автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмы и комплексы аналитически-численных программ для решения одномерных и двумерных уравнений Шредингера с полиномиальными потенциалами

На правах рукописи

УДК 619.62 51-72:531/533 51-72:530.145

БЕЛЯЕВА Ирина Николаевна

АЛГОРИТМЫ И КОМПЛЕКСЫ АНАЛИТИЧЕСКИ-ЧИСЛЕННЫХ ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ И ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород — 2006

Работа выполнена в Белгородском государственном университете

Научный руководитель доктор физико-математческих наук, профессор

Чеканов Николай Александрович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Пузынина Тансия Петровна

доктор технических наук, профессор Корсунов Николай Иванович

Ведущая организация Тверской государственный университет

Защита состоится 17 ноября 2006 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212,015.04 в Белгородском государственном университете по адресу: 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан « II > октября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Савотченко С.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В математических моделях различных разделов физики, в частности, в классической и квантовой механике, в прикладной математике, в технике задачи на собственные значения играют важную роль. Эти задачи возникают при исследовании устойчивости, критических и бифуркационных режимов сложных физических систем.

В диссертационной работе предложены новые методы решения задач на собственные значения для одномерных и двумерных дифференциальных операторов второго порядка, описываемых гамильтонианами полиномиального типа, разработаны алгоритмы, реализованные в виде комплексов программ в среде REDUCE и MAPLE, и проведены численные исследования для уравнения Шредингера с конкретными потенциалами.

Найти решение в явном аналитическом виде в подавляющем большинстве случаев невозможно. Даже те уравнения, которые допускают аналитические решения, например, в специальных функциях, при практическом использовании оказываются неконструктивными при численных расчетах. Поэтому применяются различные, как аналитические, так и численные методы для нахождения приближенных решений подобных задач. Как правило, решение таких задач сопряжено с большим объемом вычислений, для выполнения которых необходимо использование современных компьютерных систем, имеющих в своем программном обеспечении также инструментарии для работы с аналитическими выражениями.

Существуют различные методы и подходы для численного решения задач на собственные значения, аппроксимирующих исходные уравнения, из которых наиболее часто используемым и разработанным является метод диагонализации. Однако численные вычисления спектров и волновых функций уравнения Шредингера методом диагонализации требуют большого объема компьютерных ресурсов - времени и памяти. Причем, чтобы получить достаточную точность, требуется диагонализовать матрицы очень большой размерности.

Кроме того, точность сильно ухудшается, если вычислять спектры гамильтоновых операторов, которые допускают существование хаоса в

классическом пределе. Точность также сильно падает при расчетах собственных значений и функций для двумерных гамильтоновых систем, поверхность потенциальной энергии которых имеет несколько локальных минимумов.

Следовательно, разработка новых эффективных методов, как аналитических, так и численных, и особенно аналитически-численных, реализация этих методов в виде программных средств с использованием современных эффективных систем компьютерной алгебры REDUCE и MAPLE и использование этих программ для численного исследования ряда важных математических моделей классической и квантовой механики является актуальной проблемой математического моделирования сложных физических систем.

Цель диссертационной работы — разработка методов, алгоритмов и программ с использованием современных средств компьютерной алгебры для решения задач на собственные значения для одномерных и двумерных дифференциальных операторов Шредингера, а также проведение с их помощью численных исследований ряда математических моделей классической и квантовой механики.

Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработка алгоритмов и программ для решения задач на собственные значения для операторов а) одномерных ангармонических осцилляторов и б) двумерного С3„ симметричного (т.е. инвариантного относительно шести преобразований: q) —> ±<р + 2^/3, q = 0,1,2)

оператора Шредингера на основе классических и квантовых нормальных форм.

2. Развитие метода самосогласованного базиса для вычисления

энергетического спектра и волновых функций для двумерного C2v

симметричного (т.е. инвариантного относительно четырех преобразований: ф —> ±ф + л<7, q = 0,1 ) уравнения Шредингера.

3. Разработка алгоритма и аналитически-численной программы для решения задачи на собственные значения для C2v симметричного оператора Шредингера.

4. Разработка алгоритма и аналитически-численной программы для нахождения линейно независимых решений задачи Коти в виде обобщенных степенных рядов и на их основе решение краевой задачи для одномерного уравнения Шредингера.

5. Вычисление энергетических спектров и волновых функций по методу п.4 для ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности, включая симметричный ангармонический осциллятор с двумя локальными минимумами.

Методы исследований: методы теории дифференциальных уравнений, метод классической и квантовой нормальной формы, методы компьютерной алгебры, методы вычислительной математики, прикладные программы.

Научная новизна. На основе метода классических и квантовых нормальных форм предложен новый способ вычисления собственных значений и функций одномерных и двумерных дифференциальных операторов Шредингера, разработан алгоритм и составлена соответствующая программа. С помощью этой программы получены собственные значения и функции для одномерных ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности и для двумерного обобщенного гамильтониана Хенона-Хейлеса.

Развит метод самосогласованного базиса для решения задачи на

собственные значения для С3у и С2у симметричных двумерных гамильтонианов. Разработан алгоритм и составлены аналитически-численные программы, проведены численные вычисления нижней части энергетического спектра и соответствующих волновых функций для указанных выше гамильтонианов.

Предложен аналитически-численный метод, основанный на нахождении линейно независимых решений задачи Коши в виде обобщенных степенных рядов, с помощью которых решается задача на собственные значения одномерного дифференциального уравнения Шредингера. Разработан алгоритм и составлена аналитически-численная программа, с помощью которой получено решение одномерного уравнения Шредингера для ангармонических осцилляторов с различной четной (4, 6, 8) степенью нелинейности, включая ангармонический осциллятор с двумя локальными минимумами.

Практическая значимость и полезность полученных результатов. Диссертационная работа носит теоретический и практический характер. Результаты работы могут быть использованы для исследования динамики нелинейных гамильтоновых систем и для решения задач на собственные значения их квантовых аналогов. Полученные программные средства в среде REDUCE могут быть применены для построения классических и квантовых нормальных форм нелинейных гамильтоновых систем полиномиального типа. Разработанные аналитически-численные алгоритмы и созданные на их основе комбинированные программы, реализованные на языке MAPLE, могут быть использованы для нахождения линейно независимых решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка и для решения задач на собственные значения для одномерных и двумерных уравнений Шредингера с полиномиальными потенциалами. Разработанные пакеты программ апробированы в учебном процессе при выполнении курсовых и дипломных работ студентами физико-математического факультета БелГУ.

Положения, выносимые на защиту.

1. Способ приближенного решения задачи на собственные значения одномерных и двумерных дифференциальных операторов второго порядка на основе метода нормальных форм и результаты расчетов спектров гамильтонианов одномерных ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности, а также двумерного С3„ инвариантного полиномиального гамильтониана.

2. Аналитически-численный метод самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного С2„ инвариантного полиномиального гамильтониана, алгоритм и реализующую его с использованием средств компьютерной алгебры программу и результаты конкретных численных расчетов нижайших собственных значений и собственны функций.

3. Аналитически-численный метод решения задачи на собственные значения одномерных дифференциальных операторов второго порядка фуксовского типа, алгоритм и реализующую его с использованием средств компьютерной алгебры программу, а также результаты

численных расчетов нижней части энергетического спектра и соответствующих волновых функций ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности, включая ангармонический осциллятор с двумя минимумами.

Обоснованность и достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлены корректностью математических выкладок с использованием положений и теорем теории дифференциальных уравнений, исследованием точности полученных результатов в зависимости от параметров решаемых задач при аналитически-численных вычислениях и воспроизведением результатов, полученных другими методами и другими авторами.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях: Международная молодежная научная конференция «XXIX Гагаринские чтения» (Москва, 8-11 апреля, 2003); Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 5-6 октября, 2004); V Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 1-3 ноября, 2004); VI Международная научно-техническая конференция (Санкт-Петербург, 28 июня-2 июля, 2005); VII Международная конференция по математическому моделированию (Феодосия, 6-10 сентября, 2005); The 8th International Workshop in Computer Algebra in Scientific Computing (Kaiamata, September 12-16, 2005, Greece); Семинар по вычислительной физике в Лаборатории информационных технологий (г. Дубна, ОИЯИ, 12 апреля, 2006); Семинар по вычислительной и прикладной математике ЛИТ и Семинар по компьютерной алгебре ВМК и НИИЯФ МГУ, (Дубна, 23-24 мая, 2006).

