автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование процессов гидроупругости геометрически нерегулярной трубы кольцевого профиля при воздействии гармонического перепада давления

На правах рукописи

Плаксина Ирина Владимировна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ГИДРОУПРУГОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО ПРОФИЛЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПЕРЕПАДА ДАВЛЕНИЯ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

А втореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2014

005550610

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Кондратов Дмитрий Вячеславович

Научный консультант: доктор физико-математических наук, доцент

Кузнецова Екатерина Львовна

Официальные оппоненты: Блинков Юрий Анатольевич,

доктор физико-математических наук, «Национальный исследовательский Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», заведующий кафедрой математического и компьютерного моделирования

Ерофеев Владимир Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор,

Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки «Институт проблем

машиностроения РАН»,

заместитель директора по научной работе

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный

технический университет»

Защита состоится «09» июня 2014 г. в 14-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, корп. 1, ауд. 319/1.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77 и на сайте www.sstu.ru

Автореферат разослан « 03 » апреля 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А.А. Терентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современные требования машино- и агрегатостроения диктуют проблемы уменьшения общего веса конструкции, при этом элементы конструкции должны сохранять износоустойчивость при различных внешних воздействиях, вызванных различным факторами. Одно из решений задачи уменьшения веса конструкции может быть получено при использовании тонкостенных конструкций, а поддержание устойчивости к внешним воздействиям может решаться использованием как жидкости для демпфирования колебаний, так и конструктивных решений, таких как применение ребер жесткости. В настоящее время в различных отраслях науки и техники, в частности в ракетно-космических системах, в железнодорожном, авиационном и автомобильном транспорте, широко применяются конструкции, состоящие из соосных тонкостенных оболочек, как геометрически регулярных, так и геометрически нерегулярных, и вязкой несжимаемой жидкости между ними.

Таким образом, построение математических моделей, позволяющих исследовать динамику взаимодействия геометрически регулярных и геометрически нерегулярных цилиндрических оболочек и вязкой несжимаемой жидкости является актуальной задачей, имеющей научный и практический интерес.

Исследованиями вопросов построения математических моделей и динамических процессов в конструкциях, содержащих тонкостенные элементы и вязкую несжимаемую жидкость при воздействии вибрации, посвящены работы: H.H. Иванченко, A.C. Орлина, М.Д. Никитина, М.Г. Круглова, С.Г. Роганова, К.П. Андрейченко, A.A. Скуридина, М.М. Чурсина, И.С. Полипанова, A.A. Симдянкина, Д.А. Индейцева, С.К. Соколова, P.M. Петриченко, Л.И. Могилевича, B.C. Попова, Д.В. Кондратова. Вопросами построения математических моделей реальных конструкций под воздействием перепада давления в слое жидкости занимались Л.Г. Лойцянский, М.А. Ильгамов, И.С. Громека, H.A. Слезкин, J. R. Womersley и другие.

Однако в работах указанных авторов не рассматривались вопросы учета инерции движения вязкой жидкости, упругости внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки с учетом свободного опирания на концах механической системы.

Целью работы является построение математических моделей для исследования поведения механических систем, состоящих из двух соосных цилиндрических оболочек конечной длины, свободно опертых на концах, внешняя из которых является упругой геометрически нерегулярной оболочкой, а внутренняя - либо абсолютно жесткий цилиндр, либо геометрически регулярная упругая цилиндрическая оболочка, взаимодействующих со слоем вязкой несжимаемой жидкости с учетом

инерции ее движения, находящейся между ними, при воздействии гармонически меняющегося перепада давления жидкости.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Разработка и исследование математических моделей для сложных механических систем, состоящих из двух соосных упругих цилиндрических оболочек конечной длины, свободно опертых на концах, внешняя из которых является геометрически нерегулярной, а внутренняя -либо абсолютно жесткий цилиндр, либо геометрически регулярная упругая цилиндрическая оболочка, содержащих сдавливаемый слой вязкой несжимаемой жидкости между ними, в условиях воздействия гармонического по времени давления на торцах.

2. Определение на основе построенных математических моделей амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик для внешней геометрически нерегулярной оболочки в условиях гармонического давления на торцах.

3. Численное исследование построенных математических моделей.

Научная новизна работы состоит в следующих положениях:

1. Предложена новая математическая модель механической системы, состоящей из двух соосных цилиндрических оболочек конечной длины, со свободным опиранием по торцам, внешняя из которых является геометрически нерегулярной, а внутренняя - абсолютно жесткий цилиндр, содержащих слой вязкой несжимаемой жидкости между ними при воздействии гармонически по времени изменяющегося давления на концах механической системы, отличающаяся от известных моделей одновременным учетом инерции движения жидкости, упругости внешней оболочки конечной длины, имеющей ребра жесткости, и учета свободного опирания оболочки на концах механической системы. Математическая модель представляет собой связанную систему дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих динамику упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки и жидкости с соответствующими граничными условиями.

2. Предложена новая математическая модель механической системы с упругими внешней геометрически нерегулярной и внутренней геометрически регулярной оболочками при гармонически изменяющемся давлении на концах механической системы, отличающаяся от известных моделей одновременным учетом инерции движения жидкости, упругости внешней оболочки конечной длины, имеющей ребра жесткости, и внутренней геометрически регулярной оболочки конечной длины, а также учетом свободного опирания оболочек на концах механической системы.

3. Предложен метод исследования математических моделей механической системы с внешней геометрически нерегулярной упругой цилиндрической оболочкой, свободно опираемой на концах механической системы, и внутренним либо абсолютно жестким цилиндром, либо

упругой геометрически регулярной цилиндрической оболочкой, при воздействии гармонически изменяющегося давления на концах механической системы, учитывающий упругую податливость упругих геометрически регулярной и геометрически нерегулярной оболочек и инерцию движения вязкой несжимаемой жидкости. Учет свободного опирания оболочек на концах определил вид решения уравнений динамики упругих геометрически регулярной и геометрически нерегулярной цилиндрических оболочек в виде бесконечных тригонометрических рядов по продольной координате, которые описывают нечетные и четные параметры и явления по этой координате.

