автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Осесимметричная деформация полупространства с вертикальным цилиндрическим включением

На правах рукописи

ИЛЮНИН Василий Анатольевич

ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ВЕРТИКАЛЬНЫМ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ

Специальность: 05. 23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2006

ч

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении

высшего профессионального образования «Петербургский государственный университет путей сообщения»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор

ВАСИЛЬЕВ ВИТАЛИЙ ЗАХАРОВИЧ

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор ИЛЬИН ВЛАДИМИР ПЕТРОВИЧ кандидат технических наук ПЕТРОВ ВАДИМ АЛЕКСАНДРОВИЧ

Ведущая организация - ОАО «Дорожный проектно - изыскательный институт».

Защита состоится « 15 » июня 2006 г. в 1330 часов на заседании диссертационного совета Д 218.008.01 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Петербургский государственный университет путей сообщения» по адресу: 190031, г. С-Петербург, Московский пр., д.9, ауд. 3-237.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГУПС.

Автореферат разослан « 15 » мая 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

д.т.н., профессор

¿Шн1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. При строительстве и реконструкции зданий, сооружений, при установке высотных башен, линий контактной сети используются анкерные крепления, столбчатые и свайные фундаменты. В случае расчета конкретной конструкции типа сваи или анкера возникает необходимость исследования напряженно-деформируемого состояния системы "стержень, закрепленный в массиве материала и загруженный по торцу осевой нагрузкой".

Вопрос прочности, грузоподъемности анкера, выдергиваемого из бетона, является частным случаем общей теории прочности железобетонных призматических элементов. Главным фактором в соответствующих расчетах является та или иная теория сцепления, основанная на эмпирической характеристике контакта. Последняя выражает связь между взаимными смещениями арматуры, бетона и контактными касательными напряжениями. В этом направлении известны работы Карпенко Н. И., Юферова В. О., Гвоздева А. А., Холмянского М. М. и др.

Аналогичная ситуация в механике грунтов. Несущая способность висячей сваи во многом зависит от расчетного сопротивления, действующего по контакту включения с массивом, и определяется чисто эмпирически. В этом плане показательны работы Далматова Б.И., Снит-ко Н.К., Цытовича Н.А.

Анализ публикаций вышеприведенных ученых и других специалистов в области железобетона и механики грунтов указывает на то, что чисто теоретического решения для задачи о пространственной деформации и прочности системы "полупространство - включение" в настоящее время нет. На практике подобные задачи решаются экспериментально

1 РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ

БИБЛИОТЕКА С.-Петербург

ОЭ ткк*Ч£Ъ

или на базе современных расчетных комплексов, ориентированных на численные методы. Однако такие подходы не улавливают в должной мере локальные эффекты, которые обычно возникают в контактных задачах и могут приводить к особенностям в напряжениях.

Поэтому в диссертации поставлена и решена задача о пространственной осесимметричной деформации упругоизотропного полупространства с вертикальным цилиндрическим включением, торец которого находится под воздействием осевой нагрузки. Точного аналитического решения такой задачи до настояхцего времени в теории упругости нет.

Теоретическую основу выполненных в диссертации исследований составляют:

■ классическое общее решение осесимметричной задачи теории упругости в форме К. В. Соляника - Красса;

• решения осесимметричных задач для цилиндра, полупространства и слоя с вырезом, представленные в монографиях и статьях В.З. Васильева;

■ решение о деформации цельного однородного полупространства в форме Терезава К.

Пель работы. Целью диссертационной работы является построение аналитического решения осесимметричной задачи для упругоизотропного полупространства с вертикальным цилиндрическим включением, испытывающим осевую нагрузку по торцу. Анализ разрешающих уравнений на регулярность. Разработка программ численной реализации задачи. Исследование напряженно-деформированного состояния исследуемого объекта в целом и в зонах с особенностями в напряжениях. Оп-

ределение величины осадок дневной поверхности и характера их изменения.

Научную новизну работы составляют:

• аналитическое решение задачи для полупространства с вертикальным цилиндрическим включением, торец которого находится под воздействием произвольной осевой нагрузки;

• совокупность регулярных разрешающих уравнений для системы "полупространство - включение";

• алгоритм численной реализации аналитического решения для однородного полупространства с цилиндрическим включением;

• численные результаты и выводы, способствующие более эффективному прогнозу прочности составных объектов.

Достоверность подученных результатов предопределяется применением классических аналитических методов математической теории упругости, точным выполнением граничных условий, анализом регулярности систем разрешающих уравнений, совпадением получаемых результатов с ранее известными решениями для цельного полупространства.

Практическую ценность работы определяют:

• аналитическое решение задачи для полупространства с цилиндрическим включением, торец которого находится под воздействием произвольной осевой нагрузки;

• программа численной реализации решения для однородного полупространства с жестким вертикальным цилиндрическим включением;

• численные результаты, определяющие основу прогноза прочно-

ста исследуемых объектов, а также характер изменения напряженно -деформированного состояния системы " полупространство - включение".

На защиту выносится:

1. Аналитическое решение пространственной осесимметричной задачи для однородного полупространства с вертикальным цилиндрическим включением, торец которого находится под воздействием произвольной осевой нагрузки.

