автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели стабилизации и оптимального функционирования систем с гистерезисными нелинейностями

На правах рукописи

005007434

V

ПРОХОРОВ ДМИТРИЙ МИХАЙЛОВИЧ

Модели стабилизации и оптимального функционирования систем с гистерезисными нелинейностями

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 ЯНВ 2012

Воронеж-2011

005007434

Работа выполнена на кафедре высшей математики Воронежского государственного архитектурно - строительного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор СЕМЕНОВ Михаил Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор СОБОЛЕВ Владимир Андреевич

доктор физико-математических наук, профессор ДАРИНСКИЙ Борис Михайлович

Ведущая организация: ФГУП «Институт точной механики и вычислительной техники имени С.А. Лебедева РАН»

Защита состоится 25 января 2012 года в 15.10 на заседании совета 212.038.20 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет» по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, д.1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Воронежский Государственный университет»

Автореферат разослан «16» декабря 2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, Доцент и С.А. Шабров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Модели процессов и систем прикладных задач физики, теории автоматического регулирования, экономики и т.д. сводятся к системам дифференциальных уравнений, содержащим помимо обычных функциональных нели-нейностей - нелинейности гистерезисной природы (колебания ферромагнитного шарика в магнитном поле; вынужденные колебания физического маятника, управляющим воздействием tía который является выход гистерезисного преобразователя; электромагнитные колебания в контуре, содержащем сегнетоэлектрические конденсаторы; экономические циклы в условиях «гистерезисного» поведения экономических агентов и многие другие). При этом носители гистерезиса, как правило, нельзя рассматривать изолировано, так как они являются частью более сложной системы. Важный класс таких систем составляют управляемые системы и системы автоматического регулирования из различных предметных областей. Гистерезисные преобразователи естественным образом появляются в этих системах как математические модели разнообразных гистерезисных явлений. Возможность изучения таких систем основывается на развитой М.А.Красносельским и А.В.Покровским операторной трактовке гистерезисных преобразователей как операторов, определенных на достаточно богатом функциональном пространстве, зависящих от своего начального состояния как от параметра. Системы с гистерезисными нелинейностями обладают рядом специфических особенностей коренным образом отличающих их от традиционных систем с функциональными нелинейностями. К их числу, в первую очередь, относятся недифференцируемость гистерезисных операторов, необычность фазовых пространств, включающих в себя пространства состояний соответствующих гистерезисных преобразователей, в общем случае не обладающих линейной структурой и некоторые другие. Следовательно, анализ и синтез моделей оптимального функционирования систем с гистерезисными нелинейностями требует разработки новых методов, учитывающих упомянутые выше особенности. Кроме того, как показывают простые примеры, для систем с гистерезисом типична ситуация когда в них принципиально не-реализуемы асимптотически устойчивые режимы, более того зоны притяжения устойчивых решений весьма незначительны, что затрудняет численную реализацию методов их приближенного построения. Это обуславливает необходимость разработки алгоритмов приближенного построения устойчивых решений систем с гистерезисными нелинейностями, обладающих свойством корректности по отношению к малым возмущениям параметров систем. Из немного числа работ посвященных задачам анализа моделей систем с гистерезисными нелинейностями отметим работы А. М. Красносельского, B.C. Козякина, A.B. Владимирова, Д.И. Рачинского. Однако в работах этих авторов рассматривались хотя и важные, но частные случаи. Поэтому актуальной является задача разработки методики построения оптимального управления и стабилизации класса систем с гистерезисными нелинейностями, а также разработки алгоритма приближенного построения их решений.

Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления кафедры Высшей математики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета № г.р. 01200003664.

Цель работы. Разработка численных алгоритмов и аналитических методов анализа функционирования и стабилизации систем с гистерезисными нелинейностями.

Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач:

- построение оптимальной, с точки зрения достижения максимальной прибыли, модели производственно - ценовой стратегии в задаче о производстве, сбыте и хранении продукции в условиях гистерезисной функции спроса;

разработка численного метода и алгоритма приближенного построения корректных по отношению к малым возмущениям параметров устойчивых периодических режимов для класса одноконтурных систем автоматического регулирования с гисте-резисными нелинейностями;

- синтез алгоритма программной стабилизации обратного маятника посредством гистерезисного управления нижней точкой крепления;

- доказательство реализуемости алгоритмов, исследование переходных процессов поведения моделей и свойств приближенных решений;

- разработка комплекса программ для апробации и тестирования предложенных методов и алгоритмов, проведение численных экспериментов.

Объекты исследования - системы с носителями гистерезисных явлений. Предмет исследования - математические модели систем с гистерезисом, алгоритмы, программные методы стабилизации, численные и аналитические методы построения оптимальных переходных процессов в системах с гистерезисом.

Методы исследования. При выполнении работы использовались методы математического моделирования, операторная трактовка гистерезиса, качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического регулирования, нелинейный анализ, численные методы решения дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

- на основе предложенной гистерезисной модели темпа продаж решена задача об оптимальном производстве, сбыте и хранении продукции;

- предложен численный метод приближенного построения корректных по отношению к малым возмущениям параметров вынужденных периодических режимов систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью;

- предложен алгоритм стабилизации перевернутого маятника посредством программного управления, отличающийся наличием гистерезисных свойств управляющего воздействия;

- разработан комплекс программ, реализующий алгоритм расчета оптимальных переходных процессов в задаче о производстве, сбыте и хранении продукции в условиях гистерезисной функции спроса. Получены оценки точности приближенных решений.

Область исследований. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки). Область исследования соответствует п.2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей», п.З «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий», п.5 «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Практическая ценность работы. Результаты работы применимы для анализа и оптимизации класса экономических систем, математические модели которых сводятся к системам дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями. Предложенный алгоритм стабилизации перевернутого маятника с гистерезисным управлением может найти применение для аналогичных задач стабилизации механических, электромеханических и других систем с гистерезисными свойствами. В част-

ности, одной из классических задач теории автоматического регулирования является задача построения вынужденных периодических режимов. Предложенный в работе алгоритм позволяет в случае выполнения легко проверяемых условий строить эти режимы. Причем для приближенных решений выполняются дополнительные условия корректности но отношению к малым изменениям параметров систем.

