автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Стохастические системы с гистерезисом в задачах динамики сооружений

Московский Государственный Строительный Университет

Г Г 3 с д

1 о Ш\Р 1997

На правах рукописи

Тимофеев Сергей Владимирович

СТОХАСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ГИСТЕРЕЗИСОМ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ СООРУЖЕНИЙ

05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Москва 1997

Работа выполнена в Московском Государственном Строительном Университете

Научные руководители - доктор технических наук,

профессор ¡Макаров Б.П1 доктор технических наук, профессор Мондрус В.Л.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Власов Б.Ф., - кандидат технических наук, Смирнов В. И.

Ведущая организация - Научно-инженерный центр

"Надёжность и ресурс больших систем машин" УРО РАН.

Защита состоится " 43 " АЗАРТА 1997 г. в часов на заседании диссертационного Совета K053.ll.06 в Московском государственном строительном университете по адресу : Москва, Шлюзовая наб., 8, ауд. №40?.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке университета-Автореферат разослан » ФЕЬРАлЯ 1997 г.

Учёный секретарь диссертационного совета канд. техн. наук, доцент

Н.Н.Анохин

Общая характеристика работы

Строительные конструкции при интенсивных динамических воздействиях типа сейсмических подвергаются значительным напряжениям и деформациям. Напряжённо-деформированное состояние таких конструкций не может быть описано в рамках линейной теории и должно рассматриваться с применением гистерезисных моделей. В связи с тем, что эксплуатация широких классов строительных конструкций происходит в экстремальных динамических условиях, становятся актуальными для инженерной практики исследования колебаний гистерезисных систем в вероятностной постановке.

Актуальность темы диссертации в полной мере проявляется в расчётах сооружений на сейсмические воздействия. Существующие в настоящее время в этой области нормативные методики ограничиваются линейной теорией колебаний. Спектральный метод, положенный в основу нормативного расчёта, основан на принципе разложения реакции сооружения по формам собственных колебаний, что справедливо только для линейных систем. Нелинейные реакции при этом грубо оцениваются снижением линейных реакций в несколько раз. Предлагаемый в диссертации подход в отличие от нормативного учитывает действительные нелинейные процессы в динамических системах, и позволяет определять их фактическую несущую способность.

Кроме общей проблемы сейсмостойкости тема диссертации находит применение в проектировании специализированных устройств сейсмоза-щиты типа "выключающихся связей", работа которых основана на использовании гистерезисных нелинейных эффектов.

Вышеизложенное указывает на актуальность темы диссертации, в которой решаются задачи статистической динамики систем с гистерезисом.

Главной целью диссертации является разработка метода анализа сл чайных колебаний системы с гистерезисом в приложении к теории надё> ности сооружений.

Научная новизна результатов заключается в следующем :

- Разработана методика решения задачи статистической динамш системы с п -степенями свободы с гистерезисом кусочно-линейного типа.

- Предложен мотод расширения фазового пространства, позволяв щий описывать неоднозначные гистерезисные реакции.

- Обнаружено явление преобразования гистерезисной системой ст; ционарного входного воздействия в нестационарные выходные колебания

- Обнаружен эффект возникновения статических состояний при к< лебаниях жёстко-пластических систем.

- Обнаружено явление связанных групповых колебаний у жеста пластических систем с несколькими степенями свободы.

- Разработана методика статистического моделирования случайнь колебаний гистерезисных систем с несколькими степенями свободы.

Достоверность результатов , полученных в работе, обеспечена сл( дющим :

- использованием, в качестве исходных, уравнений классической те< рии случайных процессов;

- применением апробированных методов статистической динамик нелинейных систем;

- подтверждением аналитических решений результатами статистич« ского моделирования.

Практическое значение работы состоит в решении задач надёжное! зданий и сооружений, находящихся под действием случайных динамич( ских нагрузок типа сейсмических, ветровых, океанических и т.п.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертаци доложены на :

- международном симпозиуме молодых научных работников в Зелёной Гу-ре 2 апреля 1992г.

- научном семинаре МИСИ, посвященном 70-летига МИСИ 14 апреля 1992г.

- заседании кафедры Строительная механика МГСУ 4 декабря 1996г.

Работа прошла апробацию в Научо-ииженерном центре "Ресурс и надёжность большх систем машин" УРО РАН.

Объём выполненной работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, общих выводов, заключения и списка литературы. Общий объём работы 160 стр., в том числе 131 стр. машинописного текста, 37 рисунков, списка литературы из 81 наименований.

