автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Резонансные свойства детерминированных математических моделей и устойчивость функционирования технических систем с гистерезисными нелинейностями

На правах рукописи

ТОЛОКОННИКОВ ПАВЕЛ ВЯЧЕСЛАВОВИЧ

003445385

РЕЗОНАНСНЫЕ СВОЙСТВА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И УСТОЙЧИВОСТЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГИСТЕРЕЗИСНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

Специальность 05.13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж-2008

003445385

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и экономико-математических методов Воронежской государственной технологической академии

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор СЕМЕНОВ Михаил Евгеньевич (Воронежская государственная технологическая академия)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Григорьевич, (Воронежский государственный университет)

доктор физико-математических наук, профессор САЙКО Дмитрий Сергеевич. (Воронежская государственная технологическая академия)

Ведущая организация: ГОУ ВПО Белгородский государственный университет

Защита состоится «19» июня 2008 г. в 16 00 на заседании диссертационного совета Д 212 035 02 при Воронежской государственной технологической академии по адресу 394000 г Воронеж, проспект Революции, 19

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, направлять на адрес совета академии

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия»

Автореферат разослан «13 » мая 2008 года

Автореферат размещен на официальном сайте ГОУ ВПО ВГТА www vgta vrn ru «13» мая 2008 года

Ученый секретарь

диссертационного совета кт.н.доц И.А Хаустов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие модели процессов и систем прикладных задач физики, теории автоматического регулирования, экономики, биологии и т д сводятся к системам дифференциальных уравнений, содержащим помимо обычных функциональных нелинейностей - нелинейности гистерезисной природы (колебания ферромагнитного шарика в магнитном поле, электромагнитные колебания в контуре, содержащем сегнетоэлектрические конденсаторы, экономические циклы в условиях «гистерезисного» поведения экономических агентов, системы автоматического регулирования, обратная связь которых включает гистерезисные звенья) Одним из аспектов исследования этих моделей является изучение их резонансных свойств В частности, важную практическую роль играет диссипативность систем - наличие области в фазовом пространстве систем, обладающей тем свойством, что всякое решение, исходящее из нее остается ограниченным при неограниченном возрастании времени Особую важность приобретает эта задача в ситуации, когда система находится под периодическим воздействием резонансной частоты Вопросу изучения резонансных свойств систем дифференциальных уравнений в условиях, когда правая часть периодична, посвящено достаточно много работ (С П Кузнецов, И Д Папалески, В В Болотин, Н В Жинжер, М А. Красносельский, А В Покровский, Д И Рачинский и многие другие) Диссипативность моделей в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений посвящены работы А А Андронова, Л Чезари, Р А Нелепина, С П Кузнецова, И Д Папалески, В В Болотина, А М Красносельского, А В Покровского, М Е Семенова и ряда других ученых

В последнее время существенно возрос интерес к системам, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями со сложными нели-нейностями, в том числе и гистерезисной природы Это обуславливается необходимостью как можно более полного и адекватного моделирования реальных физических, экономических, биологических и других систем

Однако, к настоящему времени отсутствуют эффективные методы анализа моделей систем с гистерезисными нелинейностями, с периодической правой частью резонансной частоты Возможность создания таких методов основывается на развитой М А Красносельским, А В Покровским и их учениками, операторной трактовке гистерезисных нелинейностей В связи с вышеизложенным, является актуальной задача изучения резонансных свойств моделей систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления кафедры ПМиЭММ Воронежской государственной технологической академии - «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» № г р 01200003664

Цель работы. Исследование резонансных свойств моделей систем с сосредоточенными параметрами, описываемых дифференциальными уравнениями с гистерезисными нелинейностями

Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач.

-выделение класса моделей систем с периодическим внешним воздействием, описываемых дифференциальными уравнениями с гистерезисными нелинейностями,

-выявление зависимости гармонических резонансных свойств систем с

гистерезисом от амплитуды внешнего периодического воздействия, -формулировка и доказательство теорем об областях диссипативности

моделей систем с гистерезисными нелинейностями, -построение областей устойчивости (неустойчивости) параметрически

возбуждаемых систем с гистерезисом, -численные эксперименты и апробация предложенных алгоритмов Методы исследования. При выполнении работы использовались операторная трактовка гистерезиса, качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического регулирования, нелинейный анализ, численные методы решения дифференциальных уравнений

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты

-условия диссипативности (а также недиссипативности) класса уравнений, являющиеся математическими моделями систем с гистерезисными свойствами, находящиеся под внешним воздействием резонансной частоты,

-условия, обеспечивающие дисипативность выделенного класса уравнений (типа уравнений Матье) с аддитивными гистерезисными нелинейностями,

-алгоритм построения областей устойчивости (неустойчивости) уравнений Матье с гистерезисными нелинейностями, -условия, обеспечивающие дисипативность класса моделей систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью Практическая ценность работы. Глобальные характеристики наличия или отсутствия резонанса, приведенные в работе, позволяют на этапе проектирования технических систем прогнозировать их резонансные свойства Результаты работы применимы для анализа и построения областей диссипативности систем, математические модели которых сводятся к системам дифференциальных уравнений, в том числе и с гистерезисными нелинейностями Предложенные в работе алгоритмы и условия позволяют проводить этот анализ и исследование резонансных свойств.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (г Сочи - Дагомыс, октябрь 2005 г.), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г Воронеж, декабрь 2005 г.), «Экономическое прогнозирование модели и методы» (г Воронеж, март 2006 г), XLIV отчетной научной конференции за 2006 год (г Воронеж, апрель 2006 г), международная

научно-практическая конференция «Образование, наука, производство и управление» (Московский институт стали и сплавов - г Ст Оскол ноябрь 2006 г.), III международная научно-техническая конференция «Современная металлургия начала нового тысячелетия» (Липецкий государственный технологический университет - г Липецк ноябрь 2006), международная научная конференция «Сложные системы управления и менеджмент качества CCSQM'2007» (Старооскольский технологический институт (филиал) Московского института стали и сплавов - г Ст Оскол март 2007г), международная научно - практическая конференция «Образование, наука, производство и управление» (Старооскольский технологический институт (филиал) Московского института стали и сплавов - г Ст Оскол ноябрь 2007г), научно -техническая конференция ОАО «ОЭМК» (ноябрь 2007г), на семинарах кафедры ПМиЭММ ВГТА и кафедры АиПЭ СТИМИСиС за 2005,2006 гг

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 9 печатных работ. Из них одна - статья в научных журналах, включенных в "Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук"

