автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели стержней, балок и плит в задачах сосредоточенного удара

На правах рукописи

ИСАЕВ Вячеслав Игоревич

/

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТЕРЖНЕЙ, БАЛОК И ПЛИТ В ЗАДАЧАХ СОСРЕДОТОЧЕННОГО УДАРА

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

003071701

Работа выполнена на кафедре "Теоретическая механика" в Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ)

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор В Б Мещеряков

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

доцент Волков С В.

кандидат физико-математических наук, доцент Захарова MB

Ведущая организация - Институт механики МГУ

им MB Ломоносова

с'

Защита диссертации состоится " 30 " мая 2007 г в \ Ь -часов на заседании диссертационного совета Д 218 005 10 при Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ) в ауд "/2 55 по адресу 127994, г Москва, ул Образцова, д 15

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного университета путей сообщения

Автореферат разослан апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 218 005 10

к тн, профессор Соловьев ВП

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В основании современной теории удара находятся результаты двух основополагающих работ, первая - это работа Г Герца "О контактном сжатии твердых тел" и вторая - работа С П. Тимошенко "К вопросу о действии удара на балку", в которой рассмотрен поперечный удар сосредоточенной массой по балке

С П Тимошенко впервые составил интегральное уравнение для определения контактной силы удара Благодаря реалистическому описанию процессов в контактной области удалось успешно распространить полученное Герцем в статической задаче нелинейное соотношение между местным сжатием и контактной силой на динамику удара

Методика составления интегрального уравнения для определения основных характеристик удара легла в основу многих последующих работ по удару не только для балок и стержней, но и для пластин, оболочек и других упругих тел Последующие экспериментальные исследования ударных процессов подтвердили применимость контактной теории Герца и интегрального уравнения удара для предсказания основных характеристик удара

Точное решение динамической задачи теории упругости для удара по стержням, балкам или плитам, в общем случае получить не удается вследствие математической сложности, поэтому при решении инженерных задач удара используются различные приближенные математические модели стержней, балок и плит Результаты расчетов задач удара по таким приближенным моделям позволяют в большинстве случаев достаточно точно оценить основные силовые и кинематические характеристики удара

Рассмотрим наиболее общий вид интегрального уравнения удара Считаем, что удар по некоторому упругому телу большой протяженности (стержень,

балка и т.д ) наносится другим упругим телом - ударником, обладающим массой»! Перемещение ударяющего тела у(0 с момента начала удара имеет вид

I I

у(Р,1) = У01~ |ск]р(т)ск, (1)

о о

где Уэ- скорость ударяющего тела в момент начала удара, 1 - время, Р(0 — контактная сила удара Перемещение в том месте тела, по которому наносится удар, например поперечное смещение балки или продольное смещение стержня уо(0, имеет вид

I

у0(Р,1)= |р(т)Д1-х)(1т) (2)

о

где ДО - реакция ударяемого тела на единичный импульс По теории Г Герца разность между перемещениями (1) и (2), т е сближение соударяющихся тел, нелинейно зависит от возникающей контактной силы Р(0 При этом получается основное интегральное уравнение удара

1 ' ' ' кР(02/3 =У01--|(11 |р(т)с1т - |р(тЖ1 - т)с!т (3)

0 0 о

Решение нелинейного интегрального уравнения удара (3) выполняется методами численного интегрирования При численном решении определяются все основные силовые и кинематические характеристики удара (контактная сила, время соударения, перемещение, скорость и ускорение ударяемого тела в месте соударения)

Основной проблемой при постановке любой задачи удара является определение конкретного вида функции ОД, т е отклика рассматриваемой ударяемой механической системы на единичный импульс Если функция ОД неизвестна, то интегральное уравнение удара (3) не может быть составлено

Существуют различные способы определения неизвестной функции отклика f(t) для произвольной механической системы Так, начиная с работы Тимошенко, поперечное смещение банки в месте удара определялось путем суммирования ряда по формам колебаний Если для решения уравнения вынужденных колебаний балки применяется метод разложения решения в ряд Фурье, то f(t) будет представлена в виде бесконечного ряда по формам колебаний балки При этом неизбежно возникают проблемы выбора необходимого числа членов ряда, оценки величины суммы отброшенных членов, их влияния на конечный результат и т д Эти проблемы становятся очень существенными в случаях, когда период первой формы собственных колебаний рассматриваемой механической системы несоизмерим с продолжительностью удара

Однако все отмеченные математические проблемы при определении функции f(t) могут быть преодолены с самого начала, если для решения задач удара использовать методы интегральных преобразований Лапласа, Фурье, Ханкеля и др В этом случае неизвестная заранее функция f(t) определяется аналитически при решении задачи удара для данной механической системы в виде некоторой специальной функции и может быть вычислена при решении интегрального уравнения удара (3)

Этот метод определения функции i(t) стал применяться с использованием методов интегральных преобразований при решении задач вынужденных колебаний балок, стержней и других механических систем Этой же методике следовал автор данной работы, всю данную работу можно рассматривать как определение функций отклика f(t) для задач удара при использовании различных математических моделей стержней, балок и плит Отдельные частные случаи функций f(t) для некоторых моделей балок, стержней и плит были известны ранее, однако эти решения были рассеяны по литературе, и автору пришлось просмотреть и проанализировать около тысячи работ по механике удара и коле-

баний Актуальность работы заключается в необходимости систематизации как уже известных откликов механических моделей стержней, балок и плит на удар, так и откликов, полученных автором Проведенная систематизация позволяет использовать данную работу для справок при решении прикладных задач удара

Цель и задачи работы. Автор поставил перед собой главной целью получение функций отклика моделей стержней, балок и плит на сосредоточенный удар методами интегральных преобразований. При написании диссертационной работы было необходимо решить следующие задачи

1 Определить теории стержней, балок и плит, которые возможно использовать для расчетов на сосредоточенный удар, но функции отклика которых были до настоящего исследования неизвестны

2 Решить математические задачи удара для этих моделей методами интегральных преобразований и определить реакцию рассматриваемых механических систем на действие сосредоточенных сил в виде интегральной свертки контактной силы удара и некоторой специальной функции, что позволяет впоследствии составить общее интегральное уравнение удара (3) для определения основных силовых и кинематических параметров удара

3 Предложить примерный перечень технических задач, в которых могут быть использованы аналитические результаты, полученные автором В качестве примеров рассмотреть конкретные технические задачи

Научная новизна. В диссертационной работе изложены полученные автором точные выражения откликов упругих механических систем, таких как стержни, балки и плиты, на ударное воздействие для рассмотренных автором моделей При продольном ударе по стержням это относится к моделям стержней Лява, Бишопа и Миндлина-Германа, при ударе по балкам - к моделям балок Рэлея и сдвиговой балки Тимошенко, при ударе по плитам - к модели плиты Рейсснера в различных приближениях

Достоверность полученных результатов заключается в использовании надежных и апробированных в других математических задачах методов интегральных преобразований

Практическая ценность. Полученные выражения для функций откликов, будучи использованы при решении интегрального уравнения удара, позволяют моделировать поведение конкретных механических систем при ударном воздействии на них

Полученные результаты были использованы для расчетов конкретных технических систем, а именно в совместных работах В.Б Мещерякова, автора и Г А Емельяновой [3,6,7] проводилось исследование приближенных моделей балок в задаче удара вагонного колеса с дефектом (ползуном или наваром) по рельсу Также в совместной работе В Б Мещерякова, А О Шимановского и автора [1] балочные модели рассматривались в задачах исследования динамики промышленных электрофильтров при ударных способах регенерации осади-тельных электродов

В кратком перечне возможных технических приложений, составленном автором, отмечена возможность использования полученных результатов при расчетах ударов вагонных колес с дефектами по рельсам, при ударном способе очистки от пыли промышленных электродов, расчетах на прочность балочных ограждений автомобильных дорог от ударов автомобилей, при падении грузов на крыши и полы зданий и промышленных сооружений при интенсивных ударных воздействиях

Апробация работы. Основные полученные результаты были доложены автором на заседаниях кафедры "Теоретическая механика" МИИТа в 1990-1993 гг и на заседании Секции «Упругость и пластичность» Совета Института механики МГУ им М В Ломоносова в 2007 г, решение задачи ударного взаимодействия колеса с дефектом и рельса было доложено на 8-ой Международной

конференции "Проблемы механики и железнодорожного транспорта", проходившей в Днепропетровске в 1992 г

Публикации. Основные полученные результаты проведенных исследований опубликованы в девяти работах [1-9]

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка источников из 527 работ, и изложена на /ЯГстраницах, включает//рисунков и/таблицу

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ В первой главе изложен обзор проведенных ранее исследований упругого удара, в частности рассмотрены исследования, посвященные продольному удару по стержням, поперечному удару по балкам и плитам

Вопросы динамики удара по стержням, балкам и плитам с использованием различных математических методов рассмотрены в трудах П М Алабужева и др , Е В Александрова и В Б Соколинского, О Д Алимова и др , Я Ахен-баха, Г С Батуева и др, Н.М Беляева, В Л Бидермана, Р Бишопа, Ю И Боб-ровницкого и др, К.Б Броберга, В 3 Власова и Н Н Леонтьева, В Гольд-смита, К Граффа, И И. Гольденблата и К.А Николаенко, Р Дэйвиса, А Н Динника, С О. Доброгурского, С А Зегжды, В Н Ионова и П М Огибалова, Н А Кильчевского, Б Г Коренева, С С Кохманюка и др, А М Масленникова, Дж Микловитца, Я Г Пановко, С.Д Пономарева и др, И М Рабиновича, Ю Э Сениц-кого, Л И Слепяна, И К Снитко, А П Филиппова и др , X Эйбрамсона и др

Отметим также обзорные работы и монографии по приближенным теориям стержней, балок и плит, в которых рассматриваются вопросы распространения волн в таких системах, в том числе при ударе, это работы - В М Бабича и И.А Молоткова, ЛМ Бреховских, ВД ВайнбергаиГС Писаренко, Б.Г Галеркина, Э И. Григолюка и И Т Селезова, А Грина и Дж Адкинса, В Т

Гринченко и В В Мелешко, Л Г Доннела, О Ю Жария и А Ф Улитко, К Кольского, С Лукашевича, А И Лурье, Л Мейровича, Ф Морза, А К Перцева и Э Г Платонова, В Б Поручикова, Л И Седова, И.Н Снеддона, Е Скучика, Я С Уфлянда, А И Цейтлина, Р Энгеля

Обзор работ, посвященных моделированию динамического поведения стержней, балок и плит при действии на них ударных нагрузок будет полезен исследователям, работающим в этой области знаний.

Во второй главе рассмотрен продольный удар по стержню В этих задачах в инженерной практике обычно используется классическая волновая теория. Однако при необходимости оценить влияние дополнительных физических факторов на величину контактных сил и ускорений следует использовать уточненные теории продольных колебаний в стержне Для оценки влияния инерции продольных растяжений-сжатий на динамические характеристики удара можно использовать теорию Лява, которая учитывает инерцию радиальных движений стержня При решении задачи по теории Лява методами интегральных преобразований Фурье и Лапласа автором получена [2] формула для продольного смещения в месте удара при действии сосредоточенной силы P(t)

где 1о(х) ~ функция Бесселя нулевого порядка, р - плотность материала стержня, Р - площадь поперечного сечения стержня, V— коэффициент Пуассона, гр -

вая" скорость продольных волн Решение (4) может быть использовано в интегральном уравнении удара (3)

Бишоп уточнил теорию Лява, учтя сдвиговые напряжения, возникающие при резких радиальных изменениях поперечного сечения стержня, что происходит при распространении высокочастотной волны продольных колебаний в

u(0,t)=—J—jdtJP(t)J0 2pFvr о i

(4)

полярный радиус инерции поперечного сечения стержня, с0 =

стержне-

стержне При решении задачи продольного удара для теории Бишопа методами интегральных уравнений Фурье и Лапласа автором была получена [2] формула для продольного смещения в месте удара при действии сосредоточенной силы Р((:)

и(0,0 = —

2рг\г о о

ехр

V.

йт (5)

где ^=с2/с^=|л/Е=1/2(1+у) - параметр теории Бишопа, сг =

Для расчетов продольного удара в интегральном уравнении удара (3) можно использовать выражение (5) для приближенного учета влияния сдвиговых напряжений

Миндлин и Герман предложили двухмодовую теорию продольных колебаний стержня При решении задачи продольного удара по теории Миндлина-Германа методами интегральных преобразований Фурье и Лапласа автором была получена [8] формула продольного смещения стержня в месте удара

к V

| Р(т)1, (I—т)с!т -} Р(т)12 0: -т)с1т

о о

(6)

7тс0ррс

выраженного через следующие интегралы

^(х)+Г(х))<Ьс

где сз + 2иУР , к#,Р,, р2, е-коэффициенты (см [8]), а0=сз1/г. 3 че-

рез §(х) и Дх) обозначены следующие функции

8(х)=кг(р1+р2х*)/2, f(x)=V¡^Й№(P^)

Поэтому для более точного учета сдвига и инерции радиальных движений можно использовать в интегральном уравнении удара (3) формулу для продольного смещения (6), найденную по теории Миндлина-Германа

В третьей главе рассмотрен поперечный удар по балкам Первой теорией поперечных колебаний балки, применяемой в задачах поперечного удара, была теория Бернулли-Эйлера Решения задачи поперечного удара по теории Бернул-ли-Эйлера известны, они приведены в диссертации для полноты изложения

Рэлей ввел в уравнение колебаний дополнительный поправочный член, учитывающий инерцию поворота поперечных сечений балки Решение задачи поперечного удара для теории Рэлея было получено автором методом интегрального преобразования Лапласа, для поперечного смещения бесконечной балки в месте удара автором получена [4,9] формула

1

у(0Д)=-М&|Р(т)1о

ех

СоО-т)

2рБго о V г где г - радиус инерции поперечного сечения балки, 1о(х) ~ модифицированная

функция Бесселя нулевого порядка. Были определены также асимптотические выражения для прогиба в случаях больших и малых времен удара

С П Тимошенко разработал более совершенную теорию поперечных колебаний балки, обосновав необходимость учета не только инерции поворотов поперечных сечений, но и деформаций сдвига, которые существенно влияют на динамику поперечных колебаний балки Автором получена формула для поперечного смещения бесконечной сдвиговой (учитывается только сдвиг, без учета инерции поворота сечения) балки Тимошенко в месте удара под действием сосредоточенной силы Р(1)

У(0Д)=У1(0Д)+У2((Щ

У,(0,1)=

У,(0,1)=

1

2р¥С1

]Р(х)1„

с?(1-т)

гс„

ехр

гс„

¿Т,

2рРгс,

-|с1т,/Р(т)1с

Г с^-тЛ ехр / с^-тЛ

1 ГСо \ гсо ;