Связь с научными программами, планами м темами. Диссерта- . ционная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта, научно-исследовательского направления «Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения», утвержденного Ученым советом БелГУ от 3.11 2000 г., с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского фонда фундаментальных исследований (грант №03-02-16263).

Личный вклад автора. Автор диссертации, работая в коллективе соавторов, объединяющем сотрудников ЛИТ и ЛТФ ОИЯИ (г. Дубна), БелГУ (г, Белгород), кафедры прикладной математики и физики Киот-ского университета (г. Киото, Япония), самостоятельно разработал все алгоритмы, программы и тесты, представленные в диссертации. Его вклад в проведение исследований и получение результатов является определяющим. Все результаты, представленные в диссертации, получены самим автором. При выполнении работы по теме диссертации автор принимал активное участие в постановке задач и непосредственно осуществлял их решение.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 14 публикациях в виде статей в журналах и в трудах всероссийских и международных конференций. Программа «Построение общего решения дифференциальных уравнений фуксовского типа в виде степенных рядов» по теме диссертационного исследования зарегистрирована в отраслевом фонде алгоритмов и программ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и трех приложений. Объём диссертации - 135 страниц, 25 рисунков, 13 таблиц. Список литературы включает 127 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, подчеркивается научная новизна и практическая значимость работы, дается краткое описание результатов диссертации.

В главе 1 представлено решение задач на собственные значения методом нормальных форм для одномерных и двумерных операторов Шредингера.

В разделе 1.1 изложена процедура приведения нелинейной га-мильтоновой системы к классической нормальной форме Биркгофа-Густавсона, квантовый аналог которой используется для решения задачи на собственные значения

Я^И<?)=£Г(<7), (л-4,6,8), (О

где гамильтониан выбран в следующей форме:

¿„—1-4 + ^ + «,". (2)

2 <ЬГ 2 а > 0 - произвольный параметр.

Для решения одномерного уравнения Шредингера (1), (2) предложен следующий метод решения. Вначале вводится вспомогательная функция, которая рассматривается как классическая гамильтонова функция

Н(д,р) = Я<2) + Я (2) = |(р2 + <Д = си/* (3)

где р ид — канонически сопряженные импульс и координата.

Затем, выполняя канонические преобразования (д, р) —» (£, г]) с производящей функцией Р(д,т/) = дт} + №(д,1})> приводим классическую гамильтонову функцию (3) к нормальной форме Биркгофа - Гус-тавсона И(д,р) —► Г. Как известно, гамильтонова функция

имеет нормальную форму, если выполняется условие

(4)

д д

где 0(<*,Т}) = г) — --оператор нормальной формы, а производная дг\

щая функция Г(д,г}) удовлетворяет уравнениям ____дЩд,ц)

Р-П+-г-» 4 = 4 +---, (5)

од дт)

которые связывают старые переменные (д,р) и новые .

Гамильтонова функция Н{д,р), ее нормальная форма Г(£,/7) и

функция IV (д,^) представляются следующими суммами:

Щр,д)=^Гн^(д,р), Н^\д,р)= I Ь а1 Рт, (6) 5г2 1+т=$

Г«, 17)= £ Г(5)£ Уъ^гГ. О)

Щд,?7)= I I 1%У|Л (8)

¿>2 /+т=5 т

Здесь величины fy известны, но у^ и w^ являются неизвестными коэффициентами, которые с учетом условия (4) находятся из следующего дифференциального уравнения:

DirW(qtq) = -HW{q,4) + r(S\q,T?)t s = 2,3,... . (9)

При помощи символьной REDUCE программы получаем таким образом производящий полином 1У(д,?1) и нормальную форму Г(£,т}), которые имеют вид суммы однородных полиномов разных степеней по переменным £ и г\.

В разделе 1.2 для получения квантового аналога нормальной формы вводятся новые комплексные канонически сопряженные переменные

г = - JL (71 + / = ~ (г/ - (Ю)

в которых классическая нормальная форма представляется следующим образом:

r = Z\2kz*k. (11)

к К

Л

При построении квантового аналога Г нормальной формы (11) используется правило сопоставления Вейля, которое каждому моному znzm сопоставляет определенное дифференциальное выражение

г'"гя -+J-Y———а а а , (12)

2 mUl\(m-l)\

л+ 1 (d Л А \ (d Л С, л+ л 1

а = —т---с , а = —т---\-с , N — о а =—

f •) \ d е2 т

.(13)

В результате получаем квантовый аналог нормальной формы Биркгофа-Густавсона:

« ^ ( dг V

> к = 1,2,3,...,*^., (14)

где — найденные коэффициенты.

Дифференциальный оператор (14) в виде ряда приближенно представляет начальный гамильтониан (2) уравнения Шредингера (1). Тогда решение задачи на собственные значения

ГФ(£) = ЛФ(£), (15)

представляет собою приближенное решение уравнения Шредингера (1) с гамильтонианом (2). Действительно, полиномы Чебышева-Эрмита есть собственные функции для любой степени дифференци-

Л

ального оператора N (13), а, следовательно, и для всего дифференциального выражения (14). Таким образом, собственные значения X уравнения (15) приближенно определяют энергетический спектр Е исходного уравнения Шредингера (1).

В разделах 1.3 — 1.5 описанным в разделе 1.1 способом найдены решения одномерного уравнения Шредингера (1) с нелинейностями четвертой, шестой и восьмой степеней.

При помощи символьной REDUCE программы получены до порядка ктах = 6 при ц=4, ктм = 9при ц=6 и kmfX = 7при ц=8

классические нормальные формы Биркгофа-Густавсона и их квантовые аналоги. Для найденных квантовых аналогов (14) были решены задачи на собственные значения, которые дают приближенные аналитические формулы для уровней энергии оператора (2). В частности, для случая \х = 8 энергетический спектр дается формулой

£<2>=и+1, £<*>=—а(л4+2и3+5«2+4и + ~1,

2 16 ^ 2 J

ыт 3985 г( , 7 6 „ j 245 4 ... 3 343 , 315^

£(,4) =--а и +-я6 + 28и +—~п* + 154лэ +-пг +132л+- ,

32 ^ 2 4 2 8 )

п = 0,1,2,... (16)

В таблице 1 приведены значения уровней энергии Е, вычисленные по полученным формулам, и соответствующие их значения Eq,

полученные в работе (Banerjee К. Proc. R. Soc. Lond., А364, 1978, р.265) прямым численным решением уравнения Шредингера (1) с гамильтонианом (2) при |д=Ц6^8 и различных значениях параметра а

вместе с относительной погрешностью Е .

Таблица J

Сравнение уровней энергии Е уравнения Шредингера (1) с их "точными" численными значениями Eq , взятыми из работы

(Banerjee К. Proc. R. Soc. Lond., А364,1978, р.265).

ц = 4, а = 0.001 ц - 6, а = 0.001

N Е % Е Eq

0 1.0007484 1.0007486 0.000027 1.00183 1.0018488 0.0016

1 3.0037389 3.0037397 0.000027 3.0126 3.0127809 0.0037

2 5.0097105 5.0097118 0.000027 5.0443 5.0447999 0.0079

3 7.0186507 7.0186525 0.000027 7.108 7.1100928 0.0161

(1=4, а = 0.0 Ц=8 , а = 0,0001

N Е Eq Е eQ

0 1.00734 1.0073736 0.0024 1.00065 1.0006463 0.001

1 3.0364 3.0365253 0.0023 3.0055 3.0057269 0.006

2 5.0938 5.0939391 0.0020 5.024 5.0253949 0.025

3 7.1784 7.1785731 0.0017 7.070 7.0766689 0.08

В разделе 1.6 метод нормальных форм, описанный в разд. 1.1 для одномерных гамильтонианов, развит для решения задачи на собственные значения для двумерного С3(, инвариантного полиномиального

гамильтониана

Л 1

// = — 2

/ -2 а3

+ ~(х2 + У2) + Ь(х2у-±у2) + с(х2 + у2)2, (17)

дх* ду* ) где Ь, с - положительные параметры.

