автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Аналитическое решение осесимметричной задачи для слоистого полупространства с упругоподкрепленной выработкой

ДАУ Езай

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОИСТОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С УПРУГОПОДКРЕПЛЕННОЙ ВЫРАБОТКОЙ.

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2004

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Петербургский государственный университета путей сообщения Министерства путей сообщения Российской Федерации" (ПГУПС МГТС РФ).

Научный руководитель -доктор технических наук, профессор ВАСИЛЬЕВ ВИТАЛИЙ ЗАХАРОВИЧ.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор

МИХАЙЛОВ БОРИС КУЗЬМИЧ

кандидат технических наук

ПЕТРОВ ВАДИМ АЛЕКСАНДРОВИЧ

Ведущая организация - ОАО ИИИ НИПИИ

«Ленметрогипротранс».

Защита состоит "15" апреля 2004 г. в 13 час 30 мин на заседании диссертационного совета Д 218.008.01 в Петербургском

государственном университете путей сообщения МПС РФ по адресу: 190031, Санкт Петербург, Московский пр., д.9, ауд. 3-237.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГУПС МПС РФ. Автореферат разослан "26" марта 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совету а ,1

д.т.н., профессор О^в/СкЛ &\ЛЛ. Масленникова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Исследования напряженно-деформированного состояния тел типа "слой-полупространство" представляют собой значительный прикладной интерес. Это объясняется тем, что получаемые в процессе решения результаты находят широкое применение в различных областях инженерной практики.

В шахтостроении, фундаментостроении нередко возникает необходимость исследования напряженно-деформированного состояния системы типа "слой - полупространство" с вертикальной цилиндрической выработкой, подкрепленной податливым включением при

осесимметричном нагружении. В настоящее время аналитических решений в подобной постановке нет. Практически же такие задачи решаются на базе современных расчетных комплексов, ориентированных на численные методы.

Однако, как в чисто теоретическом, так и в прикладном отношении, желательно иметь точное аналитическое решение, способное служить своеобразным эталоном, с которым можно сравнить результаты приближенных подходов.

С точки зрения классификации пространственных задач теории упругости и их решения можно определить три основных группы:.

- задачи, решаемые в замкнутом виде, т.е. в элементарных функциях или в рядах и интегралах, в которых все функции, требующие суммирования и интегрирования выражены явно; классический пример подобных решений - задачи Ламе или решение Динника - Лехницкого;

- задачи, сводимые к одному операторному уравнению, интегральному или сумматорному; например, первая основная задача для полупространства с вертикальной цилиндрической выработкой;

С ОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 1 БИБЛИОТЕКА

- задачи, сводимые в процессе решения к совокупности нескольких операторных уравнений.

Сформулированная выше задача относится именно к третьему классу, наиболее сложному как по определению систем разрешающих уравнений и их исследованию, так и по численной реализации соответствующего аналитического решения. Последнее обстоятельство создает наибольшие препятствия для инженеров - расчетчиков, которые в конечном итоге предпочитают приближенные численные методы.

Поэтому помимо актуальности построения нового аналитического решения поставленной задачи, исключительно важной и практически ценной является, разработка комплекса программ, адаптированного к возможностям персональных компьютеров, относительно простого в использовании и доступного современному инженеру - расчетчику.

Следует отметить, что наиболее близкие к поставленной задаче решения принадлежат В.З. Васильеву - для осесимметричной деформации полупространства с цилиндрической выработкой, подкрепленной податливым включением, и для двухслойного полупространства с выработкой, подкрепленной абсолютно жестким включением.

Целью диссертационной работы является построение аналитического решения осесимметричной задачи для весомого двухслойного полупространства с вертикальной упругоподкрепленной цилиндрической выработкой при произвольном нагружении дневной поверхности деформируемой системы. Разработка на основе полученных результатов комплекса программ для ЭВМ.

Научную новизну работы составляют:

- аналитическое решение задачи для двухслойного полупространства с выработкой, стенки которой подкреплены податливым включением при

самой её общей постановке, в том числе при нагружении дневной поверхности произвольными силами и с учетом собственного веса массива;

- системы разрешающих уравнений, учитывающих все связи между массивом и включением и их исследование на регулярность;

- алгоритм численной реализации полученных уравнений и разработанный на его основе пакет прикладных программ для персональных ЭВМ;

- новые численные результаты, относящиеся к напряженно-деформированному состоянию весомого полупространства при конкретном нагружении дневной поверхности.

Практическую ценность работы определяют:

- аналитическое решение осесимметричных задач для тел вида "слой - полупространство" на случай учета собственного веса массива, что дает полное прикладное значение полученным результатам;

- комплекс программ для численной реализации аналитических решений осесимметричных задач для массивных тел, доступный для практического использования любому инженеру-расчетчику;

- численные результаты и выводы, которые представляют собой рекомендации, способствующие более эффективному прогнозу поведения массивных объектов в окрестности выработки.

Достоверность полученных результатов подтверждается применением современных аналитических методов математической теории упругости и итогами сопоставления полученных данных с ранее известными решениями.

На защиту выносятся.

1. Аналитическое решение задачи об осесимметричной деформации двухслойного полупространства с подкрепленной вертикальной

цилиндрической: выработкой в условиях произвольного нагружения дневной поверхности и с учетом собственного веса массива.

2. Численное исследование на регулярность полученных систем разрешающих уравнений.

3. Алгоритм и пакет прикладных программ для численной реализации полученных аналитических решений.

4. Результаты и анализ численного исследования напряженно-деформированного состояния весомого двухслойного полупространства при нагружении дневной поверхности равномерно распределенными силами.

Апробация работы.

Основные положения, и результаты, диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры "Прочность материалов и конструкций" ПГУПС; на пятьдесят пятой, пятьдесят седьмой и шестьдесят второй научно-технических конференциях с участием, студентов, молодых специалистов и ученых ПГУПС, Санкт Петербург 1995 г., 1997 г. и 2002г.; на научно-практической конференции "Современные компьютерные технологии в проектировании мостов" (кафедра "Мосты" ПГУПС и секция "Транспортные сооружения" Петербургского дома ученых), Санкт Петербург 1997 г. и на пятой международной научной конференции, "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте" Череповец ЧТУ 2002 г.

По материалам диссертации опубликованы шесть печатных работы.

Объем и структура диссертации . Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и литературы; содержит 141 страница текста, включая 45 рисунков и 2 таблицы. Библиография содержит 102 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Первая глава посвящена описанию типов общих решений, методов численной реализации, применяемых в работе и анализу различных постановок и решений некоторых задач.

