автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка математического аппарата численно-аналитического решения уравнений со смешанными производными и его применение к математическому моделированию тепломассопереноса

Кузнецова Ека терина Львовна

005010614

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СО СМЕШАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физикоматематических наук

2 ОЕЗ

Москва-2011

005010614

Работа выполнена на кафедре «Вычислительная математика и программирование» Московского авиационного института (национального исследовательского университета)

Научный консультант: Заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор

Формалев Владимир Федорович

доктор физико-математических наук, профессор

Киреев Владимир Иванович

Лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники, доктор физикоматематических наук, профессор Волков Игорь Куприянович

доктор физико-математических наук, профессор

Валишин Анатолий Анатольевич

Институт прикладной механики (ИПРИМ РАН)

Официальные оппоненты: Заслуженный деятель науки РФ,

Ведущая организация: Учреждение Российской Академии наук

Защита состоится на заседании Диссертационного совета

Д 212.125.04 при Московском авиационном институте (национальном исследовательском университете) по адресу: 125993, г.Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д . 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Отзыв на автореферат (в 2-х экземплярах), заверенный гербовой печатью организации, просьба направлять по указанному адресу.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Диссертационного совета математических наук, доцент

Диссертационная работа посвящена разработке новых численных и аналитических методов решения прямых и обратных задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, и применению их к задачам тепломассопереноса в анизотропных средах.

Актуальность темы. Многие физические процессы, такие как теплопроводность, фильтрация, диффузия, вязкие течения газа, электропроводность и т.п. характеризующиеся полями температур, давлений, массы, плотности, электрического заряда соответственно, описываются градиентными законами переноса потенциала - Фурье, Дарси, Фика, Ньютона

- и, следовательно, являются потенциальными векторными полями. Уравнения в частных производных, выведенные на основе этих законов, имеют параболический тип, и если среда, в которой рассматривается перенос потенциала, является изотропной, то соответствующие уравнения не содержат смешанных дифференциальных операторов. Такие уравнения и соответствующие потенциальные поля хорошо изучены, например, по теории изотропной теплопроводности и фильтрации имеются сотни публикаций.

Для анизотропных сред перенос потенциала носит тензорный характер, вследствие чего дифференциальные уравнения содержат смешанные производные по пространственным переменным, что приводит к существенным трудностям при решении начально-краевых задач для таких уравнений. Например, известный метод разделения переменных, на основе которого построены практически все остальные аналитические методы решения уравнений в частных производных, не применим к уравнениям, содержащим смешанные дифференциальные операторы, поскольку в этом случае пространственные переменные не разделяются. Для решения таких задач остаются в основном численные методы, однако построение экономичных абсолютно устойчивых методов численного решения задач, содержащих смешанные -дифференциальные операторы наталкивается на значительные трудности, связанные с аппроксимацией именно этих операторов. Достаточно напомнить, что все существующие экономичные методы численного решения (в основном это методы расщетения по координатным направлениям) аппроксимируют смешанные производные на нижних временных слоях (явно), что приводит к условной устойчивости и даже неустойчивости таких известных методов, как метод переменных направлений (МПН) Писмена-Рэчфорда, метод дробных шагов (МДШ) Н.Н.Яненко, центрально-симметричный метод (ЦСМ) А.А.Самарского, метод стабилизирующей поправки (МСП) Дж.Дугласа и Дж.Е.Гана и др.

Среди работ по экономичным численным методам решения многомерных задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, следует отметить работы Н.Н. Яненко, А.А. Самарского, Г.И. Марчука, И.В. Фрязинова, Е.Г. Дьяконова,

В.К. Саульева, Н.Д. Сафронова, Д. Писмена и X. Рэчфорда, Дж. Дугласа и Дж. Е. Гана. Однако все эти методы аппроксимируют смешанные производные явно, что приводит при определенных условиях к их неустойчивости.

По аналитическим методам решения задач для уравнений параболического типа со смешанными производными следует отметить работы Пэдовена Д., Пуня К.С., Цзоу Р.С., Чжана Ю.П., В.Ф. Формалева, С.А. Колесника. Решения получены методами операционного исчисления и таких решений насчитывается не более десятка.

Среди важнейших работ по решению прямых задач переноса потенциала можно отметить работы Карслоу Г. и Егера Д., А.В.Лыкова, Э.М. Карташова, B.C. Зарубина, Р. Бермана, М.Г. Бернадинера, Ю.В. Полежаева, А.А. Шишкова, Г.И. Баренблатта, Ю.И. Димитриенко и др., а по обратным задачам - работы А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, О.М. Алифанова, Е.А. Артюхина, Дж. В. Бэка, М.Н. Оцизика, Ц.Х. Хуанта, И.К. Хонта, С.В. Баека, А.А. Самарского и П.Н. Вабищевича и многих других. Однако во всех этих работах рассматривались задачи переноса потенциала в изотропных средах с дифференциальными уравнениями без смешанных производных.

Таким образом, публикации по методам решения как прямых, так и обратных задач переноса потенциала в анизотропных средах практически отсутствуют, хотя большинство естественных и искусственных материалов являются анизотропными со степенью анизотропии от 1 до 200. Поэтому неучет тензорного характера переноса потенциала в анизотропных средах приводит не только к количественному, но и к качественному искажению результатов решения соответствующих задач.

В этой связи тема диссертационной работы «Разработка математического аппарата численно-аналитического решения уравнений со смешаннъши производными и его применение к математическому моделированию тепломассопереноса» является актуальной.

Нерешенность перечисленных актуальных проблем обусловила цель данной диссертации:

разработка математического аппарата на основе численных и аналитических методов решения прямых и обратных задач для уравнений параболического типа со смешанными дифференциальными операторами и применение его к математическому моделированию анизотропного тепломассопереноса.

Для достижения данной цели необходимо было разработать:

новые экономичные абсолютно устойчивые методы численного решения задач для уравнений параболического типа (в том числе и нелинейных), содержащих смешанные дифференциальные операторы; методы аналитического решения задач, содержащих смешанные производные, с граничными условиями различных родов; методологию решения обратных граничных и коэффициентных задач для уравнений параболического типа со смешанными производными; комплексную универсальную математическую модель тепломассопереноса для большинства анизотропных композиционных материалов (КМ), используемых в качестве теплозащитных для гиперзвуковых летательных аппаратов (ЛА) и для ее решения использовать разработанный математический аппарат.

Методы исследования. Для решения комплекса проблем использовались: численные методы решения многомерных задач, методы математической физики, методы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления, методы математического моделирования и сравнительного анализа, а также методы идентификации и обратных задач для уравнений параболического типа со смешанными производными.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

- разработан и обоснован по аппроксимации и устойчивости новый класс экономичных абсолютно устойчивых методов расщепления численного решения задач для уравнений параболического типа (в том числе и нелинейных), содержащих смешанные дифференциальные операторы, на основе использования апостериорной информации о решении, полученной на верхних временных слоях, и на более глубоком, чем в классических методах, расщеплении смешанных дифференциальных операторов;

- проведено сравнительное тестирование предложенных и классических методов расщепления численного решения нелинейных задач со смешанными дифференциальными операторами на аналитическом решении существенно нелинейной задачи;

- впервые получен ряд аналитических решений задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, с граничными условиями Н-го и Ш-го родов;

- разработана методология численного решения обратных граничных и коэффициентных задач для уравнений параболического типа со смешанными производными на основе неявного метода градиентного спуска, новых аналитических и численных методов; сформулированы условия существования и единственности решения обратных задач;

- предложена комплексная математическая модель тепломассопереноса в анизотропных КМ, используемых в качестве тепловой защиты

гиперзвуковых ЛА и методология ее численного решения на основе разработанных численных методов; математическая модель учитывает фазовые превращения внутри КМ, образование пиролизных газов и пористого коксового остатка, фильтрацию пиролизных газов через пористый остаток и вдув их в высокотемпературный пограничный слой, унос массы с наружной поверхности ЛА, наличие трех нестационарно подвижных границ фазовых превращений;

- получены новые универсальные законы разложения связующих КМ и нелинейной фильтрации пиролизных газов, пригодные для большинства КМ, используемых в качестве теплозащитных; эти законы включены в комплексную математическую модель;

- впервые получены многочисленные результаты численного решения прямых и обратных задач тепломассопереноса в анизотропных телах на основе разработанных комплексов программ.

Практическая значимость. Предложенные численные методы могут быть использованы для эффективного численного решения задач переноса потенциала в анизотропных линейных и нелинейных средах; аналитические решения могут быть использованы не только для тестирования численных методов, но и для получения точных решений задач переноса потенциала в анизотропных средах; методология решения обратных задач может быть использована при восстановлении краевых условий П-го и Ш-го родов, а также характеристик тензора переноса потенциала.

Достоверность утверждений, представленных в диссертационной работе, подтверждается строгими математическими доказательствами, адекватными математическими моделями, аналитическими решениями и сравнением численных решений с аналитическими.

Апробация результатов исследования. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, научных школах и семинарах: 9-17 Международных симпозиумах «Динамические и

технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец, Моск. обл. 2003-2011 г.г.), 3-й и 5-й Международных конференциях «Авиация и космонавтика» (Москва, 2004, 2006 г.г.); 1-й Международной конференции, посвященной 90-летию акад. В.Н. Челомея (Москва-Реутов, 2004 г.); 20-х академических чтениях «Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики» (Москва, 2005 г.); 12 и 13

Международных конференциях «Математические модели физических процессов» (Таганрог, 2007, 2008 г.г.); 8-й и 9-й Международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (Алушта, Крым, 2010, 2011 г.г.); 6-й школе-семинаре академика РАН В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2008 г.); 1-й Всероссийской школе-семинаре «Компьютерный

инженеринг в промышленности и вузах», посвященном 80-летию МАИ (2009 г.); 10-й Всероссийской научно-технической конференции «Научные

исследования в области транспортных, авиационных и космических систем» (Воронеж, 2009 г.); 5-й Российской национальной конференции по

теплообмену (Москва, 2011 г.); Всероссийской конференции «Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред» (ИПРИМ РАН, 2010 г.); 7-й Международной конференции «Современные вопросы науки» (Тамбов, 2011 г.); 31-й Всероссийской конференции по проблемам науки и технологий МСНТ (г. Миасс, 2011 г.).

Результаты диссертационной работы использованы в НИР по 8 грантам РФФИ, в трех из которых автор была научным руководителем, а также Минобрнауки РФ в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России». В 2008-2011 г.г. -обладатель трех грантов Президента РФ в общероссийских конкурсах «Молодые кандидаты» (№№ МК-646. 2008.8; МК-1184. 2009.8; МК-309. 2011.8), а также обладатель «Гранта клуба выпускников МАИ» 2009 г.

Публикации. По тематике диссертационной работы опубликованы две монографии [1, 2], из них одна в соавторстве, и 36 работ, из них 25 работ [327] опубликованы в журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых изданий ВАК РФ, а также учебное пособие [59].

Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Программирование и получение численных результатов по обратным граничным и коэффициентным задачам теплопереноса выполнены совместно с доц. Колесником С.А.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения с обзором литературы, шести глав, заключения, списка использованной литературы и краткого описания программных комплексов. Работа изложена на 330 страницах, содержит 54 рисунка и 13 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе предложен и обоснован по аппроксимации, устойчивости и сходимости новый класс экономичных абсолютно устойчивых конечно-разностных методов расщепления численного решения задач для дифференциальных уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы. Экономичность и устойчивость достигаются использованием информации о решении на верхнем временном слое, уже полученной в левых пространственных сечениях конечно-разностной сетки и на расщеплении по координатным направлениям центрально симметричного шаблона таким образом, чтобы каждая подсхема была полностью неявной.

Весь класс предлагаемых новых экономичных абсолютно устойчивых конечно-разностных схем расщепления рассматривается для случая р = 2, а затем распространяется на общий случай р -мерного эвклидова пространства Яр или на р-3.

В параграфе 1.1 формулируется следующая задача для уравнения параболического типа, содержащая смешанные дифференциальные операторы в пространстве () = {х1,х1,...,хр} и описывающая распределение функции

= + /(*,?), хед, /е(0,Т),

1и = £ А.р«> = Лаз тттг; (!)

а,р=1

и(х,0) = и0(х), хед = 81160; (2)

и(х,() = ц(х,(), хед£>, /е[0,Т], (3)

где коэффициенты кар = кра( а^Р) образуют симметрический тензор второго ранга и удовлетворяют условию сильной эллиптичности

м2)>о, (4)

а=1 а,р=1 а=1

причем кар = кра (а * Р) могут иметь произвольные знаки. Для р - 2 выполняются условия элиптичности

^"11 ^ ^22 ^ ^11^22 ^12 ^ ^12 =^2Р

где

2

К0 =ЕАгУаг -Ург, уцг =соз(^г,ха), Ург =С05(^,ХР), а,р = 1,2. (6)

Г“1

Для численного решения задачи (1)-(3) при р = 2 вводится конечноразностная сетка по пространственным переменным х1гх2

“л={х = (/Л.'2/г2). 'а = °.ЛГ0; ^а-Лц=/н, а = 1,2}, (7)

где шл =юй и у,,, соА=еПюА, ул=5*\сол и на промежутке /е[0;Т] -

конечно-разностная сетка по времени

Ю, = {* = *,+ат/2, =ут, У = °,Л -1; у0т = Т, а = 1,2}, (8)

и на этих сетках вводятся следующие сеточные функции:

и ,/д ,г') ~ , м(/л ,/л ,/у+1/2) ~ у(;1'2, и (^, /л ) ~ .

Для всех известных в настоящее время экономичных конечноразностных схем смешанные производные аппроксимируются по одному из шаблонов, представленных на рис. 1:

дх„

СХр

ди

дх,

ЗУ

4э“~Лор>’!= АхрМ ~ ~

Лв^ = ^вЭу. )0

+к>ч)

К>0 +[а^У

/2

/2

- для шаблона рис. 1 а;

- для шаблона рис. 1 б;

- для шаблона рис, 1в,

где индекс х - означает центральную разность, х - разность назад, х разность вперед,

К К

К

І\ > ^2

К К

'].'2

Рис. 1. Шаблоны для аппроксимации смешанных дифференциальных операторов в классических конечно-разностных схемах.

а б в

откуда следует, что оператор Лп() не может быть записан на верхнем

временном слое (неявно), если поставлена задача построить экономичную, чисто неявную схему расщепления, использующую только скалярные прогонки по координатным направлениям.

Для устранения этого существенного недостатка предлагается следующая полностью неявная экономичная схема глубокого расщепления (МГР) (с использованием пока однородного краевого условия):

yi+ш-yJ

= Ли У

7+1/2

1-а

А-у+1Я +1_1^Лі2У

7+1/2,

т 2 2

у(х,0) = и0(х), хейл; /+а/2=0, хеуА, а = 1,2,

где Апу = кпу-ХЛ, Л22у = к12у-л, А~пу = к12Ущ,

КгУ = КгУ~хл. Ку = кг\УхЛ, Ку = КхУ& >а = *'М2. } = од,...,Л -1 •

Шаблоны схемы (9), (10) представлены на рис. 2. Из них видно, что

(9)

(10)

(11)

К К

К >ч

К К

Рис. 2. Шаблоны схемы . глубокого расщепления:

2 а - дробный слой }1-1/2; б - целый СЛОЙ}-*-].

