автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Оценка прочности упруго-деформируемых систем с особенностями в напряжениях на основании силового критерия

На правах рукописи

ШУЛАЙКИН Анатолий Юрьевич П

□03052065

ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ УПРУГО-ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ С ОСОБЕННОСТЯМИ В НАПРЯЖЕНИЯХ НА ОСНОВАНИИ СИЛОВОГО КРИТЕРИЯ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2007

003052065

Работа выполнена в Государственном общеобразовательном учреждении высшего профессионального образования «Петербургский государственный университет путей сообщения»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор

ВАСИЛЬЕВ ВИТАЛИЙ ЗАХАРОВИЧ

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор МИХАЙЛОВ БОРИС КУЗЬМИЧ

кандидат технических наук, доцент ИСАЕВ ЮРИЙ НИКОЛАЕВИЧ

Ведущая организация - Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Защита состоится «05» апреля 2007 г. в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 218.008.01 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Петербургский государственный университет путей сообщения» по адресу: 190031, г. С-Петербург, Московский пр., д. 9, ауд. 3-237.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГУПС. Автореферат разослан «05» марта 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., профессор

Л.Л. Масленникова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность работы. Проблема обеспечения надёжности и долговечности сооружений, работающих в сложных эксплуатационных условиях, неразрывно связана с достоверной оценкой напряженно-деформируемого состояния каждого элемента этой системы. По действующим напряжениям определяется несущая способность конкретного звена конструкции, следовательно, и прочность всего сооружения как единой системы, состоящей из взаимосопряжённых деталей.

Важным при этом является отыскание зон с концентрацией напряжений, правильная оценка уровня которых предопределяет корректность прогноза несущей способности и надёжности сооружения.

Наиболее сложным вопрос оценки прочности системы становится в том случае, когда аналитические решения механики твёрдого деформируемого тела выявляют особенности напряжённо-деформируемого состояния. При наличии зон с бесконечно большими напряжениями элементы конструкций должны разрушаться при сколь угодно малых, но конечных нагрузках. В реальности это, естественно, не происходит.

В настоящее время оценка прочности систем, в элементах которых на основании теоретических расчётов возникают особенности в напряжениях, выполняется в рамках механики разрушений. Прогноз сводится к рассмотрению объекта с трещиной, в устье которой реализуется поле растягивающих или сдвиговых деформаций. При этом для оценки прочности используется критерий, основанный на понятии коэффициента интенсивности напряжений (КИН).

Однако проблема прогноза прочности элементов конструкций не замыкается только на объектах с трещинами, работающих в условиях растяжения и сдвига. Существуют и другие виды концентраторов, приводящие к появлению пространственных особенностей в напряжениях. Например,

штамп, вдавливаемый в полупространство. В подобных случаях примене-

1

ние концепции КИН к прогнозу прочности представляется, по крайней мере, проблематичным.

Поэтому вопрос дальнейшей разработки и совершенствования физико-механических концепций, связанных с прогнозом прочности систем с особенностями напряжённо-деформированного состояния, является актуальным.

Целью работы является разработка практической методики оценки прочности упруго-деформируемых систем с особенностями в напряжениях при помощи силового критерия.

Для её достижения выполняется следующее.

1. Анализ решений задач механики твёрдого деформируемого тела, приводящих к появлению сингулярности в напряжениях.

2. Теоретические оценки прочности систем с особенностями при помощи силового критерия.

3. Построение методики экспериментального определения размера структурной ячейки материала.

4. Исследование несущей способности балок цельных и с концентратором в условиях плоского поперечного и чистого изгиба.

5. Определение размера структурной ячейки материала по результатам испытаний с реализацией линейного напряжённого состояния.

6. Прогноз прочности системы с объёмными особенностями в поле сжимающих напряжений при использовании найденного размера структурной ячейки.

7. Экспериментальная оценка прочности системы «круговой в плане штамп - упругое полупространство».

8. Сопоставление и анализ теоретических и экспериментальных данных.

Метод исследования - экспериментально-теоретический. Он включает в себя:

- использование известных аналитических решений задач теории упругости, выявляющих зоны с особенностями в напряжениях;

- прогноз прочности систем на базе силового критерия с использованием понятия коэффициента концентрации элементарных усилий, приходящихся на структурную ячейку материала;

- испытание систем с особенностями - «призматический стержень в условиях изгиба» и «круговой в плане штамп - упругое полупространство»;

- определение размера структурной ячейки материала, важнейшего физико-механического параметра в условиях применения силового критерия прочности;

- сопоставление и анализ результатов теоретического прогноза прочности рассмотренных систем с экспериментальными данными.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- представлен перспективный вариант методики определения размера структурной ячейки материала;

- определён способ прогноза прочности систем с особенностями в напряжениях при помощи силового критерия;

- экспериментально подтверждён тот факт, что силовой критерий прочности может быть использован для прогнозирования несущей способности элементов конструкций с инициированными в них концентраторами, наличие которых приводит к появлению особенностей в напряжениях;

- показано, что предлагаемая концепция позволяет прогнозировать прочность объекта с объёмными особенностями в напряжениях сжатия на основании любой классической теории прочности.

Практическую ценность работы составляют:

- прогноз прочности упруго-деформируемых систем с особенностями в

напряжениях при помощи силового критерия;

3

- экспериментальная методика определения размера структурной ячейки материала на основании относительно простых испытаний.

Достоверность полученных результатов определяется:

- привлечением в рамках теоретического анализа точных аналитических решений задач теории упругости;

- обоснованием силового критерия прочности основными положениями механики твёрдого деформируемого тела, ясной физической сущностью всех составляющих данного критерия;

- согласованием результатов теоретического прогноза прочности, полученных при использовании силового критерия, с экспериментальными данными испытания объектов с концентраторами, инициирующими особенности в напряжениях.

На защиту выносятся:

- вариант методики определения абсолютного размера структурной ячейки материала, важнейшего физико-механического параметра в условиях применения силового критерия прочности;

- результаты экспериментального исследования несущей способности моделей «призматический стержень в условиях изгиба» и «круговой в плане штамп - упругое полупространство»;

- оценка прочности систем с особенностями в напряжениях на основании силового критерия с учётом найденного размера структурной ячейки материала.

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих научных семинарах и конференциях.