Существующие аналитические решения задач теории упругости можно разделить на три класса. Первый - напряжения и перемещения могут быть представлены в элементарной форме, в форме рядов и интегралов с явно выраженными коэффициентами или подынтегральными функциями. Такие решения называются замкнутыми. Решения второго класса задач сводятся к одному операторному уравнению в виде бесконечной системы линейных алгебраических уравнений или интегрального уравнения второго рода, а третьего - к совокупности операторных уравнений.

К первому классу относятся решения Буссингска для цельного массива, Диника и Лехницкого для весомого полупространства с вертикальной- цилиндрической выработкой. Задачи для слоя и полупространства с подкрепленной выработкой абсолютно жестким и гладким включением решены в трудах В.З. Васильева. Им получены-исчерпывающие численные результаты, характеризующие напряженно-деформированное состояние объектов.

Типичными представителями второго класса задач являются первая основная и основная смешанная задачи для полупространства и слоя с выработкой. Здесь можно перечислить также собственно смешанные задачи (контактные) с круговой линией раздела граничных условий, расположенной в пределах одной поверхности. Решениями этих задач посвящены работы Бленкорна и Уилгойта, Н.Х. Артюняна и Б.Л.

Абрамяна, В.Т. Гринченко, М. Абеновой, Е.И. Агуфа, О.А. Еникеева, Н.И. Невзорова, В.З. Васильева и другие.

Примерами третьего класса являются задачи о деформации составных объектов, включающих материалы с различными упругими постоянными, и объектов усложненной конфигурации.

Главная характеристика этой группы задач - это полное сцепление составляющих тел по всей поверхности контакта, плоской или цилиндрической. Их решения, при точном подходе, приводит к двум и более связанным между собой интегро - сумматорным уравнениям. Здесь можно отметить работы А.П. Филина и А.С. Каплуна, А.Н. Мкртчяна, СО. Попояна, Е.И. Агуфа, Н.И. Невзорова, О.В. Бочковой, В.З. Васильева и другие.

Подчеркиваем, что не всегда оказывается легкой и простой проблема доведения аналитических решений задач для объектов типа "слой - полупространство" до получения численных результатов. Это обстоятельство усложняет вопрос оценки прочности изучаемого объекта.

Для численной реализации полученных аналитических решений применялись разные методы. Среди них можно перечислить метод последовательных приближений и метод неполных решений в комбинации с методом редукции.

Метод неполных решений разработан В.З. Васильевым. Особенность его заключается в том, что он сочетает в себе строгость точного аналитического подхода с относительной простой численной реализации.

Вторая глава посвящена элементарному аналитическому решению задачи теории упругости для весомого полупространства с ослаблением. Исследованы варианты, когда выработка свободна от включения или подкреплена упругим включением.

Граничные условия для весомого полупространства с выработкой под действием только собственного веса следующие:

(О

Собственный вес материала массива удельный вес,

радиус выработка

Естественный путь решения данной задачи это ее представление в виде комбинации двух: цельного весомого упругоизотропного полупространства (задача I) и невесомого полупространства с выработкой (задача II). Далее идет их поэтапное решение и суммирование.

После выполнения граничных условий и решения уравнений статики и совместности деформации деформаций получены расчетные формулы для напряжений и перемещений в задаче I:

(2)

V - упругие характеристики материала полупространства, Н -

некоторая глубина, на которой закреплен массив.

Для решения задачи II о невесомом полупространстве с выработкой, при использовании результатов решения задачи I имеем граничные условия вида:

Решение этой задачи сводится к выражениям:

V

1-у * 1г.

= ; =0; ст* = —г—У А-1 ; = 0;

у Ге а V уяа

и = —----1---г; м> = С +---атг. (4\

(1-й) 2ц г (\~У)2Ц ™

В итоге формулы для напряжений и перемещений в весомом полупространстве с выработкой в результате наложения решений двух вспомогательных задач выглядят так:

Расчетная формула для вертикальных перемещений получена в предположении, что массив закреплен на некотором кольце радиуса Я, лежащем на глубине ^

Первые результаты в данном направлении впервые были получены Динником и Лехницком. Однако изложение подобного решения- на совершенно новой методической основе с перспективой широкого использования в дальнейших задачах является, на наш взгляд, вполне оправданным.

Задача определения напряженно - деформированного состояния весомого массива с выработкой, стенки которой подкреплены податливым включением, решена аналогично предыдущей задаче. То есть разделим ее на две части полый цилиндр и весомое полупространство с выработкой с их последующим "склеиванием". При этом, исходя из (4) учитывается

закон распределения нагрузки на поверхности контакта. Пренебрегая контактными касательными напряжениями, и не учитывая совместных перемещений по вертикали, условие совместной деформации составляющих тел на цилиндрической поверхности предполагает равенство радиальных перемещений двух частей.

"о0) = м|(2) (6)

Здесь индекс "О" относится к цилиндру, а индекс: "1" - к полупространству. Для цилиндра включения имеем следующую задачу:

(7)

Параметр к определяется из условий совместности перемещений (6).

Поскольку, в основном, задача сводится к решению уравнения (6) приводим только формулу для радиальных перемещений цилиндрической поверхности

Задача для весомого полупространства представлена в виде комбинации двух, а именно: весомое и невесомое полупространство под действием контактного давления. Таким образом, выражение для радиальных перемещений будет:

«.(^и^ + ^Ч*). (9)

Здесь индекс " 1" относится к весомому полупространству, а индекс "2" - к

невесомому.

Поскольку первая задача нами решена ранее, здесь дадим выражение для

«ТО.

(10)

Решение задачи для невесомого полупространства с выработкой практически аналогично предыдущему, только вместо к,, надо

использовать неизвестный параметр & При этом формула для W, выглядит так:

ка

я.

Удовлетворяя условию сопряжения (6) с учетом (9) получаем

к = -кк\ « »

к' =

1+1/,

(«2-62)

(П)

(12) 03)

В результате расчетные формулы для напряжений и перемещений весомого полупространства с выработкой, подкрепленной податливым включением пишутся так

Значимость представленных результатов заключается в том, что они необходимы для решения более сложных задач для весомых систем.

