автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование динамических систем с гистерезисными явлениями

г 1

На правах рукописи -

Семенов Михаил Евгеньевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГИСТЕРЕЗИСНЫМИ ЯВЛЕНИЯМИ

(Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Воронеж-2003

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и экономико-математпческиех методов Воронежской государственной технологической академии

Научный консультант доктор технических наук, профессор

Матвеев Михаил Григорьевич Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор Даринский Борис Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Покорный Юлий Витальевич

доктор физико-математических наук, профессор Соболев Владимир Андреевич

Ведущая организация' Институт проблем передачи информации РАН, г. Москва

Зашита состоится «11» декабря 2003 г. В конференц-зале в 14-30 на заседании диссертационного совета Д 212 035.02 в ВГТА по адресу: 394017 г. Воронеж, проспект Революции, 19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВГТА Автореферат разослан ноября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Самойлов В.М.

2-ооз-А

Актуальность темы Гистере5иеные явлеиия широко распространены в различных естественно-научных областях. Хорошо известны магнитный гистерезис, упруго-пластический гистерезис. Менее изучены, но известны гистерезисные явления в экономике и биологии. При этом, как правило, носители гистерезисных явлений нельзя рассматривать изолированно, т.к. они являются частью более сложной системы. В связи с этим задачи, связанные с построением математических моделей и изучением сложных систем, содержащих нелинейности гистерезисной природы, являются актуальными. Такие системы обладают рядом характерных особенностей, принципиально отличающих их от традиционных систем с функциональными нелинейностями. К их числу, в первую очередь, относятся «необычность» фазовых пространств, включающих в себя пространства состояний гистерезисных преобразователей, негладкость операторов, являющихся математическими моделями гистерезисных нелинейностей и ряд других.

В работах В А Якубовича. Я 3. Ципкина. М.А. Красносельского. Е.Н Розенвассера и ряда других ученых отмечалась необходимость учета нелинейностей гистерезисного типа при анализе систем автоматического регулирования. Построение и систематическое изучение математических моделей систем с гистерезисными нелинейностями является важной научной проблемой. При этом с точки зрения моделирования является важным вопрос о существовании устойчивых вынужденных периодических режимов. В ситуации, когда периодический режим известен в явном виде и гистерезисные нелинейности, входящие в систему, можно в каком-нибудь смысле приблизить функциональными для анализа устойчивости периодического режима можно применить классические методы Ляпунова, Четаева. методы абсолютной устойчивости (Е.С. Пятницкий, В.А. Якубович и др.). Существенно менее изучен вопрос об устойчивости периодических режимов в ситуации, когда он заведомо существует, но неизвестен в явном виде. В связи с этим актуальна задача выделения класса моделей систем автоматического регулирования содержа-

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ |

библиотека {

С Петербург V/Л J

» »5W Ш

щих гистерезисыые нелинейности, в которых заведомо реализуются вынужденные устойчивые периодические режимы.

Наличие гистерезисных явлений в экономике отмечалось различными учеными (Хикс, Т. Пу. A.C. Айвазян и др.). Еще в 30-е годы многими выдающимися экономистами того времени были отмечены циклы деловой активности. Попытки объяснить этот эффект в рамках линейных моделей не увенчались успехом. Основная сложность этой задачи заключалась в выборе функций инвестиций. В 1950 году Хикс предложил модель, в которой функция инвестиций была устроена таким образом, что устанавливались жесткие пределы для диапазона изменения основного капитала. Однако в рамках этой модели не учитывались инерционность экономических процессов, не объяснялся механизм запаздывания при переходе инвестиций в основные фонды. Аналогичные недостатки присущи в той или иной степени современным моделям макроэкономики. Такие же проблемы возникают при построении моделей микроэкономики, в частности инертность потребительского спроса по отношению к изменениям цены, по существу есть явления гистерезисной природы. В связи с этим актуальна проблема построения и изучения математических моделей экономических процессов с ярко выраженными гистерезисными свойствами.

При изучении сложных процессов в биологических системах многими исследователями (Р. Фаргухауер, Д. Стилмон, А.У. Игембердиев) отмечались резкие изменения скоростей биохимических реакций, обусловленные «внутренним» состоянием системы. В частности, в лимитирующей фазе цикла фотодыхания С3 растений в связи с наличием так называемых обходных путей, возникали резкие скачкообразные изменения скоростей протекающих реакций. Построение математических моделей таких процессов является актуальной и нерешенной к настоящему времени научной проблемой.

Тематика работы соответствует одному из научных направлений ВГ'ГА «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» № г.р. 01200003664.

Цель работы. Разработка методологии построения моделей и анализа экономических, биологических систем, систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями, обеспечивающей выделение классов моделей этих систем с заведомо существующими устойчивыми периодическими решениями, синтез алгоритмов их построения, создание методики решения оптимизационных задач в системах с гистерезисными нелинейностями.

Достижение указанной цели осуществляется посредствам решения следующих задач.

• Разработка обобщающей модели абстрактного гистерезисного преобразователя.

• Выделение классов моделей систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями, в которых заведомо реализуются вынужденные устойчивые периодические режимы. Создание алгоритма расчета начальных значений, отвечающих устойчивым по Ляпунову решением этих систем.

• Построение моделей, объясняющих гистерезисные свойства макроэкономических систем: неоднозначную зависимость макроэкономических параметров от внешних условий, «запоминание» предыстории от ряда других

• Создание моделей микроэкономики, учитывающих гистерезисные свойства потребительского спроса: инертность по отношению к цене товара, решение задачи об оптимальном производстве хранении и сбыте товара в рамках справедливости построенной модели.

• Создание математической модели цикла фотодыхания С\ растений, учитывающей гистерезисные свойства химических реакций цикла, выявление условий, обеспечивающих устойчивую периодическую реакцию параметров на периодические изменения внешних условий.

Методы исследования. Операторная теория гистерезиса, математическое моделирование сложных систем, качественная теория дифференциальных уравнений, теория управления, нелинейный анализ.

На защиту выносятся.

• Методология построения моделей и анализа систем с гистерезис-ными явлениями, обеспечивающая выделение классов этих систем с заведомо существующими устойчивыми периодическими решениями.

• Методика построения устойчивых периодических режимов для классов моделей экономических систем, систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями. описываемых операторно-дифференциальными уравнениями.

• Методика построения устойчивых периодических решений моделей процессов в биологических системах с разрывными гистерезисными преобразователями.

• Методика решения оптимизационных задач в системах е гистерезисными нелинейностями.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

• Создана математическая модель абстрактного гистерезисного преобразователя, обобщающая такие гистерезисные модели как обобщенный люфт с насыщением и преобразователь Прейзаха с финитным носителем меры.

• Выделен класс моделей регулярных систем, для которых существует инвариантное множество, являющееся конусом в фазовом пространстве.

• Приведены глобальные признаки существования вынужденных устойчивых периодических решений систем, содержащих помимо функциональных - нелинейности гистерезисной природы, приведены достаточные условия. обеспечивающие существование континуума устойчивых периодических решений.

• Предложен алгоритм приближенного построения начальных условий. отвечающих устойчивым периодическим решениям, являющийся, в свою очередь, основой доказательства существования устойчивых периодических решений.

• Создана математическая модель, объясняющая периодические изменения макроэкономических показателей. В рамках этой модели, содержащей гистёрезисные нелинейности, доказано существование устойчивых циклов, приведены условия существования континуального множества циклов.

с Построена гистерезисная модель функции продаж (потребительского спроса), учитывающая такие особенности поведения потребителей как инертность, «запоминание» предшествующей ситуации и ряд других. В рамках этой модели решена задача о максимизации прибыли.

• Решена задача об оптимальном производстве, хранении и сбыте товаров в условиях справедливости предложенной модели функции продаж.

Предложена математическая модель фотодыхания Сз растений с учетом функционирования «обходных путей» с помощью гистерезисных преобразователей. В рамках построенной модели доказано существование устойчивых периодических решений и предложен алгоритм их приближенного построения.

Практическая ценность. Практическую ценность работы составляют результаты, полученные в трех предметных областях: теории автоматического регулирования, моделировании экономических систем и моделировании процессов в биологических системах. В теории автоматического регулирования -найдены легко проверяемые достаточные условия, обеспечивающие существования вынужденных устойчивых периодических режимов в системах с гие-терезисными нелинейностями, создана методика их построения. В экономике - найдено объяснение циклических изменений макроэкономических параметров в рамках предложенной гистерезисной модели; построена математическая модель функции продаж, учитывающая инертность потребительского спроса по отношению к цене; решена задача об оптимальном производстве, хранении

и сбы ге товара, позволяющая строить оптимальные, с точки зрения достижения максимальной прибыли, ценовую и производственную стратегии. В биологии - построена математическая модель фотодыхания С3 растений, учитывающая гистерезисные свойства цикла, доказано существование устойчивых периодических решений, обладающих дополнительным свойством корректности по отношению к изменению внешних параметров, что позволяет оценивать влияние ферментативного регулирования метаболических процессов в растениях.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 18 конференциях (10 конгресс ШАС - Таллинн, 1990 г., «Нелинейные колебания в сложных системах» - Прага. 1990 г., «Функциональный анализ и его приложения» - Киль, 1998 г., Воронежских зимних математических школах 1988-2002 г.. Ш, IV, V Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике - Сочи, 2002 г., Ростов, 2002 г., Петрозаводск, 2003 г.. «Системные проблемы качества, математического моделирования информационных и электронных технологий» - Сочи. 2003 и др.), на семинарах Института проблем управления РАН, Института проблем передачи информации РАН, НОЦ ВГУ «Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах» и других.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 58 работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 192 страницах. состоит из введения, семи глав, приложения, 8 рисунков, и списка литературы, включающего 205 наименований.

Содержание диссертации. Во введении приведены общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы диссертации, изложено ее краткое содержание.

Первая ¿лава посвящена подробному анализу исследуемых в работе гистерезисных нелинейностей: обобщенного люфта, неидеального реле, преобразователя Прейзаха (континуального семейства неидеальных реле). Все гистерезисные преобразователи трактуются в смысле М.А. Красносельского -A.B. Покровского как преобразователи с пространством возможных состояний. динамику которых описывают соотношения вход-состояние и состояние-выход.

Обозначим через Я[а.Дх0] двухпозиционное реле с пороговыми числами а и ß. Пространством состояний неидеального реле является пара чисел {0,1}. Связь между входом u(t)eCim и переменным выходом x(t) е {ОД} устанавливается оператором Ща, ß, х0 ]

*(»)-Д[в.А*0МО- (1)

Здесь х0 - начальное состояние преобразователя. Начальное состояние х„ преобразователя должно удовлетворять следующим условиям:

если и(0) <, а, то ха = О, если н(0)> ß,TQ х0 = 1; если а < н(0) i ß, то х0 = 0 или х„ = 0.

Динамику входно-выходных соответствий преобразователя неидеального реле иллюстрирует рис. 1.

4х

Рис. 1

Преобразователем Прейзаха-Гилтая называют континуальный аналог преобразователя, состоящего из неидеальных реле соединенных параллельно.

Ниже рассматривается частный класс континуальных систем реле. Пусть на полуплоскости Ра0ш{а,р-.а<р) определена положительная, абсолютно непрерывная, интегрируемая функция Я= Х{а,Р). Определим на полуплоскости Раф меру [1а в равенством

= Х{а,р)с1Ыр. (2)

Измеримыми по мере 0 будут все измеримые по Лебегу множества, в том числе и имеющие бесконечную меру. Мера ¡ла 0 абсолютно непрерывна относительно двумерной лебеговой меры, если выполнено условие

СО

|сг(у>Л> <00, (3)

о

где

а(у)= шах Л{а,(3). (4)

Обозначим через у класс ограниченных функций, заданных на неотрицательной полуоси и удовлетворяющих условию Липшица с коэффициентом, равным единице. Введем в рассмотрение множество скалярных функций а(а,Р). заданных на полуплоскости Раф ~{а,р-.а < /?} и таких, что

^а,р-)Л*>еСЯиа + Р0>¥и3-аУ> (5)

[1,если а + р <уг(р~а).

где у/(у) е (/л Множество £1 - пространство возможных состояний преобразователя Прейзаха-Гилтая. На рисунке 2 показан один из элементов множества

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Рис.2

На множестве определим метрику р соотношением

p(®2(a>Ä®i(a.^)) = |h(")-if2(v)icl0iOO), (б)

где функции iyz(v) и o),(a,ß), a>2(a.ß) связаны соотношением (5) и норма в пространстве С[ои) определена соотношением:

Hv)Lio»)= sup кИ-

0<V«jo

Пусть задан произвольный элемент coü{a,ß)eQ.v. Допустимыми для преобразователя Прейзаха-Гилтая (Г,£), находящегося в начальном состоянии a>a(a,ß) являются все непрерывные входы u{t) (t > 0), удовлетворяющие неравенству м(0) = ^„(0), где а>0 (а, ß) и ^„(v) связаны соотношением (5).