- Неделя науки "Шаг в будущее", ПГУПС, С-Пб. 2004 - 2006 гг.; научные семинары кафедры "Прочность материалов и конструкций", ПГУПС, С-Пб. 2004 - 2006 гг.

- III Международная научно-техническая конференция "Современные проблемы совершенствования и развития металлических, деревянных, пластмассовых конструкций в строительстве и на транспорте", СамГАСУ, Самара. 2005 г.

- Всероссийская научно-практическая конференция "Транспорт-2005", РГУПС, Ростов-на-Дону. 2005 г.

- Всероссийская научно-техническая конференция "Наука - производство - технологии - экология", ВятГУ, Киров. 2005 г.

По материалам диссертации опубликовано девять печатных работ. Обьем и структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы; содержит 103 страницы текста, включая 38 рисунков и 30 таблиц. Библиография содержит 68 наименований, из них 12 на иностранном языке.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована и обоснована тема исследования, показана её актуальность.

В первой главе рассматриваются задачи теории упругости и механики разрушения, аналитические решения которых устанавливают наличие в деформируемых объектах зон с бесконечно большими напряжениями. В частности проанализированы:

- задачи о концентрации напряжений в теле около трещин-разрезов, возникающих под действием растягивающих усилий и сдвиговых деформаций;

- системы с объёмными особенностями в напряжениях любого знака;

- контактные задачи.

Библиографическое исследование показывает, что особенности в напряжениях при теоретических расчётах имеют место не только в случае деформации объектов с трещинами. Например, решение Ю.Н. Исаева вы-

являет особенности в напряжениях в плоской задаче о растяжении составной полосы. Цикл решений В.З. Васильева и его учеников аналитически описывают характер объёмных особенностей в осесимметричных задачах для составных объектов и тел усложнённой конфигурации.

Классическим примером, выявляющим пространственную особенность в напряжениях, можно считать задачу о деформации системы «круговой в плане штамп - упругое полупространство». При этом под наружным контуром штампа в материале полупространства реализуется объёмная особенность в напряжениях сжатия.

В этой же главе анализируется способ расчёта прочности тел с трещинами, основанный на понятии коэффициента интенсивности напряжений (КИН). Показано, что осуществление прогноза несущей способности элементов конструкций при возникновении бесконечно больших напряжений сжатия с использованием критериев прочности, основанных на понятии КИН, представляется проблематичным.

Вторая глава посвящена методике теоретического расчёта прочности систем с особенностями в напряжениях на основании силового критерия в форме Новожилова - Васильева. При этом рассмотрены случаи как линейного напряжённого состояния, так и ситуация с объёмными особенностями в напряжениях сжатия.

Основная идея силового критерия заключается в переходе от напряжений к усилиям, действующим в структурных связях вещества. С учётом дискретности любого реального материала для обозначения площадки, на которой действуют элементарные усилия, используется понятие структурной ячейки материала с абсолютным размером 8. Оно является ключевым в силовом критерии прочности. Естественно, что 8 всегда будет величиной конечной. Минимально возможный вариант - межатомное расстояние. Но в любом случае, усилия, распределённые по структурной ячейке мате-

риала, также будут величинами конечными. Такой подход позволяет снять проблему сингулярности напряжений.

В итоге условие прочности в опасных зонах с особенностями в напряжениях можно записать в традиционной для сопротивления материалов форме:

°РасЧ=а,аср <а0„. (1)

Здесь а - расчётное напряжение в опасной зоне;

аср - напряжение в теле без учёта концентрации; ат - опасное напряжение, при котором происходит разрушение материала;

аь - коэффициент концентрации элементарных усилий. По сути, <гоп является классической прочностной характеристикой материала, а аср определяется по правилам теории упругости. Так, например, при вдавливании штампа в полупространство аср = р0 где Р - на-

грузка на штамп, а Р- площадь контакта штампа с полупространством. Коэффициент аопределяется выражением:

Ш

(2)

ср

Здесь Ш - нормальное усилие, приходящееся на сечение структурной ячейки материала в зоне сингулярности напряжений; Шср - нормальное усилие в равномерном поле напряжений при отсутствии концентрации. Значение АЫ вычисляется по формуле:

ЛА'= \fadF. (3)

С)

Здесь (Ту - компонента тензора напряжений, содержащая особенность; Б - площадь сечения структурной ячейки материала.

Ш определяется следующим образом:

Формула для коэффициента концентрации элементарных усилий принимает следующий вид:

а,

_

(5)

Коэффициент а может быть рассчитан для любой задачи теории упругости, в которой появляется особенность в напряжениях. Так при изгибе призматического стержня с краевой трещиной в зоне растяжения имеем:

1 щ

«,.„ = 1 + -

2К

(6)

Здесь 77 = - - относительный размер трещины; £ = — - относительный раз-п И

мер структурной ячейки материала; с - длина трещины; /г - высота

балки.

Для системы «круговой в плане штамп - упругое полупространство»:

1

а. =

Ш'

аг \e^J0{7a)s\r\yad{ya) +

2 у №

ЛОо)—(7)

уа

¿ь о

1*4

уа

Здесь £ = —; а - радиус штампа; а

ЛО7")--^^) ~ функции Бесселя 1-го рода нулевого и первого поряд-

ка от действительного аргумента;

уа - безразмерный параметр с плавным спектром изменения от 0 до оо;

Из приведенных формул видно, что коэффициенты концентрации элементарных усилий являются функциями относительного размера структурной ячейки материала, т.е. аи При этом | определяется отношением абсолютного размера 8 к некоторой базе. В качестве таковой при изгибе принята высота балки, для штампа взят его радиус. В случае фиксированного материала, т.е. при неизменном 8, параметр | изменяется только за счёт базы. Увеличение последней ведёт к уменьшению относительного размера структурной ячейки и, соответственно, предопределяет снижение относительной прочности системы. Тем самым чисто формально объясняется хорошо известный в механике твёрдого деформируемого тела масштабный эффект.

Естественно, что изменение £ возможно и при фиксированных габаритах деформируемой системы за счёт изменения 8. Но это уже означает фактическое изменение структуры самого материала.

Линейное напряжённое состояние реализуется в крайних волокнах призматического стержня в условиях плоского поперечного и чистого изгиба (рис. 1). В качестве концентратора напряжений выступает краевая трещина-разрез в зоне растяжения балки.

