автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Приближенные методы построения периодических решений систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями

На правах рукописи

шГ

КАНИЩЕВА ОЛЕСЯ ИВАНОВНА

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ГИСТЕРЕЗИСНЫМИ НЕЛИНЕЙНО СТЯМИ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж-2007

003060411

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и экономико-математических методов Воронежской государственной технологической академии

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор СЕМЕНОВ Михаил Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ЧЕРНЫШОВ Александр Данилович,

доктор физико-математических наук, профессор ПЕРОВ Анатолий Иванович

Ведущая организация: ГОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный

Защита состоится «22» марта 2007 г в 13 30 на заседании диссертационного совета Д 212 035 02 в Воронежской государственной технологической академии по адресу 394000 г Воронеж, проспект Революции, 19

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия»

Автореферат разослан «21» февраля 2007 года

Ученый секретарь

диссертационного совета к т н, доц И А Хаустов

университет

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Модели процессов и систем прикладных задач физики, теории автоматического регулирования, экономики и т д сводятся к системам дифференциальных уравнений, содержащим помимо обычных функциональных нелинейностей - нелинейности гистерезисной природы (колебания ферромагнитного шарика в магнитном поле, электромагнитные колебания в контуре, содержащем сегнетоэлектрические конденсаторы, экономические циклы в условиях «гистерезисного» поведения экономических агентов, системы автоматического регулирования, обратная связь которых включает гистерезисные звенья). Одним из аспектов исследования этих моделей является изучение их поведения под влиянием внешнего периодического воздействия В частности, важную практическую роль играют периодические решения того же периода, что и у внешнего воздействия

Вопросу существования периодических решений систем дифференциальных уравнений в условиях, когда правая часть периодична, посвящено достаточно много работ (Н Н Боголюбов, Ю А Митропольский, В А Плисс, М А Красносельский, Е Н Розенвассер, Р А Нелегага и многие другие) Приближенному построению периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (в условиях, когда они заведомо существуют) посвящены работы Л Чезари, Дж Хейла, А М Самойленко, А И Перова, А М Красносельского, В Я Стеценко и ряда других ученых

Первые работы, в которых изучались системы автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями, появились в 1946 г (А А Андронов) В 1960-х годах результаты А А Андронова были существенно обобщены Р А Нелепиным на основе новой в то время методологии, разработанной с использованием бесконечнолистных поверхностей Римана Основное внимание в этих работах уделялось построению зон устойчивости в пространстве параметров систем Однако, к настоящему времени отсутствуют эффективные методы приближенного построения периодических решений систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями Возможность создания таких методов основывается на развитой М А Красносельским, А В Покровским и их учениками операторной трактовке гистерезисных нелинейностей Поэтому является актуальной задача создания и анализа приближенных методов построения периодических решений широких классов систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями

Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления кафедры ПМиЭММ Воронежской государственной технологической академии — «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» № г р 01200003664

Цель работы. Разработка и анализ численно-аналитических методов построения периодических решений систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями.

Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих

задач

- выделение класса моделей систем, представленных дифференциальными уравнениями с гистерезисными нелинейностями, удовлетворяющих условиям существования и единственности решений,

- синтез алгоритмов приближенного построения периодических решений систем с гистерезисными нелинейностями,

- доказательство реализуемости алгоритмов, проверка устойчивости, оценка скорости сходимости, исследование поведения моделей,

- апробация предложенных алгоритмов на модельных примерах и численные эксперименты

Методы исследования. При выполнении работы использовались операторная трактовка гистерезиса, качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического регулирования, нелинейный анализ, численные методы решения дифференциальных уравнений

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты

- доказана теорема существования и единственности для выделенного класса моделей систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями;

- предложена модификация метода Самойленко-Перова для приближенного построения периодических решений одного класса систем дифференциальных уравнений, отличающихся учетом в них гистере-зисных свойств;

- предложен новый метод приближенного построения периодических решений систем автоматического регулирования, отличающихся учетом возможных гистерезисных нелинейностей в обратной связи,

- доказана реализуемость обоих методов, получены оценки скорости сходимости приближений к точному периодическому решению,

- доказана устойчивость метода приближенного построения периодических решений систем автоматического регулирования с гистере-зисной обратной связью по отношению к малым возмущениям параметров задачи

Практическая ценность работы. Результаты работы применимы для анализа и построения периодических решений систем, математические модели которых сводятся к системам дифференциальных уравнений, в том числе и с гистерезисными нелинейностями В частности, одной из классических задач теории автоматического регулирования является задача построения вынужденных периодических режимов Предложенный в работе алгоритм позволяет в случае выполнения легко проверяемых условий строить 4

эти режимы Причем для приближенных решений выполняются дополнительные условия корректности по отношению к малым изменениям параметров систем

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (г.Сочи -Дагомыс, октябрь 2005 г ), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г Воронеж, декабрь 2005 г.), «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г Воронеж, апрель 2005 г., март 2006 г), VIII Всероссийская научно-техническая конференция «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования» (гТамбов, апрель 2006 г), VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (г Кисловодск, май 2006 г), Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы качественной теории краевых задач - Понтрягинские чтения - XVII» (г Воронеж, май 2006 г), XIII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (г Йошкар-Ола, декабрь 2006 г.), на семинарах кафедры ПМиЭММ ВГТА и кафедры дифференциальных уравнений ВГУ за 2005,2006 гг

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[10], список которых приведен в конце автореферата Из них 2 статьи в научных журналах, включенных в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук»

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, составляют доказательства утверждений о реализуемости и сходимости предложенных алгоритмов, доказательство корректности и устойчивости неподвижных точек интегральных операторов, являющихся периодическими решениями соответствующих дифференциальных уравнений

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы, включающего 92 наименования, изложена на 135 страницах и включает 14 рисунков

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведены общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследований, дана информация о научной новизне и практической значимости работы, приводится методика исследований и дано краткое изложение содержания диссертации по главам

В первой главе, которая носит вводный характер, приведены примеры моделей систем, динамика которых описывается системами дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями, формулируется задача

нахождения периодических решений и приведен краткий обзор известных методов исследования периодических решений, изучение и анализ которых привели к появлению данных методов Описаны известные модели гистерезисных преобразователей - обобщенного люфта, многомерного люфта, неидеального реле, преобразователя Прейсаха-Гилтая Следуя классическим схемам МЛ Красносельского и А В Покровского, гистерезисные операторы трактуются как преобразователи, определенные на пространстве непрерывных функций, динамика которых описывается соотношения вход-состояние и состояние-выход

Для формулировки основных результатов нам понадобится краткое описание гистерезисных нелинейностей.

