Разработка алгоритмов и программ символьно-численного интегрирования некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений при моделировании систем с переменной структурой

Кузнецова, Ирина Сергеевна

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка алгоритмов и программ символьно-численного интегрирования некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений при моделировании систем с переменной структурой

кандидата физико-математических наук: Кузнецова, Ирина Сергеевна
город: Белгород
год: 2009
специальность ВАК РФ: 05.13.18
цена: 450 рублей

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Разработка алгоритмов и программ символьно-численного интегрирования некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений при моделировании систем с переменной структурой»

Автореферат диссертации по теме "Разработка алгоритмов и программ символьно-численного интегрирования некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений при моделировании систем с переменной структурой"

На правах рукописи

КУЗНЕЦОВА Ирина Сергеевна

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММ СИМВОЛЬНО-ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

□□3487714

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород-2009

003487714

Работа выполнена в Белгородском государственном университете

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник H.A. Чеканов

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор С.И. Виницкий

Заслуженный деятель науки РФ доктор технических наук, профессор Н.И. Корсунов

Ведущая организация: Орловский государственный университет

Защита состоится 25 декабря 2009 г. в 13-30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.015.04 в Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, ауд. 322

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан 24 ноября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета S Jy^^ Беленко В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Во многих системах в области физики, техники, биологии, автоматического регулирования и оптимального управления и других происходят сложные процессы, которые на разных отрезках своей эволюции с необходимостью описываются различными видами обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Например, для некоторых систем их состояние в конкретный момент времени зависит от состояний в предыдущие или последующие моменты времени. Имеются также системы, которые изменяются по разным законам на различных участках своего движения. Некоторые системы изменяют свою структуру при достижении заранее заданных условий.

При математическом моделировании таких систем с переменной структурой адекватным подходом является использование более сложных классов ОДУ, а именно: 1) с отклоняющимися аргументами, которые учитывают эффекты запаздывания или опережения, 2) с кусочно-непрерывными правыми частями, 3) содержащие импульсы (толчки).

Однако нахождение решений перечисленных выше классов ОДУ представляет крайне трудоемкую задачу, так как приходится интегрировать большое количество ОДУ на всем отрезке интегрирования, причем структура ОДУ сильно усложняется при каждом переходе от одного участка к другому.

По поводу вопроса интегрирования ОДУ с отклоняющимся аргументом Г.Г. Малинецкий на стр. 21 своей книги (Математические основы синергетики, 2005) отмечает: «Сами нелинейные уравнения с запаздыванием — одни из наиболее сложных объектов в современном моделировании. Например, весьма непростым является анализ элементарной на вид модели - уравнения Хатчинсона

¿(0 = а-*(0-0-*('-г)). (1)

...Его достаточно трудно анализировать как с помощью численных, так и с помощью асимптотических методов при больших значениях параметра а». В теории автоматического управления, где используются ОДУ и их системы с отклоняющимся аргументом, автор обстоятельного курса (Я.Н. Ройтенберг. Автоматическое управление, 1971) на стр.44 пишет: «Эффективное построение решений дифференциально-разностных уравнений представляет собой достаточно трудную задачу».

В работе (H.H. Баутин, Е.А. Леонтович. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости, 1976) относительно исследования ОДУ с кусочно-непрерывными правыми частями на стр. 377 написано, что «... полное сведение исследования её качественной структуры к исследованию некоторого точечного отображения, как правило, делается невозможным».

Точно также обстоит дело с импульсными системами ОДУ, для которых исследование качественной структуры представляет собой ещё более трудную

задачу (А.М. Самойленко, Н.А. Пересчук. Системы дифференциальных уравнений с импульсным возмущением, 1987).

Трудности интегрирования указанных классов ОДУ можно в определенной степени преодолеть при использовании комбинированного метода, в котором вначале выполняются символьные преобразования исследуемой математической модели, а затем на основе полученных аналитических выражений производятся численные расчеты. Для символьных, так и численных этапов интегрирования целесообразно использовать современные пакеты, такие как МАРЬЕ и другие подобные системы компьютерной алгебры.

Таким образом, разработка новых методов и алгоритмов, в особенности символьно-численных, реализация их в виде программных средств с использованием современных компьютерных технологий и их применение для исследования систем с переменной структурой является актуальной проблемой математического моделирования сложных систем.

В диссертационной работе предложены новые алгоритмы, реализованные в виде программ для символьно-численного интегрирования ОДУ указанных выше классов, которые позволяют найти их решения в аналитическом виде, а также находить численные значения решений для заданных значений аргумента и строить графики. При помощи разработанных программ в среде МАРЬЕ были проведены исследования конкретных предложенных в работе математических моделей, описывающих глобальный круговорот воды в природе с учетом запаздывания и динамику численностей биологических популяций: хищник, две жертвы и хищник-жертва.

Цель диссертационной работы - разработка методов, алгоритмов и программ с использованием современных средств компьютерной алгебры для символьно-численного интегрирования ОДУ и их систем следующих классов: 1) уравнений с отклоняющимся аргументом; 2) уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями; 3) уравнений содержащих импульсы (толчки). Проведение с помощью полученных программных продуктов исследования ряда прикладных задач из различных областей науки.

Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи:

а) с постоянным и переменным запаздыванием;

б) с кусочно-непрерывными правыми частями;

в) с правой частью, которая содержит импульсы (толчки).

2. Получение системы из трёх ОДУ, которая представляет собой новую нульмерную математическую модель круговорота воды в природе, учитывающую эффект запаздывания стока воды в океан. Проведение исследования на устойчивость решений в аналогичных двух моделях, но без учета эффекта запаздывания.

а) нульмерная модель глобального круговорота воды в природе с учетом запаздывания стока воды в океан;

б) модель взаимодействующих популяций один хищник и две жертвы в виде системы ОДУ с разрывной правой частью;

в) модель динамики численности популяций хищник-жертва при наличии импульсов, связанных с мгновенным изъятием из популяции жертвы определенного ее количества в моменты достижения своих максимальных значений.

Методы исследований. В работе использовались методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, как с непрерывными, так и с разрывными правыми частями, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, методы компьютерной алгебры и вычислительной математики, прикладные пакеты программ.

Научная новизна. Показана эффективность применения символьно-численных вычислений для исследования физических, технических, биологических систем с переменной структурой, которые описываются ОДУ как постоянным, так и переменным отклонением аргумента, с кусочно-непрерывными правыми частями, а также содержащих импульсы.

Исследована устойчивость предложенной нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе, описываемая ОДУ с запаздывающим аргументом, и показано, что наличие запаздывания является причиной неустойчивости решений в отличие от моделей без учета этого эффекта.

Найдены и исследованы решения предложенной математической модели один хищник и две жертвы в виде системы из трех ОДУ с разрывной правой частью и показано, что существуют такие значения параметров, при которых в системе возникают устойчивые периодические колебания.

Получены и исследованы решения математическая модель в виде системы ОДУ с импульсами, которая описывает динамику численности двух популяций хищник и жертва и обнаружено, что при определенных значениях параметров в такой системе возникает явление динамического хаоса.

Практическая значимость и полезность полученных результатов. Диссертационная работа имеет одновременно теоретический и практический

характер. Результаты, полученные в диссертации, могут быть с успехом использованы как в теоретических исследованиях, так и для решения прикладных задач, например, в физических, биологических, системах автоматического регулирования и оптимального управления.

Полученные программы для символьно-численного интегрирования всех рассмотренных в работе ОДУ могут быть применены при исследовании устойчивости, зависимости от параметров, отыскания периодических и стохастических движений этих уравнений в сложных системах с переменной структурой.

Отдельные положения диссертационной работы используются в учебном процессе БелГУ при проведении занятий по теории дифференциальных уравнений.

Положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритмы и программы символьно-численных вычислений при интегрировании ОДУ и систем с постоянными и переменными отклоняющимися аргументами, систем ОДУ с кусочно-непрерывными правыми частями и систем ОДУ с импульсами.

2. Программная реализация алгоритмов символьных преобразований и ее применение для вычисления решений предложенной нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе с учетом запаздывания стока воды в океан и результаты исследования режимов движения в этой модели.

3. Результаты исследования решений нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе в виде линейной и нелинейной систем ОДУ без учета эффектов запаздывания.

4. Результаты исследования предложенной математической модели системы один хищник и две жертвы, описываемой системой ОДУ с разрывными правыми частями, и расчеты значений параметров, при которых в системе существует устойчивый периодический режим.

5. Результаты символьно-численных вычислений в математической модели для биологической системы хищник-жертва при наличии импульсов, которые показывают существования стохастических решений.

Обоснованность и достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена корректностью математических выкладок с использованием теорем теории ОДУ (как с непрерывными, так и с разрывными правыми частями) и теории ОДУ с отклоняющимся аргументом, положений метода точечных отображений и теории устойчивости. Кроме того, результаты, полученные с применением разработанных символьно-численных программ, согласуются с имеющимися результатами, полученными другими методами и другими авторами.

родная конференция по математическому моделированию (г. Феодосия, 10-16 сентября, 2007); X Международная конференция по математическому моделированию (г. Феодосия, 15-20 сентября, 2008); Первая Международная конференция «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения» (г. Минск, 10-16 ноября, 2007); IV Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, 28-29 ноября 2007 г.); Международная научная конференция для студентов и аспирантов «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (г. Харьков, 23-25 марта 2007); V Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, 28-29 ноября 2008 г.); IX Международная математическая школа (Алушта, 15-20 сентября 2008); VI Международная научно-практическая конференция «Геометрическое моделирование и компьютерные технологии: теория, практика, образование» (г. Харьков, 21-24 апреля 2009); Международная конференция по математическому моделированию (г. Херсон, 14-19 сентября, 2009); Первая Международная научно-техническая конференция «Компьютерные науки и технологии» (г. Белгород, 8-9 октября 2009).

Связь с научными программами, планами и темами. Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта, научно-исследовательского направления «Нелинейные явления в динамических системах и их приложения», утверждённого Учёным советом БелГУ от 03.11.2000 г., с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского фонда фундаментальных исследований (грант №03-02-6263).

Личный вклад автора. Автор диссертации самостоятельно разработал все алгоритмы, программы и получил результаты, представленные в диссертационной работе. Его вклад в проведение исследований и получение результатов является определяющим.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 18 публикациях в виде статей в журналах, в трудах международных научных конференций. Из них четыре - в изданиях по списку ВАК РФ. Программы «Интегрирование дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом» и «Пакет программ для интегрирования дифференциальных уравнений запаздывающего, нейтрального или опережающего типов с несколькими постоянными отклонениями аргумента методом шагов» по теме диссертационного исследования зарегистрированы в отраслевом фонде алгоритмов и'программ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и двух приложений. Объём диссертации 180 страниц, 36 рисунков. Список литературы включает 190 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формируются цели и задачи диссертационного исследования, научная новизна и практическая значимость работы, даётся краткое описание результатов диссертационной работы.

