автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование контактного взаимодействия основания и плит покрытия временных автомобильных дорог

На правах рукописи

РАКОВСКАЯ Марина Ивановна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОСНОВАНИЯ И ПЛИТ ПОКРЫТИЯ ВРЕМЕННЫХ АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Петрозаводск 2004

Работа выполнена в Петрозаводском государственном университете

Научный руководитель: к.т.н., доцент Колесников Г.Н

Официальные оппоненты:

заслуженный деятель науки РФ, д.т.н.,профессор Б.К. Михайлов; к.т.н., доцент ЕА Питухин

Ведущая организация: ГУП Республики Карелия Карелавтодор

Зашита состоится декабря 2004 г. в часов на заседании диссертационного совета Д212.190.03 при Петрозаводском государственном университете по адресу: 185910, г.Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петрозаводского университета

Автореферат разослан ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н., доцент

В.В. Поляков.

ОБШДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время интенсивно разрабатываются методы решения задач, появляющихся при моделировании контактного взаимодействия деформируемых тел, что обусловлено как потребностями инженерной практики, так и недостаточной изученностью ряда вопросов. Задачи, требующие математического моделирования таких объектов, как балки и плиты, опирающиеся на различного вида деформируемые основания, весьма разнообразны, примером могут быть фундаменты, понтонные мосты, подпорные стенки, многоопорные валы некоторых механизмов и машин, трубопроводы и т. д. В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся только к одному классу многочисленных задач контактного взаимодействия, что отражено в названии работы.

Многие методы расчета дорожных одежд либо не находят практического применения из-за сложности, громоздкости, либо упрощены, ориентированы на простейшие вычислительные операции или использование таблиц, что вступает в противоречие с требованиями точности. Возможности и преимущества новых компьютеризированных подходов делают очевидной необходимость создания таких математических моделей рассматриваемых объектов, которые были бы достаточно адекватны, физически «прозрачны», не сложны в использовании.

Цель работы. Разработка эффективных в вычислительном отношении моделей и алгоритмов для решения задач конечно-элементного анализа контактного взаимодействия плит и балок с основанием.

Научная новизна. Научная новизна исследования определяется следующим:

1. В результате рассмотрения известной интерпретации расчета механической системы как решения линейной задачи о дополнительности выявлена возможность применения одного из существующих алгоритмов ее решения в конечно-элементном моделировании.

2. С использованием выявленной возможности разработан вариант алгоритма последовательного выключения связей, предназначенный для использования в конечно-элементных моделях.

3. Предложенный вариант алгоритма впервые использован при моделировании контактного взаимодействия деформируемого осно-

вания и плиты на примере покрытия временных автомобильных дорог.

4. Результаты тестирования разработанного алгоритма позволяют рекомендовать его для использования в качестве несложного, физически «прозрачного» и эффективного в вычислительном отношении инструмента исследования напряженно-деформированного состояния балок, плит, системы плит на упругом основании.

Достоверность результатов вычислений по предлагаемым алгоритмам определена их теоретическим обоснованием и подтверждена рассмотрением тестовых примеров с известными по литературе точными решениями, полученными другими методами. Достоверность данных, полученных с использованием разработанной модели контактного взаимодействия подтверждена их адекватностью известным по литературе результатам испытаний реальных плит покрытия временных автомобильных дорог.

Объекты и методы исследования. Объектом исследования является система «основание-плита покрытия временной автомобильной дороги». Предмет исследования - взаимодействие плиты и основания. Для решения поставленных задач были использованы элементы теории механики твердых деформируемых тел, линейной алгебры и численные методы.

Научные положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Методика моделирования контактного взаимодействия, основывающаяся на разработанном варианте алгоритма последовательного выключения связей.

2. Модель для численного анализа контактного взаимодействия деформируемого основания и плиты, построенная с использованием предложенного алгоритма.

3. Результаты моделирования с использованием разработанной методики.

Практическая значимость.

Построен эффективный в вычислительном отношении алгоритм анализа механических систем односторонними ограничениями перемещений с использованием основных соотношений метода конечных элементов.

Продемонстрирована реализация алгоритма в задачах моделирования балок и плит на упругом основании на примере плит дорожных покрытий.

Разработанная методика позволяет решать различные задачи, встречающиеся при проектировании дорожных покрытий. Это задачи определения зоны контакта плиты (балки) с основанием; получения необходимых данных для дальнейшего конструктивного поек-тирования; построения линий влияния усилий и прогибов; моделирования системы связанных между собой плит (балок); определение толщины сжимаемого слоя под плитой (балкой).

Апробация работы. Полученные в диссертации результаты были представлены в докладах на Междисциплинарной конференции с международным участием НБИТТ-21 (Петрозаводск, 2004); на VI международной научно-технической конференции «Новые информационные технологии в целлюлозно-бумажной промышленности и энергетике» (Петрозаводск, 2004); на семинарах кафедры механики и кафедры математического моделирования систем управления Петрозаводского госуниверситета (2004).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, основных выводов и рекомендаций, списка использованной литературы, приложений. Общий объем работы: 148 страниц, 40 рисунков. Список использованной литературы включает 87 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируется цель, научные положения, выносимые на защиту.

В первом разделе рассматриваются вопросы, связанные с теорией механических систем с односторонними связями, рассмотрены известные варианты моделирования механических систем с односторонними связями.

Односторонняя связь препятствует перемещению точек конструкции только в одном направлении. Правило знаков для реакции г и перемещения и односторонней связи выбирают таким, чтобы допустимое по природе связи усилие и перемещение считались положительными. Односторонняя связь может находится в одном из двух состояний:

Рабочее состояние (связь включена), Нерабочее состояние (связь выключена),

Основная проблема теории расчета систем с односторонними связями состоит в том, чтобы выяснить, какие из связей участвуют в работе при действии заданной нагрузки, а какие - нет, т.е. выяснить рабочую схему. Такие механические системы являются конструктивно нелинейными, так как имеет место изменение расчетной схемы по мере деформирования конструкции.

Первые исследования механических систем с односторонними связями относятся к середине XIX века (Д.И. Журавский, 1850). В начале XX века исследования по механике систем с односторон-нимим ограничениями перемещений особенно интенсивно развивались в Германии. В 1950 г. появился алгоритм, предлагавший первый вариант анализа состояния односторонних связей (И.М. Рабинович, 1950), основывающийся на итерационной процедуре перебора рабочих схем. В силу своей простоты и физической очевидности этот алгоритм до настоящего времени используется в расчетах, хотя он не гарантирует сходимости и способен привести к зацикливанию (А.В. Перельмутер, В.И. Сливкер, 2002). Подход, в котором расчет конструкций с односторонними связями был сведен к задаче квадратичного программирования, появился в 60-х годах (В.Н. Гордеев, А.В. Перельмутер, 1967). Современное состояние этого вопроса отражено в книге (А.В. Перельмутер, В.И. Сливкер, 2002). Основу для математических моделей очередного поколения создало появление работ по негладкой механике (Дж. Моро, 1988; П. Панагиотопулос, 1989). В настоящее время исследованиям в этой области уделяется большое внимание, результаты, обзоры, библиография представлены, например, в работах И.И. Аргатова, Г.В. Василькова, Я. Га-слингера, И. Главачека, К. Глоккера, Д. Киндерлерера, И. Нечас, Ф. Пфайффера, Л.А. Розина, Г. Стампаккья. Основные результаты в области методов решения задач механики взаимодействия деформируемых тел, полученных российскими и зарубежными исследователями в последней четверти XX века представлены в книгах СМ. Алейникова (2000), В.М. Александрова (2001).

