автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Прогноз прочности упруго-деформируемых систем с особенностями в напряжениях на примере сплошного короткого цилиндра

На правах рукописи

□03053720

ГУСЕВ Дмитрий Владимирович

ПРОГНОЗ ПРОЧНОСТИ УПРУГО-ДЕФОРМИРУЕМЫХ

СИСТЕМ С ОСОБЕННОСТЯМИ В НАПРЯЖЕНИЯХ НА ПРИМЕРЕ СПЛОШНОГО КОРОТКОГО ЦИЛИНДРА

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2007

003053720

Работа выполнена в Государственном общеобразовательном учреждении высшего профессионального образования «Петербургский государственный университет путей сообщения»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

ВАСИЛЬЕВ ВИТАЛИЙ ЗАХАРОВИЧ

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор КАРПОВ ВЛАДИМИР ВАСИЛЬЕВИЧ

кандидат технических наук, доцент ПУШЕВА ИРИНА ЮРЬЕВНА

Ведущая организация - Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Защита состоится «22» февраля 2007 г. в часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 218.008.01 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Петербургский государственный университет путей сообщения» по адресу: 190031, г. С-Петербург, Московский пр., д. 9, ауд. 3-237.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГУПС. Автореферат разослан « » января 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д.т.н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Из ряда многочисленных факторов, предопределяющих надежность прочностного расчета строительной конструкции, выделяются два основных. Это, в первую очередь, точность исследования напряженно-деформированного состояния рассматриваемой системы. И второй аспект - достоверность прочностных и деформационных характеристик материалов, применяемых в рассчитываемой конструкции.

Что касается определения механических характеристик материалов, то здесь, казалось бы, нет никаких проблем. Такие прочностные характеристики как пределы прочности при растяжении и сжатии, пределы пропорциональности и текучести определяются по гостированным методикам, которые не меняются по существу уже несколько десятилетий. При этом обязательным условием стандартного испытания на осевое растяжение-сжатие является реализация в нагружаемом образце линейного напряженного состояния. Только в этом случае, к примеру, предел прочности материала при сжатии является таковым.

Практически же при стандартных испытаниях на сжатие кубиков или цилиндров во всем материале испытуемых образцов реализуется объемное напряженное состояние. Это подтверждается и характером деформирования образца и его разрушением. Следовательно, вместо стандартного параметра - предела прочности - определяется некоторая чисто условная прочностная характеристика материала. Она, вне всякого сомнения, количественно отличается от искомой величины. По-видимому, здесь кроется одна из причин того, что обычно для хрупких материалов не соблюдается предопределяемое второй теорией прочности соотношение ст^/а^ = у. Здесь - предел прочности материала при растяжении, - предел прочности того же материала при сжатии, у - коэффициент Пуассона.

В итоге, использование вместо действительно стандартной прочностной характеристики некоторой условной величины ставит под сомнение достоверность всех последующих прочностных расчетов и, соответственно, надежность проектируемых систем.

Выход из этой ситуации только один. Тщательное теоретическое исследование напряженно-деформированного состояния, которое реализуется в испытуемом образце при осевом сжатии. Так в случае цилиндра дело сводится к осесимметричной задаче о деформации образца, сжимаемого между двумя абсолютно жесткими плитами. При любых технологических ухищрениях избежать полностью трения между плитами и торцами цилиндра не удается. Таким образом, возникает необходимость решения основной смешанной осесимметричной задачи для сплошного короткого цилиндра с граничными условиями в перемещениях на торцах и в напряжениях на боковой поверхности.

Литература насыщена публикациями, посвященными точным аналитическим решениям о деформации сплошного короткого цилиндра. Авторами их являются Б.Л. Абрамян, Г.М. Валов, В.З. Васильев и др. При этом подробно исследована первая основная осесимметричная задача теории упругости. В то же время решения основной смешанной задачи исчисляются единицами. Это, в частности, решение задачи о деформации цилиндра, когда перемещения заданы по боковой поверхности, представленное В.Т. Гринченко и А.Ф. Улитко, а также решения в публикациях Г.М. Вало-ва. Точное решение основной смешанной осесимметричной задачи для сплошного короткого цилиндра, сжимаемого между жесткими плитами, с исчерпывающим исследованием напряженно-деформированного состояния объекта отсутствует.

Это, казалось бы, компенсируется бессчетным множеством испытаний цилиндрических образцов и соответствующими результатами, которые

имеют место к настоящему времени. Однако этот огромный объем экспериментальных данных не дает четкого ответа на целый ряд принципиальных вопросов. Например, как влияют условия контакта торцов цилиндра с опорными плитами на разрушающую нагрузку при стандартных испытаниях на сжатие? В каких зонах начинается развитие первых трещин? Возникает необходимость проведения испытаний образцов-цилиндров в попытке закрыть обозначенные вопросы. Их результаты могут определить направления исследования напряженно-деформированного состояния сплошного короткого цилиндра.

На сегодняшний день известны некоторые экспериментальные данные о характере напряженного состояния цилиндрического образца, сжимаемого шероховатыми плитами. Наиболее полная информация представлена в справочнике Касаткина Б.С., Кудрина А.Б. и др. Однако здесь приводятся результаты, которые являются приближенными и носят скорее качественный характер.

Стоит отметить тот факт, что смешанная задача для цилиндра, сжимаемого между жесткими плитами, относится к категории пространственных контактных задач. А последние - это установленный факт - приводят к особенностям в напряжениях. Естественно, возникает проблема прогноза прочности системы с объемными особенностями в напряжениях.

Цель работы заключается в обосновании способа оценки прочности деформируемой системы с объемными особенностями в напряжениях на примере осевой деформации сплошного короткого цилиндра.

В связи с этим решаются следующие задачи: 1. Построение точного аналитического решения основной смешанной осе-симметричной задачи для сплошного короткого цилиндра, сжимаемого

жесткими плитами при полном их сцеплении с торцами.

2. Анализ разрешающих уравнений.

3. Разработка программы численной реализации полученного решения.

4. Исследование напряженно-деформированного состояния рассматриваемого объекта в целом и в зонах с особенностями в напряжениях.

5. Определение грузоподъёмности цилиндрических образцов в различных условиях контакта торцов с опорными плитами при стандартных испытаниях на сжатие.

6. Анализ результатов эксперимента.

7. Сопоставление теоретических и экспериментальных данных.

