автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели стабилизации и синхронизации механических систем и нейронных сетей с гистерезисными свойствами

На правах рукописи

с'"

Грачиков Дмитрий Вячеславович

Модели стабилизации и синхронизации механических систем и нейронных сетей с гистерезисными свойствами

специальность 05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

31 ОКТ 2013 005536021

Воронеж 2013

005536021

Работа выполнена на кафедре высшей математики Воронежского государственного архитектурно - строительного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор СЕМЕНОВ Михаил Евгеньевич

Официальные оппоненты: СОБОЛЕВ Владимир Андреевич, доктор

физико-математических наук, профессор, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет), профессор кафедры технической кибернетики

ПОКРОВСКИЙ Андреи Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор,

Санкт-Петербургский государственный университет, профессор кафедры диагностики функциональных систем

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет»

Защита состоится 20.11.2013г. в 15:10 на заседании совета Д212.038.20 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет» по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, д. 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Воронежский Государственный университет»

Автореферат разослан «18» октября 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, С.А. Шабров

доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Модели процессов и систем прикладных задач физики, теории автоматического регулирования, нейронных сетей и т.д. сводятся к системам дифференциальных уравнений, содержащим помимо обычных функциональных нелинейностей - нелинейности гистерезисной природы (вынужденные колебания физического маятника, управляющим воздействием на который является выход гистерезисного преобразователя; гистерезисные особенности нейронов и многие другие). В механических системах, вследствие старения и износа деталей, неизбежно возникают люфты, упоры, имеющие, по сути, гистерезисную природу, поэтому их необходимо учитывать на этапе разработки и проектирования систем. При этом носители гистерезиса, как правило, нельзя рассматривать изолировано, так как они являются частью более сложной системы. Важный класс таких систем составляют управляемые системы и системы автоматического регулирования из различных предметных областей. Гистерезисные преобразователи естественным образом появляются в этих системах как математические модели разнообразных гистерезисных явлений. Возможность изучения таких систем основывается на развитой М.А. Красносельским и A.B. Покровским операторной трактовке гистерезисных преобразователей как операторов, определенных на достаточно мощном функциональном пространстве, зависящих от своего начального состояния как от параметра. Системы с гистерезисными нелинейностями обладают рядом специфических особенностей коренным образом отличающих их от традиционных систем с функциональными нелинейностями. К их числу, в первую очередь, относятся недифференцируемость гистерезисных операторов, необычность фазовых пространств, включающих в себя пространства состояний соответствующих гистерезисных преобразователей, в общем случае не обладающих линейной структурой и некоторые другие. Следовательно, анализ и синтез моделей оптимального функционирования систем с гистерезисными нелинейностями требует разработки новых методов, учитывающих упомянутые выше особенности. Кроме того, как показывают простые примеры, для систем с гистерезисом типична ситуация, когда в них принципиально нереализуемы асимптотически устойчивые режимы, что затрудняет численную реализацию методов их приближенного построения. Это обуславливает необходимость разработки численных методов и алгоритмов построения переходных процессов в системах с гистерезисными нелинейностями. Из небольшого числа работ посвященных задачам анализа моделей систем с гистерезисными нелинейностями отметим работы М. А. Красносельского, B.C. Козякина, A.B. Владимирова, Д.И. Рачинского. Таким образом, актуальной является задача развития качественных и приближенных аналитических методов исследования стабилизации и оптимального функционирования систем с гистерезисными нелинейностями, а также разработки алгоритма приближенного построения их решений.

Еще одной областью, где возникают явления гистерезисной природы,

является нейрофизиология. Гистерезисные эффекты проявляются в функционировании нейронов на различных уровнях, в том числе они играют ключевую роль в работе кратко- и долговременной памяти. Впервые это явление было отмечено в работах А.Н. Радченко. Гистерезисная природа функционирования нейронов естественным образом повышает эффективность применения нейронных сетей для решения прикладных задач, одной из которых, решаемой в области компьютерного зрения, является предварительная обработка поступающих данных для их упрощения в последующем использовании. В эффективности решении выделения важных объектов из огромного зрительного потока информации эталоном является человеческий мозг, поэтому для разработки систем распознавания образов необходимо использовать модели биологических нейронных сетей с присущими им гистерезисными свойствами. Отметим в этой связи цикл работ С.А. Кащенко и В.В. Майорова, где модели биологических нейронов были достаточно подробно исследованы. Однако, гистерезисные эффекты в моделях биологических нейронов к настоящему времени не нашли должного освещения. Поэтому задача, связанная, с анализом новых математических методов моделирования биологических нейронных сетей с гистерезисными свойствами является важной и актуальной.

Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления кафедры Высшей математики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета № г.р. 01200003664 и частично поддержана РФФИ (грант 13-08-005 32-а).

Цель работы. Разработка и развитие качественных и приближенных аналитических методов, численных алгоритмов анализа оптимального функционирования, стабилизации и синхронизации для классов механических систем и биологических нейронных сетей с гистерезисными нелинейностями.

Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач:

• разработка метода стабилизации модели механической системы, состоящей из обратного маятника, жестко связанного с системой цилиндр-поршень; исследование влияния рассинхронизации на диссипативность системы;

• разработка метода оптимального функционирования модели обратного маятника с люфтом на конечном временном интервале;

• численное исследование модели биологической нейронной сети с гистерезисными свойствами во входных и связных воздействиях; построение и исследование аттракторов модели;

• разработка алгоритма сегментации изображений с помощью модели биологических нейронных сетей с гистерезисными свойствами;

• разработка комплекса программ для апробации и тестирования предложенных методов и алгоритмов, проведение численных экспериментов.

Объекты исследования — механические системы и нейронные сети с носителями гистерезисных явлений.

Предмет исследования — математические модели систем с гистерезисом, алгоритмы, программные методы стабилизации, численные и

аналитические методы построения оптимальных переходных процессов в системах с гистерезисом.

Методы исследования. При выполнении работы использовались методы математического моделирования, операторная теория гистерезиса, качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического регулирования, нелинейный анализ, численные методы решения дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты: предложен метод стабилизации модели механической системы, состоящей из обратного маятника, жестко связанного с системой цилиндр-поршень, отличающийся наличием гистерезиса в обратной связи; показано, что рассинхронизация во внешних воздействиях приводит к потере диссипативности системы;

предложен метод оптимального функционирования модели обратного маятника с люфтом на конечном временном интервале, учитывающий гистерезисные свойства во внешнем воздействии;

исследована динамика модели биологической нейронной сети с гистерезисными свойствами: построены аттракторы, исследована зависимость синхронизации отдельных нейронов от коэффициента связи;

разработаны численные алгоритмы сегментации изображений с помощью однослойной и двухслойной нейронных сетей, отличающиеся наличием гистерезисных свойств у отдельных нейронов во входных воздействиях; • разработаны комплексы программ для реализации алгоритма стабилизации обратного маятника с гистерезисом и для моделирования динамики биологической нейронной сети гистерезисной природы и сегментации изображений с ее применением.

Область исследований. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки). Область исследования соответствует п.1 «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений», п.2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей», п.5 «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Практическая значимость работы. Разработанный алгоритм стабилизации механического маятника может послужить основой для программной реализации устойчивого функционирования различных систем с гистерезисными свойствами.

Исследованная в работе модель нейронной сети с гистерезисными свойствами позволяет более точно моделировать функционирование головного мозга и, тем самым, изучить закономерности его работы. Таким образом, получен новый инструмент для решения традиционных задач машинного зрения, классификации и т.д. Разработан комплекс программ для моделирования динамики нейронной сети и сегментации монохромных изображений с

помощью однослойной и двухслойной сетей.

На защиту выносятся:

• метод оптимизации и стабилизации класса моделей систем с носителями гистерезисных явлений;

• численная реализация модели нейронной сети с входным и связующим воздействиями гистерезисной природы;

• алгоритм сегментации изображений с помощью биологических нейронных сетей гистерезисной природы.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (XX Международный научно-технический семинар, г. Алушта, сентябрь 2011г.), «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (XXI Международный научно-технический семинар, г. Алушта, сентябрь 2012г.), Нейроинформатика-2013 (XV Всероссийская научно-техническая конференция, г. Москва, 2013г.), Международная научная Интернет-конференция «Инновации и традиции в современном образовании» (III Всероссийская заочная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных, г. Старый Оскол, 2012г.), Международная научная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж, 2012г.), «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (V Международная конференция ПМТУММ-2012, г. Воронеж, 2012г.), Крымская Осенняя Математическая Школа (Двадцать третья ежегодная международная конференция КРОМШ-2012, Батилиман, 2012г.), Международная научно-практическая конференция «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий» (г. Сочи, 2012г.), Международная научно-техническая конференция

Современные сложные системы управления X

(г. Старый Оскол, 2010г.), XI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике Регональный макросимпозиум "Насущные задачи прикладной математики на Кубани" (г. Сочи - г. Дагомыс, октябрь 2010г.).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведена общая характеристика работы, обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследований, предоставлена информация о научной новизне и практической значимости работы, приводится методика исследований и дано краткое изложение содержания диссертации по главам.

В первой главе вводится понятие гистерезисного преобразователя и рассматриваются его разновидности: обобщенный люфт и S-преобразователь.

Во второй главе рассматривается математическая модель стабилизации маятника, шарнирно закрепленного на цилиндре, движение которого вызывается горизонтальным перемещением поршня (рис. 1). Задача стабилизации заключается в выборе такого закона движения поршня, при котором фазовые координаты, описывающие положение маятника, остаются в

ограниченной области нулевой точки.

у

Рис. 1. Обратный маятник с люфтом в опоре

Уравнения движения, описывающие динамику этой системы, и начальные условия имеют вид:

Aip — mglsinip — mill costp,

т=<ра,т=<яа, (1)

и(0 = Г[ц,,А]*(/), (2)

где q>(t) - отклонение маятника от вертикали, u(t) - закон движения цилиндра раствора h, x(t) - закон движения поршня, трактуемый как управление. Ниже рассматривается ситуация, когда движение поршня происходит с постоянным по абсолютной величине ускорением \x\ = k = const. Уравнение (2) описывает входно-выходные соотношения гистерезисного преобразователя-люфта для которого заданы направляющие:

Gr(x) = x,G,(x) = x+h (3)

Будем рассма!ривать малые отклонения маятника, поэтому в дальнейшем используется линеаризованное уравнение (1)

Аф = mglip - mill,

<р(0) = <ро,ф(0) = а>о.

