автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и методы анализа нелинейных волн в упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость

На правах рукописи

ИВАНОВ СЕРГЕИ ВИКТОРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В УПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ, СОДЕРЖАЩИХ ВЯЗКУЮ НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

О

(■

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2013 ..... 005544665

005544665

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.»

Научный руководитель: Могилевич Лев Ильич,

доктор технических наук, профессор Научный консультант: Блинков Юрий Анатольевич,

доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты: Гердт Владимир Петрович,

доктор физико-математических наук, профессор, Объединенный институт ядерных исследований, начальник сектора Алгебраических и квантовых вычислений

Землянухин Александр Исаевич, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.», заведующий кафедрой «Прикладная математика и системный анализ»

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»

Защита состоится «_» октября 2013 г. в _ часов на заседании

диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, корп.1, ауд. 319/1.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77.

Автореферат разослан «_» сентября 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета СМУ*^^ д. А. Терентьев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исследование поведения волн деформаций в упругих оболочках является важным направлением в современной волновой динамике. Так, моделирование и исследование волн деформации в геометрически и физически нелинейных упругих цилиндрических оболочках проведено в работах Л. И. Могилевича, А. И. Землянухина, В. И. Ерофеева, Е. И. Штейнберга, В. М. Катсона. В этих работах с помощью метода многих масштабов из уравнений динамики упругих оболочек выведены уравнения, имеющие точные решения, такие как уравнения Кортевега - де Вриза (КдВ), модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза (МКдВ) и уравнение Кадомцева - Петвиашвили. Эти уравнения имеют точные решения, описывающие уединенные нелинейные волны деформации. Вместе с тем в литературе отсутствуют исследования влияния на волновой процесс в упругих оболочках вязкой несжимаемой жидкости, находящейся внутри них.

Известные методы качественного анализа математических моделей не позволяют в полной мере исследовать модели волн деформаций в случае заполнения оболочки вязкой несжимаемой жидкостью. Гораздо более универсальным является подход к исследованию моделей с помощью перехода к их дискретным аналогам, основанный на применении техники базисов Грёбнера, изложенный в работах Ю. А. Блинкова, В. П. Гердта, В. В. Мозжилкина и продемонстрированный при генерации разностных схем со схемной вязкостью, многослойных разностных схем и схем с переключателями для линейных и нелинейных уравнений разных типов. Вышеизложенное определило актуальность и цель данной работы.

Целью работы является развитие методов математического и компьютерного моделирования процессов нелинейной волновой динамики цилиндрических оболочек, заполненных вязкой несжимаемой жидкостью, на основе методов компьютерной алгебры с использованием базиса Грёбнера.

Задачи работы. Из цели работы вытекают следующие задачи:

- вывод эволюционных уравнений, моделирующих распространиение волн деформаций в упругих геометрически и физически нелинейных цилиндрических оболочках, содержащих внутри вязкую несжимаемую жидкость;

- генерация разностных схем для решения полученных уравнений, обобщающих уравнение КдВ, МКдВ и уравнение Гарднера с использованием компьютерной алгебры и базиса Грёбнера;

- численное исследование моделей геометрически нелинейных оболочек и физически нелинейных оболочек, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, с использованием начальных условий в виде точных решений уравнений КдВ, МКдВ, Гарднера и других видов начальных условий.

Научная новизна:

- Впервые построены математические модели волновых движений в бесконечно длинных геометрически и физически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, и исследовано ее влияние на нелинейные волны деформаций в этих оболочках, на базе связанных задач гидроупругости, описываемых уравнениями динамики оболочек, и вязкой несжимаемой жидкости, в виде обобщенных уравнений КдВ, МКдВ, Гарднера;

- предложен эффективный вычислительный алгоритм с применением техники базисов Грёбнера для построения разностных схем при решении выведенного в работе уравнения обобщающего КдВ, МКдВ, Гарднера для анализа распространения нелинейных волн деформаций в упругих и нелинейно-упругих цилиндрических оболочках содержащих вязкую несжимаемую жидкость;

- для рассмотренных обобщений с учетом наличия жидкости уравнения КдВ, МКдВ и Гарднера сгенерированы разностные схемы типа Кранка-Николсона, полученные построением базисов Грёбнера разностных идеалов. Для генерации разностных схем использовались базовые интегральные разностные соотношения, аппроксимирующие исходную систему уравнений. Применение техники базисов Грёбнера позволило сгенерировать схемы, из которых путем эквивалентных преобразований могут быть получены дискретные аналоги законов сохранения исходных дифференциальных уравнений;

- на основе полученного вычислительного алгоритма разработан комплекс программ с использованием пакета БаРу для численного решения задач Коши и построения графиков, соответствующих уравнений КдВ, МКдВ и

Гарднера, когда в качестве начального условия принимаются точные решения и гармонические функции координат; - с помощью разработанного программного комплекса проведены вычислительные эксперименты, позволившие выявить новые эффекты влияния вязкой несжимаемой жидкости на поведение волны деформации в оболочке в зависимости от коэффициента Пуассона материала оболочки, а также упругой окружающей среды. В частности, при наличии жидкости в оболочке из неорганических материалов (различные трубопроводы в технологических сооружениях) о выявлен экспоненциальный рост амплитуды волны, ведущий к разрушению оболочки. В случае органического материала, наличие жидкости приводит к быстрому затуханию волны. Наличие упругой окружающей среды ведет к увеличению скорости движения волны деформации. Апробация работы. Основные результаты докладывались на семинарах кафедры Математического и компьютерного моделирования Саратовского государственного университета имени Н. Г. Чернышевского, кафедры Тепло-газоснабжение, вентиляция, водообеспечение и прикладная гидрогазодинамика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А. Кроме того, на международном семинаре по компьютерной алгебре в лаборатории информационных технологий ОИЯИ, Дубна, 2012; международной научной конференции «Компьютерные науки и информационные технологии», Саратов, 2012; всероссийской научной конференции имени Ю. И. Ней-марка «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 2012; международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-25), Волгоград, 2012.

