автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы построения обобщенно-периодических решений дифференциальных уравнений при моделировании динамических процессов

003490319

На правах рукописи

ПЧЕЛИНЦЕВ Александр Николаевич

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ОБОБЩЕННО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж-2009

003490319

Работа выполнена на кафедре распределенных вычислительных систем ГОУ ВПО "Тамбовский государственный технический университет".

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Дзюба Сергей Михайлович

(Тамбовский государственный технический университет)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Сапронов Юрий Иванович

(Воронежский государственный университет)

доктор физико-математических наук, профессор

Жуковский Евгений Семенович

(Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина)

Ведущая организация Институт системного анализа Российской

академии наук

Защита диссертации состоится 12 ноября 2009 г. в 13 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 в ГОУ ВПО "Воронежская государственная технологическая академия" по адресу: 394000, г. Воронеж, проспект Революции, 19, конференц-зал.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять в адрес совета академии.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке академии.

Автореферат размещен на официальном сайте ВГТА www.vgta.vrn.ru 12 октября 2009 г.

Автореферат разослан 12 октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ИАХа,СТ0В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время в различных областях естествознания (например, в гидродинамике) часто возникают потребности исследования нелинейных динамических систем. Одной из первых работ в этом направлении была статья Э. Лоренца, в которой обсуждались результаты вычислительного эксперимента для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка, моделирующей динамику жидкости при свободной конвекции в плоском слое. Лоренц считал, что в этой системе имеется счетное всюду плотное множество седло-вых предельных циклов. Однако насколько нам известно, строго существование циклов в системе Лоренца не доказано. Более того, численные методы, которые используются в современной литературе для интегрирования системы Лоренца, дают значительные систематические ошибки вследствие неустойчивости решений. Позже Д.В. Аносов ввел в рассмотрение У-систему, дающую, в частности, модель динамики жидкости в замкнутом сосуде с мешалкой. Во всех этих системах имеет место ситуация типического поведения решений, задаваемых рекуррентными траекториями. Определение такой траектории, введенное Биркгофом, не дает возможности численно ее построить. Однако в последние 20 лет появились работы, в которых введено понятие обобщенно-периодического решения, описывающего рекуррентную траекторию. Теорема существования таких решений позволяет получить численный метод их построения. Отыскать же обобщенно-периодические решения с помощью стандартных средств вычислительной математики не представляется возможным. Поэтому проблема разработки эффективных численных методов построения обобщенно-периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений является актуальной. В данном случае под эффективностью численного метода будем понимать получение решения нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с систематической ошибкой, меньшей, чем заданный радиус окрестности начальной точки, уменьшив при этом объем вычислений.

Целью работы является разработка эффективных численных методов и алгоритмов отыскания обобщенно-периодических решений нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием символьных вычислений в распределенной компьютерной среде, а также комплексов программ для их построения. Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:

1. Разработать численный метод и алгоритмы отыскания обобщенно-периодических решений систем дифференциальных уравнений.

2. Получить эффективный численный метод построения дискретных динамических систем вдоль решений дифференциальных уравнений, позволяющий осуществить поиск среди них обобщенно-периодических решений, на основе символьных вычислений в распределенной компьютерной среде.

3. Провести вычислительные эксперименты на модели Лоренца, а также разработать численный метод построения обобщенно-периодических решений динамической системы типа Маркова, отличных от почти периодических решений.

Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики и моделирования, теории алгоритмов, а также методы вычислений в распределенной компьютерной среде.

Научная новизна:

1. Разработан эффективный численный метод и алгоритмы построения обобщенно-периодических решений нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида в распределенной компьютерной среде с использованием символьных вычислений;

2. Получен метод отыскания решений систем с полиномиальной правой частью. Предложены критерии оценки общего члена степенного ряда, позволяющие повысить эффективность используемого численного метода;

3. Разработан численный метод построения обобщенно-периодических решений динамической системы типа Маркова. При этом сведено к минимуму накопление по времени систематической ошибки получаемого решения.

Практическая значимость. Предложенные алгоритмы и комплекс программ позволяют получить приближенные обобщенно-периодические решения нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с заданной точностью, а также построить проекции дуг их траекторий и найти поля температур и скоростей для плоского слоя жидкости.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на международных конференциях "Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" (2007 г.) и "Актуальные проблемы информатики и информационных технологий" (2008 г.), а также на XIII научной конференции ТГТУ "Фундаментальные и прикладные исследования, инновационные технологии, профессиональное образование" (2008 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, из которых 2 в издании, рекомендуемом ВАК, и 3 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 108 страницах машинописного текста. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения, содержит 22 рисунка и 2 таблицы. Список литературы состоит из 92 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, определена научная новизна работы и практическая значимость.