К сожалению, ограничение на объем диссертационной работы не позволяют даже кратко прокомментировать в ней все известные соискателю публикации по теме диссертации.

Для разработки алгоритмов моделирования механических систем рассматриваемого класса особый интерес представляет применение методов решения задачи о дополнительности.

Линейной задачей о дополнительности называется задача ре-

шения системы неравенств и уравнений:

У = АХ + В, У > О, Л' > О, у;Х, =0 1 = 1, ...,71.

(2) (3)

Искомыми являются элементы векторов X = [х1,х2,—,хп] и У = [у!, у2,..., уз], имеющие смысл статических и кинематических параметров состояния моделируемой системы. Уравнения (2) задают существующие зависимости между ними. Конкретное физическое содержание параметров зависит от метода расчета конструкции. Условия дополнительности (3) отражают физический смысл односторонней связи - нулевое значение одного из параметров (реакции или перемещения), ее характеризующих. По физическому смыслу рассматриваемой задачи матрица А - квадратная, симметричная, положительно определенная, правила формирования этой матрицы, а также вектора В, известны.

Для решения задачи (2-3) в настоящее время применяется, как наиболее эффективный, метод Лемке (Г. Реклейтис, 1986; Л.Д. Попов, 2001; А.Д. Ловцов, 2003). Однако, возможности приложений сегодня ограничены трудностями вычислительного характера. Затруднения в алгоритме метода Лемке могут быть связаны, например, с выбором начальной точки, а также с возможностью зацикливания , при вычислениях могут возникать серьезные проблемы, касающиеся времени счета (Л.Д. Попов, 2001; Ф. Пфайффер, К. Глоккер, 2000,

Очевидно, что если в математическом описании механической системы с односторонними ограничениями перемещений учесть физический смысл очередности перехода односторонних связей в действительное состояние, можно построить алгоритм решения линейной задачи о дополнительности, имеющий более высокую вычислительную эффективность (Г.Н. Колесников, 1999-2004). В указанных работах сформулирован и обоснован закон об очередности: при установлении воздействия односторонние связи механической системы переходят из возможного состояния в действительное поочередно, в порядке достижения их реакциями или совместными с ними перемещениями порога переключения.

Переход ьтой связи из возможного состояния в действительное математически означает не что иное как выполнение одного шага жорданова исключения над системой (2) с разрешающим элементом

2001).

а,-,- матрицы А В том случае, если до выполнения исключения уравнение 1 выражало зависимость 1-того перемещения от реакций,

то после выполнения исключения уравнение i будет выражать зависимость 1-той реакции от остальных реакций и перемещения I

Таким образом, состояние рассматриваемой механической системы до и после перехода любой связи в действительное состояние описывается системой линейных алгебраических уравнений соответственно до и после одного шага жордановых исключений. Основная цель - выявить все равные нулю параметры состояния и перевести их в правую часть системы.

Ключевая роль при этом принадлежит очередности исключений. Закон последовательного выключения связей указывает на то, что при установлении воздействия на механическую систему из текущего в альтернативное состояние переходит та односторонняя связь г, которой соответствует максимальное по модулю отрицательное значение ненулевого параметра. Таким образом, выявлен критерий выбора разрешающего элемента на каждом шаге жордановых исключений. Этот критерий и составляют основу алгоритма.

Алгоритм последовательного выключения связей.

1. На старте поиска решения системы (2) с ограничениями (3) принято ж,- = 0. Тогда у,- = В. Если все элементы вектора В положительны, то получено решение задачи. Если среди элементов вектора есть отрицательные, то минимальный из них, пусть это будет

определяет 5 - номер разрешающей строки.

2. По физическому смыслу задачи элементы матрицы А, стоящие на главной диагонали, не могут быть отрицательными. Если же

то механическая система является изменяемой. Выявление этой возможности рассматривается как результат решения задачи и вычисления прекращаются. При а», ф 0 производится переход к следующему шагу.

3. Элемент а„ рассматривается как разрешающий. Выполняется жорданово исключение над матрицей коэффициентов и вектором свободных членов системы уравнений. Переход к шагу 1.

Описание алгоритма произведено для случая, когда на старте вычислений все односторонние связи считаются находящимися во включенном сосотоянии.

Представленный алгоритм был предложен для задач классической строительной механики и биомеханики (Г.Н. Колесников, 19992004).

В данной работе алгоритм последовательного выключения связей применен в рамках конечно-элементного моделирования механических систем с односторонними связями, где он позволил построить достаточно экономичную и универсальную альтернативу другим известным вычислительным схемам решения задач рассматриваемого класса.

Во втором разделе разрабатывается вариант моделирования балок и плит на упругом основании как механических систем с односторонними связями.

Анализ литературы показывает, что существует большое количество методов расчета балок, плит на упругом основании, получивших широкое применение на практике. Многие методы иногда не вполне пригодны для практического применения, но имеют большую теоретическую ценность. До настоящего времени актуальными остаются вопросы взаимодействия различных конструкций с грунтовым основанием.

Грунт сопротивляется только надавливанию и не препятствует перемещению точек конструкции, которая на него опирается, в противоположном направлении. Чтобы воспользоваться методом расчета, необходимо заранее знать, каковой будет под заданной нагрузкой так называемая зона контакта грунта и конструкции .

Как правило, классические методы расчета основываются на предположении, что зона контакта известна. Если это не так, то предлагается после получения результатов первого расчета, скорректировать первоначальные предположения о зоне контакта и расчет повторить, превращая его таким образом в итерационную процедуру. Указания на то, что при расчете считается известной зона контакта и считается невозможным появление отрицательных усилий между конструкцией и основанием, можно найти при описании классических методов расчета балок и плит на упругом основании (например, Б.Н. Жемочкин, М.И Горбунов-Посадов, И.М. Рабинович, И.И. Черкасов, И.А. Симвулиди).

Между тем, системы «балка-основание» и «плита-основание»,

в которой грунт сопротивлятся перемещению опирающейся на него конструкции только в одном направлении, является типичным примером механической системы с односторонними связям. Как уже отмечалось, основная задача анализа систем с односторонними связями состоит в том, чтобы выяснить, какие из связей участвуют в работе при действии заданной нагрузки, а какие - нет, т.е. выяснить рабочую схему. Это позволяет подойти к задаче определения зоны контакта в системе «плита-основание» с точки зрения методов односторонней механики.

Предлагаемый вариант моделирования балок и плит на упругом основании как механических систем с односторонними связями.

- Балка (плита) и основание рассматриваются соединенными друг с другом односторонними связями, количество связей определяет точность окончательного результата.