Соотношение вход - переменное состояние преобразователя Прейзаха-Гилтая (Г, устанавливается оператором Г.

<о{а (г). ß(r), 0 = П®0 {Г)Н 0 = ЯК (а. ß, у), а(у), ß(r)W, (7) где г - параметр, / е Paß.

Выход преобразователя (Г, £) определяется соотношением: ((f)' \¡»(а.ß,tWa.ß = tiaiPtta,ß}:R\a>0(a,ß),a,ß\u(t) = l)- (8)

а</>

На множестве Ог/ введем полууггорядоченность. Обозначим через конус неотрицательных функций в пространстве С10„,. Тогда соотношение

<ох(а,Р)<щ(а,Р) (а)],(И2 е Оц,) означает, чю для функций у/,(т) и связанных с о\(а,Р) и сог(а,/?) со-

отношением (5) верно включение

Строгое неравенство

о\(а,Р)<а)г{а,Р)

будет означать, что верно

где через обозначается множество внутренних точек конуса К + .

Рассмотренные преобразователи находят широкое применение в математических моделях технических, однако охватывают далеко не все случаи, встречающихся гистерезисных явлений.

Во второй главе предлагается модель ^„-правильного гистерезисного преобразователя, обобщающая такие модели как обобщенный люфт с насыщением. преобразователь Прейзаха с финитным носителем меры.

Пусть фиксировано банахово пространство Е, полуупорядоченное телесным конусом АГ (напомним, что замкнутое выпуклое множество К называется конусом, если оно содержит вместе с каждой своей точкой г множество Лг. (Я > 0) и такое, что из г е К. 2 0 следует -геК, конус называется телесным. если он содержит шар пространства Я ненулевого радиуса). Неравенство о, > й>, (й),,а>1 б Е) означает £У, -<ог е К. Обозначим через < й>1.со1 > конусный отрезок

<са,.ш, >^{т:ео1 <а><аг}. (9)

Пусть П - выпуклое компактное множество, О с< ю,, тг > и со_,со^еО. £2 - пространство состояний £Т0-правильного гистерезисного преобразователя. Допустимыми для А'0-правильного гистерезисного преобразователя, находящегося в состоянии юй (ги0 * <о_.а^), будут все непрерывные

входы г/(/). (/> 0). удовлетворяющие равенству и(0) = <р(а>а), где р - линейный, Положительный на конусе К функционал. Если же преобразователь находится в одном из состояний со. или . то допустимыми для него будут все непрерывные входы, удовлетворяющие неравенствам и(0) < <р{о}_) или г;(0)><р(йО соответственно.

Динамику преобразователя ( Г, /) описывают соотношения: вход-состояние

ш(/) = П®«М') (Ю)

и состояние-выход

т=к»т, ею

где Г(й)0) - однозначный оператор, зависящий от начального состояния й>„е£2,'как от параметра и сопоставляющий каждому непрерывному входу и (г) переменное состояние ш(()е П. I - линейный непрерывный положительный на конусе К функционал. Будем считать выполненными следующие условия.

• Для любого допустимого входа переменное состояние ©(?)(/2 0) является непрерывной функцией.

• Оператор (2) удовлетворяет условию Липшица по входам

/>(®1 (')• ®2(О) = ||П]" 1 (О~П®о]"2(')|б (12)

равномерно относительно ®„ е О. Здесь С((ц1 - пространство непрерывных функций на [0, г] с нормой

• Оператор (2) монотонен по входам и начальным состояниям: из юг■ > ю,; иг (0 2 г(, (Г) (со2: а>1 е О: / > 0) вытекает

П^МО^Ц^МО- (13)

• Оператор (2) является моноцикличным, т.е. каждому допустимому периодическому входу отвечает периодический, того же периода выход.

• Существуют такие числа с1_ и с/+ что для входов = г/_(1 ~/) + с11.1 и »_(/) = с1_ (1) + (\-1)с1+ будут верны равенства

Г[ю_К(1) = в>+ и Г|<у+ ]и_(1) = 0)..

• Элемент я0 = й>4 - а>_ является внутренним элементом конуса ЛТ0. Гистерезисный преобразователь, удовлетворяющий этим свойствам

назовем А"0 -правильным гистерезиеным преобразователем. Отметим, что правильным гистерезиеным преобразователем является обобщенный люфт с насыщением, преобразователь Прейзаха-Гилтая с финитным носителем меры и некоторые другие гистерезисные преобразователи; в частности^' в модели обобщенного люфта роль банахова пространства Е играет вещественная числовая ось, конус К\ совпадает с множеством неотрицательных чисел; в модели Прейзаха пространство Е совпадает с а Г, с конусом неотрицательных функций. Непосредственной проверкой можно убедиться, что преобразователь Прейзаха и обобщений люфт удовлетворяют определяющим свойствам ^„-правильного гистерезисного преобразователя.

Третья ¿пава посвящена анализу линейной системы:

Хорошо известно, что при изучении моделей систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, важное значение играют инвариантные множества этих систем. Ниже выделяется класс систем, описываемых уравнениями (14)-(15) инвариантное множество которых является телесным конусом в пространстве Л " .

Систему (14)-( 15) назовем регулярной, если ее импульсная характеристика

¿ = Лг+6м(0, *(0 = (г,с).

(14) 05)

И(1) = (еА' Ь,с) (г 20)

15

1

положительна при г >0, система (14)-(15) управляема, матрица А гурвицева. самое правое ее собственное число является простым и вещественным и отвечающий ему собственный вектор не ортогонален вектору с.

Центральное место в третьей главе занимает следующая теорема.

Теорема 1. Пусть система (14)-(15) регулярна. Тогда множество

Кх=ю{2 -.2 =/И'6;Л,г £0} (16)

образует телесный конус в Я ".

Конус (16) является инвариантным множеством для системы (14)-(15) если 0 и, в силу линейности системы, оператор сдвига по ее траекториям,будет монотонен по конусу (16).

В четвертой главе рассматриваются модели систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями. Динамика одноконтурной системы автоматического регулирования с гистерезисной нелинейностью, входящей в обратную связь (см. рис. 3) описывается уравнениями:

Рис.3

¿=А=+Ьи(1). (17)

и(/)=»/(/,*(1Ш)1 (18)

*(0 = (2(0,с), (19)

с(0 = /(*>(<)), (20)

ю{1) = Т[т0\кП (21)

Здесь :(1) - вектор-функция со значениями в Я" - переменное состояние линейного звена IV. А- постоянная матрица размерности лхп, Ъ и с -фиксированные векторы из Л". функция /(1.x,¿¡) - предполагается гладкой и Г-периодической по первому аргументу. Уравнения (20), (21) описывают динамику А'0- правильного гистерезисного преобразователя (Г,/) с пространством состояний О.

Решением системы (17)-(21) является удовлетворяющая ей непрерывная вектор-функция {г((). £»(')} со значениями в /Г хП, первая компонента которой абсолютно непрерывна.

В сделанных предположениях относительно гладкости функции /(г, .*:.£) и свойств гистерезисного преобразователя (Г,/) индивидуальное решение {^(г), й>(0} системы (17)-(21) выделяется заданием начальных данных:

{г(ОХ®(0)>-{2,.«».>. (22)

Решение {г.(0.й>.(0) системы (17)-(21) назовем устойчивым по Ляпунову, если любому е > 0 соответствует такое 8 > 0 , что из соотношений

№)~2<4» «У.

р(си,(0),Фа) <6

вытекают неравенства

||г.(/)-г(0||я» <е. р(т.(1),ю()))<£ (<>0), где {-(/).©(()} - решение системы (17)-(21), отвечающее начальным условиям М0).ю(0)} = {=„.<»,}.

Решение {;(/), <у(0) системы (17)-(21) называется Г-периодическим, если верно тождество

{z(r + T), 0){l + Г)} s {г(0, mit)} (l > 0. Т > 0).

Таким образом, приведенная модель системы автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями позволяет перейти к решению одной из основных задач работы - нахождению достаточных условий, обеспечивающих существование в системе (17)-(21) вынужденных устойчивых периодических режимов.

Пятая глава посвящена нахождению достаточных условий, обеспечивающих существование устойчивых Т -периодических решений моделей систем (17>(21), а также их приближенному построению. Отметим, что формулируемые ниже теоремы дают достаточные условия существования вынужденных периодических режимов в системах автоматического регулирования, когда он неизвестен в явном виде. Перейдем к изложению основных результатов пятой главы. Пусть система (14)-(15) регулярна, тогда фазовое пространство системы (17)-(21) R" xil можно полуупорядочить конусом К = ЛТ,хА'0 с R" v.E .Неравенство {z1,ml}>{zl,coi} будет означать, что

{Zt.aJ-fr.aJeK. (23)

Строгое неравенство {z2,co3}>{z,,t»,} будет означать, что дополнительно к (23) выполнено включение z2 - z, е int Kl.

Оператором сдвига за время Т по траекториям системы (17)-(21) называется оператор UT, сопоставляющий каждому элементу {z.-cy»} е R" xQ значение решения {г(г),й>(г)}в момент времени t = T, отвечающего начальному условию {z„£yo} = {z(0).iö(0)}. Иными словами, оператор сдвига определяется равенством

UT{z0,a0}={zÇr)Mr)}

Из липшицуемости А'„-правильного гистерезисного преобразователя и гладкости функции f(t,x.Z) следует, что система (17)-(21) удовлетворяет условиям существования и единственности решения на положительной временной полуоси. Из этого и теоремы о непрерывной зависимости решений от

начальных данных следует, что оператор сдвига определен и непрерывен на всем фазовом пространстве системы (17)-(21).

Важные свойс1ва оператора сдвига 11т устанавливают леммы 1,2.

Лемма 1. Пусть система (14)-(15) регулярна, а функция Д/,х.£) возрастает по второму и не убывает по третьему аргументам. Тогда оператор сдвига ит по траекториям системы (17)-(21) сильно монотонен по конусу К, то есть из соотношений {гг,а)г} > {¿,,й>,} и г, вытекает строгое неравенство 11

ит {2Ъшг}>ит {г,.®,}.

Обозначим через М. множество тех {г. со] е " х П, для которых выполняется неравенство

ит {г. со} > {2, а).

а через А/+ - множество тех {г,м}ейл х О, для которых верно С/Г{2,Й>)<{Г.(У}.

Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1 и функция /(/,*,£) удовлетворяет неравенству

Тогда множества М_ и А/+ не пусты.

Вход г<(г) (0<t<T) назовем грубым для преобразователя (20)-(21), если при некотором г: 0 < г < Г выполняется хотя бы одно из равенств и(г) = af+ или u{r) = d_, где - числа, фигурирующие в определении

правильного гистерезисного преобразователя.

Решение системы (17)-(21) {г(0,<»(')} (О<1<Т) назовем грубым, если функция А-(О = (г(0,с) является грубым входом для преобразователя (20)-

При анализе моделей систем автоматического регулирования одним из важнейших является вопрос о существовании вынужденных устойчивых

sup sup

0S/ST

(24)

(21).

т

периодических режимов. Легко проверяемые достаточные условия, обеспечивающие их существование содержатся в следующей теореме.

Теорема 2. Пусть система (14)-(15) регулярна, функция мо-

нотонно возрастает по второму и не убывает по третьему аргументам и удовлетворяет неравенству (24). Пусть во множествах М_ и ЬЛ^ найдутся элементы {г_,£»_} и {V®*}.- связанные неравенством

{г _,«_>< {=+,»♦> (25)

такие, что отвечающие им решения системы (17)-(21) являются грубыми. Тогда система (17)-(21) имеет по крайней мере одно Г-периодическое решение, обладающее свойством устойчивости по Ляпунову.

Теорема 2 вытекает из формулируемых ниже теорем о корректных неподвижных точках оператора сдвига Vх по траекториям системы (17)-(21). Неподвижную точку {г,,со.} оператора сдвига 1!т назовем устойчивой, если для любого е > 0 найдется такое 5 > 0. что для всех натуральных и выполняется включение

(1/г)"5,{г.,®.} С5,{2.,«.>. (26)

Здесь $ £{2.,й).} - г-окрестность точки {л.,®.}:

54{2.,®.}-{{г,®)е£>ф -г.||й„ < к ||©-<».||д„ <*}. (27)

Вопрос о наличии у оператора сдвига по траекториям систем дифференциально-операторных уравнений устойчивых неподвижных точек тесно связан с вопросом о наличии устойчивых решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Известно, что из существования у оператора сдвига устойчивой неподвижной точки следует существование устойчивого Г-периодического решения. Для системы (14)-(18) верно аналогичное утверждение.

Лемма 3. Пусть оператор сдвига иг по траекториям системы (17)-(21) имеет устойчивую неподвижную ючку {г,,«.}. Тогда решение {г, (/),«.(')} системы (17)-(21), отвечающее начальному значению {г.(0).й>,(0)} = {::,, га.}. Г-периодично и устойчиво по Ляпунову.

