автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы решения нестационарных краевых задач анизотропной теплопроводности

Введение.

1. Аналитический обзор работ по численному решению уравнения теплопроводности с полным тензором и постановка задачи.

1.1. Аналитические методы.

1.2. Прямые методы.

1.2.1. М етод дробных шагов.

1.2.2. Метод слабой аппроксимации.

1.3. Итерационные методы.

1.4. Общая математическая постановка нестационарной краевой задачи теплопроводности в областях с анизотропией.

2. Двумерный алгоритм нелинейных итераций прогоночных коэффициентов.

2.1. Описание итерационного алгоритма.

2.2. Векгорно-матричная запись « а - Р » процесса.

2.3. Сходимость и устойчивость итерационного алгоритма.

3. Трехмерный алгоритм нелинейных итераций прогоночных коэффициентов.

3.1. Описание итерационного алгоритма.

3.2. Векторно-матричная запись « а - (3» процесса.

3.3. Сходимость итерационного алгоритма.

4. Сравнительный анализ численных методов решения нестационарной краевой задачи анизотропной теплопроводности.

4.1. Анализ методов решения двумерной задачи анизотропной теплопроводности.

4.1.1. Постановка тестовых задач.

4.1.2. Сравнение метода « а - Р » итераций с методами неполной факторизации ЯМБ-2 и НМБ-2.

4.1.3. Сравнение метода « а - Р » итераций с методами скалярной и матричной прогонки

4.2. Анализ методов решения трехмерной задачи анизотропной теплопроводности.

4.2.1. Постановка тестовых задач.

4.2.2. Сравнение метода « а - Р » итераций с Я М Б-3.

Актуальность работы

Математическое моделирование тепловых полей в анизотропных композиционных материалах, превосходящих по различным параметрам металлы и сплавы, является актуальной задачей для современной техники. Их широкое распространение обусловливает развитие соответствующего математического аппарата, однако влияние анизотропии расчетных областей на вид тепловых полей изучено недостаточно.

В настоящее время для численного решения многомерных параболических уравнений общего вида чаще всего используют прямые методы, такие как метод дробных шагов или слабой аппроксимации. Тем не менее, их применение затруднено из-за того, что производная по нормали от функции температуры на границе не совпадает с направлением вектора теплового потока, вследствие чего возникают сложности адекватного учета граничных условий и трудноеттт получения абсолютно устойчивой разностной схемы на каждом полуинтервале по времени.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка с разреженными матрицами специальной структуры, возникающих из сеточных аппроксимаций многомерных краевых задач, эффективным средством стали итерационные алгоритмы. Их главными достоинствами являются высокая практическая экономичность и широкие возможности конструирования адаптивных алгоритмов для различных классов уравнений.

11остроенито различных итерационных алгоритмов посвящено большое количество работ, однако вопросы их использования для расчетов нестационарных уравнений анизотропной теплопроводности с граничными условиями третьего рода, а так же конструирования быстросходящихся итерационных процессов являются малоизученными и практически важными.

Цель работы математическое моделирование теплового состояния анизотропных сред, которое включает разработку алгоритма численного решения нестационарной краевой задачи теплопроводности общею вида, записанной в двух- и трехмерной области, доказательство сходимости и устойчивости построенного метода в рамках модели, а так же выявление класса параболических уравнений, для которых применение этого метода высокоэффективно.

Научная новизна

В работе модифицирован двумерный стационарный итерационный процесс. Модификация заключается в обобщении известных в литературе формул ведения нелинейных итераций пригоночных коэффициентов на нестационарный случай, в записи краевых условий третьего рода с учетом анизотропии расчетной области и в агптроксимащт их с повышенным порядком по пространству. Разработан эффективный трехмерный нестационарный итерационный алгоритм для расчета параболического уравнения с постоянными теплофизическими характеристиками с учетом анизотропии области. Получены условия и доказана сходимость построенных методов, выявлены оптимальные ио скорости сходимости и по количеству итераций области их применения. Краткое содержание

Диссертационная работа состоит из четырех глав, введения и заключения.