- Зависимость между нагрузкой на основание и его осадкой определяется принятой моделью основания. Модель балки (плиты) считается известной, используется конечно-элементное ее представление. Расчетная модель основания также считается известной.

- В случае отрыва некоторой точки балки (плиты) от грунта, соответствующая связь перестает входить в число работающих. Признаком отрыва является отрицательный знак реакции, возникающей в стержне-связи, моделирующем одностороннюю связь (рис. 1).

Рис. 1: Моделирование балки на упругом основании как механической системы с односторонними связями.

С целью сделать рассматриваемые модели «балка-основание», «плита-основание» более определенными, в качестве физического объекта для исследования приняты балки и плиты временных автомобильных дорог, используемых в лесопромышленном комплексе.

Особенностью почвогрунтов в условиях лесов Северо-Запада России является их высокая влажность. Песок и грунты с высокой влажностью обладают низкими распределительными свойства-

ми, т.е. основание образовано несвязными или почти несвязными грунтами, которые приактически не обладают распределительными свойствами. Именно для таких случаев адекватной является механическая модель основания балок и плит, предложенная Винклером.

В случае применения гипотезы основания Винклера зависимость между давлением на упругое основание и его осадкой считается прямо пропорциональной

где р - давление на упругое основание в некоторой точке, равное его реакции, у - осадка основания в той же точке, к - параметр, зависящий только от физических свойств основания, называемый коэффициентом постели. При этом реальное основание моделируется совокупностью упругих, не связанных между собой пружин (рис. 2).

Рис. 2: Балка на винклеровом упругом основании.

Жесткость пружин назначается исходя из механических свойств основания. Возникающая в пружине реакция, соответствующая ее растяжению, означает отрыв соответствующей точки конструкции от основания.

Необходимо подчеркнуть, что выбор конкретной механической модели основания нисколько не снижает общности рассуждений и сделан лишь с целью избежания излишней детализации. В рамках разработанной модели используется конечно-элементное представление как конструкции так и основания. Таким образом, рассмотрение в качестве основных примеров балок и плит на основании Винклера не ограничивает использование предлагаемой методики исследования их взаимодействия с конечно-элементной моделью любого другого основания, учитывающего желаемые свойства, в том числе, например, сложный рельеф местности.

В третьем разделе разрабатывается методика конечно-элементного моделирования механических систем с односторонними связями, основанная на алгоритме последовательного выключения связей.

В настоящее время анализ напряженно-деформированного состояния механических систем выполняется с применением программных комплексов, реализующих, как правило, метод конечных элементов. Предлагаемая методика анализа взаимодействия плиты и основания органично вписывается в стандартную процедуру метода конечных элементов.

Общая система уравнений метода конечных элементов для механической системы будет представлять собой систему уравнений равновесия в п узловых точках, записанную в виде:

где R-вектор узловых усилий, К-матрица жесткости механической системы, U-вектор узловых перемещений, Р-вектор внешних узловых сил.

Правила формирования матрицы жесткости К и Р-вектора внешних узловых сил известны (например, ВА Постнов, 1987; РА Хечумов, 1994).

В общем случае определитель матрицы равен нулю, поэтому для дальнейшей работы с ситемой (8) необходимо учесть заданные граничные условия, т.е. имеющиеся кинематические закрепления в отдельных узлах по направлению некоторых узловых перемещений.

Существующие способы учета граничных условий при анализе механической системы с двухсторонними связями использовать при наличии односторонних связей не представляется возможным, поскольку заранее не известна рабочая схема конструкции.

В существующих конечно-элементных программных комплексах анализ таких механических систем осуществляется на основе итерационных методов, сводящих нелинейный расчет к серии линейных расчетов. Причем предполагается использование задаваемых пользователем специальных параметров расчета от значения которых зависит характер сходимости к единственному решению.

В данной работе предлагается методика, позволяющая свести задачу конечно-элементного анализа механической системы с односторонними ограничениями перемещений к алгебраическим преобразованиям матриц, входящих в стандартные соотношения метода конечных элементов (8).

Разработанная методика анализа механической системы, с односторонними связями по соотношениям (8) метода конечных элементов.

1. Выполнив, если необходимо, перенумерацию элементов матриц и векторов в системе (8), выделяют среди всех п узловых перемещений нулевые по физическим условиям задачи и', то есть те, на которые наложены кинематические связи

и' = 0, г( - подлежат определению (9) '

и узловые перемещения, на которые кинематические связи не наложены. Эти перемещения, как результат деформирования элементов системы, могут быть отличны от нуля, но реакции по их направлениям (в силу отсутствия связей) будут нулевыми

г' =0, и/ — подлежат определению (10)

Остальные о перемещений и реакций относятся к односторонним связям, их значения подлежат определению, для них должны выполняться следующие условия:

и0 > 0, г°>0, и°г° = 0. (11)

Система (12) из п уравнений с 2п неизвестными имеет бесконечное множество решений, но лишь одно из них отвечает искомой рабочей схеме конструкции.

2. Переменные, находящиеся в правой части системы считаются свободными принимаются равными нулю:

41 = 0, (г = 1...п)

(13)

Переменные, находящиеся в левой части считаются базисными и равны свободным членам соответствующих уравнений

и; = 0, Г1 = Ь<, (I = 1...П)

(14)

3. Выполняют / жордановых исключений над переменными, входящими в блок » = (< + 1)...(< + /) с выбором в качестве разрешающих элементов, стоящих на главной диагонали матрицы жесткости. По окончании данного шага система приводится к виду (15). Элементы матриц и векторов имеют пометку (~) в знак того, что их значения пересчитаны. Произведенные действия означают перегруппировку переменных, так, чтобы те из них, которые по своему физическому смыслу заведомо имеют нулевые значения, оказались в роли свободных

г' к" к" к"

и> = к" к" к"

г° к'* к'' к°°

(15)

Далее остается выяснить, какие из о связей в конструкции окажутся рабочими, а какие нет, т.е. к о уравнениям под номерами (¿ = < + /+ 1...п) применить алгоритм последовательного выключения связей.

4. В полученной на третьем шаге системе (15) проверяются значения свободных членов, относящиеся к неизвестным блока о, т.е. значения элементов преобразованного на третьем шаге вектора внешних узловых сил с номерами г = (< + / + 1)...п. Если все упомянутые элементы положительны, решение найдено, расчет закончен. Если нет, осуществляется переход к следующему шагу.

5. Среди элементов вектора внешних узловых сил Р с номерами ищется максимальный по модулю отрицательный элемент р9. Выполняется шаг жордановых исключений с парой неизвестных Далее осуществляется возврат к 4 шагу.

Таким образом, жордановы исключения выполняются над всей системой (15), но в качестве разрешающего по требованию алгоритма может быть выбран только элемент, стоящий на главной диагонали внутри блока

матрицы В следствии этого не нарушаются условия равенства ну-

лю реакций по направлению свободных от связей перемещений г^, и равенства нулю перемещений по направлению наложенных двухсторонних связей и8. Перемещения же и реакции односторонних связей оказываются распределенными между левой и правой частями системы. Причем, их значения неотрицательны, и перемещение и реакция с одним и тем же номером не имеют одновременно ненулевого значения

Результатом работы является приведение системы к виду (16). Неизвестные, находящиеся на данный момент в правой части системы равны нулю, переменные, находящиеся в левой части равны значениям соответствующих свободных членов уравнений и представляют собой не что иное, как решение задачи.