На основании технической теории изгиба максимальный изгибающий момент определяется так:

г/ / а

- безразмерный радиус.

^^(ь-сГФ-сй-т,?.

Здесь С, - константа с размерностью «сила-длина»;

г/ - - - относительная высота трещины-разреза. к

—Е-

/7777

//2

//2

£

_* о -----

/¿/У/ |( 1/2 . д /7777 . //2 »1

Р П Р

р™» | I Ра

а /7777

Р У\ Р

раз •* рат

2 I 1

- ► л

х

- , ^ >1< Ь , < 4 .

— ^ *: * «

к

/7777

Рис. 1. Балка прямоугольного поперечного сечения в условиях плоского поперечного (а) и чистого (б) изгиба

В случае плоского поперечного изгиба:

С,-

Ъкг

гм _

./

, 1 ваз 1 >

(9)

при чистом изгибе:

С, = ^—ст^О = —Р„„, • ¿1.

"2 ^ пч, 2 ^ * Раз

(10)

Предел прочности материала на изгиб аопределяется по результа-

/ ч 3 ^па-» ' ^

там испытаний балок без разреза ст„", = —-

V У „Л 2 Ькг

ном изгибе, и стУ = 3 ,--при чистом изгибе.

Ък

при плоском попереч-

Теоретический максимальный изгибающий момент балок при использовании силового критерия прочности в случае плоского поперечного изгиба:

1+Ч1

т

1+

1 Ь

(11)

Ш

в случае чистого изгиба: С.

т юг,2

а..

1 +

1 »7

1 лл

(12)

2К

На основании формул (8, 11, 12) построены графики (рис. 2). Видно, что кривая, определяемая технической теорией изгиба имеет две

общие точки с кривыми, построенными при помощи силового критерия прочности

О х

Е к

Ъ) ^

'а

3" 2

»8

а

У

'Э

ж

к

0,9 0,8 о; 0,1 0,: 0/ о,: о,: од

ь\

И Л

№ « \ М-ик (техническая теория изгиба)

№

\\ \ \ \ %

\ 4 \ ч\

\ \ £ 0,05)

\ ч \ \ 0,01;

** /

Ч -

Относительная высота трещины - разреза, г|

Рис. 2. Кривые теоретических максимальных изгибающих моментов балок

11

Первая общая точка при г) = О означает отсутствие концентрации напряжений, т.е. трещины нет. Коэффициент концентрации элементарных усилий при этом аизг = 1. Вторая общая точка при ц = 1, когда разрез равен высоте балки. Фактически, в таком случае, имеется две отдельные части образца. На остальной части графика кривые значительно ниже

кривой М^г(т]). Это объясняется учетом локальной концентрации напряжений в устье трещины-разреза посредством коэффициента ашг при подсчёте моментов

На рисунке 2 приведены кривые полученные при трёх зна-

чениях относительного размера структурной ячейки £. Варьируя величиной £, можно получить целый спектр таких кривых. Главный вопрос для прогноза прочности систем при помощи силового критерия заключается в следующем. При каких размерах структурной ячейки материала теоретическая кривая М1'3'г\т],%) будет наиболее близка к разрушающей? Ответ необходимо искать путём сопоставления теоретических значений разрушающих нагрузок с экспериментальными.

В качестве модели с объёмной особенностью в напряжениях выбрана система «круговой в плане штамп - упругое полупространство» (рис. 3).

у г

Рис. 3. Система «круговой в плане штамп - упругое полупространство»

12

Теоретический прогноз прочности системы на основании силового критерия осуществляется с использованием классических теорий прочности. Показана возможность осуществления расчёта несущей способности при помощи первой гипотезы. Однако такой подход является приближённым, т.к. при подсчёте разрушающей нагрузки учитывается только одно главное напряжение.

Наиболее точно оценка прочности выполняется с использованием второй теории, которая учитывает действие всех трех главных напряжений. При этом условие прочности представляется так:

(13)

где у - коэффициент Пуассона.

К тому же, левая часть этого неравенства должна быть положительна <т, -у(а2 +ст3)>0.

Главные напряжения записываются в виде:

О", =-аг\Ро\; °г =-а„\р0\; а3 =-оф„|. (14)

Р

Здесь р0 = —1— - среднее давление под штампом. F

На основании (7) составлена программа определения значений коэффициентов концентрации элементарных усилий, приходящихся на структурную ячейку материала в зоне сингулярности напряжений. Программа написана на языке Object Pascal.

В итоге предельное состояние системы «штамп-полупространство», с учётом подсчитанных коэффициентов для v = 0,2, при использовании второй теории прочности определяется условием:

п) О04, , (р)

4 д/2£ '

Следовательно, предельное давление под штампом:

=35,35^- (15)

Согласно (15) построен график зависимости относительной прочности системы «штамп-полупространство» от размера структурной ячейки материала (рис. 4). Здесь же для примера приведена подобная кривая, полученная при V = 0,3.

¿г о

20

8

и о а:

3"

о

чЗ 5

3 и о

с

о

£ 15

и ж

I

и

0 <4,

1

к I

с

§

10

0

> = 0,2

V

■ у = 0,3-

0

0,4

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 Относителшый размер структурной ячейки, Е,

Рис. 4. Зависимость относительной прочности системы «штамп-полупространство» от размера структурной ячейки материала

Для реального прогноза прочности системы «круговой в плане штамп - упругое полупространство» необходимо знать величину абсолютного размера 8 структурной ячейки материала.

Третья глава посвящена экспериментальному определению прочности систем с особенностями при линейном напряжённом состоянии. Полученные результаты предопределяют один из возможных способов отыскания размера структурной ячейки материала на основании относительно простых «стандартных» испытаний.

Для определения 8 можно выбрать различные теоретически обоснованные схемы с особенностями в напряжениях. Так для хрупких материалов типа цементно-песчаного камня, бетона, гипса и др., наиболее приори-

14

тетными представляются испытания образцов - балок в условиях плоского поперечного или чистого изгиба.

Вначале проведены испытания балок с целью определения предела прочности материала на растяжение при изгибе сг(™г>. Эксперимент осуществлён на гипсовых образцах с соотношением сторон 1:1:4, и размерами 2x2x8 см, 4x4x16 см, 7x7x28 см, 10x10x40 см.

