автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование распространения нелинейных волн в соосных оболочках с вязкой жидкостью между ними

На правахлукописи

КОВАЛЕВА ИРИНА АЛЕКСАНДРОВНА

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В СООСНЫХ ОБОЛОЧКАХ С ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ МЕЖДУ

НИМИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 ФЕВ

Саратов 2014

005558569

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Могилевич Лев Ильич Научный консультант: доктор физико-математических наук, доцент Кузнецова Екатерина Львовна Официальные оппоненты: Андрейченко Дмитрий Константинович, доктор

физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», заведующий кафедрой «Математическое обеспечение вычислительных комплексов и информационных систем» Ерофеев Владимир Иванович , доктор физико-математических наук, профессор, заместитель директора по научной работе ФГБУН «Институт проблем машиностроения Российской академии наук» г. Нижний Новгород

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ульяновский государственный технический университет»

Защита состоится «4» марта 2015 г. в 13.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, корп. 2 , ауд. 212.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77.

Автореферат разослан « » 20 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета сжУ^5^7 А. А. Терентьев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В современной волновой динамике одним из важных направлений является изучение поведения волн деформаций в упругих оболочках. Исследование и моделирование волн деформаций в физически и геометрически нелинейных цилиндрических упругих оболочках проводились в работах Л. И. Могилевича, В. И. Ерофеева, А. И. Землянухи-на, Е. И. Штейнберга, А. И. Потапова, В. М. Катсона. Методом многих масштабов в этих работах из уравнений динамики упругих оболочек выводились уравнения, которые имеют точные решения (уравнение Кадомцева - Петвиашвили, уравнение Кортевега - де Вриза (КдВ), модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза (МКдВ)). У этих уравнений имеются точные частные решения, которые описывают нелинейные уединенные волны деформаций. Эти волны возмущений распространяются без изменения формы и амплитуды, с постоянной скоростью. Это происходит вследствие взаимодействия нелинейности процесса и дисперсии.

В работах Ю. А. Блинкова, С. В. Иванова, Л. И. Могилевича исследуется влияние на волновой процесс в упругой оболочке вязкой несжимаемой жидкости, находящейся внутри нее. В этом случае происходит увеличение амплитуды волны в процессе её движения или её уменьшение в зависимости от величины коэффициента Пуассона материала оболочки. То есть наличие жидкости приводит к разрушению уединенной волны. В этом случае уравнение, описывающее волновой процесс, не имеет точного решения, поэтому это явление было обнаружено при помощи компьютерного моделирования.

Исследования влияния на волновой процесс в упругих оболочках несжимаемой вязкой жидкости, находящейся между ними, в научной литературе отсутствуют.

Наличие слоя жидкости между оболочками приводит к связанной системе уравнений, описывающих волновой процесс, без решения которой поведение волн в оболочках неизвестно. В частности, представляет особый интерес развитие волн деформаций во внутренней оболочке при наличии возмущения во внешней оболочке.

Известные подходы и методы качественного анализа математических моделей не позволяют исследовать модели волн деформаций в случае за-

полнения оболочки несжимаемой вязкой жидкостью, а также в соосных оболочках с несжимаемой вязкой жидкостью между ними.

Дискретизация исходных моделей является универсальным способом для изучения и исследования таких моделей, который основан на применении техники базисов Грёбнера, изложенной в работах Ю. А. Блинкова, В. П. Гердта, В. В. Мозжилкина.

Вышеизложенное определило актуальность и цель данной работы.

Целью работы является развитие методов математического и компьютерного моделирования процессов нелинейной волновой динамики соосных цилиндрических оболочек, содержащих несжимаемую вязкую жидкость между ними, на основе методов компьютерной алгебры с использованием базисов Грёбнера.