8. Построение прогноза прочности сплошного короткого цилиндра, деформируемого в условиях основной смешанной задачи, при наличии особенностей в напряжениях на основании силового критерия прочности.

Научную новизну работы составляют:

- точное аналитическое решение основной смешанной задачи для сплошного короткого цилиндра, деформируемого жесткими плитами;

- совокупность разрешающих уравнений для системы "сплошной короткий цилиндр - жесткие плиты" и их исследование на регулярность;

- алгоритм численной реализации аналитического решения для сплошного короткого цилиндра;

- сопоставление результатов экспериментальных и теоретических данных по деформации сплошного короткого цилиндра в условиях основной смешанной задачи;

- прогноз прочности сплошного короткого цилиндра, находящегося в условиях осевого сжатия жесткими плитами при полном их сцеплении с торцами образца.

Практическую ценность работы определяют:

- результаты численной разработки точного аналитического решения основной смешанной задачи об осесимметричной деформации сплошного короткого цилиндра;

- программа численной разработки разрешающих уравнений и исследования напряженно-деформированного состояния сплошного короткого цилиндра, деформируемого в условиях основной смешанной задачи;

- программа прогноза прочности сплошного короткого цилиндра, сжимаемого жесткими плитами при полном их сцеплении с торцами.

Достоверность полученных результатов предопределяется применением классических аналитических методов математической теории упругости, точным выполнением граничных условий решаемой задачи, анализом регулярности систем разрешающих уравнений, экспериментальными исследованиями.

На защиту выносятся:

- аналитическое решение пространственной осесимметричной задачи для сплошного короткого цилиндра, торцы которого находятся под действием сжимающих жестких плит при полном их сцеплении с торцами;

- разрешающие уравнения, обеспечивающие возможность применения метода последовательных приближений в рамках сходимости процесса;

- результаты и анализ численного исследования напряженно-деформируемого состояния сплошного короткого цилиндра;

- результаты испытаний на сжатие сплошного короткого цилиндра при различных условиях контакта опорных плит и торцов цилиндра;

- прогноз прочности сплошного короткого цилиндра в условиях осевого сжатия жесткими плитами при полном их сцеплении с торцами.

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих научных семинарах и конференциях.

■ Неделя науки "Шаг в будущее" ПГУПС, С-Пб. 2004 - 2006 гг.; научные семинары кафедры "Прочность материалов и конструкций" ПГУПС, С-Пб. 2004-2006 гг.

■ III Международная научно-техническая конференция "Современные проблемы совершенствования и развития металлических, деревянных, пластмассовых конструкций в строительстве и на транспорте", СамГАСУ, Самара. 2005 г.

■ Всероссийская научно-практическая конференция "Транспорт-2005", РГУПС, Ростов-на-Дону. 2005 г.

■ Международная научная конференция "Актуальные проблемы механики и машиностроения", Казахстан, Алматы. 2005 г.

■ Всероссийская научно-техническая конференция "Наука - производство - технологии - экология", ВятГУ, Киров. 2005 г.

■ V Российская конференция с международным участием "Смешанные задачи механики деформируемого тела", СГУ, Саратов. 2005 г.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы; содержит 96 страниц текста, включая 33 рисунков и таблицы. Библиография содержит 57 наименований из них 4 на иностранном языке.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована и сформулирована тема исследования и показана её актуальность.

В первой главе приводится точное аналитическое решение пространственной осесимметричной задачи теории упругости для сплошного короткого цилиндра, деформируемого жесткими плитами при полном сцеп-

6

лении контактных поверхностей. Выполнен анализ разрешающих уравнений и подробно исследовано напряженно-деформированное состояние сплошного короткого цилиндра.

Первая глава содержит также классификацию задач, общее решение, используемое в работе, библиографический обзор задач о деформации сплошного короткого цилиндра.

В частности, в диссертации описывается различные приемы решения осесимметричных задач, в том числе использование функций напряжений. Обосновано применение общего решения в форме Соляника-Красса.

В библиографическом обзоре приведен перечень публикаций по разработке аналитических способов решения задач о деформации тел вращения, таких, к примеру, как метод однородных решений. Установлено, что внимание расчетчиков больше всего было приковано к первой основной задаче теории упругости. Однако исчерпывающего аналитического решения основной задачи об осевом сжатии сплошного короткого цилиндра жесткими плитами при полном их сцеплении с торцами не обнаружено.

Постановка пространственной осесимметричной задачи теории упругости для сплошного короткого цилиндра, деформируемого жесткими плитами при полном сцеплении контактных поверхностей предопределяется рис. 1.

Р,

<Г7

о

к

■Г7777777 77777777 7?—^

___/

р" ,

Рис 1. Расчетная схема сплошного короткого цилиндра 7

Граничные условия задачи выглядят так:

приг = я, ar=0, 0<|z|</;

приz = ±/, w — ТА, и = О, 0<г<а.

Отсутствие нагрузки на боковой поверхности цилиндра не умаляет

общности постановки основной смешанной задачи, так как все равно задача сводится к разрешающему уравнению типа бесконечной системы линейных алгебраических уравнений.

К примеру, нормальные напряжения сгг и радиальные перемещения и представляются в следующей форме:

С72 = -2А - 1{5„/0 (Япг) + Я„°[2/0 (Я„г) + Л„г/, (Япг)]}Ял cosA„z --t(Dkchykz + D°kykzshykz)ykJ0 (ykr)\

Lf-l Zßn=\

-2(1 - v)l, (V)]}cos^z + + 2(1 - v)Dl]chykz +

+D0kytz-shykz}jl(ykr).

Здесь А, С, Bn, B°, Dk и Dk - постоянные и совокупности постоянных, которые определяются из граничных условий; Л„ и ук - параметры, дискретный спектр изменения которых также выбирается при выполнении граничных условий задачи; ц, v - модуль сдвига, коэффициент Пуассона;

(Укг) ~ функции Бесселя 1-го рода нулевого и первого порядка от действительного аргумента; 10(Япг), 7,(Лпг) - модифицированные функции Бесселя 1-го рода нулевого и первого порядка.

Решение сводится к системе из двух операторных уравнений:

B°„F(Ä„a) = -2yCos^„/ • tD°k{ytaf sh ykl J0 {ука)Ч>кп DluM=-тг^Ыcos V ~[A + 2(1 - v)C]$k

И плюс два относительно простых выражения, определяющих элементарную часть решения:

,а « Д°

/ *=! а А + 2уС

-/ = А

(3)

М

Совокупность 4-х разрешающих уравнений относительно 4-х неизвестных Вйп, £)°,АиС формально имеет вполне конкретное решение.

