезку. При построении решения использовался аппарат метода граничного представления, проведена декомпозиция функций Колосова -Мусхелишвили, что позволило формализовать задачу в виде краевой задачи Римана для вектора четырех кусочно-аналитических функций с линией разрыва по отрезку. Проведена факторизация разрывного матричного коэффициента, построено общее решение, выделено частное решение. Результатом явились матрицы фундаментального и сингулярного решений.

В третьем разделе диссертационной работы изучено действие сосредоточенной силы на плоскую изотропную упругую среду, содержащую жесткое включение по окружности Ь ( арматура ). Идеальные жескоетные свойства включения позволили провести декомпозицию задачи, сводя ее к совокупности более простых. Возможны три качественно отличных варианта, когда усилие сосредоточено; 1) внутри Ь; 2) вне Ь; 3) по Ь.

В первом варианте решены две задачи: в первой - определение НДС во внешности Ь. Из-за недеформируемости включения его можно определить через решение задачи Робена для жесткой круговой шайбы, к которой приложена произвольным образом сосредоточенная сила [65] (задача 1.1); во второй определение НДС внутренности Ь по заданному на границе

13 перемещению, известному из решения задачи Робена, и сосредоточенной силе (задача 1.2).

Во втором варианте (сила действует извне V) вследствие недеформируемости включения внутренность Ь также недеформируема, поэтому решается задача об определении НДС во внешности Ь (задача 2).

В третьем варианте решена задача когда сила действует непосредственно на жесткое включение. При этом внутренность Ь также деформироваться не может, а внешность деформируется по тем же законам, что и в задаче Робена.

При решении задач использовались формулы Колосова-Мусхелишвили, комплексные потенциалы представлялись рядами. Определялись константы ряда и строилось фундаментальное и сингулярное решения.

В четвертом разделе изучены и отобраны образцы объектов машиностроения (корпусы фрез, резцов), содержащие армирующие включения. Прочностной расчет этих объектов следует проводить, используя метод граничных элементов, базирующийся на описанных выше фундаментальных решениях. В разделе приведен анализ использования композиционных материалов для изготовления корпусов режущих инструментов, в частности - бетона, определена методика расчета напряженно-деформированного состояния армированных корпусов режущих инструментов, обсужден выбор критерия прочности инструмента и другие вопросы, связанные с технологией проектирования инструмента.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

В результате выполненных исследований осуществлено решение важной научно-технической задачи по разработке методики прочностного расчета армированных корпусов режущих инструментов на основе построения фундаментальных решений для плоской упругой среды с линейным включением, для изотропной упругой среды с жестким включением по окружности, для плоской упругой среды с ограниченным включением.

Вместе с тем, результаты проведенных исследований позволяют сделать следующие основные выводы:

1. Построено фундаментальное и сингулярное решение для плоской упругой среды, содержащей линейное включение ( нерастяжимая гибкая нить ). Решение обладает свойством аддитивности и однородности, благодаря чему возможно проведение суперпозиции и построение таким путем граничных интегральных уравнений. Использование полученного решения для составления граничных интегральных уравнений позволяет избежать серьезных вычислительных трудностей на этапе их решения.

2. Построено фундаментальное и сингулярное решение для плоской упругой среды с линейным ограниченным включением (гибкая нить). На основе полученного решения были построены эпюры перемещений и напряжений от действия сосредоточенной силы которые позволяют судить о напряженно-деформированном состоянии корпуса инструмента.

3. Изучено действие сосредоточенной силы на плоскую изотропную среду, содержащую жесткое включение по окружности. Построено фундаментальное и сингулярное решения, что дает возможность решать разнообразные смешанные задачи для корпусов торцевых фрез с такими включениями через граничные интегральные уравнения.

69

4. Проанализированы перспективы использования фундаментальных решений для прочностных расчетов армированных корпусов режущих инструментов и представлена методика их расчета, позволяющая оценить величины любых характеристик напряженно-деформированного состояния в теле инструмента и дать квалифицированное заключение о правильности его выбора или проектирования.

70

1. АВЕРБУХ А. 3. Сжатие плоскости с трещиной и включением.- Прикл. математика и механика, 1977, 41, № 4, с. 762-768.