Практическая реализация предлагаемой методики .

- Этап составления конечно-элементной модели «конструкция-основание» (в предположении, что заданные односторонние связи включены) и получения основной системы соотношений (8) осуществляется с помощью стандартных процедур конечно-элементного расчетного комплекса.

- Решение системы производится с использованием введенной в библиотеку конечно-элементного расчетного комплекса новой вычислительной процедуры, реализующей предлагаемый алгоритм.

В разделе 3 показано, реализация предлагаемого алгоритма требует не большего объема вычислений, чем одна итерация при решении задачи итерационным методом.

Использование предлагаемой методики подробно продемонстрировано на тестовых примерах (А.В. Перельмутер. В.И. Сливкер, 2002), для которых известны точные решения.

В четвертом разделе рассмотрено применение разработанной методики к задачам моделирования балок и плит на упругом основании с использованием исходных данных и результатов экспериментальных исследований покрытий лесовозных дорог из железобетонных плит (А.Н. Кочанов, 1979). Элемент покрытия лесовозной дороги - плита, свободно лежащая на упругом основании или шарнирно-соединенная с соседними плитами. Нагрузка на плиту складывается из нагрузки от собственного веса и нагрузки от колес лесовозного автопоезда.

Рассмотрены примеры моделирования и расчета плиты, балки, системы из нескольких плит, лежащих на упругом основании, построения линий влияния, определения толщины сжимаемого слоя. Полученные результаты адекватны имеющимся результатам экспериментальных исследований.

С моделями рассматриваемых объектов проводился также ряд численных экспериментов по определению зависимости итоговых результатов от исходных параметров задачи. Так, было обнаружено, что при определенных соотношениях параметров рассматриваемой в данном разделе задачи локализация отрыва плиты от основания имеет особенности, которые не могут быть выявлены с помощью простейших балочных моделей. Это становится очевидным при рассмотрении поведения односторонних связей во время постепенного увеличении нагрузки от нулевого до конечного значения Р (рис. 3).

По достижении нагрузки некоторого значения распределение зоны отрыва (а также усилий) становится таким, что плита может рассматриваться как балка (рис. 3,ф, что согласуется с известными по литературе экспериментальными и теоретическими данными (например, Б.Н. Жемочкин, М.И Горб-нов-Посадов, И.А Симвулиди, И.И. Черкасов). Более подробное исследование этих зависимостей выходит за рамки данной работы.

Проводилось численное исследование зависимости осадок, реактивных давлений и усилий в плите от ее жесткости и жесткости основания. Получены выводы во многом адекватны известным по литературе исследованиям работы балок и плит на упругом основании в зависимости от расчетных данных (М.И. Горбунов-Посадов, 1984). Так, например, зависимость максимальной расчетной осадки

с) d)

Рис. 3: Зона отрыва плиты от основания при постепенном увеличении нагрузки . а) 0,15Р; Ь) 0,2Р; с) 0,3P d) 0,5Р

рассматриваемой плиты от различных значений жесткостей плиты и основания при действии приложенной в центре нагрузки изображена на рис. 4.

Представленные в работе результаты показывают правомерность применения разработанной методики для рассматриваемых задач и задач более широкого класса.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ

1. В работе предложен подход к моделированию системы «плита (балка)-основание» как механической системы с односторонними связями.

2. Предложена методика конечно-элементного моделирования механических систем с односторонними ограничениями перемещений, основанного на алгоритме последовательного выключения связей, которая позволяет свести задачу к алгебраическим преобразованиям матриц, входящих в стандартные соотношения метода конечных элементов.

3. Компьютерная реализация предложенной методики не требует создания принципиально новых программных комплексов, поскольку сводится к дополнению известных комплексов несложным расчетным модулем, осуществляющим матричные алгебраические преобразования.

4. Достоверность результатов работы подтверждена решением тестовых примеров и адекватности полученных расчетных данных

Рис. 4: Зависимость максимальной расчетной осадки от жесткостей плиты и основания.

результатам известных по литературе экспериментальных и теоретических исследований конструкций рассматриваемого класса.

5. Разработанная методика апробирована на задачах , встречающихся при проектировании дорожных покрытий.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Раковская М.И. Алгоритмы моделирования механических систем с односторонними связями / Тез. докл. междисциплинарной конф. НБИТТ-21. Петрозаводск, 28 - 30 мая 2004. Петрозаводск: ПетрГУ, 2004. С. 56.

2. Раковская М.И. Об одном алгоритме решения линейной задачи о дополнительности / Петрозаводск: ПетрГУ, 2004.10 с. Деп. в ВИНИТИ 06.08.2004, № 1378-В2004.

3 Номеровкин А. А., Раковская М.И. Применение математического моделирования при анализе механогенеза некоторых травм / Тез. докл. VII Всеросс. конф. по биомеханике: В двух томах. Том I. -Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2004. С.130-132.

4. Колесников Г.Н., Раковская М.И. Алгоритм моделирования балок и плит на неоднородном упругом основании / VI международная научно-техн. конф. «Новые информационные технологии в

целлюлозно-бумажной промышленности и энергетике». Материалы конференции (Петрозаводск, 20-24 сентября 2004).- Петрозаводск, ПетрГУ,.2ОО4. С. 91-92.

5. Колесников Г.Н., Раковская М.И. Алгоритмы решения линейной задачи о дополнительности и дискретные модели механических систем / Электронный журнал «Исследовано в России», 2004 г. № 164. С.1770-1778. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/164.pdf

Подписано к печати 12.11.04. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд.л 1. Усл.кр.-отт. 6. Тираж 100 экз. Изд. №226

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Петрозаводский государственны йуниверситет

Отпечато в типографии Издательства ПетрГУ 185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33

>23 8 39

Введение

1 Моделирование механических систем с односторонними связями.

1.1 Краткий обзор литературы.

1.2 Элементы теории механических систем с односторонними связями.

1.3 Методы и алгоритмы моделирования и анализа систем с односторонними связями.

1.3.1 Алгоритм последовательного перебора рабочих схем.

1.3.2 Применение методов математического программирования

1.3.3 Использование методов решения линейной задачи о дополнительности.

1.3.4 Алгоритм последовательного выключения связей.

1.4 Методы решения линейной задачи о дополнительности

1.4.1 Аппарат жордановых исключений.

1.4.2 Решение линейной задачи о дополнительности с помощью метода Лемке.

1.4.3 Шаговый метод определения неотрицательного решения системы линейных уравнений.

2 Балки и плиты на упругом основании как механические системы с односторонними связями

2.1 Краткий обзор литературы.

2.2 Выбор расчетной модели грунтового основания.

2.3 Предлагаемый вариант моделирования плиты (балки) на упругом основании. з Конечно-элементное моделелирование механических систем с односторонними связями

3.1 Основные понятия метода конечных элементов.

3.2 Учет кинематических граничных условий.

3.3 Жордановы исключения с матрицей жесткости системы.