йт,

где с, = л/к5ц/р - скорость сдвиговых волн, 10(х) ~ модифицированная функция Бесселя нулевого порядка

Задача колебаний бесконечной балки Тимошенко под действием сосредоточенной силы была решена Г Б Муравским методом интегральных преобразований Лапласа и Фурье С помощью этого решения в диссертации получены также формулы для поперечного смещения бесконечной балки Тимошенко в месте удара

В четвертой главе рассмотрен удар по плитам Дифференциальное уравнение поперечных колебаний упругой плиты рассматривалось Г Кирхгофом Решение задачи поперечного удара для плиты Кирхгофа известно из литературы и приводится в диссертации для полноты изложения

В работах Э Рейсснера впервые была развита теория поперечных колебаний плигы, позволяющая учесть как деформации сдвига, так и инерцию поворота элементов плиты Уравнения теории того же типа несколько позже Э Рейсснера были независимо получены Я С Уфляндом и Л Болле Эти уточнения уравнений теории плиты аналогичны уточнениям, которые С П Тимошенко внес в теорию балок

Решение задачи поперечного удара по теории Рейсснера с учетом инерции поворота было получено автором с помощью преобразований Ханкеля и Лапласа Для поперечного смещения плиты в месте удара автором получена [5] формула

Ро-плотность, Ь-толщина плиты, а=С^ЬЪл/12> С ^Е/р^-у2). О = ЕЬ3/12(1 - V2)- жесткость плиты

рО

При действии сосредоточенной ударной силы P(t) на плиту по теории Рейсснера с учетом сдвиговых деформаций, методами интегральных преобразований Ханкеля и Лапласа, автором получена [5] формула для поперечного смещения плиты

г г

ах

w(0,t)= i__z--}P(x)I(t-T)di, I(t)=Jsm

Vl+exVl2dx

s

X

Решение задачи поперечного удара для плиты по теории Рейсснера с учетом двух эффектов совместно инерции поворота и сдвиговых деформаций было получено методами интегральных преобразований Ханкеля и Лапласа Для поперечного смещения в месте удара автором получена [5] формула

\М0,г)=—=Л-(] Р(т)11(1-т)с1т+} Р(т)12(м)ёт\ где

2л/бяр0Ь2с1

о

Д ) I ^(х)£3(х) ' ^ ! Г2(хХ3(х)

а=с1л/бХ/Ь

Функции, используемые в подинтегральных выражениях, имеют вид ^(х)=л/1+(1+в)хУ12+Г3(х), Г2(х)=л/1+(1+£)хУ12-^(х) Г3(х)=Л/(1+(1+е)х2/12)2-ех4/36 Поэтому для более точного учета сдвиговых деформаций и инерции поворота элементов плиты следует использовать в интегральном уравнении удара (3) формулу для поперечного смещения, найденную по теории Рейсснера Для найденных выражений функций откликов были составлены программы, позволяющие моделировать поведение стержней, балок и плит при сосредоточенных ударах

В пятой главе рассмотрены две конкретные технические задачи 1) Для железнодорожного транспорта большое значение имеет проблема динамического взаимодействия подвижного состава с рельсовым путем Выделяя ударное взаимодействие, рассмотрим удар по рельсу колеса с дефектом в виде ползуна (рис 1 )

Рис 1 Колесо с ползуном

Колесо считается твердым телом, в котором учитываются упругие местные деформации в зоне контакта При этом для определения параметров ударной силы Р(1) возникает необходимость решать нелинейное интегральное уравнение

">3/2

РЮ = К0 У01-ш-1|Р(х)(1-т)с1т-у(Р,1) (7)

Здесь введены обозначения ш-масса колеса, У0-начальная скорость соударения, К0 —контактная жесткость, у(Р,0 —реакция рельса на действие контактной силы, 1 - время

При наличии ползуна начальную скорость удара колеса по рельсу можно определить по известным выражениям

у£у лри V*?

Здесь Я- радиус колеса, V- скорость поезда, Ь- длина хорды ползуна, V- предельная скорость поезда Наибольшая интенсивность удара наблюдается

при ^ = ——V. Для нахождения реакции рельса на действие контактной силы

4 Я

у(Р, 1) автором было исследовано динамическое поведение сдвиговой модели балки на винклеровском основании В результате применения интегрального преобразования Лапласа получено выражение.

где р-плотность материала рельса, И-площадь поперечного сечения рельса,

с, - скорость распространения сдвиговых волн, Р = , причем ио - жест-

кость основания, 1„ - функция Бесселя нулевого порядка

Нелинейное интегральное уравнение удара (7) после подстановки в него выражения (8) решалось численным методом Эйлера Для функций Бесселя использовалась полиномиальная аппроксимация Результаты решения задачи были опубликованы в работе [7] Проведенные позднее сотрудниками кафедры исследования подтвердили применимость предложенных моделей для расчета динамических характеристик при ударах колеса с ползуном по рельсу

2) В настоящее время очень актуальной проблемой является борьба с промышленным загрязнением воздушной среды Для решения этой проблемы, т е очистки загрязненных газов на тепловых электростанциях, а также во многих отраслях промышленности, используются промышленные электрофильтры В промышленных электрофильтрах поток загрязненного газа направляется между осадительными и коронирующими электродами, при этом заряженные частицы пыли вследствие действия сил электростатического поля высокого напряжения осаждаются на элементах осадительных электродов (рис 3) Для успешной регенерации электрода (полной очистки от накопленной пыли) по раме электрода наносятся периодические удары молотковыми механиз-

мами На примере электрода, составленного из шести тонкостенных элементов (рис. 3) проведены расчеты на удар

Для определения ударного воздействия на балку встряхивания составлялось интегральное уравнение удара, в котором использовалась классическая модель стержня (с учетом массы наковальни), а для осадительных элементов (при поперечном воздействии ударного импульса) — использовалась сдвиговая модель Тимошенко Применение сдвиговой модели обосновано в статье [1]

Рис 3 Осадителъный электрод Промышленного электрофильтра 1 — наковальня, 2 - балка встряхивания, 3 осадительные элементы, 4 - балка подвеса

Ь=350 мм

Рис 4 Поперечное сечение тонкостенного осадительного элемента

Расчетами определены ударные силы (рис 5), ускорения на входе в систему (рис 6) и в осадительные элементы (рис 7) Статистическая обработка поля максимальных ускорений в элементах электрода дала возможность построить гистограмму (рис 8), по которой определяется эффективность регенерации электрода

Результаты расчетов были переданы (1994 г ) в заинтересованную организацию - Семибратовский филиал НИИОГАЗа Результаты автора были использо-

ваны и распространены на серийные расчеты механического оборудования промышленных электрофильтров

Значения ускорений на входе в элементы, а также итоговая гистограмма ускорений была удовлетворительно подтверждена в экспериментах

>7%

Рис б Ускорение на наковальне Рис 8 Г^стограмма поля

Максимальных ускорений в электроде I - порасчету, 2 - эксперимент

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании проведенного исследования можно сделать такие выводы 1 В диссертации изложены полученные автором функции отклика рассмотренных механических систем на ударное воздействие В частности

1 1. Получены аналитические выражения откликов упругих стержней на основе моделей Лява, Бишопа, Миндлина-Германа в задачах продольного удара Наряду с известным в литературе решением для классической волновой модели стержня имеется возможность выбора модели и сравнительного анализа результатов при решении конкретных задач Результаты опубликованы в работах [2,8,9]

1 2 Получены аналитические выражения откликов упругих балок на основе моделей Рэлея и Тимошенко (с учетом сдвига) в задачах поперечного удара. Результаты опубликованы в работах [4,9]

1 3 Построены асимптотические разложения решения на основе модели Тимошенко При этом выяснены иерархические связи между решениями по модели Тимошенко и приближенными решениями на основе вырожденных моделей Результаты опубликованы в работе [1]

1 4 Детально исследована реакция плиты по теории Рейсснера (в различных приближениях) применительно к задачам поперечного удара Аналитические решения задачи поперечного удара по плите для теории Рейсснера в различных приближениях опубликованы в работах [5,9]

2. Составлен краткий перечень возможных областей технических приложений аналитических результатов, полученных автором, что необходимо, поскольку ударные взаимодействия встречаются в технике достаточно часто.

3 Изложены решения двух прикладных задач удара, необходимых для использования в технике а именно - удара колеса с ползуном по рельсу и ударной регенерации осадительных электродов Результаты исследований

опубликованы в работах [3,6,7] Эти результаты были получены с использованием функций отклика механических систем, найденных автором и могут быть использованы для уточнения технических норм эксплуатации подвижного состава с дефектными колесами и при совершенствовании механического оборудования электрофильтров

Основные результаты исследования опубликованы в следующих работах

1 Мещеряков В Б , Шимановский А О, Исаев В И Приближенные модели для определения реакции балки на действие кратковременной сосредоточенной силы // Исследования по механике строительных конструкций и материалов -Л ЛИСИ, 1990-С 71-76

2 Исаев В И Продольный удар по стержням Лява и Бишопа // ДАН Украины - 1992 - №11 - С 49-52

3 Мещеряков В Б , Исаев В И , Емельянова Г И Ударное взаимодействие рельсового пути и колесной пары, имеющей ползуны // Доклады 8-ой Международной конференции "Проблемы механики железнодорожного транспорта " -Днепропетровск, 1992 г - С 62-63

4. Исаев В И Поперечный удар по балке Рэлея // Механика деформируемых сред - Саратов, Изд-во СГУ, 1993 - №11 - С 56-61

5 Исаев В И Поперечный удар по плиге Рейсснера// ДАН Украины -1993-№3-С 56-60

6 Мещеряков В Б , Исаев В И , Емельянова Г И Напряженное состояние рельсового пути при ударе колесной пары с ползунами // Математические методы и задачи функционирования систем железнодорожного транспорта - М. Изд-во РГОТУПС, 1995 - С 95-98

7 Мещеряков В Б , Исаев В И , Емельянова Г И О возможности уточнения уровня изгибных напряжений в рельсах при ударах колесны*х пар с ползунами //Вестник ВНИИЖТ, 1996-№4-С 16-19

8 Исаев В И Продольный удар по стержню на основе теории Миндлина-Германа // Вестник МИИТа, 2005 - вып 12 - С 93-98

9 Исаев В И Моделирование откликов механических систем // Мир транспорта, 2007-№1-с 26-30

ИСАЕВ Вячеслав Игоревич

"Математические модели стержней, балок и плит в задачах сосредоточенного удара"

05 13 18 - Математическое моделирование, численнные методы и комплексы программ

Подписано к печати 26. ÖU О? Тираж 80экз Заказ - Z10,

Типография МИИТа 127994, Москва, ул Образцова, д 15

ВВЕДЕНИЕ

1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ

1.1 Обзор исследований поперечного удара по балкам

1.2 Обзор исследований продольного удара по стержням

1.3 Обзор исследований поперечного удара по плитам

1.4 Цели и задачи данной работы

2. ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР ПО СТЕРЖНЯМ

2.1 Волновая теория продольных колебаний стержня

2.2 Теория Лява продольных колебаний стержня

2.3 Теория Бишопа продольных колебаний стержня

2.4 Теория Миндлина-Германа продольных колебаний стержня

2.5 Задача удара для волновой теории колебаний стержня

2.6 Задача продольного удара для стержня Лява

2.7 Задача продольного удара для стержня Бишопа

2.8 Задача продольного удара для стержня Миндлина-Германа

3. ПОПЕРЕЧНЫЙ УДАР ПО БАЛКАМ

3.1 Теория поперечных колебаний балки Бернулли-Эйлера

3.1 Теория поперечных колебаний балки Рэлея

3.2 Теория поперечных колебаний балки Тимошенко

3.3 Задача поперечного удара для сдвиговой модели балки

3.4 Задача поперечного удара для балки Бернулли-Эйлера

3.5 Задача поперечного удара для балки Рэлея

3.6 Задача поперечного удара для сдвиговой балки Тимошенко

3.7 Асимптотические разложения в задаче поперечного удара 72 для балки Тимошенко

3.8 Задача поперечного удара для балки Тимошенко

Пример расчета поперечного удара по балке

4. ПОПЕРЕЧНЫЙ УДАР ПО ПЛИТАМ

Теория поперечных колебаний плиты Кирхгофа ^

4.2 Теория поперечных колебаний плиты Рейсснера

4.3 Задача поперечного удара для плиты по теории Кирхгофа

4.4 Задача поперечного удара для плиты по теории Рейсснера с 91 учетом инерции поворота

4.5 Задача поперечного удара для плиты по сдвиговой теории 93 Рейсснера

4.6 Задача поперечного удара для плиты по теории Рейсснера.

4.7 Пример расчета поперечного удара по плите

5. НЕКОТОРЫЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

5.1 Возможные области применения полученных результатов

5.2 Удар колеса с дефектом по рельсу удар по осадительному электроду Ю

В основании современной теории удара содержатся результаты двух основополагающих работ: первая - это работа Г. Герца [329] о контактном сжатии твердых тел и вторая - работа С.П. Тимошенко [221] о поперечном ударе по балке.

Реалистическое описание процессов в контактной области позволило успешно распространить полученное Г. Герцем в статической задаче нелинейное соотношение между местным сжатием и контактной силой на динамику удара. С.П. Тимошенко первым составил интегральное уравнение для определения контактной силы и других силовых и кинематических характеристик удара.

Методика составления интегрального уравнения для определения основных характеристик удара легла в основу многих последующих работ по удару для балок и стержней, пластин, оболочек и других упругих тел [20, 60]. Последующие экспериментальные исследования ударных процессов подтвердили применимость контактной теории Герца и интегрального уравнения удара Тимошенко для предсказания основных характеристик удара [20, 60, 61]. Состояние контактной теории Герца рассмотрено в обзоре Д. Джегера [340], монографии К. Джонсона [76], а также в статье К. Джонсона, изданной к столетнему юбилею контактной теории Герца [342].

Точное решение динамической задачи теории упругости для удара по стержням, балкам или плитам, в общем случае получить не удается вследствие математической сложности динамических уравнений теории упругости. Поэтому при решении инженерных задач удара используются различные приближенные математические модели стержней, балок и плит. Результаты расчетов задач удара по таким моделям позволяют в большинстве случаев достаточно точно оценить основные силовые и кинематические характеристики удара.

Рассмотрим наиболее общий вид интегрального уравнения удара. Считаем, что удар по некоторому упругому телу большой протяженности (стержень, балка и т.д.) наносится другим упругим телом - ударником, обладающим массой т.

