автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование лучевым методом распространения волн в трубопроводах с учетом их особенностей

На правах рукописи ¥

СУМЕЦ ПАВЕЛ ПЕТРОВИЧ *

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛУЧЕВЫМ МЕТОДОМ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ТРУБОПРОВОДАХ С УЧЕТОМ ИХ ОСОБЕННОСТЕЙ

Специальность: 05.13.18 - "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж 2003

Работа выполнена в Воронежском государственном университете Научный руководитель:

Защита состоится «16 » октября 2003 года в /5~~в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 Государственного образовательного учреждения Воронежской государственной технологической академии по адресу: 394000, г. Воронеж, проспект Революции, 19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежской государственной технологической академии.

Автореферат разослан « 10 » сентября 2003 года

доктор технических наук, профессор Н.Д. Вервейко

с

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. Д. Чернышев доктор физико-математических наук, профессор А.И. Сумин

Ведущая организация:

ФГУП «Конструкторское бюро химической

автоматики»

(г. Воронеж)

Ученый секретарь диссертационного сс кандидат технических наук

В.М. Самойлов

^ÛOSjjM з

^ 3Актуальность работы Развитие гидросетей в концеXIX начале XX веков обусловило необходимость описания наблюдаемых в них физических явлений. Это придало мощный импульс развитию соответствующих разделов гидромеханики, а наблюдения аналогичных явлений в газах утвердило исследователей в необходимости широкого и детального исследования природы этих явлений. В начале XX века появились работы Жуковского, посвященные движению жидкости в гидросетях, а его исследовательские работы, посвященные описанию явления гидроудара, по общему признанию научной общественности того времени носили фундаментальный характер.

Конструирование оборудования нефтегазодобычи, появление нефтепроводов и газопроводов, а также линий транспортировки веществ, не допускающих утечки, требовало использование новых принципов движения этих сред по трубопроводам, удовлетворяющих поставленным задачам. Это привело к необходимости математического моделирования задач о неустановившемся движении жидкости в сложной системе трубопроводов. Значительный вклад в решение подобных задач осуществили ученые Воеводин А Ф., Шугрин С.М., Тара-севич B.C., Сагомонян А .Я., Чарный И. А.

Проведение исследований по математическому моделированию нестационарного движения жидкости в трубопроводах обусловлено несколькими факторами. Поскольку на практике чаще встречаются существенно непериодические, нестационарные волновые явления, большой теоретический и практический интерес представляют исследования волновых задач в общей, нестационарной постановке. Существование большого количества методов решения нестационарных волновых задач объясняется значительными трудностями их решения, поэтому не прекращаются поиски новых, наиболее оптимальных методов. Развитие приближенных аналитических методов решения уравнений и систем уравнений в частных производных (одним из таких методов является лучевой метод) позволило построить аналитическое решение, описывающее распространение произвольного импульса давления вдоль трубопровода или сети трубопроводов с учетом затухания импульса за счет путевого сопротивления. Получение приближенного аналитического выражения позволяет проводить качественные и количественные исследования влияния отдельных факторов (свойств материала трубопровода и его геометрических характеристик по трассе прохождения импульса и др.) на процесс распространения импульса давления или по его анализу судить о состоянии трассы. Поэтому изучение процесса распространения волн в трубопроводах представляется актуальным.

Работа выполнена в рамках госбюджетной НИР Воронежского госуниверситета (№ roc, per. 01.9.90 001106) "Разработка математических моделей и эффективных аналитических и численных методов решения статических и динамических задач механики деформируемых сред сложной структуры".

Цель и задачи работы. Цель работы заключается в разработке уточненной математической модели нестационарного движения сжимаемой жидкости в трубопроводе и ее исследование на основе лучевого метода, обеспечивающего построение инструментальных средств для установления закономерностей распространение волн гидроудара в трубопроводах с учф-оддот«рбвн*®4»*йЯ

Достижение поставленной цели включало реше

ние сВЧ^ШЙ^ач: ! СПетербург гъ.^ J

оэ vxtf wyj

- уточнение математической модели распространения волн гидроудара в трубопроводах при ламинарном и переходном режимах течения жидкости;

- получение аналитических выражений для интенсивности волны гидроудара в любой точке гидролинии;

- анализ структуры переднего фронта волны гидроудара;

- разработка прикладной программы, реализующей алгоритм решения одномерных волновых задач на основе лучевого метода и обеспечивающей расчет распределения давления при распространении волн гидроудара;

- анализ распространения волны гидроудара при течении жидкости в трубопроводах с дефектами стенки, а также с учетом анизотропии стенок и упрочнения трубопровода сетчатой оболочкой;

- получение оценок максимально допустимых давлений жидкости в трубопроводе исходя из упруго - пластического поведения стенок трубопровода при его разрушении.

Объекты и методы исследования. Исследовался процесс распространения волн гидроудара в трубопроводах при ламинарном и переходном режимах течения жидкости. Изучение математической модели такого процесса осуществлялось на основе лучевой теории распространения волн разрывов, позволяющей приближенно построить решение системы гиперболических уравнений а частных производных в окрестности волновых фронтов. Учет дефектов стенок осуществлялся расширением модели путем ее обобщения для случая трубопровода с переменной толщиной стенки в поперечном сечении. Изучение структуры переднего фронта волны гидроудара осуществлялось с учетом наличия гидравлического сопротивления.

Научная новизна. При выполнении диссертационного исследования решены следующие задачи:

- построено уточнение математической модели течения жидкости в упру-годеформируемых трубопроводах переменного поперечного сечения;

- сформулировано решение задачи о нестационарном течении жидкости в окрестности переднего фронта волны в трубопроводах переменного сечения с использованием лучевого разложения;

- получены соотношения, описывающие распространение скачков давления при ламинарном и переходном режимах течения жидкости, позволяющие рассчитывать интенсивность волны гидроудара в любой точке трубопровода;

- установлены закономерности влияния гидравлического сопротивления на искажение распределения давления и скорости вблизи переднего фронта волны гидроудара при ее распространении вдоль трубопровода;

- разработан алгоритм решения одномерной волновой задачи и в интегрированной среде DELPHI реализована программа, обеспечивающая численное решение задачи о распространения волны гидроудара;

- получены выражения, определяющие скорость распространения волны гидроудара с учетом: анизотропии; дефектов стенки; упрочнения трубопровода сетчатой оболочкой; исходя из условий упругопластического поведения стенок трубопровода

Положения, выносимые на защиту:

1. Уточненная математическая модель распространения волн в трубопроводах переменного сечения при ламинарном и переходном режимах течения жидкости с учетом дефектов стенок и их анизотропной структуры.

2. Приближенное решение, описывающее распределение давления для одномерной волновой задачи о нестационарном течении жидкости в окрестности

^ переднего фронта волны в трубопроводах переменного сечения.

3. Закономерности влияния локальных утончений стенки трубопровода на процесс распространения волны на основе математической модели распространения волн гидроудара в трубопроводе с дефектами стенок. Показано, что утончение стенки приводит к уменьшению скорости распространения волны гидроудара, уменьшению амплитуды скачка давления и потере прочности трубопровода

4. Закономерности влияния сетчатой оболочки на процесс распространения волны гидроудара. Показано, что усиление трубопровода сетчатой оболочкой приводит к увеличению скорости распространения волны гидроудара, меньшему затуханию амплитуды скачка давления при его распространении и к увеличению прочности трубопровода.

5. Закономерности влияния сопротивления на распределение давления и скорости течения жидкости вблизи переднего фронта волны гидроудара Показано, что распределение давления и скорости вблизи передний фронт волны гидроудара, распространяясь вдоль трубопровода, терпит искажение за счет бегущего относительно него возмущения с малой скоростью, определяемой наличием гидравлического сопротивления.

Научная и практическая значимость. Математическое моделирование распространения волн в трубопроводах лучевым методом дает аналитический и численный инструмент, позволяющий выявить закономерности распространения волн в трубопроводах различной структуры, что позволяет проанализировать влияние отдельных факторов на процесс распространения волны при различных режимах течения жидкости. Результаты решения задачи о нестационарном движении жидкости могут быть использованы при расчете давления в различных материалопроводах, насосных агрегатах, турбинах и т. п.