Основное содержание диссертационной работы

Первая глава посвящена изложению состояния вопроса исследова-1шя. Рассматриваются различные аспекты проблемы статистической динамики сооружений : модели физической нелинейности конструкций, модели случайных динамических воздействий на сооружения, постановка динамических задач с гистерезисом.

Разработкой статистических методов в расчётах строительных конструкций и теории надёжности сооружений в нашей стране занимались учёные : Я.МАйзенберт, В.В.Болотин, Б.А.Кириков, О.ВЛужин, Б.П.Макаров, Н.А.Николаенко, В.Д.Райзер, А.Р.Ржаницын, Н.Н.Сладнев, Д.Н.Соболев, Н.С.Стрелецкий, С.А.Тимашев и др. Зарубежом статистическая динамика сооружений развивалась Ньюмарком Б., Клафом Р., Кобори Т., Пензиеном Дж., Хаузнером Г. и др.

Выполненный анализ опубликованных работ по решению задач статистической динамики сооружений показывает, что исследование нелинейных динамических систем гистерезисного типа в настоящее время на-

ходится в начальной стадии. Этой проблеме и посвящена настоящая рабо та.

Во второй главе исследуются случайные колебания одномассовы осцилляторов с различными типами гистерезисных характеристик. В ка честве простейшей рассмотрена жёстко-пластическая система, возмущён пая дельта-коррелированпым процессом :

£Г(0 + 2Е -Й(0 + С-8ЩПЙ = §(*) (1)

где «(О - случайный процесс перемещения; внепшее воздействие.

Линеаризованному аналогу системы (1) соответствует корреляционно! уравнение

К:(1)-к2-Ку{х) = -К^), (2)

где V - й - выходной процесс скорости перемещения.

Общее решение (2) представляет корреляционную функцию скорости Кг(1)= (3)

Дисперсия процесса перемещения ы(/) = + С находится че

рез линейную операторную связь с корреляционной функцией скоросп Д„(0 = >('")> Л'Л" + С2 =

Лс^-Г'(1-<ГЙ)] + С2 (4)

Дисперсия перемещения Ви (/) является асимптотически линейно! функцией времени, что свидетельствует о нестационарности основной случайного процесса и{{) при стационарном воздействии. Этот факт весь ма важен для многих практических приложений, например в задачах сейсмостойкости сооружений или в других задачах надёжности.

Другая важная особенность жёстко-пластической системы проявляется при нагружении её экспоненциально-коррелированным случайным процессом. Уравнения динамического состояния системы :

и(0 + с$\ёпй(0 = </(/);

где - процесс нагружения, (X - параметр.

(6)

Анализ системы стохастических уравнений (б) проведён методом мо-ментных соотношений. Относительно выходного процесса скорости перемещения й{1) обнаружен следующий факт : вероятностная мера динамических состояний (при конечном уровне нагружения) отлична от единицы

У = РгоЬ < 1.

(7)

Этот результат получен решением системы моментных соотношений, усечённой на уровне 4-го порядка, при использовании гипотезы экспоненциального замыкания по скорости

Решение для меры динамических состояний

V =

<?2>

2 2 ' <д > +с

лля дисперсии процесса скорости перемещений

л

= 2

/ 2 Л2/

V. ас

1-

<д > ;

(8)

(9)

(Ю)

Характер замыкания моментных соотношений не оказывает существенного влияния на дисперсию скорости <\2> - решения при экспоненциальном и гауссовом замыканиях практически совпадают. Решения

у

\

близки к точному, что подтверждается данными статистического модели рования.

В качестве обобщающей модели для гистерезисных систем с одной степенью свободы рассмотрен стохастический осциллятор с характеристикой кусочно-линейного типа (рис.1). Уравнения движения:

2(0+ 2е-й(0+ /[«(')] = $('), (11)

q(t) - случайное внешнее воздействие; 8 -конструкционное демпфирование.

Гистерезисная реакция /[«(/)] >

входящая в (11), зависит от предыстории процесса перемещения м(/) и может быть представлена функционалом процесса в следующем виде

рис.1

(12)

где 1{ех1г(0, /ех1Г (0 ~ дискретные процессы, описывающие координаты ло кальных экстремумов на фазовой плоскости {и,/}.