Достоверность полученных результатов. Построение новой математической модели проводится на основе известной теории оболочек Кирхгофа-Лява и уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости. Вывод нового нелинейного уравнения для волн деформаций в упругой оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость, проведен с помощью апробированного асимптотического метода малого параметра, корректность которого обоснована в литературе по асимптотическим методам. Анализ предложенной математической модели проводится с использованием известных методов компьютерной алгебры.

В диссертации для рассматриваемого класса нелинейных дифференциальных уравнений разностные схемы типа Кранка-Николсона построены с применением интегро-интерполяционного метода и техники базисов Грёбнера. Они были проверены на большом классе точных решений и показали полное совпадение с ними.

В диссертации получена явная зависимость нормы искомой функции от времени, которая используется для интегрального контроля точности численного решения поставленной задачи.

Кроме того, разработанные программы для численного решения выведенных уравнений протестированы на точных частных решениях известных уравнений, являющихся частным случаем полученных уравнений.

Все положения, сформулированные в диссертации, обоснованы математически.

Практическая значимость. Полученные результаты могут использоваться для диагностики поврежденности материалов акустическими методами. Разработанная модель также описывает процессы в трубах относительно малого по сравнению с длиной волны диаметра, при этом рассматриваются случаи для труб, сделанных как из неорганического материала (различные технологические трубопроводы), так и из органического (кровеносные сосуды). Это позволяет применять данную модель в гемодинамике. Материалы работы могут быть использованы в лекционных курсах по математическому моделированию, механике деформируемого твердого тела, компьютерной алгебре, численным методам.

Теоретическая значимость работы заключается в развитии и применении методов компьютерной алгебры "Для моделирования и исследования процессов распространения нелинейных дисперсионных волн в упругой оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость. Результаты работы позволяют выявить новые закономерности в процессе распространения нелинейных дисперсионных волн в оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, и могут послужить созданию фундаментального научного задела в области математического и численного моделирования нелинейных волн в упругой среде, взаимодействующей с жидкостью.

Работа выполнена в рамках госбюджетных научно-исследовательских работ СГТУ имени Гагарина Ю. А., Проблема 11В.02. Фундаментальные и прикладные проблемы гидрогазодинамики и гидроупругости; гранта РФФИ 13-0100049 «Нелинейные дисперсионные волны в упругих оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость» и государственной бюджетной темы СГТУ-5 «Исследование взаимодействия пульсирующего слоя вязкой жидкости с упругими стенками канала, установленного на вибрирующем основании», выполняемой по заказу министерства науки и образования.

На защиту выносятся следующие положения:

- новые математические модели в виде нелинейных уравнений в частных производных, обобщающих уравения КдВ, МКдВ и Гарднера, описывают волновые процессы в цилиндрических оболочках, заполненных вязкой несжимаемой жидкостью;

- применение компьютерной алгебры в частности базисов Грёбнера для- генерации разностных схем при численном исследовании полученных моделей;

- результаты численного моделирования волновых процессов в оболочках, заполненных вязкой несжимаемой жидкостью.

Публикации. Основное содержание диссертации и результаты исследований опубликованы в одиннадцати научных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 111 наименований, двух приложений и содержит 103 страницы наборного текста.

Основное содержание работы

Во введении изложена история вопроса, обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель, задачи, научная новизна исследования, показана практическая значимость полученных результатов, представлены положения, выносимые на защиту.

В первой главе построены математические модели, описывающие поведение волны деформации в упругих цилиндрических оболочках, заполненных вязкой несжимаемой жидкостью, в виде нелинейных уравнений в частных производных, обобщающих уравнения КдВ, МКдВ и Гарднера. Получены точные

решения выведенных уравнений, при отсутствии жидкости, для демонстрации возможностей базиса Грёбнера.

В пункте 1.1 приводится постановка задачи гидроупругости. Рассмотрена упругая бесконечно длинная оболочка с круговым сечением (рис. 1), внутри которой находится вязкая несжимаемая

жидкость. Здесь Я - радиус срединной поверхности, Я1 - внутренний радиус оболочки, Н0 - толщина оболочки (Я = + Записаны уравнения движения элемента цилиндрической оболочки в перемещениях для модели Кирхгофа-Лява. Если считать материал нелинейно-упругим с кубической зависимостью интенсивности напряжений <т, от интенсивности деформаций ег, то

Рисунок 1 — Прогиб оболочки с круговым сечением

(У{ = Евг тпе1

(1)

где Е - модуль Юнга, те - константа материала, определяемая из опытов на растяжение или сжатие. Поверхностные напряжения со стороны слоя жидкости определяются формулами

<7п = ^-Ргт-СОв (П,ПГ) + РухСОв

«г = [р„ •сое (п,пг) + РххСОЭ

дУг

г=п-IV

,.=л-IV

(2)

Рп. = -р + 2р^-Рт от

дУг.