Неподвижную точку {:.,а>.} оператора UT назовем К -корректной, если в любой ее окрестности найдутся элементы и {2^,&>+}, связанные

соотношением

{z _.а>_}<{г..<о.}<{2 + .ш+} (28)

такие, что

UT {:^.й>_}>{:_,со_}.ит {z+,m+}i{z + ,a+} (29)

и решения системы (17)-(21). отвечающие {-_,а>_} и {z+,coJ являются грубыми.

Связь между понятиями устойчивой и £-корректной неподвижной точки устанавливает следующая лемма.

Лемма 4. В условиях теоремы 2 каждая К -корректная неподвижная точка {-.,«.} оператора сдвига U7 по траекториям системы (17)-(21) является устойчивой.

Объединяя леммы 3 и 4. получим следующее утверждение: для доказательства теоремы 2 достатчно установить существование по крайней мере одной А'-корректной неподвижной точки у оператора сдвига U7 по траекториям системы (17)-(21).

Теорема 3. В условиях теоремы 2 у оператора сдвига UT по траекториям системы (17)-(21) существует по крайней мере одна А'-корректная неподвижная точка.

Основной базовой конструкцией доказательства теоремы является специальная итерационная процедура - модификация челночного алгоритма, позволяющая не только доказать существование К -корректных неподвижных точек у оператора сдвига f/r, но и служащая удобным средством для расчета начальных значений, отвечающих устойчивым по Ляпунову решениям системы (17)-(21). Впервые челночный алгоритм был предложен М А. Красносельским и A.B. Покровским для доказательства существования корректных решений интегральных уравнений.

Пусть фиксированы элементы {:_,со_)еМ_, {г,,а>+}€Mt связанные неравенством

Зафиксируем убывающую к нулю последовательность положительных чисел

а, > а2 >... > <г, >... (ст,<1) (30)

и элемент к0 б цйЛГ, такой, что выполняются неравенства

ит (2_.ш_}>{2_+ий,со_},ит {г + 1«+>5{г+-11о.в+}. (31) В условиях теоремы 3 такие элементы {г..о.}, {г+,гу,} и и0 заведомо существуют.

Определим вспомогательную последовательность {у„,у„}еЯ"хП равенствами

= {у „+1-ар„}=ит {у „л п). (32)

где

0, (<Е.(<Й+-*„) = <)).

По построению, последовательность (32) монотонна по телесному конусу К. Из монотонности оператора сдвига ит вытекает ее ограниченность и, следовательно, компактность. Поэтому последовательность (32) сходится. Для ее предельного элемента {у, у} верно неравенство

ит {у,\>)<{у -о-,и0,у}.

Следовательно, среди членов последовательности (32) найдется элемент {у I .VI}, удовлетворяющий неравенству

Положим {г,,«!}={>>,,V,}. Элемент {-¡.а)^ является первым членом последовательности

{г,,.«,,}, (33)

которую определим следующим образом.

Пусть первые п членов уже построены. Определим вспомогательную последовательность {у„.Vп] равенствами

{Ут+1 +(-])" а„<Гт}~ит {ут.*т}.

т

(34)

где

Если среди членов последовательности (34) найдется элемент {у,,^',}, удовлетворяющий неравенству

то положим {2„+1.®„+1} = 0';,у; }. Если же такого элемента не существует, то построение {2„+1.й>„+1} будем считать невозможным.

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 2, тогда при любом натуральном п элементы , шп} могут быть построены, причем выполняются неравенства

где {г-,й*.} и {/.,<»«} - единственные предельные точки последовательности (33), являющиеся А"-корректными неподвижными точками оператора сдвига

иТ.

Теорема 5. Если выполняется неравенство {г-,го-} * {г.,(».}, то существует единственное однопараметрическое семейство {г(0), о)(в)}, (О<0<1), монотонно и непрерывно зависящее от параметра в, такое, что {г(0),су(0)} = {г->®«Ь {г(1),®(1)} = {г.,£У.} и при любом в элемент {г(0),ю(0)} является К -корректной неподвижной точкой оператора сдвига ит.

Аналогичные теоремы верны для системы (17X21) и в случае, когда уравнения (20)-(21) описывают динамику преобразователя Прейзаха-Гилтая. Однако эта система имеет одно принципиальное отличие: в силу определений ни один допустимый вход для преобразователя Прейзаха-Гилтая не является грубым. Следствием этого является тот факт, что у системы (17)-(21) в этом

(-1)я+1 (У т {у, ,} - {у, + (-1)" а„+2и 0,у,}) > 0.

(35)

...{г »•.©»»} < {2,,а>.} <

{г 2«-1. } < - < ^ 1. } < {г +, й)+},

(36)

случае не может быть асимптотически устойчивых решений. В заключении четвертой главы приводятся достаточные условия существования вынужденных устойчивых периодических режимов в системах с функциональными не-линейностями.

Таким образом, результаты пятой главы позволяют по глобальным характеристикам моделей систем автоматического регулирования с гистере-зисными нелинейностями дать ответ на вопрос о существовании вынужденных устойчивых периодических режимов, а также гарантируют построение начальных условий, отвечающих устойчивым по Ляпунову решениям с любой наперед заданной точностью.

I

Шестая глава посвящена построению и изучению математических моделей экономических систем с гистерезисными свойствами. Гистерезисные I явления в экономик проявляются на разных уровнях. Первая часть шестой

главы посвящена макроэкономическим моделям. * В работе приводится новая модель, основанная на следующем пред-

I положении: потенциально восприимчивый к инвестициям сектор экономики

4 имеет доменную структуру, каждая ячейка (домен) которого имеет индивиду-

альную восприимчивость к инвестициям.

Переменное состояние домена гу(г), принимающее одно из значений: 1 или -1, зависит от начального состояния а>0 = а>(°), управляющего воздейст-1 вия У - скорости изменения дохода и пороговых чисел акр, различных для

разных доменов - значений управляющего воздействия, при которых происходит изменение состояний. Следовательно, переменное состояние каждого индивидуального домена определяется оператором К[а,/?.о0].

®(г) = Я[а,/?,й>0Г' . (38)

Здесь оператор Я[а,р,т0\ полностью аналогичен неидеальному реле (6). с той лишь разницей, что нулевое состояние заменено на состояние (-1) (см. рис. 4). Это состояние соответствует «проеданию» основного капитала.

1 0)

а * к в ,

У

Рис. 4

Выход (вклад в экономику) £(г) каждого индивидуального домена определяется его состоянием и некоторым коэффициентом у: £{() = уй>{(). С учетом сказанного, функцию инвестиций предлагается выбрать в виде континуального аналога семейства «модифицированных» неидеальных реле, соединенных параллельно - преобразователя Прейзаха-Гилтая, в пространстве состояний которого роль нулей будут играть минус единицы. Таким образом, математическая модель динамики изменений дохода (точнее отклонений дохода от стационарного значения) будет иметь вид:

У" + .<•}' (39)

т= (40)

а<р

(41)

Здесь У(1) - отклонение совокупного дохода от стационарного значения. л - положительный параметр показывающий, в каком отношении к доходу находятся накопления, у предполагается малым положительным параметром, второе слагаемое правой части уравнения (39) устанавливает "потолок" для роста доходов - традиционно используется в макроэкономических моделях. Уравнения (40), (41) описывают соотношения вход-состояние и состоя-

ние-выход преобразователя аналогичному преобразователю Прейзаха-Гилтая. Из априорных соображений ясно, что расстояние между пороговыми числами а не должно быть слишком большим, поэтому носитель меры ц должен быть финитным. Из соображений симметрии выберем его в виде двух треугольников показанных на рис. 5.

Будем считать, что мера ц совпадает с лебеговой. В сделанных предположениях индивидуальные решение системы (39)-(41) будет выделяться заданием начальных условий:

У(0)= У о, У(0)= У, ш{а,р) = а0{а,р), где У "согласовано" с та{а,р) в смысле соотношения (5). Основным при изучении системы (39)-(41) будет являться вопрос о существовании устойчивых циклов (периодических решений). Т. Пу отмечал, что идеальной моделью макроэкономики была бы та, которая вызывает устойчивое циклическое движение с конечной амплитудой. определённой самой системой. Сформулируем один из центральных результатов этого раздела.

Л*

Рис.5

Теорема 6. Пусть выполнено неравенство 0<v<l/2. тогда в сделанных предположениях относительно преобразователя (40)-(41) система (39)-(41) имее i гю крайней мерс одно периодическое устойчивое по Ляпунову решение.

Для доказательства теоремы б устанавливается существования у системы (39)-(41) инвариантного множества D. В проекции этого множества на плоскоегь (Y, Y ) выбирается отрезок без контакта [0 ь©?], на котором определена функция последования - аналог оператора сдвига - отображение (р. сопоставляющее каждой точке ©точку этого же отрезка ?>(©). в которой решение системы (39)-(41) имеющее своим начальным значением 0, пересекает [® i .©;]. На множестве [©i ,©2]х Q введем отображение Ф{©,£U0(а,р)} {?)(©),£у(а,/?,0), где a(a.fl,t) - состояние преобразователя (40).(41) в тот момент, когда решение, имеющее своим начальным значением точку ©пересекает отрезок [©i,©j]. Устойчивым в смысле определения (26), (27) неподвижными точками отображения Ф соответствуют начальным значениям, отвечающие устойчивым по Ляпунову решениям системы (39)-(41).

Лемма 5. В условиях теоремы 6 отображение Ф имеет по крайней мере одну неподвижную точку.

Основная базовая конструкция доказательства леммы 5 - модифицированный челночный алгоритм может также служить удобным средством для расчета начальных значений отвечающих устойчивым по Ляпунову решениям

Отмстим, что наличие у системы (39)-(41) устойчивого цикла может служить в некотором смысле проверка адекватности модели, так как находится в качественном соответствии с реальной экономической действительностью.

Вторая часть шестой главы посвящена задаче об оптимальном производстве. хранении и обороте товара. Центральное место при решении этой задачи играет выбор функции (темпа) продаж. В работе предлагается следующая модель: на первом этапе будем предполагать, что темп продаж P(t) зависит от момента времени t только от цены c(t) следующим образом. Отношение

индивидуального потребителя к некоторому товару определим функцией ЩО, принимающей значения 0 или 1 по правилу

II. если с{1) < а.

О, если с(?) > р. (42)

О или 1, если а <с(1) < /}.

Функцию ЩО удобно трактовать как выход некоторого преобразователя Н[а,р,В.0], аналогичному неидеальному реле с инверсией роли пороговых чисел а,р, на вход которого поступает сигнал с(0(1 > 0). Взаимосвязь между входом и выходом иллюстрирует рис. 6.

Л

Рис.6

■

Если обозначить через <р, темп покупок /-го потребителя (¡=1,2... п), то для системы из п потребителей функция продаж будет иметь вид

Рф^.Щаь/^адсф. (43)

В непрерывном случае функция продаж будет аналогична преобразователю Прейзаха-Гилтая (12)-(13) с инверсией нулей и единиц т.е.

Р(1)= |й>(а,/?,?Им, (44)

а<р

вК<х,М*=2ШгМО=Щ<*(г1№Я0(г№Х (45)

где у 6 Раф.

Пусть функция продаж определяется соотношениями (44), (45). Рассмотрим задачу о максимуме прибыли на конечном временном интервале, пренебрегая расходами на производство и хранение товара. Из экономических

!

соображений ясно, 'по носитель меры // должен лежать в области, выделяемой неравенствами а > 0 и /}> О и должен быгь финитен. Выберем в качестве носителя меры // треугольник, показанный на рис. 7.

Рис, 7

Меру ц будем считать совпадающей с лебеговой. В сделанных предположениях задача о максимизации прибыли на конечном временном интервале сводится к максимизации функционала

г

7(сС«)) = |е(г)Р(г)Л. (46)

о

Рассмотрим функцию

'р(<)=> I(дшг)У№/з.(I >о), (47)

а<р

где щз 1 в треугольнике, показанном на рис. 7.

Функция (47) непрерывно ограничена и достигает своего максимального значения <р,. Обозначим через /. такое значение г, что ) = <р..

Теорема 7. Последовательность функций

с„(') =

г /

С0-пГ, еслн 0 ^ Г < у , и /л

п(1 - если С°/ < / < С» +'/ п /п ' >

1„еслиС<1 + У<1<Т. /п

является максимизирующей для функционала (46).

Графики функций сп (г) представлены на рис. 8

Рис. 8

Теорема 7 имеет ясный экономический смысл: для достижения максимальной прибыли в рамках предложенной модели цена должна сначала упасть до нуля (если говорить немного нестрого, сначала нужно заставить покупать товар всех потенциальных потребителей), а затем ее следует поднять до некоторого оптимального значения, являющегося в некотором смысле компромиссом между числом потребителей, покупающих товар, и желанием производителя увеличить цену. Отметим, что эти выводы, вытекающие из мо-

дели, находятся в качественном соответствии с рекомендациями ведущих маркетологов фирмам, выходящим на новые рынки.