В третьей главе рассмотрена задача для весомого двухслойного полупространства с бесконечно глубокой выработкой диаметром 1а. Объект на дневной поверхности находится под воздействием произвольных нормальных

Верхний слой толщиной 1 = 21 имеет модуль сдвига . коэффициент Пуассона У\ и собственный вес ё^. Нижний массив характеризуется

постоянными и \ Цилиндр включения, собственный вес

материала которого не учитывается в расчетах имеет внешний радиус а и

внутренний Ь . В решении учитываются продольные и поперечные связи между массивом и вставкой. Граничные условия задачи в цилиндрической

системе координат

(15)

■ удельный 1

Естественным представляется такой путь решения задачи. Контактной плоскостью 2=2/ полупространство (рис.1) разбивается на две части: верхний слой и нижнее основание. В этом случае, введем в

качестве основных неизвестных функции А(г) и ^ОО» характеризующие распределение нормальных и касательных напряжений по плоскости контакта. Также по плоскости разреза цилиндра включения возникают нормальные и касательные контактные напряжения,

определяемые функциями ад и .у(г).

Каждую получившуюся таким образом задачу можно рассматривать как комбинацию двух: весомый и невесомый слои и полупространство.

Принимая следующие обозначения соответственно для

компонентов тензора напряжений и вектора упругих перемещений в задаче

для невесомого объекта и, * и для весомого массива, формулы

результирующих напряжений результирующих напряжений

и перемещений

(Р)

будут:

(В)

У

и

(Г) _ „(Я)

= И„ ' + и,;

(В)

Решения задач для весомых объектов приведены выше. В рамке решения задачи для невесомых массивов, цилиндрической плоскостью V — О,, составной слой делится на слой с вырезом и полый короткий цилиндр, а однородное составное полупространство - на полупространство с выработкой и полый полубесконечный цилиндр.

В силу того, что материалы верхнего слоя и подстилающего его полупространства имеют разные упругие постоянные, то давление, оказываемое ими на цилиндры, также различается. По этой причине

вводятся и

/(2)(2г) и £(2)(2г)> при меняющемся ^2 в пределах |о, Здесь

контактные радиальные перемещения обозначены контактные касательные напряжения -

В связи с тем, что цилиндры имеют разные геометрии и соответственно задачи для них решаются отдельно, то представляет теоретический и прикладной интерес предположение о том, что их упругие характеристики

различные. для

полубесконечного.

В результате такой декомпозиции невесомых объектов получаем четыре смешанных осесимметричных задачи: слой с вырезом без подкрепления (ЗАДАЧА 1), однородное полупространство с выработкой без подкрепления (ЗАДАЧА 2), полый короткий цилиндр (ЗАДАЧА 3) и полый полубесконечный цилиндр (ЗАДАЧА 4). Их граничные условия следующие:

(18)

(19)

Задача 1: Слой с вырезом <?г=Р\</), а<г«х>,

= Ра (г), тк = (г); г, = -/, а < г < со,

Задача 2: Полупространство с выработкой.

= РМ = #,(г); гг =0, а < г < оо,

Задача 3: Полый короткий цилиндр. о-2=х(г), г^ = ХО; ^ =/, Ь<г <а, <7* = МО, = ЯоОО; ^ = Ь<г<а,

стг =0, г„=0; г = <г,

Задача 4: Полый бесконечный цилиндр <тг=х(г), тп=у(г); г2 = 0, Ь<г < а,

сгГ = 0, г,_ = 0; г = Ь, 0 < 2г < оо Здесь и в дальнейшем индексы, относящиеся к обозначениям компонентов тензора напряжений и упругих перемещений, представляют собой

порядковый номер задач, а те, которые около функций относятся к массивам, т.е. (1)-к слою, а (2) - к полупространству.

(20)

Для определения неизвестных функций, характеризующих контактные напряжения и совместные перемещения, воспользуемся следующими условиями сопряжения.

- Сопряжение слоя с коротким цилиндром

(21)

- Сопряжение полупространства с бесконечным цилиндром

(22)

Сопряжение слоя и полупространства М(1)+«(5)=М(2>+М(6> "

уР+у?>

Сопряжение двух цилиндров

2, =0, а<г< <х>,

(23)

(24)

Выражения для М*6^ и определены формулами (14).

Добавим к изложенному, что для решения отдельных задач, предполагается, что грузовые функции представимы в виде либо обобщенного интеграла Фурье - Бесселя, либо интеграла Фурье, либо тригонометрического ряда Фурье, либо ряда Фурье - Бесселя либо ряда Фурье-Дини.

Формулы составляющих тензора напряжений и упругих перемещений выражаются так: - для слоя с вырезом

<т. = -2А - J[<C(y)shyzx + C\y)yzxchyzx + о

+ D{y)chyzx + D° (y)yzxshyzx )vo (y, r)ydy + (25)

+ík*i(V)4l 2К0(Х„г)-ЛпгКх(Япг) ]Kcos^z, + №=l

+ 2К0{Л„г)-ЛпгКх(Лпг) iKsin^z,,

- для полупространства с выработкой i т

=" J{ [A(y) + (2-}zI)A0(y)\rW0(r,r)- (26)

г о

.[А(у) + 2(1 -v^M-yziA'wfaiy.r) }exp(-yz2)dy +

+1J{ -В(Л)[ Кх{*г) + ЛгКй(Лг) ]+ г о

+ В\Л)[ЛгК0 (Лг) + (Лг)2 Кх (Лг) + 2(1 - v2 )Kt (Ar)] }sin

- для полого короткого цилиндра

[ct+ct° + C>tVAnz, +[ Dk+Dl\hykzx +

r 4=1

+ D°kykzxchykzx ^ Wx(yk,r)- (27)

-ZR*.< V)-4V*o(V)k sinA„7, -fotf,(V)- cosA.r,}

n-l

- ¿К'.(Лг) + Aí.° Vo(V)k sin Д.2, - [//„/,(Лпг) + ^0Я„г/0(ЯягК cos }

я-1

- для полубесконечного цилиндра

« = [Л + 2(1 - )С>+-i- ¿ \Ak + (2 + 2v<-ytz2 )A¡ jexp^ z2 )WX (yk, r) + ¿MÁ

+—^{в(Л)Кх(Яг) - В\Л)[ЛгКй(*г) + 2(1 - vA)Kx (^)])sin Áz2dÁ +

+ — |{л/(Я)/,(Лг) + М°(Я)[Аг/0(>) - 2(1 - v4)/,(2r)]}sin , (28)

2 A» o

Здесь обозначения типа А, Ап, Ок, С(у), В°(А)

постоянные, совокупности постоянных и произвольные функции, определяемые из граничных условий; К0(Л„г), ЛГ,(Алг) - функции

параметры с

плавным или дискретным спектром изменения в пределах от 0 до °о.