Рассмотрим две скалярные строго возрастающие функции со = С((х) и со = Сг(х), заданные всей числовой оси Будем считать, что обе функции глобально липшицуемы, связаны неравенством 0,(х) > в, (х) и множеством их значений является один и тот же промежуток £>

Паре в, (х), вДх) поставим в соответствие преобразователь — обобщенный люфт Множеством возможных состояний этого преобразователя будет объединение £\ (£?,,<?,) горизонтальных отрезков, концы которых лежат на й, и .

Определим оператор Ь[со0,О„Ог]

со(0 = Ъ[со0,О„Ог]х(1) (0 </</,), (1)

ставящий в соответствие каждому непрерывному входу х(?) (7>0) выход <о(0 с помощью следующей трехэтапной конструкции Для монотонных входов х (г) положим

[ шах(со0,Сг[х(/)]), если х(() не убывает, 1 тш(су0,С,[х(0])> если х(0 не возрастает ^

С помощью предельных конструкций и полугруппового тождества этот оператор доопределяется на пространство всех непрерывных входов

В дальнейшем мы будем использовать следующие три основных свойства обобщенного люфта

1) Обобщенный люфт монотонен в следующем смысле из соотношений

с»0<у0, х(0 <у((), {*о,®о), {у0,У0}еП(О„О,) (0</5Ц)

следует неравенство

ЬК,О,,Сг]х(0<ЬК,<7„Сг]у(/) (0<г<о.

2) Пусть {ха,со0}, {у0,си0}еП (в,, вг), а х(/) и у(0 - два непрерывных входа, заданных на [0, /] и Я - коэффициент Липшица функций со = О, {х) и о) = (Зг (дг), тогда верно неравенство

\Ь[со0,О„Ог]х({)-Ь[со0>С„ОгЫ0\<Л\\х(*)-70) II с,о т, 3) Каждый обобщенный люфт моноцикличен, те периодическому входу отвечает периодический того же периода выход

Кроме того, обобщенный люфт Ъ[со0,ОпОг], определенный на произвольных непрерывных входах, является детерминированным и виброкорректным преобразователем

Детерминированность означает, в частности, что операторы (1) обладают полугрупповым свойством

ьд,ь0[ш0,ад]х(0]*(0 = 14©0,с7;,ег]х(о (0</<о

при любых непрерывных входах Виброкорректность означает, что любой оператор (1) непрерывен по метрике пространства Со(0, Т) на своей области определения

Оператор обобщенного люфта допускает обобщение на случай векторного входа Пусть Ъ- ограниченное выпуклое замкнутое множество в евклидовом пространстве Каждой точке х&Ъ отнесем конусы

= (у,г-х)<0 при всех г е Ъ} ,

К'(х) = {уеН" (у, £) < 0 при всех со е К(х)}, первый из них называют нормальным, а второй — касательным конусом в точке х

Если К— конус в Р", то будем обозначать через Р(К) оператор, который относит точке хеК" ближайшую к ней точку Р(К)х конуса К с К" Очевидно,

Люфтом с характеристикой Ъ называется преобразователь

Ь = цг)

с областью возможных состояний

П(Ь) = {{х,со} х,шеН", х-юег), (3)

для которого выход

со(/) = Цсо0]х(0 (/>0) (4)

(со значениями в В") определяются по кусочно-гладкому входу

х = х(0 (¿>0, х(0еК", х(О) = х0) (5)

как решение векторного дифференциального уравнения

^ = РД(х(0-ю)]х'(0, (6)

ш

удовлетворяющее начальному условию

со(0) = ю0 (7)

Начальное состояние {х(0),юо} должно принадлежать £2(Ь), те должно выполняться условие

хо -С0о е 2 . (8)

Решение (6) понимается в классическом смысле - как абсолютно непрерывная вектор-функция, удовлетворяющая соответствующему дифференциальному уравнению почти всюду. Отметим, что правая часть уравнения (6) разрывна по фазовой переменной

Если Ъ — параллелепипед, то превращается в обычный люфт Многомерный люфт также как и обобщенный люфт обладает такими свойствами как монотонность, липшицуемость и моноцикличность.

Преобразователем Прейсаха-Гштая называют континуальный аналог преобразователя, состоящего из неидеальных реле, соединенных параллельно

Ниже рассматривается частный класс континуальных систем реле. Пусть на полуплоскости Ра ? э {а,р: а < р} определена положительная, абсолютно непрерывная, интегрируемая на всей полуплоскости функция "к - "к (а, /3). Определим на полуплоскости Ра р меру /л а р абсолютно непрерывную относительно лебеговой меры

Обозначим через ц/ класс ограниченных функций, заданных на неотрицательной полуоси и удовлетворяющих условию Липшица с коэффициентом равным единице Введем в рассмотрение множество скалярных

функций а>(а, Р), заданных на полуплоскости Ра/, = {а,р а < /3} и таких, что

ГО, если а+ Р> ц/(/3-а), со{а,р) = \ (9)

[ 1, если а+р<у(р-а),

где у/(г)еу/ Множество Г^ - пространство возможных состояний преобразователя Прейсаха-Гилтая

Соотношение вход - переменное состояние преобразователя Прейсаха-Гилтая (Г, устанавливается оператором Г

© {а,р, г) = Г К] и(0 = И К {а, р), а, р)]и{1) (10)

Выход преобразователя (Г, £) определяется соотношением

£(0= /ю(а,ДО=//.,({«,/?} Що0(а,Р),а,Р\иЦ) = \) (И)

а<0

Рассмотренные преобразователи находят широкое применение в задачах физики, теории автоматического регулирования, экономики

Во второй главе работы выделяется класс моделей систем дифференциальных уравнений с гистерезисньши нелинейностями, доказывается существование и единственность решения задачи Коши для выделенного

класса, приводится схема построения периодических решений систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями, доказываются основные теоремы об условиях применимости и условиях сходимости метода

Рассмотрим систему

x=f(/,x(0,co(0), (12)

о)(0 = Г[х„,Юо]х(0, (13)

где ísR - время, х = (xp.t2, ,,xJeR" - пространственные переменные, f(í, х,ю) - вектор с компонентами fi(t,x],x2, ,х„,со) 0 = 1, , л), co(t) = (а>,,а>2,. ,ю„) е R", Г - гистерезисный оператор Для постановки задачи Коши к уравнениям (12) и (13) нужно добавить начальные условия

х(0) = х0, (о(0) = ©о. (14)

Отметим некоторые свойства оператора Г[х0,<й0] , которые будут использованы при формулировке теоремы существования и единственности решения задачи (12)-(14)

Свойство 1. Оператор Г[х0,со0] при фиксированных x0,oj0 - статический оператор, действующий в каждом пространстве Co[0,í,] (г, >0) Каждой вектор-функции x(t) е С0[0,/,], удовлетворяющей условию х(0) = х0, оператор Г[х0,со0] ставит в соответствие вектор-функцию co(í)eC0[0,/,], удовлетворяющую условию (о(0) = ю0 При этом если x(t) = х0, то со (?) = со0, т е