Задачи работы. Поставлены следующие задачи:

- вывод эволюционных уравнений, которые моделируют распространение волн деформаций в соосных цилиндрических упругих физически и геометрически нелинейных оболочках, содержащих несжимаемую вязкую жидкость между ними;

- построение разностных схем для нахождения решения полученных уравнений, обобщающих уравнение Кортевега - де Вриза (КдВ) и модифицированное уравнение Кортевега — де Вриза (МКдВ), с использованием компьютерной алгебры и базиса Грёбнера;

- численное исследование моделей соосных геометрически и физически нелинейных оболочек, содержащих несжимаемую вязкую жидкость между ними, с использованием в качестве начальных условий точных решений уравнений КдВ и МКдВ.

Научная новизна:

- Методом возмущений по малому параметру задачи получены новые математические модели волнового процесса в бесконечно длинных физически и геометрически нелинейных соосных цилиндрических упругих оболочках, отличающиеся от известных учетом наличия несжимаемой вязкой жидкости между оболочками, на основе связанных задач гидроупругости, которые описываются уравнениями динамики оболочек и несжимаемой вязкой жидкости с соответству-

ющими краевыми условиями, в виде системы обобщенных уравнений КдВ и МКдВ;

- представлен эффективный вычислительный алгоритм на основе применения техники базисов Грёбнера для построения разностных схем при решении выведенной в работе системы уравнений, обобщающих уравнения КдВ и МКдВ, для анализа распространения нелинейных волн деформаций в физически и геометрически нелинейных соосных оболочках, содержащих несжимаемую вязкую жидкость между ними;

- для рассмотренных систем уравнений с учетом влияния жидкости с помощью построения базиса Грёбнера получены разностные схемы типа Кранка-Николсона. Для генерации этих разностных схем использованы базовые интегральные разностные соотношения, которые аппроксимируют исходную систему уравнений. Применение техники базисов Грёбнера позволяет генерировать схемы, для которых с помощью эквивалентных преобразований можно получить дискретные аналоги законов сохранения исходных дифференциальных уравнений;

- с использованием пакета БаРу на основе разработанного вычислительного алгоритма создан комплекс программ, позволяющий построить графики и получить численные решения задач Коши при точных решениях в качестве начального условия;

- с помощью созданного программного комплекса проведены вычислительные эксперименты, которые позволили выявить новый эффект влияния несжимаемой вязкой жидкости на поведение волны деформаций в соосных оболочках. Наличие волны деформаций во внешней оболочке приводит к возникновению волны деформаций во внутренней оболочке, которой не было в начальный момент времени, и происходит «перекачка энергии» (через слой жидкости) от внешней оболочки к внутренней, которая сопровождается немонотонным падением амплитуды волны во внешней оболочке, и, как следствие, немонотонным снижением скорости её распространения. При этом во внутренней оболочке происходит немонотонное увеличение амплитуды. Вследствие колебаний амплитуд и скоростей с течением времени их скорости и амплитуды выравниваются.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах кафедры «Теплогазоснабжение, вентиляция, водообеспечение и прикладная гидрогазодинамика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А., кафедры «Математическое и компьютерное моделирование» Саратовского государственного университета имени Н. Г. Чернышевского, на Международной научной конференции «International Conference Polynomial Computer Algebra» (Санкт-Петербург, 2012); Международной научной конференции «Компьютерные науки и информационные технологии» (Саратов, 2012); Всероссийской научной конференции имени Ю. И. Неймарка «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2012); Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-25) (Волгоград, 2012).

Достоверность полученных результатов. Новая математическая модель построена на базе известной теории оболочек Кирхгофа-Лява и уравнений динамики несжимаемой вязкой жидкости. Вывод нового нелинейного уравнения для волн деформаций в соосных упругих оболочках, содержащих несжимаемую вязкую жидкость между ними, проведен с помощью известного апробированного асимптотического метода малого параметра. Корректность этого метода обоснована в литературе по асимптотическим методам. Для исследуемой математической модели анализ проведен с использованием известных методов компьютерной алгебры.

В работе для рассматриваемого класса нелинейных дифференциальных уравнений разностные схемы типа Кранка-Николсона сгенерированы с применением известного интегроинтерполяционного метода и техники базисов Грёбнера. Они были проверены на большом классе точных решений и показали полное совпадение с ними.

