автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели систем с сосредоточенными параметрами и гистерезисными явлениями, оптимизация функционирования ресурсодобывающих компаний

На пр^^^^кописи

МАКАРЕВИЧ ВИКТОРИЯ ЯРОСЛАВОВНА

Математические модели систем с сосредоточенными параметрами и гистерезисными явлениями, оптимизация функционирования ресурсодобывающих компаний

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2008

003453304

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и экономико-математических методов Воронежской государственной технологической академии.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор СЕМЕНОВ Михаил Евгеньевич

(Воронежская государственная технологическая академия)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ПЕРЦЕВ Николай Викторович (Омский филиал инсттуга математики СО РАН);

доктор физико-математических наук, профессор САПРОНОВ Юрии Иванович

(Воронежский государственный универаггет)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмичекого приборостроения

Защита состоится « 23 » октября 2008 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 в Воронежской государственной технологической академии по адресу: 394017 г. Воронеж, проспект Революции, 19.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, направлять на адрес совета академии.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия».

Автореферат разослан « 23 » сентября 2008 года.

Автореферат размещен на официальном сайте ГОУ ВГТА vvvvw.vgla.vrn.ru « 23 » сентября 2008 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д°И- И.А. Хаустов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы гистерезисные явления активно изучаются в технике, физике экономике и других естественнонаучных областях. Необходимость учета гистерезис-ных нелинейностей диктуется, прежде всего, потребностью детального и адекватного описания процессов и явлений из различных областей естествознания. Возможность исследования таких систем основывается на операторной трактовке гистерезисных нелинейностей, разработанной М.А. Красносельским, А.В.Покровским. Гистерезисные явления имеют место в ряде экономических процессов. В частности, объективно существующая инертность потребительского спроса обусловливает гистере-зисный характер функции спроса. Макроэкономические объекты также демонстрируют «гистерезисное» поведение: например -зависимость индекса цен от суммарной денежной массы. Учет нелинейностей гистерезисной природы приводит к необходимости разработки новых подходов к решению целого ряда задач моделирования, анализа экономических процессов и систем. • -

Одним из объектов исследования в работе является наличие устойчивых решений уравнений моделей, сводящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка, которые являются математической моделью различных динамических процессов широкого предметного спектра. При этом, акцент в работе делается на экономические аспекты на примере оптимизации функционирования ресурсодобывающих компаний с целью определения темпа добычи полезных ископаемых.

В связи с вышеизложенным тема исследования-обладает научной актуальностью и практической значимостью.

Работа выполнена в соответствии с планом госбюджетных НИР ВГТА по теме - «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» (№г.р. 01200003664).

Цель работы. Анализ математических моделей систем с сосредоточенными параметрами и гистерезисными нелинейно-

стями, разработка на его основе алгоритмов оптимальной производственной деятельности ресурсодобывающих компаний.

Достижение указанной цели осуществляется посредством решения следующих задач:

■ классификация моделей систем (на примере физики, техники и экономики), сводящихся к дифференциальным уравнениям второго прядка с гистерезисными нелинейностями;

■ идентификация класса моделей таких систем по признаку реализации устойчивых циклов и синтез алгоритма их приближенного построения, оценка реализуемости и сходимости;

■ разработка математической модели оптимальной производственной деятельности ресурсодобывающей компании в условиях агрегированной функции издержек и ее реализация;

■ проведение вычислительных экспериментов и апробация моделей к различным внешним условиям на примере гистере-зисного поведения цены и учета конкуренции.

Методы исследования. При выполнении работы использовались операторная теория гистерезиса, метод математического моделирования сложных систем, качественная теория дифференциальных уравнений, теория управления, нелинейный анализ.

Научная новизна работы. В работе получены следующие результаты:

■ идентификационный признак наличия устойчивых циклов при классификации моделей, сводящихся к дифференциальным уравнениям второго прядка с гистерезисными нелинейностями;

■ алгоритм построения устойчивых циклов, условия его реализации и сходимости;

■ математическая модель производственной деятельности ресурсодобывающих компаний для описания оптимального их функционирования в условиях гистерезисной зависимости функции спроса от цены;

■ результаты вычислительных экспериментов для случая конкурентного равновесия на идеальном ресурсодобывающем рынке при линейном характере функции издержек.

Практическая ценность работы. Результаты работы позволяют проводить прогнозирование реально наблюдаемого за-

паздывания при переходе инвестиций в фонды и, как следствие, получать более надежные оценки динамики изменений некоторых макроэкономических параметров рынка ресурсодобывающих компаний. Идентифицированный класс уравнений может рассматриваться в качестве базовой математической модели различных систем, (например колебательного контура, математического маятника и других),при наличии диссипативных явлений гис-терезисной природы, что позволит повысить адекватность математического описания физических и технических систем .

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих международных конференциях: «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005),; XX Понтрягинские чтения (Воронеж, 2005),; «Экономическое прогнозирование: модели и методы» ( Воронеж ,2006),; «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования» (Тамбов, 2006),; «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 2007),; «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2007).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 печатных работ. Личное участие автора в работах, выполненных в соавторстве, заключалось в разработке модели гистере-зисной функции различной предметной ориентации [1,2,5,7], разработке и исследовании моделей оптимальной производственной деятельности ресурсодобывающих компаний [4,6].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы, включающего 117 наименований. Диссертация изложена на 110 страницах, включает 28 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведены общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы диссертации, изложено ее краткое содержание.