*1

сг= 1

о = -1 а — I а- — 1

смешанные конечно-разностные операторы Л12-у и Кгуу расщеплены по координатным направлениям таким образом, что при реализации скалярной прогонки вдоль линии х, = /2 ■ /1, на дробных временных слоях у+1/2

(подсхема (9)) имеется только три искомых значения сеточной функции , Уи?> У$£> а значения при о = 1 или у^А, у{™ при о = -1

уже определены на верхнем полуслов у +1 / 2 при реализации прогонки вдоль координатной линии х2 =(г2 — 1)й2. Аналогично, при реализации скалярной прогонки вдоль линии х1 = г, /г, на целых временных слоях ) + 1 (подсхема (10)) имеется три неизвестных ^+1, а значения слева >£}А+1,

при ст = 1, либо у£и +1 справа при ст = —1 уже определены из прогонки

вдоль линий х, =((', — 1)^ (при сг = 1) или х, =(/, + 1)й, (при ст = —1). Таким образом, схема МГР (9), (10) - полностью неявная, из чего следует ожидать, что она абсолютно устойчива и, что имея частичную аппроксимацию на каждом дробном слое, обладает суммарной аппроксимацией, т.к. наложение шаблонов при о = 1 или при о = —1 приводит к центрально-симметричному шаблону (рис. 1 б,в).

Имеет место следующая

Теорема 1.1 (об аппроксимации схемы (9), (10)). Пусть

и(х,г)еС2(ёт), ёт=ё*[0’Т]- Тогда схема (9), (10) обладает свойством суммарной аппроксимации на решении и(х,/) задачи (1)—(3) с погрешностью аппроксимации т + (/г, + /г2)2|.

Методом гармонического анализа доказана теорема 1.2 о том, что неучет знака параметра о приводит к условной устойчивости с условием

^ (^Ц^2 ^12^1^2 )(■^22^1 "^^12^1^2)

Таким образом, обосновывается необходимость введения параметра о, при наличии которого имеют место следующие теоремы:

Теорема 1.3 (об абсолютной устойчивости схемы (9), (10)). Пусть компоненты ка(. тензора задачи (1)—(3) удовлетворяют условию сильной

т<

принцип максимума.

Доказательство проводится методом энергетических неравенств в гильбертовом функциональном пространстве.

Теорема 1.4 (об устойчивости схемы (9), (10) по правой части). Пусть выполнены условия теоремы 1.3. Тогда схема (9), (10) устойчива по правой части уравнения (1)и для решения справедлива оценка

Таким образом, согласно теории сходимости и теоремы эквивалентности из устойчивости и аппроксимации с порядком

Схема легко обобщается на случай р -мерного эвклидова пространства Ир, в частности, на трехмерный случай.

В параграфе 1.2 на основе схемы МГР предложена двусторонняя схема для параболических уравнений, содержащих смешанные производные и переменные коэффициенты и при определенных условиях имеющая второй порядок аппроксимации по времени. Существо метода рассматривается в Л'1 при р = 2, для чего уравнение (1) представляется в виде суммы 2 р операторов

данным, так что для решения задачи с начальным условием >’(х,0) = ы0(х)

справедлива оценка

выполняется

11/+| I * ы+£ф‘7*1. где в=Е++ Л + )>

о{т + (И1 +Л2)2| следует сходимость численного решения по схеме (9), (10) к точному при (т, Л,, } —> 0 со скоростью 0(т + (Л1+Л2)2|.

откуда следует і ,

(12)

(13)

•..У+1 _ 1;У+3/4 1 , ч

У ^(а^^л;/1), (15)

= А^З' = |[(*«.^ + (*«Л. )?> ]•

л;Р^=]~±(кф, ). +1-^~(к^ )Ха > л^3'=^уг£-(^)д. +^у^(^)_/ а,Р= и.

Двусторонняя схема (12)—(15) является полностью неявной и следует ожидать, что она абсолютно устойчива, а также экономичной, поскольку реализуется с помощью скалярных прогонок вдоль координатных направлений х1,х1. С помощью подсхем (12), (13) скалярные прогонки осуществляются вдоль переменной Ху в противоположных направлениях, т.е. если подсхема

(12) реализуется слева направо, вдоль переменной х, для всех г2 = 1,ЛГ2 -1, то

подсхема (13) — справа налево вдоль переменной х, для всех г2 = ТУ2 —1,1. Аналогично для подсхем (14), (15), т.е. подсхема (14) реализуется вдоль

переменной х2 снизу вверх для всех /, = 1, -1, а подсхема (15) — сверху вниз

для всех /, = #,-1,1.

Имеют место следующие теоремы об аппроксимации и сходимости двустороннего метода глубокого расщепления.

Теорема 1.5. Пусть решение задачи (1)-(3) принадлежит классу

С2 (<2т), тогда схема (12)-(15) обладает свойством суммарной аппроксимации с погрешностью 0(т: + А2), И2 =

*=1

Теорема 1.6. Пусть и(х,1) е С42 - решение задачи (1)-(3). Тогда

схема (12)—(15) сходится на функции и(х,/) и имеет точность

Несмотря на то, что суммарная аппроксимация имеет порядок 0(т + Л2), сходимость удается доказать только со скоростью о[4х + /г2),

однако если и(х,г)еС2(2т), то можно доказать сходимость со скоростью о(т + А2).

Замечание. Схему (12)—(15) можно схематически представить так А1 -»-» Л, -» А4. Однако, если скалярные прогонки осуществлять по схеме

А1 ->А3 —> А2 ->А4, то по теореме 1,5 можно получить порядок 0(т2 +/г2).

В параграфе 1.3 на основе классического метода переменных направлений (МПН) предложена экономичная, абсолютно устойчивая схема численного решения задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные производные. Назовем эту схему ассиметричной схемой переменных направлений (АМГТН). В случае Л2 схема имеет вид (ее шаблон представлен на рис. 3):

Справедливы следующие теоремы: Теорема 1.7. Пусть коэффициенты задачи (1)—(3) удовлетворяют условиям сильной эллиптичности (4). Тогда схема (16), (17) устойчива по начальным данным и по правой части и для решения задачи (16), (17) верна априорная оценка

Теорема 1.8. Если й(х,/)еСд то схема (16),(17) сходится в

сеточной норме (18) со скоростью

В параграфе 1.4 схема ИГР распространена на задачи для уравнений параболического типа со смешанными дифференциальными операторами и краевыми условиями, содержащими производные. Для граничных узлов интегро-интерполяционным методом сохранен порядок аппроксимации, присущий внутренним узлам и консервативность конечно-разностной схемы.

В параграфе 1.5 рассмотрена схема метода переменных направлений с экстраполяцией (МПНЭ), построенной по тому же принципу использования

т/2

(16)

(17)

а = -5/М12, ф” ==/(*,О, КаУ=КаУ^ «. = 1,2.

а

б

„+1/2 направлений при а = -1:

^ а - ііидилсіча \ і

л'і б - подсхема (17).

Рис. 3. Шаблон ассиметричной схемы метода переменных

а-подсхема (16);

(18)

апостериорной информации, полученной на верхнем временном слое, что и в схеме МГР. Схема базируется на основе метода переменных направлений Писмена-Рэчфорда, но от последней отличается аппроксимацией всех дифференциальных операторов на верхнем временном слое (неявно). В R2 она имеет вид (шаблон представлен на рис. 4):

У-~~ У~ = Л„У^ + +Л22Г1/2 +Ф/+1/2, (19)

'111

где

A v'+l/2 = (v'+1/2 - 2 vJW2 + vJ+m V

Л,2^ ,+Uj hh У‘^>’

A -;>l/2 = _ 7+1/2 - V

4^,/^ ^ I,,2+l 'l+1-'2-1 /’

Л”г" -о -«5, +«н); |.Дч,

>0 =2^2+i -^i +0(т2)> т=ч -Ц,/, +]; v>+1 _ v/+>/2

i^— = Л, ,5^' + Л|2У+| + Л21у+1 + Л22/" + ф'+', (20)

XII

A r,j+l''2 _ ^и_Сг;У+1 _ О .J+i , v/+! V 11^ if2 /*

A yJ41 - ^12 f У _ v'+1 - v-'41 + V

12^ 4/^/^ I,,2+I /j-1,/2-1/*

л»г' +*-');

Л..У *' - fH-C. - 4i + )• 4 = WV15.‘ Я-Ь

У(1{т=2У(1'Ц -yl^+oft), m = i1 -1 ,/2,/2 +1.

Схема (19), (20) обладает сильным диагональным преобладанием, вследствие чего по запасу устойчивости она не имеет аналогов.

Имеют место следующие теоремы об аппроксимации и устойчивости:

г

К К

/ \х2

К к

к,<2

Рис. 4. Шаблон схемы МГТНЭ:

а -подсхема (19); б - подсхема (20);

. □ - узлы с известными;

.V, о - с искомыми;

х - с экстраполяционными значениями сеточной функции.

Теорема 1.9. Пусть решение уравнения (1) и(х:,х2,г) еС2 (Ст), Тогда схема (19), (20) аппроксимирует на точном решении дифференциальное уравнение (1) с порядком 0^с + |й|2 +х(И1 +/г2)|, где |й|‘ !=Л,2чЛ2.

Теорема 1.10 . Пусть выполнены условия эллиптичности £,,>0, к21>0, кпкгг—куг>0. Тогда схема (19), (20) абсолютно устойчива по начальным данным.

В главе 2 разработана методология применения класса методов, разработанного в главе 1, к решению задач для нелинейных уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, а также проведен сравнительный анализ точности разработанных и классических экономичных методов решения нелинейных задач со смешанными производными на аналитическом решении существенно нелинейной задачи.

В параграфе 2.1 к задаче (1)-(3), в которой вместо уравнения (1) в Яр рассматривается нелинейное уравнение вида

Яа\ х,ии,

ди

дх

ди ■А д

— = > Ьпи + ьпи, Ь = — а й' &а

с условиями гладкости и параболичности Ча [ X> М, | £ С3 Г 2т 1 >

—«31 а,

а —

дх„

' ди^ Я 'аЛ

{дху)

ди ' дх

*с\ еТ

(21)

ди

ди

дх \1 У

а,р,у = 1 ,р,

применяется двусторонняя разностная схема МГР, которая в /?2 имеет вид

у» .уГ-НГ)),

Т / . 1

уі*2/4 _у^1/4 ^ ]

т

причем для реализации задачи (23) используется итерационный процесс Ньютона.

Доказывается следующая теорема об аппроксимации задачи (21), (2), (3) схемой (23) в суммарном смысле:

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия гладкости и параболичности (22), тогда погрешность аппроксимации оценивается сверху выражением

^(„)^^а)-(Т+Л1),где

■>К||> $1а~3(га-\у а = 1>2,

Л„ = шах <8„, • —

“ (*•'№ I 2

а/2

и $а ~ производные по пространственным переменным до четвертого порядка в главном члене погрешности, 5„, — символ Кронекера.

В параграфе 2.2 для применения схемы Метода МПНЭ к задаче (21), (2), (3) необходимо продифференцировать дивергентный оператор в

уравнении (21) по пространственным переменным хг ди дду_6и_ дд2 ди + ддх д2и + ддх 52и +

д( ди дхх ди дх2 ^

' ди ^ дх2

А;

ди

дх.

дх2дх,

•2

д

дгд2 д2и ^ д2дг д2и " дх\

ди дхфг я (

1^2 І

(24)

и к полученной задаче применить схему метода МПНЭ (19), (20).

Имеют место следующие теоремы об аппроксимации и абсолютной устойчивости:

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия гладкости и параболичности (22). Тогда схема метода МПНЭ для задачи (21), (2), (3) аппроксимирует эту

задачу с порядком + |/і|2 + х(Л, + /^ )|.

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия (22) в задаче (21), (2), (3). Тогда схема МПНЭ абсолютно устойчива по начальным данным.

В параграфе 2.3 проведен сравнительный анализ методов глубокого расщепления с модификациями и переменных направлений с экстраполяцией, с одной стороны, и классических методов расщепления - с другой, путем сравнения с аналитическим решением

/ \ 2 2 3 2 2

и(х„х2,<) = —х1 +—х2 +1 Ап Кгг

следующей существенно нелинейной задачи:

ди

__з_ /■ л ди 1. ' ди^ 2 4 д \к{

Х.Ц н 11 дх. 2 12 V 1 —

,&2, дх2

ди

ди

- I + ^22 -V.

дх2

+ 2ср(-Ю,

2 3 - 3

и(^Х 1»-^2>0)-‘'7 Л*] +7 Х2, 0,Л-2,/) = “ х2 +/ , 0йлг2 ^/2,

1 ( 22 22

и(/мхр/) = -^-/,2+-2-л:22 + /\0<х2</2, и(х,,0,/) = -^-х12+Г2, 0<</,,

Лц Л22 Ли

м(х„/2,г) = ^-х,2 +^-/22 + Л 0<Х( £/„

Л,,, Л22

На рисунках 5, 6 представлены результаты сравнения максимальных

абсолютных погрешностей ес (/) = тах у , (*)- и, (*) , где _у — сеточная

'1.^2 1,2 12

функция, и - точное решение , для следующих входных данных: /[=4=0,08м, Т = 0,6с, ср = 1000кДж(м3’К), ср = 45°, \-\12=Ъ при

варьировании главных коэффициентов тензора переноса потенциала Х4, А, и различных значениях чисел

Ки\ Ки = %-—, % =

ср

= 0,001, || А| = шах (Я,4, )).

Рис. 5. Поведение максимальной абсолютной погрешности схем:

1 - МГР;2-МДШ;

3 - явной схемы; 4 - МПНЭ; 5 - АМПН; 6 - МПН при г = 0,025;Ь = 0,01;Ки = 0,25.

Рис. 6. Поведение максимальной абсолютной погрешности схем:

1 - МГР; 2 - МДШ;

3 - явной схемы; 4 -МПНЭ;

5 * АМПН; 6 - МПН при т = 0,1;Ь = 0,1; Кц=1,0.

Из рисунков видно, что при значениях кий 1 (в области устойчивости классической явной схемы) и х = 0,025 погрешности указанных схем одного порядка. С увеличением Ки до значения ~ 1 (рис. 6) резкий скачок бс явной схемы, схем переменных направлений и дробных шагов иллюстрирует их неустойчивость для нелинейных задач, в то время как схемы глубокого расщепления, переменных направлений с экстраполяцией, асимметричной схемы переменных направлений остаются устойчивыми. Схема МПНЭ, хотя и имеет первый порядок по времени в соответствии с теоретическими выкладками, однако численные эксперименты показывают, что эта схема имеет наивысшую точность. Это подтверждают и результаты, приведенные на рис. 7, где приведены максимальные абсолютные погрешности для классических схем (явной, МПН, МДШ) и предлагаемых схем (МГР, АМПН, МПНЭ), которые показали не только абсолютную устойчивость схем с использованием апостериорной информации на верхних временных слоях, но и большую точность, чем в классических схемах. Кроме этого, схемы с полной аппроксимацией на дробных шагах (АМПН\ МПНЭ) значительно точнее схем с суммарной аппроксимацией (например, МГР), достаточно сравнить рисунки 79, 7е, с одной стороны, и рисунок 7г - с другой.