Программный комплекс, разработанный для численного решения выведенных в работе уравнений, протестирован на точных частных решениях известных уравнений, которые являются частным случаем полученных уравнений.

Все сформулированные в диссертации положения математически обоснованы.

Практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для диагностики повреждений материалов акустическими методами. Использование данных моделей, в свою очередь, позволит существенно расширить возможности анализа экспериментальных данных по исследованию систем подачи топлива, систем охлаждения для авиакосмической техники и т.д., динамика которых носит принципиально нелинейный характер.

Теоретическая значимость работы заключается в развитии и применении методов компьютерной алгебры для моделирования и исследования процессов распространения дисперсионных нелинейных волн в упругой оболочке, взаимодействующей с несжимаемой вязкой жидкостью. Результаты, полученные в работе, выявляют новые закономерности в процессе распространения дисперсионных нелинейных волн в оболочках, взаимодействующих с несжимаемой вязкой жидкостью, и могут послужить созданию фундаментального научного задела в области математического и численного моделирования нелинейных волн в упругой среде, взаимодействующей с жидкостБю.

Материалы работы могут быть использованы в лекционных курсах по математическому моделированию, механике деформируемого твердого тела, компьютерной алгебре, численным методам.

Работа выполнена в рамках госбюджетных научно-исследовательских работ СГТУ имени Гагарина Ю. А., Проблема 11В.02. Фундаментальные и прикладные проблемы гидрогазодинамики и гидроупругости; гранта РФФИ 13-01-00049 «Нелинейные дисперсионные волны в упругих оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость» и государственной бюджетной темы СГТУ-5 «Исследование взаимодействия пульсирующего слоя вязкой жидкости с упругими стенками канала, установленного на вибрирующем основании», выполняемой по заказу Министерства образования и науки.

На защиту выносятся следующие положения:

- новые математические модели в виде системы нелинейных уравнений в частных производных, которые обобщают уравнения КдВ и МКдВ, описывающие волновые процессы в упругих цилиндрических соос-

ных оболочках, содержащих несжимаемую вязкую жидкость между ними;

- применение компьютерной алгебры, в частности базисов Грёбнера для построения разностных схем при численном исследовании полученных моделей;

- результаты численного исследования волновых процессов в соосных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними, представляющих собой единый пакет. Эти результаты показывают, что наличие волны деформации во внешней оболочке приводит к возникновению волны деформаций во внутренней оболочке. Этот процесс сопровождается выравниванием амплитуд и скоростей волн в оболочках.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 15 научных работах, в том числе в 5 публикациях в изданиях из перечня ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы, включающего 83 наименования, двух приложений и содержит 97 страниц наборного текста.

Основное содержание работы

Во введении изложена история вопроса, обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель, задачи, научная новизна исследования, показана практическая значимость полученных результатов, представлены положения, выносимые на защиту.

В первом разделе построены математические модели, описывающие поведение волны деформаций в двух упругих соосных

цилиндрических оболочках, содер-

жащих несжимаемую вязкую жид-¡,| [я. — кость между ними, в виде системы

нелинейных уравнений в частных производных, обобщающих уравне-

г. « л - ния КдВ и МКдВ, содержащих чле-

Рисунок 1 — Осесимметричныи прогиб внешней оболочки ны> учитывающие наличие жидкости.

Рассмотрим две соосные бесконечно длинные упругие оболочки на рисунке (1), между которыми находится несжимаемая вязкая жидкость.

Записывая уравнение движения элемента цилиндрической оболочки в перемещениях для модели Киргофа-Лява, считаем материал нелинейно-упругим с кубической зависимостью интенсивности напряжений ст* от интенсивности деформаций е,

<т* = Евг ^ те], (1)

где Е - модуль Юнга, т - константа материала, определяемая из опытов на растяжение или сжатие.

Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат (г, 0, х), в случае осесим-метричного течения, записываются в виде

дУТ „дУг т,дУг 1др (д2Уг 1 дУт д2Уг К + Уг^Г- + УХ-7Г- + ~ = и -ТГТГ + "V1 +-1

01 г дг х дх рдг \ дг2 г дг дх2

^ + + + (2) дх р дх \ дг'2 г дг дх2 ) '

дУх т,дУх „ —- + Ут—- + к дь г дг 2

ся г дх

На границе с оболочками на рисунке (1) при г = выполняются

условия прилипания жидкости в подходе Лагранжа

+ <3,

от ох дг дг дх дг

здесь < - время; г, х - цилиндрические координаты; Уг, Ух - проекции вектора скорости на оси цилиндрической системы координат; 1/М - продольное упругое перемещение оболочки по оси х; - прогиб оболочки, положительный к центру кривизны; <5 — толщина слоя жидкости при кольцевом сечении трубы, 1 = 1 относится к внешней, а г = 2 относится к внутренней оболочке; р - давление в жидкости; р - плотность жидкости; и - кинематический коэффициент вязкости. 8 - ширина щели, занима-

ем

емой жидкостью, П\ = Я^ —Щ— внутренний радиус внешней оболочки;

(2)

Г{2 = Я'2' —^— внешний радиус внутренней оболочки, (/?1 = Я2 + <5);

Я(2> - радиусы срединных поверхностей внешней и внутренней оболочек; /¡о'', - их толщины.

Уравнения динамики оболочки в осесимметричном случае записываются в виде

ЕЪ"

— 4т + 3 В

Eh^/^f l^Mo'\ 12 V

"цМ + ¿C/W2 + ^ 4- C^if - ло^] {IT

- ^У + - pottfu? =

wg + +

-Моды

-i ( Moi/i!) + + \naWP2 + ^W^ - ^ ) [1 ±

(t)

±ti I

(0

_ Wd) \ 2 ДО) )

+ u:

(0 iv« W

¿-1

(4)

Здесь /¿о - коэффициент Пуассона, р0 - плотность материала оболочек; д'х, цп - напряжения со стороны жидкости, находящейся внутри кольцевого сечения. Нижние индексы у перемещений обозначают соответствующие частные производные.

Напряжения со стороны слоя жидкости определяются формулами

qn = ^Prrcos + Prxcos

qx = [Prxcos (-nW, + Pxxcos

(5)

D , о dVr г, (дУX ЗКЛ л ак

Ргг = -р + 2р,—; р„ = р Л ■_ + — J ; Р„ = -р + 2pV-~

Здесь п - нормаль к срединной поверхности г-й оболочки, пг, г - орты базиса (г, в,х) цилиндрической системы координат, центр которой расположен на геометрической оси. Если снести напряжения на невозмущенную поверхность оболочки, то можно считать -п = пт и cos = 1,

cos = 0.

Построим уравнение динамики с учетом наличия жидкости между упругими оболочками.

Принимая за характерную длину волны величину I, перейдем к безразмерным переменным.

M

'm "3 >

wM = wmu

Полагая

i/M = um4\ ï = ^f, .г* = ï со = ^

E

Po i1 - Mo)

(6)

^ = e = 0(1), = 0 (£è) , = 0(£) | = O(s); ^ = 0(£), (7)

введем полухарактеристические (бегущие координаты) и растянутое время £ = х* — et", т = et", где с - неизвестная безразмерная скорость волны. Разложим упругие перемещения по степеням £ =

(О (0 , (О и\ = uï0' + eu^

W (О 4 =«30

(8)

Приравнивая нулю коэффициенты при е°, получим систему уравнений

(») (0 2 (О О (il

»10« - - с »10« = 0; -/io«ii

Из этой системы следует

Wml m

------Il'/ —■

т W (л 2 2\

= (1 - ^ - с J

«10EÎ = 0

О (9)

(10)