Первая глава посвящена обзору работ и постановке задачи. Для удобства работы с литературой он был весь разделен на несколько частей, каждая из которых посвящена отдельной теме. В первом пункте приведен общий обзор по аналитическим, во втором - по прямым, а в третьем - по итерационным методам решения параболических уравнений со смешанными производными. В четвертом пункте приводится физическая постановка третьей нестационарной краевой задачи теплопроводности в трехмерной области, заданной в произвольной криволинейной системе. Записаны частные случаи для цилиндрической, сферической и декартовой систем координат.

Во второй главе представлены результаты исследования модифицированного нелинейного " а - Р " алгоритма, использованного в дальнейшем для решения нестационарной краевой задачи теплопроводности в двумерной анизотропной области. Осуществляется построение итерационного метода, приводится его .запись в матричном виде, рассматривается вопрос об устойчивости и сходимости алгоритма.

В третьей главе построен новый неявный нелинейный метод «а - р » итераций. Он применен к трехмерному параболическому уравнению общего вида, дополненному краевыми условиями третьего рода. Приводится запись алгоритма в матричном виде, рассматривается вопрос о сходимости процесса.

В четвертой главе проводится сравнительный анализ с методами неполной факторизации (ЯМБ-2, НМБ-2, ЯМБ-3), методом дробных шагов и матричной прогонки, а так же сравниваются результаты расчетов, полученные в настоящей работе, с результатами других авторов.

Основные научные положения, полученные автором и выносимые на защиту: многомерные алгоритмы нелинейных итераций прогоночных коэффициентов, примененные для решения девятиточечных, девятнадцатиточечных и двадцатисемиточечных разностных систем уравнений; технология организации вычислительного процесса и построения итерационных процедур для модифицированного и обобщенного « а -13 » алгоритма; доказательство сходимости и устойчивости этих методов; исследование влияния степени анизотропии расчетной области на скорость сходимости.

Методика исследований

Теоретическая ценность работы: построен новый и модифицирован известный нелинейный итерационный процесс, в которых учтено наличие на границе внешней нормальной производной от функции температуры. Они позволяют проводить расчет тепловых полей в двухмерных и трехмерных анизотропных областях. Сконструированные алгоритмы впервые записаны в матричном виде, что позволило получить условия и доказать теоремы, гарантирующие их сходимость.

Практическая ценность работы: полученные результаты и разработанные методики могут быть использованы при выборе численного метода решения многомерных нестационарных задач анизотропной теплопроводности с краевыми условиями третьего рода. Могу ч бьггь рассчитаны оптимальные по глубине прогрева значения теплофизических характеристик композиционных материалов, составляющих некоторую геометрическую область заданной конфигурации, и найден вид теплового поля, что позволяет заранее прогнозировать их свойства и использовать указанные программы для проведения опьттно-конструкторских разработок.

Реализация и внедрение

Результаты работы (программная реализация двух- и трехмерного алгоритма нелинейных итераций прогоночных коэффициентов) внедрены в ООО «Эконофизика-Томск».

Апробация работы

Результаты проведенных исследований докладывались на следующих конференциях и семинарах:

• на международной конференции " Третий Сибирский конгресс по индустриальной и прикладной математике (ИНПРИМ-98), посвященный памяти С.Л. Соболева (1908 - 1989 гг.)" (ИМ СО РАН, Академгородок, г. Новосибирск, 1998 г.), па межрегиональной конференции "Исследования но анализу и алгебре" (ТГУ, г. Томск, 1998 г.).

