автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Математические методы исследования колебаний в системах со сложными гистерезисными нелинейностями

Введение.

Глава Г Колебания в системах с нелинейностью Прейзаха.

§1. Системы с гистерезисными нелинеиностями.

1.1. Гистерезисные нелинейности (36). 1.2, Сложные модели гистерезиса (38 1.3. Дифференциальные уравнения с гистерезисом (41).

§2. Системы неидеальных реле.

2.1. Неидеальное реле (44). 2.2. Система реле (45). 2.3. Эволюция состояний (46). 2.4. Непрерывность операторов вход-состояние и вход-выход (50). 2.5. Периодические выходы (52). 2.6. Периодические решения (55).

§3. Континуумы вынужденных колебаний.

3.1. Вращение векторных полей (57). 3.2. Операторы периодической задачи для ОДУ (61). 3.3. Использование априорных оценок решений (64). 3.4. Метод потенциальных оценок (70). 3.5. Замечания (74).

§4. Колебания в автономных системах.

4.1. Кривые из положений равновесия (77). 4.2. Теорема о существовании циклов (78). 4.3. Малые колебания вблизи положений равновесия (86). 4.4. Замечания

§5. Доказательства.

5.1. Доказательство утверждения (1У) теоремы 1.1 (90). 5.2. Доказательство теоремы 1.2 (94). 5.3. Доказательство теоремы 1.3 (95). 5.4. Доказательство теоремы 1.4 (97). 5.5. Доказательство теорем 1.5 и 1.6 (98). 5.6. Доказательство теорем о существовании циклов (104). 5.7. Доказательство теорем 1.9 и 1.

Глава II. Устойчивость колебаний больших амплитуд в системах с нелинейностями Маергойза.

§6. Векторные системы реле.

6.1. Гистерезисные нелинейности Маергойза (128). 6.2. Периодические состояния и выходы (131). 6.3. Нормальные состояния (133).

§7. Бифуркация вынужденных периодических колебаний из бесконечности.

7.1. Бифуркация в системе с гистерезисом (136). 7.2. Принцип смены индекса (137). 7.3. Существование точек бифуркации (138). 7.4. Число ветвей (140). 7.5. Устойчивость периодических решений (142). 7.6. Замечания (143).

§8. Доказательство теоремы 2.1.

8.1. Вспомогательная лемма (145). 8.2. Доказательство теоремы (147).

§9. Доказательство теорем 2.2 — 2.4.

9.1. Эквивалентные операторные уравнения (149). 9.2. Основное утверждение (151). 9.3. Вспомогательные леммы (153). 9.4. Доказательство теоремы 2.5 (159). 9.5. Завершение доказательства теорем 2.2 — 2.4 (162).

Глава III. Бифуркация Андронова - Хопфа из бесконечности в системах с нелинейностями Ишлинского. Системы с нелинейностями Мроза.

§10. Гистерезисные нелинейности А. Ю. И шл инского.

10.1.Упор (165). 10.2. Нелинейность Ишлинского (168). 10.3. Периодические состояния и выходы (170). 10.4. Нормальные состояния (171).

§11. Системы управления. Бифуркации Андронова -Хопфа.

11.1.Одноконтурные системы управления (172). 11.2.Бифуркации Андроно-ва-Хопфа (176).

§12. Бифуркации Андронова - Хопфа из бесконечности в системах с гистерезисом

12.1. Точки бифуркации (180). 12.2. Бифуркация устойчивых циклов (182). 12.3. Гистерезисные возмущения гамильтоновой системы (185). 12.4. Замечания (187).

§13. Системы с нелинейностями Мроза.

13.1.Нелинейность Мроза и ее свойства (190). 13.2.Неединственность решений задачи Коши (194). 13.3.Компенсатор нелинейности Мроза (197).

§14. Доказательства.

14.1. Доказательство теорем 3.1, 3.2 (200). 14.2. Доказательство теорем 3.3, 3.4 (222). 14.3. Доказательство теорем 3.5 - 3.7 (234).

Актуальность работы. Гистерезисные эффекты играют важную роль в различных разделах физики и механики (магнетизм, пластичность, сверхпроводимость, теория фазовых переходов), в задачах теории управления, инженерных задачах, в биологии, эконоАшке и др. Хорошо известны модели зависимостей гистерезисного типа, восходяш,ие к Дж. Максвеллу, Л. Больцману, В. Вольтерра, Л. Прандтлю, Р. Мизесу, М. Сен-Венану, М. Маделунгу, феноменологические модели гистерезиса, предложенные для различных задач Ф. Пре-йзахом, А.Ю. Ишлинским, H.H. Давиденковым, В.В.Новожиловым, Дж. Бес-селингом, Дж. Гилтаем, В. Прагером и др. Эти модели представляют собой алгоритмы вычисления реакций рассматриваемых объектов на переменные во времени внешние воздействия (входы). Примерами служат алгоритмы вычисления изменений индукции магнетика при переменном внешнем поле или изменений напряжения в упруго-пластических телах при переменных деформациях (см., например, [31,36,38,39,85,90-92,119-121,125,142,178,191-194]). К широко используемым простым идеализациям гистерезисных звеньев регулируемых систем относятся люфты (звено с зоной нечувствительности), упоры (звено с насыщением), неидеальные реле (см., например, [10,26,90,94,191]).

Принципиально новое математическое описание гистерезисных зависимостей, расширяющее начальные феноменологические представления и ставшее основой математической теории систем с гистерезисом, было разработано М.А. Красносельским совместно с учениками с позиций общей теории систем и теории управления. Феноменологические модели ограничиваются простыми классами входов, например, кусочно-линейными, кусочно-монотонными и др. Такие классы достаточны в задаче о вычислении реакций гистерезисной нелинейности на заданные внешние воздействия. Если гистерезисная нелинейность включена в систему, состоящую из различных звеньев, то входы гистерезисной нелинейности априори неизвестны и могут иметь сложную структуру. Подобные системы обычны в задачах регулирования и управления, механики и физики: системы с реле, люфтами, магнитными и пластическими элементами и др. В связи с этим потребовался переход от феноменологических моделей гистерезиса к математическим операциям, допускающим входы общей природы (например, произвольные непрерывные входы), обладающим достаточным арсеналом хороших свойств и приспособленным для исследования процессов в замкнутых системах. Этот переход был осуществлен на основе операторной трактовки гистерезиса (здесь ситуация аналогична переходу от интегральных сумм к интегралам или от разностных отношений к операции дифференцирования), одновременно снявшей расплывчатые представления о гистерезис-ных нелинейностях как устройствах с памятью или многозначных функциях (см. фундаментальную монографию [63]). Методы построения математических моделей гистерезиса примыкают к методологии теории систем, развитой с большой полнотой для линейного случая Л. Заде, Ч. Дезоером, Р. Калманом, П.Фалбом, А.Арбибом и др. (см., например, [32,33,40,84,160,202,209]). Ги-стерезисные нелинейности трактуются как преобразователи с внутренними состояниями; описание преобразователя включает построение пространства его состояний и операторов, определяющих закон изменения состояний и переменные выходы для различных классов входов. Такие операторы построены и изучены для основных классических феноменологических моделей гистерезиса (см. [63], а также [21,44,47,57,65,99,100,102]). Разработанная при этом общая схема используется при анализе новых классов моделей, большое количество которых появилось в последние годы. Здесь можно указать работы [123,131,134,137,145,146,155,157,172,175,188,197,200,204,206]. К важным направлениями исследований гистерезисных операторов относятся, в частности, анализ виброкорректности ([43,46,126,133,171,177,203]), теоремы идентификации ([20,63,152,153,182]), методы приближенного построения ([156,200,201]), методы построения обратных гистерезисных нелинейностей ([167,168]).

