автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка символьно-численных преобразований при интегрировании некоторых классов дифференциальных уравнений

На правах рукописи

ЛУКЬЯНЕНКО Алла Николаевна

РАЗРАБОТКА СИМВОЛЬНО-ЧИСЛЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРИ ИНТЕГРИРОВАНИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород-2009

003464972

Работа выполнена в Белгородском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

ст. научный сотрудник Чеканов Николай Александрович

Научный консультант: кандидат физико-математических наук, доцент

Аматов Михаил Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Владимир Федотович Пивень

доктор физико-математических наук, профессор Анатолий Юльевич Захаров

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов

(г. Москва)

Защита диссертации состоится 22 апреля 2009 г. в 16.00 на заседании диссертационного совета Д212.015.04 в Белгородском государственном университете по адресу. 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, ауд.322.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета по адресу: 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85.

Автореферат разослан «Й» кда^сп^Л- 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

В. А. Беленко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Большинство дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, которые возникают в математике, физике и других естественных науках, не интегрируется в квадратурах. Как правило, для них не существует и универсальных численных методов нахождения решений. К таким уравнениям относятся, в частности, стационарное двумерное уравнение Шредингера (при решении для него задачи на собственные значения), и уравнение Навье-Стокса. Настоящая диссертационная работа и посвящена исследованию решений этих уравнений с помощью систем компьютерной алгебры (СКА).

Разработка новых методов, как аналитических, так и численных, и особенно символьно-численных, реализация этих методов в виде программных средств с использованием современной эффективной СКА MAPLE и использование этих программ для исследования ряда важных математических моделей классической и квантовой механики является актуальной проблемой математического моделирования сложных физических систем.

В последние десятилетия в связи с активным исследованием детерминированного хаоса в классических системах возникла проблема исследования их квантовых моделей (см., например, Х.Ю. Штокман. Квантовый хаос, 2004). Существование хаотического движения и смешанных состояний (когда при одной и той же энергии в разных потенциальных ямах сосуществуют два типа движений: хаотическое и регулярное) и квантовые эффекты тунне-лирования приводят к дополнительным вычислительным трудностям в решении соответствующих уравнений при квантово-механическом рассмотрении (Bolotin Yu. L. et. al. Phys. Lett., 1989, v. A144, p.459.). Аналогично исследование наноструктур, для математического моделирования которых необходимо применять квантовые уравнения, также приводит к решению задач на собственные значения (Фрадков JI.A., Якубовский O.A. Управление молекулярными и квантовыми системами. Москва - Ижевск, 2003.).

Использование прямых численных способов решений этих задач не всегда приводит к цели, так как численные расчеты имеют большую неточность по сравнению с аналитическими, а также ограничены возможностями даже современных вычислительных систем. В ситуации, когда универсального способа получить решение не существует, приходиться искать более оптимальные вычислительные методы для конкретных систем.

В диссертационной работе, на основе СКА, развиты метод самосогласованного базиса, с помощью которого найдены решения двумерного уравнения Шредингера с поверхностью потенциальной энергии с несколькими локальными минимумами, и метод обобщенных степенных рядов интегрирования линеаризованного при определенных условиях уравнения Навье-Стокса.

Цель диссертационной работы - разработка алгоритмов и программ с использованием современной СКА Maple для решения задач на собственные значения для двумерных дифференциальных операторов Шредингера и проведение с их помощью численных исследований ряда математических моделей классической и квантовой механики, а также интегрирования уравнения Навье-Стокса.

Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработка алгоритмов и программ для символьно-численного решения задачи на собственные значения для операторов: а) двумерного C2v инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет два локальных минимума; б) двумерного С3„ инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет в зависимости от набдра параметров один или четыре локальных минимума, в) двумерного С4„ инвариантного полиномиального гамильтониана с пятиямным потенциалом;

2. Разработка аналитического способа приближенного решения уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов и программно-алгоритмической поддержки символьных преобразований для решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с регулярной особой точкой. Использование этой программы для интегрирования линеаризованного уравнения Навье-Стокса с заданными граничными условиями при условии, когда перепад температуры мал.

Методы исследований: методы теории дифференциальных уравнений, математического анализа, математической физики, численного анализа, компьютерной алгебры, вычислительной математики, использование прикладных пакетов программ.

Научная новизна. Разработаны алгоритмы и в среде MAPLE составлены символьно-численные программы, с помощью которых проведены вычисления энергетического спектра и волновых функций. Составленные программы позволили осуществить дальнейшее развитие метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для C2v, C3v и С4, симметричных двумерных полиномиальных гамильтонианов.

Разработан аналитический способ и составлена программа на языке программирования СКА MAPLE для символьно-численного интегрирования линейных дифференциальных уравнений второго порядка с регулярной особой точкой. С использованием полученной программы решено линеаризованное уравнение Навье-Стокса при заданных граничных условиях в случае обтекания нагретой частицы сфероидальной формы вязкой несжимаемой жидкостью при малых перепадах температуры и получено решение в виде обобщенных степенных рядов.

Практическая значимость и полезность полученных результатов. Данная работа носит теоретический и практический характер. Результаты работы могут быть использованы для исследования динамики нелинейных классических гамильтоновых систем и для решения двумерных уравнений Шредингера. Разработанные символьно-численные алгоритмы и созданные на их основе комбинированные программы, реализованные на языке MAPLE, могут быть использованы для решения задач на собственные значения двумерных дифференциальных операторов Шредингера с полиномиальными потенциалами. Предложенный символьно-численный метод приближенного

решения уравнения Навье-Стокса может быть использован для исследования процессов обтекания частиц произвольной формы и при произвольных перепадах температуры.

Положения, выносимые на защиту.

1. Символьно-численный метод самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного С2„ инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет два локальных минимума, программа и результаты конкретных численных расчетов собственных значений и собственных функций.

2. Развитие символьно-численного метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного С3, инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет в зависимости от набора параметров один или четыре локальных минимума, программа и результаты конкретных численных расчетов собственных значений и собственных функций.

3. Обобщение символьно-численного метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного С4„ инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет пять локальных минимумов, результаты конкретных численных расчетов собственных значений.

4. Символьно-численный метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений с регулярной особой точкой и решение линеаризованного уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов в задаче обтекания нагретой частицы сфероидальной формы вязкой несжимаемой жидкостью при малых перепадах температуры и результаты численных расчетов.

Обоснованность и достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена корректностью математических выкладок с использованием положений и теорем теории дифференциальных уравнений, математического анализа, методов математической физики и применением методов численного анализа, а также исследованием точности подученных результатов в зависимости от параметров решаемых задач при символьно-численных вычислениях и воспроизведением некоторых имеющихся в литературе результатов, полученных другими методами и другими авторами.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы были представлены и докладывались на конференциях: VIII Международная конференция по математическому моделированию (Феодосия, 12-16 сентября, 2006); The 2nd International Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics (Kharkov, Ukraine, September 19-23, 2006); Международная научная конференция для студентов и аспирантов «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Украина, Харьков, 23-25 марта 2007); Международная молодежная научная конференция «XXXIII Гагаринские чтения» (Москва, 37 апреля, 2007); XLIII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 23-27 апреля, 2007); Международная конференция «Компьютерная математика в образовании и научных

исследованиях» (Феодосия, 10-15 сентября 2007); XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 21-25 апреля, 2008); Международная конференция по математическому моделированию (Феодосия, 15-20 сентября 2008), Международная научная конференция «X Белорусская математическая конференция» (Беларусь, Минск, 3-7 ноября 2008), на семинарах кафедры математического анализа БелГУ.

Связь с научными программами, планами и темами. Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта, научно-исследовательского направления «Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения», утвержденного Ученым советом БелГУ от 3.11 2000 г., в соответствии с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03-02-16263).

Личный вклад автора. Автор диссертации самостоятельно разработал все алгоритмы, программы и получил результаты, представленные в диссертации. Его вклад в проведение исследований и получение результатов является определяющим.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 18 публикациях в виде статей в журналах и в трудах всероссийских и международных конференций. Программа вычисления собственных значений и функций симметричного двумерного оператора Шредингера методом самосогласованного базиса по теме диссертационного исследования зарегистрирована в отраслевом фонде алгоритмов и программ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Объём диссертации - 140 страниц, 38 рисунков, 21 таблица. Список литературы включает 108 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, подчеркивается научная новизна и практическая значимость работы, дается краткое описание результатов диссертации.

В главе 1 представлены метод самосогласованного базиса решения задачи на собственные значения и метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов. Даётся описание алгоритмов и программ, составленных на языке программирования СКА МАРЬЕ для символьно-численного решения указанных задач.

В разделе 1.1 предложенный метод самосогласованного базиса описан для решения двумерного стационарного уравнения Шредингера Йф{х,у) = Е"ф(х,у), где потенциальная часть V(x,y) гамильтониана имеет произвольный полиномиальный вид.