Получены аналитические формулы для энергетического спектра гамильтониана (17) и проведено численное сравнение с первыми 28 уровнями энергетического спектра, вычисленного методом диагонали-зации, максимальная относительная погрешность не превышает 0.05%.

В главе 2 развит метод самосогласованного базиса, с помощью которого решена задача на собственные значения для гамильтонианов

// = -М2(д2 ¡дх2 + д2/ду2) + У{х,у), инвариантных относительно С3„

и С2и дискретных групп.

В разделе 2.1 предложенный метод описан для решения двумерного стационарного уравнения Шредингера

Иг(х,у)=Ец,(х,у)> (18)

Л

где потенциальная часть V(x,.у) гамильтониана Н имеет произвольный полиномиальный вид.

Решение этого уравнения ищется в полярных координатах (г,<р) в виде ряда

J? p(rt<p) = u{rt<p) = ^[^Исоз/^ + B,(r) sin V], (19)

2 Ы1

где A¡{r) и B¡(r) - неизвестные функции. С учетом ортогональности

угловых базисных функций и групповых свойств гамильтониана получены основные уравнения в виде однородных линейных бесконечных систем дифференциальных уравнений для радиальных функций. Для каждой из этих систем, усеченных до конечного числа уравнений, для конкретного значения Е из заранее заданного диапазона решается задача Коши, находится фундаментальная система решений и строится общее решение системы дифференциальных уравнений. Учет граничных условий в общем решении приводит к однородной системе линейных алгебраических уравнений, из которой определяется энергетический спектр и собственные функции исходного уравнения (18).

В данном методе "обрезание" базисной системы функций происходит по одной (угловой) переменной, а по другой (радиальной) ведется численное интегрирование. Это приводит к согласованию базисных функций с видом гамильтониана, н, следовательно, к уменьшению объема вычислений по сравнению с диагоналнзацией.

В разделе 2.2 методом самосогласованного базиса было решено двумерное уравнение Шредингера для полиномиального гамильтониана (17), параметры (Ь,с) которого были выбраны так, чтобы поверхность потенциальной энергии имела единственный минимум. Проведено сравнение полученных уровней энергии с имеющимися в литературе и установлено хорошее согласие (с точностью порядка 0.0012% для первых десяти уровней).

В разделе 2.3 метод самосогласованного базиса развит для решения задачи на собственные значения для двумерного С2„ симметричного оператора Шредингера

Л 1 2

{6х2 + ду2.) с поверхностью потенциальной энергии вида

+ У(*>У)

(20)

у(х,у) = ^(х2 +у2)-^-х2 +Ьх2у2 + с(х2 +у2)2> (21)

которая имеет два локальных минимума и единственную седловую точку в начале координат при определенных значениях параметров а, а' > Ь , с.

Проведенные расчеты сечений Пуанкаре для системы (20), (21) в классическом пределе указывают на существование в ней хаотических режимов движения.

Рис, 1. Изолинии поверхности потенциальной энергии (пунктирные) и линия (сплошная) нулевой 1-гауссовой кривизны для

С2у симметричного гамильтониана

с . параметрами а = 1,8490,

а' = 8.257825, Ь = -0.287070,

с = 0.375509.

-2 0 - 2

В задаче на собственные значения оператора (20), (21) в соответствии с наличием четырех неприводимых представлений группы С2„

получены четыре системы дифференциальных уравнений. Например, соответствующая система уравнений для состояний Ах - типа имеет

вид:

Aq" +<2^+2/3 А2+2уА4 =0 . A2 + а2А2 +/i(A0 + A4) + r(A6 + Аг) = 0 A," +atA{ + p(Ai_ 2 +Аг+2) + г(^4 + 4+4) = 0» / = 4,6,8,...,

- „ 4/2 — 1 , а' 2 b 4 л 4 л л' 2 ^ 4

где аг, = 2£-----ar +—г2—г -2сг , В-~г\ у=-г .

' 4г 2 4 4 8

С помощью разработанной программы SELFA_C2V в среде MAPLE найдены решения (собственные значения и функции) этих систем дифференциальных уравнений для всех типов этой группы: Ay, Bit А2>В2-

В табл. 2 и на рис. 2 представлены некоторые результаты вычисления уровней энергии и волновых функций.

Таблица 2

Энергетический спектр C2v симметричного гамильтониана.

N Тип N Тип

0 -3.898 809 А 4 -0.903 803 А

1 -3.897 242 By 5 -0.807 265

2 -1.423 213 В2 6 1.160 672 А

3 -1.419 615 7 1.196 685

Рис.2. Рельеф и изолинии волновой функции А} -типа для уровня £ = -0.903803.

Так как из литературы нам не известны подобные расчеты, то сделана оценка в гармоническом приближении (без учета туннелирования между двумя ямами) значения энергии основного состояния А1 - типа, которая

отличается от вычисленной нами величины - 3.898809 на 1.5%.

В главе 3 предложен аналитически-численный метод решения задачи на собственные значения одномерного дифференциального оператора второго порядка, который применен к решению некоторых конкретных одномерных уравнений Шредингера.

В разделе 3.1 описана общая схема метода, с помощью которого решается краевая задача для уравнения вида

F(x,E)=XE-V(X)\ (23)

где функция У(х) может иметь полюс не выше второго порядка, у/(х) -

квадратично интегрируемая функция на рассматриваемом интервале, которая обращается в нуль на концах интервала.

Суть метода заключается в нахождении двух линейно независимых решений >>, (л, Е), уг (дг, Е) задачи Коши в виде обобщенных степенных рядов дня уравнения (23), которые содержат величину Е как параметр. Их линейная комбинация С, у1 (*, £) + С2 у2 (х, Е) дает общее решение, из которого с учетом заданных граничных условий строится однородная система линейных алгебраических уравнений. Нетривиальные решения этой системы определяют собственные значения Е и функции у{х) исходной краевой задачи (23).

В разделе 3.2 описана аналитически - численная программа EWA в среде МАРЬЕ., а в разделе 3.3 представлены результаты тестирования разработанной программы на ряде задач, решения которых известны. В частности, для орбитальных моментов / = ±1, ± 2 электрона в постоянном магнитном поле вычислены несколько первых уровней энергетического спектра и для этих уровней вычислены и построены волновые функции. Точность вычисления для 12-го уровня равна 0.0004%, которая может быть увеличена с учетом большего числа членов степенного ряда.

В разделе 3.4 предложенным методом решено одномерное уравнение Шредингера (23) для ангармонического осциллятора с потенциальной функций

X2

V(x) = —+ax*, (// = 4,6,8), (24)

#

где a > 0 - параметр нелинейности.

При помощи составленной программы для уравнения Шредингера с потенциальными функциями (24) найдена нижняя часть энергетического спектра и построены соответствующие волновые функции. Проведено сравнение значений вычисленных нижайших уровней энергии с результатами, имеющимися в литературе, и найдено хорошее согласие. Например, для ц = 4 и a = 0.0005 отличие в десятом уровне от значений, вычисленных методом диагонализации в работе (К. Banerjee. Ргос. R. Soc. Lond., А364, 1978, р.265) составляет 0.006%.

В разделе 3.5 вычислена нижняя часть энергетического спектра и соответствующих волновых функций для ангармонического осциллятора с двумя минимумами, потенциальная функция которого имеет вид

V(x) = a(*?-a1)2, (25)

где а > 0 - параметр нелинейности, а - параметр, определяющий положение минимумов функции (25).

Полученные значения Eewa для нескольких первых энергетических уровней ангармонического осциллятора с двумя минимумами приведены в табл. 3. Там же для сравнения приведены аналогичные результаты EJÄ (JaßupourM.,

AfsharD. J.PhysA: Math.Gen, v35, 2002, p.87) и Е8Ы (Straeten E„ NaudtsJ. J. PhysA: Math.Gen ^ v39,2006, p.933), полученные другими метод ами.

Таблица 3

Энергетический спектр симметричного ангармонического осциллятора (25) с двумя локальными минимумами.