В главе 1 «Алгоритмы и программы символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом» представлены алгоритмы и записанные в псевдокодах программы для символьно-численного интегрирования ОДУ и систем с отклоняющимся аргументом.

В разделе 1.1 излагаются основные положения метода шагов интегрирования ОДУ с постоянным запаздыванием. Описываются классы уравнений, решения которых всегда могут быть продолжены на промежуток равный шагу уравнения, начиная с любой точки расширенного фазового пространства. Приводятся записанные в псевдокодах программы для символьно-численного интегрирования таких уравнений. Даны примеры, тестирующие и иллюстрирующие работу разработанных программ.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом называются уравнения вида:

...,xW(r-rl(f)X...,x(i-r/(0),*'(i-rl(/)),...,Jtw(f-rl(0)) (1-1.1)

где функции T,(i)0' = l,2,.../), называемые отклонениями аргумента, предполагаются положительными T,(t)>0 для V/ = 1,2,.../ и Vfе(-со,+со). Функция F(t,x,x',...,x<-"\ua,ui,...,um) непрерывна во всём пространстве □ и удовлетворяет в нём локально условию Липшица по аргументам х,х',...,х^п). Символ xik)(t-Tj(t)) означает производную порядка к от функции x(z) при значении аргумента z равном t-Tj(t), то есть x<k)(t-Tj(t)) = = xa)(z)| ((). Аргумент {

всюду в дальнейшем трактуем как время.

В настоящем разделе рассматривается уравнение (1.1.1), для которого все т,(() есть положительные постоянные, г,(/) = г, = const >0 (/ = 1,2,.../). Обозначим 8 = max г,, и = шах т,, число п — порядок уравнения. Отрезок [/0 - г, /0] на-

Kl'SJ lsisi

зывается начальным множеством.

Пусть <pa(f), q>x(f),...,q) (f) - наперёд заданные и непрерывные на начальном множестве функции. Если ц<п-1, то вместе с функциями <p,(t) задаём (я-//-1) произвольных чисел С,, С2, ...С„_яЧ. Основная начальная задача

ставится следующим образом: требуется найти (и-1) раз непрерывно дифференцируемое решение x(t) уравнения (1.1.1), удовлетворяющее начальным условиям

x(t)^ç0(l),Al)^<PlO),-,xw(.t) = <Pll(0 "Г" t0-ô<t<t0(U.2a)

¿k\ta + 0)^çk(to) (¿ = 0,1,.(1.1.26) а при fj <п-1 также дополнительным условиям:

*<"+1)(/0 + 0) = С„ x("+2\i0 + 0) = Cv. ..,x(nA\ta + 0) = . (1.1.3)

В дальнейшем поставленную таким образом задачу будем называть основной начальной задачей (1.1.1) -(1.1.3).

Для решения поставленной задачи в среде MAPLE были составлены программы ddesolve, oddeplot, ddefsolve, которые позволяют находить решение ОДУ с отклоняющимся аргументом в аналитическом и численном виде, строить их графики.

В разделе 1.2 излагаются особенности применения метода шагов для интегрирования ОДУ с переменным запаздыванием. Описываются классы уравнений, для которых оказывается возможным запрограммировать этот процесс на языке программирования символьной алгебры математического пакета MAPLE. Приводятся записанные в псевдокодах программы для символьно-численного интегрирования таких уравнений и даны примеры, тестирующие и иллюстрирующие работу программ.

В этом разделе рассматриваются уравнения вида

*w(/)=F(.txo,At),-,x{n-n(,t)Xt - m, At - t(0),...,Xm(i - m), (1.2.1)

где отклонение т = r(i) - некоторая непрерывная функция.

Составленная программа для символьно-численного интегрирования ОДУ с переменным запаздыванием называется oddevdplot. Она имеет следующие четыре особенности по сравнению с программами ddesolve и oddeplot.

1) Поскольку запаздывание является функцией т(/), то величина шага интегрирования будет переменной (зависящей от номера шага) и, следовательно, должна в программе вычисляться заранее.

2) В программе oddevdplot, в силу переменности шага интегрирования, заранее неизвестно, сколько следует взять шагов, чтобы получить решение на заданном отрезке range =[/0, Г], поэтому за входной параметр берётся этот отрезок.

3) Как известно, обращение функции t ~ r(t) в ноль при некотором значении t = t' e(t0,T] называется особенным случаем для уравнения (1.2.1). Осо-

бенность заключается в том, что при переходе через такую точку t = t' решение может разветвляться. Вопрос о том, по какой из ветвей продолжать решение за точку /* не может быть решён математическими средствами и, по этой причине, программа может быть составлена только для уравнений без особенного случая.

4) Уравнение с переменным запаздыванием в программе oddevdplot не может быть задано в естественной записи. Действительно, если, например, неизвестная функция есть x(t), то при запуске программы команда diff (х(/ - г(/)), t) выполнит дифференцирование и вид уравнения изменится.

Анализ указанных особенностей приводит к необходимости наложить на функцию v(t) следующие условия:

a) запаздывание г (t) определено и непрерывно на отрезке [/0 -r(tQ),T],

b) функция t - т(t) строго возрастает на отрезке [/0 - r(f0), Т],

c) 3d>0 Vte[t0,T]: t{t)>d.

Из условий а) и Ь) следует, что существует функция y(t) обратная для функции t-r(t), определённая, непрерывная и строго возрастающая на отрезке [А,В], A = t0-T(t0),B = T-r(T).

Особенный случай не может наступить, если выполнено условие с), причём для интегрирования уравнения в этом случае может быть применён метод шагов с шагом не меньшим d.

Для того чтобы уравнение не менялось при запуске программы, использован следующий приём. Заменим функцию и производные, входящие в уравнение с измененным аргументом, на индексированную переменную по следующему правилу: функцию x(t-T(t)) заменим в уравнении на Z0; первую

производную x'(t-T(t)) заменим на Z,; вторую x"(t-z(t)) - на Z2 и так далее;

производную дг№)(/-г(0), (к = 0,1,2,3...«) порядка к заменяем на Zk.

В разделе 1.3 излагаются основные положения метода шагов при интегрировании систем ОДУ с постоянным запаздыванием. Приводятся записанные в псевдокодах программы для символьно-численного интегрирования таких систем. Даны примеры, тестирующие и иллюстрирующие работу программ.

Рассматриваемая система ОДУ с одним отклонением аргумента имеет

вид:

FMt).....xn{t),m.....x:(t),xt(t-Tl...x„(t-T),x[(t-T),...x'Jt-T)) = (i,

F^t.^l).....xn(l),x[(t).....x'„(t),Xi(t - т),... xn(t - т), x't(t - т),... x'„(t - т)) = 0,

ЛМС).....*„('),*,'(').....x:(tlxl(t-T),...xJt-T),x;(t-T),...x:(l-z)) = 0.

Под x'(t - г) понимается производная от функции x,(z) вычисленная в точке z = t-х. Предполагается, что запаздывание г — положительное число типа float или fraction. Требуется найти непрерывное решение системы (1.3.1), удовлетворяющее начальным условиям:

*i('Wi('W) = /2(0.....*„(')=/„(') при tQ-T<t<ta (1.3.2)

Здесь /о(0>У!(')>•••/„(О - наперёд заданные непрерывно дифференцируемые функции. Функции FvF2,...,Fn также считаем непрерывно дифференцируемыми по всем аргументам в соответствующих областях.

Вручную решать системы ОДУ с отклоняющимся аргументом методом шагов - крайне трудоемкая работа. Поэтому, в работе, используя язык символьной алгебры математического пакета MAPLE 8, были разработан алгоритм и составлена программа soddeplot для построения интегральных кривых системы ОДУ с отклоняющимся аргументом методом шагов.

В главе 2 «Алгоритмы и программы символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями» представлены алгоритмы и программы для символьно-численного интегрирования ОДУ с разрывной правой частью.

В разделе 2.1 излагаются основные факты теории ОДУ с разрывными правыми частями. Вводится определение решения систем разрывных дифференциальных уравнений. Приводятся записанные в псевдокодах программы для символьно-численного интегрирования таких систем. Приведены тестовые задачи.

В наиболее общем виде система ОДУ с кусочно-непрерывными правыми частями задаётся в следующей нормальной форме:

^-/е.*). (2-1-1)

которая определена в некоторой области G = £)x(-oo,oo)<zD"+1, jceZ)cD /(/,Jt)eD x(t) и f(t,x) - векторные функции. Правые части системы (2.1.1)

имеют разрывы первого рода на поверхностях S, czG, (i —1,2.....т). В каждой

из частей Gk, на которые поверхности Si делят область G, правая часть системы (2.1.1) удовлетворяет условию Липшица по аргументу х. Поверхности St

задаются уравнениями в неявной форме: S,(t,x) = 0, (» = 1,2.....т), где S,(t,x) -

непрерывно дифференцируемые функции.

Поскольку в каждой из областей Gk правые части системы (2.1.1) удовлетворяют условию Липшица, то внутри каждой из них решение понимается в классическом смысле, то есть, как непрерывно дифференцируемая вектор-

функция *(/), обращающая систему (2.1.1) на некотором интервале в истинное тождество. Следовательно, различия между указанными определениями будут проявляться только на поверхностях разрыва 5,, (/ = 1,2,...,т).

Задач ставится следующим образом. Пусть дано некоторое число областей б,, (/ = 1,2,3.....р) с кусочно-гладкими границами £,, (/ = 1,2,...,р), лежащих в расширенном фазовом пространстве переменных (/,х) и таких, что

С=[](С, и!,),ив каждой области С, определена система ОДУ

= (/ = 1,2,. ..р) (2.1.21)

с правыми частями, удовлетворяющими условию Липшица. В свою очередь, каждая граница Е, содержит некоторое число гладких частей Г, р (у = 1,2,....?,).

Некоторые из областей <3,, (/ = 1,2,3,...,/>) могут иметь размерность меньшую и + 1, то есть могут лежать на поверхностях 5, разрыва правых частей системы (2.1.1), или даже на пересечении этих поверхностей. Задание областей С,, (/= 1,2,3,..., р) ив каждой из них систем уравнений (2.1.21) равносильно заданию разрывной системы (2.1.1) вместе со скользящими движениями. Интегрируя систему ОДУ с разрывными правыми частями, мы из самой постановки задачи определяем с траектории какой системы и на траекторию какой системы происходит переход при достижении изображающей точкой поверхности переключения. В программе же для интегрирования таких уравнений с помощью ЭВМ должны быть предусмотрены правила такого перехода.

Так же как и для ОДУ с отклоняющимся аргументом для систем ОДУ с кусочно-непрерывными правыми частями были составлены программы, позволяющие интегрировать такие системы аналитически и численно, при необходимости с выводом решений в виде графиков.