Из 2-го уравнения (3) разрешающей системы перемещение торцов выражается так:

д = А/ + 2 фВД = д0 + д,.

Е Е ы

Укорочение цилиндра Д отличается от аналогичного в условиях сжатия жесткими плитами, когда торцы имеют возможность проскальзывать между плитами. Отличие от широко известного "сопроматовского" решения как раз и доставляется добавкой Др выраженной неэлементарно. Целесообразно представить перемещение А в безразмерном виде:

р,1 I Ы р,а

Величина Д, характеризует влияние заделки торцов на величину укорочения (удлинения) цилиндра. Некоторые выводы:

- при у = -в идеальном материале заделка на перемещения ц> никак не сказывается;

- при а// 0 (очень длинный цилиндр) такое влияние также практически отсутствует;

- наибольшее влияние на радиальные перемещения № имеет заделка при V = 0,5 и при очень коротком цилиндре.

9

Для применения метода последовательных приближений при гарантированной сходимости процесса необходимо получить регулярную систему операторных уравнений. Это достигается введением новых совокупностей неизвестных. В результате многочисленных преобразований разрешающая система принимает вид:

о; = 1акпв:+ак

п= I

(4)

Коэффициенты и свободные члены системы (4) определяются следующими соотношениями:

Рп.к . ~ кл>

1

Ч*

к.п .

/п

I Гка ыУР (1 + У)Гка

^ '¡М

ч»

М2+(ЛпаУ

2(1 -у) + -

(Па)2+(Л„а)2\ Условиями регулярности бесконечных систем является: ^=1К*|<1> ¿ = 1,2,3...

«»I

* = 1,2,3...

И=1

Приближенная аналитическая оценка "сверху" параметра Липшица показывает, что:

00 00 J

n=t я=1 Za

Однако численно показано, что в широком диапазоне изменения коэффициента Пуассона и относительной высоты цилиндра параметр Липшица в обоих случаях не превышает 0,9.

Таким образом, доказана регулярность полученных разрешающих уравнений и, соответственно, возможность применения метода последовательных приближений при гарантированной сходимости процесса.

Вторая глава посвящена численной разработке полученного аналитического решения, в результате которой дается исчерпывающее представление о характере напряженно-деформированного состояния исследуемого объекта.

Так уже на уровне нулевого решения аналитически доказано бесконечное возрастание напряжений сгг, аг, а9 и тп при г a,z -»/, т.е. по

наружному контуру торцов цилиндра реализуется объемная особенность в напряжениях. Примечательно, что именно в этих зонах и фиксируется рост первых трещин в образцах из хрупких материалов при испытании на осевое сжатие. Следовательно, прогнозировать прочность цилиндра необходимо относительно зон с особенностями в напряжениях.

На основе аналитического решения составлена программа численной разработки разрешающих уравнений и исследования напряженно-деформированного состояния сплошного короткого цилиндра в условиях осевого сжатия жесткими плитами. Программа написана на языке Object Pascal. При этом перемещение торцов цилиндра А задано следующим образом:

„Д „/, suA . I Ро=ЕГ 2(l + v)-

где р0 - константа, характеризующая интенсивность действия распределенной нагрузки по торцам цилиндра. Соответственно все численные результаты даны в долях от р0.

Регулярная система операторных уравнений решается методом последовательных приближений. Нулевое приближение при этом имеет вид:

_ 2у 1

(1 + у)у,1

I ёк

А каждое последующее:

и=| т.. I г, а 17, у..а 1 + 1

/„ / ука (1 + у)ука

а ю V, а 1 gk

Большинство результатов по напряжениям и перемещениям получены на базе пятнадцатого приближения к неизвестным системы (4). Установлено, что величина коэффициента Пуассона существенно влияет на скорость сходимости. Так, для радиальных перемещений в случае у = 0,5 погрешность вычислений не превышает 5% на уровне пятого приближения. При у = 0 эта же точность достигается уже на уровне нулевого приближения. Для ст. сохраняется аналогичная ситуация.

На рис. 2-^-4 приведены графики распределения напряжений в различных сечениях цилиндра. Видно, что практически во всем объеме цилиндра реализуется объемное напряженное состояние.

На рис. 5 представлен график распределения эквивалентных напряжений по второй классической теории прочности, где = сг, - у(сг2 + сг3).

Рис. 2. Распределение нормальных напряжений по объему цилиндра (15-ое приближение; 1/а= 2 и у=0,3)

О 0,1 0,2 03 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 г/а

Рис. 3. Распределение радиальных нормальных напряжений аг по объему цилиндра (15-ое приближение; и = 0,3 и //а = 2) О 0,1 0,2 03 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 г/а

0

-ОД

-0,2

-03

-0,4

-0,5

-0,6

-0,7

-0,8 *п/Ро

Рис. 4. Распределение касательных напряжений тг, по объему цилиндра (15-ое приближение; и = 0,3 и //а = 2)

0,8 ■ 0,7' 0,6 0,5 0,4 03 0,2 0,1 0 -0,1

0 0,1 ОД 03 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 г/а

Рис. 5. Распределение эквивалентных напряжений согласно второй классической теории прочности (г = 0,3 и 1/а = 2)

Естественно, в случае появления сингулярности прогнозировать прочность объекта напрямую при помощи теорий прочности не представляется возможным, так как эквивалентные напряжения также имеют особенность.

Критерием достоверности полученного аналитического решения здесь является точное выполнение граничного условия: м>=Д, при 2 = 1. На рис. 6 таким критерием является равенство нулю радиальных перемещений на торцевых поверхностях при различных значениях относительной высоты цилиндра. Причем одно из разрешающих уравнений получено именно из этого граничного условия.

На рис. 7 изображены деформированный сплошной короткий цилиндр, построенный на основе аналитического решения, и чугунный цилиндрический образец после испытания на осевое сжатие. Очертание первого цилиндра четко повторяет силуэт второго.