Чтобы проиллюстрировать на конкретном примере - системе Лоренца -алгоритмы и эффективные численные методы, описанные во второй и третьей главе, в начале первой главы рассматривается модель динамики реальной системы, приводящей к системе Лоренца. Это задача о конвекции в слое жидкости. Первый параграф этой главы посвящен постановке задачи о свободной конвекции в плоском слое жидкости. В нем возникают ячейки Бенара, показанные на рис. 1, т.е. конвективные ячейки в форме цилиндрических валов, вращающихся навстречу друг другу, в слое с вертикальным градиентом температуры. На верхней границе поддерживается постоянная температура Гд, а на нижней - температура Т0 + Т, где Т -положительная константа.

Рис. 1. Конфигурация течения, возникающего при свободной конвекции в плоском слое жидкости

Для данной задачи в приближении Обербека-Буссинеска система уравнений, описывающая изменение скоростей ух(хс,ус,т) и уу(хс,ус,т),

температуры

~ т

Т(хс,ус,х) = Т0+Т-—ус +в(хс,ус, т), И

где т - время; 0(хс,_ус,т) - отклонение температуры от линейного профиля, и давления р(хс,ус,т), записывается следующим образом:

сН?г дут 1 Эр

—~ + Ух—- + у —- =---—+ У

дх дхс дус р0 дх{

( п2 Л

д к о V.

дхгс ду,2

дvv ду 5У

—— + УГ — — + V,, ——

йгс <Эус

9г

^ ~ т л —-+—

50 5(9^) Г

V с

1

Ро Фс

с /

+ У

5Ч + аЧ

=о,

N

дт дхс дус И

в(*с,о,т)=е(*сЛт)=о,

я^о . пхс щ>с лЛ"0 юсс . пус

г, °) = —-^БШ—V (хс, ус, 0) = —^СОБ—^Бт-^ п I п I I И

6(хс, ус, 0) = г0 сов-^БЩ^р—го 81П— / /г п

где V, а, р0, у - кинематическая вязкость, температуропроводность, плотность и коэффициент объемного расширения жидкости, значения которых соответствуют табличным для Т = Т0\ g - ускорение свободного падения; значения констант Х0 , У0 и задаются. Впервые такая задача возникла при описании процессов, происходящих в атмосфере, и была опубликована в работе Э. Лоренца. Методом Бубнова-Галеркина в приближении до первых-вторых гармоник она может быть сведена к исследованию нелинейной системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений, называемой системой (или моделью) Лоренца

Л"| —ст(.\"2 .Т| ), Х2 —РХ^ Х2 —Х1Х3, А ", —X 2 1

где а, г и Ъ- положительные числа, параметры системы; х^ (/) - функция безразмерного времени (, характеризующая скорости ух и уу; функции

дг2(0 и х3(/) отвечают за распределение температуры.

Заметим, что в системе Лоренца существует притягивающее множество Аь (аттрактор Лоренца), к которому стремятся все траектории системы при / —»со . Считается, что в Аь имеет место экспоненциальное разбе-

гание траекторий. Насколько нам известно, это утверждение строго не доказано и основано на вычислительных экспериментах.

В первой главе также рассматриваются теоремы существования периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений и выясняется, что же представляет собой ситуация типического поведения решений этих систем. Также приведена классификация периодических и близких к ним решений. Поскольку говорить о построении периодических и близких к ним решений систем дифференциальных уравнений в явном виде не приходится, рассматриваются численные методы отыскания решений таких систем; выявлены недостатки численных методов, применяемых на сегодняшний день для анализа поведения траекторий систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Оказалось, что такие методы не пригодны из-за накопления значительной систематической ошибки (даже и для построения периодических решений), так как траектории многих систем дифференциальных уравнений (например, системы Лоренца при классических значениях ее параметров а = 10, г = 28 и 6 = 8/3, соответствующих турбулентному течению жидкости) разбегаются. В конце первой главы приведена постановка задачи исследования.

В начале второй главы дается определение обобщенно-периодических решений систем дифференциальных уравнений. Рассматривается динамическая система вида

* = /(*), 0)

где х = со1оп(х,,..., хп) - векторная функция действительного переменного / = со1оп(/,,..., /„) - векторная функция, определенная и непрерывная вместе со своими частными производными дfilдxj (i,j = \,п) на некотором открытом подмножестве евклидова векторного пространства Я" .

Определение. Пусть решение <р(/) системы (1) определено и ограничено для всех ? е Я . Будем говорить, что ср(/) — обобщенно-периодическое решение, если для каждой пары г,Т положительных чисел можно указать такое натуральное число Л^ что при Г е Л выполняется неравенство

||ф(0-ф(/ + ^)||<Е.

Простейшими примерами таких решений могут служить периодическое решение и положение равновесия. Также частным случаем обобщенно-периодического решения является почти периодическое решение.

Также в начале второй главы приведена теорема существования обобщенно-периодических решений систем дифференциальных уравнений. Оказывается, из существования у системы дифференциальных уравнений ограниченного решения следует существование обобщенно-периодического решения. Таким образом, эта теорема является обобщением теоремы Пуанкаре-Бендиксона для многомерных нелинейных систем. Также приводится теорема, дополняющая теорему Биркгофа о рекуррентных траекториях и минимальных множествах.