В разделе 2.2 излагаются основные факты теории ОДУ с импульсами (толчками). Вводится определение решения импульсной системы. Приводятся записанные в псевдокодах символьно-численные программы для интегрирования таких систем. Даны примеры, тестирующие и иллюстрирующие работу программ.

Многочисленные прикладные задачи приводят к необходимости исследовать ОДУ с импульсами (толчками). Несмотря на то, что теория таких уравнений хорошо разработана, на практике их интегрирование представляет значительные трудности. В широко известных математических пакетах МАРЬЕ, МАТНЕМАТ1СА и других известных нам отсутствуют программы для интегрирования импульсных систем.

В наиболее общем виде импульсная система задаётся системой ОДУ в нормальной форме:

^ = /(<>*), (2.2.1) at

определённая, непрерывная и удовлетворяющая условию Липшица по х локально в некоторой области G = Dx(-oo>c»)c:D"+1. Кроме того, заданы одна или несколько гладких поверхностей S, с G, (/ = 1,2,..., т), и операторы

Tr.S,-+Sj, (i=l,2,...,m), (2.2.2)

отображающие поверхность S, в Sj (номер j = <p(i) является функцией /). Случай, когда поверхность S, отображается в себя, не исключается. Отображения (2.2.2) удовлетворяют условию

Tt(l,x) = (tMx)), (2.2.3)

которое означает, что при отображении Tl(i = l,2,...,m) момент времени / остаётся неизменным, а точка х в фазовом пространстве мгновенно меняет своё положение на у/(х). Заданную таким образом систему ОДУ, будем называть импульсной системой (2.2.1) - (2.2.3).

Предполагаем, что поверхности S, задаются уравнениями в неявной форме: Sl(t,x) = 0, (/ = 1,2,...,т), где S,(t,x) - достаточно гладкие функции. Кроме того, считаем, что на любом конечном отрезке [/0, г] интегральные кривые системы ОДУ (2.2.1) пересекаются с поверхностями S,(t,x), (/ = 1,2,...,т) лишь в конечном числе точек.

Решением импульсной системы (2.2.1) - (2.2.3) является кусочно-непрерывная на отрезке [t0,r] функция x = x(t), удовлетворяющая на каждом из интервалов (/,/J+1)c[f0,r) , (¿ = 0,1,...) уравнению (2.2.1), непрерывная в точках t, справа x(t, +0) = *(/,) и имеющая в этих точках скачки: x{t, + 0)-x(t, -0) = x{t,)-x{t, -0) = y(x{t, -0)), (i = 1,2,3,...).

Для интегрирования импульсных систем ОДУ был составлен комплекс SDEI (от System of Differential Equation with Impulses), состоящий из программ odeisolve, odeifsolve и odeiplot, позволяющих интегрировать такие системы в аналитическом и численном видах с представлением их графически.

В главе 3 «Применения разработанных программ для исследования некоторых систем с переменной структурой» рассматривается ряд задач из разных областей знания, на которых апробируются разработанные программы, представленные в предыдущих главах.

В разделе 3.1 рассматривается вопрос о влиянии фактора запаздывания на устойчивость глобального круговорота воды в природе. То, что запаздывание является существенным элементом процесса круговорота воды очевидно, поскольку вода по рекам не сразу попадает в океан, а через несколько суток, в ледниках же вода может накапливаться десятилетиями. В то же время наиболее общая система уравнений (В.Ф. Крапивин, Ю.М. Свирежев, А.М. Тарко. Математическое моделирование глобальных биосферных процессов, 1982), описывающая круговорот воды, настолько сложна, что исчерпывающее исследование её весьма затруднительно, и полностью она до сих пор не исследована. Кроме того, в ней не учтён фактор запаздывания.

В нашей работе предложена нульмерная модель глобального круговорота воды в виде системы ОДУ третьего порядка, которая отражает основные закономерности процесса с учетом запаздывания, а вначале исследованы также его две модели — первая линейная, а вторая нелинейная этого явления без учета запаздывания.

1). Вначале, при рассмотрении глобального круговорота воды, не будем учитывать использование пресной воды человеком для бьгговых и производственных нужд, обращение пресной воды в животном и растительном мире, а также зависимость коэффициентов испарения воды от количества водяных паров в атмосфере.

Пусть W0 - количество воды, находящейся в океане, WA - количество воды, находящейся в атмосфере, a Wc - количество воды, находящейся на суше. Линейная система ОДУ, описывающих изменение величин W0, WA и Wc с течением времени выглядит так:

'dW

dt о а с

■ = D-W0-E-Wa + F-Wc . (3.1.1)

dW dt

Здесь коэффициенты A,B,C,...,H являются положительными константами. Так как суммарное количество воды в трёх средах не меняется со временем, то имеет место соотношение

W0+WA + WC= const, (3.1.2)

поэтому три коэффициента в системе (3.1.1) могут быть выражены через остальные. Вводя обозначения а = A, b = B, с = С, d-F, e = G, x = W0, y = WA, z = Wc, систему уравнений (3.1.1) запишем в виде:

— = -а-х + о- у + с- г Iи

— = а-х-(Ь + е)-у + с]-2, Л

& /

— = е'у-(с + а)-2

(3.1.3)

где все переменные х, у, г являются положительными, то есть находятся в первом октанте 0'.

Проведённое методами качественной теории ОДУ исследование показывает, что все особые точки системы (3.1.3) устойчивы, то есть количества воды в океане, на суше и в атмосфере при времени / -> +оо, начиная с произвольной точки (х0,у0,г0) е□ \ и оставаясь на плоскости х + у+ г = х0 + у0 + г0 стремятся к определённым конечным значениям:

х> _ (¿6 + Ъс + се)(х0 + у0 + г0) йЪ + Ъс + се + ас + аА + ае'

а(с + с1)(х0 +у0 + г0) & + Ьс + се + ас + ас1 + ае

ае(х0 + + г0)

с1Ь + Ьс + се + ас + ас1 + ае

(3.1.4)

2). При составлении системы ОДУ (3.1.1) не учитывался тот совершенно очевидный факт, что чем больше облачность (то есть, чем больше воды в атмосфере), тем меньшее количество солнечного излучения достигнет поверхности Земли, и тем меньше воды испаряется с поверхности океана и суши. При учёте этого фактора соответствующие коэффициенты (а,с1) уравнений системы (3.1.1) будут непрерывно дифференцируемыми, положительными и строго убывающими функциями /¡(у), /2(у) при у> 0, и система становится нелинейной:

ах

^№-х-ф + е)-у + /2{уу2 . ш

= е ■ у — (с + /2(у)у г

аХ

(3.1.5)

•И в этом случае в работе также доказано, что количества воды в океане, на суше и в атмосфере при времени I +оо также стремятся к определённым конечным значениям.

3). В двух моделях, рассмотренных в предыдущих пунктах, не учитывается эффект запаздывания, который, несомненно, присутствует и играет весьма существенную роль в круговороте воды.

=-а • х(/) + Ь • ХО + с • г('- О

• ^-~а-х(1)-ф + е)-у(1) + с1-2(1). (3.1.6)

^-ъг-М-Л-Ы-с-гЦ-т)

Действительно, вода, выпадающая на сушу из атмосферы, не сразу оказывается в океане, а попадает туда через определённое время г - время запаздывания. Задержка воды на суше объясняется временем необходимым для стока её по рекам, скоплением воды в ледниках, содержанием воды в растениях и животных, использованием большого количества воды в промышленном производстве и пр.

Для учета эффекта запаздывания в работе предложена математическая модель исследуемого явления в виде системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся ар1ументом (3.1.6).

Применяя программы символьно-численного интегрирования систем ОДУ с отклоняющимся аргументом, приведённые в первой главе, было показано, что в системе (3.1.6) реализуются различные виды движения (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Устойчивое (а = 1, Ь = 1, с = 1, с1= 0,5, е = 1, г = 1,5), (слева), периодическое^^, 6 = 1, с = 1, <1 = 0,5, е = \, г = 1,5), и неустойчивое (а = 1, Ъ = 1, с-5, ¿1 = 2, е = 1, г = 1) (справа)решения системы (3.1.6).

В частности, обнаружено, что при некоторых значениях параметров, состояние равновесия системы дифференциальных уравнений (3.1.6) круговорота воды становится неустойчивым, то есть наличие запаздывания приводит к неустойчивости глобального круговорота воды в природе.

В разделе 3.2 исследована предложенная в работе математическая модель в виде системы ОДУ с разрывной правой частью, описывающая взаимодействие трёх популяций - один хищник и две жертвы.

Пространство численностей популяций двух жертв х(1) > О, у(1) > 0 и хищника ~(1) > О разбивается некоторой гладкой поверхностью 5 на две области О, и С2, и динамика численностей в области Ох задаётся системой ОДУ (3.2.1), а в области в2 - системой ОДУ (3.2.2):

= х-(а-Ь] -г)

й/ЬС

^ = г) ,(3.2.1)

— = х ■ (а - • г) Л 2

^ = у(с-с1г-г) ,(3.2.2)

ск , , ш

которые отличаются только значениями числовых коэффициентов 6,, Ь2, й2, А,, /г2, , при одинаковых значениях коэффициентов а, с, е.

В нашей работе методами качественной теории ОДУ и с применением описанных в разделе 2.1 программ были исследованы решения системы ОДУ с разрывной правой частью (3.2.1), (3.2.2) для двух поверхностей разрыва: у = С0-х°'а, С0> 0 и у = х. В результате были выявлены многие качественные закономерности решений в предложенной модели трех взаимодействующих популяций, в частности, в зависимости от величины параметров было показано существование в ней периодических, устойчивых и неустойчивых режимов.

В качестве примеров на рис. 3.2 слева и в центре приведены траектории системы (3.2.1), (3.2.2), которые заканчиваются циклами, лежащими на поверхностях (затемнены) разрыва у - С0 ■ хс/а, (С0 >0) и у = х, а справа на этом же рисунке показан цикл, состоящий из двух дуг, одна из которых лежит на поверхности скользящих движений у = х, а другая дуга - вне этой поверхности.

Рис. 3.2. Траектории системы (3.2.1), (3.2.2) с разрывной провой частью, которые заканчиваются циклами.

В разделе 3.3 исследована система ОДУ с импульсами, которая представляет собой математическую модель динамики численности популяций х(1) > О жертвы и у(() > 0 хищника, в которой из популяции жертвы в моменты достижения своих максимальных значений мгновенно изымается некоторое количество особей (установленная квота). Такая модель описывается системой ОДУ с импульсами

= х-(а-р-у) • * , (3.3.1.)