Задачи для слоя с вырезом и полупространства с выработкой решаются в замкнутом виде,, т.е. напряжения и перемещения представляются в виде рядов. или интегралов с явно выраженными коэффициентами, зависящими от граничных функций

Решения задач для короткого и полубесконечного цилиндров сводятся к операторным уравнениям вида: - для короткого цилиндра:

Макдональда; 10(Л„г), - модифицированные функции Бесселя;

/(г,). Дг2) и

СО

со

(29)

для полубесконечного цилиндра:

В0 (Я) = р*°(77)Г0.0 (п,Л)с1(щ) + Л(Я),

(30)

о

При выполнении условий сопряжения (21) и (22) получены

соответственно следующие разрешающие уравнения

- для слоя с упругим подкреплением

.с=+

1=1 /=1 Ы\

я;,-ёсс +£¿2?*;, +1>гчв

/=1 /=1 1=)

+1>гл +¿^4°

1=1

/=1

1=1

м м м

/=| /=1 1=1

^=1х'х /=1

- для полупространства с податливым включением

00 00

о о

00

о

о о

+ ]г2,з(7Д)5°(7)«+А2>2(Я),

О

со

00 « о о

оо

(32)

(33)

Удовлетворяя условиям сопряжения (23) и (24) определили неизвестные напряжения на плоской поверхности контакта между слоем и полупространством и между двумя цилиндрами.

- Для весомого слоистого полупространства

п2о-д (г)Л(г)

пг(у)-тл(у) '

91ю п2(у)-тл(г)

| П(у)Х,л(у)-Л(г)Хи](у)

П Чг)-Д(г)Л(г)

- Для составного полого цилиндра

_П(гк)&0(ук)-Д(гк)А0(ук)

п2(гк)-Д,(ук)Л(ук)

П (Ук)Х2Л(ук)-Д(ук)Х2Л(гк) П2(гк)-Д(ук)Л(ук) '

Мк)~ и2{ук)-Щук)Л{ук)

(34)

п (п)Х2Л(ук)-Л(гк)Х2Л(П)

(35)

П г(п)-Д(п)Л(ук)

Отметим, что окончательное решение для составного цилиндра приводит к интегро-сумматорным уравнениям, которые приведены в диссертации.

Таким образом, выполнены все условия - граничные и сопряжения. В итоге получено четыре совокупности систем разрешающих уравнений.

Однако, решение задачи для слоистого полупространства с податливым включением не является полным, если не будут собраны все

полученные системы в одну совокупность разрешающих уравнений. В результате, после серий преобразований, получена совокупность девяти уравнений.

Окончательная совокупность разрешающих уравнений, все подробности вывода формул (29) - (35) и обозначения в них приведены в диссертации.

Для гарантии сходимости процесса решения полученных систем методом последовательных приближений необходимо, чтобы выполнялось условие регулярности. В нашем случае это условие выглядит так:

Ф=¿ЕИП+Е^^ч^л)!« <1, 1,...,6

] = 7,8,9 (36)

ж=1 /=1 т=7 о

- ядра т-ого члена

у-ого уравнения.

По причине того, что выражения очень громоздкие, аналитически трудно проверять условия (36). Поэтому оценки проведены численно с помощью ЭВМ.

Четвертая глава посвящена численному исследованию напряженно - деформированного состояния весомого слоистого полупространства с упругим включением.

Полученные точные аналитические решения в силу своей сложности требуют широкого использования современной вычислительной техники для перевода громоздких формул на язык программирования, с удобным вводом исходных данных и наглядным выводом результатов. Именно поэтому была поставлена задача -

разработать комплекс программ, позволяющий на основе точных аналитических решений получать численные результаты, пригодные для практического использования.

Разработанный комплекс программ предназначен для определения напряжений и упругих перемещений при осесимметричном нагружении произвольными силами следующих объектов: слой с вырезом без подкрепления, слой с жестким включением, слой с упруго -деформируемым включением, однородное и слоистое полупространство с выработкой без подкрепления, с жестким или податливым включением.

На основе составленного комплекса программ проведено численное исследование напряженно-деформированного состояния невесомого и весомого полупространства с различными видами подкрепления цилиндрической поверхности. Для этого приняты следующие исходные

данные: V, = ^ = К3 = = 0,5; юХ1 = й>, 3 = О), 4 = й>14 = й>34 = 1;

% = 0.8; ¿/ = 1; (Й>я,я=А,АО;

р0, а£г<.2а |?о> а£г<2а

0, г > 2а 0, г > 2а рй

Ро и (¡о - константы, имеющие размерность напряжения.

Анализировано влияние на характер распределения напряжений и деформации вида включения, отношений, коэффициентов Пуассона, модулей упругости, собственного веса составных частей деформируемой системы.

В случаях, когда цилиндрическая поверхность свободна от подкрепления или подкреплена абсолютно жестким гладким включением, осадка дневной поверхности больше чем, когда имеется упругая крепь

Ро(г) =

Рис. 2. Осадка дневной поверхности массива при различных видах закрепления стенки выработки и е>, 2 = 1.

I '

Рис.3. Осадка дневной поверхности вблизи выработки при различных значениях У™//™ •

(рис.2). Если вертикальные перемещения достигают своих максимальных значений при в два первых вариантах, то в случае

податливого включения максимальные осадки возникают примерно в середине площадки приложения нагрузки (г/а — 1,5). На этом же рисунке показана пунктирной линией осадка дневной поверхности массива, когда имеется упругое гладкое включение. Учет трения на цилиндрической поверхности приводит к снижению осадки и к увеличению нормальных напряжений.

Влияние объемных сил на напряженно - деформированное состояние заключается в том, что наблюдается тенденция устремления напряжений к растягивающим полям. Если материал верхнего слоя более тяжелый, осадка дневной поверхности резко увеличивается с увеличением где

отношение собственного веса материала слоя к подобному параметру материала полупространства. В то время когда его влияние на

максимальные вертикальные перемещения менее значительно. Кроме того, осадка уменьшается в случае Св <1. На рис. 3. кривая 1 соответствует варианту невесомого объекта; кривая 2 - случаю Сй — 0,5; кривая 3 -Сг = 1 и кривая 4 - С% = 2.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. На новой методической основе аналитически решена осесимметричная задача для однородного весомого полупространства, ослабленного вертикальной цилиндрической выработкой.

2. Проведено аналитическое решение осесимметричной задачи для весомого двухслойного полупространство с упругоподкрепленной

цилиндрической выработкой при произвольном нагружении дневной поверхности и при полном сцеплении на контактных поверхностях.

3. Получена совокупность разрешающих уравнений и выполнено их исследование на регулярность с помощью ЭВМ.