Личный вклад автора. Определение направлений исследований, постановка задач, проведение расчетов, получение основных результатов и выводов осуществлено лично автором под руководством научного руководителя д.т.н. профессора Вервейко Н.Д. Обсуждение результатов на протяжении всей работы над диссертацией проводились вместе с д.т.н., профессором Вервейко Н.Д. и д.т.н., профессором Сысоевым В.В.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались я обсуждались на второй и третьей всероссийской научно - технической конференции «Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении» (Воронеж 2001,2002г.г.); конференции «Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике» (Минск 2001г.); семинаре "Современные проблемы механики и прикладной математики" (Воронеж 2002г.); научных семинарах Воронежского государственного университета, Во-

ронежского государственного технического университета, Воронежской государственной медицинской академии, Воронежской государственной технологической академии в 2000 - 2002г.г.

Публикации. Результаты, полученные в ходе работы над диссертацией, опубликованы в 10 работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 146 страниц машинописного текста и содержит 26 рисунков, и по структуре состоит из введения, четырех глав, основных выводов и списка цитируемой литературы, > включающего 133 наименований литературных источников.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ. >

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цель, основные задачи, научная новизна, сформулированы научные положения, выносимые на защиту.

В первой главе на основе анализа работ различных авторов рассматриваются различные подходы к математическому моделированию нестационарного движения жидкости в трубопроводах. Отмечены возможности и условия применения математических моделей, а также способы решения поставленных задач. Для математического описания нестационарного движения жидкости в упруго деформируемых трубопроводах переменного поперечного сечения проведен переход от системы уравнений Навье-Стокса в двумерной постановке к уравнениям одномерного осредненного движения вязкой сжимаемой жидкости в упругосжимаемых трубах переменного сечения при ламинарном и турбулентном режимах течения:

'дрдМ X | -х- = — + —МЫ; дх dt 2D ' 1

_fôp=c2<?M

dt дк '

Здесь х-ось координат, совпадающая с осью трубопровода; M=f-w-p - массовый расход жидкости через трубу в сечении; f(x) - площадь поперечного сечения трубопровода; р - плотность жидкости; w(x,t) - средняя по сечению скорость течения жидкости; p(x,t) - давление; с - скорость распространения возмущений в системе: текущая сжимаемая жидкость в трубе с упругими стенками; D(x) - диаметр трубопровода; X - коэффициент гидравлического сопротивления, который зависит от режима течения жидкости. При редукции двумерных уравнений к одномерным были определены границы применимости уравнений (1). Результирующими условиями применимости являются: 1) безотрывность течения и малость поперечной скорости по сравнению с продольной; 2) упругий трубопровод под действием давления меняет свой объем за счет продольной сжимаемости самой жидкости и радиального расширения поперечного сечения трубы; 3) поперечное расширение тонких стенок трубопровода происходит в квазистационарном режиме. Приведенная система уравнений (1) имеет погрешность порядка Sx2 (5t=R/L). Среди множества способов решения задачи (1) о распространении нестационарных волн выделяется лучевой метод, и излагаются основные принципы применения этого метода

Во второй главе исследована математическая модель распространения волн гидроудара в трубопроводах при ламинарном и переходном режимах течения жидкости. Математическое моделирование осуществлялось на основе лучевой теории, применение которой является оправданным для анализа зависимости амплитуды волны и ее других характеристик в случае распространения волн разрывов. Получено лучевое решение задачи о нестационарном течении сжимаемой жидкости в цилиндрических упругосжимаемых трубах переменного сечения при ламинарном и переходном режимах течения жидкости. При переходном режиме коэффициент гидравлического сопротивления X определялся по формуле Блаузиса: Х=0,3164(ш0/т1)'0,25, гдет] - кинематический коэффициент вязкости жидкости.

При ламинарном режиме течения жидкости скачок давления и скачок производной давления на фронте волны затухает по экспоненциальному закону

с пройденным волной расстоянием:

M^^-Mllffl-Ip.^

где

i х

2 J

"о

"о

Íkx. 2f

1-íl

2„2

JA

[Pt]o

x

di;+ 4пт) j

*o

exp 2f2

4 л T] Gf2

>

(2)

4f¿ Gf2

Здесь x - ось координат, совпадающая с осью трубопровода, [р]=(р - р~) - превышение (скачок) давления на фронте волны, [р]0 - значение скачка давления в точке хо, fo - площадь поперечного сечения трубопровода в точке Хо, [pt]o - значение скачка производной по времени в точке Хо, G - скорость распространения волны гидроудара. Предполагалось, что в некоторой точке Хо задано распределение давления p(xo,t), которое имеет разрыв самой функции и ее производных, а также известно давление р+ впереди фронта волны. Тогда, при дискретизации временного интервала точками t^ решение за фронтом волны представимо в виде отрезка ряда по временному промежутку (t¡,t¡+i] второго порядка погрешности:

Т\{V тЛ — П+ — fnl -i f\'T/ f LfJ '

г- -Л m

{{st) aj j

Р1ГР тс/t t. 1 n

) a

(3)

к

При ламинарном режиме течения жидкости, полученные выражения позволяют применить решение задачи о распространении волн слабого разрыва к построению закономерностей распространения импульса произвольной формы, полученного последовательным наложением нескольких волн слабого и сильного разрывов. На рис. 1 показан вариант описания распространения импульса давления, измеренного в некоторой точке трубопровода, путем последовательного распространения 4-х слабых волн Гь Г2, Г3, Г4. С помощью такого линейного приближения можно воспроизвести свойства реальной волны, в том числе подъем и последующее затухание амплитуды волны давления с увеличением расстояния при убывании площади поперечного сечения трубопровода

а) х=х„ Г! 6) х=х1

Рис. 1. Изменение импульса давления по мере его продвижения. Кривая 1 - измеренная волна давления, 2 - кусочно-линейная аппроксимация.

При переходном режиме течения жидкости существует качественное отличие затухания скачка давления в случае распространения волны гидроудара в подвижную и неподвижную жидкость. В случае движения жидкости перед волной затухание происходит по экспоненциальному закону и определяется значением величины давления впереди фронта:

( , ч / , /

ы-ьш «р

4 X АХ.

V га

(4)

Здесь С) = 0,31647с°'б:2570'25р~0'752 3'25, верхний знак соответствует ускорению или замедлению попутного волне потока, нижний знак соответствует случаям ускорения или замедления встречного потока за волной. При движении потока жидкости за волной против встречного или оттока жидкости за волной от жидкости, движущейся в направлении движения фронта волны, затухание скачка давления происходит по закону:

[р]=[р]о

м

:7[р]о

Ъ +

41

7[Р№<

ехр

-Я

\\

*О

от

(5)

В случае покоя жидкости перед фронтом волны затухание скачка давления происходит по степенному закону и определяется величиной начального скачка:

/

[рЬЫо-Ц- 1

1+4

ч

[р]о

%

*0

м.

а

(6)

Кусочно-постоянная аппроксимация формы распределения давления за фронтом волны позволяет уподобить процесс распространения волны давления процессу распространения пакета волн прямоугольной формы (см. рис. 2). Анализ зависимостей, определяющих закономерности распространения скачков давления, показал, что при турбулентном режиме течения жидкости сильнее затухают скачки, имеющие большую начальную интенсивность, так что крутой передний фронт волны затухает сильнее, чем идущие за ним возмущения (см. рис. 3).

Рис. 2. Изменение формы волны превышения давления ДР при распространении вдоль трубопровода постоянного сечения при переходном режиме течения жидкости, рассчитанные для случаев: а) при х=0, б) при х=100м. Параметры: 00=0.1м, р=103 кг/мэ, Е=8-109Па, Ь/0=0.05.

Рис. 3. Графики зависимостей относительных скачков давления от координаты х при разных интенсивностях начального скачка (кривая 1-при [р]0=Юатм.; 2-при [р]0=20атм.; 3 - при [р]0=ЗОатм.). Расчеты производились для трубопровода постоянного сечения при переходном режиме течения жид' кости. Параметры: 00=0.1м, р=103 кг/м3, Е=8-10Т1а, Ь/Л=0.05.

