автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование волновых процессов в вязкоупругих оболочках и оболочках с конструкционным демпфированием, взаимодействующих с вязкой жидкостью

г'

На правах рукописи

БЛИНКОВА АНАСТАСИЯ ЮРЬЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ВЯЗКОУПРУГИХ ОБОЛОЧКАХ И

ОБОЛОЧКАХ С КОНСТРУКЦИОННЫМ ДЕМПФИРОВАНИЕМ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005570347

Саратов 2015

005570347

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Попов Виктор Сергеевич

Научный консультант: доктор технических наук, профессор Могилевич Лев Ильич

Официальные оппоненты: Вельмисов Петр Александрович

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный технический университет» заведующий кафедрой «Высшая математика»

Кондратова Юлия Николаевна кандидат физико-математических наук, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», доцент кафедры «Математическая кибернетика и компьютерные науки»

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»

Зашита состоится « 27 » апреля 2015 г. в 13.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, корп. 1 . ауд. 319 .

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77.

Автореферат разослан« ^ » марта 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А. А. Терентьев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исследование распространения волн деформации в упругих, и вязкоупругих средах является важным направлением в современной волновой динамике. Моделирование и исследование волн деформаций в геометрически и физически нелинейных упругих и вязкоупругих стержнях и пластинах проведено в работах Nariboli J.A., Sedov А., У.К. Нигула, Л.А. Островского, A.M. Сутина, В.И. Ерофеева, А.И. Потапова, Солдатова И.Н., а в оболочках — в работах Л.И. Могилевича, А.И. Земля-нухина, Г.А. Аршинова, В.М. Катсона.

В этих работах с помощью метода многих масштабов из уравнений динамики упругих и вязкоупругих конструкций выведены уравнения, имеющие точные решения, такие как уравнения Кортевега - де Вриза (КдВ), Кортевега - де Вриза - Бюргерса (КдВБ), модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза (МКдВ), модифицированное уравнение Кортевега -де Вриза - Бюргерса (МКдВБ), уравнение Кадомцева - Петвиашвили уравнение Кадомцева - Петвиашвили - Бюргерса. Данные уравнения имеют точные решения, описывающие уединенные нелинейные волны деформаций, распространяющиеся без изменения формы и амплитуды, с постоянной скоростью.

В работах Л.И. Могилевича, Ю.А. Блинкова, И.А. Ковалевой и C.B. Иванова исследуется волны деформации в упругих оболочках и упругих соосных оболочках, взаимодействующих с вязкой несжимаемой жидкостью. В этих работах показано, что амплитуда волны в процессе её движения может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от величины коэффициента Пуассона материала оболочки, то есть наличие жидкости приводит к разрушению уединенной волны. При этом уравнение, описывающее волновой процесс, не имеет точного решения, поэтому это явление было обнаружено и исследовано при помощи компьютерного моделирования. Наличие слоя жидкости между соосными упругими оболочками приводит к связанной системе уравнений, описывающей волновой процесс в оболочках, и имеющей точное решение. Однако особый интерес представляло развитие волн деформаций во внутренней оболочке при наличии возмущения во внешней оболочке, что также потребовало компьютерного моделирования. Переход от непрерывной модели к дискретной осуществлялся с помощью техники базисов Грёбнера, изложенной в работах Ю. А. Блинкова, В. П. Гердта, В. В. Мозжилкина.

Однако в этих работах отсутствуют исследования влияния на волновой процесс взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с оболочками из вязкоупругого материала и оболочками из материала с конструкционным демпфированием. В реальных элементах конструкций под вязкоупру-гостью понимаются такие реономные свойства материала, как ползучесть

и релаксация, которые проявляются одновременно и взаимосвязанно. Их можно отразить аналитически, вводя время í в связь напряжений и деформаций твердого тела. Предложенный Больцманом способ описания этой взаимосвязи основан на предположении о влиянии всего предшествующего времени действия напряжений на деформацию в данный момент. В инженерной практике для учета вязких свойств материала оболочки широко применяют подход, связанный с введением в уравнения оболочки дополнительного члена, который пропорционален скорости прогиба оболочки. Такие оболочки называют оболочками с конструкционным демпфированием. Вышеизложенное определило актуальность и цель данной работы.

