автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование стохастических процессов в высокодобротных системах

{

Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени государственный ^ технический университет им. Е Э. Баумана ^ -1-:—;-_-:_

На правах рукописи

УДК 681.3: 619.62: 536.75

МОРОЗОВ Андрей Николаевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ВЫСОКОДОБРОТНЫХ СИСТЕМАХ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1994 г.

Работа вшоднена в Московском государственном техническом университете им. ЕЭ. Баумана. . . .

Официальные оппоненты: доктор фивнко-математических наук Ы.Ф. ИВАНОВ '

. доктор физико-математических наук. профессор Е Е ЫИЛАНГЬЕВ

' доктор физико-математических наук, профессор Ы.М. ХАДАЕВ

1 ■ '. » '

Ведущая организация: Нижегородский филиал Института машиноведения РАН

Защита состоится " УЗ ** декабря 1094 года .в ' М часов на васедании специализированного Ученого Совета Д 063.15.12 при Московском государственном техническом университете имени Е Э. Баумана по адресу: 1(Ш)5, Мзсква, 2-я Бауманская ул.. д. 5.

С диссертацией мэшо ознакомиться в библиотека ИГТУ

Автореферат равослан » /3 " октября Ю9А года.

Ученый секретарь спещвдааированного /' / Ученого Совета, к.т.п., додает ^J^tHa^^

ШИВ А. Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Высокодобротный осциллятор - универсальная математическая модель, применяемая для описания различных физических явлений. Она дает возможность исследовать прохождение электромагнитных волн через среды с дисперсией, обеспечивает классическое описание возбуждения атомов, позволяет сформировать подходы к построению квантовой теории поля. Модель высокодобротного осциллятора использовалась при создании квантовой механики для описания излучения электромагнитных волн и при построении физической кинетики.

В технике высокодобротный осциллятор является одним из основных элементов большого класса радиотехнических и эле,стройных устройств. Осциллятор используется в устройствах точной механики, системах автоматического регулирования и механических измерительных системах. Эта модель обеспечивает возможность анализа механических явлений при прохождении упругих волн в средах, при колебаниях конструкций в случае циклического нагруиения. Приборы на основе высокодобротного осциллятора применяются для фундаментальных физических измерения, в частности, при определении гравитационной постоянной и регистрации гравитационных волн. Исследованию высокодобротных измерительных систем посвящены работы а Б. Брагинского, а Е Руденко, М. У. Сагитова, И. И. Киселева, Е ,1. КЬегэ, Г. Е Измайлова.

Для решения уравнений, описнващих динамику высокодобротных систем, широко применяются асимптотические методы, позволяющие рассчитывать как физические явления, так и технические устройства, используэдие осциллятор. Они обеспечивают выполнение расчетов на ЭВМ, существенно сокращая время счета. Эти методы поедпо-" лзгают незначительное затухание колебаний осциллятора и дают приближенно© описание происходящих в нем дисскпативных процессов. Асимптотические методы были разработаны Е К Боголюбовым, Ю. А. Митропольским, Е М. Волосовым, Е Е Моисеевым.

Дяя описания стохастических процессов разработаны современные информационные технологии, которые могут быть применены при исследовании высокодобротных систем. Описанию стохастических

процессов посм1депы фундаментальные работы А. Я Колмогорова, >й А. Круткова, Б. С. Пугачева, И. Е Г ницыне. К. 1Ьо, р. л Стратоно-зича Существенны-} результаты достигнуты при создании современной кинетической теории и теории флуктуаций в диссипативных системах. Статистическое описание кинетических процессов осуществлено Е Е Боголюбовым, с. Е Пелетминским, Ю. Л. Клиионтовичем, Д. Е Зубаревым.

Однако необратимые явления, присущие высокодобротным системам, имеют целы: ряд специфических особенностей, требувдих дополнительного изучения, фи этом к классу необратимых явлений относятся не только диссипативные процессы, приводящие к ватуха-нию колебаний, но и весь комплекс стохастических и информационно- тердадинамичнских явлений. Эти явления ь высокодобротных системах имеют столь существенные отличия и открывает столь широкие возможности для дальнейших фундаментальных и прикладных исследований, что заслуживает1 тидтельного анализа.

Исследование необратимых явлений в высокодобротных системах должно строиться с использованием современных математических методов статистической физики и физической кинетики. Такой подход позволяет провести достаточно общее описание этих явлений, которое монет бьгть положено в основу решения как технических проблем, так и задач уточнения характера протекания физических процессов. Математическое моделирование необратимых стохастических процессов в высокодобротных системах является перспективным научным направлением, обеспечивающим постанови' и решение новых фундаментальных задач.

Делью работы является построение математических моделей необратимых процессов в высокодобротных системах, находящихся под воздействием детерминированных и случайных возмущений; исследование с помощью современных математических методов и вычислительной техники особенностей протекания необратимых стохастических процессов в высокодобротных системах; анализ возможности использования высокоробротных технических систем.

Научная новизна работы заключается в том, что впервые:

- с единых-позиций проведено описание необратимых стохастических процессов в высокодобротных измерительных системах;

- рассмотрены физические явления в резонаторе Фабри-Шро, связанные с давлением света на зеркала резонатора и низкочастотным оптическим резонансом;

- предложена математическая модель петли гистерезиса, до-пуекающая асимптотическое решение при описании высокодобротных электромагнитных систем;

- проведено описание диффузии в среде с флуктуирующими коэффициентами переноса.

На защиту выносятся следующее основные результаты:

1. Теория стохастических процессоз в высокодобротных измерительных системах.

2. Математическая модель большебагного свободномассового интерферометра Фебрй-Перо.

3. Теоретическое описание высокодобротных электромагнитных систем, использующее предло.танную математическую модель петли гистерезиса.

4. Ыетод многомерных функций распределения, предназначенный для описания необратимых стохастических процессов в средах с флуктуирующими ютеттеетт коэффициентами.