Гистерезисные нелинейности, как правило, допускают достаточно наглядное описание, однако их свойства отличаются от свойств обычных функциональных нелинейностей. Операторная трактовка гистерезисных нелинейностей позволила использовать при исследовании задач о функционировании замкнутых систем с гистерезисом различной природы хорошо разработанные общие методы современного нелинейного функционального анализа. На этом пути для различных классов систем удалось изучить задачу Коши, задачи об устойчивости, абсолютной устойчивости и диссипативности, условия применимости аналогов принципа усреднения Боголюбова- Крылова и др. Ограничимся ссылками [22,24,30,55,101,107,151,204], охватывающими .лишь некоторые из полученных в этих направлениях результатов. Отдельно укажем работы, посвященные анализу уравнений в частных производных (см., например, [158,159,167,169,176,203]). При применениях методов функционального анализа важны как общие свойства гистерезисных нелинейностей (статичность, физическая реализуемость, полугрупповое свойство), так и специальные свойства их частных классов, например, монотонность операторов вход-состояние и вход-выход, возможность построения управляемых и компактных сужений и др.

Одним из важных направлений теории дифференциальных уравнений и теории управления является исследование задач о вынужденных и свободных периодических колебаниях. К этому направлению относятся задачи о колебаниях в системах с гистерезисными нелинейностями. Они изучены для многих конкретных систем, возникающих в проблемах регулирования, механики др. Ограничимся ссылками на классические работы A.A. Андронова, Н.Н.Баутина, H.A. Железцова, A.A. Фельдбаума о существовании устойчивого цикла у дифференциальных уравнений второго порядка с люфтом и с неидеальными реле [2,3,108], книгу [ИЗ] ЯЗ. Цыпкина по релейным системам, работы [4,6,7,29,30,76,85,88,89,93,96,109,117,150]. Общие методы нелокальной теории колебаний и нелинейного функционального анализа удается использовать при исследовании периодических процессов в замкнутых системах с гистерезисными нелинейностями на основе развития операторных моделей гистерезиса. При этом требуется развитие методов теории колебаний, направленное на применения в новых ситуациях и позволяющее учесть специфику гистерезисных операторов, а также создание специальных новых методов анализа периодических задач с гистерезисом. К этой проблематике принадлежит тема настоящей работы.

К наиболее полно изученным разделам классической теории кстебаний относятся различные схемы малого параметра, включая асимптотические методы. Нелокальная теория развита в меньшей общности. Здесь можно указать книги E.H. Розенвассера, В.А. Плисса, М.А. Красносельского, В.И. Бабицкого, В.Л. Крупенина, Б.П. Демидовича, Ю.И. Неймарка, В.М. Попова, В.А.Якубовича, Г.А. Леонова и др. В нелокальных проб.лемах важную роль играют методы интегральных уравнений: метод контура Важевского и метод направляющих функций исследования задач о вынужденных колебаниях (см., например, [6,11,34,52,58,88,104-106,208]; по поводу метода направляющих функций см. также [12,15,62,69,74,86,164]); принцип тора Якубовича-Калмана и его многомерные аналоги в проблемах исследования циклов автономных систем; теория Н. Левинсона и В.А. Плисса диссипативных систем; частотные методы и методы теории абсолютной устойчивости, с наибольшей полнотой разработанные в проблемах теории управ.пения (см., например, [76,77,97,98,116,196 и имеющуюся там библиографию). Отметим метод анализа асимптотически линейных на бесконечности систем с резонансной линейной частью, предложенный в работах С.Фучика, П.Драбека, Е.Дансера, С. Чанга, Ж. Мовена и др. ([48,73,139,180]). Особую роль в задачах о периодических решениях систем, близких в том или ином смысле (но не обязательно равномерно близких) к резонансным линейным системам, играет метод гармонического баланса.

Важный раздел теории автоколебаний составляют задачи о рождении малых циклов из положений равновесия автономных систем при изменении параметров системы. Этой проблематике, восходящей к классическим работам А.Пуанкаре, А.А.Андронова и Е.Хопфа, посвящена обширная литература. Укажем книги [5,81,112,173], содержащие также обзор различных приложений и библиографии. Методы исследования бифуркаций Андроно-ва-Хопфа в системах с гладкими нелинейностями основаны на использовании аналитической теории, теорем о центральном многообразии, нормальных форм (см., например, [136, 147, 196]). Негладкая ситуация впервые изучена М.А. Красносельским и B.C. Козякиным в работе [45], где был предложен и иаюльзован специальный метод функционализации параметров (см. также [82,114,115]). Близки по формулировке и алгоритмам определения точек бифуркации задачи о рождении циклов из бесконечности для асимптотически линейных на бесконечности автономных систем (см., например, [49,60,143]).

Асимптотические методы локальной теории колебаний оказались неприспособленными к исследованию систем с гистерезисом. Одна из причин заключается в том, что гистерезисные нелинейности не обладают свойством дифференцируемости. Методы нелокальной теории развивались по ряду направлений. Были разработаны методы построения вполне непрерывных операторов, неподвижные точки которых определяют периодические решения систем с гистерезисом, и получены конкретные признаки сугцествования колебаний; развит метод использования направляюгцих функций в задачах о вынужденных колебаниях в системах с гистерезисными нелинейностями; обоснованы алгоритмы определения точек бифуркации в периодических задачах для систем с параметрами, в том числе при бифуркациях Андронова-Хопфа, и др. Полученные результаты, как правило, охватывают достаточно широкие классы систем и одновременно применимы к системам с гистерезисны-ми нелинейностями различного типа. Укажем работы М.А. Красносельского, А.В.Покровского, A.M. Красносельского, В.С.Козякина, А.А.Владимирова, П.Крейчи, М. Прокате, А.Визинтина и др. (см., например, [49,50,64,67,68, 122,129,166,170,220,233]).

Особая роль принадлежит операторным методам в задачах, возникающих при исследовании систем со сложными гистерезисными нелинейностями. Феноменологические представления о таких нелинейностях берут свое начало от работ Ф. Прейзаха и его последователей по теории дислокаций в проблемах магнетизма ([138,140-142,193]). В математической постановке эти представления приводят к спектральным разложениям по релейным не.линейно-стям, зависящим от распределенных параметров; в задачах управления им соответствуют системы параллельно соединенных неидеальных реле. Моделям Прейзаха посвящена обширна литература; например, можно указать работы [126-128,135,152,156,201,205]. Другой наиболее полно изученный класс сложных гистерезисных нелинейностей — это классические в проблемах пластичности модели А.Ю. Ишлинским упруго-пластических волокон, основанные на феноменологических представлениях о континуальных наборах параллельно соединенных упоров ([36-38,92,93,171]). Сложные гистерезисные нелинейности Прейзаха и Ишлинского обсуждаются практически во всех книгах по теории гистерезисных операторов и ее приложениям (см., например, 63,134,167,203]).

