автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Моделирование воздействия заглубленных элементов на грунт

Введение.

1. Экспериментальные исследования.

1.1. Цели исследования.

1.2. Опытная установка и ход экспериментов.

1.3. Основные результаты.

2. Деформирование грунта до локализации деформаций.

2.1. Выбор механической модели грунта.

2.2. Математическая постановка задачи.

2.3. Выбор расчетных параметров.

2.4. Напряженно-деформированное состояние грунта слева от заглубленного элемента.

2.4.1. Задача о вдавливании штампа в прямоугольный клин.

2.4.2. Задача о деформировании грунта слева от заглубленного элемента.

2.5. Напряженно-деформированное состояние грунта справа от заглубленного элемента.

3. Деформирование грунта при локализации деформаций.

3.1. Выбор механических моделей грунта.

3.2. Решение методом верхней оценки.

3.2.1. Экспериментальные поля скоростей.

Поле "шарнир".

Поле "лопата".

Окончательное построение решения.

3.2.2. Поле скоростей, полученное методом характеристик.

3.2.3. Обобщение на анизотропный грунт.

Задача о вдавливании штампа в полуплоскость. . . 62 Задача о заглубленном элементе под действием поперечной нагрузки.

3.3. Решение методом конечных элементов.

3.3.1. Деформирование грунта слева от заглубленного элемента.

3.3.2. Деформирование грунта справа от заглубленного элемента.

В технике и строительстве часто возникает необходимость зафиксировать какую-либо конструкцию на горизонтальной или вертикальной поверхности. Одними из простейших и вместе с тем наиболее часто употребляемыми средствами закрепления являются всевозможные заглубленные элементы. Их воздействие на грунт или иной материал при вертикальной нагрузке (рис. 0.1) освещено в научной литературе довольно подробно [1, 2, 4, 13-16, 18-25, 27, 28, 32-37, 44, 45, 47, 48, 50, 52-54, 56, 60, 64, 66, 67, 71, 72, 82].

Особый интерес представляет задача о плоской деформации полупространства жестким гладким плоским штампом, вдавливаемым вертикально. Считая грунт упругим, Садовский [82] и Мусхелишвили [47] получили разными способами распределение нормальных напряжений в грунте на поверхности под штампом. Позднее Новацкий [50] привел формулы для вычисления напряжений в каждой точке упругого полупространства.

Считая грунт жестко-пластическим, Прандтль [53] построил кинематически допустимое поле скоростей и вычислил по нему верхнюю оценку предельной нагрузки, приложение которой к штампу вызывает наступление пластического течения грунта вблизи него. Позднее Хил л [72], основываясь на имеющихся упругих решениях, построил другое кинематически допустимое поле скоростей и вычислил по нему верхнюю оценку предельной нагрузки, которая совпала с полученной Прандтлем. Свое решение Хилл обобщил на анизотропный материал с условием пластичности хх ~ &уу) . 2 гр2

4(1-с) *у ' где Т — предел текучести, а с — константа материала, характеризующая анизотропию.

Рис. 0.1. Вертикально вдавливаемый штамп.

Рис. 0.2. Заглубленный элемент под дейсивием поперечной нагрузки. Г

Рис. 0.3. Защемленный элемент под дейсивием поперечной нагрузки.

А' В

Песок

Ч1.'1'"1!'!'.'.'.', Й 2 и.! • |||

Г 11

Рис. 0.4. Схема опытной установки Кембриджских исследователей.

Дальнейшее развитие задача построения кинематически допустимых полей скоростей и вычисления по ним предельных нагрузок получила в работах [14, 19, 32, 45, 52, 64], в которых формулируются и обсуждаются критерии выбора полей скоростей, наиболее приближенных к реальным, и корректности полученных решений.

В работах [1, 2, 4, 13, 15, 16, 18, 20-25, 27, 28, 33-37, 56, 60, 66, 71] рассматриваются задачи вдавливания различных штампов не только в полупространство, но и в уступ, клин и тела других геометрий. При этом в ряде работ [1, 13, 18, 25] деформируемый материал считается анизотропным, а в [35, 56, 60, 66] — сыпучей средой.

Задача о деформировании грунта заглубленным элементом, испытывающим поперечное усилие, приложенное к его верхнему концу (рис. 0.2), исследована значительно меньше. Тем не менее, в технике и строительстве часто возникает необходимость закрепить на поверхности грунта какую-либо конструкцию так, чтобы предотвратить ее движение в горизонтальном направлении. Аналогичная задача возникает при нагружении выступающей части защемленного в стену предмета (рис. 0.3). Таким образом, задача о приложении к заглубленному элементу поперечного усилия представляет как научный, так и практический интерес.