3.4 О методиках учета конструктивной нелинейности в некоторых известных конечно-элементных программных комплексах.

3.5 Описание предлагаемой конечно-элементной методики моделирования механических систем с ограничениями на параметры в виде нестрогих неравенств.

3.5.1 Разработка методики анализа механической системы с односторонними связями на основе метода конечных элементов.

3.5.2 Практическая реализация предлагаемой методики.

3.5.3 Оценка объемов вычислений при анализе нелинейной модели.

3.5.4 Апробация методики при решении тестовой задачи.

4 Применение разработанных алгоритмов в задачах моделирования балок и плит на упругом основании

4.1 Моделирование системы плита-основание

4.2 Моделирование системы балка-основание.'

4.3 Моделирование системы балок.

4.4 Построение графиков зависимости расчетных параметров от положения подвижной нагрузки.

4.5 К определению толщины сжимаемого слоя

Механика контактных взаимодействий представляет в настоящее время большую и быстро развивающуюся область механики сплошных сред. Объясняется это тем, что лишь в результате решения контактных задач могут быть сформулированы граничные условия на поверхности деформируемых тел, адекватные действительности. Анализ литературы показывает, что в данной области исследований имеется ряд недостаточно изученных аспектов.

В представленном диссертационном исследовании рассматриваются задачи, относящиеся только к одному классу многочисленных задач контактного взаимодействия, что отражено в названии работы. При этом в центре внимания находится взаимодействие плит и балок с основанием. Модель плиты считается известной, используется конечно-элементное ее представление. Модель основания также считается известной. Исследуется проблема определения области контакта плиты с основанием. При этом воздействие на плиту может быть произвольным и определяется условиями эксплуатации реального объекта, моделью которого служит, система «плита-основание». Основание может быть неоднородным, плита может иметь переменную толщину и произвольную форму, также определяемую назначением и условиями эксплуатации указанного объекта. Подлежащая определению область контакта может быть одно-связной или многосвязной.

Необходимость решения задач рассматриваемого в диссертации класса часто возникает в различных областях техники. Эти задачи весьма разнообразны, каждая из них имеет свои особенности. К их числу могут быть отнесены такие задачи, требующие математического моделирования объектов как балок и плит, опирающихся на различного вида деформируемые основания, как, например, расчет конструкций фундаментов; понтонных мостов; подпорных стенок; многоопорных валов некоторых механизмов и машин, трубопроводов и т.д.

В качестве объекта исследования в диссертации рассматривается система «основание-плита» покрытия временной автомобильной дороги. Предмет исследования - взаимодействие плиты и основания.

Актуальность решения задач, связанных с моделированием названных систем обусловлена как потребностями инженерной практики строительства и эксплуатации автомобильных дорог различного назначения, так и необходимостью совершенствования методов расчета и анализа напряженно-деформированного состояния дорожных покрытий.

Анализ литературы по теме работы показывает, что существующие методики расчета дорожных одежд, например, нежесткого типа из-за сложности, громоздкости трудны для практического применения. Стремление к ее упрощению приводит к необходимости в ущерб точности ориентироваться на простейшие вычислительные операции или использование таблиц [81, 72], что входит в противоречие с необходимостью более полного учета накапливаемых эмпирических данных.

Как известно, на основе обобщения практического опыта разрабатываются СНиПы (строительные нормы и правила), представляющие собой свод требований, которые должны выполняться при проектировании новых и эксплуатации существующих инженерных сооружений. Однако, и в СНиП можно встретить пункты рекомендательного характера, а также пункты, в которых нет детальной регламентации действий разработчика проекта или инженера-расчетчика. Отсутствие детальной регламентации свидетельствует о недостаточной изученности соответствующих аспектов проблемы и по умолчанию требует концентрации внимания исследователей именно на них.

Обращает на себя внимание в этой связи, например, пункт 7.23 СНиП 2.05.02-85. Автомобильные дороги [73]: «Напряжения и деформации нежестких дорожных одежд и земляного полотна под действием расчетной нагрузки следует определять с применением методов теории упругости с учетом наихудших из возможных условий сопряжения слоев на контакте». Приемлемый для инженеров метод определения наихудших из возможных условий сопряжения слоев на контакте был бы указан в СНиП, если бы такой метод существовал. Обратим также внимание, например, на пункт 3.2 Отраслевых дорожных норм ОДН [48]: «Методика оценки прочности конструкции включает как оценку прочности конструкции в целом (с использованием эмпирической зависимости допускаемого упругого прогиба от числа приложений нагрузки), так и оценку прочности с учетом напряжений, возникающих в отдельных конструктивных слоях и устанавливаемых с использованием решений теории упругости.»

Не перечисляя очевидные преимущества новых компьютеризированных подходов, отметим, что в настоящее время очевидна необходимость разработки эффективной в вычислительном отношении математической модели для решения определенного класса задач о взаимодействии основания и плиты покрытия автомобильной дороги. При этом особую актуальность, что также очевидно, имеет разработка модели достаточно полной, но не избыточно сложной, и с удобной компьютерной реализацией. Заметим, что для инженеров важна физическая «прозрачность» моделей и алгоритмов, используемых при ее компьютерной реализации. Перечисленные требования отвечают основным положениям методологии математического моделирования [71]. В соответствии с ними построение математической модели исследуемого объекта предшествует его физическое описание. В этой связи дальнейшее изложение конкретизируется и, поскольку рамки данного диссертационного исследования имеют естественные ограничения, основное внимание фокусируется на определенной механической системе, на примере которой и разрабатываются без ущерба для возможных обобщений все ключевые аспекты темы исследования. В итоге полученные результаты вполне допускают возможность их применения в моделях других систем, относящихся к тому же классу, что и исследованный объект.

Переходя к более детальному описанию объекта исследования, отметим следующее. С целью сделать рассматриваемые модели «балка-основание», «плита-основание» более определенными, в качестве физического объекта для исследования приняты балки и плиты временных автомобильных дорог, используемых в лесопромышленном комплексе. Необходимость строительства лесохозяйственных и лесовозных дорог круглогодичного действия является одной из важных проблем в развитии лесопромышленного комплекса. Отстутствие надежных лесовозных дорог особенно осложняет работу в весенне-летний период. Срок службы автомобилей, работающих на неустроенных грунтовых дорогах составляет всего 2-4 года. Срок эксплуатации самих дорог не превышает 10 лет. Лесозаготовительные предприятия вынуждены выполнять большие объемы работ по размещению, строительству и содержанию временных лесовозных дорог. Очевидна актуальность рационального использования финансовых средств, предназначенных для строительства временных дорог, а это предполагает применение оптимальных технических и технологических проектных решений. Вопрос о совершенствовании методик расчета дорожных одежд постоянно находится в зоне внимания разработчиков [8, 9, 26, 46].