Рассмотрим теперь задачу о производстве, хранении и сбыте товара. Обозначим через Z(t) количество товара на складе у производителя, V(t)- количество товаров у потребителей, ¿/(с) - темп производства, P(t)- темп продаж, через ks, коэффициент потребления, кг - коэффициент затрат на хранение единицы товара, c{t)- цена товара. Себестоимость производства единицы товара будем считать равным единице. Динамика изменений введенных величин описывается следующей системой:

Z=U-P. Z(0) = 0, (49)

V=P-kf, V (0) = 0, (50)

Р{0 = Z \<a(p,ß,t)dadß, (51)

a<ß

m{a,ß,t) = Q{mü)c(t). (52)

В рамках этой модели учтено, что темп продаж пропорционален количеству товара у производителя. Будем считать, что производство ограничено некоторым максимальным значением U0, то есть U(t)е [0,Г/„]. С учетом введенных обозначений доход 1(1) на конечном временном интервале [0,7'| будет определяться соотношением

т

HT) = j(c(t)P(t)-U(t)-k2Z(t))dt. (53)

о

Поставим задачу о максимизации функционала (53). Управляющими воздействиями в рассмотренной задаче естественно считать цену е(?)и темп производства U(t). В работе доказывается, что оптимальная цена с,(г) является неподвижной точкой оператора G :

Т [7

öc(0 = |/( \Q{o,(i{a.ß)Hr)dadß^r + ^. (54)

1 a<ß

Достаточное условие, обеспечивающее существование у оператора (54) единственной неподвижной точки, записывается в виде неравенства

у1гаТ < 3 (55)

Выполнение неравенства

3-ЯаТ + 4 > a-j6+6yUzaT +1 (56)

является достаточным условием существования нетривиального решения задачи о максимизации функционала (53). обеспечивающего положительный доход.

Полученное решение задачи позволит производителям строить оптимальные ценовую и производственную стратегию для достижения максимальной прибыли на конечном временном интервале.

Глава 7 посвящена математическому моделированию цикла фотодыхания с3 растений. Как было показано в работах ряда биологов (А.Х. Лайск, В. Mayer, C.Klein и др.). в лимитирующей фазе цикла фотодыхания С3 растений, связанной с преобразованием глиоксилата. в связи с наличием обходных путей, кинетические свойства реакций обладают гиетерезисными свойствами. В работе показывается, что динамика изменения концентрации глиоксилата (}') описывается дифференциальным уравнением (в безразмерной форме).

Г+Х^'+К/ =-KfRlce,fi,R0Y +<К0- (57)

Здесь R{a,f3.Ra\ - преобразователь аналогичный преобразователю неидеального реле с точностью до изменения роли пороговых чисел а к /3 (см. рисунок 6). К, 0 = 1.2,3), положительные числа - константы одномолекулярных ферментативных реакций, <p(t)- слагаемое обуславливающее приток в цикл кислорода. В работе изучен вопрос о существовании устойчивых Г-периодических классических решений уравнения (57) в предположении Т -периодичности функции <p{t). Этот вопрос эквивалентен вопросу о существовании устойчивого периодического отклика системы в ответ на периодические изменения внешних параметров (концентрации кислорода во внешней

I

среде). Отметим, что уравнение (57) радикально отличается от рассмотренных

ранее, так как его правая часть содержит разрывный по фазовой переменной оператор. Решением уравнения (57) назовем функцию, удовлетворяющую ему почти всюду, первая производная которой абсолютно непрерывна.

Пусть выполнено неравенство X,2 > 4(Хг+ 2К3). Зафиксируем произвольное X удовлетворяющее неравенству К,2 > 4(К, +Х3 +К). Обозначим через Н(Т,т), (0 < т 2 Т) импульсно-частотную характеристику звена

^(Р) = 2 ГТТ ГГ~. Функция Н(Т, г) > 0. Рассмотрим действую-

р + + Гч + гч2

щий в пространстве С(ол оператор г

вУ(1) = {Я(7\г~ т)[ Д,У(г) + КУ (г) + <р(т))с1т. (58)

о

Неподвижные точки этого оператора являются Г-периодическими решениями уравнения (57). Неподвижную точку Г.(г) оператора (58) назовем г<0- корректной, если в любой ее окрестности найдутся такие функции Г (0'-(О (У. < У < У*), что выполнены неравенства

ОГ+5Г+-и0, вУ^>У_+и0, (59)

где е К+ - конус неотрицательных функций в пространстве С^у Оказывается, что каждая н0 - корректная неподвижная точка оператора (58) является устойчивым по Ляпунову решением уравнения (58).

Теорема 8 Оператор (58) имеет по крайней мере одну а0 - корректную неподвижную точку.

Неподвижные точки оператора (58) обладают тем свойством, что они пересекают точки разрыва операторов, стоящих в правой части уравнения (57) с ненулевой скоростью, то есть корректные решения уравнения (57) не садятся на точки разрыва правых частей, то есть являются классическими.

Полученные результаты позволят осуществлять механизмы регулирования процессов фотодыхания посредствам управления внешними параметрами.

В приложении приводится численное решение задачи об отимальном производстве, хранении и сбыте товара в условиях, когда параметры задачи удовлетворяют неравенствам (55). (56) Там же приводится реализация модифицированного челночного алгоритма для нахождения начальных значений, отвечающим устойчивым решениям системы (34)-(41).

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в работе.

• Предложена обобщающая модель гистерезисного преобразователя.

• Выделен класс моделей регулярных систем, инвариантное множество которых является телесным конусом.

• Найдены глобальные признаки существования вынужденных устойчивых периодических режимов в моделях систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями.

• Предложен алгоритм расчета начальных значений, отвечающих устойчивым по Ляпунову решениям; приведены условия, обеспечивающие его реализуемость и сходимость.

• Приведены условия, выполнение которых обеспечивает существование связного континуального множества вынужденных устойчивых периодических режимов.

• Создана модель динамики макроэкономики, учитывающая гисте-резисные явления и объясняющая циклические изменения макроэкономических параметров; в рамках предложенной модели приведены условия существования континуума циклов.

• Предложена модель функции продаж, учитывают;« инертность потребительского спроса по отношению к цене; в предположение справедливости предложенной модели решены задача о максимизации прибыли и задача об оптимальном производстве, хранении и сбыте юваров.

• Построена математическая модель фотодыхания С-, растений, учитывающая гистерезисные свойства ферментативных реакций: доказано суще-

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА | С. Петербург I 09 Юв »кТ ^

ттш

етвование классических устойчивых периодических решений уравнений, описывающих динамику цикла фотодыхания.

Таким образом, создана методология построения и анализа моделей систем с гистерезисными явлениями, обеспечивающая выделение классов этих моделей с заведомо существующими устойчивыми периодическими решениями. Создана методика построения устойчивых периодических решений систем операторно-дифференциальных уравнений, являющихся математическими моделями систем автоматического регулирования, экономических и биологических систем. Создана методика решения оптимизационных задач в системах с гистерезисными нелинейностями.

Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту проф. М.Г. Матвееву, а также А.В. Покровскому, идеи которого послужили стимулом для написания работы.

Основные публикации по теме диссертации (в скобках отмечен личный вклад автора):

1. Семенов ME. О линейных звеньях четвертого порядка / ME. Семенов // Сборник трудов молодыхученыхИПУ АН СССР,- M1989.-С. 41-45.

2. Семенов М£. Вынужденные устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями / АВ. Покровский ME Семенов // Автоматика и телемеханика. -1990. - № 2. - С. 81 -87. (Доказательство основных упзерядений).

3. Семенов ME Вынужденные колебания в нелинейных системах / ME. Семенов; Воронеж гос. ун-т, - М,1991.-12С,- Деп. в ВИНИТИ24.07.91, № 1386,В 91.

4. Semcnov М.Е. Nonlinear oscillations in system with hysteresyses nonlinearities /MA Krasnoselskiy., A.V. Pokrovskiy, M.E. Semenov // Differential Equations and Applications: Proc. Conf. - Prague, 1991,- Vol 2. - P. 281-286. (Доказательство теорем о существовании устойчивых периодических режимов в системах с обобщеннымлюфтом)

5. Semenov ME. New results in theory of oscillations in complex systems/ N.A. Bobylev, M.A. Krasnoselskiy, A.V. Pokrovskiy. M.E. Semenov // IF AC congress. Tallin. 1990. -Vol 5 . - P. 71 - 77. (Докаи le.'itcTiio теорем о существовании устойчивых решений в системах с монотонными нелинейностями)

6. Семенов М.Е. О континуумах вынужденных устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями /М Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. -1994. - № 8. - С.82-86.

7. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с абстрактным гис-терезисным преобразователем / ME. Семенов // Вестник Воронеж, гос. ун-та. - В -1997.-№5.-С. 153-157.

8. Семенов М.Е. Устойчивые решения систем с неидеальными реле / М.Е. Семенов//Сб. тр.Воронеж, гес ун-та.-1997. - № 3.-С.114-118

9. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с абстрактным гистерезисным преобразователем / М Е Семенов // Вестник Воронеж, гос. ун-та - Воронеж. -1998. -№2. - с.71-77.

10. Семенов MJE. Динамическая модель функционирования производственной системы. / МГ. Матвеев, С Д. Наумов, ME Семенов //Системные проблемы качества математического моделирования и информационных технологий: Тр. междутар. конф. - М -1999. - Ч. 6. - С. 93-95. (Математические модели гистерезиеных явлений в экономике).

11. Семенов М.Е. Устойчивые приближённые решения систем алгебраических уравнений с сингулярными матрицами большой размерности / М Е. Семенов// Геофизика и математика' Тр меадунар.конф.-М..1999.-С. 97-100.

12. Семенов ME Динамическая модель потребительского спроса / МГ. Матвеев, С. Д Наумов. ME. Семенов // Математическое обеспечение ЭВМ Сб. науч тр. - Воронеж. -1999. - С. 36-40. (Математическая модель потребительского спроса).

13. Семенов ME. Информационные технологии и регулирование рынка сахара / ВН. Журавлев. МГ. Матвеев. ME. Семенов //Системные проблемы качества математического моделирования и информационных технологий Материалы меж-дунар. конф. - М. 1999. - Ч. 7. - С. 122-124. (Балансовые модели рынка сахара).

14. Семенов М.Е. Устойчивые периодические решения систем с континуальными системами неидеальных реле / М.Е. Семенов // Математическое обеспечение ЭВМ: Сб. науч. тр. - Воронеж, 1999. - Вып. 1. - С. 73- 77.

15. Семенов М.Е. Метод Монте-Карло в рамках дискретной теории гравитационного и магнитного потенциалов / МЕ. Семенов // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: Тр. мевдунар. конф. - Екатеринбург. -1999. - С. 60-63. ■

16. Семенов МЕ. Об одной модели потребительского спроса / И.П. Половин кип, М.Е Семенов // Моделирование экономических и социальных процессов: Сб. науч. тр. - ИПСЭР: М. - 2000. - С. 82-87. (Обоснование и анализ моделей потребительского спроса).

17. Семенов М.Е. Гистерезисные явления в экономических процессах / И.П. Половинкин, М Е. Семенов // Моделирование экономических и социальных процессов: Сб науч. тр. - ИПСЭР. -М.-2000. -С.88-91.(Обоснованиеи анмиз гистере-зисных моделей экономических процессов).

18. Семенов М.Е. Оптимальная ценовая стратегия в задаче о производстве и сбыте товаров / МЕ. Семенов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М. -2002. - т. 9. - вып. 1. - С. 443-447

19. Семенов М.Е. Математическое моделирование устойчивых периодических режимов в системах с гистерезиснными нелинейностями / МЕ. Семенов // Воронеж. - Издательство ВГУ. -2002. - 104 С.

20. Семенов МЕ. Использование методов технического анализа при прогнозировании цен на рынке / НА. Алейникова, A.C. Свиридов, МЕ. Семенов, ИН Шумлин // Математическое обеспечение ЭВМ: Межвуз. сб. науч. тр. - Воронеж. -2002. - вып. 4. - С.2-5. (Построение и обоснование моделей).

21. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с гистерезисными нелинейностями / М Е. Семенов //Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах: Сб. трудов семинара НОЦ ВГУ //Воронеж. - 2003. - С. 356-369.

22. Семенов МЕ. Стохастические модели прогнозирования на основе количественной интерпретации методов технического анализа /H.A. Алейникова, М. Г.

Матвеев, М. Е. Семенов // ВГТА . - Воронеж. - 2003 . - 130 С. (Стохастические и детерминированные модели на однопродуктовых рынках).

23. Семенов МЕ. Использование индикаторов технического анализа для построения количественных прогнозов / НЛ Алейникова, И.П. Половинкин. МЕ. Семенов // Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики -Воронеж. - 2002. - Вып. 3. - С. 3-8. (Построение и анализ моделей на основе технических индикаторов).

24. Семенов М.Е. Об устойчивости стационарного решения уравнения Хотелинга / М.З Мешков, И.П. Половинкин. М.Е. Семенов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М. - 2002. - т. 9. - вып. 1. - С. 226-227. (Достаточные условия устойчивости).

25. Семенов М.Е. Об одном классе функций Ляпунова / МЕ. Семенов // Функциональный анализ и его приложения' Тез докл. междунар. конф.. - Новгород. -1989.-С. 42.