Большие исследования этой проблемы были проведены в Кембридже [63, 76, 78, 79]. Изучалось, в основном экспериментально, воздействие на песчаный грунт заглубленного элемента при следующих способах нагружения (рис. 0.4):

1) вращение элемента АВ вокруг точки А;

2) вращение элемента АВ вокруг точки В;

3) горизонтальное вдавливание АВ.

Приведем здесь некоторые основные результаты этих исследований.

При вращении элемента АВ вокруг точки А деформации в песке ло-кализовывались вдоль линии, начинающейся в точке В и распростра няющейся сперва горизонтально вправо, а затем плавно поварачиваю-щейся вверх и выходящей на дневную поверхность под острым углом. Толщина этой линии имеет порядок 10 зерен грунта. Вне этой линии деформации песка малы. При повороте элемента АВ на угол меньший 1°-2° деформирование идет при возрастании нагрузки, приложенной к элементу АВ, а при повороте на больший угол деформирование продолжается при уменьшении приложенной нагрузки. Таким образом, существует некоторая критическая нагрузка, приложение которой к заглубленному элементу вызывает неограниченный рост деформаций в песке.

При вращении элемента АВ вокруг точки В наблюдается несколько линий локализации деформаций, начинающихся на АВ и распространяющихся аналогично описанной выше. Первая из них формируется вблизи точки А, вторая — немного ниже и т.д. При угле поворота 5° нижняя линия локализации деформаций проходит примерно через середину АВ. Толщина всех этих линий имеет порядок 10 зерен грунта. Между линиями деформации песка малы. При повороте на угол до 8° критическая нагрузка не наблюдается.

При горизонтальном вдавливании элемента АВ наблюдаются две линии локализации деформаций. Первая из них прямая, начинающаяся в точке А и распространяющаяся вправо и вниз до встречи со второй, выходящей из точки В и распространяющейся горизонтально до встречи с первой, а затем поворачивающая вверх и выходящая на дневную поверхность под углом около 35°. Толщина этих линий имеет порядок 10 зерен. Вне линий материал практически недеформированный и перемещается как жесткое целое. При вдавливании элемента на глубину до 0.03АЛ деформирование происходит при возрастании приложенной нагрузки, а при большей глубине вдавливания деформации продолжают развиваться при уменьшении приложенной нагрузки. Таким образом, существует некоторая критическая нагрузка, приложение которой к элементу АВ вызывает неограниченный рост деформаций в песке.

Задача о горизонтальном вдавливании элемента АВ рассматривалась также в [55, 60, 66], но уже теоретически, считая грунт средой с внутренним трением и условием Кулона-Мора перехода в предельное состояние. Получены значения критической нагрузки и распределение давления на элемент АВ со стороны грунта.

Следует отметить, что при реальном приложении поперечного усилия к выступающему концу заглубленного элемента его движение является не параллельным переносом и не вращением вокруг нижнего конца или вокруг точки пересечения со свободной поверхностью, а вращением вокруг некоторой другой точки, лежащей между его нижним концом и дневной поверхностью. Поэтому, для получения достоверных количественных (и, возможно, новых качественных) результатов необходимо проведение исследований, более приближенных к реальности. Эти исследования могут иметь как экспериментальный, так и теоретический характер.

Данная работа посвящена исследованию деформирования полупространства заглубленным перпендикулярно поверхности элементом, испытывающим поперечную нагрузку, приложенную к его выступающему концу (рис. 0.2, 0.3). Интерес представляет напряженно-деформированное состояние грунта в окрестности заглубленного элемента, технические характеристики данной конструкции (какую силу надо приложить, чтобы вызвать первую подвижку в материале, а какую — чтобы опрокинуть заглубленный элемент). Также интерес представляет размер и форма области активного деформирования материала в окрестности заглубленного элемента.

Для ответа на поставленные вопросы проведены работы в двух направлениях:

1) экспериментальные исследования;

2) теоретические исследования путем математического моделирования процесса деформирования как с численной реализацией на ЭВМ, так и аналитически.

Целью работы является установление основных этапов и особенностей деформирования грунта в окрестности заглубленного элемента под действием поперечной нагрузки, выявление и оценка предельных нагрузок, соответствующих каждому этапу.