В первой главе приводится анализ известных моделей из различных предметных областей, сводящихся к дифференциальным уравнениям второго порядка с гистерезисными нелинейностями. Рассматриваются новые подходы к построению моделей функции спроса, учитывающих ее гистерезисный характер.

Следуя классическим схемам М.А. Красносельского и A.B. Покровского, гистерезисные операторы трактуются как преобразователи, определенные на пространстве непрерывных функций, динамика которых описывается соотношениями: вход - состояние и состояние - выход. Через /?, дг0] обозначается двухпозиционное реле с пороговыми числами а и ß. Пространством состояний неидеального реле является пара чисел {0, 1}. Связь между входом u{t) е С[0,] и переменным выходом jc(i) е {О, l} устанавливается оператором R[a,ß,x0\. x{t) = R[a,ß,x0]i{t), здесь х0 - начальное состояние преобразователя.

Динамику входно-выходных соответствий преобразователя неидеального реле иллюстрирует рис. 1.

Начальное состояние хо преобразователя должно удовлетворять следующим условиям: х , i

;- если м(0) < а, то х0 = 0;

если и(0) > ß, то xQ - 1; j-если а < и(0) < ß, то х0 = 0 или д:0 = 1.

Рис.1.

Преобразователем Прейсаха называют континуальный аналог преобразователя, состоящего из неидеальных реле, соединенных параллельно.

Рассмотрен частный класс таких преобразователей. Пусть на полуплоскости Ра р = {а, ß: а < ß) определена положительная абсолютно непрерывная суммируемая функция X = X{a,ß). Пусть мера ju(t) определена на полуплоскости Ра ß равенством:

djj. = X{a,ß,t)dadß.

Измеримыми по мере /л будут все измеримые по Лебегу

1

множества, в том числе и имеющие бесконечную меру. Мера ¡л абсолютно непрерывна относительно двумерной лебеговой меры, при всех Ы), если выполнено условие:

<оо, где cr(v) = шах Л(а,р).

Обозначим через ц/ класс ограниченных функций, заданных на неотрицательной полуоси и удовлетворяющих условию Липшица с коэффициентом, равным единице. Введем в рассмотрение множество Q скалярных функций со{а, /?), заданных на

полуплоскости Ра р = {а, р-.а <р) и таких, что:

ata.fi) J0' + >«"</?-*). (1)

[1, если а +Р <y/(fi-а),

где ip{v) е у/. Множество Q - пространство возможных состояний преобразователя Прейсаха.

Пусть задан произвольный элемент со0(а,/3) е П . Допустимыми для преобразования Прейсаха находящегося в начальном состоянии со0(а,Р) являются все непрерывные входы u(t),t > 0, удовлетворяющие равенству *¿(0) = у0(0), где а>0(а,р) и у/а(у) связаны соотношением (1).

Соотношение вход - переменное состояние преобразователя Прейзаха(Г, устанавливается оператором Г:

co(a(y),p(y),t) = r[co0(r)Ut) = R[a>0(a,fi,r),a(y),fl(r)Ut), где у - параметр, у е Ра,р •

Выход преобразователя (Г,^) определяется соотношением:

£(/) = ¡ü)(a,p,t)dM = M(ía,P}: R[co0(a,P),a,PMt) = 1).

a¿p

Рассмотренные преобразователи находят широкое применение в различных технических, экономических и других задачах.

Вторая глава работы посвящена анализу математических моделей систем, которые сводятся к дифференциальным уравне-

ниям второго порядка, правая часть которых содержит гистере-зисные нелинейности:

7 + 57=6(7,7) . (2)

Эти уравнения находят широкое применение в различных областях естествознания. На рис. 2, 3 приведены примеры механической системы и электрической системы, динамика которых описывается уравнением (2).

С

ч ь

-ЛЛЛг

Рис. 2. Рис. 3.

1 = Уьс

Если шар рис. 2 обладает магнитными свойствами, и помещен в неоднородное магнитное поле, то правая часть уравнения (2) будет содержать гистерезисную нелинейность.

Аналогично, если внешняя нагрузка колебательного контура, изображенного на рис.3 будет зависеть от заряда У или силы тока 7 гистерезисным образом, то уравнение, описывающее динамику системы, также будет содержать гистерезисные нелинейности. Следующий пример занимает центральное место в работе - динамическая модель макроэкономики.

Как было показано Кейнсом, Самуэльсоном, Т.Пу уравнение (2) описывает динамику изменения совокупного дохода замкнутой экономической системы. В этом случае параметр 5 характеризует накопление, а правая часть есть функция инвестиций, которая в настоящей работе, выбирается из предположения, что потенциально восприимчивый к инвестициям сектор имеет доменную структуру.

Переменное состояние домена 0)(1), принимающее одно из

значений: 1 или -1, зависит от начального состояния со0 - со(0),

управляющего воздействия 7 - скорости изменения дохода и пороговых чисел а и ¡3, различных для разных доменов - значе-

ний управляющего воздействия, при которых происходит изменение состояний. В итоге переменное состояние каждого индивидуального домена определяется оператором /?, <У0 ],

а)(О = Ща,0,а)о]Г,

где Я[а, ¡3, й)0 ] полностью аналогичен неидеальному реле, с той

лишь разницей, что нулевое состояние заменено на состояние (-1) которое состояние соответствует «проеданию» основного капитала.