*«

0,2

0,1

О

0,2

ОД

О

1 1 I з

/ у

/ /

0,2 0,4 а

у

1 3

0, 2 0,4

е.

0,2

ОД

1 А / 1 /

1 ь У | 1 \2

-И 3

О

0,2 0,4 I

б

0,2

ОД

1

/1 /\ 2^ ? !

О

0,2

ОД

0,2 0,4 /

д

О

I ! ; !

I ! ] 5

,! ?! з

0,2 0,4 I

е

Рис, 7. Зависимость максимальной абсолютной погрешности для схем: а - явной схемы; б * МПН; в - МДШ; г - МГР; д - АМПН; е - МПНЭ от чисел Ка:

1 - Кц = 4,8, 2-Ки = 1,0, 3 - Ки = 0,25.

Глава 3 посвящена применению интегральных методов решения задач для уравнений параболического типа со смешанными производными и граничными условиями 1-го, 2-го, 3-го родов. Впервые полученные аналитические решения используются не только для тестирования новых численных методов и результатов конкретных задач, но и для решения обратных задач для уравнений со смешанными производными. Поскольку аналитические решения получены в виде интегралов, по времени от функциональных рядов, то вычисление таких решений представляет значительные трудности, особенно в окрестности Г = 0. Разработан метод, позволяющий точно просуммировать интегралы от функциональных рядов в окрестности ? = 0. .

Здесь приведено точное решение следующей второй начально-краевой задачи в анизотропной полосе толщиной б:

. д2и : д2и . д2и ди , Л , ч

“ас2 + 22д7=ср5? хе(-со;'*ю)’ ^е(°;8)-1>°; (25)

21 дх 22 ду

. ди ди' 2'дх 22 ду

= ?Г'П(А“И)» ^е(-оо;+<ю), .у=0, £>0; = • л(/2 —И)» *е(-оо;+°о), у = Ь,/>0;

(26)

ы(х,д>,0) = 0, хе(-оо;+со), уе[0,8], / = 0,

(28)

которое имеет вид

(29)

• егГ-

\

/

\

ег/1<-(*-*>) ^ег/1,+(х-а,)_)

2^Р('-Т)/Т 2^Р(<-т)/у ]

где а = Х]2/Х22, Р = (^Л22-^2)/^22> у-ф/^22> л(г) = 1, 2>0 и тф^О, г <0.

Для обоснования решения (29) доказана следующая теорема:

Теорема 3.1. Пусть функция и(х,у,[) определена и непрерывна в анизотропной полосе толщиной 5 и удовлетворяет дифференциальному уравнению (25). Тогда, в отсутствие источников, задача (25) имеет единственное решение.

Кроме этого, доказана теорема о мероморфности изображения по Лапласу, благодаря чему удалось изображение разложить в ряд по количеству простых полюсов и, тем самым, получить обратное преобразование.

В главе 4, на основе неявных градиентных методов минимизации функционала невязки и новых аналитических и численных методов, изложенных в главах 1-3, впервые решены граничные и коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа со смешанными производными.

В параграфе 4.1 изложена методология численного решения обратных задач для уравнений параболического типа со смешанными производными с использованием аналитического решения (30) в анизотропном полупространстве, для чего вводится квадратичный функционал

Для полубесконечного тела решение (29) упрощается

(30)

L 1=1 j*l

где X, = (A,,A,2...A.k j - искомый вектор восстанавливаемых параметров, заложенных в экспериментальные значения потенциала utj в

пространственных точках (x,y)t, /= 1,7 ив моменты времени 0, j=\,J , определенных с погрешностью <5, m(j. = u{i<x,y)j (1 + 8); и, j (}*) -

расчетные значения потенциала в тех же точках по формуле (30). Минимизация функционала (31) осуществляется с помощью неявного метода градиентного спуска.

х<«+1) _ х(») _ angrad S(x{rn,)), (32)

где и - номер итерации, а„ - параметрические шаги. Окончание итерационного процесса устанавливается по условию |grad 5^я+1^ ^ е, где е

- заданная точность. Для вычисления градиента функционала и определения вектора функция разлагается в ряд Тейлора в

окрестности с сохранением линейных относительно членов,

дальнейшим вычислением компонентов dS^V+,J/dXi, к = 1,К с получением градиента функционала

grad s(a,("+1)) = Z1 (х(п))(и(х(л)) - й) + ZT (3lw)z(3lw)aXw, подставляя который в (32), получим

=-a/,(£ + anZT(x(',))z(3i(")))'1ZT(5t(',))(u(x(,‘))-fi), (33)

дии{х(п))

где матрица Z^"^ =

dkk

коэффициентов чувствительности. Доказывается теорема существования и единственности итерационного процесса (33).

Теорема 4.1. Пусть матрица г чувствительности такова, что для любой итерации процесса (33) выполняются неравенства

где |гт| - любая матричная норма транспонированной матрицы чувствительности, а— параметр спуска. Тогда итерационный процесс (33)

удовлетворяет принципу сжимающих отображений |л>.^+1',| < р< 1,

т.е. существует единственная точка X', к которой стремится последовательность п = 0,1,2,... как к своему пределу Иш^=Х .

. Л-*»

На основе этой методологии в параграфе 4.2 разработаны алгоритмы восстановления краевых условий и линейных компонентов тензора переноса потенциала в анизотропных телах.

В параграфе 4.3 разработана методология численного решения коэффициентных обратных задач по восстановлению нелинейных компонентов тензора переноса потенциала. В основу методологии положен метод МПНЭ численного решения многомерных задач со смешанными производными, как метод с наибольшим запасом устойчивости и точностью, а также метод параметрической идентификации и метод, изложенный в параграфе 4.1.

В соответствии с предлагаемым методом нелинейные компоненты А.п(и), Ъ12(и), 122(и), зависящие от потенциала, представляются в виде линейных комбинаций кусочно-постоянных или линейно-непрерывных

базисных функций Мт(и), ш = 1,М, задаваемых на конечных элементах Ьмт,

т = 1 ,М, связанных с равномерной конечно-разностной сеткой по времени и неравномерной крупной конечно-элементной сеткой ПО функции и е(и„_1 ,ит),

где т - число блоков по времени:

м м м

К (и) - 2Х‘ • К (и), (и) «• Мт (и), Хп (и) « ]>Х2 • Мт (и). (35)

т=I м-1

Количество М блоков по времени (конечных элементов), внутри

каждого из которых Кт^т= \,М J шагов т по времени определяются из

соотношений I■ Кт-Ъ2 <,г, Кт=-^-г, М = ^-, Дмт = ™ ~~. гДе Е ~

9-5 Кт М

погрешность метода градиентного спуска, 8 - погрешность

экспериментальных данных, 1 = 9.

В качестве расчетных значений потенциала ии в (31) принимаются

значения, полученные методом МПНЭ из решения задачи, аналогичной задаче (25)-(28), в которой вместо линейных используются нелинейные компоненты Хп(и), А.и(к), Хп (и) тензора переноса потенциала, а для определения

, . ди ди ди ^—гт

коэффициентов чувствительности гт=—77, ут=^Г7Г> ^ т-\,М

бКт аКт

на каждом отрезке и б[и„,_1,мт] необходимо численно решить прямую задачу

относительно и[х,у,ї), а, затем - задачи, полученные путем дифференцирования прямых задач по параметрам Xі*, Х^. Таким

образом, методология, изложенная и обоснованная в параграфе 4.1, используется при восстановлении постоянных коэффициентов Ххі, А'*, Х^ на

каждом т -м промежутке и є [мя_, ,ит ], т-\,М.

В главе 5 разработанный математический аппарат применен к математическому моделированию тепломассопереноса в теплозащитных композиционных материалах в условиях высокотемпературного нагружения.

В параграфе 5.1 изложены физические основы функционирования теплозащитных композиционных материалов (КМ) в условиях высокотемпературного нагружения, показано возникновение новых фаз в виде пористого остатка, пиролизных газов, трех нестационарно подвижных границ фазовых превращений в результате различных физико-химических процессов, происходящих внутри КМ и позволяющих эффективно использовать их в качестве теплозащитных.

В параграфе 5.2 разработана комплексная физико-математическая модель тепломассопереноса в теплозащитных КМ при высокотемпературном нагружении. Она включает в себя следующие соотношения:

( \

- (/е-/№)-Л^гас/^-Е№.а-Г;-(П-С/).р.к) .г„ =

с_ *

= т ■ б* {I,) ■ Л (т„ - Т'), (х,у) є Г (х,у,і), і > 0;

(36)

с,д (7’)-рс//^- = <іп(ке^га<іТ) - П(срр • К)в раОТ,

(х,у)єПк,

Т = Т~, (х,у)є/к"(х,у,і), IX";

с*я (т) • Р,// (т= <іь>(ьфдга<їт) - р{х,у,і) • -

-П~(х,у)(срру)'р-ааг, (х,у)еП„, 1>Г\

Т = Т~, (х,у)є/;'(х,у,і), />/”;

л(т:)^т\/г+о-л(г)^г|/.._0 =т;д",

^І/г+о ~Т\/г-о ~т'*' (х,у)^г:'(х,у,1), />С; 7’1/;-+о=7’!/;--о=7’*”. (х,у)є/Г(х,у,і), />/Г;

(41)

(39)

(40)

(37)

(38)

«.2(гег ~Кг) + т12 -КгъТ1г = О, (дс,^)б>й, 1>0;

^- + ^(р/е) = 0, (х,у)еПкс, г>г~;

(44)

(45)

М*»Д,=а> (*>>06М’;

(46)

(47)

(48)

Т(х,у,0)=Т(х,у), (х,у)еП; /?(х,у,0) = ц>(х,у), (х,у)е/"(х,у,0); /“(х,у,0) = ц/(х,у), (х,у)е/"(х,у,0); (49)

(50)

В математической модели введены следующие обозначения: Л -тензор теплопроводности; 0 — теплота фазовых превращений; П -пористость; V - скорость фильтрации; Т - температура; с, р - теплоемкость, плотность; I - энтальпия газа; а - коэффициент теплоотдачи; т - масса; К-

газовая постоянная; ТГ - средняя молекулярная масса; Г - коэффициент газации; * - наружная граница уноса массы; * * - границы зоны пиролиза; н-начало; к - конец; § - газы; у/, м>2 — наружная и внутренняя границы тела; е// - эффективный; кс - кокс.

Для замыкания математической модели (36)-(50) в параграфах 5.3 и 5.4 идентифицированы закон разложения связующих КМ и закон нелинейной фильтрации пиролизных газов. Закон разложения связующих КМ выведен на основе известных из экспериментов для большинства КМ температур Т", Г” и плотностей рм, р, начала и окончания разложения связующих КМ и экспоненциональной зависимости плотности КМ от температуры в зоне пиролиза и имеет вид:

ЦК^-Р^Р,)

т

рМ=р-^р

I Ч1г|)

(51)

**

Г

ср

где г - радиус-вектор точки в зоне пиролиза: Т =

С (г-С)

г(С-С)

•*

•«

Верхняя оценка относительной погрешности плотности КМ 8р, полученной из закона (51) при известных относительных погрешностях температур ЪТ’’, ЬТ" начала и окончания разложения связующих, имеет вид

Исследованы влияние погрешностей температур Т", Т" на скорости движения трех границ фазовых превращений г’, г", г" и температурное поле в вычислительных экспериментах с математической моделью (36)—(50), которые показали, что при 10%-й погрешности Т“, Т" погрешности по скоростям движения границ не превышают 2%, а по температуре — 4%.

Закон нелинейной фильтрации выведен на основе учета инерционных членов в уравнениях движения пиролизных газов в капиллярах путем введения неизвестной зависимости скорости V фильтрации от фильтрационного числа

пористость, плотность, динамическая вязкость, причем эта функция определяется из решения системы уравнений течения газа в капиллярах в приближении пограничного слоя. В результате получен закон в виде следующего соотношения:

в соответствии с которым для нелинейной фильтрации динамическая вязкость увеличивается в (1 + П • ) раз. Определяются границы

В параграфе 5.5 приведена методология численного решения всей комплексной проблемы с учетом второгб порядка аппроксимации по пространственным переменным граничных условий Н-1\Лго родов, включая и пространственные подвижные границы фазовых превращений, для чего метод МПНЭ модифицирован путем использования интегро-интерполяционного метода.

На основе разработанного программного комплекса, реализующего математическую модель (36)-(53) получены многочисленные результаты по тепломассопереносу в анизотропных теплозащитных композиционных материалах в условиях фазовых превращений и уноса массы.

(52)

Рейнольдса

тензор проницаемости, П, р?,

(53)

применимости этого закона по градиенту давления %гас1р > 1,7 • 105 Па/м.

На рис. 8 приведен один из таких результатов определения температурного поля (рис. 8а) и двумерной границы фазовых превращений (рис. 86) в анизотропном прямоугольнике /, х/2 =0,15мх0,05м с главными компонентами тензора теплопроводности А,^=1, =0,5 кВт/м -К, ф = тс/4,

ср = 1 ООО кДж/м3' К, 7" =600ЛТ, 7” = 1 ООО АГ с симметричным относительно оси х = /, / 2 тепловым потоком.

• а) б)

Рис. 8. Температурное поле в момент времени = 10с (а) и динамика

движения границы фазовых превращений (б) в анизотропном композиционном материале

Из рисунка видно, что при симметричном тепловом нагружении видна существенная несимметрия границы фазовых превращений, нестационарно продвигающейся вглубь тела, а также температурного поля, причем если температурное поле смещается в направлении главной оси с большим коэффициентом теплопроводности, то. подвижные границы фазовых превращений продвигаются в противоположном направлении.

На рисунках 9 приведены вертикальные сечения полей давления

фильтрации в пористой области с нестационарно подвижной границей

фазовых превращений для фенольного стеклопластика (рис. 9а) и углепластика (рис. 96).

а) б)

Рис. 9. Распределение давления фильтрации в нестационарно расширяющемся двумерном пористом остатке фенольного стеклопластика (а), и углепластика (б): 1 - х=0.15лг; 2 - х=0.135л«; 3 - х=0.12л*; 4 - х=0.105л*; 5 - х=0.09л;6 -х=0.015л<; 7-х=0.045ж; 8 -х=0л<; 9-х=0.03л<.

(а) (б)

Рис. 10. Изменение по времени подвижной границы фазовых превращений (а) и температур (в) для импульсного нагрева анизотропного композиционного материала

На рис. 10 приведены результаты решения задачи типа Стефана при импульсном нагреве анизотропных тел, когда площадь действия импульса в точке х=/1/2, у=12 равна нулю. •

Отклонение температурного поля (рис. 106) и границы фазового перехода (рис. 10а) от оси х = /, /2 дает основание сделать предположение о том, что если материал новой фазы удаляется, то отверстие в

анизотропном материале может искривляться в том же направлении, что и температурное поле.

В главе 6 приведены результаты численного решения граничных и коэффициентных обратных задач теплопроводности в анизотропных телах по идентификации как скалярных величин, так и нелинейных компонентов тензора теплопроводности на основе аналитического и численного решения прямых задач анизотропной теплопроводности.