дх

здесь дх, дп - напряжения со стороны жидкости, находящейся внутри кругового сечения; г, х - цилиндрические координаты; Уг, Ух - проекции вектора скорости на оси цилиндрической системы координат; IV - прогиб оболочки, положительный к центру кривизны; р - давление в жидкости; р - плотность жидкости; V - кинематический коэффициент вязкости; п - нормаль к срединной поверхности оболочки; пг, г - орты базиса (г, 0, х) цилиндрической системы координат, центр которой расположен на геометрической оси. Если снести на-

пряжения на невозмущенную поверхность оболочки, то можно считать п — пг и cos (п, nr) = 1, cos (fi, ij = 0. Уравнения динамики оболочки записывается в виде

IfduV 1 fdW\2 hi id2W\2 2 V дх ) + 2 V дх ) + 24 V дх2 )

dU__Wy dUW дх R ) + дх R

d2W dUd2W \ + -——+ ...

- Poho

д2и dt2

-qx\

+

1 - ¡1% \ 12 дх2 V, дх2 ' дх дх2 дх J 2 \ дх J 24 \ дх2 J

_d_(dW fdU_

дх { дх \ дх

-+

Am 3£

ди

дх

(3)

faw У

+

dUW W2 дхД" + Я2"

+

d2W

dt2

=

Здесь /¿о - коэффициент Пуассона; í - время; и — продольное перемещение. Выражение в квадратных скобках характеризует реакцию упругой среды, в которой расположена труба кругового сечения к\\У ^ кЛУл - реакция на сдавливание (сжатие), —2^ ^т - реакция на сдвиг, то^г - инерционная реакция. Коэффициенты к\, , 41, та определены в работах Власова и Леонтьева.

Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат (г, 0, х) в случае осесимметрично-го течения записываются в виде

dVr ЭК

dt + г дг

vdVL+ldp = u f&K + + д2Vr

х дх рдг \ дг2 г дг дх2

Vr'

ду* ы

+ у™* + + = „ + +

г Зг * дх рдх \ дг2 г дг дх2 / '

(4)

дУт к дУх v ;

—- + — + -—- = 0. дЬ г дх

На границе с оболочкой выполняются условия прилипания жидкости, в подходе Лагранжа имеющие вид

ди .. ттдУх ^т = Ух + и—^ - IV—± иг дх дг

В пункте 1.2 выводится уравнение динамики с учетом наличия жидкости внутри упругой оболочки. Принимая за характерную длину волны величину I, перейдем к безразмерным переменным:

\У = ю7Пи3; и = итщ; Г = х* = у; г" =

, / Д <* V со (6)

У Ро(1 - (Х0) I

здесь с0 - скорость звука. Введем малый параметр задачи е< 1и соотношения, характеризующие задачу:

^=е = о(1); у = О (£1) ; | = ОД; | = О (О ; % = 0(.) (7)

Введем координаты £ = х* — сГ, т = еГ где с - неизвестная скорость волны (безразмерная). Разложим упругие перемещения по степеням е:

щ = Им + £«11 + •■■, Мз = Изо + £"31 + ••• (8)

и подставим в (3). Для первых членов разложения (е°) получим систему уравне-

нии

Ыт1 дию , 2 д2ию

^«30 = ^; (1-ро-с)-^- = 0 (9)

Следовательно ищ - произвольная функция, а безразмерная скорость волны с = \/\ — Рц. Приравнивая коэффициенты при в в левых и правых частях уравнений (3), найдем с учетом предыдущих результатов

д£дт

д2Щ0 ит -у/1 — и1 дию д2и10

' » >0 "Т"

е Р

1 +

1е т0

Ро1го

д£, де

и Я2

4

дАи

10

д£4

±

Зр1к2Ш2пЯ,2

\/1 - На е 12РоЬ0с1

2д2и10 4 ¿1 я2 д2

(10)

2\/! — 4еРо^ос1

ю

ди

д? 12

+

«ю

2д/1 - $ £ Ро/госо д£2 Я дЧп

В случае отсутствия жидкости правая часть уравнения равна нулю и получается уравнение Гарднера, а в случае отсутствия физической нелинейности (т — 0) - КдВ. Нужно определить правую часть, решая уравнения гидродинамики.

В пункте 1.3 решаются уравнения динамики вязкой несжимаемой жидкости (4) и определяются напряжения, действующие на оболочку со стороны жидкости. Вводятся безразмерные переменные и выделяются малые параметры задачи.

ТЛ Со гг Со „ Г Со , 1

К - Щ},ТУГ' V* = ^тп—ух; г = -г*; х = тх'>

I К\ XII ' '

р1>Со1и)п,

р = —вГР

+ Ро; у- = ^ = О (е^ \ = ^щ = 0{е)

(П)

Раскладывая по малому параметру Л давление и компоненты скорости

Р = Р° + АР1 + ..., ух = ьах + Аъ>1. + ..., ьг = + Аг;,1 + ...

(12)

получаем с учетом ф 1 (гидродинамическая теория смазки) из уравнений (4) для первых членов разложения уравнения

дР° дг'

дР° дх*

1 д

г" дг* \ дг*

1А(гЧ0) + М = 0, (13)

г*дг дх*

а из граничных условий (5)

о 9u3

,0

UmRx дщ

wml dt*

= = ° ПРИ r

при r* = 1 0.

