автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах при высокоинтенсивном нагреве

На правах рукописи УДК 536.21; 27.35.25

Кузнецова Екатерина Львовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ ПРИ ВЫСОКОИНТЕНСИВНОМ

НАГРЕВЕ

Специальность 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре «Вычислительная математика и программирование» Московского авиационного института (государственного технического университета).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Защита состоится « 22 » декабря 2006г. в 13 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.125.04 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу: 125993, Москва, Волоколамское шоссе, д.4, главный административный корпус, зал заседаний Ученого Совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета)

Научный руководитель: заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-

математических наук, профессор Формалев Владимир Федорович

Волков Игорь Куприянович

кандидат физико-математических наук, доцент

Янин Анатолий Владимирович

Ведущая организация: Московская государственная академия тонкой

химической технологии им. М.В. Ломоносова

Автореферат разослан < 2006г.

Ученый секретарь

диссертационного совета к.ф.-м.н.,доцент

Ротанина М.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Композиционные материалы широко применяются в качестве теплозащитных материалов (ТЗМ) благодаря своим уникальным свойствам, вытекающим из технологии их изготовления. Матрица из тонковолокнистого наполнителя (стекло-, абсо-, угле- и т.д. волокон) пропитывается связующими - легко разлагающимися при умеренных температурах смолами. В результате получаются различные пластики : стекло-, угле-, абсо- и т.д. пластики. При использовании таких материалов в качестве теплозащитных при гиперзвуковых скоростях полета (числа Маха М> 5 ч-6) летательных аппаратов (ЛА) тепловые потоки от высокотемпературных пограничных слоев поглощаются за счет следующих факторов: объемной теплоемкости до ~ 600К; эндотермических реакций разложения связующего (пиролиза) с образованием пористого остатка и пиролизных газов (от -600К до ~1100К); фильтрации пиролизных газов через пористый остаток; вдува пиролизных газов в пограничный слой; уноса массы пористого остатка при достижении наружной поверхностью температуры уноса массы (для различных материалов - различная).

Отсюда видно, что математическое моделирование процессов тепломассопереноса в композиционных материалах представляет собой сложную комплексную проблему, которая в полной мере не решена до сих пор и которой уделяется значительное внимание не только теплофизиками, аэродинамиками , материаловедами, но и математиками.

До настоящего времени математическое моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах осуществлялось для отдельного композиционного материала в силу различных химических составов, и различных физико-химических превращений. Попытки разработать универсальные математические модели тепломассопереноса, пригодные для любого композиционного материала, не приводили к успеху.

В этой связи тематика диссертационной работы, направленной на разработку универсальных математических моделей тепломассопереноса в

3

композиционных материалах, пригодных для любого композиционного материала, является актуальной.

Цели работы. Целями работы являются идентификация закона разложения связующих, позволяющего обойти химическую кинетику и пригодного для любого композиционного материала, идентификация нелинейного закона фильтрации пиролизных газов, разработка на основе этих законов физико-математических моделей, модификация существующих численных методов решения задач тепломассопереноса в композиционных материалах, в том числе в анизотропных материалах, разработка программных комплексов и исследование температурных полей и полей давления фильтрации пиролизных газов.

Методы исследования. Для решения задач типа Стефана с тремя нестационарно подвижными границами с учетом фильтрации используются разностно-итерационные методы, а для решения задач тепломассопереноса в анизотропных композиционных материалах - экономичный абсолютно устойчивый метод переменных направлений с экстраполяцией (МПНЭ) с модификацией, использующей интегро-интерполяционный метод Самарского A.A.

Научная новизна. К новым научным результатам относятся: идентификация закона разложения связующих композиционных материалов; идентификация нелинейного закона фильтрации пиролизных газов через пористый остаток; сведение задачи о тепломассопереносе в композиционных материалах на основе этих законов, к задаче типа Стефана с тремя подвижными границами с учетом фильтрации; модификация схемы МПНЭ численного решения многомерных задач анизотропной теплопроводности и анизотропной фильтрации путем использования интегроинтерполяционного метода Самарского A.A., позволяющего сохранить порядок аппроксимации в граничных узлах таким же, как и в регулярных узлах; получение аналитического решения задачи типа

Стефана с двумя подвижными границами и использование его для тестирования численных методов.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов обосновывается корректной постановкой математических моделей, сравнением полученных результатов с аналитическими решениями и использованием в идентифицированных законах экспериментальных данных.

Практическая и теоретическая ценность. Разработанные в

диссертации математические модели, численные методы и программные комплексы могут быть использованы для расчетов тепловой защиты, изготовленной из композиционных в том числе и анизотропных материалов, при аэрогазодинамическом нагреве гиперзвуковых летательных аппаратов. Идентифицированные законы разложения связующих и нелинейной фильтрации могут быть использованы при математическом моделировании тепломассопереноса для любого композиционного материала.

Основные положения, выносимые на защиту;

1. Идентификация закона разложения связующих произвольных композиционных материалов.

2. Идентификация нелинейного закона фильтрации пиролизных газов через пористый остаток.

3. Математическая модель, численный метод и программный комплекс, основанные на законах по пунктам 1 и 2.

4. Математическая модель, метод численного решения и программный комплекс по расчету многомерного тепломассопереноса в анизотропных композиционных материалах.

5. Аналитическое решение задачи типа Стефана с двумя подвижными границами.

6. Результаты численных экспериментов.

Анробацня работы. Материалы диссертации докладывались на семинаре кафедры «Вычислительная математика и программирование» под руководством чл.-корр. РАН, профессора Пирумова У.Г., на 9-м, 10-м, 11-м, 12-м Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред» , Ярополец, Моск. обл., в 2003, 2004, 2005, 2006 годах, на 1-ой Международной научно-технической конференции, посвященной 90-летию акад. В.М. Челомея в г. Москве 2005 г., на 3-й и 4-й Международной конференциях «Актуальные проблемы развития отечественной авиации и космонавтики» в г. Москве в 2004, 2006 годах.

Публикации. Оновные результаты работы опубликованы в научных статьях [1-4] и 8 тезисах докладов [5-12]. Степень участия автора в академических работах [1-4] - участие в математическом моделировании, разработке алгоритмов, программных комплексов и анализ результатов.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ №04-01-81012 Бел 2004 а, №-01-01-00110, НШ, № 4228.2006.1

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, дается обзор литературы и краткое содержание глав работы.

В первой главе в одномерной по пространственным переменным постановке численно моделируется нестационарный тепломассоперенос в композиционных материалах в виде задачи типа Стефана с тремя подвижными границами с учетом фильтрации.

В параграфе 1.1. на основе известных экспериментальных значений температур Т",Т" и плотностей Р„,РК начала и окончания разложения связующих идентифицирован закон их разложения (аналог закона Аррсниуса в

химической кинетике), позволяющий в пространстве и времени определять

б

плотность связующих в зоне разложения, генерацию пиролизных газов и их давления торможения.