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, состоит в следующем построение областей диссипативности для различных классов моделей систем [1], [5], [9], доказательства утверждений о реализуемости предложенных алгоритмов [2], [3], [6], [7], исследование резонансных свойств уравнений с гистерезисными нелинейностями [1], [3], [4], [8], [9]

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из ввюедения, трех глав, заключения, приложений и списка литературы, включающего 85 наименований, изложена на 115 страницах и включает 35 рисунков

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведены общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследований, дана информация о научной новизне и практической значимости работы, приводится методика исследований и дано краткое изложение содержания диссертации по главам

В первой главе, которая носит вводный характер, приведены примеры моделей систем, динамика которых описывается системами дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями Описаны известные модели гис-терезисных преобразователей - обобщенного люфта, неидеального реле, преобразователя Прейсаха, замкнутых систем с гистерезисными нелинейностями Сделан обзор статей, касающихся обычного и параметрического резонанса, систем с гистерезисными нелинейностями

Первые работы, в которых изучались системы автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями, появились в 1946 г (А А Андронов) В 1960-х годах результаты А А Андронова были существенно обобщены Р А Нелепиным на основе новой в то время методологии, разработан-

ной с использованием бесконечнолистных поверхностей Римана Основное внимание в этих работах уделялось построению зон устойчивости в пространстве параметров систем Наиболее близкие по теме результаты получены М А Красносельским и Д И Рачинским в работах о резонансных свойствах уравнений с неограниченными нелинейностями, авторами предлагается метод исследования вырожденных асимптотически линейных задач с подли-нейными неограниченными нелинейностями, рассматриваются резонансы 0 1 и 1 1 при бифуркациях Хопфа в системах управления с параметром, предлагаются условия существования непрерывных ветвей циклов для дифференциальных уравнений с одним скалярным параметром, принимающим значения из некоторого ограниченного промежутка, предлагаются простые условия существования нетривиальных (отличных от состояния равновесия) периодических решений у автономных систем управления, представлены оценки для количества неограниченных ветвей периодических решений в проблеме на раздвоении от бесконечности с вырождением линейной части второго порядка и предложены достаточные условия для существования множества ветвей

Следуя классическим схемам М А Красносельского и А В Покровского, гис-терезисные операторы трактуются как преобразователи, определенные на пространстве непрерывных функций, динамика которых описывается соотношения вход-состояние и состояние-выход

Для формулировки основных результатов приведено краткое описание гистерезисных нелинейностей

Рассмотрены две скалярные строго возрастающие функции со = 0((*) и со = Ог(х), заданные на всей числовой оси Предполагается, что обе функции глобально липшицуемы, связаны неравенством 0,(х) > Ог{х) и множеством их значений является один и тот же промежуток И

Паре СДд:), поставим в соответствие преобразователь - обобщенный люфт Множеством возможных состояний этого преобразователя будет объединение £2Ь = £\(С;,Ог) горизонтальных отрезков, концы которых лежат на й, и Сг

Определен оператор Ь[со0,С/;6г]

«(о(0</</,), (1)

(си0- начальное состояние преобразователя) ставящий в соответствие каждому непрерывному входу х(1) (/>0) выход со(1) с помощью следующей трехэтапной конструкции

Для монотонных входов х(1) положим

{тах(й>0,Ог [*(/)]), если х(/) не убывает,

тт(ю0,С, [*(/)]), если х(1) не возрастает

С помощью предельных конструкций и полугруппового тождества этот оператор доопределяется на пространство всех непрерывных входов Использованы следующие три основных свойства обобщенного люфта 1) Обобщенный люфт монотонен в следующем смысле из соотношений

<y0<v0, x(t)<y(l), {x0,co0}, {y0,v0}efi(G„G,) (0<í</,) следует неравенство

4at,G„Gr]x(t)üh[vt,Gl,Gr]y(t) (OS/S/,).

2) Пусть {*0,eu0}, (y0,ü)0}eí2 (G;, Gr), a *(/) и y(t) - два непрерывных входа, заданных на [0,/] и X — коэффициент Липшица функций ú) = G,(x) и со = Gr(x), тогда верно неравенство

3) Каждый обобщенный люфт моноцикличен, те периодическому входу отвечает периодический того же периода выход

Неидеальным реле называется двухпозиционное реле с пороговыми числами а и Р (а <Р)

Пространством Q(a, P) = Q(R(a, Р)) возможных состояний неидеального реле R(a, р) является множество точек {м,дг} плоскости, лежащих на двух полупрямых- х = 0 при и < а и х = 1 при и > р Иногда состояние неидеального реле определяется как значение выхода; множество возможных состояний содержит тогда два элемента 0 и 1 Связь между входом u(t) е С0[0, Т] и переменным выходом д:(/)е{0,1} устанавливается оператором x(t) = R [а, р, д:0] u(t), где *0 - начальное состояние преобразователя

Начальное состояние х0 преобразователя должно удовлетворять следующим условиям

если и(0)<а,то х0=0, если u(0)sp, то х^ — 1,

если а < и(0) < р, то (д;0 = 0)v(xo = 1).

Выход x(t) (0</ <Т) совпадает с переменным состоянием преобразователя R и определяется соотношением

0, если u(t) < а,

1, если u{t) > р, дг0, если н(т) е (а, Р) V те [О,/],

*(/) = •{ 0, если «(Ое(а,Р) и 3 í, s [0, /), (2)

что «(í,) = а и и(т)е(а, Р) V те[/,,/], 1, если u(t) е (а, Р) и 3 /, е [0, /),

что м(Г,) = Р и и(х) е (а, Р) V Te[íp í]

Таким образом, неидеальное реле является детерминированным преобразователем, определенным на всех непрерывных входах Очевидны статичность и управляемость неидеального реле Полугрупповое тождество для не-вдеального реле имеет обычный вид.

R[/0,^,o>P]»(0 = R[í1,R[/o,*o,a,P]»(/1),a,P]»(/) (t0¿t,¿0

Важным свойством неидеального реле является его монотонность по входам если {и(/0),х0},{у(/0),у0}еП(а,р), х0<уа и и(0<у(/) (/>/„), то

К['о> *о>а» Р ]"(0 - ^ [ а> Р ] у(0 С^'о)

Пороговые значения аир часто называются током включения и током отпускания Когда выход равен 1, то, считается, что реле включено; если выход равен 0, то реле отключено

Преобразователем Прейсаха называют континуальный аналог преобразователя, состоящего из неидеальных реле, соединенных параллельно

Рассмотрен частный класс континуальных систем реле. Пусть на полуплоскости />„рэ{а,р'а<р} определена положительная, абсолютно непрерывная, интегрируемая на всей полуплоскости функция 1 = Ца,Р) и мера |до4, абсолютно непрерывная относительно лебеговой меры

Обозначив через у/ класс ограниченных функций, заданных на неотрицательной полуоси и удовлетворяющих условию Липшица с коэффициентом равным единице. Введено в рассмотрение множество скалярных функций ©(а,Р), заданных на полуплоскости = {а,Р а < Р} и таких, что

Г 0, если сс + р>^(р-а), со(а,Р)Н

[ 1, если а + Р<^(Р-а),

где (//(Р-а)еу/ Множество — пространство возможных состояний преобразователя Прейсаха.