Затем выполнены испытания образцов с разрезом, инициирующим особенность в напряжениях, для построения экспериментальной зависимости М^'Р(т]) несущей способности балок от высоты концентратора. Использованы балки размером 4x4x16 см и 10x10x40 см. Величина разреза принята в диапазоне с = (0,2; 0,4; 0,6; 0,8)/г, где А - высота балки.

Концентратор в балке формировался при помощи лезвия, которое погружалось в форму в момент заливки изделий. После начала схватывания гипса лезвие аккуратно удалялось из образца. По-видимому, это наиболее простой и доступный способ получения в подобных изделиях разреза с минимальным радиусом закругления в устье.

В ходе планирования эксперимента рассчитано необходимое количество образцов. Таким образом, для определения каждой из 4-х точек на диаграммах (рис. 5, 6) проведено 16-ть испытаний. Коэффициент вариации прочности материала балок внутри каждой серии не превышает 5,2 %.

Результаты испытаний выявили снижение прочности материала при увеличении размеров образцов (рис. 5). При этом предел прочности материала на растяжение при чистом изгибе меньше аналогичной характеристики при поперечном изгибе в 1,14 раза. Это соотношение остаётся постоянным как при испытании цельных балок, так и образцов с разрезом. Подобное объясняется тем, что в случае поперечного изгиба максимальный момент действует в центральном сечении, в котором приложена внешняя нагрузка. При чистом изгибе М™ распределён равномерно на

более протяжённом среднем участке образца. В результате вероятность наличия дефекта во втором случае выше.

I

К Э »

& V §

а

£ о

о »

э*

о

1?

и £

3

йч

£г

<и ж

£ о о а,

а ж •

2,9 2,8 2,7 2,6 2,5 2,4 2,3 2,2 2,1

плоский поперечный изгиб

1 чистый изгиб

¡-~;.....

1 1

!

О 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Момент сопротивления поперечного сечения №юг, см3 Рис. 5. Зависимость прочности материала от размеров образцов- балок

Масштабный эффект проявляется более интенсивно у образцов с концентратором. Для балок без разреза размером 10x10x40 см снижение прочности составило 9 % по отношению к базовому изделию размером 4x4x16 см, а у подобных образцов с концентратором в среднем - 23%.

Построена экспериментальная зависимость М^'р(т}) несущей способности балок от размера концентратора и оценена степень расхождения эксперимента с технической теорией изгиба. Так теоретические максимальные изгибающие моменты , полученные на основании технической теории изгиба, значительно выше экспериментальных изгибающих моментов М<*> (рис. 6). Максимальное расхождение в несущей способно-

сти наблюдается при ц «ОД -0,2 и составляет для образцов 4x4x16 см -примерно 47%, для балок 10х 10x40 см - 54%.

Полученные результаты можно использовать для определения размера структурной ячейки материала. Основой соответствующей методики служит сопоставление теоретических и экспериментальных зависимостей для максимальных изгибающих моментов балок (рис. 6). Так искомое значение параметра 8 должно отвечать наибольшему «совпадению» теоретической функции с экспериментальной м1'"\г/). 30

Б"

а:

с! 3

32

£ а

N

>а

г

л

а

<3

27 24 21 18 15 12 9 6 3

М(иЦ> = 28,70-152,1г) +3%,0п2 -507,0п3 + 243,2ц 4

/ (силовой критерии прочности)

\\ч / |

\ МЦ11> = 28,70-175, Эп +532,8т|2 -741,9г]3 +369,2г)4

/ 'эксперимент)

» * / V

\ * \ » \ % ч N = 28,70 - 57,39г| + 28,70п2

' < техническая теория изгиЬа)

\ » \ ч * Ч Ч

(4=0,087; ^ *

* *■ * т

о

ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Относительная высота разреза, г|

0,8

Рис. 6. Зависимость прочности балок размером 4x4x16 см от величины концентратора при плоском поперечном изгибе

Оценка максимального «совмещения» этих зависимостей определяется количественно при помощи следующих критериев.

- Критерий минимальной разницы площадей, описываемой двумя кривыми в соответствующей системе координат

У = (16)

А

Здесь ЛА - разность площадей

М^п^^М'ГЫрГ!, (17)

А - площадь, определяемая экспериментальной кривой М'и''и(т]).

- Критерий наименьшего расхождения величин экспериментальных и теоретических максимальных моментов

£ = ^^<0,05. (18)

тах

Здесь \ЛМтвх\ - абсолютная разность максимального расхождения изгибающих моментов

I 09)

Мтах - максимальное значение изгибающего момента. Для количественных оценок кривые несущей способности балок можно представить, к примеру, в виде степенных функций ми,г =а0+ а<п + а27]2 + агцг + а3т]3 + «ад4 (рис. 6).

В результате «совмещения» кривых и определяется величина £ - относительного размера структурной ячейки материала. Значение 8 находится по формуле:

8 = 4-И. (20)

По такой схеме в работе определены величины 8 для балок размером 4x4x16 см и 10x10x40 см. При этом вид деформации - изгиб чистый или поперечный - играет меньшую роль по сравнению с масштабами объекта.

Для «малых» образцов имеем 5 = 3,45мм, для «крупных» 5 = 4,35мм. В среднем же, учитывая все результаты экспериментов, 8 = 3,9 мм.

Основным итогом третьей главы является то, что размер структурной ячейки материала может быть определён с помощью относительно простых «стандартных» испытаний. При этом ещё не исключаются некоторые упрощения соответствующих экспериментов и методики обработки результатов.

Четвёртая глава посвящена экспериментальному исследованию по определению прочности деформируемых систем с объёмными особенностями в напряжениях. Проанализированы возможности теоретического прогноза несущей способности таких объектов при использовании физико-механических характеристик материала, определённых в условиях линейного напряжённого состояния.

Экспериментально определены предел прочности материала на растяжение на сжатие сг'„с^}, коэффициент Пуассона V.

Для нахождения пределов прочности материала принята методика, регламентируемая ГОСТ 23789-79 «Вяжущие гипсовые. Методы испытания».