2. Построение регулярных разрешающих уравнений, обеспечивающих возможность применения метода последовательных приближений в рамках сходимости процесса.

3. Результаты и анализ численного исследования напряженно-деформируемого состояния полупространства с включением.

4. Обоснование применимости силового критерия для прогноза прочности системы "полупространство - включение" в связи с появлением особенностей в напряжениях.

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих научных семинарах и конференциях.

■ Неделя науки «Шаг в будущее» ПГУПС, С-Пб. 2003 - 2005 г.; научные семинары кафедры "Прочность материалов и конструкций" ПГУПС, С-Пб. 2003 - 2006 г.

■ VI Международная конференция «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте, ПГУПС, С-Пб. 2004 г.

■ Международная научно-практическая конференция «Геомеханика. Механика подземных сооружений», ТулГУ, Тула 2004 г.

■ Всероссийская научно-техническая конференция «Наука - производство - технологии - экология», ВятГУ, Киров 2005 г.

■ V Российская конференция с международным участием " Смешанные задачи механики деформируемого тела Сарат. ун-т, Саратов 2005 г.

■ Международная научно-техническая конференция "Достижения науки в области строительной механики и инженерных сооружений", Алматы 2005 г.

По материалам диссертации опубликовано одиннадцать печатных работ.

Объем и структура диссертадии . Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и литературы; содержит 99 страниц текста, включая 18 рисунков и таблицы. Библиография содержит 69 наименований из них 14 на иностранном языке.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована и сформулирована тема исследования и показана еб актуальность.

Первая глава посвящена описанию типов общих решений, классификации задач и анализу различных постановок и решений.

В частности, в диссертации приводится классификация задач по характеру соответствующего аналитического решения. Выделены три класса:

■ замкнутые решения, в которых напряжения и перемещения определяются явно в элементарной форме, в рядах и интегралах; классический пример - задача Ламе;

■ решения, сводимые к одному операторному уравнению; например,

первая основная задача для полупространства с выработкой;

■ решения, приводящие к совокупности двух и более операторных уравнений; к этому классу относятся контактные задачи и задачи для объектов усложненной конфигурации.

По каждому типу задач и решений выполнено подробное библиографическое исследование. Показано, что решаемая в диссертации задача относится к наиболее сложному, третьему классу краевых задач теории упругости.

В этой же главе затрагивается проблема оценки прочности систем, в которых появляются области с особенностями в напряжениях. При этом материал в этих зонах должен разрушаться при любых малых, но конечных нагрузках. Прогноз прочности в таких случаях сводится к рассмотрению объекта с трещиной, с использованием коэффициента интенсивности напряжений.

При действии сжимающих силовых воздействиях проблема образования трещин как бы снимается сама собой. Но ситуация значительно сложнее.

Так, например, в работе В. 3. Васильева о вдавливании в упругое полупространство абсолютно жесткого кругового в плане штампа, показано наличие зон с особенностями в напряжениях. Причем в явном виде получены выражения для трех главных напряжений с особенностями. В таких случаях объемных особенностей в полях напряжений любого знака целесообразно для прогноза прочности использовать силовой критерий Новожилова-Васильева. Он предусматривает переход от концентрации напряжений к концентрации элементарных усилий. Показано, что этот критерий вполне применим в рассматриваемом решении.

Вторая глава посвящена решению пространственной осесиммет-ричной задачи теории упругости для полупространства с цилиндрическим включением, испытывающем на торце осевую нагррузку (рис. 1).

Граничные условия задачи выглядят так:

аг = р{г), тп=0 при z - О, 0 й г < оо; р(г), при 0 < г < <з;

О, при а < г < оо.

Грузовая функция р(г), определяющая характер нагружения торца включения, произвольна при одном ограничении - выполнение условий Дирихле.

р{г) =

(1)

Рис. 1 Расчетная схема для полупространства с включением В решении задачи (1) требуется обеспечить условие ал —» 0 при г, 2 —> оо. По этой причине на первом этапе необходимо выделить напряженно - деформированное состояние цельного однородного полупространства с нагрузкой по дневной поверхности, определяемой задан-

ной функцией р(г).

После этого рассматриваемый массив разделяется на два составляющих тела, для каждого из которых решается первая основная задача.

Решение задачи для цельного однородного полупространства известно и достигается в замкнутом виде с помощью интегрального преобразования Ханкеля. Обычно его называют решением Терезава. При этом напряжения и перемещения определяются формулами вида:

да со

о-2 = I р*(г)(1 + = I Р*(у)^е~гг^{уг)7^Г,

о о

(2)

= ^ + 2(1-1/)

Здесь р*(у)- трансформанта, определяемая при помощи интегрального преобразования Ханкеля:

СО

р*(Г)=1 р(г)У0(?г)гЖ. о

Первая основная задача для полубесконечного цилиндра имеет граничные условия:

<тг = = О при г = О, 0 <, г < а,

(3)

аг = Дг\та = g(z) при г = а, 0 £ г < оо.

Здесь введены неизвестные функции определяющие

контактные напряжения на цилиндрической поверхности.