В таблицах 1 и 2 приведены результаты численного решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности по восстановлению нелинейных компонентов тензора теплопроводности, заложенных в экспериментальные значения температур т^, с абсолютной погрешностью Л = 0 и Д = 10К соответственно в виде зависимостей:

Хи (Г) = 0,0025Г = (Г) + ад (Г);

К {Т)=0,0015т=ад (Г)+ад (ту,

\2 (Т) = 0,000866Г = ад, (Г) + ад2 (Г),

где искомыми являются коэффициенты А},, А^,, А.22, А22, А)2, А,22,

Л^, (7’) = (7’шах-7’)/(7’шах-7’тт); М2 (Т) = (Т-Тпйп)/(Гтах—Ттт), причем в экспериментальные значения 7)* заложены А,}, =1,375, А,2, =3,5; А,‘2 =0,825, А22 =2,1, 1\2 =0,476314, А,,22 =1,21244.

Таблица 1, А = 0

Номер итерации а;, А’2 а;2 >2 Л.,, 4

0 1.12Е+06 1 1 0 1 1 0 1

1 115443 3,23927 1,40083 0,967038 1,09177 1,69459 -0,17106 10

2 1106,93 2,74605 0,938084 0,744596 3,00184 2,05214 1,34424 10

3 21,9547 1,189 0,827484 0,439727 3,5639 2,10083 1,2009 10

4 0,154373 1,36677 0,824827 0,475127 3,5017 2,09957 1,21203 10

5 0,000167 1,37484 0,824989 0,476294 3,50002 2,09999 1,21243 10

6 5,05Е-08 1,375 0,825 0,476314 3,5 2,1 1,21244 10

Таблица 2, Д = 10К

Номер итерации 5 А1,! А'22 Ъг А2 4 4 .

0 1.72Е+06 1 1 0 1 1 0 1

1 151923 3,26393 1,35639 1,01665 1,08613 1,71674 -0,1307 10

2 6562,79 0,937527 0,905392 0,431408 4,00696 2,05979 1,55763 10

3 1550,78 1,30691 0,846076 0,455453 3,53964 2,09224 1,24731 10

4 1539,48 1,33133 0,846509 0,452776 3,53128 2,09431 1,25444 10

5 1539,47 1,33196 0,846568 0,452835 3,53114 2,09438 1,25444 10

6 1539,47 1,33197 0,846569 0,452836 3,53114 2,09438 1,25444 10

7 1539,47 1,33198 0,846569 0,452836 3,53114 2,09438 1,25444 10

Из таблиц 1, 2 следует, что погрешность в определении шести коэффициентов А.},, А2,, Х22, Я.|2, ~К222 равна нулю, когда

экспериментальные значения 7л заданы точно и с погрешностью АХ.{, «3,1%, АХ2, «0,9%, АЯ-22 *2,6%, ЛХ22 «0,3%, ЛХ}2 «4,9%, А)22 «3,5%, если

экспериментальные значения Г(* заданы с однопроцентной относительной погрешностью. На рисунке 11 приведены заложенные в экспериментальные значения Г,* нелинейные компоненты тензора теплопроводности (пунктирные

линии) и восстановленные (сплошные линии).

- Рис. 11. Восстановленные

нелинейные компоненты тензора

теплопроводности при наличии погрешности А Е\0К в определении экспериментальных значений 7)* (сплошные линии - восстановленные, пунктирные - заложенные

в О

=1400 т

Основные научные результаты

1. Разработан и обоснован по аппроксимации и устойчивости новый класс экономичных абсолютно устойчивых методов расщепления численного решения задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, на основе апостериорной информации на верхних временных слоях и на более глубоком, чем в классических методах, расщеплении смешанных дифференциальных операторов [12, 13].

2. Предложенные методы распространены на нелинейные уравнения, содержащие смешанные производные, в соответствии с чем проведен сравнительный анализ разработанных и классических методов расщепления на точном решении задачи для существенно нелинейного уравнения параболического типа со смешанными производными, показавший не только абсолютную устойчивость, но и более высокую точность предложенных методов по сравнению с классическими методами [5,11,16].

3. Впервые получен ряд аналитических решений задач для уравнений параболического типа со смешанными производными с граничными условиями 2-го и 3-го родов [3, 6,15,16].

4. Разработана методология численного решения обратных граничных и коэффициентных задач для уравнений параболического типа со смешанными производными на основе неявного метода градиентного спуска и новых аналитических и численных методов [17,18],

5. Разработанный математический аппарат применен к методологии математического моделирования задач тепломассопереноса в анизотропных композиционных материалах (КМ), используемых в качестве теплозащитных для гиперзвуковых летательных аппаратов (ЛА). Математическая модель учитывает фазовые превращения внутри КМ с образованием новых фаз, неизотермическую анизотропную фильтрацию пиролизных газов, их вдув в пограничный слой, унос массы пористого остатка и многие виды нелинейностей [21,23].

6. Получен новый закон разложения связующих КМ, позволивший обойти химическую кинетику и тем самым применить его к большинству КМ, используемых в качестве теплозащитных, а также нелинейный закон фильтрации пиролизных газов. Эти законы замыкают комплексную математическую модель [4, 5].

7. Разработаны комплексы программ многомерного нестационарного тепломассопереноса в анизотропных КМ и решения обратных граничных и коэффициентных задач в многомерных анизотропных средах. На основе этих программных комплексов впервые получены многомерные температурные поля и поля давления многомерной анизотропной фильтрации, а также восстановлены краевые условия и нелинейные компоненты тензора теплопроводности в анизотропных телах [7,17-19].

Монографии

1. Кузнецова Е.Л. Математическое моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах при высокотемпературном нагреве в элементах ракетно-космической техники. - М.: Изд-во МАИ. 2010. 158с.

2. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л. Тепломассоперенос в анизотропных телах при аэрогазодинамическом нагреве. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ. 2010. 308с.

Статьи в журналах, входящих в перечень ВАК

3. Кузнецова Е.Л. Аналитическое исследование задач типа Стефана в композиционных материалах с двумя нестационарно подвижными границами// Вестник Саратовского государственного технического университета, №2(45),

2010. С. 24-31.

4. Кузнецова Е.Л. Моделирование теплового состояния композиционных материалов на основе универсального закона разложения

связующих // Всстник Самарского гос. техн. ун-та. Серия «Физ-мат науки».

2010. №5(21). С.170-178.

5. Кузнецова Е.Л. Тепломассоперенос в композиционных материалах на основе нелинейного закона фильтрации// Известия РАН. Серия «Энергетика».

2011. № 1. С.40-46.

6. Кузнецова Е.Л., Колесник С.А. Моделирование сопряженного теплообмена на границах анизотропных тел с использованием аналитических решений// Вестник Московского Авиационного Института. 2010. Т. 17. № 2. С. 121-126.

7. Кузнецова Е.Л. Тепломассоперенос в теплозащитных композиционных материалах при высокотемпературном нагружении// Вестник Московского авиационного института. 2010. Т. 17. Кг 3. С. 30-36.

8. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. О тепловых волнах в нелинейном анизотропном пространстве // Инженерная физика. Серия «Теплофизика и тепломеханика». 2010. № 5. С. 43-47.

9. Кузнецова Е.Л. Селин И.А., Формалев В.Ф. Задача типа Стефана с произвольным числом подвижных границ фазовых превращений// Вестник МГТУ им.Баумана. Серия «Естественные науки». 2010.2(37). С. 49-57,

10. Кузнецова Е.Л., Колесник С.А., Формалев В.Ф. Сопряженный теплообмен на границах композиционных анизотропных материалов// Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. Т. 16. № 2. С. 232-240.

11. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Волновой теплоперенос в нелинейном анизотропном пространстве// Нелинейный мир. 2010. Т. 8. № 4. С. 208-212.

12. Кузнецова Е.Л. Численное моделирование тепломассопереноса в нелинейном двухфазном пространстве// Нелинейный мир. 2010. Т. 8. № 8. С. 497-508.

13. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Экономичный полностью неявный метод численного решения параболических уравнений, содержащих смешанные производные// Вычислительные технологии. 2010. Т. 15. № 5. С. 72-80.

14. Кузнецова Е.Л. Аналитическое исследование нелинейного тепломассопереноса при пленочном охлаждении тел.// Нелинейный мир. 2010. Т. 8. № 10. С. 621-628.

15. Кузнецова Е.Л., Колесник С.А., Формалев В.Ф. Методология численного решения обратных граничных задач теплопереноса в анизотропных материалах на основе аналитического решения// Нелинейный мир. 2011. Т. 9. №2. С. 71-77.

16. Кузнецова Е.Л. Моделирование теплопереноса в нелинейном анизотропном пространстве на основе аналитического решения// Математическое моделирование. 2011. Т. 23. № 12. С. 21-30.

17. Кузнецова Е.Л. Восстановление характеристик тензора теплопроводности на основе аналитического решения задачи теплопереноса в анизотропном полупространстве// Теплофизика высоких температур. 2011. Т.

49. № 6. С. 1-8.

18. Кузнецова Е.Л., Колесник С.А. Восстановление тепловых потоков путем решения обратной граничной задачи теплопереноса в анизотропной полосе// Известия РАН. Серия «Энергетика». 2011. № 6. С. 196-203.

19. Кузнецова Е.Л., Колесник С.А. Обратная коэффициентная задача теплопереноса в анизотропном полупространстве// Известия РАН. Серия «Энергетика». 2011. № 4. С. 117-123.

20. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Анализ погрешностей линеаризации лучистых тепловых потоков при высоких температурах// Нелинейный мир.

2011. Т. 9. № 10. С. 274-281.

21. Формалев В.Ф., Федотенков Г.В., Кузнецова Ек.Л. Общий подход к моделированию теплового состояния композиционных материалов при высокотемпературном нагружении// Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. Т. 12. № 1. С. 141—156.

22. Формалев В.Ф., Федотенков Г.В., Кузнецова Ек.Л. Теплоперенос в условиях фазовых переходов в телах с анизотропией свойств// Теплофизика высоких температур. 2006. Т. 44. № 5. С. 756-763.

23. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л. Многомерный теплоперенос при наличии фазовых переходов в анизотропных композиционных материалах// Механика композиционных материалов и конструкций. 2007 г. Т. 13. № 4.

С.129-141.

24. Формалев В.Ф., Колесник С.А., Кузнецова Е.Л. Влияние

продольной неизотермичности на сопряженный теплообмен между пристенными газодинамическими течениями и затупленными анизотропными телами// Теплофизика высоких температур. 2009. Т. 47.№ 2 С.247-253.

25. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л., Селин И.А. Аналитическое

исследование задач типа Стефана в композиционных материалах с

произвольным числом подвижных границ фазовых превращений// Механика композиционных материалов и конструкций. 2009. Т 15. № 2. С. 256—264.

26. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л. Селин И.А. Возникновение и распространение тепловых волн в нелинейном анизотропном пространстве// Известия РАН. Серия «Энергетика». 2010. № 3. С. 136-141.

27. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л. Селин И.А. Моделирование

тепловых волн в нелинейном анизотропном пространстве// Вестник

Самарского государственного технического университета. 2010. № 1(20). С. 239-243. '

Основные публикации в других изданиях

28. Кузнецова Е. J1., Формалев В.Ф., Чипашвилли А.Д. Моделирование теплового разрушения композиционных материалов// В сб. науч. тр. Х-го Межд. симпоз. «Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред». Изд-во МАИ. 2004. Т. 2. С. 131-141.

29. Кузнецова Е.Л., Федотенков Г.В., Формалев В.Ф. Численное моделирование многомерного нестационарного теплопереноса в анизотропных телах с подвижной границей// В сб. научн. Тр. XI-го Межд. симп. «Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред». Изд-во МАИ. 2005. Т. 2. С. 105-116.

30. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф., Колесник С.А. О законе разложения связующих композиционных материалов при высокотемпературном нагружении// В тр. 12-й Международной конференции «Математические модели физических процессов». Таганрог, Россия. 14-15 сентября 2007. Т. 1. С. 95-98.

31. Кузнецова Е.Л. Новый подход к математическому моделированию тепломассопереноса в композиционных материалах при высокотемпературном нагружении//Инженерная физика. 2010. № 11. С. 3-10.

32. Кузнецова Е.Л. Новый подход к моделированию теплового состояния

композиционных материалов на основе универсального закона разложения связующих// В тр. РНКТ-5, 2010. Т. 3. С. 255-259. ■

33. Кузнецова Е.Л., Федотенков Г.В., Формалев В.Ф. Численное моделирование плоской нестационарной задачи тепломассопереноса с подвижной границей разложения связующего в анизотропных телах// Материалы докладов (VI школа-семинар молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова). «Проблемы тепломасообмена и гидродинамики в энерго-машиностроении. 16-18 сентября 2008 г., Казань, Россия. С. 279-282.

34. Кузнецова Е.Л. Аналитическое исследование задачи теплопереноса в

композиционных материалах при наличии подвижных границ фазовых превращений// Материалы XVI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» имени Горшкова А.Г. Ярополец,16-20 февраля 2010 г. М: Издательство МАИ, Т. 2. С.191— 199. '

35. Formalev V.F., Kuznetsova E.L., Selin I.A. Analitical study of Stefan-type problems in composites with an arbitrary number of moving boundaries of phase transitions // Composites, Mechanics, Computations, Applications. An International Jomal. V. 1. Issue. 2010. p.25-35.

36. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л., Колесник С.А. Аналитическое решение задачи типа Стефана с двумя подвижными границами// В тр. 12-й Международной конференции «Математические модели физических процессов». Таганрог, Россия. 14-15 сентября 2007 г. Т. 1. С. 98-102.

37. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л., Колесник С.А. Аналитическое решение задачи сопряженного теплообмена на границах анизотропных тел// В тр. 13-й

Международной научно-технической конференции «Модели и алгоритмы для имитации физико-химических процессов». Таганрог, Россия. 8-12 сентября 2008 г. С. 170-177. .

38. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л., Колесник С.А. Исследование

тепломассопереноса при пленочном охлаждении тел в условиях

высокоинтенсивного нагрева// В тр. 13-й Международной научно-технической конференции «Модели и алгоритмы для имитации физико-химических процессов». Таганрог. Россия. 8-12 сентября 2008 г. Т. 1. С. 177-185.

39. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Исследование теплонапряженного состояния охлаждаемых лопаток турбин// Тез. докл . на IX Межд. симпоз. «Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред». Ярополец, Моск. обл. 10-14 февр. 2003 г.

40. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф., Колесник С.А. Численное

моделирование многомерных задач теплопроводности в составных анизотропных телах// Тез. докл. На 1-ой Межд. научно-технич. конф., посвященной 90-летию со дня рожд. акад. В.Н.Челомея. Москва - Реутов, 24-25 мая 2004 г.

41. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф., Чипашвилли А.А. Численное

моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах в условиях

аэрогазодинамического нагрева// Тез. докл. на 3-й Межд. конф. «Авиация и космонавтика». Москва, 1-4 ноября 2004 г.

42. Кузнецова Е.Л., Федотенков Г.В. Об экономичном абсолютно устойчивом методе численного решения задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные производные// Тез. докл. на Х1-м Межд. симпоз. «Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред». Ярополец, Моск. обл. 14-18 февр. 2005 г.

