автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование тепломассопереноса в анизотропных телах в условиях аэрогазодинамического нагрева

На правах рукописи УДК 536.21; 27.35.25

Чипашвили Андрей Александрович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛАХ В УСЛОВИЯХ АЭРОГАЗОДИНАМИЧЕСКОГО

НАГРЕВА

Специальность 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва -2005

Работа выполнена на кафедре «Вычислительная математика и программирование» Московского авиационного института (государственного технического университета).

Научный руководитель: заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-

математических наук, профессор Формалёв Владимир Фёдорович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Кузнецов Евгений Борисович Кандидат физико-математических наук, доцент Аттетков Александр Владимирович

Ведущая организация: Московская государственная академия тонкой

химической технологии им. М.В. Ломоносова.

Защита состоится «_» 2005г. в час. мин. на заседании

диссертационного совета Д212.125.04 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП - 3, Волоколамское шоссе, 4, главный административный корпус, зал заседаний Учёного Совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре. Автореферат разослан 2005г.

Учёный секретарь Диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Разработка новых эффективных систем тепловой защиты гиперзвуковых летательных аппаратов (ЛА), физико-математических моделей их функционирования, численных методов расчёта тепловой защиты при высокотемпературном нагреве, в том числе и в условиях уноса массы, были и остаются актуальными проблемами теплового проектирования ракетно -космической техники. Это становится наглядным в условиях роста скоростей и дальности полёта ЛА, вследствие чего резко увеличиваются тепловые потоки к конструкции ЛА, особенно к их носовым частям. В настоящее время тепловая защита гиперзвуковых ЛА строится на основе пассивных теплозащитных материалов, поглощающих тепловую энергию за счёт объёмной теплоёмкости или физико-химических превращений при уносе массы теплозащитных материалов. Вместе с тем, усиленно разрабатываются различные способы активной тепловой защиты, связанные со вдувом в высокотемпературный газодинамический пограничный слой газообразных или жидких охладителей. Моделирование таких способов тепловой защиты связано со значительными трудностями, связанными с тем, что проблема является комплексной, состоящей из значительного числа задач, каждая из которых составляет предмет самостоятельного изучения. К таким задачам относятся следующие: теплообмен на внутренней границе тела с определением температуры охладителя в резервуаре; теплопроводность (в том числе и анизотропная) в пористом материале с учётом фильтрации и возможного уноса массы; многомерная неизотермическая фильтрация (в том числе и анизотропная); образование, течение с испарением и вдувом в пограничный слой охладителя; наконец, течение и теплообмен в газодинамическом пограничном слое. Имеется большое количество публикаций по отдельным перечисленным составляющим комплексной проблемы, однако в комплексе указанная проблема не рассматривалась. В этой связи тема диссертационной работы, вынесенная в заголовок, является актуальной проблемой.

Цель работы. Разработка новых и модификация существующих математических моделей тепломассопереноса в анизотропных затупленных носовых частях ЛА в условиях плёночного охлаждения, а также в условиях возможного уноса массы; разработка численных и аналитических методов решения комплексной проблемы тепломассопереноса в анизотропных телах при плёночном охлаждении; получение и анализ результатов численных экспериментов и выработка рекомендаций.

Задачи исследования:

1. Построение физико-математической модели нестационарной анизотропной теплопроводности в затупленных носовых частях ЛА с учётом фильтрации и уноса массы.

2. Формирование физико-математической модели анизотропной неизотермической фильтрации с образованием на наружной границе затупленного тела жидкой плёнки, её течения и теплообмена в ней с испарением и вдувом.

3. Построение численных схем, алгоритмов и программных комплексов по расчёту определяющих характеристик тепломассопереноса в затупленных телах и характеристик жидкой плёнки.

4. Анализ влияния компонентов тензоров теплопроводности и проницаемости анизотропного тела на все характеристики плёночного охлаждения и выработка рекомендаций.

Научная новизна. Построены физико-математические модели процессов тепломассопереноса в анизотропных носовых частях в условиях плёночного охлаждения жидкими охладителями, чья динамическая вязкость изменяется на три - четыре порядка при умеренном нагреве (на ~150 - 200 градусов), что позволяет создать систему автоматического регулирования подачи охладителя.

Разработаны методы и алгоритмы:

1. Погружения с использованием координатных полос, позволяющих учитывать или не учитывать аккумуляцию тепловой энергии в объёме, непосредственно примыкающем к наружной границе.

2. Безытерационного решения систем существенно нелинейных уравнений, каждое их которых содержит неявную аппроксимацию лучистого теплового потока с выводом верхней оценки погрешности при явной аппроксимации лучистых тепловых потоков.

3. В неитерационного определения и итерационного уточнения основных характеристик пленочного охлаждения с доказательством сходимости локальных и глобальных итерационных процессов.

С помощью численного моделирования:

1. Исследовано влияние на температурное поле главных компонентов и главных осей тензора теплопроводности.

2. Установлен факт существенного влияния характеристик анизотропного тела на величину уноса массы.

3. Исследованы двумерные квазистационарные поля давлений и компонентов скорости фильтрации в зависимости от характеристик тензора проницаемости.

4. Установлено наличие продольной составляющей скорости анизотропной фильтрации на изобарах.

5. Исследованы динамические и тепловые характеристики жидкой плёнки; установлено, что толщина жидкой плёнки может быть положительной при отрицательном балансе массовых скоростей подачи и испарения охладителя.

Достоверность научных положений и выводов обеспечена корректной математической постановкой задач, подтверждена численными экспериментами по анализу точности и сходимости численных методов, аналитическими решениями упрощённых математических моделей плёночного охлаждения и сравнения их с численными решениями.

Практическая значимость исследований заключается в выполнении по теме диссертации научно - исследовательских работ по грантам: РФФИ, №04-0181012 Бел2004а; Министерства образования РФ №ТО2-14.0-1812; Президента РФ МК-1576.2003.01. Кроме этого, разработанные математические модели, численные методы и алгоритмы могут быть использованы при проектировании новой системы тепловой защиты на основе фильтрации и плёночного охлаждения охладителем со «сверхтекучими» свойствами для автоматического регулирования подачи охладителя, а также при разработке тепловой защиты гиперзвуковых ЛА в условиях уноса массы.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Физико-математическая модель тепломассопереноса в пористых анизотропных телах при их плёночном охлаждении в условиях аэрогазодинамического нагрева.

2. Метод погружения с использованием координатных полос в областях с неравномерно по затуплению и нестационарно подвижной наружной границей с точным определением начала и окончания уноса массы, а также метод безытерационного решения систем существенно нелинейных уравнений.

3. Численные и аналитические методы внеитерационного и итерационного определения характеристик неизотермической анизотропной фильтрации, динамических и тепловых характеристик жидкой плёнки охладителя.

4. Упрощённая физико-математическая модель плёночного охлаждения анизотропных тел со «сверхтекучими» свойствами охладителей при умеренных температурах и метод её аналитического решения.

5. Результаты влияния на температурные поля и величины уноса массы, а также на поля давлений и компонентов скорости анизотропной фильтрации главных компонентов и главных осей тензоров теплопроводности и проницаемости.

6. Рекомендации по построению нового способа тепловой защиты носовых частей гиперзвуковых ЛА на основе фильтрации и плёночного

охлаждения с автоматическим регулированием подачи охладителя со

«сверхтекучими» свойствами.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались: на семинаре кафедры «Вычислительная математика и программирование» под руководством чл.-корр. РАН, профессора Пирумова У.Г.; на 3-й Международной конференции «Математические модели физических процессов», г. Таганрог, 27-28 июня 2003г.; на 12-й Международной конференции «Вычислительная механика и современные прикладные программные системы», г. Владимир, 30 июня - 6 июля 2003г.; на 10-м Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», Ярополец, Моск. обл., 9-13 февраля 2004г.; на 3-й Международной конференции «Авиация и космонавтика - 2004», г. Москва, октябрь 2004г.; на 29-х академических чтениях по космонавтике «Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики», г. Москва, январь 2005г.

Публикации. Основные материалы по теме диссертации отражены в 8 работах, опубликованных, в основном, в академических изданиях и в материалах Международных конференций.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, библиографического списка, включающего 167 наименований и 4-х приложений. Работа изложена на 182-х страницах машинописного текста и содержит 44 рисунка и 4 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации, на основе анализа обзора публикаций по исследованию анизотропной теплопроводности с учётом уноса массы и неизотермической анизотропной фильтрации в условиях плёночного охлаждения,

определены основные нерешённые проблемы, сформулирована актуальность исследований и выбраны направления исследований. Определены цель и конкретные задачи работы, представлены основные полученные результаты, их научная и практическая значимость, приведены положения, выносимые на защиту, охарактеризованы основные разделы диссертации.