Выполнение условий (3) с использованием представления некоторых функций в рядах Фурье-Бесселя и в интегралах позволяет свести решение к совокупности двух интегро - сумматорных уравнений:

вк{Х)С°кук<ий(ука)+\ (4)

Здесь: Ск, А0 (Л) - неизвестные коэффициенты и функции;

■ ук - дискретный параметр, спектр изменения которого определяется условием ^ (}а) = 0;

■ Л - параметр с плавным спектром изменения от 0 ДО со.

■ ёМ\Ш) " интегральные косинус - и синус-трансформанты от неизвестных f(z),g(z);

■ вк(Л) - интегральная синус-трансформанта от е~г'г ;

Первая основная задача для полупространства с выработкой определяется такими граничными условиями:

Выполнение этих условий после серии преобразований позволяет свести решение к такой совокупности интегральных уравнений:

(Л), Ек (Л), Е, (Ла) - известные функции.

сг2 = 0,= 0 при 2 = 0, айг<,сс; сгг = /(.г),тп = g(z) при г = а, 0<г<,сс.

(5)

1&(Л)Г2(Ла) = —*1С°(г)

а

1

С°(у)= ¡Е2Л(г,Я)В°(Я)ЯС

о

ап о

г<я

Здесь: С0 (у), В0 (Л) - неизвестные функции;

■ Я) - интегральная синус трансформанта от е'1*;

■ Е2л(А,у),К1л(Л,у),Р2(Ла) - известные функции.

В четырех уравнениях (4) и (6) фигурирует 6 неизвестных:

С\,А\Х), С°00,Я°(ЯШЯШЯ). Недостающие уравнения полу-

чаются при выполнении условий совместности перемещений точек цилиндра и полупространства по контактной поверхности (г = а):

лупространства, определяемые решением Терезава; они не совпадают за счет различия упругих постоянных массива и включения;

и](г),иуи(г), перемещения, определяемые реше-

ниями задач (3) и (5).

В итоге выполнение условий (7) дает еще два уравнения:

(7)

где: - перемещения точек цилиндра и по-

_1_ 2ц,

2ци 2цг 2цгЛ

2/л, 2ц1 *=1

Л/, (Ад) (Л) + 10 (Ла)

2М,

Л1х(Ла)

= ~ т'-!1 ~ 2уг У (Г,Я) + с(г,Ф°(г)1Г0(у,а)с1у-

2 Мп 2 Ни 0 1

2 Ма

Мг(Ла)В\Л) + КАЛа)

. W ЛК^Ла) 0

В выражениях: Ф0'^(Я),Ф0д(А)- интегральные синус-трансформанты радиальных перемещений, определяемых решением Те-резава, соответственно для цилиндра и полупространства с выработкой;

■ Ч'о^АХЧ'и" (А)- интегральные косинус-трансформанты вертикальных перемещений, определяемых решением Терезава;

■ в^ (Л) - интегральная косинус-трансформанта от е~ г**;

" с\ С^) " интегральная косинус-трансформанта от

■ М2 (Ла) - известная функция.

Таким образом, получена система из б уравнений, достаточная для определения 6-ти неизвестных. Она допускает анализ любых вариантов соотношения и значений упругих постоянных двух материалов. При этом в некоторых случаях возможны упрощения, существенно снижающие трудоемкость численной реализации.

В случае равенства у и // для включения и полупространства по-

лученные уравнения выполняются тождественно и результат сводится к решению Терезава.

В третьей главе рассмотрены два частных случая соотношения упругих постоянных материала включения и полупространства:

■ "относительно жесткое" включение, когда:

£ = //„///,« 1;

■ "относительно податливое" включение, когда:

£ = //„///;» 1.

В первом случае, при V, = У2 = V и £ -» 0, можно чисто формально из системы 6-ти уравнений (4), (6), (7) выделить совокупность трех уравнений относительно неизвестных С0 (у), В0 (Л), (Л). Одно из

этих уравнений - чисто алгебраическое.

Окончательно решение сводится к системе двух операторных уравнений:

С°(г) = 1&(Л) ■ ех{Л,у)<1{Ла) + а,(у);

о ^

&(Л) = / с0 (г) ■ вг (А,г)аоа)+а2(Л).

о

Где ge = gc (Я) • а - новая неизвестная.

Выражения для ядер вх (Л, у), вг (Я, у) - алгебраические функции, а свободные члены а1(у),а2(Л) определяются несобственными интегралами.

Для системы (9) строго аналитически показано, что для любых значений коэффициента Пуассона в интервале [0 + 0.5] выполняются условия:

Ф)=1\ Я,г) КЛл)<1 при 0 < г < °о;

°=о 00)

е2(Л)= /| 62(Л,у) \*(уа)< 1 при0 < Я < оо.

о

При этом также показана ограниченность свободных членов системы (9) при любых значения Яку. Тем самым доказана регулярность полученной совокупности операторных уравнений. Это говорит о том, что данную систему можно решать методом последовательных приближений при сходимости процесса.

Для варианта относительно податливого включения, при V, = у2 = V , £ -» оо, как и в первом случае, решение сводится к совокупности трех интегро-сумматорных уравнений относительно неизвестных , А° (Я), ¿с (Я). В связи с тем, что одно из этих уравнений - алгебраическое, получается система вида:

0 « (11)

к=1

Для обеспечения регулярности совокупности разрешающих уравнений здесь введены новые неизвестные при помощи соотношений:

Ве (Я) = а ■ gc (Я); С,' = 0,5 • а • ука ■ 70 (Гка) ■ С°к.