Следовательно, иш - произвольная функция, а безразмерная скорость волны с = \/1 — д/д т. к. с2 = 1 — Дд. Приравнивая коэффициенты при е в левых и правых частях уравнений, найдем с учетом предыдущих результатов

M . Y2H + le 2

2ш \ 2

VÏHHjOJO , 1 (R{i)\2 iil^fï^tâ

l

,2„(0 2„,W

i(i) -no««-

(H)

1

Î2

2\Л ~ Ho £ump0h{Q}4

В случае отсутствия жидкости правая часть уравнений равна нулю, и получаются независимые модифицированные уравнения Кортевега - де Вриза (МКдВ). В случае отсутствия физической нелинейности получаем уравнения Кортевега - де Вриза (КдВ)(т = 0).

Построим решение уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости (2) и определим напряжения, действующие на оболочку со стороны жидкости. Введем безразмерные переменные и параметры

т/ с0 со х , » с0 „ х

Уг = У)т—Уг, Кт = Мт—Ух, Г = Н2 + ОГ , í = —X = -

Р=—р-Р + Ро, = Х= — =°(1) (12)

Шт гиП1 8 и)т 5 Яг 1 <5 <5 Я; ,1

Полагая теперь | = 0, ^ = 0 (нулевое приближение по | - гидродинамическая теория смазки), а также = 0 -ползущие течения, получим уравнения гидродинамики

<9Р _ ^ дР _ З2^ ^ дух _ ^ ^^^

<Эг* ' <Э:е" <Эг*2 ' дг* Эх*

диУ п » 1 \ (1) « \ (2)

и граничные условия: уг = —¡ф-, г'х = 0 при г = 1 — Хи3 и г = —ли3 ,

Раскладываем давление и компоненты скорости по степеням малого параметра Л

р = ро + ЛР1 + ^ = + Л^ + ..., ух = «о + XVI + - (14) Для первых членов разложения получим те же уравнения

Ё^-о-— + (15)

дг* ' дх* дг*2' <Эг* <Эх"

и граничные условия

= = 0 при г* = 1

я

у°Г = -^-,у°х = 0 при г* = 0.

С точностью до -ф, А получим

i wmco dvx.

PvcqIW,

, (2) 1 ЧП — J^U

rJ=-A-uà Й-5

■ = 1-Ак!

= _VuW , Чп ~ -PO--H-Р (17>

,Л»

fil ^ А

Очевидно, что qx можно пренебречь по сравнению с qn = ¿ff-j <С 1, то есть положить в уравнениях динамики упругой оболочки qx' = 0.

С принятой точностью ^ « 0{е), |2 = гр < 1: RW и R.W = R. Можно также взять h^ кз h^ « ha и ввести обозначение = с^ф^, ит = сзФ{2)' У — ci£' ^ = С2Г. и тогда получаем из (11) систему уравнений

^ + боофМфи + ф% Т 6o^U? + - ¿(2) = 0, ф?] + 6а0фМф\? + ф% т 6с^ф® + фМ - Фт = 0.

Здесь в случае геометрически линейной задачи сто = 0, а для физически линейной задачи а\ = 0.

При отсутствии жидкости система (18) распадается на два независимых уравнения

ф^ + баофМфП + ф% Т 6о^фМ = 0,

ф® + баоо^ф? + т 6= 0.

При верхнем знаке при а\ в уравнениях (18) имеется точное решение этих уравнений в виде ударной волны в обеих оболочках, которое также является точным решением системы уравнений (19) при верхнем знаке:

2 О"! yjôl

(20)

При нижнем знаке при о\ в уравнениях (18) получаем точное солито-ноподобное решение для обеих оболочек, которое является точным решением системы уравнений (19) при нижнем знаке:

¿<и = фт = ф = -1 , - (21)

л/^сЬ [кт,- 2<т1

При отсутствии физической нелинейности а\ — 0, полагая а0 = 1, в качестве точного решения системы уравнений (18) имеем солитон в обеих оболочках:

2К

1-Л2

КТ) — /Л

(22)