Идея работы состоит в исследовании с позиций механики деформируемого твердого тела напряженно-деформированного состояния полуплоскости при воздействиях на нее заглубленных элементов.

Задачи исследований:

• выявление этапов деформирования грунта заглубленным элементом, испытывающим поперечное усилие, приложенное к его верхнему концу и определение пределов изменения приложенной нагрузки на каждом из них;

• моделирование процесса деформирования грунта;

• анализ напряженно-деформированного состояния грунта в окрестности заглубленного элемента;

• получение оценок предельных нагрузок для изотропных и анизотропных грунтов.

Методы исследования:

• экспериментальное моделирование процесса деформирования;

• метод конечных элементов;

• метод верхней оценки предельной нагрузки;

• метод характеристик;

• методы численной оптимизации.

Научные положения, защищаемые в диссертации:

• этапы деформирования грунта заглубленным элементом под действием поперечной нагрузки, приложенной к его выступающему концу;

• особенности напряженно-деформированного состояния грунта в окрестности заглубленного элемента;

• механизм возникновения и развития локализованных деформаций в грунте при воздействии на него заглубленного элемента.

Достоверность результатов исследования следует из корректного использования теоретически и экспериментально обоснованных моделей и постановок задач для описания процессов деформирования и процессов возникновения и развития локализованных деформаций, применения метода конечных элементов и метода верхней оценки, обеспечивающих достаточную точность на рассматриваемом классе задач и из согласованности полученных результатов с экспериментальными данными.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• проведено исследование неизвестного ранее эффекта шарнирного вращения грунта около нижнего конца заглубленного элемента;

• показано существование двух предельных нагрузок: Ро, вызывающей появление необратимых локализованных деформаций, и вызывающей опрокидывание заглубленного элемента, предложены алгоритмы для их расчета;

• выявлена существенная асимметрия деформирования анизотропного грунта.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты позволяют определить значения предельных нагрузок и границы области локализации деформаций. Предложенные подходы могут быть использованы при расчете устойчивости фундаментов и подпорных стенок.

Личный вклад автора состоит в

• разработке опытной установки, проведении экспериментов по деформированию песка и анализе полученных данных;

• численном и аналитическом моделировании процесса деформирования грунта, анализе его напряженно-деформированного состояния и получении оценок предельных нагрузок;

• постановке краевой задачи о деформировании полуплоскости заглубленным элементом под действием поперечной нагрузки, выборе метода решения, составлении и отладке программ для ЭВМ;

• анализе и сравнений полученных численных, аналитических и экспериментальных результатов.

Апробация работы. Основные научные положения и результаты диссертации докладывались на Всероссийском семинаре " Проблемы оптимального проектирования сооружений", г. Новосибирск, 1997 г.; на 1-ой (1997 г.) и П-ой (1998 г.) Сибирских школах-семинарах молодых ученых "Математические проблемы механики сплошных сред", г. Новосибирск; на семинаре кафедры механики твердого тела Новосибирского государственного университета (1996-1999 гг.).

Публикации, По теме диссертации опубликовано 5 работ [3, 39-42].

Содержание работы по главам распределено следующим образом.

В главе 1 описываются экспериментальные исследования по деформированию песчаного грунта. Проведенные опыты выявили эффект шарнирного вращения грунта вблизи нижнего конца заглубленного элемента, впервые опубликованный в [3]. Эксперименты также показали наличие двух критических нагрузок, вызывающих 1) первую подвижку в грунте и 2) опрокидывание заглубенного элемента.

В главе 2 приводится постановка задачи о деформировании грунта до возникновения значительных локализованных деформаций и ее численное решение на ЭВМ методом конечных элементов. Проводится анализ полученного решения.

В главе 3 приводятся постановки задач о деформировании грунта после возникновения значительных необратимых деформаций. Для жестко-пластической изотропной среды методом верхней оценки с помощью кинематически допустимых полей скоростей, полученных а) из экспериментов и б) методом характеристик, построены верхние оценки предельной нагрузки. Полученные результаты обобщены на анизотропный жестко-пластический грунт. Используя условие Треска-Сен-Венана и Кулона-Мора, исследуются процессы возникновения и развития локализованных деформаций и анализируются особенности изменяющегося при этом напряженно-деформированного состояния грунта в окрестности заглубленного элемента.

В заключении приводятся основные результаты и выводы, полученные в работе.

Заключение.

На основании проведенных экспериментальных и теоретических исследований можно сформулировать следующие основные результаты диссертации.

