автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и исследование аналитическими и численными методами процессов распространения нелинейных волн в трубопроводах

Введение i

Глава 1. Подходы к решению задач о нестационарном взаимодействии жидкости и конструкции

1.1 .Различные задачи гидроупругости 13 1.2.Общая постановка совместной задачи гидродинамики и теории упругости •'

1.3.Моделирование волновых процессов в сжимаемой жидкости

1 АЧисленное моделирование задач гидроупругости

1.4.1. Применение ^разностных схем для решения задач гидродинамики

1.4.2. Метод Галеркина и методы взвешенных невязок 36 1.5.Выводы к главе

Глава 2. Аналитические методы решения нестационарных задач распространения волн давления в каналах с упругими стенками

2.1. Одномерная постановка задачи распространения волн в канале

2.2. Лучевой метод разложения решения волновой задачи

2.3. Исследование структуры переднего фронта волны давления

2.4. Основные закономерности распространения волн в трубопроводах

2.5. Распространение волн в трубопроводах с тонкими стенками из пористого материала

2.5.1. Одномерная квазистационарная постановка задачи

2.5.2. Нестационарная модель течения жидкости в трубопроводе с тонкими пористыми стенками

2.5.3. Анализ переходной зоны на фронте волн сильного разрыва с учетом поперечного расхода

2.6. Выводы к главе

Глава 3. Энергетический подход к исследованию напряженно-деформированного состояния стенок круглой трубы из повреждаемого материала

3.1. Математическая модель деформирования повреждаемого материала .'

3.1.1. Энергетическая модель образования микродефектов

3.1.2. Плоскость реологических состояний

3.1.3. Изменение параметров материала

3.2. Задача о деформировании стенок круглой трубы

3.2.1. Решение упругой задачи Ламе

3.2.2. Постановка задачи с учетом изменения параметров материала стенки трубы

3.3. Решение задачи о начале активного процесса накопления повреждаемости на внутренней поверхности стенки трубы

3.4. Решение нелийейной задачи о накоплении повреждаемости методом последовательных приближений

3.4.1. Нулевое приближение решения

3.4.2. Первое приближение решения

3.5. Выводы к главе

Глава 4. Решение нестационарных задач с подвижной границей с помощью вычислительных программных комплексов

4.1. Возможности моделирования стандартных программных комплексов

4.1.1. Уравнения нестационарного движения жидкости

4.1.2. Методы дискретизации по пространству и времени

4.2. Расширение возможностей моделирования с помощью подпрограмм

4.3. Численные расчеты с учетом деформаций стенок

Ф 4.4. Влияние параметров дискретизации на представление волнового фронта

4.5. Численное моделирование нелинейных особенностей в задачах распространения волн

4.6. Выводы к главе 4 128 Заключение 129 Библиографический список

Актуальность работы. Проблема распространения волн давления в гидролиниях с учетом их упругого деформирования представляет большой интерес для современной техники. Задачи такого рода возникают в машиностроении, энергетике, химической, нефтедобывающей и г нефтеперерабатывающей промышленностях. В частности такие задачи необходимо решать при разработке и использовании энергетических установок, систем подачи топлива и систем охлаждения, аппаратов химической технологии, при транспортировке жидких и газообразных сред.

Классическая теория неустановившихся течений жидкости в жестких и упруго-деформируемых трубах, восходит своими истоками к работам Кортевега, Резаля, Громеки, Жуковского, Парного и других отечественных и зарубежных авторов.

Несмотря на длительную историю исследований в данной области не t I существует единой теории, которая закрывала бы все вопросы распространения волн в гидролиниях. В частности линейность решаемой системы уравнений, одномерность постановки задачи, невязкая модель жидкости и т. д. не позволяет в полной мере рассматривать многие эффекты волновой динамики, возникающие на практике.