Согласно ей а^ определяется путём испытания балок размером 4x4x16 см на плоский поперечный изгиб, и вычисляется по формуле а - . При этом максимальное растягивающее напряжение действу-

ет в крайних нижних волокнах образца на сравнительно малой площадке по отношению к высоте балки. На остальном участке сечения напряжения линейно уменьшаются вплоть до нуля в нейтральном слое. Это приводит к завышению оценки прочности материала на разрыв. Поэтому, наряду с методикой ГОСТ, выполнены испытания образцов «восьмёрок» на осевое растяжение.

В итоге экспериментально показано, что «тестированная» прочность, определяемая в условиях изгиба (а^ =2,69МПа), существенно превышает предел прочности материала в условиях осевого растяжения. При испытании «восьмёрок» имеем =2,20МПа. В дальнейших расчётах в качестве базового принята прочность материала «восьмёрок».

В соответствии с ГОСТ гипса находится путем испытания половинок балок размером 4x4x16 см на сжатие через металлические пластины. При этом в ГОСТе не оговариваются условия контакта образца с пластинами.

Для оценки влияния сил трения на прочность материала изделия использованы разные условия контакта граней образца с поверхностью плит пресса. В результате экспериментов установлено, что несущая способность образцов увеличивается по мере возрастания сил сцепления контактирующих поверхностей. Так для случая опытов с прокладками из фторопласта в качестве аполучаем 5,94 МПа, при отсутствии прокладок <7<Г>= 6,64 МПа, при полной склейке пластины с образцом (г^1 = 6,72 МПа. Следовательно, имеет место рост величины оценки прочностной характеристики материала более чем на 13%. В дальнейших расчётах в качестве базового принято значение - а[[ж) = 5,94 МПа.

Проведены эксперименты по определению прочности системы «штамп-полупространство». Материал полупространства - гипс, штампов - сталь. Диаметр штампов - 15, 25, 50, 75, 100 мм. Описана методика подбора размеров и формы модели полупространства, а также процесс их изготовления и испытания.

Рассчитано необходимое количество испытаний системы. Так для каждого типоразмера штампа их число равно 16-ти. Коэффициент вариации давлений при разрушении материала полупространства не превышает 5%.

Результаты эксперимента по вдавливанию штампа в полупространство показывают снижение относительной прочности системы по мере увеличения размеров объекта (рис. 7).

Теоретическое напряжение при разрушении материала полупространства определяется:

^(сж)

- по первой теории прочности аг • ' < а[счж>, - ——;

«г

- по второй теории прочности -р?' pf> = —ff—.

ar '

расч

Подсчёт главных напряжений с учётом вычисленных коэффициентов концентрации элементарных усилий при экспериментально определённом значении у = 0,2 и 5 = 3,9мм выявил, что условие cr, -v(cr2 +сг3)>0 не выполняется. По этой причине, при определении расчётных напряжений, вместо коэффициента Пуассона у = 0,2 использовано отношение предела прочности гипса на растяжение к пределу прочности на сжатие. В этом случае J3 = а^/а[счж) = 0,37.

Для оценки характера изменения теоретической прочности системы в зависимости от размера структурной ячейки материала дополнительно вычислены значения предельных давлений под штампом при д = 3,45 мм и 8 = 4,35 мм. Результаты прогноза приведены на рисунке 7.

Наблюдается качественное совпадение характера функций ра(а) экспериментальных и теоретических. Факт превышения р0{эксп) над pf] на основной части диаграммы объясняется тем, что формулы, использованные при подсчёте напряжений под штампом, получены для случая отсутствия контактного трения между подошвой штампа и полупространством. На практике это недостижимо. Увеличение площади штампа приводит к возрастанию трения на границе контакта, а, следовательно, и к завышению оценки прочности материала. Однако, в любом случае, результат теорети-

21

ческого расчёта идёт в целом в запас прочности системы. Особенно это касается варианта расчётов по первой классической теории прочности.

12,0

3

| ё 10,0 — с

I

I 3 8'°

I4 §

| б,о

4,0

с" а,

Ег

3 ??

£ § §

2,0

1

< р<2>(6 = 4,35лш)

У

= 3,90 мм) р0 (эксперимент)

|

\\ \ .4

ч \ VI 5=3,45 мм)

Г >ч ' -Г —■

Л '(8 = 3 90 мм) 1««•. —- Я

| - к

10 20 30 40

Радиус штампа (г=а), мм

50

Рис. 7. Зависимость относительной прочности системы от размера штампа

Увеличение размера структурной ячейки материала приводит к возрастанию значений теоретических разрушающих напряжений материала полупространства. Так при 8 = 4,3 5 мм имеется более явное превышение р^ над р0(жсп) у штампов радиусом 7,5 мм и 12,5 мм.

Основным итогом четвёртой главы можно считать экспериментальное обоснование и подтверждение жизнеспособности силового критерия в форме Новожилова-Васильева для осуществления прогноза прочности систем с особенностями в напряжениях. Примечательным является то, что такой расчёт производится по привычной для предметов прочностного цикла методике с привлечением классических теорий прочности. Неоспоримое достоинство предложенного способа заключается в ясной физической сущности всех компонентов силового критерия, а также в чёткой ло-

гической последовательности проводимых операций по расчёту несущей

способности элементов конструкций с особенностями в напряжениях.

Основные выводы и результаты:

1. Анализ ситуации с оценкой прочности систем, имеющих особенности в напряжениях, показывает, что реальный теоретический прогноз при наличии объёмных особенностей с напряжениями любого знака вполне возможен на основании силового критерия прочности.

2. Ключевым понятием концепции силового критерия прочности является структурная ячейка материала, для определения размера которой необходима разработка некоторой «стандартной» методики.

3. В качестве таковой использовался подход, основанный на испытаниях образцов - балок с концентратором в условиях плоского поперечного и чистого изгиба. Размер структурной ячейки при этом определяется путём сопоставления теоретической оценки прочности и результатов эксперимента в условиях линейного напряжённого состояния.

4. Выполнен теоретический прогноз прочности системы «штамп-полупространство» на основании силового критерия с использованием первой и второй классических теорий прочности. В качестве материала полупространства использован гипс. Физико-механические характеристики последнего, в том числе и размер структурной ячейки, определены в условиях линейного напряжённого состояния.

5. Сопоставление теоретического прогноза прочности системы «штамп-полупространство» с результатами экспериментов подтвердили «работоспособность» силового критерия. При этом установлено, что использованная методика даёт прогноз, идущий в целом в запас прочности системы.