Разработан комплекс программ численного построения оптимального управления и переходных процессов в задаче о производстве сбыте и хранении продукции, построения приближенных периодических режимов моделей систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями и алгоритм стабилизации обратного маятника посредствам гистерезисного управления.

На защиту выносятся:

- метод оптимизации класса моделей систем с носителями гистерезисных явлений;

- метод приближенного построения корректных периодических режимов для класса моделей систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями;

- алгоритм, комплекс программ и результаты численных экспериментов стабилизации обратного маятника посредством гистерезисного управления.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (XVIII Международный научно-технический семинар, г.Алушта, сентябрь 2009 г.), XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (г.Сочи - Дагомыс, октябрь 2008 г.), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г.Воронеж, декабрь 2008 г.), «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г.Воронеж, апрель 2009 г.), VIII Всероссийская научно-техническая конференция «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования» (г.Тамбов, апрель 2009г.), Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы качественной теории краевых задач - Понтрягинские чтения» (г.Воронеж, май 2009 - 2010 гг.), CMAS 2009 (International Conference on Computational modeling and Advanced simulations, 30 June - 3 July 2009, Bratislava, Slovak Republic), «Кибернетика и высокие технологии XXI века» (XII международная научно-техническая конференция, г.Воронеж, май 2011 г.), на семинарах кафедры Высшей математики ВГАСУ и кафедры нелинейных колебаний ВГУ за 2008 - 2011 гг..

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[10], список которых приведен в конце автореферата. Из них: 2 статьи в научных журналах, включенных в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук».

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, составляют доказательства утверждений о реализуемости и сходимости предложенных алгоритмов, доказательство корректности и устойчивости неподвижных точек интегральных операторов, являющихся периодическими решениями соответствующих дифференциальных уравнений, разработке метода построения оптимального функционирования для класса систем с гистерезисными нелинейностями.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы, включающего 92 наименования, изложена на 137 страницах и включает 18 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведены общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследований, дана информация о научной новизне и практической значимости работы, приводится методика исследований и дано краткое изложение содержания диссертации по главам.

В первой главе, которая носит, в основном, вводный характер, приведены примеры моделей систем из различных предметных областей, динамика которых описывается системами дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями. Формулируется задача об оптимальном производстве сбыте и хранении продукции в условиях гис-терезисной функции спроса, а также классическая задача о стабилизации верхнего положения маятника посредством управления движением нижней точки подвеса. Описаны известные модели гистерезисных преобразователей, используемых в работе - обобщенного люфта, нецдеапьного реле, преобразователя Прейсаха. Следуя классическим схемам М.А. Красносельского и A.B. Покровского, гистерезисные операторы трактуются как преобразователи, определенные на пространстве непрерывных функций, динамика которых описывается соотношения: вход-состояние и состояние-выход.

Для формулировки основных результатов понадобится краткое описание гистерезисных нелинейностей.

Рассмотрим две скалярные строго возрастающие функции co = Gt(x) и оз = (?,(*), заданные всей числовой оси. Будем считать, что обе функции глобально липшицуемы, связаны неравенством G,(x)iGr(*)H множеством их значений является один и тот же промежуток.

Паре G,W, G,(x) поставим в соответствие преобразователь - обобщённый люфт. Множеством возможных состояний этого преобразователя будет объединение n, =nL(G„G,) горизонтальных отрезков, концы которых лежат на о, и о,.

Определим оператор Mm„,G,,G ]

®(/)=LK,G„G.]a:(0 (OSiSO, (1)

ставящий в соответствие каждому непрерывному входу х(<) (/>0) выход к>(/) с помощью следующей трёхэтапной конструкции.

Для монотонных входов х(() положим

( max(w0,Gr [*(*)]), если x(t) не убывает, mintage,[*(<)]). если x(t) не возрастает.

С помощью предельных конструкций и полугруппового тождества этот оператор доопределяется на пространство всех непрерывных входов.

Неидеальное реле - преобразователь R(a, ß) пространством возможных состояний которого С1(а, ß) = Cl(R(a, ß)) является множество точек {и,*} плоскости, лежащих на двух полупрямых: х = 0 при и < ß и х = \ при и > а. Иногда состояние неидеального реле определяют как значение выхода; множество возможных состояний содержит тогда два элемента: 0 и 1. Связь между входом u(t)ес0[0, т] и переменным выходом устанавливается оператором R[«, ß, х0]

x(t) = R[a, ß,x0]u(l), где х0 - начальное состояние преобразователя.

Начальное состояние х0 должно удовлетворять следующим условиям:

если и(0) £ а, то х0=о;

если ы(0) > /?, то *0=i;

если a<u(0)<ß, то = 0 или i0=l-

Динамику входно-выходных соответствий преобразователя неидеалыюго реле иллюстрирует рисунок 1. Рисунок 2 иллюстрирует динамику аналогичного преобразователя с инверсией роли пороговых чисел.

Значение выхода при непрерывном входе и (0 (т0) полностью определяется следующим правилом: выход *(о принимает постоянное значение на замкнутом промежутке [/¡,г2], если либо -г(/,) = 0 и (г) < р при <£[(,,(,], либо *(<,) = 1 и н(/)> р при /е[(„(2]. Сформулированное правило называется принципом отсутствия лишних переключений.

Рис. 1. Множество П(а, ß) возможных Рис.2. Множество П(а, ß) возможных состояний неидеального реле R(a, ß) состояний неидеального реле R(a, ß) с положительным спином с отрицательным спином

Важным свойством неидеалыюго реле является его монотонность по входам: если {и (/„), х0}, {v(i0),y0} е fi(a, ß), х„<у0 и и (г) < v(r) (t > l0),

то ^'о.^а.ЯаМ^ЯК.Л^МО (/><„).