43. Кузнецова Е.Л., Федотенков Г.В., Формалев В.Ф. Идентификация законов термического разложения композиционных материалов// Тез. докл. на XII Межд. симп. «Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред». Ярополец, Моск. обл. февр. 2006 г.

44. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф.Численное моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах при высокоинтенсивном тепловом нагружении// Тез. докл. на конф. «Авиация и космонавтика 2006 г.» Москва, октябрь 2006 г.

45. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Численное моделирование нестационарного тепломассопереноса в композиционных материалах с подвижной границей// Тез. докл. на XIV Межд. симп. «Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред», имени А.Г. Горшкова. Ярополец, Моск. обл. 18-22 февраля 2008 г. Т 1. С.137-138.

46. Кузнецова Е.Л., Федотенков Г.В., Формалев В.Ф. Общий подход к моделированию теплового состояния композиционных материалов при высокоинтенсивном нагреве// Тез. докл. на XIII Межд. симп. «Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред», имени А.Г. Горшкова. Ярополец, Моск. обл. 12-16 февраля 2007 г. Т 1. С. 155.

47. Кузнецова С.Л., Формалев В.Ф. Задача типа Стефана с произвольным

числом нестационарно подвижных границ фазовых превращений// Материалы XV Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» имени Горшкова А.Г. Ярополец, 16-20 февраля 2009 г. Т 1. С.101. -

48. Кузнецова Е.Л. Математическое моделирование теплового состояния композиционных материалов при высокоинтенсивном аэрогазодинамическом нагреве летательных аппаратов//1 Всероссийская научно-техническая школа школа-семинар «Компьютерный инжиниринге промышленности и вузах», посвященная 80-летию МАИ. 2009.

49. Кузнецова Е.Л. Моделирование теплогидрогазодинамических процессов системы охлаждения с автоматическим регулированием подачи специального охладителя// Материалы XVI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» имени Горшкова А.Г. Ярополец, 16-20 февраля 2010 г. Т.1. С.113.

50. Кузнецова Е.Л. Математическое моделирование теплового состоянии композиционных материалов при высокоиитеисивном нагреве с учетом разложения связующих и фильтрации// X Всероссийская научно-техническая Конференция и школа молодых ученых, аспирантов и студентов. Научные исследования в области транспортных, авиационных и космических систем. «АКТ-2009» Воронеж 11-13 ноября 2009 г.

51. Кузнецова Е.Л. Математическое моделирование теплового состояния композиционных материалов при высокоинтенсивном нагреве с учетом разложения связующих и фильтрации// Материалы VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (МР№'2010) 25-31 мая 2010 г. Алушта, Крым. С.502-503.

52. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Исследование задач тепломассопереноса с нестационарно подвижными границами фазовых превращений в композиционных материалах// Всероссийская Конференция «Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред» (к 90-летию со дня рождения академика И.Ф.Образцова). 23-25 ноября 2010 г. С. 64.

53. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Методология численного решения обратных коэффициентных задач теплопереноса в анизотропных материалах на основе аналитического решения// Тезисы доклада XVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред» имени А.Г. Горшкова. Ярополец, Моск. обл., февраль 2011г.

54. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Новый класс экономичных абсолютна устойчивых методов расщепления численного решения уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы// Тезисы доклада IX международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (ЫРКГ2011) май 2011 г. Алушта, Крым.

55. Кузнецова Е.Л. Методология численного решения обратных коэффициентных задач теплопереноса в композиционных анизотропных материалах по определению компонентов тензора теплопроводности// Тезисы доклада VII

Международной заочной научно-практической конференции «Современные вопросы науки - XXI век» Издательство ТОИПКРО Тамбов-2011,28-29 марта 2011 г.

56. Кузнецова E.JI. Обратная коэффициентная задача теплопсреноса в анизотропных телах на основе аналитического решения// Тезисы доклада XXXI Всероссийской конференции по проблемам науки и технологий МСНТ (14-16 июня 2011 г., г.Мнасс).

57. Формалев В.Ф., Кузнецова E.JI., Чипашвили А.А. Моделирование нестационарной задачи Стефана в двумерных областях в условиях уноса массы анизотропных композиционных материалов// Тез. докл. на Х-м Межд. симпоз. «Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред». Ярополец, Моск. обл. 9-13 февр. 2004 г.

58. Формалев В.Ф., Кузнецова E.JI., Чипашвили А.А. Математическое моделирование теплопереноса в анизотропных затупленных носовых частях летательных аппаратов// Тез. докл. на 29-х академических чтениях «Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики». Москва, январь 2005 г.

Учебное пособие

59. Кузнецова Е.Л. Уравнения параболического типа, содержащие смешанные производные и их приложение к теории тепломассопереноса в анизотропных средах. Учебное пособие для прикладных математиков и механиков. Издательство МАИ. 2011.103с.

Множительный центр МАИ (НИУ) Заказ от£8. У2 20Й г. Тираж/ОСЬкз.

ВВЕДЕНИЕ

1. НОВЫЙ КЛАСС ЭКОНОМИЧНЫХ АБСОЛЮТНО УСТОЙЧИВЫХ МЕТОДОВ РАСЩЕПЛЕНИЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, СОДЕРЖАЩИХ СМЕШАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

1.1. Экономичная полностью неявная конечно-разностная схема глубокого расщепления для уравнений, содержащих смешанные дифференциальные операторы, с использованием апостериорной информации.

1.1.1. Аппроксимация схемы метода глубокого расщепления.

1.1.2. Устойчивость схемы метода глубокого расщепления и обоснование введения параметра а.

1.1.3. Устойчивость схемы глубокого расщепления по правой части.

1.1.4. Обобщение на случай Яр.

1.2. Двусторонние схемы глубокого расщепления в задачах для параболических уравнений, содержащих смешанные производные и переменные коэффициенты.

1.3. Ассиметричная схема переменных направлений для параболических уравнений со смешанными производными.

1.4. Схема метода глубокого расщепления в задачах для уравнений параболического типа со смешанными дифференциальными операторами и краевыми условиями, содержащими производные.

1.4.1. Аппроксимация в узле (г',,0).

1.4.2. Аппроксимация в узле (0,/2).

1.4.3. Аппроксимация в угловых узлах.

1.5. Метод переменных направлений с экстраполяцией численного решения уравнений параболического типа со смешанными дифференциальными операторами.

1.5.1. Схема метода переменных направлений с экстраполяцией.

1.5.2. Аппроксимация.

1.5.3. Устойчивость.

1.5.4. Схема метода МПНЭ в трехмерном случае

2. МЕТОДЫ ГЛУБОКОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ И

ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ С ЭКСТРАПОЛЯЦИЕЙ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, СОДЕРЖАЩИХ

СМЕШАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

2.1. Схема метода глубокого расщепления в нелинейных задачах для уравнений параболического типа со смешанными дифференциальными операторами.

2.2. Схема метода переменных направлений с экстраполяцией в нелинейных задачах для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы.

2.2.1. Аппроксимация.

2.2.2. Устойчивость.

2.3. Сравнительный анализ предложенных методов расщепления, учитывающих апостериорную информацию для численного решения нелинейных задач, содержащих смешанные производные.

3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАБОЛИ-ЧЕСКОГО ТИПА, СОДЕРЖАЩИХ СМЕШАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ,

С РАЗЛИЧНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ.

3.1. Аналитическое решение второй начально-краевой задачи для уравнения параболического типа со смешанными производными в анизотропной полосе.

3.2. Первая начально-краевая задача в анизотропной полосе.

3.3. Первая начально-краевая задача для уравнения параболического типа со смешанными производными в трехмерной анизотропной пластине.

3.4. Аналитическое решение третьей начально-краевой задачи для уравнения параболического типа со смешанными производными в анизотропном полупространстве.

4. ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, СОДЕРЖАЩИХ СМЕШАННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.

4.1. Методология численного решения обратных задач для уравнений параболического типа со смешанными производными на основе аналитического решения прямой задачи в анизотропном полупространстве.

4.2. Граничные и коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа со смешанными производными на основе аналитического решения прямой задачи в анизотропных областях.

4.3. Коэффициентная обратная задача для параболических уравнений со смешанными производными по идентификации нелинейных компонентов тензора переноса потенциала.

4.3.1. Постановка задачи.

4.3.2. Метод численного решения прямой задачи.

4.3.3. Решение задачи, сопряженной с прямой задачей.

4.3.4. Минимизация функционала невязки в методе градиентного спуска.

4.3.5. Итерационный алгоритм численного решения обратной коэффициентной задачи по определению нелинейных компонентов тензора переноса.

5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛО-МАССОПЕРЕНОСА В ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ В УСЛОВИЯХ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО НАГРУЖЕНИЯ.

5.1.Физические основы функционирования теплозащитных композиционных материалов в условиях высокотемпературного нагружения.

5.2. Физико-математическая модель тепломассопереноса в теплозащитных композиционных материалах при высокотемпературном нагружении.

5.3. Идентификация закона разложения связующих композиционных материалов.

5.4. Идентификация нелинейного закона фильтрации газообразных продуктов разложения связующих через пористый остаток.

5.5. Методология численного решения комплексной проблемы (5.2.1Н5.2.26).

5.5.1. Базовые конечно-разностные схемы методов переменных направлений с экстраполяцией и глубокого расщепления.

5.5.2. Аппроксимация краевых условий IV-ro рода на подвижных границах фазовых превращений.

5.5.3. Модификация метода МПНЭ для повышения порядка аппроксимации граничных условий, содержащих производные в задачах анизотропного тепломассопереноса.

5.5.4. Алгоритм численного решения многомерных задач тепломассопереноса в анизотропных композиционных материалах при высокотемпературном нагружении.

5.5.5. Результаты численного моделирования тепломассопереноса в анизотропных композиционных материалах.

6. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ И КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛАХ.

6.1. Граничная обратная задача для уравнения теплопроводности по определению тепловых потоков к анизотропному полупространству.

6.2. Коэффициентная обратная задача для уравнения теплопроводности по восстановлению компонентов тензора теплопроводности в анизотропном полупространстве и анизотропной пластине.

6.3. Коэффициентная обратная задача для уравнения теплопроводности по восстановлению нелинейных компонентов тензора теплопроводности.

Многие физические процессы, такие как теплопроводность, фильтрация, диффузия, вязкие пристенные течения газа, электропроводность и т.п., характеризующиеся полями температур, давлений, массы, плотности электрического заряда соответственно, описываются градиентными законами переноса потенциала - Фурье, Дарси, Фика, Ньютона - и, следовательно^ являются потенциальными векторными полями. Уравнения математической физики, выведенные на основе этих законов переноса потенциала, имеют параболический тип, и если среда, в которой рассматривается перенос потенциала, является изотропной, то соответствующие уравнения не содержат смешанных дифференциальных операторов по пространственным переменным. Такие уравнения хорошо изучены, например, по теории теплопроводности и фильтрации в изотропных средах, по ним имеются сотни публикаций.

Для анизотропных сред перенос потенциала носит тензорный характер, вследствие чего дифференциальные уравнения содержат смешанные производные по пространственным переменным, что приводит к существенным трудностям при решении начально-краевых задач для таких уравнений. Например, известный метод разделения переменных, на основе которого построены практически все остальные аналитические методы (потенциала, функции источника, 8 -функции) решения уравнений в частных производных, не применим к уравнениям, содержащим смешанные дифференциальные операторы, поскольку в этом случае пространственные переменные не разделяются.

В соответствии с этим для аналитических решений остаются интегральные методы такие, как методы интегральных преобразований Фурье и Лапласа в неограниченных или полуограниченных пространственно-временных областях.

Для ограниченных анизотропных областей, нелинейных сред, при наличии в задачах граничных условий второго, третьего и четвертого (по Лыкову A.B. [124-127] родов к настоящему времени использовать можно только численные методы, среди которых наиболее эффективными являются методы расщепления [48-50, 60, 130, 163, 164, 188-191, 199-204, 217-220, 233-236, 238].

Вместе с тем, публикации по методам решения задач переноса потенциала в анизотропных средах практически отсутствуют, хотя большинство естественных и искусственных материалов являются в той или иной степени анизотропными с тензорным характером переноса потенциала. Например, чистые металлы имеют степень анизотропии - отношение главных коэффициентов тензора переноса потенциала - равной примерно единице, т.е. являются изотропными; с другой стороны, существуют некоторые сорта пиролитического графита [251] со степенью анизотропии, равной 200.

Поэтому неучет тензорного характера переноса потенциала в анизотропных средах приводит не только к количественному, но и к качественному искажению результатов решения соответствующих задач.

В настоящее время активно разрабатываются композиционные материалы (КМ), особенно на основе графитов и графитосодержащих компонентов, которые все являются анизотропными. Такие материалы уже примерно в течение последних сорока лет с успехом используются в качестве теплозащитных для гиперзвуковых летательных аппаратов (ЛА), однако эффективные методы решения совместных задач анизотропной теплопроводности и анизотропной фильтрации в КМ, характеризующие их тепловое состояние, до сих пор не разработаны.

Кроме этого, если в отношении прямых задач переноса потенциала в анизотропных средах существует, хотя и ограниченное число публикаций по численным методам решения соответствующих задач [23, 29, 65, 67, 75, 7897, 145-147, 151, 174-184, 188-190, 192, 193], то относительно обратных задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, по восстановлению компонентов тензора переноса и потоков на границах, публикации вовсе отсутствуют. Вместе с тем постановка и решение обратных задач переноса потенциала чрезвычайно востребованы в проблемах диагностики и неразрушающего контроля, а также в проблемах, где физические характеристики переноса невозможно измерить. Из изложенного следует, что тема диссертационной работы «Разработка математического аппарата численно-аналитического решения уравнений со смешанными производными и его применение к математическому моделированию тепломассопереноса» является весьма актуальной.

Наиболее эффективными численными методами решения многомерных задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, являются методы расщепления, основным достоинством которых является экономичность — пропорциональность числа операций типа умножения числу узлов конечно-разностной сетки, а также простота алгоритмизации и программирования. Эти методы разработаны как отечественными математиками, такими как Н.Н.Яненко [200-204], А.А.Самарским [151-161], Г.И.Марчуком [129-131], Е.Г.Дьяконовым [49, 50], И.В.Фрязиновым [188-190] и др., так и зарубежными Д.Писменом и Х.Рэчфордом [238, 241], Дж.Дугласом и Дж.Е.Ганом [217-220] и др. Некоторые из этих методов обладают частичной аппроксимацией на каждом дробном шаге, а полная аппроксимация достигается лишь в суммарном смысле, в результате чего интегрирование исходного уравнения сводится к последовательному интегрированию уравнений более простой структуры.

Наличие смешанных производных в исходной дифференциальной задаче создает, наряду с многомерностью, дополнительные трудности при построении эффективных разностных схем [82, 188-190, 153, 164, 203, 217220, 238], связанные, прежде всего, с устойчивостью, аппроксимацией краевых условий, содержащих производные, с учетом направления потоков векторного поля и др.