Амплитуда волны затухает гораздо быстрее при турбулентном, чем при ламинарном режиме течения жидкости. То есть наличие турбулентности связано с дополнительной затратой энергии при движении жидкости. Независимо от режима течения жидкости к усилению затухания скачка давления ведет уменьшение скорости в распространения волны гидроудара, а также увеличение вязкости жидкости Если вязкость отражает реологическое свойство жидкости, то скорость распространения волны является наиболее важным фактором, который отражает физико-механические свойства стенки трубопровода Поэтому все изменения свойств стенки сказываются на характере затухания скачка давления посредством скорости &

Адекватность полученных формул (2) - (6) подтверждается следующими рассуждениями. Во-первых, при отсутствии гидравлического сопротивления

(при Х=0), из соотношений (2) - (6) следуют простое следствие: [р]=[р]о'(£/0-Следовательно, интенсивность волны гидроудара изменяется вдоль гидролинии без сопротивления согласно классическому закону геометрической оптики: обратно пропорционально площади поперечного сечения трубопровода Во вторых, выводы, полученные выше в результате анализа формул (2)-(6), не противоречат известным классическим закономерностям гидродинамики и соответствуют результатам, полученным в работах Жуковского Н.Е., а численные расчеты находятся в соответствии с экспериментальными данными.

Использование одномерной нестационарной модели движения сжимаемой жидкости в упругосжимаемых трубах переменного сечения (1) позволяет получить приближенные аналитические зависимости, описывающие течение в переходном слое волны гидроудара, а также выявить искажение вида решения вблизи переднего фронта волны гидроудара вследствие действия гидравлического сопротивления.

Преобразуем волновое уравнение

+-—ММ , (7)

рБ1

с учетом малости коэффициента гидравлического сопротивления (Х«1). Здесь запятая в нижних индексах означает частную производную по соответствующей координате. Переход к системе координат, связанной с подвижным фронтом волны гидроудара и замена переменной Г|=х-а, приводит к уравнению

М,В-2СМ^+-^ГМ(МП-СМ,1,)=0, (8)

которое описывает поведение массового расхода М в трубопроводе вблизи фронта волны гидроудара. Для рассмотрения решения в области больших градиентов массового расхода М,п и М,, осуществляется преобразоЕглие координат (г|Д) путем растяжения по координате т\. Вводя новую координату п=5-т|, где 0<5«1 - малый параметр, и полагая 5=Х, после преобразований имеем:

М„-2сДМ,т+-^-М-М,{-^М-М,п = 0. (9)

рБг рЭГ

Оставляя в уравнении (9) только члены первого порядка малости относительно X и произведя замену переменных £=п+2сА,1, получаем уравнение:

М,.4—М2=0. (10)

' 2 рЫ

Решение уравнения (10) можно записать в виде:

М __1

М0~

1 + Мг

к

-, гдем0=м(4^=0 (11)

I

.2/ЯХ,

Поскольку М(^,0 зависит только от начального распределения М<Д,0) и времени I и не зависит явно от то формула (11) описывает относительное изменение массового расхода М жидкости в трубопроводе постоянного сечения на фронте волны г^сопй, т.е. в подвижной системе координат, движущейся со

скоростью -2сХ относительно фронта волны гидроудара Из вышесказанного вытекает следующая теорема

Теорема 1. Абсолютная скорость в распространения волны гидроудара с учетом гидравлического сопротивления X задается соотношением: 0=с(1-2Х).

Таким образом, при распространении волны гидроудара в переходном слое происходит убывание массового расхода жидкости на фронте волны, бегущей относительно волны гидроудара со скоростью п—2сХ. Следовательно, распределение давления и скорости непосредственно за передним фронтом волны гидроудара, распространяющегося вдоль трубопровода со скоростью с, терпит искажение за счет бегущего относительно него возмущения с малой скоростью п—2сХ вследствие наличия сопротивления (см. рис.4). 1 м м

1

Рис.4. Затухание и искажение фронта волны гидроудара при распространении вдоль трубопровода.

В третьей главе приведена модификация математической модели для случая распространения волн гидроудара в трубопроводах с дефектами стенок. Моделирование наличия дефекта стенки осуществлялось с помощью учета переменности толщины стенки в поперечном сечении.

Предполагалось, что трубопровод в поперечном сечении имеет форму кольца переменной по угловой координате толщины, у которого внутренняя граница поперечного сечения имеет вид окружности радиуса Ио, а радиус внешней границы

К1=Ко+Ь(1+5-зт(0)), где Ь - константа, 5 -малый параметр (0<5<1), который позволяет моделировать дефекты в виде локальных утончений стенки (см. рис. 5). Нахождение напряжений и деформаций в дефектной Рис.5. Форма поперечного сече-стенке осуществлялось с помощью разложе- ния трубопровода с дефектом ния решения в ряд по малому параметру 5. стенки

В предположении упругого плоского напряженного состояния, учитывающего нормальные и касательные напряжения, приведены выражения для напряжений, деформаций и перемещений стенки. Полученные соотношения позволяют анализировать влияние дефектов стенки на прочностные свойства трубопровода Для оценки влияния параметра 5 на прочностные характери-

Ь(1+8)

м 1 / д I-11

•11(1-*)

стики стенки трубопровода, был введен в рассмотрение показатель q, характеризующий относительную потерю прочности трубопровода за счет утончения стенки:

8(1 + а)2 V1 ,

^5=0

1 + 5-

»5 1 +

(12)

(^О + а^ + а);

где Р"- критическое давления жидкости, при котором происходит разрыв материала стенки трубопровода в наиболее тонком месте.

Для скорости вз распространения волны гидроудара с учетом утончения стенки было получено следующее выражение:

(1 - у)2(1 + 2а)4] Еа(2+а) И ■ V--/ —-----—. где а= —

Яо

Gs =

1-5

128а

1

Еа(2+а)

2 р ( 2 + а к í Е V) 1 + 2v +-

(13)

Здесь Е - модуль Юнга материала стенки трубопровода, v - коэффициент Пуассона материала стенки, Кж - модуль объемного сжатия жидкости. Из соотношений (2), (4), (12) и (13) вытекает следующая теорема.

Теорема 2. В рамках принятых допущений, локальное утончение стенки трубопровода на Sh, приводит к уменьшению скорости распространения волны гидроудара в (1-52(1-v) (1+2а)/(128а)) раз, уменьшению амплитуды скачка давления и уменьшению прочности трубопровода на величину 5(1+а/2)"'.

Для учета анизотропного характера материала стенок, рассматривалось напряженное состояние трубопровода с ортотропными стенками переменного поперечного сечения. Упругие свойства для окружных напряжений в цилиндрической системе координат г, <p, z характеризовались модулем Юнга Еф, а плоскость (r,z) считалась плоскостью упругой изотропии с модулем Юнга Ег=Ег. Основываясь на сделанных предположениях, получены в; фажения, определяющие напряжения, деформации и перемещения стенки рубопровода. Влияние утончения стенки трубопровода на его прочность привело к соотношению, определяющему давление, при котором начиняется пластическое течение материала стенки трубопровода на его внутренней поверхности:

Р' = ^ат*(а2ю(7а- 2) + 14а2 -9а + 6 -б(а2©(24а-5)+ 38а2 - 18а + б| (14)

Здесь х - максимальное касательное напряжение, при котором происходит достижение предела прочности материала стенки трубопровода. Анализ (14) показывает, что дефект стенки в виде ее утончения приводит к уменьшению величины критического давления.

Получены оценки толщины пластической зоны при приложении критического давления исходя из условий упругопластического поведения изотропных стенок трубопровода. Предполагалось, что при распространении волны гидроудара внутри трубопровода давление жидкости достигло критической величины р , и начали происходить пластические деформации стенки трубопровода. Полагалось, что если пластическая зона достигла внешней границы, то труба находится в состоянии полной пластичности и происходит ее разрушение. В

качестве условия текучести определяющего уровень напряжений, при котором становится возможна значительная пластическая деформация, использовался критерий Треска Полученные соотношения позволяют оценить относительную толщину стенки трубопровода, которую необходимо задать для обеспечения условия равнопрочности трубопровода при распространении скачка давления:

- = ехр

р*+[р]

2ку

-1,

(15)

где [р] - скачок давления, который определяется исходя из режима течения жидкости к - константа, определяющая предел текучести материала стенки трубопровода, у=±1. Приведенные зависимости показывают, что при распространении волны гидроудара в трубопроводе переменного сечения целесообразно утолщение стенки трубопровода на некотором удалении от точки Хо (см. рис.6).