Различающиеся по конструкции временные лесовозные дороги, устраиваемые из железобетонных плит, деревянных щитов, лесосечных отходов, грунтовые, гравийные, зимние снежные и ледяные, можно адекватно моделировать как балки или плиты, лежащие на грунтовом основании. Механические свойства грунтов намного сложнее, чем свойства многих других материалов, с которыми приходится иметь дело проектировщику. Анализ работы балок, плит, лежащих на упругом основании ведется на основе различных механических расчетных моделей грунта. Основание временных автомобильных дорог, образованное как правило несвязными или почти несвязными грунтами, которые почти не обладают распределительными свойствами, позволяет с достаточно высокой степени корректности применить классическую гипотезу Винклера о пропорциональной зависимости между контактным давлением и осадкой основания [78, 79, 81]. Необходимо подчеркнуть, что выбор конкретной механической модели основания нисколько не снижает общности рассуждений и сделан лишь с целью избежать излишней детализации.

Затруднения при моделировании плит (балок), лежащих на грунтовом основании отражает то обстоятельство, что грунт сопротивляется только надавливанию, и не препятствует перемещению точек плиты в противоположном направлении. При определенных загружениях по некоторому участку может возникнуть отрыв плиты от основания, причем зона отрыва (следовательно, зона контакта) заранее неизвестна.

Классические методы расчета балок и плит на упругом основании, как правило, основываются на предположении, что зона контакта конструкции и грунта известна. Если это не так, то предлагается после получения результатов первого расчета скорректировать первоначальные предположения о зоне контакта и расчет повторить, превращая его, таким образом в итерационную процедуру «проб и ошибок» [61, 24, 78, 20, 72]. Но сходимость итерационной процедуры к правильному решению не всегда обеспечена.

Между тем, механическая система «балка-основание», «плита-основание», в которой грунт сопротивляется перемещению опирающейся на него конструкции только в одном направлении, является типичным примером механической системы с односторонними связями.

Существует подход, позволяющий свести расчет конструкции с односторонними связями к задаче квадратичного программирования [51, 53] или линейной задаче о дополнительности [50, 58, 44]. Однако, известные методы и алгоритмы в силу универсальности создаваемых ими вычислительных схем, могут оказаться избыточно сложными и вычислительно трудоемкими при решении конкретных задач.

В существующих програмных комплексах конечно-элементного расчета механических систем к решению односторонних задач применяют итерационные методы. И хотя быстродействие современных компьютеров позволяет использовать в моделях итерационные алгоритмы, необходимость перехода к более экономичным шаговым алгоритмам (если они существуют) при решении задач этого класса очевидна. На такую необходимость указывает, в частности, опыт исследователей Мюнхенского технического университета, отраженный в статьях [57, 58]. Анализ литературы по теме исследования, включая Интернет-ресурсы, показывает, что в настоящее время предпринимаются интенсивные поиски новых алгоритмов решения, однако цель этих работ еще не достигнута.

На основе анализа состояния вопроса сформулирована цель диссертационной работы - разработка эффективных в вычислительном отношении моделей и алгоритмов для решения задач конечно-элементного анализа контактного взаимодействия плит и балок с основанием.

Алгоритмы, использованные в предпринятом исследовании, относятся к тому же классу, что и недавно предложенные в монографии [34] для решения задач классической строительной механики.

Научная новизна представленной работы состоит в том, что в ней впервые, насколько известно автору, предпринята попытка развития и применения алгоритмов данного класса в конечно-элементных моделях, что привело к выявлению остававшихся незамеченными возможностей. В результате рассмотрения известной интерпретации расчета механической системы как решения линейной задачи о дополнительности выявлена возможность применения одного из существующих алгоритмов ее решения в конечно-элементном моделировании. С использованием выявленной возможности разработан вариант алгоритма последовательного выключения связей, предназначенный для использования в конечно-элементных моделях. Предлагаемая методика органично вписывается в стандартную процедуру метода конечных элементов. Предложенный подход, таким образом, эффективен в вычислительном отношении не только с точки зрения объема вычислений, но и поскольку не требует использования новых, специальных типов конечных элементов, а, следовательно, не требует создания принципиально новых программных комплексов. Предложенный вариант алгоритма впервые использован при моделировании контактного взаимодействия деформируемого основания и плиты на примере покрытия временных автомобильных дорог. Результаты тестирования разработанного алгоритма позволяют рекомендовать его для использования в качестве несложного, физически «прозрачного» и эффективного в вычислительном отношении инструмента исследования напряженно-деформированного состояния балок, плит, системы плит на упругом основании. Тестирование разработанных в диссертации алгоритмов позволяет надеяться на возможность их использования при решении задач более широкого класса, чем те, которые возникают при численном моделировании балок и плит на упругом основании, что указывает на перспективы, находящиеся, однако, за пределами данного исследования. Безусловно, разработанные в диссертации новые алгоритмы не являются универсальными, однако в конечно-элементных моделях с ограничениями параметров состояния в виде нестрогих неравенств эти алгоритмы представляют собой достаточно экономичную альтернативу другим известным вычислительным схемам решения таких задач.

Достоверность полученных результатов потверждается их теоретическим обоснованием и согласованностью с решениями известных по литературе тестовых примеров [50, 53]. Достоверность данных, полученных с использованием разработанной модели контактного взаимодействия подтверждена их адекватностью известным по литературе результатам испытаний плиты дорожного покрытия [37].

Представленная работа состоит из четырех разделов и введения.

В первом разделе описаны элементы теории механических систем с односторонними связями, обращается внимание на актуальность совершенствования математических моделей механических систем с односторонними связями. Кратко описана история развития подходов, применяемых при построении моделей исследуемых объектов, выявлены затруднения возникающие при компьютерной реализации известных моделей. Рассмотрен вариант анализа механических систем с односторонними связями, сводящий задачу к линейной задаче о дополнительности, описываются вычислительные особенности существующих алгоритмов ее решения, выбран алгоритм, на основе которого предлагается исследовать конечно-элементные модели механических систем с односторонними связями.

Во втором разделе рассматриваются в развитии различные подходы, применяемые при анализе балок и плит на упругом основании. Предлагается и обосновывается вариант моделирования рассматриваемых объектов как механических систем с односторонними связями.

В третьем разделе рассматривается вариант использования алгоритма последовательного выключения связей в конечно-элементном анализе механических систем с односторонними связями.

В четвертом разделе демонстрируется применение разработанных алгоритмов в задачах моделирования балок и плит на упругом основании.

Основные выводы и рекомендации

1. Предложен вариант моделирования системы «плита (балкар-основание» как системы с односторонними связями, позволяющий в удобной форме описать взаимодействие этих объектов и использовать элементы теории односторонних связей при решении контактной задачи.

2. Разработана методика конечно - элементного моделирования механических систем с односторонними ограничениями перемещений, основанная на алгоритме последовательного выключения связей. Разработанная методика позволяет получить решение задачи контактного взаимодействия за конечное число шагов и с гарантированной сходимостью, в отличии от итерационных методов, традиционно применяемых в конечно-элементных программных комплексах. Объем вычислений при анализе механической системы с односторонними связями с использованием предложенной методики не превышает объема вычислений при обычном линейном расчете аналогичной механической системы с двухсторонними связями.

3. Компьютерная реализация предложенной методики не требует создания принципиально новых программных комплексов, поскольку сводится к дополнению известных комплексов несложной расчетной процедурой, осуществляющей алгебраические преобразования матриц, входящих в соотношения метода конечных элементов.