Практическая ценность работы замечается в том, что на основе проведенных теоретических исследований:

- предложен новый тип измерительной системы на основе высокодобротных несимметричных крутильных весов;

- разработан гетеродинный метод регистрации гравитационных ' волн и обоснована лазерная интерференционная гравитационная антенна, использующая низкочастотный оптический резонанс:

- обоснован новый исполнительный орган системы стабилизации искусственного спутник? Земли.

Диссертационная работа связана с госбюдязтньми работами по темод

- №3/81:. "Физико-технические проблемы преобразования информации в измерительных системах, содериаадх осциллятор" (1981-85 г.), Гос.регистрация М 81105058;

- 05-2/65: "Разработка элементов новой техники и технологии на основе применения циклических, волновых и колебательных про-

цессов" (1986-90 г.), Гос. регистрация N 01860015245;

- ыеаэуаовская научно-техническая4 программа "ФКЙУЛТ" (1993-94 г.).

Апробация работы. Основные результаты исследований докладывались на Всесоюзном семинаре "Автомагическое управление и вычислительная техника" (ЬЬсква, 1982 г.), Совещании-комиссии цо неприливным изменениям силы тяжести (Москва, 1В83 г.), Бсесош-ном семинаре по грависейсмическому анализу (Москва, 1983 г.),

II Всесоюзной кг-'.ференции АН СССР "Актуальны;- проблема геофйзи-гл" (Звенигород, .1984 г.), XI Всесоюзном семинаре по аналитическим методам в газовой динамике (Зрунзе, 1085 г.), Iii Всесоханой конференции АН СССР "Актуальные .проблемы геофизики" (Суздаль, 1986 г.), XVII Конференции ЩБ "Алмаа" (1Ьсква, 1088 г.), Всесоюзной конференции "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении" (Нижний, Новгород, 1989 г.), Международной конференции "Актуальные проблемы информатики, управления, радиоэлектроники и .гтзеряой техники" (Пушкино, 1989 г.), Всесоюзном совек^нии-се-минаре "Инженерно-физические проблемы новой техники" (Звенигород, 1990 г.), II Всесоюзном симпозиуме "Космофизические флуктуации в процессах разной природы" (Пущно, 1990 г.), Международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва, 1991 г.), II Всесоюзном совещании-семинаре "Инженерно-физические проблемы новой техники" (Шсква, 1992 г.),

III Швдународном совешднии-семинаре "Интзнерно-фютесте проблемы новой техники" (Ьэсква, 1994 г.), а также ча научных семинарах кафедры математики физического факультета ЫГУ, лаборатории гравитационных измерений ГАШ1 ЫГУ, лаборатории грависейсмическо-го анализа Mite РАН, кафедры экспериментальной физики и кафедры теоретической механики РУДН.

Публикации. Ш теме диссертации опубликовано: монография, 28 статей, 10 тезисов докладов и получено 6 авторских свидетельств на изобретения. /

Обьем работы. Диссертация состоит из, введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Текст изложен на 274 машп-

полисных страницах, включая 26 рисунков. Список литературы содержит 168 наименования.

СОЕЕРКАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована ее цель и определены научная новизна и практическая ценность работы. Кратг.з из логины основные результаты выполненных исследований.

В первой главе проведено описание кесйрагаж сгохастичес-гас! процессов в 2! ;оо:.:о дсСроткю: измерительных системах.

В параграфе 1.1. осуществлен выгод уравнений движеши крутильных весов и определен ж ойуик па внэшшевоздействия. Построен;;;» гатемзтичесгеой модели-крутильнях зесоз Прове ля но с использованием метода Лаграаха. При этом трение в крутильной системе описывалось сушщлёй Рэлея с полюй диссипацией. В качеств? гнеигег воздействий выступали сейсмические и гравшотерци--снеыэ г.олч, причем, грашдааытошюэ поло- считалось неоднородным.

Шяученкнэ у&авнэша движения кругашшх весов быв! привалены к виду, уввВввф для анализа изучаемой измерительной систе-1-ъг. Пря этом дкнзыяаосккэ параметры коромысла весов считались прсизвоа::!Д"1, а кагеСзягз весов - малым«. На основе полученного регепия уравнений двиззгкгсп крутильных взсоз. показано, что веек, . яумезйэ кгоякиятвячно^ коромысло, облзцзтя? поижягаой чувстви-гелыюетыз к'сеЯеичтскгч воздзйствкяы

Шоведен анажз г>ог>югсности прктиенш несимметричных 5 тигьздх веоон дгл ю-:?рзнкзкочастотяых сейсмических измерен:»*.. Шлучену вуралэвиг,, связывающие внешние воздействие м взоиацч» периода крутихышх колебаний высокодоброгных весез. Поедяоке:; дввампчеекий метод измерений с помощью высокодобротшх несимметричных крутильных весов в разработан новый сейсмометр, обладаю-е»й повъонпой чувствительностью в изфранизтачгсготкьрд сейсмическим еос.йсПстз;ш?.1.

В параграфе 1;2. с помощью уравнения Фэккера-Планка построено статистическое описание высоко; ;бротнсл измерительной системы, позволяющее провести оптимизацию ее параметров с целью уменьшения уровня случайных погрешностей измерений.

Системе стохастических дифференциальных уравнений, описывающих высокодобротную измерительную систему, поставлено в соответствие уравнение Соккера-Планка

Ж + -Р- Э£ + ГгМы2х!-2/3 2££Ё) = п, м, дЬ + И ЭХ Ч'ч\/ V0 эр -"эрг'

где = т (X, р, С ) - функция распределения флуктуаций переменных движения X и Р , М - масса чувствительного элемента, СОа и - собственная частота и коэффициент затухания осциллятора, Ъ - коэффициент диффузии.

Проведенное решение уравнения «оккера-Шанка (1) для первичного преобразователя осцилляториого типа позволило определить фун. ция распределения флуктуаций переменных движения иамерительной системы в зависимости от принятой методики измерений. Для этого уравнение (1) решалось при начальном условии, соответствующем точному одновременному измерению координаты. и скорости чувствительного элемента, и при начальном условии, отбывающем случай измерения только координаты чувствительного элемента Показано, что дисперсия погрешностей измерений зависит от способа получения информации с измерительного преобразователя.