Перемещение ударяющего тела y(t) с момента начала удара имеет вид t t y(P,t) = V0t-iJdtjp(T)dT, (1)

О о где V скорость ударяющего тела в момент начала удара, t - время, P(t)~ контактная сила удара. Перемещение в том месте тела, по которому наносится удар, например, поперечное смещение балки или продольное смещение стержня У0(t), имеет вид: t y0(P,t)= jp(T)f(t-T)dx5 (2) о где /(0 - реакция или отклик ударяемого тела на единичный импульс. По теории

Г. Герца разность между перемещениями (1) и (2), т.е. сближение соударяющихся тел, нелинейно зависит от возникающей контактной силы P(t). При этом получается основное интегральное уравнение удара: t t t kPftf = V0t --i jdt jp(T)dt - Jp(x)f(t - T)dT. (3)

0 0 0 для контактной силы P{t), где к - коэффициент контактной жесткости, впервые составленное Тимошенко для решения задачи поперечного удара по балке [221]. Уравнение (3) имеет универсальный характер, т.е. оно применимо для задач удара не только для балок, но и для стержней, пластин, плит, оболочек и других упругих тел произвольной геометрической конфигурации. Интегральное уравнение (3) применимо и для задач продольного удара, что было показано Д. Сирсом [427,428] и др.

Интегральное уравнение удара (3) - нелинейное уравнение, вследствие нелинейности закона Герца местного деформирования при контактном сжатии тел, поэтому решение уравнения (3) - контактная сила удара Р(/) определяется методами численного интегрирования. При численном решении интегрального уравнения удара (3) можно определить контактную силу, перемещение или сжатие в месте удара, скорость и ускорение в месте соударения, время соударения - т.е. определить все основные силовые и кинематические характеристики удара.

Основной проблемой при постановке любой задачи удара является определение конкретного вида функции /(/), т.е. отклика рассматриваемой ударяемой механической системы на единичный импульс. Если такая функция /(/) неизвестна, то интегральное уравнение удара (3) не может быть составлено.

Существуют различные способы определения неизвестной функции отклика ДО для произвольной механической системы. Так, начиная с работы Тимошенко [221], поперечное смещение балки в месте удара определялось, исходя из уравнения колебаний балки, путем суммирования ряда по формам колебаний. Если для решения уравнения вынужденных колебаний балки применяется метод разложения решения в ряд Фурье, то функция опашка ДО будет представлена в виде бесконечного ряда, члены которого выражаются через собственные частоты и собственные формы [20,60]. При использовании этого метода неизбежно возникают численные проблемы выбора необходимого числа членов ряда, оценки величины суммы отброшенных членов, их влияния на конечный результат и т.д. Эти проблемы становятся очень существенными в случаях, когда период первой формы собственных колебаний балки или рассматриваемой механической системы несоизмерим с продолжительностью удара, что отмечают, в частности, JI. Айнола и

У. Нюул [7]. Данный метод определения функции отклика /(/) в теории удара использовался Тимошенко и другими исследователями в первой половине прошлого века.

Однако все отмеченные математические проблемы при определении функции отклика /(/) могут быть преодолены с самого начала, если для решения уравнений вынужденных колебаний механических систем использовать методы интегральных преобразований Лапласа, Фурье, Ханкеля и др. В этом случае реакция механической системы на удар определяется, как правило, аналитически при решении задачи удара для данной механической системы в виде интегральной свертки контактной силы удара с некоторыми специальными функциями и может быть вычислена при решении интегрального уравнения удара (3). Такой способ определения функций отклика fit) начал применяться с использованием методов интегральных преобразований при решении задач вынужденных колебаний балок, стержней и других механических систем и с успехом применяется по настоящее время.

Этой же методике следовал автор данной работы, всю данную работу можно рассматривать как определение функций отклика /(/) для задач удара при использовании различных математических моделей стержней, балок и плит. Отдельные частные случаи функций отклика /(/) для некоторых моделей балок, стержней и плит были известны ранее, однако эти решения были рассеяны по литературе и автору пришлось просмотреть и проанализировать около тысячи работ по механике удара и колебаний.

К собственным исследованиям автора относятся: задача продольного удара по стержню на основе теорий Лява и Бишопа (п.2.8, 2.9 - [104,108]), задача продольного удара по стержню на основе теории Миндлина-Германа (п.2.10 -[107,108]), исследования поперечного удара по балке для теории Рэлея (п.3.8 -[105,108]) и сдвиговой балки Тимошенко (п.3.9-[108]), асимптотические разложения в задачах поперечного удара для моделей балок Рэлея (п.3.8) и Тимошенко (п.3.9, п.310), а также исследования поперечного удара для моделей плиты Рейсснера в различных приближениях (п.4.6,4.7 и 4.8 - [106,108]).

В совместных работах В.Б. Мещерякова, автора и Г.А. Емельяновой проводилось исследование некоторых приближенных моделей балок в конкретных технических расчетах, в частности, удалось применить некоторые приближенные модели балок в задаче удара вагонного колеса с ползуном по рельсу, что отражено в ряде публикаций (п.5.2-[155, 157,158]).

Исследованиям динамических процессов, происходящих в промышленных электрофильтрах при ударных способах регенерации осадительных электродов [231] посвящены работы В.Б. Мещерякова с соавторами [149, 153, 159]. В совместной работе В.Б. Мещерякова, А.О. Шимановского и автора [154] изложены результаты исследования приближенных моделей балок, которые были использованы в задачах динамического расчета ударной регенерации осадительного электрода промышленного электрофильтра.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании проведенного исследования можно сделать такие выводы:

1. В диссертации изложены полученные автором функции отклика рассмотренных механических систем на ударное воздействие. В частности:

1.1. Получены аналитические выражения откликов упругих стержней на основе моделей Лява, Бишопа, Миндлина-Германа в задачах продольного удара. Наряду с известным в литературе решением дня классической волновой модели стержня имеется возможность выбора модели и сравнительного анализа результатов при решении конкретных задач. Результаты опубликованы в работах [104,107,108].

1.2. Получены аналитические выражения откликов упругих балок на основе моделей Рэлея и Тимошенко (с учетом сдвига) в задачах поперечного удара. Результаты опубликованы в работах [105,108].

1.3. Построены асимптотические разложения решения на основе модели Тимошенко. При этом выяснены иерархические связи между решениями по модели Тимошенко и приближенными решениями на основе вырожденных моделей. Результаты опубликованы в работе [154].

1.4. Детально исследована реакция плиты Рейсснера (в различных приближениях) применительно к задачам поперечного удара. Аналитические решения задачи поперечного удара по плите для теории шипы Рейсснера в различных приближениях опубликованы в работах [106,108].

2. Составлен краткий перечень возможных областей технических приложений аналитических результатов, полученных автором, что необходимо, поскольку ударные взаимодействия встречаются в технике достаточно часто.

3. Изложены решения двух прикладных задач удара, необходимых для использования в технике, а именно: удара колеса с ползуном по рельсу и ударной регенерации осадительных электродов. Результаты исследований опубликованы в работах

154,155,157,158]. Эти результаты были получены с использованием функций отклика механических систем, найденных автором и могут быть использованы для уточнения технических норм эксплуатации подвижного состава с дефектными колесами и при совершенствовании механического оборудования электрофильтров.

1. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979-830 с.

2. Адищев В.В., Вдовин В.Е., Кардаков Б.В. Формирование волн напряжений при ударе по стержню с учетом дисперсии. // Изв.вузов, Стр.Архит. 1990 - №6 -с.35-40.

3. Адищев В.В., Вдовин В.Е. Постановка и решение задачи об ударе груза по стержню с учетом дисперсии и геометрической нелинейности.// Изв.вузов, Стр. -1996 №5 - с.15-19.

4. Адищев В.В., Кардаков Б.В. Точное решение задачи об ударе по стержню с учетом дисперсии. // Изв.вузов, Стр. 1992 - №4 - с.46-48.

5. Айнола Л.Я. О расчетных моделях упругих пластинок для динамических задач. // Изв. АН Эст.ССР, ФМН 1963 - т.12 - №1 - с 31-37.

6. Айнола Л .Я. Об уточненных теориях пластинок типа Рейсснера. // Теория оболочек и пластин. Ереван, 1964 - с.171-177.

7. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек. // Изв. АН Эст.ССР, ФМН -1965 т.14 - №1 - с.3-63.

8. Алабужев П.М., Стахановский Б.Н., Шиигельбурд И.Я. Введение в теорию удара. Новосибирск: НЭТИ, 1970 -158 с.

9. Александров Е.В., Соколинский В.Б. Прикладная теория и расчеты ударных систем. М.: Наука, 1969 - 200 с.

10. Алимов О.Д., Манжосов В.К., Еремьянц В.Э. Удар. Распространение волн деформации в ударных системах. М,: Наука, 1985 - 360 с.

11. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: 1964 - 772 с.

12. Артоболевский И.И., Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979 - 296 с.

13. Арфкен Г. Математические методы в физике.- М.: Атомиздат, 1970 712 с.

14. Бабич В.М., Молотков И.А. Математические методы в теории упругих волн.// Механика деформируемого твердого тела.- М.:ВИНИТИ, 1977 т. 10 - с. 5-62.

15. Багреев В.В. К расчету изгибающего удара по бесконечным балкам и плитам на упругом основании. // Изв. АН СССР, МТТ -1966 №4 - с.185-188.

16. Батуев Г.С., Голубков Ю.В., Ефремов АК., Федосов А.А. Инженерные методы исследования ударных процессов. М.: Машиностроение, 1969 - 248 с.

17. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. М.: Наука, 1969 - т.1 - 343 е.,1970 - т.2 - 415 с.

18. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. М.: Наука, 1984 - т.1 - 596 е., т.2 - 431 с.

19. Беляев Н.М. Местные напряжения при сжатии упругих тел. // Инженерные сооружения и строительная механика. -JL-1924 с.27-108.

20. Бидерман В.Л. Теория удара. М.: Машгиз, 1952 - 76 с.

21. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1972 - 416 с.

22. Бишоп Р. Колебания. М.: Наука, 1986 -192 с.

23. Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д., Маслов В.П., Римский-Корсаков А.В. Распространение волн в конструкциях из тонких стержней и пластин. М.: Наука, 1974-104 с.

24. Бобровницкий Ю.И. Об акустической модели изгибно-колеблющегося стержня. // Акуст.Ж. -1975 т.21 - №4 - с.646-648.

25. Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д. Колебания упругой полосы. // Методы виброизоляции машин и присоединенных конструкций. М.: Наука, 1975 - с.12-42.

26. Бобровницкий Ю.И. О приближенных теориях изгибных колебаний стержней. // Виброизолирующие системы в машинах и механизмах,- М.: Наука, 1977-с. 49-57.

27. Болотин В.В. Некоторые нелинейные задачи динамической устойчивости пластинок. // Изв. АН СССР, ОТН -1954 -№10- с.47-59.

28. Болотин В.В. Динамический краевой эффект при упругих колебаниях пластинок. // Инженерный сборник -1961 т.31 - с.3-14.

29. Болотин В.В. Современные направления в области динамики пластин и оболочек. // Теория пластин и оболочек.- Киев: Изд-во АН УССР, 1962 с. 16-32.

30. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах.-М.:Изд. АН СССР,1957-502 с.

31. Броберг К.Б. Ударные волны в упругой и упруго-пластической среде. М.: Госгортехиздат, 1959 -116 с.

32. Вайнберг Д.В., Писаренко Г.С. Механические колебания и их роль в технике. М.: Наука,1965 - 276 с.

33. Ваксман С.М., Мещеряков В.Б. О динамическом поведении балок при кратковременном поперечном ударе. // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. Л.: ЛИСИ -1986 - с.19-23.

34. Ваксман С.М., Курбацкий Е.Н. Определение контактной силы при интенсивном поперечном ударе по бесконечной балке. // Известия ВНИИГ -1986 №191 -с.107-111.

35. Ван дер Поль Б., Бреммер X. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. М.: ИЛ, 1952 - 507 с.

36. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме построения неклассических теорий пластан. // Изв. АН СССР, МТТ -1990 №2 - с.158-167.

37. Васильев В.В. О теории тонких пластин. // Изв. РАН, МТТ 1992 - №3 -с.26-47.

38. Васильев В.В. К дискуссии по классической теории пластин. // Изв. РАН, МТТ -1995 №4 - с.140-150.

39. Васильев В.В. Об асимптотическом методе обоснования теории пластин. // Изв. РАН, МТТ 1997 - №3 - с.150-155.

40. Веклич Н.А., Малышев Б.М. Продольный удар жесткого тела по закрепленному стержню. // Инж.ж., МТТ -1972 №6 - с. 140-146.

41. Векуа И.Н. К вопросу распространения упругих волн в бесконечном слое.// Труды Тбилисского геофизич.института -1937 т.2 - с.23-50.

42. Вериго М.Ф., Коган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава. М.: Транспорт, 1986. 559 с.

43. Вернигор В.Н. Исследование поперечного удара тела о балку на основе элементарной теории. // Прикл. Мех. (ЛГУ) -1977 №3 - с.103-109.

44. Вернигор В.Н. Исследование поперечного удара груза о балку на основе приближенных моделей. // Вестник ЛГУ, ММА -1978 №4(19) - с. 108-114.

45. Вибрации в технике.// под ред. В.В. Болотина.-М.: Машиностроение, 1978 т.1 - 352 е.; под ред. И.И.Блехмана -1979- т.2 - 351 с.

46. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960-491с.

47. Вовк А.Е., Гудков В.В. К вопросу о нормальных волнах в плоском твердом слое. // Акусг. Ж.-1972 т.17 - №1 - с.23-30.

48. Вольмир А.С. Устойчивость при ударе. // Строительная механика М.: Гос-стройиздат, 1966 - с. 61-67.

49. Галеркин Б.Г. Упругие тонкие плиты.-Л.М:Госстройиздат,1933-371с.

50. Гарднер М.Ф., Бэрнс Дж. Л. Переходные процессы в линейных системах с сосредоточенными постоянными. М.-Л.: ГИТТЛ,1951 520 с.

51. Гильман Л.С. Теоретическое и экспериментальное исследование напряжений в плитах при действии кратковременных нагрузок.//Стр. Мех. и Расчет Соор.-1960-№4-с. 15-22.

52. Гоголадзе В.Г. Дисперсия волн Рэлея в слое. // Труды Сейсмолог. Инст. АН СССР-1947-№119-с.27-38.

53. Гольденблат И.И., Николаенко К.А. Расчет конструкций на действие сейсмических и импульсных сил. -М.: Госстройиздат, 1961 320 с.

54. Гольденвейзер А.Л. О теории пластинок Райсснера. // Изв. АН СССР, ОТН 1958-№4-с. 102-109.

55. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости. // ПММ -1962 т.26 - №4 - с.668-686.

56. Гольденвейзер А.Л., Колос А.В. К построению двумерных уравнений теории тонких пластинок. // ПММ -1965 т.29 - №1 - с.141-155.

57. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Асимптотический анализ и уточнение теории пластин и оболочек типа Тимошенко-Рейсснера. // Изв. АН СССР, МТТ -1990 №6 - с.124-138.

58. Гольденвейзер A.JI. О приближенных методах расчета тонких упругих оболочек и пластин. // Изв. АН СССР, МТТ -1997 №3 - с. 134-149.

59. Гольденвейзер А.Л. Замечания о статье В.В.Васильева " Об асимптотическом методе обоснования теории пластин.7/ Изв. АН СССР, МТТ-1997-№4-сД50-158.

60. Гольдсмит В. Удар.Теория и динамические свойства соударяемых тел. М.: Стройиздат, 1965 - 448 с.

61. Гольдсмит В. Удар и контактные явления при средних скоростях. // Физика быстропротекающих процессов,- М.:Мир, 1971- т.2 с.153-203.

62. Горелик Г.С. Колебания и волны. М.: ГИФМЛ, 1959 - 572 с.

63. Градштейн И.С. Рыжик И.М, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971 -1108 с.

64. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие слабых ударных волн с упругими конструкциями. М.: Йзд-во МГУ, 1971,180 с.

65. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. М.: ВИНИТИ, 1973 - 272 с.

66. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. -М.: Машиностроение, 1980 416 с.

67. Григолюк Э.И. Конечные прогибы упругих тонких пластин. // Препринт Института механики МГУ №13-95 - 1995 - с.3-60.

68. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошных сред.- М.: Мир, 1965 455 с.

69. Гринченко В.Т., Комиссарова Г.Л. Оценка пределов применимости приближенных теорий колебаний пластин на основе анализа точных решений. // Динамика и прочность машин. Харьков, Вища школа, 1978 - №28 - с.81-89.

70. Гринченко В.Т. Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. М.: Наука, 1981 - 283 с.

71. Двайт Г. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1973-228 с.

72. Дейвис Р.М. Волны напряжений в твердых телах. М.: ИЛ, 1961 - 103 с.

73. Ден-Гартог Дж.П. Механические колебания. М.: ГИФМЛ, 1960 - 580 с.

74. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z- преобразования. М.: Наука, 1971 - 288 с.

75. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. -М.: Мир 1969 -т.1 424 е., 1970 - т.2 - 352 е., 1970 - т.З - 344 с.

76. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. -М.: Мир, 1989- 510 с.

77. Динник А.Н. Избранные труды. Киев: Изд-во АН УССР, 1952 - т.1 - Удар и сжатие упругих тел. -152 с.

78. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965 - 466 с.

79. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление.- М.: Высшая школа, 1975 407 с.

80. Дмитриев А.С. Колебания балки Тимошенко при движении сосредоточенной силы. // Межвузовский темат. сборник. ЛИСИ, 1983 - с.41-48.

81. Дубинкин М.В. Колебания плит с учетом инерции вращения и сдвига. // Изв. АН СССР, ОТН -1958 № 12 - с.131-135.

82. Дубинкин М.В. О распространении волн в бесконечных плитах. // ПММ -1959 т.23 - №5 - с.984-987.

83. Доброгурский С.О. К вопросу о напряжениях и усилиях при ударе. // Вопросы расчета и конструирования деталей машин. М.-Л.: Изд-во АН,1942 - с.3-106.

84. Доннел Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука, 1982 - 567 с.

85. Емельянова Г.А., Кузнецов А.В., Титов А.Ю. Экспериментальное исследование ускорений в рельсовом пути при продольных и поперечных ударах. Вестник МИИТа, вып. 3. -М., 2000. С. 72-76.

86. Жарий О.Ю., Улитко А.Ф. Введение в механику нестационарных колебаний и волн. Киев: Вища школа, 1989 -184 с.

87. Жилин П.А., Ильичева Т.П. Анализ применимости теорий типа Тимошенко при сосредоточенном воздействии на пластину. // ПМТФ-1984-№1- с.150-155.

88. Жилин П.А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиций современной теории пластин. // Изв. РАН, МТТ -1992 №3 - с.46-64.

89. Жилин П.А., Иванова Е.А. Модифицированный функционал энергии в теории пластин типа Рейсснера. // Изв. РАН, МГТ -1995 №2 - с.120-128.

90. Жилин П.А. О классической теории пластин и преобразованиях Кельвина-Тэтв. // Изв. РАН, МТТ -1995 №4 - с.133-139.

91. Зегжда С.А. К теории Сирса продольного соударения стержней. // Вестник ЛГУ -1964 №7 - с.81-90.

92. Зегжда С.А. К задаче о соударении деформируемых тел. // Прикл. Мех. (ЛГУ) -1979 №4 - с.91-108.

93. Зегжда С.А. Вернигор В.Н. О колебаниях балки бесконечной и конечной длины под действием сосредоточенной силы. // Вестник ЛГУ-1986 №4- с.10-14.

94. Зегжда С.А., Вернигор В.Н. Исследование влияния инерции поворота и деформации сдвига при поперечном ударе. // Вестник ЛГУ, ММА -1987-№2-с.54-58.

95. Зегжда С.А. Соударение твердых тел.- СПБ.: Изд-во СПБГУ, 1997- 316с.

96. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. М.: Наука, 1972-592 с.

97. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. М.: Наука, 1973 - 352 с.

98. Зоненберг A.JI. Точное решение задач о распространении волн в стержнях на основе теории Тимошенко. М.: Депонент ЦИНИС-№1590 -1979 - 59 с.

99. Зоненберг АЛ. Исследование нестационарных процессов в стержнях конечной длины при поперечных динамических воздействиях. // Исследования прочности несущих конструкций сборных многоэтажных зданий. М.: МНИИТЭП, 1983 -с.51-67.

100. Зоненберг А.Л. Формы описания волновых процессов в стержнях и области их эффективного применения. // Исследования прочности и жесткости конструкций многоэтажных зданий.- М.: МНИИТЭП, 1988 с.150-167.

101. Зукас Дж.А., Николас Т., Свифт Х.Ф., Грещук Л.Б., Курран Д.Ф. Динамика удара. М.: Мир, - 296 с.

102. Иванченко И.И. Расчет стержневых систем с распределенными параметрами на неустановившиеся воздействия. // Стр. Мех. и Расчет Coop. 1987 - №5 -с.60-67.

103. Ионов В.Н., Огибалов П.М. Напряжения в телах при импульсивном на-гружении. М.: Высшая школа, 1975 - 463 с.

104. Исаев В.И. Продольный удар по стержням Лява и Бишопа. // ДАН Украины -1992 №11 - с.49-52.

105. Исаев В.И. Поперечный удар по балке Рэлея. // Механика деформируемых сред. Саратов, Изд-во СГУ, 1993 - №11 - с.56-61.

106. Исаев В.И. Поперечный удар по плите Рейсснера. // ДАН Украины -1993 №3 - с.56-60.

107. Исаев В.И. Продольный удар по стержню на основе теории Миндлина-Германа. // Вестник МИИТа 2005 - вып.№12 - с.93-98.

108. Исаев В.И. Моделирование откликов механических систем. // Мир транспорта, 2007 №1 - с.26-30.

109. Ялтинский А.Ю. Прикладные задачи механики. М.: Наука, 1986 т.1. -360 с., т.2-416 с.

110. Карман Т., Био М. Математические методы в инженерном деле. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1946 424 с.

111. Карслоу X., Егер Д. Операционнные методы в прикладной математике. -М.: ИЛ, 1948-291 с.

112. Карсон Д.Р. Электрические нестационарные явления и операционное исчисление. Харьков-Киев: ГНТНУ, 1934 - 231 с.

113. Кильчевский Н.А. Теория соударения твердых тел. -Киев -1969 246 с.

114. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твердых тел. -Киев: Наукова думка, 1976 314 с.

115. Кирхгоф Г.Р. Механика. Лекции по математической физике. -М.: Изд-во АН СССР, 1962 -402 с.

116. Коган АЛ.Динамика пути и его взаимодействие с подвижным составом. -М.: Транспорт, 1997 326 с.

117. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. М.: ИЛ, 1955 -192 с.

118. Коненков Ю.К. О нормальных волнах при изгибных колебаниях пластин. // Акуст.Ж. -1960 т.6 - №1 - с.57-64.

119. Коненков Ю.К. К расчету фазовых скоростей нормальных волн при изгибных колебаниях упругой плиты. // АкустЖ -1962 т.8 - №2 - с.241-242.

120. Коренев Б.Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании. М.: Госстройиздат, 1954 - 232 с.

121. Коренев Б.Г., Ручимский М.Н. Воздействие импульсных нагрузок на балку, лежащую на основании с двумя упругими характеристиками. // Изв. АН СССР, ОТН -1956 №6 - с. 157-158.

122. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях.- М.: Физматгиз,1960 458 с.

123. Космодамианский А.С., Татаринова О.П. Нелинейные колебания круглых пластин при их изгибе и растяжении-сжатии. // ДАН СССР -1984 №1 - с.36-39.

124. Космодамианский А.С., Нестерова И.А., Прийменко С.А. Импульсное деформирование кольцевых пластин и мембран. // Проблемы прочности 1992 - №8- с.6-9.

125. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек.- Саратов: Изд-во СГУ, 1986 -176 с.

126. Кохманюк С.С., Филиппов А.П., Янютин Е.Г., Деформирование элементов конструкций под действием ударных и импульсных нагрузок. Киев.: Наукова думка, 1978 -183 с.

127. Кохманюк С.С., Янютин Е.Г., Романенко Л.К. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках. Киев -1980 - 231 с.

128. Краснов М.А., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного, операционное исчисление, теория устойчивости. М.:Наука, 1981 - 304 с.

129. Крауфорд Ф. Волны. М.: Наука, 1974 - 528 с.

130. Крылов А.Н. Вибрация судов. // Собрание трудов.- т. 10 М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948-403 с.

131. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах. М.-Л.:Гостехиздат, 1954 - 368 с.

132. Кудрявцев Е.П. Об учете сдвигов и инерции вращения при изгибных колебаниях стержней. // Изв. АН СССР, ОТН -1960 №5 - с.156-159.

133. Кузнецов А.В., Мещеряков В.Б. Динамическое взаимодействие колеса и рельса. // Тезисы доклада на научно-техн. конф. "Проблемы железнодорожного транспорта и транспортного строительства Сибири". Новосибирск, СГУПС, 1997. С. 105-106.

134. Кузнецов А.В. Динамика балки на упругом основании при поперечном ударе массивного тела.- Вестник МИИТа, 1999 вып. 2-е. 120-126.

135. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.: ГИТТЛ, 1951-т.1 -476 е., Т.2.-544 с.

136. Курбацкий П.Н., Шевелев А.А. Продольный удар сосредоточенного груза по упругому стержню. // Труды МИИТ -1976 №509 - с.107-110.

137. Курнавин С.А. Продольный удар сосредоточенной массы по полубесконечному стержню, снабженному наковальней, //Тр. МИИТа 1979 - вып. 643 - с. 128-130.

138. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: ГИФМЛ, 1958 - 679 с.

139. Лукашевич С. Локальные нагрузки в пластинках и оболочках. М.:Мир,1982.

140. Лурье А.И. Удар по пластинке. // ПММ -1934 т.2 - №1 - с.143-146.

141. Лурье А.И. К теории толстых плит. // ПММ 1942 - т.6 - №2/3 - с.151-168.

142. Лурье А.И. Операционное исчисление.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 432 с.

143. Лурье А.Н. Теория упругости. М.: Наука, 1970 - 940 с.

144. Ляв А. Математическая теория упругости.-М.-Л.:ОНТИ, 1935-674 с.

145. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. -М.: Наука, 1972 470 с.

146. Мартыненко B.C. Операционное исчисление. Киев, 1990 - 359 с.

147. Масленников А.М. Расчет конструкций при нестационарных воздействиях. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1991 -164 с.

148. Мах Э. Механика. Историко-критический очерк ее развития.-Ижевск: Ред.журн."Регул. и стох.динамика.", 2000 455 с.

149. Мещеряков В.Б., Архипов А.С., Завьялов А.И. Экспериментальное исследование свободных колебаний осадительных элементов электрофильтров. Научно-техн. сборн. "Промышленная и санитарная очистка газов" ЦНИИТЭнефтехим. М., 1972 - № 5 - с. 14-17.

150. Мещеряков В.Б., Курбацкий Е.Н. Приближенная оценка ускорений в балке при кратковременном действии поперечной силы. // Труды МИИТ 1976 - № 509 -с.26-31.

151. Мещеряков В.Б. О распространении изгибно-крутильных волн в тонкостенных стержнях открытого профиля. // ПММ -1977 т.41 - №2 - с.372-375.

152. Мещеряков В.Б. О расчете балки на действие импульсивной нагрузки. // Механика стержневых систем и сплошных сред. Л.: ЛИСИ -1978 - с.79-83.

153. Мещеряков В.Б., Завьялов А.И., Курбацкий Е.Н. Динамика электродных систем сухих пластинчатых электрофильтров. ЦИНТИхимнефтемаш.// Обзорная информация: Серия ХМ-14. М., 1988. - 24 с.

154. Мещеряков В.Б., Шимановский А.О., Исаев В.И. Приближенные модели для определения реакции балки на действие кратковременной сосредоточенной силы. // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. Л.: ЛИСИ, 1990-с.71-76.

155. Мещеряков В.Б., Исаев В.И., Емельянова Г.И. Ударное взаимодействие рельсового пути и колесной пары, имеющей ползуны.// Доклад на 8-ой Международной конференции "Проблемы механики железнодорожного транспорта." Днепропетровск, 1992 г. - с.62-63.

156. Мещеряков В.Б., Шимановский А.О. Прохождение ударных волн через узел стержневой системы // Межвуз. сб. тр. ОмИИТа. Омск, 1992. - с. 27 - 32.

157. Мещеряков В.Б., Исаев В.И., Емельянова Г.И. Напряженное состояние рельсового пути при ударе колесной пары с ползунами. // Математические методы изадачи функционирования систем железнодорожного транспорта. -М.: Изд-во РГОТУПС, 1995-С.95-98.

158. Мещеряков В.Б., Исаев В.И., Емельянова Г.И. О возможности уточнения уровня изгибных напряжений в рельсах при ударах колесных пар с ползунами. // Вестник ВНИИЖТ -1996 №4. с.16-19.

159. Мещеряков В.Б. Динамические процессы в механическом оборудовании промышленных электрофильтров // Вестник МИИТа. -1999 Вып. 2. - с. 82 - 85.

160. Мещеряков В.Б., Чефанова Е.В. Динамика тонкостенных стержней открытого профиля // Вестник МИИТа. 2000 - Вып. 3. - с. 123 -130.