Целью работы является развитие методов математического и компьютерного моделирования процессов нелинейной волновой динамики вязко-упругих цилиндрических оболочек, упругих цилиндрических оболочек с учетом конструкционного демпфирования и соосных вязкоупругих цилиндрических оболочек, взаимодействующих с вязкой несжимаемой жидкостью, на основе методов компьютерной алгебры с использованием базисов Грёбнера.

Задачи работы. Поставлены следующие задачи:

- вывод эволюционных уравнений, моделирующих распространение волн деформаций в вязкоупругих цилиндрических оболочках и упругих цилиндрических оболочках с учетом конструкционного демпфирования, содержащих внутри вязкую несжимаемую жидкость;

- вывод эволюционных уравнений, моделирующих распространение волн деформаций в соосных вязкоупругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними;

- генерация разностных схем для решения полученных уравнений, обобщающих уравнение КдВБ и уравнение МКдВБ, с использованием компьютерной алгебры и базиса Грёбнера;

- численное исследование моделей вязкоупругих цилиндрических оболочек и упругих цилиндрических оболочек с учетом конструкционного демпфирования, содержащих внутри вязкую несжимаемую жидкость, а также соосных вязкоупругих цилиндрических оболочек, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними.

Научная новизна:

- построены новые математические модели волновых движений в бесконечно длинных вязкоупругих цилиндрических оболочках и упругих цилиндрических оболочках с учетом конструкционного демпфирования, отличающиеся от известных учетом наличия внутри них вязкой несжимаемой жидкости, на базе связанных уравнений динамики оболочек и вязкой несжимаемой жидкости с соответствующими краевыми условиями, в виде обобщенных уравнений КдВБ и МКдВБ;

- построены новые математические модели волновых движений в бесконечно длинных соосных вязкоупругих цилиндрических оболочках, отличающиеся от известных учетом наличия вязкой несжимаемой жидкости между оболочками, на базе связанных уравнений динамики оболочек и вязкой несжимаемой жидкости с соответствующими краевыми условиями, в виде системы обобщенных уравнений КдВБ иМКдВБ;

- применен алгоритмический метод построения базиса Грёбнера при генерации разностных схем для численного решения полученных уравнений, обобщающих уравнения КдВБ и МКдВБ, и анализа распространения нелинейных волн деформаций в вязкоупругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, и систем аналогичных уравнений для соосных вязкоупругих цилиндрических оболочек, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними;

- для рассмотренных уравнений и систем уравнений с учетом наличия жидкости сгенерированы разностные схемы типа Кранка-Ннколсона, полученные построением базисов Грёбнера. Для генерации разностных схем использовались базовые интегральные разностные соотношения, аппроксимирующие исходную систему уравнений;

- на основе полученного вычислительного алгоритма разработан комплекс программ с использованием пакета SciPy для численного решения задач Коши и построения графиков соответствующих уравнений КдВБ и МКдВБ, когда в качестве начального условия принимаются точные решения, имеющие место при отсутствии влияния жидкости;

- с помощью разработанного программного комплекса проведены вычислительные эксперименты, позволившие выявить новый эффект влияния вязкой несжимаемой жидкости на поведение волны деформаций в оболочках и в соосных оболочках.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах кафедры «Теплогазоснабжение, вентиляция, водообеспечение и прикладная гидрогазодинамика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А., кафедры «Математического и компьютерного моделирования» Саратовского государственного университета имени Н. Г. Чернышевского, на Международной научной конференции «International Conference Polynomial Computer Algebra», Санкт-Петербург, 2012; Международной научной конференции «Компьютерные науки и информационные технологии», Саратов, 2012; Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-25), Волгоград, 2012, 2-ой Международной научно-практической конференции «Ресурсоэнергоэффектнвные технологии в

строительном комплексе», САДИ СГТУ, Саратов. 2014, Международной научно-технической конференции «Математические методы и модели: теория, приложения и роль в образовании», Ульяновск, 2014.

Достоверность полученных результатов. Построение новых математических моделей проводится на основе известной теории оболочек и уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости. Вывод нового нелинейного уравнения для волн деформаций в вязкоупругих цилиндрических оболочках и упругих цилиндрических оболочках с учетом конструкционного демпфирования, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, проведен с помощью апробированного асимптотического метода малого параметра, корректность которого обоснована в литературе по асимптотическим методам. Анализ предложенной математической модели проводится с использованием известных методов компьютерной алгебры.