Соотношение вход - переменное состояние преобразователя Прейсаха (Г,£) устанавливается оператором Г.

со(а,р,0 = ГКМО = Ща>0(а,р),а,р)МО (3)

Выход преобразователя (Г, 4) определяется соотношением

№= |ю(а,р,/)фа|5 = цар({а,р}-кк(а,р),а,р]«(0 = 1). (4)

а<р

Преобразователь Митинского Рассматривается однопараметрическое семейство и (И) (0 < /г < со) упоров с равным 1 модулем упругости и пределами текучести ±И

Задается неубывающая непрерывная слева функция Е = Е(А)(А>0), удовлетворяющая условиям

1ипН(А) = 0 (5)

Й-*»

И

00

|Н(й)|</А<оо. (6)

о

Из (5) вытекает, что функция Е(И) принимает неположительные значения Условие (6) равносильно условию

jhdZ(l0 <00 (7)

о

Вводится Z, совокупность непрерывных функций z(h) (h > 0), удовлетворяющих неравенству | z(h) \<h, (0 < h < 00)

Пары {u,z(h)}, где и не(-со,оо) и z(h)eZ, рассматриваются как множество Q(fV) возможных состояний преобразователя W, входно-выходные соответствия которого описываются равенством

об

о

а переменное состояние {u(t),z(h,t)} определяется равенством

z{hJ) = Q[t,,z,(h)^m = U[t,,z,(h),h]uit) (/>/„) (9) Интеграл в правой части формулы (8) понимается как несобственный

« А

\U[tCi,za(h),hW)d^(h) = lim \U[t„z,

(h),li)fi(t)dE(h), причем под знаком пре-

0 ~>Х о

дела используется обычный интеграл Римана - Стилтьеса

Рассмотренные преобразователи находят широкое применение в задачах физики, теории автоматического регулирования, экономики

Приведены примеры систем дифференциальных уравнений, динамика которых описывается гистерезисными нелинейностями, в которых могут возникать резонансные явления

Первый пример - электромагнитная система, показанная на рис 1

1 - звуковой генератор, 2 - генератор прямоугольных импульсов, 3 - осциллограф, 4 - анализатор спектра, Cfi - емкость еегнетоэлектричеекого образца - носителя гистерезисных явлений, L - линейная индуктивность, С,: - линейная емкость (С0 » C/t ), R - омическое сопротивление, Ux - напряжение, подаваемое на входе "ЛГ" осциллографа, пропорциональная индуктивность образца D(l), Uy - напряжение, подаваемое на вход Y осциллографа и пропорциональное скорости изменения индуктивности образца

Рис 1 Электромагнитная система последовательный резонансный RLC -контур, используемый для наблюдения вынужденных хаотических колебаний

Уравнение, описывающее динамику изменений индуктивности сегнетоэлектричеекого образца й, имеет вид

¿5 11 I

где h - толщина сегнетоэлектрического образца, S — площадь его обкладок, Uexr - внешнее напряжение, Ек - напряженность электрического поля в сег-нетоэлектрическом конденсаторе Соотношение

Efi=Efe(D)

описывает зависимость гистерезисного типа напряженности между обкладками сегнетоэлектрического конденсатора и его индуктивности

Второй пример - дипольные колебания молекулы, вращающейся вблизи проводящей среды Дипольные колебания рассматриваются в модели двухуровневого квантового осциллятора и в модели нелинейного полуклассического осциллятора Учитываются реакция излучения и действие диполя-изображения Параметрическая неустойчивость может развиваться, начиная с квантовых флуктуаций и для ее существования необходимо, чтобы

1 плоскость вращения молекулы не была параллельна металлической плоскости,

2 расстояние между молекулой и плоскостью была порядка или много меньше длинны волны излучения (так называемая ближняя зона),

3 частота вращения находилась в резонансе Матье с частотой дипольных колебаний

Уравнение колебаний молекулы - диполя с частотой и0 зарядом е и массой т

+ u ¡p = ^{Efree+Eb+Ep),

где Еь - границы раздела сред, Efree - реакция излучения, Ер - напряженность электрического поля, описываемая зависимостью гистерезисного типа

Во второй главе работы исследуется диссипативность систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями, доказываются основные теоремы Изучаются резонансные свойства дифференциальных уравнений, содержащих гистерезисные нелинейности

Рассмотрено линейное уравнение с постоянными коэффициентами

х + 25х + и ¡x = f(t) (10)

Попробуем математически строго сформулировать условие резонанса Решение уравнения (10) получается, как известно, представлением /(?) в виде / (7) = г/eos со,/ + ¿>sm оу + Д(/), где Д(/) - члены, не содержащие cosco 0t и sinoy, ортогональные к ним Тогда x = (a75)sinffl0/-(A/5)coscy + Á(/), где Á(t) - нерезонансные члены, дающие вынужденные колебания Если теперь 5 —> 0, то резонансные члены будут стремиться к бесконечности, а нерезонансные члены останутся конечными Таким образом, можно сформулировать критерий классического гармонического резонанса пусть на систему действует сила 5 ф('), тогда, как это следует из уравнения (10), которое принимает вид

(11)

если при 8 —> 0 установившееся вынужденное колебание остается конечным и отличным от нуля, то имеет место резонанс Решением будет одно из решений уравнения

х + = 0,

т е одно из собственных колебаний гармонического резонатора Этот анализ сущности гармонического резонанса и лежит в основе теории резонанса в системах с периодическими параметрами, развитой учеником Л И Мандельштама Г С Гореликом

Далее рассматривается система, описывающая колебания ферромагнитного шарика в магнитном поле, а также являющаяся математической моделью некоторых биологических и экономических систем,

х+и2дх = Ь 51п(и/) + Г[ш0] х, х(0) = хо, х(0) = х„ где л(г)(?>0) - скалярная функция, Ь - постоянный параметр, Г[ш0]- гисте-резисный преобразователь, зависящий от начального состояния ш0, как от параметра