Выход (функция эффективности) <!;({) каждого индивидуального домена определяется его состоянием и коэффициентом у (у > 0)для которого = уа>(I). Таким образом функцию инвестиций целесообразно выбрать в виде континуального аналога семейства «модифицированных» неидеальных реле, соединенных параллельно - преобразователя Прейсаха, в пространстве состояний которого роль нулей будут играть минус единицы. В этом случае математическая модель динамики отклонения дохода от стационарного значения такова:

(3)

£(0= {<у(сг,А/)ф, (4)

а<р

а)(а,/},0 = д[й)0(а,Р)]У. (5)

Здесь 7(0 - отклонение совокупного дохода от стационарного значения, V > 0 , второе слагаемое правой части уравнения (3) устанавливает ограничение для роста доходов - традиционно используется в макроэкономических моделях. Уравнения (4), (5) описывают соотношения вход-состояние и состояние-выход преобразователя аналогичному преобразователю Прейсаха. Очевидно, что расстояние между пороговыми числами а ,Р не должно быть неограниченным, поэтому носитель меры /л должен быть финитным, кроме того он должен быть симметричен относительно прямой а + ¡5 = 0.

При сделанных предположениях частное решение системы (3)-(5) будет выделяется заданием начальных условий:

У(0)= У о, У(0)= Ч ,со{а,Р) = (Оо{а,Р), где У "согласовано" с ¿у 0( Основным при изучении

свойств системы (3)-(5) является вопрос о существовании устойчивых циклов (нетривиальных периодических решений).

Теорема 1. Пусть выполнено неравенство 0<\><1/2, тогда система (3)-(5) имеет по крайней мере одно орбнтально устойчивое решение - устойчивый цикл.

Доказательство проведено по нижеприведенной схеме:

¥

Рис.4. Рис.5.

На первом этапе доказываем существование инвариантного множества у системы (3) -(5) см. рис 4 .

На втором доказывается, что угловая функция каждого решения системы (3) -(5) (см. рис. 5) монотонно убывает и удовлетворяет соотношению Нщ ф{{\ = —оо

(-»+оо

В результате показано, что можно определить отображение у: [А;В]—>[А;В] сопоставляющее каждой точке X отрезка [А;В] фазовой плоскости системы точку этого отрезка в которой решение, начавшееся в ней впервые пересечет отрезок [А;В]. В силу автономности системы (3)-(5) неподвижные точки этого отображения будут являться начальными значениями периодических решений, а устойчивые неподвижные точки будут соответствовать начальным значениям орбитально устойчивых решений.

Для дальнейших построений линейно отобразим отрезок [А;В] в отрезок [0;1]. с!: [А;В] -»[0;1]. По опредлению отображение / = ¿у удовлетворяет свойствам /(0) > 0; /(1) <;1 /(х) - возрастает и непрерывна. Кроме того, неподвижной точке х* отображения / соответствует точка (с1 \{/)~ (х*) = (0; У* (0))

фазовой плоскости системы (3)—(5), являющаяся начальным значением орбитально устойчивого решения.

Поэтому для доказательства существования орбитально устойчивого решения достаточно установить наличие устойчивых неподвижных точек отображения /.

Для этого выбрана последовательность {сгп} монотонно убывающую к нулю, где с, < min {/(0);1 - /(1)} .

Строится вспомогательная последовательность

где г, - первый член последовательности, удовлетворяющий неравенству wn -f(wn) > cr} . Пусть первые к членов последовательности {zk} построены. Определен к+1 -й член как первый член последовательности {и>п}где wn+1= /(w„) + (-\)к+х<7к, удовлетворяющий неравенству (-1)*+1 (w„+, -/(и>„)) > ак+2.

Возможность реализуемости алгоритма и его сходимость установлена в теореме 2.

Теорема 2. При любом п члены последовательности {zn } могут быть построены так, что верны неравенства

zQ <Z2 <......<Z2n <—<Z» Z2#I_, <.....<Z3 <Z, )

где z**, Z* - единственные предельные точки последовательности {z„ \ , являющиеся устойчивыми неподвижными точками отображения /.

Если Z* = Z*,„ , то гарантируется единственность устойчивого цикла. Если же выполняется условие Z* Ф Z** , то справедлива теорема.

Теорема 3. Пусть Z* Ф Z** , тогда существует од-нопараметрическое семейство z(0) = 6fc* + (1 — 6)z„ неподвижных точек отображения /.

Тогда система (3) - (5) имеет однопараметрическое континуальное семейство устойчивых циклов.

В третьей главе разработана математическая модель оптимальной производственной деятельности ресурсодобывающей компании.

Предполагается, что фирмы, функционирующие в условиях абсолютной конкуренции, являются собственниками запасов ресурса с единоличным доступом к ним. Удельные затраты, прихо-

дящиеся на добычу полезного ископаемого могут зависеть от целого ряда как экономических, так и природных факторов.

В данной работе рассмотрен случай функциональной зависимости удельных затрат от объемов добычи, в предположении, что удельные затраты добычи невоспроизводимого природного ресурса С могут быть представлены как функция объемов добычи X. С = ОД.

Задача заключается в определении стратегии извлечения ресурса, которая, по мере истощения месторождения, позволит максимизировать приведенную прибыль, получаемую от добычи.

т

|р(0-Щ)-С{Х), (6)

о

где р(() - цена в момент времени г - дисконтирующий множитель. При ограничении на изменение запасов

к=-х ,ад=д0 . (7)

Используя стационарность функции Гамильтона,

Н = {р(1)-х(0-С(х)-Х-ХиУ . Получаем ЕЁ- = о , следовательно

ЭХ и = р-Х-С'х(Х)-С(Х) • (8)

Соотношение (8) определяет значение двойственной оценки невоспроизводимого ресурса и, равное величине чистой прибыли, получаемой при добыче и реализации последнего с учетом величины экономии на масштабах производства.