4. Составлен алгоритм для численной реализации аналитических решений задач для объектов типа "слой - полупространство" с вертикальным ослаблением. На основе этого алгоритма, автором разработан комплекс программ, позволяющий определить напряженно-деформированное состояние слоя, однородного и двухслойного полупространства с различными видами подкрепления выработки.

5. С помощью составленной программы численно исследовано напряженно - деформированное состояние весомого и невесомого двухслойного полупространства при нагружении объекта равномерно распределенными нормальными и касательными силами. Проанализировано влияние на характер распределения напряжений и деформации вида включения, отношений упругих постоянных и собственного веса составных частей деформируемой системы.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Дау Езай. Осесимметричная деформация двуслойного полупространства с выработкой, стенки которой подкреплены податливым включением. //Тез. докл. Неделя науки - 95 (пятьдесят пятая научно - техническая конференция с участием студентов, аспирантов и ученых). - СПб.: ПГУПС, 1995. с.59.

2. Дау Езай. Программная реализация алгоритма исследования напряженно- деформированного состояния полупространства и слоистого полупространства ослабленных бесконечноглубокой цилиндрической выработкой //Исследования по механике материалов и конструкций. /

Вып. 9/ Петерб. гос. ун-тет путей сообщения. -СПб., 1996. С.89-95 -Деп. ВИНИТИ 21.04.97 № 1327 - В97.

3. ДауЕзай. Программное обеспечение для расчета напряжений и упругих перемещений полупространства с цилиндрической выработкой в условиях произвольного нагружения дневной поверхности. /Лез. докл. Неделя науки - 97 (пятьдесят седьмая научно - техническая конференция с участием студентов, молодых специалистов и ученых). -СПб.: ПГУПС, 1997. - с.68.

4. Дау Езай Комплекс программ для расчета напряжений и упругих перемещений однородного и слоистого основания с ослаблениями. //Современные компьютерные технологии в проектировании мостов. Тезисы докладов. ПГУПС. - СПб, 1997. С. 7-8.

5. Дау Езай. Влияние собственного веса материала на напряженно - деформированное состояние полупространства с выработкой, при нагружении его дневной поверхности произвольными силами. //Тез. докл. Неделя Науки - 2002 (шестьдесят вторая научно -техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученных) -СПб.: ПГУПС, 2002. - с.85-86.

6. Дау Езай Програмное обеспечение для численной реализации аналитических решений задач для полупространства с выработкой при произвольном нагружении. Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: Материалы V междунар. конф. Череповец, ЧГУ,2002.-183с.

Подписано к печати 03.03.04г. Печ. л. - 6

Печать офсетная. Бумага для множит, апп. Формат 60x84 1\16 Тираж 100 экз. Заказ № 3^3.

Тип. ПГУПС МПС РФ 190031, С-Петербург, Московский пр., 9

V-6163

ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ ОБЪЕКТОВ ТИПА "СЛОЙ - ПОЛУПРОСТРАНСТВО".

1.1. Типы общих решений, используемые при разработке осесимметричных задач. Функции напряжений К.В. Соляника-Красса.

1.2. Анализ имеющихся аналитических решений осесимметричных задач для объектов типа "слой - полупространство".

1.2.1. Замкнутые решения.

1.2.2. Решения, сводимые к одному операторным уравнениям.

1.2.3. Решения, сводимые к совокупности операторных уравнений.

1.3. Методы численной реализации, применяемые в работе.

Выводы по главе.

ГЛАВА 2. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ВЕСОМОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА, ОСЛАБЛЕННОГО ГЛУБОКОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ВЫРАБОТКОЙ.

2.1. Решение задачи теории упругости для весомого полупространства с ослаблением.

2.2. Напряженно-деформированное состояние весомого массива с выработкой, стенки которой подкреплены податливым включением.

Выводы по главе.

ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ ТЕЛ ВИДА

СЛОЙ - ПОЛУПРОСТРАНСТВО" С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ОСЛАБЛЕНИЕМ, ПРИ НАГРУЖЕНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОИЗВОЛЬНЫМИ СИЛАМИ

С УЧЕТОМ СОБСТВЕННОГО ВЕСА МАССИВА.

3.1. Постановка и общая схема решения задачи для весомого слоистого полупространства с податливым включением.

3.2. Деформация слоя с круговым цилиндрическим вырезом.

3.3. Напряженно - деформированное состояние однородного полупространства с бесконечно глубокой цилиндрической выработкой.

3.4. Смешанная задача для полого короткого цилиндра при обратносимметричном нагружении относительно срединой плоскости.

3.5. Смешанная задача для полого полубесконечного цилиндра.

3.6. Построение разрешающих уравнений.

3.7. Исследование разрешающих уравнений на регулярность.

Выводы по главе.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО -ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СЛОИСТОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ВБЛИЗИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ВЫРАБОТКИ.

4.1. Комплекс программ для численной реализации аналитических решений задач для тел типа "слой — полупространства" с выработкой при произвольном нагружении.

4.1.1. Назначение и возможности комплекса программ.

4.1.2. Инструкция по пользованию комплекса.

4.1.3. Состав комплекса.

4.1.4. Вводимые и выводимые данные.

4.1.5. Элементы математического вычисления, используемые в комплексе.

4.2. Численная реализация решения задачи для весомого слоистого полупространства при нагружении равномерно - распределенными нормальными и касательными силами.

4.2.1. Задачи для невесомого слоистого полупространства.

4.2.2. Задача для весомого слоистого полупространства.

Выводы по главе.

Исследования напряженно-деформированного состояния тел типа "слой-полупространство" представляют собой значительный прикладной интерес. Это объясняется тем, что получаемые в процессе решения результаты находят широкое применение в различных областях инженерной практики.

В шахтостроении, фундаментостроении нередко возникает необходимость исследования напряженно-деформированного состояния системы типа "слой -полупространство" с вертикальной цилиндрической выработкой, подкрепленной податливым включением при осесимметричном нагружении. В настоящее время аналитических решений в подобной постановке нет. Практически же подобные задачи решаются на базе современных расчетных комплексов, ориентированных на численные методы.

Однако, как в чисто теоретическом, так и в прикладном отношении, желательно иметь точное аналитическое решение, способное служить своеобразным эталоном, с которым можно сравнить результаты приближенных подходов.

С точки зрения классификации пространственных задач теории упругости и их решения можно определить три основных группы:

- задачи, решаемые в замкнутом виде, т.е. в элементарных функциях или в рядах и интегралах, в которых все функции, требующие суммирования и интегрирования выражены явно; классический пример подобных решений -задачи Ламе или решение Динника-Лехницкого;

- задачи, сводимые к одному операторному уравнению, интегральному или сумматорному; например первая основная задача для полупространства с вертикальной цилиндрической выработкой;

- задачи, сводимые в процессе решения к совокупности нескольких операторных уравнений.