Коэффициенты

(Я) и ядра системы вк\Л), в{к\Л), как и в случае относительно жесткого включения, определяются или алгебраическими соотношениями, или несобственными интегралами.

Условие регулярности для системы (11) имеет вид:

£<" = ]| в]к(Л) У(Аа) < 1 при0 < к < оо;

0 . (12) £т(Л) = в™ (Л) | < 1 при 0 < Л < оо.

Чисто аналитически и в данном случае доказано выполнение этих условий и ограниченность свободных членов. При анализе на регулярность коэффициент Пуассона варьировался в пределах [0 + 0.5]. Кроме того, получены численные оценки, показывающие выполнение условий (10) и (12) со значительным запасом по сравнению с аналитикой.

В четвертой главе выполнена численная разработка задачи в случае относительно жесткого включения на базе составленной автором программы.

Полученные значения (Т1к, и и V/ складываются из двух частей. Одна из них - решение Терезава для варианта нагрузки, неуравновешенной вдоль оси 1. Вторая - контактная задача для составного массива с нулевой внешней нагрузкой по оси г.

Для составляющих тензора напряжений и вектора полного перемещения в работе представлены графики их распределения на границе контакта полупространства с включением, при изменении коэффициента Пуассона в диапазоне [0 -ь 0.5]; исследовано влияния величины радиальной координаты на характер распределения напряжений и перемещений в полупространстве.

Показано, что все компоненты тензора напряжений при г а и г —> 0 бесконечно возрастают, т.е. имеет место объемная особенность в напряжениях. Условие (1) выполняется точно. Показательными в плане анализа напряженно - деформированного состояния рассматриваемой системы являются графики изменения напряжений по глубине на контактной поверхности для случая, когда V = 0.2. На уровне г /а = 1.5 контактные касательные напряжения обращаются в ноль, т.е. по глубине меняют знак. Вместе с тем значения остальных компонентов тензора на-

пряжений сг2,<т^ и <7Г в этих точках значительны.

Установлено, что осадка дневной поверхности полупространства с включением существенно зависит от величины коэффициента Пуассона. С его ростом осадки дневной поверхности уменьшаются. В отличие от задачи для цельного полупространства кривая изменения вертикальных осадок дневной поверхности имеет знакопеременный характер. Кроме того, максимальные осадки дневной поверхности массива, подкрепленного включением, практически на порядок меньше осадок цельного полупространства, без включения. Соответствующие графики при р0 < О представлены на рис. 2.

В ходе решения пространственной контактной задачи для полупространства с включением получено несколько весьма специфических результатов. Они позволяют точнее оценивать несущую способность исследуемого объекта.

Для прогноза прочности системы с объемными особенностями в напряжениях в диссертации предлагается использовать силовой критерий прочности в форме Новожилова - Васильева.

Подробно, на примере контактных касательных напряжений, излагается методика перехода от напряжений к элементарным усилиям. Последние приходятся на структурную ячейку размером 5 и при конечных нагрузках всегда являются конечными.

Использование понятия коэффициента концентрации элементарных усилий позволяет при оценке прочности использовать любую классическую теорию прочности.

Рис.2 Осадка дневной поверхности 2рм1арй при у = 0,2

Основные выводы и результаты:

1. Выполнено точное аналитическое решение пространственной осе-симметричной задачи для упругоизотропного полупространства с вертикальным цилиндрическим включением, торец которого находится под воздействием осевой нагрузки.

2. Полученная совокупность шести разрешающих операторных уравнений допускает возможность анализа широкого спектра практически важных задач, определяемых соотношением упругих постоянных материалов включения и полупространства.

3. Отдельно исследован случай относительно жесткого включения. Аналитически доказана регулярность системы разрешающих уравнений в диапазоне изменения коэффициента Пуассона от 0 до 0,5 и, соответственно, возможность реализации метода последовательных приближений в рамках сходимости процесса. Получены численные оценки, показывающие, что условия регулярности выполняются со значительным запасом по сравнению с аналитикой.

4. Для другого частного варианта, относительно податливого включения, также показано выполнение условия Липшица для соответствующих систем разрешающих уравнений.

5. Регулярность построенных систем операторных уравнений позволяет уже на уровне начальных приближений выявить специфику напряженно-деформированного состояния и установить факт появления особенностей в напряжениях.

6. В случае контактной задачи для составного полупространства с цилиндрическим включением объемная особенность имеет место в точках контакта включения с полупространством на уровне дневной по-

верхности.

7. Реально прогнозировать прочность системы "полупространство - включение" в условиях объемных особенностей в напряжениях любого знака можно на базе силового критерия прочности, основанного на понятии структурной ячейки материала и коэффициента концентрации элементарных усилий.

8. Выполненные расчеты подтверждают факт существенного влияния величины коэффициента Пуассона на общий характер напряженного состояния, на величину распределения по глубине контактных напряжений и на осадку дневной поверхности полупространства.