Для стабилизации маятника вход гистерезисного преобразователя (2) подчиним соотношению:

х = ksign(atp + co), (5)

где а > 0.

Представим уравнение (5) в эквивалентной матричной форме, предварительно определив главный момент инерции А = ml' и произведя замену

Гг

(4)

В =

(б)

где

У =

и

7,

и(0=П«„,лМ(),

х = к з^п(В<р + со),

(7)

(8)

На каждом проинтегрировать:

из промежутков постоянства и систему можно

где

40-

Н>)

сИВ1 йг/гй

в

сИВ1

--(сЛВг-1)

&

8

(9)

(10)

и <ра, со, ~ начальное отклонение маятника, а и„ - ускорение движения цилиндра на промежутке постоянства. Поведение системы (6) на всем временном интервале определяется реккурентным соотношением:

со

где ^ - моменты времени смены управления, и значения угла и угловой скорости в момент времени , а й - ускорение движения цилиндра.

Наиболее интересным в задаче стабилизации является выявление условия диссипативности колебаний маятника. Уравнение (4) называется диссипативным, если существует такая ограниченная область Щ на произведении фазового пространства системы (6) и пространства состояний гистерезисного преобразователя (8), что для любых начальных значений (й,в„1|)еЩ, решения уравнения (11) будут оставаться равномерно ограниченными.

Теорема 1 .Для того чтобы движение маятника было диссипативным в окрестности верхнего положения достаточно выполнения условия

кВ

(12)

где т = — время преодоления поршнем длины цилиндра.

Измерительные устройства любых механических систем не всегда работают идеально, поэтому представляет интерес задача стабилизации обратного маятника, когда в уравнении (5) присутствует погрешность. Фиксированную погрешность можно легко учесть, добавив в обратную связь

неидеальное реле. Динамика изучаемой системы описывается уравнениями:

h W, й = £/?[-£,£, ¿/^ (ji (/„)), ] у,

<р{<и(0) = £У„.

(13)

V =

О 1

В1 о

w=

( О Ï й

Оказывается, что эта система имеет устойчивый цикл. Теорема 2. Система (13) с начальными условиями р(0) = 0, со(0) = ±е имеет асимптотически устойчивое по Ляпунову периодическое решение, параметрическое представление которого имеет вид:

ш

И*)

chB0 BshBO

—shBÔ В

chBO

--ichBO-ï) g

Bk

shB9

(14)

при 0 <9<ic,

chB0 BshBO

—shB0 В

chB9

-(chBO-1)

Bk

shBO

(15)

при tt<9< 2 tc при | B<pa + <

kB

g

kB_

Во многих случаях оптимальный закон функционирования не удается реализовать идеально, поэтому представляется важным изучение динамики систем в случае, когда в измерительных приборах присутствует случайная погрешность. Применительно к рассматриваемой системе, эта задача эквивалентна задаче рассинхронизации корректирующего воздействия.

Для удобства введем новую переменную у = В<р + а>. После каждого полупериода функционирования системы (6), при отсутствии погрешности в измерительных приборах >< должно принять значение у,. При наличии же погрешности будет иметь место отклонение:

ày„ (eB'J- (еел" -l),

g

(16)

где Д 1к - рассинхронизация во времени воздействия на к-ом полупериоде. Будем предполагать, что величина д¡к распределена по равномерному закону, тогда плотность распределения ду, равна:

/(Лл) =

I

_1__

2аЛВ АУк

(17)

+ 1

График плотности распределения полученный экспериментально

А=1

приведен на рис.2.

Ф')'

Рис.2. Экспериментальная плотность распределения ]Г.

Из графика видно, что вероятность стабилизации системы мала, т.е. рассинхронизация фактически лишает маятник возможности остаться в вертикальном положении.

В ряде технических задач требуется не только стабилизировать систему, но и добиться асимптотически оптимальных характеристик. В рассматриваемом случае этому соответствует минимизация функционала (18), определяющего отклонение маятника от вертикального положения

При выполнении уравнений, описывающих динамику системы (6) необходимо достичь минимизации функционала (18) при условии сохранения диссипативности. Отметим, что поставленная задача не является классической задачей оптимального управления, т.к. управление следует искать лишь среди функций стабилизирующих систему (6), т.е. при выполненных фазовых ограничениях (12). Основной результат работы в этом направлении содержится в следующей теореме.

Теорема 3. Пусть задана система уравнений (6) с начальными условиями, удовлетворяющими условию диссипативности маятника. Тогда в классе внешних воздействий, определяемых соотношением (5) существует минимизирующий функционал (18).

В третьей главе проводится исследование поведения биологических нейронных сетей, основанных на модели С.А. Кащенко — В.В. Майорова с учетом биологических особенностей, отмеченных А.Н. Радченко. Согласно биологическим данным нейрон окружен клеточными образованиями (кластерами), которые при определенных условиях способны запустить

эндогенные (внутренние) процессы в нейроне, за которыми может последовать спайк. При этом запуск эндогенных процессов имеет гистерезисную природу.