Г[х0,(о0]х0 = со0 (15)

Свойство 2. Если х0 — со0 е Z , у0 -<о0 € Z, а х(/) и у(г) - два непрерывных входа, заданных на [0,t¡] то

||Г[х0,(о„]х(0-Г[х„,а)0]у(/)||<Х||хО)-уО)|| (/>0), (16) где X— коэффициент Липшица

Теорема 1 Пусть оператор Г[х0,со0] удовлетворяет условиям свойств 1 и 2 Пусть вектор-функция f(í, х,со) определена и непрерывна по совокупности переменных в некоторой области •DeRxR"xRn, содержащей точку (О,х0,о)0), и удовлетворяет в этой области условию Липшица по второму и третьему аргументам

^(/^„«аО-Л/.х^в»,)! <i(|x,-x2 | + |ш,-в>21) (17) Тогда на некотором отрезке

0 <t<d, d>0,

существует решение {х(/),со(/)} системы (12), (13), удовлетворяющее начальным условиям (14), при этом такое решение единственно

Рассмотрим скалярное уравнение первого порядка с гистерезисной нелинейностью

* = /(',*('), «КО), (18)

ю(/) = Ь[ю0,G„G,]*(/), (19)

где t е R - время, x(t) е R, L - оператор обобщенного люфта с направляющими функциями co = G,(x) и a> = Gr(x) Функция / Rx R х R—>R непрерывна по совокупности переменных и известно Т- периодична по переменной t

f(t,x,co) = f(t + 1,x,co) (20)

Требуется найти функцию x(t), которая является Т -периодическим решением системы (18), (19), то есть те x(t), для которой

*(Г) = *(Г + Т). (21)

Обозначим через G(t) функцию Грина задачи (18), (19) Функция G(t) является периодической периода Т, непрерывной на интервале (0,Т) и разрывной на концах периода. G(t) можно выписать в явном виде при 0</<Т

= ™ (22)

Лемма 1 Решение уравнений (18), (19) х' (í), удовлетворяющее условию

т

JV(í)í& = 0 (23)

о

может быть записано в виде

т

x\t)=^G(f-s)f{s,x{s),(o{s))ds, (24)

о

где G(t) - периодическая функция Грина задачи (18), (19) Следовательно, периодические решения задачи (18), (19), если существуют, принадлежат множеству

J/(s,*(s),ffl(í))& = 0Í (25)

Р. =jx(í)eC,[0,T]nL2[0,T]

с метрикой

}Ш-у(у))2ж1 (26)

Л

Р{х,у) =

Нетрудно показать, что Р, является полным метрическим пространством 10

Определим оператор А Р. —> Р.'

т

Ах(0 = ux(t) + сх, ux(t) = |G(/ - s)f(s, x(s),co(s))ds , (27)

о

T

где cx - корень уравнения |/(j,MI(5) + cx,cu(i))ife = 0,

о

который используется при построении приближений

С целью нахождения периодического решения предлагается проводить построение последовательности периодических приближений таким образом, чтобы все приближения принадлежали множеству Р.

Предлагается на начальном шаге метода построить нулевое приближение Будем искать нулевое приближение в виде суммы периодической функции и константы

*о(0 = Ио(') + с0 (28)

В качестве основы нулевого приближения u0(t) предлагается взять любую периодическую по переменной t функцию В качестве наиболее простого варианта можно положить и0 = О Константу с0 попытаемся выбрать таким образом, чтобы xQ(t) е Р., то есть будем искать с0 как решение уравнения

т

|/(5,«о(5) + Со,ю(5))Л = 0. (29)

о

Предположим, что данное уравнение разрешимо и найден какой-либо корень с0 Тогда определим нулевое приближение по формуле (28) Очевидно, что по построению x0(t) е Р. и является периодической функцией

Теперь предположим, что нам известно х,(0 е Р,, являющееся Т- периодической функцией Будем искать следующее приближение в виде

*»,(0 = «w(0 + c1+, (30)

Функцию и+1 (t) будем искать как периодическое решение дифференциального уравнения

и(0 = /(',*|(0,ю,(0), (31)

где

. ^(0 = Г[со0]х,(0 (32)

Так как x(t) е Р., то уравнение (31) имеет Т - периодическое решение Для упрощения дальнейшего рассмотрения определим им (t) как периодическое решение с нулевым средним

т

иы(0= ¡G(t-s)f(s,x,(s),nXs))ds , (33)

о

где G(f) - функция Грина соответствующей задачи

Далее попытаемся определить постоянную сы таким образом, чтобы х:+|(/) е Р,, то есть будем искать с+| как решение уравнения

т

О) + СМ. = 0 (34)

о

Предположим, что данное уравнение разрешимо и мы определили с1+1 Тогда построим х+1(/) по формуле (30) Очевидно, что ;сы (/) е Р. и является Т- периодической функцией

Получение периодического приближения по данному методу состоит из двух шагов решения элементарной задачи нахождения периодической функции с нулевым средним значением по ее первой производной и в нахождении решения системы (конечных) нелинейных уравнений

Доказательство сходимости предлагаемой схемы построения периодических решений проводится с помощью принципа сжимающих отображений С этой целью потребуем выполнения для правой части уравнения (18) условия Липшица снизу по переменной х

1\х-у\<\/(?,х,со)-/{иу,а)\, 1> 0, (35)

и условия Липшица сверху по второму и третьему аргументам

\/{1,х,со,)-М,у,со2)\<К\х-у\ + \со>-а>2\), 1> О (36)

Теорема 2 Пусть функция /(/,х, со) непрерывна по совокупности переменных и выполнено условие (35), то возможно построить последовательность периодических функций по формулам (28)-(34) Если же функция /(/,х, а>), удовлетворяет еще и условию Липшица по второй и третьей

переменной (36) и константы /, Ь, Л таковы, что

Р = + (37)

то построенная последовательность х„(0 сходится к Т -периодическому решению х'(() уравнения (18), (19)

Теорема 3 Если выполнены все условия теоремы 2, то справедливы следующие оценки

11*0-* 011: <-^-|к()-*0()||2 , (38)

1 -р

Уз [ Ы1 + Х)

3 л7

У

1 -р

гдер = ^ н т

Третья глава посвящена приближенному построению периодических решений систем операторно-дифференциальных уравнений, описывающих динамику систем автоматического регулирования, обратная связь которых включает гистерезисные звенья.

Динамика таких систем описывается системой уравнений

г = Аг + Ьм(0, (40)

и( 0 = /(',*(0,<Г(0), (41)

х(г) = (г(/),с), (42)

т = КаШ (43)

си(/) = Г[су0МО, (44)

где х(1) — вектор-функция со значениями в И" — переменное состояние линейного звена W , А - постоянная матрица размерности п х п, Ь и с -фиксированные векторы из К", функция /(?, х, £) - предполагается гладкой и Т - периодической по первому аргументу Уравнения (43), (44) описывают динамику преобразователя Прейсаха или многомерного люфта.