О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 г[а

0 -0,1 -0,2 -03 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0^8

-1 ч>/А

VI

м

А1

—&

11.75

Рис. 6. Вертикальные перемещения № поперечных сечений цилиндра (V = 0,3 и 1/а = 2)

а) б) 1|

1 1 О I I 1 1 1 [ ^ 1 1

> 1 г ( г 1 1 1 1 1 11 I 1

-ЖШшйШГ

->

Ряс. 7. Вид деформированного цилиндра (//а = 1)'. а) аналитическое решение; 6} эксперимент.

Третья гласа посвящена экспериментальному исследованию разрушения цилиндрического образца, сжимаемого между опорными плитами при полном сцеплении контактных поверхностей. Кроме этого, получены данные испытаний систем, в которых реализованы различные типы кон-

тактов торцов цилиндров и опорных плит. Результаты выше перечисленных экспериментов позволяют оценить влияние условий взаимодействия контактных поверхностей на разрушающую нагрузку при стандартных испытаниях на сжатие.

Описана методика испытаний и изготовления гипсовых и цементно-лесчаных образцов. Обоснован выбор материалов.

Разрушающая нагрузка в % от гру:ю п одье м н ост и цилиндра при испытании с прокладками из фторопласта О 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Торец цилиндра -прокладка иг» фторопласта

Торец цилиндра -г ладкая плита

Горец цилиндра -шероховатая плита

Полное сцепление

Рис. 8, Изменение разрушающей нагрузки цементно-песчаного образца в зависимости от типа контакта торцов с опорными плитами

Представлена статистическая обработка результатов эксперимента, которая показала, что коэффициенты вариации внутри каждой партии для гипсовых образцов в различных условиях по торцам составили от 4,1 до 4,6 %, а для цсмеитно-иесчаных образцов - от 4,1 до 6,6 %.

Видно, что разрушающая нагрузка тем больше, чем выше силы сцепления контактных поверхностей. К примеру, грузоподъемность цементно-песчаного цилиндра с полным сцеплением торцов и опорных плит оказа-

лась на 60% выше, чем с контактом типа "торец цилиндра - прокладка из фторопласта" (рис. 8).

Главным результатом эксперимента явилось доказательство значительного влияние сил сцепления торцов цилиндра с опорными плитами на его грузоподъемность. Показан объемный характер напряженного состояния. который реализуется в материале испытуемого образца.

Предел прочности материала при сжатии в % от прочности При испытании с прокладками из фторопласта (предел прочности при сжатии, МПа) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Торец цилиндра -прокладка из фторопласта

Торец цилиндра -гладкая плита

(Яг=0,1)

Торец цилиндра -шероховатая плита (¡12=80)

Полное сцепление

-!-1-1-1- 100,0 (15,9)

.. 100,0:5,95) .

г

1111 101,4 (16,1)

: Ю0,0 (5.95) :

1111

124,6 (19,8)

¡Л& ? ^ < ■< ■. ¿"¿.0 10*11 &

--------

163,3 (25,9)

□ цементно-песчаные образцы □ гипсовые образцы

Рис. 9. Изменение предела прочности при сжатии в зависимости от типа контакта торцов цилиндра с опорными плитами

Однако главным показателем проведенных испытаний все же является не разрушающая нагрузка, а предел прочности материала при сжатии, который по нормативным документам необходимо находить по формуле:

Р ,

где Рраз - разрушающая нагрузка; Р - площадь рабочего сечения образца.

В ряде государственных стандартов, таких как ГОСТ 10180-90 "Бетоны. Методы определения прочности по контрольным образцам", класс шероховатости опорных плит пресса не регламентируется. В связи с этим испытатель может определить предел прочности одного и того же материала при сжатии в широком диапазоне, что подтверждается данными рис. 9.

Четвертая глава посвящена теоретическому прогнозу прочности системы с объемными особенностями в напряжениях с использованием экспериментальных результатов предыдущей главы.

На сегодняшний день в механике твердого деформируемого тела имеется множество задач, в которых и без концентраторов типа трещин и разрезов реализуются особенности в напряжениях в условиях не только линейного, не только плоского, но и объемного напряженного состояния. Классическим примером является система «штамп-полупространство». В таких случаях механика разрушения не дает ответа в отношении грузоподъемности систем с сингулярностью в напряжениях. Все же существуют работы в данном направлении. Теоретические аспекты прогноза прочности систем с особенностями рассматривались в публикациях В.В. Новожилова. Васильевым В.З. введено понятие коэффициента концентрации элементарных усилий. Им и его учениками решено более десятка задач по определению грузоподъемности объектов с объемными особенностями в напряжениях.

Для прогноза прочности цилиндрических образцов, деформируемых при полном сцеплении торцов с опорными плитами, применяется подход на базе силового критерия прочности в форме Новожилова-Васильева.

В диссертации получены формулы для коэффициентов концентрации элементарных усилий в зоне объемной особенности в напряжениях сплошного короткого цилиндра. Например, коэффициент концентрации нормальных усилий, действующих вдоль оси г, принимает вид:

о Л 2

а =2— + -

' Ро

1^Ч/(Я„а)со8 V - (1 ■- 4) I М1" f))

где 2(n/) = (l-2v)chrt/--g^,

V) = ( W (1 - fl^ff}'. (V0 " #)) " ( W (1 - £ Г 'о Ml - i ))•

Здесь ^ = 5/a - относительный размер структурной ячейки материала, а £ - абсолютный размер структурной ячейки материала.

На основе формул составлена программа определения значений коэффициентов концентрации усилий а,, приходящихся на элементарную

ячейку материала в зоне сингулярности напряжений. Программа написана на языке Object Pascal.

Напряжения в опасной зоне подсчитываются по формуле:

= «<,Ро • Главные напряжения равны:

= °>Ф-- 5=2 = Я,■

Например, расчетные напряжения определяются по второй классической теории прочности:

Vpll=°i-V{<72+Vз). Значения относительной грузоподъемности находятся так:

Л") _ „(") _ арос,Ррас; < (р) Ррасч _ 1

"расч ~ и'раечН0' и расч ~ 2 ~ пч ' (р) 2 ~

ла G йот

v ии пагч

Здесь г*"* - расчетная нагрузка.

График изменения относительной грузоподъемности представлен на рис. 10.

цилиндра в зависимости от относительного размера структурной ячейки

материала (1/а = 1,5)

При уменьшении относительного размера структурной ячейки, т.е. при увеличении образца, относительная грузоподъемность падает, что инициирует проявление масштабного эффекта. При равенстве нулю относительного размера структурной ячейки материал становится однородным, как в модели теории упругости и грузоподъемность его уходит в ноль.