(1)

где Л = С,-ри

Рп С2)

В-

т"-т" '

г -Р«~Р+ , (А,-л.КГ г _(р"-Рк)(к'У'-(-СГ')

* (сГ-(сГ 2" (сГ-(сГ '

, (Р«-рЖ<У~{<*У) а , (Р«-РЖ<Т'-Ш)

р (сГ-кТ ' к к/М*:)" '

где *Г(0.*Г(0- координаты границ начала и окончания разложения связующих,

/ .. у+1

р~ -значение плотности в и-и момент времени в точке ) , р~ = (дг**)Г+1), а р* —значение плотности в (п + 1)-й момент времени в точке

Нелинейное уравнение (1) относительно плотности р для зоны разложения связующих х"н(1) <х< х"(1) решается численно.

В параграфе 1.2. на основе анализа течения вязкого газа в капилляре, введения фильтрационного числа Рейнольдса, нелинейной функции этого числа и дальнейшего ее определения, идентифицирован нелинейный закон фильтрации

----(2)

р('Г)(\ + П • Яс^) <±с

отличный от известного линейного закона Дарси

О)

р ах

путем учета инерционных членов в уравнении сохранения импульса. Здесь ит(х)-среднеинтегральная по сечению капилляра скорость пиролизных газов, р(Т) - их динамическая вязкость , П- пористость, к- коэффициент проницаемости, р-

давление, Ие, - фильтрационное число Рейнольдса (Ке, -- ришл[к/(п^212). На рис.1 представлено сравнение закона (2) с линейным законом Дарси (3) при различных значениях ¿и(Т) и модуля градиента давления с1р/<±с, которое показывает, что нелинейность необходимо учитывать уже при градиентах давления 1,5-108П а и ниже, и значений динамической вязкости 8-\в' кг/м-с и ниже.

В параграфе 1.3 на основе законов (1) и (2) моделируется тепломассоперенос в композиционных материалах.

Краевое условие на границе м>1 с высокотемпературным газодинамическим потоком в виде баланса различных видов тепловой энергии

г

о, * = *„), =л-„+2я = л,, 0<<<'н ; (4)

м-е'(г")> 1п<к1к, *=*;,(?). (5)

Уравнение теплопроводности в конструкционных материалах с условиями непрерывности тепловых потоков и температур и граничным условием на границе м>2 в виде баланса тепловых потоков

= 5 = 1^, />0; (б)

-е„г<?Т;г= 0, х = ха, />0. (8)

а

Уравнение теплопроводности с учетом фильтрации в пористом остатке с известной температурой на границе х"(/)

т=т", *=*;•(')> '>'"■ (Ю)

Уравнение энергии в зоне разложения связующего с учетом физико-химических превращений с тепловым эффектом 2" и фильтрацией с переменной

8

О 1x10" »к 1С О 1 х «О» 2 к 10"

О 1К1Р* а X На* О 1x10й Эх 10»

*)р!Лх. П«/и П«/м

Рис. 1. Сравнение линейной - 1 и нелинейной - 2 скоростей фильтрации в зависимости от градиента давления динамической вязкости: а -и = Ю х 10 5 кг/м-с; б - ц = 8 х 1СГ5 кг/м-с; в - // = 6x10"' кг/м-с; г -д = 4х1(Г5 кг/м-с; д- ¿( = 2х10~5 кг/мс;е- /¿ = 1х10~5 кг/м-с.

пористостью и температурой на границе дг"(/)

*Г(0<*<*Г(0> <>/"П"(л:) = П-4Р^г, д:Г(0<*<*."('). 1>*~1 (11) Т = Т", * = д;Г(/), Г>лГ- (12)

Условия Стефана на нестационарно подвижных границах начала х"{1) и окончания л" (/) соответственно

(*)Ж)§ - -(^Ж® .....=^:(<)сл

х=х„ (|-)+0

- (А')(7»")§ „,.....=о*)* (х" 0) - °К (Ов'.

(13)

(14)

Уравнения, определяющие фильтрацию в пористой области ,а именно закон фильтрации (2), уравнение неразрывности, состояния, и краевые условия по давлению - на наружной границе и-I и давление торможения р0 па границе х"(/)

д(Рг»г)_ , д . Рг(х)Мг -Х АтДгС.

р,т= ]pr(t)dt, x"{t)<x<xw,{t),t>t". (15)

С

Начальные условия для температуры и подвижных границ Т(х,0) = Т„(х), x0<x<x„,;x"(D) = x?(0) = x:i(0) = xwl;/ = 0. (16)

Здесь: TrX,Ttl,s,Q- соответственно эффективные значения температур окружающей среды с учетом скорости, степень черноты, теплота фазовых превращений, T,a,Mr,Rr - соответственно, температура, коэффициент теплоотдачи, средняя молярная масса смеси газов и газовая постоянная, Sr -толщина композита. Индексы: s - номер слоя, 4 = 1,г; * - наружная подвижная граница; **- внутренние подвижные границы; <?1,е2 - окружающая среда на границах wl и w2; Г - газ; н,к - начало и конец.

В параграфе 1.4 приведена методология численного решения на основе неявного разностно-итерационного метода с выделением подвижных границ и скоростей их движения, а в параграфе 1.5 коротко описан программный комплекс.

На рисунках 2 и 3 приведены некоторые результаты численного исследования математической модели (1)-(16), из которых видно, что 10%-ая погрешность температур Т" и Т" от введенных в расчет экспериментальных значений температур начала и конца разложения связующего приводит к 2%- й погрешности по координатам всех трёх подвижных границ, и 4%-й погрешности - по температуре в узле х = - Sr.

В главе 2 численно моделируется многомерный нестационарный тепломассоперенос в анизотропных материалах на основе тех же двух идентифицированных законов.

Рис.2 Изменение по времени координат подвижных границ при изменении температур Т" и Т" :а)- т" = 500К, Т" =1100ЛГ; б)- Т" = 525К, Т" =1100/:; в)-Т" = 550К, Т" =П00К;1)-Т" =500К, Т~ =Ю45Кщ)Т" =525А', Г" = 1145ЛГ

Рис.3 Изменение по времени относительной температуры в точке х = х„л-Зг относительно значений Т" - 500К, Т" = 1100А" при следующих изменениях Т" и Т": а)- Т" = 525К, Т" = 1100ЛГ; б)- Т" = 500К, Т" = 1ЮОК; в)-Т" = 500АТ, Т" =1045/:; г> Т" =525К, Т" =Ш5К

В параграфе 2.1 предложена математическая модель двумерного нестационарного тепломассопереноса в анизотропных"композиционных материалах (рис.4). Кроме законов (1) и (2), краевых условий (4) ,(5) и (7) на границах гг1 и и>2, в которых вместо операторов дТ/дх стоит оператор д?-ас1Т, математическая модель включает в себя следующие уравнения.

Уравнения теплопереноса в области /ив области II с учетом фильтрации соответственно

хе{0,Ц), Уб(0,/(дг\/)), />0;

-П-рг-с/,г(Уг,дгас1Т-),хе(0,Ь,), у е(/(х,1),Ьг), 1> 0. Краевые условия на границах и'З и м>4

«Ж=о,х=о, уе(о,/(о,0); (19)

для т = 1и для т = 2, 1>0.