В первой главе рассматриваются математическая модель по определению нестационарных температурных полей в анизотропных затупленных носовых частях ЛА в условиях конвективно-кондуктивного и лучистого теплообмена с учётом фильтрации и возможностью уноса массы. Математическая модель в криволинейных координатах (г,в) включает в себя следующие соотношения (рис.

1):

Рис 1 Расчетная область

Начальные условия температуры и границы н1

Здесь Л— тензор

теплопроводности в локальной

криволинейной системе координат {г,в)\ с,р,Л„,а,Т - соответственно теплоёмкость, плотность, теплопроводность в нормальном направлении к границе, коэффициент теплоотдачи, температура; V, ,1,е,т^',Т' соответственно скорость фильтрации, энтальпия, степень черноты, массовая скорость, теплота и температура уноса; т](:) - единичная функция; П -пористость; - эффективная энтальпия пограничного слоя; - энтальпия торможения.

Для эффективного использования численных методов расщепления по координатным направлениям нормальных составляющих кондуктивных тепловых потоков на границах представлены в виде

дТ_ ' дп

К +л»

У- 1 5Т

г' *д0)дг { " " г-чю),'-^

1 +

У..

г'-'дв

(6)

В качестве базового численного метода использован экономичный абсолютно устойчивый метод переменных направлений с экстраполяцией МПНЭ. Для его использования разработан метод погружения с использованием координатных полос, позволяющий использовать равномерную сетку и учитывать аккумуляцию тепловой энергии в окрестности подвижных границ.

При явной аппроксимации лучистого теплового потока в (1) в условиях высоких температур Гк1>1000К возникает неустойчивость решения, приводящая к значительным погрешностям. С этой целью выведена верхняя оценка погрешности в определении температуры при явной аппроксимации по сравнению с неявной

=г, .

(7)

£„,<тДг

В этих условиях разработан способ неявной аппроксимации лучистого члена в (1) на границе , приводящий к уравнению четвёртой степени на этой границе относительно Г*," на верхнем временном слое. Точное решение этого уравнения позволило устранить неустойчивость и возникающие при этом

погрешности. Кроме этого, разработан безытерационный метод решения системы существенно нелинейных алгебраических уравнений, когда каждое уравнение содержит четвёртую степень температуры (это имеет место, когда аппроксимация ведётся по наружной границе )

Полагая здесь вначале - экстраполяционные

значения по двум предыдущим временным слоям), рекуррентно решая каждое уравнение 4-й степени, отправляя затем соответствующие лучистые члены в правые части и, применяя линейный оператор прогонки получаем точное распределение температуры на наружной границе.

Для определения дробных временных шагов в моменты начала и окончания уноса массы вводится понятие фиктивной температуры наружной границы -температуры, полученной из энергетики пограничного слоя, но превышающей температуру Т' уноса массы. Моменты начала и окончания уноса массы определяются как точки пересечения расчётной температуры наружной границы (в том числе и фиктивной) с заданным законом температуры уноса массы

На рис. 2 представлен один из результатов расчёта нестационарного температурного поля в условиях уноса массы, когда ориентация главных осей тензора теплопроводности меняется. Из рисунка видно, что в ортотропном случае прогрев практически отсутствует (внутренняя граница имеет температуру равную начальной), но при этом наблюдается максимальный унос массы. При прогрев максимален, но тело функционирует в условиях отсутствия уноса массы. Случаи рис. 2 в и г - промежуточные. Эти результаты показывают возможность управления величиной уноса массы изменением характеристик тензора теплопроводности.

+Ь,Т,и' - с?,1;1 = с!,

(8)

ГШ)

Рис 2 Температурные поля в носовой части в условиях уноса массы при различных углах ориентации главных осей тензора теплопроводности а) - орготропный случай

следующие соотношения (рис. 3).

Во второй главе

моделируется двумерная неизотермическая фильтрация в пористом анизотропном теле жидких охладителей, с

образованием на наружной границе и1 тела жидкой плёнки, её течением с испарением и вдувом продуктов испарения в высокотемпературный пограничный слой

Математическая модель включает в себя

на границах разрыва геометрических

газолина мический

и теплофизических характеристик задаются граничные условия рода

Рис 3 Расчетная схема плёночного охлаждения

Течение и теплообмен в жидкой плёнке рассматривается в

приближении пограничного слоя, поскольку, как показывают расчёты, скорость в плёнке на порядок выше скорости фильтрации. Поэтому в плёнке задаются уравнения неразрывности, сохранения импульса вдоль продольной оси Ох (вдоль оси и уравнение сохранения энергии:

I Л — Ana иnnrvmn топл

(14)

(15)

(16)

уравнение Бернулли (для струек тока на внешней границе пограничного слоя)

Граничные условия:

(17)

(18)

(19)

иу и

Здесь К,р,р,1/ж - соответственно тензор проницаемости, давление, динамическая вязкость, скорость фильтрации;

соответственно компоненты скорости течения плёнки, её толщина, скорость и теплота испарения, касательное напряжение на наружной границе плёнки, температура границы тела; - относительная теплота горения паров, отнесённая

к 1 кг кислорода, & - теплота горения. Коэффициент вдува р

определяется по формуле - молярные массы

воздуха и паров.

Скорость вдува определяется из решения задачи фильтрации,

температура - из совместного решения задачи теплопроводности в теле и

уравнения энергии (16), касательное напряжение г - из аналогии между теплообменом и трением, скорость испарения уК11 - на первой итерации - из понятия эффективной энтальпии охладителя (соотношение (19)), а на следующих итерациях из решения уравнения (15) Толщина плёнки 3,а на 1-Й итерации определяется из допущения о квадратичном распределении и(у) и о том, что 5и(0)

Sv

- = 0, из выражения

а на следующих итерациях - из 1-го условия (19).

Численное решение задачи фильтрации (9) - (13) осуществляется тем же методом МПНЭ с итерационной обработкой, а задача об образовании, течении и испарении плёнки (14) - (19) - в переменных Дородницына - Лиза ¡;,г/

(20)

с введением функции тока у и относительной функции тока f(4,l)

!С = л/2?/Ы- (21)

Уточнение динамических характеристик плёнки в итерационном процессе осуществляется на основе разложения функции f(^,fj) в ряд Тейлора до четвёртой производной включительно в окрестности точки 7 = 0

а внеитерационное значение - из линеаризованного уравнения (15).

В (22) первые два слагаемых определяются из краевых условий, вторая производная - из предыдущей итерации, 3 -я и 4 -я производные выражаются из уравнения (15) через вторую производную. Доказывается теорема о достаточных условиях сходимости локального итерационного процесса для а

следовательно, и для

В силу малой толщины плёнки (доли миллиметра), шаги численного интегрирования в плёнке и в теле, при решении уравнений энергии и теплопроводности, отличаются на один - два порядка. Поэтому, для сохранения второго порядка аппроксимации приграничные значения температуры со стороны плёнки и тела разлагаются в ряды Тейлора до третьей производной с дальнейшей заменой вторых производных из уравнений энергии и теплопроводности, а вычисленные первые производные подставляются в краевые условия IV-го рода. Таким образом, получен сквозной алгоритм решения сопряженной задачи теплообмена в плёнке и в теле со вторым порядком.

С помощью вычислительного эксперимента показано, что для всех случаев достаточно не более трёх локальных итераций по уточнению /(£,7) и не более 2 -3 глобальных итерации по уточнению тепловых и фильтрационных характеристик в условиях плёночного охлаждения.

На рисунках 4, 5 показаны динамические и тепловые характеристики жидкой плёнки вне итерационного цикла (рис. 4) и в итерационном цикле (рис.

5)-

На рис. 6 приведено распределение по переменным х и у относительной функции тока /(£,7) и относительной с к о рГ<о;(с1)тиХ1а,{§)& к т е р распределения этих функций соответствует их распределению в

Рис. 4. Динамические и тепловые характеристики жидкой плёнки вне итерационного цикла.

Рис.5. Относительная толщина жидкой плёнки в глобальном итерационном цикле и переменная ¿¡(х)

/Ы

Рис. 6. Распределение относительной функции тока /{£,7}) и относительной скорости /'(^,7) при течении жидкой плёнки на затупленном теле

1 - х = 0; 2 - х=0,00625м; 3 - х=0,0125м; 4 - х=0,01875м; 5 - х=0,025м; 6 - х=0,035м; 7 - х=0,045м; 8 - х=0,055м; 9 - х=0,065м.

газодинамическом пограничном слое на проницаемой поверхности. На рис. 7 приведены линейные

скорости испарения и вдува в итерационном цикле. На всех рисунках видна

существенная разница между первой и последующими итерациями.