26. Семенов М.Е. Свойства виброкорректности преобразователя Прейза-ха / МЕ. Семенов // Колебания в нелинейных системах: Тез. докл. междунар. конф. -Самара.-1993.-С.121.

27. Семенов М.Е. Об одной модели леонтьевского типа / Матвеев М.Г., Покорная ОЮ, Семенов МЕ. И Математические методы и компьютеры в экономике: Сб. дока Ш Мюкдунар научн. -пракг. юнф. - Пенза. - 1998. - С. 71. (Достаточные условия существования реша шя одной оптимизационной задачи).

28. Семенов М.Е. Нелинейные колебания в системах с монотонными нелинейностями / МЕ. Семенов // Функциональный анализ и его приложения' Тез. дскл.мезкпунар.конф..-Киль,- Германия.-1998 .-Т. 1.-С.113-114.

29. Семенов М.Е. Динамическая модель производственной системы / Наумов С Д., Семенов М.Е. // Понтрягинские чтения X: Тез. докл школы - Воронеж. - 1999 .-С.141. (Построение и анализ динамической модели производственной системы).

30. Семенов М.Е. Об устойчивости стационарного решения уравнения Хотелинга / М. 3. Мешков, И. П. Половинкин. М.Е. Семенов// Обозрение

прикладной и промышленной математики - М.- 2002 - т. 9 . - вып. 1. - С. 226227. (Достаточные условия устойчивости).

31. Семенов М.Е. Об устойчивости стационарного решения уравнения Пу / М. Г. Матвеев. М.Е. Семенов, Ю.Д. Щеглова// Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2002 . - т. 9. - вып. 1. - С. 436-437. (Достаточные условия).

32. Семенов М.Е. Математическая модель функции продаж / М.Г. Матвеев, И. П. Половинкин. М.Е. Семенов И Обозрение прикладной и промышленной математики. - М . - 2002 . - т. 9 . - вып. 1. - С. 419- 420. (Построение и анализ гистерезисной модели функции продаж).

33. Семенов М.Е. Устойчивые циклы в макроэкономической модели с гис-терезисными нелинейностями / М.Г. Матвеев, МЕ. Семенов //Системные проблемы качества математического моделирования и электронных технологий: Сб. тез. докл юонф.- Сочи.- 2003.- Т.6. - С. 129. (Построение модели, доказательство существования устойчивых циклов)

34. Семенов М.Е. Математическая модель фотодыхания СЗ растений / О.С. Корнеева, АЕ. Семенов. М Е. Семенов //Системные проблемы качества математического моделирования и электронных технологий: Сб. тезисов докл. конф . - Сочи . -2003 . - Т.6 .-С213-214. (Доказательство существования устойчивой периодической реакции системы на периодические изменения внешних параметров)

Подписано в печать 30.10.2003 Формат 60x90 1/16 Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Ризография. Усл. Печ. Л. 2,0. Тираж 100. Заказ

Воронежская государственная технологическая академия (ВГТА) Участок оперативной полиграфии Адрес академии и участка оперативной полиграфии 394000, Воронеж, пр. Революции, 19

2e>oJ-/j i 18632

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Гистерезисные преобразователи

1.1. Понятие гистерезисного преобразователя

1.2. Неидеальное реле

1.3. Преобразователь Прейзаха-Гилтая

1.4. Обобщенный люфт

1.5. Дифференциальные уравнения с гистерезисными нелинейностями

Глава 2. К0-правильный гистерезисный преобразователь.

Грубые входы

2.1. Ко-правильный гистерезисный преобразователь

2.2. Грубые входы

Глава 3. Регулярные линейные системы

3.1. Определение и признаки регулярной системы

3.2. Доказательство теоремы 3.

Глава 4. Уравнение динамики замкнутых систем с гистерезисными нелинейностями. Понятие устойчивости их решения

4.1. Линейное звено

4.2. Замкнутые системы и

Глава 5. Глобальные признаки существования вынужденных устойчивых периодических режимов в системах управления с гистерезисными нелинейностями

5.1. Теоремы о существовании вынужденных устойчивых периодических режимов

5.2. Теоремы о корректных неподвижных точках оператора сдвига по траекториям системы (5.1)-(5.5). Модифицированный челночный алгоритм

5.3. Устойчивые периодические режимы в системах автоматического регулирования с преобразователем Прейзаха-Гилтая

5.4. Иллюстративные примеры

5.5. Системы автоматического регулирования с одной функциональной нелинейностью

Глава 6. Гистерезисные модели в экономике

6.1. Экономические циклы

6.2. Доказательство теоремы 6.1 * 6.3. Математическая модель функции продаж

6.4. Задача о максимизации прибыли на конечном временном интервале

6.5. Задача о производстве, хранении и сбыте товара

Глава 7. Математическая модель фото дыхания С3 растений

Актуальность темы. Гистерезисные явления широко распространены в различных естественнонаучных областях. Хорошо известны магнитный гистерезис, упругопластический гистерезис. Менее изучены, но известны гистерезисные явления в экономике и биологии. При этом,, как правило, носители гистерезисных явлений нельзя рассматривать изолированно, т.к. они являются частью более сложной системы. В связи с этим задачи, связанные с построением математических моделей и изучением сложных систем, содержащих нелинейности гистерезисной природы, являются актуальными. Такие системы обладают рядом характерных особенностей, принципиально отличающих их от традиционных систем с функциональными нелинейностями. К их числу, в первую очередь, относятся «необычность» фазовых пространств, включающих в себя пространства состояний гистерезисных преобразователей, негладкость операторов, являющихся математическими моделями гистерезисных нелинейностей и ряд других.

В работах В.А.Якубовича, ЯЗ. Цыпкина, М.А. Красносельского, E.H. Розенвассера [37, 68, 114, 121, 122, 123] и ряда других ученых [154, 160, 192, 200, 202] отмечалась необходимость учета нелинейностей гистерезисного типа при анализе систем автоматического регулирования. Построение и систематическое изучение математических моделей систем с гистерезисными нелинейностями является важной научной проблемой. При этом с точки зрения моделирования является важным вопрос о существовании устойчивых вынужденных периодических режимов. В ситуации, когда периодический режим известен в явном виде и гистерезисные нелинейности, входящие в систему, можно в каком-нибудь смысле приблизить функциональными, для анализа устойчивости периодического режима можно применить классические методы Ляпунова, Четаева, методы абсолютной устойчивости (Е.С.Пятницкий, В.А.Якубович и др.) [65, 121, 124]. Существенно менее изучен вопрос об устойчивости периодических режимов в ситуации, когда он заведомо существует, но неизвестен в явном виде. В связи с этим актуальна задача выделения класса моделей систем автоматического регулирования, содержащих гистерезисные нелинейности, в которых заведомо реализуются вынужденные устойчивые периодические режимы.

Наличие гистерезисных явлений в экономике отмечалось различными учеными (Хикс, Т.Пу, Самуэльсон и др.) [70,160, 192, 193]. Еще в 30-е годы многими выдающимися экономистами того времени были отмечены циклы деловой активности. Попытки объяснить этот эффект в рамках линейных моделей не увенчались успехом. Основная сложность этой задачи заключалась в выборе функций инвестиций. В 1950 году Хикс предложил модель, в которой функция инвестиций была устроена таким образом, что устанавливались жесткие пределы для диапазона изменения основного капитала. Однако в рамках этой модели не учитывались инерционность экономических процессов, не объяснялся механизм запаздывания при переходе инвестиций в основные фонды. Аналогичные недостатки присущи в той или иной степени современным моделям макроэкономики. Такие же проблемы возникают при построении моделей микроэкономики, в частности инертность потребительского спроса по отношению к изменениям цены, по существу есть явление гистерезисной природы. В связи с этим актуальна проблема построения и изучения математических моделей экономических процессов с ярко выраженными гистерезисными свойствами.

При изучении сложных процессов в биологических системах многими исследователями (Р. Фаргухауер, Д. Стилмон, А.У. Игембердиев) [142, 166, 167, 205] отмечались резкие изменения скоростей биохимических реакций, обусловленные «внутренним» состоянием системы. В частности, в лимитирующей фазе цикла фотодыхания Сз растений в связи с наличием так называемых обходных путей, возникали резкие скачкообразные изменения скоростей протекающих реакций. Построение математических моделей таких процессов является актуальной и нерешенной к настоящему времени научной проблемой.

Тематика работы соответствует одному из научных направлений ВГТА «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» № г.р. 01200003664.

Цель работы. Разработка методологии построения моделей и анализа экономических, биологических систем, систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями, обеспечивающей выделение классов моделей этих систем с заведомо существующими устойчивыми периодическими решениями, синтез алгоритмов их построения, создание методики решения оптимизационных задач в системах с гистерезисными нелинейностями.

Достижение указанной цели осуществляется посредствам решения следующих задач.

• Разработка обобщающей модели абстрактного гистерезисного преобразователя.

• Выделение классов моделей систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями, в которых заведомо реализуются вынужденные устойчивые периодические режимы. Создание алгоритма расчета начальных значений, отвечающих устойчивым по Ляпунову решениям этих систем.

• Построение моделей, объясняющих гистерезисные свойства макроэкономических систем: неоднозначную зависимость макроэкономических параметров от внешних условий, «запоминание» предыстории от ряда других.

• Создание моделей микроэкономики, учитывающих гистерезисные свойства потребительского спроса: инертность по отношению к цене товара, решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара в рамках справедливости построенной модели.

• Создание математической модели цикла фотодыхания Сз растений, учитывающей гистерезисные свойства химических реакций цикла, выявление условий, обеспечивающих устойчивую периодическую реакцию параметров на периодические изменения внешних условий.

Методы исследования. Операторная теория гистерезиса, математическое моделирование сложных систем, качественная теория дифференциальных уравнений, теория управления, нелинейный анализ.

На защиту выносятся.

• Методология построения моделей и анализа систем с гистерезисными явлениями, обеспечивающая выделение классов этих систем с заведомо существующими устойчивыми периодическими решениями.

• Методика построения устойчивых периодических режимов для классов моделей экономических систем, систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями, описываемых операторно-дифференциальными уравнениями.

• Методика построения устойчивых периодических решений моделей процессов в биологических системах с разрывными гистерезисными преобразователями.

• Методика решения оптимизационных задач в системах с гистерезисными нелинейностями.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

• Создана математическая модель абстрактного гистерезисного преобразователя, обобщающая такие гистерезисные модели, как обобщенный люфт с насыщением и преобразователь Прейзаха с финитным носителем меры.

Выделен класс моделей регулярных систем, для которых существует инвариантное множество, являющееся конусом в фазовом пространстве.

Приведены глобальные признаки существования вынужденных устойчивых периодических решений систем, содержащих, помимо функциональных, нелинейности гистерезисной природы, приведены достаточные условия, обеспечивающие существование континуума устойчивых периодических решений.

Предложен алгоритм приближенного построения начальных условий, отвечающих устойчивым периодическим решениям, являющийся, в свою очередь, основой доказательства существования устойчивых периодических решений.

Создана математическая модель, объясняющая периодические изменения макроэкономических показателей. В рамках этой модели, содержащей гистерезисные нелинейности, доказано существование устойчивых циклов, приведены условия существования континуального множества циклов.

Построена гистерезисная модель функции продаж (потребительского спроса), учитывающая такие особенности поведения потребителей, как инертность, «запоминание» предшествующей ситуации и ряд других. В рамках этой модели решена задача о максимизации прибыли.

Решена задача об оптимальном производстве, хранении и сбыте товаров в условиях справедливости предложенной модели функции продаж.

Предложена математическая модель фотодыхания Сз растений с учетом функционирования «обходных путей» с помощью гистерезисных преобразователей. В рамках построенной модели доказано существование устойчивых периодических решений и предложен алгоритм их приближенного построения.

Практическая ценность. Практическую ценность работы составляют результаты, полученные в трех предметных областях: теории автоматического регулирования, моделировании экономических систем и моделировании процессов в биологических системах. В теории автоматического регулирования - найдены легко проверяемые достаточные условия, обеспечивающие существования вынужденных устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями, создана методика их построения. В экономике - найдено объяснение циклических изменений макроэкономических параметров в рамках предложенной гистерезисной модели; построена математическая модель функции продаж, учитывающая инертность потребительского спроса по отношению к цене; решена задача об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара, позволяющая строить оптимальные, с точки зрения достижения максимальной прибыли, ценовую и производственную стратегии. В биологии — построена математическая модель фотодыхания Сз растений, учитывающая гистерезисные свойства цикла, доказано существование устойчивых периодических решений, обладающих дополнительным свойством корректности по отношению к изменению внешних параметров, что позволяет оценивать влияние ферментативного регулирования метаболических процессов в растениях.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 18 конференциях (10 конгресс ШАС - Таллинн, 1990 г., «Нелинейные колебания в сложных системах» - Прага, 1990 г., «Функциональный анализ и его приложения» - Киль, 1998 г., Воронежских зимних математических школах 1988-2002 г., III, IV, V Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике - Сочи, 2002 г., Ростов, 2002 г., Петрозаводск, 2003 г., «Системные проблемы качества, математического моделирования информационных и электронных технологий» - Сочи, 2003 и др.), на семинарах Института проблем управления РАН, Института проблем передачи информации РАН, НОЦ ВГУ «Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах» и других.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 58 работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 192 страницах, состоит из введения, семи глав, 2 приложений, 22 рисунка, и списка литературы, включающего 205 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты, полученные в работе.