Монотонность по входам можно использовать как основу определения неидеального реле. Для этого нужно вначале определить выходы при монотонных входах. Затем при помощи полугруппового тождества определить выходы при кусочно-монотонных непрерывных входах.

Преобразователем Прейсаха называют континуальный аналог преобразователя, состоящего из неидеальных реле, соединенных параллелыю.

Ниже рассматривается частный класс континуальных систем реле. Пусть на полуплоскости P„fs{a,ß:a<ß) определена мера абсолютно непрерывная относительно лебеговой меры.

Обозначим через у/ класс ограниченных функций, заданных на неотрицательной полуоси и удовлетворяющих условию Липшица с коэффициентом равным единице. Введём в рассмотрение множество О, скалярных функций ш(а,р), заданных на полуплоскости Po ß = {a,ß: a<ß) и таких, что

{О, если a+ß>ij/(ß-a), [ 1, если a + ß <y/(ß-a), где (v) е у/. Множество - пространство возможных состояний преобразователя Прейсаха.

Соотношение вход - переменное состояние преобразователя Прейсаха (Г,£) устанавливается оператором Г.

<o(a,p,t) = Г[а>0]н(0 = R[co0(a,p),a,p)]u(t). (4)

Выход преобразователя (r,f) определяется соотношением:

4(0= J <a(a,pj)J^=MaJ{a,P}:RMa,P),a,P]u(0 = l). (5)

а<р

Во второй главе рассматривается задача об оптимальном управлении для одного класса моделей систем, описываемых уравнениями

х = Ах+уР(х,с) + Ьи, (6)

/>(*,<•) = (х,/)Г[«<0]С (7)

с начальным условием а(0) = 0. Функционал качества определим в виде:

г

J{T) = \[cP(x,c)-(x,l)-u]dt (8)

о

где (■,•) - скалярное произведение в Г,x(t)- переменное состояние объекта управления, вектор-функция со значениями в R" ,y,b,l - фиксированные векторы из Л", А — квадратная матрица размерности их л,

с(1) и и(0- скалярные, управляющие воздействия, удовлетворяющие ограничениям О <u(t)<u0, I\iу0] - гистерезисный преобразователь - преобразователь Прейсаха, носитель меры которого сосредоточен в треугольнике: р>а>0, а<а. Теорема 1. Пусть выполнено неравенство

аТтих\\(1-еА1Т-'))1\\<^3,

0<!<Г

тогда существует единственное оптимальное управление максимизирующее функционал (8).

Частный случай этой задачи соответствует задаче об оптимальном производстве сбыте и хранении продукции: обозначим через количество товара на складе у

производителя, x2{t) - количество товара у потребителя, U(t) - темп производства, P(t) - темп продаж (количество продаж в единицу времени), к/ - коэффициент потребления, кг - коэффициент затрат на хранение единицы товара, с(1) - цена единицы товара.

Динамика изменений введенных величин описывается следующей системой.

xl=U-P, х/0) = 0, (9)

х2=Р-к,х 2, х2(0) = 0, (10)

Темп продаж определим соотношениями:

Р(1) = х{1)\со(аМс1ц. (П)

а</

со(а,р,1) = Г[о>0(ааР)]с(1) (12)

Выбор темпа продаж в рассматриваемой задаче является достаточно важным. В настоящей работе предполагается, что отношение индивидуального потребителя к товару в зависимости от цены, можно охарактеризовать преобразователем аналогичному неидеальному реле (см. рис. 2) тогда для континуума потребителей, темп продаж будет определяться оператором аналогичным преобразователю Прейсаха с инверсией нулей и единиц.

В дальнейшем, будем предполагать, что себестоимость производства товара равна единице. Также будем считать, что темп производства ограничен некоторым максимальным значением Uo, т.е. U(t)efO;U(J. Рассмотрим процесс производства, сбыта и хранения на конечном временном промежутке [0,Т]. Общий доход J(t), с учетом введенных обозначений, определяется равенством:

Щ) = ]<с(0Р(0-Щ0-кгх,0))Л.

(13)

Таким образом задача о производстве, сбыте и хранении продукции сводится к задаче оптимального управления: найти такие функции 11(1), с(!) (1ь[0,Т]), удовлетворяющие системе (9) - (12), при которых функционал (13) максимален. Очевидно, что если 1/(0=0 (производство не включается), то (тривиальное решение). Поэто-

му нужно найти такие ограничения на параметры задачи, при которых ее оптимальное решение отлично от тривиального и такое, что Щ)>0.

Решение этой задачи основывается на принципе максимума Л.С. Понтрягина. Составим функцию Гамильтона.

Н(Х1,х2,Р,Л1.Л2'и'с') = Ми-р') + Л2(р-к1х2) + сР-и-к2х\ =

= [/(А1-1)-/'(Я2-Я,-с)-А:1Л2Л:2-*:2д:1 , (14)

где 4(0,4(0 - сопряженные функции. В силу линейности гамильтониана по II его максимум по этой переменной в зависимости от знака 4(')~1 достигается либо при и=0 либо при и=иа т.е.

[0,4(0-1 < О, [(/„, 4(/)-1 >0.

При фиксированных значениях 4 и 4 тах (14) по с(0 достигается на одном из двух «крайних» состояниях преобразователя (11), (12) показанных на рис. 3, 4 при одном и том же значении цены.

и (0 =

(15)

Р

А

111111 /

11111 /

1111 /

о"оо"7Т

0 0/ I Л| / I

Г ' -►

Рис. 3. Состояние преобразователя Прейсаха при возрастающем входе

Рис. 4. Состояние преобразователя Прейсаха при убывающем входе

Выбор соответствующего состояния осуществляется в зависимости от знака 4 - Л2. Если Л, - А, > 0, то «предпочтительнее» состояние показанное на рис. 3, если выполняется противоположное неравенство, то состояние, показанное на рис. 4, тогда

-(Я, - Я, + ^/(4 -ЪУ + ба2), еатЛ1-Лг> 0, * " (16)

с(1) =

2(4~4) + ал/б

, если 4-4 >0.