6. Достоинством предлагаемого критерия является возможность в теоретических расчётах систем с особенностями использовать любую классическую теорию прочности.

7. Выполненная работа подтверждает возможность создания «стандартной» методики определения размера структурной ячейки материала в условиях линейного напряжённого состояния с дальнейшим применением полученного размера в расчётах систем с объёмными особенностями.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах

1. Шулайкин А.Ю. Расчёт несущей способности элементов конструкций с особенностями в напряжениях при помощи силового критерия прочности // Научно-технический журнал «Вестник Ростовского университета путей сообщения», Ростов-на-Дону.: РГУПС, 2006. Вып. 4(24). С. 31-35.

2. Шулайкин А.Ю Оценка грузоподъёмности призматического стержня с концентратором, приводящим к особенности в напряжениях // "Шаг в будущее" Неделя науки 2006 г. Материалы научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых С-Пб.: ПГУПС. 2006. С. 82-86.

3. Шулайкин А.Ю. Определение прочностных характеристик материала // Известия Петербургского университета путей сообщения, СПб.: ПГУПС, 2006. Вып. 3(8). С 157-162.

4. Шулайкин А.Ю. Оценка влияния масштабного эффекта на прочность цементно-песчанного и гипсового материалов // "Шаг в будущее" Неделя науки 2005 г. Материалы научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых С-Пб.: ПГУПС. 2005. С. 80-83.

5. Шулайкин АЮ Экспериментальная оценка влияния концентраторов напряжений на прочность стандартных образцов // Сборник научных трудов III международной научно-технической конференции "Современные проблемы совершенствования и развития металлических, деревянный, пластмассовых конструкций в строительстве и на транспорте", Самара.: СамГАСУ, 2005. С. 346-350.

6. Шулайкин А.Ю. Влияние масштабного фактора на прочность элементов конструкций в условиях плоского поперечного изгиба // Всероссийская научно-техническая конференция "Наука-производство-технологии-экология": Сборник материалов- В 6 т. - Киров.: ВятГУ, 2005. Том 3. ФАМ, ИСФ. С. 281-284.

7. Шулайкин АЮ. Исследование снижения прочности материала при увеличении размера образцов // Труды научно-практической конференции «Транспорт-2005», Ростов-на-Дону.. РГУПС, 2005. С. 66-69.

8. Васильев В 3., Шулайкин А.Ю. Экспериментальное исследование влияния масштабного фактора на прочность хрупких материалов // Актуальные проблемы механики и машиностроения: материалы Международной научной конференции. А 43 -Алматы.. Издательство «ЭВЕРО», 2005. Том I. С. 144-148.

9. Шулайкин А.Ю. Подход Гриффитса и решение при помощи КИН проблемы сингулярности напряжений // Материалы научно-технической конференции, СПб.: ПГУПС, 2004. с 64.

Подписано к печати 27.02.07 г. Печл. - 1,5

Печать - ризография. Бумага для множит, апп. Формат 60x84 1\16

Тираж 100 экз._Заказ № ZQQ._

СР ПГУПС 190031, С-Петербург, Московский пр. 9

ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПРОЧНОСТЬ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ С ОСОБЕННОСТЯМИ В НАПРЯЖЕНИЯХ.

1.1. Классические задачи механики разрушения.

1.2. Задачи теории упругости, приводящие к особенностям в напряжениях.

1.2.1. Системы с особенностями в напряжениях любого знака.

1.2.2. Контактные задачи.

1.3. Прогноз прочности изделий с трещинами на базе концепции коэффициента интенсивности напряжений (КИН).

Проблема обеспечения надёжности и долговечности сооружений, работающих в сложных эксплуатационных условиях, неразрывно связана с достоверной оценкой напряженно-деформируемого состояния каждого элемента этой системы. По действующим напряжениям определяется несущая способность конкретного звена конструкции, следовательно, и прочность всего сооружения как единой системы, состоящей из взаимосопряжённых деталей.

Важным при этом является отыскание зон с концентрацией напряжений, правильная оценка уровня которых предопределяет корректность прогноза несущей способности и надёжности сооружения.

Наиболее сложным вопрос оценки прочности системы становится в том случае, когда аналитические решения механики твёрдого деформируемого тела выявляют особенности напряжённо-деформируемого состояния. При наличии зон с бесконечно большими напряжениями элементы конструкций должны разрушаться при сколь угодно малых, но конечных нагрузках. В реальности это, естественно, не происходит.

В настоящее время оценка прочности систем, в элементах которых на основании теоретических расчётов возникают особенности в напряжениях, выполняется в рамках механики разрушений. Прогноз сводится к рассмотрению объекта с трещиной, в устье которой реализуется поле растягивающих или сдвиговых деформаций. При этом для оценки прочности используется критерий, основанный на понятии коэффициента интенсивности напряжений (КИН).

Однако проблема прогноза прочности элементов конструкций не замыкается только на объектах с трещинами, работающих в условиях растяжения и сдвига. Существуют и другие виды концентраторов, приводящие к появлению пространственных особенностей в напряжениях. Например, штамп, вдавливаемый в полупространство. В подобных случаях применение концепции КИН к прогнозу прочности представляется, по крайней мере, проблематичным.

Поэтому, вопрос дальнейшей разработки и совершенствования физико-механических концепций, связанных с прогнозом прочности систем с особенностями напряжённо-деформированного состояния, является актуальным.

Целью работы является разработка практической методики оценки прочности упруго-деформируемых систем с особенностями в напряжениях при помощи силового критерия.

Для её достижения выполняется следующее.

1. Анализ решений задач механики твёрдого деформируемого тела, приводящих к появлению сингулярности в напряжениях.

2. Теоретические оценки прочности систем с особенностями при помощи силового критерия.

3. Построение методики экспериментального определения размера структурной ячейки материала.

4. Исследование несущей способности балок цельных и с концентратором в условиях плоского поперечного и чистого изгиба.

5. Определение размера структурной ячейки материала по результатам испытаний с реализацией линейного напряжённого состояния.

6. Прогноз прочности системы с объёмными особенностями в поле сжимающих напряжений при использовании найденного размера структурной ячейки.

7. Экспериментальная оценка прочности системы «круговой в плане штамп - упругое полупространство».

8. Сопоставление и анализ теоретических и экспериментальных данных.