• на Второй Сибирской школе-семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред" (ИГЛ СО РАН, Академгородок, г. Новосибирск, 1998 г.),

• на научно-практической конференции "Сибирская иткола молодого ученого" (ТГ11У, г. Томск, 1998 г.),

• на Третьем международном научно-техническом симпозиуме КОРУС - 99 (НГТУ, Ака-демхородок, г. Новосибирск, 1999 г.),

• на Общероссийской научной конференции молодых ученых "Фундаментальные прикладные проблемы современной механики" (НИИТТММ, г. Томск, 1999 г.),

• на Втором Всероссийском семинаре "Моделирование неравновесных систем" (Красноярск, Академгородок, ИВМ (ВЦ) СО PAII, 1999 г.),

• на Четвертом минском международном форуме по тепло - и массообмену (Минск, Институт тепло - и массообмена нм. А. В. Лыкова НАНБ, 2000 г.),

• на Третьем Всероссийском семинаре "Моделирование неравновесных систем-00" (Красноярск, Академгородок, ИВМ (ВЦ) СО РАН, 2000 г.),

• па конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, Академгородок, ИВТ СО РАН, 2000 г.),

• на международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, КГУ, 2001 г.).

Основные результаты исследований были отмечены на следующих всероссийских и региональных конкурсах:

• конкурс научных работ студентов, аспирантов, молодых специалистов "Академического университет" 1998 года, посвященный 120 - легию университетского образования в Сибири и 50 - летшо ММФ ТГУ;

• конкурс научных работ студентов и аспирантов ТГУ в области технической физики и баллистики, проводимый в рамках проекта "Система выявления и поддержки талантливой молодежи на основе интеграции фундаментальной науки и высшего образования" на базе "Академического университета" по итогам 1999 года;

• конкурс "Обеспечение участия талантливых молодых исследователей университетов в международных конференциях по фундаментальным проблемам математических и естественных наук" федеральной целевой программы "Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997 - 2000 годы", имеющей статус президентской программы (ФЦП "Интеграция");

• конкурс молодых ученых ТГУ 2000 г., проводимый в рамках проекта "Система выявления тт поддержки талантливой молодежи на основе интеграции фундаментальной науки и высшего образования" на базе "Академического университета";

• конкурс «Поддержка обучения и стажировок наиболее способных студентов и аспирантов в российских научных школах мирового уровня» федеральной целевой программы "Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 2001 год", имеющей статус президентской программы (ФЦП "Интеграция"). Стажировка проходила в Институте Вычислительного Моделирования СО РАН (г. Красноярск) под руководством доктора физико-математических наук, профессора Быкова Валерия Ивановича.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Материалы, изложенные в диссертации, опубликованы в /76-86/.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Построены нестационарные нелинейные итерационные процессы, учитывающие наличие на границе внешней нормальной производной от функции температуры. Двумерный алгоритм является модификацией известного в литературе стационарного метода " ос - Р" итераций. Трехмерный итерационный процесс является его обобщением.

2. На основе записи итерационных процессов в векторно-матричной форме и сведения их к каноническому виду получены условия и доказаны теоремы, гарантирующие устойчивость и сходимость алгоритмов.

3. Анализ методов вариационного типа, неполной факторизации и " а - Р" алгоритмов показал, что по сравнению с первыми неявные методы нелинейных итераций дают существенный выигрыш в скорости сходимости, но проигрывают по количеству арифметических операций, затрачиваемых на одну итерацию. Тем не менее, по сравнению с другими итерационными процессами общее время расчета двухмерной краевой задачи анизотропной теплопроводности сократилось более чем в 1,2 раза, а трехмерной - более чем в два раза.

4. Показано, что применение двух- и трехмерных "а-Р" процессов для численного интегрирования параболических уравнений, дополненных краевыми условиями третьего рода, высокоэффективно для областей со степенью анизотропии 10 < ст < 200.

Автор выражает свою глубокую благодарность научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Берцуну В.Н., а так же доктору физико-математических наук, профессору Буракову В. А. и научному консультанту доктору физико-математических наук, профессору Быкову Валерию Ивановичу за постоянное внимание, помощь в работе, обсуждение результатов и ценные замечания.

1. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968 г.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: издательство МГУ, 1999 г.