161. Микер Т., Мейтцлер А. Волноводное распространение в протяженных цилиндрах и пластинах. // Физическая акустика. М.: Мир, 1966 - т.1 - ч.А - с.140-203.

162. Микусинский Я. Операторное исчисление. М.: ИЛ, 1956 - 366 с.

163. Микусинский Я., Сикорский Р. Элементарная теория обобщенных функций. М.: ИЛ, 1959 - вып.1 - 78 е., 1963 - вып.2 - 67 с.

164. Миндлин Я.А. Распространение волн по поверхности бесконечно длинного кругового цилиндра.// ДАН СССР-1946- т.52 №2 - с. 107-110.

165. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: ИЛ, 1958 т.1 -930 с, 1960-т.2-886 с.

166. Морз Ф. Колебания и звук. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949 - 496 с.

167. Москаленко В.Н. Об учете инерции вращения и деформации сдвига в задачах о собственных колебаниях пластин. // Теория пластин и оболочек. Киев: Изд-во АН УССР, 1962 - с.264-266.

168. Муравский Г.Б. К расчету балки бесконечной длины, лежащей на упругом основании на действие мгновенного сосредоточенного импульса. // Изв. АН СССР, ОТН -1962 №6 - с. 168-169.

169. Муравский Г.Б. Неустановившиеся колебания бесконечной плиты лежащей на упругом основании. // Изв. АН СССР, ОТН -1963 №2 -с.87-82.

170. Муравский Г.Б. Колебания балки Тимошенко на упругом основании. // Стр. Мех. и Расчет Coop. -1979 №6 - с.56-61.

171. Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы. -М.: Наука, 1971 632 с.

172. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. -М.: Наука, 1994 -191 с.

173. Нигул У.К. О применении символического метода А.И. Лурье в трехмерной теории динамики упругих плит. // Изв. АН Эстонской ССР, ФМН -1963 т. 12 -№2 -с.146-155.

174. Нигул У.К. О корнях уравнения Лэмба для деформации плиты антисимметричной относительно срединной поверхности. // Изв. АН Эстонской ССР, ФМН -1963 т.12 - №3 - с.284-293.

175. Нигул У.К. Применение трехмерной теории упругости к анализу волнового процесса изгиба полубесконечной плиты при кратковременно действующей краевой нагрузке. // ПММ -1963 т.27 -№6 - с.1044 -1056.

176. Нигул У.К О применении символического метода А.И. Лурье к анализу напряженных состояний и двумерных теорий упругих плит. // ПММ 1963 - т.27 -№3 - с.583-588.

177. Нигул У.К. О методах и результатах анализа переходных волновых процессов изгиба упругой плита. // Изв. АН Эстонской ССР, ФМН 1965 - т. 14 -№3 -с.345-384.

178. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975 - 872 с.

179. Новожилов В.В., Слепян Л.И. О принципе Сен-Венана в динамике стержней. // ПММ -1965 т.25 - №2 - с.261-281.

180. Оберхетгингер Ф. Преобразования Фурье распределений и их обращения. -М.: Наука, 1979-248 с.

181. Ш.Олинер А. Волноводы для поверхностных волн. // ТИИЭР 1976 - т.64 -№5 -с.51-65.

182. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машиностроение, 1967 - 316 с.

183. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара.- М., 1977 224 с.

184. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. -М.: Наука, 1987-352 с.

185. Пейн Г. Физика колебаний и волн. М.: Мир, 1979 - 389 с.

186. Перцев А.К., Платонов Э.Г. Динамика оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1987-316 с.

187. Петров А.А. Деформация цилиндрической лопатки под действием ударной нагрузки. // Труды Ленингр.Кораблестр.йн-та -1964 №43 - с.137-151.

188. Пиппард А. Физика колебаний. М.: Высшая школа, 1985 - 456 с.

189. Пирс Дж. Почти все о волнах. М.: Мир, 1976 -176 с.

190. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. -М.: Наука, 1986 328 с.

191. Пфейффер П. Колебания упругих тел. М.-Л.: ОНТИ, 1934 - 217 с.

192. Рабинович И.М. Основы динамического расчета сооружений на действие кратковременных и мгновенных сил. -М.: Изд-во ВИА, 1952 4.1,2.

193. Рабинович И.М., Синицын А.П., Лужин О.В., Теренин В.М. Расчет сооружений на импульсные воздействия. М.-1970.

194. Расчеты на прочность в машиностроении. // под ред. Пономарева С.Д. -М.: Машгиз, 1959 т.З -1118 с.

195. Рыбаков С.А., Тартаковский Б.Д. О колебаниях тонких пластин. // Акуст. Ж. 1963 - т.9 - №1 - с.66-71.

196. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976 - т.1., т.2.

197. Селезов I.T. Про р1вняння руху гнучких пластин. // Прикл. Мех. 1959 -т.4 -№5 - с.444-448.

198. Селезов I.T. Дослщження поперечних коливань пластини. // Прикл. Мех. -1960 т.6 - №5 - с.319-327.

199. Селезов I.T. Про поперечни коливання пластини. // Доповщ АН УРСР -1960 №9 - с.1190-1193.

200. Селезов I.T. Про гшотези, ям лежать в основ1 уточненних р1внянь поперечних коливань пластин, i деяи особливош цих р1внянь. // Прикл, Мех. -1961 т.1 -№5 - с.538-546.

201. Сен-Венан Б. Мемуары о кручении и об изгибе призм. М.: Физматгиз, 1961-518 с.

202. Сеницкий Ю.Э. Поперечный удар по стержню сплошного или составного сечения. // Инж. Ж. -1965 т.5 - №4 - с.697-704.

203. Сеницкий Ю.Э. Поперечный удар по тонкостенному стержню симметричного профиля. // Прикл. Мех. -1970 т.6 - №6 - с.97-104.

204. Сеницкий Ю.Э. О решении динамической задачи для балки Тимошенко методом конечных интегральных преобразований. // Расчет пространственных строительных конструкций. Куйбышев: Изд-во КГУ, 1977-№7-с.5-22.

205. Сеницкий Ю.Э. Динамическая задача для упругозакрепленной круглой пластины на основе теории типа Тимошенко. // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Будивельник, 1977 - №31 -с.122-130.

206. Сеницкий Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. Саратов: Изд-во СГУ, 1985 -175 с.

207. Серебрянников М.Г. Колебания и вибрации. M.-JI.: ГИТТЛ, 1940 -220 с.

208. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. М.: Мир, 1971558 с.

209. Скучик Е. Основы акустики. М.: Мир, 1976 - т.1 - 520 с.

210. Слепян Л.И. Деформации балок при ударных нагрузках. // Строительная механика корабля Л.: Изд-во Судпрома, 1961 - №40 - с.216-229.

211. Слепян Л.И. Применение рядов Фурье для исследования волн деформаций. // Прикл. Мех. -1965 т.1 - №8 - с.112-119.

212. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л., 1972 - 374 с.

213. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л.: Судостроение, 1980 - 343 с.

214. Снеддон И.Н. Преобразования Фурье. М: ИЛ, 1955 - 668 с.

215. Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. М.: Физмат-гиз, 1961 - 219 с.

216. Снитко И.К. Методы расчета сооружений на вибрацию и удар. Л.- М.: Гос.изд-во по строит, и архитект., 1953 - 288 с.

217. Сорокин Е.С., Архипов А.С. Исследование свободных поперечных колебаний балки как плоской задачи теории упругости. // Строительная механика, (сб. поев. 80-л. И.М. Рабиновича) М.: Стройиздат, 1966 - с.154-164.

218. Сорокин Е.С. Основные предпосылки расчета сооружений на импульсные нагрузки. // Труды МИИТ -1968 №260 - с.5-37.

219. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем.-М.: Госстройиздат, 1960.

220. Стретт Дж.В. (Рэлей). Теория звука. М.: Гостехиздат, 1955 - т.1 -504 е., т.2 - 476 с.

221. Тимошенко С.П. К вопросу о действии удара на балку. // Известия СПБ Политехи. Института, отд. техники, естествознания и математики -1912 т.17 - №2 -с.407-425.

222. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов. М.: ГИТТЛ,1957 -536 с.

223. Тимошенко С.П. Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966-635 с.

224. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967 -444 с.

225. Тимошенко С.П. Курс теории упругости.- Киев:Наукова думка,1972-501 с.

226. Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементов конструкций. Избранные работы. М.: Наука, 1975 - 704 с.

227. Тимошенко С.П. Статические и динамические проблемы теории упругости. -М.: Наука, 1975 563 с.

228. Трантер К.Дж. Интегральные преобразования в математической физике. -М.: Гостехиздат, 1956 204 с.

229. Уитгекер Э.Т., Ватсон Д.Н. Курс современного анализа. М.: Физматгиз, 1962 - т.1 - 344 е., 1963 - т.2 - 516 с.

230. Уитгекер Э.Т. Аналитическая динамика. М.-Л.:ГТТИ, 1937 - 500 с.

231. Ужов В.Н. Очистка промышленных газов электрофильтрами. М.; Химия, 1967,320 с.

232. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин. // ПММ -1948 т. 12 - №3 - с.287-300.

233. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. -Л.: Наука, 1967 402 с.

234. Филиппов А.П. Удар по прямоугольной пластинке , лежащей на упругом основании. // ПММ -1938 т.6 - №2 - с.325-330.

235. Филиппов А.П., Скляр В.А. Поперечный удар по стержню при учете инерции вращения и сил перерезывания. // Прикл. Мех. -1968 т.4 - №7 -с. 1-7.

236. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970 - 734 с.

237. Филипов А.П. Поперечный упругий удар тяжелым телом по круглой плите. // Изв. АН СССР, МТТ -1971 №6 - с.102-109.

238. Филиппов А.П., Скляр В.А. Поперечный упругий удар по прямоугольной пластинке с учетом инерции поворота и перерезывающих сил. // Динамика и прочность машин. М.: Наука, 1971 - №6 - с.12-14.

239. Филиппов А.П., Голоскоков Е.Г. Нестационарные колебания деформируемых систем. Киев: Наукова думка, 1977 - 339 с.

240. Флексер М.Ш. О поперечных колебаниях стержней. // ПММ -1958 т.22 -№5 - с.696-697.

241. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. JI.-M.: ОНТИ, 1937 - 998 с.

242. Харрис С.М., Крид Ч.И. Справочник по ударным нагрузкам. Л.: Судостроение, 1980 - 359 с.

243. Цейтлин А.И. О влиянии сдвига и инерции вращения при колебаниях балки, лежащей на упругом основании. // ПММ -1961 т.25 - №2 - с.362-364.

244. Цейтлин А.И. Импульсивное загружение балки, лежащей на основании с двумя упругими характеристиками. // Стр. Мех. и Расчет Coop. -1961 №1 - с.43-46.

245. Цейтлин А.И. Преобразования типа Ханкеля, используемые в задачах об изгибе и колебаниях неограниченных пластин. // Прикл. Мех.-1968 -т.4-№3 с.70-76.

246. Цейтлин А.И. Прикладные методы решения краевых задач, строительной механики. -М.: Стройиздат, 1984 334 с.

247. Шапошников Н.Н., Бабаев В.Б., Сенющенков М.Р. Решение контактных динамических задач методом конечных элементов по неявной схеме в системе прочностных расчетов СПРИНТ. // Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1985 -№26 - с.265-274.

248. Шостак Р.Я. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1972 - 280 с.

249. Эйбрамсон Х.Н., Пласс Х.Дж., Риппергер Э.А. Распространение волн напряжений в стержнях и балках. // Проблемы механики М.: ИЛ, 1961-т.З - с.24-90.

250. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. Прилож.1. Об упругих кривых. М.-Л.: Гостехиздат, 1934 - с.447-572.

251. Эрдейи А. Асимптотические разложения. М.: Физматгиз, 1962 -127 с.

252. Эфрос A.M., Данилевский А.М. Операционное исчисление и контурные интегралы. Харьков: ГНТИУ, 1937 - 384 с.

253. Яковлев А.С. Вынужденные колебания бесконечной балки при учете инерции упругого основания и инерции вращения и сдвига в балке. // Труды МИСИ -1968-№53-с.86-97.

254. Abramovich Н., Elisakoff I. Bolotin's dynamic edge effect method incorporating shear deformation and rotatory inertia. // J. Sound Vibr. -1990 v.136 - No.2 - p.355-359.

255. Abramson H.N. Flexural waves in elastic beams of circular cross section. // J.Acoust. Soc.Am. -1957 v.29 - No.l - p.42-46.

256. Abramson H.N., Plass H.J., Ripperger E.A. Stress wave propagation in rods and beams. // Adv.Appl.Mech. -1958 v.5 - p.l 11-194.

257. Achenbach J.D., Sun C.T. Moving load on a flexibly supported Timoshenko beam. // Int.J.Solids Struct. -1965 v.l - p.353-370.

258. Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids. New York, North -Holland Publ. Co., 1973 - 425 p.

259. Adem J. On the axially-symmetric steady wave propagation in elastic circular rods. // Quart. Appl. Mathem. -1954 v.12 - No.3 - p.261-275.

260. Al-Mousavi M.M. Transient response of Timoshenko beams with discontinuites of cross-section. // Int. J. Mech. Sciences -1984 v.26 - No.4 - p.277-292.

261. Al-Mousavi M.M. On experimental studies of longitudinal and flexural wave propagation: an annotated bibliography. // Appl.Mech.Rev. -1986- v.39 No.6 - p.853-864.

262. Al-Mousavi M.M. Theoretical studies an flexural wave propagation in beams. // Shock Vibr. Digest -1986 v.18 - No.4 - p.11-18, No.5 - p.9-21, No.6 - p.11-18.

263. Anderson R.A. Flexural motion in uniform beams according to the Timoshenko theory. // J.Appl. Mech. 1953 - v.20 - No.4 - p.504-510.

264. Armenakas A.E., Gazis D.S., Herrmann G. Free vibrations of circular cylindrical shells. Oxford, Pergamon press -1969 - 211 p.

265. Asano N. Analysis of longitudinal impact of two circular bars using finite element method. // ProcJapan Soc.Mech.Eng. -1980 No.800-9 - p.95-100.

266. Asano N. Finite elements analysis of rods subject to longitudinal impact.// TransJapan Soc.Mech.Eng. -1981 v.47A - p.841-850.

267. Bancroft D. The velocity of longitudinal waves in cylindrical bars.// Phys.Rev. -1941-v.59-No.6-p.588-593.

268. Bauer H.F. Nonlinear responce of elastic plates to pulse excitation. // J.Appl.Mech. -1968 v.35 - No.l - p.47-52.

269. Baumann H. Zur verwendung von operatoren in der kontinuums dynamic. // An-nalen der Physik. -1935 Bd.24 -H.l-S.49-83.