Рис. 7. Линейная (не массовая) скорость вдува и испарения капельной жидкости в глобальном итерационном процессе.

В главе 3 изложены упрощённая математическая модель, метод её решения и результаты по расчёту тепломассопереноса при плёночном охлаждении анизотропных тел охладителями, изменяющими свою динамическую вязкость на три порядка при умеренном нагреве на 150 - 200 градусов. Аналитическое решение этой модели позволяет более наглядно проследить взаимное влияние многочисленных параметров плёночного охлаждения. Математическая модель включает в себя следующие соотношения:

еЛ-тЛ + ЧсУЬу,)^ =&>/"/1 + \cfdT ;

п,

'«ГУ

(23)

(24)

(25)

(26)

V, =--^__—•

! ///(гХиПЯе, ) Лу ' ~Т- = 0> (у/ М= сом/);

_•

(27)

(28)

(Г) = ехр[- ^(Г - Я)2 + с];

(29)

(30)

(31)

(л.),« Г .

(р.). [ + МЛ Ц '

(32)

Р/(°)= Ршг = С0П5' '> рлзт)=р* 1 = (р»)е; Х№ = Х( яш2 <р + Я, сое2 <р\ к№ = к( вш2 ч> + кц сое2 ^ ,

(33)

В математической модели (23) - (34) дополнительно введены следующие обозначения: {р„)„,(р„)р11„,К,1п,к1 - соответственно давление насыщенного пара,

парциальное давление паров охладителя, газовая постоянная, масса молекулы, постоянная Больцмана. Подставляя уравнение Клапейрона - Клаузиуса (31) и аналогию между теплообменом и диффузией (32) в выражение (30), а затем полученную массовую скорость испарения в баланс (23), получим

трансцендентное уравнение относительно температуры Т„, решая которое получаем первое краевое условие для решения уравнения теплопроводности (24). Подставляя вязкость (29) в нелинейный закон фильтрации (27), а затем полученную скорость фильтрации в уравнение теплопроводности (24), решаем аналитически полученное нелинейное уравнение с граничным условием на наружной границе и (25) на внутренней границе. Неявное решение вычисляется в итерационной процедуре.

На рисунках 8, 9, 10, 11 приведены результаты аналитического решения задачи (23) - (34) в виде зависимостей массовой скорости расхода от проницаемости массовой скорости расхода от угла наклона

фильтрационных отверстий, массовой скорости испарения от величины теплового потока и распределения температуры по толщине тела соответственно. Параметром на всех рисунках является тепловой поток входящий в тело

4-<7„,2=8 \0}кВт/м2, 5-д1|2=9 10гкВт/м2 . Приведённые результаты показывают, что реализация предлагаемого способа тепловой защиты возможна, поскольку расход охладителя составляет

В главе 4 численно исследуется тепломассоперенос в анизотропных затупленных носовых частях ЛА при их плёночном охлаждении. На рис. 12 приведено распределение радиального компонента скорости фильтрации а

на рис. 13 - продольного компонента для следующих входных данных:

Рис 8 Зависимость массового расхода охладителя от проницаемости

Рис 9 Зависимость массового расхода охладителя от угла ориентации главной оси

Рис 10 Зависимость массовой скорости испарения от плотности теплового потока д,

Рис 11 Зависимость температуры по лолщине тела

й0 = 0 018.«, R2 = 0,01 и , 0„ = 1О°, 1=0,ткВт/мК, Л,., =0,336 кВт/ w К, £ = 30°, Д^ = 0,2814кВт/м К, сж=2,Ь2кДус/кг К, рш = 1200кг/м\ р„г = 0,5 10'/7а М^ = 29г/моль, Q„ln = 2100 кДж/ кг, Г„(„ = 700К, Q, =420 кДж/кг, /7.,= 0,4, А = (0,1-0,4) 10 ,3jk2, А, =0,110'V или kn =0,4 10 11 w2, ^„„=00001, = 10 4 -0,2 10 7 Г,кг/и с, параметры теплообмена а„, и Тг, соответствуют летным характеристикам У„ =2500«/c = consi, Н = 10000« = const, аш = 0 = const

Из рисунков видно, что радиальный компонент всегда положителен, монотонно убывает, причем резкое убывание наблюдается на внутренней границе г = г„2, а далее к наружной границе г = г„, выходит практически на постоянное значение

=0.1-10"'"' _ г Ом

........... X 0 006и

--- г 11012м

х О.ОЩи

г 0,02-1и

» «да»

0,01 0,012 0,014 0,016 0,018

0,01 0,012 0,014 0,016 0,018

к, - 0,210

к = О,МО'"

т

Т

0,01 0,012 0,014 0,016 0,018

Рис 12 Двумерное поле радиального компонента скорости фильтрации и(г,х) в зависимости от главных компонентов тензора проницаемости к., к (режим

■■к „ =0ДЮ~13л2

г,м

к,=0,2\0 мг к„ = 0,110~"л<2

х О

г 00Ш х 0 012ч х-0 01Я« г 1№

0,01 0.012 0,014 0,016 0,018 й

Рис 13 Двумерное поле продольного

компонента фильтрации г) в

зависимости от главных компонентов

тензора проницаемости (режим

V,, =3000м/с. Н = 10'м)

Продольный компонент

скорости фильтрации принимает различные по знаку значения, особенно в окрестности внутренней границы с резким увеличением продольной скорости с выходом на положительные значения при приближении к наружной границе. Интересно, что на внутренней границе (на изобаре) продольный компонент отличен от нуля, в то время как в изотропной теплопроводности он равен нулю. На рис. 14 приведены температурные поля в условиях фильтрации и плёночного охлаждения затупленных анизотропных тел. Здесь же нанесены результаты аналитического решения упрощённой математической модели, рассмотренной в предыдущей главе. Можно констатировать удовлетворительное совпадение результатов численного и аналитического решений.

I, к

550"

0 5.1()-4 0.001 0.0015 0,002 0,0025 0,003 Рис. 14. Зависимость температуры по толщине тела

--аналитические решение

------- численное решение

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

1. Развиты математическая модель, методы и алгоритмы комплексной проблемы о численном решении тепломассопереноса при плёночном охлаждении затупленных носовых частей летательных аппаратов (ЛА), изготовленных из анизотропных материалов, в условиях их аэродинамического нагрева. Комплексная математическая модель включает в себя следующие частные модели:" теплообмена на внутренней границе при естественной конвекции охладителя; двумерной нестационарной анизотропной теплопроводности с учетом фильтрации; двумерной квазистационарной неизотермической анизотропной фильтрации охладителя; образования защитной жидкой плёнки охладителя путём вдува в пограничный слой отфильтровавшейся жидкости; течения с теплообменом и испарением упомянутой жидкой плёнки.

2 В рамках этой модели разработаны методы определения полей давления анизотропной неизотермической фильтрации через организованные поры и полей радиального и продольного компонентов вектора скорости фильтрации, внеитерационного и итерационного определения кинематических и тепловых характеристик жидкой пленки, включая распределение толщин пленки по затуплению, определение массовых и линейных скоростей вдува и испарения охладителя, доказана теорема о достаточных условиях сходимости метода глобальных итераций

3 Разработана упрощенная (инженерная) математическая модель и аналитический меюд ее решения пленочного охлаждения тел охладителем, чья динамическая вязкость изменяется на несколько порядков при изменении температуры (на 3-5 порядков при изменении температуры на 150-200 градусов) На основе этой модели строится система тепловой защиты ЛА с автоматической подачей охладителя При этом тело не меняет своей геометрии (отсутствует унос массы), а температура всей системы находится в окрестности температуры испарения охладителя

4 Развиты математическая модель, методы и алгоритмы численного решения нестационарных задач анизотропной теплопроводности с учетом фильтрации и уноса массы для затупленных носовых частей ЛА при их аэродинамическом нагреве Разработаны методы определения начала и окончания уноса массы, неявной аппроксимации лучистых тепловых потоков на высокотемпературной границе, как в радиальной, так и в продольной скалярных прогонках, позволившей ликвидировать неустойчивость из-за явной аппроксимации лучистых тепловых потоков, уточнения скорости движения наружной границы, путем учета функции, учитывающей поведение наружной границы при уносе массы Доказаны теоремы о предельной погрешности в определении температуры наружной границы при явной аппроксимации лучистых тепловых потоков и о существовании как минимум единственного положительного корня уравнения четвертой степени относительно температуры наружной границы в широком диапазоне теплофизических характеристик

5. Проведены численные эксперименты по определению полей давления, полей продольного и поперечного компонентов вектора скорости анизотропной неизотермической фильтрации охладителей, в том числе охладителей со «сверхтекучими» свойствами, а также кинематических и тепловых характеристик жидкой плёнки. Исследования показали: градиент давления анизотропной фильтрации максимален на внутренней границе тела, причём на изобаре продольный компонент вектора скорости фильтрации не равен нулю; радиальный компонент вектора скорости фильтрации монотонно убывает в направлении от внутренней к наружной границе, а продольный - немонотонно возрастает, принимая различные по знаку значения; отрицательный баланс массовых скоростей вдува и испарения охладителя не означает, что толщина плёнки охладителя в этом месте равна нулю; температура всей системы не превышает температуры кипения охладителя. Эти исследования позволили сделать следующие рекомендации: предложенный способ тепловой защиты с использованием анизотропной фильтрации «сверхтекучих» жидкостей возможен, поскольку расход охладителя составляет примерно предлагаемый способ эффективен для защиты только затуплений, а не боковых поверхностей, где расход охладителя резко увеличивается.

