автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование параболических задач со слабой сингулярностью плотности источников на свободной границе

На правах рукописи

005016928

ИСЛЕНТЬЕВ Олег Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СО СЛАБОЙ СИНГУЛЯРНОСТЬЮ ПЛОТНОСТИ ИСТОЧНИКОВ НА СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕ

Специальность 05 Л 3.18 — Математическое моделирование, численные

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

методы и комплексы программ

1 о 2С'2

Воронеж — 2012

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет».

Научный руководитель Батаронов Игорь Леонидович, доктор

физико-математических наук, профессор, Воронежский государственный технический университет, заведующий кафедрой высшей математики и физико-математического моделирования

Официальные оппоненты: Провоторов Вячеслав Васильевич, доктор

физико-математических наук, доцент, Воронежский государственный университет, доцент кафедры уравнений в частных производных и теории вероятности;

Шведов Евгений Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, Воронежский государственный технический университет, профессор кафедры общей физики

Ведущая организация ФГБОУ ВПО Воронежский государственный университет инженерных технологий

Защита состоится 24 мая 2012 г. в Ю00 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» по адресу: 394026 Воронеж, Московский просп., 14.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет».

Автореферат разослан «24» апреля 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Лу ^Барабанов Владимир Федорович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Разработка технологических процессов производства современных конструкций аэрокосмической техники требует эффективного компьютерного моделирования диффузионно-подобного массопереноса газа в узких каналах в условиях поглощения газа стенками канала. Существенной особенностью такого процесса является образование в средней части канала зоны, практически не содержащей поглощенного газа (вакуумированная зона).

Использование аналитических методов для решения интегро-дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, описывающих распределение концентрации газа в такой задаче, обычно невозможно в силу существенной нелинейности задачи. Поэтому актуально построение численных математических моделей, адекватно отражающих указанные процессы. Однако существующие численные методы разработаны и реализованы в современных системах мультифизического анализа (А^УЗ, ТЧКА, СОМБОЬ МиНурЬуБюв и др.) для регулярных условий при заданном движении границ. Задачи же, содержащие сингулярности и самосогласованно движущиеся границы, требуют индивидуального подхода. При этом в задачах, контролируемых диффузионными процессами, то есть описываемых параболическими уравнениями, возникающие при моделировании сингулярности обычно интегрируемы (слабые). Поэтому необходима разработка численных математических моделей, алгоритмов и комплексов программ, адекватным образом учитывающих специфику массопереноса в рассматриваемых системах.

Данная диссертационная работа выполнена в рамках госбюджетных НИР: Б5/07 «Моделирование топохимических и магнитомеханиче-ских процессов в многосвязных системах» (2007-2008 гг., № госрегистрации 01200707633), Б14/09 «Физико-математическое моделирование и исследование перспективных материалов, конструкций на основе титановых сплавов для авиационной и космической техники» (2009-2010 гг., № госрегистрации 01200952212), проводимых по заданию Федерального агентства по образованию в рамках тематического плана «Фундаментальные исследования», Б14/11 «Физико-математическое моделирование процесса изменения состава и давления газовой фазы в контактных зазорах при высокотемпературной обработке титановых изделий аэрокосмической техники» (2011 г., № госрегистрации 01201155436), проводимой по заданию Минобрнауки в рамках тематического плана «Фундаментальные исследования», а также ГБ 2007.13, ГБ2010.13 «Математическое моделирование физических процессов в конденсированных средах и операторные уравнения». Диссертационная работа соответствует одному из основных научных направлений Воронежского государственного техни-

ческого университета - «Наукоемкие технологии в машиностроении, авиастроении и ракетно-космической технике».

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка численных математических моделей, учитывающих слабую сингулярность плотности источников на самосогласованно движущейся границе, их алгоритмизация и программная реализация, а также исследование свойств построенных моделей.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Разработать численную одномерную модель для параболической задачи, имеющей слабую особенность на свободной границе. Провести ее алгоритмизацию и исследование сходимости и устойчивости.

2. Разработать одномерную модель для двух сопряженных параболических задач с положительной обратной связью, осуществить ее параметризацию, дискретизацию и алгоритмизацию решения.

3. На основе базовых уравнений массопереноса сформулировать математическую модель в виде двухмерной параболической задачи, для которой разработать эффективные алгоритмы динамического построения сетки и решения дискретизированных уравнений.

4. На основе полученных моделей и алгоритмов разработать комплекс программ для расчета течения газа по плоским поглощающим технологическим зазорам.

Методы исследования. При выполнении работы использованы основные положения теории тепломассопереноса, методы математической физики, метод конечных разностей, методы составления и исследования разностных схем, методы объектно-ориентированного программирования.

Тематика работы соответствует паспорту специальности по: п. 2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей»,

п. 3 «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий»,

п. 4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента».

Научная новизна работы. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

для одномерной параболической задачи со слабой сингулярностью стоков на свободной границе построена численная модель, учитывающая сингулярность решения по методу выделения особенности и отличающаяся динамическим построением сетки, позволяющим учесть как подвижность границы, так и наследственность задачи;

для модели с выделением особенности установлены условия разрешимости разностной схемы, необходимые для компьютерной реализации разработанных алгоритмов;

сформулирована и дискретизирована двухпараметрическая модель из двух параболических задач для задачи сопряженного одномерного тепломассопереноса, отличающаяся положительной обратной связью уравнений, приводящей к немонотонному решению для движения границы, установлены качественные условия реализации этого решения;

разработана параболическая математическая модель двухмерного диффузионно-подобного массопереноса газа в поглощающих плоских каналах и получены условия дискретизации модели на сетке, топологически эквивалентной прямоугольной, что позволяет использовать стандартные алгоритмы решения двумерных параболических задач.