N а = V2 ,а =1 а = 72, а =0.25

^EWA EJA Е EWA F

0 1.80081349 1.80081349 -0.299521302 -0.299521367

1 1.89650538 1.89650538 0.046371670 0.046371082

2 4.37046673 4.37046673 1.227973957 —

3 5.57335024 5.5733520 2.459861283 _

4 7.65142527 — 3.938317733 —

5 9.92036057 — 5.581833988 —

На рис.3 приведены графики потенциальной функции (25) при

а - Я , (X =1 и квадрат волновой функции для основного состояния П — 0 (слева) и для состояния п~5 (справа).

Рис.3. Квадрат волновой функции у/2{х, Е0) для основного состояния (слева) и у/2 (л:, Е5) (справа) для состояния с п = 5, а также график потенциальной функции (25).

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные результаты.

1. Разработан способ вычисления собственных значений и функций эрмитового дифференциального оператора второго порядка на основе метода нормальных форм с использованием системы REDUCE.

2. Получены предложенным выше способом:

а) формулы для энергетических спектров одномерных ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой, восьмой степенями нелинейности и выполнены численные расчеты нижней части энергетических спектров.

б) формулы для энергетического спектра двумерного обобщенного гамильтониана Хенона-Хейлеса и проведены их численные расчеты.

В обоих случаях сделано сравнение полученных результатов с имеющимися в литературе результатами других авторов, и для нижайших уровней найдено удовлетворительное согласие при умерен-

ных значениях параметра нелинейности. (Конкретные цифры зависят от величины ц и а , которые в некоторых случаях приведены выше в автореферате и более полно в диссертации).

3. Развит метод самосогласованного базиса для решения задачи на

собственные значения для С3у симметричного двумерного полиномиального гамильтониана, разработан алгоритм и в среде МАРЬЕ составлена аналитически-численная программа, с помощью которой проведены вычисления первых десяти уровней энергетического спектра и волновых функций А2 - типа .

4. Разработан алгоритм и составлена программа в среде МАРЬЕ, с помощью которой методом самосогласованного базиса вычислены нижайшие энергетические уровни п волновые функции для всех четырех А^А2,В,уВ2-типов С2у симметричного двумерного оператора Шредингера.

5. Показано, что точность значений первых уровней энергии А2-типа для гамильтониана (17), полученных диагонализацией га-

мильтоновой матрицы размерностью 560x560, достигается в методе самосогласованного базиса при решении соответствующей системы всего из восьми дифференциальных уравнений второго порядка.

6. Предложен аналитически-численный метод, основанный на нахождении линейно независимых решений задачи Коши в виде обобщенных степенных рядов, с помощью которых решается исходная задача на собственные значения одномерного оператора Шредингера.

7. Разработан алгоритм и составлена программа в среде МАРЬЕ, с помощью которой решены одномерные уравнения Шредингера для ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности, включая симметричный ангармонический осциллятор с двумя локальными минимумами. Проведено сравнение полученных значений энергетических уровней с имеющимися в литературе результатами, которые вычислены другими методами, и найдено хорошее согласие. В частности, значения приведенных энергетических уровней в работе (ЛаГагроиг М., А^5Ьаг О. РЬуз.А: МаЛ.Сеп., у,35, 2002, р.87) совпадают с полученными в нашей работе.

В трех приложениях приведены листинги разработанных программ для нормализации классической функции Гамильтона (Приложение А), для решения C2v инвариантного двумерного уравнения

Шредингера методом самосогласованного базиса (Приложение Б), для решения задачи на собственные значения одномерного ангармонического осциллятора с произвольным степенным видом потенциальной функции (Приложение В).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Беляева И.Н. Решение уравнения Шредингера методом нормальных форм.// Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции «XXIX Гагаринские чтения». - М.: Изд-во «МАТИ», 2003.-Т.2.-С, 95-96,

2. Беляева И.Н. Метод решения задачи на собственные значения дифференциального уравнения второго порядка.// Сборник студенческих научных работ. - Белгород: Изд-во БелГУ, 2004. - Вып. VII. - С. 11-14.

3. Беляева И.Н., Виницкий С.И, Ростовцев В.А, Чеканов H.A. Решение одномерного уравнения Шредингера с нелинейностью 4, 6 и 8 степени методом нормальных форм.// Физико-математическое моделирование систем: Материалы Международного семинара. - Воронеж: Воронеж, гос. техн. ун-т, 2004, - С. 9-12.

4. Беляева И.Н., Виницкий С.И, Ростовцев В.А, Чеканов H.A. Об одном способе решения задачи на собственные значения для дифференциального оператора II порядка.// Научные ведомости БелГУ. Серия физико-математическая, - Белгород: Изд-во БелГУ, 2004. -№3(20). - Вып. 9. - С. 62-71.

5. Беляева И.Н., Виницкий С.И, Чеканов H.A. Вычисление энергетического спектра для двумерного уравнения Шредингера.// Материалы V Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. — Новосибирск, 2004. - С. 12-13.

6. Беляева И.Н., Уколов Ю.А., Чеканов H.A. Построение общего решения дифференциальных уравнений фуксовского типа в виде степенных рядов.// Программа зарегистрирована в Отраслевом фонде алгоритмов и программ. - М.: ВНТИЦ, 2005. -№50200500089.

7. Беляева ИЛ., Уколов Ю.А., Чеканов Н.А. Решение задачи на собственные значения для обобщённого гамильтониана Хенона-Хейлеса на основе метода нормальных формУ/ Сб. научных трудов СевКавГТУ, Серия естественнонаучная, - Ставрополь, 2005. - № 1 - CSl-Ы,

8. Belyaeva I.N., Chekanov N.A., Gusev А.А., Rostovtsev V.A., Uwano Y., Vinitsky S.I., Ukolov Yu.A. A MAPLE symbolic-numeric program for solving the 2D-eigenvaIue problem by a self-consistent basis method.// Lecture Notes in Computer Science, 2005. -V. 3718. - P. 32-39.

9. Беляева И.Н., Уколов Ю.А., Чеканов H.A. Вычисление энергетического спектра и волновых функций обобщенного гамильтониана Хенона-Хейлеса методом самосогласованного базиса.// Вестник Херсонского национального технического университета. - Херсон: ХНТУ, 2005. - Вып.2 (22) - С. 43-47.

10. Беляева И.Н., Уколов Ю.А., Чеканов Н.А. Решение задачи на собственные значения для двумерного дифференциального оператора посредством сведения к задаче КошиУ/ Труды VI Международной научно-технической конференции «Компьютерное моделирование 2005», - Санкт-Петербург: Изд-во Политехнического университета, 2005.-С. 179-181.

11. Беляева И.Н., Чеканов Н.А. Метод решения одномерного уравнения Шредингера при помощи степенных рядовУ/ Вестник Тамбовского университета, серия естественные и технические науки. -Тамбов, 2006.-Т.Н.-Вып. 2.-С. 168-171.

12. Беляева И.Н., Кузнецова И.С., Чеканов Н.А. Аналитически-численный метод решения краевой задачи для уравнения ШредингераУ/ Вестник Херсонского национального технического университета. - Херсон: ХНТУ, 2006. - Вып.2 (25) - С. 40^6.

13. Беляева И.Н., Макаренко А.Н., Чеканова Н.Н., Чеканов Н.А. Решение задачи на собственные значения для C2v симметричного двумерного гамильтониана методом самосогласованного базиса.// Вестник Херсонского национального технического университета. -Херсон:ХНТУ, 2006. - Вып.2 (25) - С. 47-51.

14. Belyaeva I.N., Chekanov N.A., Gusev A.A., Rostovtsev V.A., and Vinitsky S.I. A symbolic-numeric approach for solving the eigenvalue problem for the one-dimensional Shroedinger equation,// Lecture Notes in Computer Science, 2006. -V. 4194.- P. 23-32.

Подписано в печать 06.102006. Формат60*84/16. Гаршпура Times. Уса. п. л. 1,28. Тираж 100 экз. Заказ 233. Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85

Введение.

Общая характеристика работы

1 Решение задач на собственные значения методом нормальных форм для одномерных и двумерных операторов Шредингера

Введение.

1.1 Классическая нормальная форма Биркгофа-Густавсона.

1.2 Квантовая нормальная форма.

1.3 Решение одномерного уравнения Шредингера с нелинейностью четвертой степени.

1.4 Решение одномерного уравнения Шредингера с нелинейностью шестой степени

1.5 Решение одномерного уравнения Шредингера с нелинейностью восьмой степени.