1. Проведены экспериментальные исследования по деформированию песчаного грунта заглубленным элементом, испытывающим поперечное усилие, приложенное к его верхнему концу. Показано существование двух предельных нагрузок: вызывающей первую подвижку и ^х, вызывающей опрокидывание заглубленного элемента (.Ро составляет от 50% до 75% от При этом при нагрузках от ^о до ^ наблюдается локализация деформаций и эффект шарнирного вращения грунта.

2. Используя метод конечных элементов, получено и проанализировано напряженно-деформированное состояние грунта в окрестности заглубленного элемента на этапе до возникновения локализованных деформаций в упругом приближении.

3. Получена верхняя оценка предельной нагрузки, заведомо вызывающей возникновение необратимых деформаций как в изотропном, так и в анизотропном грунте.

4. Выявлены особенности деформирования анизотропного грунта, заключающиеся в том, что деформирование материала под штампом осуществляется несимметрично, выдавливание материала происходит с преобладанием на одну сторону.

5. Исследованы процесы возникновения и развития локализованных деформаций и проанализированы особенности изменяющегося при этом напряженно-деформированного состояния в грунте.

1. Алиев М.М. Двумерные статические задачи теории пластичности ортотропных тел. Автореф. дисс. . к.т.н. М., 1979.

2. Бабаков В.А., Каримов И.М. Вдавливание плоского штампа в пластическую среду // Физ.-техн. пробл. разр. полезн. ископ., № 1, 1978, с. 30-35.

3. Бабаков В.А., Колодко В.А., Стажевский С.Б. Плоский жесткий штамп под действием поперечной нагрузки // ПМТФ, № 1, т. 35, 1994, с. 147-151.

4. Баничук Н.В., Картвелишвили В.М., Черноусько Ф.Л. Численное решение осесимметричной задачи о вдавливании штампа в упруго-пластическую среду // Изв. АН СССР, МТТ, № 1, 1972, с. 50-57.

5. Беликов Б.П. Модули упругости различных типов горных пород СССР. Тр. ин-та гелогич. наук, вып. 146, Петрографическая серия, № 42, 1952, с. 3-38.

6. Беликов Б.П., Александров К.С., Рыжова Т.В. Упругие свойства породообразующих минералов и горных пород. М., Наука, 1970.

7. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М., Мир, 1984.

8. Биргер И.А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности // ПММ, т. 15, вып. 6, 1951, с. 765-770.

9. Бобряков А.П., Ревуженко А.Ф. Однородный сдвиг сыпучего материала. Дилатансия // Физ.-техн. пробл. разработки полезн. ископаемых, № 5, 1982, с. 23-29.

10. Билби Б., Эшелби Дж. Дислокации и теория разрушения. -В кн.: Разрушение. М., Мир, 1973, т. 1, с. 112-203.

11. Бондарь М.П. Тип локализации пластической деформации на контактах, определяющий образование прочного соединения / / Физика горения и взрыва, т. 31, № 5, 1995, с. 122-128.

12. Бундаев В.В. Исследование напряженно-деформированного состояния и разрушения массива горной породы с уступом. Автореф. дисс. . к.т.н., Новосибирск, 1982.

13. Быковцев Г.И. О плоской деформации идеально-пластических тел // Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, № 2, 1963, с. 66-74.

14. Быковцев Г.И. О поле скоростей при вдавливании плоского штампа в пластическое полупространство // ПММ, т. 25, № 3, 1961, с. 552553.

15. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Об определении предельной нагрузки тел, вдавливаемых в пластическую среду // Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение, № 1, 1961, с. 173-174.

16. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Плоская деформация идеальных жест-копластических тел с учетом изменения границы // Изв. АН СССР, МТТ, № 2, 1979, с. 72-78.

17. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1980.

18. Гениев Г.А., Курбатов A.C., Самедов Ф.А. Вопросы прочности и пластичности анизотропных материалов. М., Интербук, 1993.

19. Геогджаев В.О. Вариант решения задачи Прандтля // Изв. АН СССР, МТТ, № 6, 1975, с. 134-136.

20. Геогджаев В.О. Вдавливание выпуклого штампа в полуплоскость // Прикладная механика, т. 12, № 4, 1976, с. 128-131.

21. Григорьев О.Д. Об ограничении, накладываемом условием положительности рассеивания на краевые условия при плоской деформации жесткопластического тела // ПММ, т. 41, вып. 1, 1977, с. 188192.