Наличие функционала (12) принципиально осложняет анализ дина мической модели (11). В решении этой проблемы предлагается метод, сут которого состоит в расширении фазового пространства с включением ре акции системы /(0 в число независимых фазовых переменных. Восстала вливающая сила описывается дополнительным уравнением, замыкающш стохастическую систему :

| й{1) + 2Е • ¿(Г) + /(/) = дЦ)\

1 т = С(й,/) й((),

где 0(«,/) - функция жёсткости восстанавливающей характеристики.

При экспоненциально-коррелированном воздействии совокупный фазовый портрет системы будет описан следующими уравнениями

Точный анализ нелинейной системы (14) затруднителен. Рассмотрим применение метода статистической линеаризации. Для учёта особенностей гистерсзисной нелинейности вводится линеаризация реакции в виде суперпозиции консервативной и диссипативной составляющих :

где - стационарный процесс, получаемый вычитанием из общего процесса деформаций и(() = z(0 + Д(0 пластической составляющей Л(7) и обладающей свойством I = V; га,- приведённая частота; р - коэффициент гистерезисного демпфирования.

Параметры линеаризации находятся из условия минимума средне-квадратического расхождения линейной / и нелинейной /' реакций :

' м(0 = У(0;

№ = С(У,/) !>(/);

№ + а д(() = т,

(14)

(15)

(16)

Статистическим анализом линеаризованной системы (13) для дисперсий процессов скорости и смещения получены уравнения :

а2 ---------

2(е + Р)(со! +а2 + 2(е + р)а)'

<^(а+2(е + р)) (1?)

2(е + р)со?(со? +а2 +2(е + р)а)'

При вычислении моментов </■ z > и </■ ¿>, входящих в систем уравнений (16) и (17), проводится осреднение восстанавливающей харак теристики по трём аргументам, включая ординату локального экстремум И' процесса z■

со ■*-*>+<!>

о -»-.и-

СО |Н»

</(г,у|иО-у> = |р(и>) ] \fiz.v\w)-

О - »-(и ] V

Для осреднения реакции в (1В) приняты гипотезы гауссовости и уз КСпслосности выходного процесса z{t). В этом случае для ординат локаль ных экстремумов М? справедливо распределение Рэлея, а координате X, со ответствует распределение гармонического процесса.

Разложение реакции периодического колебания /и,у|>у) на компо центы, зависящие от отдельных аргументов

Яг^И = + (19)

позволяет в общем виде вычислить внутренние интегралы в выражения (18) и преобразовать их к виду :

ОО -ЬН1

<Я-г,н>) • ^ > = |р(иО |и') • г • рСг I иО <к

О -* (20)

<Я^|м>)-У> = dzdw.

Гистерезис!гута реакцию / с /И- кусочно-линейной гистерезисиой характеристикой удобно представить суммой Ш реакций с идеальными упруго-пластическими характеристиками

(21)

/=1

Разложение (21) преобразует моменты </■ z> и </• V> к соответствующим суммам частных моментов <f ■ 1> и </,■ V >.

При вычислении </■ z > область интегрирования по аргументу Z разбивается в соответствии с рис.2 на четыре интервала :

т Г V

1=1

о о

2г.,

+

| р(и>) | (с,г.,- - у »V + у р(гIы)йгй™ +

г., (2г.,-») 2г., (2г.,-н»)

+ | Р(и>) | с(г2 +

2г., (н>-2г„)

(22)

Рис.2

При вычислении </• V > учитывается, что внутренний интеграл в (20) опредляется суммарной площадью петель гистерезиса частных характеристик /¡:

2(01 I с; )(^ - 1„ ) рМ +

'' ^ (23)

{(и'-г,,)2

</у> =

я 2©

71

Вычисление интегралов в формулах (22) и (23) приводит к следующим уравнениям относительно параметров линеаризации. Для квадрата приведённой частоты :

со, = со

Г™ Г ч Г- ^

г=1

+

~2гт+1(33(х.т) + -Г5(х,и)) - 2(3,(х,т) + 36(х,т)) + + 4(1 + ги+1)(2 + *.2и)е~

~Г

где 1г-- интегральные функции параметра х,1 - Z,¡|o г. Для коэффициента гистерезисного демпфирования :

^ 2 СО0

(1-^1 у,

а у

Л1+1

11

+

(24)

(25)

Таким образом, поставленная задача сведена к решению системы нелинейных уравнений (17), (24) и (25) относительно неизвестных дисперсий ст 1, 0 \ и параметров линеаризации со \ и Р .