В частности установлено, ■ что для вьюокодг ротной измерительной системы флуктуации ее первичного преобразователя при регистрации только координаты существенно вше уровня флуктуация при одновременном измерении координаты и скорости (импульса) чувствительного элемента. Для практической реализации преимуществ высокодобротных измерительных систем необходимо либо одновременно измерять и координату и скорость чувствительного элемента, либо .ивмерять координату через полупериод колебаний. На основе проведенного математического моделирования осуществлена оптимизация параметров высокодобротной измерительной системы.

Параграф 1.Д. посвящен описанию измерительного осциллятора, находящегося под воздействием случайного процесса с ограниченным

еяекгроя При проведении указанного описания использован метод фор'-жрукшк фильтров, который предполагает добавление к уравнений двигают измерительной системы дополнительного уравнения, опиенваицэго преобразование белого шума к случайному процессу с заданным спектральном составом.

Получено уравнение ЗЗоккера-Шанка, списыватадсе высокодоб-ротний осциллятор с добавлением формирующего фильтра. . В этом случае уравнение Фоккера-Планка имеет вид

о 6

где f« l) , у - переменная, описызавзвд фор-

нкрукетй '/Г " верхняя граничная частота спектра.

Из, основа построенного решения уравнэчетст (2) проведено исследование влияния параметров снсте>» и характеристик внешнего случайного процесса на уровень погрешностей измерений. Шлучен-ииг гег;ецц.: позволили прсьеста оптимизации параметров осциллятора г, ззв::сйжсти ст ::с.рактериси'.к измерительной систеш и вивг-НШ' псздеЛстви?.

В параграф? 1.-1. определены йауктуаиж! периода колебаний внооксдобротных крутильша весоа при воздействии на в;!х случайных воеиусэнйй. Устаноилено, что дисперсия теогозк: фдуетуанит': периода /г?,утильных кодесаннй уменьшаете.* с чсвк&зи-.-и добротности весов. Это связало о te.v, что с повьдаакек добро'гноетч удееъ-кается жита пккз спектральной плотности тепловых флукту-шй* и отли'-же. тэкугрго период! от периода собственных колебаний становится все более незначительной величиной. Ввагодар-л этом? 55 возникает воамогаюсть снизить дисперсия тепловых фяуктуашй периода крутильных колебания яозкхая добротность весов. В mjv врек-», дисперсия фяуктуацкй периода, вьвванкк~ внешними случайными возмущениями, ст добротности весоа не зависит.

В параграфе 1.5 проведено детерминированное и стохастическое описание высокодобротного ооци-готора'„ переменных действие'-, фаза. Построена производящая функция, которая позволяет перейти от канонических переменных координата-импульс к переменным действие-фаза. Уравнение движения в переменных действие-фаза позволяет при подходе к высокодобротным измерительным системам, как к адиабатически инвариантным, определить функцию распределения в этих новых переменных. Установлено, что флуктуации фазы, а, следовательно, и пер- ода колебаний, описываются законом распределения Гаусса.

В параграфе 1.6., построена математическая модель необратимой самостохастизации динамической измерительной системы и на ее основе проведено описание генерации случайных колебаний из первоначально детерминированного движения системы. Необходимость построения указанной модели связана с тем, что у любой измерительной системы имеются паразитные степени свободы, которые при возбуждении высокодобротных колебаний по информационной степени свободы приводят к самостохастизации движения чувствительного элемента. Данное явление проанализировано для нелинейной высоко-добротной измерительной системы с тремя степенями свободы, собственные частоты которой связаны соотношением: }и]г - 1 {«.Л с, где - частоты колебаний по паразитным стешшы свободы,

По- частота колебаний по информационной степаия свободы. В этом случае вследствие мультипликации частот на нелинейных членах возникает резонансное возбуждение, и прк высокой добротности собственных мод колебаний наблюдается явление самостохастизации.

Проведенное математическое моделирование этого явления позволило установить условия, при которых самостохастиаация приобретает существенное значение я приводят к необратимым явлениям в измерительной системе.

Параграф 1.7. посвящен термодинамическому описанию высоко-' добротного осциллятору Определены термодинамические уравнения, описывающие статистический нагрев измерительной системы с динамическим возбу^нием собственных . колебаний по информационной

степени свободы. Установлено выражение для термодинамической энтропии, что позволяет осуиэствить оптимизацию измерительной системы по критерию минимума производства энтропии. Такой подход наиболее перспективен для проведения информационно-энергетического анализа динамических измерительных систем с высокодобротным первичным преобразователем.

Во второй главе проведено исследование динамики многолучевого интерферометра Йабри-Шро с использованием его математической модели.

В параграфе 2.1. построена математическая модель большебаз-ного свободномассового интерферометра вабри-Перо, который может быть использован в качестве основного элемента интерференционной гравитационной антенны. В математической модели учтено давление света на зеркала резонатора, . установленные на слабо связанных с основанием интерферометра массах.

Математическая модель состоит из уравнений, описывающих электромагнитную волну в резонаторе, и уравнений осцилляторного типа описывающих колебания масс, на которых установлены зеркала. Мощности электромагнитных волн, падающих на зеркала резонатора Фабри-Перо, определяются выражениями

Wo(t) ^ejcEi(t),'

v/s(t), i-sjctfljz, Eea(t~(2n-i)ttt)(R^f{casq^

+ Г Г E„ (t-(Brt-i) UXWzfsin ф" '•ft«/

w; (t) - R: V4 (t), iv, (t) * (t), w;(t)*Rlwz (t-u\

где

h-i

■i/t т«

ۥ1

амплитуда и фаза элеютромагнитной воллы, падающей на резонатор, • Ri и - коэффициенты отр&шжя и пропускания зеркал, S - плосддь зеркал, - время однократного прохождения резонатора светом, Ж - параметр настройки резонатора. Колебал .я зеркал описываются формулами •

Xi -rZfiik ~(FL + Fu(t))/Mi, i-'itZ СБ)

где .

n = -f (We+WR-WrW,') , F2 = -L(W2 + Y4-WA) > v6)

Fitf{t}~ внешние детерминированные и случайные воздействия.