6. Исследования двумерных нестационарных температурных полей в анизотропных затупленных носовых частях ЛА показали, что уровень температур и величину уноса массы можно регулировать с помощью характеристик тензора теплопроводности, в частности, выбором теплозащитных материалов с главными компонентами и главными осями тензора теплопроводности, позволяющими отводить тепловую энергию в хвостовую часть носового затупления, в результате чего температура наружной границы не достигает температуры уноса массы и конструкция работает в условиях отсутствия уноса массы.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Формалёв В.Ф., Чипашвили А.А., Миканёв СВ. Моделирование нового способа тепловой защиты стенок энергетических установок при высокоинтенсивном нагреве // Известия РАН. «Энергетика». 2004. №5. с. 147 -156.

2. Формалёв В.Ф., Колесник С.А., Чипашвили А.А. Численное модели- рование теплопереноса в анизотропных телах с разрывными характе- ристиками // Математическое моделирование. 2004. т. 16. №5. с.94-102.

3. Формалёв В.Ф., Колесник С.А, Чипашвили А.А. Аналитическое исследование теплопереноса при плёночном охлаждении тел // ТВТ. В 2004 г. статья принята к опубликованию в 4-м номере 2005 г.

4. Формалёв В.Ф., Колесник С.А., Чипашвили А.А. О законе нелинейной неизотермической фильтрации в анизотропных пористых телах // Сб. научн. тр. 9-й Международной конференции «Математические модели физических процессов». 27-28 июня 2003г. Таганрог. Изд-во ТГПИ. Часть 1. с. 46 - 51.

5. Формалёв В.Ф. Чипашвили А.А. Моделирование плёночного охлаждения затупленных анизотропных тел // Тезисы докл. На 12-й Межд. конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. 30 июня - 5 июля 2003 г. Владимир. Изд-во МАИ. с. 73-74.

6. Формалёв В.Ф., Кузнецова Е.Л., Чипашвили А.А. Моделирование нестационарной задачи Стефана в двумерных областях в условиях уноса массы анизотропных композиционных материалов // Тез. Докл. на 10-м Межд. симпоз. «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». 9-13 февраля 2004 г. Ярополец Моск. обл. Изд-во МАИ. с. 33 - 34.

7. Формалёв В.Ф., Кузнецова Е.Л., Чипашвили АА. Численное моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах в условиях аэрогаходинамического нагрева // Тез. докл. на 3-й Межд. конф. «Авиация и космонавтика - 2004». 1 - 4 ноября. Москва. Изд-во МАИ. 2004. с. 56.

8. Формалёв В.Ф., Кузнецова ЕЛ., Чипашвили АА. Математическое моделирование теплопереноса в анизотропных затупленных носовых частях летательных аппаратов // Тез. докл. на 29-х академических чтениях по космонавтике «Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики». Январь 2005 г. Москва. Изд-во МАИ. с. 142 - 143.

Подписано в печать 15.04.05. Формат 30x42 1/8. Бумага типографская № 1. Печать офсетная. Печ. л. 1,3. Тираж 100 экз. Заказ № 105. 125080, Москва, Волоколамское ш., 11 Издательский комплекс МГУПП 24

OS.W'OW-з

i {fu?

Vi1'/

) 9 МАЙ 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В АНИЗОТРОПНЫХ ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛАХ В УСЛОВИЯХ СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА И УНОСА

МАССЫ.

1.1. Физико-математическая постановка.

1.2 Аппроксимация задачи (l.l)-(l.ll) для затупленных анизотропных тел, ограниченных произвольной границей. Метод погружения.

1.2.1. Аппроксимация в регулярных узлах.

1.2.2. Аппроксимация на границах I-II и границах разрыва ТФХ.

1.2.3. Аппроксимация краевых условий (1.5) -(1.8) на свободных границах wl, w2 и в узлах, непосредственно примыкающих к граничным. Метод погружения.

1.3. Метод прогонки с неявной аппроксимацией существенно нелинейных лучистых тепловых потоков.

1.4. Нестационарное движение наружной границы в процессе уноса массы.

1.5. Общий алгоритм численного решения задачи (1.1) — (1.11) с использованием метода переменных направлений с экстраполяцией.

1.6. Исследование теплового состояния анизотропных затупленных тел при сложном теплообмене.

Выводы к главе 1.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ И ПЛЁНОЧНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛ ПРИ АЭРОДИНАМИЧЕСКОМ НАГРЕВЕ.

2.1. Двумерная нелинейная задача анизотропной фильтрации капельной жидкости с сильной зависимостью вязкости от температуры.

2.2. Моделирование возникновения плёнки из отфильтровавшейся жидкости, её течения и теплообмена в ней.

2.3. Определение динамических и тепловых характеристик жидкой плёнки в первом приближении.

2.3.1. Первоначальное определение массы жидкости, поступающей в плёнку и испаряющейся с её поверхности.

2.3.2. Определение толщины плёнки жидкости в первом приближении.

2.3.3. Вычисление относительной функции тока и относительной скорости жидкой плёнки в первом приближении.

2.3.4. Распределение температуры в жидкой плёнке на первой итерации.

2.4. Уточнение динамических и тепловых характеристик жидкой плёнки.

2.4.1. Уточнение динамических характеристик жидкой плёнки.

2.4.2. Уточнение тепловых характеристик жидкой плёнки.

2.5. Численные результаты совместного решения задач фильтрации, течения и теплообмена в жидкой плёнке.

Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА ПРИ

ПЛЁНОЧНОМ ОХЛАЖДЕНИИ ТЕЛ.

3.1 Физико-математическая модель.

3.2. Метод аналитического решения комплекса задач (3.1) -(3.17).

3.2.1.Определение массовой скорости испарения защитной пленки и температуры ее наружной границы.

3.2.2. Определение линейной скорости фильтрации.

3.2.3. Распределение температуры с учетом неизотермической фильтрации.

3.3.Анализ результатов моделирования.

Выводы к главе 3.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛАХ.

4.1. Исследование двумерных нестационарных температурных полей в условиях уноса массы.

4.2. Численное исследование задач совместной анизотропной теплопроводности и анизотропной фильтрации при пленочном охлаждении носовых частей ЛА.

Выводы к главе 4.

При гиперзвуковых скоростях полёта (числа Маха М > 5 - 6) носовые части фюзеляжей, несущих и управляющих поверхностей летательных аппаратов (JIA) изготовляют притуплёнными. Это позволяет за счёт образования высокоэнтропийного слоя существенно снизить тепловые потоки к боковой поверхности ДА по сравнению с острыми носовыми частями [1, 16-18, 71, 72, 166, 167]. В этих условиях необходимо с высокой точностью определять тепловое состояние носовых частей JIA, как наиболее теплонагруженных их частей.

Для тепловой защиты носовых частей JIA от аэродинамического нагрева используются пассивные и активные способы. К пассивным относятся различные теплозащитные материалы (ТЗМ), поглощающие тепловую энергию, возникающую при адиабатическом сжатии в ударной волне и от трения в пограничном слое, за счёт теплоёмкости материала ТЗМ, за счёт различных физико-химических процессов, сопровождающих тепловое разрушение ТЗМ в условиях уноса массы и за счёт вдува в высокотемпературный пограничный слой газообразных продуктов разложения.

При активных способах тепловой защиты разрабатываются специальные системы подачи в высокотемпературный пограничный слой газообразных или жидких охладителей. При этом, для уменьшения расхода охладителя могут применяться активные схемы охлаждения как с регулировкой (или даже автоматической регулировкой), так и без регулировки подачи охладителя.

Отсюда видно, что математическое моделирование теплового состояния носовых частей JIA является комплексной проблемой, включающей в себя следующие математические модели:

• потенциального течения между ударной волной и телом;

• вязкого течения с теплообменом в пристенном пограничном слое;

• теплопроводности, в том числе с учётом уноса массы и возможной неизотермической фильтрации через организованные поры;

• течения жидких или газообразных охладителей около затупленного тела;

• теплообмена на внутренней границе с жидкими или газообразными охладителями.