При распространении волн давления в трубопроводах приходится решать одновременно уравнения движения жидкости и уравнения деформирования стенок трубопровода, так как отклик стенок трубы может иметь существенное влияние на характер распространения волн давления в потоке. В ряде I теоретических работ исследуется проблема распространения волн в трубах с учетом путевого сопротивления, деформации упругой стенки. В этом случае можно получить приближенные аналитические выражения, которые позволяют проводить качественные исследования влияния отдельных факторов на процесс распространения импульса давления. Однако для решения технических задач, где существенную роль играет сложность граничных условий, нерегулярность геометрии канала, необходим метод, позволяющий получить решение конкретной задачи с, учетом ее особенностей. В настоящее время наиболее мощным инструментом решения таких задач являются программные средства, реализующие численные методы решения дифференциальных уравнений, которые наиболее полно описывают исследуемый процесс. Поэтому изучение методологии применения аналитических и численных алгоритмов к решению задач о распространении волн в упругих трубопроводах представляется актуальным.

Цель работы заключается в разработке математической модели, аналитических и численных методов исследования течения сжимаемых вязких материалов в деформируемых трубах с учетом их упругих и пластических свойств, а так же с учетом конструктивных особенностей.

Достижение указанной цели включало решение следующих задач:

- исследован вопрос распространения волн в каналах с помощью аналитического приближенного метода, который развит для случая распределенных по длине источников или стоков массы жидкости;

- применена энергетическая модель накопления поврежденности для учета микроразрушений стенки канала при воздействии повышенного внутреннего давления;

- разработана подпрограмма для гидродинамического программного комплекса^1 реализующая деформирование границы расчетной области в зависимости от давления в жидкости;

- гидродинамический программный комплекс применен для решения нестационарной задачи гидроупругости для линейно сжимаемой жидкости и проведено сравнение результатов расчетов с результатами, полученными аналитическим методом.

Объекты и методы исследования. Исследовался процесс распространения волн давления в трубопроводе с деформируемыми стенками при различных режимах течения и1 начальных параметрах волны, а так же с учетом нелинейных свойств материала стенок. Рассматривались как одномерная f модель в терминах осредненных по сечению значений параметров, так и полная трехмерная модель течения вязкой линейно сжимаемой среды в упругодеформируемом трубопроводе. 1 i I

Научная новизна полученных в работе результатов определяется тем, что в ней:

1. Построена математическая модель нестационарного потока в гидролинии с распределенными по ее длине стоками или источниками массы.

2. Применен энергетический подход к исследованию напряженноI деформированного состояния стенок круглой трубы из повреждаемого материала под действием волн давления.

3. Получен критерий прочности трубопровода под действием динамического 1 давления за войной гидроудара с учетом повреждаемости материала стенок.

4. Разработан итерационный метод решения задачи Ламе о напряженном состоянии стенок трубы под действием внутреннего давления с учетом накопления микродефектов в структуре материала.

5. Гидродинамический программный комплекс дополнен подпрограммами, I учитывающими линейную сжимаемость жидкости и деформирование границы расчетной области.

На защиту выносятся следующие основные положения: 1

1. Обобщенная математическая модель нестационарного потока в гидролинии с распределенными стоками или источниками массы.

2. Энергетический подход к исследованию напряженно-деформированного состояния стенок круглой трубы из повреждаемого материала под действием волн Давления.

3. Критерий прочности трубопровода под действием динамического давления за волной гидроудара с учетом повреждаемости материала стенок.

4. Итерационный метод решения задачи Ламе о напряженном состоянии стенок трубы под действием внутреннего давления с учетом накопления микродефектов в 'структуре материала.

5. Метод решения совместной гидроупругой задачи с помощью гидродинамического программного комплекса дополненного подпрограммами; реализующими линейную сжимаемость жидкости и деформирование 'стенки канала.