1.6 Решение задачи на собственные значения для Сз„ симметричного гамильтониана на основе метода нормальных форм.

2 Решение задач на собственные значения для и C2V симметричных гамильтонианов методом самосогласованного базиса

Введение.

2.1 Описание метода.

2.2 Вычисление энергетического спектра и волновых функций обобщенного гамильтониана Хенона-Хейлеса методом самосогласованного базиса.

2.3 Спектр и волновые функции C2V симметричного двумерного уравнения Шредингера

2.3.1 Классический предел.

2.3.2 Основные уравнения.

2.3.3 Описание алгоритма.

2.3.4 Результаты численных расчетов.

3 Аналитически-численный метод решения одномерного уравнения Шредингера

Введение.

3.1 Общая схема метода.

3.2 Описание алгоритма.

3.3 Тестирование программы.

3.4 Ангармонический осциллятор с нелинейностью четвертой, шестой и восьмой степенью.

3.5 Ангармонический осциллятор с двумя минимумами

Многие уравнения математической физики, в частности уравнение Шредингера - основное уравнение нерелятивистской квантовой механики [1], приводят к решению задачи на собственные значения и собственные функции. Однако аналитические выражения для энергетического спектра и волновых функций стационарного уравнения Шредингера даже в одномерном случае удается получить крайне редко (см., например [2-5]) и поэтому для его решения используются различные приближенные методы. К таким наиболее часто используемым приближениям относятся метод диагонализации [6-8], квазиклассический метод [9-17], различные варианты теории возмущений [2,18-24], метод конечных элементов [25], обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона [26], метод нормальных форм [27-35], так называемое 1/N разложение [36-38], метод осцилляторного представления [39], вариационные и операционные методы [40-44], симплектический метод [45], разностные схемы [46,47], метод теории суперсимметрии [48,49], метод детерминантов Хилла [50].

В последнее время бурный рост интереса связан с возникновением таких направлений как управление хаосом и управление квантовыми системами [51], стимулируемое приложениями к разработке квантовых компьютеров [52,53] и к управлению химическими реакциями с выходом определенного реагента, что требует знание энергетического спектра и волновых функций исследуемых квантовых систем.

Как известно, динамический хаос в классической механике впервые открыт А. Пуанкаре еще в конце XIX века [54], хотя его исследование возобновилось лишь в начале шестидесятых годов XX века в результате численных расчетов М. Хеиона и К. Хейлеса [55] и Э. Лоренца [56]. Существование классического хаоса связано с нелинейностью и неинтегрируемостью уравнений движения [57-64] и этому явлению посвящено много монографий и большое количество оригинальных работ [65-70].

Существование детерминированной случайности в нелинейных динамических системах привело к постановке проблемы квантового хаоса, что, в частности, инициировало поиск квантовых проявлений классического хаоса [71-74]. В первую очередь квантовые проявления классического хаоса следует искать в особенностях энергетического спектра и волновых функций оператора Гамильтона, для чего надо решить соответствующее уравнение Шредингера. А так как точные решения могут быть найдены в немногих частных случаях, то прибегают к численным расчетам с использованием компьютерных систем.

Среди существующих различных методов и подходов для численного решения уравнения Шредингера наиболее часто используемым и разработанным является метод диагонализации, однако требующий большого объема компьютерных ресурсов, который возрастает с увеличением размерности задачи и усложнением вида потенциальной функции.

Кроме того, точность вычислений сильно ухудшается [75], если квантовая система допускает существование динамического хаоса в классическом пределе. Более того, если вычислять спектры двумерных гамильтонианов, поверхность потенциальной энергии (ППЭ) которых имеет несколько локальных минимумов, то точность их численных расчетов сильно ухудшается. Например, при вычислении спектра обобщенного гамильтониана Хенона-Хейлеса, ППЭ которого имеет единственный минимум, диагонализацией соответствующей гамильтоно-вой матрицы размерностью приблизительно 1/3-1/4 нижних уровней имеет точность достаточную для изучения статистических свойств, то есть составляет несколько процентов от среднего значения расстояний между соседними уровнями [75]. При диагонализации таких же размеров матрицы указанного гамильтониана, но при наличии четырех локальных минимумов, приблизительно такую точность имеют только несколько десятков первых уровней.

Однако численные расчеты всегда ограничены возможностями даже современных быстродействующих вычислительных машин, а универсального метода не существует, то приходится искать наиболее оптимальные вычислительные методы для проведения конкретных исследований.

Современным перспективным подходом являются комбинированные или аналитически-численные методы, которые сочетает в себе аналитические преобразования исходной задачи с последующим численным решением уже преобразованной задачи. Настоящая работа посвящена разработке новых аналитически-численных методов и составлению программ, с помощью которых исследованы некоторые задачи на собственные значения.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. В математических моделях различных разделов физики, в частности, в классической и квантовой механике, в прикладной математике, в технике задачи на собственные значения играют важную роль. Эти задачи возникают при исследовании устойчивости, критических и бифуркационных режимов сложных физических систем.

В диссертационной работе предложены новые методы решения задач на собственные значения одномерных и двумерных дифференциальных операторов Шредингера второго порядка, описываемых гамильтонианами полиномиального типа, разработаны алгоритмы, реализованные в виде комплексов программ в среде REDUCE и MAPLE, и проведены численные исследования для уравнения Шредингера с конкретными потенциалами.

Найти решение в явном аналитическом виде в подавляющем большинстве случаев невозможно. Даже те уравнения, которые допускают аналитические решения, например, в специальных функциях, при практическом использовании оказываются неконструктивными при конкретных численных расчетах. Поэтому применяются различные, как аналитические, так численные методы для нахождения приближенных решений подобных задач. Как правило, решение таких задач сопряжено с большим объемом вычислений, для выполнения которых необходимо использование современных компьютерных систем, имеющих в своем программном обеспечении инструментарии для работы с аналитическими выражениями.

Существуют различные методы и подходы для численного решения задач на собственные значения, аппроксимирующих исходные уравнения, из которых наиболее часто используемым и разработанным является метод диагонализации. Однако численные вычисления спектров и волновых функций методом диагонализации требуют большого объема компьютерных ресурсов - времени и памяти. Причем, чтобы получить достаточную точность, требуется диагонализовать матрицы очень большой размерности.

Как отмечалось выше, точность сильно ухудшается, если вычислять спектры гамильтоновых операторов, которые допускают существование хаоса в классическом пределе. Точность также сильно падает при расчетах собственных значений и функций для двумерных гамильтоновых систем, поверхность потенциальной энергии которых имеет несколько локальных минимумов.

Следовательно, разработка новых эффективных методов, как аналитических, так и численных, и особенно аналитически-численных, реализация этих методов в виде программных средств с использованием современных эффективных систем компьютерной алгебры REDUCE и MAPLE и использование этих программ для численного исследования ряда важных математических моделей классической и квантовой механики является актуальной проблемой математического моделирования сложных систем.

Цель диссертационной работы - разработка методов, ал горитмов и программ с использованием современных средств компьютерной алгебры для решения задач на собственные значения для одномерных и двумерных дифференциальных операторов Шредингера, а также проведение с их помощью численных исследований ряда математических моделей классической и квантовой механики.

Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработка алгоритмов и программ для решения задач на собственные значения для операторов а) одномерных ангармонических осцилляторов и б) двумерного симметричного (т.е. инвариантного относительно шести преобразований: (р —> ±<£> + 27гд/3, 5 = 0,1,2) оператора Шредингера на основе классических и квантовых нормальных форм.

2. Развитие метода самосогласованного базиса для вычисления энергетического спектра и волновых функций для двумерного С^, симметричного (т.е. инвариантного относительно четырех преобразований: (р ±ip + nq, q = 0,1) уравнения Шредингера.

3. Разработка алгоритма и аналитически-численной программы для решения задачи на собственные значения для С%, симметричного оператора Шредингера методом самосогласованного базиса.

4. Разработка алгоритма и аналитически-численной программы для нахождения линейно независимых решений задачи Копти в виде обобщенных степенных рядов и на их основе решение краевой задачи для одномерного уравнения Шредингера.

5. Вычисление энергетических спектров и волновых функций для ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенью нелинейности по методу 4), включая симметричный ангармонический осциллятор с двумя локальными минимумами.