По графику относительной грузоподъемности при известных размерах цилиндра, абсолютном размере структурной ячейки материала и пределе прочности материала на растяжении определяется расчетная грузоподъемность цилиндрического образца. Также, располагая экспериментальными данными о несущей способности цилиндра, сжимаемого между

21

жесткими плитами в условиях полного сцепления, решается обратная задача по определению абсолютного размера структурной ячейки материала.

Например, для гипса разрушающая нагрузка Р^ =6,1 кН(по результатам испытаний); коэффициент Пуассона у = 0,2; относительная высота цилиндра //а = 1,5; диаметр цилиндра 2а = 32 мм (а = 16 мм) и предел прочности материала при растяжении а[р} =2,4 МПа. Принимается Рр<п ~ Ррасч ■ Определяется относительная грузоподъемность:

Ррасч Ррт _ 6,1-Ю3 ^

о^х* <№™2 2,4-ю6-лг-0,0162 '

По рис. 10 = 3,16 -> 4 = 0,093.

Тогда абсолютный размер структурной ячейки гипса равен 8 = £<я = 0,093-0,016 = 0,0015 м = 1,5 мм.

Этот пример показывает возможность определения размера структурной ячейки материала по испытаниям цилиндрический образцов. Однако представляется более правильным данную характеристику получать по результатам испытания в условиях линейного напряженного состояния.

Естественно, при известном размере структурной ячейки материала по графику (рис. 10) можно спрогнозировать грузоподъемность цилиндрического образца.

Основные выводы и результаты:

1. Получено точное аналитическое решение пространственной осесиммет-ричной задачи о деформации сплошного короткого цилиндра жесткими плитами при полном их сцеплении с торцами.

2. Показано выполнение условий регулярности для системы разрешающих уравнений.

3. Регулярность построенных систем операторных уравнений уже на уровне начальных приближений позволяет выявить специфику напряженно-деформированного состояния и установить факт появления объемной особенности в напряжениях.

4. Установлено, что объемная особенность имеет место на контуре торцевых поверхностей сжимаемого цилиндра.

5. Дано распределение составляющих тензора напряжений во всем объеме цилиндра.

6. Результаты экспериментов показали, что при стандартных испытаниях на сжатие силы сцепления значительно сказываются на размере разрушающей нагрузки. При этом, чем больше сцепление, тем выше грузоподъемность цилиндра.

7. Для прогноза прочности цилиндрических образцов, деформируемых при полном сцеплении торцов с опорными плитами, вполне применим подход на базе силового критерия прочности в форме Новожилова-Васильева.

8. Представлен один из возможных вариантов определения размера структурной ячейки материала.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих

работах:

1. Гусев Д.В. К вопросу о корректности определения прочностных характеристик материалов при стандартных испытаниях цилиндрических образцов на осевое сжатие // Научно-технический журнал «Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения», Ростов-на-Дону.: РГУПС, 2006. Вып. № 4. с. 5-9.

2. Васильев В.З., Гусев Д.В. Прогноз прочности упруго-деформируемых объектов с объемными особенностями ч напряжениях на примере сплошного короткого цилиндра // Известия Петербургского университета путей сообщения. - СПб.: Петербургский гос. ун-т путей сообщения, 2006. - Вып. 2(7). с. 50-53.

3. Васильев В.З., 1 усев Д.В. Напряженно-деформированное состояние сплошного короткого цилиндра в условиях осевого сжатия жесткими плитами при полном их

; сцеплении с торцами // "Шаг в будущее" Неделя науки 2006 г. Материалы научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. ПГУПС. СПб. 2006. с. 51-55.

4. Гусев Д.В. Прогноз прочности составных объектов в местах контакта типа "Торец цилиндра-плита" // Сборник научных трудов III международной научно-технической конференции "Современные проблемы совершенствования и развития металлических, деревянный, пластмассовых конструкций в строительстве и на транспорте", Самара.: СамГЛСУ, 2005. с. 93-96.

5. Гусев Д.В. Осесимметричная деформация короткого цилиндра в условиях основной смешанной зада-™ теории упругости // Труды научно-практической конференции, Ростов-на-Дону.: РГУ, 2005. с. 55-57.

6. Гусев Д.В. Основная осесимметричная задача о деформации сплошного короткого цилиндра // Актуальные проблемы механики и машиностроения: материалы Международной научной конференции. А 43 - Алматы.: Издательство «ЭВЕРО», 2005. Том I. с. 149-151.

7. Гусев Д.В., Шулайкин А.Ю. Экспериментально-теоретическое исследование деформации и разрушения сплошного короткого цилиндра в условиях основной смешанной задачи // V Российская конференция с международным участием "Смешанные задачи механики деформируемого тела", Саратов.: СГУ, 2005. с. 118-120.

8. Васильев В.З., Гусев Д.В. Прогноз прочности сплошного короткого цилиндра, деформируемого в условиях основной смешанной задачи теории упругости // Всероссийская научно-техническая конференция "Наука-производство-технологии-экология": Сборник материалов: В 6 т. - Киров: Изд-во ВятГУ, 2005. Том 3. ФАМ, ИСФ. с. 284-286.

9. Гусев Д.В. Решение пространственных осесимметричных задач в полиномах // Материалы научно-технической конференции, СПб.:ПГУПС, 2004. с. 45-48.

Подписано к печати 19.01.07 г. Печ.л. - 1,5

Печать - ризография. Бумага для множит, апп. Формат 60x84 1\16

Тираж 100 экз._Заказ № _

СР ПГУПС 190031, С-Петербург, Московский пр. 9

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОГО КОРОТКОГО ЦИЛИНДРА.

1.1 Классификация задач.

1.1.1 По форме возможного решения.

1.1.2 По виду граничных условий.

1.2 Общее решение осесимметричной задачи, используемое в работе.

1.3 Деформация сплошного короткого цилиндра.

1.4 Постановка задачи.

1.5 Компоненты тензора напряжений и вектора упругих перемещений.

1.6 Построение системы разрешающих уравнений.

1.7 Анализ разрешающих уравнений.

1.7.1 Сравнение полученного решения с элементарным.

1.7.2 Исследование бесконечной системы линейных алгебраических уравнений на регулярность.