4. Разработан проблемно-ориентированный программный комплекс, который позволяет производить расчет значений резонансных частот и величин амплитудно-частотных характеристик прогибов оболочек в предложенных математических моделях и рассчитать гидродинамическое давление в слое жидкости, а также с использованием экспериментально полученного закона кавитационного истоньшения оболочек произвести моделирование поведения величин амплитудно-частотных характеристик прогибов оболочек в зависимости от времени работы.

5. Построенные новые математические модели позволили в широком диапазоне параметров исследовать влияние параметров жидкости и размеров механической системы на амплитудно-частотные характеристики оболочек. Показано, что учет инерции движения жидкости, уменьшение вязкости жидкости, увеличение ширины слоя жидкости, уменьшение толщины внешней оболочки увеличивают величины АЧХ на резонансных частотах, в то же время изменение мест расположения ребер жесткости, увеличение количества ребер жесткости на внешней оболочке уменьшает величины АЧХ на резонансных частотах. Кроме того, изменение параметров системы позволяет смещать резонансные частоты по шкале частот, а значит дает возможность не только уменьшить АЧХ на резонансных частотах, но и сдвинуть сами величины резонансных частот из области рабочих частот механической системы, тем самым уменьшив негативное влияние на конструкцию.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением классических математических методов и известных методов возмущений для расчета, использованием апробированных и основополагающих принципов и подходов механики деформируемого твердого тела и механики жидкости. Полученные результаты не противоречат имеющимся физическим представлениям и известным экспериментальным данным.

Практическая ценность и реализация результатов. Полученные в диссертации результаты могут найти применение при моделировании динамических процессов в сложных механических системах, состоящих из упругих цилиндрических геометрически регулярных и геометрически

нерегулярных оболочек конечной длины, вязкой несжимаемой жидкости и абсолютно жестких тел, таких как силовые цилиндры, элементы конструкций жидкостных ракетных двигателей, системы подачи топлива и смазки, двигатели внутреннего сгорания с водяным охлаждением. Разработанные математические модели позволят уже на этапе проектирования, исходя из известных параметров работы механической системы и задаваемых требований прочности и износоустойчивости, выбрать наиболее оптимальные параметры системы.

Аналитическое решение, полученное в работе, позволит при использовании компьютерной техники существенно увеличить скорость расчетов. Кроме того, разработанный программный комплекс дает возможность определения влияния различных факторов на динамику механической системы. Приведенные в работе математические модели и результаты их исследования можно использовать для исследования цилиндров двигателей внутреннего сгорания, для определения резонансных частот элементов трубопроводных систем, систем смазки и подачи топлива. Все аналитические и численные вычисления выполнены в системе Waterloo Maple 12 (государственный контракт №71-190А/6 от 18.11.2008).

Результаты диссертации использованы:

1) в гранте РФФИ 12-01-31154-мол_а.

2) в фанте Президента МД-1025.2012.8.

Лпробагрш работы. Основные результаты работы докладывались на Международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-25, ММТТ-26 (2012, 2013); Международной конференции «Компьютерные науки и информационные технологии» (2012); IX Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (2012); II Всероссийской конференции «Критические технологии вычислительных систем» (2013), а также на семинарах кафедры «Прикладная математика и системный анализ».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 научных работ, из них 3 работы в периодических научных изданиях, рекомендуемых ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатских и докторских диссертаций.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Сформулированные в безразмерном виде задачи гидроупругости механических систем, включающие внешнюю упругую геометрически нерегулярную цилиндрическую оболочку конечной длины, свободно опираемую на концах, содержащую вязкую несжимаемую жидкость, и соосный с оболочкой абсолютно жесткий неподвижный цилиндр, либо соосную упругую геометрически регулярную цилиндрическую оболочку при воздействии на них гармонического по времени перепада давления. Представленные в работе математические модели могут быть использованы для описания трубопроводов кольцевого профиля, систем

подами топлива и смазки, двигателей внутреннего сгорания с водяным охлаждением, силовых цилиндров.

2. Определены амплитудно-частотные, фазочастотные характеристики и коэффициенты динамичности колебательной системы геометрически нерегулярная оболочка - жидкость и геометрически нерегулярная оболочка - жидкость - геометрически регулярная оболочка, а также резонансные частоты в предположении гармонического закона изменения давления жидкости на концах механической системы.

3. Построен проблемно-ориентированный комплекс, который позволяет рассчитать для описанных в работе математических моделей величину резонансных частот АЧХ прогибов оболочек, определить величину гидродинамического давления на резонансных частотах. Кроме того, построенный комплекс служит для моделирования поведения АЧХ прогибов упругих оболочек механической системы в зависимости от времени работы с учетом закона кавитационного истоньшения оболочек, полученного экспериментально.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор литературных источников, посвященных исследованию математических моделей гидроупругости тонкостенных конструкций, а также задач гидроупругости в машино- и приборостроении.

В первой главе рассматривается постановка задачи и предлагается метод ее решения.

Рассматривается механическая система, состоящая из двух соосных цилиндрических оболочек конечной длины, свободно опираемых по торцам, сдавливающих слой вязкой несжимаемой жидкости (рис. 1).

Предполагается, что внешняя оболочка упругая цилиндрическая геометрически нерегулярная оболочка с внутренним радиусом /?, и свободным опиранием по торцам. Внутренняя оболочка с внешним радиусом Кг - абсолютно жесткий цилиндр. Зазор между стенками внешней оболочки и внутреннего цилиндра полностью заполнен жидкостью 3. Наружная поверхность внешней оболочки и поверхность внутреннего цилиндра образуют цилиндр в цилиндре длиной /2. Радиальный зазор цилиндрической щели 5 = /?1 — /?2 << /?2. На концы системы действует гармонически меняющееся по времени давление жидкости. Перемещение внутренней оболочки относительно внешней на торцах отсутствует. Механическая система считается термостабил из про ван но й.

/

Рис. 1. Механическая модель

Систему координат 01х1у1г1 свяжем с основанием, к которому крепится рассматриваемая механическая система. Ее центр О, расположен в геометрическом центре соосных оболочек в невозмущенном состоянии. Положим, что перемещения вдоль оси Охух отсутствуют. Обозначим виброускорение основания через х(), '¿0. Введем в рассмотрение необходимую далее цилиндрическую систему координат г, в, у (пг, пв, }-орты цилиндрической системы), полюс которой совпадает с началом координат О^у^г^, направления осей Оу, О,^, цилиндрической и декартовой систем координат совпадают. Полученная модель будет симметрична относительно оси Оу, поэтому можно рассматривать осесимметричный случай постановки задачи.