9. Расчет напряжений и перемещений в конкретных случаях подтверждает быструю сходимость метода последовательных приближений. При подсчете осадок дневной поверхности вполне достаточно 5-ти приближений.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих

работах;

1. Илюнин В.А. Аналитическое решение пространственных задач теории упругости для слоистых объектов с ослаблениями // Сборник статей на неделе науки ПГУПС. С-Пб 2003 с. 45-46.

2. Илюнин В.А. Решение пространственных осесимметричных задач теории упругости с ослаблениями, состояние вопроса, перспективы // "Шаг в будущее" Неделя науки 2003г. Межвузовская научно-техническая конференция. ПГУПС. С-Пб 2003 с. 32-33.

3. Илюнин В.А. Исследование напряжений и осадок в полупространстве, ослабленном вертикальной цилиндрической выемкой // Сборник статей VI Международной конференции. С-Пб 2004 с. 119-120.

4. Илюнин В.А. Работа системы полупространство - анкер // «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» С-Пб 2004 с. 54-59.

5. Илюнин В.А. Сопротивление анкера, выдергиваемого из упругодефор-мированного полупространства // «Шаг в будущее» Межвузовская научно-техническая конференция. ПГУПС. С-Пб 2004 с. 43-44.

6. Васильев В.З., Илюнин В.А. Оценка грузоподъемности составной упруго - деформируемой системы "сплошной полубесконечный цилиндр -полупространство" при вдавливании или выдергивании включения // Изв. ТулГУ. Серия. Геомеханика. Механика подземных сооружений. Вып.2. -Тула: Изд-во ТулГУ, 2004 с.67-69.

7. Илюнин В.А. Анализ напряженно-деформируемого состояния для полупространства с цилиндрическим включением, загруженным по торцу // Всероссийская научно-техническая конференция «Наука - производство - технологии - экология»: Сборник материалов: В 6т.- Киров: Изд-во ВятГУ, Том 3. ФАМ, ИСФ. 2005 с. 197-199.

8. Илюнин В.А. Контактная задача для однородного полупространства с упруго-деформируемым цилиндрическим включением // Известия Петербургского университета путей сообщения. - СПб.: Петербургский гос. ун-т путей сообщения, 2005. - Вып.1. - с. 128-133.

9. Васильев В.З., Илюнин В.А. Решение пространственной осесимметрич-ной задачи для однородного полупространства нагруженного произвольной нагрузкой // «Шаг в будущее» Межвузовская научно-техническая конференция. ПГУПС. С-Пб 2005 с.56-58.

10. Васильев В.З., Илюнин В.А. Осесимметричная задача для полупространства с цилиндрическим включением // Смешанные задачи механики деформируемого тела: Тез. докл. V Рос. конф. С междунар. участием /

Под ред. акад. Н.Ф. Морозова,- Саратов: Изд-во Сарат.Сарант. ун-та, 2005. с.33-35.

П.Илюнин В.А. Аналитическое решение пространственной осесиммет-ричной задачи теории упругости для полупространства с включением, воспринимающим осевую нагрузку И Достижения науки в области строи- *

тельной механики и инженерных сооружений: Том 2. //Материалы международной научно-технической конференции, г.Алматы 2005 г.// - Ал>

маты, 2005-285 с.

♦

Подписано к печати 11.05.06г. Печ.л. - 1,25

Печать - ризография. Бумага для множит, апп. Формат 60x84 1\16

Тираж 100 экз. Заказ № 57 £_

СР ПГУПС 190031, С-Петербург, Московский пр! 9

»11303

s

»

»

ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.:.

1.1 Классификация задач.

1.1.1 По форме возможного решения.

1.1.2 По виду граничных условий.

1.2 Общие решения пространственных задач.

1.3 Обзор существующих решений по типу разрешающих уравнений.

1.3.1 Замкнутые решения.

1.3.2 Решения, сводимые к одному операторному уравнению.

1.3.3 Решения, сводимые к совокупности операторных уравнений.

1.4 Задачи с особенностями в напряжениях.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ.

2. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ВКЛЮЧЕНИЕМ.

2.1 Постановка и общая схема решения.

2.2 Деформация однородного полупространства.

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Компоненты тензора напряжений и вектора полного перемещения.

2.3 Построение решения для полупространства с включением.

2.3.1 Граничные условия.

2.3.2 Получение аналитических решений для составляющих тел.

2.4 Выполнение условий совместности деформаций. Построение и анализ системы разрешающих уравнений.

2.4.1 Условия совместности деформаций по цилиндрической поверхности

2.4.2 Построение совокупности разрешающих уравнений.

При строительстве и реконструкции зданий, сооружений, при установке высотных башен, линий контактной сети используются анкерные крепления, столбчатые и свайные фундаменты. В случае расчета конкретной конструкции типа сваи или анкера возникает необходимость исследования напряженно-деформируемого состояния системы "стержень, закрепленный в массиве материала, породы и загруженный по торцу осевой нагрузкой".

Вопрос прочности, грузоподъемности анкера, выдергиваемого из бетона, является частным случаем общей теории прочности железобетонных призматических элементов. Главным фактором в соответствующих расчетах является та или иная теория сцепления, основанная на эмпирической характеристике контакта. Последняя выражает связь между взаимными смещениями арматуры, бетона и контактными касательными напряжениями. В этом направлении известны работы Карпенко Н. И., Юферова В. О., Гвоздева А. А., Холмянского М. М. и др.