~=у{гГ + 5-х)

. ш

где а, - положительные константы. Движение происходит по траекто-

рии системы (3.3.1) до такого момента времени, когда изображающая точка численности жертвы х{() > 0 не достигнет своей максимальной величины, в этот момент времени мгновенно из количества *(/) изымается величина установленной квоты, после чего движение снова будет продолжаться по траектории системы (3.3.1) и так далее.

Рис. 3.3. Траектория импульсной системы (3.3.1), выходящая из точки М( 1,75; 1) при изменении времени / е [0; 0,95] и при следующих значениях параметров а-\, = 1, 7 = 2, ¿>=1, ¿/ = 0,5.

Система ОДУ (3.3.1.) была исследована с помощью разработанной программы, описанной в разделе 2.2 и, в частности, обнаружено, что в этой модели имеет место так называемый динамический хаос. Отметим, что наличие в данной системе хаоса было строго доказано методами качественной теории (М.А. Аматов, Г.М. Аматова. Об автоколебаниях в уравнениях Лотки-Вольтерра с толчками. Дифференциальные уравнения. Рязань, 1986). Найденная с помощью описанной в разделе 2.3 программы часть траектории импульсной системы (3.3.1) показана на рис. 3.3,

При дальнейшем увеличении интервала изменения времени она сплошь

заполняет собой область, ограниченную замкнутой кривой АВСОЕРМА, что показывает стохастический характер движения, полностью определяемый динамикой импульсной системы (3.3.1).

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В двух приложениях приведены листинги разработанных программ для символьно-численного интегрирования: 1) ОДУ с отклоняющимся аргументом (Приложение А), 2) ОДУ с кусочно-непрерывными правыми частями, неинтег-рируемых в квадратурах (Приложение Б).

Основные результаты

1. Разработаны алгоритмы и составлены программы для аналитического и численного интегрирования ОДУ /7-го порядка с постоянным и переменным отклонениями аргумента.

2. Разработаны алгоритмы и составлены программы для аналитического и численного интегрирования систем из п ОДУ с постоянным отклонением аргумента.

3. Разработаны алгоритмы и составлены программы для аналитического и численного интегрирования систем из п обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями.

4. Разработаны алгоритмы и составлены программы для аналитического и численного интегрирования систем из п обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсами.

5. С помощью разработанных программ и методами качественной теории дифференциальных уравнений исследованы решения линейной и нелинейной математических моделей глобального круговорота воды в природе в виде системы трёх ОДУ без учета фактора запаздывания стока воды с суши в океан и показана устойчивость их состояний равновесия.

6. С помощью разработанных программ получены и исследованы решения предложенной нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе в виде системы трёх ОДУ с учетом запаздывания. Определены значения параметров модели, при которых явление запаздывания приводит к неустойчивости круговорота воды в природе.

7. Выполнены символьно-численные вычисления с использованием разработанной программы и проведен анализ решений предложенной математической модели в виде системы из трёх ОДУ с разрывной правой частью для описания динамики численностей трёх взаимодействующих популяций: один хищник - две жертвы. Показано, в частности, что в системе имеются периодические решения.

8. Исследована математическая модель, описывающая динамику двух популяций взаимодействующих между собой как хищник и жертва при условии, что в момент, когда численность жертвы становится максимальной, из неё мгновенно изымается одно и то же число особей. С использованием составленной нами программы для символьно-численного интегрирования ОДУ с импульсами показано, что в такой системе возникает явление динамического хаоса.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

Статьи в научных изданиях, входящих в перечень рекомендованных ВАК

1. Аматов М. А. Интегрирование дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с помощью пакета MAPLE 8/ М.А. Аматов, A.A. Гусев, И.С. Кузнецова, H.A. Чеканов // Вестник Воронежского государственного технического университета, т.З, №8. - Воронеж: ВГТУ, 2007. - С. 165-166.

2. Аматов М.А. Исследование устойчивости глобального круговорота воды в природе / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, И.С. Кузнецова, Кунгурцев СЛ., H.A. Чеканов // Экологические системы и приборы. - Москва: №6. - 2008. -С. 42-46.

3. Аматов М.А. Исследование математической модели динамики числен-ностей трёх взаимодействующих популяций / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, И.С. Кузнецова //. Вопросы современной науки и практики. Университет им. В.И. Вернадского. - Тамбов: ТГТУ. №3(17). - 2009. - С. 65-77.

4. Аматов М.А. Исследование модели взаимодействия трёх популяций, связанных трофическими отношениями / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, И.С. Кузнецова, Кунгурцев С.А., H.A. Чеканов // Экологические системы и приборы. - Москва: №7. - 2009.-С. 31-41.

Статьи в научных журналах и сборниках трудов

5. Аматов М.А. Интегрирование дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с помощью математического пакета MAPLE 8 / М.А. Аматов, И.А. Клименко, И.С. Кузнецова, H.A. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета. - Херсон: ХНТУ, - №2(25), -2006. с. 14-18.

6. Аматов М.А. Применение математического пакета MAPLE 8 к интегрированию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / М.А. Аматов, И.А. Клименко, И.С. Кузнецова, H.A. Чеканов // Научные ведомости. - Белгород: БелГУ, Серия физико-математическая, - №6(26). Вып. 12, -2006. - с. 65-70.

7. Аматов М.А. Интегрирование систем дифференциальных уравнений с

отклоняющимся аргументом с помощью математического пакета MAPLE 8 / М.А. Аматов, И.С. Кузнецова, H.A. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета. - Херсон: ХНТУ, - Вып. 2(28). - 2007. -С. 12-15.

8. Аматов М.А. Применение математического пакета MAPLE 8 к исследованию одного класса немарковских процессов / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, И.С.Кузнецова, H.A.Чеканов // Научные ведомости БелГУ. - Белгород: БелГУ, -№6 (37). вып. 13, 2007. - с. 65-74.

9. Кузнецова И.С. Решение дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом методом шагов в среде MAPLE / И.С. Кузнецова //. Сб. материалов международной научной конференции «Современные проблемы математики и её приложения в естественных науках и информационных технологиях». Харьков: ХНУ, 2007, с. 134-137.

10. Аматов М.А. Интегрирование импульсных систем с помощью математического пакета MAPLE 8 / М.А.Аматов, Г.М.Аматова, И.С.Кузнецова, H.A. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета.- Херсон: ХНТУ, № 2(31). - 2008. - с. 15-19.

11. Кузнецова И.С. Об устойчивости нульмерной модели глобального круговорота воды в природе / И.С. Кузнецова //. Дифференциальные уравнения. Известия РАЕН. № 11,- 2009. - с. 5-8.

12. Аматов М.А. Интегрирование математического пакета MAPLE к интегрированию систем дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, Ишкова O.A., И.С. Кузнецова, H.A. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета. - Херсон: ХНТУ, - №2(35). -2009. - с. 19-24.

Статьи в материалах и сборниках трудов научных конференций

13. Аматов М.А. Исследование одного класса немарковских процессов с помощью математического пакета MAPLE 8 / М.А. Аматов, И.С. Кузнецова, H.A. Чеканов // Труды первой международной научной конференции «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения». - Минск: БГУ, -2007.-с. 112-113.

14. Аматов М.А. Интегрирование дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с помощью пакета MAPLE 8 / М.А. Аматов, A.A. Гусев, И.С. Кузнецова, H.A. Чеканов //. Физико-математическое моделирование систем. Материалы IV Международного семинара. Часть 2. - Воронеж: ВГТУ, -2007.-с. 175-179.

15. Аматов М.А. К теории устойчивости глобального круговорота воды в природе / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, И.С. Кузнецова, H.A. Чеканов // Материа-

лы девятой Международной математической школы: «Метод функций Ляпунова и его приложения». - Симферополь: СНУ, - 2008. - с. 3-4.

16. Аматов М.А. Математические модели глобального круговорота воды в природе / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, И.С. Кузнецова, H.A. Чеканов // Десятая Международная Белорусская математическая конференция. Математическое моделирование и математическая физика. — Минск: БГУ, 2008. — с. 56-57.

Официальная регистрации программ

17. Аматов М.А. Интегрирование дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / М.А. Аматов, И.С. Кузнецова, H.A. Чеканов // ФГНУ «Государственный координационный центр информационных технологий». Отраслевой фонд алгоритмов и программ, дата регистрации 04 апреля 2007 г.

18. Аматов М.А. Пакет программ для интегрирования дифференциальных уравнений запаздывающего, нейтрального или опережающего типов с несколькими постоянными отклонениями аргумента методом шагов / М.А. Аматов, И.С. Кузнецова, H.A. Чеканов // ФГНУ «Государственный координационный центр информационных технологий», ОФАП, дата регистрации 14 декабря 2007 г.

Подписано в печать 24.11.2009. Гарнитура Times New Roman. Формат 60x84/16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 217. Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85

Оглавление автор диссертации — кандидата физико-математических наук Кузнецова, Ирина Сергеевна

Введение.

Общая характеристика работы.

ГЛАВА 1. Алгоритмы и программы символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

Введение.

1.1. Алгоритм и программа символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянным отклонением аргумента.

1.2. Алгоритм и программа символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с переменным запаздыванием.

1.3. Алгоритм и программа символьно-численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием.

ГЛАВА 2. Алгоритмы и программы символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями.

Введение.

2.1. Алгоритм и программа символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями.

2.2. Алгоритм и программа символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсами (толчками).

ГЛАВА 3. Применения разработанных программ для исследования некоторых систем с переменной структурой.

Введение.

3.1. Исследование устойчивости нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе.

3.2. Исследование математической модели динамики численностей трёх взаимодействующих популяций.

3.3. Исследование математической модели системы «хищник-жертва» при наличии толчков.

Введение 2009 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Кузнецова, Ирина Сергеевна

При моделировании сложных систем с переменной структурой, которые широко используются в различных областях науки и технике, адекватным математическим аппаратом для их описания являются обыкновенные дифференциальные уравнения, которые удовлетворяют не только начальным (краевым) условиям, "но и некоторым специфическим дополнительным условиям. Класс таких дифференциальных уравнений довольно обширен.

К ним в первую очередь следует отнести дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом или, как их ещё принято называть, функционально-дифференциальные уравнения, поскольку, как сказано в [1, стр. 7]: «.учение о функционально-дифференциальных уравнениях превратилось в специальную главу функционального анализа».

К этому же.классу принадлежат дифференциальные уравнения с кусочно-непрерывными (разрывными) правыми частями. О них в работе [109, стр. 8] написано, что «.специфика в поведении систем, у которых правая часть дифференциального уравнения является кусочно-непрерывной функцией её координат, заключается в том, что на некотором конечном интервале времени число точек разрыва может не оказаться конечным. Задача состоит в описании таких движений, которые принято называть скользящими режимами».

Дифференциальные уравнения с импульсами (толчками), «представляющие собой частный случай систем с обобщёнными возмущениями и в то же время немедленно сводящихся к системам в конечных разностях» [125, стр. 7], также входят в этот класс.