Уравнение (11) называется диссипативным, если существуют такие константы с1,г, что для любых начальных значений х(0) = хо и х(0) = х1, удовлетворяющих условиям |х0|<г, |х,|<г, решение х(1) уравнения (11), им отвечающее, будет удовлетворять неравенству |дг(г)| + |х(г)| < (/ > 0) Таким образом, система обладает диссипативностью, если найдется такая область в фазовом пространстве и согласованная с ней область в пространстве состояний гистерезисного преобразователя, что решение, начавшееся в этой области, не уходит в бесконечность

Теорема 1. Найдутся такие константы 6, и Ьг, что для любых Ь, таких что [¿| < А, уравнение (11) диссипативно, и если Ь>Ь2 уравнение (11) недис-сипативно

Комментарий к Теореме 1 константы ¿>, и Ь2 - функции площади петли гистерезиса В общем случае для неидеального реле соответствующий результат доказан аналитически Этот факт подтвержден экспериментально Полученная экспериментальная зависимость обезразмеренна, аппроксимирована и представлена на рис 2

ъ.

1 /Я" а

1 5(петли)

\ш

Рис 2

2ж/т„

Рис 3

На рис 3 представлена качественная зависимость энергии осциллятора, описываемого уравнением (11) от времени (в безразмерном виде)

Пусть гистерезисный преобразователь является обобщенным люфтом Г = ¿[ГГ,Г,], определяющие функции которого и = Гг(х) и и = Т,(х) удовлетворяют условиям hm Гг (х) = +оо, hm Г, (х) = -со, Г, (х) - Гг (х) > а > О

Теорема 2. Пусть Г[ю0] в уравнении (11) - обобщенный люфт с направляющими кривыми ш = Гг[л],ш = Г,[л]м при некотором а>0 выполняются неравенства

hm Г (*)ЬсГ >0. bin Г.(х)Ы~а < 0

Тогда уравнение (11) диссипативно

Комментарий к Теореме 2 В рассматриваемом случае S„emu =оо Рассмотрены модели систем, динамика которых описывается уравнениями

z = Az + b (ф(г) + Я0), (12)

Я0 = ГКМ0, (13)

x(t) = z(t) с (14)

где teR— время, z{t) — вектор-функция со значениями в R , А — постоянная матрица размерности их и, Ь,с — фиксированные векторы из Rn Уравнение (13) описывает входно-выходные соответствия гистерезисного преобразователя, более подробное описание которого будет приведено ниже, ip(i) - скалярная Т - периодическая функция с нулевым средним

Уравнения (12) - (14) описывают динамику системы автоматического регулирования, обратная связь которой включает в себя гистерезисный преобразователь, и на вход которой поступает периодический сигнал <р(г)

Вектор z(t) трактуется, как переменное состояние линейного звена, x(t) - выход

Основное внимание уделено вопросу о диссипативности системы (12) -(14) в ситуации, когда спектр линейной части системы совпадает со спектром внешнего периодического воздействия Система (12) - (14) называется дисси-пативной, если существует такое р>0, что для всех г>0будет верно соотношение

hm sup (|r(r)|+|K0|)^P.

MfEii

где Q - пространство состояний гистерезисного преобразователя Здесь и далее начальные состояния со0 и z0 предполагаются согласованными, в том смысле, что для преобразователя Г[со0], находящегося в начальном состоянии со0, вход x(t), (t > 0) является допустимым

Пара неубывающих функций у = и_(х) и у = и^(х)называется правильной, если существуют такие х_, и у_, у., что

и_(х) = и.(х) = у_,(х<: х_), и_(х) = к+ (х) = у+,(х>х^)

и

«. (л) ^ К+ (X), X е (-00, +00) и, |(м+ (л) - и_ (х)) ск = и0> О

-«О

Оператор Г называется согласованным с парой и_(х),и+{х), если при некотором М > 0 для функции х(0, невозрастающей на промежутке из соотношений х(/0)>М, *(?,)<-А/ вытекает справедливость равенств у(/) = и+(х(1)). Аналогично, для неубывающей функции *(/), из соотношений л(/0) < —Л/, > Л/ вытекает равенство у(1) = и_(х(/)) Операторы, соответствующие неидеальному реле, обобщенному люфту с насыщением, преобразователю Прейсаха с финитным носителем меры, является согласованными с некоторыми парами функций

Пусть оператор Г согласован с некоторой правильной парой функций. Для периодических входов с достаточно большой амплитудой (и нулевым средним) петля гистерезиса описываемая в координатах дг, ^,>(<) = Г[ю0], обегается против хода часовой стрелки. Поэтому, «гистерезисная» часть системы (12) - (14) способствует уменьшению амплитуды колебаний решений, с другой стороны, резонансное слагаемое ср(/) способствует неограниченному возрастанию амплитуды колебания решения Сравнение интенсивности этих факторов с математической точки зрения можно трактовать как вопрос о дис-сипативности системы (12) - (14).

Предполагается, что матрица А имеет два мнимых комплексносопряжен-ных собственных числа = ±2л//Г, а остальной спектр лежит в левой полуплоскости

Через Р обозначен оператор ортогонального проектирования на инвариантное для матрицы А подпространство, соответствующее мнимым собственным числам В ситуации, когда Р-Ь = 0 система заведомо диссипативна Ниже рассматривается случай, когда Р Ь* О

Пусть весь спектр матрицы А, за исключением двух чисто мнимых собственных чисел, лежит в левой полуплоскости Пусть ряд Фурье функции ф(г) содержит гармоники резонансной частоты, тогда верна теорема.