Аналогичная ситуация в механике грунтов. Несущая способность сваи во многом зависит от расчетного сопротивления, действующего по контакту включения с массивом, и она, обычно определяется чисто эмпирически. В этом плане показательны работы Далматова Б.И., Снитко Н.К., Цытовича Н.А.

На практике подобные задачи решаются на базе современных расчетных комплексов, ориентированных на численные методы. При этом, как не парадоксально, роль точных аналитических решений, позволяющих улавливать самые тонкие локальные эффекты в задачах с особенностями в напряжениях, не только не снизилась, а наоборот резко возросла.

Ввиду сложности происходящих на участке сцепления явлений приходится при аналитическом исследовании значительно упрощать расчетную схему, а также ограничиваться рассмотрением какой-либо одной стадии напряженного состояния.

В этой связи в диссертации получено решение модельной задачи теории упругости для полупространства с вертикальным цилиндрическим включением, испытывающем осевую нагрузку.

Следует отметить, что наиболее близкие к рассмотренной задаче аналитические решения принадлежат В.З.Васильеву - для полупространства, ослабленного бесконечно глубокой цилиндрической выработкой, К. Терезава - задача для однородного полупространства, нагруженного на дневной поверхности равномерно-распределенной нагрузкой.

Целью диссертационной работы является построение аналитического решения осесимметричной задачи для упругоизотропного полупространства с вертикальным цилиндрическим включением, испытывающим осевую нагрузку по торцу. Анализ разрешающих уравнений на регулярность. Разработка программ численной реализации задачи. Исследование напряженно-деформированного состояния исследуемого объекта в целом и в зонах с особенностями в напряжениях. Определение величины осадок дневной поверхности и характера их изменения.

Научную новизну работы составляют:

• построение нового аналитического решения в задаче для однородного полупространства с вертикальным цилиндрическим включением, торец которого находится под воздействием осевой нагрузки.;

• совокупность разрешающих уравнений для системы "полупространство -включение" и их исследование на регулярность;

• алгоритм численной реализации аналитического решения для однородного полупространства с цилиндрическим включением;

• численные результаты и выводы, способствующие более эффективному прогнозу прочности составных объектов.

Достоверность полученных результатов предопределяется применением классических аналитических методов математической теории упругости, точным выполнением граничных условий, анализом регулярности систем разрешающих уравнений, совпадением получаемых результатов с ранее известными решениями для цельного полупространства.

На защиту выносятся

1. Аналитическое решение пространственной осесимметричной задачи для однородного полупространства с вертикальным цилиндрическим включением, торец которого находится под воздействием произвольной осевой нагрузки.

2. Построение регулярных разрешающих уравнений, обеспечивающих возможность применения метода последовательных приближений в рамках сходимости процесса.

3. Результаты и анализ численного исследования напряженно-деформируемого состояния полупространства с включением.

4. Обоснование применимости силового критерия для прогноза прочности системы "полупространство - включение" в связи с появлением особенностей в напряжениях.

Основные выводы и результаты по работе могут быть сформулированы следующим образом:

1. Выполнено точное аналитическое решение пространственной осесимметрич-ной задачи для упругоизотропного полупространства с вертикальным цилиндрическим включением, торец которого находится под воздействием осевой нагрузки.

2. Полученная совокупность шести разрешающих операторных уравнений допускает возможность анализа широкого спектра практически важных задач, определяемых соотношением упругих постоянных материалов включения и полупространства.

3. Отдельно исследован случай жесткого включения. Аналитически доказана регулярность системы разрешающих уравнений в диапазоне изменения коэффициента Пуассона от 0 до 0,5 и, соответственно, возможность реализации метода последовательных приближений в рамках сходимости процесса. Получены численные оценки, показывающие, что условия регулярности выполняются со значительным запасом по сравнению с аналитикой.

4. Для другого частного варианта, относительно податливого включения, также показано выполнение условия Липшица для соответствующих систем разрешающих уравнений.

5. Регулярность построенных систем операторных уравнений позволяет уже на уровне начальных приближений выявить специфику напряженно-деформированного состояния и установить факт появления особенностей в напряжениях.

6. В случае контактной задачи для составного полупространства с цилиндрическим включением объемная особенность имеет место в точках контакта включения с полупространством на уровне дневной поверхности.

Реально прогнозировать прочность системы "полупространство — включение" в условиях объемных особенностей в напряжениях любого знака можно на базе силового критерия прочности, основанного на понятии структурной ячейки материала и коэффициента концентрации элементарных усилий. Выполненные расчеты подтверждают факт существенного влияния величины коэффициента Пуассона на общий характер напряженного состояния, на величину распределения по глубине контактных напряжений и на осадку дневной поверхности полупространства.

Расчет напряжений и перемещений в конкретных случаях подтверждает быструю сходимость метода последовательных приближений. При подсчете осадок дневной поверхности вполне достаточно 5-ти приближений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Агуф Е.И., Васильев В.З. Первая основная задача для слоя с круговым отверстием. НТТ, 1980, №4, С. 68-77.