270. Bernoulli D. De vibrationibus et sono laminarum elasticarum commentationes physico-geometricae. // Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae , v.13,1751, p.105-120.

271. Bernoulli J. Veritable hypothese de la resistance des solides, avec la demonstration de la courbure des corps, qui font ressort 1705.// Oeuvres compl., Geneve -1.2- 1744 -p.976-989.

272. Bernoulli J. Curvatura laminae elasticae. // Acta Eruditorum Lipsiae -1694 -June p.262.; Annotationes et Additiones. // Acta Eruditorum Lipsiae - 1695 - Desember -p.537.

273. Bishop R.E.D. Longitudinal waves in beams. // Aeronautical Quarterly 1952 -v.3 -No.4 - p.280-293.

274. Bishop R.E.D. Longitudinal elastic wave in cylindrical rods. // Nature -1953. -v.172 -p.169.

275. Bishop R.E.D., Johnson D.G. The mechanics of vibration. Cambridge-Univercity Press -1960 - 592p.

276. Bleich H.H., Shaw R. Dominance of shear stresses in early stages of impulsive motion of beams. // J.Appl.Mech. -1960 v.27 - No.2 - p. 132-138.

277. Bogacz R., Krzyzynsky Т., Popp K. On the generalization of Mathew's problem of the vibration of a beam on elastic foundation. // ZAMM -1989 -v.69 No.8 - p.243-252.

278. Boley B.A., Chao C.C. Some solutions of the Timoshenko beam equations // J.Appl.Mech. -1955 v.22 - No.4 - p.579-586.

279. Bolle L. Contribution au probleme lineare de flexion d'une plaque elastique // BuU.Tech.Suiss.Rom. -1947 v.73 - p.281-298.

280. Booker R.E. Velocity dispersion of isotropic rods of square cross section vibrating in the lowest-order longitudinal mode. // J.Acoust.Soc.Am. 1969 - v.45 - No.5 -p. 1284-1286.

281. Booker R.E., Sagar F.H. Velocity dispersion of the lowest-order longitudinal mode in finite rods of circular cross section. // J.Acoust.Soc.Am.- 1971- v.49 No.5 -p. 1491-1498.

282. Brepta R. Critical comments to the solution of longitudinal impact in bars treated by Love's equation. // Strojnicky Casopis. -1969 v.20 - No.2 - p.125-139.

283. Brezzi F., Bathe K.J., Fortin M. Mixed-interpolated elements for Reissner-Mindlin plates. // Int.J.Numer.Methods Enginnering 1989 - v.28 - No.8 - p.1787-1801.

284. Buchwald V.T. Low frequency flexural vibrations on elastic plates //Quart. J. Mech. AppLMathem. -1959 v.12 - No.4 - p.454-463.

285. Budden K.G. The waveguide mode theory of wave propagation London: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Logas press -1962 - 325 p.

286. Chattopadhyay S. Permanent indentation effects on the impact response of elastic plates. // J.Acoust. Soc.Am. -1987 v.82 - No.2 - p.493-497.

287. Chree C. The equations of an isotropic elastic solid in polar and cylindrical coordinates, their solutions and applications. // Trans. Camb.Phil.Soc. -1889 -v.l4-p.250-369.

288. Colombo S. Transformation de Laplace et de Mellin. -1972 -250 p.

289. Conway H.D., JakubowskiM. Axial impact of short cylindrical bars.// J.Appl. Mech. -1969 v.36 - No.4 - p.809-813.

290. Cooper J.L.B. The propagation of elastic waves in a rod. // Phil.Mag. -1947-ser.7-v.38-No.276-p.l-21.

291. Cowper G.R. The shear coefficient in Timoshenko's beam theory. // J.Appl. Mech. -1966 v.33 - No.2 - p.335-340.

292. Cowper G.R. On the accuracy of Timoshenko's beam theory. // J.Engineering Mechanics Division -1968 v.EM-6 - p.1447-1453.

293. Cox H.L. On impacts on elastic beams. // Trans.Cambr.Phil.Soc. 1856-V.9 -pt.l -p.73-78.

294. Cremer L. Bemerkungen zur ausbreitung von bigwellen in staben und platten.// ZAMM -1943 Bd.23 - H.5 - S.291-295.

295. Crook A.W. A study of some impacts between metal bodies by a piezoelectric method. // Proc.Roy.Soc.Lond.A. -1952 v.212 - p.377-390.

296. Cunningham D.M., Goldsmith W. An experimental investigation of beam stresses produced by oblique impact of a steel sphere // J.Appl.Mech. 1956 - v.23 -p.606-611.

297. Cunningham D.M., Goldsmith W. Short-time impulses produced by longitudinal impact.//Proc.Soc. Exper.Stress Analysis -1958 v.16 - No.2 - p.153-165.

298. Curtis C.W. Second mode vibrations of the Pochhammer-Chree frequency equation. //J.Appl.Phys. -1954 v.25 - p.928.

299. Curtis C.W. Propagation of an elastic strain pulse in a semi-infinite bar. // Stress wave propagation in materials, ed.N.Davids New York -1960 - p. 15-43.

300. Czerlinsky E . Uber die ausbreitung von ultraschallwellen in drahten. // Akust.Zeitsch. -1942 Bd.7 - H.l-S.12-17.

301. Davies R.M. A critical study of the Hopkinson pressure bar.// Phil.Trans.Roy.Soc.A -1948 v.240 - p.375-457.

302. Davies R.M. Stress waves in solids.// Appl.Mech.Rev. -1953 v.6-p.l-3.

303. Davies R.M. Stress waves in solids.// Surveys in Mechanics., ed. Batchelor G.K., Davies R.M. Cambridge, University press -1956 - p.64-138.

304. Davies R.M., Henshell R.D., Warburton G.B. A Timoshenko beam element. // J.Sound Vibr. -1972 v.22 - No.4 - p.475-487.

305. Dengler M.A. Transversale wellen in staben und platten unter stoss-formiger belastung. // Osterreichisches Ingener Archiv -1956 Bd.10 - H.1 - S.39-66.

306. Donnel L.H. Longitudinal wave transmission and impact. // Trans. ASME -1930 v.52 - p.153-167.

307. Doyle J.F. Determing the contact force during the transverse impact of plates. I I Experimental Mechanics -1987 v.27 - No.l - p.68-72.

308. Engel P. A. Impact wear of materials. Amsterdam: Elsevier - 1976 - 339 p.

309. El-Raheb M., Wagner P. Wave propagation in a plate after impact by a projectile. // J.Acoust.Soc.Am. -1987 v.82 - No.2 - p.498-505.

310. El-Raheb M. Flexural waves in a disk soon after impact. // J.Acoust.Soc.Am. -1994-v.96-No.l-p.221-234.

311. Eringen A.C. Transverse impact on beams and plates. // J.Appl.Mech. -1953 -v.20 No.4 - p.461-468.

312. Field G.S. Vibration in sohd rods and disks. //Can.J.Research 1933 - v.8-No.6 - p.563-574.

313. Florence A.L. Traveling force on a Timoshenko beam. // J.Appl.Mech. 1965-v.32 - No.2 - p.351-358.

314. Flugge W. Die Ausbreitung von Biegungswellen in Staben. // ZAMM -1942 -Bd.22 H.6 - S.312-318.

315. Flugge W., Zajac E.E. Bending impact waves in beams. // Ingenier-Archiv -1959 Bd.28- S.59-70.

316. Folk R., Fox G., Shook C.A., Curtis C.W. Elastic strain produced by sudden application of pressure to one end of a cylindrical bar. // J.Acoust.Soc.Am. -1958 v.30 -No.6 - p.552-558.

317. Follansbee P.S., Frantz C. Wave propagation in the split Hopkinson Pressure Bar. // .Engineering Materials and Technology -1983 v. 105 - No.l - p.61-66.

318. Frakes J.P.,Simmonds J.G. Asymptotic solutions of the Von Karraan equations for a cyrcular plate under a concentrated load. // J.Appl.Mech. -1985- v.52 No.2 - p.325-330.

319. Fu C.C. Closed form solutions of infinite beam under impact loading. // Int.J,Solids Structures -1967 v.3 - p.607-613.

320. Galilei G. Unterredungen und Demonstrationen uber zwei neue Wissenszweige1638). // Ostwald's Klassiker № 25 - 38 - Leipzig, W.Engelmann, 1890-1891.

321. Garrelick J.M., Benveniste J.E. Comparison of beam impact models. // Amer.Institute Aeronautical and Astronautics J. -1970 v.8 - No.4 - p.823-825.

322. Ghosh M. Application of the Hertz's theory of impact to the longitudinal vibration of a bar excited by the impact of an elastic load //ZAMM -1934-Bd.l4-H.2-S.71-76.

323. Goland M., Wickerham P.D., Dengler M.A. Propagation of elastic impact in beams in bending. // J.Appl.Mech. 1955 - v.22 - N1 - p.1-7.

324. Goldsmith W. Impact: the theory and physical behavior of colliding solids.-London, E.Arnold Ltd. 1960.

325. Graff K.F. Wave motion in elastic solids-Oxford: Clarendon press -1975- 649 p.

326. Green W.A. Dispersion relations for elastic waves in bars. // Progress in Solid Mechanics, ed.I.N. Sneddon, R.Hill, Amsterdam, North-Holland Publ. Co. 1960, v.l -p.225-261.

327. Harrison M. Propagation of longitudinal elastic waves in a solid circular cylinder. // J.Acoust.Soc.Am.-1953- v.25- p.821.

328. Hertz H. Uber die Beruhrung fester elastischer korper. // J.Reine Angew.Math. -1882 -Bd.92 S.156-171.

329. Holden A.N. Longitudinal modes of elastic waves in isotropic cylinders and slabs. // Bell System Technical J. -1951 v.30 - No.4 - p.956-969.

330. Hoppman W.H. Impact of a mass on a damped elastically supported beam. //J.Appl.Mech. -1950 v.17 - No.2 - p.125-130.

331. Hosclil C., Okrouhlik K., Cerv J., Benes J. Analytical, computational and experimental investigations on stress wave propagation.// Appl. Mech.Rev., 1994 v.47 -No.2 - p.77-98.

332. Huygens C. Oeuvres Completes, Societe hollandaise des Sciences.16: Percussion (1669).,- The Hague, MNijhoif, 1888-1950.

333. Hudson G.E. Dispersion of elastic waves in solid circular cylinders // Physical Review-1943 V.63-No.l -p.46-51.

334. Huter T.F. Ultrasonic velocity dispersion in solid rods. //J.Acoust.Soc.Am. -1950- v.22 p.514-515.

335. Hughes D.S., Pondrom W.L., Mims R.L. Propagation of elastic pulses in metal rods. // Physical Review -1949 v.75 - p.1552-1556.

336. Hutchinson J.R.,Percival M. Higher modes of longitudinal wave propa-gation in thin rods. // J.Acoust.Soc.Am. -1968 v.44 - No.5 - p.1204-1210.

337. Huter T. Uber die Fortleitung von ultraschallwellen in festen staben. // Zeitsch.Angew. Phys.-1949 Bd.l - S.274-289.

338. Ishikawa K., Natsume S., Tanimoto B. Forced vibration of rectangular plates subjected to a harmonic concentrated force // Trans. Japan Soc.Civil Engineers 1982 -v.l4-p.28-32

339. Jaeger J. Analytical solutions of contact impact problems.// Appl. Mech.Rev. -1994-v.47-No.2-p.35-54.

340. Jahaushahi A., Monzel F.J. Effects of rotatory inertia and transverse shear on the response of elastic plate to moving forces. // Ingenier-Archiv -1965- Bd.34 S.401-410.

341. Johnson K.L. One hundred years of Hertz contact. // Proc.Institution Mech. Engineers -1982- v. 196 p.363-378.

342. Jones O.E.,Norwood F.R. Axially symmetric cross-sectional strain and stress distributions in suddenly loaded cylindrical elastic bars. // J.Appl.Mech. 1967 - v.34 -No.3 -p.718-724.

343. Jones R.P.N. The wave method for solving flexural vibration problem. // J.AppLMech. -1954 v.21 - No.l - p.75-80

344. Jones R.P.N. Transient flexural stresses in an infinite beam. //Quart.J.Mech.Appl.Mathem. -1955 v.8 - No.3 - p.373-384.

345. Junger M.C. Note on the paper by L.Y. Tu, J.N. Brennan and J.A.Sauer on dispersion of ultrasonic pulse velocity in cylindrical rods. // J.Appl.Soc.Am. -1955-V.27 -No.5-p.974.

346. Kaneko T. On Timoshenko's correction for shear in vibrating beams.// J.Phys., ser.D -1975 v.8 - p.1927-1936.

347. Kapur K.K. Vibrations of a Timoshenko beam, using finite elemente approach. // J.Acoust.Soc.Am. -1966 v.40 - p.1058-1063.

348. Karas K. Platten unter seitlichem stoss. // Ingenieur-Archiv 1939 - Bd.10 -S.237-250.

349. Kaul R.K. On the propagation of pressure pulses in circular elastic rods. // ZAMP 1963 - v.14 - No.6 - p.704-712.

350. Kaul R.K.,McCoy J.J. Propagation of axisymmetric waves in a circular semiin-finite elastic rods. //J.Acoust.Soc.Am. -1964 v.36 - No.4 - p.653-660.

351. Kelly J.M. The impact of a mass on a beam.//Int. J. Solids Structures -1967- v.3-p.191-196.

352. Kennedy L.W., Jones O.E. Longitudinal wave propagation a circular bar loaded suddenly by a radially distributed end stress. // J.Appl.Mech. 1962 - v.36- No.3 - p.470-478.

353. Kirchhoff G. Uber das gleichgewicht und die bewegung einer elastischen scheibe. // J.Reine Angew.Math. 1850 - Bd.40 - S.51-88.

354. Kolsky H.Stress waves in solids. Oxford, Clarendon press -1953.

355. Kolsky H. The propagation of longitudinal elastic waves along cylindrical bars. // Phil.Mag. -1954 v.45 - No.366 - p.712-726.

356. Lamb H. On the flexure of an elastic plate. // Proc.Lond.Math.Soc. -1889/1890 -v.21 No.360 - p.85-90.

357. Lamb H. On waves in an elastic plate. // Proc.Roy.Soc.Lond.,ser.A -1917 v.93 -No.648-p. 114-128.

358. Lee E.H.The impact of a mass striking a beam.//J.Appl.Mech.-1940-v.7-No.4p.129.

359. Lennertz J. Beitrag zur Frage nach der wirkung eines Questosses auf einen Stab. // Ingenieur-Archiv -1937 Bd.8 - S.37-46.

360. Lloyd J.R., Miklowitz J. Wave propagation in an elastic beam or plate on an elastic foundation. // J.Appl.Mech. -1962 v.29 - No.3 - p.459-464.