Теорема 3. Существуют такие константы С, и С2, что при выполнении неравенства ¡¡ф(/)|^ <С, система (12) - (14) диссипативна, а при выполнении ||ф(/)||^ ] > С2 недиссипативна

Третья глава посвящена изучению резонансных свойств моделей, которые сводятся к уравнениям подобным уравнениям Матье с гистерезисными нелинейностями

Основной моделью в теории параметрических колебаний в линейных системах служит уравнение Матьё

дг + и„(1 + / созсо/)д: = 0, (15)

которое представляет собой уравнение линейного осциллятора с гармоническим параметрическим возбуждением Важно отметить следующие его свойства. На плоскости параметров амплитуда — частота воздействия существуют зоны неустойчивости, которые расположены в окрестности резонансных частот

и«2и 0/и (16)

Введена новая независимая переменная т = и//2 Тогда уравнение (15) можно переписать в виде

х + (а + 2<? со$2т)* = 0, где а = 4и„ / и2, д = 2и„/ / и2. Зоны неустойчивости на плоскости параметров

для уравнения Матье Цифры 1-5 соответствуют номерам резонансов

В новых переменных резонансное условие (16) принимает вид а » пг

Отмечены следующие отличия от резонанса при вынужденных колебаниях. во-первых, малая расстройка (в пределах зоны неустойчивости) не может стабилизировать неустойчивость, тогда как при вынужденных колебаниях амплитуда нарастает до бесконечности только в случае точного резонанса и = и0 Кроме того, нарастание амплитуды параметрических колебаний происходит по экспоненциальному закону, а не по линейному

Добавление линейного затухания также не стабилизирует неустойчивость, а лишь сужает границы зон (на рис 4 они показаны штриховой линией) В связи с этим рассмотрено уравнение

у + 2уу + (Ь + 2дсо52х)х = 0 (17)

Чтобы решение уравнения (17) было неустойчивым, необходимо, чтобы соответствующее решение уравнения (15) нарастало как ер\ где р> у Поэтому границы зон неустойчивости сдвигаются вверх Поскольку амплитуда воздействия должна превышать некоторое пороговое значение (которое увеличива-

ется с ростом номера резонанса), то неустойчивость носит пороговый характер

Рассмотрены уравнения, подобные уравнениям Матье, содержащие аддитивную нелинейность гистерезисного типа* + (5 + е cos(2i))* = u(f), (18)

н(О = Г[«о0]х(/),

х(0) = хо, х(0) = дг„ где x(t) - скалярная функция, 5,е - скалярные параметры, Г[ш0] - гистере-зисный преобразователь, относительно которого сделаем предположение петля гистерезисного преобразователя при периодическом входе обегается против часовой стрелки и ее площадь растет пропорционально ер' при t +00 В простейшем случае этот преобразователь соответствует неидеальному реле, пороговые числа которого а(/) и Р(/) определяются равенствами

сс(/) = -<Л т = ер' (р> 0) Другой пример такого преобразователя дает обобщенный люфт с наименьшим, определяющие кривые зависят от времени по закону « = Г,(;< + е"'), и = Гг(х-ер') Теорема 4. Пусть гистерезисный удовлетворяет приведенному выше условию Тогда для любого 5 > 0 существует такое в, > 0, что для любого s, удовлетворяющего неравенству s < е,, система (18)- (19) диссипативна

Замечено, что для классического уравнения Матье (без гистерезисной нелинейности) в любой окрестности точки (и2,0) на плоскости (ô,s) можно указать такие (5,б), что уравнение (18) недиссипативно

На Рис 5 показаны зоны неустойчивости для системы (18) - (19), когда гистерезисный преобразователь совпадал с неидеальным реле пороговые числа которого изменяются по закону Р(/) = -а(/) = е~2'

Одна из классических физических моделей приводящая к появлению параметрического резонанса - колебательный контур, в котором переменная емкость ступенчато изменялась с периодом равным половине периода собст-

венных колебаний Оказалось, что параметрический резонанс возникает в ситуациях, когда параметры системы изменяются по «гистерезисному» закону Рассмотрим уравнение, подобное уравнению Матье, вида*

х + (а + Ь Л[соо,а;Р])х = 0, (20)

где x{t)(t> 0) - скалярная функция, а - постоянный параметр, /?[<о0,а;Р]-гистерезисный преобразователь, неидеальное реле с пороговыми числами а и р

Параметры системы таковы, что если гистерезисный преобразователь «срабатывает», то в уравнении (20) реализуется параметрический резонанс

В зависимости от значений параметра а и пороговых чисел а и Р неидеального реле, уравнение (20) может обладать или не обладать свойством диссипативности

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Для класса моделей систем, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка с резонансной правой частью и аддитивной гисте-резисной нелинейностью выявлена зависимость наличия резонанса от амплитуды внешнего воздействия.

2 Получены условия, обеспечивающие дисипативность класса моделей параметрически возбуждаемых систем, описываемых уравнениями типа уравнений Матье с гистерезисными нелинейностями

3 Для уравнений Матье с аддитивными гистерезисными нелинейностями предложен алгоритм построения областей устойчивости (неустойчивости)

4 Для класса моделей систем автоматического регулирования с гистерезис-ной обратной связью, находящейся под внешним воздействием резонансной частоты, получены условия, обеспечивающие диссипативность, а также недиссипативность

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в гаданиях, определенных ВАК РФ по научной специальности диссертационной работы

1 Семенов, MEO диссипативности одного класса систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями [Текст] / М Е Семенов, П В Толоконников, О И Канищева, J1В Кутепова // Системы управления и информационные технологии -2006 -№1 (23) -С. 101-104

Другие публикации

2 Антюшин, В Ф. Диффузионно-дрейфовая модель динамического гистерезиса в двухъямном потенциале [Текст] / В Ф Антюшин, М Е. Семенов, П В Толоконников // Двенадцатая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам Шестой всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике «Обозрение прикладной и промышленной математики» осенняя «открытая» сессия / Журнал «ОПиПМ» - Москва, 2005. - Ч 1. С 697

3 Семенов, М Е. Численно-аналитический метод приближенного построения периодических режимов в системах автоматического регулирования с гис-терезисными нелинейностями [Текст] / МЕ Семенов, О И Канищева, П В Толоконников // Обозрение прикладной и промышленной математики -М -2006 -Т 13 -Вып 5-6 -С 731-732

4. Семенов, МЕ. Резонансные свойства одного уравнения с гистерезисной нелинейностью [Текст] / М Е Семенов, О И Канищева, П В Толоконников И Современные методы теории краевых задач Материалы Воронежской весенней математической школы - международной конференции "Понтрягинские чтения - XVII" - Воронеж ОАО "ЦентральноЧерноземное книжное издательство", 2006 - 222с

5 Толоконников, ПВО диссипативности одного класса систем с гистере-зисными нелинейностями, находящиеся под внешним воздействием резонансной частоты [Текст] / П В Толоконников, А Н Гулин, В Я Макаре-вич, Т В Рудченко // Экономическое прогнозирование модели и методы Материалы международной научно-практической конференции 30-31 марта2006г - Воронеж ВГУ,2006 - Ч 2 -С 29-33

6 Толоконников, П В Устойчивые периодические решения САР с гистере-зисными нелинейностями [Текст] / П В Толоконников, М Е Семенов // Материалы международной научно-практической конференции «Образование, наука, производство и управление» 23-24 ноября 2006г / Московский институт стали и сплавов - Ст Оскол,2006 -Т4 С 356-361