Метод исследования - экспериментально-теоретический. Он включает в себя:

- использование известных аналитических решений задач теории упругости, выявляющих зоны с особенностями в напряжениях;

- прогноз прочности систем на базе силового критерия с использованием понятия коэффициента концентрации элементарных усилий, приходящихся на структурную ячейку материала;

- испытание систем с особенностями - «призматический стержень в условиях изгиба» и «круговой в плане штамп - упругое полупространство»;

- определение размера структурной ячейки материала, важнейшего физико-механического параметра в условиях применения силового критерия прочности;

- сопоставление и анализ результатов теоретического прогноза прочности рассмотренных систем с экспериментальными данными.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- представлен перспективный вариант методики определения размера структурной ячейки материала;

- определён способ прогноза прочности систем с особенностями в напряжениях при помощи силового критерия;

- экспериментально подтверждён тот факт, что силовой критерий прочности может быть использован для прогнозирования несущей способности элементов конструкций с инициированными в них концентраторами, наличие которых приводит к появлению особенностей в напряжениях;

- показано, что предлагаемая концепция позволяет прогнозировать прочность объекта с объёмными особенностями в напряжениях сжатия, на основании любой классической теории прочности.

Практическую ценность работы составляют:

- прогноз прочности упруго-деформируемых систем с особенностями в напряжениях при помощи силового критерия;

- экспериментальная методика определения размера структурной ячейки материала на основании относительно простых испытаний.

Достоверность полученных результатов определяется:

- привлечением в рамках теоретического анализа точных аналитических решений задач теории упругости;

- обоснованием силового критерия прочности основными положениями механики твёрдого деформируемого тела, ясной физической сущностью всех составляющих данного критерия;

- согласованием результатов теоретического прогноза прочности, полученных при использовании силового критерия, с экспериментальными данными испытания объектов с концентраторами, инициирующими особенности в напряжениях.

На защиту выносятся:

- вариант методики определения абсолютного размера структурной ячейки материала, важнейшего физико-механического параметра в условиях применения силового критерия прочности;

- результаты экспериментального исследования несущей способности моделей «призматический стержень в условиях изгиба» и «круговой в плане штамп - упругое полупространство»;

- оценка прочности систем с особенностями в напряжениях на основании силового критерия с учётом найденного размера структурной ячейки материала.

Основные результаты и выводы по работе можно сформулировать следующим образом:

1. Анализ ситуации с оценкой прочности систем, имеющих особенности в напряжениях, показывает, что реальный теоретический прогноз при наличии объёмных особенностей с напряжениями любого знака вполне возможен на основании силового критерия прочности.

2. Ключевым понятием концепции силового критерия прочности является структурная ячейка материала, для определения размера которой необходима разработка некоторой «стандартной» методики.

3. В качестве таковой использовался подход, основанный на испытаниях образцов - балок с концентратором в условиях плоского поперечного и чистого изгиба. Размер структурной ячейки при этом определяется путём сопоставления теоретического прогноза прочности и результатов эксперимента в условиях линейного напряжённого состояния.

4. Выполнен теоретический прогноз прочности системы «штамп-полупространство» на основании силового критерия с использованием первой и второй классических теорий прочности. В качестве материала полупространства использован гипс. Физико-механические характеристики последнего, в том числе и размер структурной ячейки, определены в условиях линейного напряжённого состояния.

5. Сопоставление теоретического прогноза прочности системы «штамп-полупространство» с результатами экспериментов подтвердили «работоспособность» силового критерия. При этом установлено, что использованная методика даёт прогноз, идущий в целом в запас прочности системы.

6. Достоинством предлагаемого критерия является возможность в теоретических расчётах систем с особенностями использовать любую классическую теорию прочности.

7. Выполненная работа подтверждает возможность создания «стандартной» методики определения размера структурной ячейки материала в условиях линейного напряжённого состояния с дальнейшим применением полученного размера в расчётах систем с объёмными особенностями.

Таким образом, в работе решена важная инженерно-техническая задача по построению прогноза прочности систем с особенностями в напряжениях при помощи силового критерия прочности в форме Новожилова-Васильева. Предложен перспективный вариант методики определения размера структурной ячейки материала, без точной величины которой невозможен расчёт прочности систем с сингулярностью в напряжениях на базе силового критерия. Экспериментально подтверждена работоспособность силового критерия прочности к прогнозу несущей способности систем с особенностями в напряжениях. Всё это отвечаёт поставленным в работе целям.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 2001. 560 с.

2. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении. // ПММ, № 4, 1961.

3. Васильев В.З. Осесимметричная деформация упругоизотропного цилиндра, составленного из двух частей, состыкованных торцами. // Механика стержневых систем и сплошных сред. Межвузовский математический сборник трудов. Л.: ЛИСИ, 1979, вып. 12. 5 12 с

4. Васильев В.З. Исследование концентрации напряжений в упругом изотропном массиве около торца цилиндрической выемки при осесиммет-ричном нагружении. // Механика стержневых систем и сплошных сред. Сб. науч. тр. Л.: ЛИСИ, вып.7, №113, 1975. 25-42 с.

5. Васильев В.З. Концентрация напряжений в полупространстве вблизи цилиндрического выступа при осесимметричном нагружении. // МТТ, №4, 1974. 46-58 с.

6. Васильев В.З. Пространственные задачи прикладной теории упругости. М.: Транспорт, 1993. 364 с.

7. Васильев В.З. Концентрация напряжений около торца полубесконечного кругового цилиндра при осесимметричном нагружении. Известия ВУЗов. Машиностроение, №12, 1972. 29-31 с.

8. Васильев В.З., Каптелин С.Ю. О физико-механической природе эффекта упрочнения материала нитевидных кристаллов и тонких нитей. // ПМТФ, т.4,1992. 135 141 с.

9. Васильев В. 3., Каптелин С. Ю. Об эффекте упрочнения материала нитевидных кристаллов и тонких нитей. // Сб. науч. статей "Исследования по строительной механике". Л.: ЛИИЖТ, 1988. 59-95 с.

10. Галин Л.А. Контактная задача теории упругости и вязкоупругости. М.: наука, 1980.

11. Галин Л.А. Пространственные контактные задачи теории упругости для штампов круговой формы в плане. // ПММ, т. 10, вып. 4, 1946.