Научная и практическая значимость. Математическое моделирование нелинейных волновых процессов в гидролинии, учитывающее её конструктивные особенности и возможные дефекты стенок дает аналитический инструмент, позволяющий выявить закономерности распространения волн в трубопроводах различной структуры, что позволяет проанализировать влияние отдельных факторов на процесс распространения волны при различных режимах течения жидкости. Анализ воздействия скачков давления на стенки с учетом накопления йоврежденности позволяет определять степень износа I материала и определить характер поведения стенок с учетом меняющихся упругих свойств материала.

Моделирование явления гидроупругости представляет собой решение совместной задачи движения жидкости и деформаций стенки. Подпрограмма, разработанная в дополнение к гидродинамическому программному комплексу, позволяет решать задачи о распространении возмущений в трубопроводах с упругими стенками, учитывая параметры стенки трубы.

Личный вклад автора. Определение направлений исследований, постановка задачи,1 получение уточненных моделей и построение i аналитических решений, создание подпрограммы для вычисления деформаций стенок и подключение ее к гидродинамическому программному комплексу, проведение расчетов; анализ результатов осуществлены лично автором.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на (четвертой и пятой всероссийской научно-технической конференции «Прикладные задачи механики и тепломассобмена в авиастроении» (Воррнеж 2003, 2004 г. г.); конференции «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж 2004 г.); научных семинарах Воронежского государственного университета, Воронежского технического университета, Воронежской государственной технологической академии в 2003-2006 г.г.

Публикации. Результаты, полученные в ходе работы над диссертацией, опубликованы в 10 работах.

В первой главе рассматривается общая постановка задачи гидроупругости, приводятся основные математические модели движения жидких сред и колебаний упруго-деформируемых оболочек. На основе анализа работ различных авторов рассматриваются подходы к математическому моделированию задач нестационарного движения жидкости в упруго-деформируемых трубрпроводах. Отмечены возможности и условия применения математических моделей, а так же способы решения поставленных задач. Рассмотрены численные методы, позволяющие получать решения нестационарных задач движения жидкости и расчета напряженно-деформированного состояния конструкции.

Во второй главе приведены основные результаты, полученные с использованием лучевой теории распространения волн разрывов, применение которой является оправданным для анализа зависимости амплитуды волны и ее других характеристик в случае распространения нелинейных волн. Использование одномерной нестационарной модели движения сжимаемой жидкости в упругосжимаемых трубах переменного сечения позволяет получить приближенные аналитические зависимости, описывающие поведение параметров течения в переходном слое волны гидроудара, а так же выявить искажение переднего фронта волны гидроудара вследствие действия гидравлического сопротивления и изменения площади сечения канала. Показаны особенности поведения волны при различных режимах течения (ламинарное или турбулентное), а так же при распространении волны в подвижной и неподвижной жидкости.

Рассмотрена одномерная модель гидролинии с учетом распределенного вдоль линии расхода или притока жидкости. Получены основные закономерности распространения волн с учетом источников и стоков массы жидкости. .

Как показывают исследования модели, скорость распространения скачка $ волны зависит от наличия источников или стоков массы жидкости. При оттоке жидкости скорость волны уменьшается, а при дополнительном притоке жидкости - увеличивается. Выражение для безразмерной скорости волны включает в качестве параметров коэффициент пористости Я и относительное i 4 превышение давления внутри гидролинии. Интенсивность волн разрывов так же зависит от наличия стоков или источников. В случае линейно распределенного стока вдоль трубопровода скорость распространения волны замедляется при движении вниз по потоку и тем самым время существования волны на определенном участке трубопровода увеличивается, и интенсивность 1 волны уменьшается сильнее по сравнением со случаем ее распространения в трубопроводе без распределенных стоков. В случае распределенных источников (втока жидкости) скорость волны гидроудара вниз по потоку i возрастает. Время существования волны на отрезке длины L уменьшается, и интенсивность волны падает меньше чем для случая ее движения вниз по потоку с распределенными стоками.

Рассмотрена динамическая теория, описывающая нестационарное изменение площади поперечного сечения тонкостенных трубопроводов.