Рис. 1 Блок-схема одноконтурной системы автоматического регулирования с гистерезисной нелинейностью, входящей в обратную связь

Решением системы (40)-(44) назовем пару {г(/),<и(г)}, первая компонента которой абсолютно непрерывна

В сделанных предположениях относительно функции / система (40)-(44) удовлетворяет условиям теоремы 3 и, как следствие, каждой паре {г0,с»0} е О отвечает единственное решение, удовлетворяющее начальному условию

{z(0),co(0)} = {z„,co0} Известно, что периодические решения системы (40)-(44) являются неподвижными точками оператора H . C(Rn)|0T) —> C(R")|0T|

т

[Hz](0 = J Я (Г — s, T) b f(s, x(s), œ(s))ds, (45)

О

где *(î) = (z(î),c), co(s) = r[to0]x(s), H(t,T) = eA'(E-eAT)"' (0<i<T)-функдия продолженная на всю числовую ось соотношением

Я(/ + яТ,Г) = Я(/,Т) (neZ). Для формулировки основных результатов этой главы понадобится установить несколько вспомогательных утверждений.

Линейную систему (40)-(41) назовем регулярной, если импульсная характеристика

h(t) = (eMb,c) (t > 0) (46)

положительна при t > 0, система (40) управляема, матрица А гурвицева, самое правое её собственное число является простым и вещественным и, отвечающий ему собственный вектор не ортогонален вектору с Теорема 4 (М.Е. Семенов) Пусть линейная система (40)-(42) регулярна Тогда множество

К = со{г\7. = },ек,Ъ, А,/>0} (47)

образует телесный конус в R°

Напомним, что конусом называется замкнутое выпуклое множество, содержащее вместе с каждой точкой луч, выходящий из начала координат и проходящий через нее, и такое, что из соотношений z е К и z * 0 следует -z

Конус называется телесным, если он содержит шар ненулевого радиуса.

Конус К позволяет ввести естественную полуупорядоченность на пространстве R° z,>z2 означает, что z, - z2 е К, строгое неравенство z, >z2 - z, - z2 eintÂ"

Следующие утверждения устанавливают свойства оператора (45). Лемма 2 Пусть выполнены условия теоремы 4 и функция f(t,x,co) монотонно возрастает по второму и третьему аргументам, тогда оператор (45) монотонен по конусу К

Лемма 3 Пусть выполнены условия теоремы 3, леммы 2 и выполняется неравенство

hm sup /(t, х,со)\х |ч < (A"'b, с)'1, (48)

тогда найдутся такие еН", связанные неравенством г. <г+ (по

конусу К), что будут выполнены неравенства

Нг. >г. +и0, Нг+ < -и0,

где ц0 е ш1 К

Опишем процедуру построения периодических решений системы (40X44)

Зафиксируем монотонно убывающую к нулю последовательность К) (а,<1)

Рассмотрим вспомогательную последовательность {у„} <= С(Р")

V» = г., у4+1 = Ну4 + ст,и0 (49)

По построению, последовательность монотонно возрастает по конусу К ив условиях лемм 2, 3 ограничена сверху элементом г+. Кроме того, последовательность {у„} равностепенно непрерывна, следовательно, эта последовательность сходится в пространстве С(К") Для ее предельного элемента у' выполняется равенство

у'=Ну*+а,и0, (50)

поэтому среди ее членов найдутся такие, для которых будет выполнено неравенство

у к > Ну* +а3и0. (51)

Для первого члена последовательности (49), удовлетворяющего неравенству (51) положим у4 = г, г, является первым членом последовательности {г,}, которую определим следующим образом Пусть первые ( п -1) ее членов построены тогда ъ, определим как первый член вспомогательной последовательности {у„}

у4+, =Ну* +(-1)"+,0„ио, (52)

удовлетворяющий неравенству

(_1)"+'(¥* -Нук) > а„+2и0 (53)

Теорема 5 В условиях лемм 2, 3 при любом натуральном п члены последовательности {г,} могут быть построены, выполняются неравенства

20 <ъг < <ги< <г.<т„< < ъ1п. 1 < < г,, (54) суи{ествуют пределы

1ш1|| г2„-г. ||С(Я-,= 0, 1ш11| г1пА -х„ 0, (55)

ПЧ-00 И«-«

г. и г.. являются неподвижными точками оператора (45)

Во многих прикладных задачах важна степень близости приближенных решений к точному. Ниже формулируется теорема, позволяющая дать априорную оценку в условиях слабой дифференцируемое™ оператора (45)

Ниже предполагается, что оператор (45) имеет слабую производную Гато Н1 на множествах М! = . ги < г < г,}, М2 = {г ъ„<ъ< г2л_,} Обозначим через N константу нормальности конуса К, М = эир || Н'.{т.1п + © Дг) ||, где = -ги .

05 651

Теорема б Пусть выполнено неравенство М N < 1, тогда верны оценки

(56)

Из теоремы 5, 6 следует, что Т - периодические решения системы (40)-(44) могут быть эффективно построены с любой точностью

Во многих системах автоматического регулирования параметры системы принципиально невозможно определить точно Поэтому технически реализуемые вынужденные периодические режимы должны обладать естественным свойством корректности по отношению к малым изменениям параметров системы Ниже устанавливаются условия, обеспечивающие это свойство для пределов последовательностей {г„}

Наряду с системой (40)-(44) рассмотрим возмущенную систему

г = Аг+Ьи(г), (58)

= /(',*('), С(0), (59)

х(1) = Ш,с), (60)

£(/) = /(а*0), (61)

«(0 = Г[СУ„М0, (62) Теорема 7 Пусть г. тогда Уе > 0 отвечает такое 5а > 0 , что если выполнены неравенства

II А-АЦ„.<5,, \\/~?\\с^<5„ (63) то для пределов г. и г, будет выполнено неравенство

II2.-2. Нед., <е (64)

Теорема 7 означает, что пределы челночной последовательности (в случае их единственности) обладают свойством корректности по отношению к малым возмущениям параметров системы.