Сформулированная выше задача относится именно к третьему классу, наиболее сложному как по определению систем разрешающих уравнений и их исследованию, так и по численной реализации соответствующего аналитического решения. Последнее обстоятельство создает наибольшие препятствия для инженеров - расчетчиков, которые в конечном итоге предпочитают приближенные численные методы.

Поэтому помимо актуальности построения нового аналитического решения поставленной задачи, исключительно важной и практически ценной является разработка комплекса программ, адаптированного к возможностям персональных компьютеров, относительно простого в использовании и доступного современному инженеру - расчетчику.

Следует отметить, что наиболее близкие к поставленной задаче решения принадлежат В.З. Васильеву - для осесимметричной деформации полупространства с цилиндрической выработкой, подкрепленной податливым включением, и для двухслойного полупространства с выработкой, подкрепленной абсолютно жестким включением.

Целыо диссертационной работы является построение аналитического решения осесимметричной задачи для весомого двухслойного полупространства с вертикальной упругоподкрепленной цилиндрической выработкой при произвольном нагружении дневной поверхности деформируемой системы. Разработка на основе полученных результатов комплекса программ для ЭВМ.

Научную новизну работы составляют:

- аналитическое решение задачи для двухслойного полупространства с выработкой, стенки которой подкреплены податливым включением при самой её общей постановке, в том числе при нагружении дневной поверхности произвольными силами и с учетом собственного веса массива;

- системы разрешающих уравнений, учитывающих все связи между массивом и включением и их исследование на регулярность; алгоритм численной реализации полученных уравнений и разработанный на его основе пакет прикладных программ для персональных ЭВМ;

- новые численные результаты, относящиеся к напряженно-деформированному состоянию весомого полупространства при конкретном нагружении дневной поверхности.

Практическую ценность работы определяют:

- аналитическое решение осесимметричных задач для тел вида "слой -полупространство" на случай учета собственного веса массива, что дает полное прикладное значение полученным результатам;

- комплекс программ для численной реализации аналитических решений осесимметричных задач для массивных тел, доступный для практического использования любому инженеру-расчетчику;

- Численные результаты и выводы, которые представляют собой рекомендации, способствующие более эффективному прогнозу поведения массивных объектов в окрестности выработки.

Достоверность полученных результатов подтверждается применением современных аналитических методов математической теории упругости и итогами сопоставления полученных данных с ранее известными решениями.

На защиту выносятся.

1. Аналитическое решение задачи об осесимметричной деформации двухслойного полупространства с подкрепленной вертикальной цилиндрической выработкой в условиях произвольного нагружения дневной поверхности и с учетом собственного веса массива.

2. Численное исследование на регулярность полученных систем разрешающих уравнений.

3. Алгоритм и пакет прикладных программ для численной реализации полученных аналитических решений.

4. Результаты и анализ численного исследования напряженно-деформированного состояния весомого двухслойного полупространства при нагружении дневной поверхности равномерно распределенными силами.

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры "Прочность материалов и конструкций" ПГУПС; на пятьдесят пятой, пятьдесят седьмой и шестьдесят второй научно-технических конференциях с участием студентов, молодых специалистов и ученых ПГУПС, Санкт Петербург 1995 г., 1997 г. и 2002г.; на научно-практической конференции "Современные компьютерные технологии в проектировании мостов" (кафедра "Мосты" ПГУПС и секция "Транспортные сооружения" Петербургского дома ученых), Санкт Петербург 1997 г. и на пятой международной научной конференции "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте", Череповец ЧГУ 2002 г.

По материалам диссертации опубликованы шесть печатных работы.

Объем и структура диссертации . Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и литературы; содержит 141 страница текста, включая 45 рисунков и 2 таблицы. Библиография содержит 102 наименования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. На совершенно новой методической основе аналитически решена осесимметричная задача для однородного весомого полупространства, ослабленного вертикальной цилиндрической выработкой.

2. Проведено аналитическое решение осесимметричной задачи для весомого двухслойного полупространство с упругоподкрепленной цилиндрической выработкой при произвольном нагружении дневной поверхности и при полном сцеплении на контактных поверхностях.

3. Получена совокупность разрешающих уравнений и выполнено их исследование на регулярность с помощью ЭВМ.

4. Составлен алгоритм для численной реализации аналитических решений задач для объектов типа "слой - полупространство" с вертикальным ослаблением. На основе этого алгоритма, автором разработан комплекс программ, позволяющий определить напряженно-деформированное состояние слоя, однородного и двухслойного полупространства с различными видами подкрепления выработки.

5. С помощью составленной программы численно исследовано напряженно - деформированное состояние весомого и невесомого полупространства при нагружении объекта равномерно распределенными нормальными и касательными силами. Проанализировано влияние на характер распределения напряжений и деформации вида включения, трения между массивом и крепью и собственного веса деформируемой системы.

1. Абенова М. Приближенное решение первой краевой задачи математической теории упругости для толстой плиты с цилиндрическим отверстием// Исслед по диф. уравнениям и их применению. Алма-Ата: Наука, 1965. С. 65-79.

2. Агуф Е.И. Расчет концентрации напряжений около торца круглого полубесконечного цилиндрического элемента при осесимметричном нагружении. Изв. Вузов. Стр-во и архитектура, 1977, №6, С. 45-51.

3. Агуф Е.И. Осесимметричная деформация бесконечной пластины на упругом основании с цилиндрической выемкой// Исследования по механике строит, констр. и матер. JL, 1988. С. 71-75.

4. Агуф Е.И., Васильев В.З. Первая основная задача для слоя с круговым отверстием. НТТ, 1980, №4, С. 68-77.

5. Агуф Е.И., Васильев В.З. Осесимметричная деформация двухслойного массива вблизи торца подкрепленной цилиндрической выемкой// Исследования по механике строительных конструкций и материалов. JL, 1985, С. 10-15.

6. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Некоторые осесимметричные контактные задачи для полупространства и упругого слоя с вертикальным цилиндрическим вырезом. Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1969, 22, №2, С. 3-13.

7. Айзенберг Д.Ю., Шапиро Г.С. О передаче давления через слой, имеющий цилиндрическое отверстие. Инженерный сборник, 1950,7.

8. Бейтмен Г. и Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. В 2 т. Т.2: Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. -М.: Наука, 1970.328 с.