Состояниями реле служат числа ±1, состояния упора и люфта образуют отрезок [—р,р]. Для таких гистерезисных нелинейностей (а также векторных упоров и люфтов, гистерона и др.) состояние в .любой момент времени Ь определяется значениями входа и выхода при том же 1. Для сложных моделей гистерезиса это не так; их состояния — это либо элементы функциональных пространств, либо векторы больнюй размерности. Например, состояниями нелинейности Прейзаха служат функции двух скалярных переменных при-нимаюгцие значения ± 1 : значения функции трактуются как состояния индивидуальных реле — элементов модели Прейзаха; числа а и (3 используются в качестве индексов, параметризующих набор реле (для каждого индивидуального реле а и ¡3 — это пороговые значения, при достижении которых входом состояние индивидуального реле изменяется — происходит "переключение"). Состояниями нелинейности Ишлинского служат функции одной скалярной переменной р. Пространства состояний нелинейностей Прейзаха и Ишлинско-го бесконечномерны. Входы и выходы этих нелинейностей Л это непрерывные скалярные функции х{1) и

Важность операторных методов при исследовании систем со сложными ги-стерезисными нелинейностями опреде.ляется необходимостью учитывать процессы в многомерном или бесконечномерном пространстве состояний гисте-резисной нелинейности. Сложность этих процессов требует разработки специальных методов анализа. При применении операторных методов в задачах о существовании периодических колебаний важную роль играет компактность операторов в конструируемых по задаче уравнениях. Операторы вход-состояние и вход-выход сложных гистерезисных нелинейностей с бесконечномерными некомпактными пространствами состояний, как правило, свойством компактности не обладают. В связи с этим при анализе систем с гистерезис-ными нелинейностями Прейзаха и Ишлинского используется разработанный в [63] метод нормальных состояний, основанный на выделении в пространствах состояний специальных выпуклых компактных множеств (классов нормальных состояний) и позволяющий конструировать компактные сужения операторов вход-состояпие. Основное требование к классам нормальных состояний заключается в том, что при начальных состояниях из этих классов и произвольных допустимых входах переменное состояние в каждый момент времени должно содержаться в классах нормальных состояний. Простой пример модели замкнутой колебательной системы со сложной гистерезисной нелинейностью — это уравнение

0.1) х"{г) + ах'{1) + Ьх{г) + ф) = и{г) с нелинейностью Ишлинского, описывающее осциллятор на упруго-пластическом элементе (см. [35,54]). Выход (Л(Л) гистерезисной нелинейности определяется ее начальным состоянием и входом :с(л); для выделения индивидуального решения уравнения (0.1) достаточно задать начальное состояние гистере-зисной нелинейности и начальные значения ж(Ло) и ж'(Ло) функции х{0 и ее производной. Применение метода нормальных состояний позволяет получить простые утверждения о существовании периодических решений как следствие принципа Шаудера. Например, если функция и[1) непрерывна и периодична с периодом Т, числа а и Ь отличны от нуля и выходы гистерезисной нелинейности Ишлинского равномерно ограничены, то у уравнения (0.1) есть хотя бы одно периодическое решение периода Т; периодичность решения означает, что периодичны как функции х(Л) и Л(Л), являющиеся входом и выходом гистерезисной нелинейности, так и ее переменное состояние.

В последнее десятилетие теория слол<;ных гистерезисных нелинейностей получила дальнейшее развитие. В работах И. Маергойза и П Фридмана построены и изучены векторные аналоги моделей Прейзаха (см., например, [182-185]), описывающие гистерезисные эффекты в магнетиках при переменных по величине и направлению внешних полях (модели Прейзаха относятся к ситуации, когда направление переменного по величине внешнего поля фиксировано). М.Брокате, К.Дресслером и П. Крейчи разработана операторная трактовка векторных аналогов гистерезисной нелинейности Ишлинского, предложенных 3. Мрозом ([130,132,187]; см. также [133] по поводу других сложных моделей пластического гистерезиса). П. Крейчи изучены задачи о построении компенсаторов (обратных гистерезисных нелинейностей) для нелинейностей Ишлинского ([167,168]). Активный интерес специалистов привлекают новые приложения классических гистерезисных нелинейностей Прейзаха и Ишлин-ского и их модификаций в проб.лемах физики, экономики и др. (см., например, [174,182,189,199]). По-видимому, набор параметров этих гистерезисных нелинейностей достаточно богат, что позволяет использовать нелинейности Прейзаха и Ишлинского при моделировании скалярных гистерезисных зависимостей в различных проблемах. При этом нелинейности Прейзаха и Ишлин-ского достаточно хорошо изучены и для них разработаны алгоритмы идентификации параметров по реакциям на пробные входы.

Влияние сложных гистерезисных нелинейностей на периодические процессы в замкнутых системах приводит к специфическим эффектам, а необходимость учета такого влияния — к новым задачам, требующим новых методов анализа. Задачи, рассматриваемые в диссертации, можно отнести к трем основным группам.

Первая группа задач связана с простым наблюдением: выяснилось, что в системах со сложными гистерезисными нелинейностями периодические колебания (если они существуют) в естественных ситуациях образуют континуальные множества; единственность возможна лишь для достаточно больших по амплитуде периодических режимов. Простейшим примером служит уравнение (0.1), периодические решения которого отличаются на константу. Указанная особенность носит общий характер в задачах о свободных и вынужденных колебаниях и является важной информацией о системе. Возникают задачи об изучении структуры континуумов колебательных режимов, возможности их параметризации и др. Здесь слишком грубой оказывается обычная схема построения эквивалентных периодической задаче операторных уравнений, включающих уравнение в выпуклом компактном пространстве состояний или компактном сужении пространства состояний. Такая схема приводит лишь к утверждениям о существовании хотя бы одного периодического режима (например, основанным на применениях принципов неподвижной точки). Использование компактных сужений операторов вход-состояние гистерезисной нелинейности заведомо суживает и класс изучаемых периодических решений.

Задачи второй группы относятся к исследованию систем, близких к резонансным линейным системам. Роль таких задач хорошо известна; в настоягцей работе рассматриваются бифуркации Андронова-Хопфа, бифуркации вынужденных периодических колебаний, задачи о существовании циклов у автономных систем с главной резонансной линейной частью и с гистерезисом в обратной связи. При изучении нерезонансных систем, как правило, используется информация лишь о "достаточной малости" гистерезисных нелинейно-стей, например, о равномерных оценках нормы выходов. Если система получена возмущением резонансной линейной системы, то такая информация недостаточна. Здесь необходимо выяснить, какие числовые характеристики гисте-резисных нелинейностей важны в изучаемых задачах. Эта проблема связана с анализом асимптотических свойств операторов вход-выход и вход-состояние сложных гистерезисных нелинейностей при входах из различных частных классов. В том числе, сюда относится вопрос о роли и возможностях использования свойств типа асимптотической однородности (насыщения) операторов вход-выход и свойств типа конвергентности операторов вход-состояние.

Третья группа — это задачи об устойчивости периодических решений и циклов. В этих задачах наиболее сложен анализ процессов в пространстве состояний гистерезисных нелинейностей. Методы, основанные на линеаризациях применить не удается, так как гистерезисные нелинейности недифференциру-емы. Априори ясна необходимость выделения и использования частных классов состояний и входов, обладающих специальными свойствами, и важность свойств конвергентности операторов вход-состояние. Необходимо учитывать, что в основных ситуациях лишь достаточно большие по амплитуде периодические решения (для автономных систем — циклы) могут быть изолированными. В работе изучаются условия существования и асимптотической устойчивости таких периодических решений и циклов.

Трудности, возникающие при исследовании указанных задач и других родственных проблем, имеют общую природу и могут быть преодолены общими методами. Результаты исследований (конкретные признаки существования колебаний, условия устойчивости и пр.) должны допускать интерпретацию в терминах простых общеупотребительных характеристик звеньев управляемых системы; в частности, речь идет о передаточных функциях и частотных характеристиках линейных звеньев и простых числовых характеристиках ги-стерезисных нелинейностей. Отметим, что при анализе управляемых систем не играют роли "энергетические" соображения, столь важные при анализе систем, имеющих чисто механическое или физическое происхождение.