2. БАЛАНДИН П П. К вопросу о гипотезах прочности /'/' Вестник инженеров и техников. 1937.№1.

3. БАЖЕНОВ Ю. М. Бетонополимеры. -М.: Стройиздат, 1983, -472 с.

4. БАНИЧУК Н. В., КОБЕЛЕВ В. В. Оптимизация эффективных характеристик гранулированных композитов в задачах проектирования конструкций.- Механика композит, материалов, 1981, № 2, с. 256-261.и

5. БЕРЕЖНИЦКИИ Л. Т. Предельные усилия для пластины с двумя равными дугообразными трещинами.- Физ.-хим. механика материалов, 1965, 1, № 1, с. 99-106.

6. БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т., ДЕЛЯВСКИЙ М. В., ПАНАСЮК В. В. Изгиб тонких пластин с дефектами типа трещин.- Киев : Наук, думка, 1979.400 с.

7. БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т., ДЕНИСЮК И. Т. Плоская задача для анизотропного тела с остроконечным анизотропным включением.- Физ.-хим. механика материалов, 1983, 19, № 2, с. 63-73.

8. БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т., ДЕНИСЮК И. Т., САДИВСКИЙ В. М. Продольный сдвиг анизотропного тела с остроконечным анизотропньм включением.- Там же, 1982, 18, № 6, с. 58-66.

9. БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т., КАЧУР П. С., МАЗУРИК Л. П., ХОДАНБ Я. И. Антиплоская деформация тела с криволинейным упругим остроконечным включением.- Там же, 18, № 3, с. 63-69.

10. БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т., ЛЕНЬ М. П. К определению коэффициентов интенсивности напряжений при антиплоской деформации.- Там же, 1974, 10, № 4, с. 57-62.71

11. БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т., ЛЕНЬ М. П. Антиплоская деформация тела с жесткими включениями.- Пробл. прочности, 1975, № 8, с. 10-14.

12. БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т., ПАНАСЮК В. В., САДИВСКИЙ В. М. Продольный сдвиг изотропного тела с остроконечным упругим включением.- Докл. АН УССР. Сер. А, 1977, № 5, с. 413-417.

13. БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т., ПАНАСЮК В. В., САХНЕНКО А. М. Антиплоская деформация тела с жестким криволинейным включением и трещиной на границе раздела.- Физ.-хим. механика материалов, 1981, 18, № 5, с. 67-72.

14. БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т., ПАНАСЮК В. В., ГРУШ И. И. К вопросу о влиянии включений на разрушение тела с трещиной.- Там же, 1970, 6, № 5, с. 36-43.

15. БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т., ПАНАСЮК В. В., ТРУШ И. И. Коэффициенты интенсивности напряжений возле жестких остроугольных включений.-Пробл. прочности, 1973, № 7, с. 3-7.

16. БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т., ПАНЬКИВ Б. И. Коэффициенты интенсивности напряжений возле дугообразного жесткого включения.-Физ.-хим. механика материалов, 1976,12, №2. с. 91-96.

17. БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т., ПАНАСЮК В. В., СТАЩУК Н. Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле.- Киев : Наук, думка, 1983.- 288 с.

18. БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т., САДИВСКИЙ В. М. О напряженно-деформированном состоянии вблизи жестких остроугольных включений в однородном анизотропном теле. Там же, 1975, 11, № 6, с. 55-62.

19. БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т., САДИВСКИЙ В. М. Распределение напряжений возле упругих включений с точками возврата на контуре.- Там же, 1976, 12, № 3, с. 47-54.72

20. БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т., САДИВСКИЙ В. М. ЛЕНЬ М. П. Антинлоская деформация анизотропного тела с жестким пластинчатым включением.-Там же, 1976, 12, № 6, с. 80-85.

21. БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т., СТАЩУК Н. Г. Коэффициенты интенсивности напряжений возле трещины на продолжении линейного жесткого включения.- Докл. АН УССР. Сер. А, 1981, № 11, с. 49-53.

22. БЕРЕНДЖИ П., БАТТЕРФЙЛД Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984, 494 с.