В диссертации для рассматриваемого класса нелинейных дифференциальных уравнений построены разностные схемы типа Кранка-Николсона с применением интегро-интерполяционного метода и техники базисов Грёб-нера. Они были проверены на большом классе точных решений.

Кроме того, разработанные программы для численного решения выведенных уравнений протестированы на точных частных решениях известных уравнений, являющихся частным случаем полученных уравнений.

Все положения, сформулированные в диссертации, обоснованы математически.

Практическая значимость. Полученные результаты могут использоваться для диагностики поврежденности материалов акустическими методами. Использование данных моделей, в свою очередь, позволит существенно расширить возможности анализа экспериментальных данных по исследованию систем подачи топлива, систем охлаждения для авиакосмической техники и т.д., динамика которых носит принципиально нелинейный характер.

Теоретическая значимость работы заключается в развитии и применении методов компьютерной алгебры для моделирования и исследования процессов распространения нелинейных дисперсионных волн в вязкоупругих цилиндрических оболочках и упругих цилиндрических оболочках с учетом конструкционного демпфирования, содержащих вязкую несжимаемую жидкость. Результаты работы позволяют выявить новые закономерности в процессе распространения нелинейных дисперсионных волн в вязко-упругих соосных бесконечно длинных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними, и могут послужить созданию фундаментального научного задела в области математического и численного моделирования нелинейных волн в упругой среде, взаимодействующей с жидкостью. Материалы работы могут быть использованы в

лекционных курсах по математическому моделированию, механике деформируемого твердого тела, компьютерной алгебре, численным методам.

Работа выполнена в рамках госбюджетной научно-исследовательской работы СГТУ имени Гагарина Ю.А. 11В.02. «Фундаментальные и прикладные проблемы теплогазоснабжения, водообеспечения, гидрогазодинамики и гидроупругости»; гранта РФФИ 13-01-00049а «Нелинейные дисперсионные волны в упругих оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость», гранта Президента РФ МК-1696.2014.8 «Задачи упругогидродина-мики однородной и трехслойной пластины и твердого штампа, образующих стенки канала, содержащего пульсирующий слой вязкой несжимаемой жидкости, в условиях вибрации основания» и госбюджетной научно-исследовательской работы СГТУ-5 «Исследование взаимодействия пульсирующего слоя вязкой жидкости с упругими стенками канала, установленного на вибрирующем основании», выполняемой по заказу Министерства образования и науки РФ.

На защиту выносятся следующие положения:

- новые математические модели в виде нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений в частных производных, обобщающих уравнения КдВБ и МКдВБ, позволяют описывать волновые процессы в вязкоупругих цилиндрических оболочках и упругих цилиндрических оболочках с учетом конструкционного демпфирования, содержащих вязкую несжимаемую жидкость внутри, и в соосных вязко-упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними;

- применение компьютерной алгебры, в частности базисов Грёбнера, позволяет генерировать разностные схемы для численного исследования полученных моделей;

- результаты численного исследования волновых процессов в вязко-упругих цилиндрических оболочках и упругих цилиндрических оболочках с учетом конструкционного демпфирования, содержащих внутри вязкую несжимаемую жидкость, показывают зависимость поведение волны от значения введенного параметра, характеризующего вязкоупругие свойства материала оболочки, аналогичного коэффициенту Пуассона для упругой среды, а также сглаживание профиля волны деформации и колебаний, возникающих за ее фронтом;

- результаты численного исследования волновых процессов в соосных вязкоупругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними, показывают, что наличие волны деформации во внешней оболочке приводит к возникновению волны деформаций во внутренней оболочке, в которой данной волны не было. Этот процесс сопровождается выравниванием амплитуд и скоро-

стей волн в оболочках и сглаживанием профиля волны деформации и колебаний, возникающих за ее фронтом.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 17 научных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы, включающего 108 наименований, четырех приложений и содержит 96 страниц наборного текста.

Основное содержание работы

Во введении изложена история вопроса, обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель, задачи, научная новизна исследования, показана практическая значимость полученных результатов, представлены положения, выносимые на защиту.

В первом разделе рассматри- ^'оТ ваются вопросы построения математической модели распространения нелинейных продольных волн деформации в бесконечно длинной вязкоупругой цилиндрической оболочке, заполненной вязкой несжимаемой жидкостью. Исследование

Рисунок 1 — Осесимметричная цилиндри-ведется в осесимметричнои поста- *™*болочка

новке при малых перемещениях. При этом считается, что в начальный момент времени в произвольном поперечном сечении оболочки сформировано возмущение со структурой ударной волны, которое с течением времени начинает свое распространение в продольном направлении (рисунок 1).

Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат г, х), х записываются в случае осесимметричного течения в виде

— + grad -V2 + rot V х V + - gradр = -i/ rot rot V, div V = 0. (1)

На границе оболочек и жидкости на рисунке 1 при г = Я1 - IV выполняются условия прилипания жидкости в подходе Лагранжа

Здесь £ - время; Уг. I7,. - проекции вектора скорости жидкости на оси цилиндрической системы координат вектора скорости; р - давление; р -плотность; и - кинематический коэффициент вязкости; и - продольное упругое перемещение оболочек по оси х\ IV - прогиб, положительный к центру кривизны оболочки; Й! - внутренний радиус оболочки, И. - радиус срединной поверхности оболочки, /г0 - толщина оболочки (7г0 = 2 (Я-ДО) и Л0 « Д.

Напряжения со стороны слоя жидкости определяются формулами

Я п =

-р + 2ри-

дц.

дг

Чх

7-Л1-И'

^ дг дх

(3)

Принимая за характерную длину I длину волны деформации, введем безразмерные переменные и параметры

IV = и'ти3, и = итщ, рис-аки

Уг

Р = Ро + -

$

со Со

Щп-гУг, Ух = и>т—ух I П\

р Г- = _1 ж- = £ г = %

' ЯГ Г Г'

(4)

и»г ^ 1 / ^ч / ч ^, N ^ / А

Т = Е<и = Т = 0(£.)1> = - = о(£),- = о(Е.).

Здесь со скорость звука в материале оболочки, определяемая модулем Юнга, коэффициентом Пуассона плотностью материала оболочки; -ф, А, е малые параметры задачи; ют, ит амплитуды упругих перемещений.

Рассмотрим нулевое приближение по малому параметру тр = (гидродинамическая теория смазки), то есть положим V = 0, а также считаем течение ползущим и положим уЩ^1 = 0, что справедливо для тонких трубок (с очень малым радиусом Я\). В результате этих приближений уравнения гидродинамики (1) примут вид

дР дг'

= 0,

дР дх'

1 д__ г" дг*

дг'

13 дих

— —(г Уг) + — г дг дх

= 0. (5)

Рассматривая нулевое приближение по малому параметру А, входящему в граничные условия (2). снесем их на невозмущенную поверхность и получим

V, =

ди3

дь-'

,диг дг'

V,

итП\ дщ

при г

Щп1 дг

• —— = 0 при г дг'

= 1,

Определим теперь в этих переменных напряжения (3) со стороны жидкости, действующие на оболочке. В нулевом приближении по малым параметрам А и ф при г' = 1 получим

Чп =

<7.г =

рисаЫ,,

Щ

рисци<т д

Щ1 д1*

1ы,плг д Г 1итД! [ ,

дг} .2

дх"

1ЦП1Д1 2 ад,

Г А •

—- / гíзdx

(7)

Рассмотрим случай вязкоупругой цилиндрической оболочки. В случае осевой симметрии, используя гипотезу Кирхгофа-Лява, имеем связь между компонентами деформаций ех , су перемещений

£т <9.г г + 2 {дх г дх2 ) +2 \Ш')

Я

IV, (8)

где 2 - расстояние от срединой поверхности оболочки. Связь между компонентами напряжений ах, ау и деформаций зададим уравнениями квадратичной теории вязкоупругости, учитывающей линейную упругость объемных деформаций

■ = + ^ - ~ПГГа [ + ае1)ехйт,

1 ~ Ро 1 + Ро J-x

1 - Мо ± -г Ро J-oc

(9)

Здесь Е - модуль Юнга, ца - коэффициент Пуассона материала оболочек (считая их одинаковыми), I - время; а, ¡3, а - параметры вязкоупругости; е\ - квадрат интенсивности деформаций, ех, еу - компоненты девиатора деформаций

'у £х£у)1 ех ~ 2)£х еУ ~ ч£У ~

2 1

зе» ~ зг

(10)

Разлагая функции (1 + ае\)ех, (1 +' ае2и)еу в ряд Тейлора по степеням (£ — т), при условии /3£ > 1 сохраняем два члена разложения из формул (9) получим приближенные уравнения состояния

ах = , _ 2(£Х + Ра£у) + Р -1 Ра

Е , .