Полученные результаты показывают, что в нулевом приближении разложения в f t ряд по толщине тонкой стенки, решение системы уравнений соответствует решению в квазистационарном приближении перемещений стенки трубопровода.

В третьей главе Рассмотрен энергетический подход к исследованию напряженно-деформированного состояния стенок круглой трубы из повреждаемого материала. Этот подход явным образом учитывает энергозатраты, связанные с образованием новых поверхностей при появлении и росте микротрещин. Для случая мгновенной кинетики рассеянного разрушения используемая модель опирается на локальный баланс изменений накопленной упругой энергии среды и эффективной поверхностной энергии ансамбля микродефектов. В настоящей работе данная энергетическая модель используется применительно к исследованию напряженно-деформированного состояния стенок круглой трубы из повреждаемого материала под действием высокого внутреннего и низкого внешнего давлений.

Для трубы круглого сечения получен критерий определения критического давления внутри канала, при котором начинается накопление микродефектов в стенке канала. В выражение для критического давления явным образом входят толщина стенки и упругие параметры материала стенки.

Выведено уравнение равновесия в перемещениях содержащее нелинейность в виде меняющихся параметров Ламе, зависящих от величины поврежденности и инвариантов тензоров деформаций.

Построен итерационный алгоритм решения нелинейного дифференциального уравнения равновесия для определения деформаций стенки с учетом накопления'поврежденности. Получено уточнение решения задачи Ламе с учетом понижения упругих свойств материала за счет накопления микродефектов в структуре среды.

Приведены примеры расчетов напряженно-деформированного состояния стенок круглой трубы из повреждаемого материала при различных значениях внутреннего давления.

В четвертой главе рассматривается численный подход к решению задачи нестационарного движения жидкости в упруго-деформируемом трубопроводе. Описана математическая модель, применимая для решения рассматриваемой задачи. Приведены' уравнения, описывающие нестационарное течение сжимаемой жидкости, уравнения упругой оболочки, граничные и начальные f I условия. Рассмотрены особенности построения дискретной модели и численного алгоритма решения поставленной задачи. Специальное внимание уделено оценке погрешностей дискретной модели и численного метода. Для I численного моделирования явления гидроупругости разработана подпрограмма на языке FORTRAN, реализующая динамическое деформирование границы расчетной области в зависимости от рассчитанного давления в жидкости.

Исполняемый файл гидродинамического расчета перекомпилирован с учетом новых подпрограмм. Таким образом, деформирование границы происходит в процессе расчета параметров потока и выполняется на каждом шаге по времени.

Проведен ряд расчетов распространения волн в системе сжимаемая жидкость плюс упруго-деформируемая оболочка для прямого участка трубы. I

Сделаны выводы р влиянии эластичности стенок на характеристики распространяющейся волны. Моделирование распространения сложного нелинейного профиля волны показывает хорошее совпадение результатов численного расчета и расчета с помощью лучевого метода. Полученные результаты соответствуют теоретическим выражениям относительно скорости волны в гидролиниях с жесткими и упругими стенками. Таким образом, метод

§ деформирования границы на каждом шаге по времени в зависимости от величины давления оправдывает себя и позволяет численно исследовать взаимное влияние жидкости и оболочки для геометрически сложных систем.

4.6. Выводы к главе 4

1. Стандартные программные средства моделирования требуют дополнений программного кода для решения совместной задачи жидкость — деформируемая стенка.

2. С помощью разработанных программных модулей реализован расчет напряженно-деформированного состояния стенок канала круглого сечения, динамически взаимодействующий с расчетом гидродинамики потока. Разработаны алгоритмы расчета деформаций стенки для упрочняющегося и повреждаемого материалов.

3. Результаты численного моделирования соответствуют теоретическим и i экспериментальным выводам относительно влияния отклика стенок на характеристики распространяющейся волны.