Для полноты заметим, что к этому классу дифференциальных уравнений относятся уравнения в контингенциях, дифференциальные включения, уравнения, содержащие обобщённые функции.

Вопросам теории перечисленных дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ, из которых отметим лишь основные монографии и статьи обзорного характера. Так, дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом исследуются в работах [1, 19, 30, 64, 71, 78, 88, 111, 124, 126, 134, 135], уравнениям с разрывной правой частью посвящены работы [2-5, 26, 32, 48, 53, 60, 81, 82, 84, 98, 100,101, 107-110, 112-123, 137-139, 146, 149, 155, 163, 164], уравнения с импульсами рассматриваются в работах [6-8, 11, 14, 22, 23, 31-35, 43-47, 61, 63, 74-77, 85, 86, 92-96, 98, 99, 105, 111, 125, 128-130, 132-133, 141, 157-162, 166], дифференциальные включения исследованы в статьях [9, 20, 28, 79, 80, 106, 116, 127, 131, 140, 141, 142, 144, 147], уравнения с обобщёнными функциями в работах [39, 40, 148, 151].

И, наряду с этим, отсутствуют программы для ЭВМ, которые позволяли бы интегрировать такие дифференциальные уравнения, строить их траектории или графики решений, вычислять численные значения при заданных значениях аргумента. В частности нет этих программ в таких, широко известных математических пакетах, как MAPLE и MATHEMATICA.

Диссертационная работа посвящена разработке новых алгоритмов и составлению эффективных программ символьно-численного решения с применением современных компьютерных технологий для первых трёх из указанных выше видов таких дифференциальных уравнений, руководствуясь при этом следующими соображениями.

Во-первых, дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, с кусочно-непрерывными правыми частями и импульсные дифференциальные уравнения чаще всего встречаются в приложениях.

Во-вторых, движения каждой такой системы устроены по одному и тому же принципу, суть которого сводится к следующему: если движение определено на отрезке [/0, Т], то этот отрезок может быть разбит на конечное число частей [/,,?<+1] (i = 0,1,2,.к), tk=T таких, что на каждой из частей движение системы является решением некоторого, вполне определённого, обыкновенного дифференциального уравнения. Отсюда следует, что в основу алгоритмов и программ для интегрирования таких уравнений могут быть положены одни и те же принципы.

Поскольку, как было уже отмечено, рассматриваемые дифференциальные уравнения очень часто возникают при решении прикладных задач, естественно возникает вопрос, в каких случаях решение прикладной задачи приводит к таким уравнениям. Можно выделить два случая, когда использование таких дифференциальных уравнений оправдано.

Первый случай заключается в том, что к таким уравнениям приводит само существо решаемой задачи. Так, например, при решении задачи синтеза в оптимальном управлении получаются дифференциальные уравнения с кусочно-непрерывной правой частью [21, стр. 53], [83, стр. 34]. То же самоё относится к теории автоматического управления и регулирования, где без учёта явления запаздывания невозможно достаточно точно описать динамику процесса [73, 90].

Второй случай заключается в том, что к таким уравнениям можно прийти в процессе упрощения поставленной задачи. Действительно, если некоторые из функций, входящих в правые части дифференциальных уравнений, определяются на основе экспериментальных данных, то при составлении аналитического выражения этих уравнений естественно выбирать наиболее простые функции. Но в случае нелинейных уравнений такой подход может привести к уравнениям с кусочно-непрерывной правой частью. Именно таким приёмом воспользовался А.А. Андронов, исследуя колебания тока в ламповом генераторе в случае z-характеристики [10, стр. 191].

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Во многих системах в области физики, техники, биологии, автоматического регулирования и оптимального управления и других происходят сложные процессы, которые на разных отрезках своей эволюции с необходимостью описываются различными видами обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, для некоторых систем их состояние в конкретный момент времени зависит от состояний в предыдущие или последующие моменты времени. Имеются также системы, которые изменяются по разным законам на различных участках своего движения. Некоторые системы изменяют свою структуру при достижении заранее заданных условий.

При математическом моделировании таких систем с переменной структурой адекватным подходом является использование более сложных классов обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно: 1) с отклоняющимися аргументами, которые учитывают эффекты запаздывания или опережения, 2) с кусочно-непрерывными правыми частями, 3) содержащие импульсы (толчки).

Однако нахождение решений перечисленных выше классов обыкновенных дифференциальных уравнений представляет крайне трудоемкую задачу, так как приходится интегрировать большое количество обыкновенных дифференциальных уравнений на всем отрезке интегрирования, причем структура уравнений сильно усложняется при каждом переходе от одного участка к другому.

По поводу вопроса интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом Г.Г. Малинецкий на стр. 21 своей книги [55] отмечает: «Сами нелинейные уравнения с запаздыванием - одни из наиболее сложных объектов в современном моделировании. Например, весьма непростым является анализ элементарной на вид модели - уравнения Хатчинсона x(t) = а • x(t) • (1 — x(t - т)). .Его достаточно трудно анализировать как с помощью численных, так и с помощью асимптотических методов при больших значениях параметра а». В теории автоматического управления, где используются обыкновенных дифференциальных уравнений и их системы с отклоняющимся аргументом, автор обстоятельного курса [90] на стр. 44 пишет: «Эффективное построение решений дифференциально-разностных уравнений представляет собой достаточно трудную задачу».

В работе [18] относительно исследования обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями на стр. 377 ; написано, что «. полное сведение исследования её качественной структуры к исследованию некоторого точечного отображения, как правило, делается невозможным».

Точно также обстоит дело с импульсными системами обыкновенных I дифференциальных уравнений, для которых исследование качественной структуры представляет собой ещё более трудную задачу [63-65, 92-96]. I

Трудности интегрирования указанных классов обыкновенных дифференциальных уравнений можно в определенной степени преодолеть при использовании комбинированного метода, в котором вначале выполняются символьные преобразования исследуемой математической модели, а затем на основе полученных аналитических выражений производятся численные рас- четы. Для символьных, так и численных этапов интегрирования целесообразно использовать современные пакеты, такие как MAPLE и другие подоб-> ные системы компьютерной алгебры.

В диссертационной работе предложены новые алгоритмы, реализованные в виде программ для символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений указанных выше классов, которые позволяют найти их решения в аналитическом виде, а также находить численные значения решений для заданных значений аргумента и строить графики. При помощи разработанных программ в среде MAPLE были проведены исследования конкретных предложенных в работе математических моделей, описывающих глобальный круговорот воды в природе с учетом запаздывания и динамику численностей биологических популяций: хищник, две жертвы и хищник-жертва.

Цель диссертационной работы — разработка методов, алгоритмов и программ с использованием современных средств компьютерной алгебры для символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем следующих классов: 1) уравнений с отклоняющимся аргументом; 2) уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями; 3) уравнений содержащих импульсы (толчки). Проведение с помощью полученных программных продуктов исследования ряда прикладных задач из различных областей науки.

Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработка программно-алгоритмической поддержки символьных преобразований и вычислений на основе средств компьютерной алгебры с представлением решений в аналитическом и численном виде для следующих классов обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем: а) с постоянным и переменным запаздыванием; б) с кусочно-непрерывными правыми частями; в) с правой частью, которая содержит импульсы (толчки).

2. Получение системы из трёх обыкновенных дифференциальных уравнений, которая представляет собой новую нульмерную математическую модель круговорота воды в природе, учитывающую эффект запаздывания стока воды в океан. Проведение исследования на устойчивость решений в аналогичных двух моделях, но без учета эффекта запаздывания.

3. Провести апробацию разработанных программ на известных задачах и применить их для символьно-численного интегрирования и исследования свойств решений следующих предложенных математических моделей: а) нульмерная модель глобального круговорота воды в природе с учетом запаздывания стока воды в океан; б) модель взаимодействующих популяций один хищник и две жертвы в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью; в) модель динамики численности популяций хищник-жертва при наличии импульсов, связанных с мгновенным изъятием из популяции жертвы определенного ее количества в моменты достижения своих максимальных значений.

Научная новизна. Показана эффективность применения символьно-численных вычислений для исследования физических, технических, биологических систем с переменной структурой, которые описываются дифференциальными уравнениями как с постоянным, так и переменным отклонением аргумента, с кусочно-непрерывными правыми частями, а также содержащих импульсы.

Исследована устойчивость предложенной нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе, описываемая системой дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, и показано, что наличие запаздывания является причиной неустойчивости решений в отличие от моделей без учета этого эффекта.

Найдены и исследованы решения предложенной математической модели один хищник и две жертвы в виде системы из трех дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и показано, что существуют такие значения параметров, при которых в системе возникают устойчивые периодические колебания.

Получены и исследованы решения математическая модель в виде системы дифференциальных уравнений с импульсами, которая описывает динамику численности двух популяций хищник и жертва и обнаружено, что при определенных значениях параметров в такой системе возникает явление динамического хаоса.

Практическая значимость и полезность полученных результатов.

Диссертационная работа имеет одновременно теоретический и практический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут быть с успехом использованы как в теоретических исследованиях, так и для решения прикладных задач, например, в физических, биологических, системах автоматического регулирования и оптимального управления.

Полученные программы для символьно-численного интегрирования всех рассмотренных в работе дифференциальных уравнений могут быть применены при исследовании устойчивости, зависимости от параметров, отыскания периодических и стохастических движений этих уравнений в сложных системах с переменной структурой.

Положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритмы и программы символьно-численных вычислений при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений и систем с постоянными и переменными отклоняющимися аргументами, систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями и систем обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсами.

3. Результаты исследования решений нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе в виде линейной и нелинейной систем обыкновенных дифференциальных уравнений без учета эффектов запаздывания.

4; Результаты исследования предложенной математической; модели системы, один хищник и две жертвы, описываемой системой1 обыкновенных дифференциальных, уравнений с разрывными правыми частями, и расчеты значений параметров, при которых. в системе существует устойчивый периодический режим.

5. Результаты, символьно-численных вычислений в математической модели для биологической, системы хищник-жертва при наличии импульсов, которые показывают существования стохастических решений.

Обоснованность и достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена корректностью математических выкладок с использованием теорем теории обыкновенных дифференциальных уравнений (как с непрерывными, так и с разрывными правыми частями) и теории обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, положений метода точечных отображений и теории устойчивости. Кроме того, результаты, полученные с применением разработанных символьно-численных программ, согласуются с имеющимися результатами, полученными другими методами и другими авторами. .