и

№

N

I/

На следующем этапе рассматривается нестационарный процесс перемещений и{(). Этот процесс представляется в виде суммы стационарных осцилляции z(/) и пластического дрейфа Д(У) :

н(/) = *(') +М*). (26)

где Д(/) ступенчатый процесс равный сумме пластических смещений за (п - 1) "завершённых" к моменту

времени t полуциклов колебаний:

(27)

д(0 = 2>у.

Текущее пластическое смещение A„(t) (в незавершённом полуцикле колебаний) входит в базовый процесс z(t) в соответствии с формулой

z(t) = zA0+ (28)

где Zn - упругая составляющая деформаций.

Пластическое смещение A„(f) является функционалом процесса z(0 , что представлено на рис.3 в виде графической зависимости An(z,z,zextr) ■ Дифференцирование A.n{z,ZtZextr) по времени приводит для скорости пластического смещения А„ к зависимости, однозначно определённой относительно параметров z(t) и z(t) ■

A„(Z,Z)=P(Z,Z) Z(t), (29)

где функция p(z, z) имеет смысл коэффициента пластических деформаций, в соответствии с рис.3 она равна

Рис.3

Pv = Z(l-ci/c1). (30)

1=1

Дисперсия процесса перемещений а2и = а2, + К7Д + Од

определяется линейными преобразованиями корреляционных функций скоростей соответствующих процессов :

сКО - 2 J(f — т) [К„(т) + Kvi(x) +Кх(т)] А, (31)

о

где К„(т) - корреляционная функция процесса v(t) = z{t), полученная при

анализе стационарных компонент колебаний ; Kv^(t) = 0, поскольку

в произведении v(f) Â(t + т) для любого t один из сомножителей равен 0.

При вычислении корреляционной функции К^(т) учитываем, что К-(т) = КАл(т). Тогда:

+00

= i i vi) v2) V(zx,vx,z 1,v1)dzl dz2 dvx dv2, (32)

-o0

где Zi = z(t), Z2 = z(t + t) , Vj = v{t), v2 = v(t + t) .

Совместная плотность вероятности в (32) разлагается в произведение двухточечных распределений процессов z(t) и v(/) (поскольку < zv > = О

для стационарного z(0)> 41-0 позволяет упростить интегрирование К»(т).

Завершает задачу численное интегрирование g J(t) по уравнешпо свёртки (31).

Третья Глава посвящена обобщению разработанных по второй главе методов на системы с несколькими степенями свободы. Рассматриваются случайные колебания многоэтажного сооружения в виде консоли с П степенями свободы, вызванные кинематическим смещением основания (рис.4). Уравнения движения масс :

M u(/) + Е, ù(/) + Л f(/) = q{t)U е,

(33)

q{t)+aiq(0 = m-

где q(t) -функция ускорения основания; М-диагоиальная матрица масс; Е^ = А ЕАТ-матрица линейного демпфирования; Е - диагональная матрица, линейного демпфирования; е -единичный вектор; Л - матрица равновесия.

Ук*

Л-,

уЛ')

рис.4

Восстанавливающие силы в элементах консоли описываются гистерезисными характеристиками кусочно-линейного типа (рис.1). Функционал восстанавливающих сил Г[и(1)] вводится в динамическую модель (32) согласно методу расширения фазового пространства в дифференциальной форме

Mu(0 + Exu(i) + Af (t) = q{t) Me; f(t) = G(û, f) AT û(t), q(t)+aq(t) = m

(34)

где С(й,(") - диагональная матрица переменных жёсткостей.

Анализ нелинейной системы (24) выполняется методом статистической линеаризации, согласно которому реакция представляется в виде

где г = ЛТУ- вектор скоростей деформирования элементов; О -диагональная матрица приведённых жёсткостей; В -диагональная матрица коэффициента гистерезисного демпфирования.

Соотношение (35) линеаризует систему (34) :

Му(г) + (ЕХ+ВХЖ*) + Ог(0 = д(/)Ме,-Ш) =Лту(0; (36)

где В,, = ЛВЛ1 - матрица гистерезисного демпфирования,

Линейная система (36) представляется в нормализованной форме :

х(0 = Ах(0 + <Ж (37)

где х(г') = {г, У,у}Г - вектор переменных состояния системы; СКО - векто{ дельта-коррелированных возмущений; А - матрица коэффициентов си! темы, зависящая от Т)х.

На основании корреляционной теории стохастической системе (37 соответствует дифференциальное уравнение относительно корреляционно! матрицы переменных состояния :

1)х(/) = АВХ(0 + ВХ(/)АТ + 8Ч) (38)

где 8Ч - матрица интенсивности возмущений О.