С экономической точки зрения и интерпретировано, как стоимость невоспроизводимого ресурса или, как стоимостное выражение упущенной выгоды (альтернативные издержки) будущих периодов, эта функция удовлетворяет соотношению

й. = ги--=>й = ги

' дЯ

Это условие устанавливает оптимальный темп прироста стоимости невоспроизводимого ресурса, который равен коэффициенту дисконтирования, что означает равенство значений приведенной стоимости единицы недобытого ресурса, для любого интервала времени.

Так как текущее знамение оценки недобытого ресурса оказывает одновременное влияние на изменение цен и объемов добычи, то: — -у-—-\— . (9)

Р {\-ГрЛ2С(Х) + Х-С"хАХ)))-р

Аналогично для функции темпа добычи поучено

Х =---—- . (10)

(/;\Х)-{2СХ(Х)+Х-С:Х(Х)))

Соотношения (9), (10) определяют оптимальную траекторию разработки месторождения.

В дальнейших построениях предполагается существование так называемой «шоковой цены» р - при которой ресурс перестает покупаться.

Для класса модельных случаев, когда темп разработки определяется соотношением X (t) = [р * - p(t)\/a или X (/) = Г [й> 0 (/), где Г[(У0] - преобразователь Прейсаха с инверсией нулей и единиц, такой что X(t) = 0 при p{t) > р (для этого достаточно чтобы носитель меры был сосредоточен на части плоскости, удовлетворяющей неравенству ß < р ) и функция затрат является линейной функцией темпа разработки

С(Х) = д-Х(0 + с удалось определить время разработки месторождения Т и его начальную стоимость и(0).

В первом случае она определялась из системы

7, = [ln(p'-c)-ln(M(0))/r] (,1)

(р' -с)-Т~[р' -р(0)]/г = R(o + 2b) . (12)

Во втором, задача свелась к интегральному уравнению

г"' Jr [®о ]p(r)dv = р* - u(t)

где Т определялось'из (12).

В заключительном разделе третьей главы рассмотрена задача конкуренции двух ресурсодобывающих компаний на совершенном рынке, где спрос в каждый момент времени определяется соотношением D(t) = - p(f)\l а

где D(t) - суммарный объем предложения.

Пусть Ri, R2 - запасы ресурсов добывающих фирм. Функции издержек фирм имеют вид

С, (X, (0) = (0 с2 (Х2 (0) = Ь2х2 (0

Предполагается, что в момент окончания разработки второго месторождения текущая цена совпадает с шоковой

Рг(Гг) = Р ■

Тогда время разработки, а также начальные стоимости будут определяться из системы

'7-2=[ln(p)-ln(«2(0))]/r,

м, (Г,) = [а • и2 (Г, ) + 2Ь2р ]/(а + 1Ъ2), ' (a + 2bl)-Rl+aR2 = р% -[м,(Г,)-и,(0)]/г Ф ® [аР • <?г - Тх ) - а(м2 (Г2 ) - и2 (Г, ))]/(« + 2Ô2 ), aRx +(a + lb2)- R2 = p'T2 - \p' - u2 (0)]/r

Ha рис. 6 приведены результаты численных расчетов для модельного случая:

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Для класса моделей систем, сводящихся к автономным дифференциальным уравнениям второго порядка с гистерези-ными нелинейностями, приведены условия гарантирующие, существование устойчивых циклов.

2. Разработан алгоритм приближенного построения, устойчивых циклов, приведены условия его реализуемости и сходимости.

3. Найдены условия, обеспечивающие существование однопа-раметрического семейства устойчивых циклов.

4. В условиях агрегированной функции издержек и гистере-зисной зависимости спроса от цены разработана модель производственной деятельности ресурсодобывающей компании, приведены условия, оптимизирующие эту деятельность.

5. Проведены вычислительные эксперименты, адаптирующие приведенную модель к различным внешним условиям - наличию конкуренции, гистерезисному поведению параметров модели.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в изданиях, определенных ВАК РФ по научной специальности диссертационной работы:

1. Семенов, М.Е Устойчивые циклы в модели макроэкономики с гистерезисной функцией инвестиций [Текст] / М.Е.Семенов,

B.Я.Макаревич, О.В.Тимченко, A.C.Бутов // Системы управления и информационные технологии,- 2008. - № 1-2(31). - С. 259-264. Другие публикации:

2. Семенов, М.Е. Модель макроэкономики с гистерезисной функцией uneecmuifuit [Текст] I М.Е. Семенов, М.Г. Матвеев, О.И. Канищева, В.Я. Макаревич // Экономическое прогнозирование: модели и методы: материалы межд. науч.-практ. конф. 30-31 марта 2006 г. - Воронеж : Из-во Воронеж.гос.ун-та, 2006. - Ч. 2. -

C. 29-33.

3. Семенов, М.Е. О резонансных свойствах одного уравнения Матье с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов, О.И. Канищева, А.Н. Гулин, В.Я. Макаревич // Обозрение прикладной

í

и промышленной математики: тез. - М. - 2006. - Т. 13, - вып. 3. -С. 718-719.

4. Семенов, М.Е. Нелокальные условия существования устойчивых периодических решений систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинеиностями [Текст] / М.Е. Семенов, В.Я. Макаревич, М.Г. Матвеев //Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования: материалы докл. VIII Всерос.научн.-техн. конф. 26-28 апреля 2006 г. -Тамбов: ТВВАИУР, 2006. - С. 179-182.