4. Разработанная методика апробирована на решении ряда задач, встречающихся при проектировании дорожных покрытий. Это задачи определения зоны контакта плиты (балки) с основанием, определения усилий для дальнейшего поектирования конструкции, построения графиков зависимости усилий и прогибов от положения нагрузки на плите (балке), моделирования системы связанных между собой плит (балок).

5. Апробация разработанной методики позволяет сделать предположения о возможности ее использования при решении задач более широкого класса, чем рассматриваемые в данной работе.

1. Алейников С.М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственных неоднородных оснований / С.М. Алейников, Рос.нац.ком. по механике грунтов и фундаменто-строению. -М.:АСВ, 2000. 754с.

2. Александров В.М. Механика контактных взаимодействий / В.М. Александров, И.И. Ворович. М.: Физматлит, 2001. 672с.

3. Александров A.B. Сопротивление материалов / A.B. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин, М.: Высш. шк., 1995, 560с.

4. Альберт И.У. Анализ динамической реакции конструктивно-нелинейных механических систем / И.У. Альберт, В.А. Петров, А.Б. Скворцова // Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. 2002. Т.241. С.38-59.

5. Аргатов И.И. Энергетические теоремы и вариационные принципы механики упругих систем с односторонними связями / И.И. Аргатов // Изв. вузов. Строительство. 1998. №9. С.15-20.

6. Аргатов И.И. Расчет штабеля контейнеров с найтовами как механической системы с односторонними связями / И.И. Аргатов //Судостроение. 2000. №2. С.21-23.

7. Аргатов И.И. К вопросу расчета постановки судна в док / И.И. Аргатов // Судостроение. 2000. №5. С.12-13.

8. Афиногенов О.П. Сборно-монолитные покрытия технологических автомобильных дорог / О.П. Афиногенов. Новосибирск: Наука, 1997. 142с.

9. Афиногенов О.П. Обеспечение эффективности жестких одежд карьерных автомобильных дорог / О.П. Афиногенов. Кемерово: Куз-бассвузиздат, 1998. 120с.

10. Бабков В.Ф. Основы грунтоведения и механики грунтов / В.Ф. Бабков, A.B. Генбург-Гейбович, М.: Высшая школа, 1986. 239с.

11. Безволев С.Г. Программные средства для проектирования фундаментных плит и перекрестных лент / С.Г. Безволев // Промышленное и гражданское строительство. 2003. №1. С.39-41.

12. Васильков Г.В О решении проектных задач строительной механики с учетом генезиса конструкций и сооружений / Г.В. Васильков, С.А. Холькин // Изв.вузов. Строительство. 2001. №7. С.11-14.

13. Вентцель Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель, М.: «Советское радио», 1972. 552с.

14. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М., Мир, 1984.

15. Герсеванов Н.М. К вопросу о бесконечно длинной балке на упругой почве, нагруженной силой / Н.М. Герсеванов, М.: Стройвоенмориз-дат, 1948. 270с.

16. Главачек И. Решение вариационных неравенств в механике / И.Главачек, Я. Гаслингер, И. Нечас. М.: Мир, 1986. 272с.

17. Гольдштейн Ю.Б. Статика стержневых конструкций / Ю.Б.Гольдштейн, Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 1997. 276с.

18. Горбунов-Посадов М.И. Балки и плиты на упругом основании / М.И Горбунов-Посадов, М.:Машстройиздат, 1949. 239с.

19. Горбунов-Посадов М.И. Таблицы для расчета тонких плит на упругом основании / М.И. Горбунов-Посадов, М.: Госстройиздат, 1959. 98с.

20. Горбунов-Посадов М.И. Расчет конструкций на упругом основании / М.И Горбунов-Посадов, Т.А. Маликова, В.И. Соломин, М.:Стройиздат, 1984. 679с.

21. Гордеев В.Н. Расчет упругих систем с односторонними связями ■ как задача квадратичного программирования /В.Н. Гордеев, A.B.

22. Перельмутер //Исследования по теории сооружений. Вып.15. М.: Стройиздат, 1967. С.208-212.

23. Грибов А.П. Решение задачи изгиба пластины на упругом основании методом граничных интегральных уравнений / А.П. Грибов, Н.И. Куканов // Вестник Ульяновского государственного технического университета. 2001. №3. С.60-71.

24. Жемочкин Б.Н. Расчет рандбалок и перемычек / Б.Н. Жемочкин, М.: Госстройиздат, 1960.227с.

25. Жемочкин Б.Н. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании / Б.Н. Жемочкин, А.П. Синицын, М.: Госстройиздат, 1962. 239с.

26. Зуховицкий С.И. Линейное и выпуклое программирование / С.И. Зуховицкий, Л.И. Авдеева; М.: Наука. 1964. 348с.

27. Карпов Б.Н. Сборные многокомпонентные дорожные покрытия. / автореф. дис. д.т.н., дис.совет Д063.31.04, дат.защ. 6.04.2000., СПб-ГАСУ, 2000.

28. Ким Т.С. Расчет систем с одностороннимим связями как задача о дополнительности / Т.С. Ким, В.Г. Яцура // Строительная механика и расчет сооружений. 1989. №3. С.41-44.

29. Кйндерлерер Д. Введение в вариационные неравенства и их приложения / Д. Кйндерлерер, Г. Стампаккья. М.: Наука, 1983. 256с.

30. Колесников Г. Н. Трехмерная модель скелетно-мышечной системы опорно-двигательного аппарата человека. / Г.Н. Колесников // Тезисы докладов V Всероссийской конференции по биомеханике, Н. Новгород, 29 мая 2 июня 2000 г., С. 84.

31. Колесников Г.Н. Об очередности жордановых исключений в алгоритмах моделирования механических систем с односторонними связями / Г.Н. Колесников Петрозаводск: Изд-во ПетрГу, 2003. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 21.11.03, №2028 В2003.

32. Колесников Г.Н. Дискретные модели механических и биомеханических систем с односторонними связями. / Г.Н. Колесников Петрозаводск: Изд-во ПетрГу, 2004. 204 с.

33. Коренев Б.Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании / Б.Г. Коренев, М.: Гос. изд-во лит. по стр-ву и арх-ре, 1954. 232с.

34. Коренев Б.Г. Расчет плит на.упругом основании / Б.Г. Коренев, Е.И. Черниговская, М.: Госстройиздат, 1962. 355с.

35. Кочанов А.Н. Исследование некоторых направлений совершенствования колейных покрытий из железобетонных плит на лесовозных дорогах. / А.Н. Кочанов, дис. канд.техн.наук по спец. 05.22.12, Ленинград, 1979. 233с.

36. Крылов А.Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании / А.Н. Крылов, М.: Изд. АН СССР, 1931. 154с.

37. Кузнецов В.И. Упругое основание. Расчеты балок, плит и рам / В.И. Кузнецов, М., 1952. 296с.

38. Кузнецов Ю.Н. Математическое программирование / Ю.Н. Кузнецов, В.И. Кузубов, A.B. Волощенко, М.: Высш.школа, 1980. 300с.

