автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Анализ солитонных состояний методом граничной поверхности

государственный научно-исслщватеяьскии институт

ФИЗИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ им. Ф.В.ЛУКИНА

РГВ Ой

- ';• IIНа правах рукописи

КОРОЛЕВ ВАДИ1 гашнович

да 630.182

АНАЛИЗ СМИГОНИП СОСТОЯНИЙ методом ГРАНИЧНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математических методов а математического моделирования в научных исследованиях.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученое степени кандидата фсзикониатеыатических наук

Москва - 1994

Работа выполнена в Государственном научно-исоледовательском институте физических проблем им Ф.В.Лукина

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Елеонский В.М. (НИИ физических проблем, Москм)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Юшмонтович Ю.Л. (МГУ, Москва)! кандидат физико-математических наук, доцент Лерман Л.М. (ННГУ, Нижний Новгород).

Ведущая .организация! Институт механики МГУ, Москва.

Защита состоится ^оут*. 1994Г.

в 11 часов на заседании Специализированного совета К002.94.01 Института Космических Исследований РАН по адресу: 117810, Москва, ГСП-7, ул.Профсоюзная, д.84/32.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института Космических Исследований РАН

Автореферат разослан "_^ " 1994г.

Ученый секретарь совета кандидат физико-математических наук Титов д. В

1. (»ИДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы.

Ряд исследований, проведанных в последние годы в нелинейной фгаике, в частности, в нелинейной оптике, магнита- и гидродинамике, ©гайке плазмы, показал, что во многих задачах эволюционные уравнения, которым подчиняется динамика системы, допускам выделение стационарных самолокализованых решений, описывающих исследуемые особые объекты. К таким объектам относятся, например, саюлокализованные состояния поля в задачах электродинамики нелинейной недиссипативной среды, стационарные доменные магнитные стенки в задачах о динамике магнитного момента, приводящей к уравнениям Ландау-Лифвшца, солитош высшего уравнения ВДВ. Ряд (физических задач приводит к исследованию солитонов и кинков в системе связанных нелинейных уравнениях Щрвдингвра. Среди них можно отметить исследования стационарных солитонов огибающих в задаче о распространении волн в нелинейном двулучепреломлявдем (или двухмодовом) волокне и солитонных решений задачи о динамике . магнитного момента в многослойных тонких.магнитных пленках.

Эффективным подходом к анализу таких задач является применение методов качественной теории динамических , систем.

Выделение в перечисленных задачах решений типа стационарных волн .огибающих порождает данамическув систему в конечномерном фазовом пространстве (гамильтонову, либо обладающую первым интегралом движения), в которой образами исходных самолокализованных объектов являются гомо- и гетероклинические

траектории особых точек (либо траектории, двоякоасимптотическиэ к периодическим решениям). При этом часто возникает необходимость анализа динамических систем с двумя степенями свободы (как правило, неинтегрируемых).

Таким образом, поиск и анализ самолокализованных решений в эволюционных уравнениях, описывающих самые различные по своей природе физические задачи, сводится к общей задаче об отыскании особых траекторий динамических систем с двумя степенями свобода, а также об их классификации и исследовании их возможных бифуркаций при изменении структурных параметров динамической системы.

Данная задача достаточно сложна и в значительной степени основана на численном анализе. Существующие методы поиска и анализа бифуркаций особых траекторий следует характеризовать как мало удовлетворительные, особенно в окрестности точек бифуркации. В связи с втим разработка качественных и численных методов, позволяющих адекватно анализировать особые траектории и их бифуркации, а также проводить их классификацию, представляет собой актуальную задачу.

Цели и задачи исследования. Целью диссертационной работы являлась разработка эффективного подхода к поиску особых траекторий, анализу их бифуркаций и его апробация в различных актуальных физических задачах. В качестве таких задач в диссертационной работе выступают проблема анализа и классификации сложных векторных солитонов в двулучепрэломляпцих (двухмодовых) оптических волокнах, описываемых системой связанных нелинейных уравнений Иредингера, и задача исследования сложных солитонов с обострениями в задачах, приводящих к уравнению Уизема-Бенджамина

(нелокальному обобщению уравнения КдВ) с ядром специального вида.