361. Mathews P.M. Vibrations of a beam on elastic foundation. //ZAMM-1958 -Bd.38 H.3/4 - S.105-115.

362. McNiven H.D.,McCoy J.J. Vibrations and wave propagation in rods. // R.D. Mindlin and applied mechanics. New York: Pergamon press, 1974 -p. 197-255.

363. McSkimin H.J. Propagation of longitudinal waves and shear waves in cylindrical rods at high frequencies, // J.Acoust.Soc.Am. -1956 v.28 - No.2 -p.484-494.

364. Mead D.J. Wave propagation in Timoshenko beams. // Strojnicky Casopis -1985 v.36 - No.4/5 - p.556-585.

365. Medick M.A. On classical plate theory and wave propagation. // J.Appl.Mech. -1961-v.28-No.2-p.223-228.

366. Meirovitch L, Analytical methods in vibrations.-New York, 1967-555 p.

367. Meshcheiyakov V.B. Shock interaction of a wheel couple with a railway. // Proceeding of the 2nd mini conf. on CONTACT MECHANICS AND WEAR OF RAIL/WHEEL SYSTEMS., Budapest, 29-31 july, 1996 Technical University of Budapest - p. 62-68.

368. Miklowitz J. Flexural wave solutions of coupled equations representing the more exact theory of bending. // J.Appl.Mech. -1953 v.20 - No.4 - p.511-514.

369. Miklowitz J. Traveling compressional waves in an elastic rod according to the more exact one-dimensional theory. //Proc. 2nd U.S.National Congress Appl. Mech., 1955, p.179-186.

370. Miklowitz J. The propagation of compressional waves in a dispersive elastic rod. Part 1. Results from the theory. // J.Appl.Mech. -1957 v.24 - No.2- p.231-239.

371. Miklowitz J,, Nisewanger C.R. The propagation of compressional waves in a dispersive elastic rod. Part2. Experimental results and comparison with theory. // J.Appl.Mech. 1957 - v.24 - No.2 - p.240-244.

372. Miklowitz J. On the use of approximate theories of an elastic rod in problems of longitudinal impact. // Proc.of 3rd U.S.National Congress Appl.Mech. 1958 p.215-224.

373. Miklowitz J. Flexural stress waves in an infinite elastic plate due to a suddenly applied concentrated transverse load. // J.Appl.Mech. 1960 - v.27 - No.4- p.681-689.

374. Miklowitz J. Recent developments in elastic wave propagation. // Appl.Mech.Rev. 1960 - v.13 - No.12 - p.865-878.

375. Miklowitz J. Transient wave propagation in elastic rods and plates. // J.Geophysical Research -1963 v.68 -No.4 - p. 1190-1192.

376. Miklowitz J. Elastic wave propagation. // Applied mechanics surveys -Washington: Spartan books, 1966 p.809-839.

377. Miklowitz J. Theory of elastic waves and waveguides Amsterdam; North-Holland Publ.Co., 1978 - 618 p.

378. Mindlin R.D.Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates. // J.Appl.Mech. -1951 v.18 - No.l - p.31-38.

379. Mindlin R.D. Herrmann G. A one-dimensional theory of compressional waves in elastic rods. // Proc. 1st U.S.National Congress AppLMech., 1952, p.187-191., Proc. 2nd U.S.National Congress Appl.Mech., 1955, p.233.

380. Mindlin R.D.,Deresiewicz H. Elastic spheres in contact under varying oblique forces. // J.Appl.Mech. -1953 v.20 - p.327-331.

381. Mindlin R.D., Deresiewicz H. Timoshenko's shear coefficient for flexural vibrations of beams. // Proc 2nd U.S.National Congress AppLMech.,1955, p.175-178.

382. Mindlin R.D. Vibrations of an infinite elastic plate at its cut-off frequ-encies. // Proc. 3rd U.S.National Congress AppLMech., 1958, p.225-226.

383. Mindlin R.D. McNiven H.D. Axially symmetric waves in elastic rods. // J.Appl.Mech. 1960-V.27 -No.l -p.145-151.

384. Mindlin R.D. Waves and vibrations in isotropic elastic plates.// Structural mechanics, ed.J.N.Goodier, N.Hoff New York:Pergamon press, 1960 - p. 199-232.

385. Mittal R.K.,Schwieger H.,Truppat V. A simplified analysis of transverse impact on clamped circular plates. // J. Aeronautical Soc.India -1976 v.28 - No.3 -p.265-275.

386. Mittal R.K. Effect of transverse shear on the behaviour of a beam under dynamical loading. // ZAMM -1987 v.67 - No.3 - p.175-181.

387. Mittal R.K. A closed form solution for the responce of a long elastic beam to dynamic loading. // Ingenieur Archiv -1989 v.60 - No. 1 - p.41-50

388. Morse R.W. Dispersion of compressional waves in isotropic rods of rectangular cross section. // J.Acoust.Soc.Am. -1948 v.20 - No.6 - p.833-838.

389. Moyer E.T. Vibration response of geometrically nonlinear elastic beams, subjected to pulse and impact loading. // Computers and Structures 1985 - v.20 - No.4 -p.721-729.

390. Navier C.L.M.H. Note surles effects dessecousses imprimees aux poids sus-pendus a des fils ou a des verges elastiques. // Soc.Philomatique des Paris., Dull, des Sciences -1823 ser.3, - v.10, - p.73 .

391. Newman M.K. Effect of rotatory inertia and shear on maximum strain in cantilever impact excitation. // J. Aeronautical Soc.-1955-v.22- No.5- p.313-320.

392. Newton I. Philosophiae naturalis principia mathematica. (1686). New York: D.Adee - 1848.

393. Nichel R.E., Secor G.A. Convergence of consistently derived Timoshenko beam finite elements. // Int.J.Numerical Methods in Engineering -1972 v.5 - p.243-253.

394. Oliver J. Elastic wave dispersion in a cylindrical rods by a wide-band short-duration pulse technique. // J.Acoust.Soc.Am. -1957 v.29 -No.2 - p. 189-194.

395. Olsson R.G. Transversale wellen in staben und platten unter stossfor-miger belastung. // Osterreichisches Ingenieur Archiv -1958 Bd.12 - H.l/2 - S.93-95.

396. Опое M., McNiven H.D.,Mindlin R.D. The dispersion of axially symmetric waves in elastic rods. // J.Appl.Mech. -1962 v.29 - No.4 - p.729-736.

397. Pao Y.H., Mindlin R.D. The dispersion of flexural waves in an elastic circular cylinder. // J.Appl.Mech. -1960 v.27 - No.3 - p.513-520.

398. Pao Y.H. The dispersion of flexural waves in an elastic circular cylinders Part 2. // J.Appl.Mech. -1962 v.29 - No.l - p.61-64.

399. Pao Y.H., Kaul R.K. Waves and vibrations in isotropic and anisotropic plates. // R.D,Mindlin and applied mechanics New York:Pergamon press, 1974 - p. 149-195.

400. Pao Y.H. Elastic waves in solids. // J.Appl.Mech.- 1983 v.50 - No.4 - p.11521164.

401. Paul В., Fu C.C. The semi- infinite beam with a step velocity prescribed at the tip. //J.Appl.Mech. -1967 v.34 - No.l - p.230-232.

402. Payton R.G. The responce of a thin elastic plate to a moving pressure point. // ZAMP -1967 Bd.18 - H.1 - S.l-12.

403. Plass H.J. Some solutions of the Timoshenko beam equation for short pulse -type loading. // J.Appl.Mech. -1958 v.25 - No.3 - p.379-385

404. Pochhammer L. Uber die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingun-gen in einem unbegrenzten isotropen Kreiszylinder.// J. Reine Angew. Math. 1876 -Bd.81 - H.4 - S.324-336.

405. Poisson S.D. Traite de mechanique. Paris:Bachelier - v.2 - ch.7,8 -1833.

406. Potter D.S.JLeedham C.D. Normalized numerical solutions for Rayleigh's frequency equation. // J.Acoust.Soc.Am. -1967 v.41 - No.l 1 - p.148-153.

407. Prager W. Uber die vervendung symbolisher methoden in der mechanik. // In-genieur Archiv -1933 Bd.4 - H.l - S.16-34.

408. Prescott J. Elastic waves and vibrations of thin rods. // PhiLMag. 1942- v.33 -No.225 - p.703-754.

409. Rayleigh J.W.S. On waves propagated along the plane surface of an elastic solid. // Proc.Lond.Math.Soc. -1887 v. 17 - p.4-11.

410. Rayleigh J.W.S. On the free vibrations of an infinite plate of homogeneous isotropic elastic matter. // Proc.Lond.Math.Soc. -1889 v.20 - p.225 -234.

411. Redwood M.,Lamb J. On the propagation of high frequency compressional waves in isotropic cylinders. // Proc.Phys.Soc.Lond., ser.B. -1957 v.70 - p.136-143.

412. Redwood M. Dispersion effects in ultrasonic waveguides and their importance in the measurement of attenuation. // Proc.Phys.Soc.Lond., ser.B.,-1957 v.70 - p.721-737.

413. Redwood M. Mechanical waveguides. -New York:Pergamon press,1960-250 p.

414. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates. // J.Mathematical Physics» 1944 v.23 - No.4 - p. 184-191.

415. ReissnerE. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates. // J.Appl.Mech. -1945 v.12 - No.2 - p.A69-A77.

416. Reissner E. On bending of elastic plates // Quarterly of Applied Mathematics-1947-v.5-No.l-p.55-68.

417. Ripperger E.A. Longitudinal impact of cylindrical bars. // Proc. Soc. Experimental Stress Analysis -1952 v. 10 - No.l - p.209-226.

418. Rohrich K. Aus breitugsgeschwindigkeit ultrakustischer schwingungen in zylin-drischen staben. // Zeits.Phys. -1931 Bd.73 - H.12 - p.813-832.

419. Ruedy R. On the propagation of longitudinal waves in circular rods. // Can.J.Research -1931 v.5 - No.2 - p.149-155.

420. Ruedy R. Propagation of ultrasound in solid cylinders (transverse waves).// Can.J.Research -1932 v.7 - No. 1 - p.86-94.

421. Sagartz M.J.JForrestol M.J. Bending stresses propagating from the clamped support of an impulsively loaded beam. // Amer.Institute Aeronautics and Astronautics J. -1972 v.10 -No.l 10 - p.1373-1374.

422. Sato H. Nonlinear response of clamped beam to impact a mass // Bull. Japan Soc.Mechanical Engineers -1986 v.29 - No.250 - p.1246-1252.

423. Satoh Y. Dynamic effect of a flat wheel on track deformation. (Translated from "Tetsudo Senro", Bulletin of Permanent Way Society of Japan, Vol. 12, No. 7, July, 1964).

424. Schear S.K., Focke A.B. Dispersion of supersonic waves in cylindrical rods of polyciystalline silver, nickel and magnesium. // Physical Review -1940- v.57 p.532-537.

425. Schirmer H. Uber biegwellen in staben. // Ingenieur Archiv 1952 - Bd.20-S.247-251.

426. Sears J.E. On the longitudinal impact of metal rods with rounded ends.// Proc.Cambr.Phil.Soc. -1908 v.14 - p.257-286.

427. Sears J.E. On longitudinal impact of metal rods, part 2.// Trans. Camb.Phil.Soc. -1912 v.21 -p.49-106.

428. Shonberg W.P, Keer L.M.,Woo Т.К. Low velocity impact of transversely isotropic beams and plates.// Int. J.Solids Structures 1987 -v.23 -No.7-p.871-896.

429. Skalak R. Longitudinal impact of a semiinfinite circular elastic bar. // J.Appl.Mech. -1957 v.24 - No.l - p.59-64.

430. Smith S.H. Numerical solutions of the dispersion relation for axial stress waves in isotropic elastic cylinders. //Trans.IEEE -1971 v.SU-18 - No.3- p.123-127.

431. Sneddon I.N. The symmetrical vibrations of a thin elastic plate. // Proc.Camb.Phil.Soc. -1945 v.41 - p.27-43.

432. Stanford E.G. A contribution on the velocity of longitudinal elastic vibrations in cylindrical rods. // Nuovo Cimento ser.9 -1950 - v.7 - No.2-p.332-340.

433. Steele C.R. The Timoshenko beam with a moving load. // J.Appl.Mech. -1968-v.35-No.3-p.481-488.

434. Stephen N.G. On the variation of Timoshenko's shear coefficient with frequency. // J.AppLMech. -1978 v.45 - No.3 - p.695-697.

435. St.-Venant B.D. Sur le choc longitudinal de deux barres elastiques. // Journale Mathematique Liouville -1867 -1.72 s.237-276.

436. St.-Venant B.D., Flamant. Resistance vive on dynamique des solides. Representation graphique des lois du choc longitudinal. // Comptes rendus Academie Sciences -Paris, 1883 -t.97 s.127,214,218,281,353,444.

437. St.-Venant B.D., Flamant. Courbes representatives des lois du choc longitudinal et du choc transversal d'une barre prismatique. // Journale d'Ecole Polytechnique Paris, 1889-t.59-s.97.

438. Sun C.T. Huang S.N. Transverse impact problems higher order beam finite element. // Computers Structures 1975 - v.5 - p.297-303.

439. Suzuki S.I. Axisymmetric dynamic behaviour of thick plate subjected to impulsive loads. // J.Sound. Vibr. -1986 v.27 - No.l - p.68-72.

440. Tanaka K., Iwahashi Y. Longitudinal impact of a semi-infinite rectangular bar. // BullJapan Soc.Mechanical Engineers 1978 - v.21 - p.980-985.

441. Thomas D.A. Characteristic impedances for flexure waves in thin plates. // J.Acoust.SocAm. 1958 - v.30 - p.220-221.

442. Thomas D.L.,Wilson J.M.,Wilson R.R. Timoshenko beam finite element // J.Sound Vibr. -1973 v.31 - No.3 - p.315-330.

443. Thomas J., Abbas B.A.H. Finite element model for dynamic analysis of Timos-chenko beams. // J.Sound Vibr. -1975 v.41 - No.3 - p.291-299.

444. Timoshenko S.P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars. // Phil.Mag., ser.6 -1921-V.41 No.245 - p.744-746.

445. Timoshenko S.P. On the transverse vibrations of bars of uniform cross-section. // Phil.Mag., ser.6 -1922 v.43 -No.253 -p.125-131.

446. Todhunter I., Pearson K. A history of the theory of elasticity and the strength of materials. London, Cambridge University press, 1886 - v. 1, 1893 - v.2.

447. Tolstoy I.,Usdin E. Wave propagation in elastic plates : low and high mode dispersion. // J.AcoustSoc.Am. -1957 v.29 - No.l - p.37-42.