22. Григорьев О.Д. О согласованности и корректности контактных скоростей и напряжений при вдавливании штампа в жесткопла-стическое тело // Изв. АН СССР, МТТ, № 3, 1977, с. 134-138.

23. Григорьев О.Д. О корректности задачи о вдавливании штампа в жесткопластическое тело // Изв. ВУЗ. Строительство и архитектура, № 4, 1977, с. 48-53.

24. Друянов Б.А. Начальное течение полосы при вдавливании гладкого криволинейного штампа. В кн.: Исследование пластического течения металлов. М., Наука, 1970, с. 98-106.

25. Дудукаленко В.В. К теории пластической анизотропии // ДАН УССР, № 7, 1961, с. 872-875.

26. Ержанов Ж.С., Каримбаев Т.Д. Метод конечных элементов в задачах механики горных пород. Алма-Ата, Наука, 1975.

27. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. М., Наука, 1978.

28. Жалнин В.А., Ивлев Д.Д., Мищенко B.C. О вдавливании кольцевого штампа в пластическое полупространство / / ПМТФ, № 6, 1961, с. 153-154.

29. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975.

30. Ивлев Д.Д. К теории идеальной пластической анизотропии // ПММ, т. 23, вып. 6, 1959, с. 1107-1114.

31. Ивлев Д.Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности и статики сыпучей среды // ПММ, т. 22, вып. 1, 1958, с. 90-96.

32. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М., Наука, 1966.

33. Ивлев Д.Д. О вдавливании тонкого тела вращения в пластическое полупространство // ПМТФ, № 4, 1960, с. 75-78.

34. Ишлинский А.Ю. Осесимметричная задача и проба Бринеля // ПММ, т. 8, вып. 3, 1944, с. 201-224.

35. Кандауров И.И. Механика зернистых сред и ее применение в строительстве. JL, Стройиздат, 1966.

36. Каримов И.М. Исследование процессов деформирования и разрушения материалов при статическом и динамическом нагружениях. Проникание твердых тел в преграды. Дисс. . к.ф.-м.н., Новосибирск, 1982.

37. Качанов J1.M. Основы теории пластичности. М., Наука, 1969.

38. Коврижных A.M. Об условиях локализации пластической деформации в металлах // ДАН СССР, т. 351, № 5, 1996, с. 630-632.

39. Колодко В.А. Оптимизация верхней оценки предельной нагрузки в задаче о воздействии заглубленного элемента на грунт / / Проблемы оптимального проектирования сооружений: Сб. докл. Всерос. семинара. Новосибирск: НГАС, 1997, ч. 1, с. 84-91.

40. Колодко В.А. О вдавливании плоского штампа в прямоугольный клин // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр. / РАН Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1998, вып. 113, с. 86-90.

41. Колодко В.А. О вдавливании плоского штампа в прямоугольный клин // Математические проблемы механики сплошной среды: Сб. тез. докл. Сиб. школы-семинара. Новосибирск: ИГиЛ-НГУ, 1997, с. 79.

42. Колодко В.А. О воздействии заглубленных элементов на анизотропный грунт // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр. / РАН Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1999, вып. 114, с. 166-169.

43. Коновалов А.Н. Решение задач теории упругости в напряжениях. Новосибирск, НГУ, 1979.

44. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. М., Машиностроение, 1975.

45. Мирзабекян Б.Ю. Обобщение задачи Прандтля о вдавливании штампа на случай эксцентриситета силы // Изв. АН СССР, МТТ, № 5, 1979, с. 127-139.

46. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М., Наука, 1980.

47. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основное задачи математической теории упругости. М., Наука, 1966.

48. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 1. М., ИЛ, 1954.

49. Никитин Л.В., Рыжак Е.И. Разрушение горной породы с внутренним трением и дилатансией // ДАН СССР, т. 230, № 5, 1976, с. 1203-1206.

50. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

51. Д. Норри, Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М., Мир, 1981.

52. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М., ИЛ, 1956.

53. Прандтль Л. О твердости пластических материалов и сопротивлении резанию. -В кн.: Теория пластичности. М., ИЛ, 1948, с. 70-79.

54. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М., Наука, 1988.

55. Ревуженко А.Ф. Введение в механику геоматериалов. Новосибирск, НГУ, 1988.

56. Ревуженко А.Ф. Предельное равновесие сыпучей среды с нарушенной структурой / / Физ.-техн. проб л. разработки полезн. ископаемых, 1974, № 2, с. 9-15.