Определим в этих переменных напряжения со стороны жидкости на оболочку. С точностью до Л, ф имеем

. V 2 dvx

q' =

А V 2 ; <7n = -Po - -J~5—Poc0p r-=i фЯ^со

(15)

Решение уравнений (13) с граничными условиями (14) позволяет найти

'\UmRi

д_ dt"

dvx дт*

'I

о Ги1 2 wml

1 umRx

S

щ(1х*

dx\

2 wml

■щ

uzdx*

(16)

В пункте 1.4 выводится основное уравнение, описывающее волну деформаций в оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость. Учитывая, что в

(9) ———изо = получаем в правой части уравнения (10) в виде

итК I

Qx - ßo-

Rdqn

T~dtî

Rico

Р&у/

-, o^m

2щ>

Ж

du

10

(17)

С принятой точностью можно положить Rl = R. Введем обозначения = сф, г] = с^, / = сот, из (10), (17) получим обобщенное уравнение Гарднера

Я?* Л-Р* т« ^л. дФ Л П — + 6а0ф— 6<71<гГ— + а2— -аф = 0

at arj orf or) or]

(1В)

и значения с, сь С2, а также обозначения сто, съ 02- Коэффициент а принимает значение 1 при цо < — 1 при цо > 0 при до = \ и при отсутствии жидкости. В уравнении (18) при отсутствии физической нелинейности полагаем сто = 1,

ах = 0 и получаем обобщенное уравнение КдВ:

дф дф д3ф дф + = 0 (19>

здесь <72 - безразмерный коэффициент постели. При отсутствии жидкости (сг = 0) уравнение (19) имеет точное решение

ф = 2Агйес/г [к (т? - (Ак2 + а2) ¿)] (20)

При отсутствии геометрической нелинейности аа = 0 выбираем о\ = 1 и получаем обобщенное уравнение МКдВ. При отсутствии жидкости (а = 0) имеем уравнение МКдВ с точными решениями (21) при выборе верхнего знака, и (22) при выборе нижнего знака:

ф = ±к Ш [& (т] + щ) + (2к3 - ко2) Ь] (21)

ф = ±квес!1 [к (г) + - (2/с3 + ка2) (22)

Во второй главе с помощью аппарата базисов Грёбнера строятся разностные схемы для численного исследования моделей, полученных в предыдущей главе.

В пунктах 2.1 - 2.3 излагаются общие концепции применяемой методологии базисов Грёбнера, приведен алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера, на основе которого будут построены разностные схемы.

В пункте 2.4 строятся разностные схемы для обобщенных уравнений КдВ, МКдВ и Гарднера. Запишем уравнение (18) в интегральной форме

® — (Зсго<р2 ± 2сг\<р3 + (7-у(р + Рцп) dt + pdr] — I crip dt drj = 0 Jm J Jn

(23)

для любой области П. Для перехода к дискретной формулировке сопоставим и" = >p(tn, rjj) и выберем в качестве базового контур, показанный на рис. 2.

В системе компьютерной алгебры Maple получена искомая разностная схема в качестве элемента авторедуцированного базиса Грёбнера для уравне-

ния (18)

«г1 -

+ Зето

4А

Т

+ СГо

4 Л

4Л

+

«21 - + - г^) + - 2ц"+1 + - и]_2)

4Л3

<+1 + <

Г—-^ = о.

Схема алгоритма расчетов приведена на рис. 3.

В третьей главе проводится численное исследование построенной в первой главе математической модели с начальным условием в виде точного решения с использованием разностной схемы (24) для различного набора параметров, построенной во второй главе.

п+ 1

Рисунок 2 — Базовой контур для уравнения (23)

Считая численно уравнения КдВ, МКдВ и Гарднера с точным решением при

« I__( Задание

ти Г 1 параметров Г

(сохранение решение_0 для --- ^й»^

Г

| Построение | (графиков I

||решение_1 \р«ш»(ме_0|| > I

--—►^рсшеиив_0 = решвние_1 ^

£ = 0, в качестве начального условия, при отсутствии жидкости показано, что результаты численных расчетов совпадают с расчетами по точным решениям исходного уравнения в виде солитона или кинка-антикинка, которые движутся с постоянной скоростью и неизменной формой. Разностная схема была по-лученна с использованием техники бази-

Рисунок 3 — иМЬ - диаграмма действий

сов Грёбнера и в ней по построению для произвольной области выполнены интегральные соотношения для исходного дифференциального уравнения третьего порядка.

Считая численно уравнение с точным решением при £ = 0 в качестве начального условия, при наличии жидкости, мы показываем рост волны в случае неорганического материала оболочки или затухание волны в случае органического материала оболочки.

Для уравнения (19) в качестве начального условия используем

2 к2

ф = аа + — (йес/12(Ь;) - 1) (25)

и получим графики с учетом влияния жидкости при <т2 = 0, в случае неорганического материала (<т = 1) на рис. 4 и в случае органического материала (ег = —1) на рис. 5

Рисунок 4 — Случай наличия жидкости при неорганическом материале оболочки

О 10 «О 60

п

Рисунок 5 — Случай наличия жидкости при органическом материале оболочки

При осесимметричном прогибе оболочки кругового сечения, направленном внутрь к оси оболочки, сечение оболочки в области прогиба меньше, чем в неде-формированной части оболочки. Следовательно, по законам сохранения массы

и импульса, в области прогиба уменьшается давление жидкости. За счет уменьшения давления прогиб продолжает увеличиваться (это следует из уравнения неразрывности). Этот процесс происходит до тех пор, пока величина прогиба много меньше радиуса оболочки (^ = е, где е <С 1). Построенная в данной работе модель работает только при этом условии. Когда оно не выполняется, требуется использовать другие модели.