При этом необходимо учитывать различные физические (и химические) явления, приводящие к существенной нелинейности математических моделей. К таким явлениям можно отнести излучение, зависимость теплофизических характеристик (ТФХ) материалов от определяющих параметров (например, температуры), унос массы, а также анизотропию распространения тепла и массы, разрывы ТФХ, кривизну конструкции, многомерность, нестационарность и др.

Большинство теплозащитных материалов, в той или иной степени, являются анизотропными. К ним относятся графиты и графитосодержащие материалы, различные стекло-, угле- и асбопластики, композиционные материалы, некоторые тугоплавкие металлы. При этом композиционные теплозащитные материалы при разложении связующих образуют пористые остатки, сквозь которые фильтруются газообразные продукты разложения и вдуваются в пограничный слой. Пористые системы охлаждения можно получить, организуя поры в тепловой защите под различными углами к нормали поверхности так, что искусственный пористый материал становится анизотропным как для теплопроводности, так и для фильтрации.

Функционирование носовых частей ДА в условиях уноса массы увеличивает радиус их затупления, что при гиперзвуковом полёте приводит к резкому повышению волнового сопротивления и, как следствие, к значительным дополнительным расходам топлива.

С другой стороны, поскольку на носовые части J1A приходятся максимальные механические нагрузки, то на несущие (металлические) части конструкции накладываются существенные ограничения по максимальному уровню температур.

Таким образом, математическое моделирование совместной многомерной теплопроводности и фильтрации в анизотропных затупленных носовых частях J1A при их аэродинамическом нагреве является актуальной проблемой.

В диссертационной работе исследуются вопросы численного моделирования процессов совместной нелинейной теплопроводности и фильтрации в анизотропных носовых частях ЛА, в том числе в условиях уноса массы и плёночного охлаждения при сложенном теплообмене (конвективно-кондуктивном и лучистом видах теплообмена). Кроме этого, в диссертации моделируется перспективный способ тепловой защиты носовых частей J1A с автоматическим регулированием подачи охладителя через организованные поры [133, 135, 139, 141], когда охладитель выбирается с сильной зависимостью его динамической вязкости от температуры (на 3-5 порядков при нагреве на 150-200 градусов). При этом на наружной границе образуется защитная плёнка охладителя, испаряющаяся под действием аэродинамического теплового потока. При увеличении, например, теплового потока в какой-либо точке носовой части увеличивается температура каркаса и охладителя, резко уменьшается его динамическая вязкость и при одном и том же перепаде давления увеличивается расход охладителя, компенсируя увеличение теплового потока. Таким образом, применение такого охладителя позволяет разработать систему автоматического регулирования подачи охладителя через организованные поры, автоматически препятствующего изменению теплового потока.

Можно насчитать десятки работ по совместной теплопроводности и фильтрации. Например, работы отечественных учёных, таких как Лыков А.В. со своей школой [74-82], Полежаев Ю.В. [104, 105], Боровой В.Я. [16-18], Зарубин B.C. [42, 43], Никитенко Н.И. [95, 96], Формалёв В.Ф. [133, 135, 137, 141].

Проблемы теплопроводности в пористых и дисперсных средах при наличии фильтрации газов и жидкостей рассматривались в работах Аравина В.И. и Нумерова В.И. [5], Баренблатта Г.И. [14, 15], Васильева Л.А. [30], Бровкина Л.А. [25], Коллинза Р. [56], Лыкова А.В. [74-76, 82, 127], Борового В .Я. [16-18].

Значительный вклад в развитие теории теплопроводности внесли советские и российские теплофизики Лыков А.В. [77, 82], Зарубин B.C. [42, 43], Коздоба Л.А. [53, 54], Дульнев Г.Н. [38-40], Перельман Т.Л. [100], Карташов Э.М. [47-49], Формалёв В.Ф. [132, 134, 136, 137] и многие другие, а также зарубежные теплофизики Карслоу Г. И Егер Д. [46], Берман Р. [10], Гребер Г., Эрк С. И Григулль У. [33], Шнейдер П. [152], Камья Ф.М. [45].

Различные методы решения задач, моделирующих теорию теплопроводности в условиях уноса массы, когда возникают подвижные границы, разрабатывались в работах Самарского А.А. [118, 122, 123], Будака Б.М. и Гольдмана [19], Гринберга Г.А. [34], Карслоу Г. И Егера Д. [46], Лыкова А.В. [74-78], Любова Б.Я. и Соболя Э.Н. [83], Никитенко Н.И. [9596], Полежаева Ю.В. [104, 105], Розенсвейга Р.Е. и Бичера Н. [113], а также в работах [127-129]. В этих работах рассматривались в основном одномерные по пространственным переменным задачи.

Течение жидких плёнок с испарением и вдувом рассматривалось в работах Полежаева Ю.В. [104], Мугалёва В.П. [93], Борового В.Я. [16-18], Лыкова А.В. [80-82], Формалёва В.Ф. [133, 135, 139, 141].

Вопросы теплообмена при естественной конвекции газообразных и жидких охладителей подробно рассмотрены в работах Кутателадзе С.С. [67] и Михеева М.А. [92]. Правда, в них рассмотрены методы определения коэффициента теплоотдачи от жидких или газообразных сред, но не изложены методы определения температуры этих сред.

Значительные сложности возникают при моделировании теплового состояния анизотропных материалов, используемых в качестве теплозащитных при аэродинамическом нагреве ЛА, чем обусловлено незначительное число работ по этой проблематике. Прежде всего, это работы Пэдовена Д. [106-108], Пуня К.С., Цзоу Р.Ц. и Чжана Ю.П. [109, 149, 150], Формалёва В.Ф., Москаленко А.А., Тюкина О.А,, Колесника С.А. [137], Коляно Ю.М. [55], в которых получены аналитические решения некоторых простейших задач анизотропной многомерной теплопроводности операционными методами.

В работе Кима J1.B. и Микова B.JI. [52] рассмотрен полуаналитический метод решения линейных задач анизотропной теплопроводности в полупространстве, основанный на численном обращении преобразования Лапласа.

В работе Чепрасова А.И. [148] численно моделируется трёхмерная анизотропная теплопроводность в аномальной подобласти, принадлежащей бесконечной расчётной области с использованием метода дробных шагов Яненко [156].

Как видно, работ по анизотропной теплопроводности очень мало, а работы по анизотропной теплопроводности многомерных тел с криволинейными границами в условиях сложного теплообмена, фильтрации и уноса массы и вовсе отсутствуют.

На основе изложенного, формулируются следующие цели диссертации:

1. Модификация существующей и разработка новой математической модели плёночного охлаждения анизотропных пористых тел в условиях аэродинамического нагрева на основе моделирования неизотермической фильтрации охладителя с сильной зависимостью его динамической вязкости от температуры.

2. Разработка инженерной методики определения массовых скоростей расхода и испарения жидкой плёнки, а также температурных полей с учётом фильтрации охладителя со «сверхтекучими» свойствами при умеренном изменении температуры, на основе аналитического решения нелинейной задачи тепломассопереноса при плёночном охлаждении.

3. Модификация существующей математической модели и методов решения многомерной анизотропной теплопроводности с учётом фильтрации и уноса массы в затупленных носовых частях ЛА в криволинейных системах координат при их аэродинамическом нагреве.

4. Исследование многомерных температурных полей в зависимости от величин главных коэффициентов теплопроводности и ориентации главных осей тензора теплопроводности. Исследование полей давления и компонентов скорости анизотропной фильтрации, а также динамических и тепловых характеристик защитной жидкой плёнки. Для численной реализации комплексов задач, перечисленных в этих целях, необходимо выбрать численный метод, удовлетворяющий следующим требованиям: экономичности, абсолютной устойчивости, простоте алгоритмизации. К настоящему времени существует огромное число работ, посвященных численному решению параболических задач. Среди экономичных численных схем необходимо отметить следующие: метод дробных шагов (МДТТ1) Яненко Н.Н. [156, 157], метод переменных направлений (МПН) Писмена-Рэчфорда [162], центрально-симметричный метод Самарского А. А. [117], метод переменных направлений с экстраполяцией (МПНЭ) Формалёва В.Ф. [136, 137], метод полного расщепления (МГТР) Формалёва-Тюкина [137]. Метод стабилизирующей поправки, являясь разновидностью методов расщепления, был предложен Дугласом Д. и Ганном Д. [159]. Метод предиктор-корректор для уравнений параболического типа был развит в работе Дугласа Д. и Джонса В. [160].