Уравнения (3)-(6) образуют вамкнутую систем, решение лото-рой для заданных случайных воздействий, характеристик гравитационной волны л параметров лазерного излучения накачки, позволяет определить отклж резонатора Фабри-Перо в виде мощности произд-шего резонатор V/д и отраженного от него света Wj? . Построенная математическая модель свободномассового резонатора Фабри-Ш-ро дает возможность исследовать его динамику и необрати;.',ие процессы в нем. £ля этого была разработана прик; дная программа, которая позволяет проводить вычислительные эксперименты с целью оптимизации параметров интерферометра Забри-Перо при его использовании в качестве прибора дря регистрации гравитационных волн.

В параграфе 2.2. на основе проведенного математического моделирования установлено новое физическое явление необратимой трансформации низкочастотных колебаний зеркал резонатора в высокочастотные флуктуации, которое связано с давлением света на зеркала Показано, что давление света на зеркала резонатора приводит к изменению коэффициента затухания слабо связанных с осно-

ванием масс, на которых установлены зеркала. Это может, в частности, привести к необратимому возрастанию амплитуды колебаний масс резонатора Оабри-Перо.

С помощью уравнения Фоккера-Планка определена функция распределения флуктуаций координат зеркал резонатора Установлено, что стационарное распределений колебаний зеркал резонатора, а, следовательно, и флуктуаций мощности вышедшего из резонатора света отличается от распределения Гаусса. За счет мультипликации частот колебаний слабо сяванных с основанием масс на нелинейных членах, вызванных давлением света, наблюдается необратимая трансформация низкочастотных колебаний в высокочастотные флуктуацияи зеркал резонатора Это явление, установленное при математическом моделировании, шкет иметь существенное значение для строящихся больвебазных лазерных интерферометров Фабри-Перо. Сравнение рассчитанных зависимостей с полученными экспериментально на начетах больвебазных интерферометров дает хороаее совпадение.

В параграфе 2. 3. предложен и обоснован гетеродинный метод регистрации гравитационных волн. Вычислен отклик интерферометра Фабри-Шро на гразиволноьое воздействие типа импульса Берлаги с учетом давления света и модуляции фазозой настройки резонатора. Обоснована перспективность использования гетеродинного метода

В параграфе 2.4. проведено аналитическое описание и математическое моделирование низкочастотного оптического резонанса в интерферометре Фабри-Перо. Показано, что низкочастотный оптический резонанс возникает з резонаторе Фабри-Перо вследствие возбуждения колебаний амплитуды стоячей электромагнитной волны г.. многолучевом интерферометре. При этом, многолучевой интерферометр Фабри-Перо обладает низкочастотным оптическим резонансом по отношению к гармоническим колебания базы резонатора, амплитуды н фазы оптической накачки. Причем, частота, на которой наблюдается этот резонанс, меньиз частоты, определяемой временем однократного переотраяения светозого луча в резонаторе,- и существенно ниж диапазона оптических частот.

Аналитически низкочастотный оптический ресонано uokî в первом приближении описан уравн^-ием

(V3

где

Cô)

/ - - 4 (R, Rz)/21, , C¿, ~ dt/Z U ,

- переменная сзяй&нная с откликом резонатора Wa с voutatm лиФ4«ренщ1аяьпого уразаения первого порядка.

На основе разработанной математической модели «Зшо провед-з-но детальное иееледоешша резонансных сзсйетв ¡шгорфероштра Зйбри-Перо о исполььовааием численного реезниа самосогласованной системы уравнений, (лтеьааюшда дзий-ание верная ре&опатора п ьоа-буадеЕие стоячей электромагнитной волны в нем. £ расчетах, проведенных с помощью разработанной прикладной программы, исполквс-Ба."чсь параметры, ;аршстерные для лазирнцх ¡штерференцисшшх гравотавдонных антенн третьего поколения, основным элеыантсы которых является болыиебазный многолучевой свободномассовый резонатор SaOpH-ilepo. Выполненное матештичесдае коделированиз поз- ' волило оптимизировать параметры системы лазер-резонатор . по отношению к гравиволлоЕШ воздействиям и описать необратима процессы в исследуемом измерительно« устройстве.

В параграф? 2.5. показана возможность использования низкочастотного оптического резонанса для увеличения чувствительности лазерных интерференционных гравитационных антенн. Установлено, что при ыодуляциии электромагнитной волны накачки на частоте, близкой к частоте резонанса, наблюдается существенное возрастание чувствительности резонатора Фабри-Перо по отношению к гравитационным волнам. Это возрастай...; достигает значений, порядка величины добротности колебаний в резонаторе. Так как для небольших резонаторов добротность низкочастотного оптического резонанса может достигать величины порядка 100... 1000, то предлагаемый метод регистрации гравитационных волн представляется достаточно перспективным, а использование разработанной математической ш-

дели - обесп8'Я1Г-еи£нм оптимизации измерительного процесса при гравиволновых исследованиях.

В третьей главе описаны необратимые процессы в нисогадоС-ротных электромагнитных системах.

В параграфе 3. i. предложена . математическая модель петли гистерезиса, допускактя асимптотическое решение при" описании высокодобротных электромагнитных скстем. Аналитическое выражение для предложенной (¡одели петли имеет вид

В(И)уla» (H-frH3- 3fXHs) , О)

где фулкци;' 'ti оперекет по фазе напряженность поля И на

г"** ' "i f

, а в&гошши У и ¿I являются параметрами юдели в жарактеривукм1 соответственно нелиейность и тодцину петли гистерезиса Предлагаемая математическая модель петли гистерезиса позволяет учитывать экспериментальны? характеристики конкретного »ппиггопровод:», а такз/з проводит» расчеты электромагнит»«: устройств с поног-ь» асимптотических методов решения д'.^ссреяшгмь-uu;c упавлечис. ояизшгаж?»: динамически* режимы работы таких устройств. Аналогична-! математическая модель юг»? припаяться при описании необратимых процессов з механических системах с цркли-чеаам р^химом нагруиени*.