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: VIII Международная конференция по математическому моделированию (г. Феодосия, 10-16 сентября, 2006); IX Международная конференция по математическому моделированию (г. Феодосия, 10-16 сентября,. 2007); X Международная конференция по математическому моделированию (г. Феодосия, 15-20 сентября^ 2008); Первая Международная конференция «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения» (г. Минск, 10-16 ноября, 2007); IV Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, 28-29 ноября 2007 г.); Международная научная конференция для студентов и аспирантов «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (г. Харьков, 23-25 марта 2007); V Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, 28-29 ноября 2008 г.); IX Международная математическая школа (Алушта, 15-20 сентября 2008); VI Международная научно-практическая конференция «Геометрическое моделирование и компьютерные технологии: теория, практика, образование» (г. Харьков, 21-24 апреля 2009); Международная конференция по математическому моделированию (г. Херсон, 14-19 сентября, 2009); Первая Международная научно-техническая конференция «Компьютерные науки и технологии» (г. Белгород, 8-9 октября 2009).

Заключение диссертация на тему "Разработка алгоритмов и программ символьно-численного интегрирования некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений при моделировании систем с переменной структурой"

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Разработаны алгоритмы и составлены программы для аналитического и численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений п -го порядка с постоянным и переменным отклонениями аргумента.

2. Разработаны алгоритмы и составлены программы для аналитического и численного интегрирования систем из п обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянным отклонением аргумента.

5. С помощью разработанных программ и методами качественной теории дифференциальных уравнений исследованы решения линейной и нелинейной математических моделей глобального круговорота воды в природе в виде системы из трёх обыкновенных дифференциальных уравнений без учета фактора запаздывания стока воды с суши в океан и показана устойчивость их состояний равновесия.

6. С помощью разработанных программ получены и исследованы решения предложенной нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе в виде системы из трёх обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом запаздывания. Определены значения параметров модели, при которых явление запаздывания приводит к неустойчивости круговорота воды в природе.

7. Выполнены символьно-численные вычисления с использованием разработанной программы и проведен анализ решений предложенной математической модели в виде системы из трёх обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью для описания динамики числен-ностей трёх взаимодействующих популяций: один хищник - две жертвы. Показано, в частности, что в системе имеются периодические решения.

8. Исследована математическая модель, описывающая динамику двух популяций взаимодействующих между собой как хищник и жертва при условии, что в момент, когда численность жертвы становится максимальной, из неё мгновенно изымается одно и то же число особей. С использованием составленной нами программы для символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсами показано, что в такой системе возникает явление динамического хаоса.

Заключение

Библиография Кузнецова, Ирина Сергеевна, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Азбелев, Н.В Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений / Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. — М: Наука,1991.-277 с.

2. Айзерман, М.А. Об определении периодических режимов в нелинейной динамической системе с кусочно-линейными характеристиками / М.А. Айзерман, Ф.Р. Гантмахер // ПММ. 1956. - Т.20, №5, - С.639-654.

3. Айзерман, М.А. Устойчивость по линейному приближению периодического решения системы дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями / М.А. Айзерман, Ф.Р. Гантмахер // ПММ. 1957. - Т.21, №5, - С. 659-669.

4. Айзерман, М.А. Основы теории разрывных систем I / М.А. Айзерман, Е.С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. 1974. - №7, - С.33-47.

5. Айзерман, М.А. Основы теории разрывных систем II / М.А. Айзерман, Е.С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. — 1974. №8, - С.39-61.

6. Аматова, Г.М. Об особых точках систем с толчками. / Г.М. Аматова // Дифференциальные уравнения. 1985. - Т.21, № 9, - С. 613 - 615.

7. Аматов, М.А.Об автоколебаниях в уравнениях Лотки-Вольтерра с толчками / М.А. Аматов, Г.М. Аматова // Дифференциальные уравнения. Межвузовский сборник научных трудов. Рязань. 1986. - С. 17-22.

8. Аматова, Г.М. Об устойчивости особых точек «-мерных систем с толчками / Г.М. Аматова // Дифференциальные уравнения. 1988. - Т.24, №10, -С. 1819-1822.

9. Анапольский, Л.Ю. Об устойчивости дифференциальных включений / Л.Ю. Анапольский //Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19, №4, -С. 555-564.

10. Ю.Андронов, А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хай-кин. -М.: Наука, 1981. -568с.

11. П.Андронов, А.А. Разрывные периодические колебания и теория мультивибратора Абрагама и Блоха / А.А. Андронов // ДАН СССР. 1930. - №8,- С.189-192.

12. Андронов, А.А. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович и др. М.: Наука, 1966. - 568 с.

13. Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. М.: Наука, 1971. - 239 с.

14. Аролска, М. Периодические решения сингулярно возмущённых систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием / М. Аролска, Д. Байнов // Научные труды Пловдивского университета. Математика. — 1971.- Т. 19, №1, С.109-120.

15. Базыкин, А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций / А.Д. Базыкин — Москва Ижевск: ИКИ, 2003. - 367с.

16. Барбашин, Е.А. К теории релейных дифференциальных уравнений / Е.А. Барбашин, Ю.И. Алимов // Известия ВУЗов. Математика. 1962. - №1, -С.3-13.

17. Баутин, Н.Н. Теория точечных преобразований и динамическая теория часов / Н.Н. Баутин // Тр. международного симпозиума по нелинейным колебаниям. АН УССР. Киев. 1963. - т.2, - С.29-52.

18. Баутин, Н.Н. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович. М.: Наука, 1976.-496 с.

19. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения: Пер. с англ. / Р. Беллман, К.Л. Кук. М .: Мир, 1967. - 548 с.

20. Богатырёв, А.В. Неподвижные точки и автономные дифференциальные включения/А.В. Богатырёв// Дифференциальные уравнения. 1986.-Т. 22, №8, - С. 1298-1308.

21. Болтянский, В.Г. Математические методы оптимального управления / В.Г. Болтянский. М.: Наука, 1969. - 408 с.

22. Борисенко, С.Д. Об асимптотической устойчивости решений систем с импульсным воздействием / С.Д. Борисенко // Украинский математический журнал. 1974. - Т. 35, №2, -С. 144-150.

23. Бояркин, Г.Н. Об устойчивости решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений при воздействиях импульсного типа / Г.Н. Бояркин // Дифференциальные уравнения. 1978. - Т. 14, №6, - С. 11281130.

24. Бутенин, Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н.В. Бутенин, Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев. М.: Наука, 1976.-384с.

25. Васильев, М.Д. Исследование одной математической модели трёхвидовой конкуренции / М.Д. Васильев // Математические заметки ЯГУ. 2003. - Т. 10, №2, - С.33-39.

26. Викторовский, Е.Е. Об одном обобщении понятия интегральных кривых для разрывного поля направлений / Е.Е. Викторовский // Математический сборник. 1954. - Т.34(76), №2, - С. 213-247.

27. Вольтерра, В. Математическая теория борьбы за существование / В. Вольтерра. М: Наука, 1976. - 286с.

28. Ганго, Е.А. О решениях дифференциальных уравнений с многозначной правой частью / Е.А. Ганго // Учёные записки Ленинградского пединститута им. А.И. Герцена. 1971. - №404, - С.335-342.

29. Гаушус, Э.В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований / Э.В. Гаушус. М.: Наука, 1976. - 386с.

30. Гноенский, JI.C. Математические основы теории управляемых систем / JI.C. Гноенский, Г.А. Каменский, Л.Э. Эльсгольц. М .: Наука, 1969. -512с.

31. Горбиков, С.П. Вспомогательные скользящие движения динамических систем с ударными взаимодействиями / С.П. Горбиков, Ю.И. Неймарк // Дифференциальные и интегральные уравнения. 1981. - Горький,1981, -С. 59-64.

32. Гришин, С.А. Об устойчивости разрывных систем / С.А. Гришин // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т.15, №11, - С. 1940-1949.

33. Гургула, С.И. Исследование устойчивости импульсных систем вторым методом Ляпунова / С.И. Гургула // Украинский математический журнал. -1975.- Т.34, №1, С. 100-103.

34. Гургула, С.И. Второй метод Ляпунова в системах с импульсным воздействием / С.И. Гургула, Н.А. Перестюк // Доклады АН УССР, А. 1976. -№10, - С.11-14.

35. Дружиловская, Т.Ю. Стохастические автоколебания нелинейного осциллятора с ударным поглотителем энергии / Т.Ю. Дружиловская, Ю.И. Неймарк // ПММ. 1982. - Т.46, В.6, - С.924-930.

36. Дулов, В.Г. Математическое моделирование в глобальных проблемах естествознания / В.Г. Дулов, В.М. Белолипецкий, В.А. Цибаров. Новосибирск.: Изд-во Сибирского отд. РАН, 2005. - 248с.

37. Дьяконов, В.П. MAPLE 9 в математике, физике и образовании / В.П. Дьяконов. М.: Солон-Пресс, 2006, - 720с.

38. Конопляников, A.M. Петровский // Медицинская, радиология. 1976. -№2, Т.21,-С. 3-8.

39. Калитин, Б.С. О колебаниях математического маятника с ударными импульсами 4.1 / Б.С. Калитин // Дифференциальные уравнения. 1969. -Т.5, №7, - С.1267-1274.

40. Калитин, Б.С. О колебаниях математического маятника с ударными импульсами, ч.2 / Б.С. Калитин // Дифференциальные уравнения. 1970. - Т. 6, №12,-0.2175-2181.

41. Калитин, Б.С. Об особых точках двумерных систем с толчками / Б.С. Калитин // Вестник Белорусского университета. 1975. - Сер.1, №3, - С.8-11.

42. Калитин, Б.С. К устойчивости разрывных предельных циклов двумерных автономных систем / Б.С. Калитин // Вестник Белорусского университета. 1981. -Сер.1,№2, - С.44-48.

43. Козлов, Р.И^ К теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями / Р.И. Козлов// Дифференциальные уравнения. 1974. - Т. 10, №7, - С. 1264-1275.

44. Колесов, Ю.С. Свойства релаксационных колебаний одной биофизической задачи / Ю.С. Колесов; А.Г. Перетрухин // Докл. РАН. 2004. - Т. 398, №3,- С.319-322.

45. Костицын, В.А. Эволюция атмосферы, биосферы и климата / В.А. Кос-тицын. М.: Наука, 1984. - 96с.

46. Крапивин, В.Ф. Математическое моделирование глобальных биосферных процессов / В.Ф. Крапивин, Ю:М. Свирежев, A.M. Тарко. М.: Наука, 1982. -272с.

47. Куржанский, Е.Ф. Об описании множества выживающих решений дифференциальных включений / Е.Ф. Куржанский, Т.Ф. Филиппова // ДАН" СССР.- 1986. Т.289, №1, - С.38-41.

48. Лопатинский, Я.Б. К вопросу о решении уравнения у' = f(x,y) / Я.Б. Лопатинский // Труды Азербайджанского госуниверситета им. С.М. Кирова. 1939. B.l, - C.88-106.

49. Лоуден, Д. Оптимальные траектории для космической навигации / Д. Ло-уден. -М.: Мир, 1966. 152с.