Практическая значимость работы заключается в разработке комплекса программ, учитывающего специфику массопереноса в поглощающих каналах и позволяющего проводить эффективное компьютерное моделирование процессов проникновения и торможения газового потока с целью создания перспективных материалов и конструкций на основе титановых сплавов для авиационной и космической техники. Данный комплекс программ может найти применение при решении других задач теплофизики.

Реализация и внедрение результатов работы. Комплекс программ внедрен в учебный процесс подготовки студентов специальности «Техническая физика» Воронежского государственного технического университета и использован при проведении научно-тематических исследований процесса диффузионной сварки титановых изделий для авиастроения и ракетно-космической техники.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: IV, V, VI, VII, VIII Международных семинарах «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011); V Международном семинаре «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (Воронеж, 2007); Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2011), IV Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2011)» (Воронеж, 2011), Всероссийской конференции с элементами научной школы для молодежи «Математическое моделирование в технике и технологии» (Воронеж, 2011), научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Воронежского государственного технического университета (2007-2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 научных работах, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит: в [1,2,4, 5,9, 10] - компоненты математического и алгоритмического обеспечения исследуемых моделей; в [12] - компьютерная реализация вычислительных схем, в [3, 6, 7, 8, 11] - проведение расчетов и численных исследований моделей.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 117 наименований, изложена на 159 страницах и содержит 49 рисунков и 8 таблиц.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, определены научная новизна и практическая значимость результатов работы.

В первой главе проанализированы существующие модели мас-сопереноса с поглощением, рассмотрены основные подходы к решению сингулярных задач типа задачи Стефана и возможность применения для этого современных систем мультифизического моделирования. Сформулированы цель и задачи исследования

Во второй главе на основе модели одномерного массопереноса разрабатываются и исследуются численные математические модели для расчета нестационарного транспорта.

Модель, описывающая процесс проникновения газа в канал, представляет собой параболическую задачу:

Здесь л(х,0 - средняя концентрация газа в поперечном сечении канала с координатой х, Б и I- площадь и периметр сечения, Б - коэффициент диффузии газа, К - константа скорости поглощения газа стенками канала, хо(0 — координата фронта газового потока, (о(х) — время достижения фронтом координаты х, являющееся обратной функцией к ;со(0-

В задаче (1) закон движения фронта х0(0 не является заранее заданным, а определяется самосогласованно в соответствии с граничными условиями (1). Кроме того, плотность стоков в уравнении (1) имеет интегрируемую (0 < а < 1) сингулярность при х = х0(0-

Параметризация модели (1) в рамках теории подобия приводит ее к безразмерному виду, не содержащему параметров:

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

, 0<х<х0(О;

(1)

п(0,0 = п0, п(х0,О = 0, —(х0,О = 0

дг_ дт

д22

К2 (т-г0(£))

0<х<£0(т);

дг

7(0,0 = 1, ^0,о = о, = 0

(2)

(3)

Для учета сингулярности задачи (2), (3) и определения в ходе решения функции £о(т) строится прямоугольная сетка узлов таким образом, чтобы на каждом слое по времени на линии £о(г) находился один новый узел, по сравнению с предыдущим слоем (рис. 1).

В таком случае шаги 6 и й не будут независимыми, а должны

выбираться так, чтобы новый узел N + 1 лежал на линии г = г0(£). При этом число узлов в слое N также будет переменным. В такой сетке шаги Л/ по координате £ уже не будут постоянными.

Для устранения сингулярности из дискретной модели используется метод выделения особенности, который в данной модели дает аналитическое решение в окрестности фронта в виде

(2-а)(\-а)

2-а

(2 -а)(1-а)

* »+1

Это решение позволяет сместить область построения разностной схемы в регулярные узлы и построить граничные условия в узле так что дальнейшая дискретизация с использованием метода уменьшения невязки для аппроксимации полученного граничного условия, содержащего производную, приводит к разностной схеме:

Рис. 1. Схема динамической сетки узлов 23

*н+\

Л/ у

(%+!"*/Г

ч -1» % -

(2 - а)(1 - а)8а

(4)

(5)

1+

щ

2А + (1-а)!гм = Им---

¿ХТ = Ла7 -:-—— (6)

28) М " 28а(1 -а) К '

По переменным 8, А задача (4) — (6) является существенно нелинейной и поэтому решается итерационным способом. Был выбран метод дихотомии, для сходимости которого требуется лишь непрерывность функции на отрезке, на котором ищется нуль функции. В итоге алгоритм решения задачи (4)-(6) следующий. На каждом шаге по времени методом дихотомии решается уравнение (6). При этом для заданных значений А и 8 значен™ и , входящие в (6), находятся из решения линейной задачи (4), (5) с граничными условиями первого рода методом прогонки.

Численное исследование алгоритма решения задачи (4)-{6) показало, что существует минимальное значение шага 80, ниже которого задача не имеет решения, и максимальное значение , выше которого решение отсутствует в заданном диапазоне А (рис.2,3), и получено:

(7)

N У }

На основе исследования зависимости ошибки модели от величины шага 8 (рис.4) установлена линейная сходимость модели в чебышевской нор-

0.06

0.04

0.02

¿1=39Г0.733д + 129Г0.416д2.5

1/« ,.,о-5

0.1 0.2 0.3 0.4 05

0.06

0.2 0.4 0.6

Рис. 2. Зависимость мак- Рис- 3- Зависимость рис> 4. Распределение

симального шага по минимального шага от ошибки модели по

времени от начального числа узлов и времени длине решения шага А и времени Т ^

|Д*1С« 0.002^

Аналитическое исследование схемы путем преобразования численно-аналитического решения в окрестности граничного узла позволило обосновать результат (7) как влияние сингулярности на аппроксимацию решения в соседних с ней узлах.

Произведено обобщение модели (1) для граничных условий второго и третьего рода на входе в канал и установлено, что в этом случае модель является однопараметрической. Методом Рунге-Ромберга исследована сходимость всех разностных схем и установлена линейная скорость сходимости.