23. БЕРНАР И. И., ОПАНАСОВИЧ В. К. Напряженное состояние пластинки с тонкостенным включением по дуге окружности.- Прикл. математика и механика, 1983, 47, № 2, с. 249-256.

24. БОРОДКИН Н. Н. Применение композиционных материалов на основе бетонов в машиностроении //Тез. докл. восьмой научно-технической конференции Тула, ТВАИУ, 1991.-е. 25-26.

25. БРЕББИЯ К., ТЕЛЛЕС Ж., ВРОУБЕЛ Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987, 524 с.

26. БРЕББИЯ К., УОКЕР С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982, 248 с.

27. ВАСИН Д. А. Применение композиционных материалов для изучения корпусов торцовых фрез // Режущие инструменты и метрологические аспекты их производства : Сб. научн. тр. Тула: - 1995. -с. 74-76.

28. ВАСИН Д. М. Проектирование и эксплуатация торцовых фрез с корпусом, содержащим демпфирующее кольцо из композиционного материала: Дис. канд. техн. наук / ТулГТУ.-Тула, 1996.-е. 130 .

29. ВАСИН С. А. Проектирование, технология изготовления режущих инструментов с державками из композита на основе бетона с повышенными демпфирующими свойствами и особенности их эксплуатации: Дис, докт. техн. наук / ТулГТУ.-Тула, 1994.-c.487.

30. ВЕК У А Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи,- М. Наука, 1970.- 379 с.

31. ВЕР ЛАНЬ А. Ф., СИЗИКОВ В. С. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ.- Киев Наук, думка, 1978.- 292 с.

32. ГАБДУЛХАЕВ Б. Г., ДУШКОВ П. Н. О прямых методах решения сингулярных интегральных уравнений первого рода.- Изв. вузов. Математика, 1973, № 7, с. 12-24.

33. Г АХОВ Ф. Д. Краевые задачи.- М. Физматгиз, 1963.- 639 с.

34. ГЕНИЕВ Г. А., КИССЮК В. Н. К вопросу обобщения теории прочности бетона // Бетон и железобетон. 1965. №2.

35. ГЛУХОВСКИЙ В. Д. КРИВЕНКА П. В., СТАРЧУК В. П. и др. Шла-кощелочные бетоны на мелкозернистых заполнителях // Киев: Вища школа, 1981.

36. ГОЛЬДЕНБЛАТ Н. И., КОПНОВ В. А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. 192 с.

37. ГУСЕЙНОВ А. И., МУХТАРОВ X. Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений.- М. Наука, 1980.- 414 с.

38. ГРЕЙФ Р., СЭНДЕРС М. Влияние стрингера на распределение напряжений в листе с трещиной.- Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Е, 1965, № 1, с. 66-74.74

39. ГРИЛ1ЦКИЙ Д. В. Основы i граничт задач i reopii пружност! для без-межшп isoTponHoi пластини з впаяною круглою 1зотропною шайбою з розр1зами на лшп спаю.- Питания мехашки I математики, 1962, вип. 9, с. 79-86.

40. ГРИЛИЦКИЙ Д. В., СУЛИМ Г. Т. Периодическая задача для кусочно-однородной упругой плоскости с тонкостенными упругими включениями.- Прикл. механика, 1975, 11, № 1, с. 74-81.

41. ГРИЛИЦКИЙ Д. В., СУЛИМ Г. Т. Упругие напряжения в плоскости с тонкостенным включением.- Мат. методы и физ.-мех, поля, 1975, вып. 1, с. 41-48.

42. ДИТКИН В. А., ПРУДНИКОВ Л. П. Интегральное преобразование и операционное исчисление.- М.: Физматгиз, 1961.-524 с.

43. ДОМАНЬСКИЙ 3., ПИСКОРЕК А., РОЕК 3. О применении метода Фишера-Рисса-Купрадзе для решения первой задачи Фурье // Rocz. Pol. Tow. Mat., Ser. 1; Prace Mat. 1972. - 16. - 137-147.

44. ЖУКОВ Р. А., МАТВЕЕВ М. А., ШИШМАРЕВ Е. М. Определение состояния упругой среды с включением. Юбилейная научно-практическая конференция « Прикладная математика-99». Тезисы докладов. Тула. 1999, с.81.