Актуальна проб.тема разработки общих операторных методов исследования задач о свободных и вынужденных колебаниях, учитывающих специфику уравнений со сложными гистерезисными нелинейностями. К этой проблеме относится паправление, развиваемое в диссертации.

Цель работы. Разработка новых операторных методов исследования задач о периодических колебаниях, приспособленных для анализа систем со сложными гистерезисными нелинейностями. Получение конкретных признаков существования периодических решений и циклов. Изучение условий существования континуумов периодических колебаний и разработка методов исследование структуры таких континуумов.

Анализ общих асимптотических свойств операторов сложных гистерезис-ных нелинейностей. Выяснение роли в задачах о существовании и устойчивости периодических колебаний свойства асимптотической однородности и свойств типа конвергентности операторов вход-выход и вход-состояние при входах из различных частных классов, а также роли специальных частных классов состояний.

Разработка новых методов, позволяющих получить признаки существования и асимптотической устойчивости периодических колебаний в системах со сложными гистерезисными нелинейностями, близких к резонансным линейным системам. Изучение задач о бифуркациях Андронова-Хопфа и родственных проблем, задач о бифуркациях вынужденных колебаний. Изучение условий существования циклов в автономных системах управления с основной линейной резонансной частью.

Методы исследования. В работе использованы методы математической теории гистерезисных нелинейностей, общие методы нелинейного функционального анализа (вращение векторного поля, вариационный метод, методы монотонных и вогнутых операторов в полуупорядоченных пространствах с конусом и др.), методы теории управления (импульсно-частотных характеристик, гармонического баланса), теории дифференциальных уравнений и теории колебаний.

Научная новизна. Введены и изучены новые классы операторов, описывающих периодические реакции сложных гистерезисных нелинейностей на периодические входы. Разработана схема использования этих операторов, позволяющая заметить и доказать существование континуумов периодических режимов у замкнутых систем и изучить структуру таких континуумов.

Предложены признаки нового типа существования периодических колебаний и их континуумов в автономных и неавтономных системах с гистерезис-ными нелинейностями. В том числе, предложен метод исследования задач о существовании циклов в автономных системах с основной линейной резонансной частью и теоремы о существовании континуумов циклов в малых окрестностях положений равновесия автономных систем. Разработана схема применения вариационных методов в задачах о вынужденных колебаниях.

Исследованы модели сложных гистерезисных нелинейностей с векторно-значными входами и выходами. В пространствах состояний гистерезисных нелинейностей типа континульных наборов векторных неидеальных реле (нелинейности Маергойза) выделены специальные классы нормальных состояний; изучена роль таких классов в различных задачах о колебаниях в замкнутых системах. Решена задача о построении компенсаторов (обратных гистерезис-ных нелинейностей) для гистерезисных нелинейностей Мроза.

Изучены свойства асимптотической однородности операторов вход-выход и свойства типа конвергентности операторов вход-состояние сложных гисте-резисных нелинейностей. Указаны методы использования этих свойств при вычислении топологических характеристик операторов периодических задач и при анализе устойчивости периодических решений. Получены условия асимптотической устойчивости больших по амплитуде колебаний при бифуркациях в автономных и неавтономных системах. Разработаны алгоритмы определения точек бифуркации Андронова-Хопфа по характеристикам нелинейностей в системах с независящей от параметра главной линейной частью.

Практическая и теоретическая ценность. Работа теоретическая. В ней проведен анализ функционирования замкнутых систем, содержащих сложные гистерезисные нелинейности, разработаны методы исследования периодических процессов в таких системах, изучены задачи о существовании периодических колебательных режимов и их континуумов, устойчивости колебаний, бифуркациях и др. Развитые в работе методы могут быть использованы при исследовании конкретных классов уравнений и систем с гистерезисом различного типа.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на IV Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 1996 г.), на международных конференциях GAMM по прикладной математике и механике в 1997 г. (г. Регенсбург, Германия) и 1999 г. (г. Метц, Франция), международной конференции "Системы с гистерезисом" (г. Берлин, 1999 г.), конференции Понтрягинские чтения - XII "Современные методы в теории краевых задач" (г. Воронеж, 2001 г.), конференции "Геометрические методы нелинейного анализа и динамика полупроводниковых лазеров" (г. Корк, Ирландия, 2001 г.), Первой конференции SIAM-EMS (г. Берлин, 2001 г) и других конференциях. Результаты обсуждались на научных семинарах в Институте проблем передачи информации РАН, Институте проблем управления РАН, Московском институте электроники и математики. Московском авиационном институте. Университете г. Регенсбург (Германия), Институте Вейерштрасса прикладного анализа и стохастики (г. Берлин, Германия), Техническом университете г. Мюнхен (Германия), Университете г. Тренто (Италия), Университете Куинсленд (г. Брисбен, Австралия).

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 20 научных статей.

Личный вклад. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно и опубликованы в статьях [211-218,225-227]. Часть результатов получена совместно с М.А. Красносельским, а также с A.M. Красносельским и П.Крейчи [219,221,228,232,233].

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 261 странице, состоит из введения, трех глав, содержащих 14 параграфов, 12 ри

1. Александров U.C. Комбинаторная топология. М.: Гостехиздат, 1947.

2. Андронов A.A., Баутин H.H. Об одном вырожденном случае общей задачи прямого регулирования. // ДАН СССР. 1945. Т. 46. ЯЛ7.

3. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.; Наука, 1981.

4. Аносов Д.В. Об устойчивости положения равновесия релейных систем. // Автоматика и телемеханика. 1959. .УЛ2. С. 135-150.

5. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

6. Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. М.: Наука, 1985.

7. Барабанов Н.Е., Якубович В.А. Абсолютная устойчивость систем регулирования с одной гистерезисной нелинейностью. // Автоматика и телемеханика. 1979. Ш2. С. 5-12.

8. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

9. Беллман Р. Теория матриц. М.: Наука, 1969.

10. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972.И. Блиман H.A. Красносельский A.M. Критерий Попова в задаче о вынужденных колебаниях в системах управления. // Автоматика и телемеханика. 1998. ЯЛ4. С. 3-14.

11. Бобылев H.A. О построении правильных направляющих функций. // Доклады АН СССР. 1968. Т189. Ш. С. 265-266.

12. Бобылев H.A., Емельянов СВ., Коровин С.К. Об одном свойстве устойчивых систем. // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33. 1УЛЦ. С. 14701473.

13. Бобылев H.A., Емельянов C.B., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных задачах. М: "Магистр", 1998.

14. Бобылев H.A., Коровин С.К. Предельные циклы автономных систем. // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. №8. С. 1143.

15. Бобылев H.A., Коровин С.К. Теоремы родственности в теории нелинейных колебаний. Сборник "Методы анализа нелинейных систем". М.: Диалог-МГУ, 1997.

16. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

17. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972.

18. Вайнберг М.М., Треногий В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

19. Владимиров A.A. Запоминающие свойства гистерезисных сред. // Автоматика и телемеханика. 1997. JYA3.

20. Владимиров A.A., Клепцын А.Ф. О некоторых гистерезисных звеньях. // Автоматика и телемеханика. 1982. JYA7. С. 165-169.

21. Владимиров A.A., Козякин B.C., Покровский A.B. Абсолютная диссипа-тивность систем с гистерезисом. В кн.: Прикладные методы функционального анализа. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1985. С. 32-40.