50. Малинецкий, Г.Г. Математические основы синергетики. / Г.Г. Малинец-кий. М.: URSS, 2005, - 308с.

51. Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. — М.: Наука, 1966.-530с.

52. Марри, Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях / Дж. Марри. М: Мир, 1983. - 397с.

53. Марсден, Дж. Бифуркация рождения цикла и её приложения. / Дж. Мар-сден, М. Мак-Кракен. М.: Мир, 1980. - 368с.

54. Мартыненко, B.C. Операционное исчисление / B.C. Мартыненко. Киев.: «Выща школа», 1990. - 359с.

55. Матросов, В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями / В.М. Матросов // Дифференциальные уравнения. 1967. - Т.З, №3, - С.395-409.

56. Мильман, В.Д. Об устойчивости движения при наличии толчков / В.Д. Мильман, А.Д. Мышкис // Сиб. мат. ж. 1960. - Т.1, №2, - С.233-237.

57. Мышкис, А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А.Д. Мышкис. М.: Наука, 1972. - 352с.

58. Мышкис, А.Д. Динамические системы с внезапным изменением / А.Д. Мышкис, А.Я. Хохряков // Учёные записки Полоцкого пединститута им. Г. Скорины. Минск. 1958. - B.l, - С.209-226.

59. Мышкис, А.Д. Бушующие динамические системы I. Особые точки на плоскости / А.Д. Мышкис, А.Я. Хохряков // Математический сборник.1958. Т.45, В.З, - С.401-414.

60. Неймарк, Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний / Ю.И. Неймарк. М.: Наука, 1972. - 471с.

61. Неймарк, Ю.И. Стохастические движения динамических систем / Ю.И. Неймарк // Межвузовский сборник. Динамика систем. Горький. 1974. -№4, - С.3-50.

62. Неймарк, Ю.И. Физические механизмы самогенерации стохастических колебаний / Ю.И. Неймарк // Межвузовский сборник. Динамика систем. Горький. 1979. - №9, - С. 115-131.

63. Немыцкий, В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. -М.: ГИТТЛ, 1949. 550с.

64. Перестюк, Н.А. Разрывные циклы уравнения второго порядка с мгновенным изменением / Н.А. Перестюк, К.В. Цидыло // Сборник «Асимптотические методы в нелинейной механике», Киев. 1974. - С. 193-203.

65. Перестюк, Н.А. К вопросу устойчивости положения равновесия импульсных систем / Н.А. Перестюк // Годишн. висш. учебни завед. Прилож. ма-тем. 1975. - T.l 1,№1, - С.145-151.

66. Перестюк, Н.А. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием / Н.А. Перестюк, В.Н. Шовкопляс // Украинский математический журнал. 1979. - Т.31, №5, - С.517-524.

67. Петровский, Г.Н. Об одной системе линейных дифференциальных уравнений с толчками в заданные моменты времени / Г.Н. Петровский // Вестник Белорусского университета. 1978. - Сер., №2, - С.7-10.

68. Пинни, Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения: Пер. с англ. / Э. Пинни. М.: ИЛ, 1961. - 248с.

69. Поволоцкий, А.И. Ограниченные решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью / А.И. Поволоцкий, Е.А. Ганго // Математические записки Красноярского гос. Пединститута. 1970. - В.2, - С.60-67.

70. Поволоцкий, А.И. О периодических решениях дифференциальных уравнений с многозначной правой частью / А.И. Поволоцкий, Е.А. Ганго // Учёные записки Ленинградского пединститута им. А.И. Герцена. 1972. -№541,-С.145-154.

71. Поволоцкий, А.И. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и их периодические решения. Сборник «Современный анализ и геометрия» / А.И. Поволоцкий. Л.: 1972. - С.152-155.

72. Понтрягин, Л.С. Об устойчивости положения равновесия «релейной» системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский // Труды III Всесоюзного математического съезда. М.: Изд. АН СССР. 1956. - Т.1,- С.217-218.

73. Понтрягин, Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1976.-392с.

74. Приходько, Н.П. О циклических траекториях систем с переключением / Н.П. Приходько // Дифференциальные уравнения. 1974. - Т.10, №3, - С. 431-435.

75. Прохорова, Р.А. Линейные системы с сосредоточенным возмущением I / Р.А. Прохорова // Вестник Белорусского университета. 1975. - Сер.1, №2, - С.3-5.

76. Прохорова, Р.А. Линейные системы с сосредоточенным возмущением I / Р.А. Прохорова // Вестник Белорусского университета. 1979. - Сер.1, №1, - С.37-42.

77. Пых, Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики /Ю.А. Пых.-М.: Наука, 1983.- 182 с.

78. Резван, В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием: Пер. с рум. / В. Резван — М .: Наука, 1983. — 359с.

79. Ризниченко, Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии / Г.Ю. Ризниченко. Москва-Ижевск: ИКИ, 2003. — 182с.

80. Ройтенберг, Я.Н. Автоматическое управление / Я.Н.Ройтенберг. М .: Наука, 1971.-595с.

81. Романовский, Ю.М. Математическое моделирование в биофизике. Введение в теоретическую биофизику / Ю.М. Романовский, Н.В. Степанова, Д.С. Чернавский. Москва - Ижевск.: ИКИ, 2004. - 471с.

82. Самойленко, A.M. О движении осциллятора под действием мгновенной силы / A.M. Самойленко, Т.Г. Стрижак // Труды семинара по методам математической физики и нелинейным колебаниям. Киев. 1968. - Т.1, Вып. 2, - С.213-218.

83. Самойленко, A.M. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с импульсным воздействием / A.M. Самойленко, Н.А. Перестюк // Дифференциальные уравнения. 1977. - Т.13, №11, - С.1981-1992.

84. Самойленко, A.M. Периодические решения слабо нелинейных систем с импульсным воздействием / A.M. Самойленко, Н.А. Перестюк // Дифференциальные уравнения. 1978. - Т. 14, №6, - с. 1034-1045.

85. Самойленко, A.M. Об устойчивости решений систем с импульсным воздействием / A.M. Самойленко, Н.А. Перестюк // Дифференциальные уравнения. 1981. - Т. 17, №11, - С.1995-2001.

86. Самойленко, A.M. Периодические и почти периодические решения дифференциальных уравнений с импульсным воздействием / A.M. Самойленко, Н.А. Перестюк // Украинский математический журнал. 1982. - Т.34, №1, - с.66-73.

87. Свирежев, Ю.М. Устойчивость биологических сообществ / Ю.М. Свире-жев, Д.О. Логофет. -М.: Наука, 1978. -352 с.

88. Скрябин, Б.Н. Об одной динамической системе с разрывной характеристикой / Б.Н.Скрябин // Прикладная математика и механика. 1968. - Т. 32, Вып.4, - С.726-735.

89. Слесарчук, В.Е. Ограниченные решения импульсных систем / В.Е. Сле-сарчук // Дифференциальные уравнения.- 1983. — Т.19, №4, С.588-596.

90. Солнцев, Ю.К. Об устойчивости по Ляпунову положения равновесия системы двух дифференциальных уравнений в случае разрывных правых частей / Ю.К. Солнцев // Учёные записки МГУ. Математика. 1951. - Т.4, В.148, - С.144-180.

91. Солнцев, Ю.К. Непрерывная зависимость решений от начальных условий / Ю.К. Солнцев // Учёные записки МГУ. Математика. 1959. - Т.9, В. 186, - С.191-203.

92. Солодова, Е.А. Нелинейные модели в образовании / Е.А. Солодова, Ю.П. Антонов // Нелинейный мир. 2005. - №3,T.3, - С. 193-201.

93. Степанов, В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В.Степанов. -М.:ГИТТЛ, 1953.-468с.

94. Степановских, А.С. Биологическая экология. Теория и практика / А.С. Степановских.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009. 791с.

95. Стрижак ,Т.Г. Движение маятника, точка подвеса которого подвержена действию периодических толчков / Т.Г. Стрижак // Украинский математический журнал. 1969. - Т.21, №3, - С.413-417.

96. Толстоногов, А.А. Об уравнении интегральной воронки дифференциального включения / А.А.Толстоногов // Математические заметки. 1981. - Т.32, №6, - С.841-852.

97. Уткин, В.И. Об уравнениях скользящего режима в разрывных системах1./ В.И. Уткин // Автоматика и телемеханика. 1972. - №2, - С.51-61.

98. Уткин, В.И. Об уравнениях скользящего режима в разрывных системах1. / В.И. Уткин // Автоматика и телемеханика. 1971. - №12, - С.42-54.

99. Уткин, В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой / В.И. Уткин. М.: Наука, 1974. - 272с.

100. Фадеева, JI.H. О краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью / JI.H. Фадеева // Дифференциальные уравнения. 1969. - Т.5, №2, - С.343-349.

101. Фейгин, М.И. Скользящий режим в динамических системах с ударным взаимодействием / М.И. Фейгин // Прикладная математика и механика. -1967. Т.31, Вып. 3, - С.533-536.

102. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с кусочно-непрерывными правыми частями / А.Ф. Филиппов // УМН. 1958. - Т. 13,1. B.4(82), С.217-218.

103. Филиппов, А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования / А.Ф. Филиппов // Вестник МГУ. Математика. 1959. - №2,1. C.25-32.

104. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов // Математический сборник. 1960. - Т.51(93), №1, - С.99-128.

105. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с многозначной разрывной правой частью /А.Ф. Филиппов // Доклады АН СССР. 1963. - Т. 151, №1, - С.65-68.

106. Филиппов, А.Ф. Устойчивость для дифференциальных уравнений с разрывными и многозначными правыми частями / А.Ф. Филиппов // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т.15, №6, - С.1018-1027.

107. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с правой частью, разрывной на пересекающихся поверхностях / А.Ф. Филиппов // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т.15, №10, - С.1874-1823.

108. Филиппов, А.Ф. Система дифференциальных уравнений с несколькими разрывными функциями / А.Ф. Филиппов // Математические заметки. -1980. Т.27, №2, - С.255-266.

109. Филиппов, А.Ф. Топологическая классификация особых точек на плоскости для системы дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями / А.Ф. Филиппов // Успехи математических наук. 1981.1. Т.36, №4, С.225.

110. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. М.: Наука, 1985. - 224с.

111. Филиппов, В.В. О существовании и свойствах решений обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных включений/ В.В. Филиппов// Дифференциальные уравнения. 1986. - Т.22, №6, - С.968-977.

112. Финогенко, И.А. О непрерывных аппроксимациях и правосторонних решениях дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями / И.А. Финогенко // Дифференциальные уравнения. 2005.- Т.41, №5, С.647-655.

113. Фуфаев, Н.А. Теория электромагнитного прерывателя. Сб. памяти А.А. Андронова / Н.А. Фуфаев. М.: Изд. АН СССР, 1955. - с.334-382.