Решение этого уравнения ищется в полярных координатах (г, <р) в виде

ряда

y/7y/(r,<p) = u(r,<p) = £ [/*,(/■) eos/<р + B,(r)sml(p], (1)

2 /«i

где Л, (г) и В, (г) - неизвестные функции. С учетом ортогональности угловых базисных функций и групповых свойств гамильтониана с помощью разработанной программы в среде Maple получены основные уравнения в виде однородных линейных бесконечных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для радиальных функций. Для каждой из этих систем, усеченных до конечного числа уравнений, для конкретного значения Е из заранее заданного диапазона решается задача Коши, находится фундаментальная система решений и строится общее решение системы ОДУ. Учет граничных условий по радиальной переменной в общем решении приводит к однородной системе линейных алгебраических уравнений, из которой определяется энергетический спектр и собственные функции исходного уравнения.

В методе самосогласованного базиса усечение базисной системы функций происходит по одной переменной, а по другой ведется численное интегрирование. Это приводит к согласованию базисных функций со сложной потенциальной формой гамильтониана, и, следовательно, к увеличению точности расчетов и к уменьшению объема вычислений по сравнению, например с диагонализацией.

В разделе 1.2 описан алгоритм решения задачи на собственные значения методом самосогласованного базиса. Алгоритм символьно-численного решения стационарного двумерного уравнения Шредингера можно назвать комбинированным. Под комбинированным алгоритмом будем подразумевать алгоритм, который сочетает в себе аналитические преобразования исходной задачи и численное решение уже преобразованной задачи. Поэтому алгоритм разбит на два основных этапа: аналитических преобразований и численного решения.

В разделе 1.3 описан метод интегрирования ОДУ II порядка с регулярной особой точкой х0:

W" + р(х)/(х - x0)W + q(x)/(х - х0)гW = О, (2)

оо со

р(х) = ^2pk(x — ха)1, q(x) = Y2qt(x — ха)к - сходящиеся степенные ряды.

1=0 fc=0

В разделе 1.4 описан алгоритм интегрирования при помощи степенных рядов приближенного уравнения Навье-Стокса из раздела 1.3.

В главе 2 развит метод самосогласованного базиса, с помощью которого решена задача на собственные значения для дифференциального операто-

дх2 + ду2

ра: Я = --

2

+ V(x,y), (3)

с двумя видами поверхностей потенциальной энергии (ППЭ)

V{x, у) = ^(х2 + у2)- ^х2 + Ьхгу + c(x2 + у2)2, (4)

(5)

инвариантных относительно Съ

В разделе 2.1 методом самосогласованного базиса было решено дву-

мерное уравнение Шредингера для С,„ симметричного полиномиального гамильтониана (3) с поверхностью потенциальной энергии (ППЭ) вида (4), параметры (а, а', Ь, с) которого были выбраны так, что ППЭ имеет два локальных минимума и единственную седловую точку в начале координат (рис.1).

{(fa 1 ко

А лО}))

Рис. 1. Изолинии ППЭ (пунктирные) и линия (сплошная) нулевой гауссовой кривизны для гамильтониана (3), (4) с параметрами а = 1,8490, я'= 8,257825, Ъ = -0,287070, с = 0,375509.

Вначале методом сечений Пуанкаре исследован классический аналог квантовой системы (3), (4). В общем, классическая система является неинтег-рируемой, т.е. допускает существование в ней динамического хаоса. Однако при наборе параметров в выражении (4), которые удовлегворяют условию Ь = 0, с = 1 при произвольных а,а',о0, система является интегрируемой [М. Lakshmann, R. Sahaderan. Phys. Rev. A., v. 31, 1985, p.861]. В работе на основе критерия по отрицательной гауссовой кривизне (ОГК) вычислена критическая энергия Еа. перехода от регулярного типа движения к хаотическому, определяемая формулой Еа = -5(а-а')2/144е. Были проведены численные расчеты сечений Пуанкаре для двух наборов параметров:

1) а = 1,849, Ь = 0, с = 1, а'= 8,257825, (6)

2) а =1,8494, b = -0,28707, с = 0,3755095, а'= 8,257825 , (7) с первым из которых (6) классическая система (3), (4) является регулярной, а со вторым (7) - хаотической, что показано на рис.2-3 при некоторых значениях энергии, что подтверждает теоретические предсказания.

Рис. 2. Сечения Пуанкаре для классического гамильтониана (3), (4) с набором параметров (6) при полной энергией а) Е = 0,6035 ; Ь) £ = 3,5304; с) £ = 15

а)

Ь)

с)

Рис. 3. Сечения Пуанкаре для классического гамильтониана (3), (4) с набором параметров (7) при полной энергией а) Е = -3,8982; Ь) Е = 1,5288; с)Е = 3,9228.

Затем, в этом разделе с помощью разработанной символьно-численной программы 8ЕЬРА_С2У в МАРЬЕ решено уравнение Шредингера (3), (4). В соответствии с наличием четырех неприводимых представлений А,, Л2, В,, В, группы С,„ получены четыре системы ОДУ. Например, соответствующая система ОДУ для состояний А1 - типа имеет вид

(8)

А" + а,А, + +Ам) + г(А,_, + Ам) = 0 / = 0,2,4,6,... где а, = 2£-(4/2 -1)/4г2 - агг + а'г2 ¡2-Ьг* /4- 2сг4, /? = а'г2/4, у = Ьг'/&. Были вычислены нижайшие энергетические уровни Еп гамильтониана (3),

(4) с набором параметров (6) и (7) и волновые функции, некоторые из них представлены на рис.4-5.

1»

Шиш

а)

Рис.4. Рельеф и изолинии волновой функции с набором параметров (6) а) А2 - типа для уровня Е = 3,53045 Ь) В2 - типа для уровня £' = 5,32398.

¡Шя

шштШ

^тг-

а) Ь)

Рис.5. Рельеф и изолинии волновой функции с набором параметров (7) а) А, - типа для уровня Е =3,68467 , Ь) В, - типа для уровня £ = 4,03904.

В разделе 2.2 методом самосогласованного базиса было решено двумерное уравнение Шредингера для С,„ симметричного полиномиального гамильтониана (3) с ППЭ вида (5). Число особых точек функции (5) зависит от единственного параметра IV =Ь2/с ив случае, когда выполняется условие ^ = 18, функция (5) имеет четыре одинаково расположенных локальных минимума и три седловые точки (рис. 6).

Рис.6 Изолинии (пунктирные) ППЭ (5) и линия (сплошная) нулевой гауссовой кривизны

Проведено исследование квантовой системы (3), (5) в классическом пределе. Показано, что критерий ОГК перехода от регулярного движения к хаотическому Есг=\/%Ь2 справедлив для движения в центральном минимуме, а в периферийном минимуме хаос развивается при энергиях выше энергии в седловых точках. Это подтверждается выполненными численными расчетами сечений Пуанкаре (рис.7-8). Кроме того, численными расчетами показано, что в данной системе реализуются смешанные состояния: сосуществование различных типов классической динамики (регулярной или хаотической) в разных потенциальных ямах при одной и той же энергии.

Численные расчеты критических энергий и сечений Пуанкаре выполнены для V/ = 18 при двух наборах параметров (р, с):

1) ¿> = 0,018, с = 0,000018, (9)

2) 6 = 0,98, с = 0,0098. (10)

а)

Ь)

Рис. 7. Сечения Пуанкаре для гамильтониана (3), (5) при наборе параметров (9) в центральном (слева) и периферийном (справа) минимумах при полной энергии а) Е = 5, Ь) Е = 400

Рис. 8. Сечения Пуанкаре для гамильтониана (3), (5) при наборе параметров (10) при полной энергии а) Е = I, Ь) Е = 2, с) £ = 10

В задаче на собственные значения С3у симметричного оператора Шре-дингера (3), (5) в соответствии с наличием шести преобразований <р -» ±(р + 2лд/3, ^ = 0,1,2 собственные значения (энергетический спектр) и собственные (волновые) функции исходного гамильтониана классифицированы по трем неприводимым представлениям дискретной группы С^,, из которых два А, и Л2 являются одномерными, а одно Е - двумерным.

Например, соответствующая система уравнений для состояний А, - типа имеет вид

ггА," +а3А3-/1В6=0 г2В6"+а6В6-р{А}-А9) = 0

■................................................................................................(И)

г2Вгм" +а,мВ,м -£(4, - А,м) = 0, I = 1,3,5,...

где а,-2Е- 2ст6 — г4 — /2 + —, /? = -г5.

' 4 3

С помощью разработанной программы 8ЕЬРА_СЗУ в среде МАРЬЕ на основе метода самосогласованного базиса уравнение Шредингера приводится к системе ОДУ относительно неизвестных функций А,(г), В^г), для которых найдены решения. Численные расчеты энергетического спектра (3), (5) проводились для двух наборов параметров (9), (10) и представлены в табл.1.