Все эти методы являются экономичными, поскольку сводятся к скалярным прогонкам по координатным направлениям и абсолютно устойчивыми, если дифференциальные уравнения не содержат смешанных дифференциальных операторов. При наличии смешанных производных все перечисленные методы, за исключением методов [136, 137], являются условно устойчивыми, даже такой метод, как метод дробных шагов Яненко Н.Н. Поэтому для программной реализации использован экономичный, абсолютно устойчивый метод переменных направлений с экстраполяцией (МПНЭ), разработанный научным руководителем. По точности и порядку аппроксимации он уступает таким методам, как МПН, метод стабилизирующей поправки, но по запасу устойчивости он не имеет себе аналогов. Кроме этого, МПНЭ обладает полной аппроксимацией на каждом дробном временном подслое.

Ниже изложено краткое содержание диссертации. Она состоит из введения, четырёх глав с выводами, заключения и списка литературы.

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

1. Развиты математическая модель, методы и алгоритмы комплексной проблемы о численном решении тепломассопереноса при плёночном охлаждении затупленных носовых частей летательных аппаратов (ЛА), изготовленных из анизотропных материалов, в условиях их аэродинамического нагрева. Комплексная математическая модель включает в себя следующие частные модели: теплообмена на внутренней границе при естественной конвекции охладителя; двумерной нестационарной анизотропной теплопроводности с учётом фильтрации; двумерной квазистационарной неизотермической анизотропной фильтрации охладителя; образования защитной жидкой плёнки охладителя путём вдува в пограничный слой отфильтровавшейся жидкости; течения с теплообменом и испарением упомянутой жидкой плёнки.

2. В рамках этой модели разработаны методы определения полей давления анизотропной неизотермической фильтрации через организованные поры и полей радиального и продольного компонентов вектора скорости фильтрации; внеитерационного и итерационного определения кинематических и тепловых характеристик жидкой плёнки, включая распределение толщин плёнки по затуплению; определение массовых и линейных скоростей вдува и испарения охладителя; доказана теорема о достаточных условиях сходимости метода глобальных итераций.

3. Разработана упрощённая (инженерная) математическая модель и аналитический метод её решения плёночного охлаждения тел охладителем, чья динамическая вязкость изменяется на несколько порядков при изменении температуры (на 3-5 порядков при изменении температуры на 150-200 градусов). На основе этой модели строится система тепловой защиты ЛА с автоматической подачей охладителя. При этом тело не меняет своей геометрии (отсутствует унос массы), а температура всей системы находится в окрестности температуры испарения охладителя.

4. Развиты математическая модель, методы и алгоритмы численного решения нестационарных задач анизотропной теплопроводности с учётом фильтрации и уноса массы для затупленных носовых частей ДА при их аэродинамическом нагреве. Разработаны методы: определения начала и окончания уноса массы; неявной аппроксимации лучистых тепловых потоков на высокотемпературной границе, как в радиальной, так и в продольной скалярных прогонках, позволившей ликвидировать неустойчивость из-за явной аппроксимации лучистых тепловых потоков; уточнения скорости движения наружной границы, путём учёта функции, учитывающей поведение наружной границы при уносе массы. Доказаны теоремы о предельной погрешности в определении температуры наружной границы при явной аппроксимации лучистых тепловых потоков и о существовании как минимум единственного положительного корня уравнения четвёртой степени относительно температуры наружной границы в широком диапазоне теплофизических характеристик.

5. Проведены численные эксперименты по определению полей давления, полей продольного и поперечного компонентов вектора скорости анизотропной неизотермической фильтрации охладителей, в том числе охладителей со «сверхтекучими» свойствами, а также кинематических и тепловых характеристик жидкой плёнки. Исследования показали: градиент давления анизотропной фильтрации максимален на внутренней границе тела, причём на изобаре продольный компонент вектора скорости фильтрации не равен нулю; радиальный компонент вектора скорости фильтрации монотонно убывает в направлении от внутренней к наружной границе, а продольный -немонотонно возрастает, принимая различные по знаку значения; отрицательный баланс массовых скоростей вдува и испарения охладителя не означает, что толщина плёнки охладителя в этом месте равна нулю; температура всей системы не превышает температуры кипения охладителя. Эти исследования позволили сделать следующие рекомендации: предложенный способ тепловой защиты с использованием анизотропной фильтрации «сверхтекучих» жидкостей возможен, поскольку расход охладителя составляет примерно 4 - 8 г/л*2-с; предлагаемый способ эффективен для защиты только затуплений, а не боковых поверхностей, где расход охладителя резко увеличивается.

6. Исследования двумерных нестационарных температурных полей в анизотропных затупленных носовых частях JIA показали, что уровень температур и величину уноса массы можно регулировать с помощью характеристик тензора теплопроводности, в частности, выбором теплозащитных материалов с главными компонентами и главными осями тензора теплопроводности, позволяющими отводить тепловую энергию в хвостовую часть носового затупления, в результате чего температура наружной границы не достигает температуры уноса массы и конструкция работает в условиях отсутствия уноса массы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Авдуевский B.C., Галицейский Б.М., Глебов Г.А. и др. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. М.: Машиностроение, 1992.

2. Алексашенко А.А., Алексашенко В.А., Селезнёв Н.В. Решение уравнений тепломассопереноса для тел классической формы с учётом конечной скорости капиллярного движения // В кн.: Строительная теплофизика. М.-Л.: Энергия. 1966. с. 270.

3. Алексашенко А.А. Аналитическое исследование тепло и массопереноса с учётом конечной скорости переноса. Канд. Дисс. ИТМО. -Минск, 1968.

4. Андриевский Р.А. Пористые металлокерамические материалы. М.: Металлургия, 1964.

5. Аравин В.И., Нумеров С.Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде. -М.: Гостехиздат, 1953.

6. Аналитические методы в теории фильтрации и теплопроводности. -Киев. Изд-во Института математики АН УССР. 1979.

7. Аттетков А.В., Волков И.К., Тверская Е.С. Оптимальная толщина охлаждаемой стенки с покрытием, подверженной локальному импульсно-периодическому нагреву // ИФЖ. 2001. т. 74, №6, с. 82-87.

8. Аттетков А.В., Волков И.К., Тверская Е.С. Математическое моделирование процесса теплопереноса в экранированной стенке при осесимметричном тепловом воздействии // Изв. АН. Энергетика. 2003. №5. с. 75-88.

9. Аттетков А.В., Волков И.К. Математическое моделирование процессов теплопереноса в области с движущейся границей в условиях нестационарного теплообмена с внешней средой // Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. 1999. №1. с. 37-45.

10. Берман Р. Теплопроводность твёрдых тел. М.: Мир, 1979.

11. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности, часть 2. -М.: ВШ., 1982.

12. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.

13. Бан А., Басиев К.С., Николаевский В.Н. Об основных уравнениях фильтрации в сжимаемых пористых средах // ПМТФ. 1961. №3. с. 52.

14. Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде // ПММ. 1952. т. 16. вып.1.

15. Баренблатт Г.И., Вишик М.И. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа. // ПММ. 1956. т.20, вып.З.

16. Боровой В.Я. Приближенный расчёт плёночного охлаждения // Труды ЦАГИ. 1963. вып.504.

17. Боровой В.Я. и др. Исследование теплозащитных материалов на струйных плазменных установках. Тех. Отчёт ЦАГИ, 1965.

18. Боровой В.Я. Исследование нагревания проницаемой поверхности в гиперзвуковом потоке газа при подаче жидкости с переменной вязкостью // Труды ЦАГИ. 1969. вып.1108.

19. Будак Б.М., Гольдман H.JI. и др. Метод выпрямления фронтов для решения задач типа Стефана в многомерном случае // В кн.: Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ. т.8, 1967.

20. Берцун В.Н., Крицкий O.JI. К вопросу о математическом моделировании тепловых полей в средах с анизотропной теплопроводностью//Томск: Пеленг, 1998. с. 12-19.

21. Бураков В.А., Берцун В.Н., Крицкий O.JI. Сравнительный анализ численных методов решения нестационарной задачи анизотропной теплопроводности // Томск: Пеленг. 2001. с. 275-278.

22. Бернадинер М.Г. Численное решение стационарных задач нелинейной фильтрации. М.: Наука, 1974.

23. Бобров И.Н., Курячий А.П. Численное и экспериментальное моделирование систем радиационной и комбинированной теплозащиты // ТВТ. 1996. т.34. №1. с. 75-82.

24. Бобров И.Н., Курячий А.П. Об уравнении энергии процессов тепломассопереноса и фазовых превращений в пористых телах // ТВТ. 1994. т.32. №3. с. 441-445.