В модели С.А. Кащенко - В.В. Майорова функция активации нейрона описывается дифференциальным уравнением с запаздыванием:

й = Л(-1 + JK{u{t -1)) - fNa(u))u, (19)

г \l г \ ~ а) с соответствующим начальным условием: ultii = <р(п, где Л =--, а,Ь,с

I-1S;<0 с

- положительные коэффициенты, h - время запаздывания калиевых токов от натриевых, /К(и) и jNa(u) характеризуют калиевый и натриевый токи с ограничениями:

JK(u) > 0,JNa(u) > 0,-1 - fNa(Q) + JK(0) > 0,

(20)

JK(u) < Си c,fNa(u)<Cu ,

где £>0.

Нейрон может воспринимать как электрическую, так и химическую стимуляцию. В случае электрического возбуждения функция активации нейрона (19) будет удовлетворять уравнению:

й = Л(-1 + JK(u{t -1)) - fi4a(u))u + g(t), (21)

где g(t) - интенсивность электрического воздействия. В случае химического воздействия:

и = + /K(u(t -1)) - JNa{u) + v(t))u. (22)

где v(t) - эффективность химического воздействия.

При химическом воздействии динамика МРК отображена на рис. 3:

—

л. гкл / у у'

/

fil i--

Рис. 3. Изменение формы гистерезисных кривых, характеризующих динамику МРК при химическом воздействии Изображенные на рис. 3 гистерезисные кривые описываются уравнением:

и = Ву 1 ~-к--Ау2, (23)

\у-к

, л„р [ту

где А = —^, В = Я0. (— и экспериментально вычисленные значения констант

Е V £

равны Л0 = 1.4*10"',г = 8.85* 10'",У = 0.67*10\

Форма кривой (рис. 3) определяется коэффициентом 0<А<1. При уменьшении ит до величины, достаточной для обратного перехода с нижней части кривой на верхнюю произойдет химический конформационный переход (ХКП), при этом на нейрон будет направленна энергия из МРК.

При электрическом воздействии А в (23) полагается равным 0.

Рассмотрим нейронную сеть, отдельные элементы которой описываются дифференциальными уравнениями:

й, =л(-1 + /К(иХ1-\))~ №а(и,) + У) + 1п (24)

где У, — воздействие, оказываемое на / нейрон со стороны нейронной сети, I. — внешнее воздействие на /' нейрон. В у, заключена химическая связь элементов нейронной сети, построенная по модели Радченко, а /,, в свою очередь, моделирует электрическое внешнее воздействие на нейроны. _ [у,,еслиу. >у.

Положим у,={ (25)

[О, в остальных случаях,

где у - положительная константа. Связь между нейронами зададим равенством:

1

\\u-u\ds

= -. (26)

1 -г

где /5 - коэффициент силы связи между /' и у нейронами, Лг — общее количество нейронов. Параметр Г равен периоду спайков нейронов.

В свою очередь *,(/) является входом гистерезисного 8-преобразователя Г[д:0, _у„ ], т.е. связь между у, и определяется следующим образом:

А=/(^,и(0) = л, (27)

' {{у,-Р? +4(1-к,)(у,-р)Л 2

/(х„У,) = Х

arctg

я + —

2

У

(28)

Здесь XiÇiP-iki — положительные константы, характеризующие форму гистерезисной петли.

Внешнее электрическое воздействие определим следующим образом 7 и,ссли>>>7,

[О, в остальных случаях,

Л = = (30)

х, = ^e"a'sin(r-g,), (31)

где g, - внешнее воздействие на i нейрон, Л - положительная константа.

Будем рассматривать нейронную сеть с входными воздействиями (28) на каждый ее элемент, при этом считаем, что внешние воздействия нормированы условием

0<g, <1. (32)

В численном эксперименте положим g, равным 0.1, 0.5 и 0.8.

Сначала рассмотрим случай, когда D.j достаточно мало, тем самым нивелируется влияние связи между нейронами на динамику сети в целом. Результаты моделирования в этом случае приведены на рис. 4. При отсутствии гистерезиса во входном воздействии и, с учетом соотношения / = gn динамика изменений мембранных потенциалов отображена на рис. 5.

í

MJñ

lili

Рис. 4. Динамика 3 нейронов при =0.01

Рис. 5. Динамика 3 нейронов при выполненном условии /, = g,,

Из сравнения графиков на рисунках (4) и (5) видно, что гистерезис во внешнем воздействии вносит упорядочивающий эффект в нейронную сеть.

В четвертой главе рассматривается применение предложенной модели нейронной сети к решению задачи сегментации изображений.

Рассмотрим сегментацию черно-белых изображений однослойной нейронной сетью. В предложенной архитектуре сети каждый нейрон ассоциируется с одним пикселем изображения, при этом внешнее воздействие на один нейрон рассчитывается исходя из яркости соответствующего пикселя. Для удобства моделирования яркость считаем ограниченной диапазоном значений [0,1].

Динамика каждого нейрона описывается уравнением (23). Согласно (28) -(30) /, является выходом гистерезисного преобразователя с входом, равным яркости соответствующего пикселя изображения. При решении задачи сегментации, как правило, приходится иметь дело с изображениями больших размеров. Поэтому вместо (28) внешнее воздействие определим соотношением:

/ . (гм \

sin--X - -1-е .

11?- J J

(33)

где л, - яркость соответствующего пикселя изображения, Т - примерный период спайков одного нейрона, е - положительная константа, а н - функция Хэвисайда. Таким образом, нейрону навязывается период спайков, сдвинутый по фазе на величину, пропорциональную х,.