Рассмотрено обобщение задачи (1) в пуазейлевском режиме течения, которое сводится к квазилинейной параболической задаче вида: дг д ч дг 1

где Бг - критериальный параметр, равный отношению коэффициентов диффузии в кнудсеновском и пуазейлевском режимах. Введением новой функции £ -Бг ■ г + ^г2 задача сводится к предыдущей, но разностное уравнение (4) заменяется на уравнение с нелинейной левой частью:

25

'г + 2С,=

1Ч+И1

Н+1

К

;+1

А,-

У

(^+1 -щ)а.

Разработан и протестирован итерационный алгоритм решения полученной нелинейной разностной задачи.

В третьей главе производится учет сопутствующего процесса теплопереноса по стенкам канала и формулируется модель сопряженного тепломассопереноса.

После добавления уравнения теплопереноса и преобразования модели в рамках теории подобия получена двухпараметрическая система параболических задач:

дт

д2г

9(в;Р2) д? Г)

, 0<д:<£0(т);

дг

(8)

г(0,0 = 1, г(#0,О = 0, = 0

дв дт

1 д2в <р(в;Р2)

0<#<2, (9)

содержащая критериальные параметры Р1 =

р

2-—Г

. Первый из

этих параметров является аналогом числа Лыкова, однако составлен из материальных констант, относящихся к разным средам (газовой и твердофазной). Второй параметр отражает интенсивность влияния изменения температуры на изменение скорости топохимической реакции:

В>=ТЯ

5М дТ

. При этом нелинейная функция <р{д,Р2) положительной

обратной связи уравнений (8), (9) выражается в виде <р(в,Р2) = е

Путем продолжения сетки за точку до Е и использования метода баланса для ячеек, содержащих и не содержащих линию фронта, для уравнения (9) получены разностные уравнения:

' г Ь+к

Н+\

7+1

■в,

+/, >

л А

91

Ъ+х ь

(10)

3 /г,+1 + Л, \

/ = (11а)

2л/2

<Рм

3 + й

'N+1

2^2

2 +

Ь

'N+1 У

к

-1

'N+1 у

Рлт+1

3 ////+1 + А.

[ЛГ+1 '

'N+2

(116)

(11в)

(Иг)

/, = 0, ¡ = М = 2..М . Модификация же разностной схемы (4)-(6) состоит в добавлении в свободный член уравнения (4) и правую часть равенств (5), (6) множителя

<рфы).

Для решения системы уравнений (4)-(6) используются только узлы с номерами 0..//, которые были динамически построены к данному временному слою, тогда как для решения уравнений теплопроводности (10), (11) требуются также и остальные узлы с номерами И+\..М, при этом положение узла (N+1) изменяется в результате решения задачи (4>-(6). Для учета этого обстоятельства при решении уравнений (10) узлы (Ы+2.М) на каждом шаге итерационной процедуры равномерно располагаются с постоянным шагом между текущим полученным положением узла £дг+1 и положением фиксированного конечного узла Е,м. Для этой подстраиваемой сетки узловые значения в1 в новых узлах рассчитываются по старым узловым значениям с использованием интерполяционного многочлена Лагранжа по трем точкам на промежутке, включающем новый узел.

Для решения построенной численной модели разработан итерационный алгоритм решения системы, состоящий в последовательном по-

вторном применении двух итерационных процедур отдельного решения задач (4) и (10) для получения решения на одном временном слое, а именно:

• на каждом временном слое организуется итерационный процесс, состоящий в повторении процедур:

1. итерационное решение задачи (4) при заданном распределении 6(£) для определения очередной динамически выбираемой точки сетки в текущем положении фронта потока;

2. итерационное решение нелинейного уравнения (10) для заданной функции т0(£) для определения распределения температуры ;

3. пересчет координатной сетки и узловых значений температуры в вакуумированной зоне;

4. повторение шагов 1-3 до выполнения условия останова итерационного процесса.

Численное исследование влияния параметров модели на вид решения (рис. 5-8) показало, что уменьшение параметра Р2 приводит к снижению уровня температурного поля и увеличению глубины проникновения фронта (рис. 5). При этом кинетика движения фронта почти не отличается от случая нетермической реакции (рис. 6).

1.5 |-1-Г---..

1 " 05 /

Рис. 6. Движения фронта с учетом тепловых эффектов (сплошная линия) и без их учета (штриховая линия), соответствующее рис. 5

Увеличение параметра Р2 сопровождается автокаталитическим ростом температуры («тепловой взрыв») — рис. 7. При этом происходит не только замедление, но и обратное движение фронта (рис. 8).

. Рис. 5. Распределение концентрации газа и температурного поля по длине канала при экзотермической топохимической реакции и значениях параметров Р1=10; /"2=0,035; т=3

Рис. 7. Распределение концентрации газа и Рис. 8. Движения температурного поля по длине канала при эк- фронта с учетом теп-зотермической топохимической реакции и ловых эффектов

значениях параметров Рх=\0; Р2=1; т=3 (сплошная линия) и без

их учета (штриховая линия), соответствующее рис. 7

В свою очередь, увеличение теплопроводности (уменьшение параметра Ру) оказывает влияние, противоположное увеличению Р2. При этом степень влияния параметра Р2 по сравнению с Р: значительно ниже.

Качественное исследование характера решения задачи показало, что при любых значениях параметров при достаточно большом времени решения происходит обратное движение фронта. Получена оценка критического времени начала такого движения при граничном условии Неймана для тепловой задачи:

1

кр

р2 2

1 +

1

10Д

10"

<Р2^10

1-1

Установлено, что для условия Дирихле значение г^ приблизительно в 25 раз больше, что обусловлено лучшими условиями теплоот-вода.

В четвертой главе формулируется математическая модель двумерного диффузионно-подобного течения с сингулярным поглощением.