<*У = -I ,ЛЕУ + Р0£:г) + р 1 Р о

2 1 ,2 ,

- + а{еиех)

З^у - з^- + а{£уеу)

где введен оператор р, такой, что р / = ~ |/)•

Вычислим с использованием (11) усилия и моменты по формулам

.¿п £а »а *ц

= Д <ГД Д^ = ¡^ а,Аг, Л4 = ^ а^г, Д/„ = ^

и подставим (12)) в систему уравнений динамики оболочек

(12)

cbV. d2U

941* + 1 V + д fâW V ï ь

+ Ii*" + ~ Poho=

здесь h0 - толщина оболочки; qx,qn напряжения (7), действующие со стороны жидкости на поверхность оболочки, снесенные на невозмущенную поверхность оболочки (И" <С R).

Принимая за характерную длину длину волны деформации I, перейдем к безразмерным переменным (4) для исследования уравнений динамики оболочек (8)-(13) с учетом с0 = л/ ,,Е

Y Лн*-/£о)

Так, как Rx ^ /?, положим

а = ОГ1), | = 0(1), = 0{е), | = | = 0(£), (14)

где f << 1 - малый параметр задачи. Применим метод двухмасштабных разложений, вводя независимые переменные в виде Ç = х' - et", т = et", где с - неизвестная безразмерная скорость волны, а зависимые переменные представлены в виде разложения по малому параметру е:

«1 = «ю + £«п + .... u3 = ii30+£u3i +... (15)

Подставляя (15) в уравнения (13) с учетом оценок (14), получим в нулевом приближении по г линейную систему уравнений, из которой следует связь

um duw Mo + |(1 - /<0)3

-R«*> = «T-W i-fa-ЫЗ (16)

и определяется безразмерная скорость волны

(17)

с2 =

Из следующего приближения по s, учитывая (17), (7) и (16), находится уравнение для определения ищ:

д2щр , 2 г Я2 Э4Ц|[) I с и„ дщя д2иш _

0(0т f11 2 l2e di* 1"2к 0(, ОÇ2

- If (Y)2 §(I - й>)[1 + А'!4 + (1 + Ml)4] (^f )2 -

- - + m + - 2[1 - = о. (18)

При отсутствии жидкости (р = 0) последнее слагаемое выпадает и уравнение (18) превращается в модифицированное уравнение Кортевега-де Вриза-Бюргерса, для имеющее точное частное решение. В зависимости от физических параметров величина ¡¿i может быть больше 1 /2, меньше 1/2 или равна 1/2. Последний случай эквивалентен отсутствию жидкости, но означает, что она не влияет на волну деформации.

Легко видеть, что замена = c^ip, rj = ciÇ, t = с2т позволяет записать уравнение (18) в виде

f + + g - - <r2g - a* = 0. (19)

здесь a = 1 при < a = — 1 при > 1/2 и сг = 0 при ¡j,\ = 1/2. При сто = 1 и а = 0 уравнение (19) имеет следующее точное решение:

3<raT<72^Teky/^thik?i+(2k3+4Î-:èTplt} V =--(20)

Если оболочка физически линейна,то а = 0 (ci = 0) и получаем уравнение

+ = O (21)

и при <7 = 0 уравнение (21) имеет следующее точное решение:

V = + sè С1 Т 2 th (±>2* - иЛ) - th2 (±>23; - wi) ) . (22)

Если оболочка геометрически линейна, то получим уравнение

+ = (23)

которое а = 0 имеет точное решение (20) с <то = 0.

Далее в работе рассмотрена оболочка с конструкционным демпфированием в ее материале, характеризуемым величиной скорости прогиба умноженной на коэффициент конструкционного демпфирования, добавляемой к Даламберовой силе инерции. Уравнения динамики данной

оболочки записаны п безразмерных переменных (4) с учетом найденных напряжений со стороны жидкости (7). Затем, рассматривая асимптотические разложения (15) для оболочки с конструкционным демпфированием получено уравнение аналогичное (18), которое позволяет получить связь между коэффициентом конструкционного демпфирования и коэффициентами а, ,6 характеризующими вязкоупругие свойства материала. Используя замену ^ = с;^, т} = с^, £ = с2г и производя соответствующий подбор"постоянных сь Со, С;, для геометрически и физически нелинейной оболочки с конструкционным демпфированием получено уравнение (19). В частных случаях, для физически нелинейной оболочки - уравнение (21), для геометрически нелинейной - уравнение (23). Численные решения данных уравнений приведены в третьем разделе.