Математическая модель рассматриваемой механической системы представляет собой связанную систему уравнений, включающую нелинейные уравнения в частных производных Навье-Стокса и уравнение неразрывности, уравнения в частных производных для описания динамики внешней упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки, полученные исходя из гипотез Кирхгофа-Лява, и соответствующие граничные условия. Уравнения динамики упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки были получены с использованием вариационного интегрального принципа Гамильтона, при этом для описания геометрической нерегулярности - ребер жесткости -использованы функции Хэвисайда.

Для решения указанной системы уравнений сделан переход к безразмерным переменным и выделены малые параметры задачи:

\ = (г - Я2)/8. т = т, <Г = 2у/1. Уг = и>«сои%, V, = )«?;

«|р> = Н«1Л(1>, и^М*. V = 5//?2 «1, Л(|) = ; (1) (с«)2 = £«/^(1 - Ш)1 СУ = = ,р = р[)+ря2^р,

где - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона; pft - плотность материала; - радиус срединной поверхности; h^ - толщина оболочки; и^ - прогиб внешней геометрически нерегулярной оболочки, положительный в сторону, противоположную центру кривизны; -продольное перемещение внешней оболочки, положительное в сторону, противоположную оси Oy, ш - частота (рад/с); vvf^ - характерное значение прогиба внешней оболочки; и^ - характерное значение продольного перемещения внешней оболочки; Vr,Vv - компоненты скорости жидкости; v, р - кинематический коэффициент вязкости и плотность жидкости; р - давление жидкости; рй - уровень отсчета давления. Параметры у, № малы по сравнению с единицей, что означает малую по сравнению с радиусами оболочек ширину цилиндрической щели и малые по сравнению с шириной цилиндрической щели прогибы оболочек.

Следует отметить, что колебательное число Рейнольдса (Re), используемое в работе, является критерием подобия, введенным Л.Г. Лойцянским, и равно произведению классического числа Рейнольдса (/? = 5V/v) на число Струхаля (Sh = бш/V).

Задача решается методом возмущений. За малый параметр принимается относительная ширина цилиндрической щели \j/«l. При этом уравнения динамики жидкости в нулевом приближении по Vj/ принимают вид уравнений гидродинамической теории смазки, но с учетом сил инерции движения жидкости. Затем используем малость параметров, характеризующих относительный прогиб внешней оболочки Представляя решение в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра Ai1':

Т=Т0 +^7, +О((А«)2), (2)

где под Т понимается давление, компоненты скорости жидкости, упругие перемещения внешней и внутренней оболочек, получим в нулевом приближении линеаризованные уравнения динамики жидкости

^ = = + = О)

Эт а" эг; э^ э^ эг;

Граничные условия на непроницаемых поверхностях в нулевом приближении по \|/ и в нулевом приближении по запишутся в виде

„ =0 при § = ih=0, ис=0 при ^ = 0 (4)

4 Эт ^ '

Для давления имеем следующие условия:

Р{) = Р+ при ¡; = 1, р0 = р- при 5 = -1, (5)

где Р+ = Рт+ sinт, Р~ = Рп~sinт - гармонические функции времени.

Уравнения динамики внешней упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки конечной длины, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява и выведенные с использованием интегрального вариационного принципа Гамильтона, в нулевом приближении по и в нулевом приближении по имеют вид

«<!> i э^р) i /?2 a¿/<'>

N

V "m

НС (Г d¿¡

'«'¡'i^l W®<T dC

1 /?,

и

(1)

V „

i+SMrvi

V J=1 O >1

0) дг^О)/' „

V 7=1

w<!> C2

дтг

m i

//

12/?; o

э^4

/=i

эг £

э<г2 £

А(|)

"I)

А

/г,

ff¿I)_Ld^_„my?2 i Vuf

\\ о )(г

m a3 df

"га i д2и\,]

"от а2 д£2

m 1 Э £/<"

/о r2 I Э£/<|)Л

/г1" о- д£

\

7=1 7=1

,0) ^2 ff(')

СГ

У?

(I)1

7=1

+ -

/г,

л'

о)

„I

дО) 3 ™

0) ..0) «Ü» <

^<7 Э<г

V 7=1

R2 а2 д£2 % _ ul] RW дЩ

W<!> с2

Эт2

\ 7=1

„0>

Здесь Aryj = Г(у-y-j)-Г(у-Г(у) - единичная функции Хевисайда по продольной координате у.

Граничные условия свободного опирания на торцах запишутся в

виде

«Р-0.^=0.^-0 „Р„С=±1.

Таким образом, представленная система (3), (6) с учетом фаничных условий (4), (5), (7) позволяет определить необходимые выражения для давления, компонент скорости жидкости и упругих перемещений внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки конечной длины со свободным опиранием на концах с заданными параметрами механической системы (радиус, длина, толщина, плотность и модуль Юнга оболочек, плотность и вязкость жидкости).

Для решения получающейся линейной задачи определяется частное решение неоднородных линейных уравнений в виде гармонических функций по времени с коэффициентами, зависящими от координат. Так как в колебательных системах присутствует демпфирующий слой жидкости, окружающий внутренний цилиндр, общее ' решение соответствующего однородного уравнения не определяется и переходный процесс не исследуется. Наличие демпфирования приводит к тому, что переходный процесс со временем быстро затухает, влияние начальных условий перестает сказываться на колебаниях и возникают установившиеся (периодические или гармонические) вынужденные колебания. Следовательно, при процессах более длительных, чем переходный, общее решение однородных уравнений и начальные условия можно отбросить с самого начала. Таким образом, предложен метод решения нелинейной динамической задачи.

Во второй главе приводится решение построенной в первой главе математической модели. Найдены амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики внешней упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки.

Примерами использования такой модели можно считать трубы кольцевого профиля системы охлаждения и подогрева топлива жидкостных ракетных двигателей, , системы смазки силовых гидроцилиндров, где жидкость проходит по трубе кольцевого профиля, а во внутренней трубе либо находится газ постоянного давления, либо внутренняя труба полая.