На защиту выносятся следующие основные положения, определяющие научную новизну полученных в диссертации результатов.

1. Развит метод поиска и анализа особых траектория динамических систем, основанный на анализе поведения кривых касаний траекторий с граничной поверхностью. Метод граничной поверхности обладает необходимой математической строгость» для того, чтобы говорить о доказательной силе получаемых с его помощью результатов.

2. С помощью этого метода проведены подробные исследования гамильтоновой динамической система с двумя степенями свободы, обладающей седловой особой точкой, которая возникает при выделении в системе двух связанных нелинейных уравнений Шредингера стационарных волн огибающих. В рамках этой задачи с помощью качественных и численных методов найдены и исследованы:

- семейство сложных гомоклинических петель седла, ветвящихся от простых петель, расположенных в инвариантных плоскостях.

- семейства сложных гомоклинических петель, связанные с существованием в фазовом пространстве гомоклинического контура > седла.

- семейства сложных гомоклинических петель, ветвящихся от пар более простых петель, обладающих ортогональными (на конфигурационой плоскости) асимптотиками входа и выхода в седловув особую точку.

- серии бифуркаций седловых и центровых периодических орбит. Исследована связь этих бифуркаций с бифуркациями некоторых семейств сложных гомоклинических петель.

3. Выявлена связь между поведением кривых касании на граничной поверхности, связанным с ветвлением петель, расположенных в инвариантных плоскостях, и наличием у динамической системы точек полной интегрируемости. Предложен подход к численному поиску точек интегрируемости, основанный на использовании данных бифуркационного анализа. Этот подход применен к анализу точек полной интегрируемости динамической гамильтоновой системы с двухпараметрическим потенциалом Хенона-Хёйлеса.,

4. Исследовано уравнение Уизема-Бенджамина как . пример нелокальной модели, допускапцей редукцию к гамильтоновой динамической системе с двумя степенями свободы и особой точкой типа седло-фокус, в которой гомоклинические петли седло-фокуса является образами солитонных решений исходного уравнения с осциллирующими асимптотиками. Найдены семейства сложных гомоклинических петель седло-фокуса, связанные с существованием гомоклинических контуров. Обнаружено и аналитически проанализировано явление обострения профии решения уравнения Уизема-Бенджамина с модельным осциллирующим ядром, связанное с потерей гладкости соответствующей траектории динамической системы.

Научная и практическая ценность. Предложенный и развитый в диссертации метод поиска и анализа бифуркаций особых траекторий динамических систем показал свою эффективность при решении ряда задач нелинейной физики. Он позволяет избежать ряда трудностей, обычно возникающих при анализе таких бифуркаций, и обладает необходимой строгостью.

Применимость предложенного подхода широка и позволяет эффективно решать задачи нахождения и исследования поведения как

траекторий, двоякоасимпготических к периодическим, так и гомо- и гетероклинических петель особых точек типа седло, седло-фокус как в случае компактной, так и некомпактной граничной поверхности, как в случае гамильтоновой динамической системы, так и в случае системы с глобальным первым интегралом.

В рамках диссертационной работы получен и систематизирован обширный массив данных об самолокализованных объектах, возникающих в различных физических задачах, который может быть использован при разработке систем передачи сверхплотной информации, создании оптико-волоконных систем различного назначения, оптических компьютеров и других подобных устройств.

Апробация результатов работы.- Основные результаты, выносимые на защиту, опубликованы в печати (в 9 работах). Кроме этого, результаты, приведеные в диссертационной работа, излагались на 4-ом Мездународном совещании по нелинейным и турбулентным процессам в физике ("Nonlinear World", Kiev, 1989), на 2-ой Всесоюзной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Горький, 1990), на 3-м рабочем семинаре "Численные методы теории бифуркаций" (Пущино, 1989), на научных семинарах МГУ, ИКИ РАН, НИИ. прикладной математики и кибернетики при ННГУ (Нижний Новгород), НИИ физических проблем (Москва).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения, списка литературы из 148 наименований, а также 87 рисунков, всего 162 страницы.

г. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении перечисляется ряд физических моделей, приводящих к задаче поиска и анализа различных особых траекторий динамических систем с двумя степенями свободы, в частности, гамильтоновых или обладающих глобальным первым интегралом. Обоснована актуальность темы диссертационной работы, показана научная новизна работы, сформулированы научные положения, выносимые на защиту.

В I глава предложен и подробно описан подход к поиску особых траекторий динамических систем, анализу их бифуркаций при изменении структурных параметров задачи и к их классификации. Этот подход позволяет избежать рядв трудностей, возникающих при таком анализе, и обладает необходимой строгостью для того, чтобы можно было говорить о доказательной силе получаемых с его помощью результатов. Изложение метода проводится на примере наиболее простое ситуации - задачи о поиске гомоклинических петель единственной особой точки типа седло в случае компактной граничной поверхности.

Этот подход был успешно применен при численном анализе задач, рассматриваемых в остальных главах диссертации.

Глава Z посвящена всестороннему исследованию с помощью метода граничной поверхности динамической системы, возникающей при выделении стационарных решений типа бегущих волн в системе двух связанных нелинейных уравнений Шредингера. Такая система возникает, в частности, в интенсивно изучаемых в последнее время

задачах о распространении оптических сигналов в нелинейном двулучепреломлявдем (или двухмодовом) оптическом волокна. Исследуемая гамильтонова динамическая система с двумя степенями свобода является в общем случае неинтегрируемой, за исключением нескольких точек в пространстве ее параметров. В каждой из этих точек динамическая система обладает однопараметрическим семейством гомоклинических орбит седловой особой точки. В 52.2 приведена явные выражения для петель этих семейств и проанализирована задача о "выживании" петель при снятии интегрируемости.

Изучена задача о ветвлении сложных гомоклинических петель седла, являющихся образами векторных солитонов исходной задачи, от простых петель, расположенных в плоскостях симметрии динамической системы. Обнаружено счетное множество плоскостей в трехмерном пространстве параметров задачи, пересечение которых приводит к ровдению сложных петель путем ветвления от простых "восьмерок" седла. С помощью метода граничной поверхности исследовались закономерности трансформаций таких сложных петель при изменении параметров задачи, их влипание в букеты, состоящие из набора простых петель, обходящихся в определенном порядке. Обнаружены и . исследованы семейства сложных гомоклинических петель седла, связанные с существованием в фазовом пространстве динамической системы гомоклинических контуров, состоящих из седла, .седловой периодической орбиты, пары траекторий,, двоякоасимптогических к этой . орбите и седловой особой точке, и траектории, двоякоасимптотической к данной периодической орбите.

В. §2.5-2.6 изучаются обнаруженные бифуркации ветвления сложных гомоклинических петель от букетов, составленных из

- Ш -

седловой особой точки и двух ее петель, асимптотики входа и выхода которых из особой точки ортогональны (при втом седловая особая точка обладает равными характеристическими значениями). Отметим, что строгое математическое описание такого типа бифуркаций в случае седловой особой точки с равными показателями представляет собой пока открытую область исследований.

В 82.7 подробно анализируется связь между ветвлениями сложных петель определенных семейств и бифуркациями структуры фазового пространства динамической системы, в именно, рождением и уничтожением гиперболических и эллиптических периодических орбит и их вырождением в гомоклинические петли седла. Задача изучения буфуркаций фазового пространства такой задачи имеет и отдельную значимость с точки зрения изучения динамического хаоса в моделях с потенциалами данного типа.

Наблюдения над бифуркационными кривыми ветвлений петель, расположенных в плоскостях симметрии, и известными случаями полной интегрируемости исследуемой динамической системы обнаружили принадлежность значений структурных параметров, при которых реализуется полная интегрируемость, бифуркационным кривым одновременного ветвления сложных гомоклинических петель от простых петель, расположенных в плоскостях симметрии.

Это указывает на неожиданную возможность использования данных анвлиэа бифуркаций ветвления сложных гомоклинических петель седла от простых для поиска случаев полной интегрируемости гамильтоновых динамических систем. Ео реализация может привести к формулировке признака интегрируемости для определенного класса гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, возникающих при редукции

исходных уравнений поля, и, что особенно существенно, обеспечивающих существование состояний солитонного типа и их бифуркаций ветвления в окрестности точки или области интегрируемости.