Из ряда многочисленных факторов, предопределяющих надежность прочностного расчета строительной конструкции, выделяются два основных. Это, в первую очередь, точность исследования напряженно-деформированного состояния рассматриваемой системы. И второй аспект -достоверность прочностных и деформационных характеристик материалов, применяемых в рассчитываемой конструкции.

Что касается определения механических характеристик материалов, то здесь, казалось бы, нет никаких проблем. Такие, к примеру, прочностные характеристики как пределы прочности при растяжении и сжатии, пределы пропорциональности и текучести определяются по юстированным методикам, которые не меняются по существу уже несколько десятилетий. При этом обязательным условием стандартного испытания на осевое растяжение-сжатие является реализация в нагружаемом образце линейного напряженного состояния. Только в этом случае, скажем, предел прочности материала при сжатии является таковым.

Практически же при стандартных испытаниях на сжатие кубиков или цилиндров во всем материале испытуемых образцов реализуется объемное напряженное состояние. Это подтверждается и характером деформирования образца и его разрушением. Следовательно, вместо стандартного параметра -предела прочности - определяется некоторая чисто условная прочностная характеристика материала. Она, вне всякого сомнения, количественно отличается от искомой величины. По-видимому, здесь кроется одна из причин того, что обычно для хрупких материалов не соблюдается предопределяемое второй теорией прочности соотношение Здесь а^ - предел прочности материала при растяжении, сг^ - предел прочности того же материала при сжатии.

В итоге, использование вместо действительно стандартной прочностной характеристики некоторой условной величины ставит под сомнение достоверность всех последующих прочностных расчетов и, соответственно, надежность проектируемых систем.

Выход из этой ситуации только один. Тщательное теоретическое исследование напряженно-деформированного состояния, которое реализуется в испытуемом образце при осевом сжатии. Так в случае цилиндра дело сводится к осесимметричной задаче о деформации образца, сжимаемого между двумя абсолютно жесткими плитами. При любых технологических ухищрениях избежать полностью трения между плитами и торцами цилиндра не удается. Таким образом, возникает необходимость решения основной смешанной осесимметричной задачи для сплошного короткого цилиндра с граничными условиями в перемещениях на торцах и в напряжениях на боковой поверхности.

Литература насыщена публикациями, посвященными точным аналитическим решениям о деформации сплошного короткого цилиндра. Авторами их являются Б.Л. Абрамян [1,3], Г.М. Валов [10-13], В.З. Васильев [19, 23] и др. Широко рассмотрена первая основная осесимметричная задача теории упругости, в то время как решения основной смешанной задачи исчисляются единицами. Это решение задачи о деформации цилиндра, когда перемещения заданны по боковой поверхности [29], представленное В.Т. Гринченко и А.Ф. Улитко, а также решения в публикациях Г.М. Валова [11, 12]. Точное решение основной смешанной осесимметричной задачи для сплошного короткого цилиндра с граничными условиями в перемещениях на торцах и в напряжениях на боковой поверхности с исчерпывающим исследованием напряженно-деформированного состояния объекта отсутствует.

Это, казалось бы, компенсируется бессчетным множеством испытаний цилиндрических образцов и соответствующими результатами, которые имеют место к настоящему времени. Однако этот огромный объем экспериментальных данных не дает четкого ответа на целый ряд принципиальных вопросов. Например, как влияют условия контакта торцов цилиндра с опорными плитами на разрушающую нагрузку при стандартных испытаниях на сжатие? Каким образом происходит разрушение цилиндра? В каких точках начинается развитие первых трещин? Возникает необходимость проведения испытаний образцов-цилиндров в попытке закрыть интересующие вопросы. Их результаты могут определить направления исследования напряженно-деформированного состояния сплошного короткого цилиндра.

На сегодняшний день известны некоторые экспериментальные данные о характере напряженного состояния цилиндрического образца, сжимаемого шероховатыми плитами. Наиболее полная информация представлена в справочнике Касаткина Б.С., Кудрина А.Б. и др. Однако здесь приводятся результаты, которые являются приближенными и носят скорее качественный характер.

Стоит отметить тот факт, что смешанная задача для цилиндра, сжимаемого между жесткими плитами, относится к категории пространственных контактных задач. А последние - это установленный факт - приводят к особенностям в напряжениях. Естественно, возникает проблема прогноза прочности системы с объемными особенностями в напряжениях.

Цель работы заключается в обосновании способа оценки прочности деформируемой системы с объемными особенностями в напряжениях на примере осевой деформации сплошного короткого цилиндра.

В связи с этим решаются следующие задачи:

1. Построение точного аналитического решения основной смешанной осе-симметричной задачи для сплошного короткого цилиндра, сжимаемого жесткими плитами при полном их сцеплении с торцами.

2. Анализ разрешающих уравнений.

3. Разработка программы численной реализации полученного решения.

4. Исследование напряженно-деформированного состояния рассматриваемого объекта в целом и в зонах с особенностями в напряжениях.

5. Определение грузоподъёмности цилиндрических образцов в различных условиях контакта торцов с опорными плитами при стандартных испытаниях на сжатие.

6. Анализ результатов эксперимента.

7. Сопоставление теоретических и экспериментальных данных.

8. Построение прогноза прочности сплошного короткого цилиндра, деформируемого в условиях основной смешанной задачи, при наличии особенностей в напряжениях на основании силового критерия прочности.

Научную новизну работы составляют:

- точное аналитическое решение основной смешанной задачи для сплошного короткого цилиндра, деформируемого жесткими плитами;

- совокупность разрешающих уравнений для системы "сплошной короткий цилиндр - жесткие плиты" и их исследование на регулярность;

- алгоритм численной реализации аналитического решения для сплошного короткого цилиндра;

- сопоставление результатов испытаний цилиндрических образцов и напряженно-деформированного состояния сплошного короткого цилиндра на основе точного аналитического решения основной смешанной задачи;

- прогноз прочности сплошного короткого цилиндра, находящегося в условиях осевого сжатия жесткими плитами при полном их сцеплении с торцами образца.

Практическую ценность работы определяют:

- результаты численной разработки точного аналитического решения основной смешанной задачи об осесимметричной деформации сплошного короткого цилиндра;

- программа численной разработки разрешающих уравнений и исследования напряженно-деформированного состояния сплошного короткого цилиндра, деформируемого в условиях основной смешанной задачи;

- программа прогноза прочности сплошного короткого цилиндра, сжимаемого жесткими плитами при полном их сцеплении с торцами.