При этом функции 4 (г) и Л, (г) должны удовлетворять уравнениям

; _ ен' ; _ дН'

4 - ^ > -Ч - ;

дх, ох,

и граничным условиям Л, (т) = Л, (У) = 0.

Следствием этих соотношений является интегральное уравнение относительно

цены:

(18)

которое имеет единственное решение при условии а7" < л/3.

На следующих рисунках приведены результаты численного эксперимента решения задачи для значений параметров: а = 9, к, =0.4, к2 =0.3, и = 10, Т = 10, и Ю|

а 2 4 е 8 ю I Рис.5. Оптимальный темп производства

0 2 4 6 8

Рис.7. Количество товара у потребителя

г

10 I

Рис.6. Оптимальная цена для гистерезис-ной функции спроса 8

X,

4 2 4 6 3 10 I

Рис.8. Количество товара у производителя

Третья глава посвящена приближенному построению периодических решений систем операторно-дифференциальных уравнений, описывающих динамику систем автоматического регулирования, обратная связь которых включает гистерезисные звенья.

Динамика таких систем описывается системой уравнений

¿ = Аг + Ьи(1), (19)

"(0 = /С,*('),«/)), (20)

х(1) = Ш,с), (21)

#(/) = /(«(/)), (22) <и(0 = !>„]*«, (23)

где г(<) - вектор-функция со значениями в К" - переменное состояние линейного звена IV, А - постоянная матрица размерности пхп, Ь и с - фиксированные векторы

10

из Л", функция /((,*.<,') - предполагается гладкой и т-периодической по первому аргументу. Уравнения (22), (23) описывают динамику преобразователя Прейсаха или обобщенного люфта.

резисной нелинейностью, входящей в обратную связь

Решением системы (19)-(23) назовем пару {:(!), со(1)}, первая компонента которой абсолютно непрерывна. В сделанных предположениях относительно функции / система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Известно, что периодические решения системы (19)-(23) являются неподвижными точками оператора Я : С(Д")[0Г] -»С(Л")|0;П:

Т

[№](/) = | НО - 5, Т) Ь /(*,*(«), ф))(к, (24)

о

где *ф = (г(«),с), <«(*) = Пй>о]-Ф), Н0,Т) = еА'(Е-еАГу[ (0 <<< Г) - матричная функция продолженная на всю числовую ось соотношением Н0 + пТ,Т) = Н0,Т) (пег). Для формулировки основных результатов этой главы понадобится установить несколько вспомогательных утверждений.

Линейную систему (19), (21) назовем регулярной, если импульсная характеристика И0) = (еЛ'Ь,с) (/>0) (25)

положительна при г>0, система (19), (21) управляема, матрица А гурвицева, самое правое её собственное число является простым и вещественным и, отвечающий ему собственный вектор не ортогонален вектору с. В дальнейшем понадобится утверждение, доказанное в работе М.Е.Семенова.

Теорема 2 Пусть линейная система (19), (21) регулярна. Тогда множество

К = а>{2-.2 = ЛеЛ'Ь-, А,/>0} (26)

образует телесный конус в Н".

Напомним, что конусом называется замкнутое выпуклое множество, содержащее вместе с каждой точкой луч, выходящий из начала координат и проходящий через неё, и такое, что из соотношений г е К и г * 0 следует -г г К. Конус называется телесным, если он содержит шар ненулевого радиуса. Конус К позволяет ввести естественную полуупорядоченность на пространстве Я" : г, > :2 означает, что г,-г2 еК, строгое неравенство г, >г2 - г, -г2еЫК.

Следующие утверждения устанавливают свойства оператора (24).

И

Лемма 1 Пусть выполнены условия теоремы 2 и функция f(t,x,co) монотонно возрастает по второму и третьему аргументам, тогда оператор (24) монотонен по конусу К.

Лемма 2 Пусть выполнены условия теоремы 2, леммы 1 и выполняется неравенство lim sup/(/, х, со)-1 х Г' < (A~lb, с)"1 (27)

*->«' ш

тогда найдутся такие z_,z, е R", связанные неравенством z_ < z, (по конусу К), что будут выполнены неравенства

Hz, >z. +!/„, Hzv < z+ -щ, (28)

где иа е int К.

Опишем алгоритм построения периодических решений системы (19)-(23). Для этого зафиксируем монотонно убывающую к нулю последовательность {<т„} (<т, < 1). Рассмотрим вспомогательную последовательность {»'„} е C(R"):

v0=z_, vM=Hvk+atu0. (29)

По построению, эта последовательность монотонно возрастает по конусу К и ограничена сверху элементом zt. Кроме того, последовательность {vj равностепенно непрерывна, следовательно, сходится в пространстве C(R"). Для ее предельного элемента v' выполняется равенство

v- = //v'+cr,»0, (30)

поэтому найдется элемент, для которого будет выполнено

vk>Hvk+a3ua. (31)

Для первого члена последовательности (29), удовлетворяющего неравенству (31) положим V, =z,. Этот элемент является первым членом последовательности {z„}, которую определим следующим образом. Пусть первые (п-1) ее членов построены тогда z„ определим как первый член вспомогательной последовательности {v;}:

vo=Vi> vi+,=tfv,+(-irVA,

(32)

удовлетворяющий неравенству

(-1 (33)

Теорема 3 В условиях лемм 1,2 при любом натурачьном п члены последовательности {zn} могут быть построены, выполняются неравенства

za < z2 <... < z2„ <... < z, < z,. <... < z2„_, <... < z,,

существуют пределы

w°. j™ii22,M-z..iic(r)=o,

z. и z„ являются неподвижными точками оператора (24).