448. Tu L.Y., Brennan J.N., Sauer J.A. Dispersion of ultrasonic pulse velocity in cylindrical rods. // J.Acoust.Soc.Am. -1955 v.27 - p.550-556.

449. Wilmanski K. Obciazenia dynamiczn belek. Belka Timoshenko. // Mech. teo-ret.stos. -1964 v.2 - No.l - 83-96.

450. Wu, Plankett. On the solutions of plates, strips, rods subjected to arbitrary dynamic edge load. // SIAM. J.Appl.Mathem., -1967 v. 15 - No.l- p. 107-119.

451. Yamamoto S., Sato K.,Koseki H. A study on lateral impact on Timoshenko beam. // Comput.mech. -1990 v.6 - p.101-108.

452. Young Т. A course of lectures on natural philosopy and the mechanical arts, London, 796 p., 1807.

453. Zajac E.E. Propagation of elastic waves. // Handbook for engineering mechanics, ed.W.Flugge New York: McGraw -Hill Publ.Co.,1962 - p.64-1 - 64-20.

454. Zemanek J.Rudnick I. Attenuation and dispersion of elastic waves in a cylindrical bars. //J.Acoust.Soc.Am. -1961 v.33 - No.10 - p.1283-1288.

455. Zemanek J. An experimental and theoretical investigation of elastic wave propagation in cylinder. // J.Acoust.Soc.Am. -1972 v.51 - No.l - p.265-282.

456. Zener C. The intrinsic inelasticity of large plates. //Physical Review 1941 -v.59 - p.669-673.

457. Zener C., Feshbach H. A method of calculating energy losses during impact. // J.Appl.Mech. -1939 v.6 - No.2 - p.A67-A70.

458. Zhi-Hua Z., Mackerle J. Contact-impact problems: a review with bibliography // Appl.Mech.Rev.-1994- v.47 No.2 - p.55-76.

459. Амиро ИЛ., Прокопенко Н.Я. Переходный процесс колебаний цилиндрической оболочки при действии локальной возмущающей нагрузки. // Прикл. Механика -1999- т.35 -№4 с.67-72.

460. Белкин А.Е. Простейшие конечные элементы смешанного типа для задачи изгиба пластин. // Вестник Ml ТУ сер.Машиностроение - 2003- №2- с. 15-36.

461. Березин В.Л., Гуляев Ю.П. Продольный удар точечной массы по составному стержню. // Математика и механика 2000- №2- с. 153-155.

462. Володин В.П., Лосев Ю.А., Зайцев А.В. Расчет жестко защемленной по контуру пластины, загруженной сосредоточенной силой методом конечных элементов. // Вестник Тверского Гос.Техн. Университета 2005- №6 -с78-81.

463. Вострикова О.Г., Волков Н.Г., Востриков М.Ю., Пищик Г.Ф. Плоские поперечные колебания балок симметричного сечения при ударной нагрузке.- Иваново, Изд-во ИГТА // Известия Ивановского отделения Петровской академии наук и искусств- 2003 С. 115-120.

464. Григолюк Э.И. Об основных гипотезах в теории стержней, пластин и оболочек. // М., МГТУ "МАМИ" 2001 - 9 с. Деп. ВИНИТИ 19.04.2001 - №1021-В2001.

465. Григолюк Э.И. О гипотезах Кирхгофа в теории пластин и оболочек. // М., МГТУ "МАМИ" 2001 - 4 с. Деп. ВИНИТИ 19.04.2001 - №1022-В2001.

466. Григолюк Э.И., Мамай В.В. Проблемы построения теории тонких пластин // Ф1з.- мат. модел. шф. технол. 2006 - №3 - с. 56-71.

467. Елисеев В.В. Механика упругих тел. СПБ, Изд-во СПБ ГТУ, 1999- 340 с.

468. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Нелинейные упругие волны в стержне Миндлина-Германа. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика -1999 т.7 - №4- с.35-47,

469. Ерофеев В.И., Клюева Н.В. Солитоны и нелинейные волны деформации в стержнях, пластинах и оболочках. // Акуст.Ж. 2002- т.48- №6- с.725-740

470. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. М.,ФИЗМАТЛИТ, 2002 - 207 с.

471. Жигалко Ю.П., Шигабутдинов А.Ф. Исследование численным методом нестационарных задач динамики упругих стержней и оболочек. // Проблемы прочности и пластичности 2002- №64- с.66-71.

472. Каюмов Р.А., Тазюков Б.Ф. Нелинейное поведение сжатых пластин при импульсном нагруженной. // Труды 8 Четаевской Международной конференции

473. Аналитическая механика, устойчивость и управление движением." 28.05.2002 -31.05.2002 Казань, Изд-во КазГТУ- 2002 - с.71-75.

474. Коненков Ю.К. Об изгибной волне рэлеевского типа. // Акуст.Ж. 1960 -т.6 - вып. 1 - с. 124-126.

475. Коноплев Ю.Г. Механика оболочек и стержневых систем при стационарных и нестационарных воздействиях. // НИИ Математики и механики им. Г.Н. Чеботарева, 1993-1997. Казань, Казанское матем.общество - 1998- с.143-152.

476. Крыськов В.А., Десятова А.С. Колебания балки Бернулли-Эйлера на упругом основании по моделям Винклера и В.З.Власова. // Известия вузов. Стр-во -2004- №7- с.20-27.

477. Локтев А.А. Ударное взаимодействие твердого тела и упругой пластинки. // Механика композиционных материалов и конструкций 2005- т.11- №4- С.494-500.

478. Лурье С.А., Белов П.А. Математические модели механики сплошной среды и физических полей. М.; Изд-во ВЦ РАН, 2000,151 с.

479. Масюков С.В. Удар сосредоточенной массой по стержню конечной длины через упругую прокладку в ударном сечении. // Механика и процессы управления: Сборник научных трудов УлГТУ Ульяновск, Изд-во УлГТУ,2002 - вып. 7 - с.49-54.

480. Манжосов В.К. Моделирование продольного удара сосредоточенной массы по стержню, взаимодействующему с абсолютно жесткой преградой. // Весшик УлГТУ-2000-№2-с.70-78.

481. Манжосов В.К. Продольный удар сосредоточенной массы по полуограниченному стержню с упругой прокладкой в ударном сечении. // Вестник УлГТУ -2001-№3-с.77-85.

482. Манжосов В.К. Моделирование продольного удара сосредоточенной массой по полуограниченному стержню с упругой прокладкой в ударном сечении. //

483. Механика и процессы управления: Сборник научных трудов УлГТУ Ульяновск, Изд-во УлГТУ, 2002 - вып. 7 - с.36-48.

484. Манжосов В.К. Восстановление скорости стержня при продольном ударе о жесткую преграду. // Вестник УлГТУ 2003- №3-4 - с.22-24.

485. Манжосов В.К., Бипорин А.А. Модель продольного удара неоднородного стержня о жесткую преграду. // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. Ульяновск, Изд-во УлГТУ - 2004- т.7- с. 147-149.

486. Манжосов В.К., Новикова О.Д. Расчет стержней при динамическом на-гружении. Ульяновск, Изд-во УлГТУ - 2004 - 92 с.

487. Мальков В.М. Математическое моделирование в теории упругости.- СПБ, Изд-во СПБ ГТУ, 1997- 205 с.

488. Напитухин А.В. Волны напряжений в балках и пластинах. // Морской вестник 2004- №3 -с.95-100.

489. Нетребко А.В., Новотный С.В., Созоненко Ю.А. Сравнение решений уравнений динамики цилиндрических оболочек по теориям Тимошенко и Кирхгофа-Лява. // Известия РАН, МТТ -1999- №3 с.140-149.

490. Нетребко А.В., Новотный С.В., Созоненко Ю.А. Некоторые задачи динамики цилиндрических оболочек. // М., Институт Механики МГУ им. М.В. Ломоносова -1998- Препринт №41-98 89 с.

491. Санкин Ю.Н., Юганова Н.А. Продольные колебания упругих стержней ступенчато-поперечного сечения при соударении с жестким препятствием. // ПММ -2001-Т.65 №3 - с.442-448.

492. Санкин Ю.Н., Антонова А.А. Поперечные колебания балок при ударе сосредоточенной массой. // Механика и процессы управления: Сборник научных трудов УлГТУ Ульяновск, Изд-во УлГТУ, 2002 - вып. 7 - с.71-75.

493. Санкин Ю.Н., Сидоров Н.В. Формулы метода конечных элементов для балки Тимошенко. // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды 13 Международной конференции 21.05.-31.05.2003. Самара, Изд-во Сам.ГТУ, 2003 -с.175-177.

494. Санкин Ю.Н., Явкин СЛ. Метод конечных элементов в задаче нестационарных колебаний тонких плит при внезапном нагружении. // Вестник УлГТУ 2004 -№2 - с.23-27.

495. Светлицкий В.А. Нестационарные колебания стержней при импульсном нагружении. // Известия РАН, МТТ -2006 №2 - с.69-76.

496. Свойский Ф.М., Трайнин JI.A. О приложении сосредоточенных нагрузок к конечно-элементным моделям. // Проблемы прочности и пластичности -2002- №64-с.177-182.

497. Чижов Г.Г. К расчету напряженно-деформированного состояния тонкой прямоугольной пластинки под сосредоточенной силой.// Техническая механика -2004- №1- С.141-149.

498. Шигабутдинов А.Ф. Реакция упругих элементов типа стержней и цилиндрических оболочек под действием продольного импульса силы. // Труды Математического Центра им. Н.И. Лобачевского, Казань, 2001- т.12 с.125-126.

499. Шулимович А.М. Приближенное решение задачи об ударе по упругой системе. // Проблемы машиностроения и надежности машин 2004- №2 - с.20-25.

500. Якубов А.Х. К расчету пластин под действием продольно-поперечной нагрузки. // Научно-технический калейдоскоп 2001- №3 с.40-43.

501. Янютин Е.Г., Воропай А.В. Идентификация импульсного нагружения упругой прямоугольной пластины. // Прикл. Механика 2003 - т.39 - с.97-102.

502. Baubec М., Iarovici A. Transversal free vibrations of Reissner's plate. // Proc. Rom.Acad., ser. A 2003 - v.4 - №1 - p.37-44.

503. Burr K.P., Triantafyllou M.S., Yue D.K. Asymptotic governing equation for wave propagation along weakly non-uniform Euler-Bernoulli beams. // J. Sound Vibr. -2001 v.247 -№4 - p.577-613.

504. Chatterjee A. The short-time impulse response of Euler-Bernoulli beams. // J. Appl. Mech.-2004- v.71 №2 - p.208-218.

505. Cheng R., Zheng H. Analysis of transverse impact responces of an unrestrained Timoshenko beam. // Appl. Mech.and Mech. Engl. Ed.-2004- v.25 №11 - p.1304-1313.

506. Escalona J.L. .Mayo J., Domingues J. A new numerical methods for the dynamic analysis of impact loads in flexible beams. // Mech. and Mach. Theory 1999- v.34-№5 - p.765-780.

507. Friedrichs K.O., Dressier R.F. A boundaiy layer theory for elastic plates. // Commun. Pure Appl. Mathem. -1961 v. 14- p. 1-33.

508. Green A.E. On the linear theory of thin elastic shells. // Proc. Roy.Soc. London ser.A-1962- v.266 - p.143-160.

509. Hutchinson J.R. Shear coefficients for Timoshenko beam theory. // J. Appl. Mech.-2001- v.68 №1 - p.87-92.

510. Hutchinson J.R. On Timoshenko beams of rectangular cross-section. // J. Appl. Mech.-2004- v.71 №3 - p.359-367.

511. Ispolov Yu.G., Vlasova Т.Е. Asymptotic analysis of Reissner's plate finite element model. // AIM96: Proc. of the Second Int. Conference "Asymptotics in Mechanics", SP, Oct. 13-16, Saint Petersburg, 1996 SP State Marine Techn. Univ. -1997- p.105-112.

512. Kauffinan С. A new bending wave solution for the classical plate equation. // J. Acoust. Soc. Am. 1998- v. 104- p.2220-2222.

513. Myagkov N.N. Nonlinear waves in shock-loaded solids. // ICTAM 2004: 21 st Int. Congress of Theoretical and Applied Mechanics -Warsaw, 15.04 -21.04.2004 p.277.

514. Providakis C.P., Beskas D.E. Dynamic analysis of plates of boundary elements. //Appl. Mech. Rev. -1999- v.52- №7 p.213-236.

515. Romero J.L., Ortega M.A. Acciones equivalentes у solucion en des plazamien-tes interpolada en la viga de Bernoulli-Euler. // Int. Constr. -1998 v.49 -№454 - p.5-27,

516. Sburlati R. On the impact law in elastic plate-like bodies. // ICTAM 2004:21 st Int. Congress of Theoretical and Applied Mechanics -Warsaw, 15.04 -21.04.2004 p.246.

517. Sinha B.K. Some remarks on propagation characteristics of ridge guide for acoustic waves at low frequencies. // J. Acoust. Soc. Am. -1974- v.56- p. 16-18.

518. StofFel M.S., Smidt R., Weichert D. Shock wave-loaded plates. // hrtJ. Solids and Structures 2001 - v.38 - №42-43- p.7659-7680.

519. Svensson I. Dynamic response of a constrained axially loaded beam. // J. Sound Vibr. 2002 - v.252 -№4 - p.739-749.

520. Thurston R.N., Mc Kenna J. Flexural acoustical waves along the edge of a plate.// IEEE Trans. Sonics Ultrason. -1976 v.21- p. 296-297.

521. Usiki Т., Maki A. Behavior of beams under transverse impact according to higher order beam theory, // Int.J. Solids and Structures - 2003 - v.40 - №13-14- p.3737-3788.

522. Wagg D.J.,Bishop S.R. Application of non-smooth modelling techniques to the dynamics of a flexible impacting beam. // J. Sound Vibr. 2002 - v.256 -№5 - p.803-820.

523. Wagg D.J. A note on using the collacation method for modelling the dynamics of a flexible continuous beam subject to impact. // J. Sound Vibr. 2004 - v.276 -№3-5 -p.l 128-1134.

524. Yu T.X., Yang J.L., Reid S.R. Dynamic behavior of double cantilever beams subjected to impact. // Int. J. Pressure Vessels and Pip. 2001- v.78- №1 - p.49-57.

525. Zaera R., Arias A., Navarro C. // Analytical modelling of metallic circular plates subjected to impulsive loads. // Int.J. Solids and Structures 2002 - v.39 - №3 -p.659-672.

526. Zakharov D.D. Analysis of the acoustical edge flexural mode in a plate using refined asymptotics. // J. Acoust. Soc.Am. 2004- v.116 - №2 - p.872-878.