для /л = 1и >'е(/(1„/),Х2) для т — 2, ?>0;

Краевые условия типа Стефана на подвижной границе, х*(0 = (*Г(') +-С(0)/2 с температурой Т' =(Г" +Т")/2.

Л<2) - о = т$т\ = = Т\

х6(0,1,), у = /(х (/),/), '>0. (21)

Начальные условия для температурного поля и подвижной границы Т{х,у,0) = Тй{х,у), хб[0;/,,], уе[0;1^], / = 0; (22)

/(х\о)=Л2, лг*е[0;£,], 1 = 0. (23)

12

Компоненты тензоров теплопроводности ¡\'т\т = 1,2 различных фаз определяются соотношениями 4"> (Г) = Л« (Г) сов2 /"> + (Т)йп-Vм

414т) = Л™ {тут1 <р{т) + дМ(Г)со52 <р(т), т = 1,2.

Рис. 4. Расчетная область

Уравнения неразрывности, состояния, закон фильтрации, определяющие давление фильтрации в пористой области 2 имеют вид

д(ргиг) . З(ргУг) Л / ч Рг(х,у)Мг К_

- а——' = 0, рг(х,Л'I = ——у-г—, Уг =----кгафг,

дх ду ^ /?г-Г(х) г ^(Па + П-Яе^ №

хе(ОЛ), ^€(/(^(40,^), <>0. (25)

Краевые условия для давления фильтрации принимаются теми же, что и в (15). Здесь т°- орт вектора тепловых потоков на подвижной границе у = /(х" (!),!), <р- угол ориентации главных осей 0£,0г/ тензоров

теплопроводности Л'"'1 и проницаемости К,

Л(,Лп, ,кп- соответственно коэффициенты теплопроводности и проницаемости, приведенные к главным осям.

С учетом поведения подвижной границы у-/(х*(/),/) краевое условие Стефана (21) приводится к виду, пригодному для применения численных методов расщепления по координатным направлениям

-[4?+2 ад+4V;3 (*.')][§+f/; М

x[i+/;2(^,/)]-V2=p«|Ä.|ß.5 (2б)

откуда определяются скорость п движения границы фазовых превращений

В параграфе (2.2) изложен экономичный абсолютно устойчивый метод переменных направлений с экстраполяцией (МПНЭ) и его модификация, связанная с сохранением порядка аппроксимации производных в краевых условиях со вторым порядком [4].

Модификация схемы МПНЭ основана на использовании интегроинтерполяционного метода Гамарского A.A., примененного к граничным узлам, и сохраняющего второй порядок аппроксимации по пространственным переменным.

В параграфе 2.3 описана общая методология численного решения комплексной проблемы (17)-(26), а в 2.4 - коротко описан программный комплекс и тестовые результаты. На рисунке 5 представлены результаты таких расчетов с симметричным относительно оси x = Lj2 заданием аг„,(х) и Ге1(л). На рис. 5а представлено нестационарное температурное поле, а на рис. 56 - поведение во времени двумерной границы фазовых превращений. Из них видно, что при симметричном относительно оси x = L1/2 тепловом нагружении видна

существенная нссимметрия положений границы фазовых превращений и температурного поля даже при степени анизотропии Л-//1.,, равной двум. При этом продольные координатные линии дважды пересекают границу фазовых превращений и температурное поле

Рис.5. Температурное поле в момент времени = 10е (а) и динамика движения границы фазовых превращений (б) в анизотропном композиционном материале

ориентированно в направлении главной оси тензора теплопроводности , находящейся под углом 45° к оси Ох.

В третьей главе аналитически и численно проанализирован тепломассоперенос в композиционных материалах.

В параграфе 3.1 получено аналитическое решение задачи типа Стефана с двумя нестационарно подвижными границами (три фазы).

На рис.6 представлены результаты расчетов температурного поля и координат **(/) и х"(/) нестационарно подвижных границ в соответствии с аналитическим решением. Здесь же пунктиром нанесено распределение температур и положения границ, полученные численно в соответствии с математической моделью (1)-(16). Из рисунка видно, что погрешность по температурному полю не превышает 3%, а по координатам подвижных границ -5%.

В параграфе 3.2 численно анализируется тепломассоперенос в композиционных материалах на основе математической модели (1)-(16). На рис.7

15

приведены расчеты давления и скорости фильтрации, из которого видно, что вторая производная давления фильтрации по пространственной переменной отрицательна, а скорость фильтрации близка к линейной и имеет вогнутый характер, что совпадает с теоретическим анализом уравнений (2),(15), описывающих фильтрацию.

V, V V XV X \\ X V \ Т™ 10О0 к

Ч ИОс 11 |\ 1 1 1 \ ___ 1 \ V юоЗ^ >\. |> • V » 1 V ' 1 \м » V ■ К "(---г чЧ 400 с Т~~600 к

1 1V | • \ I 1 —1- -1— I | 1 1 I 1 1 1 1 .V- 1 1 1 1 Ч^:--1_1 1 ___ • •

1 1 > 1 * * < 1 1 1 1 1 хг У Т.-З'Х» к. х"8

о Х 0.00+* х0.00в х 0012 0.01& 003 Х.М

Рис. 6. Распределение температур Г(*,/) и координат подвижных границ х' (/), х" (/), в соответствии с аналитическим решением и сравнение с численным решением.

510' А Па

! 10'

и / /*

01 а. м/с

0.01? 0.018 0.019 0 02

м

Рис.7. Изменение давления и скорости фильтрации по толщине пористой области.

16

В параграфе 3.3 проведен анализ результатов численных экпсримеитов по определению теплового состояния анизотропных композиционных материалов .

На рисунке 8 приведено изменение по времени температурного поля для ортотропных случаев <2> = я/ 2, Л,, = 0,8,^ =0,2 (рис.8а) и <р = 0, Л,, =0,2,^ = 0,8 (рис.8б)

(а) (б)

Рис.8. Изменение по времени температурного поля для ортотропного случая ср = яг/2 (а) и <р = 0 (б).

Из анализа рисунков (5) и (8) можно сделать вывод о том, что изменение диагональных компонентов Дц, Л^ тензора теплопроводности изменяет температурное поле в этих направлениях (рис. 8), а изменение внедиагональных компонентов (Л11 = Л21) искривляет температурное поле в сторону ориентации главной оси тензора теплопроводности с большим коэффициентом теплопроводности (рис5).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

1. На основе известных экспериментальных данных по температурам и плотностям начала и окончания разложения связующих композиционных материалов идентифицирован экспоненциальный закон разложения связующих, позволяющий обойти химическую кинетику и тем самым применимым к любым композиционным материалам.

2. Идентифицирован нелинейный закон фильтрации пиролизных газов, отличный от линейного закона Дарси путем учета инерционных членов при течении газов в капиллярах, основанный на анализе системы уравнений пограничного слоя , введении фильтрационного числа Рейнольдса и нелинейной функции этого числа. Проведено сравнение закона Дарси и идентифицированного закона , найдены границы фадиента давления пиролизных газов, начиная с которых необходимо учитывать нелинейность.

3. На основе этих законов построена математическая модель, которая сводит всю проблему к задаче типа Стефана с тремя подвижными границами с учетом фильтрации. Кроме этого , на основе тех же законов построена математическая модель многомерного тепломассопереноса в анизотропных композиционных материалах с учетом анизотропной фильтрации.