Решая полученную задачу, найдем необходимое выражение для безразмерных компонент скорости жидкости и давления через пока неизвестные упругие перемещения оболочек, которое имеет вид

■оЛ -10

Яеог-

Эг

,у0) + 12 у(0 Эг

(8)

К

-2П

Го

Кеа-

'дт

где а, 7 - частотозависимые коэффициенты, определяющие инерцию движения и демпфирующие свойства жидкости.

Подставляя выражения для давления (8) в уравнения динамики оболочек (6), получим систему интегродифференциальных уравнений.

При решении системы интегродифференциальных уравнений -уравнений динамики упругих цилиндрических оболочек форму упругих перемещений будем искать в виде тригонометрических рядов:

*=1 к= 1

2

'(«& + + ("йп + (фп

(9)

В результате решения находятся выражения для прогибов внешней геометрически нерегулярной упругой цилиндрической оболочки, а также их амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики прогибов для каждой гармоники, которые имеют вид

ОеЦ

- Ле?22

Т = агсг#

А

Рец Вей

. ¿32 М =

Ф = аШе

__ I РеГег? + ДсГег2

ИеГе^ Имего

(10)

Расчеты по формулам (10) показали, что для каждого члена ряда для прогибов обычно встречаются 4 резонансные частоты в АЧХ. Увеличение количества ребер уменьшает величину резонансных частот. Кроме того, в зависимости от размещения ребер жесткости по длине трубы может сместить резонансные частоты в область более высоких или более низких частот.

Представлены графики АЧХ для первой резонансной частоты для первого слагаемого (рис. 2), суммы первых двух слагаемых (рис. 3). Каждое новое слагаемое добавляет еще одну резонансную частоту, однако ничего не вносит в самое большое значение АЧХ.

Поэтому достаточно взять только первый член ряда выражения для АЧХ прогибов оболочек, так как первый член вносит самый существенный вклад в значение АЧХ. Остальные слагаемые добавляют дополнительные резонансные частоты, на которых величины АЧХ значительно меньше, чем у первой частоты.

А. м;р»

А,м/Ра

1.2е-0У I (•-(!') Я е-10 6с-10' 41--10

2В-10

1,2е-0')| 1 е-091 Яс-Ю; 6с-К); 4о-10;

0 1250 38110 6220 8410

0 1250 3800 6220 841»

Рис. 2. Сравнение поведения АЧХ для одного слагаемого

Рис. 3. Сравнение поведения АЧХ для двух слагаемых

Показано, что изменением типоразмеров, материала оболочек и параметров жидкости можно сместить резонансные частоты из опасной области рабочих частот, при которых возможны кавитация и износ поверхности.

В третьей главе рассматривается более сложная механическая модель, отличающаяся от описанной в первой главе тем, что вместо внутреннего абсолютно жесткого цилиндра будем рассматривать упругую геометрически регулярную цилиндрическую оболочку, свободно опираемую на концах, под действием гармонического давления на концах механической системы. Найдены амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики внутренней геометрически регулярной и внешней геометрически нерегулярной оболочек.

В этом случае уравнения динамики внутренней геометрически регулярной оболочки будут иметь вид

где г = 2 - для внутренней геометрически регулярной оболочки.

Граничные условия свободного опирания на концах для внутренней оболочки запишутся в виде

= 0, (11)

Граничные условия для уравнений динамики жидкости (4) для данной модели будут иметь вид

ди{1) и/2) ди{2)

и1=-2-, Иг = 0 при £ = 1; иЕ--^—2—, и, =0 при £ = 0. (13) Эх ъ ^ и^' Эх 4

Решая полученную систему уравнений предложенным ранее методом, получим упругие перемещения внешней геометрически нерегулярной и внутренней геометрически регулярной упругих цилиндрических оболочек, а также их амплитудно-частотные характеристики:

„.(л иеп, .(л ¡ещ' . , _

Ч,\,)=агаё—--4г. Ф\>=агщ—/ = 1,2. иеп,2' Теп\'

Расчеты по формулам (14) показали, что для каждого члена ряда для прогибов обычно встречаются 4 значимые резонансные частоты в АЧХ по каждоГг оболочке. Это объясняется тем, что полученная колебательная система «упругая оболочка - вязкая несжимаемая жидкость - упругая оболочка» начинает действовать как единое целое. На рис. 4 приведены графики А^ (1) и (2). На рис. 5 приведены графики (1) и А^ (2).

Показано, что изменением типоразмеров, материала оболочек и параметров жидкости можно сместить резонансные частоты из опасной области рабочих частот, при которых возможны кавитация и износ поверхности.

Исследование показало, что величины резонансов при учете инерции движения жидкости меньше, чем без учета (рис. 6). На рис. 6 приведены значения А^ с учетом инерции (1) и без учета (2).

и, рад/с

Рис. 6. Сравнение результатов с учетом Рис. 7. Сравнение А-^

инерции движения жидкости и без учета длЯ аналитического результата

и конечно-элементного пакета

Кроме того, произведено численное моделирование с использованием экспериментального закона кавитационного истоньшения стенок упругих оболочек в зависимости от времени работы в системе Waterloo Maple 12. Для этого построен проблемно-ориентированный комплекс программ, позволяющий произвести моделирование поведения АЧХ в зависимости от времени работы (пробега). Проблемно-ориентированный комплекс представляет собой набор разработанных процедур в системе Waterloo Maple 12, позволяющих производить расчеты АЧХ, ФЧХ, давления. Произведено сравнение результатов расчетов разработанного программного комплекса с результатами расчетов, произведенных на конечно-элементном пакете MathLab (рис. 7). На рис. 7 приведены значения А^, рассчитанных аналитически (1) и на конечно-элементном пакете (2). Показано, что решение, полученное на конечно-элементном пакете, близко к аналитическому решению. В приложении работы приведены тексты расчетных программ.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Построена математическая модель механической системы, состоящей из двух соосных цилиндрических оболочек конечной длины, внешняя из которых - упругая цилиндрическая геометрически нерегулярная оболочка, свободно опираемая на концах, а внутренняя -абсолютно жесткий цилиндр, и слоя вязкой несжимаемой жидкости между ними, при воздействии гармонического давления на концах. Математическая модель рассматриваемой механической системы является связанной системой дифференциальных уравнений в частных производных, состоящей из уравнений Навье-Стокса и неразрывности, определяющих динамику жидкости, уравнений динамики упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки, основанных на гипотезах Кирхгофа-Лява и полученных с использованием интегрального

вариационного принципа Гамильтона, и соответствующих граничных условий.