Во многих прикладных задачах важна степень близости приближенных решений к точному. Ниже формулируется теорема, позволяющая дать априорную оценку в условиях слабой дифференцируемое™ оператора (24). Далее предполагается, что оператор (24) имеет слабую производную Гато Н', на множествах М| = {z : z, < z < z.} M2s{z : z„ <z<z2nA}. Обозначим через n константу нормальности конуса К, М = sup ]| H,'(z2), +©Az)||, где Az = z. -z2„.

O£0<!

Теорема 4 Пусть выполнено неравенство М ■ N < I, тогда верны оценки

-м-ы'

. (34)

С(,!| \-M-N

-. (35)

" \-M-N

Таким образом, в условиях теорем 3, 4 периодические режимы системы (19)-(23) могут быть эффективно построены с любой точностью.

Во многих системах автоматического регулирования их параметры принципиально невозможно определить точно. Поэтому, технически реализуемые вынужденные периодические режимы должны обладать естественным свойством корректности по отношению к малым изменениям параметров системы. Ниже устанавливаются условия, обеспечивающие это свойство для пределов последовательностей {г„}.

Наряду с системой (19)-(23) рассмотрим возмущенную систему

г=Аг + ЬиО), (36)

„(О = /(/,*('), <?(')), (37)

*(<) = «<) ,с), (38)

4«) = 1Ш), (39)

Й^ГКМО (40)

Теорема 5 Пусть г. = г... тогда любому с > 0 отвечает такое <5, > 0. что если выполнены неравенства

\\~А-А\1<Зс,\\/~1\\с<5е, (41)

то для пределов г, и 2. будет выполнено неравенство

(42)

Теорема 5 означает, что пределы последовательности (г,! (в случае их единственности) обладают свойством корректности по отношению к малым возмущениям параметров системы.

В четвертой главе рассматривается задача стабилизации обратного маятника вертикальными гармоническими осцилляциями, в условиях когда управление осуществляется через люфт. Математический маятник - материальная точка на невесомом стержне, который может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, причем центр его тяжести расположен выше свободно двигающейся вдоль вертикальной оси точка подвеса называется перевернутым маятником с осциллирующим подвесом (рис. 10). Уравнение движения маятника при гармоническом движении нижней точки подвеса имеет вид:

ф~{8+—^-со$б)1)$тф = 0, (43)

где <р - угол отклонения маятника от вертикали, / - длина маятника, g - ускорение свободного падения, где а - амплитуда, а а - частота колебаний подвеса.

В 1908 году Стефенсон показал, что верхнее состояние равновесия маятника можно сделать устойчивым при достаточно больших значениях частоты. Физическое объяснение динамической стабилизации перевернутого маятника было предложено академиком П.Л. Капицей в 1951 году, выполнившим также и детальное экспериментальное исследование этого явления. Это условие имеет вид: о»-.

Рис. 10. Схема вертикального маятника с осциллирующим подвесом

Рассмотрим уравнение движения перевернутого маятника, подвес которого совершает периодическое колебания, а управляющее воздействие осуществляется через люфт:

(44)

Ч 1

»(г) ()),

где И'(г) - ускорение поршня,

|0, + А, /°+Д/),

С(/,Я) =

1,1 й(/' + Л, + Дг),

(45)

где А - заданный шаг, / - моменты времени, после которых ускорение меняет

знак п>(1')н'(1'+И)<0, М = .

время, затрачиваемое поршнем на прохождение

цилиндра.

Вопрос о стабилизации верхнего положения маятника эквивалентен вопросу о диссипативности системы (44). Будем рассматривать движение с нулевой скоростью. Уравнение (44) называется диссипативным, если существует такая константа г, что для любых начальных значений ф(0) = фо, удовлетворяющих условию решения

уравнения (44) будут оставаться ограниченными. Экспериментально удалось установить, что найдется такая константа с1, что для любых начальных значений ф(0) = ф„ удовлетворяющих условию |<г(о|</-,(г = 0.85 при значениях / = Ы, <а = 0.141,

сI = 0.0005 <у = 11<уц = 1= 34.435Гц. ) уравнение (44) будет диссипативно, если длина

цилиндра И < с1. На рисунке 11 показана фазовая плоскость системы (44) при этих значениях параметров.

Рис. 11. Фазовая плоскость 14

Отметим, что всякому \фа\ соответсвует некоторое с1пт такое, что для всякого < будет иметь место диссипативность. Отметим, что при заданном г параметр с/, ограничивающий длину цилиндра, при котором уравнение движения (44) диссипативно, можно увеличить за счет увеличения частоты колебаний подвеса.

В заключении сформулированы полученные результаты и приведены основные выводы.

В приложениях приведен пакет прикладных программ численного построения оптимального управления и переходных процессов в задаче о производстве сбыте и хранении продукции, построения приближенных периодических режимов моделей систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями и алгоритм стабилизации обратного маятника посредствам гистерезисного управления. Комплекс программ предназначен для изучения, построения и анализа решений систем, математические модели которых сводятся к системам дифференциальных уравнений, описывающие задачу об оптимальном производстве, сбыте и хранении продукции в различных постановках. Областью применения, является моделирование и расчет параметров экономических систем. Разработанный комплекс позволяет в рамках модельных представлений описать динамику производственно-потребительских отношений, а также строить оптимальную производственно-ценовую стратегию. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложен метод оптимизации и построения переходных процессов для класса моделей экономических систем с гистерезисной функцией спроса.

2. Для систем дифференциально-операторных уравнений, описывающих динамику систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью предложен метод приближенного построения вынужденных периодических режимов. Приведены условия, обеспечивающие реализуемость и сходимость. Получены оценки точности. Доказана корректность решений, полученных предложенным алгоритмом, по отношению к малым возмущениям параметров систем.

3. Предложен алгоритм программной стабилизации обратного маятника посредством гистерезисного управления. Разработан комплекс программ, реализующий построение оптимальных переходных процессов в задаче о производстве, сбыте и хранении продукции в условиях гистерезисной функции спроса.

Список публикаций по теме диссертации Журналы, включенные в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата

наук»

1. Прохоров Д.М. Синтез оптимального управления для одного класса систем с гистерезисными нелинейностями / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов, О.И. Канищева // Системы управления и информационные технологии. - 2008. -№ 1.2 (31).-С. 256-258.