3. Полянин А.Д., Вязьмин А.В., Журов А.И., Казенин Д.А. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса. М.: Факториал, 1998 г.

4. Формалев В.Ф., Тюкин О.А. Исследование температурных полей на основе аналитического решения двумерной задачи анизотропной теплопроводности// Теплофизика высоких температур, 1994, т. 32, №4, с.518-524.

5. Формалев В.Ф., Тюкин О.А. Исследование трехмерной нестационарной теплопроводности в анизотропных телах на основе аналитического решения// Теплофизика высоких температур, 1998, т.Зб, №2, с. 239-245.

6. Формалев В.Ф., Москаленко А.А. Аналитическое решение трехмерной нестационарной задачи теплопроводности с тензором теплопроводности// Дифференциальные уравнения, 1990, т.26, №7, с. 1277.

7. Пэдовен Д. Распределение температур в анизотропных оболочках вращения// Ракетная техника и космонавтика, 1972, т.10,№1,с. 71-76.

8. Пэдовен Д. Нестационарное распределение температур в анизотропном полупространстве//Ракетная техника и космонавтика, 1973, т. 11, №4, с. 174-176.

9. Пэдовен Д. Обобщенный метод Штурма Лиувилля решения нестационарной теплопередачи в анизотропной композиционной среде// Ракетная техника и космонавтика, 1974, т. 12, №8, с. 190-192.

10. Пунь К.С., Цзоу Р.Ц., Чясан Ю.П. Решение анизотропных задач первого класса методом преобразования координат// Теплопередача, 1979, т. 101, №2, с. 177-183.

11. Чжан Ю.П., Пунь К.С. Трехмерная установившаяся теплопроводность в цилиндрах из материала с анизотропией свойств общего вида// Теплопередача, 1979, т. 101, №3, с.203-209.

12. Цой П.В. Методы решения отдельных задач тепломассопереноса. М.: Энергия, 1971 г.

13. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Сергеев С.К., Назаренко Д.К. Аналитические решения задач взаимосвязанного тепломассопереноса для многослойных конструкций// Тепломассообмен. ММФ-2000. Минск: АНК ИТМО им. А.В. Лыкова НАНБ, 2000, т.З, с. 402-406.

14. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967 г.

15. Яненко Н.Н. Об одном разностном методе счета многомерного уравнения теплопроводности//ДАН СССР, 1959, т. 125, №6, с. 1207-1210.

16. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988 г.

17. Формалев В.Ф., Тюкин О.А. Неявный экономичный метод численного решения задач, содержащих смешанные производные// Математическое моделирование, 1996, т. 8, №6, с. 27-33.

18. Формалев В.Ф. Метод переменных направлений с экстраполяцией по времени для параболических задач со смешанными производными// Вычислительные технологии, 1996, т. 1, №2, с. 99-104.

19. Формалев В.Ф. Численное моделирование процессов нелинейной анизотропной теплопроводности при сложном теплообмене// Депонировано в ВИНИТИ, №712-В89, 1989 г.

20. Формалев В.Ф. Численное исследование сопряженного теплообмена в условиях фильтрации и пленочного охлаждения затупленных анизотропных тел// Теплофизика высоких температур, 1992, т. 30, №2, с. 334-344.

21. Формалев В.Ф. Численное исследование двумерных нелинейных задач теплопроводности в анизотропных телах// Теплофизика высоких температур, 1988, т. 26, №6, с. 1122-1128.

22. Формалев В.Ф. Исследование сопряженного теплообмена между пограничным слоем и телами с анизотропией свойств/ЛГеплофизика высоких температур, 1999, т.37,№5, с. 772-778.

23. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972 г.

24. Doglas J.(Jr), Gunn J.E. A general formulation of alternating direction methods. Part 1. Parabolic and hyperbolic problems. Numerical Mathematics, 1964, V.6, pp.428-453.