45. ИВАНОВ В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений,- Киев Наук, думка, 1968.- 287 с.

46. ИНГ ЛЕНД А. Дугообразная трещина на границе круглого упругого включения.- Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Е, 1965, № 2, с. 186-192.

47. КАЛАНДИЯ А. И. Математические методы двумерной упругости.- М. Наука, 1973.- 304 с.

48. КАЛЕКИН А. Ю. К решению двумерных краевых задач для ограниченной области с периодической системой включений.- Докл. АН УССР. Сер. А, 1972, № 11, с. 1013-1017.

49. КАМИНСКИЙ А. А. Исследование поля напряжений возле малых радиальных трещин, выходящих на контур отверстия.- Там же, 1971, 7, № 12, с. 112-115.

50. КАНАУ Н С. К. О сингулярных моделях тонкого включения в однородной упругой среде,- Прикл. математика и механика, 1984, 48, вып 1, с. 81-91.

51. КАРПЕНКО Л. М. Про зображення функцш за допомогою мпогочлешв

52. Якоб! та обчислення деяких ¡нтегршпв типу Кош к- В1сн. Кшв. ун-ту. Сер. математики та мехашки, 1971, л« 13, с. 74-79.

53. КЕЛЛИ А. Высокопрочные материалы.- М. Мир, 1976,- 261 с.

54. КОЛЕСНИКОВ В. П., ФИЛЬШТИНСКИЙ Л. А. Модель линейно-армированного композиционного материала с жесткими волокнами и анизотропной матрицей.- Прикл. механика, 1977, 13, № 7, с. 59-67.

55. КОЛОСОВ Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости,- М.; Л.; ОНТИ, 1935,- 224 с.

56. КОМПОЗИЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ; В 8-ми т. Под ред. Л. Браутма-на, Р. Крока- М.; Мир, 1978.-Т. 5. 488 с.76

57. КОРНЕЙЧУК Л. А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов.- В кн.: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. М.: Наука, 1964, с. 64-74.

58. КОСМОДАМ И АНСКИИ А. С. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями.- Киев: Вища школа, 1976.- 200 с.

59. КУПРАДЗЕ В. Д., БУРЧУЛАДЗЕ Т. В. Граничные задачи термоупругости // Дифференциальные уравнения. 1969. т. 5. - № 1. - с. 3-43.

60. КУПРАДЗЕ В. Д., ГЕГЕЛИЯ Т. Г., БАШЕЛЕЙШВИЛИ М. О., БУРЧУЛАДЗЕ Т. В. Трехмерные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1976. - 664 с.

61. ЛИЩИНСКИЙ Н. Я., КРУЩИЛО В. Г., СКАЧКОВ А. Н. Исследование ударных нагрузок при торцовом фрезеровании // Физические процессы при резании металла. / Волгоград, политехи, ин-т. Волгоград, 1993. - с. 61-66.

62. ЛУРЬЕ А. И. Теория упругости.- М.: Наука, 1970.- 940 с.

63. МАЛИНИН Н. Н., Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 400 с.

64. МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ/Под ред. Р. В. Гольдштейна.-М. Мир, 1978.-216 с.

65. МУСХЕЛИШВИЛИ Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.- М. : Физматгиз, 1962,- 511 с.

66. МУСХЕЛИШВИЛИ Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.- М.: Наука, 1966.- 707 с.

67. НАТРОШВИЛИ Д. Г. О фундаментальных матрицах уравнений установившихся колебаний и псевдоколебаний анизотропной теории упругости // Сообщ. АН Груз. ССР. 1979. - т. 96. - № 1. - с. 49-53.

68. НАШИФ А., ДЖОУНС Д., ХЕНДЕРСОН Дж. Демпфирование колебаний: Пер. с англ.-М.: Мир, 1988.-448 е., ил.

69. НОВАЦКИЙ В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970.

70. НОВАЦКИЙ В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

71. ОНЫШКО Л. И. Фундаментальные решения для бесконечной анизотропной пластины, с линейным жестким включением.- Физ.-хим. механика материалов, 1982, 18, №2, с. 120-124.