Приведем примеры моделей систем из различных естественнонаучных областей, которые описываются дифференциальными уравнениями с гистерезисными нелинейностями

Первый пример касается динамики изменений концентраций субстратов химических реакций в цикле фотодыхания С3 растений В работах различных авторов отмечалось, что реакция превращения глиоксилата в 16

глицин в цикле фотодыхания резко прекращается при некотором фиксированном значении концентрации глиоксилата (зависящим от внешних параметров) Столь же резко реакция возобновляется при другом значении концентрации. Из этого следует, что при построении модели можно использовать операторы, аналогичные неидеальным реле В предположении кинетики первого порядка динамика изменений концентраций глиоксилата будет описываться уравнениями

Y + b,Y + b2Y = -b,Y^(t) + ç(t) (65)

Ç(0 = RK,a^]Y(0 (66)

Здесь Y - концентрация глиоксилата, bt,b2,b3- константы ферментативных реакций, уравнения (65) Функция <p(t) отвечает притоку внешних продуктов, R[o\,а,р] -оператор, аналогичный неидеальному реле

В работах физиков рассматривалась электромагнитная система, показанная на рис 2 Где 1 - звуковой генератор, 2 - генератор прямоугольных импульсов, 3 - осциллограф, 4 - анализатор спектра, Cfe - емкость сегнето-электрического образца — носителя гистерезисных явлений, L — линейная индуктивность, Сс - линейная емкость ( Са » С/; ), R - омическое сопротивление, Ux - напряжение, подаваемое на входе " X " осциллографа, пропорциональная индуктивность образца D(t) ; Uy - напряжение, подаваемое

на вход Y осциллографа и пропорциональное скорости изменения индуктивности образца

Рис. 2 Электромагнитная система

Уравнение, описывающее динамику изменений индуктивности сег-нетоэлектрического образца, имеет вид-

¿ + — + + = (67)

15 *к Ь ЬБ

где И - толщина сегнетоэлектрического образца, £/; - напряженность электрического поля в сегнетоэлектрическом конденсаторе Соотношение

описывает зависимость гистерезисного типа напряженности между обкладками сегнетоэлектрического конденсатора и его индуктивности

Рис. 3

На рисунке 3 приведены результаты численного построения приближенных периодических решений уравнения (67), в котором зависимость (68) определялась преобразователем Прейсаха (10), (11)

Приведенные примеры обуславливают актуальность темы работы В заключении сформулированы полученные результаты и приведены основные выводы

В приложениях приведен пакет прикладных программ численного построения приближенных периодических решений дифференциальных уравнений и систем автоматического регулирования с гистерезисными не-линейностями

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Перечислим основные результаты, полученные в работе

1 Получены условия, обеспечивающие существование и единственность решений систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нели-нейностями

2 Предложен алгоритм приближенного построения периодических решений систем дифференциальных уравнений общего вида с гистерезисными не-линейностями.

3 Получены условия, обеспечивающие реализуемость и сходимость последовательности приближений к точному периодическому решению Получены оценки близости приближений к точному решению

4 Для систем дифференциально-операторных уравнений, описывающих динамику систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью, предложен метод приближенного построения вынужденных периодических режимов Приведены условия, обеспечивающие реализуемость и сходимость Получены оценки точности

5 Доказана корректность решений, полученных предложенным алгоритмом, по отношению к малым возмущениям параметров систем.

Автор выражает глубокую благодарность профессору М Е Семенову за постоянное внимание и советы

Список публикаций по теме диссертации Журналы, включенные в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов н изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны

быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук»

1 Нелокальные условия существования устойчивых периодических решений систем автоматического регулирования с гистерезисными нелиней-ностями / М.Г Матвеев, М Е Семенов, О И Канищева, Е В Попова // Приложение к журналу "Мехатроника, автоматизация, управление" — 2006 - №7 -С&-10

2 О диссипативности одного класса систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями / М Е Семенов, О И Канищева, Л В Кутепова, П В Толоконников // Системы управления и информационные технологии -2006 -№1 (23) -С 101-104

Другие публикации

3. Задача об оптимальном производстве, сбыте и хранении товаров в условиях гистерезисной функции спроса / М Е Семенов, М Г Матвеев, О И Канищева, Л В Кутепова // Экономическое прогнозирование модели и методы материалы междунар науч -практ конф , 29-30 апр 2005 г -Воронеж, 2005 -Ч 2 -С 398^06.

4 Модель макроэкономики с гистерезисной функцией инвестиций / М Е Семенов, М Г. Матвеев, О И Канищева, Л В Кутепова // Экономическое прогнозирование модели и методы материалы междунар науч -практ конф, 30-31 марта 2006 г -Воронеж, 2006 -Ч 2 - С 29-33

5 О резонансных свойствах одного уравнения Матье с гистерезисными нелинейностями / М Е Семенов, О И Канищева, А Н Гулин, В Я Ма-каревич // Обозрение прикладной и промышленной математики - М, 2006 -Т 13,вып 3 -С 718-719

6 Семенов М Е Метод Самойленко-Перова для построения периодических решений дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями / М Е Семенов, О И Канищева, А Н Гулин // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования материалы конф. - Воронеж, 2005 - С 205

7 Семенов М Е Нелокальные условия существования устойчивых периодических решений систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями / М Е Семенов, О И Канищева, М Г Матве-

ев // Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования • материалы докл VIII Всерос науч -техн конф , 26-28 аир. 2006 г. - Тамбов, 2006 - С 179-182

8 Семенов МЕ. О диссипативности одного класса систем с гистерезис-ными нелинейностями / МЕ. Семенов, О И Каншцева, М Г Матвеев // Обозрение прикладной и промышленной математики - М, 2005 - Т 12, вып 3-С 752-753

9 Семенов М Е Резонансные свойства одного уравнения с гистерезисной нелинейностью / М Е. Семенов, О И Канищева, П В Толоконников // Современные методы теории краевых задач материалы Воронеж весен мат шк «Понтрягинские чтения - XVII» - Воронеж, 2006 - С 222

10 Семенов М Е Численно-аналитический метод приближенного построения периодических режимов в системах автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями / М Е Семенов, О И Канищева, П В Толоконников // Обозрение прикладной и промышленной математики — М , 2006 -Т 13, вып 5-6 -С 731-732

Подписано в печать 20 02.2007 г. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Гарнитура Тайме Ризография Уел печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ №33 ГОУВПО «Воронежская государственная технологическая академия» (ГОУВПО «ВГТА») Участок оперативной полиграфии ГОУВПО «ВГТА» Адрес академии и участка оперативной полиграфии 394000, г Воронеж, пр Революции, 19

Введение

Глава 1 Постановка задачи и краткий обзор способов ее решения

1.1 Постановка задачи для систем дифференциальных уравнений

1.2 Обзор некоторых методов приближенного построения периодических решений систем дифференциальных уравнений

1.2.1 Аналитический метод для построения периодических решений систем дифференциальных уравнений JI. Чезари и Дж. Хейла

1.2.2 Численно-аналитический метод исследования нелинейных Т-систем (метод A.M. Самойленко)

1.2.3 Численно-аналитический метод поиска периодических решений систем дифференциальных уравнений (метод А.И. Перова)

1.3 Постановка задачи для систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями

1.4 Гистерезисные преобразователи

1.4.1 Обобщенный люфт

1.4.2 Многомерный люфт

1.4.3 Неидеальное реле

1.4.4 Преобразователь Прейсаха-Гилтая

Глава 2 Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями

2.1 Основные теоремы существования и единственности решения для дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями

2.1.1 Задача Коши для дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями

2.1.2 Задача Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка с гистерезисными нелинейностями

2.2 Скалярные дифференциальные уравнения первого порядка с гистерезисными нелинейностями

2.2.1 Постановка задачи о приближенном построении периодических решений скалярных дифференциальных уравнений первого порядка с гистерезисными нелинейностями

2.2.2 Схема метода построения периодических решений и основные теоремы о применимости и сходимости метода для скалярных дифференциальных уравнений первого порядка с гистерезсными нелинейностями

2.3 Системы дифференциальных уравнений первого порядка с гистерезисными нелинейностями

2.3.1 Постановка задачи о приближенном построении периодических решений систем дифференциальных уравнений первого порядка с гистерезисными нелинейностями

2.3.2 Схема метода построения периодических решений и основные теоремы о применимости и сходимости метода для систем дифференциальных уравнений первого порядка с гистерезисными нелинейностями

2.4 Численная реализация, блок-схема, результаты применения приближенного метода Самойленко-Перова построения периодических решений дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями

Глава 3 Системы автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями

3.1 Линейное звено

3.2 Замкнутые системы

3.3 Регулярные линейные системы

3.4 Постановка задачи и алгоритм нахождения периодических решений систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями

3.5 Численная реализация, блок-схема, результаты применения приближенного метода построения вынужденных периодических режимов в системах автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями 103 Заключение 108 Список литературы 109 Приложения

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Модели процессов и систем прикладных задач физики, теории автоматического регулирования, экономики и т.д. сводятся к системам дифференциальных уравнений, содержащим помимо обычных функциональных нелинейностей - нелинейности гистерезисной природы (колебания ферромагнитного шарика в магнитном поле; электромагнитные колебания в контуре, содержащем сегнетоэлектрические конденсаторы; экономические циклы в условиях «гистерезисного» поведения экономических агентов, системы автоматического регулирования, обратная связь которых включает гистере-зисные звенья). Одним из аспектов исследования этих моделей является изучение их поведения под влиянием внешнего периодического воздействия. В частности, важную практическую роль играют периодические решения того же периода, что и у внешнего воздействия.

Вопросу существования периодических решений систем дифференциальных уравнений в условиях, когда правая часть периодична, посвящено достаточно много работ (H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, В.А. Плисс, М.А. Красносельский, E.H. Розенвассер, P.A. Нелепин и многие другие). Приближенному построению периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (в условиях, когда они заведомо существуют) посвящены работы JI. Чезари, Дж. Хейла, A.M. Самойленко, А.И. Перова, A.M. Красносельского, В.Я. Стеценко и ряда других ученых.

Первые работы, в которых изучались системы автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями, появились в 1946 г. (A.A. Андронов). В 1960-х годах результаты A.A. Андронова были существенно обобщены P.A. Нелепиным на основе новой в то время методологии, разработанной с использованием бесконечнолистных поверхностей Римана. Основное внимание в этих работах уделялось построению зон устойчивости в пространстве параметров систем. Однако, к настоящему времени отсутствуют эффективные методы приближенного построения периодических решений систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями. Возможность создания таких методов основывается на развитой М.А. Красносельским, A.B. Покровским и их учениками операторной трактовке гистерезисных нелинейностей. Поэтому является актуальной задача создания и анализа приближенных методов построения периодических решений широких классов систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями.

Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления кафедры ПМиЭММ Воронежской государственной технологической академии -«Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» № г.р. 01200003664.

Цель работы. Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач:

- выделение класса моделей систем, представленных дифференциальными уравнениями с гистерезисными нелинейностями, удовлетворяющих условиям существования и единственности решений;

- синтез алгоритмов приближенного построения периодических решений систем с гистерезисными нелинейностями;

- доказательство реализуемости алгоритмов, проверка устойчивости, оценка скорости сходимости, исследование поведения моделей;

- апробация предложенных алгоритмов на модельных примерах и численные эксперименты.

Методы исследования. При выполнении работы использовались операторная трактовка гистерезиса, качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического регулирования, нелинейный анализ, численные методы решения дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

-доказана теорема существования и единственности выделенного класса моделей систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями;

- предложена модификация метода Самойленко-Перова для приближенного построения периодических решений одного класса систем дифференциальных уравнений, отличающихся учетом в них гистерезисных свойств;

- предложен новый метод приближенного построения периодических решений систем автоматического регулирования, отличающихся учетом возможных гистерезисных нелинейностей в обратной связи;

- доказана реализуемость обоих методов, получены оценки скорости сходимости приближений к точному периодическому решению;

-доказана устойчивость метода приближенного построения периодических решений систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью по отношению к малым возмущениям параметров задачи.

Практическая ценность работы. Результаты работы применимы для анализа и построения периодических решений систем, математические модели которых сводятся к системам дифференциальных уравнений, в том числе и с гистерезисными нелинейностями. В частности, одной из классических задач теории автоматического регулирования является задача построения вынужденных периодических режимов. Предложенный в работе алгоритм позволяет в случае выполнения легко проверяемых условий строить эти режимы. Причем для приближенных решений выполняются дополнительные условия корректности по отношению к малым изменениям параметров систем.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (г.Сочи - Дагомыс, октябрь 2005 г.), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г.Воронеж, декабрь 2005 г.), «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г.Воронеж, апрель 2005 г., март 2006 г.), VIII Всероссийская научно-техническая конференция «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования» (г.Тамбов, апрель 2006 г.), VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (г.Кисловодск, май 2006 г.), Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы качественной теории краевых задач - Понтрягин5 ские чтения - XVII» (г.Воронеж, май 2006 г.), XIII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (г.Йошкар-Ола, декабрь 2006 г.), на семинарах кафедры ПМиЭММ ВГТА и кафедры дифференциальных уравнений ВГУ за 2005,2006 гг.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ. Основные результаты работы опубликованы в работах [37], [72]-[81], список которых приведен в конце диссертации. Из них две - статьи в научных журналах, включенных в "Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук" [37], [77] и восемь - тезисы докладов на научных конференциях [72]-[76], [78]-[81].

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, составляют доказательства утверждений о реализуемости и сходимости предложенных алгоритмов, доказательство корректности и устойчивости неподвижных точек интегральных операторов, являющихся периодическими решениями роответст-вующих дифференциальных уравнений.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из .введения, трех глав, заключения, приложений и списка литературы, включающего 92 наименования, изложена на 135 страницах и включает 14 рисунков.

Краткое содержание работы.

Во введении приведены общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследований, дана информация о научной новизне и практической значимости работы, приводится методика исследований и дано краткое изложение содержания диссертации по главам.