В четвертой главе проводится численное исследование построенной в первой главе математической модели с начальным условием в виде периодической функции. При использовании периодических начальных условий оценок, позволяющих определить скорость роста или затухания волны при наличии жидкости в оболочке, нет. Численное исследование показало, что при отсутствии жидкости, поскольку периодическое решение не является точным решением уравнений, происходит распад волны в следствие дисперсии и увеличение амплитуды распавшихся волн за счет нелинейности, а с течением времени амплитуда волны начинает уменьшаться, этот процесс периодический.

Для уравнения (19) в качестве начального условия используем периодическую функцию sin и получим графики для случая геометрической нелинейности без влияния жидкости на рис. 6, с влиянием жидкости, в случае неорганического материала на рис. 7. Во всех этих случаях предполагается отсутствие влияния упругой среды (а2 — 0)

Рисунок 6 — Случай отсутствия жидкости при периодическом начальном условии

Видно, что при наличии жидкости внутри оболочки амплитуда периодической волны либо быстро растет за счет нелинейности в случае неорганического материала оболочки, либо быстро падает за счет дисперсии в случае органиче-

Рисунок 7 — Случай наличия жидкости при неорганическом материале оболочки и периодическом начальном условии

ского материала оболочки, то есть баланс нелинейности и дисперсии нарушается либо в пользу нелинейности, и уединенная волна разрушается, либо в пользу дисперсии, и уединенная волна расплывается, и для ее поддержания нужны дополнительные сокращения стенок оболочки, например, кровеносного сосуда.

Основные результаты работы и краткие выводы

1. Построены новые математические модели в виде нелинейных уравнений в частных производных, обобщающих уравнения КдВ, МКдВ и Гарднера, описывающие волновые процессы в цилиндрических оболочках заполненных вязкой несжимаемой жидкостью.

2. С помощью аппарата базисов Грёбнера получены разностные схемы, на основе которых предложен эффективный вычислительный алгоритм создан программный комплекс «Кс1У» (Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ N0 2013618390, зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 06.09.2013), позволяющий произвести необходимые расчеты и построить графики, наглядно показывающие динамику волнового процесса для численного исследования полученных моделей.

3. Проведенные численные эксперименты позволяют сделать следующие выводы: наличие жидкости в оболочке в случае, если материал оболочки неорганический, ведет к экспоненциальному росту амплитуды волны на малых временах. В случае, когда оболочка из органического материала, напротив, наблюдаются снижение амплитуды и быстрое затухание волны. При наличии упругой окружающей среды (сг2 — 1) волна деформации ве-

дет себя аналогичным образом, но увеличивается скорость волны деформации, уменьшается ее амплитуда и увеличивается ее длина.

Основные публикации по теме диссертации

В изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Иванов С. В. Моделирование колебаний и волн в цилиндрической оболочке с вязкой несжимаемой жидкостью внутри нее / С. В. Иванов, JT. И. Могилевич, В. С. Попов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2011. №4. С. 13-19.

2. Иванов С. В. Математическое и компьютерное моделирование динамики нелинейных волн в физически нелинейных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, А. Д. Ковалев, Л. И. Могилевич // Известия Саратовского университета. Новая серия. Физика. Вып.2. Т.12. 2012. С. 12-18.

3. Иванов С. В. Математическое и компьютерное моделирование нелинейных волн деформаций в оболочке, содержащей вязкую жидкость. Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Математика. Информатика. Физика. / Ю. А. Блинков, С. В. Иванов, Л. И. Могилевич // Москва: РУДН, 2012, №3, С 52-60.

4. Иванов С. В. Моделирование волн деформаций в геометрически и физически нелинейной цилиндрической оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость / C.B. Иванов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2012. № 4. С. 22-28.

В прочих изданиях

5. Иванов С. В. Нелинейные волны деформаций в упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, Л. И. Могилевич // Магистраль: Межвузовский сборник научных статей. - Саратов: Издательский центр «Наука». 2011, Вып. №3. С. 3-11.

6. Иванов С. В. Оценка взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с упругими стенками трубы кругового и кольцевого сечений при воздействии волны деформации / А. Ю. Блинкова, В. А. Ковалева, С. В. Иванов // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ. 2011. С. 104-116.

7. Иванов С. В. Математическое моделирование динамики взаимодействия физически и геометрически нелинейной упругой цилиндрической оболочки с вязкой несжимаемой жидкостью внутри нее при воздействии волны деформации / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, Л. И. Могилевич // Компьютерные науки и информационные технологии: Материалы Междунар. науч. конф. - Саратов: Издат. Центр «Наука», 2012. - С.43-44.

8. Иванов С. В. Волны деформаций в физически нелинейных упругих каналах, заполненных вязкой жидкостью, с круговым и кольцевым сечением / А. Ю. Блинкова, В. А. Ковалева, С. В. Иванов, Л. И. Могилевич // Нелинейные колебания механических систем: Труды IX Всероссийской научной конференции им. Ю.И.Неймарка. Нижний Новгород, 24-29 сентября 2012 г., Н.Новгород: Издательский дом «Наш дом», 2012. С. 141-150.

9. Иванов С. В. Колебания и волны в упругой цилиндрической оболочке с вязкой несжимаемой жидкостью / С. В. Иванов, Л. И. Могилевич, В. С. Попов // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-25: сб. трудов XXV Междунар. науч. конф., Т.З, секция 5, Волгоград: Вол-гогр. гос. техн. ун-т, 2012. С. 6-9.

10. Иванов С. В. Моделирование взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с физически и геометрически нелинейной упругой стенкой трубы кругового сечения при воздействии волны деформации / С. В. Иванов // Математика. Механика: сб. науч. тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2012. -Вып. 14. С. 110-112.