В случае физической нелинейности, но при отсутствии геометрической нелинейности (сг0 = 0), при вехнем знаке в системе уравнений (18) получаем в качестве точного решения кинк в обеих оболочках

ф0) = = ф = Л [кг, + 2кЧ]

(23)

При нижнем знаке при в системе уравнений (18) получаем точные соли-тоноподобные решения

фМ = ф® = ф = ±

1

ч/5ТсЬ [кг] - (к3 - ¡к) Ь]'

(24)

Во втором разделе построены математические модели, описывающие поведение волны деформаций в трех соосных упругих цилиндрических оболочках, изготовленных из одного материала, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними.

Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнение неразрывности записываются в цилиндрической системе коор-

динат в случае осесимметричного течения в виде (2).

На границах с оболочками на рисунке 2 выполняются условия прилипания жидкости (3). Здесь

i = 1 относится к внешней оболочке, г = 2 - к средней, а г = 3 - к внутренней оболочке.

Рисунок 2 — Осесимметричный прогиб внешней оболочки

Проведя аналогичные рассуждения, как и в первом разделе, получим систему уравнений в следующем виде:

фОК + бфПфМ + ф^ + Р^ О,

^ = _ 0(2), р2 = 20(4 _ 0(1) _ 0(3), р3 = 0(3) — 0(2). и5)

В случае отсутствия жидкости (р = 0, ^ = 0) система распадается на три известных уравнения Кортевега - де Вриза, имеющих точные решения:

Ф = сЪ2(кл-4ф) (26)

Выбрав к\ = к2 = /сз = к, имеем солитон во всех трех оболочках, который является точным решением системы (25).

В третьем разделе с помощью аппарата базисов Грёбнера строятся разностные схемы для численного исследования моделей для двух и трех обо-лочкек, полученных в предыдущих разделах. Разностные схемы для уравнений (18)

и'

--И Лао-—--Ь

г 4Л

- 2 и«;;,1 + 2 - + (и(о;+2 - 2им?+1 + г,,«;., - „«;_,)

4/г3

-4Л--

--1-Ч—--)' = о.

(27)

и для уравнений (25)

; ~ '"' О , 3(ц" ,41 ~ ' + (»" Я-1 ~ "" ,-1)

т 4 п

- + 2»«;+' - + (Цсо;+2 - 2ц(ч;+1 + 2„(о;„ - ц(о;_2)

4/13

+ " 2 л =0.

аналогичны схеме Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности, которые устойчивы по построению и решаются методом простой итерации как система линейных алгебраических уравнений. Здесь и-значение искомой величины в 1-й оболочке, в точке с координатами (], п), где j характеризует дискретное время, а п - дискретную координату.

Результаты проведенного компьютерного моделирования позволяют сделать следующие выводы. В начальный момент уединённая волна деформации (на рисунке 3 - кинк) задана только во внешней оболочке, а во внутренней оболочке деформация равняется нулю. Наличие волны деформаций во внешней оболочке приводит к возникновению волны деформаций во внутренней оболочке, которой не было в начальный момент времени, и происходит «перекачка энергии» (через слой жидкости) от внешней оболочки к внутренней, которая сопровождается немонотонным падением амплитуды волны во внешней оболочке, и, как следствие, немонотонным снижением скорости её распространения. При этом во внутренней оболочке происходит немонотонное увеличение амплитуды. Вследствие колебаний амплитуд и скоростей с течением времени их скорости и амплитуды выравниваются. Эти амплитуды в два раза меньше исходной амплитуды для случая двух соосных оболочек. За фронтом волны возникают небольшие физические осцилляции, затухающие по мере продвижения волны.