2. Для исследования построенной математической модели сделан переход к безразмерным переменным, что позволило определить малые параметры задачи. Малые параметры представляют собой относительную ширину цилиндрического зазора - ширину слоя вязкой несжимаемой жидкости между двумя цилиндрическими оболочками \\г и относительный прогиб внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки А,'1'.

Найденные малые параметры задачи были использованы в методе возмущений, что позволило линеаризовать построенную нелинейную связанную систему дифференциальных уравнений в частных производных. Решение линеаризованной связанной системы дифференциальных уравнений ищется в предположении гармонического закона изменения давления на концах механической системы. Наличие вязкой жидкости в механической системе приводит к быстрому затуханию свободных колебаний, поэтому исследуется только режим вынужденных установившихся колебаний. В результате решения определены выражения для прогибов внешней геометрически нерегулярной упругой цилиндрической оболочки, при этом упругие перемещения оболочки представляются в виде тригонометрических рядов по пространственной координате.

3. Предложенный подход построения и исследования математической модели применен для более сложной механической системы, в которой в отличие от предыдущей модели внутренняя оболочка является геометрически регулярной. В результате решения определены выражения для прогибов внешней геометрически нерегулярной и внутренней геометрически регулярной упругих цилиндрических оболочек, при этом упругие перемещения оболочек, как и ранее, представляются в виде тригонометрических рядов по пространственной координате.

4. Численное моделирование показало влияние размеров механической системы и параметров жидкости на величину резонансных частот и величины прогибов. Изменением параметров системы можно сдвинуть резонансные частоты в диапазон частот, не наблюдаемый при работе системы, а также уменьшить величину прогибов и количество резонансных частот. Кроме того, проведено численное исследование изменения параметров механической системы в зависимости от времени работы с учетом экспериментально полученного закона уменьшения толщины оболочек. Проведенное численное исследование величины АЧХ позволило сделать вывод, что для исследования упругих перемещений достаточно взять только первый член ряда по продольной координате. Исследовано влияние размеров механической системы и параметров жидкости на АЧХ прогибов оболочек. Проведено сравнение полученных результатов с результатами с результатами расчетов с использованием

конечно-элементного пакета. Показано, что решение, полученное на конечно-элементном пакете, занижает величину АЧХ.

Таким образом, построенные в работе математические модели и приведенные расчеты позволяют на этапе проектирования механизмов и агрегатов выбрать, исходя из известного частотного диапазона колебаний давления и необходимых параметров износостойкости, оптимальные параметры механической системы. Метод исследования, предложенный в работе, может применяться при решении динамических задач для других сложных механических систем, состоящих из упругих геометрически нерегулярных или геометрически регулярных цилиндрических оболочек, взаимодействующих со слоем вязкой несжимаемой жидкости, а разработанный проблемно-ориентированный комплекс может использоваться для решения подобных задач.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

I. Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Плаксина, И.В. Гидроупругость геометрически нерегулярной трубы кольцевого профиля при воздействии гармонического перепада давления / И.В. Плаксина, Д.В. Кондратов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2011. - № 4 (59). - Вып. 1. -С. 25-28.

2. Плаксина, И.В. Гидроупругость трубы кольцевого профиля при воздействии вибрации при различных ее закреплениях / И.В. Плаксина, Д.В. Кондратов, Ю.Н. Кондратова, Л.И. Могилевич // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 201]. -№ 4(59). - Вып. 1. - С. 29-37.

3. Плаксина, И.В. Задачи гидроупругости для трубы кольцевого сечения с упругой, геометрически нерегулярной оболочкой при воздействии давления / И.В. Плаксина, Д.В. Кондратов, Ю.Н. Кондратова, B.C. Попов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2013. - Т. 13. - Вып. 3. - С. 70-76.

II. Публикации в других изданиях

4. Плаксина, И.В. Постановка задачи гидроупругости для геометрически нерегулярной трубы кольцевого профиля при воздействии гармонического перепада давления / И.В. Плаксина, Д.В. Кондратов // Прикладная математика и механика: сб. науч. тр. - Ульяновск: УлГТУ, 2011.-С. 259-263.

5. Плаксина, И.В. Гидроупругость трубы кольцевого профиля с внешней ребристой оболочкой при воздействии гармонического перепада давления / И.В. Плаксина, Д.В. Кондратов // Современные проблемы науки

и образования - XXI век: сб. науч. тр. по материалам Междунар. заоч. науч.-пракг. конф., Тамбов, 29 февраля 2012 г.: в 7 ч. Ч. 5. - Тамбов: Изд-во ТРОО «Бизнес-Наука-Общество», 2012. - С. 105-106.

6. Плаксина, И.В. Гидроупругость трубы кольцевого профиля с бесконечно тонкими ребрами жесткости при воздействии давления / И.В. Плаксина, Д.В. Кондратов, Л.И. Могилевич // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-25: сб.тр. XXV Междунар. науч. конф.: в 10 т. - Т. 3. - Секция 5. - Волгоград: Волгогр. гос. техн. ун-т, 2012. - С. 14-16.

7. Плаксина, И.В. Математическое моделирование процессов гидроупругости трубы кольцевого профиля с ребрами жесткости при воздействии гармонического перепада давления / И.В. Плаксина, Д.В. Кондратов, Ю.Н. Кондратова // Компьютерные науки и информационные технологии: материалы Междунар. науч. конф. -Саратов: Изд. центр «Наука», 2012. - С. 151-154.

8. Плаксина, И.В. Построение математической модели трубы кольцевого профиля с бесконечно тонкими ребрами жесткости при воздействии давления / И.В. Плаксина, Д.В. Кондратов // Компьютерные науки и информационные технологии: материалы Междунар. науч. конф.-Саратов: Изд. центр «Наука», 2012.M-C. 148-151.