39. Куканов Н.И. Применение преобразования Фурье для получения фундаментального решения задачи изгиба пластины на упругом основании / Н.И. Куканов // Вестник Ульяновского государственного технического университета. 2001. №3. С.108-110.

40. Леонарде Дж.А. Основания и фундаменты / Дж.А. Леонарде, Дж.Ф. Сауерс, Р.Д. Челлис, М.: Стройиздат, 1968. 504с.

41. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе, М.: Наука, 2002. 588с.

42. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики / П.А. Лу-каш. М.: Стройиздат, 1978. 204с.

43. Мошков JI.В. Динамическое взаимодействие плит водобоев с водо-насыщенным основанием /Л.В. Мошков // Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. 2000. Т.236. С.73-76.

44. Отраслевые дорожные нормы. ОДН.218.046-01. Проектирование нежестких дорожных одежд. М.: 2001.

45. Палатников Е.А. Прямоугольная плита на упругом основании / Е.А. Палатников, М.: Стройиздат, 1964. 236с.

46. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. / П. Панагиотопулос. М.: Наука, 1989. 494с.

47. Перельмутер A.B. Использование методов квадратичного программирования для расчета систем с односторонними связями / A.B. Перельмутер // Исследованиям теории сооружений. Вып.19. М.: Стройиздат, 1972. С. 138-147.

48. Прельмутер A.B. О сходимости уточнения рабочей схемы / A.B. Перельмутер // Строительная механика и расчет сооружений 1978 №5 С.76-77

49. Перельмутер A.B. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа / A.B. Перельмутер, В. И. Сливкер. Киев: Изд-во "Сталь", 2002. 600с.

50. Попов Л.Д. Введение в теорию, методы и экономические приложения задач о дополнительности /Л.Д.Попов. Екатеринбург: Изд-во Уральского гос.ун-та, 2001. 124 с.

51. Постнов В.А. Строительная механика корабля и теория упругости. Т.1,2 / В.А. Постнов, В.П. Суслов, JI.: Изд-во Судостроение, 1987, т.1 287с.

52. Пузыревский H.H. Основания и фундаменты / H.H. Пузыревский, М.: Стройиздат, 1923. 235с.

53. Пфайффер Ф. Контакты в системах твердых тел / Ф. Пфайф-фер, К. Глоккер //Прикладная математика и механика Т.64. Вып.5,2000, с.805-816.

54. Пфайффер Ф. Системы многих тел с односторонними связями / Ф. Пфайффер //Прикладная математика и механика Т.65. Вып.4,2001, с.681-687.

55. Рабинович И.М. Некоторые вопросы теории сооружений, содержащих односторонние связи / И.М. Рабинович //Инженерный сборник. T.VI. M.,JI.: Изд-во АН СССР, 1950.

56. Рабинович И.М. Вопросы теории статического расчета сооружений с односторонними связями / И.М. Рабинович. М.: Стройиздат, 1975. 144с.

57. Рабинович И.М. Курс строительной механики стержневых систем, т. 1,2. / И.М. Рабинович. М.: Гос. изд. литературы по строительству и архитектуре, 1954. 544с.

58. Раковская М.И Алгоритмы моделирования механических систем с односторонними связями / М.И. Раковская // Материалы третьей междисциплинарной конференции ,|НБИТТ-21М, Петрозаводск, 21-23 июня 2004г., С.68.

59. Раковская М.И. Об одном алгоритме решения линейной задачи о дополнительности / М.И. Раковская; ПетрГУ. Петрозаводск, 2004. Юс. Деп в ВИНИТИ 06.08.2004, ДО1378-В2004.

60. Реклейтис Г. Оптимизация в технике: В 2-х кн. Кн.2 / Г. Реклейтис, А. Рейвиндран, К. Рэгсдел. М.: Мир, 1986. 320с.

61. Ржаницын А.Р. Строительная механика / А.Р. Ржаницын. М.: Высш. школа, 1982. 400с.

62. Розин JI.A. Задачи теории упругости и численные методы их решения / JI.A. Розин, СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. 532 с.

63. Розин Л.А. Вариационные постановки задачи теории упругости с идеальными одностороннимим связями / Л.А. Розин // Метод конечных элементов и строительная механика: Тр.ЛПИ, №363. Л., 1979. С.3-15.

64. Рудых O.JL Введение в нелинейную механику / O.JI. Рудых, Г.П. Соколов, B.JI. Пахомов. М.: Изд-во Ассоциации Строительных ВУЗов, 1999. 103с.

65. Самарский A.A. Математическое моделирование: Идеи, Методы, Примеры /A.A. Самарский, А.П. Михайлов. 2-е изд., М.: Физмат-лит, 2001. 320с.

66. Симвулиди И.А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании / И.А. Симвулиди, М., Высш.школа, 1978. 480с.

67. Строительные Нормы и Правила 2.05.02-85. Автомобильные дороги. М.: 1997.

68. Снитко Н.К. Статическое и динамическое давление грунтов и расчет подпорных стенок / Н.К. Снитко, Л.: Стройиздат, 1970. 207с.

69. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов / С.П. Тимошенко. М.: Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1957. 536с.

70. Федоровский В.Г. Прогноз осадок фундаментов мелкого заложения и выбор модели основания для расчета плит / В.Г. Федоровский, С.Г. Безволев // Основания, фундаменты и механика грунтов. 2000. №4. С.10-18.

71. Фикер Г. Теоремы существования в теории упругости / Г. Фикер. М.: Мир, 1974. 160с.

72. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. Т.2. Сопротивление материалов с элементами теории сплошных среди строительной механики / А.П. Филин, М.: Наука, 1978. 616с.

73. Флорин В.А. Основы механики грунтов, в 2 т. / В.А. Флорин, М.: Стройиздат, 1959. 900с.

74. Хечумов P.A. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций / P.A. Хечумов, X. Кепплер, В.И. Прокопьев, М.: Издательство Ассоциации Строительных ВУЗов, 1994. 353с.

75. Черкасов И.И. Механические свойства грунтов в дорожном строительстве / И.И. Черкасов, М.: Изд-во Транспорт, 1976. 247с.

76. Черкасов И.И. Механические свойства грунтовых оснований / И.И. Черкасов, М.: Автотрансиздат, 1958. 156с.

77. Швецов Г.И. Основания и фундаменты: Справочник / Г.И. Швецов, И.В. Носков, А.Д. Слободян, Г.С. Госькова, М.: Высш.шк., 1991. 383с.

78. Цыпук A.M. Обоснование размеров области напряжений в почве под действием механической нагрузки / A.M. Цыпук // Тр.лесоинженерного факультета ПетрГУ. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 1999. - вып.2. - С.172-174.

79. Цыпук A.M. Определение колеи лесных машин / A.M. Цыпук, A.B. Родионов // Лесная промышленность. 2004. - №.2 - С.21-22.

80. Цытович H.A. Механика грунтов / Н.А.Цытович, М.: Стройиздат, 1951. 528с.

81. Якимкин О.В. Численный анализ деформирования элементов трехслойных конструкций с учетом эволюции расслоений / О.В. Якимкин, автореф. дис. канд.техн.наук по спец. 05.23.17, Киев, нац. ун-т стр-ва и арх.- Киев. 2000. 19с.