• Предложена обобщающая модель гистерезисного преобразователя. Гистерезисные явления, встречающиеся в физике, механике, экономике, биологии весьма разнообразны по своей природе. Поэтому, вполне естественно, что для их описания используются различные классы моделей. В то же время ряд гистерезисных преобразователей, используемых для описания ферромагнитного, сегнетоэлектрического гистерезиса, некоторых гистерезисных явлений в экономике, обладают рядом важных свойств: монотонностью, ограниченностью выхода^ при любом допустимом входе, моноцикличностью. Эти свойства являются в некотором смысле определяющими, т.е. достаточно общая модель гистерезисного преобразователя, обладающая по определению приведенными выше свойствами с одной стороны, расширяет класс гистерезисных моделей, с другой - охватывает такие известные модели гистерезисных явлений; как обобщенный люфт с насыщением, преобразователем Прейзаха, с финитным носителем меры, Б-преобразователь и некоторые другие.

• Выделен класс моделей регулярных систем, инвариантное множество которых является телесным конусом в фазовом пространстве. При анализе линейных и нелинейных систем важную роль играют инвариантные множества. Задаче выделения таких множеств посвящено немало работ [1,2, 12, 13, 23, 58] и как отмечалось в [58] эта задача является одной из основных при изучении систем описываемых дифференциальными г уравнениями. В работе удалось выделить класс линейных систем, инвариантное множество которых совпадает с телесным конусом в фазовом пространстве. Отметим, что оператор сдвига по траекториям этих систем будет положителен по конусу в смысле М.А. Красносельского и в силу его линейности монотонен.

• Выделен класс моделей систем автоматического регулирования: с гистерезисными нелинейностями, в которых заведомо реализуются вынужденные устойчивые периодические решения. Достаточные условия, обеспечивающие существование вынужденных устойчивых режимов, легко проверяются по глобальным характеристикам системы. Приведены условия, обеспечивающие существование континуума устойчивых периодических режимов - однопараметрического семейства, непрерывно и монотонно (по конусу в фазовом пространстве) зависящего от параметра. В этом случае удается эффективно построить притягивающее множество, являющееся конусным отрезком в фазовом пространстве системы.

Создана динамическая модель макроэкономики, учитывающая гистерезисные явления, объясняющая циклические изменения макроэкономических параметров. Предложенная модель удовлетворяет основному экономическому требованию и порождает устойчивые колебания с конечной амплитудой. В рамках предложенной модели приведены условия, обеспечивающие существование континуума устойчивых циклов -связного притягивающего множества периодичных решений. Предложена модель функции продаж, учитывающая инертность потребительского спроса по отношению к цене. Эта модель может быть адаптирована на конечное или бесконечное (континуальное) множество потребителей и объясняет неоднозначное отношение потребителей к некоторому товару в зависимости от предыстории динамики его цены. В предположении справедливости предложенной модели решена? задача о максимизации прибыли производителя на конечном временном интервале и задача об оптимальном производстве, хранении и сбыте товаров. Решение этих задач позволит производителям строить оптимальную ценовую и производственную стратегии для достижения максимальной прибыли: Построена математическая модель фотодыхания Сз растений, учитывающая гистерезисные свойства ферментативных реакций цикла. В работах ряда исследователей отмечалось, что в лимитирующей фазе цикла СЗ растений происходят резкие, скачкообразные изменения скоростей реакций.

Математическая модель этих процессов приводит к уравнениям с разрывными гистерезисными нелинейностями (аналогам неидеального реле). В рамках простроенной модели доказано существование классических устойчивых периодических решений уравнений, что эквивалентно наличию устойчивых периодических реакций системы на периодические изменения внешних параметров.

1. Айзерман М.А. Абсолютная устойчивость регулируемых систем/ Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. // М., изд-во АН СССР, 1963. 140 с.

2. Андронов A.A. Теория колебаний / Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Г. // 2-е изд., Физматгиз, 1959.

3. Ахкямов А.Р., Курышин С.А., Сагалович Ю.Л. Диагностирование сети процессоров с закономерной структурой // Автоматика и телемеханика. 2001. № 12. С. 74-82.

4. Барабанов А.Т. Теория линейных нестационарных систем с особой точкой / Барабанов А.Т.// Устойчивость систем. Автоматика и телемеханика, № 6, 1969.

5. Барабанов Н.Е. Абсолютная устойчивость систем регулирования с одной гистерезисной нелинейностью / Барабанов Н.Е., Якубович В.А. // Автоматика и телемеханика, 1979, № 12, С.5 -12.

6. Бассалыго Л.А., Пинскер М.Ш. Исправление обычных и локализованных ошибок // Проблемы передачи информации. 2001. Т. 37. № 4. С. 56-59.

7. Блиман П.-А., Красносельский A.M., Рачинский Д.И. О сильных резонансах при бифуркациях Хопфа в системах управления // Автоматика и телемеханика. 2001. № 11. С. 29-50.

8. Боголюбов H.H. Асимптотические методы теории нелинейных колебаний / Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. // Изд. 3-е, М., Наука, 1963.

9. Бойко Л.Л., Голубев Г.К. Как улучшить непараметрическую оценку плотности в S-Plus // Проблемы передачи информации. 2000. Т. 36. № 4. С. 80-88.

10. Бутенин Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. // М., Наука, 1987. 384 с.

11. Вишик М.И., Чепыжов В.В. Усреднение траекторных аттракторов эволюционных уравнений с быстро осциллирующими членами // Математический сборник. 2001. Т. 192. № 1. С. 13-50.

12. Воронов A.A. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость. / Воронов A.A. // М., Наука, 1979. 335 с.

13. Воронов A.A. Системы с дифференцируемой неубывающей нелинейностью, абсолютно устойчивые в гурвицевом угле. / Воронов A.A.//ДАНСССР, 1977,т. 234,№ 1,С.17-21.

14. Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем. / Гантмахер Ф.Р., Якубович В.А.// Труды Второго всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М.: Наука, 1966.

15. Гиль М.И. Операторные функции, дифференциальные уравнения и динамика систем. / Гиль М.И.// М., Наука, 1984. 150 с.

16. Голубев Г.К. О фильтрации скрытой марковской цепи при квадратичном критерии качества // Проблемы передачи информации. 2000. Т. 36. № 3. С. 22-28

17. Голубев Г.К., Еникеева Ф.Н. Асимптотически эффективное сглаживание в задаче Виксела при квадратичных потерях // Проблемы передачи информации. 2001. Т. 37. № 1. С. 28-51.

18. Горский A.A. Динамическая модель процесса производства, хранения и сбыта товаров повседневного спроса / Горский A.A., Колпакова И.Г., Локшин Б.Я. // Изв. РАН. Теория системы управления. 1998. №1.

19. Гусев JI.A. Определение периодических режимов в системах автоматического регулирования, содержащих нелинейный элемент с кусочно линейной характеристикой. / Гусев Л.А.// Автоматика и телемеханика, т. 19, № 10,1958.

20. Гэлбрейт Дж.К. Экономические теории и цели сообщества: Пер. с англ. / Под ред. А.Г. Милейковского. М.: Прогресс, 1976. 406с.

21. Данилов В.И., Сотсков А.И. Рациональный выбор и выпуклые предпочтения // Изв. АН СССР. Сер. техн. Кибернетика. 1985. №2. С. 14-23.

22. Демидович В.П. Лекции по математической теории устойчивости. / Демидович В.П.// М., Наука, 1967. 472 с.

23. Забрейко П.П. Осцилятор на упруго-пластическом элементе. / Забрейко П.П., Красносельский М.А., Лифшиц Е.А. // ДАН СССР, 1970, т. 190, С. 217-220.

24. Заде Л. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. / Заде Л., Дезоир Ч.// М., Наука, 1970. 690 с.

25. Зигангиров К.Ш., Лендал М., Трухачев Д.В. К теории низкоплотностных сверточных кодов II // Проблемы передачи информации. 2001. Т. 37. № 4. С. 15-35.

26. Зигангиров К.Ш., Лентмаер М., Трухачев Д.В. Некоторые результаты конструирования и декодирования турбо-кодов // Проблемы передачи информации. 2001. Т. 37. № 3. С. 6-23.

27. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. //М., Прогресс, 1975.

28. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочением. / Ишлинский А.Ю.// Украинский мат. журнал, 1954, т. 6, №3, С. 430-441.

29. Каменов Г.К., Кондратьев Д.Л. Об одном методе исследования незамкнутых нелинейных систем // Математическое моделирование 1992. Т.4, №3. С.105-118.

30. Колемаев В.А. Математические модели макроэкономической динамики. // М. ГАУ им. С. Орджоникидзе, 1996.

31. Колмогоров А.Н. Элементы теории функции и функционального анализа. / Колмогоров А.Н., Фомин C.B.// М., Наука, 1981, 543 с.

32. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. / Красносельский М.А. // М., Физматгиз, 1962. 394 с.

33. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям обыкновенных дифференциальных уравнений. / Красносельский М.А.// М., Наука, 1966.312 с.

34. Красносельский М.А. Нелинейные почти периодические колебания. / Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. // М., Наука, 1970. 351 с.

35. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы. / Красносельский М.А., Лившиц Е.А., Соболев A.B. // М., Наука, 1985. 255 с.

36. Красносельский М.А. Системы с гистерезисом. / Красносельский М.А., Покровский A.B. // М., Наука, 1983. 271 с.

37. Красносельский М.А. Правильные решения интегральных уравнений с разрывной нелинейностью. / Красносельский М.А., Покровский A.B. // ДАН СССР, 1976, т. 226, № 3, с. 506 509.

38. Красносельский A.M., Кросс Р., Покровский A.B. Нестационарные модели Прейсаха и их свойства // Доклады Академии наук. 2001. Т. 381. №2. С. 180-184.

39. Красносельский A.M., Рачинский Д.И. О континуумах циклов в системах с гистерезисом // Доклады РАН. 2001. Т. 378. № 3. С. 314-319.

40. Красносельский A.M., Рачинский Д.И. О существовании циклов у квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка// Известия РАЕН. Серия МММИУ. 2001. Т. 5. № 1-2. С. 143151.

41. Красносельский A.M., Рачинский Д.И. О существовании континуумов циклов в автономных гамильтоновых системах управления // Автоматика и телемеханика. 2001. № 2. С. 65-74.

42. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. / Красовский H.H.// Физматгиз, 1959.

43. Крейн М.Г. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространствах Банаха. / Крейн М.Г., Рутман М.А.// Успехи математических наук, 1948, т. 3, № 1, с. 3 95.

44. Кротов Ф.В. и др. Основы теории оптимального уравнения // М. Высшая школа, 1990.

45. Кузнецов H.A., Любецкий В.А., Чернавский A.B. К вопросу о понятии информационного взаимодействия,2: доречевой интеллект//Труды 3-ей Международной конференции "Проблемы управления и моделирования в сложных системах". Самара. 2001. С. 25-42.

46. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. / Ляпунов A.M. // М., Гостехиздат, 1950. 270 с.

47. Математическое моделирование: Процессы в сложных экономических и экологических системах / Под ред. A.A. Самарского, H.H. Моисеева, A.A. Петрова. М.: Наука, 1986. С.7-196.

48. Маленво Э. Лекции по макроэкономическому анализу: Пер. с франц. / Под ред. К.А. Багриновского. М.: Наука, 1985. 392с.

49. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. / Малкин И.Г. // Изд-е 2-е, М., Наука, 1966, 530 с.

50. Механика в СССР за 50 лет / под ред. Л.И. Седова. М., Наука, т. 3, Механика деформируемого тела, 1972, 479 с.

51. Неймарк И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. / Неймарк И. // М., Наука, 1972, 971 с.

52. Неймарк Ю.И. О периодических режимах и устойчивости систем. / Неймарк Ю.И. // Автоматика и телемеханика, № 5, 1953.

53. Немыцкий В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. / Немыцкий В.В., Степанов В.В.// Гостехиздат, 1949.

54. Оленов H.H., Поспелов И.Г. Модель инвестиционной политики фирм в экономической системе рыночного типа. // 12. С. 164-174.

55. Параев Ю.И. Решение задач об оптимальном производстве, хранении и ** сбыте товара. / Параев Ю.И. // Известия академии наук. Теория исистемы управления. 2000, №2, С. 103-117.

56. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. / Плисс В.А.// М„ Наука, 1964. 367 с.

57. Пинскер М.С., Прелов В.В., ван дер Мейлен Э; Скорость создания информации в каналах без памяти при передаче медленно меняющегося марковского сигнала // Проблемы передачи информации. 2000. Т. 36. № 3. С. 29-38.