9. Плаксина, И.В. Колебания трубы кольцевого профиля с внешней упругой ребристой оболочкой при воздействии гармонического давления / И.В. Плаксина, Д.В. Кондратов // Нелинейные колебания механических систем: тр. IX Всерос. науч. конф., Нижний Новгород, 24-29 сентября 2012 г.- Н.Новгород: Изд. дом «Наш дом», 2012. - С. 525-530.

10. Плаксина, И.В. Задача гидроупругости для трубы кольцевого профиля с ребрами жесткости при воздействии перепада давления / И.В. Плаксина, Д.В. Кондратов, A.B. Калинина // Физико-математические науки и информационные технологии: теория и практика: материалы Междунар. заоч. науч.-практ. конф., Новосибирск, 26 ноября 2012 г. -Новосибирск: СибАК, 2012. - С. 108-114.

11. Плаксина, И.В. Математическое моделирование ребристой трубы кольцевого профиля при воздействии давления / И.В. Плаксина, Д.В. Кондратов, A.B. Калинина // Актуальные вопросы современной техники и технологии: сб. докл. IX Междунар. науч. конф., Липецк, 27 октября 2012 г. - Липецк: Изд. центр «Гравис», 2012. - С. 65-66.

12. Плаксина, И.В. Гидроупругие колебания ребристой трубы кольцевого профиля при воздействии давления / И.В. Плаксина, Д.В. Кондратов // Наука и образование в жизни современного общества: сб. науч. тр. по материалам Междунар. заоч. науч.-практ. конф., Тамбов, 29 октября 2012 г.: в 12 ч. Ч. 5. - Тамбов: Изд-во ТРОО «Бизнес-Наука-Общество», 2012. - С. 82-84.

13. Плаксина, И.В. Гидроупругость геометрически нерегулярной оболочки, содержащей слой вязкой жидкости и абсолютно жесткий

цилиндр, в условиях гармонического давления / И.В. Плаксина, Д.В. Кондратов // Современные направления теоретических и прикладных исследований '2013: сб. науч. тр. 8\Уог1<1 Материалы Междунар. науч.-практ. конф. - Вып. 1. Т. 2. - Одесса: КУПРИЕНКО, 2013. - С. 91-93.

14. Плаксина, И.В. Модель трубы кольцевого профиля с тонкими внешними шпангоутами при воздействии давления / И.В. Плаксина, Д.В. Кондратов, Е.Л. Кузнецова // Критические технологии вычислительных систем: материалы П Всерос. конф. - Вып. И. - Воронеж: Международный институт компьютерных технологий, 2013. - С. 11-17.

15. Плаксина, И.В. Гидроупругость трубы кольцевого профиля с ребрами жесткости при воздействии давления / И.В. Плаксина, Д.В. Кондратов // Математические методы в технике и технологиях -ММТТ-26: сб.тр. XXVI Междунар. науч. конф.: в 10 т. - Т. 5. - Секция 5-Н. Новгород: Нижегород. гос. техн. ун-т, 2013. - С. 50-53.

16. Плаксина, И.В. Гидроупругость трубы кольцевого профиля с ребристой внешней и гладкой внутренней упругими стенками при воздействии давления / И.В. Плаксина, Д.В. Кондратов, Е.Л. Кузнецова // Проблемы управления, обработки и передачи информации (АТМ-2013): сб. тр. III Междунар. науч. конф.: в 2 т. - Саратов: Изд. Дом «Райт-Экспо»,

2013.-Т. 2.-С. 160-165.

Подписано в печать 07.04.14 Бум. офсет. Тираж 100 экз.

Усл. п. л. 1,0 Заказ 53

Формат 60x84 1/16 Уч.-изд. л. 1,0 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Тел.: 24-95-70; 99-87-39, e-mail: izdat@sstu.ru

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»

04201 45921 4 'ШьМ, На правах рукописи

ПЛАКСИНА ИРИНА ВЛАДИМИРОВНА

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ГИДРОУПРУГОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО ПРОФИЛЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПЕРЕПАДА

ДАВЛЕНИЯ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

доцент Кондратов Д.В.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук,

доцент Кузнецова Е.Л.

Саратов 2014

Содержание

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................3

1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ...............13

1.1 Основные положения и допущения...............................................................13

1.2 Описание объекта исследования....................................................................13

1.3 Математическая модель...................................................................................16

1.4 Переход к безразмерным переменным..........................................................26

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГИДРОУПРУГОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО ПРОФИЛЯ С АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИМ ВНУТРЕННИМ ЦИЛИНДРОМ....................................................30

2.1 Метод решения задачи гидроупругости........................................................30

2.2 Решение уравнений динамики жидкости......................................................33

2.3 Решение уравнений динамики внешней упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки............................................................34

2.4 Определение выражения для давления в слое жидкости.............................40

2.5 Исследование математической модели..........................................................41

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГИДРОУПРУГОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО ПРОФИЛЯ С УПРУГОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ РЕГУЛЯРНОЙ ВНУТРЕННЕЙ ОБОЛОЧКОЙ........65

3.1 Основные положения и допущения...............................................................65

3.2 Математическая модель...................................................................................66

3.3 Метод решение гидроупругости.....................................................................69

3.4 Исследование построенной математической модели...................................80

3.5 Применение экспериментального закона уменьшения толщины.............111

3.6 Сравнение с численным методом.................................................................134

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................................................................................137

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ..............................................140

ПРИЛОЖЕНИЕ.....................................................................................................171

Введение

Актуальность работы. Современные требования машино- и агрегатостроения диктуют проблемы уменьшения общего веса конструкции, при этом элементы конструкции должны сохранять износоустойчивость при различных внешних воздействиях, вызванных различным факторами. Одно из решений задачи уменьшения веса конструкции может быть получено при использовании тонкостенных конструкций, а поддержание устойчивости к внешним воздействиям может решаться как использованием жидкости для демпфирования колебаний, так и использованием конструктивных решений, таких как использование ребер жесткости. В настоящее время в различных отраслях науки и техники, в частности в ракетно-космических системах, в железнодорожном, авиационном и автомобильном транспорте, широко применяются конструкции, состоящие из соосных тонкостенных оболочек, как геометрически регулярных, так и геометрически нерегулярных, и вязкой несжимаемой жидкостью между ними. [4-12, 28, 30-32, 45-51, 59-63, 81-84, 8891, 93-129, 136-164, 172, 192-200, 203-206, 210-212, 214, 215, 217-221, 223-228, 230-231,247-248, 254]

Таким образом, построение математических моделей, позволяющих исследовать динамику взаимодействия геометрически регулярных и геометрически нерегулярных цилиндрических оболочек со слоем вязкой несжимаемой жидкости представляет собой актуальную задачу, которая несомненно имеет научный и практический интерес.