4. Получено аналитическое решение задачи типа Стефана с двумя нестационарно подвижными границами. С помощью этого решения протестирован численный метод решения, показано удовлетворительное совпадение численного и аналитического решения.

5. Разработаны два программных комплекса по расчету температурных полей с тремя нестационарно подвижными границами с учетом нелинейной фильтрации и по расчету многомерных нестационарных температурных полей в анизотропных композиционных материалах с учетом многомерной анизотропной фильтрации.

б. Анализ результатов численного решения показал, что, температурные поля и многомерные подвижные г раницы сдвигаются в направлении большего компонента тензора теплопроводности, причем диагональные компоненты тензора теплопроводности изменяют температурное поле в направлении координатных осей, а внедиагональные - искривляют температурное поле.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Формален В.Ф., Федотенков Г.В., Кузнецова Ек.Л. Общий подход к моделированию теплового состояния композиционных материалов при высокотемпературном нагружении// Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. Т. 12. № 1. С. 141-156.

2. Формалев В.Ф., Федотенков Г.В., Кузнецова Ек.Л. Теплоперенос в условиях фазовых переходов в телах с анизотропией свойств// ТВТ. 2006. Т. 44. № 5. С. 756-763.

3. Кузнецова Ек. Л., Формалев В.Ф., Чипашвилли A.A. Моделирование теплового разрушения композиционных материалов// В тр. Х-го Межд. симпоз. «Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред». Изд-во МАИ 2004 г. Т. 2. С. 131-141.

4. Кузнецова Ек. Л., Федотенков Г.В., Формалев В.Ф. Численное моделирование многомерного нестационарного теплопереноса в анизотропных телах с подвижной границей// В сб. научн. Тр. XI-го Межд. симп. «Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред». Изд-во МАИ 2005 г. Т. 2. С. 105-116.

5. Формалев В.Ф., Кузнецова Ек. Л., Чипашвили A.A. Моделирование нестационарной задачи Стефана в двумерных областях в условиях уноса массы анизотропных композиционных материалов// Тез. докл. на Х-м Межд. симпоз. «Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных срсд». Ярополец, Моск. обл. 9-13 февр. 2004 г.

6. Формалев В.Ф., Кузнецова Ек. Л., Чипашвили A.A. Математическое моделирование теплопереноса в анизотропных затупленных носовых частях

летательных аппаратов// Тез. докл. на 29-х академических чтениях «Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики». Москва, январь 2005 г.

7. Кузнецова Ек. JL, Формалев В.Ф. Исследование теплонапряженного состояния охлаждаемых лопаток турбин// Тез. докл . на IX Межд. симпоз. «Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред». Ярополец, Моск. обл. 10-14 февр. 2003 г.

8. Кузнецова Ек. Л., Формалев В.Ф., Колесник С.А. Численное моделирование многомерных задач теплопроводности в составных анизотропных телах// Тез. докл. На 1-ой Межд. научно-технич. коиф., посвященной 90-летию со дня рожд. акад. В.Н.Челомея. Москва — Реутов, 24-25 мая 2004 г.

9. Кузнецова Ек. Л., Формалев В.Ф., Чипашвилли A.A. Численное моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах в условиях аэрогазодинамического нагрева// Тез. докл. на 3-й Межд. конф. «Авиация и космонавтика». Москва, 1-4 ноября 2004 г.

10. Кузнецова Ек. Л., Федотенков Г.В. Об экономичном абсолютно устойчивом методе численного решения задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные производные// Тез. докл. на XI-м Межд. симпоз. «Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред». Ярополец, Моск. обл. 14-18 февр. 2005 г.

11. Кузнецова Ек. Л., Федотенков Г.В., Формалев В.Ф. Идентификация законов термического разложения композиционных материалов //Тез. докл. на XII Межд. симп. «Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред». Ярополец, Моск. обл. февр. 2006 г.

12. Кузнецова Ек. Л., Формалев В.Ф.Численное моделирование тепломассопереноса в композиционном материале при высокоинтенсивном тепловом нагружении. // Тез. докл. на конф. «Авиация и космонавтика 2006 г.» Москва, октябрь 2006 г.

Множительный центр МАИ

Зак. от (д. К 2006 г. Тир. ¿0 экз.

ВВЕДЕНИЕ

1. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ 1. Идентификация закона разложения связующих композиционных материалов

1.2. Идентификация нелинейного закона фильтрации продуктов разложения связующих через пористый остаток

1.3. Физико-математическая модель теплового состояния композиционных материалов при высокоинтенсивном тепловом нагреве

1.4. Методология численного решения

1.4.1. Базовая конечно-разностная схема для незатронутой области

1.4.2. Момент появления подвиэтой границы хн (/) npuTwX >ТН и (или) границы x*{t) при Tw] > Т*к* (Т** > Т**)

1.4.3. Определение скоростей движения границx**(t) ux**(t)

1.4.4. Решение задачи в области разложения связующего

1.4.5. Определение температурного поля в области фильтрации пиролизных газов

1.5. Алгоритм и программный комплекс

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В АНИЗОТРОПНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ

2.1. Математическая модель двумерного нестационарного тетомассопереноса в анизотропных композиционных материалах

2.2. Метод переменных направлений с экстраполяцией численного решения многомерных задач анизотропного тетомассопереноса

2.2.1. Базовая конечно-разностная схема метода МПНЭ с учетом фильтрации

2.2.2. Модификация метода МПНЭ с использованием интегроинтерполяционного метода Самарского А. А. в многомерных задачах анизотропного тетомассопереноса

2.3. Методология численного решения многомерных задач тетомассопереноса в анизотропных композиционных материалах

2.4. Программный комтекс и тестовые результаты

3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ

3.1. Аналитическое решение задачи типа Стефана с двумя нестационарно подвижными границами

3.2. Численный анализ тепломассопереноса в композиционных материалах

3.2.1. Выбор шага численного интегрирования по времени

3.2.2. Результаты численных экспериментов'

3.3. Анализ результатов численных экспериментов по определению теплового состояния анизотропных материалов