Методы исследований: методы теории дифференциальных уравнений, метод классической и квантовой нормальной формы, методы компьютерной алгебры, методы вычислительной математики, прикладные программы.

Научная новизна. На основе метода классических и квантовых нормальных форм предложен новый способ вычисления собственных значений и функций одномерных и двумерных дифференциальных операторов Шредингера, разработан алгоритм и составлена соответствующая программа. С помощью этой программы получены собственные значения и функции для одномерных ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности и для двумерного обобщенного гамильтониана Хенона-Хейлеса.

Развит метод самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для и C^v симметричных двумерных гамильтонианов. Разработан алгоритм и составлены аналитически-численные программы и проведены вычисления нижней части энергетического спектра и соответствующих волновых функций указанных выше гамильтонианов.

Предложен аналитически-численный метод, основанный на нахождении линейно независимых решений задачи Коши в виде обобщенных степенных рядов, с помощью которых решается задача на собственные значения одномерного дифференциального уравнения Шре-дингера. Разработан алгоритм и составлена аналитически-численная программа, с помощью которой получено решение одномерного уравнения Шредингера для ангармонических осцилляторов с различной четной (4, б, 8) степенью нелинейности, включая ангармонический осциллятор с двумя локальными минимумами.

Практическая значимость и полезность полученных результатов. Диссертационная работа носит теоретический и практический характер. Результаты этого исследования могут быть использованы для исследования динамики нелинейных гамильтоновых систем и для решения задач на собственные значения их квантовых аналогов. Полученные программные средства в среде REDUCE могут быть применены для построения классических и квантовых нормальных форм нелинейных гамильтоновых систем полиномиального типа. Разработанные аналитически-численные алгоритмы и созданные на их основе комбинированные программы, реализованные на языке MAPLE, могут быть использованы для нахождения линейно независимых решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка и для решения задач на собственные значения для одномерных и двумерных уравнений Шредингера с полиномиальными потенциалами. Разработанные пакеты программ апробированы в учебном процессе при выполнении курсовых и дипломных работ студентами физико-математического факультета БелГУ.

Положения выносимые на защиту.

1. Способ приближенного решения задачи на собственные значения одномерных и двумерных дифференциальных операторов второго порядка на основе метода нормальных форм и результаты расчетов спектров гамильтонианов одномерных ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенью нелинейности, а также двумерного инвариантного полиномиального гамильтониана.

2. Аналитически-численный метод самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного С2и инвариантного полиномиального гамильтониана, алгоритм и реализующую его программу и результаты конкретных численных расчетов нижайших собственных значений и собственных функций.

3. Аналитически-численный метод решения задачи на собственные значения одномерных дифференциальных операторов второго порядка фуксовского типа, алгоритм и реализующую его программу. А также результаты численных расчетов нижней части энергетического спектра и соответствующих волновых функций ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности, включая ангармонический осциллятор с двумя минимумами.

Обоснованность и достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена корректностью математических выкладок с использованием положений и теорем теории дифференциальных уравнений, исследованием на устойчивость полученных результатов в зависимости от параметров решаемых задач при аналитически - численных вычислениях и воспроизведением результатов, полученных другими методами и другими авторами.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: Международная молодежная научная конференция "XXIX Гагаринские чтения" (Москва, 8-11 апреля, 2003); Международный семинар "Физико-математическое моделирование систем"(Воронеж, 5-6 октября, 2004); V Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 1-3 ноября, 2004); VI Международная научно-техническая конференция (Санкт-Петербург, 28 июня - 2 июля, 2005); VII Международная конференция по математическому моделированию (Феодосия, 6-10 сентября, 2005); The 8th International Workshop in Computer Algebra in Scientific Computing (Kalamata, September 12-16, 2005, Greece); Семинар по вычислительной физике в Лаборатории информационных технологий (г. Дубна, ОИЯИ, 12 апреля, 2006); Семинар по вычислительной и прикладной математике ЛИТ и Семинар по компьютерной алгебре ВМК и НИИ-ЯФ МГУ, (Дубна, 23-24 мая, 2006).

Связь с научными программами, планами и темами. Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта, научно-исследовательского направления "Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения", утвержденного Ученым советом Бел ГУ от 3.11 2000 г., с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 03-0216263).

Личный вклад автора. Автор диссертации, работая в коллективе соавторов, объединяющем сотрудников ЛИТ и ЛТФ ОИЯИ (г. Дубна), БелГУ (г. Белгород), кафедры прикладной математики и физики Ки-отского университета (г. Киото, Япония), самостоятельно разработал все алгоритмы, программы и тесты, представленные в диссертации. Его вклад в проведение исследований и получение результатов является определяющим. Все результаты, представленные в диссертации, получены самим автором. При выполнении работы но теме диссертации автор принимал активное участие в постановке задач и непосредственно осуществлял их решение.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 14 публикациях в виде статей в журналах, в трудах всероссийских и международных конференций. Программа "Построение общего решения дифференциальных уравнений фуксовского типа в виде степенных рядов" по теме диссертационного исследования зарегистрирована в отраслевом фонде алгоритмов и программ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и трех приложений. Объём диссертации - 135 страниц, 25 рисунков, 13 таблиц. Список литературы включает 127 наименований.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Разработан способ вычисления собственных значений и функций эрмитового дифференциального оператора второго порядка на основе метода нормальных форм с использованием системы REDUCE.

2. Получены предложенным выше способом: а) формулы для энергетических спектров одномерных ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой, восьмой степенями нелинейности и выполнены численные расчеты нижней части энергетических спектров. б) формулы для энергетических спектров двумерного обобщенного гамильтониана Хенона-Хейлеса и проведены их численные расчеты.

В обоих случаях сделано сравнение полученных результатов с имеющимися в литературе результатами других авторов, и для нижайших уровней найдено удовлетворительное согласие при умеренных значениях параметра нелинейности. (Конкретные цифры зависят от значений параметров ц и а гамильтонианов).

3. Развит метод самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного C%v симметричного полиномиального гамильтониана, разработан алгоритм и в среде MAPLE составлена аналитически-численная программа, с помощью которой проведены вычисления первых десяти уровней энергетического спектра и волновых функций Л.2 - типа.

4. Разработан алгоритм и составлена программа в среде MAPLE, с помощью которой методом самосогласованного базиса вычислены нижайшие энергетические уровни и волновые функции для всех четырех

Ai, А2, Bi, B2 - типов двумерного C2v симметричного оператора Шредингера.

5. Показано, что точность значений первых уровней энергии А2 - типа для гамильтониана (2.2.2), полученных диагонализацией гамильтоно-вой матрицы размерностью 560 х 560, достигается в методе самосогласованного базиса при решении соответствующей системы всего из восьми дифференциальных уравнений второго порядка.

6. Предложен аналитически-численный метод, основанный на нахождении линейно независимых решений задачи Коши в виде обобщенных степенных рядов, с помощью которых решается исходная задача на собственные значения одномерного оператора Шредингера.

7. Разработан алгоритм и составлена аналитически-численная программа в среде MAPLE, с помощью которой решены одномерные уравнения Шредингера для ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности, включая симметричный ангармонический осциллятор с двумя локальными минимумами.

Проведено сравнение полученных значений энергетических уровней с имеющимися в литературе результатами, которые вычислены другими методами, и найдено хорошее согласие. В частности, значения энергетических уровней с восьмью знаками, приведенных в работе [42], совпадают с полученными в нашей работе.

Заключение

1. Шрёдингер Э. Квантование как задача о собственных значениях.- В кн.: Шрёдингер Э. Избранные труды по квантовой механике.- М.: Наука, 1976, С.9-20; С.21-50; С.75-115; С.116-138.

2. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. Т.1. М.: Мир, 1974. -343 с.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., Наука, 1963. - 703 с.

4. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973. - 704 с.

5. Bagchi В and Ganguly A. A unified treatment of exactly solvable and quasi-exactly solvable quantum potentials.//J.Phys.A.-.Math.Gen., 2003. V.36 - P. 161-167.

6. Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976. - 392 с.

7. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.- 549 с.

8. Banerjee К., Bhatnagar S.P., Choudhry V. and Kanwal S.S. The anharmonic oscillator.// Proc. R. Soc. bond., 1978. A.360. - P. 575586.