4. Численная постановка задачи позволяет решать нелинейные задачи с произвольной формой канала, различными граничными и начальными условиями для различных свойств текущей жидкости и материала стенок. I i I

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Применение математической модели нестационарного течения жидкости в упруго-деформируемом трубопроводе в терминах осредненных по сечению параметров потока, обобщенной на случай распределенных источников или стоков массы позволяет анализировать влияние дополнительно введенных параметров. Решения, полученные с учетом поперечного расхода жидкости, вырождаются в решения для базовой математической модели при стремлении коэффициента проницаемости стенки к нулю.

2. Наличие расхода массы через боковую поверхность канала ведет к уменьшению скорости и интенсивности волны повышенного давления.

Наличие источников массы ведет к увеличению скорости волны и 1 уменьшению затухания интенсивности со временем.

3. Энергетическая теория повреждаемости применена в случае деформирования стенок трубы кругового сечения. Найдены и проиллюстрированы основные особенности деформирования и накопления микродефектов, приводящие к потере прочностных свойств среды. Построен алгоритм последовательных приближений, а так же I решения в нулевом и первом приближении.

3.1. При воздействии волн давления на стенки канала, процесс накопления поврежденности начинается с внутренней стороны стенки. I

3.2. Критическое давление, при котором начинается процесс накопления I микродефектов, зависит от начальных упругих параметров материала и толщины стенки.

3.3. При накоплении поврежденности локальные упругие параметры ламе уменьшаются, и материал теряет свою эластичность.

4. Для решения задачи распространения волн в линейносжимаемой I жидкости применен численный метод конечных объемов.

4.1. Разработана подпрограмма, рассчитывающая деформации стенок канала, и скомпилирована с основным программным модулем для пересчета координат расчетной сетки на каждом шаге по времени.

4.2. Проведенный ' сравнительный анализ результатов расчетов для численного и аналитического методов показал хорошее совпадение параметров волны при ее распространении на прямом участке гидролинии.

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа/Ж. Адамар.-М.: Наука, 1978. 351 с.

2. Алексеев А.С. Лучевой метод вычисления интенсивностей волновых фронтов / А.С. Алексеев, В.М. Бабич, Б.Я. Гельчинский // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. V. Л., 1961. -С.2-24.

3. Альтшуль А.Д. Потери на трение в трубопроводах / А.Д. Альтшуль. М.: Стройиздат, 1963. - 192 с.

4. Амбарцумян С.А. К вопросу распространения пульсовой волны / С.А. Амбарцумян, Л.А. Мовисян//Механика полимеров.-1978.-№4.-С.696- 701.

5. Амензаде Ю.А. Теоия упругости / Ю.А. Амензаде. М.: Высшая школа, 1976. 272 с.

6. Бабич В.М. О лучевом методе вычисления интенсивности волновых фронтов / В.М. Бабич, А.С. Алексеев // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1958. -№1. - С. 9 - 15.

7. Багдоев А.Г. Некоторые нелинейные задачи о движении сжимаемой жидкости / А.Г. Багдоев. Ереван: Изд - во АН АрмССР, 1967. - 230 с.

8. Багдоев А.Г. Пространственные нестационарные движения сплошной среды с ударными волнами / А.Г. Багдоев. Ереван: Изд - во АН АрмССР, 1961.-276 с.

9. Бахвалов Н.С. Численные методы/Н.С. Бахвалов М.: Наука, 1973. - 631 с.

10. Болотин В.В. Конечные деформации гибких трубопроводов / В.В. Болотин // Труды МЭИ. 1956. - № 19. - С. 272 - 291.

11. Болотин В.В. Основные уравнения теории армированных сред/ В.В. Болотин // Механика полимеров. 1965. - №2. - С. 34 - 39.

12. Бубнов В. А. О влиянии инерциальных свойств стенки на распространение импульса давления в гидравлической линии / В. А. Бубнов, А. Д. Ханин // Гидромеханика и теория упругости. Новосибирск, 1983.- Вып.30. с.40-49.

13. Быковцев Г.И. Теория пластичности / Г.И. Быковцев, Д.Д. Ивлев. -Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 с.