Достоверность полученных результатов предопределяется применением классических аналитических методов математической теории упругости, точным выполнением граничных условий решаемой задачи, анализом регулярности систем разрешающих уравнений, экспериментальными исследованиями.

На защиту выносятся:

- аналитическое решение пространственной осесимметричной задачи для сплошного короткого цилиндра, торцы которого находятся под действием сжимающих жестких плит при полном их сцеплении с торцами;

- разрешающие уравнения, обеспечивающие возможность применения метода последовательных приближений в рамках сходимости процесса;

- результаты и анализ численного исследования напряженно-деформируемого состояния сплошного короткого цилиндра;

- результаты испытаний на сжатие сплошного короткого цилиндра при различных условиях контакта опорных плит и торцов цилиндра;

- прогноз прочности сплошного короткого цилиндра в условиях осевого сжатия жесткими плитами при полном их сцеплении с торцами.

Основные результаты и выводы по работе можно сформулировать так.

1. Получено точное аналитическое решение пространственной осесимметрич-ной задачи о деформации сплошного короткого цилиндра жесткими плитами при полном их сцеплении с торцами.

2. Показано выполнение условий регулярности для системы разрешающих уравнений.

3. Регулярность построенных систем операторных уравнений уже на уровне начальных приближений позволяет выявить специфику напряженно-деформированного состояния и установить факт появления объемной особенности в напряжениях.

4. Установлено, что объемная особенность имеет место на контуре торцевых поверхностей сжимаемого цилиндра.

5. Дано распределение составляющих тензора напряжений во всем объеме цилиндра.

6. Результаты экспериментов показали, что при стандартных испытаниях на сжатие силы сцепления значительно сказываются на размере разрушающей нагрузки. При этом, чем больше сцепление, тем выше грузоподъемность цилиндра.

7. Для прогноза прочности цилиндрических образцов, деформируемых при полном сцеплении торцов с опорными плитами, вполне применим подход на базе силового критерия прочности в форме Новожилова-Васильева.

8. Представлен один из возможных вариантов определения размера структурной ячейки материала.

Таким образом, в работе решена важная инженерная задача по построению прогноза прочности системы с объемной особенностью в напряжениях на примере сплошного короткого цилиндра. Создан пакет программ по численной разработке разрешающих уравнений, анализу напряженно-деформированного состояния сплошного короткого цилиндра, а также определению коэффициентов концентрации элементарных усилий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абрамян Б.Л. К задаче осесимметричной деформации круглого цилиндра // Докл. АН АрмССР, 1954, т. 19, № 1, С. 3-12.

2. Абрамян Б.Л., Арутюнян Н.Х., Баблоян А.Л. О симметричном давлении круглого штампа на упругое полупространство при наличие сцепления // Прикл. матем. и мех, 1966, 30, №1, С. 143-147.

3. Абрамян Б.Л. Некоторые задачи равновесия круглого цилиндра // Докл. АН АрмССР, 1958, т. 24, № 65-72.

4. Акимов В.А. Исследование по задаче осесимметричной деформации цилиндра // Теор. и прикл. механика, 1985, вып. 12, С. 115-118.

5. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Некоторые осесимметричные контактные задачи для полупространства и упругого слоя с вертикальным цилиндрическим вырезом // Изв. АрмССР, Механика, 1969, 22, № 2, С. 3-13.

6. Балабанов A.M. Однородные решения и удовлетворение граничных условий на торцах в задачах о равновесии полого толстостенного изотропного цилиндра//МТТ, 1968, № 1, С. 95-101.

7. Бородачев Н.М. О вдавливании штампа в торец упругого полубесконечного цилиндра // Прикл. механика, 1967, т. 22, № 9, С. 83-89.

8. Бородачев Н.М., Бородачева Ф.Н. Вдавливание кольцевого штампа в упругое полупространство // Инж. ж. МТТ, 1966, № 4, С. 158-161.

9. Бухаринов Т.Н. Осесимметричная деформация цилиндра конечной длины // Вестн. ЛГУ, Серия матем., физ. и хим, 1956, № 7, С. 77-86.

10. Валов Г.М. Об одной задаче о деформации упругого кругового цилиндра // Тр. Сиб. металлург, ин-та, 1957, № 4/1, С. 29-32.

11. Валов Г.М. Об осесимметричной деформации сплошного кругового цилиндра конечной длины // ПММ, 1962, т. 26, В. 4, С. 650-667.

12. Валов Г.М. Осесимметричная задача о сжатии упругого круглого цилиндра, покоящегося на гладком жестком основании // Изв. АН СССР, ОТИ, Механика и машиностроение, 1961, № 6, С. 151-154.

13. Валов Г.М. Контактная задача об упругой осесимметричной деформации сплошного и полого кругового цилиндра // Тр. Сиб. Металлург, ин-та, 1975, С. 19-28.

14. Васильев В.З., Зотов Н.Б. Осесимметричная деформация составного цилиндра бесконечно большого радиуса // Вопросы мех.: строит, констр. и материалов.-Л., 1984, С. 20-24.

15. Васильев В.З. Концентрация напряжений около торца полубесконечного кругового цилиндра при осесимметричном нагружении // Изв. ВУЗов, Машиностроение, 1972, № 12, С. 29-31.

16. Васильев В.З. Концентрация напряжений в слое вблизи цилиндрического включения при осесимметричной деформации // Проблемы прочн. матер, и констр. на транспорте. М.: Транспорт, 1990, С. 113-121.

17. Васильев В.З. Концентрация напряжений в полупространстве вблизи цилиндрического выступа при осесимметричном нагружении. / МТТ 1974, №4, С. 46 - 58.

18. Васильев В.З., Невзоров Н.И. Влияние податливого упругого цилиндрического включения на характер напряженно-деформированного состояния круглой в плане плиты // Проблемы прочн. матер, и сооруж. на транспорте. Сб. трудов ЛИИЖТ, Л.,1990, С. 5-11.

19. Васильев В.З. Осесимметричная деформация элементов строительных конструкций.- Л.: Стройиздат, Ленингр. отд-ие, 1988, 87 с.

20. Васильев В.З. Осесимметричная деформация полупространства с жестким полубесконечным включением // Изв. ВУЗов, Стр-во и арх., 1969, № 6, С. 25-27.

21. Васильев В.З. Осесимметричная деформация двухслойного упругоизотроп-ного полупространства с цилиндрической выемкой, подкрепленной жестким включением // Тр. ЛИСИ, 1974, № 105, С. 5-11.