Композиционные материалы широко применяются в авиации и космонавтике в качестве конструкционных и теплозащитных материалов (ТЗМ) благодаря своим уникальным свойствам, вытекающим из технологии их изготовления. Матрица из тонковолокнистого наполнителя (стекло-, асбо-, угле- и т.д. волокна) пропитывается связующими (легко разлагающимися при умеренных температурах смолами). В результате получаются различные пластики: стеклопластики, углепластики, асбопластики и т.п. При использовании таких материалов в качестве теплозащитных при гиперзвуковых скоростях полета (числа Маха М>5-6) летательных аппаратов (JIA) тепловые потоки от высокотемпературных пограничных слоев поглощаются за счет следующих факторов: при температурах до ~ 600К теплозащитный материал работает за счет своих теплофизических характеристик, а именно, объемной теплоемкости (произведение плотности на теплоемкость) и отвода тепла вглубь материала за счет теплопроводности; при достижении температуры ~ 600К начинается разложение (пиролиз) связующего под действием эндотермических химических реакций с образованием газообразных продуктов разложения и пористого остатка, состоящего из волокон наполнителя и коксового остатка от разложения связующего; процесс разложения связующего заканчивается при температурах ~ 900 - 1100К, в результате чего область разложения, ограниченная координатами начала и окончания разложения, является очень тонкой и разделяет незатронутый разложением материал и пористый остаток, в котором разложение связующего отсутствует; через пористый остаток под действием градиента давления между областью разложения, где давление из-за низкой скорости фильтрации пиролизных газов считается давлением торможения, и наружной границей, где давление равно давлению окружающей среды, пиролизные газы фильтруются, поглощая тепло за счет конвекции; при этом для реализации процесса фильтрации давление торможения должно превышать давление окружающей среды на величину гидравлического сопротивления пористого остатка; пиролизные газы вдуваются в высокотемпературный пограничный слой, оттесняя его от наружной границы и уменьшая его температуру, что влечет за собой уменьшение конвективных тепловых потоков к наружной границе; при достижении пористым остатком температуры уноса массы, на наружной границе уносится масса за счет физико-химических превращений (оплавления, испарения, возгонки , гомо- и гетерогенных химических реакций), поглощающих значительное количество тепловой энергии с суммарным тепловым эффектом, называемым теплотой уноса массы.

Как видно из этого перечня композиционные материлы, используемые в качестве теплозащитных для гиперзвуковых J1A, поглощают значительное количество тепловой энергии при аэродинамическом нагреве за счет различных физико-химических превращений, происходящих в композиционных материалах.

Отсюда видно, что математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в композиционных материалах представляет собой сложную комплексную проблему, которая в полной мере не решена до сих пор и которой уделяется значительное внимание не только теплофизиками, аэродинамиками, материаловедами, но и математиками.

При математическом моделировании . тепломассопереноса в композиционных материалах необходимо в комплексе моделировать следующие процессы: разложение связующих с образованием пиролизных газов и пористого остатка; фильтрацию пиролизных газов через пористый остаток и учет этой фильтрации в теплопереносе; тепломассоперенос в области разложения связующего; унос массы и его влияние на нестационарное температурное поле; вдув пиролизных газов в газодинамический пограничный слой. При этом необходимо учитывать различные явления, приводящие к существенной нелинейности и нестационарности математических моделей при высоких температурах. К этим явлениям можно отнести учет излучения, зависимость теплофизических характеристик (ТФХ) материалов от температуры, разрывы ТФХ, анизотропию и многомерность распространения тепла и др.

Таким образом, математическое моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах при высокоинтенсивном нагреве является актуальной проблемой.

В диссертационной работе исследуются вопросы численного моделирования процессов совместной нелинейной теплопроводности, нелинейной фильтрации, разложения связующего в нестационарно подвижной области, в том числе в условиях уноса массы, а также с учетом анизотропии свойств переноса тепла и массы в композиционных материалах при сложном теплообмене (конвективно-кондуктивном и лучистом видах теплообмена).

В виду комплексности проблемы тепломассопереноса в композиционных материалах при обзоре литературы следует проанализировать публикации по композиционным материалам, по совместной теплопроводности и фильтрации, по кинетике разложения связующих и законах ее описывающих, по уносу массы, по задачам типа Стефана (задач теплопереноса при фазовых превращениях) в том числе при наличии многих (а не одной) подвижных границ фазовых превращений.

Насчитываются ~ десятки работ по совместной теплопроводности и фильтрации. Например, работы отечественных ученых таких как Лыков А.В. со своей школой [3], [65-68], Полежаев Ю.В. [5,79-81,27], Боровой В.Я. [16], Зарубин B.C. [38, 39], Формалев В.Ф. [96-98, 100, 104, 105], Баренблатт Г.И. [10] и др., в которых фильтрация моделировалась на основе линейного закона Дарси.

По теории фильтрации через пористые среды можно назвать работы Бана А. и др. [9] для сжимаемых пористых сред , Бернадинера М.Г. [14] в задачах нелинейной фильтрации, Глущенко А.А. для многомерных задач фильтрации [29], монографии Коллинза Р. [50] и Шейдеггера А.Э. [112]. В этих работах исследовалась изотропная фильтрация. Публикации по анизотропной фильтрации с учетом неизотермичности автору не известны.

Значительный вклад в развитие теории теплопроводности внесли советские и российские теплофизики Лыков А.В. [67, 68], Леонтьев А.И. [64], Зарубин B.C. [38, 39], Дульнев Г.Н. [35], Карташов Э.М. [43,44], Формалев В.Ф. [97, 100, 101] и многие другие, а также зарубежные теплофизики Карслоу Г. и Егер Д. [41], Берман Р. [12], Гребер Г, Эрк С., Григулль У. [28], Шнейдер П. [114].

Различные методы решения задач, моделирующих теорию теплопроводности в условиях уноса массы, когда возникают подвижные границы, разрабатывались в работах Самарского А.А. [90, 91], Будака Б.М. и Гольдмана Н.Л. [15], Карслоу Г. и Егера Д. [41],Лыкова А.В. [65], Адамса М.К. [2], Полежаева Ю.В. [79], Скала С.М. и Гильберта Л.М. [93], Розенсвейга Р.Е. и Бичера Н. [85], Формалева В.Ф. [97, 100, 104], а также в работах [20, 73, 110, 121, 128-130]. В этих работах рассматривались в основном одномерные по пространственным переменным задачи.

Большой вклад в разработку методологии моделирования теплового состояния композиционных материалов при высоких температурах с учетом их механического состояния внес Димитриенко Ю.И. [30-34], а также Головин Н.Н. и Кувыркин Г.Н. [25, 26]. Исследованию тепломассопереноса в композиционных материалах при высоких температурах и давлениях посвящены работы Кузнецова Г.В. [62] и Кузнецова Г.В. и Рудзинского В.П. [63]. Развернутый обзор по - материалам и теплозащитным покрытиям в экстремальных условиях сделан в работе Резника С.В. [73].

Следует отметить, что практически все композиционные материалы в той или иной степени являются анизотропными. При моделировании теплового состояния таких материалов возникают значительные трудности, связанные, прежде всего, с тем, что теплопроводность и проницаемость в них. являются не скалярными, а тензорными характеристиками, следствием чего является многомерность задач и усложнение краевых условий при сложном теплообмене. Этими сложностями обусловлено незначительное число работ по анизотропной теплопроводности и анизотропной фильтрации. Здесь, прежде всего, следует отметить работы Пэдовена Д. [82], Пуня К.С., Цзоу Р.С. и Чжана Ю.П. [83, 107, 108], Формалева В.Ф. [100], в которых получены аналитические решения некоторых простейших задач анизотропной многомерной теплопроводности операционными методами.

В работе Кима Л.В. и Микова В.Л. [49] рассмотрен полуаналитический метод решения линейных задач анизотропной теплопроводности в полупространстве, основанный на численном обращении преобразования

Лапласа, а в работе Чепрасова А.И. [106] численно моделируется трехмерная анизотропная теплопроводность в аномальной подобласти, принадлежащей бесконечной расчетной области с использованием метода дробных шагов Яненко Н.Н. [117]. Таким образом, работ по анизотропной теплопроводности очень мало, а работ по совместной анизотропной теплопроводности и анизотропной фильтрации в многомерных телах автору не известны.