7 Семенов, М Е Условия существования устойчивых периодических решений систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями [Текст] / М Е Семенов, П В Толоконников // Материалы третьей международной научно-технической конференции «Современная металлургия начала нового тысячелетия» с 31 октября по 3 ноября 2006г / Липецкий государственный технологический университет - Липецк, 2006 -43 С 127-132

8 Толоконников, П В Параметрические колебания нелинейных систем с гистерезисными нелинейностями [Текст] / П В Толоконников // Материалы международной научной конференции «Сложные системы управления и менеджмент качества СС5<ЗМ'2007» 12-14 марта 2007г Староосколь-ский технологический институт (филиал) Московского института стали и сплавов-Ст Оскол, 2007 - С 126-127

9 Толоконников, П В Диссипативность систем [Текст] / П В Толоконников // Материалы международной научно - практической конференции «Образование, наука, производство и управление» 22-23 ноября 2007г / Ста-рооскольский технологический институт (филиал) Московского института стали и сплавов - Ст Оскол, 2007 -Т4 С 46-56

Подписано в печать 12 05 2008 г Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная Гарнитура Тайме Ризография Уел печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ № 1069 ГОУВПО «Воронежская государственная технологическая академия» (ГОУВПО «BITA») Участок оперативной полиграфии ГОУВПО «ВГТА» Адрес академии и участка оперативной полиграфии 394000, г Воронеж, пр Революции, 19

Введение

Глава 1 Постановка задачи и краткий обзор способов ее решения

1.1 Постановка задачи для систем дифференциальных уравнений

1.2 Обзор работ на тему гармонического и параметрического резонанса f 1.3 Гистерезисные преобразователи

1.3.1 Обобщенный люфт

1.3.2 Неидеальное реле

1.3.3 Преобразователь Прейсаха

1.3.4 Преобразователь Ишлинского 26 t 1.4 Диссипативность

1.4.1 Свободные колебания диссипативных систем

1.4.2. Диссипативные системы с конечным числом степеней свободы

1.5 Понятие резонанса

1.5.1 Гармонический резонанс

1.5.2 Параметрический резонанс

Глава 2 Диссипативность систем дифференциальных уравнений с гисте-резисными нелинейностями

2.1 Определение диссипативности систем и устойчивости систем по Лагранжу

2.2 О диссипативности одного класса систем с гистерезисными нелинейностями

2.3 О диссипативности одного класса систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями

Глава 3 Исследование резонансных свойств уравнения Матье, содержа! щих гистерезисные нелинейности

3.1 Физические (механические и электрические) процессы, приводящие к уравнениям, в которых возможен параметрический резонанс

3.1.1 Механические процессы, приводящие к уравнениям, в кото! рых возможен параметрический резонанс 76 1 3.1.2 Электрические процессы, приводящие к уравнениям, в которых возможен параметрический резонанс

3.2 Анализ классического уравнения Матье и его возможные обобщения

3.2.1 Гармоническое параметрическое возбуждение. Области неустойчивости'уравнения Матье — 83 5 3.2.2 Определение областей неустойчивости уравнения' Матье —

Хилла в общем случае

3.2.3 Влияние диссипации на устойчивость параметрически возii буждаемых систем

3.3 Постановка задачи для уравнений типа Матье с гистерезисными нелинейностями

3.4 Численная реализация решения уравнения Матье с гистерезисными нелинейностями, блок-схема, результаты

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многие модели процессов и систем прикладных задач физики, теории автоматического регулирования, экономики, биологии и т.д. сводятся к системам дифференциальных уравнений, содержащим помимо обычных функциональных нелинейностей - нелинейности гистерезисной природы (колебания ферромагнитного шарика в магнитном поле; электромагнитные колебания в контуре, содержащем сегнетоэлектрические конденсаторы; экономические циклы в условиях «гистерезисного» поведения экономических агентов, системы автоматического регулирования, обратная связь которых включает гистерезисные звенья). Одним из аспектов исследования этих моделей является изучение их резонансных свойств. В частности, важную практическую роль играет диссипативность систем - наличие области в фазовом пространстве систем, обладающей тем свойством, что всякое решение, исходящее из нее остается ограниченным при неограниченном возрастании времени. Особую важность приобретает эта задача в ситуации, когда система находится под периодическим воздействием резонансной частоты. Вопросу изучения резонансных свойств систем дифференциальных уравнений в условиях, когда правая часть периодична, посвящено достаточно много работ (С.П. Кузнецов, И.Д. Папалески, В.В. Болотин, Н.В. Жинжер, М.А. Красносельский, А.В. Покровский, Д.И. Рачинский и многие другие). Диссипативность моделей в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений посвящены работы А.А. Андронова, JL Чезари, Р.А. Нелепина, С.П. Кузнецова, И.Д. Папалески, В.В. Болотина, A.M. Красносельского, А.В. Покровского, М.Е. Семенова и ряда других ученых.

В последнее время существенно возрос интерес к системам, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями со сложными нелиней-ностями, в том числе и гистерезисной природы. Это обуславливается необходимостью как можно более полного и адекватного моделирования реальных физических, экономических, биологических и других систем.

Однако, к настоящему времени отсутствуют эффективные методы анализа моделей систем с гистерезисными нелинейностями, с периодической правой

частью резонансной частоты. Возможность создания таких методов основывается на развитой М.А. Красносельским, А.В. Покровским и их учениками, операторной трактовке гистерезисных нелинейностей. В связи с вышеизложенным, является актуальной задача изучения резонансных свойств моделей систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями.

Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления кафедры ПМиЭММ Воронежской государственной технологической академии — «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» № г.р. 01200003664.

Цель работы. Исследование резонансных свойств моделей систем с сосредоточенными параметрами, описываемых дифференциальными уравнениями с гистерезисными нелинейностями.

Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач: -выделение класса моделей систем с периодическим внешним воздействием, описываемых дифференциальными уравнениями с гистерезисными нелинейностями;

-выявление зависимости гармонических резонансных свойств систем с гистерезисом от амплитуды внешнего периодического воздействия; -формулировка и доказательство теорем об областях диссипативности моделей систем с гистерезисными нелинейностями; -построение областей устойчивости (неустойчивости) параметрически возбуждаемых систем с гистерезисом; численные эксперименты и апробация предложенных алгоритмов.