22. Васильев В.З. Осесимметричная деформация упругоизотропных тел. Автореферат дисс. д-ра техн. наук. ЛИСИ, Л., 1980.

23. Васильев В.З. Пространственные задачи прикладной теории упругости.- М.: Транспорт, 1993.- 366 с.

24. Васильев В.З. Применение метода наложения неполных решений в случае первой основной задачи для полубесконечного цилиндра. Тр. ЛИСИ, 1973, № 73,С. 23-25.

25. Васильев В.З. Напряжения и упругие перемещения двухслойного полупространства вблизи цилиндрической выемки, подкрепленной жестким включением. Тр. ЛИСИ, 1977, вып. 10, С. 19-25.

26. Воронин Т.А. Контактные напряжения, возникающие при тугой посадке жесткой втулки на бесконечных цилиндр // Изв. АН СССР, ОТН, № 8, 1957.

27. Галеркин Б. Г. К общему решению задач теории упругости в трех измерениях с помощью функций напряжений и перемещений. Докл. АН СССР, А, 1931, №10, С. 281-286.

28. Гребень Е.С., Дашук Г.А. О причинах и схемах хрупкого разрушения материалов при испытании на сжатие // Исследования по строительной механике. Межвузовский сборник научных трудов, ЛИИЖТ.: Ленинград, 1978, С. 10-23.

29. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Смешанная осесимметричная задача теории упругости для цилиндра конечной длины // Сопр. матер, и теор. сооруж. Киев, 1971, вып. 15, С. 3-8.

30. Гродский Г. А. Интегрирование общих уравнений равновесия изотропного тела при помощи ньютоновских потенциалов и гармонических функций. -Изв. АН СССР, отд. Матем. И естествен. Наук, 1935, №4, С. 587-614.

31. Губенко B.C., Моссаковский В.И. Давление осесимметричного кольцевого штампа на упругое полупространство // Прикл. матем. и мех, № 2, 1960.

32. Губенко B.C., Моссаковский В.И. Давление осесимметричного кольцевого штампа на упругий слой и упругое полупространство // Прикл. матем. и мех, 21, №2, 1957.

33. Егоров К.Е. Вдавливание в полупространство штампа с плоской подошвой кольцевой формы. Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и машиностр., № 5, 1963.

34. Илюнин В.А. Осесимметричная деформация полупространства с вертикальным цилиндрическим включением. Автореф. дисс. канд. техн. наук. СПб, 2006, 20 с.

35. Каплун А.С., Филин А.П. Осесимметричное загружение полупространства с вертикальным цилиндрическим каналом, окаймленным обделкой конечной жесткости. Сб. Успехи механики деформируемых сред. М., 1975, 217 с.

36. Каплун А.С. Осесимметричная задача для упругого полупространства с вертикальным цилиндрическим каналом, подкрепленным трубой. Автореф. дисс. канд. техн. наук. JI., 1977, 23 с.

37. Касаткин Б.С., Кудрин А.Б. и др. Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений. Справочное пособие, Киев.: Наукова думка, 1981,С. 104-106.

38. Клюкин А.А. Осесимметричная задача теории упругости о полупространстве с бесконечным цилиндрическим включением при наличии трения на поверхности контакта // Вопросы мех. строит, констр. и материалов. JL, 1984, С. 24-27.

39. Коган Б.И. Напряженное состояние бесконечного цилиндра, зажатого в абсолютно полубесконечную обойму // Прикл. матем. и мех., 20, № 2, 1956, С. 236.

40. Лившиц П.З. О распределении напряжений по контактной повехности при горячей посадке диска постоянной толщины на сплошной вал // Изв. АН СССР. ОТН, 1955, №4.

41. Мкртчян А.Н., Папоян С.О. Контактная задача для слоя с цилиндрической поверхностью раздела материалов. Изв. АН АрмССР, Мех., 1988, 41, № 3, С. 10-16.

42. Никитин B.C. Задачи теории упругости о кольцевой и круговой трещинах на границе раздела слоя и полупространства // МТТ, № 3,2001.

43. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности. ПММ, 1969, вып. 2, С. 212-222.

44. Папкович Н. Ф. Обзор некоторых общих решений основных дифференциальных уравнений покоя изотропного тела. Прикл. Матем. И мех., 1937, т.1, вып.1, с 117-132.

45. Прокопов В.К. Равновесие упругого осесимметрично нагруженного тосто-стенного цилиндра. ПММ, 1949, 12, вып. 2, С. 135-145.

46. Самолов А.З. Теоремы разложения по однородным решениям для сплошного цилиндра. Вопросы вычислительной и прикладной математики, 1986, вып. 80, С. 120-132.

47. Соляник-Красса К.В. К решению осесимметричной задачи теории упругости. Докл. АН СССР, 1952, т. 86, № 3, С. 481-484.

48. Соляник-Красса К.В. Осесимметричная задача теории упругости. М.: Стройиздат, 1987, 336 с.

49. Соляник-Красса К.В. Функции напряжений осесимметричной задачи теории упругости // Прикл. матем. и мех., т. 21, вып. 2, 1957, С. 285-286.

50. Стеклов В.А. О равновесии тел вращения. Сообщ. Харьковск. матем. об-ва, 1891, Серия II, т. 3,№ 1-2, С. 173-251.

51. Степнов М.Н., Шаврин А.В. Статистические методы обработки результатов механических испытаний: Справочник. 2-е изд., испр. и доп. М.: Машиностроение, 2005. С. 33-94.

52. Черных К.Ф. Геометрически нелинейная задача для осесимметричной деформации тел вращения // МТТ, № 3, 2000.

53. Чистяк В.И. Действие жесткого круглого в плане штампа на неоднородный слой // Вопр. прочн. и пластич. Днепропетровск, 1989, С. 42-62.

54. Boussinesque J. Applications des potentiels a l'etude de l'equilibre et du mouve-ment des solides elastiques, 1885.

55. Michell J. H. The uniform torsion and flexure of incomplete Tores with application to helical springs. Proc. London, Math. Soc., 1900, v. 31.

56. Sneddon I.N. Boussinesq's problem for a plat ended cylindr. //Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1946, v.42, pp. 29 - 39.

57. Schiff P. Sur l'equilibre d'un cylinder e'lastique. J.Lionville ser.3, 1883, t. IX, p. 407-412.