Таблица 1

Нижайшие энергетические уровни гамильтониана (3), (5) для набора параметров (10)

tl Тип симметрии п Тип симметрии

1 0,01459 А 8 3,30407 Е

2 0,97753 9 3,59518 А

3 1,44356 А 10 3,75290 Е

4 1,91427 Е 11 4,00002 А

5 2,44596 12 4,31451 Е

6 2,70727 Е 13 4,60717 А

7 2,93225 Е 14 4,73069 Е

В главе 3 развит метод самосогласованного базиса, с помощью которого решена задача на собственные значения для двумерного С4у симметричного дифференциального оператора:

дх2 ду\

н = -2

+ V(x,y), (12)

с двумя видами ППЭ:

V(x,y) = ^(х2 + у2) + Ьх2у2+с(х2 + у2)2, (13)

Ц-*,У) = + У2) + Ъхгу2 - с{х2+у2)2 + dx2y2(x2 + / )+ е(Г + у2)'(14)

где Ъ, c,d,e - параметры, которые таковы, что ППЭ имеет или один (13), или пять локальных минимумов и четыре седловых точки (14). Показано, что отличительной чертой системы (14) с несколькими минимумами является сосуществование различных типов классической динамики (регулярного и хаотического) в разных потенциальных ямах при одной и той же энергии.

В разделе 3.1 исследована структура фазового пространства двумерного уравнения Шредингера для C4v симметричного полиномиального гамильтониана (12) с ППЭ (13), имеющей единственный минимум. Были проведены численные расчеты, как при квантовом, так и при классическом рассмотрении систем (12), (13) для двух наборов параметров:

1) й = 1/3 , с = 1/12, (15а)

2) 6 = 5/12, с = 1/24, (156) При классическом рассмотрении гамильтоновой системы (12), (13) и

при выполнении условия Ь = 4- с она является интегрируемой (М. Lakshmann, R. Sahaderan. Phys. Rev. A., v. 31, 1985, p.861). Поэтому классическое движение является регулярными, что подтверждается проведенными численными расчетами сечений Пуанкаре при наборе параметров (15а).

Если b ф 4с, то эта система является неинтегрируемой и классические фазовые траектории являются хаотическими. В этом случае для набора параметров (156) были численно вычислены сечения Пуанкаре, показывающие

хаотический режим классического движения (рис. 9). С помощью критерия ОГК была вычислена критическая энергия Есг={ЪЬ-Ас)1{2Ь-%с)2 перехода регулярность-хаос, которая согласуется с численными расчетами сечений Пуанкаре.

а)

Ь)

с)

Рис. 9. Сечения Пуанкаре для гамильтониана (12), (13) с параметрами (156) при энергии Е = 1,2 (а), £ = 5 (Ь) и Е = 300 (с)

В разделе 3.2 методом самосогласованного базиса решено уравнение Шредингера с гамильтонианом (12) и ППЭ (13). Так как гамильтониан уравнения (12), (13) имеет С4„ симметрию, т.е. не изменяется относительно преобразований р->±р + дл/2, (^ = 0,1,2,3), то его собственные значения и функции были классифицированы по пяти неприводимым представлениям этой группы, из которых Л,, л,, й,, Я, - одномерные, а Е - двумерное. Например, соответствующие системы уравнений для состояний Д, В7 - типов имеют вид:

В, - тип

л/+«д+м=о

Л,"+а,Л,+/}(Аы+Лш) = 0 1 = 2,6,10,14,...

Вг - тип В" +а2Вг + РВЛ = 0 В/ +«А+/?(В2 + Я> 0

(16)

В;+а,В,+/3(В,_,+Вм) = 0

1 = 2,6,10,14,...

где а, - 2Е-Г1 -(Ь/4-2с)г4 +(1-4/2)/4, /3=2>г4/8.

С помощью разработанной программы 8ЕЬРА_С4У были проведены численные расчеты нижайших уровней энергии и волновых функций (две из которых представлены на рис.10) при параметрах (156), для которых система (12), (13) имеет хаос при классическом рассмотрении.

а) б)

Рис. 10. Рельеф и изолинии волновой функции а) для 5, типа при Я = 3,5656, б) для Е1 типа для £ = 4,9574

В случае 6 = 4с переменные в уравнении Шредингера (12), (13) можно разделить и привести его к двум одинаковым одномерным уравнениям. С использованием символьных компьютерных вычислений найдены аналитические решения последних в виде степенных рядов и с их помощью решено двумерное уравнение Шредингера (12), (13). Для параметров 6 = 1/3 и с = 1/12 таким образом численно полученные результаты сравниваются с результатами, полученными с помощью программы 8ЕЬРА_С4У. Значения энергии и волновые функции, вычисленные в этих двух подходах находятся в удовлетворительном согласии. Сравнения видов некоторых волновых функций, полученных обоими методами, показаны на рис.11-12.

а) Ь)

Рис. 11. Рельефы и изолинии волновой функции для Вх типа для Е = 3,791, вычисленные при помощи степенных рядов (а) и методом самосогласованного базиса (Ь)

а) Ь)

Рис. 12. То же, что на рис. 11, для А 2 типа для Е = 6,989

В разделе 3.3 исследовано двумерное уравнение Шредингера (12) с ППЭ вида (14) с набором параметров, которые обеспечивают финитность классического движения, а также наличие единственного минимума в начале координат с К(0,0) = 0 и четырех периферийных минимумов с нулевой потенциальной энергией. На рис. 13 изображены изолинии ППЭ и линия нулевой гауссовой кривизны.

Рис. 13. Изолинии ППЭ (14) и линия (жирная) нулевой гауссовой кривизны

При разных энергиях Е нами были вычислены сечения Пуанкаре, которые представлены на рис. 14, из которых видно, в рассматриваемой системе при одной и той же энергии в разных потенциальных ямах сосуществуют смешанные типы движений: хаотическое в центральном минимуме и регулярное в периферийных потенциальных ямах. Показано, что в рассматриваемой системе при классическом рассмотрении имеет место переход регуляр-

а) "Ь) с)

Рис. 14. Сечения Пуанкаре для классического гамильтониана (12), (14) при энергии: а) Е = 5,Ъ) £ = 900, с) £ = 5000

В разделе 3.4 методом самосогласованного базиса решено уравнение Шредингера (12), (14) для С4„ симметричного гамильтониана, классическая динамика которого была исследована в разделе 3.3.

Как и разделе 3.2., собственные значения и функции были классифицированы по пяти неприводимым представлениям этой группы, из которых А1,А2,В>,В2 - одномерные, а £ - двумерное.

Например, соответствующая система уравнений для состояний Е - типа имеет вид:

Д" +«, А, + (/? + Г )(4 + 4) - (3 + 2у) А = О

А," +а,А, +(/3+ Г)(А,_, + Аы) - (3 + 2Г)А, = 0, / = 1,3,5,7,... где а, =2Е-г2 - (ЫА - 2с)г' + (1- 4/2)/4г2, р = ЪгЧ%, у = г6с{/?,, 8=1ег\

Таблица 2

Энергетические уровни гамильтониана (12), (14) с параметрами

¿ = 0,05; с = 0,01; ¿ = 0,001; е = 0,00005

п Спектр, Еп Тип симметрии п Спектр, ЕП Тип симметрии

1 1,048241 А

2 1,976957 Е 39 9,146085 А

3 2,914033 Д 40 9,512744 Е

4 2,993458 41 9,663204

5 2,999482 А 42 9,666271 Вг

43 9,666623 Аг

В главе 4 прямыми вычислениями и с применением символьно-численных компьютерных методов, развит аналитический способ решения линеаризованного уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов, и найдено решение задачи обтекания частицы сфероидальной формы в вязкой несжимаемой жидкости при относительно малых перепадах температуры. Проведено численно сравнение значений поправочных коэффициентов к закону Стокса, вычисленных по методу функции тока и предложенным способом.

В разделе 4.1 формулируется задача обтекания сплюснутого эллипсоида вращения (сфероида) осесимметричным потоком жидкости, параллельным его оси вращения при малых относительных перепадах температуры. Здесь удобно перейти в систему координат, в которой сфероид предполагается находящимся в покое в начале координат, а жидкость имеет на бесконечности скорость Ux, направленную в сторону положительных значений оси z.

В работе используются сфероидальные координаты е,-ц, ср, которые в случае сплюснутого сфероида связаны с декартовыми координатами соотношениями (Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции. Комаров И.В. и др. 1976):

х = с - che • sin r¡ • cos ip, у — с ■ che • sin 77 • sin ip, z = с ■ she • cos 77, где с = ija2 — b2 , а > b, где a, b - полуоси сфероида, 0 < £■ < со, 0< 77 < яг, О < <р < 2л.