14. Вабищевич П. Н. Численное моделирование/ П. Н. Вабищевич. М.: МГУ, 1993.- 152 с.

15. Ваграменко Я.А. Волновая структура турбулентного течения в трубе / Я.А. Ваграменко // Инженерно-физический журнал. № 5. М., 1985.

16. Ваграменко Я.А. Турбулентные течения : монография / Я.А. Ваграменко. -М., 1987.

17. Ваграменко Я.А. Турбулентность. Газодинамика. Информатика: избранные труды / Я.А. Ваграменко. М., 2005.

18. Валуева Е. П. Математическое моделирование пульсирующего турбулентного течения жидкости в круглой трубе / Е. П. Валуева, В.Н. Попов // Докл. АН. 1993. - Т.332, №1. - с.44 - 47.

19. Валюхов, С. Г. Зацепления винтовых поверхностей / С. Г. Валюхов, В. А. Костин, Ю. И.Сапронов, С. М. Семенов // Воронеж, гос. ун-т .— Воронеж: Б.и., 1999.- 131 с.

20. Вервейко Н. Д., Сумец П.П. Нестационарное течение сжимаемой вязкой жидкости в деформируемых трубах / Н. Д. Вервейко, П.П. Сумец. -Воронеж: Воронежский государственный университет. 2004. 207 с.

21. Вервейко Н.Д. Лучевая теория упруговязкопластических волн и волн гидроудара / Н.Д. Вервейко. Воронеж: ВГУ, 1997. - 204 с.к

22. Вервейко Н.Д. Лучевой метод расчета гидроудара в линии с сопротивлением / Н.Д. Вервейко // Изв. Вузов. Машиностроение. 1983. -№ 10.-С. 65-69.

23. Вервейко Н.Д. Расчет головной волны гидроудара в линии с переменными параметрами / Н.Д. Вервейко // Дифференциальные уравнения и их приложения: Сб. науч. тр. Воронеж, 1985. - С. 3 - 7.

24. Вервейко Н.Д. Распространение пульсовых волн в нелинейно-упругих сосудах / Н.Д. Вервейко, П.П. Сумец // Материалы II Всероссийской научно технической конференции «Теория конфликта и ее приложения». -Воронеж: ВГТА, 2002. - С.34.

25. Виноградова М. Б. Теория волн / М. Б. Виноградова, О.В. Руденко, А.П. Сухоруков. М.: Наука, 1979. - 383 с.

26. Воеводин А.Ф. Численные методы расчёта одномерных систем / А.Ф. ^ Воеводин, С.М. Шугрин. Новосибирск: Наука, 1981. - 208 с.

27. Волобуев А. Н. Течение жидкости в трубах с эластичными стенками / А. Н. Волобуев // Успехи физических наук -1995. -Т.165, №2. С. 177-186.

28. Волобуев А.Н. Возникновение нелинейного уравнения Шредингера с логарифмической нелинейностью в физических задачах / А.Н. Волобуев, В.А. Неганов // Вестник новых медицинских технологий. 2002 - т. IX. -№4.-С. 81-84.

29. Волобуев А.Н. Вырождение турбулентности в аорте / А.Н. Волобуев, В.А. Неганов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. -2001-т.4-№1- С.52-56.

30. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи гидроупругости / А.С. .Вольмир. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. -320 с.

31. Вольмир А.С. Колебания оболочки с протекающей жидкостью / А.С. Вольмир, М.С. Грач // МТТ. 1973. - №6. - С. 162 - 166.

32. Вольмир А.С. Гидроупругие явления в зоне бифуркации аорты / А.С. Вольмир, М.С. Герштейн, Б.А. Пуриня // Механика полимеров. 1971. -№1. - С. 164-166

33. Воробьев A.M. Расчет параметров ударных волн в каналах переменного сечения/ A.M. Воробьев и др. // Гидрогазодинамика одной и многофазных сред. Ташкент, 1986. - С.57 - 67.