9. Фрёман Н., Фрёман П.У. ВКБ-приближение.- М.: Мир, 1967. -168 с.

10. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассические приближения для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976. - 292 с.

11. И. Борн М. Лекции по атомной механике. Харьков-Киев: ГНТИ, 1934. - 312 с.

12. Hioe F.T. and Montroll E.W. Quantum theory of anharmonic oscillators. I. Energy levels of oscillators with positive quartic ahharmonicity.// J. Math. Phys., 1975. V.16, No 9. - P.1945-1955.

13. Hioe F.T., Don MacMillen, and Montroll E.W. Quantum theory of anharmonic oscillators. II. Energy levels of oscillators with x2a ahharmonicity.// J. Math. Phys, 1976. V.17, No. 7. - P.1320-1337.

14. Kesarwani R.N, Varshni Y.P. Five-term WKBJ approximation.// J. Math. Phys, 1980. V.21, No. 1. - P.90-92.

15. Kesarwani R.N, Varshni Y.P. Eigenvalues of an anharmonic oscillators.// J. Math. Phys, 1981. V.22, No 9. - P.1983-1989.

16. Ульянов В.В. Интегральные методы в квантовой механике. -Харьков: Вища школа. Изд-во при Харьк. ун-те, 1982. 160 с.

17. Лобашев А,А, Трунов Н.Н. Интегральный квазиклассический метод расчета спектров центрально-симметричных задач.// Теоретическая и математическая физика, 2000. Т.124, №3 - С.463-480.

18. Bender С.М. and Wu Т.Т. Anharmonic oscillator.// Phys. Rev. -V.184, No.5. P. 1231-1260.

19. Bender С.М. and Wu Т.Т. Anharmonic oscillator. II. A study of perturbation theory in large order.// Phys. Rev. 1973. - D7., No.6 - P. 1620-1636.

20. Barry Simon. Coupling constant analyticity for the anharmonic oscillator.// Ann. Phys., 1970. V.58, No. 1. - P. 76-136.

21. Бете Г. Квантовая механика. М.: Мир, 1965. - 334 с.

22. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. - 320с.

23. Белокуров В.В., Соловьев Ю.П., Шавгулидзе Е.Т. Теория возмущений со сходящимися рядами для вычисления величии, заданных конечным числом членов расходящегося ряда традиционной теории возмущений. ТМФ, Т.123. №3, 2000. - 452-461 с.

24. Найфэ А. Методы возмущений. М: Мир, 1976. - 456.

25. Abrashkevich A.G., Abrashkevich D.G., Kaschiev M.S., Puzynin I.V. FESSDE, a program for the finite-element solution of the coupled-channel Schroedinger equation using high-order accuracy approximations.// Сотр. Phys. Commun. 1995. - V.85 - P. 6574.

26. Пузынин И.В. и др. Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона для численного исследования некоторых нелинейных квантово-полевых моделей.// ФЭЧАЯ. 1999. - Т.ЗО, Вып. 1 -С. 210-265.

27. Биркгоф Дж. Динамические системы. Ижевск: НИЦ "РХД", 1999. - 408 с.

28. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М: Наука, 1998. - 288 с.

29. Gustavson F.G. On constructing formal integrals of hamiltonian systems.// Astronomical Journal. 1966. - V.71 - P. 670-686.

30. Swimm R.T., Delos J.B. Semiclassical calculation of vibritional energy levels for nonseparable systems using Birkhoff-Gustavson normal form.//J.Chem.Phys. 1979. - Y.71 - P. 1706-1716.

31. АН M.K. The quantum normal form and its equivalents.// J. Math. Phys. 1985. - Y.26, No.10 - P. 2565-2572.

32. Robnik M. The algebraic quantization of the Birkhoff-Gustavson normal form.// J. Phys. A: Math. Gen. 1984. - V.17. - P. 109130.

33. Nikolaev A.S. On the diagonalization of quantum Birkhoff-Gustavson normal form.// J. Math. Phys. 1996. -V.37. No.6, - P. 2643-2661.

34. Беляева И.Н. Метод решения задачи на собственные значения дифференциального уравнения второго порядка.// Сборник студенческих научных работ. Белгород: Изд-во БелГУ, 2004. - Вып. VII. - С. 11-14

35. Jaffe L.G. Large N limits as classical mechanics.// Rev. Mod. Phys. 1982. - V.54. - P. 407-435.

36. Йаффе JI. Квантовая механика с большим N и классические пределы./ / Сб. Физика за рубежом, сер. А. Исследования. М.: Мир, 1984. - 239 с. (С. 60-88).

37. Tang A.Z. and Chan F.T. Shifted 1/N expansion for the Hulten potential.// Phys. Rev. 1987. - A35., No.2. - P. 911-914.

38. Dineykhan M. and Efimov G.V. The Schroedinger equation for bound state systems in the oscillator representation.// Repots of Math. Phys. 1995. - V.6, No.2/3, - P. 287-308.

39. Коллатц. Задачи иа собственные значения. М.: Наука, 1968, -504 с.

40. Беляев В.Б., Картавцев О.И., Кочкин В.И. Вариационный метод расчета ,,поверхностных"гинерсферических функций для систем типа ZHn. Тестовый расчет системы dtji.// Сообщения ОИЯИ Р4-93-460, Дубна 1993. - 7с.

41. Jafarpour М., Afshar D. Calculation of energy eigenvalues for the quantum anharmonic oscillator with a polynomial potential.// J. Phys. A: Math. Gen. 2002. - V.35 - P. 87-92.

42. Ivanov I.A. Sextic and octic anharmonic oscillator: connection between strong-coupling and weak-coupling expansions.// J. Phys. A: Math. Gen. 1998. - V.31 - P. 5697-5704.

43. Ivanov I.A. Link between the strong-coupling and weak-coupling asymptotic perturbation expansions for the quartic anharmonic oscillator.// J. Phys. A: Math. Gen. 1998. - V.31 - P. 6995-7003.

44. Kinoshita H., Yoshida H. and Nakai H. Symplectic integrator and their application to dynamical astronomy.// Celestial mechanics and dynamical astronomy. 1991 - V.50 - P. 59-71.

45. Мазепа H.E., Сердюкова С.И. Исследования устойчивости одной разностной краевой задачи с применением системы аналитических вычислений.// Известия ВУЗов, Математика. 1985. - Т.10.- С.55-61.

46. Ganzha V.G. and Vorozhtsov E.V. Computer-Aided Analysis of Difference Schemes for Partial Differential Equations. New York: Wiley-Interscience, 1996. - 458 p.

47. Adhikari R., Dutt R. Exact solutions for polynomial potentials using supersymmetry in-spired factorization method.// Phys. Lett. 1989.- A141., No.1,2, P. 1-8.

48. Ctmn-Hui Miao and Shang-Wu Qian. Variational supersymmetric WKB approximation.// Phys. Rev. 1997. - A56., No.3. -P. 24122414.

49. Chaudhuri R.N. and Mondal M. Eigenvalues of anharmonic oscillators and the perturbed Coulomb problem in N-dimensional space.// Phys. Rev. 1995. - A52., No.3. - P. 1850-1856.

50. Фрадков JI.А., Якубовский О.А. Управление молекулярными и квантовыми системами. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 416 с.

51. Берман Г.П., Дулен Г.Д., Майньери Р., Цифринович В.И. Введение в квантовые компьютеры. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004. - 188 с.

52. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. Ижевск, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 352с.

53. Пуанкаре А. Новые методы в небесной механике. Избранные труды в трех томах. T.l, М: Наука, 1971. - 776с; Т.2, Наука. - 1972.- 360 с.

54. Henon М., Heiles С. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments.// Astron. J. 1964. - V.69 - P.73-79.

55. Lorenz E.N. Deterministic non periodic flow.// J. Atmos. Sci. 1963.- V.20 P. 130-141.

56. Зигель К., Мозер Ю. Лекции по небесной механике. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 384 с.

57. Уиттекер Э. Аналитическая динамика . Ижевск: НИЦ "РХД", 1999. - 596 с.

58. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002. - 238 с.

59. Цыганов А.В. Интегрируемые системы в методе разделения переменных. -- Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. 384 с.

60. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 504 с.

61. Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М.: Наука, 1986. - 256 с.