В втором разделе разработана математическая модель распространения нелинейных продольных волн деформации в двух бесконечно длинных вязкоупругих оболочках, между которыми находится вязкая несжимаемая жидкость. Рассматривается осесимметричная постановка при малых перемещениях. При этом считается, что в начальный момент времени в произвольном поперечном сечении внешней оболочки сформировано возмущение в виде ударной волны фронт, которой с течение времени распространяется в продольном направлении и является источником возбуждения продольной волны деформации во внутренней оболочке (рисунок 2).

Проведя вычисления, во многом аналогичные первому разделу, для со-осных вязкоупругих оболочек получена система двух уравнений (г = 1,2)

Рисунок 2 — Осеснмметрнчные оболочки с кольцевым ссчслшем оболочки

++ ¥ - - ^ - (-1),("(1) - ^

которая при = ¡р(2) имеет точное решение в виде (20).

Если оболочки физически линейны (а, = 0), то получаем систему двух уравнений (г = 1,2)

+ ( (25)

которая при с= </>(2) имеет точное решение г» виде (22).

Если оболочки геометрически линейны, получим систему двух уравнений (г — 1, 2)

^ + ^ - - - (-1) V11 - ^ = 0.

которые при (р'1' = 'р^К со = 0 имеют точное решение (20).

В третьем разделе строятся разностные схемы для уравнений полученных в первом и втором разделах, используя технику базисов Грёбнера.

Так, для уравнения (19) при и" = построена разностная схема,

используя технику базисов Грёбнера

ц?+1-ц", о + —;—4Тг--

~ ^-4Л---4Л-+

(иЩ - 2+ 2- + (ц;+2 - 2ц?+1 + 2иЧ_х -

4/г3 и"+1 + и? - 3 2 > = 0.

(27)

Для системы уравнений (24) при = <Р^>{1п-,'П]) аналогично выведена разностная схема

--Ь осго- ---- ---

— 2(71

4/г

4/1

(^"Й-^П)-!-^-^) (28)

-<х2---+

1 ' 2

Выполненные вычислительные эксперименты позволили оценить влияние вязкой несжимаемой жидкости на поведение нелинейной волны деформации в бесконечно длинной оболочке в зависимости от введенного параметра характеризующего вязкоупругие свойства материала оболочки, аналогичного коэффициенту Пуассона для упругой среды. Наблюдается рост амплитуды волны при (1\ < 1/2 на рисунке 3 из-за нарушения балан-

са между нелинейностью и дисперсией с учетом демпфирования в пользу нелинейности, и падения амплитуды волны при > 1/2 на рисунке 4 из-за нарушения баланса между нелинейностью и дисперсией с учетом демпфирования в пользу дисперсии и диссипации. При = 1/2 влияние жидкости перестает сказываться.

Рисунок 3 — График численного решения уравнений (19) с начальным условием (20) при Л = 0 для 1р с к = 0.2 и для <тц = 1, ¡т1 — 1, а2 = 1.8 и а — 1

Рисунок 4 — График численного решения уравнений (19) с начальным условием (20) при 1 = 0 для р с к = 0.2 и для <т0 = 1. = 1, <т2 = 1.8 и <т = —1

При рассмотрении соосных оболочек, содержащих жидкость между ними, наличие волны деформаций во внешней оболочке приводит, как показано на рисунке 5, к возникновению волны деформаций во внутренней оболочке, которой не было в начальный момент времени. Процесс сопровождается немонотонным падением амплитуды волны во внешней оболочке, и, как следствие, немонотонным снижением скорости её распространения.

При этом во внутренней оболочке происходит немонотонное увеличение амплитуды волны. Вследствие колебаний амплитуд и скоростей, с течением времени их скорости и амплитуды выравниваются.