Далее индексом «е» помечаем параметры жидкости, обтекающей сфероид, индексом «оо» - те же параметры, но на бесконечности. Скорость Ue и давление Ре жидкости в окрестности сфероида описывается линеаризованным уравнением Навье-Стокса и уравнением неразрывности

/хеД(7е = gradPe, div Ü.'=0, (18)

с граничными условиями:

lim U с = lim í/„ = 0, (19)

lim Uc = cos 77, lim U„ = sin 77, lim Pt = Px. (20)

£—»ОС E—»00 e—*oo

Здесь Uc и U нормальная и касательная компоненты скорости U,, = |t/.|, U„ - величина скорости набегающего потока, - значение переменной е на поверхности сфероида.

Сила, действующая на сфероид со стороны движущейся жидкости и направленная в сторону положительных значений оси z определяется по формуле (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика, 1986.):

Ft — <j> Рс ■ cos т] + ап • eos т] -att¡- the ■ sin 7jjds, (21)

s

где F = O, Ft = O, ds = c2 • die ■ sin 77- dr¡ -dip — дифференциальный элемент поверхности; aFf и actl— компоненты тензора напряжений в сфероидальной системе координат.

В разделе 4.2 изложен способ решения задачи обтекания сфероида потоком жидкости на основе метода функции тока (Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М. : Мир, 1976, стр. 174), в рамках которого, была получена формула для действующей на сфероид силы в виде

Р2=6жацеихК,, (22)

где К1 - поправочный коэффициент к известному закону Стокса для сферической частицы, выражаемый формулой:

4 1

'з^+Т [¿0-(Я02-1 )arcetgKY

который может быть представлен в виде 4 1

(23а)

ЗлДТ+1

4(и + 1)

(2п + Ъ)(2п + \)^"

1

+ 1

К-1У

Я„< 1

(236)

(2л + 3)(2и + 1) 2

где Я0 =shs0 - значение переменной Я на поверхности сплюснутого сфероида, которое может быть выражено через полуоси как Я0 = \^a/b)2 -1 j

В разделе 4.3 задача обтекания сплюснутого сфероида была решена, исходя непосредственно из уравнения Навье-Стокса (18), предложенным нами способом, так как использование метода функции тока во многих прикладных задачах (особенно при больших перепадах температуры) затруднительно. Решение краевой задачи (18) - (20), исходя из вида граничного условия (20), будем искать в виде

Ue(e,T])= " , •(?(£)• cost?, U,(e,r¡) = —• <?(е)• sinт?, (24)

где G(e) и g(e) - пока неопределенные функции, зависящие только от координаты е, причем из уравнения непрерывности (18) следует, что gis) = G£'(e)/2, Нс = -sin2 tj^J - коэффициент Ламе.

В случае малых перепадов температуры в окрестности сфероида, получено неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка для функции G относительно новой переменной Я = she, которое после подстановки 0(Я) = (1 + Л2) |ф(Я)<М приводится к следующему неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка

(i + я2/ - 1 + я2 • lVo

i 1 + ♦ 1 -1 +-arctg—

Я Я

dÁ2

1+ Я2( 1 + 7Я2 1-7Я2 Я I 1 + Я2 + Я W4X)dX

-8[ 1 — Д • arctg—|ф = -4/(l + А3)2,

(25)

решение последнего, удовлетворяющее граничным условиям, было найдено в виде обобщенного степенного ряда Ф(А) = ЛР£С„А" в двух случаях: Д, > 1 и

л=0

Случай А: Я0>1. Введя новую переменную у = 1/Л, уравнение (25) можно представить в виде

v' +

^(2л + 1)(2л + 3)(2л + 5)

Ф" +

-2v + 12¿

(_1)-(4н + 5)г

4-122

(-0"

Ф = -6

é?(2n + l)(2n + 3)(2« + 5)

■ v'f^-V, tí и!

Ф' (26)

^ (2«+ 5)

где Д,=-(п-1)-(и + 2)-Д,.2> А0 = 1, Д,=0, п> 2.

Из двух корней определяющего уравнения выбираем р, = 4 т.к. решение, соответствующее второму корню р2=-1 не удовлетворяет граничному условию при А = 1/у -»со.

С применением символьных компьютерных (листинг программы приведен в диссертации) и прямых вычислений было получено решение уравнения (26) в виде следующего обобщенного степенного ряда:

(27)

С°>=-

12

и(н + 5)

п=0

п2 + &п-к + 16

{Акг-\)(2к + Ъ)

г( ч

где п>4, С<°=-1, С,(0=0, С<° = 2, С3(1)=0,

С(2):

12

+4л~*+4 CÍV-H

= (я + 3)(л-2) ; (4А:2-1)(2А: + 3) 2«']

где й>3,С0<2)=-1, С,(2) = 0, С<2) = 1.

Возвращаясь от функции Ф к функциям в, g ъ соответствии с их определением (24), получены выражения для компонент скорости: 1/с(е,т]), С/п (е,т]) , а также явный вид для действующей на сфероид силы

^=6 яац,и^г, (28)

где К2 - поправочный коэффициент к закону Стокса, который имеет вид

2 0/(4.)

к2 = -

(29)

с'11

с?'

где А = А0 = л-Л £•„, «штрих» означает производную по переменной А.

Численные расчеты показывают, что значение коэффициента К2 по формуле (29) с большой точностью совпадает со значением коэффициента К, из формулы (23а) при Л0 > 1. Поэтому метод решения уравнения (18), представленного уравнением (26), с помощью обобщенных степенных рядов является справедливым при больших перепадах температуры между сфероидом и жидкостью.

Случай Б: А0 < 1. Используя тождество агс(%{\1 А) = агсс^(А), уравнение (25) перепишем в виде

—А(1 + А2У -2А2 8яа £У ^ ^ _

2 3 м(2п + 1)(2п + 3)(2/г + 5)

(-1)" (Ап + 9) А2"*5

с!2 Ф ¿А2 '

40

—(1 +А2)(1-7Аг) +—А3 +ВУ-2 д ; 3 ¿(2и + 1)(2п + 3)(2п + 5)

с!Ф

¿А '

Г-^А3-2

,(-1)"А

2п+4

Ф=41/,Л"

(30)

£ (2л+ 1) где = -(« + 4)/(л + 2)/„, /0 = 1, / = 0.

Для уравнения (30) с применением символьных компьютерных (листинг программы приведен в диссертации) и прямых вычислений было получено решение в виде следующего обобщенного степенного ряда:

(31)

л=0 л= О

(явный вид коэффициентов этого ряда приведен в диссертационной работе).

При помощи функции (31) по формулам (24) находим компоненты скорости 1!£{е,7]), ип(е,т]), а также явный вид для действующей на сфероид силы ^ = 6 • к ■ а ■ (1е ■ ■ Кг, где поправочный коэффициент К, в этом случае определяется как

2 е7(Л.)

где

С.ЧА,,)^*/^)-с?/(Л,)-С/ (Л)

/ \ ~ ©(1) / \ °° 6<2)

«штрих» означает производную по переменной А.

Метод решения уравнения Навье-Стокса (18) в задаче движения сфероида в вязкой жидкости с помощью обобщенных степенных рядов может быть применен для случая больших перепадов температуры, когда использование функции тока становится затруднительным.

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В приложении приведен листинг разработанной программы для решения C4v инвариантного двумерного уравнения Шредингера методом самосогласованного базиса.

Основные результаты

1. Разработан алгоритм и его программная реализация в среде Maple, проведены численные расчеты нижних уровней энергии и волновых функций для квантового аналога С,„ инвариантного двумерного гамильтониана с полиномиальным потенциалом, имеющим два локальных минимума и при единственном наборе параметров, при котором система является интегрируемой системы.

2. Разработан алгоритм и его программная реализация, с помощью которой выполнены численные расчеты нижних уровней энергии для двумерной С1г симметричной системы, ППЭ которой имеет четыре локальных минимума. Показано существование смешанных состояний, т.е. состояний, когда при одной и той же энергии в одном минимуме характер классического движения является хаотическим, а в другом локальном минимуме - регулярным.

3. С использованием разработанного алгоритма и его программной реализации впервые исследована классическая динамика С4„ инвариантной двумерной системы, ППЭ которой имеет пять локальных минимумов. Показано, что в случае ППЭ с пятью локальными минимумами также существует смешанное состояние, и что в этой системе имеет место переход регулярность-хаос-регулярность.

4. Впервые для квантового аналога классической C4v инвариантной системы с пятью локальными минимумами обобщен метод самосогласованного базиса, на основе которого разработан алгоритм и его программная реализация, вычислены первые уровни энергии.

5. Разработан аналитический способ приближенного решения уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов, который может быть применен при больших перепадах температуры между движущейся сфероидальной частицей и жидкостью.