Усреднением базовой системы уравнений гидродинамического и кнудсеновского течений получено уравнение переноса диффузионного типа:

дп .. - К —- + шу ]---

& К1-10(х,у))с

,7=-л 1+

п

"к

V«

(12)

с естественными граничными условиями непрерывности поля концентрации и плотности потока газа

и(Г) = 0, у„(Г) = 0. (13)

Здесь (0(х,у) - момент времени, в который фронт Г вакуумированной зоны пересекает точку с координатами (х, у). Зависимость ? = /0(х,>>)

описьшает движение линии Г и должно самосогласованно определяться в решении задачи условиями (13). В результате имеем задачу типа задачи Стефана со слабой сингулярностью стоков на подвижной границе и наследственностью, заключающейся в зависимости t-tQ{x,y), определяемой предшествующими моментами времени.

Ввиду нерегулярности динамически формируемой сетки было осуществлено построение элементарной ячейки для метода баланса по алгоритму Вигнера-Зейца (рис. 9).

И!+1

О

ж,я+1

и-1 и и+1

Рис. 9. Построение элементарной ячейки для метода баланса. Границы ячейки образованы срединными перпендикулярами к отрезкам, проведенным к соседним узлам

Рис. 10. Расположение узлов разностной сетки, формирующее четырехугольную элементарную ячейку. Черными кружками обозначены ближайшие соседние узлы, белыми квадратами - следующие соседи

Найдено геометрическое условие существования участка границы ячейки:

I ' ° +-г---с(с\%а + &я,0) > 0,

ей а эш/? 4 6

(14)

определяющее одновременно длину этого участка. На основе построенной ячейки и метода выделения особенности в рамках метода баланса получена дискретная модель для задачи (12), (13).

Для разработки эффективного алгоритма решения разностной задачи исходя из условия (14) предложен метод построения сетки, обеспечивающий формирование шаблона «крест» (рис. 10), что дает сетку, топологически эквивалентную прямоугольной. Для этого случая произведена редукция численной модели:

- v.>+*(c •"•асаО

(,т,п-1 уя>п-1 , 71и-1,и (\т>п~1\ _ ут,п \Jn)m,n + lm,n ЧЛ)т,п

= Щ _ а) [(f ~ Тт,п)Х~а ~(t- TmJ-a ] , (15)

где Sm n - площадь ячейки, определяемая выражением

С — !.(im+\,n im-\,n jm-\,n\, m,н ^[um,n m,n "1~wm,/j 'lm,n y

jtn,n+\ im,n+\ , im,n-\ jm.n-1 \ +-j\dm,n •lm,n + dm,n 'Lin ) , (16)

am,n ~ расстояние между узлами (m,n) и (m ,n % /т>и - длина участка

границы ячейки между узлами (т,п) и (т',пг), вычисляемая по формуле (14),

Г . л \

• Л \7И,И+1

On)

^ | Пт,п + Пт,п+1

2 nk

nm,n+\ Пт,п

m, п+\ » О7)

dh

Тт,п ~ уравнение движения границы Г автовакуумированной зоны. Затем для подвижной границы Г получены граничные условия:

2у КГт2г2~а

п =-, V = ■

? КУт2тх~а «Г

Лг~ к\-а) ' -;--(18)

Здесь Ут - скорость движения Г в узле (т^/),

Рт ~ с°3 "2(^/72+1,^ ~ат-\,К ) - коэффициент, определяющий проекцию расстояния на направление нормали к границе Г.

Для решения разностной задачи (15)—<18) разработан следующий итерационный алгоритм на каждом шаге по времени:

1) фиксируем значения и решаем линейную задачу локально-одномерным методом с первым из условий (18), при этом второе условие не удовлетворяется;

2) если невязка второго условия больше заданного уровня точно-

т/я,ЛГ+1 1т,Ы

ной невязки и возвращаемся к шагу 1);

3) по достижении заданной точности останавливаем итерации и переходим на новый шаг по времени.

В заключение главы осуществлена адаптация задачи к решению в рамках систем мультифизического моделирования. Для этого преобразованием уравнения (12) в движущуюся систему координат (£,£"), связанную с границей Г, получены решения задачи в окрестности границы:

Л =_^_(19)

\ + ИП(2-сс)(\-аУ ^ Й(1 -а)

и осуществлена дискретизация уравнения (12) по времени:

= ----, (20)

г иа+т-^у

Предлагаемый метод решения состоит в следующем. Пусть в момент времени t граница вакуумированной зоны занимала положение Г', а за время т она сдвинулась в положение Г, отстоящее от Г' на расстояние ¿(4). Уравнение (20) записано для области, ограниченной линией Г. Для устранения сингулярностей будем искать его решение в области, ограниченной линией Г', отстоящей от линии сингулярностей Г. При этом граничные условия на линии Г' получим с помощью решений (19). Такая задача уже решается конечноэлементным пакетом. В итоге имеем следующий алгоритм решения:

1) Задается начальное распределение поля Л^, начальная форма границы Г и начальный вид функции Г0(х,у), например, на основе решения (19).

2) На каждом шаге по времени задается величина шага г, начальное приближение <%(£)> согласованное с решением, полученным на предыдущем слое, и организуется итерационный цикл:

а) с функцией и первым граничным условием (19) решается уравнение (20) средствами стандартного пакета;

б) из второго граничного условия (19) выбирается новая итерация <$+ КО;

в) цикл завершается, когда разность соседних итераций (в какой-нибудь норме) становится меньше заданного уровня точности е;

г) если цикл не завершается за предварительно назначенное число итераций, то процедура повторяется с уменьшенной величиной шага т.

3) Из полученных решений на рассчитанных временных слоях ' и сетки шагов по времени восстанавливается функция описы-

вающая движение фронта вакуумированной зоны.

В пятой главе разрабатывается комплекс программ на основе сформулированных моделей и алгоритмов, предназначенный для моделирования течения газа по плоским технологическим зазорам с поглощающими стенками.