В Главе 3 метод граничной поверхности был применен для исследования семейств гомоклинических петель особой точки типа "седло-фокус" в гамильтоновой динамической системе с двумя степенями свобода, которая возникает при анализе солитонных состояний в уравнении Уизема-Бенджамина при использовании простого осциллирующего быстроубнваицвго ядра нелокального взаимодействия.

Показано, что с помощью метода, основанного на введении множества вспомогательных линейных полей, локально взаимодействующих с исходных нелинейным полем, удается свести исследуемое интегро-дифференциальное уравнение к гамильтоновой динамической системе с двумя степенями свободы, допускающей существование особой точки типа седло-фокус. Петли этой особой точки являются образами солитонов уравнения Уизема, обладающих на бесконечности осциллирующими асимптотиками.

Метод граничной поверхности позволил исследовать Поведение петель седло-фокуса в этой задаче. В частности, были обнаружены некоторые семейства сложных гомоклинических петель, существование которых связано с наличием гомоютшическта контуров, содержащих седло-фокус и седловую периодическую орбиту.

Показано, что данная модель обладает свойством гготяри гладкости и непродолжаемости решений типа гомоклинических пптрль седло-фокуса. В §3.5 аналитически и:сичдов8Нн общие аякономерксля обострения траекторий в этой модели, найдены кривые в прптряп'птч

параметров, при пересечении которых возникает непродолжаемость гомоклинических орйит седло-фокуса. В том случае, когда параметры задачи отвечают точкам на этих кривых, соответствующее солитонное решение с осциллирующими асимптотиками обладает максимальной амплитудой и негладкостью профиля в точке Максимума.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации:

- Предложен и подробно описан метод поиска, анализа бифуркаций к классификации особых траекторий динамических систем, основаннцй на анализе поведения кривых касаний траекторий с граничной поверхностью. Этот метод'обладает широкой применимостью, позволяя исследовать как гомо- и гетероклинические орбиты особых точек различного типа, так и траектории, двоякоасимптотические к периодическим орбитам. Кроме того, подход, основанный на введении граничной поверхности, позволяет более активно привлекать метода качественной теории динамических -систем для исследования самолокализованнах решений исходной нелинейной задачи.

- Метод граничной поверхности аффективно применен для подробного исследования сложных векторных солитонов в системе двух связанных нелинейных уравнений Шредингера. При выделении в этой системе стационарных волн огибающих возникает гамильтонова динамическая система с двумя степенями свободы, обладающей седловой особой точкой, гомоклинические орбиты которой являются образами солитонов исходной задачи. В рамках зтой задачи с помощью качественных и численных методов найдены и исследованы:

- семейство сложных гомоклинических петель седла, ветвящихся от простых петель, расположенных в инвариантных плоскостях.

- IS -

Шредингера., Горький, Тезисы докладов II Всесоюзной конференции "Нелинейные колебания в механических системах", Сентябрь I99G, 4.1, стр.73-74.

6. Eleonsky V.M., Korolev V.G., Kulagln N.E., Shll'nlkov L.P., "Bifurcations of the trajectories at the saddle level In a Hsmlltonlan system generated by two coupled Schrodinger equations". Chaos, 1992, 7.2, N4 pp. 571-579.

7. Eleonsky 7.U., Korolev V.G., Kulagln N.E., Shll'nlkov L.P., "Homoclinlc orblta and their bifurcations In dynamical systems with two degrees of freedom: a method of qualitative and numerical analysis", Int. J. Bifurctione & Chaos, 1993, v.3, N2.

8. Eleonsky V.M., Korolev V.G., Kulagln H.E., Shll'nlkov 1.Р., "Пупал)1са1 systems with nonlocal Interactions In the theory of nonlinear waves (Wltham-Benjamln equation)", Chaos, /принята для публикации/.

9. Елеонский В.М., Королев В.Г., Кулагин Н.Е., "О динамической системе, порожденной уравнением Уизема с осциллируицвм ядром"1. Изв ВУЗов, Прикл. нелин. динамика, /в печати/.

Огп&тно 31УГ? MM^W 7«/>