6. Разработана программно-алгоритмическая поддержка символьных преобразований, с помощью которых найдены решения задачи обтекания нагретой частицы сфероидальной формы вязкой несжимаемой жидкостью.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

Статьи в научных изданиях, входящих в печень ВАК

1. Беляева, И.Н. Применение метода самосогласованного базиса к решению задачи на собственные значения для 2D гамильтониана с двухъямным потенциалом / И.Н. Беляева, А.Н. Макаренко, H.A. Чеканов // Вестник Воронежского государственного технического университета. Серия Физико-математическое моделирование.-2006. Т.2.-№ 8. - С.123-125.

2. Лукьяненко. А.Н. Символьно-численное решение двумерного уравнения Шредингера с двухъямным потенциалом / А.Н. Лукьяненко, H.A. Че-

каков //Вопросы современной науки и практики. Университет им. В.И. Вер-надского.-№ 13 (30).- 2008.-С. 43-50.

3. Лукьяненко, А.Н. Решение двумерного уравнения Шредингера с полиномиальными потенциалами с дискретной симметрией методом самосогласованного базиса / Лукьяненко А.Н., Чеканов Н.А. // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов - № 7 - 2008.-С. 145-147.

Статьи в научных журналах и сборниках трудов

4. Макаренко, А.Н. Об интегрировании одного уравнения, связанного с разделением переменных в уравнении Навье-Стокса. Сборник студенческих научных работ. Вып. VIII. - Белгород: Изд-во БелГУ, 2004. - С. 5-7.

5. Аматов, М.А. Обтекание вязкой жидкостью сфероидальной частицы при малых перепадах температуры / М.А. Аматов, Н.В. Малай, А.Н. Макаренко // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения - 2004.- №8. С. 76-86.

6. Аматов, М.А. К вопросу о движении сфероидальной частицы в вязкой жидкости при малых относительных перепадах температуры / М.А. Аматов, Н.В. Малай, А.Н. Макаренко // Научные ведомости БелГУ. Серия физико-математическая. -2004 - №3(20). Вып. 9 - С. 3-13.

7. Belyaeva, I.N. Application of the self-consistent method to the two-dimensional Shroedinger equation with double-well potential / I.N. Belyaeva, N.A. Chekanov, A.N. Makarenko // Proc. of International Conference "Mathematical Modeling and Computational Physics MMCP-2006".-2006.-P.54.

8. Беляева, И.Н. Решение задачи на собственные значения для C2v симметричного двумерного гамильтониана методом самосогласованного базиса / И.Н. Беляева, А.Н. Макаренко, Н.Н. Чеканова, Н.А. Чеканов // Вестник Херсонского государственного технического университета: Сб. тр. Херсон.-2006.-Вып.З (22). - С. 28-32.

9. Belyaeva, I.N. Solution of the eigenvalue problem for one-dimensional anharmonic oscillators by the Frobenius method / I.N. Belyaeva, N.A. Chekanov, A.N. Makarenko // The 2nd International Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics (QEDSP2006).-Kharkov, Ukraine.- 2006.-P.85.

10. Беляева, И.Н. Классическая динамика и квантовые характеристики двумерной С2„ инвариантной гамильтоновой системы / И.Н. Беляева, А.Н. Макаренко, Н.А. Чеканов // Тр. междунар. науч. конф.: «Современные методы физико-математических наук». -Орел - 2006.-С. 26-32.

11. Лукьяненко А.Н. Вычисление спектра уравнения Шредингера с че-тырехъямным потенциалом методом самосогласованного базиса // Сб. тр. междунар. науч. конф. «Современные проблемы математики и её приложения в естественных науках и информационных технологиях». Харьков: ХНТУ, 2007. С. 142-145.

12. Лукьяненко, А.Н. Спектр двумерного уравнения Шредингера с полиномиальным потенциалом с четырьмя минимумами / А.Н. Лукьяненко // Сб. тр. XXXIII междунар. молодежной науч. конф. «Гагаринские чтения 2007».-М: МАТИ.-2007.-Т.5.-С. 50-51.

13. Belajva, I.N. Symbolic-numeric Solution of the the Two-dimensional Shroedinger Equation with Double-well Potential / I.N. Belajva, A.N. Lukjanenko,

N.A. Chekanov, A.A. Gusev, V.A. Rostovtsev, S.I. Vinitsky // Computer Algebra and Differential Equations Acta Academiae Aboensis. Ser. В, Vol. 67.-№ 2-

2007.-P. 78-86.

14. Лукьяненко, А.Н. Спектр двумерного модельного гамильтониана с четырьмя локальными минимумами / А.Н. Лукьяненко, H.A. Чеканов // Сб. тр. XLIII всерос. конф. по проблемам математики, информатики, физики и химии.-М: РУДН,- 2007.-С. 24.

15. Беляева, И.Н. Вычисление спектра CJv симметричного двумерного оператора Шредингера с четырехъямнЬш потенциалом / И.Н. Беляева, А.Н. Лукьяненко, H.A. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета.: Сб. тр. Херсон.-Вып. 2 (28).- 2007. - С. 33-37.

16. Беляева, И.Н. Символьно-численное решение Ctv симметричного двумерного уравнения Шредингера / И.Н. Беляева, А.Н. Лукьяненко, H.A. Чеканов // Сб. тр. XLIV всерос. конф. по проблемам математики, информатики, физики и химии.-М: РУДН - 2008.-С. 43-44.

17. Лукьяненко, А.Н. Расчет спектра и волновых функций С4„ симметричного двумерного уравнения Шредингера / А.Н. Лукьяненко, H.A. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета.-Вып.2 (31).-

2008.-С. 46-51.

18. Лукьяненко, А.Н. Решение Сг„,С3,,С4„ симметричных двумерных уравнений Шредингера символьно-численным методом самосогласованного базиса / А.Н. Лукьяненко, H.A. Чеканов // Сб. тезисов междунар. науч. конф. «X Белорусская математическая конференция».-Мн: Институт математики HAH Беларуси,- 2008,- Ч.4.- С. 74-75.

Официальная регистрация программ .

19. Лукьяненко А.Н. Программа вычисления собственных значений и функций симметричного двумерного оператора Шредингера методом самосогласованного базиса / Беляева И.Н., Лукьяненко А.Н., Чеканов H.A.- Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ, 2007. -№ 8364; заявл. 21.05.2007; опубл. 6.06.2007.

Подписано в печать 10.03.2009. Гарнитура Times New Roman.

Формат 60x84/16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 41. Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85

Введение.

Общая характеристика работы.

1. Метод самосогласованного базиса и метод интегрирования при помощи обобщенных степенных рядов

Введение.

1.1. Общая схема метода самосогласованного базиса.

1.2. Алгоритм решения задачи на собственные значения методом самосогласованного базиса.

1.3. Общая схема символьно-численного метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с регулярными особыми точками.

1.4. Алгоритм нахождения общего решения уравнения (1.3.1).

2. Применение метода самосогласованного базиса для решения двумерного уравнения Шредингера с дискретной С2у и С3у симметрией.

Введение.

2.1. Решение уравнения Шредингера для С2у симметричного двумерного гамильтониана.

2.2. Решение уравнения Шредингера для С3у симметричного двумерного гамильтониана.

3. Развитие метода самосогласованного базиса для решения двумерного уравнения Шредингера с пятиямным потенциалом

Введение.

3.1. Классическая С4У симметричная двумерная система с одноямным потенциалом.

3.2. Решение уравнения Шредингера с одноямным потенциалом методом самосогласованного базиса.

3.3. Классическая динамика С4У симметричной двумерной системы, поверхность потенциальной энергии которой имеет пять локальных минимумов.

3.4. Символьно-численный метод решения САУ симметричного двумерного уравнения Шредингера с пятиямным потенциалом.

4. Использование метода интегрирования с помощью обобщенных степенных рядов для решения линеаризованного уравнения Навье-Стокса

Введение.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Описание способа решения методом функции тока.

4.3. Символьно-численное решение задачи обтекания сфероида вязкой несжимаемой жидкостью в виде обобщенного степенного ряда.

В последнее время внимание ученых сосредоточено на исследованиях задач, которые связаны с решением нелинейных дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений (см., например, [1-14]). С помощью программ аналитических вычислений исследователям удается провести огромную вычислительную работу и проанализировать многие ранее трудно решаемые задачи (см., например, [15-21]).

Дифференциальные уравнения и динамические системы, которые ими описываются, возникают при описании явлений, происходящих в различных областях науки и техники. Основная задача — получить разностороннюю информацию о таких явлениях, на основе решений соответствующих дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

Первые методы интегрирования дифференциальных уравнений и систем были предложены в работах Ньютона, Лейбница, Эйлера и далее развиты такими математиками, как Лагранж, Пуассон, Лиувилль, Пуанкаре, Ляпунов и др. Основной идеей, лежащей в основе этих работ было предположение о том, что решение уравнений и систем всегда может быть представлено в виде некоторого выражения от известных функций, в частности в виде различного рода рядов. Позже для описания свойств уравнения, которые позволяют получить всю общую и частную информацию о математической модели, было введено и обобщено понятие интегрируемости. Однако применение этих методов без применения быстродействующих электронных вычислительных машин крайне затруднительно.