114. Халанай, А. Системы с запаздыванием / А. Халанай // Результаты и проблемы. Математика. Сборник переводов. 1966. - Т. 10, №5, - С.85-102

115. Халанай, А. Качественная теория импульсных систем / А. Халанай, Д. Векслер.-М.:Мир, 1971.-309с.

116. Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений: Пер. с англ / Дж. Хейл. М .: Мир, 1984. - 421с.

117. Цалюк, В.З. Об устойчивости по первому приближению дифференциальных включений / В.З. Цалюк // Дифференциальные уравнения. 1980.- Т.16, №2, С.258-236

118. Цидыло, К.В. О периодических решениях нелинейных систем с импульсным воздействием / К.В. Цидыло, С.С. Гулька // Доклады АН УССР, А. 1981.-№Ю,- С.21-23.

119. Цыгановский, Н.С. К вопросу обоснования метода усреднения для систем с импульсным воздействием / Н.С. Цыгановский // Украинский математический журнал. 1979. - Т.31, №4, - С.469-473.

120. Черникова, О.С. Принцип сведения для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием / О.С. Черникова // Украинский математический журнал. 1982. - Т.34, №5, - С.601-607.

121. Чугунов, П.И. О зависимости решений дифференциальных включений от начальных условий и параметра / П.И. Чугунов // Дифференциальные уравнения. 1981. - Т.17, №8, - С.1426-1433.

122. Шовкопляс, В.Н. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с импульсным воздействием / В.Н. Шовкопляс // Вестник Киевского университета. Математика и механика. -1978. №20, - С.131-140.

123. Шовкопляс, В.Н. Периодические решения одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с импульсным воздействием / В.Н. Шовкопляс // Вестник Киевского университета. Математика и механика. 1982.-№24,-С.113-120.

124. Эльсгольц, Л.Э. Основные направления развития теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Л.Э. Эльсгольц // Тр. 2-го Всесоюзного съезда по теоретич. и прикл. механике. Обзорные доклады. 1965. - Вып.2,- С. 158-164.

125. Эльсгольц, Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Л.Э. Эльсгольц, С. Б. Норкин. — М.: Наука, 1971.-296с.

126. Яценко, Л.В. Асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием / Л.В. Яценко // Вестник Киевского университета. Математика и механика.- 1979. №21, - С.148-153.

127. Andre, J. The Local Theory of piecewise continuous differential Equations. / J. Andre, P. Seibert // Annals of Mathematical Studies . I960.- V. 5, №45, -P.226-255.tr

128. Andre, J. Uber stuckweise lineare Differentialqleichungen die bei Rege-lungsproblem auftreten I / J. Andre, P. Seibert // Archiv der Mathematick.1956. Band. 7, №2, - S.148-156.t?

129. Andre, J. Uber stuckweise lineare Differentialqleichungen die bei Rege-lungsproblem auftreten II / J. Andre, P. Seibert // Archiv der Mathematick.1956. В and. 7, №3, - S.157-164.

130. Cellina, Arrigo. Multivalued differential equations and ordinary differential equations / Arrigo Cellina // SIAM Journal of Applied Mathematics.- 1970. -V.18, №2, P.533-538.

131. Claude, H. An existence theorem for a class of differential equations with multivalued right hand side / H. Claude // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1973. - V.41, №1, - P.179-186.

132. Cornievicz, L. On the solution sets jf differential inclusions / L. Cornievicz // J. Math. Anal. And Appl. 1986. - V.113, №1, - P.235-244.

133. Demidovitch, W.B. Eine Verallgemeinerung des Kriteriums von Bendixon / W.B. Demidovitch // Z. Angew. Math. Und Mech. -1965.- 45, №2, S. 145-146.

134. Di Guglielmo, F.J. Differential inclusions with multivalued boundary conditions / F.J. Di Guglielmo // Lect. Notes and Inf. Sci. 1982. - V.38, - P.340-348.

135. Dubey, B. Persistence and extinction of one-prey and two-predator system / B. Dubey, R.K. Upadhyay // Nonlinear Anal.: Model. And Contr. 2004. V.9, №4, - P.307-329.

136. Hajek, O. Discontinuous differential equations. I, II / O. Hajek // Journal, of Dif. Equat. 1979. - V.32, №2, - P.149-170,171-185.

137. Hermes, H. The generalized differential equations x' e R(t,x)l H. Hermes // Advances Math. 1970. - V.4, №2, - P.149-169.

138. Hermes, H. On continuous and measurable selections and the existence of solutions of generalized differential equations / H. Hermes // Proceedings of American Mathematical Society. 1971. - V.29, №3, - P.535-542.

139. Falcone, M. Maximum descent monotone solutions of an ordinary differential equation with a discontinuous right-hand side / M. Falcone, A. Siconolfi // J. Optimiz. Theory and Appl. 1983. - V.39, №3, - P.391-402.

140. Lakshmikantham, V. Notes on a variety of Problems of Differential Systems / V. Lakshmikantham // Archiv for Rational Mechanics and Analysis. 1962. -V.10, №2,-P.311-320.

141. Lig^za, J. Cauchy's problem for system of linear differential equations with distributional coefficients / J. Lig^za // Colloq. Math. 1975. - V.33, №2, - P. 295-303.

142. Shaoping, Liu The permanence of conplicated ecosystem with impulsive / Liu Shaoping, Liao Xiaoxin // J. Huazhong Univ. Sci. and Technol. Natur. Sci.- 2004 . V.32, №7, - P.114-115.

143. Li, Biwen Some new results of autonomous Lotka-Volterra N-species competitive systems / Li Biwen, Yu Shengli, Zeng Xianwu. // Acta math. Appl. Sin. 2004. - V.27, №3, - P.556-564.

144. Mayer, A.U. Discussion of Analysis of New Class of Pulse-Frequency Modulated Feedback Systems / A.U. Mayer, T. Pavlidis, E. Jury // Transactions on Automatic Control. 1965. - V.10, №2, - P.211-214.

145. Nagumo, M. Uber das System der gewonlicher Differentialgleichungen / M. Nagumo // Japanese Journal of Mathematics.- 1972. V.4, - P.215-230.

146. Paine, R.T. Food web complexity and species diversity / R.T. Paine // Amer. Natur.- 1966. V.100, - P.65-75.

147. Pavlidis, T. Analysis of New Class of Pulse-Frequency Modulated Feedback Systems / T. Pavlidis, E. Jury // Transactions on Automatic Control. 1965. -V.10, №1, - P.35-43.

148. Pavlidis, T. A new model for simple neural nets and its application in the design of a neural oscillation / T. Pavlidis // Bulletin of Mathematical Biophysics.- 1965. V.27, №2, - P.215-229.

149. Pavlidis, T. Stability of a Class of Disintinuous Dynamical Systems / T. Pavlidis // Information and Control. 1966. - V.9, №3, - P.298-322.

150. Pavlidis, T. Design of neural nets with intermittent response and certain other relevant studies / T. Pavlidis // Bulletin of Mathematical Biophysics.- 1966.- V.28,№l,-P.51-74.

151. Pavlidis, T. Stability of Systems Described by Differential Equations Containing Impulses / T. Pavlidis // Transactions on Automatic Control. 1967. -V.AC -12, №1, - P.43-45.

152. Pandit, S.G. Systems described by differential equations containing impulses: existents and uniqueness / S.G. Pandit // Rev. roum. math. Pures etappl. 1969. - V.26, №6, - P.879-887. 1

153. Rosenthal, A. Uber die Existenz der Losungen von Systemen gewonlicher

154. Differentialgleichungen. Sitzungberichte der Heidelberger Akademie der Wis-senschaften / A. Rosenthal // Mathematische-naturwissenschaften Klasse. -1927. V.19, Abhandl., P.3-10.

155. Sentis, R. Equations differentielles a second member measurable / R. Sentis // Boll. Unione mat. Ital. 1978 . - V.15, №3, - P.724-742.

156. Shen, Jiang-hua. A note on oscillation of delay equations / Shen Jiang-hua // Acta. Sci. natur. Univ. norm. Hunanensis. 2003. - V.26, №1, - P. 1-5.

157. Soliman, A.A. Stability criteria of impulsive differential systems / A.A. So-liman // Appl. Math. And Comput. 2003. - V.134, №2-3, - P.445-457.

158. Vogel, T. Systemes dynamiques Hereditaires a deferlement / T. Vogel // Rend. Seminar math. Univ. Padova. 1953. - V.22, №1, - P.64-80.

159. Vogel, T. Sur les systemes deferlant / T. Vogel // Bull. Soc. math. France. -1953.-V.81,№l,-P.63-75.

160. Vogel, T. Verifications experimentales de la theorie des systemes deferlants / T. Vogel // Journ. Phis. Es radium. 1953. - V.14, №12, - P.59.

161. Vogel, T. Systemes dynamiques Hereditaires a deferlement / T. Vogel // Ann. Telecommuns. 1953. - V.8, №11, - P.354-360.

162. Vogel, T. Breaking oscillations in servo systems / T. Vogel // Journ. Mental. Sci. 1954. - V.100, №48, - P.103-113.

163. Volterra, V. Sur la theorie mathematique des phenomenes hereditaires / V. Volterra // J. Math. Pures and Appl. 1928 - V.7, - P.249-298.

164. Wazewski, T. On optimal control problem. Differential Equations and their Applications / T. Wazewski. Prague, 1963. - 229-242 p.

165. Аматов, M.A. Интегрирование дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с помощью математического пакета MAPLE 8 / M.A. Аматов, И.А. Клименко, И.С. Кузнецова, Н.А. Чеканов // Вестник

166. Херсонского национального технического университета. Труды МКММ. Херсон. -2006. №2(25), - С. 14-18.

167. Аматов, М.А. Применение математического пакета MAPLE 8 к исследованию одного класса немарковских процессов / М.А. Аматов, Г.М. Ахматова, И.С. Кузнецова, Н.А. Чеканов // Научные ведомости БелГУ. 2007. -№6 (37), В.13, - С. 65-74.

168. Аматов, М.А. Исследование устойчивости глобального круговорота воды в природе / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, И.С. Кузнецова, С.А. Кун-гурцев, Н.А. Чеканов // Экологические системы и приборы. 2008. - № 6, - С.42-46.

169. Аматов, М.А. Исследование модели взаимодействия трёх популяций, связанных трофическими отношениями / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, И.С. Кузнецова, С.А. Кунгурцев, Н.А. Чеканов // Экологические системы и приборы. 2009. - №7, - С.38-42.

170. Кузнецова, И.С. Об устойчивости нульмерной модели глобального круговорота воды в природе / И.С. Кузнецова // Дифференциальные уравнения. Известия РАЕН. Рязань. 2009. -№11,- С.5-8.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00