12. Гриченко В.Т., Улитко А.Ф. О точном решении осесимметричной задачи теории упругости для круглой жесткозащемленной плиты. // Изв. АН Армянской ССР, т. 16, №5, 1963.51 -55 с.

13. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Смешанная осесимметричная задача теории упругости для цилиндра конечной длины. Сопртивление материалов и теория сооружений. // Межвузовский республиканский научно-технический сборник. Киев: Будевельник, вып. 15, 1971. 3 8 с.

14. Демидов С.П. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1979. 430 с.

15. Довнорович В.И. О некоторых контактных задачах, о жестком штампе с поверхностью вращения для упругого полупространства. // Ученые записки Белорусского Института Инженеров Железнодорожного Транспорта. Гомель, в.2, 1958. 6 18 с.

16. Довнорович В.И. Об одной осесимметричной контактной задаче о жестком штампе с поверхностью вращения для упругого полупространства. Ученые записки Белорусского Института Инженеров Железнодорожного Транспорта. Гомель, в.2, 1958. 19-30 с.

17. Ентов В.М. О роли структуры материалов в механике разрушения. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, №3,1976. 110 118 с.

18. Ионов В.Н., Селиванов В.В. Динамика разрушения деформируемого тела. М.: Машиностроение, 1987. 270 с.

19. Исаев Ю.Н. Напряженно-деформированное состояние бесконечной составной полосы. // Исследования по теоретическим основам расчета строительных конструкций. Межвузовский тематический сб. тр. Л.: ЛИСИ, 1983. 96-101 с.

20. Исаев Ю.Н. Исследование концентрации напряжений в зоне контакта разнородных материалов. // Вопросы механики строит, конструкций и материалов. Межвузовский тематический сб. тр. Л.: ЛИСИ, 1984. 33-39 с.

21. Кильчевский Н.А., Костюк Э.Н. О развитии в XX веке теории контактных взаимодействий между твердыми телами. // Прикл. мех., т.2, вып.8, 1966.

22. Колосов Г.В. Об одном приложении теории функции комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости. // Юрьев, тип. К. Маттисена, 1909. 169с.

23. Курдюмов А.А., Локшин А.З., и др. Строительная механика корабля и теория упругости. Л.: Судостроение, 1968.418 с.

24. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле. // Прикладная механика, т.5, №4, 1959. 391 -401 с.

25. Леонов М.Я. Элементы теории хрупкого разрушения. // ПМТФ, № 3, 1961.85-92 с.

26. Леонов М.Я. Общая задача о давлении кругового штампа на упругое полупространство. ПММ, т. 17, в. 1, 1953.

27. Лурье А.И. Концентрация напряжений в области отверстия на поверхности кругового цилиндра. ПММ, т. X, вып. 3, 1946.

28. Матвиенко Ю.Г. Модели и критерии механики разрушения. М.: Физмат-лит, 2006. 330 с.

29. Мельников В.П. Решение смешанной граничной задачи теории упругости для полого цилиндра конечной длины. // Прикладная механика, т. 16, № 11, 1980.21-27 с.

30. Морозов Е.М. Контактные задачи механики разрушения. М.: Машиностроение, 1999. 280 с.

31. Морозов Е.М. Концепция предела трещиностойкости. //заводская лаборатория,^" 12, 1997. 42-46 с.

32. Моссаковский В.И. Контактные задачи математической теории упругости. Киев: Наукова Думка, 1985.

33. Мусхелишвили И.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Изв. АН СССР, 1954.

34. Нейбер Г. Концентрация напряжений. Пер. с нем. Гостехиздат, 1947.

35. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958.

36. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности. // ПММ, т. 33, вып. 2, 1969. 212-222 с.

37. Новожилов В. В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах. // ПММ, т. 33, вып. 5, 1969. 797 812 с.

38. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. М.: Наука, 1985. 502 с.

39. Пестриков В.М., Морозов Е.М. Механика разрушения твёрдых тел. СПб.: Профессия, 2002. 300 с.

40. Плювинаж Г. Механика упругопластического разрушения. М.: Мир, 1993. 450 с.

41. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968.

42. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1987. 430с.

43. Седов Л.И. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы. ПММ, т. 32, вып. 5, 1968.

44. Снеддон И.Н. Преобразования Фурье. М., 1955.

45. Степнов М.Н., Шаврин А.В. Статистические методы обработки результатов механических испытаний. Справочник. М.: Машиностроение, 2005. 396 с.

46. Чаплыгин С.А. Давление жесткого штампа на упругое основание. Собр. соч., т.З, 1950.

47. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

48. Черепанов Г.П. О прочности композитов. ПМТФ, № 2. 1967.

49. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. Гостехиздат, 1949.

50. Boussinesque J. Applications des potentiels a l'etude de l'equilibre et du mouvement des solides elastiques, 1885.

51. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits. J. Mech. and Phys. Solids, v. 8, № 2, 1960. 100-104 pp.

52. Flamant M. Sur la repartition des pressions dans un solide rectangulaire charge transversalement. // Compt. Rend. Bd.l 14, 1892. 1465 -1468 ss.

53. Griffith A.A. The phenomena of rupture and flow in solids. // Phil. Trans. Roy. Soc., ser. A, v. 221, 1920. 163- 198 pp.

54. Inglis C.E. Stresses in plate due to the presence of cracks and sharp corners. // London: Trans. Inst. Naval Archit, v.60, 1913. 219 230 pp.

55. Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. //J. Appl. Mech., v.24, № 3, 1957. 361 364 pp.

56. Melan E. Der spanungszustands der durch eine Einzerkraft in inner bean-spruchten Halbscheibe. ZAAM, № 12, 1932. 343 346 ss.

57. Michell J.H. The version of plane stress. // Proc. London. Math. Sos, v.34 1902. 134- 142 pp.

58. Orowan E.O. Fracture and strength of solids metals. // Repts. progr. in phys, № 12,1948. 185-232 pp.

59. Sadowsky M. Stress concentration caused by multiple punches and cracks. J. Appl. Mech., v. 23, № 1. 1956.

60. Stevenson A.C. Some boundary problems of two dimensional elasticity. Phi-los. Mech., 1943.766-793 pp.

61. Westergaard H.M. Bearing pressures and crack. // J. Appl. Mech, v. 6, № 2, 1939. A49-A53 pp.