22. Владимиров A.A., Красносельский A.M., Покровский A.B. Усредненные и предельные гистерезисные нелинейности. // Укр. мат. журнал. 1987. Т. 39. т. 39-45.

23. Владимиров A.A., Красносельский М.А., Черноруцкий В.В. Задача Коши для систем с гистерезисом. // ДАН. 1993. Т. 333. К'-З. С. 285-287.

24. Вонсовский СВ. Магнетизм. М.: Наука, 1971.

25. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления. М.: Энергия, 1980.

26. Воронов A.A. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость. М.: Наука, 1979.

27. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. A4.: Наука, 1967.

28. Велиг А.Х., Леонов В.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

29. Гильман Т.е., Покровский A.B. Вынужденные колебания систем с простейшими гистерезисными нелинейностями. // Доклады АН СССР. 1982. Т. 262. №3. С. 437-440.

30. Давидснков H.H. О рассеянии энергии при вибрациях. // Журнал теоретической физики. 1938. Т. 8. Ш. С. 37-69.

31. Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: входо-выходные соответствия. М.: Наука, 1983.

32. Дезоер Ч., Заде Л. Теория линейных систем (метод пространства состояний). М.: Наука, 1970.

33. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

34. Забрейко П.П., Красносельский М.А., Лифшиц Е.А. Осциллятор на упруго-пластическом элементе. // Доклады АН СССР. 1970. Т. 190. JVA2. С.217-220.

35. Ишлинский А.Ю. Обш,ая теория пластичности с линейным упрочнением. // Украинский математический журнал. 1954. Т. 6. NAS. С. 430-441.

36. Ишлинский А.Ю. Пластичность. В кн.: Механика в СССР за 30 лет. М.;Л.: Ростехиздат, 1950.

37. Ишлинский А.Ю. Некоторые применения статистики к описанию законов деформирования тел. // Изд. АН СССР. ОТН. 1944. KA9. С. 580-590.

38. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Об учете микронапряжений в теории пластичности. // Механика твердого тела. 1968. .№3. С. 17-32.

39. Калман Р., Фалб П., Арбиб А. Очерки по математической теории систем. М.: Наука, 1973.

40. Канторович Л.В., Акилов Т.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

41. Като Т. Теория возмугцений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

42. Клепцын А.Ф., Покровский A.B. Виброкорректность некоторых гистере-зисных звеньев. // Динамика неоднородных систем. Материалы семинара. М.: ВНИИСИ. 1982. С. 62-69.

43. Клепцын А.Ф., Козякин B.C., Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Покровский A.B., Владимиров A.A. Векторные гистерезисные нелинейности типа Мизеса-Треска. // ДАН СССР. 198Р Т. 257. С. 506-509.

44. Козякин B.C., Красносельский М.А. Метод функционализации параметра в задаче о точках бифуркации. //ДАН СССР. 1980. Т. 254.Wb. С. 1061-1064.

45. Козякин B.C., Красносельский М.А., Покровский A.B. Виброустойчивые гистероны. // Доклады АН СССР. 1972. Т. 206. Ш. С. 800-803.

46. Кравченко A.A. О модели Кадашевича Новожилова гистерезисных нели-нейностей. В кн.: Методы исследования нелинейных систем управления. М.: Наука, 1982. С. 43-48.

47. Красносельский A.M. Асимптотика нелинейностей и операторные уравнения. М.: Наука, 1992.

48. Красносельский A.M., Красносельский М.А. Циклы больших амп.литуд в автономных системах с гистерезисом. // Доклады АН СССР. 1985. Т. 283. т. С. 23-26.

49. Красносельский A.M., Красносельский М.А., Покровский A.B. О приложениях метода направляющих потенциалов к системам с гистерезисом. В кн.: Динамика неоднородных систем. Москва, ВНИИСИ, 1984.

50. Красносельский М.А. Топо.логические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гос. издат. техн. теор. лит., 1956.

51. Красносельский М.А. По.ложительные решения операторных уравнений. М.: Гос. издат. физ. мат. лит., 1962.

52. Красносельский М.А. Оператор сдвига по по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

53. Красносельский М.А. Математическое описание колебаний материальной точки на унругопластическом элементе. В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными. М.: Наука, 1970, С. 146-149.

54. Красносельский М.А. Уравнения с гистерезисными нелинейностями. В кн.: VII Internationale Konferenz über nonlineare Schwingungen. Berlin, Akademie-Verlag, 1977, P. 437-458.

55. Красносельский М.А., ВайниккоГ.М., ЗабрейкоП.П., РутицкийЯ.Б., Стеценко В.Я. Приб.пиженное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

56. Красносельский М.А., Даринский В.М., Ем.елин И.В., Забрейко П.П., Лифшиц Е.А., Покровский A.B. Оператор гистерант. // Доклады АН СССР. 1970. Т. 190. т. с. 29-33.

57. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

58. Красносельский М.А., ЗабрейкоП.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.

59. Красносельский М.А., Кузнецов H.A., Юмагулов М.Е. Локализация и построение цик.лов при бифуркации Хопфа в бесконечности. // ДАН. 1995. Т. 344. т. с. 446-449.

60. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев A.B. Позитивные линейные системы. А4етод положительных операторов. М.: Наука, 1985.

61. Красносельский М.А., Перов А.И. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений. // Доклады АН СССР. 1958. Т. 123. №2. С. 235-238.

62. Красносельский М.А., Покровский A.B. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983.

63. Красносельский М.А., Покровский A.B. Периодические колебания в системах с релейными нелинейностями. // Доклады АН СССР. 1974. Т. 216. JVA4. С.733-736.

64. Красносельский М.А., Покровский A.B. Моделирование преобразователей с гистерезисом континуальными системами реле. // Доклады АН СССР. 1976. Т. 227. т. С. 547-550.

65. Красносельский М.А., Покровский A.B. Метод блок-схем в математическом моделировании систем со сложными нелинейностями. // Тр. VIII конгресса ИФАК. Киото, 1981. С. 88-97.

66. Красносельский М.А., Покровский A.B. Колебания в системах со сложными нелинейностями. В кн.: Тр. IX Международной конференции по нелинейным колебаниям. Киев: Изд-во АН УССР, 1981. Т 1. С. 140-152.

67. Красносельский М.А., Покровский A.B. Операторы задачи о вынужденных колебаниях в системах с гистерезисом. // Доклады АН СССР. 1992. Т 334. т. С. 540-543.

68. Красносельский М.А., Стрыгин В.В. О некоторых признаках существования периодических решений у обьжновенных дифференциальных уравнений. // Доклады АН СССР. 1964. Т 156. №5. С. 1022-1024.

69. Красносельский М.А., Стрыгин В.В. О вычислении врагцения вполне непрерывных векторных полей, связанных с задачей о периодических решениях дифференциальных уравнений. // Доклады АН СССР. 1963. Т15 2. т. С. 540-543.

70. Крейн М.В., Вутман М.А. Линейные операторы, оставляюш;ие инвариантным конус в пространстве Банаха. // Успехи мат. наук. 1948. Т. 3. JYA1. С. 3-95.

71. Кузнецов H.A., Матвеенко Н.И., Юмагулов М.В. Признаки суб- и суперкритичности в задаче о бифуркации Хопфа и задачи односторонней бифуркации. // Автоматика и телемеханика. 1998. №12, С. 51-59.

72. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988.

73. Кунаев A.B. Достаточный признак суш,ествования правильной направляющей функции для класса систем дифференциальных уравнений. В кн.: Прикладные методы функционального анализа. Воронеж, 1985. С. 100-110.

74. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. Теоретическая физика. Т. VII. М.: Наука, 1989.

75. Леонов В.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний I, П. С.-П.: Изд-во С.-Петербургского университета, 1992.

76. Леонтович Е.А., Шильников Л.П. Современное состояние теории бифуркаций динамических систем. Качественные методы теории нелинейных колебаний. Киев: Изд-во Института математики АН УССР, 1970.

77. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.

78. Лурье А.И., Чекмарев А.И. Вынужденные колебания в нелинейной системе с характеристикой, составленной из двух прямолинейных отрезков. // Прикл. матем. и мех. 1938. Т. 1. №3.

79. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Госте-хиздат, 1956.

80. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

81. Матвеенко Н.И. Метод интегральных операторов в задаче о признаках и типе бифуркации Хопфа. // Известия РАЕН. 2000, Т 4. ЯА1-2. С. 170-198.

82. Мееров М.В. и др. Многосвязные системы управления. М.: Наука, 1990.

83. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем. М.: Мир, 1978.

84. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жестко-пластических сред. М.: Наука, 1981.

85. Мухаммадиев Э.М. О построении правильной направляющей функции для системы дифференциальных уравнений. // Доклады АН СССР. 1970. Т190. ЖА4. С. 777-779.

86. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

87. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.; Наука, 1981.

88. Неймарк Ю.И. О периодических движениях релейных систем. В кн.: Памяти А.А.Андронова. М.: Изд-во АН СССР, 1955.

89. Нетушил А.В. Нелинейное звено типа упор. // Автоматика и телемеханика. 1968. т. С. 175-179.

90. Новожилов В.В. О сложном нагружении и перспективах феноменологического подхода к исследованию микронапряжений. // Прикладная математика и механика. 1964. Т 28. АзЗ. с. 768-773.

91. Палъмов В.А. Об одной модели сложной среды. // Прикладная математика и механика. 1969. Т. 33. Ш. С. 733-768.

92. Налимов В.А. Колебания упругопластических тел. М.: Наука, 1976.

93. Первозванский A.A. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.

94. Перов А.И. Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1959.

95. Писаренко Г.С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала. Киев: Изд-во АН УССР, 1970.

96. ПлиссВ.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.;Л.: Наука, 1964.

97. Плисе В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977.

98. Покровский A.B. Об обш,их системах и системах с пространством состояний. // Автоматика и телемеханика. 1979. №4. С. 36-41.

99. Покровский A.B. К теории гистерезисных нелинейностей. // ДАН СССР. 1973. Т. 210. т. С. 1284-1288.

100. Покровский A.B. Абсолютная диссипативгость сисем с гистерезисом. В кн.: Прикладные методы функционального анализа. Воронеж, ВРУ, 1985.

101. Привалъский В.Б. О моделях Нетушила. В кн.: Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль: Изд-во Ярославского гос. университета, 1978. С. 179-189.

102. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973.

103. Возенвассер E.H. Колебания нелинейных систем. Метод интегральных уравнений. М.: Наука, 1969.

104. Возенвассер E.H., Воловодов С.К. Операторные методы и колебательные процессы. М.: Наука, 1985.

105. Возо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971.

106. Севастьянова Е.В. О возмущении систем с гистерезисными нелинейно-стями. // Автоматика и телемеханика. 1986. J\'A4. С. 24-32.

107. Фельдбаум A.A. Простейшие релейные системы автоматического регулирования. // Автоматика и телемеханика. 1949. JYA10.

108. Филиппов А.Ф. Условия устойчивости однородных систем с произвольными переключениями ресурсов. // Автоматика и телемеханика. 1980. JYA18. С. 48-55.НО. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

109. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

110. Хэссард В., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985.ИЗ. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974.

111. Юмагулов М.Г. Метод функционализации параметра в задаче приближенного расчета малых автоколебательных режимов. // Автоматика и телемеханика. 1988. то. С. 76-84.

112. Юмагулов М.Р. Метод функционализации параметра в итерационных процедурах исследования бифуркации Хопфа для уравнений с последействием. // ДАН. 1993. Т33 1. т. С. 24-27.

113. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости. В кн.: Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987.

114. Якубович В.А. Автоколебания в системе с разрывными и гистерезисными нелинейностями. // Автоматика и телемеханика. 1975. JYA12. С. 51-65.

115. Andronov A.A., Witt А. Sur la théorie mathématiques des autooscillations. // C. R. Acad. Sci. Paris. 1930. V.190. P. 256-258.

116. Bennewitz К. Uber elastische Nachwirkung, elastische Hysteresis und Innere Reibung. // Zeitschrift für Physik. 1924. B.25. H.7. S. 417-485.

117. Berliner S. Uber das Verhalten des Gußeisens bei langsamen Belastungswechseln. // Ann. Phys. 1906. B.20. S. 527-562.

118. Besseimg J.F. A theory of elastic, plastic and creep deformations of an initially isotropic material showing anisotropic strainhardening, creep recovery and secondary creep. // J. Appl. Mech. 1958. V.25. R 529-536.

119. Bliman B.A., Kra.snoseVskii A.M., Sonne M., Vladimirov A.A. Nonlinear resonance in systems with hysteresis. // Nonhnear Anal. 1996. V. 27. jYA5. R 561-577.

120. Bliman P.A., Sorine M. Friction modeling by hysteresis operators. Application to Dahl, stiction and Stribeck effects. In: Models of hysteresis. Longman, Harlow, 1993. P. 10-19.

121. Bobylev A.I., Burman Yu.M., Korovin S.K. Approximation procedures in nonlinear oscillation theory. Ser. Nonlinear Analysis and Applications. V. 2. W. de Gruyter, Berlin New York, 1994.

122. Boltzman L. Zur Theorie der elastischen Nachwirkung. Wien Akad. Sitzber. 1874. B70. H2. S. 275-306.

123. Brokate M. Some BV properties of the Preisach hysteresis operator. // Appl. Anal. 1989. V.32. P. 229-252.

124. Brokate M. Some mathematical properties of the Preisach model for hysteresis. // IEEE Trans. Magnetics MAG-25. 1989. P. 2922-2924.

125. Brokate M. On the moving Preisach model. // Math. Meth. in the Appl. Sci. 1992. V.15. P. 145-157.

126. Brokate M., Collins J., Bokrovskii A.V., Stagnitti P. Asymptotically stable almost periodic oscillations in systems with hysteresis nonlinearities. // Z. Anal. Anwend. 2000. V. 19. №-2. P. 469-487.

127. Brokate M., Dressier K., Krejci B. On the Mroz model. // Eur. J. Appl. Math. 1996. V.7. 473-497.

128. Brokate M., Dressier K., Krejci P. Rainflow counting and energy dissipation for hysteresis models in elastoplasticity. // Preprint Series Math. Seminars. Universität Kiel. 1995. №3.

129. Brokate M., Dressier K., Krejci P. The Mroz model: a hysteresis operator for rate-independent plasticity. In: Nonlinear Analysis. Proc. First world congr. of nonlinear analysts. Berhn, de Gruyter, 1996. P. 797-806.

130. Brokate M., Krejci P. Wellposedness of kinematic hardening models in elastoplasticity // Math. Model. Numer. An. 1998. V.32. W2. 177-209.

131. Brokate M., Sprekels J. Hysteresis and phase transitions. Springer, New York, 1996.

132. Brokate M., Visintin A. Properties of the Preisach models for hysteresis. // J. Reine Angew. Math. 1989. V.402. P. 1-40.