Рисунок 5 — График численного решения уравнений (24) с начальным условием (20) при г = 0 для V?'1' с к = 0.2 и для ^ = 1, <т2 = 1.8 и = О

Основные результаты работы и краткие выводы

1. Построены новые математические модели в виде нелинейных уравнений в частных производных, обобщающих уравнения КдВБ и МКдВБ, описывающие волновые процессы в вязкоупругих бесконечно длинных цилиндрических оболочках и упругих цилиндрических бесконечно длинных оболочках с учетом конструкционного демпфирования с вязкой несжимаемой жидкостью внутри. Показано, что уравнение, описывающее нелинейные волновые процессы в цилиндрической бесконечно длинной оболочке с учетом конструкционного демпфирования, содержащей жидкость внутри нее, можно привести к уравнению, описывающему распространение нелинейных волн деформации в вяз-

коупругой бесконечно длинной цилиндрической оболочке, заполненной жидкостью.

2. Построены новые математические модели в виде систем, включающих нелинейные уравнения в частных производных, обобщающие уравнения КдВБ и МКдВБ, описывающие волновые процессы в соос-ных вязкоупругих цилиндрических оболочках с вязкой несжимаемой жидкостью между ними.

3. На основе применения техники базисов Грёбнера сгенерированы разностные схемы, из которых путем эквивалентных преобразований могут быть получены дискретные аналоги законов сохранения исходных дифференциальных уравнений. Для полученных разностных схем создан программный комплекс «Кс1У» (Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ Ко 2013618390, зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 06.09.2013), позволяющий произвести необходимые расчеты и построить графики, наглядно показывающие динамику волнового процесса для численного исследования полученных моделей волновых процессов в бесконечно длинных оболочках.

4. Выполненные вычислительные эксперименты позволили оценить влияние вязкой несжимаемой жидкости на поведение нелинейной волны деформации в бесконечно длинной оболочке в зависимости от введенного параметра /¿ь характеризующего вязкоупругие свойства материала оболочки, аналогичного коэффициенту Пуассона для упругой среды. Наблюдается рост амплитуды волны при ц\ < 1/2, из-за нарушения баланса между нелинейностью и дисперсией с учетом демпфирования в пользу нелинейности, и падения амплитуды волны при (11 > 1/2, из-за нарушения баланса между нелинейностью и дисперсией с учетом демпфирования в пользу дисперсии и диссипации. При их = 1/2 влияние жидкости перестает сказываться. Распространение нелинейных волн деформаций в вязкоупругих бесконечно длинных цилиндрических оболочках, содержащих внутри вязкую несжимаемую жидкость, сопровождается сглаживанием профиля волны и колебаний возникающих за ее фронтом за счет диссипации.

5. При рассмотрении соосных оболочек, содержащих жидкость между ними, наличие волны деформаций во внешней оболочке приводит к возникновению волны деформаций во внутренней оболочке, которой не было в начальный момент времени. Процесс сопровождается немонотонным падением амплитуды волны во внешней оболочке, и, как следствие, немонотонным снижением скорости её распространения. При этом во внутренней оболочке происходит немонотон-

ное увеличение амплитуды волны. Вследствие колебаний амплитуд и скоростей с течением времени их скорости и амплитуды выравниваются. За счет рассеяния энергии в вязкоупругом материале соосных оболочек происходит сглаживание профиля волны деформации и колебаний, возникающих за ее фронтом.

Основные публикации по теме диссертации В изданиях, рекомендованных ВАК РФ 1

1. Распространение волн деформации в двух упругих цилиндрических оболочках, между которыми находится вязкая жидкость / А. Ю. Блинкова, И. А. Ковалева, Л. И. Могилевич, В. С. Попов // Вестник Саратовского государственного технического университета.—2011,—Т. 4, № 1.—С. 7-12.

2. Математическое и компьютерное моделирование динамики нелинейных волн в физически нелинейных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, А. Д. Ковалев, Л. И. Могилевич // Известия Саратовского университета. Новая серия. Физика. — 2012. — Т. 12, № 2. — С. 12-18.

3. Блинкова А. Ю. Моделирование нелинейных волн деформаций в физически линейных вязкоупругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость // Вестник Саратовского государственного технического университета. — 2012. — Т. 4, № 1. — С. 7-15.

4. Математическое и компьютерное моделирование динамики нелинейных волн в соосных физически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними / А. Ю. Блинкова, А. Д. Ковалев, И. А. Ковалева, Л. И. Могилевич // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. — 2012, — Т. 12, № 3. — С. 96-104.

5. Блинкова А. Ю., Блинков Ю. А., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую жидкость между ними, с учетом рассеяния энергии // Вычислительная механика сплошных сред. — 2013. — Т. 6, № 3. — С. 336-345.