57. Ревуженко А.Ф. О деформировании сыпучей среды. Ч. 1. Плоская модель // Физ.-техн. пробл. разработки полезн. ископаемых, 1980, № 3, с. 3-16.

58. Ревуженко А.Ф. О деформировании сыпучей среды. Ч. 2. Исследование плоской модели // Физ.-техн. пробл. разработки полезн. ископаемых, 1981, № 5, с. 3-13.

59. Ревуженко А.Ф. О деформировании сыпучей среды. Ч. 3. Условия на границе // Физ.-техн. пробл. разработки полезн. ископаемых, 1982, № 4, с. 13-21.

60. Ревуженко А.Ф. Математические модели и задачи упруго-пластического деформирования сыпучих сред. Автореф. дисс. . д.ф.-м.н., Новосибирск, 1984.

61. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б. Об учете дилатансии в основных справочных формулах механики сыпучих сред // Физ.-техн. пробл. разработки полезн. ископаемых, 1986, № 4, с. 13-16.

62. Розанов Ю.А. Влияние макроструктурных особенностей горных пород на анизотропность их механических свойств. Тр. ин-та гело-гич. наук, вып. 146, Петрографическая серия, Ks 42, 1952, с. 70-75.

63. Роско К. Значение деформаций в механике грунтов // Механика (период, сб. пер. иностр. статей), № 3, 1971, с. 91-145.

64. Рыхлевский Я. О корректности решений задач идеальной пластичности // Бюллетень Польской АН, сер. техн. наук, 1963, т. 2, № 6, с. 225-232.

65. Серяков В.М. Об одном подходе к расчету напряженно-деформированного состояния массива горных пород в окрестности выработанного пространства // Физ.-техн. пробл. разработки полезн. ископаемых, № 2, 1997, с. 14-21.

66. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды. М., Наука, 1990.

67. Соколовский В.В. Теория пластичности. M.-JI., Гостехиздат, 1950.

68. Справочник (кадастр) физических свойств горных пород. Под ред. Мельникова Н.В., Ржевского В.В., Протодьяконова М.М., М., Недра, 1975.

69. Теория пластических деформаций металлов. /Унксов Е.П., Джонсон У., Колмогоров B.JI. и др.; Под ред. Унксова Е.П., Овчинникова А.Г. М., Машиностроение, 1983.

70. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., Наука, 1975.

71. Харди С., Баронет С.Н., Тордион Дж.В. Вдавливание жесткой сферы в упруго-пластическое полупространство // Механика (период, сб. пер. иностр. статей), № 2, 1972, с. 126-136.

72. Хил л Р. Математическая теория пластичности. Л., Гостехиздат, 1956.

73. Чанышев А.И. Механическая модель упругопластического тела // ПМТФ, № 5, 1989, с. 136-144.

74. Чанышев А.И. Построение математических моделей упругопласти-ческих сред. Автореф. дисс. . д.ф.-м.н., Новосибирск, 1995.

75. Шемякин Е.И. Новые представления в механике разрушения // Физика и механика разрушения горных пород применительно к горной геомеханике и сейсмологии: сб. тр. семин., С.-Петербург, 7-9 сент., 1993. С.-Петербург, 1994, с. 212-225.

76. Arthur J.R.F., James R.G., Roscoe К.Н. The determination of stress fields during plane strain of a sand mass // Geotechnique, vol. 14, № 4, 1964, p. 283-308.

77. Babakov V.A., Kolodko V.A. and Stazhevskii S.B. Flat rigid die under a transverse load // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, vol. 35, № 1, 1994, p. 150-154.

78. James R.G., Bransby P.L. Experimental and theoretical investigations of a passive earth pressure problem // Geotechnique, vol. 20, № 1, 1970, p. 17-37.

79. Lucia J.B.A. Passive earth pressure and failure in sand, Research project report, Mechanical Sciences Tripos, University of Cambridge, 1966.

80. Nesterenko V.F., Bondar M.P., Ershoy I.V. Instability of plastic flow of dynamic collapse // High Pressure Science and Technology, American Inst, of Phys., 1994, p. 1173-1176.

81. Reynolds O. On the dilatancy of media composed of rigid particles in contact // Phil. Mag. S. 5, vol. 20, № 127, Dec. 1885, p. 469-481.

82. Sadowsky M. Zweidimensionale Probleme der Elastizitatstheorie // ZAMM, 8, № 2, 1928, 107-121.