Определяется перечень входных параметров, внутренних глобальных и локальных переменных, структура программного комплекса (рис.11), вид предпроцессорного и постпроцессорного интерфейса (рис.12).

ПРЕПРОЦЕССОР

Блок физических параметров Блок геометрических

Коэффициенты диффузии параметров

Температура, давление 4- Размерность задачи

Теплофизические параметры Высота и ширина канала Форма канала

Блок критических параметров и параметров решателя

Решатель Задача 1 Задача 2 Задача 3 ПОСТПРОЦЕССОР

Вывод решения

-► График давления от координаты График температуры от координаты

Рис. 11. Структура комплекса программ

(втры •

:'--Режим течения ••'••:-\ С КнудсеновскиЯ \ С Пуазвйлевсхий

| С Диффузионный Температура среды. С 10ОО

¡1000

Давление rt

J28

гУсловия на входе в канал —

г гТилзаавчи..........-г-^—j

j j Ж Диффузионная ; | Г Тепловая

Г гТип условия......

I j ;<8 Дирихле j i Г Ивймона

: ' j С Белене потоке i Давление газа РО. Па

Г Коэффициент диффузии Книдеена Коэффициент аккомодации 1

F-----

DO-13081 см2/с nkj

Эфф. коэффициент диффузии : : Динамическая вязкость. мПз 0.3

OkJ

Константа скорости поглощения Энергия активации. кДж 172.5 ; [1723 1

Предэкспонента, г/см2.с"0,5 1229

Показатель альфа 0.5

Р-Р0 Ok| ji

5 ' j !

гТвплофизИЧвСкив параметры---t Теплоемкость. кДе^мЗ.К j 12333

Г Толщина ст емки, мм

Г:. F'.......

Кр - 1.912Е-05 г/см2.с'0.5 ОК {

.Теплопроводность, Вт/кК

Т^лота^ам^ккПрк/моль ¡944

: Геометрические пареметры •■••■;.■■.■

: Высота канала, мм 2

-Размерность-С 10 (Р) <• Ш(Р)+10(Т) - Г 2D (Р)

Ширина канала, мм 20

........

Поглощающие стенки канала

jgj верняя стенка : Щ] нижняя стенка рг1: левая стенка правая стенка

]

¡■Параметры решателя 4 • ■ - ?

. Масштабные и критические параметры.....

; Переходное давление. Па 118.91 | Диффузионная длина см 1.666Е-01 Диффузионное время, мин 6,КНЕ-С3 : Критерий Лыкове (Льюисе) 3.148Е*05 I I Критерий теплового взрыва 2.2Е-05 | ; Критерий стационарности 9,1Е-»09

Показатель режима 0.84

Нормир.потокТ О.ОЕ'ОО Ти-20748 К

Тепловая длина см 2.8Ё*01

Интервал времени решения, мин Длина области решения, см ■ Число шага в по времени Степень сетки времени

Iрешения !|и <-100:

" рл; |5г р- р- i^fnijrai:

Рис. 12. Вид интерфейса программного комплекса Компьютерная реализация комплекса осуществлена в рамках среды программирования Delphi.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Для одномерной параболической задачи массопереноса с поглощением, характеризующимся слабой сингулярностью на подвижной границе, разработана численная модель, учитывающая сингулярность по методу выделения особенности и подвижность границы на основе динамического построения сетки. Сформулирован алгоритм решения полученной нелинейной модели.

2. В рамках численного исследования модели установлена линейная сходимость в чебышевской норме по величине динамически выбираемого шага сетки. Исследованием сходимости численно-аналитической модели, полученной выделением особенности, в окрестности особой точки, установлено существование минимальной величины шага, до которой существует решение построенной разностной схемы.

3. С учетом сопутствующего теплопереноса сформулирована дву-параметрическая математическая модель из системы двух параболи-

ческих одномерных задач с нелинейной положительной обратной свя-

зью. На основе метода баланса построена разностная схема для задачи сопутствующего теплопереноса. Разработан итерационный алгоритм решения построенной разностной схемы сопряженной задачи переноса, использующий динамически подстраиваемую сетку на новом временном слое для уравнения теплопередачи.

4. Качественным численным исследованием двухпараметрической модели проанализирована степень влияния параметров на решение модели и установлена область значений параметров, в которой происходит торможение границы раздела зон решения вследствие активизации положительной обратной связи.

5. Сформулирована математическая модель двухмерного диффузионно-подобного массопереноса газа в плоских каналах в условиях его поглощения на стенках со скоростью, имеющей слабую особенность на фронте газового потока. Выполнена дискретизация модели в рамках метода баланса на непрямоугольной неравномерной сетке с динамическим выбором шага и выделением особенности на фронте потока. Найдены условия и разработан алгоритм сведения численной модели к сетке, топологически эквивалентной прямоугольной, что позволяет использовать стандартные алгоритмы решения двумерных параболических задач.

6. С использованием метода выделения особенности двумерная модель преобразована к виду, допускающему ее решение на основе регулярных алгоритмов в задаче с подвижной границей в рамках ко-нечноэлементных пакетов прикладных программ.

7. Разработан комплекс программ, реализующий полученные численные модели на основе разработанных алгоритмов их решения для задачи течения газа по поглощающим плоским технологическим зазорам.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Ислентьев О.В. Математическая модель двумерного диффузионно-подобного течения с сингулярным поглощением / О.В. Ислентьев, И.Л. Батаронов // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2007. Т. 3. № 8. С. 62-66.

2. Батаронов И.Л. Моделирование двумерных течений с сингулярным поглощением методом выделения особенности / И.Л. Батаронов, О.В. Ислентьев, В.Р. Петренко, В.В. Пешков, В.Ф. Селиванов // Системы управления и информационные технологии. 2009. №4(38") С. 4-8.

3. Батаронов И.Л. Моделирование тепломассопереноса в щелевых каналах с топохимическими экзотермическими реакциями / И.Л. Батаронов, О.В. Ислентьев, В.Р. Петренко, В.Ф. Селиванов, Д.Н. Балбеков // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2011. Т. 7. №2. С. 4-6.