72. ПАНАСЮК В. В., БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т. Определение предельных усилий при растяжении пластины с дугообразной трещиной.- Вопр. механики реальн. твердого тела, 1964,вып. 2, с. 3-19.

73. ПАНАСЮК В. В., БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т. Оценка прочности композиций с остроугольными включениями.- Механика композитов, 1982, № 3, с. 23-31.

74. ПАНАСЮК В. В., БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т., САДИВСКИЙ В. М. Коэффициенты интенсивности и распределение напряжений возле остроугольных упругих включений.- Докл. АН СССР, 1977, 232, № 2, с. 304307.

75. ПАНАСЮК В. В., САВРУК М. П., ДАЦЫШИН А. П. Применение сингулярных интегральных уравнений для решения двумерных задач теории трешин.- Физ.-хим. механика материалов, 1976, 12, № 3, с. 30-47.

76. ПАРТОН В. 3., ПЕР ЛИН П. И. Интегральные уравнения теории упругости.- М. Наука, 1977.- 311 с.

77. ПАЩЕНКО А. А., СЕРБИИ В. П., СТАРЧЕВСКАЯ Е. А. Вяжущие материалы. Киев: Вища школа, 1985. - 440с.

78. ПЕНЬКОВ В.Б. Метод граничных представлений в механике деформируемого твердого тела // Избранные труды ученых ТулГУ.-Тула.: ТулГУ, 1997. С. 41-57.

79. ПЕНЬКОВ В.Б. Сильный разрыв механических полей // Известия ТулГУ. Серия: Математика. Механика. Информатика. 1995.- Т.1. - В.2: Механика.-С. 117-129.

80. ПЕНЬКОВ В. Б., ШИШМАРЕВ Е. М. Фундаментальное решение для плоской упругой среды с линейным включением // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Межвуз. сб./ -М.: Товарищество научн. изд. КМК, 1998, с. 76-85.

81. ПЕНЬКОВ В. Б., ШИШМАРЕВ Е. М. Фундаментальное решение для изотропной плоской упругой среды с жестким включением по окружности // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи, сб. научн. тр. Тула: ТулГУ, 1998. с. 110-115.

82. ПЕНЬКОВ В. Б., ШИШМАРЕВ Е. М. Фундаментальное решение для упругой плоскости с жестким включением по окружности // Международная конференция « Итоги развития механики в Туле »: тезисы докладов ( Тула, 12-15 октября 1998 года).- Тула, ТГУ, 1998.- с. 73.

83. РАБОТНОВ Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. - 712 с.

84. РАБОТНОВ Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. -М.: Наука, 1977.-384 с.

85. Разработка математического аппарата для проектирования режущих инструментов с корпусами из композиционных материалов с высокой демпфирующей способностью / отчет о НИР (промежуточный) Тула: ТулГУ, 1997. 95 с.

86. САВИН Г. Н. Концентрация напряжений около отверстий.- М. ; JI. : Гостехиздат, 1951.- 496 с.

87. САВИН Г. И. Распределение напряжений около отверстий.- Киев Наук. думка, 1968.- 888 с.

88. САВИН Г. Н., Флейшман И. П. Пластины и оболочки с ребрами жесткости.- Киев : Наук, думка, 1964.- 384 с.

89. САДИВСКИЙ В. М. Коэффициенты интенсивности напряжений возле жестких остроугольных включений в анизотропном теле.- Физ.-хим. механика материалов, 1978, 14, № 2, с. 69-72.79

90. СИМОНЯН М. М., НАДЖАРЯН М. Т., ПОСВЯТЕНКО Э. К. Об эффективности использования режущих инструментов с чугунными державками // «Сверхтверд, матер.», 1987, №1, с. 41-44.

91. СОЛНЦЕВ Л. А., АКСЕНКО А. А. Влияние материала державки на стойкость токарных резцов // Станки и инструмент. 1986. - №4. - с. 1819.

92. СТАЩУК Н. Г. Циклически симметричная система жестких включений в пластине.-Там же, 1981, 17, № 1, с. 118-120.

93. ТОЛОКОННИКОВ Л. А., ПЕНЬКОВ В. Б. Метод граничных представлений в двумерных задачах механики. Тула: ТВАИУ, 1998. 375 с .