11. Иванов С. В. Динамика взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с упругой стенкой цилиндрической оболочки при воздействии волны деформации / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, Л. И, Могилевич // Исследования нелинейных динамических систем: Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск № 3; под ред. д-ра физ-.матем. наук В. В. Риделя. — Москва.: Московский государственный университет путей сообщения, 2013. С. 45-54.

ИВАНОВ СЕРГЕЙ ВИКТОРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В УПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ, СОДЕРЖАЩИХ ВЯЗКУЮ НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ

Автореферат

Подписано в печать 26.09.13 Формат 60x84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд. л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 144 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Тел.: 24-95-70; 99-87-39, e-mail: izdat@sstu.ru

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет»

На правах рукописи

04201364213 ИВАНОВ СЕРГЕЙ ВИКТОРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В УПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ, СОДЕРЖАЩИХ ВЯЗКУЮ НЕСЖИМАЕМУЮ

ЖИДКОСТЬ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Л.И. Могилевич

Научный консультант: доктор физико-математических наук Ю.А. Блинков

Саратов 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ......................................... 5

ВВЕДЕНИЕ........................................................................ 6

1 Математические модели волновых явлений в сплошной среде с учетом взаимодействия эффектов нелинейности и дисперсии геометрически и физически нелинейной упругой цилиндрической оболочки типа Кирхгофа — Л'ява содержащей внутри вязкую несжимаемую жидкость..................................................... 18

1.1 Постановка задачи гидроупругости.............................. 18

1.2 Вывод уравнения динамики с учетом наличия жидкости в внутри упругой оболочки ............................................... 22

1.3 Решение уравнений динамики жидкости и определение напряжений действующих на оболочку со стороны вязкой несжимаемой жидкости......................................................... 28

1.4 Основное уравнение, описывающее волну деформаций в оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость............ 31

1.5 Оценка поведения решения ....................................... 34

2 Генерация разностных схем..................................................................................................37

2.1 Базисы Грёбнера........................................................................................................37

2.2 Алгоритм Бухбергера............................................................................................38

2.3 Разностные базисы Грёбнера............................................................................41

2.4 Вывод базовой разностной схемы..................................................................46

2.5 Точные решения........................................................................................................49

2.5.1 Получение решения:, ряд по степеням ^ с использованием базиса Гребнера........................................................................................49

2.5.2 Получение решения: ряд по с И-1 с использованием базиса Гребнера..........................................................................................................51

2.5.3 Разработка комплекса программ для проведения численных экспериментов....................................................................................54

3 Исследование математической модели упругих оболочек, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, методами компьютерной

алгебры с точным решением в качестве начального условия........ 56

3.1 Численное исследование модели волновых движений геометрически нелинейной упругой оболочки взаимодействующей с вязкой несжимаемой жидкостью, содержащейся внутри нее........ 56

3.2 Численное исследование модели волновых движений геометрически нелинейной упругой оболочки, окруженной упругой средой взаимодействующей с вязкой несжимаемой жидкостью, содержащейся внутри нее............................................... 59

3.3 Численное исследование модели волновых движений физически нелинейной упругой оболочки взаимодействующей с вязкой несжимаемой жидкостью, содержащейся внутри нее........... 62

3.4 Численное исследование модели волновых движений геометрически и физически нелинейной упругой оболочки, взаимодействующей с вязкой несжимаемой жидкостью, содержащейся внутри нее................................................................. 71

4 Исследование математической модели упругих оболочек, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, методами компьютерной

алгебры, с периодической функцией в качестве начального условия 81

4.1 Численное исследование модели волновых движений геометрически нелинейной упругой оболочки взаимодействующей с вязкой несжимаемой жидкоеью, содержащейся внутри нее........ 81

4.2 Численное исследование модели волновых движений физически нелинейной упругой оболочки, взаимодействующей с вязкой несжимаемой жидкостью, содержащейся внутри нее........... 86

4.3 Численное исследование модели волновых движений геометрически и физически нелинейной упругой оболочки взаимодействующей с вязкой несжимаемой жидкостью, содержащейся внутри нее................................................................. 96

ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................:........................................... 107

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников........................ 110

СПИСОК ИЛЛЮСТРАЦИЙ...........................................122

ПРИЛОЖЕНИЕ А ксЫ.ру.......... ........................................... 133

ПРИЛОЖЕНИЕ Б кс1у1регкиНс.ру............................................ 136

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

КдВ - уравнение Кортевега - де Вриза

МКдВ - модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза

КдВ-Б - уравнение Кортевега - де Вриза - Бюргерса

МКдВ-Б - модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза - Бюргерса

И = К[Х] кольцо полиномов над полем К с независимыми переменными

Х\,..., хп, /, д, /г,, д, г полиномы из II; а, 6, с элементы из К;

(7, Н конечные подмножества из II; идеал из И порожденный F; множество неотрицательных чисел; М = {х^ ■ • ■ х^ | (1г € %>о} - множество мономов; Т = {аи | и £ М, а € К} - множество термов из К; -и, г>, ги, й, £ множество мономов или термов; и, V, V/ конечные подмножества из М;

степень переменной х1 в и; с^(-и) полная степень монома и\

и) коэффициент терма и полинома /; >- допустимое мономиальное упорядочение с порядком переменных

хгУ ... >- хп\ И(/) старший терм относительно упорядочения 1с(/) = с£(/, старший коэффициент /;

1т(/) = Ь(/)/1с(/)) старший моном /;