133. Chow S.N., Hale J.K. Methods of bifurcation theory. Springer, New York, 1982.

134. Coleman B.D., Hodgdon M.L. On a class of constitutive relations for ferromagnetic hysteresis. //Arch. Rational A/Iech. Anal. 1987. V. 99. P. 375.

135. Delia Torre E. Effect of interaction on the magnetization of single domain particles. // IEEE Trans. Audio Electroacoustics. 1966. AU-14. P. 86-93.

136. Drdbek P., KrejciP., Takdc P. Nonlinear differential equations. Chapman & Hall, London, 1999.

137. Everett D.H. A formal treatment of the independent domain model of hysteresis. // Trans. Faraday Soc. 1954. V.50. P. 1077-1096.

138. Everett D.H., Smith. P.W. Development of the domain theory. // Trans. Faraday Soc. 1954. V.50. R 187-197.

139. Giltay J. On ferromagnetic states. // Appl. Sci. Res. 1951. V.2. P. 199-215.

140. Glober J. Hopf bifurcation at infinity. // Nonlinear Analysis. 1989. V.U. R 1393-1398.

141. Golomb M. Zur Theorie der nichtlinearen Integralgleichungen, Integralgleichungssysteme und allgemeinen Funktionalgleichungen. // Math. Zeitschrift. 1935. V.39. R 45-75.

142. Gröger G. Zur Theorie des quasistatischen Verhaltens von elastischplastischen Körpern. // Zeit. Angew. Math. Mech. 1978. B.58. H. 1. S. 78-85.

143. Gröger G. Zur Theorie des dynamischen Verhaltens von elastisch-plastischen Körpern. // Zeit. Angew. Math. Mech. 1978. B.58. H.H. S.36-41.

144. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. Appl. Math. Sci . V. 42. Springer, New York, 1990.

145. Hale J., Lunel S.M.V. Introduction to functional differential equations. Springer, Berlin 1993.

146. Hammerstein A. Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen. // Acta Math. 1930. V.54. R 117-176.

147. Hayashi G.H. The influence of hysteresis on nonlinear resonance. // J. of Franklm Inst. 1966. V28 1. R 379-386.

148. Hilpert M. On uniqueness for evolution problems with hysteresis. In: Mathematical models for phase change problems. Basel, Birkhäuser, 1989. P. 377-388.

149. Hoffmann K.H., Meyer G.H. A least squares method for finding the Preisach hysteresis operator from measurements. // Numer. Math. 1989. V. 55. P. 695710.

150. Hoffmann K.H. Spreckels J., Visintin A. Identification of hysteresis loops. // J. Comp. Phys. 1988. V.78. P. 955-976.

151. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Lösung von einer stationären Lösung eines Differential Systems. // Ber. Math. Phys. Sachsische Ac. der Wiss. Leipzig. 1942. V. 94. P. 1-22.

152. Huo Y. A mathematical model for the hysteresis in in shape memory alloys. // Continuum Mech. Thermodyn. 1989. V. 1. P. 283-303.

153. Hütter T. Ein Verfahren zur näherungsweisen Berechnung des Preisachoperators mit Anwendungen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. // Preprint £A31. TU Berlm. 1991.

154. Ivshin Y., Pence T.J. A constitutive model for hysteretic phase transition behavior. // Int. J. Eng. Sei. 1997. V.32. №4. P. 681.

155. Kenmochi N. Visintm A. Asymptotic stability for nonlinear PDE's with hysteresis. // European J. Appl. Math. 1994. V. 5 P. 39-56.

156. Kenmochi N., Visintm A. Asymptotic stability for parabolic variational inequalities with hysteresis. In: Models of hysteresis. Longman, Burnt Mill, Harlow, 1994. P. 59-70.

157. Khalil H.K. Nonlinear systems. Macmihan Publishing Co., 1992.

158. Knobloch E., Proctor M.R.E. The double Hopf bifurcation with 2:1 resonance. // Proc. R. Soc. London A. 1988. V415. R 61-90.

159. Kolmanovski. V.B., Mishkis A.D. Functional differential equations. Applied series. Kluwer Academic Publishers, Boston Dordrecht - London, 1992.

160. Krasnosel'skii A.M., Krasnosel'skii M.A. On some class of equations with potential operators. // Note di Matemática. 1991. Vil. P. 237-245.

161. KrasnoseVskii A.M., KrasnoseVskii M.A., Mawhin J., Pokrovskii A.V. Generalized guiding functions in a problem on high frequency forced oscillations. // Nonlinear Analysis. 1994. V. 22. P. 1357-1371.

162. KrasnoseVskii M.A., Chernorutskii V.V. Hysteresis systems with variable characteristics. // Nonlinear Analysis. 1992. V. 18. №6. P. 543-557.

163. KrasnoseVskii M.A., Mayergoyz I.D., Rachinskii D.I., Yumagulov M.G. New problems in systems with hysteresis. // ZAMM. 1996. V.76. №2. P. 317-320.

164. Krejci P. Hysteresis, convexity and dissipation in hyperbolic equations. Gakkotosho, Tokyo, 1996.

165. Krejci P. Hysteresis memory preserving operators. // Applications Math. 1991. V.36. IA4. P. 305-326.

166. Krejci P. Periodic solutions to a parabolic equation with hysteresis. // Math. Z. 1987. V.194. P. 61-70.

167. Krejci P. Forced periodic vibrations of an elastic system with elastico-plastic damping. // Apl. Mat. 1988. V. 33. P. 145-153.

168. Krejci P. On Ishlinskii's model for non-perfectly elastic bodies. // Apl. Mat. 1988. V.33. P. 133-144.

169. Krejci P. Vector hysteresis models. // European J. Appl. Math. 1991. V. 2. P. 281-292.

170. Kuznetsov Yu.A. Elements of applied bifurcation theory. Springer, New York, 1998.

171. Lagoudas D., Bhattacharyya A. On the correspondence between microme-chanical models for shape memory alloys and the Preisach model for hysteresis. // Math. Mech. Solids. 1997. V 2. P. 405-440.

172. Lemaitre J., Chaboche J.L. Mechanics of solid materials. Cambridge University Press, 1990.

173. Little T.D., Showalter R.E. Semilmear parabolic equations with Preisach hysteresis. // Diff. Integral Eq. 1994. V. 7. P. 1021-1040.

174. Macki J. W., Nistn P., Zecca P. Mathematical models for hysteresis. // SI AM Review. 1993. V.35. P. 94-123.

175. Madelung E. Über Magnetisierung durch schnehverlaufende Ströme und die Wirkungsweise der Rutherford-Marconischen Magnetdetektors. /'/ Ann. Physik. 1905. B.17. H.5. S. 861-890.

176. Ma whin J. Topological degree methods in nonlinear boundary value problems. Providence RI. CMBS Reg. Conf. in Math. V.40. AMS. 1979.

177. Mawhin J., Willem M. Critical point theory and Hamiltonian systems. Springer, Berlin, 1989.

178. Maxwell J. On the dynamical theory of cases. // Philos. Trans. London. 1867. V. 157. m. R 49-88.

179. Mayergoyz ED. Mathematical models of hysteresis. Springer, Berhn, 1991.

180. Mayergoyz ED. Mathematical models of hysteresis. // Phys. Rev. Letters. 1985. V.56. R 1518-1521.

181. Mayergoyz ED., Friedman G. Isotropic vector Preisach model of hysteresis. // J. Appl. Phys. 1987. V.61. R 4022-4024.