Далее рассматривается построение обобщенно-периодических решений. При этом вводятся понятия дискретных динамических систем вдоль решений динамических систем вида (1). Приводится теорема, устанавливающая, что в компактном пространстве устойчивые по Пуассону точки в дискретных динамических системах дают начальные значения для обобщенно-периодических решений. Это позволяет реализовать поиск таких точек для построения обобщенно-периодических решений систем дифференциальных уравнений.

Затем решается проблема организации символьных вычислений в распределенной компьютерной среде для построения дискретных динамических систем. Это предполагает приближенное решение задачи Коши для системы (1) методом, основанным на разложении решения системы в ряд Тейлора, чтобы отыскивать точки на траектории через произвольное время Г для системы (1). Для решения задачи Коши в распределенной компьютерной среде предлагается хранить символьные выражения для правой части исходной системы и ее производных в сетевой базе данных. Заметим, что каждое уравнение системы может быть независимо от остальных продифференцировано. Каждый компьютер распределенной компьютерной среды для получения символьных выражений производных дифференцирует правую часть соответствующего уравнения системы с помощью

пакета символьных вычислений Maxima, записывая результаты вычислений в базу данных. Это и обосновывает эффективность такой модификации метода степенных рядов - как увеличение скорости вычислений, так и возможность управления систематической ошибкой за счет варьирования точности Д вычисления суммы ряда. В дальнейшем, чтобы вычислить значения производных, из базы извлекаются необходимые символьные выражения, далее они переводятся в обычную алгебраическую форму записи, и затем вычисляются значения производных.

Получены критерии оценки общего члена степенного ряда

*(o = i>A

*=0

позволяющие увеличить эффективность описанной модификации метода степенных рядов, сократив объем символьных вычислений, за счет того, что на каждом шаге вычислений учитываются не только значение модуля текущего члена ряда

но и его соотношение с предыдущими членами. Эти критерии имеют следующий вид

( ( » Л

1 Ч к-л

х(0 = а0+ а, + (а2 - a, )t + у^((а3 -a2)t +

Y)

к=2 JJ

В конце второй главы решается основная задача настоящей диссертации - это разработка эффективного численного метода отыскания обобщенно-периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с заданной точностью. Для ее решения (помимо решения задачи Коши описанным методом) разработаны алгоритмы построения множества начальных точек в и-мерном пространстве и поиска среди них устойчивых по Пуассону в распределенной компьютерной среде. Чтобы сформировать множество начальных точек, координаты которых также будут храниться в сетевой базе данных, используется алгоритм формирования координат узлов «-мерной сетки с использованием рекурсии.

Обозначения на схеме

<-----> обмен информацией 1,2 - очередность запуска

соответствующего множества

<- запуск процесса параллельных процессов

Рис. 2. Отыскание обобщенно-периодических решений в распределенной компьютерной среде

Расчеты для каждой точки /¡(0), являющейся начальной для некото-

рого решения Р> > ] (/' = 1, т, т - количество точек), не зависят от вычислений для соседних точек, что позволяет реализовать вычислительную процедуру в распределенной компьютерной среде. Процесс, анализирующий /-ю точку, подставляет в ряд значение времени Г (на отрезке [О,Г] раскладываем в степенной ряд). При этом вычисляем координаты точки Р^ с точностью Д. Эта точка получена сдвигом точки Р/0^ по траектории , описывающей решение на время Т, которое будем называть сдвигом. Мы можем остаться в е -окрестности (8 - точность отыскания обобщенно-периодических решений) точки /f0) в силу непрерывной зависимости решения от начальных условий. Тогда зададимся некоторым минимальным числом Nmin сдвигов, начиная с которого будем отслеживать возврат в 8 -окрестность точки

р( 0)

. Чтобы получить точку

р( 2)

через второй сдвиг, перенесем начальную точку по траектории L, в точку

Р^ , КлГГТЯ НПМРП ТРКЛ/ШРГЛ Г7ТПИГЯ i > N ППППРПЯРМ VriTnRHP

щенно-периодического решения. В противном случае продолжаем делать сдвиги по траектории до некоторого заданного числа А^тах сдвигов.

Схема проведения вычислений в распределенной компьютерной среде показана на рис. 2.

В третьей главе на примере системы Лоренца разработан эффективный метод построения приближенных решений автономных систем дифференциальных уравнений с полиномиальной правой частью, основанный на прямых формулах вычисления коэффициентов степенных рядов. Решение системы Лоренца представляется в виде рядов

м

1=0

00

(2)

/=о

00

*з С) = 2>, (í-'о У-

Формулы расчета коэффициентов приведенных рядов имеют вид:

«/+1

/+1 '

Р,+1=-r-f-,

/ +1

/

-bVi

j=o

Гм=-7+i-'

Для рядов (2) был определен радиус Д/ области сходимости. Введем обозначения:

hx = max(2o, г + 2h2 +1, b + 2h2), h2 = max(j*01|, |x02|, |x03|)l

где хй = colon(x01, x02, x03) - начальная точка. Если h2> 1, то /г3 = 1ц h2. Иначе Иъ = шах(2ст, г + 2, b +1). В диссертации доказано, что Ai = 1 / h3, причем методика доказательства может быть распространена на автономные системы с любой полиномиальной правой частью.