В начальный момент уединённая волна деформации (на рисунке 4 -солитон) задана только во внешней оболочке, а в средней и внутренней оболочках деформация равняется нулю. Наличие волны деформаций во

V

Рисунок 3 — График численного решения уравнений (18) с нижним знаком с начальным условием (20) при знаке + для и для ф^ = 0 с Сто = 1.0, <71 = 1.0, к = 0.5

Рисунок 4 — График численного решения уравнений (25) с начальным условием (26) при £ = О для фМ ск = 0.2 и для ф<2> = 0.0,

ф^ = 0.0

внешней оболочке приводит к возникновению волн деформаций в средней и внутренней оболочках, которых не было в начальный момент времени, и происходит «перекачка энергии» (через слои жидкости) от внешней оболочки к средней и от средней к внутренней, которая сопровождается немонотонным падением амплитуды волны во внешней оболочке, и, как следствие, немонотонным снижением скорости её распространения. При этом в средней и внутренней оболочках происходит немонотонное увеличение амплитуды. Вследствие колебаний амплитуд и скоростей с течением времени скорости и амплитуды волн в оболочках выравниваются. Эти амплитуды в три раза меньше исходной амплитуды волны для случая трех соосных оболочек. За фронтом волны возникают небольшие физические осцилляции, затухающие по мере продвижения волны.

Основные результаты работы и краткие выводы

1. Построены новые математические модели в виде нелинейных уравнений в частных производных, обобщающих уравнения КдВ и МКдВ, описывающие волновые процессы в соосных упругих цилиндрических оболочках с несжимаемой вязкой жидкостью между ними.

2. С помощью аппарата базисов Грёбнера получены разностные схемы, на основе которых предложен эффективный вычислительный алгоритм, создан программный комплекс «Кс1У» (Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ N0 2013618390, зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 06.09.2013), позволяющий произвести необходимые расчеты и построить графики, нагляд-

но показывающие динамику волнового процесса для численного исследования полученных моделей.

3. Проведенные численные эксперименты позволяют сделать следующие выводы. За счет влияния вязкой несжимаемой жидкости при нелинейной волне деформаций во внешней оболочке возникает нелинейная волна деформаций во внутренней оболочке, в которой ее не было в начальный момент времени, и амплитуды и скорости волн деформаций в соосных оболочках со временем начинают совпадать. Эти амплитуды в два раза меньше исходной амплитуды волны деформаций внешней оболочки в начальный момент времени. В случае трех соосных оболочек за счет влияния вязкой несжимаемой жидкости при нелинейной волне деформаций во внешней оболочке возникают нелинейные волны деформаций во внутренних оболочках, в которых их не было в начальный момент времени, и амплитуды и скорости волн деформаций в соосных оболочках со временем начинают совпадать. Эти амплитуды в три раза меньше исходной амплитуды волны деформаций внешней оболочки в начальный момент времени.

Основные публикации по теме диссертации

В изданиях, рекомендованных ВАК РФ 1

1. Ковалева И. А. Распространение волн деформации в двух упругих цилиндрических оболочках, между которыми находится вязкая жидкость / А. Ю. Блинкова, И. А. Ковалева, J1. И. Могилевич, В. С. Попов // Вестник Саратовского государственного технического университета. — 2011. — Т. 4, № 1. — С. 7-12.

2. Ковалева И. А. Моделирование динамики нелинейных волн в соосных физически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними / И.А. Ковалева // Вестник Саратовского государственного технического университета. — 2012. — Т. 4, №1(68).—С. 28-36.

3. Ковалева И. А. Математическое и компьютерное моделирование динамики нелинейных волн в соосных физически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними / Ю. А. Блинков, А. Д. Ковалев, И. А. Ковалева, Л. И. Могилевич //

'http://elibrary.ru/author.items.asp?authorid=689395

Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. — 2012. — Т. 12, № 3. — С. 96-104.

4. Ковалева И. А. Моделирование динамики нелинейных волн в соос-ных геометрически и физически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними / Ю. А. Блинков, И. А. Ковалева, Л. И. Могилевич // Вестник российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. — 2013.—Т. 3, —С. 42-51.

5. Ковалева И. А. Нелинейные волны в трех упругих соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними / Ю. А. Блинков, И. А. Ковалева, Е. Л. Кунецова, Л. И. Могилевич // Труды МАИ. Электронный журнал.— 2014.— Т. 75.— С. 15.