В параграф а Л. о использованием асимптотического нэтгд-jt проведено математическое моделирование шгтиввого шяеОатедькогг коитурь с напштныч сердечником. Получены укорочеквыз уразпзшггг, ояисыввмда» амплитуду /i ui« я фазу f тока в колебмеяьяом контуре с гистерезисом и проведено числяшое решение этих уравнений. Сислемл. упроченных уравнений имеет ыа

(/- 4- а 3) Á+jrjx cú;Asf +рл t (l-fíajfA^ -jlrJeai?AsÁ - , ü°>

где

Ш и ^

- амплитуда и фаза внешнего воздействия, , уЗ и - параметры колебательного контура

Разработанная методика описаний необратимых процессов в электромагнитных системах осцилляторного типа с гистерееисом позволила определы'Ь влияние основных физических параметров таких систем . на характер протекания электромагнитных процессов в них.

Выполненное математическое моделирование позволило предложить новый исполнительный орган системы стабилизации искусственного спутника Земли, основанный на использовании резонансных свойств высокодобротного электромагнитного контура Разработан пакет прикладных программ для исследования динамики искусственного спутника Земли с магнитной системой разгрузки Маховиков. Цроведенные экспериментальные исследования на физическом макете исполнительного органа дают результаты, совпадающие с полученными путем численного моделирования.

В параграфе 3.3. описаны необратимые процессы в магниторе-еонансном подвесе. Построены укороченные уравнения, описывающие электрические колебания в резонансных контурах с гистерезисом. Указанные уравнения с добавлением уравнения, описывающего динамику механической части подвеса, образуют матемг-ическую модель, анализ которой с использованием вычислительной техники позволил установить особенности протекания необратимых . стохастических процессов в исследуемой высокодобротной системе.

На основе проведенного чисдеичого решения укороченных уравнений, описывающих динамику магниторезонансного подвеса, выполнено детерминированиное и стохастическое моделирование его функционирования; Полученные путём численного стохастического моделирования полигоны относительных частот смешения центрируемого элемента при воздействии на него винеровского процесса позволили установить влияь-е нелинейности и толшины петли гистерезиса на

устойчивость дагниторезонансного подвеса Выполненные расчеты позволяют на этапе проектирования пассивных магниторезонансных подвесов осуществлять подбор и коррекцию их параметров с целью улучшения технических характеристик, а разработанная прикладная программа - . ..сводить оптимизацию параметров таких подвесов..

В параграфе 3. А. рассчитано затухание электромагнитных волн при распространена в магнитном ма риале с гистерезисом. Построены укороченные уравнения, описывающие амплитуду Но и фазу ^ напряженности магнитного поля в магнитной среде с гистерезисом, которые имеют еид___

где Л - электропроводность среды, & - частота электромагнитной волна Установлено, что в высокочастотной части спектра основным фактором, приводящим к затуханию электромагнитной волны а ферритах, выступает магнитный гистерезис.

В параграфе 3.5. найдено асимптотическое решение уравнения Ландау-Лифшица и на его основе проведено численное моделирование . необратимых процессов при перемагничивании материала с гистерезисом. Построена математическая модель процесса необратимого пе-ремегничивания материала с доменной структурой. Полученные укороченные уравнения, описывающие динамику перемагничивания домена, позволяют существенно уменьшить машинное время расчетов при исследовании гистерезисных процессов в магнитном материале.

Построенное описание позволяет, формируя из совокупности доменов те или иные конфигурации образцов.магнитного материала и учитывая краевые условия, устанавливать влияние формы намагниченного образца на динамику его перемагничивания. Проведенное численное моделирование показывает хорошее совпадение полученного модельного приближения и реальных кривых перемагничивания.

Разработанная математическая модель к созданная ьа ее основе псикдадная программа могут бьгеь использованы при расчетах технических систем и устройстн, в которых применяется шгкитнш материалы с. гистерезисом.

В четвертой главе рассмотрено примгшше многомерных Функций распределения при описании необратимых стохастических процессов.

Б парагр'Де 1. построено модифицированное уравнение йок-кара-Шашш и с его поковка описаны необратимиз стохастически? щоцесйы в высокодобротноы осцилляторе. Ери ведущим этого .уравнения учтены флуктуации коэффициента диффузии. Проведею описание броуновского движения в трехшрной изотропно* сра-до .с учетом флукгуащй коэффициента треиил. Определены поправки г уравнении Смэлуховского, связанные с флукгугцнгми этого ксзсйи-цизнта. •

■ Шхучениос кодифицированное уроштениг Фогагара-Гранка приманено для статистичосиого описания тцшачйчеекой свсгки« осщшп-торного типа. В этом случае модифицированное уравнение пргишэд?

о

"ч"- £ 'я чГ ' - постояшш-::, .»ивиаш® от параметров осадшшорл и диссплативкой среди. Нуге?.! штегрипозаяия уравнен;:;; (12) сяр;т-дглена дисперсия флуктуашй координат;-: чувстсктедьного злеиант» дннамич»с|»й системы и вычислены яонраьки, связанные с ъяутуч-циямя коэффициента трэния.

Параграф 4.2. посвящен излэкэний метода многомерных функций распределения.. Построены кинетическое уравнение № дьу;. ерной функции распределения ».. ременных двюкения броуноЕС/э'; частицу и уравнение диффузии дм двумерной нхтюетк частвц в спсде.