Из проведенного обзора по тепломассопереносу в композиционных материалах ясно что физико-математическая модель разрабатывалась для каждого композита с учетом химического состава его связующего и наполнителя, химических реакций и физико-химических явлений, специфических для каждого материала. Ясно, что для математического моделирования тепломассопереноса в композитах такой подход не приемлем. Поэтому в диссертации предложен подход, являющийся универсальным для любого композиционного материала и позволяющий обойти химическую кинетику разложения связующего. Существо подхода заключается в том, что для большинства композиционных материалов экспериментально определены температуры и плотности начала и окончания разложения связующих, что позволяет на основе этих данных идентифицировать закон разложения связующих и включить его в общую физико-математическую модель тепломассопереноса.

На основе изложенного формулируются следующие цели диссертационной работы:

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

1. На основе известных экспериментальных данных" по температурам и плотностям начала и окончания разложения связующих композиционных материалов идентифицирован экспоненциальный закон разложения связующих, позволяющий обойти химическую кинетику и тем самым применимым к любым композиционным материалам.

2. Идентифицирован нелинейный закон фильтрации пиролизных газов , отличный от линейного закона Дарси путем учета инерционных членов при течении газов в капиллярах, основанный на анализе системы уравнений пограничного слоя , введении фильтрационного числа Рейнольдса и нелинейной функции этого числа. Проведено сравнение закона Дарси и идентифицированного закона, найдены границы градиента давления пиролизных газов , начиная с которых необходимо учитывать нелинейность.

3. На основе этих законов построена математическая модель, которая сводит всю проблему к задаче типа Стефана с тремя подвижными границами с учетом фильтрации. Кроме этого , на основе тех же законов построена математическая модель многомерного тепломассопереноса в анизотропных композиционных материалах с учетом анизотропной фильтрации.

4. Получено аналитическое решение задачи типа Стефана с двумя нестационарно подвижными границами. С помощью этого решения протестирован численный метод решения, показано удовлетворительное совпадение численного и аналитического решений.

5. Разработаны два программных комплекса по расчету температурных полей с тремя нестационарно подвижными границами с учетом нелинейной фильтрации и по расчету многомерных нестационарных температурных полей в анизотропных композиционных материалах с учетом многомерной анизотропной фильтрации.

6. Анализ результатов численного решения показал, что, во-первых, координаты границ области пиролиза изменяются линейно по времени за исключением окрестности начала появления подвижных границ и окончания движения границ; во-вторых, температурные поля и многомерные подвижные границы сдвигаются в направлении большего компонента тензора теплопроводности, причем диагональные компоненты тензора теплопроводности изменяют температурное поле в направлении координатных осей, а внедиагональные - искривляют температурное поле.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Авдуевский B.C., Галицейский Б.М., Глебов Г.А. и др. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. М.: Машиностроение, 1992, 624 с.

2. Адаме М.К. Последние достижения в теории абляции// Вопросы ракетной техники, 1960. № 4. с. 16-36

3. Алексашенко А.А., Алексашенко В.А., Селезнев Н.В. Решение уравнений тепломассопереноса для тел классической формы с учетом конечной скорости капиллярного движения// В кн.: Строительная теплофизика М. -Л.: Энергия. 1966.270 с.

4. Андриевский Р.А. Пористые металлокерамические материалы. М.: Металлургия. 1964. 292 с.

5. Анфимов Н.А., Полежаев Ю.В. Нестационарное разрушение материалов в высокотемпературном потоке газа// Тепло- и массообмен. Минск. Наука итехника. 1966. 2. с. 11-16.

6. Аналитические методы в теории фильтрации и теплопроводности. Киев. Изд-во института математики АН УССР. 1979.234 с.

7. Аттетков А.В., Волков И.К., Тверская Е.С. Математическое моделирование процесса теплопереноса в экранированной стенке при осесимметричном тепловом воздействии// Изв. АН Энергетика. 2003. № 5. с. 75-88.

8. Аттетков А.В., Волков И.К. Математическое моделирование процесса теплопереноса в области с движущейся границей в условиях нестационарного теплообмена с внешней средой// Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. 1999. № I.e. 37-45

9. Бан А., Басиев К.С., Николаевский В.Н. Об основных уравнениях фильтрации в сжимаемых пористых средах// ПМТФ. 1961. № 3. с. 52-58.

10. Беренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде// ПММ. 1952. Т. 16. вып. 1

11. Белов Г.В., Ерохин Б.Т., Киреев В.П. Композиционные материалы в двигателях летательных аппаратов. М.: Изд-во МГТУ. 1998. 344 с.

12. Берман Р. Теплопроводность твердых тел. М.: Мир. 1979. 362 с.

13. Берцуй В.Н., Крицкий O.JI. К вопросу о математическом моделировании тепловых полей в средах с анизотропной теплопроводностью// Томск: Пеленг. 1998. С. 12-19.

14. Бернадинер М.Г. Численное решение стационарных задач нелинейной фильтрации. -М.: Наука, 1974. 234 с.

15. Будак Б.М., Гольдман H.JI. и др. Метод выпрямления фронтов для решения задач типа Стефана в многомерном случае// В кн. Вычислительные методы и программирование. -М.: Изд-во МГУ. 1967. Т. 8. С. 57-65.

16. Боровой В.Я. Исследование нагревания проницаемой поверхности в гиперзвуковом потоке газа при подаче жидкости с переменной вязкостью// Тр. ЦАГИ. 1969. вып. 1108. 32 с.

17. Бобров И.Н., Курячий А.П. Об уравнении энергии процессов тепломассопереноса и фазовых превращений в пористых телах// ТВТ. 1994. т. 32. №3. С. 441-445.

18. Бураков В.А., Берцун В.Н., Крицкий O.JI. Сравнительный анализ численных методов решения нестационарной задачи анизотропной теплопроводности// Томск: Пеленг, 2001. С. 275-278.

19. Бураков В.А., Санду С.Ф. Численное моделирование нестационарного нагрева и термохимического разрушения углеграфитовых теплозащитных материалов в высокотемпературном двухфазном потоке// ТВТ. 1996. Т. 34. № 6. С. 909-913.

20. Бояринцев В.И., Звягин Ю.В. Исследование разрушения углеграфитовых материалов при высоких температурах// ТВТ. 1975. Т. 13. № 5. С. 10451051.

21. Бушуев Ю.Г., Персии М.И., Соколов В.А. Углерод-углеродные композиционные материалы. Справочник. М.: Металлургия, 1994.128 с.

22. Варгофтин Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972.452 с.

23. Варгофтин Н.Б. Теплофизические свойства веществ. М.: Госэнергоиздат, 1956. 468 с.

24. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. -М.: Изд-во МГТУ. 2001. 700 с.

25. Головин Н.Н., Кувыркин Г.Н., Цицин А.Г. Численное решение нестационарной осесимметричной задачи теплопроводности для анизотропного тела переменного объема// Проблемы прочности. 1988. № 12. С. 105-108.