182. Mayergoyz ED., Friedman G. Generalized Preisach model of hysteresis. // IEEE Trans. Magn. 1988. V. 24. R 212-217.

183. MeesA.E Dynamics of feedback systems. J. Wiley&Sons, New York, 1981.

184. Mroz Z. On the description of anisotropic workhardening. //J. Mech. Phys. Solids. 1967. JA15. R 163-175.

185. Müller/. Xu H. On the pseudo-elastic hysteresis. // Acta Metall. 1991. V. 39. R 263-271.

186. Ortin J. Preisach modeling of hysteresis for a pseudoelastic single cristal. // J. Appl. Phys. 1992. V.71. P.1454-1461.

187. Poincare H. Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste.,V. 1. Paris, 1892.

188. Prager W. On ideal locking materials. //Soc. Rheology. 1957. V. 1. P. 169-175.

189. Prandtl L. Ein Gedankenmodell zur kinetischen Theorie der festen Körper. // ZAMM. 1928. №8. R 85-106.

190. Preisach F. Über die magnetische Nachwirkung. // Z. Physik. 1935. V. 94. №5. R 277-302.

191. Saint- Venant M. Sur les equations du mouvement intérieur du solides ductiles. // J. Math. Pures Appl. 1871. V.16. R 373-382.

192. Seidman T. Switching systems. // Control Cybernet. 1990. V. 19. P. 63-92.

193. Shilmkov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D. V., Chua L.O. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Part I. World Scientific Series on Nonlinear Science. World Scientific Pubhshing Co., River Edge, 1998.

194. Tao G., Kokotovic P. Adaptive control of plants with unknown hysteresis. // IEEE Trans. Automatic Control AC-40. 1995. P. 200-212.

195. Vajda P., Delia Torre E. Properties of magnetic hysteresis models. In: Models of hysteresis. Longman, Burnt Mih, Harlow, 1993. P. 10-19.

196. Vajda F., Delia Torre E., Pardavi-Horvath M. Analysis of reversible magnetization-dependent Preisach models for recording media. / / J . Magn. Mag. Mat. 1992. V.115. R 187-189.

197. Verdi C, Visintin A. Numerical aspects of parabolic free boundary and hysteresis problems. In: Phase transitions and hysteresis. Springer, Berlin, 1994. R 213-284.

198. Verdi C., Vismtin A. Numerical approximation of the Preisach model for hysteresis. // Math. Modelling and Numer. Anal. 1989. V. 23. P. 335-356.

199. Vidyasagar M. Nonlinear system analysis. Prentice Hall, Engl. Cliffs, 1993.

200. Visintin A. Differential models of hysteresis. Springer, Berlin, 1994.

201. Visintin A. (ed.). Phase transitions and hysteresis. Lecture Notes in Math. V.1584. Berhn, Springer, 1994.

202. Visintin A. On the Preisach model for hysteresis. // Nonlinear Anal. 1984. V.9. R 977-996.

203. Visintin A. Rheological models and hysteresis effects. // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1987. V. 77. R 213-241.

204. Volterra V. Sur la théorie mathématique des phénomenas héreditires. // J. Math. Pures Appl. 1928. V . l . R 249-298,

205. Wazewski T. Sul la limitation des intégrales des systems d'équations difîeren-tiehes linéaires ordinaires. // Studia Math. 1948. V. 10. P. 48-59.

206. Zadeh L., Polak E. System theory. McGrow Hill Book Co., New York, 1969.

207. Zeidler E. Applied functional analysis: main principles. Ser. Appl. Math. Sciences. V. 109. Springer, Berlin New York, 1993.

208. Рачинский Д.И. Переход к нормальным состояниям в общих континуальных системах реле. // Доклады АН СССР. 1994. Т. 338. №4. С. 457-460.

209. Рачинский Д.И. Вынужденные колебания в системах управления в условиях близких к резонансу. // Автоматика и телемеханика. 1995. №11. С. 8798.

210. Рачинский Д.И. О задаче Коши для дифференциальных уравнений с гистерезисной нелинейностью Мроза. // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33. Ш. С. 1041-1048.

211. Рачинский Д.И. О неподвижных точках слабо вогнутых операторов. // Доклады Академии наук. 1998. Т. 360. №2. С. 171-174.

212. Рачинский Д.И. О компенсаторах гистерезисных нелинейностей А.Ю.Ишлинского. // Доклады Академии наук. 1998. Т. 363. №2. С. 166-169.

213. Рачинский Д.И. Эквивалентные соединения упоров. // Автоматика и телемеханика. 1998. №10. С. 24-34.

214. Рачинский Д.И. Челночные итерации в задачах с немонотонными нели-нейностями. // Доклады Академии Наук. 2000. Т. 375. №1. С. 17-20.

215. Рачинский Д.И. Об одном признаке существования колебаний в системах с гистерезисом. // Известия РАЕН. 2000. Т. 4. №1-2. С 235-248.

216. Красносельский М.А., Рачинский Д.И. Инвариантные выпуклые классы состояний континуальных систем реле. // Автоматика и телемеханика. 1994. №10. С. 17-26.

217. Красносельский М.А., Рачинский Д.И., Юмагулов М.Р. Бифуркация Хопфа для автономных систем с гистерезисом. // Доклады Академии наук. 1997. Т. 355. №4. С. 446-449.

218. Красносельский A.M., Рачинский Д.И. О континуумах циклов в системах с гистерезисом. // Доклады Академии наук. 2001. Т. 378. №3. С. 314-319.

219. Красносельский A.M., Рачинский Д.И. О гамильтоновости систем Лурье. // Автоматика и телемеханика. 2000. №8. С. 23-27.

220. Красносельский A.M., Рачинский Д.И. Существование континуумов циклов в автономных гамильтоновых системах управления. // Автоматика и телемеханика. 2001. №2. С. 65-74.

221. Рачинский Д.И., Тронель Ж. Новые теоремы о периодических колебаниях в системах с запаздыванием, близких к резонансу. // Доклады Академии наук. 1997. Т. 355. Ш. С. 313-316.

222. Rachinskii D.I. Multivalent guiding functions in forced oscillation problems. // Nonlinear Analysis. 1996. V. 26. №3. P. 631-639.

223. Rachinskii D.I. AsAAmptotic stability of large-amplitude oscillations in systems with hysteresis. // Nonlinear Differential Equations Appl. 1999. V. 6. №3. P. 267-288.

224. Rachinskii D.I. Iteration procedures of shuttle iteration type in continuous nonmonotone problems. / / J . Applied Analysis. 2001. V. 20. Ш. P. 1031-1054.

225. Brokate M., Krejci P., Rachinskii D.I. Some analytical properties of the multidimensional continuous Mroz model of plasticity. // Control and Cybernetics. 1998. V.27. №2. P. 199-215.

226. Chcrnorutskii V. V., Rachinskii D.I. On uniqueness of an initial-value problem for ODE with hysteresis. // Nonlinear Differential Equations Appl. 1997. V. 4. m. P 391-399.

227. Diamond P., Rachinskii D.I., Yumagulov M.G. Stability of large cycles in a nonsmooth problem with Hopf bifurcation at infinity. // Nonlinear Analysis. 2000. V.42. m. p. 1017-1031.

228. KrasnoseVskii A.M., Rachinskii D.I. Hopf bifurcations from infinity generated by bounded nonlinear terms. // Funct. Diff. Equ. 1999. V. 6. №3-4. P. 357-374.

229. KrasnoseVskii M.A., Mayergoyz I.D., Rachinskii D.I. On canonical states of continual systems of relays. // Z. Angew. Math. Mech. 1995. V. 75. №7. P. 515522.