Точные, то есть решения в явном аналитическом виде для большинства дифференциальных уравнений найдены в исключительных случаях. [22-26].

Поэтому, например, для решения задач на собственные значения, в частности стационарного уравнения Шредингера, разработано достаточно большое число различных как аналитических, так и численных методов [2753].

При этом оказывается, что точность вычислений спектра и волновых функций ухудшается, если квантовая система допускает существование динамического хаоса в классическом пределе [54-55]. Для установления взаимосвязи между свойствами квантовых характеристик и режимом классического движения необходимо рассматривать классический и квантовый случаи для данной системы одновременно [56-67].

Так как вычисления всегда ограничены возможностями даже современных быстродействующих компьютеров, а универсального метода не существует, то приходится искать наиболее оптимальные вычислительные методы для решения конкретных задач. Перспективным современным подходом представляются комбинированные или символьно-численные методы, которые сочетают аналитические преобразования с последующим численным решением исходной задачи с использованием современных систем компьютерной алгебры (СКА).

В диссертационной работе развивается новый, так называемый метод самосогласованного базиса, с помощью которого найдены решения двумерного уравнения Шредингера с поверхностью потенциальной энергии с несколькими локальными минимумами, а также метод нахождения решения линеаризованного уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов с применением современных символьно-численных технологий.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы.

Большинство дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, которые возникают в математике, физике и других естественных науках, не интегрируется в квадратурах. Как правило, для них не существует и универсальных численных методов нахождения решений. К таким уравнениям относятся, в частности, стационарное двумерное уравнение Шредингера (при решении для него задачи на собственные значения) и уравнение Навье-Стокса. Настоящая диссертационная работа и посвящена исследованию решений этих уравнений с помощью систем компьютерной алгебры (СКА).

Разработка новых методов, как аналитических, так и численных, и особенно символьно-численных, реализация этих методов в виде программных средств с использованием современной эффективной СКА MAPLE и использование этих программ для исследования ряда важных математических моделей классической и квантовой механики является актуальной проблемой математического моделирования сложных физических систем.

В последние десятилетия в связи с активным исследованием детерминированного хаоса в классических системах возникла проблема исследования их квантовых моделей [68-70]. Существование хаотического движения и смешанных состояний (когда при одной и той же энергии в разных потенциальных ямах сосуществуют два типа движений: хаотическое и регулярное) и квантовые эффекты туннелирования приводят к дополнительным вычислительным трудностям в решении соответствующих уравнений при квантово-механическом рассмотрении [54,62]. Аналогично исследование наноструктур, для математического моделирования которых необходимо применять квантовые уравнения, также приводит к решению задач на собственные значения [71-73].

Использование прямых численных способов решений этих задач не всегда приводит к цели, так как численные расчеты имеют большую неточность по сравнению с аналитическими, а также ограничены возможностями даже современных вычислительных систем. В ситуации, когда универсального способа получить решение не существует, приходиться искать более оптимальные вычислительные методы для конкретных математических моделей.

В диссертационной работе, на основе СКА, развиты метод самосогласованного базиса, с помощью которого найдены решения двумерного уравнения Шредингера с поверхностью потенциальной энергии с несколькими локальными минимумами, и метод обобщенных степенных рядов интегрирования линеаризованного при определенных условиях уравнения Навье-Стокса.

Цель диссертационной работы - разработка алгоритмов и программ с использованием современной СКА Maple для решения задач на собственные значения для двумерных дифференциальных операторов Шредингера и проведение с их помощью численных исследований ряда математических моделей классической и квантовой механики, а также интегрирования уравнения Навье-Стокса,

Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработка алгоритмов и программ для символьно-численного решения задачи на собственные значения для операторов: а) двумерного С2г инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет два локальных минимума; б) двумерного С3„ инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет в зависимости от набора параметров один или четыре локальных минимума, в) двумерного САг инвариантного полиномиального гамильтониана с пятиямным потенциалом; 2. Разработка аналитического способа приближенного решения уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов и программно-алгоритмической поддержки символьных преобразований для решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с регулярной особой точкой. Использование этой программы для интегрирования линеаризованного уравнения Навье-Стокса с заданными граничными условиями при условии, когда перепад температуры мал.

Методы исследований: методы теории дифференциальных уравнений, математического анализа, математической физики, численного анализа, компьютерной алгебры, вычислительной математики, использование прикладных пакетов программ.

Научная новизна. Разработаны алгоритмы и в среде МАРЬЕ составлены символьно-численные программы, с помощью которых проведены вычисления энергетического спектра и волновых функций. Составленные программы позволили осуществить дальнейшее развитие метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для С2ч, С3у и СА1, симметричных двумерных полиномиальных гамильтонианов,

Разработан аналитический способ и составлена программа на языке программирования СКА МАРЬЕ для символьно-численного интегрирования линейных дифференциальных уравнений второго порядка с регулярной особой точкой. С использованием полученной программы решено линеаризованное уравнение Навье-Стокса при заданных граничных условиях в случае обтекания нагретой частицы сфероидальной формы вязкой несжимаемой жидкостью при малых перепадах температуры и получено решение в виде обобщенных степенных рядов.

Практическая значимость и полезность полученных результатов.

Данная работа носит теоретический и практический характер. Результаты работы могут быть использованы для исследования динамики нелинейных классических гамильтоновых систем и для решения двумерных уравнений Шредингера. Разработанные символьно-численные алгоритмы и созданные на их основе комбинированные программы, реализованные на языке МАРЬЕ, могут быть использованы для решения задач на собственные значения двумерных дифференциальных операторов Шредингера с полиномиальными потенциалами. Предложенный символьно-численный метод приближенного решения уравнения Навье-Стокса может быть использован для исследования процессов обтекания частиц произвольной формы и при произвольных перепадах температуры.

Положения, выносимые на защиту.

1. Символьно-численный метод самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного С2„ инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет два локальных минимума, программа и результаты конкретных численных расчетов собственных значений и собственных функций.

2. Развитие символьно-численного метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного С3„ инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет в зависимости от набора параметров один или четыре локальных минимума, программа и результаты конкретных численных расчетов собственных значений и собственных функций.

3. Обобщение символьно-численного метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного С4„ инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет пять локальных минимумов, результаты конкретных численных расчетов собственных значений и собственных функций. 4. Символьно-численный метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений с регулярной особой точкой и решение линеаризованного уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов в задаче обтекания нагретой частицы сфероидальной формы вязкой несжимаемой жидкостью при малых перепадах температуры и результаты численных расчетов.

Обоснованность и достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена корректностью математических выкладок с использованием положений и теорем теории дифференциальных уравнений, математического анализа, методов математической физики и применением методов численного анализа, а также исследованием точности полученных результатов в зависимости от параметров решаемых задач при символьно-численных вычислениях и воспроизведением имеющихся в литературе результатов, полученных другими методами и другими авторами.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы были представлены и докладывались на конференциях: VIII Международная конференция по математическому моделированию (Феодосия, 12-16 сентября, 2006); The 2nd International Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics (Kharkov, Ukraine, September 19-23, 2006); Международная научная конференция для студентов и аспирантов «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Украина, Харьков, 23-25 марта 2007); Международная молодежная научная конференция «XXXIII Гагаринские чтения» (Москва, 3-7 апреля, 2007); XLIII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 23-27 апреля, 2007); Международная конференция «Компьютерная математика в образовании и научных исследованиях»

Феодосия, 10-15 сентября 2007); ХЫУ Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 21-25 апреля, 2008); Международная конференции по математическому моделированию (Феодосия, 15-20 сентября 2008), Международная научная конференция «X Белорусская математическая конференция» (Беларусь, Минск, 3-7 ноября 2008), на семинарах кафедры математического анализа БелГУ.

Связь с научными программами, планами и темами.

Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта, научно-исследовательского направления «Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения», утвержденного Ученым советом БелГУ от 3.11 2000 г., с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 0302-16263).

Личный вклад автора. Автор диссертации самостоятельно разработал все алгоритмы, программы и получил результаты, представленные в диссертации. Его вклад в проведение исследований и получение результатов является определяющим.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 18 публикациях в виде статей в журналах и в трудах всероссийских и международных конференций. Программа вычисления собственных значений и функций симметричного двумерного оператора Шредингера методом самосогласованного базиса по теме диссертационного исследования зарегистрирована в отраслевом фонде алгоритмов и программ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и библиографического списка из 108 наименований. Общий объем диссертации составляет 140 страницы.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Разработан алгоритм и его программная реализация в среде Maple, проведены численные расчеты нижних уровней энергии и волновых функций для квантового аналога C2v инвариантного двумерного гамильтониана с полиномиальным потенциалом, имеющим два локальных минимума и при единственном наборе параметров, при котором система является интегрируемой системы.