Был проведен вычислительный эксперимент при различных параметрах системы Лоренца с использованием методов построения обобщенно-периодических решений, описанных во второй главе. В результате не было обнаружено периодических решений в этой системе, а имело место только возвращение в z -окрестность начальной точки. Например, для классических значений параметров а = 10, г = 28 и 6 = 8/3 была построена дуга для одной из найденных начальных точек для обобщенно-периодического решения системы Лоренца. Результат представлен на рис. 3.

Для начального значения, определяющего дугу на рис. 3, найдены поля температур и скоростей, описанные в задаче о свободной конвекции в плоском слое жидкости (воды, когда сг = 10 ):

v, (хс ,ус, т) = -0,1317 sin(0,222 \хс) cos(0,3142 ус )х, (0,0207т), (хс, ус, т) = 0,0931 cos(0,222 \хс) sin(0,3142 ус (0,0207т),

Т(хс, ус, т) = 10 +1,8332(1 - 0,1ус ) + 0,0295*2 (0,0207т) х х cos(0,222 \хс) sin(0,3142 ус) - 0,0208jc3 (0,0207т) sin(0,6283yc),

где [и,] =мм/с, [х<.] = Ос] = мм, [х] = с, [Г] = °С. При этом высота слоя Л = 10 мм и температура на верхней границе Т0 = 10 °С. Заметим, что длина ячейки, показанной на рис. 1, равна / = /¡72=14,1 мм (когда Ь = 8/3 ), и для г = 28 разность температур Т = 1,8332 °С.

Чтобы проверить полученные в вычислительном эксперименте данные, был произведен проход назад по времени от конечной точки на дуге траектории (так как система Лоренца динамическая, мы можем это сделать). При этом было обнаружено возвращение в ту же самую окрестность, куда отслеживался возврат, когда по времени мы шли в положительном направлении. Также контролировалась ошибка аппроксимации.

Рис. 3. Дуга траектории системы Лоренца, построенная на отрезке времени [0; 6,827] для хВ1 = 13,41265629, х02 = 13,46430003, .Хоз = 33,46156416. Стрелкой отмечено возвращение в е-окрестность начальной точки (е = 0,11)

Также было проведено исследование того, как изменяется со временем расстояние 8(i) между двумя близкими начальными точками, выбранными вблизи аттрактора Лоренца (рис. 4). Вычислительный эксперимент показал, что траектории то сближаются, то расходятся, ставя под сомнение утверждение об экспоненциальном разбегании траекторий. Этот факт подтверждается тем, что любая траектория системы Лоренца навсегда погружается в компактное множество и никогда не покидает его.

0.012 0.01 0.008 б 0.006 0.004 0.002 0

0 2 4 6 8 10 12 14

t

Рис. 4. Эволюция расстояния между двумя траекториями на отрезке времени [0; 14], точность А = 10~12

В конце третьей главы описывается разработанный численный метод построения обобщенно-периодических решений динамической системы типа Маркова, описывающей движения на торе

хх = (R + р cos 9) cos ф, х2 = (R + р cos S)sin ф, х3 = psinö,

задаваемой уравнениями

Рис. 5. Дуга траектории динамической системы типа Маркова

1

Ф =->

Ф(Ф,Э)

Ф(Ф,9)'

где р, И - задаются, причем р е (О, Л); ц - иррациональное число, определяемое так, чтобы получаемое решение было отлично от почти периодического; Ф(ф, 3) - 2п -периодическая функция по каждому аргументу и разлагающаяся в равномерно сходящийся ряд Фурье:

+□0

Ф(Ф, 9) = а00 + ЧЧф, 9) = а00 + £ атпе^етЪ ,

т,п=- оо

М+|и!#о

где / - мнимая единица;

при | т | +1 п 0 ;

тп (| т | +1)2(| п | +1)2

+00 +00 | +СО | +00 |

т,п=- со т,п~- от

Н+|л \*0 т*0,п*0

-И „2

Я . К = — + 2—< 9 3

м=1'

(О

V3 у

л=1 1

00-

Это представляется важным, поскольку даже в таких простейших случаях, как система Маркова, удается установить существование обобщенно-периодических решений весьма сложной структуры.

Суть метода в том, что точки на траектории в соответствующие им моменты времени вычисляются независимо друг от друга, что позволяет реализовать вычислительный алгоритм в распределенной компьютерной среде и свести к минимуму накопление по времени систематической ошибки. При этом для расчета каждой точки приходится решать нелинейное алгебраическое уравнение методом итераций.