2. Александров А. Я. Некоторые зависимости между решениями плоской и осесимметричной задач и решение осесимметричных задач при помощи аналитических функций. ДАН СССР, 1959, т. 129, №4.

3. Александров А. Я. О некоторых методах численного решения пространственных задач теории упругости для тел вращения. Сб. "Труды конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности ", Новосибирск, 1969.

4. Александров А. Я. Решение осесимметричной задачи теории упругости при помощи зависимостей между осесимметричным и плоским состояниями. АН СССР, ПММ, 1961, т. 25, вып. 5.

5. Александров А. Я. Некоторые зависимости между решениями плоской и осесимметричной задачи теории упругости для бесконечной плиты. -Докл. АН СССР, 1959, 129, №4, с. 755-757.

6. Арутюнян Н. X., Абрамян Б. JI. Некоторые осесимметричные контактные задачи для полупространства и упругого слоя с вертикальным цилиндрическим вырезом. Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1969, 22, №2, с. 3-13.

7. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Некоторые осесимметричные контактные задачи для полупространства и упругого слоя с вертикальным цилиндрическим вырезом. Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1969, 22, №2, С. 3-13.

8. Васильев В. 3. Осесимметричная деформация полупространства с жестким полубесконечным включением. Изв. ВУЗов, Стр-во и арх., 1969, №6, с. 25-27.

9. Васильев В. 3. Осе симметричная деформация упруго изотропного полупространства с бесконечной цилиндрической выемкой. Изд. АН.

10. СССР, МТТ, 1968, №5, с. 124-129.

11. Ю. Васильев В. 3. Осе симметричная деформация упругоизотропных тел.

12. Автореферат дис. Д-ра тех. Наук. ЛИСИ, Л: 1980,26 с.

13. П. Васильев В.З. Напряжения в упругом изотропном полупространстве вблизи торца вертикальной цилиндрической выемки// Прикладная механика, 1967, т.5, вып.7, С. 109-117.s,

14. Васильев В.З. Осесимметричная деформация упругоизотропного слоя с цилиндрическим вырезом. Тр. ЛИСИ, 1973, №73, С. 15-22.

15. Васильев В.З. Концентрация напряжений в полупространстве вблизи цилиндрического выступа при осесимметричном нагружении. / МТТф 1974, №4, с. 46 -58.

16. Васильев В.З. Концентрация напряжений около торца полубесконечного кругового цилиндра при осесимметричном нагружении. Изв. ВУЗов.а Машиностроение, 1972, № 12, С. 29-31.

17. Васильев В.З. Осесимметричная деформация полупространства с упру-гоподкрепленной цилиндрической полостью // Прикладная механика, 1979. т. 15. с. 17-22.

18. Васильев В.З. Осесимметричная деформация упругого изотропного полупространства с бесконечной цилиндрической выемкой. Изв. АН

19. СССР, МТТ, 1968, №5, С. 124-129.

20. Васильев В.З. Осе симметричная деформация элементов строительных конструкций. Л.: Стоииздат, Ленингр. Отд-ние, 1988, 87 с.

21. Васильев В.З. Применение метода неполных решений в случае первой основной задачи для полубесконечного цилиндра. Тр. ЛИСИ, 1973, №73, С. 23fi 19. Васильев В.З. Пространственные задачи прикладной теории упругости.

22. М.: транспорт, 1993, 366 с.

23. Галеркин Б. Г. К общему решению задач теории упругости в трех измерениях с помощью функций напряжений и перемещений. Докл. АН СССР, А, 1931, №10, с.281-286.

24. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980.

25. Галин JI.A. Пространственные контактные задачи териии упругости для штампов круговой формы в плане. // Прикл. матем. и мех. т. 10, вып.4, 1946.

26. Гастев В. А. К вопросу об общем решении трехмерной задачи теории упругости. Труды ВВМИСУ, 1940, вып.2, с. 3-1.

27. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Смешанная осесимметричная задача для теории упругости для цилиндра конечной длины. Сб. "Сопр. Матер, и теор. Сооружений", 1971, вып. XV.

28. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Точное решение задачи о распределении напряжений около кругового отверстия в упругом слое// Прикладная механика, 1968, Т.4, В. 10, С. 38-45.

29. Гродский Г. А. Интегрирование общих уравнений равновесия изотропного тела при помощи ньютоновских потенциалов и гармонических функций. Изв. АН СССР, отд. Матем. И естествен. Наук, 1935, №4, с. 587-614.

30. Дау Езай Аналитическое решение осесимметричной задачи для слоистого полупространства с упругоподкрепленной выработкой. Автореф. дисс. канд. тех. наук. СПб, 2004. 13 с.

31. Динник А. Н. О давлении горных пород и расчет крепи круглой шахты. -Инженерный журнал, 1925, №7, с. 1-12.

32. Довнорович В.И. О некоторых контактных задачах о жестком штампе с поверхностью вращения для упругого полупространства. /Ученые записки Белорусского Института Инженеров Железнодорожного Транспорта/, Гомель 1958, в.2 с.6 - 18.

33. Довнорович В.И. Об одной осесимметричной контактной задаче о жестком штампе с поверхностью вращения для упругого полупространства. Там же с. 19 30.