26. Головин Н.Н., Кувыркин Г.Н. Численное моделирование нестационарных температурных полей в конструкциях из композиционных материалов при высокотемпеаутрном нагружении// В тр. 2-ой Российской национальной конференции по теплообмену. 1998. Т. 7. С. 57-59.

27. Горский В.В., Полежаев Ю.В. Тепло- и массообмен на поверхности стеклопластика в высокотемпературном потоке воздуха//ИФЖ. 1973. Т. 24. №3. С. 407-413.

28. Гребер Г., Эрк С., Григулль У. Основы учения о теплообмене. М.: ИЛ. 1958.468 с.

29. Глущенко А.А. Некоторые пространственные задачи теории фильтрации. -Киев: Изд-во Киевского ун-та. 1970. 192 с.

30. Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. Машиностроение. 1997. 368 с.

31. Димитриенко Ю.И. Разрушение композиционных материалов при высоких температурах и конечных деформациях// Механика композиционных материалов. 1992. № 6. С. 1030-1042.

32. Димитриенко Ю.И. Осреднение процессов в периодических средах с фазовыми превращениями// Вопросы механики сплошных сред. Изд-во МГУ 1991. С. 72-84.

33. Димитриенко Ю.И., Епифановский И.С. Прогнозирование работоспособности теплостойких полимерных композиционных материалов на совмещенных связующих// Теплостойкие полимерные материалы и особенности производства изделий на их основе. М.: 1991. С. 85-90.

34. Димитриенко Ю.И., Епифановский И.С. Термомеханическое разрушение консующихся полимерных материалов// Композиционные материалы в изделиях машиностроения. Материалы Всесоюзной конференции. М.: 1989. ч. 1 С. 105-108.

35. Дульнев Г.Н., Заришняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. JL: Энергия, 1974. 368 с.

36. Дьяконов Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для общих параболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами// ЖВМ и МФ. 1964. т. 4. № 2. С. 17-26.

37. Епифановский И.С. Композиционные углерод-углеродные материалы в конструкциях летательных аппаратов. -М.: Изд-во МГТУ. 1993. 51 с.

38. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкциях летательных аппаратов (методы расчета). М.: Машиностроение, 1978. 184 с.

39. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.

40. Зинченко В.И., Якименко А.С. Режимы термохимического разрушения углефенольного композиционного материала под действием теплового потока// Физика горения и взрыва. 1988. т. 24. № 2. С. 141-149.

41. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 487 с.

42. Карташов Э.М., Любов Б.Я. Аналитические методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности с движущимися границами// Изв. АН СССР, серия «Энергетика и транспорт». 1974. № 6. С. 83-111.

43. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. -М.: Высшая школа. 2001. 552 с.

44. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами (обзор)// ИФЖ. 2000. Т. 74. № 2. С. 1-24.

45. Композиционные материалы. Справочник под ред. В.В.Васильева, Ю.М.Тарнопольского.- М.: Машиностроение. 1989. 510 с.

46. Композиционные материалы. Справочник под ред. В.В.Васильева. В.Д.Протасов, В.В.Болотин и др. -М.: Машиностроение 1990. 512 с.

47. Коршак В.В. Химическое строение и температурные характеристики полимеров. -М.: Наука, 1970. 401 с.

48. Крицкий O.J1. Применение а /? алгоритма для решения двумерных нестационарных задач анизотропной теплопроводности// В сб. статей Томск. Гос. ун-та «Исследования по баллистике и смежным вопросам механики» 1999. Вып.З. С. 51-58.

49. Ким J1.B., Миков B.JL Решение нестационарной теплопроводности в анизотропных средах// Деп. ВИНИТИ, № 642-В86. 1986.19 с.

50. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. М.: Мир. 1964.302 с.

51. Коновалов А.Н. Метод расщепления по физическим процессам в задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Изд-во НГУ. 1972. С. 42-49.

52. Кузнецов Е.Б. Наилучшая параметризация при построении кривой итерационным методом// ДАН. 2004. Т.394. № 6. С. 746-748.

53. Кузнецов Е.Б. Наилучшая параметризация при построении кривой// ЖВМ и МФ. 2004. Т. 44. № 9. С. 1540-1553.

54. Кузнецова Ек. Л., Формалев В.Ф., Чипашвилли А.А. Численное моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах в условиях аэрогазодинамического нагрева// Тез. докл. на 3-й Межд. конф. «Авиация и космонавтика». Москва, 1-4 ноября 2004 г.

55. Кузнецова Ек. Л., Формалев В.Ф.Численное моделирование тепломассопереноса в композиционном материале при высокоинтенсивном тепловом нагружении. // Тез. докл. на конф. «Авиация и космонавтика 2006 г.» Москва, октябрь 2006 г.

56. Кузнецов Г.В. Механизм высокотемпературного разрушения стеклопластика в газовых потоках в условиях высоких давлений// ТВТ. 1998. Т. 36. № 1.С. 74-78.

57. Кузнецов Г.В., Рудзинский В.П. Высокотемпературный тепломассоперенос в слое кокса теплозащитных материалов// ТВТ. 2000. Т. 38. №4. С. 654-660.

58. Леонтьев А.И. Теория тепло- массопереноса. М.: Физматлит. 1998. 426 с.

59. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массообмена. М.: Госэнергоиздат, 1969. 362 с.

60. Лыков А.В. Явления переноса в капиллярно-пористых телах. М. - Л.: Гостехиздат, 1954. 264 с.

61. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

62. Лыков А.В. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергия, 1978. 480 с.

63. Любов Б.Я., Соболь Э.М. Процессы теплопереноса при фазовых" превращениях под действием интенсивных потоков энергии// ИФЖ. 1983. Т. 45. №3. С. 670-676.

64. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. -М.: Наука, 1983.426 с.

65. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. 364 с.

66. Мадорский С., Самуэль Л. Термическое разложение органических полимеров. М.: Мир, 1967. 328 с.

67. Материалы и покрытия в экстремальных условиях. Взгляд в будущее в 3-х томах. Под ред. Резника С.В. М.: Изд-во МГТУ, 2002. Т. 2. 296 с.

68. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 576 с.

69. Омельченко К.Г., Гавелов Н.В., Тимошенко В.Л. К исследованию тепломассопереноса в разлагающихся пористых материалах// ТВТ. 1974. Т. 12. №4. С. 761-768.

70. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 150 с.

71. Павлюкевич Н.В., Горелик Г.Е. и др. Физическая кинетика и процессы переноса при фазовых превращениях. Минск, 1980, 324 с.

72. Пирумов У.Г. Численные методы. М.: Вагриус, 2004.256 с.

73. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. М.: Энергия, 1976. 392 с.

74. Полежаев Ю.В., Шишков А.А. Газодинамические испытания тепловой защиты. М.: Промедак, 1992. 248 с.

75. Полежаев Ю.В., Протасов М.В., Селиверстов Е.М. Обобщенный закон гидравлического сопротивления проницаемого слоя// ТВТ. 2003. Т.41. № 6. С. 970-972.

76. Пэдовен Д. Нестационарное распределение температур в анизотропном полупространстве//Ракетная техника и космонавтика. 1983. № 4. С. 174179.