1т(.Р) = (1т(/) | / 6 множество старших мономов из Р\ gcd(a; Ь) наибольший общий делитель; 1ст(а, Ь) наименьшее общее кратное;

1ст(.Р) наименьшее общее кратное множества мономов из 1т^); и | V означает, что моном и делит моном у, и С V означает, что моном и делит моном V ни у^ V.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Исследование поведения волн деформаций в упругих оболочках является важным направлением в современной волновой динамике. Так, моделирование и исследование волн деформации в геометрически и физически нелинейных упругих цилиндрических оболочках проведено в работах Л. И. Могилевича, А. И. Землянухина, В. И. Ерофеева, Е. И. Штейнберга, В. М. Катсона. В этих работах с помощью метода многих масштабов из уравнений динамики упругих оболочек выведены уравнения, имеющие точные решения, такие как уравнения Кортевега - де Вриза (КдВ), модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза (МКдВ) и уравнение Кадомцева - Петвиашви-ли. Эти уравнения имеют точные частные решения, описывающие уединенные нелинейные волны деформации.

Аналогичные задачи с учетом рассеяния энергии в вязко-упругих оболочках были рассмотрены в работах Л. И. Могилевича, А. И. Землянухина, Г. А. Ар-шинова и С. В. Лаптева, в которых задачи сведены к уравнению Кортевега - де Вриза - Бюргерса (КдВ-Б).

Волновые процессы в упругих, вязкоупругих и нелинейных вязкоупругих оболочках, не взаимодействующих с вязкой жидкостью, рассмотрены в [1—4]. При взаимодействии оболочки с вязкой жидкостью, но без учета волновых явлений рассмотрены в [5-7].

Вместе с тем, в литературе отсутствуют исследования влияния на волновой процесс в упругих оболочках вязкой несжимаемой жидкости, находящейся внутри них. В настоящей работе исследуется учет влияния вязкой несжимаемой жидкости, находящей внутри упругой оболочки, на распространение нелинейных волн деформации, что требует компьютерного моделирования.

Исследования волн деформаций в упругих оболочках во многом опираются на теорию солитонов. Солитоном называется уединенная волна, сохраняющая свою структуру. Как явление, солитон был открыт Джоном Скотом Расселом в 1834 г. Название "солитон" происходит от "solitary wave" - уединенная волна. Окончание указывает на поведение солитона как частицы, то есть на его способность сохранять свою структуру при взаимодействии с другими солитонами или с различными возмущениями.

В ходе исследования динамики волн в 1877 г. Жозефом Бусинеском было выведено уравнение, которое, затем, было исследовано Дидериком Кортевегом и Густавом де Вризом в 1895 г. как модель, описывающая поведение волн на мелководье. Это уравнение получило название КдВ:

ди ^ ди д3и с)1 дх дх?>

Одним из решений этого уравнения является функция, описывающая поведение солитона

, л

и(х, ¿) =

сИ2и(х — — ф)

Здесь амплитуда солитона равна 2к2, фаза - ф, эффективная ширина основания - к-1, скорость движения солитона - 2к2. В общем случае существует класс многосолитонных решений, таких что, с течением времени (£ —>• ±оо) солитон распадается на несколько солитонов. Такое решение имеет вид

д2

и(х^) = — 2—- 1пс^ А(х,1), охг

где А(х, £) - матрица следующего вида:

А — Я + г8^1.~(кп+кт)х

пт ипт ' |

"Г

При изучении продольных диспергирующих волн в упругих и вязкоупругих стержнях и пластинах были получены уравнения КдВ и КдВ-Б для компоненты продольной деформации [8,9]. В работе Л. А. Островского и А. М. Сутина [10] было показано, что продольная скорость волны деформации в стержнях удовлетворяет уравнению КдВ, а также рассмотрен процесс образования солитонов. В работах А. М. Самсонова и Е. В. Сокуринской [11-14] было рассмотрено влияние параметров нелинейности среды, коэффициента Пуассона и модуля Юнга на распространение волн в среде. В работах В. И. Ерофеева [15-20] рассмотрен процесс формирования солитонов деформации в средах с микроструктурой, определены также зависимости между параметрами волн деформации и поврежденностью материала, которые могут быть использованы для диагностики повреждений конструкций акустическими методами.

Впервые солитоны в твердом деформируемом теле экспериментально обнаружены в работе [21]. В этой работе рассмотрены солитоны в тонкой металлической цилиндрической оболочке, имеющие вид огибающей изгибной волны. Такие солитоны были описаны нелинейным уравнением Шредингера. Задачи распространения линейных волн деформации в упругих оболочках рассмотрены в работах Л. Ю. Коссовича. В частности в [22] разрабатываются асимптотические методы методы решения подобных задач. В работах М. Д. Мартыненко и и др. [23-25] изучаются условия существования солитонов в нелинейно упругих телах. Также рассматриваются упругие волны в цилиндрических оболочках, находящихся в движении под действием инерционных сил, создающих нелинейные эффекты.

Методы решения солитонных уравнений рассматривали М. Абловиц и X. Сигур [26]. Методы решения осесимметричных задач рассматриваются в работах Ю. И. Соловьева [27]. В данной работе решение строится на основе обобщенных аналитических функций. Теория вязкопластических течений освещена в в работе [28].