Пои построении теории броуновсгазго движения в терминах лву-трта- Функций распределения -использована процедура посдедова-тедьких огрублений уравнения для двумерной функции распределения всех переменных дзийеяия частиц среды я броуновской частицы. Усреднение на рсмзжутках временя порядка времени хаотизацич частиц среды позволило перейти к кинетическому уравнении для двумерной (Ьункцаи распределения пег^кешшх движения броуновской частицы, ."алее, усреднение на промежутках времени порядка времена релаксации сроунсвскоя ".шзтяцы дало возможность получить гидродинамическое уравнение диффузии для двумерной плотности зиф-Фундлрукдих частиц

В параграфе 4.3. списана диффузия в среде с флуктуирую*®»« •отехпчесюош коэффициентами. При решении уравнения диффузии для двумерной плотности бил использован штод вовмуиданий. Для этого уравнение диффузии било преобразовано к фурье-обраву л определено решение в первом пркбдякеняи по членам, описнзашим флук-туа-«1П1 коэффициента • диффузии. Полученные выражения могут Сыть использованы при описании фзувдашй количества ионов в малом сбь-оме электролита Преинупгзстяом полученных выражений является тачлэ возможность нахождения фурье-образа двумерной плотности з случае переменных во времени "коэффициента диффузии и времени корреляции его флуктуаций.

Состроенная с яомоиьэ метода многомерных функций распределения математическая модель диффузии в среде с флуктуирующими кинетическими коэффициента™ позволила рассчитать распределение примесей в твердом теле послз кристаллизации. Получено решение уравнения диффузии для двукэрной плотности примеси в твердом теле и показано, что характерный размер сгустков примесей зависит от. скорости охлаждения. Проведенное исследование в рамках физической кинетики представляется возможным только с использованием построенных решений уравнения диффузии для двумерной плотности.

В параграфе 4. 4. с использованием асимптотического метода и метода многомерных функций распределения проведено описание высокодобротной системы с флуктуирующим коэффициентом трения. Наказано, что укороченные уравнения, описывающие флуктуации высо-

кодобротных систем, приводятся к виду, аналогичному уравнению Ланжевена для ' броуновской частицы в двухмерной среде:

~хс (рс, , г),

где функция, которая может описывать гистереаисные поте-

ри и динамическое трение, Ре,з и - детерминированные я

случайные воздействия. Ери этом переход к переменной К , описывающей динамику осциллятора, осузцэствляется по формуле

ОД СОБсйЛ + Р*(О (14)

Укороченная система уравнений (13) позволяет при анализе необратимых стохастических процессов в высокодобротной системе воспользоваться методикой, разработанной для описания броуновского движения в среде с флуктуирующими кинетическими коэффициентами.

Использование метода многомерных функций распределения позволило 1 пределить дисперсию флуктуация координаты зысококоброт-ной систеш. Предложенный общий подход к Ьписш-аю необратимых процессов в высокодобротньЕ системах можно рассматривать как один из альтернативных способов описания кинетических процессов в рамках математического моделированы.

Параграф 4.5. посвящен разработке метода описания немарковских случайных процессов с использованием многомерных характеристических функций. Показано, что при воздействии на стохастическую дифференциальную систему внешнего случайного процесса, описываемого конечномерной характеристической функцией, ее анализ шжет быть проведен с помогав уравнении для многомерных характеристических функций' вектора состояния немарковского процесса. Построены уравнения для двумерной харшаеркстической функции к проведено ч;< обобщение на случай п-дарньк характеристических ■ функций.

Разработанный метод многомерных характеристических функций применен дгя ухочнения описания', броуновского движения. Шказано, что уравнение для двумерной функции распределения списывающее броуновское движение в нешрковском случае, имеет

где

(16)

Л>

' !/(•••)- симметричная единичная функция. Уравнение (15) применимо каш описания зысокодобротиьж систем с использованием укороченных уравнений (135. Применение разработанного метода мгаго-мериых характеристических функций приводит к результатам, совпадавши с полученными методом' многомерных функций распределения.

В закгиченки сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Проведенное з диссертационной работе математическое моделирование необратимых стохастических процессов в высокодобротных системах с использованием современных математических методов я вычислительной техники позволяет сделать вывод о создании нового научного направления, обеспечивающего постановку и решение большого класса фундаментальных и прикладных задач. С единых позиций были поставлены и ресены задачи моделирования высокодобротных измерительных систем, больсебазных интерферометров $ебри-Перо, высокодобротных электромагнитных устройств с гистерезисом, а также разработан метод многомерных*функций распределения, предназначенный для описания немарковских случайных процессов. Дальнейшее развитие разработанных о0щих подходов к описанию необратимых стохастических процессов в высокодобротных системах применительно для других типов'подобных устройств и для решения фундаментальных проблем физической кинетики представляется важной научной задачей;

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построена математическая модель несимметричных крутильных весов и на ее основе предложен новый высокодобротный сейсмометр.

2. Осуществлены детерминированное и стохастическое описание необратимых процессов в высокодобротных измерительных системах и определены статистические характеристики флуктуация чувствительного элемента таких систем. На основе полученных выражений проведена оптимизация высокодобротных измерительных систем.

3. Построено описание высокодобротного измерительного осциллятора в переменных действие-фаза • Определены флуктуации периода колебаний крутильных весов под воздействием случайных возмущений. ,

4. Описана необратимая самостохастиаация динамических измерительных систем.

б. Дано термодинамическое описание необратимых процессов б высокодобротных измерительных системах.

6. Построена математическая модель большебааиого свободно-массового интерферометра Еабри-Перо.

7. Изучено влияние давления света на веркала свободномассо-вого резонатора Фабри-Перо и установлено явлеш:з необратимой, трансформации низкочастотных колебаний зеркал резонатора в высокочастотные флуктуации его отклика Установлено влияние давления света'на коэффициент затухания колебаний слабо связанных с основанием тсс, на которых установлены зеркала резонатора. Предложен гетеродинный метод регистрации гравитационных роли.

8. Исследован низкочастотный оптический резонанс в интерферометре йабри-Беро и рассмотрена возможность использования этого явлении для повышения чувствительности интерференционной гравитационной антенны.

9. Предложена математическая модель петли гистерезиса, допускающая применение асимптотического метода'

10. Проведено математическое моделирование высокодобротных электромагнитных систем. Описаны необратимые стохастические процессы в магннтсреэонансном подвесе'. Выполненное математическое моделирование позволило предложить новый исполнительный орган системы стаб мзации искусственного спутника Земли.

11. Описано затухание электромагнитных волн в магнитном материале с гистерезисом.