В развитие механики для упругих элементов конструкций, состоящих из нескольких слоев внесли большой вклад работы таких авторов, как К.П. Андрейченко, В.В. Болотин, A.C. Вольмир, АЛ. Гольденвейзер, А.Г. Горшков, Э.И. Григолюк, М.А. Ильгамов, С.Ф. Коновалов, Л.И. Могилевич, Ф.Н. Шклярчук и др. [4-12, 21, 28, 30-32, 36-46, 48-52, 59-64, 81-84, 89-91, 1 16-1 19, 137-167, 208-221].

Создание математических моделей, которые исследуют динамические задачи гидроупругости, использующие однородные упругие элементы показано в работах К.П. Андрейченко, A.C. Вольмира, Э.И. Григолюка, А.Г. Горшкова, М.А. Ильгамова, С.Ф. Коновалов, Л.И. Могилевича, В.И. Морозова, B.C. Попова, И.М. Рапопорта, A.D. Lucey и др. [2-12, 14-16, 19, 25, 26, 28, 30, 32, 40-45, 47-52, 54, 65-73, 81-84, 88-90, 116-119, 123, 128, 131, 135, 137-171, 192-200, 202, 232-234, 236-238, 240-243, 245, 246, 249-251, 253]. Практически во всех работах по этому направлению исследуется динамика упругих элементов конструкций, являющиеся однородными и заполненные жидкостью, а также динамика данных конструкций в акустической среде.

Исследованиями вопросов создания математических мод ej гей и динамических процессов в конструкциях, которые состоят из тонкостенных элементов и вязкой несжимаемой жидкости под действием вибрации, занимались: H.H. Иванченко, A.C. Орлин [55], М.Д. Никитин [75], М.Г. Круглов [56], С.Г. Роганов, К.П. Андрейченко [4-12], A.A. Скуридин [75], М.М. Чурсин, И.С. Полипанов [85], Л.И. Могилевич [137-167], A.A. Симдянкин [210-212], Д.А. Индейцев [85], С.К. Соколов [85], P.M. Петриченко [174], B.C. Попов [192200], Д.В.Кондратов [93-111]. Вопросами создания математических моделей существующих конструкций, когда на слой жидкости в таких конструкциях действует перепад давления, занимались такие ученые, как Л.Г. Лойцянский, М.А. Ильгамов [81-84], И.С. Громека [53], H.A. Слезкин [213], J.R. Womersley [252] и другие.

Ранее были проведены исследования по ламинарным движениям жидкости, которая являлась вязкой и несжимаемой в цилиндрической трубе, являющейся абсолютно жесткой и бесконечно длинной. При действии на жидкость гармонического перепада давления исследования проводил И.С. Громека [53], при действии внезапно приложенное давление -H.A. Слезкиным [213]. Задачами воздействия вибрации на погрешность поплавковых маятниковых акселерометров с учетом упругой податливости

корпусов занимались К.Г1. Андрейченко [4-12] и Л.И. Могилевич [137-167].

Ранее рассматривалась задача для двух упругих соосных цилиндрических оболочек, жестко защемленными и их частные случаи, когда только одна из оболочек являлась упругой. При этом решение уравнений динамики упругих оболочек представлялось в виде линейной комбинации многочленов по продольной координате и решалось методом Бубнова-Галеркина в 1 -ом приближении. В частности, исследованием ДВС с водяным охлаждением, абсолютно жестким блоком цилиндра двигателя и упругой гильзой цилиндра занимались Могилевич Л.И. [137-167] и Попов B.C. [192-200].

Попова A.A. и Могилевич Л.И. проводили исследования в конечной ребристой трубе, но не кольцевой. Кондратов Д.В. [93-111] и Могилевич Л.И. [137-167] занимались исследованием двух соосных упругих гладких цилиндрических оболочек с жестким защимлением. Кондратова Ю.Н. [112-115] и Л.И. Могилевич занимались исследованием двух соосных упругих гладких цилиндрических оболочек со свободным опиранием на торцах.

Однако во всех этих работах не были рассмотрены вопросы по учету инерции движения вязкой жидкости, а также вопросы упругости внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки при учете в механической системе на концах свободного огшрания.

Целью работы является построение математических моделей для исследования поведения механических систем, состоящих из двух соосных цилиндрических оболочек конечной длины, свободно опертых на концах, внешняя из которых является упругой геометрически нерегулярной оболочкой, а внутренняя - либо абсолютно жесткий цилиндр, либо геометрически регулярная упругая цилиндрическая оболочка, взаимодействующих со слоем вязкой несжимаемой жидкости с учетом инерции ее движения, находящейся между ними, при воздействии гармонически меняющегося перепада давления жидкости.

Задачи, необходимые решить для достижения поставленной цели:

1. Разработка и исследование математических моделей для сложных механических систем, состоящих из двух соосных упругих цилиндрических оболочек конечной длины, свободно опертых на концах, внешняя из которых является геометрически нерегулярной, а внутренняя -либо абсолютно жесткий цилиндр либо геометрически регулярная упругая цилиндрическая оболочка, содержащих сдавливаемый слой вязкой несжимаемой жидкости между ними, в условиях воздействия гармонического по времени давления на торцах.

2. Определение на основе построенных математических моделей амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик для внешней геометрически нерегулярной оболочки в условиях гармонического давления на торцах.

3. Численное исследование построенных математических моделей.