58. Попов В.М. Об одной задаче теории абсолютной устойчивости регулируемых систем. / Попов В.М. // Автоматика и телемеханика, т. 25, №9, 1964.

59. Покровский A.B. Правильные неподвижные точки монотонных операторов. / Покровский A.B. // В кн: Тезисы 7-й Международной конференции по нелинейным колебаниям. Берлин: Изд-во АН ГДР, 1976, С. 120- 122.

60. Покровский A.B. Корректные решения уравнений с сильными нелинейностями. / Покровский A.B.// ДАН СССР, 1984, т. 274, № 5, С.1037- 1040.

61. Покровский A.B. Системы с сильными нелинейностями. / Покровский A.B. // В кн.: Математическая теория систем. М., Наука, С. 96 112.

62. Покровский A.B. Устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями. / Покровский A.B., Семенов М.Е. // Автоматика и телемеханика, 1990, № 2, с. 31 37.

63. Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования. / Пятницкий Е.С. // Обзор. Автоматика и телемеханика, 1968, № 6, С. 5 36.

64. Пятницкий Е.С. Численные методы построения функций Ляпунова и критерии абсолютной устойчивости в форме численных процедур. / Пятницкий Е.С., Скородинский В.И. // Автоматика и телемеханика, 1983, № 11, С. 52-61.

65. Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения. / Румянцев В.В.// В кн.: Механика в СССР за 50 лет, т. 1 М., Наука, 1968, С. 7 66.

66. Розенвассер E.H. Колебания нелинейных систем. / Розенвассер E.H. // Метод интегральных уравнений. М., Наука, 1969, 576 с.

67. Самуэльсон П. Экономика: Пер. с англ. / Под ред. A.B. Аникина, А.И. Шапиро, P.M. Энтова. М.: Прогресс, 1964. 844с.

68. Семенов М.Е. Вынужденные колебания в нелинейных системах / М.Е. Семенов; Воронеж, гос. ун-т. М, 1991. - 12С. - Деп. в ВИНИТИ 24.07.91, № 1386.-В 91.

69. Семенов М.Е. Вынужденные устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями / A.B. Покровский М.Е Семенов // Автоматика и телемеханика. -1990. -№ 2. С. 81-87.

70. Семенов М.Е. Динамическая модель потребительского спроса / М.Г. Матвеев, С. Д Наумов, ME. Семенов // Математическое обеспечение ЭВМ: Сб. науч. тр. Воронеж. -1999. - с. 36-40.

71. Семенов М.Е. О континуумах вынужденных устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями /М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. -1994. № 8. - С.82-86.

72. Семенов М.Е. Гистерезисные явления в экономических процессах / И.П. Половинкин, М.Е. Семенов // Моделирование экономических и социальных процессов: Сб. науч. тр. -ИПСЭР. -M.-2000.-C.88-91

73. Семенов М.Е. Динамическая модель производственной системы / Наумов С.Д., Семенов М.Е. // Понтрягинские чтения X: Тез. докл школы Воронеж. -1999.-c.141.

74. Семенов М.Е. Использование методов технического анализа при прогнозировании цен на рынке / НА. Алейникова, АС. Свиридов, М.Е. Семенов, ИН Шумлин // Математическое обеспечение ЭВМ: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж. - 2002. - вып. 4. - с.2-5.

75. Семенов М.Е. Математическое моделирование устойчивых периодических режимов в системах с гистерезиснными нелинейностями / М.Е. Семенов // Воронеж. Издательство ВГУ. - 2002. -104 С.

76. Семенов М.Е. Математическая модель функции продаж / М.Г. Матвеев, И. П. Половинкин, М.Е. Семенов // Обозрение прикладной и промышленной математики. М. - 2002. - т. 9. - вып. 1. - с. 419- 420

77. Семенов МЕ. Математическая модель фотодыхания СЗ растений / О.С. Корнеева, А.Е. Семенов, М.Е. Семенов //Системные проблемы качества математического моделирования и электронных технологий: Сб. тезисов докл. конф .-Сочи .-2003 .-Т.6 .-С.213-214.

78. Семенов М.Е. Нелинейные колебания в системах с монотонными нелинейностями / М.Е. Семенов // Функциональный анализ и его приложения: Тез. докл. междунар. конф. Киль. - Германия.—1998.—Т Л.—с.113-114.

79. Семенов М.Е. Оптимальная ценовая стратегия в задаче о производстве и сбыте товаров / М.Е. Семенов // Обозрение прикладной и промышленной математики. М. - 2002. - т. 9. - вып. 1.-е. 443- 447

80. Семенов М.Е. Об одном классе функций Ляпунова. / Семенов М.Е. // В кн.: Тезисы докладов 14 школы по теории операторов в функциональных пространствах. Воронеж , ВГУ, 1990, т. 3, 87 с.

81. Семенов М.Е. Об одной модели потребительского спроса / И.П. Половинкин, М.Е. Семенов // Моделирование экономических и социальных процессов: Сб. науч. тр. ИПСЭР: М,-2000.-с. 82-87

82. Семенов М.Е. Об одном классе функций Ляпунова / М.Е. Семенов // Функциональный анализ и его приложения: Тез. докл. междунар. конф. -Новгород. -1989. с. 42.

83. Семенов М.Е. Об одной модели леонтьевского типа / Матвеев М.Г., Покорная О.Ю., Семенов М.Е. // Математические методы и компьютеры в экономике: Сб. докл. Ш Междунар. научн. -пракг. конф. Пенза. -1998. - с. 71.

84. Семенов М.Е. Об устойчивости стационарного решения уравнения Хотелинга / М. 3. Мешков, И. П.; Половинкин, М.Е. Семенов// Обозрение прикладной и промышленной математики. — М. — 2002. т. 9 . -вып. 1.-е. 226-227

85. Семенов М.Е. Об устойчивости стационарного решения уравнения Пу / М; Т. Матвеев, М.Е. Семенов, Ю.Д. Щеглова// Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. - т. 9. - вып. 1. - с. 436-437

86. Семенов М.Е. Об устойчивости: стационарного решения уравнения Хотелинга / М.З. Мешков, И.П. Половинкин. М.Е. Семенов // Обозрение прикладной и промышленной математики. М. - 2002. - т. 9. - вып. Г. - с. 226-227

87. Семенов М.Е. О линейных звеньях четвертого порядка / М.Е. Семенов // ф Сборник трудов молодых ученых ИПУ АН СССР.-М.,-1989.-С. 41-45.

88. Семенов М.Е. Стохастические модели прогнозирования на основе количественной интерпретации методов технического анализа / Н. А. Алейникова, М. Г. Матвеев, М. Е. Семенов // ВГТА. Воронеж. -2003 . -130 С.

89. Семенов М.Е. Устойчивые приближённые решения систем алгебраических уравнений с сингулярными матрицами большой размерности / М.Е. Семенов // Геофизика и математика: Тр. междунар. конф. М., 1999. — С. 97100.

90. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов //Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах: Сб. трудов семинара НОЦ ВГУ // Воронеж. 2003. - с. 356-369.

91. Семенов М.Е. Устойчивые периодические решения систем с абстрактным гистерезисным преобразователем. / Семенов М.Е.// Деп. в ВНИТИ, № Ю62 В - 92 от 27.03.92.

92. Семенов М.Е. О континуумах периодических режимов в системах управления. / Семенов М.Е. // Автоматика и телемеханика, 1994, № 8, С. 95 97.

93. Семенов М.Е. Корректные периодические решения нелинейных параболических уравнений. / Семенов М.Е. // В кн.: Тез. докл. конф.ч*

94. Современные методы нелинейного анализа". Воронеж , ВГУ, 1995, С. 82-83.

95. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с абстрактным гистерезисным преобразователем. / Семенов М.Е. // Вестник Воронежского госуд. ун та. Воронеж, ВГУ, 1998, С. 71 - 77.

96. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с абстрактным гистерезисным преобразователем / М.Е. Семенов // Вестник Воронеж, гос. унта. -В. -1997.-№ 5. -С. 153-157.

97. Семенов М.Е. Устойчивые решения систем с неидеальными реле / М.Е. Семенов// Сб. тр. Воронеж, гос. ун-та.-1997. -№3 .-С.114-118.

98. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с абстрактным гистерезисным преобразователем / М.Е. Семенов // Вестник Воронеж, гос. унта.- Воронеж. -1998. -№ 2. с.71-77.

99. Семенов М.Е. Устойчивые периодические решения систем с континуальными системами неидеальных реле / М.Е. Семенов // Математическое обеспечение ЭВМ: Сб. науч. тр. Воронеж, 1999. - Вып. 1. -с. 73-77

100. Семенов М.Е. Нелинейные колебания в системах с монотонными нелинейностями. / Семенов М.Е. // В кн.: Тез. докл. конф. "Функциональный анализ и его приложения". Киль, Германия, 1998, т. 1,С. 113-114.

101. Семенов М.Е. Устойчивые периодические решения систем с континуальными системами неидеальных реле. / Семенов М.Е.// Межвузовский сборник научных трудов : "Математическое обеспечение ЭВМ", вып. 1. Воронеж, ВГУ, 1999, С. 73 77.

102. Стеценко В.Я. Об одном итерационном методе отыскания спектрального радиуса линейного положительного оператора. /

103. Стеценко В.Я. // Математический сборник, 1965, т. 67, № 2, С. 210 -219.

104. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. / Филиппов А.Ф. // М., Наука, 1985, 224 с.

105. Фоменко И.В. Глобальные условия существования автоколебательных режимов в автономных системах управления. / Фоменко И.В. // ДАН СССР, 1989, т. 308, № 4, с. 806 809.

106. Цыпкин Я.З. Частотные критерии абсолютной устойчивости нелинейных импульсных систем. / Ципкин Я.З. // Автоматика и телемеханика, 1964, т. 25, № 3, С. 281 288.

107. Цыпкин Я.З. Об устойчивости в целом нелинейных импульсных систем. / Ципкин Я.З. // ДАН СССР, 1962, тг 145, № 1, С. 52 55.

108. Шананин A.A. О стохастическом поведении цены в одной детерминированной модели ценообразования // Докл. АН СССР. 1986. Т.288, №1. С.63-65.

109. Шананин A.A. Об устойчивости Рыночных механизмов // Математическое моделирование. 1991. Т.З, №2. С.42-62.

110. Шумпетер И. Теория экономического развития. / Шумпетер И. // Теория экономического развития: Пер. с нем. / Под ред. А.Г. Малейковского. М.: Прогресс, 1982. 456с.

111. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968.

112. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966.

113. Чезари JI. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1964.

114. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с гистерезисной нелинейностью. / Якубович В.А. // ДАН СССР, т. 149, № 2, 1963.

115. Якубович В.А. Периодические и почти периодические предельные режимы регулируемых систем с несколькими, вообще говоря разрывными нелинейностями. / Якубович В.А.// ДАН СССР, т. 171, № 3, 1966.

116. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными стационарными блоками. / Якубович В. А. // Автоматика и телемеханика, 1967, № 6, С. 5 30.

117. Якубович В.А. К абстрактной устойчивости нелинейных систем. / Якубович В.А.// Вестник ЛГУ, серия матем., мех., 1977, № 13, С. 99 -118.

118. Amari Sh., Burnashev M.V., Han T.S. On some estimation problems with information constraints // Theory of Probability and Its Applications. 2001. V. 46. № 2. P. 233-246.

119. Andreev A.S., Sagalovich Yu.L. Modifications in algebraic diagnostics // Proc. Seventh International Workshop Proceedings "Algebraic and Combinatorial Coding Theory". 2000, June, 18-24, Bansko, Bulgaria. P. 3337.

120. Asarin E.A., Bansal S., Espiau В., Dang Т., Maler O. On Hybrid Control of Under-actuated Mechanical Systems // In M. Di Benedetto and A.

121. Sangiovanni-Vincentelli (Eds.) Hybrid Systems: Computation and Control. LNCS 2034. Springer. 2001. P. 77-88.

122. Beyer B., Engdahl K., Zigangirov K.Sh. Asymptotical Analysis and Comparison of Two Coded Modulation Schemes Using PSK Signaling -Part T 7/ IEEE Transactions on Information Theory. 2001. V. 47. № 7. P. 2782-2792.

123. Beyer B., Engdahl K., Zigangirov K.Sh. Asymptotical Analysis and Comparison of Two Coded Modulation Schemes Using PSK Signaling -Part II // IEEE Transactions on Information Theory. 2001. V. 47. № 7. P. 2793-2806.

124. Biswas S., Izmailov R. Design of a fair bandwidth allocation policy for VBR traffic in ATM networks // IEEE/ACM Transactions on Networking. 2000. V. 6. No. 1. P. 21-38.

125. Biswas S., Izmailov R. A QOS-aware routing framework for PIM-SM based IP-multicast // Proceedings of GLOBECOM 2000, San Francisco. 2000.