Статьи

4. Батаронов И.Л. Разработка численного алгоритма решения диффузионной задачи Стефана с поглощением / И.Л. Батаронов, О.В. Ислентьев, А.В. Шиманский // Физико-математическое моделирование систем: материалы IV Междунар. сем. Воронеж, 2007. Ч. 2. С. 102-110.

5. Ислентьев О.В. Алгоритм решения задачи двухмерного массо-переноса с сингулярным поглощением на подвижной границе / О.В. Ислентьев, И.Л. Батаронов // Физико-математическое моделирование систем: материалы IV Междунар. сем. Воронеж, 2007. Ч. 2. С. 174-176.

6. Батаронов И.Л. Исследование влияния теплового эффекта превращения на кинетику массопереноса в одномерном канале / И.Л. Батаронов, О.В. Ислентьев, А.В. Шиманский // Физико-математическое моделирование систем: материалы V Междунар. сем. Воронеж: ВГТУ, 2008. Ч.З. С. 102-107.

7. Батаронов И.Л. Исследование сходимости и устойчивости алгоритма динамического построения сетки в задаче с подвижной границей / И.Л. Батаронов, О.В. Ислентьев // Физико-математическое моделирование систем: материалы V Междунар. сем. Воронеж: ВГТУ, 2008. Ч.З. С. 108-113.

8. Батаронов И.Л. Закономерности тепломассопереноса в щелевых каналах с топохимическими экзотермическими реакциями / И.Л. Батаронов, О.В. Ислентьев, В.Р. Петренко, В.В. Пешков, В.Ф. Селиванов // Физико-математическое моделирование систем: материалы VI Междунар. семинара. Воронеж, 2009. Ч. 1. С. 223-230.

9. Ислентьев О.В. Построение разностной схемы методом баланса для уравнения теплопроводности с движущимся сингулярным источником // О.В. Ислентьев, И.Л. Батаронов, В.В. Пешков, В.Ф. Селиванов // Физико-математическое моделирование систем: материалы VI Междунар. семинара. Воронеж: ВГТУ, 2010. Ч. 3. С 93-99.

10. Ислентьев О.В. Об условиях сходимости схемы с динамическим построением сетки на сингулярном источнике / О.В. Ислентьев, И.Л. Батаронов // Физико-математическое моделирование систем: материалы VI Междунар. семинара. Воронеж: ВГТУ, 2010. Ч. 4. С. 150-156.

11. Батаронов И.Л. Математическое моделирование тепломассопереноса в одномерном поглощающем канале / И.Л. Батаронов, О.В. Ислентьев, В.Р. Петренко, В.В. Пешков, В.Ф. Селиванов // Современные

методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж: ВГУ, 2011. С. 38-39.

12. Ислентьев О.В. Комплекс программ для моделирования течения газа по плоским технологическим зазорам с поглощающими стенками / О.В. Ислентьев, И.Л. Батаронов // Физико-математическое моде- 1 лирование систем: материалы VIII Междунар. семинара. Воронеж: ВГТУ, 2012. Ч. 3. С. 3-23.

Подписано в печать23 .ОЦ.20Х2 Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов.

Усл. печ. л. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ № ¿53 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14

61 12-5/2715

ФБГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

На правах рукописи

ИСЛЕНТЬЕВ Олег Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СО СЛАБОЙ СИНГУЛЯРНОСТЬЮ ПЛОТНОСТИ ИСТОЧНИКОВ НА СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕ

Специальность 05.13.18- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н., проф. Батаронов И.Л.

Воронеж - 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

Глава 1. Обзор литературы 8

1.1. Физико-математическое моделирование течения разреженного газа по

поглощающим каналам 8

1.2. Методы математического моделирования задачи Стефана 12

1.3. Возможности современных мультифизических пакетов по моделированию задач

типа Стефана 16

1.4. Выводы 19 Глава 2. Моделирование одномерной задачи массопереноса 21

2.1. Разработка численного алгоритма решения диффузионной задачи

со свободной границей и поглощением 21

2.1.1. Постановка задачи 21

2.1.2. Построение динамической сетки 23

2.1.3. Построение разностной схемы и формулировка алгоритма решения задачи 25

2.1.4. Разностная схема для фиксированного шага по времени или координате 28

2.2. Исследование сходимости и устойчивости алгоритма динамического построения

сетки в задаче с подвижной границей 30

2.3. Об условиях сходимости схемы с динамическим построением сетки на

сингулярном источнике 37

2.4. Сходимость разностной схемы для граничных условий второго и третьего рода

в начальной точке 42

2.5. Численная модель для течения газа в смешанном и пуазейлевском режимах 53 Глава 3. Моделирование сопряженной одномерной задачи тепломассопереноса 59

3.1. Формулировка математической модели 5 9

3.2. Построение разностной схемы методом баланса для уравнения теплопроводности с движущимся слабосингулярным источником 62

3.3. Разработка алгоритма решения сопряженной задачи 68

3.4. Исследование влияния параметров модели на решение задачи 72

3.5. Качественное исследование сопряженной модели 77 Глава 4. Математическая модель двумерного диффузионно-подобного течения

с сингулярным поглощением 86

4.1. Моделирование на основе разностной схемы 86

4.1.1. Постановка задачи 86

4.1.2. Построение сетки 92

4.1.3. Дискретизация задачи 95

4.1.4. Алгоритм решения задачи на шаблоне «крест» 101

4.2. Моделирование в мультифизических пакетах 105

4.2.1. Постановка задачи 105

4.2.2. Преобразование модели по методу выделения особенности 106

4.2.3. Общий алгоритм решения задачи 112 Глава 5. Комплекс программ для моделирования течения газа по плоским технологическим

зазорам с поглощающими стенками 116

5.1. Структура комплекса программ 116

5.2. Типы данных и входные переменные 120

5.3. Блок физических параметров 125

5.4. Блок геометрических параметров 13 3

5.5. Блок параметров решателя 136

5.6. Постпроцессор 144 Основные результаты и выводы 148 Литература 150

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Разработка технологических процессов производства современных конструкций аэрокосмической техники требует эффективного компьютерного моделирования диффузионно-подобного массопереноса газа в узких каналах в условиях поглощения газа стенками канала. Существенной особенностью такого процесса является образование в средней части канала зоны, практически не содержащей поглощенного газа (вакуумированная зона).