Рис. 6. Изменение относительной толщины стенки трубопровода, находящейся в состоянии пластического деформирования при распространении волны гидроудара (а - при постоянной площади поперечного сечения; б-при законе изменения площади поперечного сечения: £(х)=^ехр(-23х/Ь0)).

Четвертая глава посвящена математическому моделированию распространения волн гидроудара в трубопроводах, усиленных на поверхности сетчатой оболочкой. Рассматривались основные соотношения и уравнения для плоского напряженно - деформируемого состояния стенки трубопровода с учетом сетчатой оболочки (см. рис. 7). Предполагалось, что оболочка в процессе деформации остается упругой и подчиняется обобщенному закону Гука для анизотропного тела, а сетка оболочки состоит из волокон четырех семейств. Ее схема показана на рис.8.

Рис. 7. Элемент трубы, усиленной сетчатой оболочкой.

Рис. 8. Структура сетчатой оболочки.

При моделировании сетчатой оболочки статические и геометрические уравнения описываются соответствующими уравнениями теории сплошных оболочек. Уравнения состояния зависят от структуры сетки и ее материала и аналогичны уравнениям анизотропных оболочек. Полагая, что все волокна сетки сделаны из одинакового материала с модулем Юнга Е, и имеют одинаковую площадь поперечного сечения Р„ при условии совпадения радиальных перемещений внешней границы стенки трубы и сетчатой оболочки, найдены соотношения для напряжений и перемещений стенки трубопровода, усиленного сетчатой оболочкой.Для скорости распространения волны гидроудара было получено следующее выражение:

.2 _ ЕтК*

где аи =

V (Етаи(^Е, +

2¥гсо$4(д>)[ ¥ь Я2а

(16)

+ ЕТ

">а12 :

Дят

2а4

2Я2а

2(2<р) т4(<р) -,а22 --+

Я,а

Ф - угол

2А3

между образующей цилиндрической оболочки и осью волокна, а; - расстояние между волокнами 1-го семейства, ^ - внутренний радиус трубы, К2 - внешний радиус трубы, Е, и v - модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала стенки трубы соответственно. Приведенное соотношение для скорости распространения волн гидроудара позволяет определять закономерность затухания скачков давления при распространении их в усиленном сетчатой оболочкой трубопроводе согласно полученным выше формулам для ламинарного и переходного режимов течения жидкости.

В частном случае, когда ф=л/4, проанализировано влияние наличия сетчатой оболочки на прочностные свойства трубопровода. Для оценки влияния сетчатой оболочки введен показатель, характеризующий относительное увеличение прочности трубопровода за счет его усиления сетчатой оболочкой:

^ _ Рхрит Ркрит _ ^ Ркрнт

"я?

\\

.а?

-1

А

1 + 2л/2 ч2 + л/2 у

4-1

+ 2(1 - у)

(17)

у у

Здесь К =рУа; р™« - критическое значение давления жидкости, при котором происходит достижение предела прочности материала стенки трубопровода без сетчатой оболочки; р крнт - критическое значение давления жидкости в трубопроводе, армированном сетчатой оболочкой. Отметим, что увеличение прочности будет тем больше, чем больше отношение Е/Е,.

Полученные соотношения для скорости распространения волн гидроудара в трубопроводах различной структуры позволяют применять аналитические выражения (2), (4) - (6) для описания распространения волн в трубопроводах с учетом таких особенностей, как дефект стенки, анизотропная структура стенки и усиление сетчатой оболочкой. При переходе к математическим моделям трубопроводов без особенностей мы получаем известные классические соотношения.

Для задачи о распространении волн давления произвольной формы в уп-ругосжи маемых трубопроводах разработана программа, позволяющая рассчи-

тывать распределение давления и средней скорости в упругодеформируемом трубопроводе при ламинарном и переходном режимах течения жидкости. Программа реализована на языке программирования "PASCAL" в интегрированной среде программирования "Delphi". Этот программный продукт имеет модульную структуру и имеет в своей основе пять функциональных модулей. Результаты работы программы представлены пользователю в виде значений компонент давления жидкости и в виде графиков для распределения давления в любой точке трубопровода.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ:

1. Математическое моделирование нестационарного течения жидкости в упру-годеформируемых трубопроводах переменного сечения проводилось с точностью до величин порядка 5/, а использование лучевого представления решения позволило установить что:

1.1 при турбулентном режиме течения жидкости существует качественное отличие закона затухания скачка давления в случаях распространения в подвижную и неподвижную жидкость состоящее в том, что в случае движения жидкости перед волной затухание происходит по экспоненциальному закону, а в случае покоя жидкости - по степенному закону;

1.2 при ламинарном режиме течения жидкости характер затухания скачка давления полностью определяется законом изменения площади поперечного сечения трубопровода, скоростью распространения волны гидроудара и величиной коэффициента кинематической вязкости жидкости;

1.3 передний фронт волны гидроудара, распространяясь вдоль трубопровода со скоростью с, терпит искажение за счет бегущего относительно него возмущения с малой скоростью -2сХ вследствие наличия гидравлического сопротивления X.

2. Получены соотношения, определяющие скорость распространения волны гидроудара и напряженное состояние трубопровода с учетом анизотропии и дефектов стенки трубопровода, а также наличия упрочнения трубопровода сетчатой оболочкой, которые показали, что:

2.1 наличие дефекта трубопровода в виде локального утончения стенки приводит к уменьшению скорости распространения волны гидроудара, уменьшению амплитуды скачка давления и уменьшению прочности трубопровода;

2.2 по сравнению с трубопроводом без сетчатой оболочки, наличие сетчатой оболочки приводит к увеличению скорости распространения волны гидроудара, меньшему затуханию амплитуды скачка давления при его распространении и к увеличению прочности трубопровода

3. Показано, что с учетом упруго - пластического поведения материала стенок трубопровода при распространении волны гидроудара в трубопроводе с уменьшающимся переменным сечением целесообразно утолщение стенки трубопровода на некотором удалении от начала трубы.

4. Результаты численного эксперимента по распространению импульса давления в упругодеформируемом трубопроводе переменного сечения показали, что форма волны давления, распространения вдоль трубопровода, искажается нелинейным образом в зависимости от режима течения жидкости.

" TWMM38 7 1

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Вервейко К Д., Сумец П.П Математическое моделирование распространения нелинейных пульсовых волн в сердечно - сосудистой системе человека// Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике.-Мн.: УП «Технопринт», 2001.-С.89-93.

2. Сумец П.П. Распространение волн гидроудара в трубопроводе с течением жидкости в переходном режиме// Труды второй всероссийской научно -технической конференции «Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении», Воронеж, 2001. - 4.1 - С.73 - 76.

3. Сумец П.П., Сумец М.П. Переходный режим распространения волн гидроудара в трубопроводе// Материалы XL отчетной научной конференции за 2001 год. - Воронеж: ВГТА, 2002. - 4.2 - С.209-210.

4. Сумец П.П. Распространение пульсовых волн в сосудах со стенками переменной толщины// Вестник ф - та прикладной математики и механики: Вып. 3. - Воронеж: ВГУ, 2002. - С.44 - 46.

5. Сумец П.П Определение напряжений и внутреннего просвета кровеносных сосудов в стимулированном состоянии// Объединенный научный журнал. -2002. - № 22 (45). - С.53-55.

6. Вервейко Н.Д., Сумец П.П. Распространение пульсовых волн в нелинейно-упругих сосудах// Материалы П Всероссийской научно-технической конференции «Теория конфликта и ее приложения».-Воронеж: ВГТА, 2002.-С.34.

7. Сумец П.П. Напряженное состояние трубопровода из ортотропного материала с дефектами стенки// Сборник трудов третьей международной научно - технической конференции «Авиакосмические технологии». - Воронеж: ВГТУ, 2002. - С. 91 - 95.