Методы исследования. При выполнении работы использовались операторная трактовка гистерезиса, качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического регулирования, нелинейный анализ, численные методы решения дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

-условия диссипативности (а также недиссипативности) класса уравнений, являющиеся математическими моделями систем с гистерезисными свойствами, находящиеся под внешним воздействием резонансной частоты;

- условия, обеспечивающие диссипативность выделенного класса уравнений (типа уравнений Матье) с аддитивными гистерезисными нелинейностями;

-алгоритм построения областей устойчивости (неустойчивости) уравнений Матье с гистерезисными нелинейностями;

- условия, обеспечивающие диссипативность класса моделей систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью. Практическая ценность работы. Глобальные характеристики наличия или отсутствия резонанса, приведенные в работе, позволяют на этапе проектирования технических систем прогнозировать их резонансные свойства. Результаты работы применимы для анализа и построения областей диссипативности систем, математические модели которых сводятся к системам дифференциальных уравнений, в том числе и с гистерезисными нелинейностями. Предложенные в работе алгоритмы и условия позволяют проводить этот анализ и исследование резонансных свойств.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (г.Сочи - Дагомыс, октябрь 2005 г.), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г.Воронеж, декабрь 2005 г.), «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г.Воронеж, март 2006 г.), XLIV отчетной научной конференции за 2006 год (г.Воронеж, апрель 2006 г.), международная научно-практическая конференция: «Образование, наука,-производство и управление» (Московский институт стали и сплавов - г.Ст.Оскол ноябрь 2006 г.); ИГ международная научно-техническая конференция: «Современная металлургия начала нового тысячелетия» (Липецкий государственный технологический университет - г.Липецк ноябрь 2006), международная научная конференция: «Сложные системы управления и менеджмент качества CCSQM'2007» (Старооскольский технологический институт (филиал) Московского института стали и сплавов,— 5 г.Ст. Оскол март 2007г.), международная научно — практическая конференция: «Образование, наука, производство и управление» (Старооскольский технологический институт (филиал) Московского института стали и сплавов — г.Ст. Оскол ноябрь 2007г.), научно — техническая конференция ОАО «ОЭМК» (ноябрь 2007г.), на семинарах кафедры ПМиЭММ ВГТА и кафедры АиПЭ СТИ-МИСиС за 2005, 2006 гг.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 9 печатных работ. Из них одна - статья в научных журналах, включенных в "Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук".

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, состоит в следующем: построение областей диссипативности для различных классов моделей систем [66], [70], [71], [74]; доказательства утверждений о реализуемости предложенных алгоритмов [1], [62], [68], [72],; исследование резонансных свойств уравнений с гистерезисными нелинейностями [66], [67], [68], [73], [74], [75].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и списка литературы, включающего 85 наименований, изложена на 115 страницах и включает 35 рисунков.

Заключение

В работе исследованы резонансные свойства систем с гистерезисными нелинейностями. Получены условия диссипативности одного класса систем с гистерезисными нелинейностями, систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями. Исследованы резонансные свойства уравнений Матье, содержащих гистерезисные нелинейности.

Перечислим основные результаты, полученные в работе:

1. Проведен анализ и получены условия диссипативности одного класса уравнений, являющиеся математическими моделями систем с гистерезисными свойствами.

2. Получены условия, обеспечивающие дисипативность одного класса уравнений (типа уравнений Матье) с гистерезисными нелинейностями.

3. Для уравнений Матье с гистерезисными нелинейностями предложен численный алгоритм построения областей устойчивости (неустойчивости).

4. Для одного класса моделей систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью получены условия, обеспечивающие дисипативность.

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В .И: Арнольд. М. : Наука, 1974. - 431 с.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. -М. : Наука, 1975. 240 с.

3. Ахиезер Н.И. Элементы теории аппроксимации / Н.И. Ахиезер.ч — М. : Наука, 1965.-407 с.

4. Байге X. Детерминированный хаос и сегнетоэлектричество / X.Байге, М. Дистельхорс, С.Н. Дрождин // Материалы семинаров НОЦ "Волновые процессы в неоднородных средах". — 2003. — С. 9-22.

5. Боголюбов Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. -М. : Физматгиз, 1963. 503 с.

6. Болотин В.В. Численный анализ устойчивости линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. / В.В. Болотин: Избранные проблемы прикладной механики. М., изд. ВИНИТИ, 1974, с. 155—166.

7. Воронов А.А. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость / А.А. Воронов. М. : Наука, 1979. - 335 с.

8. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ / Б.З. Вулих. М. : Наука, 1967.-416 с.

9. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний / В.Д. Горяченко. М. : Высш. шк., 2001. — 395 с.

10. Гребенников Е.А. Новые качественные методы в нелинейной механике / Е.А. Гребенников, Ю.А. Рябов. М. : Наука, 1971. - 432 с.

11. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. М. : Наука, 1966. - 664 с.

12. Жинжер Н.И. О дестабилизирующем влиянии трения на устойчивость неконсервативных упругих систем . / Н.И. Жинжер «Изв. АН СССР. МТТ», 1968, № 3, с. 44—47.

13. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М. : Наука, 1976. - 576 с.

14. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. -М. : ИЛ, 1958. 476 с.

15. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями / Л. Коллатц. — М. : Наука, 1968. 500 с.

16. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М. : Наука, 1976. - 542е.

17. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного* анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко — М. : Наука, 1975, 325 с.

18. Красносельский М.А. Нелинейные почти периодические колебания / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов М. : Наука, 1970. -351 с.

19. Красносельский М.А. Системы с гистерезисом / М.А. Красносельский, А.В. Покровский М.: Наука, 1983. - 271с.

20. Красносельский М.А. Векторные поля на плоскости / Красносельский М.А. и др.. М. : Физматгиз, 1963. - 248 с.

21. Красносельский М.А. К теории периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский // "УМН". 1966. -21, №3.-С. 53-74.

22. Красносельский М.А. О применении методов нелинейного функционального анализа в задачах о периодических решениях уравнений нелинейной механики / М.А. Красносельский // "ДАН СССР". 1956. - т. 111, № 2. -С. 283-286.

23. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Наука, 1966. -332 с.

24. Красносельский М.А. О некоторых признаках существования периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, А.И. Перов // "Труды Междунар. симпозиума по нелин. колеб.". 1963. - № 2 - С. 202-211.

25. Красносельский М.А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, А.И. Перов // "ДАН СССР". 1958. - т. 123, № 2. - С. 235-238.

26. Красносельский М.А. О некоторых признаках существования периодических решений у обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин // "ДАН СССР". 1964. - т. 156, № 5. -С. 1022-1024.

27. Красносельский М.А. О вычислении вращений вполне непрерывных векторных полей, связанных с задачей о периодических решениях дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин "ДАН СССР". 1963.-т. 152, №3.-С. 540-543.

28. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, А.В. Соболев М.: Наука, 1985. - 256 с.

29. Красносельский М.А. Математическая теория систем / под ред. М.А. Красносельского. М. : Наука, 1986. - 166 с.

30. Красносельский М.А. О динамике систем управления, описываемыхуравнениями параболического типа с гистерезисными нелинейностями /

31. М.А. Красносельский, А.В. Покровский, Ж. Тронель, В.В. Черноруцкий // Автоматика и телемеханика. 1992. -№ 11.- С. 65-71.

32. Красносельский A.M. О континуумах циклов в системах с гистерезисом / A.M. Красносельский, Д.И. Рачинский // Доклады РАН. 2001. - т. 378, №3.-С. 314-319.

33. Красносельский A.M. О существовании циклов у квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка / A.M. Красносельский, Д.И. Рачинский // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 2001. -т. 5, № 1-2.-С. 143-151.

34. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. М. : Наука, 1965. - 520 с.

35. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский. Киев : Наукова думка, 1966. - 305 с.

36. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний / Ю.А. Митропольский. М. : Наука, 1964. - 431 с.

37. Митропольский Ю.А. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием / Ю.А. Митропольский, Д.И. Мартынюк. Киев : Изд-во Киевского унта, 1969.-309 с.

38. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний / Ю.И. Неймарк. М. : Наука, 1972. - 471 с.

39. Нелепин Р.А. Об исследовании точными методами систем с двумя нелинейными элементами / Р.А. Нелепин. Изв. вузов, Радиофизика, 1965. -№3.

40. Нелепин Р.А. Об исследовании нелинейных автоматических систем высокого порядка точными аналитическими методами / Р.А. Нелепин // Докл. АН СССР.-1965.-т. 161.-№4.

41. Нелепин Р.А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем / Р.А. Нелепин. Л.: Судостроение, 1967. - 447 с.

42. Нелепин Р.А. Динамика одного класса систем автоматического управления при учете типовых нелинейностей / Р.А. Нелепин // сб. трудов ЛВВМИУ. 1969. - Вып. 32.

43. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / под ред. Р.А. Нелепина. М.: Наука, 1975. — 448 с.

44. Алгоритмический синтез нелинейных систем управления J под ред. Р.А. Нелепина. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990. - 235 с.

45. Ортега Дж. Итерационные методы решения-нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. — М. : Мир, 1975. — 560 с.

46. Перов А.И. О задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений / А.И. Перов // в сб. "Приближенные методы решения дифференциальных уравнений", Вып. 2 — Киев : Наукова думка, 1964. -С. 115-134.

47. Перов А.И. Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / А.И. Перов, А.В. Кибенко. Воронеж : ВГУ, 1969. —52 с.

48. Перов А.И. Периодические колебания / А.И. Перов. — Воронеж : ВГУ, — 1973.-50 с.

49. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов. Воронеж: ВГУ, 1981. - 196 с.

50. Перов А.И. Об одном методе приблиэ/сенного отыскания периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений / А.И. Перов // Вестник факультета ПММ. Воронеж, 2003. - Вып. 4. - С. 89-97.

51. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В.А. Плисе. — М.; Л. : Наука, 1964. 368 с.

52. Покровский А.В. Корректные решения уравнений с сильными нелинейностями / А.В. Покровский // "ДАН СССР". 1984. - т. 274, № 5. - С. 1037-1040.

53. Покровский А.В. Системы с сильными нелинейностями / А.В. Покровский // В кн.: Математическая теория систем. М. : Наука, 1989, С. 96 -112.

54. Покровский А.В. Устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями / А.В. Покровский, М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. 1990. - № 2. — С. 31-37.

55. Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования / Е.С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. — 1968.—№ 6. — С. 5-36.

56. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем дифференциальных уравнений / A.M. Самойленко // Укр. мат. журн., 1965. т. 17, № 4. - С. 82-93.

57. Самойленко A.M. Численно-аналитические методы исследования периодических решений / A.M. Самойленко, Н.И. Ронто. Киев : Вища школа, 1976. -180 с.

58. Самойленко A.M. Численно-аналитические методы в теории периодических решений уравнений с частными производными / A.M. Самойленко, Б.П. Ткач. Киев: Наук думка, 1992.-208 с.

59. Семенов М.Е. О континуумах вынужденных устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. -1994. -№ 8. С. 82-86.

60. Семенов М.Е. О континуумах периодических режимов в системах управления / М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. 1994. — № 8. -С. 95-97.

61. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с абстрактным гисте-резисным преобразователем / М.Е. Семенов // Вестн. Воронеж, гос,. унта, Естеств. Науки. -1998. -№2. С. 71-77.

62. Синицкий Л. А. Методы аналитической механики в теории электрических цепей/ Л .А. Синицкий. Львов : Вшца школа, 1978. - 138 с.

63. Толоконников П.В. О сходимости метода Пикара для дифференциальных уравнений с гистерезисньши нелинейностями / П.В. Толоконников,108

64. А.Н. Гулин // Материалы. XLIV отчетной научной конференции за 2006 год / Воронежской государственной технологической академии. — Воронеж, 2006.-4.2. С. 99.

65. Трубников Ю.В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями / Ю.В. Трубников, А.И. Перов. Минск : Наука и техника, 1986. -199 с.

66. Розенвассер Е.Н. Колебания нелинейных систем / Е.Н. Розенвассер. -М. : Наука, 1969. 576 с.

67. Харди Г.Г. Неравенства / Г.Г. Харди, Д.Е. Литтльвуд, Г. Полна. М. : ГИИЛ,- 1948.-456 с.

68. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. Хейл. — М. : Мир, 1966.-234 с.

69. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. — М. : ГИ-ИЛ, 1964. — 480 с.

70. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с гистерезисной нелинейностью / В.А. Якубович // "ДАН СССР".- 1963.-т. 149, №2.

71. Якубович В.А., Стиржинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. / Якубович В.А., Стиржинский В.М. //М.: Наука, 1972.

72. Kalman R. Remaks on some control system. / Kalman R. // Com. Pure Appl. Math., 1962. V. 12, p. 112 - 126.

73. Ronto M. Numerical-Analitic Methods in the Theory of Boundary-Value Problems / M. Ronto, A.M. Samoilenko. New-York : World Scientific Publishing, 2001.-456 c.

74. Visintin A. Hyperdolic equations and hysteresis / A. Visintin. C.R. Acad. Sc. Paris. - 2001. - Serie I. - P. 315-320.