5. Семенов, М.Е. Модель равновесного ценообразования в условиях гистерезисной функции спроса / М.Е. Семенов, О.И. Кани-щева, J1.B. Бутова, В.Я. Макаревич // Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации: тр. XVI Междунар.научн.-техн. семинара:тез. сентябрь 2007 г., Алушта. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. - С. 248-249.

6. Семенов, М.Е. Построение периодических решений систем с гистерезисными нелинеиностями [Текст]! М.Е. Семенов, М.Г. Матвеев, О.И. Канищева, В.Я. Макаревич // Экономическое прогнозирование: модели и методы: материалы межд. науч.-практ. конф. 5-6 апреля 2007 г. - Воронеж: : Из-во Воронеж.гос.ун-та, 2007.-ч. 2.-С. 31-38.

7. Попова, Е.В. Диссипативностъ одного класса систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностям [Текст] / Е.В.Попова, В.Я.Макаревич, П.В.Толоконников. //Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: материалы межд. научн. конф. - Воронеж: Воро-неж.гос.технолог.акад., 2005. - С. 204.

Подписано в печать 18.09.2008 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 2743

Отпечатано в типографии ФГУ «Воронежский ЦНТИ» 394730, г. Воронеж, пр. Революции, 30

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ГИСТЕРЕЗИСНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ.

1.1. Понятие гистерезисного преобразователя.

1.2. Неидеальное реле.

1.3. Преобразователь Прейсаха.

Глава 2. УСТОЙЧИВЫЕ ЦИКЛЫ В СИСТЕМАХ ОПИСЫВАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

С ГИСТЕРЕЗИСНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ.

2.1. Математические модели систем, сводящихся к дифференциальным уравнениям второго порядка с гистерезисными нелинейностями. Экономические циклы.

2.2. Приближенное построение устойчивых циклов. Доказательство теоремы 2.1.

Глава 3. ОПТИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ РЕСУРСОДОБЫВАЮЩИХ КОМПАНИЙ.

3.1. Стратегия управления ресурсными запасами.

3.2. Математическая модель функционирования 44 ресурсодобывающей компании с учетом производственных издержек.

3.3 Конкуренция на рынке невоспроизводимого природного ресурса.

Актуальность темы. В последние годы гистерезисные явления активно изучаются в технике, физике, экономике и других естественнонаучных областях. Необходимость учета гистерезисных нелинейностей диктуется, прежде всего, потребностью детального и адекватного описания процессов и явлений из различных областей в естествознании. Возможность исследования таких систем основывается на операторной трактовке гистерезисных нелинейностей, разработанной М.А. Красносельским, А.В.Покровским. Гистерезисные явления имеют место в ряде экономических процессов. В частности, объективно существующая инертность потребительского спроса обусловливает гистерезисный характер функции спроса. Макроэкономические объекты также демонстрируют «гистере-зисное» поведение: например - зависимость индекса цен от суммарной денежной массы. Учет нелинейностей гистерезисной природы приводит к необходимости разработки новых подходов к решению целого ряда задач моделирования, анализа экономических процессов и систем.

Одним из объектов исследования в работе является наличие устойчивых решений уравнений моделей, сводящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка, которые являются математической моделью различных динамических процессов широкого предметного спектра. При этом, акцент в работе делается на экономические аспекты на примере оптимизации функционирования ресурсодобывающих компаний с целью определения темпа добычи полезных ископаемых.

В связи с вышеизложенным тема исследования обладает научной актуальностью и практической значимостью.

Работа выполнена в соответствии с планом госбюджетных НИР ВГТА по теме - «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» (№ г.р. 01200003664).

Цель работы. Анализ математических моделей систем с сосредоточенными параметрами и гистерезисными нелинейностями, разработка на его основе алгоритмов оптимальной производственной деятельности ресурсодобывающих компаний.

Достижение указанной цели осуществляется посредством решения следующих задач:

- классификация моделей систем (на примере физики, техники и экономики), сводящихся к дифференциальным уравнениям второго прядка с гистерезис-ными нелинейностями;

- идентификация класса моделей таких систем по признаку реализации устойчивых циклов и синтез алгоритма их приближенного построения, оценка реализуемости и сходимости;

- разработка математической модели оптимальной производственной деятельности ресурсодобывающей компании в условиях агрегированной функции издержек и ее реализация;

- проведение вычислительных экспериментов и апробация моделей к различным внешним условиям на примере гистерезисного поведения цены и учета конкуренции.

Методы исследования. При выполнении работы использовались операторная теория гистерезиса, метод математического моделирования сложных систем, качественная теория дифференциальных уравнений, теория управления, нелинейный анализ.

Научная новизна работы. В работе получены следующие результаты:

- идентификационный признак наличия устойчивых циклов при классификации моделей, сводящихся к дифференциальным уравнениям второго прядка с гистерезисными нелинейностями;

- алгоритм построения устойчивых циклов, условия его реализации и сходимости;

- математическая модель производственной деятельности ресурсодобывающих компаний для описания оптимального их функционирования в условиях гистерезисной зависимости функции спроса от цены;

- результаты вычислительных экспериментов для случая конкурентного равновесия на идеальном ресурсодобывающем рынке при линейном характере функции издержек.