Для оптимизации численных экспериментов был введен новый принцип расчета связного воздействия между нейронами. Величина связного воздействия У,, между / и у нейронами определим равенством:

'ti

У» = \

(34)

,если\рх — рЛ< и", ^0, в остальных случаях,

где р!,р1 - положения пикселей изображения, соответствующих г и_/ нейронам, и' - максимальное расстояние между р. и рп когда связь между нейронами сохраняется, ¡} - положительная константа. Благодаря приведенному принципу связи моделируется процесс диффузионного взаимодействия между нейронами.

Сегментация изображений проводилась с помощью программного комплекса, схема работы которого отображена на рис. 6. Результаты

сегментации реальных изображений представлены на рис. 7.

Начало )

Преобразование изображения в одномерный вектор

Пока не закончили моделирование

Расчет вхолкых и связных воздействии

Расчет нового состояния сети

Применение алгоритма k-means |

С

Вывод сегментированного изображения

Конец )

Рис. 6. Схема работы комплекса программ

Рис. 7. Результаты сегментации реальных изображений

Для увеличения эффективности решения поставленной задачи в описанную нейронную сеть специальным образом был введен второй слой. Количество нейронов во втором слое равно количеству сегментов, полученных после сегментации однослойной сетью, при этом каждый нейрон «закрепляется» за своим сегментом. От нейронов первого слоя на второй направляется воздействие, рассчитываемое по принципу:

V =■

к

, т = 1 ..М,

(35)

где М - количество сегментов, С„ - множество пикселей, принадлежащих т сегменту. С помощью двуслойной нейронной сети производилась сегментация инфрокрасных снимков. Результаты обработки отображены на рис. 8.

■•■рР'ЗОр^, ЕННЭШВЯНВВИИВЯ

шипя

1.ЯП

ЁЙЗШЖЗ« _

Рис. 8. Результаты сегментации ИК снимков

По результатам сегментации можно достаточно точно определить форму и размер скрытых объектов.

В заключении сформулированы полученные результаты и приведены основные выводы.

В приложении приведен пакет прикладных программ, написанный на языке С++, реализующий алгоритм численной стабилизации обратного

маятника посредствам гистерезисного движения нижней точки крепления и алгоритм сегментации монохромных изображений с помощью модели биологической нейронной сети гистерезисной природы. Минимальные системные требования для работы программного комплекса: Windows ХР, 1ГБ ОЗУ, НЖМД - 10 Гбайт, тактовая частота процессора: 2ГГц.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

• Разработан метод стабилизации модели механической системы, состоящей из обратного маятника, жестко связанного с системой цилиндр-поршень;

• Показано, что рассинхронизации отрицательно влияет на диссипативность системы;

• Разработан метод оптимального функционирования модели обратного маятника с люфтом на конечном временном интервале;

• Произведено численное исследование модели биологической нейронной сети с гистерезисными свойствами во входных и связных воздействиях; построены и исследованы аттракторы модели;

• Разработан алгоритм сегментации изображений с помощью модели биологических нейронных сетей с гистерезисными свойствами;

• Разработан комплекс программ для апробации и тестирования предложенных методов и алгоритмов, проведение численных экспериментов.

Список публикаций по теме диссертации Журналы, включенные в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций па соискание ученой степени кандидата наук»

1. Грачиков Д.В. Стабилизация перевернутого маятника вертикальными осинлляииями с помощью гнстерезисного управлений Д.В. Грачиков, М.Е. Семенов, Д.В. Шевлякова, О.И. Канищева // Наукоемкие технологии. - 2013. -№3.-С. 27-34.

2. Грачиков Д.В. Стабилизация, рассинхронизация и оптимальное управление обратным маятником с гистерезисными свойствами / Д.В. ГрачиковМ.Е. Семенов, Г.Н., Лебедев, О.И. Канищева // Вестник, серия «Системный анализ и информационные технологии», ВГУ, — 2013. -№ 1. — С. 29-37.

3. Grachikov D.V. Stabilization and Control Models of Systems With Hysteresis Nonlinearities / Grachikov D.V, Semenov M.E., Mishin M.Y., Shevlyakova D.V. // European Researcher . 2012. - Vol. (20) № 5-1., pp. 523-528

Другие публикации

4. Грачиков Д.В. Стабилизация перевернутого маятника с помощью вертикальных периодических осцилляций посредством гистерезисного управления / Грачиков Д.В., Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов, Шевлякова Д.В. // Кибернетика и высокие технологии XXI века: сборник трудов XII международной научно-технической конференции: Воронеж, 2011. Т.2. - С. 431-441.

5. Грачиков Д.В. Стабилизация обратного маятника с гистерезисной нелинейностью / Д.В. Грачиков, М.Е. Семенов, Д.В. Шевлякова // Современные

технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации: труды XX Международного научно-технического семинара. Сентябрь 2011 г., Алушта. -Изд-во ПГУ, 2011. - С. 34.

6. Грачиков Д.В. Синхронизация нейронных ансамблей при помощи МРК / Д.В. Грачиков, М.Е. Семенов, О.И. Канищева, A.M. Соловьев // Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации: труды 21 Международного научно-технического семинара. Сентябрь 2012 г., Алушта. - Изд-во ПГУ, 2012. - С. 85.