62. Рейман А.Г., Семенов-тян-Шанский М.А. Интегрируемые системы. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 352 с.

63. Вилази Г. Гамильтонова динамика. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006. - 432 с.

64. Симо К., Смейл С., Шенсине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 304с.

65. Шильников Л.П., Шилышков А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 416 с.

66. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. -288 с.

67. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 560 с.

68. Брур Х.В., Дюмортье Ф., ван Стрин С., Такенс Ф. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. -336 с.

69. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. - 272 с.

70. Gutzwiller М.С. Chaos in classical and quantum mechanics. -Springer-Verlag, New York Inc., 1990. 431 p.

71. Табор M. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.: УРСС, 2001. - 320 с.

72. Штокмаи Х.-Ю. Квантовый хаос. М.:, ФИЗМАТЛИТ, 2004. -376 с.

73. Bolotin Yu.L, Gonchar V.Yu, Tarasov V.N, Chekanov N.A. The transition regularity-chaos-regularity and statistical properties of wave function.// Phys. Lett. 1990. - V.A144, No.8,9. - P. 459-461.

74. Болотин Ю.Л, Виницкий С.И, Гончар В.Ю,Чеканов Н.А. и др. Проявление стохастичности в спектрах некоторых гамильтоновых систем с дискретной симметрией// ЯФ 1990. - Т.52, Вып.2(8) -С. 588-600.

75. Jaffe Ch, Reinhard W.P. Uniform semiclassical quantization of regular and chaotic classical dynamics on the Henon-Heiles surface.// J.Chem.Phys. 1982. - V.77, No.10 - P. 5192-5203.

76. R.B. Shirts, W.P. Reinhard. Approximate constant of motion for classicaly chaotic vibrational dynamics: vague tori, semiclassical quantization, and classical intramolecular energy flow.// J.Chem.Phys. 1982. - V.77, No.10 - P.5204-5217.

77. T. Uzer, R.A. Marcus. Quantization with operators appropriate to shapes of trajectories and classical pertubation theory.// J. Chem. Phys. 1984. - V.81, No.10 - P. 5013-5023.

78. Gusev A.A, Chekanov N.A, Rostovtsev V.A, Vinitsky S.I. and Uwano Y. A comparison of algorithms for the normalization and quantization of polinomial hamiltonians.// Programming and Computer Software 2004. - V.30, No.2 - P. 75-82.

79. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. М.: Наука, 1986. - 496 с.

80. Banerjee К. General anharmonic oscillators.// Proc. R. Soc. bond. -1978. A.364 - P. 265-275.

81. Голдстейн Г. Классическая механика. М: Наука, 1975. - 415 с.

82. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М: Наука,1966. - 300 с.

83. Маркеев А.П. Теоретическая механика. Ижевск: НИЦ "РХД", 2001. - 592 с.

84. Basios V., Chekanov N.A., Markovski B.L., Rostovtsev V.A., Vinitsky S.I. GITA: a REDUCE program for the normalization of polynomial Hamiltonians.// Сотр. Phys. Commun. 1995. - V.90 -P. 355.

85. Беляева И.Н. Решение уравнения Шредингера методом нормальных форм.// Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции "XXIX Гагаринские чтения". М.: Изд-во "МАТИ", 2003. - Т.2. - С. 95-96.

86. Ali М.К., Wood R.W., Devitt J.S. On the summation of the Birkhoff-Gustavson normal form of an anharmonic oscillator// J. Math. Phys. 1986.-V.27-P. 1806-1812.

87. Чеканов H.A. Квантование нормальной формы Биркгофа-Густавсона.// ЯФ 1989. - Т.50, Выri.8 - с. 344-346.

88. А.С. Hearn, REDUCE User's Manual, Version 3.4. The Rand Corporation. Santa Monica. - 1991. - 988 c.

89. Слэтер Дж. Электронная структура молекул. М: Мир, 1965. -623 с

90. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Инопин Е.В. и др. Стохастическая ядерная динамика.// Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1989. - Т.20, Вып.4 - С. 878-929.

91. Беляева И.Н., Уколов Ю.А., Чеканов Н.А. Решение задачи на собственные значения для обобщённого гамильтониана Хенона-Хейлеса на основе метода нормальных форм.// Сб. научных трудов СевКавГТУ. Серия естественнонаучная. Ставрополь, 2005.- № 1 С. 52-57

92. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1953, - 468 с.

93. Форсайт Дж., Мальком М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980, - 279 с.

94. Ошибки округления в алгебраических процессах. Сб. докладов под ред. В.В. Воеводина. -М.: ВЦ МГУ, 1968. С. 39-58.

95. Forsyth G.E. Singularity in numerical analysis.// Amer. Math. Monthly. 1958 - P. 229-240.

96. Форсайт Дж., Моулер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969, - 167 с.

97. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. - 575 с.

98. Болотин Ю.Л., Виницкий С.И., Гончар В.Ю., Марковски Б.Л., Тарасов В.Н., Чеканов Н.А. Проявления стохастичности в спектрах некоторых гамильтоновых систем с дискретной симметрией.// Препринт ОИЯИ Р4-89-59, Дубна 1989. - 28 с.

99. Toda М. Instability of trajectories of lattice with cubic nonlinearity.// Phys. Lett. 1974. - V.48 - P. 335-336.

100. Krivoshei I.V. Dynamic chaos and instability in barrier processes of chemical dynamics.// Sov. Sci. Rev., B.Cliem. 1988. - V.ll - P. 123143.

101. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1962. -352 с.

102. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1963. - 546 с.

103. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. - 464 с.

104. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.2 М.: ГИТТЛ, 1953.- 628 с.

105. Fernandez М. F. On an alternative perturbation method in quantum mechanics.// J. Phys. A: Math. Gen. 2006. - v.39. - P. 1683-1689.

106. Alvarez G., Graffi S., Silverstone H. J. Transition from classical mechanics to quantum mechanics: x4 perturbed harmonic oscillator.// Phys. Rev. 1988. - A38, No.4 - P. 37-47.

107. Killingbeck J.P., Scott T. and Rath B. A matrix method for power series potentials.// J. Phys. A: Math. Gen. 2000. - V.33 P. 69997006.

108. Славянов С., Лай В. Специальные функции: единая теория, основанная на анализе особенностей. СПб.: Невский диалект, 2002.- 312 с.

109. Voros A. Exact quantization condition for anharmonic oscillator.// J. Phys. A: Math. Gen. 1994. - У.27. - P. 4653-4661.

110. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. М.: ГИФМЛ, 1963. - 344 с.

111. Беляева И.Н., Уколов Ю.А., Чеканов Н.А. Построение общего решения дифференциальных уравнений фуксовского типа в виде степенных рядов.// Зарегистрирована в Отраслевом фонде алгоритмов и программ. М.: ВНТИЦ, 2005.- №50200500089.

112. Belyaeva I.N., Chekanov N.A., Gusev A.A., Rostovtsev V.A., and Vinitsky S.I. A symbolic-numeric approach for solving the eigenvalue problem for the one-dimensional Shroedinger equation.// Lecture Notes in Computer Science, 2006. V.4194. - P. 23-32.

113. Соколов А.А., Лоскутов Ю.М., Тернов И.М. Квантовая механика.- М.: Гос. уч.-пед. изд-во Мин-во просвещения РСФСР, 1962. -592 с.

114. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979. - 416 с.

115. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979, 831 с.

116. Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика. М.: Наука, 1976, 336 с.

117. Буреева Л.А., Лисица B.C. Возмущенный атом. М.: ИздАТ, 1997,- 464 с.

118. Беляева И.Н., Чеканов Н.А. Метод решения одномерного уравнения Шредингера при помощи степенных рядов.// Вестник Тамбовского университета, серия естественные и технические науки.- Тамбов, 2006. Т.Н. - Вып. 2. - С. 168-171.

119. Беляева И.Н., Кузнецова И.А., Чеканов Н.А. Аналитически-численный метод решения краевой задачи для уравнения Шредингера.// Вестник Херсонского национального технического университета. Херсон: ХНТУ, 2006. - Вып.2(25) - С. 40-46.

120. Erik Van der Straeten and Jan Naudts. The quantum double-well anharmonic oscillator in an external field.// J. Phys. A: Math. Gen. 2006. - V.39. - P. 933-940.