25. McKee S., Mitchell A. Alternating direction method for parabolic equations in two space dimensions with mixed derivative// Computer Journal, 1970, V.13, №1,pp.81-86.

26. Яненко H.H. Избранные труды: математика, механика. М.: Наука, 1991 г.

27. Ковеня В.М., Тарнавский Г.А., Черный С.Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. Новосибирск: Наука, СО, 1990 г.

28. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Методы расщепления в задачах газовой динамики. М.: Наука, 1981 г.

29. Шокин Ю.И., Федотова З.И. О достижениях в теории разностных схем// Вычислительные технологии, 1999, т.4,№5, с.56-70.

30. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976 г.

31. Егоров А.А., Жадаева Н.Г. Схемы расщепления полной аппроксимации в методах декомпозиции области//Математическое моделирование, 2000, т. 12, №2, с. 35-45.

32. Абрашин В.Н. Об одном варианте метода переменных направлений решения многомерных задач// Дифференциальные уравнения, 1990, т. 26, №2, с. 314-323.

33. Жадаева Н.Г. Многокомпонентный вариант метода переменных направлений для эволюционных задач// Дифференциальные уравнения, 1992, т.28, №7, с. 1218-1230.

34. Дьяконов Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных задач// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1962, т.2, №4, с. 549-568.

35. Ковеня В.М., Лебедев А.С. Модификация метода расщепления для построения экономичных разностных схем// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1994, т. 34, №6, с. 886-897.

36. Мучинский А.Н., Цурко В.А. Аддитивные разностные схемы для решения уравнений параболического типа со смешанными производными// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1993, т.ЗЗ, №3, с .395 403.

37. Фрязинов И.В. Об экономичных разностных схемах для двумерного уравнения теплопроводности со смешанными производными// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1976, т. 16, №4, с. 908-921.

38. Фрязинов И.В. О разностной аппроксимации граничных условий для третьей краевой задачи// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1964, т.4, №6, с. 1106-1111.

39. Фрязинов И.В. Экономичные схемы для уравнения теплопроводности с краевым условием третьего рода// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1972, т.12,№3, с. 612-626.

40. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС, 1999 г.

41. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск: издательство ИММ РАН, ИМНАНБ, 1998 г.

42. Самарский А. А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978 г.

43. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.: Наука, Физматлит, 1995 г.

44. Булеев Н.И. Пространственная модель турбулентного обмена. М.: Наука, 1989 г.

45. Вабищевич П.Н. Численное моделирование. М.: Наука, 1993 г.

46. Четверушкин Б.Н. Об одном игерационом алгоритме решения разностных уравнений// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1976, т. 16, №2, с. 519— 524.

47. Волчинская М.И., Четверушкин Б.Н. Об одном итерационном методе решения двумерных уравнений диффузии излучения// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1977, т. 17, №2, с. 428-436.

48. Волчинская М.И., Четверушкин Б.Н. Решение двумерных нестационарных задач радиационной газовой динамики// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1979, т. 19, №5, с. 1262-1275.

49. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. М.: Наука, 1985 г.

50. Четверушкин Б.Н., Чурбанова Н.Г. О применении принципа геометрического параллелизма для (ос 0) итерационного алгоритма// Математическое моделирование, 1991, т.З, №3, с. 123-130.

51. Елизарова Т.Г., Четверушкии Б.Н. Применение многопроцессорных транспьютерных систем для решения задач математической физики// Математическое моделирование, 1992, т.4, №11, с. 75-110.

52. Дорофеева Н.Н., Кучеров А.Б. Исследование метода двумерных прогонок для решения сеточных эллиптических уравнений. В кн. Разностные методы математической физики. М.: изд-во МГУ, 1980 г., с. 3-10.

53. Зверев В.Г. Об одном итерационном алгоритме решения разностных эллиптических уравнений//Вычислительные технологии, 1999, т.4, №1, с. 55-65.

54. Чурбанова Н.Г. Некоторые модификации (а р) алгоритма решения эллиптических уравнений. Препринт ИПМ им. Келдыша АН СССР. М.: ИПМ, 1982, с.2-13.

55. Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике. М.: издательство МГУ, 1999 г.

56. Клевцур С.В., Латышев К.С., Четверушкин Б.Н. Циклический вариант "a-J}"— итерационного алгоритма// Дифференциальные уравнения, 1988, т.24, №7, с. 1213— 1218.

57. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, т. 1,2, 1991 г.

58. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, Физматлит, 1986 г.

59. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989 г.

60. Самарский А. А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987 г.

61. Чепрасов А.И. Об использовании разностных сеток с нерегулярными граничными узлами для численного решения краевых задач теплопроводности// Физическая газодинамика реагирующих сред. Новосибирск: СО АН СССР, 1990, с. 170-175.

62. Бюлер Г. А., Охлопков Н.М. Естественный метод расщепления краевых условий второго и третьего рода на границе полигональной области// Труды 111 казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике. Алма-Ата, 1970, с. 56-58.

63. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: изд-во Института Математики СО РАН, 2000 г.

64. Завьялов Ю.С., Квасов Б.С., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980 г.

65. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов. Л.: Машиностроение, 1980 г.

66. Соколов Н.П. Введение в теорию многомерных матриц. Киев: Наукова Думка, 1972 г.

67. Гаспарян А.С. О некоторых приложениях многомерных матриц. М.: ВЦ АН СССР, 1983 г.

68. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967 г.

69. Справочник по композиционным материалам. М.: Машиностроение, т.1, 2, 1988.

70. Углеродные волокна и утлекомпозиты. М.: Мир, 1988.

71. Берцун В.Н., Крицкий О.Л. К вопросу о математическом моделировании тепловых полей в средах с анизотропной теплопроводностью// Математическое моделирование и теория вероятностей. Томск: Пеленг, 1998, с. 12-19.

72. Крицкий О.Л. Численное исследование температурных полей в анизотропных областях// Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сборник статей. Томск: издательство ТГУ, 1999, вып. 3, с. 73-75.

73. Крицкий О.Л. Применение «а (3» алгоритма для решения двумерных нестационарных задач анизотропной теплопроводности// Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сборник статей. Томск: издательство ТГУ, 1999, вып. 3, с. 75-77.

74. Бураков В.А., Берцун В.Н., Крицкий О.Л. Сравнительный анализ численных методов решения нестационарной задачи анизотропной теплопроводности // Тепломассообмен. ММФ-2000. Минск: АНК ИТМО им. А.В. Лыкова НАНБ, 2000, т.З, с. 275-279.

75. Крицкий О.Л. Анализ итерационных методов решения многомерных анизотропных краевых задач// Моделирование неравновесных систем. Красноярск: издательство ИПЦКГТУ, 2000, с. 134-136.

76. Крицкий О.Л. Применение итерационного метода продольно-поперечных прогонок для решения двумерного параболического уравнения общего вида// Депонировано в ВИНИТИ, №3287-В00, 12 с.

77. Крицкий О.Л. Применение прямых методов при численном интегрировании многомерных параболических уравнений общего вида// Исследования по баллистике и смежным вопросам механики. Томск: издательство ТГУ, 2001, вып. 4, с. 61-65.

78. Крицкий О.Л., Касперский А. А. Итерационные методы решения параболических уравнений со смешанными производными// Исследования по баллистике и смежным вопросам механики. Томск: издательство ТГУ, 2001, вып. 4, с. 59-61.

79. Крицкий О.Л. Численные методы решения трехмерной нестационарной краевой задачи анизотропной теплопроводности// Математические модели и методы их исследования. Красноярск: изд-во ИВМ СО РАН, 2001, т.2, с.34-38.

80. Крицкий О.Л. Численные методы решения трехмерной нестационарной краевой задачи анизотропной теплопроводности// Математические модели и методы их исследования. Красноярск: изд-во ИВМ СО РАН, 2001, т.2, с.34-38.