126. Borges J., Rifa J., Zinoviev V.A. Nonexistence of completely transitive codes with error-correcting capability e > 3 // IEEE Trans, on Inform. Theory. 2001. V. 47. № 4. P. 1619-1621.

127. Brokate M., and Sprekels J. Hysteresis and phase transitions. Springer, Berlin, 1996.

128. Bross Sh.I., Burnashev M.V., Shamai (Shitz) Sh. Error exponents for the two-user Poisson multiple-access channel // IEEE Trans, on Inform. Theory. 2001. V. 47. № 5. P. 1999-2016.

129. Burnashev M.V., Kutoyants Yu.A. On minimal alpha-mean error parameter transmission over Poisson channel // IEEE Trans, on Inform. Theory. 2001. V. 47. №6. P. 2505-2515.

130. Burnashev M. V. On identification capacity of infinite alphabets or continuous time channels // IEEE Trans, on Inform. Theory. 2000. V. 46. No. 7. P. 2407-2414.

131. Campillo F., Kleptsyna M., Piatnitski A. Homogenization of random parabolic operator with large potential // Stochastic Processes and their Applications. 2001. V. 93. № 1. P. 57-85.

132. Charpin P., Tietavainen A., Zinoviev V.A. Binary cyclic codes with codewords of weight three and binary sequences with the trinomial property // EEE Trans, on Inform. Theory. 2001. V. 47. № 1. P. 421-425.

133. Fridliand L.F., Scheibe R. Regulation of the Carbon cycle for C02 fixation as an example for general control mechanism in metabolic cycles // Bio Systems. 1999. V.51. P.79-93.

134. Chikov V., Bakirova G. Relationship between carbon and nitrogen metabolism on photosynthesis. The role of photooxidation processes// Photosynthetica.-1999.- Vol.73, N4.-P.519-527

135. Chow P.-L., Khasminskii. R. On optimal input design for parameter estimation problems in PDE // Proceedings of 38-th Allerton Conference on Communication, Control and Computing. 2001. P. 412-421.

136. Diamond P., Vladimirov I. Higher order terms of asymptotic expansion for information loss in quantized random processes Curcuits // Systems and Signal Processing. 2001. V. 20. № 6. P. 677-693.

137. Diamond P., Vladimirov I., Kurdjukov A., Semyonov A. Anisotropy-based performance analysis of linear discrete-time-invariant control systems // International Journal of Control. 2001. V. 74. № 1. P. 28-42.

138. Efendiev M.A., Chepyzhov V.V. Hausdorff dimension estimation for attractors of nonautonomous dynamical systems in unbounded domains An example // Commun. Pure Applied Math. 2000. V. LIII. P. 647-665.

139. Engdahl K., Zigangirov K.Sh. Tighter Bounds on the Error Probability of Fixed Convolutional Codes // IEEE Transactions on Information Theory. 2001. V. 47. № 4. P. 1625-1629.

140. Fiedler B., Vishik M.I. Quantitative homogenization of analytic semigroups and reaction-diffusion equations with diophantine spatial frequencies // Adv. Diff. Eq. 2001. V. 6. № 11. P. 1377-1408.

141. Golubev G., Khasminskii R. Statistical approach to Cauchy problem for Laplace equation // IMS Lecture Notes. Festschrift in honour of W.vanZvet. 2001. V. 36. P. 419-433.

142. Golubev G., Lepski O., Levit B. On adaptive estimation for the sup-norm losses // Math Methods of Stat. 2001. № 1.

143. Golubev G., Haerdle W. On the second order minimax estimation in partial linear models // Math. Methods of Stat. 2000. V. 2. P. 160-175.

144. Goldbeter, A., 1976. Patterns of spatiotemporal organization in an allosteric enzyme model. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 70,3255-3259.

145. Goldbeter, A., 1976. Patterns of spatiotemporal organization in an allosteric enzyme model. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 70,3255-3259.

146. Gorban A., Lu M., Malyutov M.B., Torchilin V. P. Modeling Polymer Brushes Protective Action // Proceedings 12th European Simulation

147. Symposium, ESS 2000 (Simulation in Industry) Hamburg, Germany Sept. 28-30. Soc. for Computer Simulation. Delft, Netherlands. 2000. P. 651-655.

148. Guckenheimer< J. and Holmes< P., 1986, Nonlinear oscillations, dynamic system, and bifurcations of vector fields (Springer-Varlag, Berlin).

149. Helleseth T., Zinoviev V.A. Codes with the Same Coset Weight Distributions as the Z4-linear Goethals Codes // IEEE Trans. On Inform. Theory. 2001. V. 47. № 4. P. 1589-1595.

150. Helleseth T., Zinoviev V.A. On coset weight distributions of the Z4-linear Goethals Codes // IEEE Trans, on Inform. Theory. 2001. V. 47. № 5. P. 1758-1772.

151. Hess, B., Markus, M., 1987. Older and chaos in biochemistry. Trends Biochem. Sci. 12,46-48.

152. Hicks, J.R., 1950, A contribution to the theory of the trade cycle (Oxford university press, Oxford).

153. Hotelhng, H., 1921, A mathematical theory of migration, MA thesis presents at the university of Washington; republished in 1978 in environment and Planning 10:1223-1239.

154. Hotelhng, H., 1921, A mathematical theory of migration, MA thesis presents at the university of Washington; republished in 1978 in environment and Planning 10:1223-1239.

155. Kalman R. Remaks on some control system. / Kalman R. // Com. Pure Appl. Math., 1962, V. 12, p. 112 126.

156. Khanin K., Khmelev D., Rybko A., Vladimirov A. Steady solutions of fluid dynamics for FIFO networks // Moscow Mathematical Journal. 2001. V. 1. № 3. P. 407-419.

157. King R.W., Wardlow I.F., Evans L. Effect of assimilate utilisation on photosynthetic and photorespiration // Planta. 1967.V.77.№3. P.261-276.

158. Klein C.T. Sources of structure formation and sweitches in metabolic pathways. / Klein C.T., Mayer B. // BioSystems 51 (1999) 41-52.

159. Klein, C.T., Mayer, B., 1997. A model for pattern formation in gap junstion coupled cells. J. theor. Biol. 186. 107-115.

160. Klepcyna M.L., Le Breton A. Optimal linear filtering of general multidimensional Gaussian processes Application to Laplace transforms of quadratic fiinctionals // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 2001. V. 14. № 3. P. 215-226.

161. Klepcyna M.L., Le Breton A. Some explicit statistical results about elementary fractional type models // Nonlinear Analysis. Theory, Methods & Applications. 2001. V. 47. № 7. P. 4783-4794.

162. Koshland, D.E.Jr., Nemethy, G., Filmer, D., 1966. Comparison of experimental bending data and theoretical model in proteins containing subunits. Biochemistry 5,365-385.

163. Kozyakin V.S., Kloeden P. The perturbation of attractors of skew-product flows with a shadowing driving system // Discrete and Continuous Dynamical Systems.2001. V. 7. № 4. P. 883-893.

164. Kozyakin V.S., Kloeden P. Single parameter dissipativity and attractors in discrete time asynchronous systems // Journal of Difference Equations and Applications. 2001. № 7. p. 873-894.

165. Kozyakin V.S., Pokrovskii A.V. The asymptotic behavior of elementary symmetric functions on a probability distribution // Journal of Appl. Math, and Stoch. Anal. 2001. V. 14. № 3. P. 237-248.

166. Krasnoselsky M.A. Stable periodic oscillations in systems with monotonous histeresis nonlinearity. / Krasnoselsky M.A., Pokrovsky A.V., Semenov M.E. // Procedings of the Conference held in Prague, Terbnes Verlagsgesllschoft, Leipzig, 1990, pp. 92-95.

167. Khasminskii R. Limit distributions of some integral functional for null-recurrent diffusion // Stochastic processes and their applications. 2001. V. 92. P. 1-9.

168. Khasminskii R., Milstein Gr. On estimation of the linearized drift for nonlinear stochastic differential equations // Stochastics and Dynamics. 2001. V. l.№ 1. P. 23-43.

169. Khasminskii R., Krylov N. On averaging principle for diffusion processes with null-recurrent fast component // Stochastic Processes and their applications. 200l.V. 93. P. 229-240.

170. Khasminskii R., Yin G. Asymptotic behavior of parabolic equations arising from one-dimensional null-recurrent diffusion // Journal of Differential Equations. 2000. V. 161. P. 154-173.

171. Krasnosel'skii A.M., Pokrovskii A.V. On subharmonics bifurcation in equations with homogeneous nonlinearities // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2001. № 7. P. 100-114.

172. Krejci P., Vladimirov A. A. Lipschitz continuity of polyhedral Skorokhod maps // Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen. 2001. V. 20. P. 817844.

173. Kuznetsov N.A., Mennicken R., Rachinskii D.I. The method of potential bounds in periodic nonpotential problems for control systems // Mathematische Nachrichten. 2001. V. 225. P. 93-121.

174. Malyutov M.B., Tsitovich I.I. Second Order Optimal Tests // Proceedings of International Workshop Optimal Design 2000. Cardiff, UK. 2000. P. 67-78.

175. Malyutov M.B., Tsitovich I.I. Non-parametric Search for Significant Inputs of Unknown System // Proceedings of SCI'2000/ISAS 2000 World Multiconference on Systemics, Cybernetics and Informatics. Orlando. 2000. July 23-26. V.XI. P. 75-83.

176. Mayerscough, C.J., 1975, Futher studies of the growth of wind-induced oscillations in overhead lines, Jurnal of sound and vibration 39:503-517.

177. Ott M., Welling G., Mathur S., Reininger D., Izmailov R. The Journey Active Network Model // IEEE JSAC. 2001. V.19. № 3. P. 527-538.

178. Phillips, A.W., 1954, Stabilisation polisy ai a closed economy, Economic Journal 64:290-323.

179. Pinsker M.S., Prelov V.V., van der Meulen E.C. Information Transmission of Slowly Varying Input Signals over Discrete Memoryless Stationary Channels // Proc. 21-th Symp. Inform. Theory. 2000. May 25-26, Benelux, Wassenaar. P. 277-283.

180. Pinsker M.S., Prelov V.V., van der Meulen E.C. Transmission of a Slowly Varying Markov Signal over Memoryless Channels // Proc. IEEE Intern. Symp. Inform. Theory. 2000, June 25-30, Sorrento, Italy. P. 488.

181. Pokrovskii A.V., Szybka S.J., Mclnerney J.G. Topological Degree in Locating Homoclinic Structures for Discrete Dynamical Systems // Institute for Nonlinear Sciences. 2001. Report 01-001.

182. Puu, T., 1982, Outline of a trade cycle model in continuous space and time, Geographical analysis 14:1-9.

183. Puu, T., 1985, A simplified model of spatiotemporal population dynamics, Environment and planning 17:1269-1269.

184. Puu, T. and Weidlich, W., 1986, The stability of hexagonal tessellations, Karlsruhe papers in economic policy research 3:133-158.

185. Rasskazov O., Huyet G., Mclnerney J., Pokrovskii A.V. Rigorous Analysis of Complicated Behaviour in a Truncated Lang-Kobayashi Model // Institute for Nonlinear Sciences. 2001. Report 11-001.

186. Semenov M.E. Nonlinear oscillations in system with hysteresyses nonlinearities / M.A Krasnoselskiy., A.V. Pokrovskiy, M.E. Semenov // Differential Equations and Applications: Proc. Conf. Prague, 1991-Vol 2. -P. 281-286.

187. Semenov M.E. New results in theory of oscillations in complex systems/ N.A. Bobylev, M.A. Krasnoselskiy, A.V. Pokrovskiy, M.E. Semenov // IF AC congress, Tallin. 1990. -Vol 5 . P. 71 -77

188. Thomas Ericson, Victor Zinoviev. Codes on Euclidean Spheres // North-Holland Mathematical Library Elsevier. Amsterdam London - New York - Oxford - Paris - Shannon - Tokyo. 2001.

189. Urabe M. Numerical investigation of subharmonic solution to Duffings equatioa — Rubl. Research Inst Math. Sci., Ser. A (Kyoto Univ), 1969, vol. 5, №1, p. 79-112.

190. Visintin A., Hyperdolic equations and hysteresis. C.R. Acad. Sc. Paris 332 (2001) Serie 1,315-320.

191. Visintin A. Forward-backward parabolic equations and hysteresis. Calculus of variations (in press)

192. Visintin A. Vector Preisach model and Maxwell's equations. Physica B, 306 (2001)21-25.

193. Visintin A. Quasilinear P.D.E.s with memory operators. Progress in nonlinear differential equations and their application, Vol55,415-423.

194. Visintin A. Identification of hysteresis loop. / Visintin V.// Appl. math, and comp. phys., 1987, V. 2, p. 73 79.

195. Vladimirov A. A. Does continuity of convex-valued maps survive under intersection? // Optimization and Related Topics, Kluwer Academic Publishers, A. Rubinov and B. Glover (Eds.). 2001. P. 415-428.

196. Farquhar G.D., Caemmerer S. 1982. Modeling of photosynthetic response to environmental conditions. In Encyclopedia of plant physiology. P.459-487.