8. Вервейко Н.Д., Сумец П.П. Выбор математической модели и исследование структуры переднего фронта волны гидроудара// Информационные технологии и системы. - Воронж: ВГТА, 2002. - Вып.5 -С.131-133.

9. Сумец П.П. Скорость распространения волн гидроудара в усиленном сетчатой оболочкой трубопроводе// Объединенный научный журнал. - 2003. - № 6 (64). - С.52-55. _ __

Ю.Гребенников Д.Ю., Сумец П.П. Распространение волн гидроудара в трубопроводе, усиленном сетчатой оболочкой//Математические модели и операторные уравнения: Сборник научных трудов. - Воронеж: ВГУ, 2003. - Т. 2 -С. 45-51.

Заказ № 505 от 01 09.2003 г. Тираж 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

Введение.

Глава 1. Основные закономерности распространения возмущений в трубопроводах.

1.1. Различные задачи динамического поведения трубопроводов, заполненных жидкостью.

1.2. Математическая модель распространения волн в трубопроводах.

1.3. Оценки погрешности одномерной математической модели распространения волн в трубопроводах.

1.3.1. Общая постановка задачи совместного движения жидкости и материала стенок трубопровода.

1.3.2. Безразмерный вид совместной задачи движения жидкости в трубопроводе.

1.3.3. Нулевое приближение решения совместной задачи.

1.3.4. Построение одномерной нестационарной математической модели движения жидкости в деформируемом трубопроводе в нулевом приближении.

1.3.5. Первое приближение решения совместной задачи.

1.3.6. Второе приближение уравнения движения жидкости.

1.4. Общие закономерности применения лучевых рядов в задачах распространения нестационарных волн.

1.5. Выводы к главе 1.

Глава 2. Лучевая теория распространения волн в трубопроводах.

2.1. Лучевая теория распространения волн разрывов.

2.2. Математическое моделирование распространения волн Ф гидроудара в трубопроводах переменного сечения при ламинарном режиме течения жидкости.

2.3. Математическое моделирование распространения волн гидроудара в трубопроводах переменного сечения при переходном режиме течения жидкости.

2.4. Исследование структуры переднего фронта волны гидроудара.

2.5. Основные закономерности распространения волн в трубопроводах.

2.6. Выводы к главе 2.

Глава 3. Математическое моделирование распространения волн гидроудара в трубопроводах с учетом их особенностей.

3.1. Математическая модель распространения волн гидроудара в трубопроводах с дефектами стенок. Прочность трубопроводов с дефектами стенок.

3.2. Распространение волн в трубопроводах с учетом анизотропной структуры стенок.

3.3. Получение оценок максимально допустимых давлений исходя из условий упругопластического поведения стенок трубопровода.

3.4. Математическое моделирование распространение пульсовых волн в сосудах с учетом мышечной структуры стенок.

3.5. Выводы к главе 3.

Глава 4. Математическое моделирование распространения волн гидроудара в трубопроводах, усиленных сетчатой оболочкой.

4.1. Основные соотношения безмоментной теории анизотропных оболочек. е 4.2. Основные соотношения теории тонких упругих сетчатых оболочек вращения.

4.3. Осесимметричное напряженно - деформированное состояние трубопровода, усиленного сетчатой оболочкой.

4.4. Определение скорости распространения волны гидроудара в усиленном сетчатой оболочкой трубопроводе.

4.5. Анализ влияния сетчатой оболочки на прочностные свойства трубопровода.

4.6. Структура специального программного обеспечения, реализующего построение модели распространения волн давления в упругосжимаемых трубопроводах.

4.7. Выводы к главе 4.

Актуальность работы. Развитие гидросетей в конце XIX начале XX веков обусловило необходимость описания наблюдаемых в них физических явлений. Это придало мощный импульс развитию соответствующих разделов гидромеханики, а наблюдения аналогичных явлений в газах утвердило исследователей в необходимости широкого и детального исследования природы этих явлений.

Проведение исследований по математическому моделированию нестационарного движения жидкости в трубопроводах обусловлено несколькими факторами. Поскольку на практике чаще встречаются существенно непериодические, нестационарные волновые явления, большой теоретический и практический интерес представляют исследования волновых задач в более общей, нестационарной постановке. Существование большого количества методов решения нестационарных волновых задач объясняется значительными трудностями их решения, поэтому не прекращаются поиски новых, наиболее оптимальных методов. Развитие приближенных аналитических методов решения уравнений и систем уравнений в частных производных (одним из таких методов является лучевой метод) позволило построить приближенное аналитическое решение, описывающее распространение произвольного импульса давления вдоль трубопровода или сети трубопроводов с учетом затухания импульса за счет путевого сопротивления. Получение приближенного аналитического выражения позволяет проводить качественные и количественные исследования влияния отдельных факторов (свойства трубопроводов по трассе прохождения импульса ит. д.) на процесс распространения импульса давления или по его анализу судить о состоянии трассы. Поэтому изучение процесса распространения волн в трубопроводах представляется актуальным.

Работа выполнена в рамках госбюджетной НИР Воронежского госуниверситета (№ гос. per. 01.9.90 001106) "Разработка математических моделей и эффективных аналитических и численных методов решения статических и динамических задач механики деформируемых сред сложной структуры".

Цель работы заключается в разработке уточненной математической модели нестационарного движения сжимаемой жидкости в трубопроводе на основе лучевого метода, обеспечивающего построение инструментальных средств для установления закономерностей распространение волн гидроудара в трубопроводах с учетом их особенностей.

Достижение поставленной цели включало решение следующих задач:

- уточнение математической модели распространения волн гидроудара в трубопроводах при ламинарном и переходном режимах течения жидкости;

- получение аналитических выражений для интенсивности волны гидроудара в любой точке гидролинии;

- анализ структуры переднего фронта волны гидроудара;

- разработка прикладной программы, реализующей алгоритм решения одномерных волновых задач на основе лучевого метода и обеспечивающей расчет распределения давления при распространении волн гидроудара;

- анализ распространения волны гидроудара при течении жидкости в трубопроводах с дефектами стенки, а также с учетом анизотропии стенок и упрочнения трубопровода сетчатой оболочкой;

- получение оценок максимально допустимых давлений жидкости в трубопроводе исходя из упруго - пластического поведения стенок трубопровода при его разрушении.

Объекты и методы исследования. Исследовался процесс распространения волн гидроудара в трубопроводах при ламинарном и переходном режимах течения жидкости. Изучение математической модели такого процесса осуществлялось на основе лучевой теории распространения волн разрывов, позволяющей приближенно построить решение системы гиперболических уравнений в частных производных в окрестности волновых фронтов.

• Учет дефектов стенок осуществлялся расширением модели путем обобщения ее для случая трубопровода с переменной толщиной стенки в поперечном сечении.

Изучение структуры переднего фронта волны гидроудара осуществлялось с учетом наличия гидравлического сопротивления на основе одномерной нестационарной математической модели движения сжимаемой жидкости в упругосжимаемых трубах.

Научная новизна полученных в работе результатов определяется тем,

• что в ней:

- построено уточнение математической модели течения жидкости в упруго дефор мируемых трубопроводах переменного поперечного сечения;

- сформулировано решение задачи о нестационарном течении жидкости в окрестности переднего фронта волны в трубопроводах переменного сечения с использованием лучевого разложения;

- получены соотношения, описывающие распространение скачков ф давления при ламинарном и переходном режимах течения жидкости, позволяющие рассчитывать интенсивность волны гидроудара в любой точке трубопровода;

- установлены закономерности влияния гидравлического сопротивления на искажение распределения давления и скорости вблизи переднего фронта волны гидроудара при ее распространении вдоль трубопровода;

- разработан алгоритм решения одномерной волновой задачи и в интегрированной среде DELPHI реализована программа, обеспечивающая численное решение задачи о распространения волны

• гидроудара;

- получены выражения, определяющие скорость распространения волны гидроудара с учетом: анизотропии; дефектов стенки; упрочнения трубопровода сетчатой оболочкой; исходя из условий упругопластического поведения стенок трубопровода

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Уточненная математическая модель распространения волн гидроудара в трубопроводах переменного сечения при ламинарном и переходном режимах течения жидкости с учетом дефектов стенок и их анизотропной структуры.