34. Довнороович В.И. Пространственная контактная задача о жестком круговом в плане штампе с певерхностью, изображаемой некоторым полиномом относительно декартовых координат. Там же с. 31 46.

35. Каплун А.С. Осе симметричная задача для упругого полупространства с вертикальным цилиндрическим каналом, подкрепленным трубой: Ав-тореф. дисс. канд. техн. наук. JL, 1977. 23 с.

36. Каплун А.С., Филин А.П. Осесимметричное загружение полупространства с вертикальным цилиндрическим каналом. -В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975, с. 256-264

37. Кизыма Я. М. Давлении упругого цилиндра на упругий слой. Изв. АН СССР, 1972, №3.

38. Кизыма Я. М. Осесимметричная задача о давлении упругого цилиндра на упругое полупространство. Изв. АН СССР, МТТ, 1969, №4.

39. Кизыма Я. М. Симметричная задача о контактном взаимодействии упругого цилиндра и упругого полупространства. В сб. "Контактные задачи и их инженерное приложение", Докл. конф. М., 1969.

40. Клюкин А.А. Осе симметричная задача теории упругости о полупространстве с бесконечным цилиндрическим включением при наличии трения на поверхности контакта// Вопросы мех. Строит. Констр. И матер. JI., 1984, С. 24-27.

41. Леонов М.Я. Общая задача о давлении кругового штампа на упругое полупространство. Прикл. матем. и мех.,т.17, в.1, 1953

42. Лехницкий С. Г. Исследование механических процессов в однородных массивах, ослабленных горными выработками. -Л.:ВНИМИ, 1970,с 3-8.

43. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М: ГТТИ, г> 1955, 492 с.

44. Лурье А.И. Теория упругости. М., "Наука", 1970.

45. Ляв А. Математическая теория упругости. -М. -Л.: ОНТИ, 1935. -674 с.

46. Панасюка В.В Предельное равновесие хрупких тел с трещиной Киев: Наук. Думка, 1968, 246 с.

47. Папкович Н. Ф. Обзор некоторых общих решений основных дифферен-# циальных уравнений покоя изотропного тела. Прикл. Матем. И мех.,1937, т.1,вып.1, с 117-132.

48. Снеддон И. Преобразование Фурье. М: ИЛ, 1955, 667 с.

49. Соловьев Ю. И. Об интегральных уравнениях осесимметричной задачи теории упругости. Сб. "Труды конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности ", Новосибирск, 1969.

50. Соляник-Красса К. В. К решению осесимметричных задач теории упругости. Докл. АН. СССР, 1957, т. XXXVI, №3, с.481-484.1. V»'

51. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В трех томах. Том II /Оформление обложки Шапиро С. JL, Олек-сенко А. А. СПб.: Издательство «Лань», 1997. -800 с.

52. Чемерис В. С. Об интегральных уравнениях осесимметричной теории упругости. "Прикл. Механика", 1965,1, №5.

53. Черепанов Г. П, Ершов Л. В. Механика разрушения. «Машиностроение», 1977,224 с.

54. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. Гостехиздат., М.,Л., 1949.

55. Blenkarn К. A., Wilhoite I.C. Stresses Due to a Band of Normal stress of the Entrance of a circular Hole.-Trans. ASME, Journ. Appl. Mech., Ser. E, 1962, 29, p. 647-650.

56. Boussinesque J. Applications des potentiels a l'etude de l'equilibre et du mouvement des solides elastiques, 1885.

57. Filon L. On the Elastic Equilibrium of Circular Cylinders under certain practical System of Loads. Phil. Trans. Of the Royal Soc. London, vol. 198, 1902.

58. Iyengar К. T. S. R., Yogananda С. V. The end problem of hollow cylinders. "Trans. ASME", 1966, E33, №3 (Рус. перевод. Прикладная механика, №3, ЕЗЗ, 1966).

59. Michell J. Н. The uniform torsion and flexure of incomplete Tores with application to helical springs. Proc. London, Math. Soc., 1900, v. 31.

60. Narain Prem. A note on an asymertical mixed boundary value problem for a half-space with a cylindrical cavity. Proc. Glasgow Math. Assoc., vol. 7, №1,1965.

61. Rusia K. S. On certain asymertical mixed boundary value problem for a half-space with a cylindrical cavity. Journ. Sci and Engng. Res., vol. 10, № I, 1966.

62. Sneddon I.N. Boussinesq's problem for a plat ended cylindr. //Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1946, v.42, pp. 29 - 39.

63. Sneddon I.N. Boussinesq's problem for a plat ended cylindr. //Proc.6

64. Sternberg E. Three dimensional stress concentration in the theory of elasticity. Appl. Mech. Revs, 1958, 11, p. 1-4.

65. Terezawa K. On the elastic equilibrium of a semi infinite solid under given ф boundary condition with same application. J. of College of Sci., Imp. Univ., v Tokyo, 1916,37, 7, p. 16-31.

66. Youngdahl C.K., Sternberg E. Three-dimensional stress concentration ari1.round a cylindrical hole in a semiinfinite elastic body. Trans.ASME.,

67. Journ. Appl. Mech., Ser. E, 1966, 33, p.855-865.v -ir