2. Разработан алгоритм его программная реализация, с помощью которой выполнены численные расчеты нижних уровней энергии для двумерной C3v симметричной системы, ППЭ которой имеет четыре локальных минимума. Показано существование смешанных состояний, т.е. состояний, когда при одной и той же энергии в одном минимуме характер классического движения является хаотическим, а в другом локальном минимуме — регулярным.

3. С использованием разработанного алгоритма и его программной реализации впервые исследована классическая динамика C4v инвариантной двумерной системы, ППЭ которой имеет пять локальных минимумов. Показано, что в случае ППЭ с пятью локальными минимумами также существует смешанное состояние, и что в этой системе имеет место переход регулярность-хаос-регулярность.

4. Впервые для квантового аналога классической C4v инвариантной системы с пятью локальными минимумами обобщен метод самосогласованного базиса, на основе которого разработан алгоритм и его программная реализация, вычислены первые уровни энергии.

5. Разработан аналитический способ приближенного решения уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов, который может быть применен при больших перепадах температуры между движущейся сфероидальной частицей и жидкостью.

6. Разработана программно-алгоритмическая поддержка символьных преобразований, с помощью которых найдены решения задачи обтекания нагретой частицы сфероидальной формы вязкой несжимаемой жидкостью.

Заключение

1. Брур, Х.В. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированныесистемы / Х.В. Брур, Ф. Дюмортье, С. ван Стрин. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 336с.

2. Гукенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 560с.

3. Симо, К. Современные проблемы хаоса и нелинейности / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине. Ижевск: ИКИ, 2002. - 304 с.

4. Gutzwiller, М.С. Chaos in Classical and Quantum Mechanics / M.C Gutzwiller. -New York, Springer, 1990. 432 p.

5. Пузынин, И.В. Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона для численного исследования некоторых нелинейных квантово-полевых моделей / И.В. Пузынин. ФЭЧАЯ, т.30. вып. 1, 1999. - 210-265 с.

6. Славянов, С. Специальные функции: единая теория, основанная на анализе особенностей / С. Славянов, Лай Вольфганг. СПб.: Невский Диалект, 2002. -312 с.

7. Рейман, А.Г. Интегрируемые системы / А.Г. Рейман, М.А. Семенов-тян-Шанский. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. -352 с.

8. Цыганов, A.B. Интегрируемые системы в методе разделения переменных/ A.B. Цыганов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005.-384 с.

9. Гориэли, А. Интегрируемость и сингулярность/ А. Гориэли. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2006 — 316с.

10. Переломов, A.M. Интегрирование систем классической механики и алгебры Ли / A.M. Переломов. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. - 238 с.

11. Борисов, А.В. Современные методы теории интегрирования систем / А.В. Борисов, И.С. Мамаев. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003 — 296 с.

12. Турбинер, А.В. Задачи о спектре в квантовой механике и процедура "нелинеаризации»/ А.В. Турбинер. УФН, Том 144, вып. 1, 1984. - С. 35-78.

13. Пивень, В.Ф. Сингулярные интегралы с ядрами типа Коши и их применение к двумерной задаче эволюции границы раздела жидкостей в неоднородном слое / В.Ф. Пивень // Дифференциальные уравнения. — 2006Т. 42, №9.-С. 1201-1213.

14. Zakharov, A.Yu. Ensembles in classical statistical mechanics and their unification via nonlinear field theory/ A.Yu. Zakharov // International Journal of Quantum Chemistry. 2004. - Vol. 100 No. 4. - Pp. 442-447.

15. Proceedings of the 8th International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing, CASC'2005, Kalamata, Greece, September 12-16, 2005.

16. Editor: V.G. Ganzha, E.W. Mayr, E.V. Vorozhtsov. 2005. - 758 p.

17. Proceedings of the 7th International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing, CASC'2004, St. Petersburg, Russia, July 12-19, 2004. /Editor: V.G. Ganzha, E.W. Mayr, E.V. Vorozhtsov. 2004. - 760 p.

18. Корсунов, Н.И. Эволюционные методы компьютерного моделирования / Н.И. Корсунов, А.Ф. Верлань, В.Д. Дмитриенко, В.А. Шолохов. Киев. Наукова Думка, 1993. - 252 с.

19. Миллер, У. Симметрия и разделение переменных / У. Миллер; пер. с англ. под ред. К.И. Бабенко. М.: Мир, 1981.- 342 с.

20. Блохинцев, Д.И. Основы квантовая механика / Д.И. Блохинцев М.: Наука, 1983.-664с.

21. Давыдов, A.C. Квантовая механика / A.C. Давыдов. М.: Наука, 1973— 704 с.

22. Ландау, Л.Д. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., Наука, 1963. 703 с.

23. Флюгге, 3. Задачи по квантовой механике. / 3. Флюгге. — М.: Мир, 1974 -Т.1.-343 с.

24. Уилкинсон, Дж. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра/ Дж. Уилкинсон, К. Райнш. -М.: Машиностроение-1976.-392 с.

25. Banerjee, Ву.К. The anharmonic oscillator / By .К Banerjee, S.P. Bhatnagar, V. Choudhry, S.S. Kanwal. Proc. R. Soc. bond., A.360, 1978. - P.575-586.

26. Маслов, В.П. Квазиклассические приближения для уравнений квантовой механики / В.П. Маслов, М.В. Федорюк. М.: Наука, 1976. - 292 с.

27. Фреман, Н. ВКБ-приближение / Н. Фреман, П.У. Фреман. М.: Мир, 1967.- 168 с.

28. Борн, М. Лекции по атомной механике / М. Борн. Харьков-Киев: ГНТИ. 1934.-312 с.

29. Ульянов, В.В. Интегральные методы в квантовой механике / В.В. Ульянов. Харьков: Вища школа. Изд-во при Харьк. Университете, 1982. -160 с.

30. Голуб, Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. М.: Мир.-1999.-549с.

31. Глазунов, Ю.Т. Вариационные методы / Ю.Т. Глазунов. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»: Институт компьютерных исследований. - 2006.- 470 с.

32. Найфэ, А. Методы возмущений / А. Найфэ. М.: Мир, 1976. - 456 с.

33. Robnik, М. The algebraic quantization of the Birkhoff-Gustavson normal form / M. Robnik. J. Phys. A: Math. Gen. v. 17. - 1984. - P. 109-130.

34. Bender, C.M. Anharmonic oscillator. II. A study of perturbation theory in large order / C.M. Bender, T.T. Wu. Phys. Rev., D7.No.6, 1973. - pp. 1620-1636.

35. Bender, C.M. Anharmonic oscillator / C.M. Bender, T.T. Wu. Phys. Rev., v,184.No.5, 1969. - pp.1231-1260.

36. Джакалья, Г.Е. Методы теории возмущений для нелинейных систем / Г.Е. Джакалья. -М.: Наука, 1979. 320 с.

37. Белокуров, В.В. Теория возмущений со сходящимися рядами для вычисления величин, заданных конечным числом членов расходящегося ряда традиционной теории возмущений / В.В. Белокуров, Ю.П. Соловьев, Е.Т. Шавгулидзе // ТМФ, т. 123. №3, 2000. - 452-461с.

38. Брюно, А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях / А.Д. Брюно. М: Наука, 1998. - 288 с.

39. Swimm, R.T. Semiclassical calculation of vibrational energy levels for nonseparable systems using Birkhoff-Gustavson normal form / R.T. Swimm, J.B. Delos // J. Chem. Phys., v.71, 1979. pp. 1706-1716.

40. Ali, M.K. The quantum normal form and its eigenvalues / M. K. Ali. J. Math. Phys., v. 26, №10, 1985. - pp. 2565-2572.

41. Nikolaev, A.S. On the diagonalization of quantum Birkhoff-Gustavson normal form / Nikolaev A.S.// J. Math. Phys. v.37.No.6, 1996. -pp.2643-2661.

42. Jaffe, L.G. Large N limits as classical mechanics / Jaffe L.G // Rev. Mod. Phys., v.54, 1982. -pp.407-435.

43. Ivanov, I.A. Link between the strong-coupling and weak-coupling asymptotic perturbation expansions for the quartic anharmonic oscillator / I.A. Ivanov // J. Phys. A: Math. Gen. v.31, 1998. -pp.6995-7003.

44. Tang, A.Z. Shifted 1/N expansion for the Hulten potential / A.Z. Tang, F.T. Chan // Phys. Rev. A35.No.2, 1987. pp.911-914.

45. Dineykhan, M. The Schroedinger equation for bound state systems in the oscillator representation / M. Dineykhan, G.V. Efimov // Repots of Math. Phys., v.6, No.2/3, 1995. -pp.287-308.

46. Adhikari, R. Exact solutions for polynomial potentials using supersymmetry inspired factorization method / R. Adhikari, R. Dutt // Phys. Lett., A141.No.l,2, 1989.-pp.l-8.