Научная новизна работы состоит в следующих положениях:

1. Предложена новая математическая модель механической системы, состоящей из двух соосных цилиндрических оболочек конечной длины, со свободным опиранием по торцам, внешняя из которых является геометрически нерегулярной, а внутренняя - абсолютно жесткий цилиндр, содержащих слой вязкой несжимаемой жидкости между ними при воздействии гармонически по времени изменяющегося давления на концах механической системы, отличающаяся от известных моделей одновременным учетом инерции движения жидкости, упругости внешней оболочки конечной длины, имеющей ребра жесткости, и учета свободного оггирания оболочки на концах механической системы. Математическая модель представляет собой связанную систему дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих динамику упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки и жидкости с соответствующими граничными условиями.

2. Предложена новая математическая модель механической системы с упругими внешней геометрически нерегулярной и внутренней геометрически регулярной оболочками при гармонически изменяющегося давления на концах

механической системы, отличающаяся от известных моделей одновременным учетом инерции движения жидкости, упругости внешней оболочки конечной длины, имеющей ребра жесткости, и внутренней геометрически регулярной оболочки конечной длины, а также учетом свободного опирания оболочек на концах механической системы.

3. Предложен метод исследования математических моделей механической системы с внешней геометрически нерегулярной упругой цилиндрической оболочкой, свободно опираемой на концах механической системы, и внутренним либо абсолютно жестким цилиндром либо упругой геометрически регулярной цилиндрической оболочки, при воздействии гармонически изменяющегося давления на концах механической системы, учитывающая упругую податливость упругих геометрически регулярной и геометрически нерегулярной оболочек и инерцию движения вязкой несжимаемой жидкости. Учет свободного опирания оболочек на концах определил вид решения уравнений динамики упругих геометрически регулярной и геометрически нерегулярной цилиндрических оболочек в виде бесконечных тригонометрических рядов по продольной координате, которые описывают нечетные и четные параметры и явления по этой координате.

4. Разработан проблемно-ориентированный программный комплекс, который позволяет производить расчет значений резонансных частот и величин амплитудно-частотных характеристик прогибов оболочек, в предложенных математических моделях, и рассчитать гидродинамическое давление в слое жидкости, а также, с использованием экспериментально полученного закона кавитационного истоньшения оболочек, произвести моделирование поведения величин амплитудно-частотных характеристик прогибов оболочек, в зависимости от времени работы.

5. Построенные новые математические модели позволили в широком диапазоне параметров исследовать влияние параметров жидкости и размеров механической системы на амплитудно-частотные характеристики оболочек.

Показано, что учет инерции движения жидкости, уменьшение вязкости жидкости, увеличение ширины слоя жидкости, уменьшение толщины внешней оболочки увеличивают величины АЧХ на резонансных частотах, в тоже время изменение мест расположения ребер жесткости, увеличение количества ребер жесткости на внешней оболочке уменьшает величины АЧХ на резонансных частотах. Кроме того изменение параметров системы позволяет смещать резонансные частоты по шкале частот, а значит дает возможность не только уменьшить АЧХ на резонансных частотах, но и сдвинуть сами величины резонансных частот из области рабочих частот механической системы, тем самым уменьшив негативное влияние на конструкцию.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением классических математических методов и известных методов возмущений для расчета, использованием апробированных и основополагающих принципов и подходов механики деформируемого твердого тела и механики жидкости. Полученные результаты не противоречат имеющимся физическим представлениям и известным экспериментальным данным.

Практическая ценность и реализация результатов. Полученные в диссертации результаты, могут найти применение при моделировании динамических процессов в сложных механических системах, состоящих из упругих цилиндрических геометрически регулярных и геометрически нерегулярных оболочек конечной длины, вязкой несжимаемой жидкости и абсолютно жестких тел, таких как силовые цилиндры, элементы конструкций жидкостных ракетных двигателей, системы подачи топлива и смазки, двигатели внутреннего сгорания с водяным охлаждением. Разработанные математические модели позволят уже на этапе проектирования, исходя из известных параметров работы механической системы и задаваемых требований прочности и износоустойчивости, выбрать наиболее оптимальные параметры системы.

Аналитическое решение, полученное в работе, позволит при использовании компьютерной техники существенно увеличить скорость расчетов. Кроме того, разработанный программный комплекс дает возможность определение влияния различных факторов на динамику механической системы. Приведенные в работе математические модели и результаты их исследования можно использовать для исследования цилиндров двигателей внутреннего сгорания, для определения резонансных частот элементов трубопроводных систем, систем смазки и подачи топлива. Все аналитические и численные вычисления выполнены в системе Waterloo Maple 12 (государственный контракт №71-190А/6 от 18.11.2008).

Результаты диссертационной работы использованы:

1. в гранте РФФИ 12-01-31154-мол_а.

2. в гранте Президента МД-1025.2012.8.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Международных научных конференциях "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-25, ММТТ-26 (2012, 2013); Международной конференции "Компьютерные науки и информационные технологии" (2012); IX Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (2012); II Всероссийской конференции "Критические технологии вычислительных систем" (2013), а также на семинарах кафедры "Прикладная математика и системный анализ".

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 16 научных работ [175-190] из них 3 работы опубликованы в периодических научных изданиях, рекомендуемых ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатских и докторских диссертаций [175, 176, 186].

На защиту выносятся следующие положения:

1. Сформулированые в безразмерном виде задачи гидроупругости механических систем, включающие внешнюю упругую геометрически нерегулярную цилиндрическую оболочку конечной длины, свободно

опираемую на концах, содержащую вязкую несжимаемую жидкость и соосный с оболочкой абсолютно жесткий неподвижный цилиндр либо соосную упругую геометрически регелярную цилиндрическую оболочку, при воздействии на них гармонического по времени перепада давления Представленные в работе математические модели могут быть использованы для описания трубопроводов кольцевого профиля, систем подачи топлива и смазки, двигателей внутреннего сгорания с водяным охлаждением, силовых цилиндров.

2. Определены амплитудно-частотные, фазочастотные характеристики и коэффициенты динамичности колебательной системы геометрически нерегулярная оболочка-жидкость и геометрически нерегулярная оболочка-жидкость-геометрически регулярная оболочка, а также резонансные частоты в предположении гармонического закона изменения давления жидкости на концах механической системы.

3. Построен проблемно-ориентированный комплекс, который позволяет рассчитать для описанных в ра