25. Бровкин Л.А., Крыжова Л.С. К решению задач теплопроводности в пористом теле // Изв. Высших учебных заведений «Энергетика». 1987. №2.

26. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963.

27. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972.

28. Варгафтик Н.Б. Теплофизические свойства веществ. М.: Госэнергоиздат, 1956.

29. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.

30. Васильев Л.А. Теплопроводность сухих пористых систем // В кн. Исследования по теплопроводности. Минск: Наука и техника, 1967. с.262.

31. Гельфанд И.М., Локуциевский О.В. Метод прогонки для решения разностных уравнений // В кн. Годунова С.К., Рябенького B.C. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962.

32. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию) -М.: Наука, 1977.

33. Гребер Г., Эрк. С., Григулль У. Основы учения о теплообмене. М.: ИЛ, 1958.

34. Гринберг Г.А., Чекмарёва О.М. О движении поверхности раздела фаз в задаче стефановского типа // ЖТФ. 1970.

35. Гидродинамика и фильтрация однородных и многофазных потоков. Сб. статей Моск. ин-та нефтехимии и газовой промышленности им. Губкина. М.: Недра, 1972.

36. Глущенко А.А. Некоторые пространственные задачи теории фильтрации. Киев: Изд-во Киевского ун-та, 1970.

37. Дородницын А.А. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэродинамики // В сб. Труды III Всесоюзного математического съезда, 1956. М.: АН СССР, 1958. т.З. с. 447.

38. Дульнев Г.Н., Сигалова З.В. Теплопроводность зернистых систем // В кн. «Тепло и массоперенос», т.7. - М.: Энергия, 1966.

39. Дульнев Г.Н., Сигалова З.В. Эффективная теплопроводность зернистых материалов // ИФЖ. 1967. т.13, №5.

40. Дульнев Г.Н., Заришняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. JL: Энергия, 1974.

41. Дьяконов Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для общих параболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами // ЖВМ и МФ. 1964. т.4. №2.

42. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкциях летательных аппаратов (методы расчёта). -М.: Машиностроение, 1978.

43. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. — М.: Энергоатомиздат, 1983.

44. Ильин В.П. О расщеплении разностных уравнений параболического и эллиптического типов // Сибирск. матем. журнал. 1965. т.6. №1.

45. Камья Ф.М. Импульсная теория теплопроводности. М.: Энергия, 1972.

46. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твёрдых тел. М.: Наука, 1964.

47. Карташов Э.М., Любов Б.Я. Аналитические методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности в области с движущимися границами // Изв. АН СССР, серия «Энергетика и транспорт». 1974. №6. с. 83-111.

48. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. М.: Высшая школа. 2001.

49. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами (обзор) // ИФЖ. 2000. т.74. №2. с. 1-24.

50. Карчевский М.М., Лапин А.В., Ляшко А.Д. Экономичные разностные схемы для квазилинейных параболических уравнений // Изв. Вузов. Математика. 1972. т.118. №3.

51. Крицкий О.Л. Применение а р алгоритма для решения двумерных нестационарных задач анизотропной теплопроводности // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики. Сб. статей. Томск, гос. унта. 1999. Вып.З.

52. Ким. Л.В., Миков В.Л. Решение нестационарной теплопроводности в анизотропных средах // Деп. в ВИНИТИ, №642 В86. 1986.

53. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. -М.: Наука, 1975.

54. Коздоба Л.А., Чумаков В.Л. Решение нелинейных задач нестационарной теплопроводности методом возмущений // ТВТ. 1970. т.8. №5.

55. Коляно Ю.М. Определение температурных полей в тонких анизотропных пластинах // ДАН БССР. 1970. т. 14. № 1.

56. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. М.: Мир, 1964.

57. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Изд-во НГУ. 1972.

58. Коновалов А.Н. Метод расщепления по физическим процессам в задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1972.

59. Краевые задачи теории теплопроводности // Сб. статей ин-та математики УССР. Киев, 1975.

60. Краевые задачи теории фильтрации // Сб. статей ин-та математики АН УССР.-Киев, 1973.

61. Кузьмин Р.Б., Полежаев Ю.В., Поляков А.Ф., Ревизников Д.Л. Численное моделирование сопряженного теплообмена при обтекании лопаток газовых турбин // ТВТ. 1995. т.ЗЗ. №4. с. 608-615.

62. Кузнецов Е.Н., Ривкинд Я.И. Решение одной задачи фильтрации // Численные методы механики сплошной среды. 1974. т.5. №4.

63. Кузнецов Е.Б. Наилучшая параметризация при построении кривой итерационным методом // ДАН. 2004. т.394. №6. с. 746-748.

64. Кузнецов Е.Б. Наилучшая параметризация при построении кривой // ЖВМ и МФ. 2004. т.44. №9. с. 1540-1553.

65. Курячий А.П. Модель радиационно-испарительной тепловой защиты с фильтрацией пара сквозь теплоизоляцию // ТВТ. 1999. т. 37. №3. с. 445451.

66. Кучеров А.Б., Николаев Е.С. Попеременно треугольный итерационный метод решения сеточных эллиптических уравнений в прямоугольнике//ЖВМ и МФ. 1976. т. 16. №1.с. 1164-1174.

67. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979.

68. Лапин А.В., Ляшко А.Д. Исследование разностной схемы для квазилинейного параболического уравнения любого порядка // В сб. Функциональный анализ и теория функций. Казань. Изд-во Казанского ун-та, 1971.

69. Лебедев Д.П., Перельман Т.Л. Тепло и массообмен в процессах сублимации в вакууме. - М.: Энергия, 1973.

70. Леонтьев А.И. Теория тепло массопереноса. - М.: Физматлит, 1997.

71. Лунёв В.В. Гиперзвуковое обтекание притуплённых конусов с учётом равновесных физико-химических превращений. М.: ВЦ АН СССР, 1968.

72. Лунёв В.В. Гиперзвуковая аэродинамика. М.: Машиностроение, 1975.

73. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло и массообмена. - М.: Госэнергоиздат, 1963.

74. Лыков А.В. Явления переноса в капиллярно-пористых телах. М. - Л.: Гостехиздат, 1954.

75. Лыков А.В., Васильева Г.В. Исследование тепло и массообмена при испарении жидкости из капиллярно-пористого тела // ИФЖ. 1968. т. 14. №3. с. 395.

76. Лыков А.В. Теория сушки. М.: Энергия, 1969.

77. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.

78. Лыков А.В., Берковский Б.М. Конвекция и тепловые волны. М.: Энергия, 1974.

79. Лыков А.В. Об эффектах анизотропии переноса тепла в потоках жидкостей и газов // ИФЖ, 1973. т. 25. №4. с. 72.

80. Лыков А.В., Перельман Т.Л. О нестационарном теплообмене между телом и обтекающим его потоком жидкости // В кн.: Тепло и массообмен с окружающей газовой средой. - Минск: Наука и техника, 1965.

81. Лыков А.В., Алексашенко А.А., Алексашенко В.А. Сопряженные задачи конвективного теплообмена. Минск: Изд-во БГУ, 1971.

82. Лыков А.В. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергия, 1978.

83. Любов Б.Я., Соболь Э.М. Процессы теплопереноса при фазовых превращениях под действием интенсивных потоков энергии // ИФЖ. 1983. т.45. №3. с. 670.

84. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

85. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1983.

86. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988.

87. Материалы и покрытия в экстремальных условиях. Взгляд в будущее: в 3-х т. т.1. Прогнозирование и анализ экстремальных воздействий. Под ред. С.В. Резника. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

88. Минайлос А.Н., Толстых А.Н. Неявные конечно разностные схемы повышенной точности для сквозного счёта разрывных решений // ЖВМ и МФ. 1975. т.15. №3. с. 527.

89. Мельников Ю.А., Рыдванский Т.В. Решение двумерных краевых задач нестационарной теплопроводности для областей сложной формы // Рукопись деп. в ВИНИТИ 16.05.84, №3163 84 Деп.

90. Мурзаджанзаде А.Х. и др. О законе фильтрации газа в пористой среде // ДАН СССР, серия «Математическая физика», 1969. т. 184. №4. с. 794.

91. Митропольский Ю.А. и др. Нелинейные задачи теплопроводности с производной по времени в граничном условии. — Киев: Институт математики, 1974.

92. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. М.: Энергия, 1973.

93. Мугалёв В.П. Влияние вдувания различных газов на теплообмен вблизи критической точки затупленного тела // Изв. АН СССР. «Механика». 1965. №1.

94. Несис Е.И. Кипение жидкости. М.: Наука, 1973.

95. Никитенко Н.И. Теория тепло и массопереноса. - Киев: Наукова думка, 1983.

96. Никитенко Н.И. Сопряжённые и обратные задачи тепломассопереноса. Киев: Наукова думка, 1988.

97. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

98. Пасконов В.М., Полежаев В.И. Численное моделирование процессов тепло и массообмена. - М.: Наука, 1984.

99. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984.

100. Перельман Т.JI. О сопряженных задачах теплообмена // В кн.: Тепло и массоперенос. - Минск: Наука и техника. 1963. т.5.

101. Павлюкевич Н.В., Горелик Г.Е. и др. Физическая кинетика и процессы переноса при фазовых превращениях. Минск, 1980.

102. Пехович А.И., Жидких В.М. Расчёты теплового режима твёрдых тел. -Л.: Энергия, 1976.

103. Пирумов У.Г. Численные методы. М.: Вагриус. 2004.

104. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. М.: Энергия, 1976.

105. Полежаев Ю.В., Панкратов Б.М. Взаимодействие материалов с газовым потоком. -М.: Машиностроение, 1976.

106. Юб.Пэдовен Д. Распределение температуры в трёхмерных оболочках вращения // Ракетная техника и космонавтика. 1972. №1. с. 71.

107. Пэдовен Д. Нестационарное распределение температур в анизотропном полупространстве // Ракетная техника и космонавтика. 1973. №4. с. 174.

108. Пэдовен Д. Обобщённый метод Штурма Лиувилля решения нестационарной теплопередачи в анизотропной композиционной среде // ракетная техника и космонавтика. 1974. №8. с. 190.

109. Пунь К.С., Цзоу Р.С., Чжан Ю.П. Решение анизотропных задач первого класса методом преобразования координат // Теплопередача. 1979. №2. с. 177.

110. Ревизников Д.Л., Сафонов В.Е., Формалёв В.Ф. Численное моделирование сопряженного теплообмена при сверхзвуковом обтекании осесимметричных тел // В кн.: Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации 1986 г. М.: Наука, 1987.

111. Ревизников Д.Л., Формалёв В.Ф. Моделирование граничных условий в задачах сопряженного теплообмена // В кн.: Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации 1988г. М.: Наука, 1989.

112. Ревизников Д.Л, Коэффициенты неизотермичности в задаче нестационарного сопряженного теплообмена на поверхности затупленного тела // ТВТ. 1995. т.ЗЗ. №2. с. 261 267.

113. Розенсвейг Р.Е., Бичер Н. Теория процесса уноса массы феноловых смол, армированных стекловолокном // Ракетная техника и космонавтика. 1963. т. 1. №8. с. 53.

114. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972.

115. Рождественский Б. Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. -М.: Наука, 1968.

116. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

117. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

118. Самарский А.А. Экономичные разностные схемы для уравнений параболического типа со смешанными производными // ЖВМ и МФ. 1964. т.4. №4.

119. Самарский А.А., Галактионов В.А. и др. Режим с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

120. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

121. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

122. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. -М.: Наука, 1975.

123. Самарский А.А., Вабишевич П.М. Численные методы решения задач «конвекция диффузия». - М.: Физматлит, 1999.

124. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. М.: Физматгиз, 1960.

125. Сафронов И.Д. Разностная схема с диагональными направлениями прогонок для решения уравнения теплопроводности // ЖВМ и МФ. 1965. т.5. №5.

126. Серебряный Г.Л., Зарудный Л.Б., Шорин С.Н. Исследование теплопереноса в дисперсных средах применительно к высокотемпературной теплоизоляции // В кн.: Тепло и массоперенос. Минск: Наука и техника, 1968. т.5.

127. Теплообмен при фазовых переходах // Сб. научн. тр. НТФ СО АН СССР под ред. Кутателадзе С.С., Новосибирск, 1989.

128. Теплопроводность твёрдых тел. Справочник под ред. А.С. Охотина. -М.: Энергоатомиздат, 1984.

129. Тимошенко В.П. Проектирование и экспериментальная отработка теплозащиты «Бурана» // Передовые термические технологии и материалы. 4.2 М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

130. Толубинский В.И. Теплообмен при кипении. Киев: Наукова думка, 1980.

131. Физическая кинетика и процессы переноса при фазовых превращениях. Минск: Наука и техника, 1980.

132. Формалёв В.Ф. Численное исследование двумерных нелинейных задач теплопроводности в анизотропных телах // ТВТ. 1988. т.26. №6. с. 1122.

133. Формалёв В.Ф. Численное исследование сопряженного теплообмена в условиях фильтрации и плёночного охлаждения затупленных анизотропных тел // ТВТ. 1992. т.30. №2. с. 334 344.

134. Формалёв В.Ф. Анализ двумерных температурных полей в анизотропных телах с учётом подвижных границ и большой степени анизотропии // ТВТ. 1990. т.28. №4. с. 715 721.

135. Формалёв В.Ф. Моделирование нелинейной неизотермической фильтрации в условиях плёночного охлаждения анизотропных тел // ТВТ. 1997. т. 35. №2. с. 1 7.

136. Формалёв В.Ф. Метод переменных направлений с экстраполяцией по времени для параболических задач со смешанными производными // Вычислительные технологии. 1996. т.1. №2. с. 99 103.

137. Формалёв В.Ф. Тепломассоперенос в анизотропных телах. Обзор // ТВТ. 2001. т. 39. №5. с. 810-832.

138. Формалёв В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: Физматлит. 2004.

139. Формалёв В.Ф., Чипашвили А.А., Миканёв С.В. Моделирование нового способа тепловой защиты стенок энергетических установок при высокоинтенсивном нагреве // Известия РАН. «Энергетика». 2004. №5. с. 147- 156.

140. Формалёв В.Ф., Колесник С.А., Чипашвили А.А. Численное моделирование теплопереноса в анизотропных телах с разрывными характеристиками // Математическое моделирование. 2004. т. 16. №5. с.94-102.

141. Формалёв В.Ф., Колесник С.А, Чипашвили А.А. Аналитическое исследование теплопереноса при плёночном охлаждении тел // ТВТ. В 2004 г. статья принята к опубликованию в 4-м номере 2005 г.

142. Формалёв В.Ф., Кузнецова Е.Л., Чипашвили А.А. Моделирование нестационарной задачи Стефана в двумерных областях в условиях уноса массы анизотропных композиционных материалов // Тез. Докл. на 10-м

143. Межд. симпоз. «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». 9-13 февраля 2004 г. Ярополец Моск. обл. Изд-во МАИ. с. 33 34.

144. Хирс Д., Паунд Г. Испарение и конденсация. М.: Металлургия, 1966.

145. Чепрасов А.И. Математическое моделирование теплового состояния анизотропного материала в области дефекта структуры // Деп. ВИНИТИ. №7002-В, 1985.

146. Чиркин B.C. Теплопроводность промышленных материалов. Справочное пособие. М.: Машгиз. 1962.

147. Шнейдер п. Инженерные проблемы теплопроводности. — М.: ИЛ. 1960.

148. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969.

149. Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. -М.: Гостопиздат, 1960.

150. Эккерт Э.Р., Дрейк P.M. Теория тепло и массопереноса. - М.: Госэнергоиздат, 1961.

151. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

152. Яненко Н.Н. Разностные методы решения задач математической физики. М.: Наука, 1973.

153. Crank J., Nicolson P.A. Practical method for numerical Evaluation of Solution of Partial Differential Equations of the Heat Conductions Type. Proc. Camb., Phil. Soc., vol. 43, pp. 50 67, 1947.

154. Douglas J., Gunn J. Alternating direction methods for parabolic systems in m-space variables // J. Assoc. Compet. Machinery. 1962. vol. 9. №4.

155. Douglas J., Jones B. One predictor corrector method for nonlinear parabolic differential equations // J. Soc. Industr. Appl. Math. 1963.vol. 11. №1.

156. Eckert E.P., Drake R.M. Heat and Mass Transfer. McGraw Hill, New York, 1972.

157. Peaceman D., Rachford H. The Numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // SIAM. 1955, vol. 3, №1.

158. Rachford H. Rounding errors on alternating direction methods for parabolic equations // Appl. Mathematics. 1968. vol. 13, №2.

159. Scala S.M., Gilbert L.M. Thermal degradation of a char forming plastics during supersonic flight // ARSJ. 1962, №6.

160. Satage R.T., Love W., Bloetscher F. High Temperature Performance of Flexible Thermal Protection Materials // AIAA Paper. 1984. №1770. 9p.

161. Shin P.K., Zwan A.D., Kelley H.N. Thermal Protection System Optimization for a Hypersonic Aerospace Vehicle // AIAA Paper. 1988. №2839. 9p.

162. Ho C.Y., Powell R.W., Liley P.E. Thermal Conductivity of Selected Materials, Part 2. Washington: US Government Printing Office. 1968. pp. 129 -133.