9. Бородич Ю.С. и др. Паскаль для персональных компьютеров: Справ, пособие/ Ю.С. Бородич. А.Н. Вальвачев, А.И. Кузьмич. -Мн.: Выш. шк.: БФ ГИТМП „НИКА", 1991.- 365 с.

10. Бочкова О.В. Оценка прочности составных упруго деформируемых систем при силовых и температурных воздействиях. Автореферат дисс.к-та технических наук. -ПГУПС, СПб., 2001. 25 с.

11. Бухаринов Г.Н. К задаче о равновесии упругого круглого цилиндра// Вестник ЛГУ. Сер. математ., физ. и хим. 1952 N2. С. 3-23.

12. Бухаринов Г.Н. Осесимметричная деформация цилиндра конечной длины// Вестник ЛГУ. Сер. математ., физ. и хим. 1956 N7. С. 77-86.

13. Вальвачев А.Н. Графическое программирование на языке паскаль. -минск, 1992.

14. Васильев В.З. Напряжения в упругом изотропном полупространстве вблизи торца вертикальной цилиндрической выемки// Прикладная механика, 1967, т.5, вып.7, С. 109-117.

15. Васильев В.З. Осесимметричная деформация упругого изотропного полупространства с бесконечной цилиндрической выемкой. Изв. АН СССР, МТТ, 1968, N5, С. 124-129.

16. Васильев В.З. Осесимметричная деформация полупространства с жестким полубесконечным включением. Изв. ВУЗов, Сто-во и арх., 1969, №6, С. 25-27.

17. Васильев В.З. Концентрация напряжений около торца полубесконечного кругового цилиндра при осесимметричном нагружении. Изв. ВУЗов. Машиностроение, 1972, №12, С. 29-31.

18. Васильев В.З. Осесимметричная деформация упругоизотропного слоя с цилиндрическим вырезом. Тр. ЛИСИ, 1973, №73, С. 15-22.

19. Васильев В.З. Применение метода неполных решений в случае первой основной задачи для полубесконечного цилиндра. Тр. ЛИСИ, 1973, №73, С. 2325.

20. Васильев В.З. Осесимметричная деформация двухслойного упругоизотропного полупространства с цилиндрической выемкой, подкрепленной жестким включением. Тр. ЛИСИ, 1974, №105, С. 5-11.

21. Васильев В.З. напряжения и упругие перемещения двухслойного полупространства вблизи цилиндрической выемки, подкрепленной жестким включением. Тр. ЛИСИ, 1977, вып. 10, С. 19-25.

22. Васильев В.З. Осесимметричная деформация полупространства с упругоподкрепленной цилиндрической полостью // Прикладная механика, 1979. Т. 15. С. 17-22.

23. Васильев В.З. Осесимметричная деформация упругоизотропного тел. Автореферат дисс. д-ра технических наук. -ЛИСИ, Л., 1980,26 с.

24. Васильев В.З. Осесимметричная деформация элементов строительных конструкций. Л.: Стоииздат, Ленингр. отд-ние, 1988, 87 с.

25. Васильев В.З., Невзоров Н.И. Влияние податливого упругого цилиндрического включения на характер напряженно-деформированного состояния круговой в плане плиты // Пробл. прочн. матер, и сооруж. на транспорте. Сб.трудов ЛИИЖТ, Л., 1989, С. 3-12.

26. Васильев В.З. Пространственные задачи прикладной теории упругости. М.: транспорт, 1993,366 с.

27. Верлань А.Ф. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. Киев, 1978.

28. Вычислительные методы и программирование (численные методы в механике сплошных сред)// Под ред. Пасконова В.М. -М. 1983.

29. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоу пру гости. М.: Наука, 1980.

30. Гринченко В.Т. Улитко А.Ф. О точном решении осесимметричной задачи теории упругости для круглой жесткозащемленной плиты. / Изв. АН Армянской ССР 1963, т. 16 №5, с. 51-55.

31. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Точное решение задачи о распределении напряжений около кругового отверстия в упругом слое// Прикладная механика, 1968, Т.4, В. 10, С. 38-45.

32. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Смешанная осесимметричная задача теории упругости для цилиндра конечной длины// сопр. матер, и теор. сооружений. Киев, 1971, В. 15, С. 3-8.

33. Гринченко В.Т. Осесимметричное термоупругое состояние полупространства с цилиндрической полостью. Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1972, вып. 12, с. 90-95.

34. Губенко B.C., Моссаковский В.И. Давление осесимметричного кольцевого штампа на упругое полупространство. ПММ. Т.24, вып. 2, 1960.

35. Гусак А.А. Приближение функций. Минск, 1989.

36. Дау Езай Комплекс программ для. расчета напряжений и упругих перемещений однородного и слоистого основания с ослаблениями. //Современные компьютерные технологии в проектировании мостов. Тезисы Докладов . ПГУПС. СПб, 1997. С. 7-8.

37. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. -М.: Наука. 1969.

38. Детинко Ф.М. Метод последовательных приближений в осесимметричной задаче теории упругости// Изв. АН СССР. ОТН. Механ. и машиностроение. 1963. №1. С. 68-75.

39. Динник А.Н. О давлении горных пород и расчет крепи круглой шахты. -Инженерный журнал, 1925, №7, с. 1-12.

40. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 524 с.

41. Епанешников A.M., Епанешников В.А. Программирование в среде Turbo Pascal 7.0.-3-е изд.,стер. -М.: "ДИАЛОГ-МИФИ", 1996.-288 с.

42. Зубов B.C. Программирование на языке TURBO PASCAL (версии 6.0 и 7.0) -М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1997. 304 с.

43. Исаев Ю.Н. Исследование концентрации напряжений в зоне контакта разнородных материалов. /Вопросы механики строит, конструкций и материалов. Межвузовский тематический сб. тр. Л.: ЛИСИ, 1984, с.33-39.

44. Исаев Ю.Н. Применение метода неполных решений К расчету напряженного состояния конструктивных элементов. Автореф. дис. канд. тех. наук. ЛИСИ.-Л., 1985.24 с.

45. Каминарова Р.И. Расчет осесимметричных конструкций методом конечных элементов.-Л. 1972.

46. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962, - 708 с.

47. Каплун А.С., Филин А.П. Осесимметричное загружение полупространства с вертикальным цилиндрическим каналом. -В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975, с. 256-264

48. Каплун А.С. Осесимметричная задача для упругого полупространства с вертикальным цилиндрическим каналом, подкрепленным трубой: Автореф. дисс. канд. техн. наук. Л., 1977.23 с.