В первой главе, которая носит вводный характер, приведены примеры моделей систем, динамика которых описывается системами дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями, формулируется задача нахождения периодических решений и приведен краткий обзор известных методов исследования периодических решений, изучение и анализ которых привели к появлению данных методов. Описаны известные модели гистерезисных преобразователей - обобщенного люфта, многомерного люфта, неидеального реле, преобразователя Прейсаха-Гилтая. Следуя классическим схемам М.А. Красносельского и A.B. Покровского, гистерезисные операторы трактуются как преобразователи, определенные на пространстве непрерывных функций, динамика которых описывается соотношения: вход-состояние и состояние-выход.

Во второй главе работы выделяется класс моделей систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями, доказывается существование и единственность решения задачи Коши для выделенного класса, приводится схема построения периодических решений систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями, доказываются основные теоремы об условиях применимости и условиях сходимости метода.

Третья глава посвящена приближенному построению периодических решений систем операторно-дифференциальных уравнений, описывающих динамику систем автоматического регулирования, обратная связь которых включает гистерезисные звенья. Для таких систем предложен метод приближенного построения вынужденных периодических режимов. Приведены условия, обеспечивающие реализуемость и сходимость. Получены оценки точности. Доказана корректность решений, полученных предложенным алгоритмом, по отношению к малым возмущениям параметров систем.

В заключении сформулированы полученные результаты и приведены основные выводы.

В приложениях приведен пакет прикладных программ численного построения приближенных периодических решений дифференциальных уравнений и систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями.

1 Постановка задачи и краткий обзор способов ее решения

Заключение

В работе рассмотрены модифицированный метод Самойленко-Перова построения периодических решений систем дифференциальных уравнений с гис-терезисными нелинейностями и метод построения вынужденных периодических режимов систем автоматического регулирования, обратная связь которых включает гистерезисные звенья. Перечислим основные результаты, полученные в работе:

1. Приведены условия, обеспечивающие существование и единственность решений систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями.

2. Предложен алгоритм приближенного построения периодических решений систем дифференциальных уравнений общего вида с гистерезисными нелинейностями.

3. Приведены условия, обеспечивающие реализуемость и сходимость последовательности приближений к точному периодическому решению. Получены оценки близости приближений к точному решении.

4. Для систем дифференциально-операторных уравнений, описывающих динамику систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью предложен метод приближенного построения вынужденных периодических режимов. Приведены условия, обеспечивающие реализуемость и сходимость. Получены оценки точности.

5. Доказана корректность решений, полученных предложенным алгоритмом, по отношению к малым возмущениям параметров систем.

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В .И. Арнольд. М.: Наука, 1974. - 431 с.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. М.: Наука, 1975. - 240 с.

3. Ахиезер Н.И. Элементы теории аппроксимации / Н.И. Ахиезер. М. : Наука, 1965.-407 с.

4. Байге X. Детерминированный хаос и сегнетоэлектричество / X. Байге, М. Дистельхорс, С.Н. Дрождин // Материалы семинаров НОЦ "Волновые процессы в неоднородных средах". -2003. С. 9-22.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. М.: Наука, 1976. -352 с.

6. Боголюбов H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М.: Физматгиз, 1963. -503 с.

7. Борздыко В.И. Дифференциальные уравнения со сложными нелинейно-стями: автореф. дис. на соискание учёной степени д-ра физ.-мат. наук / В.И. Борздыко. Душанбе, 2001. - 29 с.

8. Воронов A.A. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость / A.A. Воронов. М.: Наука, 1979. - 335 с.

9. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ / Б.З. Вулих. М.: Наука, 1967.-416 с.

10. Гиль М.И. Операторные функции, дифференциальные уравнения и динамика систем / М.И. Гиль. М.: Наука, 1984. -150 с.

11. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний / В.Д. Горяченко. М. : Высш. шк., 2001.-395 с.

12. Гребенников Е.А. Новые качественные методы в нелинейной механике / Е.А. Гребенников, Ю.А. Рябов. -М.: Наука, 1971. 432 с.

13. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. М.: Наука, 1966. - 664 с.

14. Жук B.B. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации / В.В. Жук, Г.И. Натансон. Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. -188 с.

15. Калиткин H.H. Численные методы / H.H. Калиткин. М. : Наука, 1978. -512 с.

16. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М. : Наука, 1976. - 576 с.

17. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. -М. : ИЛ, 1958. 476 с.

18. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями / Л. Коллатц. М. : Наука, 1968. - 500 с.

19. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. М. : Наука, 1976. - 542с.

20. Красносельский М.А. Нелинейные почти периодические колебания / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов М. : Наука, 1970. -351 с.

21. Красносельский М.А. Системы с гистерезисом / М.А. Красносельский, A.B. Покровский -М.: Наука, 1983. 271с.

22. Векторные поля на плоскости / Красносельский М.А. и др.. М. : Физматгиз, 1963.-248 с.

23. Красносельский М.А. К теории периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский // "УМН". 1966. -21, №3.-С. 53-74.

24. Красносельский М.А. О применении методов нелинейного функционального анализа в задачах о периодических решениях уравнений нелинейной механики / М.А. Красносельский // "ДАН СССР". 1956. -т. 111, № 2. -С. 283-286.

25. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М. : Наука, 1966. -332 с.

26. Красносельский М.А. О некоторых признаках существования периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений /128

27. М.А. Красносельский, А.И. Перов // "Труды Междунар. симпозиума по нелин. колеб.". -1963. № 2 - С. 202-211.

28. Красносельский М.А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений I М.А. Красносельский, А.И. Перов // "ДАН СССР".-1958.-т. 123, №2.-С. 235-238.

29. Красносельский М.А. О некоторых признаках существования периодических решений у обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин // "ДАН СССР". 1964. - т. 156, №5.-С. 1022-1024.

30. Красносельский М.А. О вычислении вращений вполне непрерывных векторных полей, связанных с задачей о периодических решениях дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин "ДАН СССР".- 1963. -т. 152, № 3.-С. 540-543.

31. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, A.B. Соболев-М.: Наука, 1985.-256 с.

32. Математическая теория систем / под ред. М.А. Красносельского. -М.: Наука, 1986. 166 с.

33. Красносельский М.А. О динамике систем управления, описываемых уравнениями параболического типа с гистерезисными нелинейностями / М.А. Красносельский, A.B. Покровский, Ж. Тронель, В.В. Черноруцкий // Автоматика и телемеханика. -1992. -№ 11.- С. 65-71.

34. Красносельский A.M. О континуумах циклов в системах с гистерезисом I A.M. Красносельский, Д.И. Рачинский // Доклады РАН. 2001. - т. 378, №3.-С. 314-319.

35. Красносельский A.M. О существовании циклов у квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка / A.M. Красносельский, Д.И. Рачинский // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 2001. -т. 5,№1-2.-С. 143-151.

36. Крылов В.И. Вычислительные методы. Том II. /В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. М.: Наука, 1976. - 400 с.

37. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. М.: Наука, 1965. - 520 с.

38. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский. Киев: Наукова думка, 1966. - 305 с.

39. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний / Ю.А. Митропольский. М.: Наука, 1964. - 431 с.

40. Митропольский Ю.А. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием I Ю.А. Митропольский, Д.И. Мартынюк. Киев : Изд-во Киевского унта, 1969.-309 с.

41. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний I Ю.И. Неймарк. М.: Наука, 1972. - 471 с.

42. Нелепин P.A. Об исследовании точными методами систем с двумя нелинейными элементами / P.A. Нелепин. Изв. вузов, Радиофизика, 1965. -№3.

43. Нелепин P.A. Об исследовании нелинейных автоматических систем высокого порядка точными аналитическими методами / P.A. Нелепин // Докл. АН СССР.-1965.-т. 161.-№ 4.

44. Нелепин P.A. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем / P.A. Нелепин. Л.: Судостроение, 1967. - 447 с.

45. Нелепин P.A. Динамика одного класса систем автоматического управления при учете типовых нелинейностей / P.A. Нелепин // сб. трудов ЛВВМИУ. -1969. Вып. 32.

46. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления I под ред. P.A. Нелепина. М.: Наука, 1975. - 448 с.

47. Алгоритмический синтез нелинейных систем управления / под ред. P.A. Нелепина. JI.: Изд-во ЛГУ, 1990.-235 с.

48. Ортега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. М.: Мир, 1975. -560 с.

49. Перов А.И. О задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений / А.И. Перов // в сб. "Приближенные методы решения дифференциальных уравнений", Вып. 2 Киев : Наукова думка, 1964. -С. 115-134.

50. Перов А.И. Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / А.И. Перов, A.B. Кибенко. Воронеж : ВГУ, 1969. -52 с.

51. Перов А.И. Периодические колебания / А.И. Перов. Воронеж : ВГУ, -1973.-50 с.

52. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов. Воронеж: ВГУ, 1981. -196 с.

53. Перов А.И. Периодическая функция Грина и многочлены Бернулли / А.И. Перов // Известия РАЕН, серия МММИУ, 2000. т. 4, М-2. - Самара, 2000.-С. 199-213.

54. К условию сходимости метода A.M. Самойленко / А.И. Перов и др. // Вестник ВГУ, Сер. Физика, математика. 2001. -Вып. 1. - С. 111-119.

55. Перов А.И. Об одном методе приближенного отыскания периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений / А.И. Перов // Вестник факультета ПММ. Воронеж, 2003. - Вып. 4. - С. 89-97.

56. Перов А.И. Об одном методе приближенного нахождения периодических решений системы нелинейных дифференциальных уравнений / А.И. Перов // Доклады РАН, 2003. т. 392, № 1. - С. 12-16.

57. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. М.: Наука, 1964. - 272 с.

58. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В.А. Плисе. М.; JI.: Наука, 1964.-368 с.

59. Покровский A.B. Корректные решения уравнений с сильными нелинейно-стями I A.B. Покровский // "ДАН СССР". 1984. - т. 274, № 5. с. 1037-1040.

60. Покровский A.B. Устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями / A.B. Покровский, М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. -1990. -№ 2. С. 31-37.

61. Портнов М.М. Об одном методе построения приближенных периодических решений / М.М. Портнов // Вестник факультета ПММ. Воронеж, 2003. -Вып. 4.-С. 108-124.

62. Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования / Е.С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. 1968.-№ 6. - С. 5-36.

63. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем дифференциальных уравнений / A.M. Самойленко // Укр. мат. журн., 1965. т. 17, № 4. - С. 82-93.

64. Самойленко A.M. Численно-аналитические методы исследования периодических решений / A.M. Самойленко, Н.И. Ронто. Киев : Вища школа, 1976.-180 с.

65. Самойленко A.M. Численно-аналитические методы в теории периодических решений уравнений с частными производными / A.M. Самойленко, Б.П. Ткач. Киев: Наук, думка, 1992.-208 с.

66. Семенов М.Е. О континуумах вынужденных устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. -1994. -№ 8. С. 82-86.

67. Семенов М.Е. О континуумах периодических режимов в системах управления / М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. 1994. - № 8. -С. 95-97.

68. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с абстрактным гисте-резисным преобразователем / М.Е. Семенов // Вестн. Воронеж, гос,. унта, Естеств. Науки. -1998. -№2. С. 71-77.

69. Семенов М.Е. Устойчивые периодические решения систем с континуальными системами неидеальных реле / М.Е. Семенов // Математическое обеспечение ЭВМ: сб. науч. тр.-Воронеж, 1999.-Вып. 1.-С. 73-78.

70. Семенов М.Е. Математическое моделирование устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов. -Воронеж.: Воронеж, гос. технол. акад., 2002. -104 с.

71. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов // Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах: сб. трудов семинара НОЦ ВГУ. Воронеж, - 2003. - С. 356-369.

72. Семенов М.Е. О диссипативности одного класса систем с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов, О.И. Канищева, М.Г. Матвеев // Обозрение прикладной и промышленной математики. М. - 2005. -Т. 12.-Вып. 3.-С. 752-753.

73. Семенов М.Е. О резонансных свойствах одного уравнения Матье с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов, О.И. Канищева, А.Н. Гу-лин, В.Я. Макаревич // Обозрение прикладной и промышленной математики. -М. -2006. -Т. 13. -Вып. 3. -С. 718-719.

74. Синицкий JI. А. Методы аналитической механики в теории электрических цепей I Л.А. Синицкий. Львов : Вища школа, 1978. - 138 с.

75. Трубников Ю.В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейно-стями / Ю.В. Трубников, А.И. Перов. Минск : Наука и техника, 1986. -199 с.

76. Розенвассер Е.Н. Колебания нелинейных систем / Е.Н. Розенвассер. -М.: Наука, 1969. 576 с.

77. Харди Г.Г. Неравенства / Г.Г. Харди, Д.Е. Литтльвуд, Г. Полна. М. : ГИИЛ,-1948.-456 с.

78. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. -М.: Мир, -1970. -720 с.

79. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. Хейл. М. : Мир, 1966.-234 с.

80. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. М. : ГИ-ИЛ, 1964. -480 с.

81. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с гистерезисной нелинейностью / В.А. Якубович // "ДАН СССР".-1963.-т. 149, №2.

82. Kalman R. Remaks on some control system. / Kalman R. // Com. Pure Appl. Math., 1962.-V. 12, p. 112-126.

83. Ronto M. Numerical-Analitic Methods in the Theory of Boundary-Value Problems / M. Ronto, A.M. Samoilenko. New-York : World Scientific Publishing, 2001.-456 c.

84. Visintin A. Hyperdolic equations and hysteresis / A. Visintin. C.R. Acad. Sc. Paris. - 2001. - Serie I. - P. 315-320.