Однако большинство существующих в настоящее время схем численного интегрирования параболических уравнений со смешанными производными представляют собой лишь формальное обобщение классических схем на случай уравнений со смешанными дифференциальными операторами. При этом смешанные операторы полностью, либо частично аппроксимируются с помощью значений сеточных функций на уже известных временных слоях по времени (явно). Это приводит к тому, что схемы расщепления становятся либо неустойчивыми, либо условно устойчивыми, особенно при решении нелинейных задач. Поэтому разработка полностью неявных, а потому абсолютно устойчивых, и экономичных методов численного решения задач. со смешанными производными, использующих только скалярные прогонки по координатным направлениям, является традиционно актуальной задачей.

В данной диссертационной работе на основе использования апостериорной информации о численном решении, уже полученном на верхних временных слоях, и более глубокого, чем в классических методах, расщепления разработан ряд новых экономичных абсолютно устойчивых конечно-разностных схем численного решения задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, с обоснованием аппроксимации, устойчивости и сходимости. Схемы сохраняют свои свойства при решении задач произвольной размерности по пространственным переменным, а также при решении существенно нелинейных задач. Они конечно применимы и к задачам, не содержащим смешанных дифференциальных операторов.

Аналогичные попытки разработки экономичных абсолютно устойчивых конечно-разностных схем предпринимались и раньше. Так в работах Н.Н.Яненко [200-204] предложена и всесторонне изучена схема метода дробных шагов (МДШ) для уравнений, содержащих смешанные производные, имеющая первый порядок по времени, и из-за явной аппроксимации смешанных производных устойчива в случае положительной и определенности матрицы (тензора) переноса потенциала, в которой диагональные элементы поделены на два.

Одной из первых схем расщепления численного решения параболических задач была схема метода переменных направлений (МПН) Писмена-Рэчфорда [238], однако из-за явной аппроксимации большинства дифференциальных операторов по пространственным переменным схема условно устойчива в трехмерном случае даже при отсутствии смешанных производных, а при наличии смешанных производных она условно устойчива уже в двумерном случае.

Эти две конечно-разностные схемы сыграли важную роль в развитии методов расщепления численного решения многомерных задач не только для уравнений параболического типа.

Так в работе [163] для уравнений со смешанными производными предложена неявная экономичная схема расщепления с введением в нее дополнительных диагональных направлений прогонок. Предложенная для уравнений с постоянными коэффициентами схема не допускает обобщения на случаи уравнений более общего вида.

В работе [162] исследуется предложенный В.К.Саульевым явный метод переменных направлений с усреднением. Разностные схемы на основе этого метода оказываются очень экономичными - для их реализации используются формулы явного (бегущего) счета. Однако аппроксимация имеет место только при определенных ограничениях на шаги пространственно-временной сетки, т.е. является условной.

Абсолютно устойчивая экономичная разностная схема для двумерного линейного уравнения параболического типа со смешанными производными предложена и исследована в работах И.В.Фрязинова [188-190]. Схема, обладая свойством суммарной аппроксимации, принадлежит классу составных аддитивных схем и при ее построении используются две пространственные сетки. Она не допускает распространения на случай трех и более пространственных переменных и на нелинейные уравнения.

Различным вариантам классических разностных схем численного интегрирования параболических уравнений со смешанными производными посвящена работа [232], в которых предлагается метод, основанный на комбинации метода конечных элементов и метода расщепления. Разностные схемы обладают теми же недостатками, что и рассмотренные выше, и не могут использоваться для решения нелинейных задач.

Для получения достоверной информации при решении задач для уравнений параболического типа со смешанными производными и для тестирования существующих и разрабатываемых численных методов крайне необходимы аналитические решения соответствующих задач.

Первые аналитические решения задач для уравнений параболического типа со смешанными производными в полубесконечных областях, бесконечных пластинах и бесконечных цилиндрах были получены в работах Пэдовена Д. [145, 146], Пуня К.С., Цзоу P.C., Чжана Ю.П. [147], Чжана Ю.П. и Цзоу Р.Ц. [192], Чжана Ю.П. и Пуня К.Ц. [193] на основе использования интегральных преобразований Фурье и Лапласа.

Поскольку таких решений получено всего не более десятка, а в них ощущается острая необходимость, нахождение аналитических решений задач для уравнений переноса потенциала в анизотропных средах является актуальной проблемой.

В данной работе впервые получен и исследован ряд аналитических решений задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, в том числе с граничными условиями второго и третьего родов. Решение получены интегральными методами в виде интегралов по времени от трансцендентных функций, так что проверку достоверности этих решений вначале приходилось проверять численными методами, а после получения адекватных результатов уже численные методы тестировались точными аналитическими решениями.

На основе использования аналитических решений задач для уравнений параболического типа со смешанными производными можно построить эффективные методы решения обратных граничных и коэффициентных задач по восстановлению потоков векторных полей на границах тел и компонентов тензора переноса потенциала.

Решения обратных задач вообще и обратных задач для уравнений со смешанным и производными, в частности, являются чрезвычайно сложными, поскольку они могут не иметь решений, а если имеют, то быть неединственными и неустойчивыми, т.е. не иметь непрерывной зависимости решения от входных данных. Это связано с тем, что искомые параметры, которые должны быть определены при решении обратных задач, не подчиняются законам сохранения, как это имеет место для потенциальных функций в прямых задачах. Кроме этого, все обратные задачи являются нелинейными, даже для линейных прямых задач, вследствие чего для их решения применяются только численные методы.

Решение обратных задач позволяет получить неизвестные характеристики различных процессов, описываемых дифференциальными и интегральными уравнениями, или характеристики, которые невозможно измерить, например, в телеметрии, диагностике и неразрушающем контроле.

В этой связи разработка устойчивых методов численного решения обратных задач вообще и задач, содержащих смешанные дифференциальные операторы, в частности, является весьма актуальной задачей.

К настоящему времени накопилось достаточно работ по обратным задачам для уравнений математической физики, среди которых следует отметить работы А.Н.Тихонова [171, 172], М.М.Лаврентьева [122], О.М.Алифанова [11, 207], О.М.Алифанова, Е.А.Артюхина, С.В.Румянцева [10], Дж.В.Бэка [210], М.Н.Оцизика и Ц.Х.Хуанга [224], М.Н.Оцизика и др. [227], И.К.Хонга, С.В.Баека [225], А.А.Самарского и П.Н.Вабищевича [161] и многих других. Однако работы по идентификации компонентов тензоров переноса потенциала полностью отсутствуют.

В перечисленных работах минимизация функционала невязки в основном построена на методе сопряженных градиентов. Для обратных задач на основе уравнений со смешанными производными этот метод становится чрезвычайно громоздким и по сравнению с методом, например, градиентного спуска просто увеличивает трудоемкость при оптимизации параметра спуска.

В диссертационной работе предложен и обоснован неявный градиентный метод восстановления граничных условий и компонентов тензора переноса как на основе полученных аналитических решений линейных задач, так и на основе новых численных методов решения нелинейных задач переноса потенциала.

Новые численные и аналитические решения прямых и обратных задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, в работе используются для математического моделирования процессов тепломассопереноса в анизотропных материалах, используемых в качестве тепловой защиты при аэрогазодинамическом нагреве ДА.

По численному моделированию процессов теплопереноса в изотропных средах имеются сотни публикаций, среди которых прекрасные монографии, учебники и статьи: Карслоу Г. и Егера Д. [56], А.В.Лыкова [124-127], Э.М.Карташова [57-59], Бермана Р. [22], М.Г.Бернадинера [24], В.С.Зарубина [52, 53], Ю.В.Полежаева, Ф.Б.Юревича, А.А.Шишкова [142— 144], Б.М.Галицейского, ВД.Совершенного, В.Ф.Формалева [34], Эккерта Э.Р. и Дрейка P.M. [197], В.Ф.Формалева и Е.Л.Кузнецовой [174-184], Г.И.Баренблатта [19]. За исключением работ [174-184] в перечисленных работах рассматривался тепломассоперенос в изотропных средах.

Среди работ по тепломассопереносу в композиционных материалах (КМ) в условиях фазовых превращений неизотермической фильтрации и т.п. следует отметить работы В.Ф.Формалева и его школы [77, 175, 176, 178, 181, 182, 185, 186], Ю.И.Димитриенко [43-46], монографию автора [92], монографию в соавторстве с В.Ф.Формалевым [181], работы Г.В.Кузнецова [120], Г.В.Кузнецова и В.П.Рудзинского [121], Н.Н.Головина и Г.Н.Кувыркина [38] и др.

В соответствии с изложенным формулируется следующая цель диссертационной работы:

Разработка математического аппарата на основе численных и аналитических методов решения прямых и обратных задач для уравнений параболического типа со смешанными дифференциальными операторами и применение его к математическому моделированию анизотропного тепломассопереноса.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложений с описанием программных комплексов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе изложенного можно сформулировать следующие основные результаты диссертационной работы:

1. Разработан и обоснован по аппроксимации и устойчивости новый класс экономичных абсолютно устойчивых методов расщепления численного решения задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, на основе апостериорной информации на верхних временных слоях и на более глубоком, чем в классических методах, расщеплении смешанных дифференциальных операторов.

2. Предложенные методы распространены на нелинейные уравнения, содержащие смешанные производные, в соответствии с чем проведен сравнительный анализ разработанных и классических методов расщепления на точном решении задачи для существенно нелинейного уравнения параболического типа со смешанными производными, показавший не только абсолютную устойчивость, но и более высокую точность предложенных методов по сравнению с классическими методами.

3. Впервые получен ряд аналитических решений задач для уравнений параболического типа со смешанными производными с граничными условиями 2-го и 3-го родов.

4. Разработана методология численного решения обратных граничных и коэффициентных задач для уравнений параболического типа со смешанными производными на основе неявного метода градиентного спуска и новых аналитических и численных методов.

5. Разработанный математический аппарат применен к методологии математического моделирования задач тепломассопереноса в анизотропных композиционных материалах (КМ), используемых в качестве теплозащитных для гиперзвуковых летательных аппаратов (ЛА). Математическая модель учитывает фазовые превращения внутри КМ с образованием новых фаз, неизотермическую анизотропную фильтрацию пиролизных газов, их вдув в пограничный слой, унос массы пористого остатка и многие виды нелинейностей.

6. Получен новый закон разложения связующих КМ, позволивший обойти химическую кинетику и тем самым применить его к большинству КМ, используемых в качестве теплозащитных, а также нелинейный закон фильтрации пиролизных газов. Эти законы замыкают комплексную математическую модель.

7. Разработаны комплексы программ многомерного нестационарного тепломассопереноса в анизотропных КМ и решения обратных граничных и коэффициентных задач в многомерных анизотропных средах. На основе этих программных комплексов впервые получены многомерные температурные поля и поля давления многомерной анизотропной фильтрации, а также восстановлены краевые условия и нелинейные компоненты тензора теплопроводности в анизотропных телах.

307

1. Абрашин В Н. Устойчивые разностные схемы для квазилинейных уравнений математической физики // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 11. С. 1967-1971.

2. Абрашин ВН., Асмолик В.А. О равномерной сходимости разностных схем с опережением для многомерных квазилинейных параболических уравнений// Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 12. С. 2217-2227.

3. Абрашин ВН., Асмолик В А О равномерной сходимости разностных схем с опережением для многомерных квазилинейных параболических уравнений. (Экономичные разностные схемы) // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. № 4. С. 684-696.

4. Абрашин В.Н, Иванова ЛИ. Разностные схемы для многомерных квазилинейных параболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1975. Т. 2. № 5. С. 889-899.

5. Абрашин В.Н, Лис В.И О разностных схемах для квазилинейных нестационарных задач // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. № 7. С. 1303-1311.

6. Абрашин В.Н, Лис В.И О разностных схемах для квазилинейных нестационарных задач // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. № 8. С. 1473-1486.

7. Абрашин В.Н, Матусевич А.В., Цурко В А. Разностные схемы сквозного счета для задач лучистой теплопроводности: Препринт N9/110. Минск: Институт математики АН БССР, 1981.

8. Авдуевский B.C., Галицейский Б.М., Глебов Г.А. и др. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. М.: Машиностроение, 1992, 624 с.

9. Адаме М.К. Последние достижения в теории абляции// Вопросы ракетной техники, 1960. № 4. С. 16-36.

10. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1988. 288с.

11. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов (введение в теорию обратных задач теплообмена). -М.: Машиностроение. 1979. 216с.

12. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер П Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир. 1990.

13. Андреев ВБ. О разностных схемах с расщепляющимся оператором для общих р-мерных параболических уравнений второго порядка со смешанными производными// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. Т. 7. № 2. С. 312— 321.

14. Андриевский P.A. Пористые металлокерамические материалы. М.: Металлургия. 1964. 292 с.

15. Аналитические методы в теории фильтрации и теплопроводности. -Киев. Изд-во института математики АН УССР. 1979. 234 с.

16. Аттетков A.B., Волков И.К., Тверская Е.С. Математическое моделирование процесса теплопереноса в экранированной стенке при осесимметричном тепловом воздействии// Изв. АН Энергетика. 2003. № 5. С. 75-88.

17. Аттетков A.B., Волков И.К. Математическое моделирование процесса теплопереноса в области с движущейся границей в условиях нестационарного теплообмена с внешней средой// Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. 1999. № 1. С. 37-45.

18. Бан А., Басиев К.С., Николаевский В.Н. Об основных уравнениях фильтрации в сжимаемых пористых средах// ПМТФ. 1961. № 3. С. 52-58.

19. Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде// ПММ. 1952. Т. 16. вып. 1.

20. Бахвалов НС., Жидков НИ, Кобельков ГМ Численные методы. М: Наука,1987.

21. Белов Г.В., Ерохин Б.Т., Киреев В.П. Композиционные материалы в двигателях летательных аппаратов. М.: Изд-во МГТУ. 1998. 344с.

22. Берман Р. Теплопроводность твердых тел. М.: Мир. 1979. 362с.

23. Берцун В.Н., Крицкий O.JI. К вопросу о математическом моделировании тепловых полей в средах с анизотропной теплопроводностью// Томск: Пеленг. 1998. С. 12-19.

24. Бернадинер М.Г. Численное решение стационарных задач нелинейной фильтрации. -М.: Наука, 1974. 234с.

25. Будак Б.М., Гольдман H.JI. и др. Метод выпрямления фронтов для решения задач типа Стефана в многомерном случае// В кн. Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ. 1967. Т. 8. С. 57-65.

26. Боровой В.Я. Исследование нагревания проницаемой поверхности в гиперзвуковом потоке газа при подаче жидкости с переменной вязкостью// Тр. ЦАГИ. 1969. вып. 1108. 32с.

27. Бобров И.Н., Курячий А.П. Об уравнении энергии процессов тепломассопереноса и фазовых превращений в пористых телах// ТВТ. 1994. Т. 32. № 3. С. 441-445.

28. Бояринцев В.И., Звягин Ю.В. Исследование разрушения углеграфитовых материалов при высоких температурах// ТВТ. 1975. Т. 13. № 5. С. 1045-1051.

29. Бураков В.А., Берцун В.Н., Крицкий O.JI. Сравнительный анализ численных методов решения нестационарной задачи анизотропной теплопроводности// Томск: Пеленг, 2001. С. 275—278.

30. Бураков В.А., Санду С.Ф. Численное моделирование нестационарного нагрева и термохимического разрушения углеграфитовых теплозащитных материалов в высокотемпературном двухфазном потоке// ТВТ. 1996. Т. 34. № 6. С. 909-913.