Исследование поведения нелинейных волн, в частности, солитонов в цилиндрических оболочках было проведено в работе А. И. Землянухина и Л. И. Мо-гилевича [29]. В частности, рассмотрены и проанализированы различные аналитические методы исследования нелинейных волновых уравнений, выведены уравнения, описывающие поведение нелинейных волн в различных видах цилиндрических оболочек - упругих, нелинейно упругих, нелинейно вязкоупругих, рассмотрен также случай осесимметричных изгибных волн в цилиндрической оболочке. На основе выведенных уравнений проведен анализ поведения волн в цилиндрических оболочках. Однако в данной работе не рассматривался случай наличия вязкой несжимаемой жидкости внутри оболочки.

Можно выделить два основных подхода к решению задач динамики оболочек. Первый подход, называемый классическим, основан на гипотезах Кирхгоф-фа - Лява. Модели оболочек в таком подходе называют моделями первого приближения. Моделями второго приближения называют модели, рассмотренные в другом подходе, связанном с именем С. П. Тимошенко. В этом подходе вместе с деформациями, описанными в классическом подходе, рассматриваются деформации, связанные с поперечными силами и инерцией вращения [30]. Другой спо-

соб построения моделей оболочек заключается в асимптотическом представлении перемещений или напряжений в виде разложения в ряды по нормальной координате и рассмотрении, в зависимости от требуемой точности, некоторого отрезка этого разложения [22].

В модели Кирхгоффа - Лява, уравнения движения элемента оболочки имеют параболический вид. В этом случае скорости распространения фронтов возмущений стремятся к бесконечности. В моделях типа Тимошенко, уравнения движения имеют гиперболический вид. В этом случае скорость распространения возмущений конечна. При рассмотрении квазиплоских пучков продольных и сдвиговых волн перечисленные различия в математических моделях несущественны [31]. В этом случае уравнения перемещений совпадают [30]. Условие, что рассматриваемые конструкции являются тонкостенными, приводит к возникновению особого вида дисперсии, которая является причиной формирования нелинейных волн деформации, обладающих различной структурой. Нелинейные волны деформаций в оболочках, пластинах и стержнях, по классификации Уизема [32], являются диспергирующими и, в каждом конкретном случае, следует учитывать физические представления о волновом движении при выборе исходной системы уравнений.

В работах Г. А. Аршинова [33] и Л. И. Могилевича [34] рассматриваются задачи исследования динамики и статики различных конструкций, в частности, распространения нелинейных волн деформаций в вязкоупругих цилиндрических оболочках. В этой работе рассматриваются случаи материалов с нелинейной упругостью. Во многих случаях свойства материала задаются законом Гука, что позволяет рассматривать малые деформации. Часто встречаются задачи, в которых свойства материалов невозможно достаточно точно задать применением линейных моделей. Линейные модели в этом случае не позволяют оценить нелинейные эффекты, например, в случае нелинейных материалов наследственного типа, где физико-механические свойства при деформации изменяются во времени. Для решения задач исследования напряженно-деформированного состояния конструкций в условиях статического равновесия, а также для анализа процессов распространения волн деформаций, требуется построение математических моделей, учитывающих физическую нелинейность вязкоупругих материалов и геометрическую нелинейность деформаций. В работе [34] также

выводится ряд уравнений, описывающих распространение нелинейных дисперсионных волн в вязкоупругой цилиндрической оболочке с учетом нелинейных вязкоупругих свойств материалов оболочки, в частности, уравнение динамики геометрически нелинейной вязкоупругой оболочки, эволюционное уравнение для дисперсионных волн в геометрически нелинейной вязкоупругой оболочке, уравнение динамики физически и геометрически нелинейной вязкоупругой оболочки, эволюционное уравнение для дисперсионных волн в физически и геометрически нелинейной вязкоупругой оболочке. В то же время, выведенные в этой работе уравнения не учитывают влияние вязкой несжимаемой жидкости, находящейся внутри оболочки. Тема распространения волн в вязкоупругих конструкциях также освещена Г. А. Аршиновым, А. И. Землянухиным, Л. И. Моги-левичем и др. в работах [35-45].

Практические задачи расчета конструкций часто требуют использования уравнений динамики. При этом наличие физической и геометрической нелинейности значительно усложняет математические модели, что приводит к большим трудностям при их анализе. В связи с этим, важной становится задача упрощения и перехода к моделям динамических процессов, которые позволяют выполнять качественный и количественный анализ.

Механические свойства материалов цилиндрических оболочек (например, труб) исследуются при помощи экспериментов по измерению скорости распространения волн деформаций в оболочке. При сравнении полученных данных можно выделить закономерности зависимости скорости распространения волны деформации от состояния материала. Таким образом, при сравнении экспериментально полученной скорости волны с полученной теоретически, можно сделать выводы о состоянии конструкции и поврежденности ее материала.

Впервые подобные результаты были получены в работах У. К. Нигула и Ю. К. Энгельбрехта [46,47]. В этих работах рассматривалось поведение волн деформаций в задачах термоупругости. В работах Л. К. Зарембо и В. А. Кра-сильникова [48], Л. А. Островского и Е. Н. Пелиновского [49] рассмотрены нелинейные явления, возникающие при распространении упругих волн в твердых телах. Распространение нелинейных волн в ферроупругих кристаллах изучали Л. Н. Давыдов и 3. А. Спольник [50]. Закономерности распространения нелинейных волн в диспергирующих средах изучены в работе В. И. Карпма-

на [51]. В работе И. А. Молотова и С. А. Вакуленко [52] были получены выражения амплитуды и скорости возмущенного солитона, двигающегося в стержне с медленно меняющейся плотностью и модулем Юнга.

Задачи гидроупругости делятся на стационарные и нестационарные. В данной работе рассматриваются нестационарные задачи, которые, в свою очередь, распадаю