6. Блинкова А. Ю., Блинков Ю. А., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, с учетом рассеяния энергии // Вестник Московского авиационного института. — 2013. — Т. 20, № 3. — С. 186-195.

7. Нелинейные волны в вязкоупругой цилиндрической оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость и окруженной упругой сре-

'http://elibrary.ru/author_items. азр?аиг1юг1<1«б61236

дой / А. 10. Блинкова, С. В. Иванов, Е. JI. Кузнецова, Л. И. Моги-левич // Электронный журнал "Труды МАИ".— 2014.— №. 78.— С. 18.

В прочих изданиях

8. Блинкова А. Ю., Иванов С. В., Могилевнч Л. И. Нелинейные волны деформаций в упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость // Магистраль: межвуз. сб. науч. статей. Саратов: Издательский центр «Наука».. — 2011. — № 3. — С. 3-11.

9. Блинкова А. Ю., Ковалева И. А., Иванов С. В. Оценка взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с упругими стенками трубы кругового и кольцевого сечений при воздействии волны деформации // Прикладная математика и механика : сб. науч. трудов.— 2011,— С. 104-116.

10. Блинкова А. Ю. Взаимодействие вязкой несжимаемой жидкости с вязкоупругими стенками трубы кругового сечения при воздействии волны деформации // Математика. Механика. Саратов: Издательство Саратовского государственного университета, 2012. — № 3. — С. 101-104.

11. Blinkova A. Yu., Kovaleva I. A. The Application of Grôbner bases to the construction of solutions to some nonlinear wave hydroelasticity problem H International Conférence Polynomial Computer Algebra '2012. — St-Petersburg, Russia, 2012. — P. 16-19.

12. Блинкова A. Ю., Ковалева И. A., Могилевич Л. И. Математическое моделирование динамики взаимодействия физически и геометрически нелинейных упругих цилиндрических оболочек с вязкой несжимаемой жидкостью между ними при воздействии волны деформации // Компьютерные науки и информационные технологии: материалы Междунар. науч. конф. — Саратов: Изд. центр «Наука», 2012. — С. 45-46.

13. Волны деформации в двух упругих цилиндрических оболочках, между которыми находится вязкая жидкость / А. Ю. Блинкова, А. Д. Ковалев, Л. И. Могилевнч, В. С. Попов // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-25: сб. тр. XXV Междунар. науч. конф. Волгоград: Волгогр. гос. техн. ун-т, Т. 3.— 2012.— С. 11-13.

14. Блинкова А. Ю., Могилевич Л. И. Математическое моделирование нелинейных волн в упругой цилиндрической оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость, с учетом конструкционного демпфирования // Проблемы управления, обработки и передачи информации (АТМ-2013) : сб. тр. III Междунар. науч. конф. Саратов, Т. 20. — 2013, —С. 116-124.

15. Блинкова А. Ю. Нелинейные волны деформаций в вязкоупругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую жидкость // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-26 : сб. тр. XXVI Междунар. науч. конф., Н. Новгород, 27-30 мая 2013 г.— Т. 5.— 2013. — С. 27-30.

16. Блинкова А. Ю., Иванов С. В., Могилевич Л. И. Динамика взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с упругой стенкой цилиндрической оболочки при воздействии волны деформации // Исследования нелинейных динамических систем: Межвуз. сб. науч. тр. Москва: Московский государственный университет путей сообщения, 2013. — № 3. — С. 45-54.

17. Волны в оболочке с конструкционным демпфированием, содержащей жидкость и окруженной упругой средой / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, Л. И. Могилевич, В. С. Попов // Материалы 2-ой Междунар. науч.-практ. конф. «Ресурсо-энергоэффективные технологии в строительном комплексе региона». Саратов, 2014. — № 3. — С. 205-209.

БЛИНКОВА АНАСТАСИЯ ЮРЬЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ВЯЗКОУПРУГИХ ОБОЛОЧКАХ И ОБОЛОЧКАХ С КОНСТРУКЦИОННЫМ ДЕМПФИРОВАНИЕМ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Автореферат

Подписано в печать 26.02.15 Формат 60x84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ.л. 1,0 Уч.-изд. л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 20 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Тел.: 24-95-70; 99-87-39, е-та!1:12£)а[мш.ги