47. Chun-Hui, Miao. Variational supersymmetric WKB approximation / Chun-Hui Miao, Shang-Wu Qian // Phys. Rev. A56.No.3, 1997. -pp.2412-2414.

48. Kinoshita, H. Symplectic integrator and their application to dynamical astronomy / H. Kinoshita, H. Yoshida, H. Nakai // Celestial mechanics and dynamical astronomy, 1991. V.50 - P. 59-71.

49. Канторович, JI.B. Приближенные методы высшего анализа / Л.В. Канторович, В.И. Крылов. Л., Физматгиз, 1962 г. - 708 с.

50. Bolotin, Yu.L. The transition regularity-chaos-regularity and statistical properties of wave function / Yu.L. Bolotin, V.Yu. Gonchar, V.N. Tarasov, N.A.

51. Chekanov // Phys. Lett., 1990. v. A144, n. 8, 9. - p. 459-461.

52. Болотин, Ю.Л. Проявление стохастичности в спектрах некоторых гамильтоновых систем с дискретной симметрией / Ю.Л. Болотин, С.И. Виницкий, В.Ю. Гончар. Дубна, Препринт ОИЯИ, 1989. - Р4-89-590, - 26 с.

53. Болотин, Ю.Л. Стохастическая ядерная динамика. Физика элементарных частиц и атомного ядра. Т.20. вып.4. / Ю.Л. Болотин, В.Ю. Гончар, Е.В. Инопин, 1989, -с.878-929.

54. Лихтенберг, А. Регулярная и хаотическая динамика / А. Лихтенберг, М Либерман. М.:Мир, 1984. - 528с.

55. Заславский, Г.М. Стохастичность динамических систем / Г.М. Заславский. — М.: Наука, 1984. — 272с.

56. Заславский, Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах / Г.М. Заславский. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. -288с.

57. Штокман, X. Ю. Квантовый хаос / X. Ю. Штокман. М.: Физматлит, 2004.-374 с.

58. Bohigas, О. Quantum tunneling and chaotic dynamics / О. Bohigas, D. Boose, R. de Carvalho, V. Marvulle // Nucl. Phys. A 560, 1993. p. 197-210.

59. Болотин, Ю.Л. Конструктивный хаос / Ю.Л. Болотин, А.В. Тур, В.В. Яновский Харьков: Институт монокристаллов, 2005. — 420 с.

60. Матинян, С.Г. Динамический хаос неабелевых калибровочных полей / С.Г. Матинян. ФЭЧАЯ, т.16, 1985 - с.522-550.

61. Gutzwiller, М. С. Chaos in Classical and Quantum Mechanics / M.C. Gutzwiller. New York, Springer, 1990. - 432 p.

62. Haake, F. Quantum Singnatures of Chaos / F. Haake. Berlin: SpringerVerlag, 2001.-479 p.

63. Табор, M. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике / М. Табор. -М.: Эдиториал УРСС, 2001. 318 с.

64. Berry, M.V. Classical Chaos and Quantum Eigenvalues. Order and Chaos in

65. Nonlinear Physical Systems / M.V. Berry, S. Lundquist, N. March, M. Tosti. -New York and London: Plenum Press, 1988. p. 340-348.

66. Bohigas, O. Chaotic motion and random-matrix theory / O. Bohigas, M.J. Giannoni. Lecture Notes in Physics. 1984, v. 209. - p. 1871-1969.

67. Berry, M.V. Classical Chaos and Quantum Eigenvalues / M.V. Berry, S. Lundquist, N. March, M. Tosti Order and Chaos in nonlinear physical systems. — New York and London: Plenum Press, 1988. - p. 340-348.

68. McDonald, S.W. Spectrum and Eigenfunctions for a Hamiltonian with Stochastic Trajectories / S.W. McDonald, A.N. Kaufman. Phys. Rev. Lett. 1979, v. 42.-p. 1189-1191.

69. Фрадков, JI.А. Управление молекулярными и квантовыми системами / JI.A. Фрадков, О.А. Якубовский. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 408с.

70. Тавгер, Б.А. Квантовые размерные эффекты в полупроводниках и полуметаллических пленках / Б.А. Тавгер, В .Я. Демиховский. Успехи физических наук, 1968,Т. 96, Вып.1 - С.61-86.

71. Демиховский, В.Я. Физика квантовых низкоразмерных структур / В.Я. Демиховский. М.: Логос, 2000. - 248 с.

72. Чеканов, Н.А. Квантование нормальной формы Биркгофа-Густавсона / Н.А. Чеканов. -ЯФ, т.50.вып.8. с.344-346.

73. Канторович, Л.В. Изв. АН СССР, ОМЕН, № 5./ д.В. Канторович // 1933. - с.294-325.

74. Виницкий, С.И. Решение двумерного уравнения Шредингера в самосогласованном базисе / Виницкий, С.И., Инопин Е.В., Чеканов Н.А. // Препринт ОИЯИ, Р4-93-150, Дубна, 1993. 11с.

75. Степанов, В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов. М. ГИТТЛ.- 1953.-468 с.

76. Матвеев, Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб Лань. - 2003. - 832 с.

77. Forsythe, G.E. Singularity in numerical analysis / G.E. Forsythe. Amer. Math. Monthly. - 1958. - P.229-240.

78. Айне, Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Э.Л. Айне. -Харьков: гос. науч.-техн. изд-во Украины. 1939. - 719 с.

79. Коддингтон, Э.А., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. М.:ИЛ, 1958. - 474 с.

80. Смирнов, В.И. Курс высшей математики, т.2 / В.И. Смирнов М.«Наука», 1967.-655 с.

81. Смирнов, В.И. Курс высшей математики, т.З, ч.2 / Смирнов В.И. М., «Наука», 1974.-672 с.

82. Голубев, В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений /В.В. Голубев. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

83. Трикоми, Ф. Дифференциальные уравнения / Ф. Трикоми. М.:, ИЛ, 1962.-352 с.

84. Уиттекер, Э.Т. Курс современного анализа, 4.1 / Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. М.: ГИФМЛ, 1963. - 344с.

85. Айзенберг, И. Модели ядер. Коллективные и одночастичные явления / Айзенберг И., Грайнер В. М.: Атомиздат, 1975. - 456 с.

86. Болотин, Ю.Л. Стохастическая ядерная динамика. Физика элементарных частиц и атомного ядра, т.20. вып.4. / Ю.Л. Болотин, В.Ю. Гончар, Е.В. Инопин. 1989. - с.878-929.

87. Виницкий, С.И. Решение двумерного уравнения Шредингера в самосогласованном базисе / С.И. Виницкий, Е.В. Инопин, Н.А. Чеканов // Препринт ОИЯИ, Р4-93-150, Дубна, 1993. 11с.

88. Лукьяненко, А.Н. Символьно-численное решение двумерного уравнения Шредингера с двухъямным потенциалом / А.Н. Лукьяненко, Н.А. Чеканов // Вопросы современной науки и практики. Университет им. В.И. Вернадского. № 13 (30), 2008. Т. 2. - С. 43-50.

89. Toda, М. Instability of trajectories of lattice with cubic nonlinearity / M. Toda // Phys. Lett., v.48, 1974. pp.335-336.

90. Беллман, P. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. — М.: Наука, 1969. — 368 с.

91. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. -М.: Наука, 1967.,576 с.

92. Гилмор, Р. Прикладная теория катастроф / Р. Гилмор. М.: Мир, 1984. -350 с.

93. Лукьяненко, А.Н. Спектр двумерного модельного гамильтониана с четырьмя локальными минимумами/ Лукьяненко А.Н., Чеканов Н.А. // Сб. тр. XLIII всерос. конф. по проблемам математики, информатики, физики и химии.- М: РУДН, 2007. С. 24.

94. Bohigas, О. Quantum tunneling and chaotic dynamics / О. Bohigas, D. Boose, R. de Carvalho, V. Marvulle //Nucl. Phys. A 560, 1993. -P.197-210.

95. Болотин, Ю.Л. Конструктивный хаос / Болотин Ю.Л., Тур А.В., Яновский В.В. — Харьков: Институт монокристаллов, 2005. 420 с.

96. Матинян, С.Г. Динамический хаос неабелевых калибровочных полей / С.Г. Матинян. ФЭЧАЯ - 1985 - т. 16 - с.522-550.

97. Lakshmanan, М. Coupled quartic anharmonic oscillators Painleve analysisand integrability / M. Lakshmanan , R. Sahaderan. Phys. Rev. A., vol. 31, № 2, 1985. -pp.861-876.

98. Хаппель, Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Хаппель Дж., Бреннер Г.- М.: Мир, 1976. 630 с.

99. Малай, Н.В.: автореф. дисс. на соискание научн. степени док. физ.-мат. наук / Малай Н.В. 2001.