В стационарном случае система (38) преобразуется в систему алгеб

раических уравнений относительно корреляционной матрицы Ох(со) : АОх (да) + Ох (сх>)Ат + Б„ = О (39)

Таким образам, задача сведена к решению системы нелинейных уравнений (39) относительно корреляционнной матрицы переменных состояния Dx.

Анализ нестационарного процесса перемещений и(/) = г(t) + A(t)

аналогичен системе с одной степенью свободы. Корреляционная матрица перемещений определяется через корреляционные матрицы скоростей

Du(/) = 2\{t -т)[К,(х) + КА(т)]Л , (40)

о

вычисляемых по корреляционной матрице К¥(т).

В четвёртой главе представляется методика статистического моделирования рассматриваемых в диссертации динамических систем. Процедура моделирования делится на три основных этапа. На первом этапе производится генерирование случайного входного воздействия в виде дискретной цифровой последовательности, коррелированной по заданному закону. Для генерирования стационарных процессов используется известный алгоритм рекуррентных разностных соотношений

q(i) = £ akW - к) - X bkq(i - к), (41)

к-0 к-\

где £(/)- последовательность независимых нормально распределённых случайных чисел; й^, параметры, определяющие корреляционные свойства генерируемого процесса.

Составлены схемы генерирования нескольких характерных типов случайных процессов. Проведённое по ним тестовое сравнение экспериментальных и модельных характеристик подтвердило высокую точность алгоритма (41).

На втором этапе проводится моделирование колебаний системы, воз мущённой предварительно сгенерированным случайным процессом. Мо делирование динамической системы выполняется численным интегрирова нием дифференциальных уравнений движения явным разностным методов Рунге-Кутта. Исследовано влияние величины шага интегрирования на точ ность статистических оценок.

„ На заключительном этапе производится осреднение статистически характеристик выходных процессов по множеству реализаций.

Построена статистическая модель гистерезисной системы в виде со .тавной консоли с п степенями свободы. Определены особенности моде лирования жёстко-пластических систем.

Разработанные методики моделирования реализованы при проверк аналитических решений во второй и третьей главах.

Основные научные результаты, полученные в диссертации состоя в следующем :

1. Разработан метод расширения фазового пространства, позволяю щий описать неоднозначную реакцию гистерезисной системы. Суть метод состоит во включении реакции системы в число независимых компонен стохастического процесса.

2. Обнаружено явление преобразования гистерезисной системой ста ционарного входного сигнала в нестационарный выходной процесс. При чина такого качественного преобразования состоит в неоднозначности ре акции системы и её зависимости от предыстории выходного процесса. Вы ходной процесс при этом делится на стационарные и нестационарны компоненты.

3. Разложение восстанавливающей силы гистерезисной системы н консервативную и диссипативную составляющие позволяет ввести крите

[й, характеризующий меру диссипации энергии - показатель, необходи->ш при проектировании систем ссйсмозащиты и виброзащиты.

4. Разработана методика экспоненциального замыкания системы мо-:нтных соотношений по скорости колебаний жёстко-пластического ос-шлятора под действием экспоненциально-коррелированного возмущения, редложенная методика даёт решение, практически совпадающее на уров-; вторых моментов с данными статистического эксперимента.

5. Обнаружен эффект статических состояний при случайных колеба-1ях жёстко-пластической системы. Получена зависимость вероятностной ;ры статических состояний от дисперсии входного процесса.

6. Обнаружено явление связанных групповых колебаний у жёстко-[астических систем с несколькими степенями свободы.

Литература

Макаров Б.П., Тимофеев С В. Случайные колебания нелинейных систем [стерезисного типа. // Строительная механика и расчёт сооружений, 1992, ?2, с. 71-76.

Тимофеев C.B. Случайные колебания гистерезисных систем. // Между-фодный семинар молодых научных работников в Зелёной Гуре, 1992.

Тимофеев C.B. Имитационная модель стохастической системы с гистере-icoM. //М.: den. в ВИНИТИ, 1997, № 355-В97.

Тимофеев C.B. Случайные колебания гистерезисной системы с несколь-*ми степенями свободы. // М.: den. в ВИНИТИ, 1997, № 356-В97.

Лицензия ЛР № 020675 от 09.12.92 г.

Подписано в печать 12.0Z.97r. Формат 60х84'/|б Печ. офсетная

И- 2.1 О&ъем 1,25 п.л. Т. 80 Заказ

Московский государственный строительный университет Типография МГСУ, 129337, Москва, Ярославское ш.,26