На рис. 5 представлен результат вычислительного эксперимента - дуга траектории динамической системы типа Маркова, описывающей обобщенно-периодическое решение, отличное от почти периодического.

В заключении приведены основные выводы и результаты работы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработаны алгоритмы и комплекс программ, в котором реализован эффективный численный метод отыскания приближенного решения задачи Коши для построения дискретных динамических систем вдоль решений нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти программы также позволяют осуществить поиск обобщенно-периодических решений дифференциальных уравнений в распределенной компьютерной среде с использованием символьных вычислений, а также графическое построение проекций дуг траекторий, описывающих такие решения.

2. Проведены вычислительные эксперименты по исследованию динамической системы Лоренца, описывающей поля температур и скоростей в плоском слое жидкости. В вычислительных экспериментах в системе Лоренца не были обнаружены периодические решения, найден только возврат в £ -окрестность начальной точки траектории.

3. Получены критерии оценки общего члена степенного ряда, позволяющие сократить объем символьных вычислений для расчета коэффициентов степенного ряда за счет того, что на каждом шаге вычислений учитываются не только значение нормы текущего члена ряда, но и его соотношения с уже вычисленными членами.

4. Для динамической системы типа Маркова разработан численный метод отыскания обобщенно-периодических решений, использующий распределенную вычислительную среду для параллельного расчета точек на траектории, соответствующих разным моментам времени. В связи с этим накопление систематической ошибки по времени при вычислениях сводится к минимуму.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

Публикации в изданиях, рекомендованные ВАК РФ

1. Пчелинцев, А.Н. О способе построения дуги траектории динамической системы типа Маркова в распределенной компьютерной среде [Текст] / А.Н. Пчелинцев, В.А. Погонин // Системы управления и информационные технологии. - 2009. - № 1.3(35). - С. 398 - 401.

2. Пчелинцев, А.Н. Об отыскании обобщенно-периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений в распределенной компьютерной среде с использованием символьных вычислений [Текст] / А.Н. Пчелинцев, В.А. Погонин // Системы управления и информационные технологии. - 2009. - № 2(36). - С. 27 - 31.

Статьи и материалы конференций

3. Пчелинцев, А.Н. Отыскание квазипериодических решений нелинейного дифференциального уравнения распространения тепла в безграничном твердом теле в распределенной вычислительной среде [Текст] : материалы междунар. конф. "Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" / А.Н. Пчелинцев // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. - 2007. -Т. 12, вып. 4.-С. 518-519.

4. Пчелинцев, А.Н. О построении квазипериодических движений непрерывных периодических систем [Текст] / А.Н. Пчелинцев // Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 2007. - Т. 13, № 2Б. - С. 564-573.

5. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. - № 2008612984 от 20.06.2008. - Построение траекторий системы дифференциальных уравнений Лоренца / А.Н. Пчелинцев.

6. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. -№ 2008615550 от 20.11.2008. - Отыскание равномерно устойчивых по Пуассону движений динамических систем в распределенной вычислительной среде / А.Н. Пчелинцев.

7. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. - № 2008615551 от 20.11.2008. - Построение проекций траекторий нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / А.Н. Пчелинцев.

Подписано в печать 12.10.2009. Формат 60 х 84/16. Объем: 0,93 усл. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 392.

Издательско-полиграфический центр ТГТУ 392000, г. Тамбов, ул. Советская, 106, к. 14

Введение

1 Модель свободной конвекции в плоском слое жидкости и численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

§1 Задача о свободной конвекции в плоском слое жидкости

§2 Модель Лоренца.

§3 Классификация периодических и близких к ним решений систем дифференциальных уравнений.

§4 Численные методы построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений

§5 Постановка задачи исследования.

2 Обобщенно-периодические решения дифференциальных уравнений

§1 Обобщенно-периодические решения автономных и неавтономных систем дифференциальных уравнений.

§2 Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах.

§3 Символьные вычисления в распределенной компьютерной среде.

§4 Построение обобщенно-периодических решений систем дифференциальных уравнений

3 Некоторые приложения

§1 Система Лоренца

§2 Динамическая система типа Маркова.

Актуальность темы. В настоящее время в различных областях естествознания (например, в гидродинамике) часто возникают потребности исследования нелинейных динамических систем. Одной из первых работ в этом направлении была статья [1] Э. Лоренца, в которой обсуждались результаты вычислительного эксперимента для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка, моделирующей динамику жидкости при свободной конвекции в плоском слое. Лоренц считал, что в этой системе имеется счетное всюду плотное множество седловых предельных циклов. Однако, насколько нам известно, строго существование циклов в системе Лоренца не доказано. Более того, численные методы, которые используются в современной литературе для интегрирования системы Лоренца (см., например, [2]), дают значительные систематические ошибки вследствие неустойчивости решений. Позже Д.В. Аносов [3] ввел в рассмотрение У-систему, дающую, в частности, модель динамики жидкости в замкнутом сосуде с мешалкой. Во всех этих системах имеет место ситуация типического поведения решений, задаваемых рекуррентными траекториями. Определение такой траектории, введенное Биркгофом [4], не дает возможности численно ее построить. Однако, в последние 20 лет появились работы [5-11], в которых введено понятие обобщенно-периодического решения, описывающего рекуррентную траекторию. Теорема существования таких решений позволяет получить численный метод их построения. Отыскать же обобщенно-периодические решения с помощью стандартных средств вычислительной математики не представляется возможным. Поэтому проблема разработки эффективных численных методов построения обобщенно-периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений является актуальной. В данном случае под эффективностью численного метода будем понимать получение решения нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с систематической ошибкой, меньшей, чем заданный радиус окрестности начальной точки, уменьшив при этом объем вычислений.