31. Бушуев Ю.Г., Персии М.И., Соколов В.А. Углерод-углеродные композиционные материалы. Справочник. -М.: Металлургия, 1994. 128с.

32. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М: ИЛ, 1963.

33. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. -М.: Изд-во МГТУ. 2001. 700с.

34. Галиценский Б.М., Совершенный В.Д., Формалев В.Ф. Тепловая защита лопаток турбин// М.: Изд-во МАИ, 1996 г. 356с.

35. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ. 1984. 112с.

36. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы: введение в теорию. М: Наука,1977.

37. Головин H.H., Кувыркин Г.Н., Цицин А.Г. Численное решение нестационарной осесиметричной задачи теплопроводности для анизотропного тела переменного объема// Проблемы прочности. 1988. № 12. С. 105-108.

38. Головин H.H., Кувыркин Г.Н. Численное моделирование нестационарных температурных полей в конструкциях из композиционных материалов при высокотемпературном нагружении// В тр. 2-ой Российской национальной конференции по теплообмену. 1998. Т. 7. С. 57-59.

39. Горский В.В., Полежаев Ю.В. Тепло- и массообмен на поверхности стеклопластика в высокотемпературном потоке воздуха// ИФЖ. 1973. Т. 24. № 3. С. 407^413.

40. Глущенко A.A. Некоторые пространственные задачи теории фильтрации. Киев: Изд-во Киевского ун-та. 1970. 192с.

41. Гребер Г., Эрк С., Григулль У. Основы учения о теплообмене. М.: ИЛ. 1958.468с.

42. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. -М.: Наука. 288с.

43. Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. М.: Машиностроение. 1997. 368 с.

44. Димитриенко Ю.И. Разрушение композиционных материалов при высоких температурах и конечных деформациях// Механика композиционных материалов. 1992. № 6. С. 1030-1042.

45. Димитриенко Ю.И. Осреднение процессов в периодических средах с фазовыми превращениями// Вопросы механики сплошных сред. Изд-во МГУ 1991. С. 72-84.

46. Димитриенко Ю.И., Епифановский И. С. Прогнозирование работоспособности теплостойких полимерных композиционных материалов на совмещенных связующих// Теплостойкие полимерные материалы и особенности производства изделий на их основе. М.: 1991. С. 85-90.

47. Дульнев Г.Н., Заришняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Л.: Энергия, 1974. 368с.

48. Дьяконов ЕГ. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для общих параболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. № 2. С. 17-26.

49. Дьяконов Е.Г. О применении разностных схем с расщепляющимся оператором для некоторых систем уравнений параболического и гиперболического типа// Сибирск. магем. журнал. 1965. Т. 6. № 3. С. 509-515.

50. Дьяконов ЕГ. Разностные методы решения краевых задач. Вып.2 (Нестационарные задачи). М: Изд-во МГУ, 1972.

51. Епифановский И. С. Композиционные углерод-углеродные материалы в конструкциях летательных аппаратов. М.: Изд-во МГТУ. 1993. 51с.

52. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкциях летательных аппаратов (методы расчета). — М.: Машиностроение, 1978. 184с.

53. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. -М.: Энергоатомиздат, 1983. 328с.

54. Зенкевич 0. Метод конечных элементов. М: Мир, 1977.

55. Зинченко В.И., Якименко A.C. Режимы термохимического разрушения углефенольного композиционного материала под действием теплового потока// Физика горения и взрыва. 1988. Т. 24. № 2. С. 141-149.

56. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 487с.

57. Карташов Э.М., Любов Б.Я. Аналитические методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности с движущимися границами// Изв. АН СССР, серия «Энергетика и транспорт». 1974. № 6. С. 83-111.

58. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. -М.: Высшая школа. 2001. 552с.

59. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами (обзор)// ИФЖ. 2000. Т. 74. № 2. С. 1-24.

60. Киреев В.И, Павлов Ю.А Ингегродифференциальные параболические сплайны в прикладных задачах формообразования поверхностей сложных промышленных изделий. // Вестник МАИ.2009. Т. 16. №З.С.252-261.

61. Ковеня ВМ, Тарнавский ГА, Черный СГ. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. Новосибирск: Наука, 1990.

62. Композиционные материалы. Справочник под ред. В.В.Васильева. В.Д.Протасов, В.В.Болотин и др. -М.: Машиностроение 1990. 512с.

63. Коршак В.В. Химическое строение и температурные характеристики полимеров. -М.: Наука, 1970. 401с.

64. Коршня Т.К., Тишкин В.Ф., Фаворский АЛ, Шашков М.Ю. Вариационный подход к построению разностных схем для уравнений теплопроводности на криволинейных селах: Препринт N1. М.: Институт прикладной математики им. Келдыша АН СССР, 1979.

65. Крицкий О. Л. Применение а ¡5 алгоритма для решения двумерных нестационарных задач анизотропной теплопроводности// В сб. статей Томск. Гос. ун-та «Исследования по баллистике и смежным вопросам механики» 1999. Вып. 3. С. 51-58.

66. Кряквина С.А. О точности схем переменных направлений для уравнения теплопроводности // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 3. С. 582-589.

67. Ким Л.В., Миков В.Л. Решение нестационарной теплопроводности в анизотропных средах// Деп. ВИНИТИ, № 642-В86. 1986. 19с.

68. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. М.: Мир. 1964. 302с.

69. Коновалов А.Н. Метод расщепления по физическим процессам в задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Изд-во НГУ. 1972. С. 42-49.

70. Клибанов М.В. Об одном классе обратных задач для нелинейных параболических уравнений// ДАН СССР. 1985. Т. 280. № 3. С. 533-536.

71. Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения и наилучшая параметризация. -М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ. 2010. 160с.

72. Кузнецова E.JI. Аналитическое исследование задач типа Стефана в композиционных материалах с двумя нестационарно подвижными границами// Вестник Саратовского государственного технического университета, №2(45), 2010. С. 24-31.

73. Кузнецова E.JI. Моделирование теплового состояния композиционных материалов на основе универсального закона разложения связующих // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Серия «Физ-мат науки». 2010. №5(21). С.170-178.

74. Кузнецова E.JI. Тепломассоперенос в композиционных материалах на основе нелинейного закона фильтрации// Известия РАН. Серия «Энергетика». 2011. № 1. С.40-46.

75. Кузнецова E.J1., Колесник С.А. Моделирование сопряженного теплообмена на границе анизотропных тел с использованием аналитических решений// Вестник Московского Авиационного Института. 2010. Т. 17. № 2. С. 121-126.

76. Кузнецова E.JI. Тепломассоперенос в теплозащитных композиционных материалах при высокотемпературном нагружении// Вестник Московского авиационного института. 2010. Т. 17. № 3. С. 30-36.

77. Кузнецова E.JI. Селин И.А., Формалев В.Ф. Задача типа Стефана с произвольным числом подвижных границ фазовых превращений// Вестник МГТУ им.Баумана. Серия «Естественные науки». 2010. 2(37). С. 49-57.

78. Кузнецова E.JI. ,Колесник С.А., Формалев В.Ф. Сопряженный теплообмен на границах композиционных анизотропных материалов//

79. Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. Т. 16. № 2. С. 232-240.

80. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. О тепловых волнах в нелинейном анизотропном пространстве// Инженерная физика. Серия «Теплофизика и тепломеханика». 2010. № 5. С. 43-47.

81. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Волновой теплоперенос в нелинейном анизотропном пространстве// Нелинейный мир. 2010. Т. 8. № 4. С. 208-212.

82. Кузнецова Е.Л. Численное моделирование тепломассопереноса в нелинейном двухфазном пространстве// Нелинейный мир. 2010. Т. 8. № 8. С. 497-508.

83. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Экономичный полностью неявный метод численного решения параболических уравнений содержащих смешанные производные// Вычислительные технологии. 2010. Т. 15. № 5. С. 72-80.

84. Кузнецова Е.Л. Аналитическое исследование нелинейного тепломассопереноса при пленочном охлаждении тел.// Нелинейный мир. 2010. № 10. С. 621-628.

85. Кузнецова Е.Л., Колесник С.А., Формалев В.Ф. Методология численного решения обратных граничных задач теплопереноса в анизотропных материалах на основе аналитического решения// Нелинейный мир. 2011. Т. 9. №2. С. 71-77.

86. Кузнецова Е.Л. Моделирование теплопереноса в нелинейном анизотропном пространстве на основе аналитического решения// Математическое моделирование. 2011. Т. 23. № 12. С. 21-30.

87. Кузнецова Е.Л. Восстановление характеристик тензора теплопроводности на основе аналитического решения задачи теплопереноса в анизотропном полупространстве// Теплофизика высоких температур. 2011. Т. 49. № 6. С. 1-8.

88. Кузнецова Е.Л., Колесник С.А. Восстановление тепловых потоков путем решения обратной граничной задачи теплопереноса в анизотропной полосе// Известия РАН. Серии «Энергетика». 2011. № 6. С. 196-203.

89. Кузнецова Е.Л., Колесник С.А. Обратная коэффициентная задача теплопереноса в анизотропном полупространстве// Известия РАН. Серия «Энергетика». 2011. № 4. С. 117-123.

90. Дзюба И. А. Разностные схемы метода переменных направлений для многомерных параболических задач математической физики. Препринт № 8 (408). Минск: Институт математики АН БССР. 1990.

91. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. -М.: Мир, 1968. 427с.

92. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Анализ погрешностей линеаризации лучистых тепловых потоков при высоких температурах// Нелинейный мир. 2011. Т. 9. № 10. С. 274-281.

93. Кузнецова Е.Л. Математическое моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах при высокотемпературном нагреве в элементах ракетно-космической техники. -М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ. 2010. 158с.

94. Кузнецова Е.Л. Уравнения параболического типа, содержащие смешанные производные и их приложение к теории тепломассопереноса в анизотропных средах. Учебное пособие для прикладных математиков и механиков. Издательство МАИ. 2011.103с.

95. Кузнецова E.JI. Новый подход к математическому моделированию тепломассопереноса в композиционных материалах при высокотемпературном нагружении// Инженерная физика. 2010. №11. С. 3-10.

96. Кузнецова E.JI. Новый подход к моделированию теплового состояния композиционных материалов на основе универсального закона разложения связующих// В тр. РНКТ-5, 2010. Т. 3. С. 255-259.

97. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф., Чипашвилли A.A. Численное моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах в условиях аэрогазодинамического нагрева// Тез. докл. на 3-й Межд. конф. «Авиация и космонавтика». Москва, 1-4 ноября 2004 г.

98. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф.Численное моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах при высокоинтенсивном тепловом нагружении// Тез. докл. на конф. «Авиация и космонавтика 2006 г.» Москва, октябрь 2006 г.

99. Кузнецова Е.Л., Федотенков Г.В., Формалев В.Ф. Численное моделирование плоской нестационарной задачи тепломассопереноса с подвижной границей разложения связующего в анизотропных телах//

100. Материалы докладов (VI школа-семинар молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова). «Проблемы тепломасообмена и гидродинамики в энерго-машиностроении. Казань, 16-18 сентября 2008 г., С. 279-282.

101. Научные исследования в области транспортных, авиационных и космических систем. «АКТ-2009» Воронеж 11-13 ноября 2009 г.

102. Кузнецова E.JI. Обратная коэффициентная задача теплопереноса в анизотропных телах на основе аналитического решения// Тезисы доклада XXXI Всероссийской конференции по проблемам науки и технологий МСНТ г. Миасс. 14-16 июня 2011 г.

103. Кузнецов Г.В. Механизм высокотемпературного разрушения стеклопластика в газовых потоках в условиях высоких давлений// ТВТ. 1998. Т. 36. № 1.С. 74-78.

104. Кузнецов Г.В., Рудзинский В.П. Высокотемпературный тепломассоперенос в слое кокса теплозащитных материалов// ТВТ. 2000. Т. 38. №4. С. 654-660.

105. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980. 288с.

106. Леонтьев А.И. Теория тепло- массопереноса. М.: Физматлит. 1998. 426с.

107. Лыков A.B., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массообмена. М.: Госэнергоиздат, 1969. 362с.

108. Лыков A.B. Явления переноса в капиллярно-пористых телах. М. -Л.: Гостехиздат, 1954. 264с.

109. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.600с.

110. Лыков A.B. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергия, 1978.480с.

111. Любов Б.Я., Соболь Э.М. Процессы теплопереноса при фазовых превращениях под действием интенсивных потоков энергии// ИФЖ. 1983. Т. 45. № 3. С. 670-676.

112. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. -М.: Наука, 1983. 426с.

113. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. 364с.

114. МарчукГ.И. Метода вычислительной математики. М: Наука, 1980.

115. Мадорский С., Самуэль JI. Термическое разложение органических полимеров. -М.: Мир, 1967. 328с.

116. Материалы и покрытия в экстремальных условиях. Взгляд в будущее в 3-х томах. Под ред. Резника C.B. М.: Изд-во МГТУ. 2002. Т. 2. 296с.

117. Музылев Н.В. О единственности одновременного определения коэффициентов теплопроводности и объемной теплоемкости// ЖВМ и МФ. 1983. Т. 23. № 1.С. 102-108.

118. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 576с.

119. Омельченко К.Г., Гавелов Н.В., Тимошенко B.JI. К исследованию тепломассопереноса в разлагающихся пористых материалах// ТВТ. 1974. Т. 12. № 4. С. 761-768.

120. Охлопков НМ Метод целых шагов решения многомерных нестационарных задач математической физики. Иркутск: Иркутский университет, 1983.

121. Павлюкевич Н.В., Горелик Г.Е. и др. Физическая кинетика и процессы переноса при фазовых превращениях. Минск, 1980, 324с.

122. Пасконов ВМ., Полежаев В.И, Чудов ДА Численное моделирование процессов тепло- и массообмена М: Наука, 1984.

123. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. -М.: Энергоатомиздат, 1984. 150с.

124. Пирумов У.Г. Численные методы. М.: Вагриус, 2004. 256с.

125. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. М.: Энергия, 1976. 392с.

126. Полежаев Ю.В., Шишков A.A. Газодинамические испытания тепловой защиты. М.: Промедак, 1992. 248с.

127. Полежаев Ю.В., Протасов М.В., Селиверстов Е.М. Обобщенный закон гидравлического сопротивления проницаемого слоя// ТВТ. 2003. Т.41. № 6. С. 970-972.

128. Пэдовен Д Нестационарное распределение температур в анизотропном полупространстве // Ракетная техника и космонавтика. 1973. № 4. С. 174-179.

129. Пэдовен Д Обобщенный метод Штурма-Луивилля решения нестационарной теплопередачи в анизотропной композиционной среде// Ракетная техника и космонавтика.1974. № 8. С. 190-193.

130. Пунь К.С., Цзоу P.C., Чжан Ю.П. Решение анизотропных задач первого класса методом преобразования координат// Теплопередача. 1979. № 2. С. 177-184.

131. Рихтмайер Р., Мортон К Разностные методы решения краевых задач. ML: Мир, 1972.

132. Романов ВГ. Обратные задачи математической физики. М: Наука. 1984.263с.

133. Розенсвейг P.E., Бичер Н. Теория процесса уноса массы феноловых смол, армированных стекловолокном// Ракетная техника и космонавтика. 1963. Т. 1. № 8. С. 53-62.