2. Прохоров Д.М. Корректные периодические режимы в системах управления с монотонными гистерезисными нелинейностями / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов, О.И. Канищева, А.Н. Гулин // Наукоемкие технологии. - 2010. -№ 12. - С. 67-72.

Другие публикации

3. Прохоров Д.М.Оптимальное управление для одного класса систем с гистерезисными нелинейностями / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов // Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий. Материалы IV Межвузовской научно-практической конференции, Сочи, 13-18 мая 2008 г. - С. 30-31.

4. Прохоров Д.М. Орбитально устойчивые решения одного класса систем с гистерезисными нелинейностями / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов, О.И. Канищева // Совре-

менные проблемы прикладной математики и матем. мод-ния : материалы Ш-й Меж-дунар. науч. конф. - Воронеж, ГОУ ВПО РГТЭУ ВФ, 2009. - С. 197-198.

5. Prohorov D.M. The approached construction of the forced periodic solution in the automatic control systems with the hysteresis feedback / D.M. Prohorov, M.E. Semenov, I.S. Tihomirov // CMAS 2009, International Conference on Computational modeling and Advanced simulations, 30 June - 3 July 2009, Bratislava, Slovak Republic, p. 109-110.

6. Прохоров Д.М. Оптимальное управление в системах с аддитивными гистерезисны-ми нелинейностями / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов, О.И. Канищева // Повышение эффективности средств обработки информации на базе матем. модел-ания : материалы докл. IX Всерос. науч.-техн. конф., 27-28 апр. 2009 г. - Тамбов, 2009. - С. 235-240.

7. Прохоров Д.М. Оптимальное управление для одного класса систем с гистерезисом / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов, О.И. Канищева // Системы управления, связи и навигации. (Часть 9). Сборник научных статей по материалам Всероссийской научно-практической конференции, Воронеж, 26 ноября 2009 г. - Воронеж: ВАИУ, 2009. - С. 211-216.

8. Прохоров Д.М. Стабилизация верхнего положения физического маятника в условиях гистерезисного управления / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов, Грачиков Д.В. // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М. - 2010. - Т. 14. - Вып. 4. - С. 89.

9. Прохоров Д.М. Модель равновесного ценообразования в условиях гистерезисной функции спроса / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов // Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации: труды XVII Международного на-учно-технич. семинара. Сентябрь 2008 г., Алушта. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. - С. 248-249.

10. Прохоров Д.М. Стабилизация перевернутого маятника с помощью вертикальных периодических осцилляции посредством гистерезисного управления / Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов, Д.В. Грачиков, Д.В. Шевлякова // Кибернетика и высокие технологии XXI века: сборник трудов XII международной научно-технической конференции: Воронеж, 2011. Т.2. - С. 431 -441.

11. Прохоров Д.М. Расчет оптимальных переходных процессов модели задачи об оптимальном производстве, сбыте и хранении продукции /Д.М. Прохоров, Е.В. Гринева // Реестр программ для ЭВМ, регистрационный № 2011617057 от 12.09.2011г.

Подписано в печать 15.12.11. Формат 60x84 VУсл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 1598.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

61 12-1/387

Воронежский Государственный Университет

На правах рукописи

ПРОХОРОВ ДМИТРИИ МИХАИЛОВИЧ

МОДЕЛИ СТАБИЛИЗАЦИИ И ОПТИМАЛЬНОГО ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ С ГИСТЕРЕЗИСНЫМИ

НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ»

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Семенов Михаил Евгеньевич

Воронеж 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

Глава 1. Гистерезисные преобразователи 10

1.1 Общие сведения о гистерезисных преобразователях 10

1.2 Обобщенный люфт 12

1.3 Неидеальное реле 15

1.4 Преобразователь Прейсаха 18 Глава 2. Оптимальная производственно-ценовая стратегия в задаче о производстве, сбыте и хранении продукции в условиях гистерезисной функции спроса. 23

2.1 Синтез оптимального управления для одного класса систем с гистерезисными нелинейностями 23

2.2 Гистерезисная модель темпа продаж 28

2.3 Задача о максимизации прибыли на конечном временном интервале 31

2.4 Задача о производстве, потреблении и сбыте товара с гистерезисной функцией спроса. 35

Глава 3. Приближенное построение вынужденных периодических режимов в системах автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями 44

3.1 Линейное звено 44

3.2 Замкнутые системы 46

3.3 Регулярные линейные системы 50

3.4 Постановка задачи и алгоритм нахождения периодических решений систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями 54

3.5 Численная реализация, блок-схема, результаты применения приближенного метода построения вынужденных периодических режимов в системах автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями 61

Глава 4. Стабилизация обратного положения маятника вертикальными

осцилляциями посредством гистерезисного управления 67

4.1. Математическая модель обратного маятника 67

4.2. Стабилизация вертикального положения маятника с осциллирующим подвесом 68

4.3. Зоны устойчивости уравнения Матье 70

4.4. Модель осциллирующего подвеса с гистерезисной нелинейностью

73

4.4 Исследование диссипативности модели движения обратного маятника с гистерезисным управлением 75