Целью работы является разработка эффективных численных методов и алгоритмов отыскания обобщенно-периодических решений нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием символьных вычислений в распределенной компьютерной среде, а также комплексов программ для их построения. Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:

1. Разработать численный метод и алгоритмы отыскания обобщенно-периодических решений систем дифференциальных уравнений;

2. Получить эффективный численный метод построения дискретных динамических систем вдоль решений дифференциальных уравнений, позволяющий осуществить поиск среди них обобщенно-периодических решений, на основе символьных вычислений в распределенной компьютерной среде;

3. Провести вычислительные эксперименты на модели Лоренца, а также разработать численный метод построения обобщенно-периодических решений динамической системы типа Маркова, отличных от почти периодических решений.

Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики и моделирования, теории алгоритмов, а также методы вычислений в распределенной компьютерной среде. Научная новизна:

1. Разработан эффективный численный метод и алгоритмы построения обобщенно-периодических решений нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида в распределенной компьютерной среде с использованием символьных вычислений;

2. Получен метод отыскания решений систем с полиномиальной правой частью. Предложены критерии оценки общего члена степенного ряда, позволяющие повысить эффективность используемого численного метода;

3. Разработан численный метод построения обобщенно-периодических решений динамической системы типа Маркова. При этом сведено к минимуму накопление по времени систематической ошибки получаемого решения.

Практическая значимость. Предложенные алгоритмы и комплекс программ позволяют получить приближенные обобщенно-периодические решения нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с заданной точностью, а также построить проекции дуг их траекторий и найти поля температур и скоростей для плоского слоя жидкости.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на международных конференциях «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики» (2007 г.) и «Актуальные проблемы информатики и информационных технологий» (2008 г.), а также на научной конференции ТГТУ «Фундаментальные и прикладные исследования, инновационные технологии, профессиональное образование» (2008 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, из которых 2 в издании, рекомендуемом ВАК, и 3 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 108 страницах машинописного текста. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения, содержит 22 рисунка и 2 таблицы. Список литературы состоит из 92 наименований.

Заключение

В рамках настоящей диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработаны алгоритмы и комплекс программ, в котором реализован эффективный численный метод отыскания приближенного решения задачи Коши для построения дискретных динамических систем вдоль решений нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти программы также позволяют осуществить поиск обобщенно-периодических решений дифференциальных уравнений в распределенной компьютерной среде с использованием символьных вычислений, а также графическое построение проекций дуг траекторий, описывающих такие решения.

2. Проведены вычислительные эксперименты по исследованию динамической системы Лоренца, описывающей поля температур и скоростей в плоском слое жидкости. В вычислительных экспериментах в системе Лоренца не были обнаружены периодические решения, найден только возврат в ^-окрестность начальной точки траектории.

3. Получены критерии оценки общего члена степенного ряда, позволяющие сократить объем символьных вычислений для расчета коэффициентов степенного ряда за счет того, что на каждом шаге вычислений учитываются не только значение нормы текущего члена ряда, но и его соотношения с уже вычисленными членами.

4. Для динамической системы типа Маркова разработан численный метод отыскания обобщенно-периодических решений, использующий распределенную вычислительную среду для параллельного расчета точек на траектории, соответствующих разным моментам времени. В связи с этим накопление систематической ошибки по времени при вычислениях сводится к минимуму.

1. Детерминированное непериодическое течение / Э. Лоренц // Странные аттракторы. - М.: Мир, 1981. - С. 88-116.

2. Магницкий, H.A. Новые методы хаотической динамики / H.A. Магницкий, C.B. Сидоров. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 320 с.

3. Аносов, Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны / Д.В. Аносов. М.: Наука, 1967. - 210 с.

4. Биркгоф, Дж. Динамические системы / Дж. Биркгоф. М.-Л.: ОГИЗ, 1941. - 320 с.

5. Афанасьев, А.П. Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба. М.: Изд-во ЛКИ, 2007. - 240 с.

6. Афанасьев, А.П. Периодические и близкие к ним решения дифференциальных уравнений / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Труды VIII Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'09. M.: ИПУ РАН, 26-30 января 2009 г. - С. 45-56.