Использование аналитических методов для решения интегро-дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, описывающих распределение концентрации газа в такой задаче, обычно невозможно в силу существенной нелинейности задачи. Поэтому актуально построение численных математических моделей, адекватно отражающих указанные процессы. Однако существующие численные методы разработаны и реализованы в современных системах мультифизического анализа (ANSYS, NISA, COMSOL Multyphysics и др.) для регулярных условий при заданном движении границ. Задачи же, содержащие сингулярности и самосогласованно движущиеся границы, требуют индивидуального подхода. При этом в задачах, контролируемых диффузионными процессами, то есть описываемых параболическими уравнениями, возникающие при моделировании сингулярности обычно интегрируемы (слабые). Поэтому необходима разработка численных математических моделей, алгоритмов и комплексов программ, адекватным образом учитывающих специфику массопереноса в рассматриваемых системах.

Данная диссертационная работа выполнена в рамках госбюджетных НИР: Б5/07 «Моделирование топохимических и магнитомеханических процессов в многосвязных системах» (2007-2008 гг., № госрегистрации 01200707633), Б14/09 «Физико-математическое моделирование и исследование перспективных материалов, конструкций на основе титановых сплавов для

авиационной и космической техники» (2009-2010 гг., № госрегистрации 01200952212), проводимых по заданию Федерального агентства по образованию в рамках тематического плана «Фундаментальные исследования», Б14/11 «Физико-математическое моделирование процесса изменения состава и давления газовой фазы в контактных зазорах при высокотемпературной обработке титановых изделий аэрокосмической техники» (2011 г., № госрегистрации 01201155436), проводимой по заданию Минобрнауки в рамках тематического плана «Фундаментальные исследования», а также ГБ 2007.13, ГБ2010.13 «Математическое моделирование физических процессов в конденсированных средах и операторные уравнения». Диссертационная работа соответствует одному из основных научных направлений Воронежского государственного технического университета - «Наукоемкие технологии в машиностроении, авиастроении и ракетно-космической технике».

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка численных математических моделей, учитывающих слабую сингулярность плотности источников на самосогласованно движущейся границе, их алгоритмизация и программная реализация, а также исследование свойств построенных моделей.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Разработать численную одномерную модель для параболической задачи, имеющей слабую особенность на свободной границе. Провести ее алгоритмизацию и исследование сходимости и устойчивости.

2. Разработать одномерную модель для двух сопряженных параболических задач с положительной обратной связью, осуществить ее параметризацию, дискретизацию и алгоритмизацию решения.

3. На основе базовых уравнений массопереноса сформулировать математическую модель в виде двухмерной параболической задачи, для которой разработать эффективные алгоритмы динамического построения сетки и решения дискретизированных уравнений.

4. На основе полученных моделей и алгоритмов разработать комплекс программ для расчета течения газа по плоским поглощающим технологическим зазорам.

Методы исследования. При выполнении работы использованы основные положения теории тепломассопереноса, методы математической физики, метод конечных разностей, методы составления и исследования разностных схем, методы объектно-ориентированного программирования.

Тематика работы соответствует паспорту специальности по: п. 2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей»,

п. 3 «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий»,

п. 4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента».

Научная новизна работы. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

для одномерной параболической задачи со слабой сингулярностью стоков на свободной границе построена численная модель, учитывающая сингулярность решения по методу выделения особенности и отличающаяся динамическим построением сетки, позволяющим учесть как подвижность границы, так и наследственность задачи;

для модели с выделением особенности установлены условия разрешимости разностной схемы, необходимые для компьютерной реализации разработанных алгоритмов;

сформулирована и дискретизирована двухпараметрическая модель из двух параболических задач для задачи сопряженного одномерного тепломассопереноса, отличающаяся положительной обратной связью

уравнений, приводящей к немонотонному решению для движения границы, установлены качественные условия реализации этого решения;

разработана параболическая математическая модель двухмерного диффузионно-подобного массопереноса газа в поглощающих плоских каналах и получены условия дискретизации модели на сетке, топологически эквивалентной прямоугольной, что позволяет использовать стандартные алгоритмы решения двумерных параболических задач.

Практическая значимость работы заключается в разработке комплекса программ, учитывающего специфику массопереноса в поглощающих каналах и позволяющего проводить эффективное компьютерное моделирование процессов проникновения и торможения газового потока с целью создания перспективных материалов и конструкций на основе титановых сплавов для авиационной и космической техники. Данный комплекс программ может найти применение при решении других задач теплофизики.