34. Гире Т. Возбуждение колебаний упругой цилиндрической оболочки при воздействии переходной акустической волны / Т. Гире // Тр. Амер. о-ва инж.-мех. ПМ.- 1969.-т.36.-№3.-С.82-91.

35. Годунов С.К. Уравнения математической физики / С.К. Годунов. М.: Наука, 1971 -416 с.

36. Гольденвейзер A.J1. Теория упругих тонких оболочек/A.JI. Гольденвейзер — М.: Гостехиздат, 1953. 544 с.

37. Гребенников Д.Ю. Влияние распределенного по длине трубопровода расхода жидкости на распространение волн гидроудара / Д.Ю. Гребенников // ВГУ, Труды молодых ученых, выпуск 1. 1999 г. с. 57-64.

38. Гребенников Д.Ю. Распространение волн гидроудара в трубопроводе, усиленном сетчатой оболочкой / Д.Ю. Гребенников, П.П. Сумец // Математические модели и операторные уравнения: Сборник научных трудов. Воронеж: ВГУ, 2003.- Т.2-С.45-51.

39. Григорюк Э.И. Проблемы взаимодействия оболочек с жидкостью / Э.И. Григорюк // Труды VII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок.— М.:Наука, 1970.-С.755-778.

40. Григорюк Э.И. Нестационарная гидроупругость оболочек/ Э.И. Григорюк, А.Г. Горшков. Л.: Судостроение, 1974. - 208 с.

41. Григоренко Я.М. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек/ Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992.-336 с.

42. Грузь А.Н., Кубенко В.Д., Бабаева А.Э. Гидроупругость систем оболочек -Киев: Высш. школа, 1984. 206 с.

43. Дин. Исследование распространения волнового фронта в композиционных материалах / Дин, Ли // Тр. Амер. о-ва инж.-мех. ПМ. 1969. - т.36 - №3. -С. 122- 131.

44. Добролюбов А.И. Волновые движения деформируемых тел и жидкостей: Кинематика и массоперенос / А.И.Добролюбов.-Мн.: Наука и техника, 1989.-94 с.

45. Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах / Н.Е. Жуковский. — М.: Гостехиздат, 1949. 104 с.

46. Загузов И.С. Математическое моделирование динамических процессов в трубопроводах переменного сечения с использованием лагранжевых переменных / И.С. Загузов, К.А. Поляков // Инженерно физический журнал. - 2001.-№3.-Т.74.-С. 141 - 144.

47. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности / Д.Д. Ивлев. М.: Наука, 1966.-232 с.

48. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям / И.Е. Идельчик. — М.: Машиностроение, 1975. 559 с.

49. Ильгамов М.А. Колебания цилиндрической оболочки конечной длины в акустической среде/ М.А. Ильгамов, А.З. Камалов // Исследования по теории пластин и оболочек Казань, 1966. - С. 367 - 376.

50. Катаев В.П. Нелинейные колебания трубопроводов с протекающей жидкостью/ В.П. Катаев //Гидроаэромеханика и теория упругости. 1972. — Вып. 14.-С.72-77.

51. Катаев В.П. Динамика трубопроводов с нестационарным потоком жидкости / В.П. Катаев, А.Е. Плуталов // Изв. вузов. Авиац. Техника. -1971. №2. - С. 95-97.

52. Каюк Я.Ф. Геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек / Я.Ф. Каюк. Киев: «Наукова думка», 1987. - 208 с.

53. Ковревский А.П. Динамика трубопроводов, содержащих неустановившийся поток жидкости / А.П. Ковревский // Прикл. механика. 1970. - Т. 6. - Вып. 8. - С. 97 - 102.

54. Кондауров В.И., Кутлярова Н.В. // ДАН. 2000. Т. 374. № 6. с. 771-775.

55. Кондауров В.И., Кутлярова Н.В., Фортов В.Е. // ДАН. 1997. Т. 355. № 3. с. 342-345.58