77. Пунь К.С., Цзоу Р.С., Чжан Ю.П. Решение анизотропных задач первого класса методом преобразования координат// Теплопередача. 1979. № 2. С. 177-184.

78. Ревизников Д.Л., Формалев В.Ф. Моделирование граничных условий в задачах сопряженного теплообмена// в кн.: Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации. 1988 г. М.: Наука, 1989.

79. Розенсвейг Р.Е., Бичер Н. Теория процесса уноса массы феноловых смол, армированных стекловолокном// Ракетная техника и космонавтика. 1963. . Т. 1. № 8. С. 53-62.

80. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983, 616 с.

81. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975.352 с.

82. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 368 с.

83. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Физматлит, 1989. 430 с.

84. Самарский А.А., Вабишевич П.Н. Численные методы решения задач «конвекция-диффузия». -М.: Физматлит, 1999.452 с.

85. Самарский А.А., Вабишевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.

86. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. -М.: Физматлит, 1960.368 с.

87. Скала С.М., Гильберт JI.M. Тепловое разрушение обугливающегося пластика при гиперзвуковых полетах// Ракетная техника. 1962. № 6. С. 7283.

88. Соболев Н.В., Кавун Т.Н., Киселев Б.А. и др. Изменение свойств стекло- и карбонаполненных полимеров в процессе пиролиза// Композиционные материалы. -М: Наука, 1981. С. 244-247.

89. Тимошенко В.П. Проектирование и экспериментальная отработка теплозащиты «Бурана»// Передовые термические технологии и материалы. 4.2. М.: Изд-во МГТУ, 2004. 286 с.

90. Формалев В.Ф. Численное исследование сопряженного теплообмена в условиях фильтрации и пленочного охлаждения затупленных анизотропных тел// ТВТ. 1992. Т. 30. № 2. С. 334-344.

91. Формалев В.Ф. Анализ двумерных температурных полей в анизотропных телах с учетом подвижных границ и большой степени анизотропии// ТВТ. 1990. Т.28. № 4. С. 715-721.

92. Формалев В.Ф. Моделирование нелинейной неизотермической фильтрации в условиях пленочного охлаждения анизотропных тел// ТВТ. 1997. Т. 35. №2. С. 1-7.

93. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2004.400 с:

94. Формалев В.Ф., Федотенков Г.В., Кузнецова Ек.Л. Общий подход к моделированию теплового состояния композиционных материалов при высокотемпературном нагружении// Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. Т. 12. № 1. С. 141-156.

95. Формалев В.Ф., Федотенков Г.В., Кузнецова Ек.Л. Теплоперенос в условиях фазовых переходов в телах с анизотропией свойств// ТВТ. 2006. Т. 44. № 5. С. 756-763.

96. Чепрасов А.И. Математическое моделирование теплового состояния анизотропного материала в области дефекта структуры// Деп. ВИНИТИ, № 7002-В, 1985. 16 с.

97. Чжан Ю.П., Цзоу Р.Ц. Теплопроводность в анизотропной среде,- однородной в цилиндрических областях//Теплопередача. 1977. № 1. С. 42-. 51.

98. Чжан Ю.П., Пунь К.Ц. Трехмерная установившаяся теплопроводность в цилиндрах из материала с анизотропией свойств общего вида// Теплопередача. 1979. № 3. С. 203-210.

99. Шаповалов В.М. Введение в механику течения волокнонаполненных полимеров. -М.: Физматлит, 2006. 252 с.

100. Шленский О.Ф., Афанасьев Н.В., Шашков А.Г. Терморазрушение материалов. М.: Энергоатомиздат, 1996. 288 с.

101. Шленский О.Ф. Тепловые свойства стеклопластиков. Mi: Химия, 1973. 224 с.

102. Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. М.: Гостехиздат, 1960. 252 с.

103. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969. 742 с.

104. Шнейдер П. Инженерные проблемы теплопроводности. М.: ИЛ, 1960. 342 с.

105. Эккерт Э.Р., Дрейк P.M. Теория тепло- и массопереноса. М.: Госэнергоиздат, 1961. 356 с.

106. Якихмов А.С. Расчет характеристик теплообмена в композиционном материале// ТВТ. 1998. Т. 36. № 1. С. 59-61.

107. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. 196 с.

108. Яненко Н.Н. Разностные методы решения задач математической физики. -М.: Наука, 1973. 352 с.

109. Beliaev A. Nonlinear Darcy law in a random porous medium// Berdichevcky V. et al. eds. Homogenisation. Singapore, 1999. P. 107-132.

110. Beliaev A., Kozlov S. Darcy equation for random porous media// Comm. Pure Appl. Math. 1996. № 49. P. 1-34.

111. Chen Y.K., Milos F.S. Ablation and thermal response program for spacecraft heatshield analysis//AIAA Paper. 1980. № 1488. 8p.

112. Crank J, Nicolson P. A. Practical method for numerical Evaluation of Solution of Partial Differential Equations of the Heat Conductions Type. Proc. Gamb., Phil. Soc., vol. 43 p.p. 50-67,1947.

113. Douglas J., Gunn J. Alternating direction methods for parabolic systems in m -space variables// J. Assoc. Compet. Machinery. '1962. vol. 9. № 4.

114. Douglas J., Jones B. One predictor corrector method for nonlinear parabolic differential equations//J. Soc. Industr. Appl. Math. 1963. vol. 11. № 1.

115. Eckert E.P., Drake R.M. Heat and Mass Transfer. Mc Graw Hill, New York, 1972.

116. Peaceman D., Rachford H. The Numerical solution of parabolic and elliptic differential equations// SIAM. 1955. vol. 3. № 1.

117. Rachford H. Rounding errors on alternating direction methods for parabolic equations// Appl. Mathematics. 1968. vol. 3. № 2.

118. Sallivan J.M., Kobayashi W.S. Spalation modeling in the cherring matherial thermal response and ablation computer rpogram//AIAA Pap. 1987. № 1516. p. 1-6.

119. Scala S.M., Gilbert L.M. Thermal degradation of a char forming plastics during supersonic flight// ARSJ. 1962. № 6.

120. Satage R.T., Love W., Blotscher F. High Temperature Perfomance of Flexible Thermal Protection Matherials// AIAA Paper. 1984. № 1770. 9 p.

121. Shin P.K., Zwan A.D., Kelley H.N. Thermal Protection System Optimization for a Hypersonic Aerospace Vehicle// AIAA Paper. 1988. № 2839. 9 p.

122. Young R.W. Sensitivity of thermomechanical response to thermal boundary conditions and matherial constans// Int. J. Sol. Str. 1979. vol. 15. № 7. p. 513517.

123. Ziering M.B. Thermochemical ablation of ceramic heat shields// AIAA Jorn. 1975. № 13. p. 610-616.

124. Greenwood T.F., Lee Y.C., Bender R.L., Carter R.E. Space shattle base heating// J. Spacecraft and Rockets. 1984. vol. 21. № 4. p. 339-345.

125. Ho C.Y., Powell R.W., Liley P.E. Thermal Conductivity of Selected Matherials. Part 2. Washington: US Government Printing Office. 1968. pp. 129-133.