Реализация и внедрение результатов работы. Комплекс программ внедрен в учебный процесс подготовки студентов специальности «Техническая физика» Воронежского государственного технического университета и использован при проведении научно-тематических исследований процесса диффузионной сварки титановых изделий для авиастроения и ракетно-космической техники.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: IV, V, VI, VII, VIII Международных семинарах «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011); V Международном семинаре «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (Воронеж, 2007); Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2011), IV Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2011)» (Воронеж, 2011), Всероссийской

конференции с элементами научной школы для молодежи «Математическое моделирование в технике и технологии» (Воронеж, 2011), научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Воронежского государственного технического университета (2007-2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 научных работах, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит: в [1, 2, 4, 5, 9, 10] - компоненты математического и алгоритмического обеспечения исследуемых моделей; в [12] - компьютерная реализация вычислительных схем, в [3, 6, 7, 8, 11] - проведение расчетов и численных исследований моделей.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 117 наименований, изложена на 159 страницах и содержит 49 рисунков и 8 таблиц.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Общие методы численного моделирования задач математической физики, описывающих тепломассоперенос, к настоящему времени основательно разработаны и продолжают развиваться в различных научных группах, в первую очередь, в школе академика А.А.Самарского [74-83, 20-23, 25, 26, 39, 43, 52, 5], и других [1-4, 16, 27, 28, 32, 40, 42, 44, 49-51, 54-62, 66-71, 91, 94-98, 103-105, 108, 110, 112, 116, 117]. Поэтому для сужения рассматриваемой темы необходимо вначале определить класс задач, подлежащих рассмотрению в настоящем диссертационном исследовании.

1.1. Физико-математическое моделирование течения разреженного газа по поглощающим каналам

Наиболее полное описание движения разреженного газа осуществляется на основе уравнения Больцмана для функции распределения молекул в шестимерном координатно-импульсном пространстве [47]. Ввиду отсутствия детальной информации об интеграле столкновений используются различные упрощенные модели (БГК, S, столкновительная и др.) [111, 113, 114]. И тем не менее, получаемое интегро-дифференциальное уравнение весьма сложное и содержит значительное число неизвестных параметров. Кроме того, использование такого подхода оказывается избыточным в гидродинамическом пределе. Как альтернатива, применяются более простые методы молекулярной динамики [53, 109] и Монте-Карло [99, 115]. Эти методы, однако, ограничены в отношении используемых вычислительных ресурсов и не имеют прямой связи с экспериментальными параметрами. Существующие же методы моделирования тепломассопереноса по каналам [62], в том числе и с учетом осаждения на стенках [106], основаны на макроскопических уравнениях движения и переноса тепла.

С практической точки зрения представляет большой интерес использование упрощенных моделей, имеющих непосредственную связь с экспериментально измеряемыми параметрами. Такая модель для одномерного течения в канале была предложена В.В.Пешковым с сотр. [18, 19, 41, 63, 64, 107] на основе простого суммирования кнудсеновского Л„ и пуазейлевского /Пз потоков и использования интегрального соотношения баланса в режиме развитого течения:

8С__д£д_2 (111)

Эх И гл

Здесь - полный переносной поток газа, = Укн + -Ль» Логл - поток поглощения. Поток /Пз аппроксимируется на основе решения гидродинамической задачи в пуазейлевском режиме: = -кСУР, что позволяет представить уравнение (1.1.1) как диффузионное, но с нелинейным коэффициентом диффузии. Запись потока поглощения в простом линейном виде /погл = АС позволила получить аналитическое решение в виде ряда, пример расчета которого показан на рис. 1.1. Если суммирование потоков является допустимой с технической точки погрешностью, вносящей максимальную ошибку в смешанном режиме не более 20%, которая, в принципе, может быть скорректирована, то использование потока поглощения в независимом от времени виде является грубым приближением, не согласующимся с экспериментальными данными [18, 41].

Дальнейшее развитие [84] модели (1.1.1) состояло в учете диффузионных процессов в стенках канала и адсорбционных на его поверхности, в результате чего поток поглощения был выражен в виде нелинейного интегрального оператора с ядром Абеля от концентрации С газа. Как показал вычислительный эксперимент и асимптотические аналитические исследования, в случае сильного химического сродства материала стенок канала к газу нелинейность оператора имеет выраженный пороговый характер, и решение модели разбивается на две зоны, в одной из которых концентрация газа на несколько порядков ниже другой («вакуумированная зона» [18, 19, 41, 107]).

9

х.мм

Рис. 1.1. Решения уравнения Рис. 1.2. Микрофотография внутренней (1.1.1) в кнудсеновском режиме поверхности каналов после обработки [65]

Рис. 1.3. Решение для движения газового потока в геометрической модели (а) и рассчитанные законы движения фронта для различных температур (б) [17,65]

Тогда для невакуумированной зоны была сформулирована модель течения газа в виде [14, 63, 64]

дС 1 д

ад о0(х)+-

)дС 1(х)К

а* ад дх

V к

дС

С(х0,о = о, —-(х0,0 = о, о<х<х0(0;

Эх

где С* - значение концентрации газа, при которой сравниваются пуазейлев-ский и кнудсеновский потоки, х0(?) - координата фронта газового потока (границы вакуумированной зоны), /(х), 5*(х) - геометрические характеристики канала. Данная модель характеризуется тремя особенностями:

• координата х0(?) заранее неизвестна и должна самосогласованно определяться из решения (задача со свободной границей или задача типа Стефана [25, 57, 70]);

• на фронте газового потока плотность стоков имеет слабую (интегрируемую) сингулярность (показатель а е (0;1));

• плотность стоков зависит от функции ¿о(х), то есть предшествующих состояний системы (задача с наследственностью).

Сочетание этих особенностей не позволяет непосредственно применить к задаче (1.1.2) имеющиеся алгоритмы и расчетные схемы. Кроме того, интегральный метод получения модели исключает ее непосредственный перенос на случай двухмерных течений, представляющих непосредственный практический интерес (рис. 1.2).

На основе модели (1.1.2) для двухмерного течения была разработана геометрическая модель [17, 65], в которой течение представляется происходящим по трубкам тока, строящимся из простых геометрических соображений (рис. 1.3а), и рассчитано движение фронта (рис. 1.36), качественно согласующееся с экспериментом (рис. 1.2). Однако такая модель не может учесть эффектов, связанных с поглощением газа на боковых стенках канала.

1.2. Методы математического моделирования задачи Стефана

Нелинейные задачи математической физики типа задачи Стефана допускают аналитические решения лишь в особых частных случаях [88, 3, 49, 50, 56, 72, 73], и в общем случае должны решаться численно [25, 55, 57, 70]