Практическая ценность работы. Результаты работы позволяют проводить прогнозирование реально наблюдаемого запаздывания при переходе инвестиций в фонды и, как следствие, получать более надежные оценки динамики изменений некоторых макроэкономических параметров рынка ресурсодобывающих компаний. Идентифицированный класс уравнений может рассматриваться в качестве базовой математической модели различных систем, (например колебательного контура, математического маятника и других), при наличии диссипа-тивных явлений гистерезисной природы, что позволит повысить адекватность математического описания физических и технических систем.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих международных конференциях: «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005),; XX Понтрягинские чтения (Воронеж, 2005),; «Экономическое прогнозирование: модели и методы» ( Воронеж ,2006),; «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования» (Тамбов, 2006),; «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 2007),; «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2007).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 печатных работ. Личное участие автора в работах, выполненных в соавторстве, заключалось в разработке модели гистерезисной функции различной предметной ориентации [1,2,5,7], разработке и исследовании моделей оптимальной производственной деятельности ресурсодобывающих компаний [4,6].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы, включающего 117 наименований. Диссертация изложена на 110 страницах, включает 28 рисунков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты:

1. Для класса моделей систем, сводящихся к автономным дифференциальным уравнениям второго порядка с гистерезисными нелинейностями, приведены условия гарантирующие, существование устойчивых циклов.

2. Разработан алгоритм приближенного построения, устойчивых циклов, приведены условия его реализуемости и сходимости.

3. Найдены условия, обеспечивающие существование однопараметри-ческого семейства устойчивых циклов.

4. В условиях агрегированной функции издержек и гистерезисной зависимости спроса от цены разработана модель производственной деятельности ресурсодобывающей компании, приведены условия, оптимизирующие эту деятельность.

5. Проведены вычислительные эксперименты, адаптирующие приведенную модель к различным внешним условиям - наличию конкуренции, гистерезисному поведению параметров модели.

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. М. : Наука, 1974. - 431 с.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. М. : Наука, 1975. - 240 с.

3. Ахиезер Н.И. Элементы теории аппроксимации / Н.И. Ахиезер. М. : Наука, 1965.-407 с.

4. Байге X. Детерминированный хаос и сегнетоэлектричество / X. Байге, М. Дистельхорс, С.Н. Дрождин // Материалы семинаров НОЦ "Волновые процессы в неоднородных средах". 2003. - С. 9-22.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. М. : Наука, 1976. -352 с.

6. Боголюбов Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М. : Физматгиз, 1963. -503 с.

7. Борздыко В.И. Дифференциальные уравнения со сложными нелинейно-стями: автореф. дис. на соискание учёной степени д-ра физ.-мат. наук / В.И. Борздыко. Душанбе, 2001. - 29 с.

8. Информационная теория стоимости и системные оценки природных ресурсов / под ред. К. К. Вальтуха. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999.

9. Visintin A. Hyperdolic equations and hysteresis / A. Visintin. C.R. Acad. Sc. Paris. - 2001. - Serie I. - P. 315-320.

10. Воронов А.А. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость / A.A. Воронов. -M. : Наука, 1979. 335 с.

11. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ / Б.З. Вулих. — М. : Наука, 1967.-416 с.

12. Гиль М.И. Операторные функции, дифференциальные уравнения и динамика систем / М.И. Гиль. М. : Наука, 1984. -150 с.

13. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний / В.Д. Горяченко. М. : Высш. шк., 2001.-395 с.

14. Гребенников Е.А. Новые качественные методы в нелинейной механике / Е.А. Гребенников, Ю.А. Рябов. М. : Наука, 1971.-432 с.

15. Гусев JI.A. Определение периодических режимов в системах автоматического регулирования, содержащих нелинейный элемент с кусочно -линейной характеристикой. / Гусев JI.A.// Автоматика и телемеханика, т. 19, № 10, 1958.

16. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидо-вич, И.А. Марон. -М. : Наука, 1966. 664 с.

17. Жук В.В. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации / В.В. Жук, Г.И. Натансон. Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. -188 с.

18. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. -М.: Прогресс, 1975.

19. Калиткин Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. М. : Наука, 1978. -512 с.

20. Kalman R. Remaks on some control system. / Kalman R. // Com. Pure Appl. Math., 1962. V. 12, p. 112 - 126.

21. Камке Э. Справочник no обыкновенным дифференциальным уравнениял1 / Э. Камке. М. : Наука, 1976. - 576 с.

22. Канторович JI. В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов М.: Изд-во АН СССР, 1959.

23. Каплан Е. П., Литовка О. П., Новиков Э. А. Социально-экономические аспекты рационального природопользования в регионе. -Л.: Наука, 1989.

24. Китайгородский В. И., Котов В. В. Моделирование экономического развития с учетом замещения невозобновляемых энергетических ресурсов. -М.: Наука, 1990.

25. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. -М. : ИЛ, 1958. 476 с.

26. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями / Л. Коллатц. М. : Наука, 1968. - 500 с.

27. Конопляник А. А. Российский ТЭК на пути к новой энергетической политике страны // Нефтяное хозяйство. 2000. - № 4. - С. 7-13.

28. Концепция национальной безопасности Российской Федерации // Собрание законодательства Российской Федерации. М., 1997.

29. Концепция перехода Российской Федерации на модель устойчивого развития. (Проект). М., 1995. - 21 с.

30. Коптюг В. А. Конференция ООН по окружающей среде и развитию (Рио-де-Жанейро, июнь 1992г.): Инф. обзор. Новосибирск, 1993. - 62 с.

31. Крайнова Э. А. Экологический фактор в принятии экономических решений нефтяной компании: теория и практика. Уфа: УГНТУ, 1997. - 153 с.

32. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М. : Наука, 1976. - 542с.

33. Красносельский М.А. Нелинейные почти периодические колебания / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов М. : Наука, 1970. -351 с.

34. Красносельский М.А. Системы с гистерезисом / М.А. Красносельский, А.В. Покровский М.: Наука, 1983. - 271с.

35. ЪЪ.Векторные поля на плоскости / Красносельский М.А. и др.. М. : Физматгиз, 1963. - 248 с.

36. Красносельский М.А. К теории периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский // "УМН". 1966. -21, №3.-С. 53-74.

37. Красносельский М.А. О применении методов нелинейного функционального анализа в задачах о периодических решениях уравнений нелинейноймеханики / М.А. Красносельский // "ДАН СССР". 1956. - т. 111, № 2. -С. 283-286.

38. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М. : Наука, 1966. -332 с.

39. Красно сельский М.А. О некоторых признаках существования периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, А.И. Перов // "Труды Междунар. симпозиума по нелин. колеб.". 1963. - № 2 - С. 202-211.

40. Красносельский М.А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, А.И. Перов // "ДАН СССР". 1958. - т. 123, № 2. - С. 235-238.

41. Красносельский М.А. О некоторых признаках существования периодических решений у обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин // "ДАН СССР". 1964. - т. 156, № 5.-С. 1022-1024.

42. Красносельский М.А. О вычислении вращений вполне непрерывных векторных полей, связанных с задачей о периодических решениях дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин "ДАН СССР". 1963. - т. 152, № з. с. 540-543.

43. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, А.В. Соболев М.: Наука, 1985. - 256 с.

44. Математическая теория систем / под ред. М.А. Красносельского. -М. : Наука, 1986.- 166 с.

45. Красносельский М.А. О динамике систем управления, описываемых уравнениями параболического типа с гистерезисными нелинейностями / М.А. Красносельский, А.В. Покровский, Ж. Тронель, В.В. Черноруцкий // Автоматика и телемеханика. 1992. - № 11. - С. 65-71.

46. Красносельский A.M. О континуумах циклов в системах с гистерезисом / A.M. Красносельский, Д.И. Рачинский // Доклады РАН. 2001. - т. 378, №3. - С. 314-319.

47. Красносельский A.M. О существовании циклов у квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка / A.M. Красносельский, Д.И. Рачинский // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 2001. -т. 5, № 1-2.-С. 143-151.

48. Крюков В. А. Институциональная структура нефтегазового сектора: проблемы и направления трансформации. Новосибирск: ИЭ и 01111 СО РАН, 1998. - 278 с.

49. Крюков В. А. Особенности институциональных преобразований в нефтегазовом секторе экономики России. М.: Высшая школа экономики, 1999.- 35 с.

50. Крюков В. А., Токарев А. Н. Какие налоги позволят добывать нефть? Сравнительная оценка вариантов налогообложения разработки месторождений Западной Сибири // Нефтегазовая вертикаль. 1998. - № 9-10. - С. 36-40.

51. Крюков В. А., Шафраник Ю. К. Осмыслить и реализовать роль государства//Нефтегазовая вертикаль. 1998. - №2. - С. 43-46.

52. Крылов В.И. Вычислительные методы. Том II. /В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. М. : Наука, 1976. - 400 с.

53. Леонтьев В. В. Межотраслевая экономика: Пер. с англ. -М.: Экономика, 1997.-497 с.

54. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. М. : Наука, 1965. - 520 с.

55. Ляпина А. А. Тенденции макроэкономического развития на основе экологических данных // Экономика природопользования: Инф. сб. М.: ВИНИТИ, 2000. - №1. - С. 11-29.

56. Макаров В. Л., Рубинов А. М. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

57. Маленво Э. Лекции по макроэкономическому анализу: Пер. с франц. / Под ред. К.А. Багриновского. М.: Наука, 1985. 392с.

58. Мазур И. И. Экология нефтегазового комплекса: Наука. Техника. Экономика. — М.: Недра, 1993, Математическая экономика. М.: Мир, 1974.

59. Мелконян Р. Г. Экологические проблемы нефтегазового комплекса // Нефть, газ и бизнес. 1999. -№1-2. - С. 60-64.

60. Мещерин А. Еще не реформа, уже не застой // Нефтегазовая вертикаль. -2000.-№2.-С. 20-23.

61. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский. Киев : Наукова думка, 1966. - 305 с.

62. Митропольский Ю.А. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием / Ю.А. Митропольский, Д.И. Мартынюк. Киев : Изд-во Киевского ун-та, 1969.-309 с.

63. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний / Ю.А. Митропольский. М. : Наука, 1964. - 431 с.65 .Алгоритмический синтез нелинейных систем управления / под ред. Р.А. Нелепина. Л. : Изд-во ЛГУ, 1990. - 235 с.

64. Параев Ю.И. Решение задач об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара. / Параев Ю.И. // Известия академии наук. Теория и системы управления. 2000, №2, С.103-117.

65. Перов А.И. Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / А.И. Перов, А.В. Кибенко. — Воронеж : ВГУ, 1969. -52 с.

66. Перов А.И. Периодические колебания / А.И. Перов. Воронеж : ВГУ, — 1973.-50 с.

67. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов. Воронеж: ВГУ, 1981. - 196 с.

68. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В.А. Плисе. — М.; Л. : Наука, 1964.-368 с.

69. Покровский А.В. Корректные решения уравнений с сильными нелинейностями / А.В. Покровский // "ДАН СССР". 1984. - т. 274, № 5. - С. 1037-1040.