7. Грачиков Д.В. Сегментация монохромных изображений с использованием биологической нейронной сети гистерезисной природы/ Д.В. Грачиков, М.Е. Семенов, О.И. Канищева // Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации: труды 22 Международного научно-технического семинара. Сентябрь 2013 г., Алушта. - Изд-во МГУ ПИ, 2013.-С. 14-15.

8. Грачиков Д.В. Исследование динамической системы с гистерезисной нелинейностью / Д.В. Грачиков, М.Е. Семенов, М.Ю. Мишин // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования: Материалы IV международной научной конференции, Воронеж, 12-17 сентября 2011 г.

9. Грачиков Д.В. Модели стабилизации механических систем с гистерезисными свойствами / Д.В.Грачиков, М.Е. Семенов, О.И. Канищева, Д.В. Шевлякова // HTCS-2012,Материалы межд. научн.-техн. конф. «Современные сложные системы управления -X», Ст.Оскол, 2012, - С. 80-83

10. Грачиков Д.В. Сегментация монохромных изображений с использованием биологической нейронной сети гистерезисной природы / Д.В. Грачиков, М.Е. Семенов, О.И. Канищева // Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта: Материалы 7-й межд. научно-техн. конф. - Вологда: ВоГТУ, 2013. — С. 54-57

11. Грачиков Д.В. Синхронизация нейронных ансамблей в нейронной сети гистерезисной природы. / Д.В. Грачиков, М.Е. Семенов, О.И. Канищева // Материалы XIII международной научно-технической конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии», Воронеж, т.1 . — С. 344-346

11. Грачиков Д.В. Расчет параметров динамических систем с гистерезисными свойствами. / Д.В. Грачиков, М.Ю. Мишин, М.Е. Семенов // Реестр программ для ЭВМ, регистрационный № 2011617057 от 10.10.2013г

Подписано в печать 17 октября 2013. Формат 60X84 1/16. Уч.-изд. 1. Усл.-печ. 1.1. Бумага писчая. Тираж 100 экз. Заказ №437.

Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы и учебно-методических пособий Воронежского государственного архитектурно-строительного университета 394006 г. Воронеж, ул. 20-летяи Октября, 84

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04201365257

Грачиков Дмитрий Вячеславович

Модели стабилизации и синхронизации механических систем и нейронных сетей с гистерезисными свойствами

специальность 05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

научный руководитель д.ф.-м.н. Семенов М.Е.

Воронеж 2013

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ........................................................................................................4

ГЛАВА 1. ГИСТЕРЕЗИСНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.............................................13

1.1. Понятие гистерезисного преобразователя............................................13

1.2. Неидеальное реле.....................................................................................15

1.3. Обобщённый люфт................................................................................25

1.4. Дифференциальные уравнения с гистерезисными нелинейностями . 27

ГЛАВА 2. ОБРАТНЫЙ МАЯТНИК С ГИСТЕРЕЗИСНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ................................................................................................33

2.1. Гистерезисный преобразователь-люфт.................................................34

2.2. Стабилизация. Обсуждение результатов...............................................36

2.2.1. Аналитическое исследование задачи стабилизации......................36

2.2.2. Достаточное условие диссипативности колебаний маятника.......38

2.2.3. Неидеальное реле в обратной связи.................................................40

2.2.5. Случайные рассинхронизации в управлении.................................44

2.2.4. Обсуждение результатов стабилизации..........................................46

2.3. Оптимальное функционирование...........................................................46

2.3.1. Оптимальное управление в классе периодических функций........49

2.4. Выводы......................................................................................................52

ГЛАВА 3. МОДЕЛЬ БИОЛОГИЧЕСКОЙ НЕЙРОННОЙ СЕТИ ГИСТЕРЕЗИСНОЙ ПРИРОДЫ...............................................................................54

3.1. Модель нейрона Кащенко - Майорова..................................................55

3.2. Модель памяти нейронов Радченко.......................................................56

3.2.1. Химическое воздействие на МРК....................................................57

3.2.2. Электрическое воздействие..............................................................58

3.3. Описание модели.....................................................................................59

3.4. Исследование полносвязной нейронной сети со «слабой» связью. 62

3.5. Исследование полносвязной сети с «сильной» постоянной гистерезисной связью...............................................................................................65

3.6. Выводы......................................................................................................67

ГЛАВА 4. СЕГМЕНТАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ГИСТЕРЕЗИСНОЙ НЕЙРОННОЙ СЕТИ..............................................................68

4.1. Описание модели нейронной сети.........................................................69

4.2. Сегментация изображений гистерезисной нейронной сетью.............70

4.3. Сегментация оптимизированной нейронной сетью.............................75

4.4. Задача теплового видения....................................................................80

4.5. Сравнение численных методов сегментации изображений и алгоритма с использованием биологической нейронной сети гистерезисной природы......................................................................................................................92

4.6. Результаты................................................................................................94

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...............................................................................................95

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..............................................................................96

ПРИЛОЖЕНИЕ.............................................................................................107

ВВЕДЕНИЕ

Модели процессов и систем прикладных задач физики, теории автоматического регулирования, нейронных сетей и т.д. сводятся к системам дифференциальных уравнений, содержащим помимо обычных