7. Афанасьев, А.П. К вопросам управления в периодических процессах / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. - №4. - С. 15-20.

8. Афанасьев, А.П. Квазипериодические процессы в задачах управления / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. - №2. - С. 22-28.

9. Афанасьев, А.П. Периодический оператор сдвига и квазипериодические кривые / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Дифференциальные уравнения. 2004. - Т. 40, то. - С. 1367-1372.

10. Дзюба, С.М. Об условно-периодических решениях дифференциальных уравнений / С.М. Дзюба // Дифференциальные уравнения. 1999. - Т. 35, №-8. - С. 1020-1023.

11. Брукс, Т. Хаос в небе. Прогнозирование погоды / Т. Брукс // National Geographic. 2005. - №6. - С. 126-145.

12. Гилл, А. Динамика атмосферы и океана. Т. 2. / А. Гилл. М.: Мир, 1986. - 415 с.

13. Бакасов, A.A. Динамическая модель одномодового лазера. I. Режим устойчивой стационарной генерации / A.A. Бакасов // Теоретическая и математическая физика. 1991. - Т. 89, №2. - С. 278-292.

14. Безуглый, В.Ю. Численные методы теории конвективного тепломассообмена / В.Ю. Безуглый, Н.М. Беляев. Киев-Донецк: Вища школа, 1984. - 176 с.

15. Берковский, Б.М. Вычислительный эксперимент в конвекции / Б.М. Берковский, В.К. Полевиков. Минск: Университетское, 1988. - 167 с.

16. Джалурия, Й. Естественная конвекция: тепло- и массообмен / Й. Джа-лурия. М.: Мир, 1983. - 400 с.

17. Гершуни, Г.З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий. М.: Наука, 1972. - 392 с.

18. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1986. - 736 с.

19. Канторович, A.B. Приближенные методы высшего анализа /A.B. Канторович, В.И. Крылов. М.-Л.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

20. Верже, П. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности / П. Верже, И. Помо, К. Видаль. М.: Мир, 1991. - 368 с.

21. Saltzman, В. Finite amplitude free convection as an initial value problem / B. Saltzman // Journal of the atmospheric science. 1962. - №7. - P. 329-341.

22. Кутателадзе, С.С. Анализ подобия в теплофизике / С.С. Кутателадзе. Новосибирск: Наука, 1982. - 280 с.

23. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. М.: Мир, 1980. -616 с.

24. Гукенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 560 с.

25. Монин, A.C. Гидродинамическая неустойчивость / A.C. Монин // Успехи физических наук. 1986. - Т. 150, вып. 1. - С. 61-105.

26. Красносельский, М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Наука, 1966. - 332 с.

27. Browder, F.E. On a generalization of the Schauder fixed point theorem / F.E. Browder // Duke Math. 1959. - J. 26. - P. 291-303.

28. Рейсинг, P. Качественнаая теория нелинейных дифференциальных уравнений / Р. Рейсинг, Г. Сансоне, Р. Конти. М.: Наука, 1974. - 320 с.

29. Massera, J.L. The existence of periodic solutions of systems of differential equations / J.L. Massera // Duke Math. 1950. - J. 17. - P. 457-475.

30. Maccepa, X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / X. Maccepa, X. Шеффер. М.: Мир, 1970. - 456 с.

31. Эрроусмит, Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями / Д. Эрроусмит, К. Плейс. М.: Мир, 1986. - 243 с.

32. Колмогоров, А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона / А.Н. Колмогоров // Доклады АН СССР. 1954. - Т. 35, №4. - С. 527-530.

33. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М.: Наука, 1971. - 576 с.

34. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.М. Матвеев. М.: Высшая школа, 1967. - 564 с.

35. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельников. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004. - 636 с.

36. Самарский, A.A. Численные методы / A.A. Самарский, A.B. Гулин. -М.: Наука, 1989. 432 с.

37. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Харт-ман. М. Мир, 1970. - 720 с.

38. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.: Наука, 1967. - 472 с.

39. Немыцкий, В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 552 с.

40. Сансоне, Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том I / Дж. Сансоне. М.: Изд-во ИЛ, 1953. - 346 с.

41. Афанасьев, А.П. Продолжение траекторий в оптимальном управлении / А.П. Афанасьев. М.: КомКнига, 2005. - 208 с.

42. Вычислительный кластер ТамГТУ Электронный ресурс. Электрон, дан. - Режим доступа: http://cluster.tstu.ru/, свободный. - Загл. с экрана.

43. Дзюба, С.М. Формирование высокопроизводительного вычислительного учебно-научно-производственного комплекса в Тамбовском ГТУ / С.М. Дзюба, В.Е. Подольский, А.Ф. Писецкий, В.И. Сергеев // Вестник ТГТУ. 2008. - Т. 14, №3. - С. 454-468.

44. Васвани, В. Полный справочник по MySQL / В. Васвани. М.: Вильяме, 2006. - 528 с.