70. Покровский А.В. Правильные неподвижные точки монотонных операторов. / Покровский А.В. // В кн: Тезисы 7-й Международной конференции по нелинейным колебаниям. Берлин: Изд-во АН ГДР, 1976, С. 120 122.

71. Покровский А.В. Устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями / А.В. Покровский, М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. 1990. - № 2. - С. 31-37.

72. Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования / Е.С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. 1968.-№ 6. - С. 5-36.

73. Пятницкий Е.С. Численные методы построения функций Ляпунова и критерии абсолютной устойчивости в форме численных процедур. / Пятницкий Е.С., Скородинский В.И. // Автоматика и телемеханика, 1983, № 11, С. 52-61.

74. Розенвассер Е.Н. Колебания нелинейных систем / Е.Н. Розенвассер. -М. : Наука, 1969.-576 с.

75. Ronto М. Numerical-Analitic Methods in the Theory of Boundary-Value Problems / M. Ronto, A.M. Samoilenko. New-York : World Scientific Publishing, 2001.-456 c.

76. Математическое моделирование: Процессы в сложных экономических и экологических системах / Под ред. А.А. Самарского, Н.Н. Моисеева, А.А. Петрова. М.: Наука, 1986. С.7-196.

77. Математическое моделирование: Методы описания и исследования сложных систем / Под ред. А.А. Самарского, Н.Н. Моисеева, А.А. Петрова. М.: Наука, 1989. С. 121-266.

78. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем дифференциальных уравнений / A.M. Самойленко // Укр. мат.журн., 1965.-т. 17, №4.-С. 82-93.

79. Самойленко A.M. Численно-аналитические методы исследования периодических решений / A.M. Самойленко, Н.И. Ронто. — Киев : Вища школа, 1976.- 180 с.

80. Самойленко A.M. Численно-аналитические методы в теории периодических решений уравнений с частными производными / A.M. Самойленко, Б.П. Ткач. Киев: Наук, думка, 1992.-208 с.

81. Самуэльсон П. Экономика: Пер. с англ. / Под ред. А.В. Аникина, А.И. Шапиро, P.M. Энтова. М.: Прогресс, 1964. 844с.

82. Семенов М.Е. О континуумах вынужденных устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. —1994.—№ 8. С. 82-86.

83. Семенов М.Е. О континуумах периодических реэ/симов в системах управления / М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. 1994. - № 8. -С. 95-97.

84. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с абстрактным гис-терезисным преобразователем / М.Е. Семенов // Вестн. Воронеж, гос,. ун-та, Естеств. Науки. 1998. -№2. - С. 71-77.

85. Семенов М.Е. Устойчивые периодические решения систем с континуальными системами неидеальных реле / М.Е. Семенов // Математическое обеспечение ЭВМ: сб. науч. тр.-Воронеж, 1999.-Вып. 1.-С. 73-78.

86. Семенов М.Е. Математическое моделирование устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов. —Воронеж. : Воронеж, гос. технол. акад., 2002. —104 с.

87. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов // Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах: сб. трудов семинара НОЦ ВГУ. Воронеж, - 2003. - С. 356-369.

88. Семенов М.Е. О диссипативности одного класса систем с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов, О.И. Канищева, М.Г. Матвеев // Обозрение прикладной и промышленной математики. М. - 2005. -Т. 12. - Вып. 3.-С. 752-753.

89. Семенов М.Е. Динамическая модель функционирования производственной системы. / МГ. Матвеев, С.Д Наумов, ME. Семенов //Системные проблемы качества математического моделирования и информационных технологий: Тр. междунар. конф. -М. -1999. -Ч. 6. С. 93-95.

90. Семенов М.Е. О резонансных свойствах одного уравнения Матъе с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов, О.И. Канищева, А.Н. Гу-лин, В.Я. Макаревич // Обозрение прикладной и промышленной математики. М. - 2006. - Т. 13.-Вып. З.-С. 718-719.

91. Семенов М.Е. О резонансных свойствах одного уравнения Матъе с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов, О.И. Канищева, А.Н. Гу-лин, В.Я. Макаревич // Обозрение прикладной и промышленной математики. М. - 2006. - Т. 13.-Вып. З.-С. 718-719. (тезисы)

92. Синицкий Л.А. Методы аналитической механики в теории электрических цепей / Л.А. Синицкий. — Львов : Вища школа, 1978. 138 с.

93. Ю.Трубников Ю.В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями / Ю.В. Трубников, А.И. Перов. Минск : Наука и техника, 1986.- 199 с.

94. Ш.Харди Г.Г. Неравенства /ТТ. Харди, Д.Е. Литтльвуд, Г. Полна. М. :

95. ГИИЛ,- 1948.-456 с. 112.Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман.

96. М. : Мир, 1970. -720 с. ПЗ.Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. Хейл. - М. : Мир, 1966.-234 с.

97. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. — М. : ГИ-ИЛ, 1964.- 480 с.

98. Шананин А.А. Об устойчивости Рыночных механизмов // Математическое моделирование. 1991. Т.З, №2. С.42-62.

99. Пб.Шумпетер И. Теория экономического развития. / Шумпетер И. // Теория экономического развития: Пер. с нем. / Под ред. А.Г. Малейковско-го. М.: Прогресс, 1982. 456с.

100. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с гистерезисной нелинейностью / В.А. Якубович // "ДАН СССР". 1963. - т. 149, № 2.