2. Приближенное решение, описывающее распределение давления для одномерной волновой задачи о нестационарном течении жидкости в

• окрестности переднего фронта волны в трубопроводах переменного сечения.

3. Закономерности влияния локальных утончений стенки трубопровода на процесс распространения волны на основе математической модели распространения волн гидроудара в трубопроводе с дефектами стенок. Показано, что утончение стенки приводит к уменьшению скорости распространения волны гидроудара, уменьшению амплитуды скачка давления и потере прочности трубопровода.

4. Закономерности влияния сетчатой оболочки на процесс распространения волны гидроудара. Показано, что усиление трубопровода сетчатой оболочкой приводит к увеличению скорости распространения волны гидроудара, меньшему затуханию амплитуды скачка давления при его распространении и к увеличению прочности трубопровода.

5. Закономерности влияния сопротивления на распределение давления и скорости течения жидкости вблизи переднего фронта волны гидроудара. Показано, что передний фронт волны гидроудара, распространяясь вдоль трубопровода, терпит искажение за счет бегущего относительно него возмущения с малой скоростью, определяемой наличием гидравлического сопротивления.

Научная и практическая значимость. Математическое моделирование распространения волн в трубопроводах лучевым методом дает аналитический инструмент, позволяющий выявить закономерности распространения волн в трубопроводах различной структуры, что позволяет проанализировать влияние отдельных факторов на процесс распространения волны при различных режимах течения жидкости. Результаты решения задачи о нестационарном движении жидкости могут быть использованы при расчете давления в различных материалопроводах, насосных агрегатах, турбинах и т. п.

Личный вклад автора. Определение направлений исследований, постановка задач, проведение расчетов, получение основных результатов и выводов осуществлено лично автором под руководством научного руководителя д.т.н. профессора Вервейко Н.Д. Обсуждение результатов на протяжении всей работы над диссертацией проводились вместе с д.т.н. профессором Вервейко Н. Д. и д.т.н. профессором Сысоевым В.В.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на второй и третьей всероссийской научно -технической конференции «Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении» (Воронеж 2001,2002г.г.); конференции «Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике» (Минск 2001г.); семинаре "Современные проблемы механики и прикладной математики" (Воронеж 2002г.); научных семинарах Воронежского государственного университета, Воронежского государственного технического университета, Воронежской государственной медицинской академии, Воронежской государственной технологической академии в 2000 - 2002г.г.

Публикации. Результаты, полученные в ходе работы над диссертацией, опубликованы в 10 работах.

В первой главе на основе анализа работ различных авторов рассматриваются различные подходы к математическому моделированию нестационарного движения жидкости в трубопроводах. Отмечены возможности и условия применения математических моделей, а также * способы решения поставленных задач. Среди множества способов решения задачи о распространении нестационарных волн выделяется лучевой метод, и излагаются основные принципы применения этого метода. Для математического описания волнообразного режима движения жидкости в трубопроводах используется одномерная нестационарная модель движения сжимаемой жидкости в упругосжимаемых трубах переменного сечения:

Во второй главе описана математическая модель распространения волн гидроудара в трубопроводах при ламинарном и переходном режимах течения % жидкости. Математическое моделирование осуществлялось на основе лучевой теории распространения. волн разрывов, применение которой является оправданным для анализа зависимости амплитуды волны и ее других характеристик в случае распространения нелинейных волн. Получено лучевое решение задачи о нестационарном течении сжимаемой жидкости в цилиндрических упругосжимаемых трубах переменного сечения при ламинарном и переходном режимах течения жидкости. При ламинарном режиме течения жидкости, полученные выражения позволяют применить ^ решение задачи о распространении волн слабого разрыва к построению закономерностей распространения достаточно сложного импульса, полученного последовательным наложением нескольких волн слабого и сильного разрывов.

При переходном режиме течения жидкости существует качественное отличие затухания скачка давления в случае распространения волны гидроудара в подвижную и неподвижную жидкость. В случае движения жидкости перед волной затухание происходит по экспоненциальному закону и определяется значением величины давления впереди фронта. В случае ф покоя жидкости перед фронтом волны затухание скачка давления происходит по показательному закону и определяется величиной начального скачка.

Кусочно-постоянная аппроксимация формы распределения давления за фронтом волны позволяет уподобить процесс распространения волны давления процессу распространения пакета волн прямоугольной формы (скачков). Анализ зависимостей, определяющих закономерности распространения скачков давления, показал, что при турбулентном режиме течения жидкости сильнее затухают скачки, имеющие большую начальную интенсивность, так что крутой передний фронт волны затухает сильнее, чем идущие за ним возмущения. Амплитуда волны затухает гораздо быстрее при турбулентном, чем при ламинарном режиме течения жидкости. То есть наличие турбулентности связано с дополнительной затратой энергии при

Ь движении жидкости.

Использование одномерной нестационарной модели движения сжимаемой жидкости в упругосжимаемых трубах переменного сечения позволяет получить приближенные аналитические зависимости, описывающие поведение параметров течения в переходном слое волны гидроудара, а также выявить искажение переднего фронта волны гидроудара вследствие действия гидравлического сопротивления. При распространении волны гидроудара, в переходном слое происходит убывание по показательному закону массового расхода жидкости на фронте волны, бегущей относительно волны гидроудара Показано, что передний фронт волны гидроудара, распространяясь вдоль трубопровода со скоростью с, терпит искажение за счет бегущего относительно него возмущения с малой скоростью п=~2сХ вследствие наличия сопротивления Я.

В третьей главе приведена модификация математической модели для случая распространения волн гидроудара в трубопроводах с дефектами стенок. Моделирование наличия дефекта стенки осуществлялось с помощью учета переменности толщины стенки в поперечном сечении. Предполагалось, что трубопровод в поперечном сечении имеет форму кольца, у которого внутренняя граница поперечного сечения имеет вид окружности радиуса Ro, а радиус внешней границы Ri=Ro+h( 1+5* sin(0)), где h - константа, 6 - малый параметр (0<5<1), который позволяет моделировать дефекты в виде локальных утончений стенки. Нахождение напряжений и деформаций в дефектной стенке осуществлялось с помощью разложения решения в ряд по малому параметру 8.

В предположении упругого плоского напряженного состояния, учитывающего нормальные и касательные напряжения, приведены выражения для скорости распространения волны гидроудара, а также для напряжений, деформаций и перемещений стенки. Полученные соотношения позволяют анализировать влияние дефектов стенки на прочностные свойства трубопровода. Установлено, что наличие локального утончения стенки Ш приводит к уменьшению скорости распространения волны, уменьшению амплитуды колебания давления и потере прочности трубопровода.

Для учета анизотропного характера материала стенок, рассматривалось напряженное состояние трубопровода с ортотропными стенками переменного поперечного сечения. Основываясь на сделанных предположениях, приведены выражения, определяющие скорость распространения волны гидроудара, а также для напряжений, деформаций и перемещений стенки трубопровода. Приведены соотношения, определяющие ^ критическое давление, при котором происходит разрыв материала стенки трубопровода с учетом влияние утончения стенки.

Приведены оценки толщины пластической зоны при приложении критического давления исходя из условий упругопластического поведения изотропных стенок трубопровода. Предполагалось, что при распространении волны гидроудара внутри трубопровода давление жидкости достигло критической величины, и начали происходить пластические деформации стенки трубопровода. Тогда стенку трубопровода можно условно разбить на две зоны: упругую и пластическую. Полагалось, что если пластическая зона достигла внешней границы, то труба находится в состоянии полной пластичности и происходит ее разрушение. Получены соотношения, позволяющие оценить толщину стенки трубопровода, которую необходимо задать для обеспечения условия равнопрочности трубопровода при распространении скачка давления.