12. Осуществлено асимптотическое описание необратимых процессов при перемагничиваши материала с гистерезисом.

13. Построено модифицированное уравнение «оккера-Планка и на его основе проведено статистическое описание осциллятора.

14. Предложен метод многомерных функций распределения, позволяющий описывать необратимые стохастические процессы в средах с флуктуирующими кинетическими коэффициентами. Построены кинетическое уравнение для двумерной функции распределения переменных движения броуновской частицы и уравнение . диффузии для двумерной плотности частиц в среде.

15. Цроведено описание диффузии' в среде с флуктуирующими коэффициентами переноса и.рассчитано распределение примесей в твердом теле после кристаллизации.

16. С использованием асимптотического метода и метода многомерных функций распределения проведено описание высокодобротной системы с флуктуирующим коэффициентом трения.

17. Построено описание немарковских случайных процессов в стохастических дифференциальных системах с использованием многомерных характеристических функций.

. ПУБЛИКАЦИИ Ш ТЕШ ДИССЕРТАЦИИ .

1. Шроаов А. Е Теория броуновского движения: Метод многомерных функций распределения. -.И.: Изд-во МГТУ, 199а - 84 с.

2. Шроаов А. Я. Особенности реакции ' несимметричных крутильных весов на сейсмические возмущения // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1981. - N 12. - С. 95-98. '

3. Постановка задачи об исследовании влияние возможных помех на показания гравитационного вариометра •' Е. В. Бростюк, и. К. Киселев, А. Е Морозов к др. // Повторные Гклмшетрические наблюдения (результаты теоретически*: исследований к наблюдений ва полигонах). - Ы.: Нефге.геофизкка, 1983. - С. 6г;-?6.

4- Норовов АII, Отрои И. 0. о колебаниях крутильной систему. помгданной в вязкую жидкость // Изь. АН Кирг. ССР. - 1384.

- N 4. - С. 15-20.

5. Влияний ' тепловых цумов на гровитацшгшг? зариэмэтр / £.ГГГриднеЕ, 11 К. Киселев, к. Е Морозов" и др. // Швхорныг гра-вимотрические наблюдения (вопросы теории к результаты), - XI: Кефгегеофизкка, 1084. - С. 128-131.

6. Еростхк В. а , йюелэв ЯП., Порозов А. К. О воэмукзниях движения коромысла несимметричных крутильных- весог сейсыическшд; воздействиями // Лек. рук. БКНЙТК, 1234. - N 651-е ,, - 11 с,

7. Вростяк а В., Киселев И. Я.. Морозов А. & г теория динамических измерений высокодобротныы кеттильным маятником // Иэмэ-ртехьная техник - 1985. - К -1. - С. 25-27.

8. Морозов А. II, Оюров И. О. К вопросу о костной демп-сиропак:,!: рызокодоброгны:: крутильше шсов // Ьзь. .£ Ш.?г. С;?.

- 5 9У5. - К 1. - С. 6-И.

9. :-ороаов А. II. Исследование д;шшчгскогс эгод^ юдере-несимметричными крутильными вогадо // Акхуллиикэ -прблемн

геофизики - к : Наука. 1965. - С. 1БЗ-160,

10. Нороаое А. Ь. . Оюров И. О. о случайных воадействия:: дад-костнэго демпфера ю механическую измерительную скстъму // йзв. ¿31 Кирг.' СОР. - 198с. - !•! 4. - С. '¿3-С7.

■ И. Порозов Л.Н. 0 броуновским движении в с:;;яе с дяугагуц-рутод коэффициентами >у»р&пос& // йзе. вузов. £ззйка. - 1985.

- и 6. - С. УО-91.

12. Киселев Ы. й., Морозов А, Н., Ваунедко-Еонларгню ПК. Саюстояастизашя динамических измерительных систем // Прикладная гесфкзика - 1986. - Вш. 114. - С. 133-144.

13. Морозов А а Особенности статистического описания механических измерительных систем, ' содержащих колебательное звено // Измерительная техника. - 1986. - N 11. - 0. 17-19.

14. Морозов АД Статистическое описание измерительной системы, учить- дашэе реальный спектр случайных возмущений // Измерительная техника,' - 1989. - N 7. - С. 15-17.,

15. Порозов А. Я , Глаяышэв R К эффекту нелинейной генерации ВЧ оптического шума в резонаторе Фабри-Перо // Письма в ОТ. - 1990. - Г. 16. вып. '5. - С. 57-60.

16. Морозсз А. Д , Гмахияев R О. Особенности отклика лазерной интерференционной гравитационной антенны на низкочастотные возмущения // Измерительная техника - 1990. - N 10. - С. 26-28.

17. Порозов А.Н. К теории получения кинетических уравнений для двумерной функции распределения // Математические методы и физико-механические поля (Киев), 1990. - Еып.32. - С. 67-73.

18. Морозов А. Н. К теории получения уравнения диффузии для двумерной плотности "броуновских частиц // Математические методы л физико-механические поля (Киев), 1991. • - Вып. 34.

- С. 105-110. \

19. Кудрявцэв В, С., Морозов A. ¡L, Юрасов В.И. Моделирование перемагничивания магнитного материала с доменной структурой на основе уравнения Ландау-Лифшица // Вестник ЫГТУ. Приборостроение. - 1991. - N 1. - 0. 121-125.

20. Кудрявцев R С., Морозов А.Н., Турчанинов С. 0. Динамика магниторезонансного подвеса с учетом магнитного гистереэиса // Изв. вузов. Электромеханика. - 1991. - N 2. - 0. 6-9.

21. Гладыш в а 0., Норовов АД Гетеродинный метод регистрации затухающих сигналов с использованием резонатора вабри-Ifepo 7/ Письма в ПФ. 1991. - Т. 17, вып. 19. - С. 11-15.

22. Кудрявцев В. О., Морозов А Д, Турчанинов С. 0. Анализ кривых распределения смещений центрируемого элемента в MárHOTo-резонансном подвесе //. Иэв. вузов. Электромеханика. - 1991.

- N 10. - С. 97-99.