функциональных нелинейностей - нелинейности гистерезисной природы (колебания ферромагнитного шарика в магнитном поле; вынужденные колебания физического маятника, управляющим воздействием на который является выход гистерезисного преобразователя; электромагнитные колебания в контуре, содержащем сегнетоэлектрические конденсаторы; гистерезисные особенности нейронов[32-34] и многие другие) [22]. В механических системах, вследствие старения и износа деталей, неизбежно возникают люфты, упоры, имеющие, по сути, гистерезисную природу, поэтому их необходимо учитывать на этапе разработки и проектирования систем. При этом носители гистерезиса, как правило, нельзя рассматривать изолировано[22,35-37], так как они являются частью более сложной системы. Важный класс таких систем составляют управляемые системы и системы автоматического регулирования из различных предметных областей[35-37]. Гистерезисные преобразователи естественным образом появляются в этих системах как математические модели разнообразных гистерезисных явлений. Возможность изучения таких систем основывается на развитой М.А. Красносельским и A.B. Покровским операторной трактовке гистерезисных преобразователей как операторов[22-23], определенных на достаточно мощном функциональном пространстве, зависящих от своего начального состояния как от параметра. Системы с гистерезисными нелинейностями обладают рядом специфических особенностей коренным образом отличающих их от традиционных систем с функциональными нелинейностями. К их числу, в первую очередь, относятся недифференцируемость гистерезисных операторов[10,22,35-37], необычность фазовых пространств, включающих в себя пространства состояний соответствующих гистерезисных преобразователей, в общем случае не

обладающих линейной структурой и некоторые другие. Следовательно, анализ и синтез моделей оптимального функционирования систем с гистерезисными нелинейно стями требует разработки новых методов, учитывающих упомянутые выше особенности. Кроме того, как показывают простые примеры, для систем с гистерезисом типична ситуация, когда в них принципиально нереализуемы асимптотически устойчивые режимы[22,35-37], что затрудняет численную реализацию методов их приближенного построения. Это обуславливает необходимость разработки алгоритмов построения переходных процессов в управляемых системах с гистерезисными нелинейностями. Из небольшого числа работ посвященных задачам анализа моделей систем с гистерезисными нелинейностями отметим работы А. М. Красносельского[18-22], Д.И. Рачинского [25-26]. Таким образом, актуальной является задача разработки методики построения оптимального функционирования и стабилизации класса систем с гистерезисными нелинейностями, а также разработки алгоритма приближенного построения их решений.

В связи с приведенными особенностями гистерезисных явлений особый интерес представляют механические системы с гистерезисными нелинейностями. Частный случай таких систем - обратный маятник с гистерезисной нелинейностью в нижней точке крепления подробно рассматривается в работе.

Исследования обратного маятника берут свое начало с работ П.Л. Капицы [73, 80] и продолжаются по сей день[72-74, 86-88]. Как известно, обратный маятник часто встречается при решении задач стабилизации[73, 77, 83, 84, 86], т.к., имея нелинейную природу, его исследование позволяет ответить на множество вопросов по стабилизации более сложных нелинейных систем. Необходимо ответить, что модель обратного маятника активно используется в задачах физики[76], прикладной математики[84], инженерии[82, 85], экономики[37] и других областях. Простота обратного маятника и, в тоже

время, сложность и наглядность его стабилизации делают данную механическую систему удобной для использования во многих научных лабораториях. Самыми распространенными методами стабилизации обратного маятника являются методы вертикальных[77, 83, 84] и горизонтальных[76] осцилляций подвеса, и метод, когда нижний конец маятника крепится на тележку, которая может совершать поступательные и круговые движения[75].

Как известно, во многих механических системах вследствие старения и износа деталей неизбежно возникают люфты и упоры, которые необходимо учитывать на стадии проектирования систем[36]. Математические модели подобных нелинейностей, согласно работам М.А. Красносельского[18-22], сводятся к операторам, представляющих собой отображений в соответствующих функциональных пространствах. Динамика операторов представляет собой зависимость выходных состояний от входных воздействий.

Приведенные особенности механических систем можно отобразить в моделях в виде цилиндра, перемещение которого вызывается движением поршня. Таким образом, в работе рассматривается динамика механической системы зависящей от управляющего воздействия имеющего гистерезисную природу. Отметим, что рассматриваемая в работе модель обратного маятника с гистерезисной нелинейностью в нижней точке крепления может быть успешно внедрена в совершенно различных моделях других систем.

Еще одной областью, где возникают явления гистерезисной природы, является нейрофизиология[27-34]. Гистерезисные эффекты проявляются в функционировании нейронов на различных уровнях, в том числе они играют ключевую роль в работе кратко- и долговременной памяти. Впервые это явление было отмечено в работах А.Н. Радченко[32-34]. Гистерезисная природа функционирования нейронов естественным образом повышает эффективность применения нейронных сетей для решения прикладных задач, одной из которых, решаемой в области компьютерного зрения, является предварительная обработка поступающих данных для их упрощения в последующем

использовании[39-60]. В эффективности решении выделения важных объектов из огромного зрительного потока информации эталоном является человеческий мозг, поэтому для разработки систем распознавания образов необходимо использовать модели биологических нейронных сетей с присущими им гистерезисными свойствами. Отметим в этой связи цикл работ С.А. Кащенко и В.В. Майорова[61-65], где модели биологических нейронов были достаточно подробно исследованы. Однако, гистерезисные эффекты в моделях биологических нейронов к настоящему времени не нашли должного освещения. Поэтому задача, связанная, с анализом моделей биологических нейронных сетей с гистерезисными свойствами является важной и актуальной.