45. Русскоязычный сайт поддержки базы данных MySQL Электронный ресуре. Электрон, дан. - Режим доступа: http://www.mysql.ru/, свободный. - Загл. с экрана.

46. Немнюгин, С.А. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем / С.А. Немнюгин, O.J1. Стесик. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 400 с.

47. MPICH2: High-performance and Widely Portable MPI Электронный ресурс. Электрон. дан. - Режим доступа: http://www.mcs.anl.gov/research/projects/mpich2/, свободный. - Загл. с экрана.

48. Ильина, В.А. Система аналитических вычислений Maxima для физиков-теоретиков / В.А. Ильина, П.К. Силаев. М.: Изд-во РХД, 2009. - 140 с.

49. Maxima, a Computer Algebra System Электронный ресурс. Электрон, дан. - Режим доступа: http://maxima.sourceforge.net/, свободный. - Загл. с экрана.

50. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. -№2008612983 от 20.06.2008. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом рядов Тейлора / А.Н. Пчелинцев, Л.А. Мишина, Н.И. Теряев.

51. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. №2008615551 от 20.11.2008. - Построение проекций траекторий нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / А.Н. Пчелинцев.

52. Головешкин, В.А. Теория рекурсии для программистов / В.А. Головеш-кии, М.В. Ульянов. М.: Физматлит, 2006. - 269 с.

53. Зеленков, Ю.А. Введение в базы данных Электронный ресурс. / Ю.А. Зеленков. Электрон, дан. - Режим доступа: http://www.mstu.edu.ru/education/materials/zelenkov/toc.html, свободный. - Загл. с экрана.

54. Пчелинцев, А.Н. О построении квазипериодических движений непрерывных периодических систем /А.Н. Пчелинцев // Вестник ТГТУ.2007. Т. 13, №Б. - С. 564-573.

55. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.- №2008615550 от 20.11.2008. Отыскание равномерно устойчивых по Пуассону движений динамических систем в распределенной вычислительной среде / А.Н. Пчелинцев.

56. Rubenfeld, L.A. Nonlinear dynamic theory for a double-diffusive convection model / L.A. Rubenfeld, W.L. Siegman // SIAM J. Appl. Math. 1977. -№32. - P. 871.

57. Tucker, W. A rigorous ODE Solver and Smale's 14th problem / W. Tucker // Foundations of Computational Mathematics. 2002. - Vol. 2. - P. 53-117.

58. Баутин, Н.Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович. М.: Наука, 1990. - 488 с.

59. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II / Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука, 1966. - 800 с.

60. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. -№2008612984 от 20.06.2008. Построение траекторий системы дифференциальных уравнений Лоренца / А.Н. Пчелинцев.

61. Лекция: Типы переменных. Целые и вещественные переменные, представление целых и вещественных чисел в компьютере Электронный ресурс. Электрон, дан. - Режим доступа: http://www.intuit.ru / department/se/pbmsu / 2/2.html, свободный. -Загл. с экрана.

62. Косарев, И. Полный справочник по языку Си / И. Косарев Электронный ресурс. Электрон, дан. - Режим доступа: http://subscribe.ru/archive/comp.soft.prog.9899/200404/28151235.html, свободный. - Загл. с экрана.

63. Барбашин, Е.А. Функция Ляпунова / Е.А. Барбашин. М.: Наука, 1970.- 240 с.

64. Валеев, К.Г. Построение функций Ляпунова / К.Г. Валеев, Г.С. Финин.- Киев: Наукова думка, 1981. 412 с.

65. Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. М.: Наука, 1974. - 332 с.

66. Барбашин, Е.А. О существовании функции Ляпунова в случае асимптотической устойчивости в целом / Е.А. Барбашин, H.H. Красовский // Прикладная математика и механика. 1954. - Т. 18, вып. 3. - С. 345-350.

67. Уонг, X. Основные формулы и данные по теплообмену для инженеров / X. Уонг. М.: Атомиздат, 1979. - 216 с.

68. Титчмарш, Е. Теория функций / Е. Титчмарш. М.: Наука, 1980. - 464 с.

69. Курант, Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том I / Р. Курант. М.: Наука, 1967. - 704 с.

70. Бор, Г. Почти периодические функции / Г. Бор. М.-Л.: Гостехиздат, 1934. - 128 с.

71. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидо-вич, И.А. Марон. СПб.: Изд-во «Лань», 2006. - 672 с.

72. Бари, Н.К. Тригонометрические ряды / Н.К. Бари. М.: Физматгиз, 1961. - 936 с.

73. Калиткин, H.H. Численные методы / H.H. Калиткин. М.: Наука, 1978. - 512 с.

74. Де Бор, К. Практическое руководство по сплайнам / К. Де Бор. М.: Радио и связь, 1985. - 304 с.

75. Maxima Manual (chm) Электронный ресурс. Электрон, дан. - Режим доступа: http://cluster.tstu.ru/tiki-downloadfile.php?fileld=20, свободный. - Загл. с экрана.