25

£3. Морозов АН О применении двумерных функций распределения в теории броуновского движения // Вестник МГТУ. Машиностроение. - 1991, - N 4. - С. БО-61.

24. . Кудрявцев К С., Морозов А11,, Юрааов Н. И. Асишготи-чзский расчот прецессии намагниченности магнитного материала с доменной структурой // Вестник МГГУ. {¿ашиностроениэ. - 1932.

- К 2. - С. 60-65.

■ 25. Порозов А. В., Турчатшов С. о. Макроскопические флуктуации коэффициента диффувии и низкочастотные шумы в электролитах // Бибфиаика. - 1992. - 1. XXXVII, вып. 4. - С. 66?-боб.

26. Норовов АН,' Кудрявцев В.С, Црюлонение уравнения диффузии дда двумерной плотности при описан®: количественного распределения прииесей посяэ кристаллизации // Васткш; МГГУ.. Приборостроение. - 189£. - И 4 - С. 114-121.

2.7.' Глздадав В. 0., Морозов А Суегвва II & Оценка чувствительности лазерной интерференционно*; гравитационной антенны .'/ Труды ту, N 563.. - Ц.: Иад-во ИГО", 1983. - С. 152-171.

26. Гладите в а 0., Норовов А Н, . НаекэчзмоткнД сптпч.гский ровонанг в многолучевой интерферометр» вабрн-Шро // Шська х. &ТФ. - 1330. - Т. 19, тс:. 14. - С. £2-42.

¿'зрозав А Е , Кудрявцев Е О. Е вопрос- э .аагухашсл элекгромаптпик: соха е гаштюм матерках® с гсотереансоу // №ч»»» г. ЕГФ. - 153«. - т. £0, вкл. 6. - а

да. к с. и Ш2?.04. Еяанкопоркодай гог'кзондайшгг /ЕЯ &кк,-тгк, 11 П. йшелэв, г- Е Ьйрогов. - Т>1. « 34ег593>1в-г5 от 19.0e.S2.

8.!,' А. с. К ПАРКИ. Гр .югевшшиЗ вариометр / Л К. Езсегэи, 0. Е Крачйтнй'.»с, В. к. Кдаванов, А. Морозов, Е11 Попов, // Е.Е.

- ШХ. ■ М 35.

оЛ, д. с. м 1£630??, Граваштаный варнокзтр / НИ. Киселев, й.Лиэроэов, 51. 0. Оморов, ЕНИэнов. - 1886. Заявка К '3798533/24--

25 ОТ 13. 09. 64.

53. с, К 1283544. Длшашеркоктй горизонтальный еейсш-

I К. >1 Киселев, ?___Морозов, С.О.Турчаакноз. // ЕЯ - 1937.

• н £.

Г.5

34. А. о. N 1492577. Способ изготовления изделий из порошковых материалов / Д И. Киселев, Л. Н. Морозов, С. Е Рыжков, С. Е Соболев. - 1989. Заявка N 4274407/31-02 от 02. 07. 87. '

35. А. с. N 1795771. Лазерный'гравитационно-волновой измеритель / Е О. Г чдшев,' А. Е Морозов. - 1992. Заявка ^ 4847727/25 от 28.04.90.

• 35. Гладагагв. КО., Морозов / 'I, Суетина ЕЕ, Лазерный интерферометр для регистрации гравитационных волн // Актуальные проблемы информатики, управления, радиоэлектронники а лазерной техники. Сборник докладов Международной конференций. - Я , 1989.

- С. £6-89.

37. Оптико-электронная реализация частотно-хронометрического метода диагностики циклических механизмов / ад.Дунаев, Г. Л Каменев, А. а Морозов и др. // Волновые и вибрационные процессы в .машиностроении. Тезисы докладов Всесоюзной конференции.

- Горький, 1989. - С. 253-254.

33. Морозов А Е' Применение многомерных функций распределения в кинетической теории //. Кякенерно1физические проблемы новой техники. Тезисы докладов Всесоюзного совещания-семинара - М., 1590. - С. 148-149.

39. Гладазгв а 0., Морозов А Е Нелинейный эффект воздействия лазерного излучения на РФП в ЛИГА // Инженерно-физические проблеш новой техники. Тезисы докладов Всесоюзного совещания-семинара - М., 1990. - С. 155-156,

40. Морозов А. Н., Подмарыюв. Э. В. Индуцированная тепловым шумом самостохастиэация динамических измерительных систем // Актуальные ■ проблеш фундаментальных наук. Сборник докладов Международной конференции. - У., 1991, - Том 3. - С. 37-40.

41. Кудрявцев Д С., Морозов А Е, Турчанинов С. 0. Влияние нелинейности электромагнитов на динамику бесконтактного подвеса // Актуальные проблемы фундаментальных наук. Сборник докладов Международной конференции. - М.1001. - Том 3. - С. 127-139.

27

42. Норовов А. Е Диффузия в среде флуктуируюгг&ш кинетическими коэффициентами // Инженерно-физические проблемы новой техники. Тезисы докладов Второго Всесоюзного совепакия-семинара

- М., .1992. - С. 98-93. .

4а Гдададав Е О., Морозов А. Н. Низкочастотный резонанс стоячей оптической волны в многолучевом интерферометре йабри-Ш-ро // Инкзнерно-физическиз проблемы новой техники. Тезисы докладов . Второго Всесоюзного совев^ния-сешшара. - М., 1992.

- С. 104-103.

<4 Иороаов А. Е К теории необратимых процессов в высокодобротных системах // Инженерно-физические проблемы новой техники. Тезисы докладов Третьего Международного совещания-семинара.

- М. , 1994.' - 0. 136-137. -

45. иороаов А. Н О времени хаотизации // Инженерно-фиоичес-кие проблемы новой техники. Тезисы докладов Третьего Международного совеп^ния-семинара. - У., .1994. - С. '164-155.

Ьдписш.о к печатк 6.1$-94г д.* г. Заказ Ч7Ч Обьем 2,0 пл. Тирад 100 • 8КЗ.

Типографа ЬлГТУ