В компьютерном зрении распространен подход разбиения цифровых изображений на несколько сегментов (множества пикселей) согласно их цвету, яркости, расположению и т. д. Данный процесс называется сегментацией - она распространена в медицине, географии и других науках в связи с ростом объемов данных, требующих анализа[39-60].

На данный момент существует множество численных алгоритмов сегментации изображений, которые, так или иначе, лишь незначительно приближаются по своей эффективности к головному мозгу, который может выявлять объекты из огромного потока информации и является эталоном в решении множества задач компьютерного зрения. Решить задачу сегментации с применением законов функционирования головного мозга можно при помощи моделей биологических нейронных сетей, однако должного внимания этим моделям до недавнего времени не было уделено[32-34].

В настоящее время в теории нейронных сетей активно развивается направление по изучению осцилляторных аспектов функционирования мозга[61-65], центральное место в которых отводится задачам, способных дать ответы на важные вопросы психологии и нейробиологии. Существует ряд моделей, которые в силу разной степени своей биологической обоснованности, способны показать взаимодействие нейронов в коре головного мозга[27-31].

1

Наиболее приближенной к биологическим данным является модель Ходжкина-Хаксли, которая в силу своей сложности для экспериментов практически не применяется для моделирования нейронных сетей.

Особо отметим модель С.А. Кащенко - В.В. Майорова[61-65], в которой учтены биологические особенности нейронов. С ее помощью были исследованы нейронные кольцевые структуры, которые образуются в коре головного мозга и играют важную роль в формировании долговременной памяти.

Ключевыми особенностями в моделях биологических нейронных сетей являются организация связей между нейронами и реакция нейронов на внешнее воздействие. В своих работах А.Н. Радченко [32-34] описал реакцию нейронов на внешние возбудители. Согласно проведенным исследованиям нейрон окружен клеточными образованиями (кластерами), которые по закономерности, имеющей гистерезисную природу, способны запустить эндогенные (внутренние) процессы в нейроне и, тем самым, вызвать спайк. Открытые А.Н. Радченко закономерности еще не нашли отражения в моделях нейронных сетей, однако они позволяют естественным образом описать реакцию нейрона на внешние возбудители, благодаря чему возможно организовать работу нейронной сети для решения распространенных задач кластеризации, классификации и т.д.

Цель работы. Разработка и развитие качественных и приближенных аналитических методов, численных алгоритмов анализа оптимального функционирования, стабилизации и синхронизации для классов механических систем и биологических нейронных сетей с гистерезисными нелинейностями.

Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач: • разработка метода стабилизации модели механической системы, состоящей из обратного маятника, жестко связанного с системой цилиндр-поршень; исследование влияния рассинхронизации на диссипативность системы;

• разработка метода оптимального функционирования модели обратного маятника с люфтом на конечном временном интервале;

• численное исследование модели биологической нейронной сети с гистерезисными свойствами во входных и связных воздействиях; построение и исследование аттракторов модели;

• разработка алгоритма сегментации изображений с помощью модели биологических нейронных сетей с гистерезисными свойствами;

• разработка комплекса программ для апробации и тестирования предложенных методов и алгоритмов, проведение численных экспериментов.

Объекты исследования — механические системы и нейронные сети с носителями гистерезисных явлений.

Предмет исследования — математические модели систем с гистерезисом, алгоритмы, программные методы стабилизации, численные и аналитические методы построения оптимальных переходных процессов в системах с гистерезисом.

Методы исследования. При выполнении работы использовались методы математического моделирования, операторная теория гистерезиса, качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического регулирования, нелинейный анализ, численные методы решения дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

• предложен метод стабилизации модели механической системы, состоящей из обратного маятника, жестко связанного с системой цилиндр-поршень, отличающийся наличием гистерезиса в обратной связи; показано, что рассинхронизация во внешних воздействиях приводит к потере диссипативности системы;

• предложен метод оптимального функционирования модели обратного маятника с люфтом на конечном временном интервале, учитывающий гистерезисные свойства во внешнем воздействии;

исследована динамика модели биологической нейронной сети с гистерезисными свойствами: построены аттракторы, исследована зависимость синхронизации отдельных нейронов от коэффициента связи;

разработаны численные алгоритмы сегментации изображений с помощью однослойной и двухслойной нейронных сетей, отличающиеся наличием гистерезисных свойств у отдельных нейронов во входных воздействиях;

• разработаны комплексы программ для реализации алгоритма стабилизации обратного маятника с гистерезисом и для моделирования динамики биологической нейронной сети гистерезисной природы и сегментации изображений с ее применением.

Область исследований. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки). Область исследования соответствует п.1 «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений», п. 2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей», п. 5 «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Практическая значимость работы. При моделировании механических систем люфты и упоры практически не учитываются, однако они неизбежно возникают в результате старения и износа электрических и механических составляющих. Разработанный алгоритм стабилизации механического маятника может послужить основой для программной реализации устойчивого функционирования различных систем с гистерезисными свойствами.

Исследованная в работе модель нейронной сети с гистерезисными свойствами позволяет более точно моделировать функционирование головного мозга и, тем самым, изучить закономерности его работы. Таким образом,

получен новый инструме