134. Самарский АА Экономичные разностные схемы для уравнений параболического типа со смешанными производными// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. № 4.С.753-759.

135. Самарский АА Локально-одномерные разностные схемы для многомерных уравнений гиперболического типа в произвольной области// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. № 4. С. 638-648.

136. Самарский АА Теория разностных схем. М: Наука. 1983.

137. Самарский АА, Гулин AB. Устойчивость разностных схем. М: Наука 1973.

138. Самарский АА, Николаев ЕС. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука 1978.

139. Самарский АА., Попов ЮЛ Разностные схемы газовой динамики. М: Наука

140. Самарский А А., Фрязинов ИВ. О разностных схемах решения задачи Дирихле в произвольной области для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. Т. 11. № 2. С. 385410.

141. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Физматлит. 1989. 430с.

142. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач «конвекция-диффузия». -М.: Физматлит, 1999. 452с.

143. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. -М.: Едиториал УРСС, 2003. 784с.

144. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Изд-во ЛЕСИ. 2009. 480с.

145. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. -М.: Физматлит, 1960. 368с.

146. Сафронов ИД Разностная схема с диагональными направлениями прогонок для решения уравнения теплопроводности// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т. 5. № 2. С. 347-350.

147. Сафронов ИД К разностному решению уравнения теплопроводносш в криволинейных координатах// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. Т. 3. № 4. С. 786.

148. Сегерлинд Л Применение метода конечных элементов. М: Мир, 1979.

149. Сендерович РБ., Первушин Ю.С. К определению теплофизических характеристик композиционных полимерных материалов// ИФЖ. 1985. Т. 49. № 6. С. 982— 989.

150. Скала С.М., Гильберт Л.М. Тепловое разрушение обугливающегося пластика при гиперзвуковых полетах// Ракетная техника. 1962. № 6. С. 72-83.

151. Соболев Н.В., Кавун Т.Н., Киселев Б.А. и др. Изменение свойств стекло- и карбонаполненных полимеров в процессе пиролиза// Композиционные материалы. -М.: Наука, 1981. С. 244-247.

152. Страхов В.Л., Леонова С.И., Геращенко А.И. Некоторые результаты определения температурных зависимостей теплофизических характеристик композиционных полимерных материалов// ИФЖ. 1977. Т. 33. №6. С. 1047-1051.

153. Тихонов АН, Самарский АА. Уравнения математической физики. М.: Наука,1972.

154. Тихонов АН, Арсенин BJL Методы решения некорректных задач. М: Наука, 1979.288с.

155. Тихонов АН., Гончарский АВ., Степанов В.В., Ягола АГ. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. -М: Наука, 1983.198с.

156. Тишкин В.Ф., Фаворский А.П, Шашков МЮ. Алгоритм численного решения второй краевой задачи для уравнения теплопроводности на непрямоугольной сетке: Препринт № ИЗ. М: Институт прикладной математики им. Келдыша АН СССР, 1978.

157. Формалев В.Ф., Федотенков Г.В., Кузнецова Ек.Л. Общий подход к моделированию теплового состояния композиционных материалов при высокотемпературном нагружении// Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. Т. 12. № 1. С. 141-156.

158. Формалев В.Ф., Федотенков Г.В., Кузнецова Ек.Л. Теплоперенос в условиях фазовых переходов в телах с анизотропией свойств// Теплофизика высоких температур. 2006. Т. 44. № 5. С. 756-763.

159. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л. Многомерный теплоперенос при наличии фазовых переходов в анизотропных композиционных материалах// Механика композиционных материалов и конструкций. 2007 г. Т. 13. № 4. С.129-141.

160. Формалев В.Ф., Колесник С.А., Кузнецова Е.Л. Влияние продольной неизотермичности на сопряженный теплообмен между пристенными газодинамическими течениями и затупленными анизотропными телами// Теплофизика высоких температур. 2009. Т. 47.№ 2 С.247—253.

161. Формалев В.Ф., Кузнецова E.JI. Селин И.А. Возникновение и распространение тепловых волн в нелинейном анизотропном пространстве// Известия РАН. Серия «Энергетика». 2010. № 3. С. 136-141.

162. Формалев В.Ф., Кузнецова E.J1. Селин И.А. Моделирование тепловых волн в нелинейном анизотропном пространстве// Вестник Самарского государственного технического университета. 2010. № 1(20). С. 239-243.

163. Формалев В.Ф., Кузнецова E.JI. Тепломассоперенос в анизотропных телах при аэрогазодинамическом нагреве. М.: МАИ-ПРИНТ. 2011. 300с.

164. Формалев В.Ф., Ревизников Д.А. Численные методы. М.: Физматлит. 2004. 400с.

165. Фрязинов ИВ. Об одной аппроксимации смешанных производных// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1975. Т. 15. № 3. С. 644-660.

166. Фрязинов ИВ. Об экономичных разностных схемах для двумерного уравнения теплопроводности со смешанными производными// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1976. Т. 16. № 4. С. 908-929.

167. Фрязинов ИВ. Схемы переменных направлений для параболического уравнения со смешанными производными в криволинейной области: Препринт № 92. М: Институт прикладной математики им. Келдыша АН СССР, 1978.

168. Черников АА. Применение явных разностных методов для решения нелинейных и многомерных линейных уравнений в частных производных: Авгореф. дис. на соиск уч. степ. канд. физ.-мат. наук М.: Изд-во МАИ, 1987.

169. Чжан Ю.П., Цзоу Р.Ц. Теплопроводность в анизотропной среде, однородной в цилиндрических областях// Теплопередача. 1977. № 1. С. 42— 51.

170. Чжан Ю.П., Пунь К.Ц. Трехмерная установившаяся теплопроводность в цилиндрах из материала с анизотропией свойств общего вида// Теплопередача. 1979. № 3. С. 203-210.

171. Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. -М.: Гостехиздат, 1960. 252с.

172. Шленский О.Ф., Афанасьев Н.В., Шашков А.Г. Терморазрушение материалов. -М.: Энергоатомиздат, 1996. 288с.

173. Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. -Новосибирск: Наука, 1979.

174. Эккерт Э.Р., Дрейк P.M. Теория тепло- и массопереноса. М.: Госэнергоиздат, 1961. 356с.

175. Якимов A.C. Расчет характеристик теплообмена в композиционном материале// ТВТ. 1998. Т. 36. № 1. С. 59-61.

176. Якимов АС. Об одном методе расщепления// Численные методы механики сплошных среды. 1985. Т. 16. №2. С. 144-161.

177. Яненко НН Об одном разностном методе счета многомерного уравнения теплопроводности // Докл. АН СССР. 1959. Т. 125. №6. С. 1034-1036.

178. Яненко НН О неявных разностных методах счета многомерного уравнения теплопроводности//Изв. высш. учебн. заведений. 1961. Т. 4. № 23. С. 148-157.

179. Яненко НН О сходимости метода расщепления для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2. № 5. С. 933-937.

180. Яненко НН Метод дробных шагов решения многомерных задач маг тематической физики. Новосибирск: Наука, 1967.196с.

181. Яненко НН, Сучков В.А, Погодин ЮЛ. 0 разностном решении уравнения теплопроводности в криволинейных координатах// Докл. АН СССР. 1959. Т. 128. № 5. С. 903-905.

182. Янкелев Л.Ф., Гусева ЛИ Метод одновременного определения коэффициента теплопроводности и объемной теплоемкости, зависящих от температуры// ИФЖ. 1975. Т. 28. №4. С. 652-656.

183. Abarbanel S., Gottlieb D. Optimal time splitting for two and three dimensional Navier-Stokes equations with mixed derivatives// J. Corp.Phys. 1981. V.41. №2.

184. Alifanov O.M. Inverse Heat Transfer Problems, Springer Verlag, Berlin, 1994.

185. Baker GA An implicit numerical method for solving the n-di-mensional heat equation // Quert Appl. Math. 1960. V. 17. № 4. P.440-442.

186. Baker G.A., Oliphant TA An implicit numerical method for solving the two-dimensional heat equation // Quert Appl. Maih. 1960. V. 17. №4. P. 361-375.

187. Beck J.V., Blackwell B., St Clair CJt Inverse Heat Conduction. Hl-posed Problems. -N-Y: A. Wiley-Interscience Publication. 1985.308p.

188. Beliaev A. Nonlinear Darcy law in a random porous medium// Berdichevcky V. etal. eds. Homogenisation. Singapore, 1999. P. 107-132.

189. Beliaev A., Kozlov S. Darcy equation for random porous media// Comm. Pure Appl. Math. 1996. № 49. P. 1-34.

190. Biikhof G., Vaiga R., Young D. Alternating direction implicit methods// Advances in Coip. N.Y. Academic Press. 1962. V. 3. P. 189-273.

191. Brian P.L.I. A finite difference method of high order accuracy for the solution of three-dimensional heat conduction problem // A.I.Ch.EJ. 1961. V. 7. P. 367-370.

192. Chang-YP.,TsouR.C.//ASME Journal ofHeat Transfer. 1977. V.99.№ l.P. 42-49.

193. Chen Y.K., Milos F.S. Ablation and thermal response program for spacecraft heatshield analysis// AIAA Paper. 1980. № 1488. 8p.

194. Douglas J. On numerical integration of d2u/dx2+d2u/dy2=^du/dt by implicit methods// SIAMJ. 1955. №9. P. 42-65.

195. Douglas J., Rachfoid H On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables // Trans. Amer. Math. Soc. 1956. V. 82. № 2. P. 421-434.

196. Douglas J., Gunn JE. Alternating direction methods for parabolic systems in m-space variables // J. Assoc. Compel Machinery. 1962. V. 9. № 4. P. 450-456.

197. Douglas J., Gunn JE. A general formulation of alternating direction methods. Parti Parabolic and hyperbolic problems// Numer. Math. 1964. V. 6. № 5. P. 428-453.

198. Du Fort E.C., Frankel SP. Stability conditions in the numerical treatment of parabolic differential equations// Math. Tablesand other Ads Comput 1953. V. 7. №43.P. 135-152.

199. Eckert E.P., Drake R.M. Heat and Mass Transfer. Mc Graw Hill, New York, 1972.

200. Houwen P J., Sommeijer BP., Verwer J.G. Comparing time integrators for parabolic equations in two space dimensions with mixed derivatives// Journal of computational and applied mathematics. 1979. V. 5. № 2. P. 73-83.

201. Huang C.H, Ozisik N. Inverse problem of determining unknown wall heat flux in laminar flow through parallel plate duct// Numerica Heat Transfer, Vol.21,pp. 55-70,1992.

202. Hong Y.K., Baek S.W. Inverse analysis for estimating the unsteady inlet temperature distribution for two-phase laminar flow in a channel// Int J. of Heat and Mass Transfer, Vol. 49, pp. 1137-1147.2006.

203. Iyengar Sateelure R.K., Jain M.K. Comparative study of two and three level ADI methods for parabolic equations with a mixed derivative// Int. J. Numer. Meth. Eng. 1976. V.10. №6.

204. Jarny V., Ozisik M.N., Bardon J.P. A general optimization method using an adjoint equation for solving multidimensional inverse heat conduction// Int. J. Heat and Mass Transfer, Vol. 34, pp. 2911-2919. 1991.

205. Kellog R An alternating1 direction method for operator equations// J. Soc. Industr. Appl. Math. 1964. V. 12. № 4. P. 848-854.

206. Lax P.D., Richtmyer RD. Survey of the stability of linear finite difference equations// Commun. Pure Appl. Math. 1956. V. 9. № 2. P. 267-293.

207. Lees M Alternating direction and semi-explicit difference methods for parabolic partial differential equations// Numer. Math. 1961. V. 3. № 5. P. 398-412.

208. Lin Pengcheng. An explicit difference scheme for solving parabolic equations with mixed derivatives// Tao^h ckqcho u3Hcy-aHL inycrco cK»6ao, Numer. Math. J. Chin. Univ. 1983. V.5. №3. P. 281-285.

209. Marchuk G., Kuzin V. On the combination of finite elements and splitting-up methods in the solution of parabolic equations // J. Corp. Phys. V. 52. № 2.

210. Mckee S., Mitchell A Alternating direction methods for parabolic equation in two space dimensions with a mixed derivative // The Computer Journal. 1970. V. 13. № 1.

211. Morris J.LI. On the numerical solution of heat equation associated with a thermal print head // Journal of computational physics. 1971. V. 7. P. 102-119.

212. Morris J.LI., NIcoll I.F. The efficient computation of Ihe heat distributions in a 5x5 matrix thermal print head // Journal of computational physics. 1974. V. 15. P. 188-199.

213. Morris ILL, Nicoll I.F. Hopscotch methods for an anisotropic thermal print head problem // Journal of computational physics. 1973. V. 13. P. 316-337.

214. Padovan J.// AIAA Journal. 1973. V.ll. № 4. P. 565-566.

215. Peaceman D., Rachford H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // SIAM 1955. V. 3. № 1. P. 23-42.

216. Park HM, Chung O.Y. An inverse natural convection problem of estimating the strength of aheat source// Int J. ofHeat and Mass Transfer, Vol. 42, pp. 4259-4273.1999.

217. Robertson S.R. A finite difference formulation of the equation of heat conduction in generalized coordinates //Numer. Heat Transfer. 1979. V. 2. P. 61-80.

218. Rachford H. Rounding errors on alternating direction methods for parabolic equations// Appl. Mathematics. 1968. vol. 3. № 2.

219. Sallivan J.M., Kobayashi W.S. Spalation modeling in the cherring matherial thermal response and ablation computer program// AIAA Pap. 1987. № 1516. p. 1-6.

220. Scala S.M., Gilbert L.M. Thermal degradation of a char forming plastics during supersonic flight// ARSJ. 1962. № 6.

221. Satage R.T., Love W., Blotscher F. High Temperature Perfomance of Flexible Thermal Protection Matherials// AIAA Paper. 1984. № 1770. 9 p.

222. Shin P.K., Zwan A.D., Kelley H.N. Thermal Protection System Optimization for a Hypersonic Aerospace Vehicle// AIAA Paper. 1988. № 2839. 9 p.

223. Young R.W. Sensitivity of thermomechanical response to thermal boundary conditions and matherial constans// Int. J. Sol. Str. 1979. vol. 15. № 7. p. 513-517.

224. Verwer J.G., De Vries HJB. Global extrapolation of a first order splitting method// SIAM J. Sci. and Statist Coip. 1985. V. 6. № 3.

225. Zeng Wenping. Two classes of explicit diffenence'schemes for solving parabolic partial differential equation in higher dimension with mixed derivatives// Tao^H acocao D3HcyaHb iny-ckd cfcoSao, Numer. Malh. J. Chin. Univ. 1985. V. 7. № 2. P. 177-182

226. Ziering M.B. Thermochemical ablation of ceramic heat shields// AIAA Jorn. 1975. № 13. p. 610-616.

227. Greenwood T.F., Lee Y.C., Bender R.L., Carter R.E. Space shattle base heating// J. Spacecraft and Rockets. 1984. vol. 21. № 4. p. 339-345.

228. Ho C.Y., Powell R.W., Liley P.E. Thermal Conductivity of Selected Matherials. Part 2. Washington: US Government Printing Office. 1968. pp. 129133.