В прочих изданиях

6. Ковалева И. А. Оценка взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с упругими стенками трубы кругового и кольцевого сечений при воздействии волны деформации / А. Ю. Блинкова, И. А. Ковалева, С. В. Иванов // Прикладная математика и механика : сборник научных трудов, — 2011,— С. 104-116.

7. Ковалева И. А. Нелинейные волны в соосных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними / И. А. Ковалева, Л. И. Могилевич / Магистраль: межвуз. сб.науч. статей. — 2011. — -Уг 3. — С. 11-19.

8. Ковалева И. А. Волны деформации в двух упругих цилиндрических оболочках, между которыми находится вязкая жидкость / Ю. А. Блинков, И. А. Ковалева, Л. И. Могилевич, В. С. Попов//Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-25: сб. трудов XXV Междунар. науч. конф. — Т. 3. — 2012. — С. 11-13.

9. Ковалева И. А. Волны деформаций в физически нелинейных упругих каналах, заполненных вязкой жидкостью, с круговым и кольцевым сечением / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, И. А. Ковалева, Л. И. Могилевич // Нелинейные колебания механических систем: тр. IX Всероссийской научной конференции им. Ю.И.Неймарка, Нижний Новгород, 24-29 сентября 2012 г. — Н. Новгород, 2012. — К» 3. — С. 141-150.

10. Ковалева И. А. Моделирование взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с физически и геометрически нелинейными упругими стенками трубы кольцевого сечения при воздействии волны деформации / Ковалева И. А. // Математика. Механика: сб.науч. трудов, Саратов: издательство Саратовского университета. - 2012. - Вып.14. -С. 113-116.

11. Kovaleva I. A. The Application of Gröbner bases to the construction of solutions to some nonlinear wave hydroelasticity problem / A. Yu. Blinkova, I. A. Kovaleva // International Conference Polynomial Computer Algebra '2012, — St. Petersburg, 2012,— P. 16-19.

12. Ковалева И. A. Математическое моделирование динамики взаимодействия физически и геометрически нелинейных упругих цилиндрических оболочек с вязкой несжимаемой жидкостью между ними при воздействии волны деформации / А.Ю.Блинкова, И.А.Ковалева, Л.И.Могилевич // Компьютерные науки и информационные технологии: материалы Междунар. науч. конф. — Саратов: Изд. центр «Наука», 2012. — С. 45-46.

13. Ковалева И. А. Динамика взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с упругими стенками цилиндрической трубы кольцевого сечения при воздействии волны деформации / И. А. Ковалева, В. В. Ри-дель, Л. И. Могилевич // Исследования нелинейных динамических систем: межвуз. сб. науч. тр. - Вып. №3. - М.: Московский государственный университет путей сообщения. - 2013. - С.100-109.

14. Ковалева И. А. Моделирование нелинейных волн деформации в трех упругих соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними / И. А. Ковалева, Е. Л. Ку-нецова, Л. И. Могилевич/ Проблемы управления, обработки и передачи информации (АТМ-2013): сб. тр. III Междунар. науч. конф. — Т. 2. —■ Издательский Дом «Райт-Экспо», Саратов, 2013. — С. 153-159.

15. Ковалева И. А. Динамика нелинейных волн в соосных упругих оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость / И. А. Ковалева// Математические методы в технике и технологиях (МММТ-26): сб. тр. XXVI Междунар. науч. конф,.— Т. 2.— Саратов, 2013.— С. 58-61.

КОВАЛЕВА ИРИНА АЛЕКСАНДРОВНА

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В СООСНЫХ ОБОЛОЧКАХ С ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ МЕЖДУ НИМИ

Автореферат

Подписано в печать 27.12.14 Формат 60x84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ.л. 1,0 Уч.-изд. л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 202 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Тел.: 24-95-70; 99-87-39, e-mail:izdat@sstu.ru