Четвертая глава посвящена математическому моделированию распространения волн гидроудара в трубопроводах, усиленных на поверхности сетчатой оболочкой. Рассматривались основные соотношения и уравнения для плоского напряженно - деформируемого состояния стенки трубопровода с учетом сетчатой оболочки. Предполагалось, что оболочка в процессе деформации остается упругой и подчиняется обобщенному закону Гука для анизотропного тела, а сетка оболочки состоит из волокон четырех семейств. При моделировании сетчатой оболочки статические и геометрические уравнения описывались соответствующими уравнениями теории сплошных оболочек. Уравнения состояния зависят от структуры сетки и ее материала и аналогичны уравнениям анизотропных оболочек. Полагая, что все волокна сетки сделаны из одинакового материала и имеют одинаковую площадь поперечного сечения, при условии совпадения радиальных перемещений внешней границы стенки трубы и сетчатой оболочки, найдены соотношения для напряжений и перемещений стенки трубопровода, а также для скорости распространения волны гидроудара в т трубопроводе, усиленном сетчатой оболочкой. Полученные соотношения позволяют определять закономерность затухания скачков давления при распространении их в усиленном сетчатой оболочкой трубопроводе.

Для задачи о распространении волн давления произвольной формы в упругосжимаемых трубопроводах разработана программа, позволяющая строить распределение давления в трубопроводе при ламинарном и переходном режимах течения жидкости. Программа реализована в среде "WINDOWS - 98" для IBM - совместимых компьютеров на языке программирования "PASCAL" в интегрированной среде программирования

Delphi". Результаты работы представлены пользователю в виде значений компонент давления жидкости и в виде графиков для распределения давления в любой точке трубопровода.

4.7. Выводы к главе 4

Получены выражения для определения скорости распространения волны гидроудара и напряжений в стенке трубопровода, усиленного сетчатой оболочкой.

По сравнению с трубопроводом без сетчатой оболочки, наличие сетчатой оболочки приводит к увеличению скорости распространения волны гидроудара и к меньшему затуханию колебания давления при его распространении.

Проведен анализ прочности стенок трубопровода, усиленного сетчатой оболочкой с квадратной сеткой и показано, что относительное увеличение прочности будет тем больше, чем больше отношение величин

IS-gZlE^1.

Результаты численного эксперимента, проведенного с помощью программы, реализующей лучевой метод решения одномерной волновой задачи о распространении импульса давления в упругом трубопроводе переменного сечения, показали, что форма волны давления в процессе распространения вдоль трубопровода искажается сложным образом в зависимости от режима течения жидкости.

133

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Лучевое представление решения задачи о нестационарном течении жидкости в трубопроводах переменного сечения позволило установить что:

1.1 при турбулентном режиме течения жидкости существует качественное отличие закона затухания скачка давления в случаях распространения в подвижную и неподвижную жидкость состоящее в том, что в случае движения жидкости перед волной затухание происходит по экспоненциальному закону, а в случае покоя жидкости - по степенному закону;

1.2 при ламинарном режиме течения жидкости характер затухания скачка давления полностью определяется законом изменения площади поперечного сечения трубопровода, скоростью распространения волны гидроудара и величиной коэффициента кинематической вязкости жидкости;

1.3 передний фронт волны гидроудара, распространяясь вдоль трубопровода со скоростью с, терпит искажение за счет бегущего относительно него возмущения с малой скоростью —1ск вследствие наличия гидравлического сопротивления X. Таким образом, при распространении нелинейных волн точка максимума волны гидроудара движется со скоростью G=c( 1-2Х) меньшей, нежели скорость распространения с переднего фронта зоны возмущения.

Получены выражения, определяющие скорость распространения волны гидроудара и напряженное состояние трубопровода с учетом анизотропии и дефектов стенки трубопровода, а также наличия упрочнения трубопровода сетчатой оболочкой, которые показали, что: 2.1 Наличие дефекта трубопровода в виде локального утончения стенки приводит к уменьшению скорости распространения волны гидроудара, уменьшению амплитуды скачка давления и уменьшению прочности трубопровода;

2.2 по сравнению с трубопроводом без сетчатой оболочки, наличие сетчатой оболочки приводит к увеличению скорости распространения волны гидроудара, меньшему затуханию амплитуды скачка давления при его распространении и к увеличению прочности трубопровода.

3. Проведен анализ прочности стенок трубопровода при упруго -пластическом поведении материала стенок при различных режимах течения жидкости и показано, что при распространении волны гидроудара в трубопроводе с уменьшающимся переменным сечением и ламинарном режиме течения жидкости целесообразно утолщение стенки трубопровода на некотором удалении от точки Хо.

4. Результаты численного эксперимента, проведенного с помощью программы, реализующей лучевой метод решения одномерной волновой задачи о распространении импульса давления в упругом трубопроводе переменного сечения, показали, что форма волны давления в процессе распространения вдоль трубопровода искажается нелинейным образом в зависимости от режима течения жидкости.

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978.-351 с.

2. Алексеев А.С., Бабич В.М., Гельчинский Б.Я. Лучевой метод вычисления интенсивностей волновых фронтов//Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. V. Л., 1961. - С.2 - 24.

3. Альтшуль АД. Потери на трение в трубопроводах. М.: Стройиздат, 1963. -192 с.

4. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974. - 448 с.

5. Амбарцумян С.А., Мовисян Л.А. К вопросу распространения пульсовой волны//Механика полимеров. 1978. - №4. - С. 696 - 701.

6. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие. М.: Высш. шк., 1994. - 544 с.

7. Бабич В.М., Алексеев А.С. О лучевом методе вычисления интенсивности волновых фронтов// Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1958. -№1. - С. 9- 15.

8. Багдоев А.Г. Некоторые нелинейные задачи о движении сжимаемой жидкости. Ереван: Изд - во АН АрмССР, 1967. - 230 с.

9. Багдоев А. Г. Пространственные нестационарные движения сплошной среды с ударными волнами. Ереван: Изд - во АН АрмССР, 1961. - 276 с.

10. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. - 631 с.

11. Бегун Г.Б. Осесимметричные задачи прочности, устойчивости и колебаний сетчатого гиперболоида вращения. В кн.: Сб. трудов МИСИ, 1974. -№118. - С. 112-120.

12. Бидерман В.Л., Бухин Б.Л. Уравнения равновесия безмоментной сетчатой оболочки// Инж. журн. МТТ. 1966. - №1. - С.84 - 98.

13. Биофизика: Учеб. для студ. высш. учеб. заведений. М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. - 288 с.

14. Болотин В.В. Конечные деформации гибких трубопроводов//Труды МЭИ. — 1956. №19. - С. 272 - 291.

15. Болотин В.В. Основные уравнения теории армированных сред//Механика полимеров. 1965. - №2. - С. 34 - 39.

16. Быковцев Г.И., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998.-528 с.

17. Ванин Г.А., Семенюк Н.П., Емельянов Р.Ф. Устойчивость оболочек из армированных материалов. Киев: «Наукова думка», 1978. - 212 с.

18. Вервейко Н.Д. Лучевая теория упруговязкопластических волн и волн гидроудара. Воронеж: ВГУ, 1997. - 204 с.

19. Вервейко Н.Д. Лучевой метод расчета гидроудара в линии с сопротивлением// Изв. Вузов. Машиностроение. 1983. - № 10. - С. 65 - 69.

20. Вервейко Н.Д. Расчет головной волны гидроудара в линии с переменными параметрами// Дифференциальные уравнения и их приложения: Сб. науч. тр. Воронеж, 1985. - С. 3 - 7.

21. Вервейко Н.Д., Сумец П.П. Распространение пульсовых волн в нелинейно-упругих сосудах// Материалы II Всероссийской научно технической конференции «Теория конфликта и ее приложения». — Воронеж: ВГТА, 2002.-С.34.

22. Виноградова М. Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979.-383 с.

23. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Численные методы расчёта одномерных систем. Новосибирск: Наука, 1981. - 208 с.

24. Волобуев А.Н., Неганов В.А. Возникновение нелинейного уравнения Шредингера с логарифмической нелинейностью в физических задачах// Вестник новых медицинских технологий. 2002 - т. IX. - №4. - С. 81-84.

25. Волобуев А Н., Неганов В.А. Вырождение турбулентности в аорте//Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2001-т.4-№1,- С.52-56.

26. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи гидроупругости. -М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. -320 с.

27. Вольмир А.С., Грач М.С. Колебания оболочки с протекающей жидкостью// МТТ. 1973. - №6. - С. 162 - 166.