94. ТРУШ И. И., ПАНАСЮК В. В., БЕРЕЖНИЦКИЙ Л. Т. О влиянии формы включения на начальную стадию разрушения двухкомпонентных композиционных материалов.- Физ.-хим. механика материалов, 1972, 8, № 6, с. 48-53.

95. УГОДЧИКОВ А. Г., ХУТОРЯНСКИЙ Н. М., Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань : КГУ, 1986. -295 с.

96. УФЛЯНД Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости.- Л.:Наука, 1968.- 402с.

97. ФАВСТОВ Ю. К. Демпфирующие сплавы // ВИНИТИ, информационное издание « Итоги науки и техники», серия «Металловедение и термическая обработка», т. 18.

98. ХУТОРЯНСКИИ Н. М. Нестационарный динамический тензор Грина для трехмерной трансвереально изотропной упругой среды // Приклад80ные проблемы прочности и пластичности. Нижний Новгород: НГУ, 1990. - с. 30-34.

99. ХУТОРЯНСКИЙ Н. М., COCA X. А., ЗУ В. Метод граничных элементов для плоских задач электроупругости // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения. М.: 1947. - с. 183-195.

100. ХУТОРЯНСКИЙ Н. М. Численно-аналитический метод решения задачи о движении трещины в трехмерной упругой анизотропной среде // Физические основы прочности и пластичности. Горький: Горьк. пед. ин-т, 1985. - с. 68-75.

101. ЭККЕРТ С. А. Повышение эффективности токарной обработки на основе использования резцов с улучшенными диссипативными свойствами : Дис. канд. техн. наук / ТулПИ. -Тула, 1989. -230с.

102. ЯЧИ Ю. И. Новые методы расчета на прочность // Вестник инженеров и техников. 1931. №6.

103. BRUSSAT Т. R., WESTMANN R. A. Westergaard-type stress function for line inclusion problems.-Int. J. Solids and struct,, 1975, 11, N 6, p. 665-677.

104. CHEN F. C., YOUNG K. Inclusions of arbitrary shape in an elastic medium.- J. Math. Phys., 1977, 18, N 7, p. 1412-1416.

105. CRUSE T. A. Numerical solution in three dimensional elastostatics, In tern. J. Solids and Structures, 5, 1259-1274 (1969).81

106. KHUTORYANSKY N., SOS A H. Dynamic representation formulas and fundamental solution for piezoelectricity // Int. J. Solids Struct. 1995. - v. 32. - № 22. - p. 3307-3325.

107. NOWACKI W. Teoria niesymetrycney sprezystosci. Warszawa: PWN, 1971.

108. NWACKI W. On some problems of thermoelasticity // Problems of continuum mechanics. Philadelphia, 1961.

109. PERLMAN A. B., SIH G. C. Circular-arc cracks in bimaterial plates under bending.- Int. J. Fract. Mech., 1967, 3, № 4, p. 193-206.

110. RIZZO F. J., An integral equation approach to boundary value problems of classical elastostatics, Quarit. Appl. Math., 25, 83-95 (1967).

111. SCHLEICHER K. // Zeitschrift fur angevandte Mathematick und Mechanic^-1925, №6.

112. SIH G. C. Plane extension of rigidly embedded line inclusions.- In: Proc. 9th midwestern mech. conf. Wisconsin ( Madison ), 1965, p. 61-79.

113. SHEN M. H., CHAO C. K. Explicit solutions for the elastic and ther-moelastic fields with a rigid circular-arc inclusion.- Int. J. of Fracture, 1994, 65, № , p. 1-18.

114. THOMSON W. Note on the Integration of the Equations of Equilibrium of an Elastic Solid // Mathematical and Physical Papers.- V. 1.- Cambridge, 1882.

115. SNEDDON J. N., LOWENNGRUB M. Crack problems in classical theory of elasticity.-New York; London: Willey, 1969.-222 p.

116. PERLMAN A. B., SIH G. C. Elastostatic problems of curvilinear cracks in bonded dissimilar materials. Int. J. Engng. Sci., 1967, 5, p. 845-867.82