49. Клюкин А. А. Осесимметричная задача теории упругости о полупространстве с бесконечным цилиндрическим включением при наличии трения на поверхности контакта// Вопросы мех. строит, констр. и матер. JL, 1984, С. 24-27.

50. Конопелько Е.В. Определение напряженно-деформированного состояния многослойных осесимметричных объектов. Автореф. дисс.канд. техн. наук. JI., 1984.

51. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. JL: Наука, 1984, 831 с.

52. Кошляков И.С. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970, 712 с.

53. Крылов В.И., Шульгина JT.T. Справочная Книга по численному интегрированию. М., "Наука", 1966.

54. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. -М.: Наука. 1967.

55. Крылов В.И. и др. Вычислительные методы. В 2 т. Т.2 -М.: Наука,1977.

56. Крылов В.И., Пальцев А.А. Таблицы для численного интегрирования функций. М: Наука, 1978, 175 с.

57. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Интерполирование и интегрирование. Минск "Наука и техника", 1983.

58. Кузьмин P.O. Бесселевые функции 2-е изд. М.: ОНТИ, 1935.244 с.

59. Леонов М.Я. Общая задача о давлении кругового штампа на упругое полупространство. Прикл. матем. и мех.,т.17, в.1, 1953

60. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М., Л., Огиз Гостехиздат,1947.

61. Лехиицкий С.Г. Определение напряжений в упругом изотропном массиве вблизи вертикальной выработки кругового сечения// Изв. АН СССР. ОТН. 1938. №7. С.67-76.

62. Лехницкий С.Г. Исследование механических процессов в однородных массах, ослабленных горными выработками. Л.: ВНИМИ, 1970, с. 3-18.

63. Лурье А.И. Некоторые контактные задачи теории упругости. ПММ, Т.5, вып.З, 1941.

64. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГТТИ, 1955,492 с.

65. Лурье А.И. Теория упругости. М., "Наука", 1970.

66. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. -М.:Мир, 1980,-608 с.

67. Ляв А. Математическая теория упругости. -М.-Л.: ОНТИ 1935, 674 с.

68. Мизрохи С.В. Turbo Pascal и объекно ориентированное программирование.-М., 1992.

69. Моссаковский В.И. Давление круглого штампа на упругое полупространство. Научи, записки Ин-та машиноведения и автоматики АН УССР, т.2, в. 1, 1953

70. Моссаковский В.И. Общее решение задачи об определении давления под подошвой круглого в плане штампа без учета сил трения. Там же.

71. Моссаковский В.И. Контактные задачи математической теории упругости. Киев, Наук. Думка, 1985.

72. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль//Томск, 1992.

73. Невзоров Н.И. Осесимметричная задача теории упругости для цилиндров конечной длины// Проблемы прочн. матер, и констр. на транспорте. М.: Транспорт, 1990. С. 144-149.

74. Невзоров Н.И. Осесимметричная деформация плит с упругим включением: Автореф. дисс. канд. техн. наук. Л., 1990.

75. Поляков Д.Б. Программирование в среде Турбо Паскаль 5.5. М., Изд. МАИ, 1992. 576 с.

76. Прокопов В.К. Равновесие упругого толстостенного осесимметричного цилиндра//Приклад, математ. и механ. 1949. Т. 12. В. 2. С. 135-144.

77. Прокопов В.К. Изгиб круглой плиты осесимметричной нагрузкой// Приклад, математ. и механ. 1950. Т. 14. В.5. С. 527-536.

78. Раппопорт P.M. Задача Буссинеска для слоистого упругого полупространства//Тр. ленингр политех, ин-та. 1948 N5, С.13-18.

79. Саланов А.З. Теоремы разложения по однородным решениям для сплошного цилиндра. Вопросы вычислительной и прикладной математики, 1986, вып. 80. с. 120-132.

80. Семашко Г.Л., Салтыков А.И. Программирование на языке паскаль. -М.,1993.

81. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: Изд-во Иностр лит. 1955. 668 с.

82. Соловьев Ю.И. Об интегральных уравнениях осесимметричной задачи теории упругости. Тр. конф. по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск. 1969. С. 30-36.

83. Соляник-Красса К.В. К решению осесимметричной задачи теории упругости //ДАН СССР. 1952. т. 86. №3. С.481-484.

84. Соляник-Красса К.В. Функции напряжений осесимметричной задачи теории упругости // Прикл. математ. и механ. 1957. т.21. в.2. С.285-286.

85. Соляник-Красса К.В. Осесимметричная задача теории упругости. М.: Стройиздат, 1987, 336 с.

86. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Под редакцией М. Абрамовича и И. Стиган. -М.: Наука 1979. 832 с.

87. Стеклов В.А. О равновесии упругих тел вращения. Сообщ. Харьковск. матем. об-ва, 1891, Серия II, т.3,№ 1-2, С. 173-251.

88. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М. Л., Изд-во АН СССР, 1963.

89. Фаронов В.В. Турбо-Паскаля (в 3-х книгах), книга 1. Основы Турбо-Паскаля. -М.: Учебно-инженерный центр "МВТУ-ФЕСТО ДИДАКТИК", 1992. 304 с.

90. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды.- М.: Наука, 1987.- 544с.

91. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т.2. М.: Наука, 1969,- 800 с.

92. Чаплыгин С.А. Давление жесткого штампа на упругое основание. Собр. соч., т.З, 1950

93. Чемерис B.C. Об интегральных уравнениях осесимметричной задаче теории упругости //Прикл. механика. 1965. т.1. N5. С.36-46.

94. Шапиро Г.С. Напряженное состояние бесконечной цилиндрической оболочки и неограниченной толстой плиты /ДАН СССР. 1942. т.37. №9. С. 288290.

95. Шапиро Г.С. О сжатии бесконечного полого цилиндра давлением, прилроженным на участке боковой поверхности //Прикл. метемат. и механ. 1943. т.7. в.5. С. 379-382.

96. Blenkarn К.A., Wilhoite I.C. Stresses Due to a Band of Normal stress of the Entrance of a circular Hole.-Trans. ASME, Journ. Appl. Mech., Ser. E, 1962, 29, p. 647-650.

97. Schiff P. Sur l'equilibre d'un cylindre elastique. J. Lionville ser.3, 1883, t. IX. p. 407-412.

98. Sneddon I.N. Boussinesq's problem for a plat ended cylindr. //Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1946, v.42, pp. 29 - 39.

99. Youngdahl C.K., Sternberg H. Three-dimensional stress concentration arround a cylindrical hole in a semiinfinite elastic body. Trans.ASME., Journ. Appl. Mech., Ser. E, 1966,33, p.855-865.