Заключение 84

Литература 86

Приложение 96

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Модели процессов и систем прикладных задач физики, теории автоматического регулирования, экономики и т.д. сводятся к системам дифференциальных уравнений, содержащим помимо обычных функциональных нелинейностей - нелинейности гистерезисной природы (колебания ферромагнитного шарика в магнитном поле; вынужденные колебания физического маятника, управляющим воздействием на который является выход гистерезисного преобразователя; электромагнитные колебания в контуре, содержащем сегнетоэлектрические конденсаторы; экономические циклы в условиях «гистерезисного» поведения экономических агентов и многие другие). При этом носители гистерезиса, как правило, нельзя рассматривать изолировано, так как они являются частью более сложной системы. Важный класс таких систем составляют управляемые системы и системы автоматического регулирования. Гистерезисные преобразователи естественным образом появляются в этих системах как математические модели разнообразных гистерезисных явлений. Возможность изучения таких систем основывается на развитой М.А.Красносельским и А.В.Покровским операторной трактовке гистерезисных преобразователей как операторов, определенных на достаточно богатом функциональном пространстве, зависящих от своего начального состояния как от параметра. Системы управления с гистерезисными нелинейностями обладают рядом специфических особенностей коренным образом отличающих их от традиционных систем с функциональными нелинейностями. К их числу, в первую очередь, относятся недифференцируемость гистерезисных операторов, необычность фазовых пространств, включающих в себя пространства состояний соответствующих гистерезисных преобразователей, в общем случае не обладающих линейной структурой и некоторые другие. Следовательно, анализ и синтез моделей систем управления с гистерезисными нелинейностями требует разработки новых методов, учитывающих упомянутые выше особенности. Кроме того,

как показывают простые примеры, для систем с гистерезисом типична ситуация когда в них принципиально нереализуемы ассимптотически устойчивые режимы, более того зоны притяжения устойчивых решений весьма незначительны, что затрудняет численную реализацию методов их приближенного построения. Это обуславливает необходимость разработки алгоритмов приближенного устойчивых решений систем управления с гистерезисными нелинейностями. Из немного числа работ посвященных задачам анализа систем управления с гистерезисными нелинейностями отметим работы А. М. Красносельского, B.C. Козякина, A.B. Владимирова, Д.И. Рачинского. Однако в работах этих авторов рассматривались хотя и важные, но частные случаи. Поэтому является актуальной задача разработки методики построения оптимального управления и стабилизации класса систем с гистерезисными нелинейностями, а также разработки алгоритма приближенного построения их решений.

Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления кафедры Высшей математики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета «Разработка математических моделей, методов анализа строительных конструкций и фундаментов» № г.р. 01200003664.

Цель работы. Разработка численно-аналитических методов решения задач стабилизации и управления в системах с гистерезисными нелинейностями.

Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач:

- построение оптимальной, с точки зрения достижения максимальной прибыли, производственно - ценовой стратегии в задаче о производстве, сбыте и хранении продукции в условиях гистерезисной функции спроса;

- разработка алгоритма приближенного построения корректных по отношению к малым возмущениям параметров устойчивых периодических

режимов для класса одноконтурных систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями;

I

- синтез алгоритма программной стабилизации обратного маятника посредством гистерезисного управления нижней точкой крепления;

- доказательство реализуемости алгоритмов, проверка устойчивости, оценка скорости сходимости, исследование переходных процессов поведения моделей;

- апробация предложенных алгоритмов на модельных примерах и численные эксперименты.

Объекты исследования - системы управления с носителями гистерезисных явлений.

Предмет исследования - математические модели управляемых систем с гистерезисом, алгоритмы построения оптимального управления и стабилизации

Методы исследования. При выполнении работы использовались методы математического моделирования, операторная трактовка гистерезиса, качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического регулирования, нелинейный анализ, численные методы решения

I

дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

- решена задача об оптимальном производстве сбыте и хранении продукции в условиях гистерезисной функции спроса;

- предложен алгоритм стабилизации перевернутого маятника посредством программного управления в условиях гистерезисного управляющего воздействия;

- предложен метод приближенного построения периодических решений систем автоматического регулирования с гистерезисноц обратной связью;

- доказана реализуемость алгоритма и методов, получены оценки скорости сходимости приближений к точному периодическому решению;

- доказана устойчивость метода приближенного построения периодических решений систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью по отношению к малым возмущениям параметров задачи.

Область исследований. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки). Область исследования соответствует п.2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей», п.З «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий».

Практическая ценность работы. Результаты работы применимы для анализа и построения оптимального управления для класса экономических систем математические модели, которых сводятся к системам дифференциальных уравнений, с гистерезисными нелинейностями. Предложенный алгоритм стабилизации перевернутого маятника с гистерезисным управлением может найти применение для аналогичных задач стабилизации механических, электромеханических и других систем с гистерезисными свойствами. В частности, одной из классических задач теории автоматического регулирования является задача построения вынужденных периодических режимов. Предложенный в работе алгоритм позволяет в случае выполнения легко проверяемых условий строить эти режимы. Причем для приближенных решений выполняются дополнительные условия корректности по отношению к малым изменениям параметров систем. Разработан пакет прикладных программ, реализующий построение периодических решений систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями.

На защиту выносятся:

- методика построения оптимального управления для класса моделей систем с носителями гистерезисных явлений;

- алгоритм приближенного построения корректных периодических режимов для класса моделей систем автоматического регулирования с гистерезизисными нелинейностями;

- результаты численных экспериментов стабилизации обратного маятника посредством гистерезисного управления.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (XVIII Международный научно-технический семинар, г.Алушта, сентябрь 2009 г.), XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (г.Сочи - Дагомыс, октябрь 2008 г.), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г.Воронеж, декабрь 2008 г.), «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г.Воронеж, апрель 2009 г.), VIII Всероссийская научно-техническая конференция «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования» (г.Тамбов, апрель 2009г.), Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы качественной теории краевых задач - Понтрягинские чтения» (г.Воронеж, май 2009 - 2010 гг.), CMAS 2009 (International Conference on Computational modeling and Advanced simulations, 30 June - 3 July 2009, Bratislava, Slovak Republic), «Кибернетика и высокие технологии XXI века» (XII международная научно-техническая конференция, г.Воронеж, май 2011 г.), на семинарах кафедры Высшей математики ВГАСУ и кафедры нелинейных колебаний ВГУ за 2008 - 2011 гг..

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[10], список которых приведен в конце автореферата. Из них: 2 статьи в научных журналах, включенных в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук».