28. Вольмир А.С., Герштейн М.С., Пуриня Б.А. Гидроупругие явления в зоне бифуркации аорты//Механика полимеров. 1971. -№1. - С. 164-166

29. Воробьев А.М., Никулин Г.Н., Крюков Ю.Н. и др. Расчет параметров ударных волн в каналах переменного сечения// Гидрогазодинамика одной и многофазных сред. Ташкент, 1986. - С.57 - 67.

30. Гаврилюк КВ., Кошелев В.Б., Лукшин А.В. Метод точечных маркеров в задачах гемодинамики/ Ин т прикл. мат. РАН// Препр. 10,1997. - С. 1-22.

31. Герштейн М.С., Когутовский В.В. Динамика артерии как многослойной оболочки с протекающей жидкостью//Механика полимеров. 1975. - №5. -С. 868 - 870.

32. Гинзбург И.П. Прикладная гидрогазодинамика.-Л.: Изд-во ЛГУ, 1958-338 с.

33. Гире Т. Возбуждение колебаний упругой цилиндрической оболочки при воздействии переходной акустической волны// Тр. Амер. о-ва инж.-мех. ПМ. 1969. - т.36. - №3. - С.82 - 91.

34. Годунов С.К. Уравнения математической физики М.: Наука, 1971 - 416 с.

35. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехиздат, 1953.-544 с.

36. Григорюк Э.И. Проблемы взаимодействия оболочек с жидкостью//Труды VH Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок.-М.:Наука, 1970.-С.755-778.

37. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек. -Л: Судостроение, 1974.-208 с.

38. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. - 336 с.

39. Григорян Р.Д. Математическая модель сердечно сосудистой системы человека. - В сб.: Биологическая, медицинская кибернетика и бионика. -Киев: ИК АН УССР, 1984. - 106 с.

40. Грузь А.Н., Кубенко В. Д., Бабаева А.Э. Гидроупругость систем оболочек -Киев: Высш. школа, 1984. 206 с.

41. Дин, Ли. Исследование распространения волнового фронта в композиционных материалах// Тр. Амер. о-ва инж.-мех. ПМ. -1969. -т.36.-№3.-С. 122-131.

42. Добролюбов А.И. Волновые движения деформируемых тел и жидкостей: Кинематика и массоперенос. Мн.: Наука и техника, 1989. - 94 с.

43. Ивлев ДД Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. - 232 с.

44. Идельчик И.Е. Гидравлические сопротивления. М.: Госэнергоиздат, 1954. -316 с.

45. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. М.: Машиностроение, 1975. - 559 с.

46. Ильгамов М.А., Камалов А.З. Колебания цилиндрической оболочки конечной длины в акустической среде. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань, 1966. - С. 367 - 376.

47. Исмагилова С.Р., Лежнева А.Н., Шакиров Н.В. Исследование течения крови в крупных кровеносных сосудах// Russ. J. Biomech. 2. 1999. - С. 60.

48. Каро К, Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения. М.: Мир, 1981.-372 с.

49. Катаев В.П. Нелинейные колебания трубопроводов с протекающей жидкостью/ЛГидроаэромеханика и теория упругости. 1972. - Вып. 14.-С.72-77.

50. Катаев В.П., Плуталов А.Е. Динамика трубопроводов с нестационарным потоком жидкости.//Изв. вузов. Авиац. Техника 1971. - №2. - С. 95 - 97.

51. Каюк Я.Ф. Геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек. -Киев: «Наукова думка», 1987. 208 с.

52. Ковревский А.П. Динамика трубопроводов, содержащих неустановившийся поток жидкости//Прикл. механика. 1970. - Т. 6. - Вып. 8. - С. 97 - 102.

53. Коппель Т.А., Лийв У.Р. Экспериментальное исследование возникновения движения жидкости в трубопроводах//Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. - №6. -С.79.

54. Коул. Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. - 274 с.

55. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1962. - 766 с.5 8. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т2. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 424 с.

56. Кучер В.И., Каштан Б.М. Лучевой метод для изотропной неоднородной упругой среды. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1999. - 167 с.

57. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. -М.: Наука, 1988. 763 с.

58. Лайтфут Э. Явление переноса в живых системах. М.: Мир, 1977. - 520 с.

59. Левтов В.А., Регирер С.А., Шадрина Н.Х. Реология крови. М.: Медицина, 1982.- 188 с.

60. Лищук В. А Математическая теория кровообращения. М.: Медицина, 1991. -256 с.

61. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Гос. из дат. технико -теорет. лит., 1957. - 784 с.

62. Луковенко С.А., Пшеничное Г.И. Колебания и устойчивость сетчатых цилиндрических оболочек с ромбической сеткой//Строительная механика и расчет сооружений. 1975. - №4. - С.34 - 38.

63. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.: ИЛ, 1961.-234 с.

64. Морман Д., Хеллер Л. Физиология сердечно сосудистой системы. - СПб.: Питер, 2000. - 256 с.

65. Натанзон М.С. Параметрические колебания трубопровода, возбуждаемые пульсирующим расходом жидкости//Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1962. - №4. - С. 42 - 46.

66. Никитин Л. В. Модель биоупругого тела//Механика твердого тела. 1971. -№3. - С. 154-157.

67. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

68. Павловский Ю.Н, Регирер С.А., Скобелева И.М. Гидродинамика крови. В кн.: Гидромеханика, 1968. - М.: ВИНИЩ 1970. - С. 5 - 96.

69. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1983. - 312 с.

70. Патрашев А.Н. Гидромеханика. М.: Изд-во Военно-Морского министерства ССР, 1953. - 720 с.

71. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М.: Мир, 1983. -400 с.

72. Петрашень Г.И Основы математической теории распространения упругих волн. Л.: Наука, 1978. - 220 с.

73. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. Л.: Наука, 1980. - 280 с.

74. Подгорный А.Н., Грузь И.С., Дружинин А.Г. Волновой фронт, возбуждаемый нестационарным источником в однородной анизотропной среде// Прикладная механика. 1976. - Т. 12. - №12. - С. 28 - 34.

75. Подильчук Ю.Н, Рубцов Ю.К. Лучевые методы в теории распространения и рассеяния волн. Киев: Наук, думка, 1988. - 220 с.

76. Подильчук Ю.Н., Рубцов Ю.К., Сорока П.Н. Применение метода лучевых рядов в осесимметричных акустических задачах импульсного излучения//

77. Мат. физика и нелинейная механика. 1987. - №8(42). - С. 77 - 82.

78. Подольцев А.С., Шульман З.П. Численное моделирование гемодинамики и биомеханики артериальной системы//Инж.-физ. ж. 3. 1999. - Т.72. -С. 450-457.

79. Поляков К. А. Моделирование динамических процессов в газожидкостных трактах переменного сечения: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Самара, 2003. -16 с.

80. Пономарев В.В. Расчет сетчатых оболочек вращения по безмоментной ft теории с учетом краевых эффектов//Строительство и архитектура. Известиявысших учебных заведений, Новосибирск. 1979. -№11.- С.64 - 68.

81. Пшеничнов Г.И. Точные решения некоторых задач о колебаниях жидкости в упругих безмоментных оболочках//ПММ. -1971. -Т.35.-Вып.4. С.739-744.

82. Пшеничное Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок. -М.: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1982. -352 с.

83. Рачев А. И. Распространение пульсовой волны в артериальных сосудах с учетом предварительных напряжений и мышечной активности//Механика полимеров. 1978. - №2. - С. 301 - 311.

84. Регирер С. А. Гидродинамика кровообращения. М.: Мир, 1971. - 234 с.

85. Регирер С.А. Некоторые вопросы гидродинамики кровообращения. В сб. переводов: Гидродинамика кровообращения. - М.: Мир, 1971. - С. 242 - 258.

86. Регирер С.А., Руткевич И.М., Усик П.И. Модель сосудистого тонуса//Механика полимеров. 1975. - №4. - С. 585 - 589.

87. Рейнер М. Реология. М.: Наука, 1965. - 223 с.

88. Ридель В.В., Гулин Б.В. Динамика мягких оболочек М.: Наука, 1990.-205с. £ 91. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их