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, составляют доказательства утверждений о реализуемости и сходимости предложенных алгоритмов, доказательство корректности и устойчивости неподвижных точек интегральных операторов, являющихся периодическими решениями соответствующих дифференциальных уравнений, разработке методики построения оптимального управления для класса систем с гистерезисными нелинейностями.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы, включающего 92 наименования, изложена на 137 страницах и включает 18 рисунков.

ГЛАВА 1. ГИСТЕРЕЗИСНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ 1.1 Общие сведения о гистерезисных преобразователях

В настоящем разделе в удобной для дальнейшего изложения форме приводятся известные сведения о гистерезисных преобразователях, дается описание обобщенного и многомерного люфта, неидеального реле, преобразователя Прейсаха и их свойства.

Носителями гистерезисных нелинейностей в соответствии с [33] являются преобразователи Г, для которых имеет смысл говорить о переменном входе и переменном выходе х(7) (см. рис. 1.4.1).

Значениями функций и(/) и х(7) могут быть скаляры, векторы, элементы каких-либо специальных множеств.

И(0 г х(()

Рис. 1.1 Гистерезисный преобразователь

Характеристической особенностью гистерезисного преобразователя является то, что он может находиться в том или ином состоянии, которое может меняться во времени либо в связи с изменением входа, либо по другим причинам. Поэтому выход х(7) (/>0) определяется не только

значением входа (¿>0), но и состоянием со(0) = со0 гистерезисного

преобразователя в нулевой момент времени.

Если при фиксированном начальном состоянии со0 гистерезисного

преобразователя Г возможна подача входа и(7) (¿>0), т.е. входу м(/) отвечает, по крайней мере, один выход то такой вход называется

допустимым. При этом будем писать

х(0 = Г |>0МО- (1-1)

Сформулируем некоторые свойства преобразователей. Пусть и(7) и у(/) два допустимых входных сигнала для преобразователя Г, находящегося при / = 0 в некотором фиксированном состоянии. Если из равенства

м(0 = У(0 (0 < ? < Т) (1.2)

всегда вытекает равенство

Г[й,]«(0 = ГК]у(/) (0 < / < Т), (1.3)

то преобразователь Г называют физически реализуемым. В дальнейшем будут рассматриваться только физически реализуемые преобразователи.

Если область возможных состояний детерминированного преобразователя Г не зависит от I, причём из допустимости входа х(7) (¿>0) вытекает допустимость при том же состоянии входа у(?) = -(t>tl) и справедливость равенства

ГК]*(0 = Г[/„ю0] (1.4)

то преобразователь Г называется автономным. Иными словами, преобразователь автономен, если его свойства не меняются во времени. Преобразователь называется статическим, если он автономен и если при переходе от входного сигнала и (?) ( / > 0) к сигналу

у(0 = и(а0 (*>0),(а>0) выходной сигнал х(/) (/ > 0) переходит в выходной сигнал

у(0 = х(а0 (/>0).

Таким образом, автономный преобразователь будет статическим, если его свойства не зависят от масштаба времени.

Приведём примеры:

Г*(/) = ах(0 (аеД1), (1.5)

I

г*(о = |*Су)<&, (1.6)

о

Г*(0 =/(*,*(*)). (1-7)

Два первых преобразователя являются статическими, третий же является статическим в том и только том случае, когда функция /(/,х) не

зависит от ?.

Если Г является статическим детерминированным преобразователем, то он управляем, если для любых двух возможных состояний {г/0, х0}, {м^х,} можно указать такой допустимый при состоянии {г/0,х0} вход м(/) (0 <?</,), что и(0) = и0, ЦсОо]«^) = х1.

1.2 Обобщенный люфт

Рассмотрим две скалярные строго возрастающие функции со = 01 (х) и

со = Ог (х), заданные на всей числовой оси. Будем считать, что обе функции

глобально липшицуемы, связаны неравенством

ОДх)>ОДх)

и множеством их значений является один и тот же промежуток I).

Паре ОДх), ОДх) поставим в соответствие преобразователь -

обобщённый люфт. Множеством возможных состояний этого преобразователя будет объединение Пь горизонтальных

отрезков, концы которых лежат на С1 и Ог (см. рис. 1.2).

Определим оператор Ь[ю0,С1,Ог]

®(0 = Ь К,С7„(7г]х(0 (0 </</;), (1.8)

ставящий в соответствие каждому непрерывному входу х(/) (/ > 0) выход

&>(/) с помощью следующей трёхэтапной конструкции.

Для монотонных входов х(/) положим

Г тах(£У0,(г,. [х(/)])> если х(/) не убывает, тт^о^[х(0]), если х(?) не возрастает.

Рис. 1.2 Графики функций G¡(x) и Gr(x)

Во-вторых, при кусочно-монотонных входах значение оператора определяется при помощи полугруппового свойства

LqO^LoK^GJ *(*!>] x(t) = b0[co0,G,,Gr] x(í) (0</<^) (см. [33]). Для этого область определения разбивается на промежутки его монотонности [0, ¿j), ... [ti-i,t¡), ••• j tjy]. Тогда значение входа

на промежутке [/м,*г] определяется тождеством (1.8), в котором следует положить со0 равным L [cú(t¡ 2), , ] х (íM).

В-третьих, для произвольного непрерывного входа x{t) определим выход co{t) как равномерный предел последовательности

ffl„(í) = LK,G()Gr]i„(/) (0 <t<tx) (1.10) где хй(0 - произвольная последовательность непрерывных кусочно-монотонных функций, равномерно сходящаяся к x{t) на [0, ¿J.

Доказательство корректности этих операций и их детальное обсуждение приведено в [33]. Там же доказываются следующие четыре теоремы.

Теорема 1.1 Пусть {х0,со0}, {у0,а>0} (С,, Сг), а х(7) и у(?) - два непрерывных входа, заданных на [0, и X - коэффициент Липшица функций со = 01(х) и со-Ог (х), тогда верно неравенство

|ЬК,С/,аг]л(О-Ь[а)0,С/,ег]^(О1^Я||д:(Лг)-^)11с0[0,п- (1-11)

Теорема 1.2