автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели нестационарной бифуркации в условиях групповой симметрии

На правах рукописи

МАКАРОВ МИХАИЛ ЮРЬЕВИЧ

МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ БИФУРКАЦИИ В УСЛОВИЯХ ГРУППОВОЙ СИММЕТРИИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических нау

Ульяновск - 2004

Работа выполнена на кафедре "Высшая математика" Ульяновского государственного технического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Б. В. Логинов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Е. В. Воскресенский кандидат физико-математических наук, доцент С. А. Гришина

Ведущая организация: Московский государственный университет

Зашита состоится 2 июня 2004 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.277.02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу: 432027, г.Ульяновск, ул.Северный Венец, 32, ауд.211.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Ульяновского государственного технического университета.

Автореферат разослан 29 апреля 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного сов

им. М.В.Ломоносова

доктор технических наук, Профессор

В. Р. Крашенинников

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Основу математического моделирования критических явлений составляют сингулярные задачи качественной теории дифференциальных уравнений и методы группового анализа.

Сингулярные задачи встречаются в теории волновых движений жидкости, фазовых переходах в физических системах, общей теории колебаний механических систем, математической биологии. В стационарных критических явлениях это задачи теории ветвления, когда линеаризованный на известном решении оператор не является обратимым. В нестационарном случае - это задачи теории аттракторов эволюционных уравнений. Простейшими из аттракторов являются предельные циклы, рождение которых происходит при бифуркации Андронова-Хопфа, т.е. при нестационарном ветвлении решений нелинейных уравнений. Теория ветвления решений нелинейных уравнений как отдельное направление в качественной теории дифференциальных уравнений возникла на рубеже XIX-го и ХХ-го столетия в прикладных задачах математического описания возможных фигур равновесия вращающейся жидкой массы (А.М.Ляпунов, А.Пуанкаре), а также в общей теории интегральных уравнений (Э.Шмидт). В первой четверти ХХ-го столетия методами теории ветвления и конформных отображений А.И.Некрасовым (1923) была решена плоская задача о гравитационных волнах (волнах на свободной поверхности бесконечного слоя жидкости). Несколько позднее аналогичные результаты были получены Т.Леви-Чивита и Д.Стройком. Следом за ними Н.Е.Кочин решает плоскую задачу о волне на границе раздела двух жидкостей (1929). Исследование бифуркации рождения предельного цикла, т.е. возникновения периодического автоколебательного режима при потере устойчивости равновесия или стационарного движения, также восходит к работам А.М.Ляпунова (1892) и А.Пуанкаре. А.М.Ляпунов предложил метод исследования устойчивости сложных состояний равновесия динамической системы с чисто мнимыми характеристическими корнями. АААндронов открыл бифуркацию рождения предельного цикла из состояния равновесия при изменении параметров системы и указал на связь этой бифуркации с результатами работ А.М.Ляпунова. Последующее развитие теории ветвления связано с именами Л.Лихтенштейна (фигуры- рят^рд^ия воашаюшейся жидкое

ти), Н.Н.Назарова (нелинейные интегральные уравнения), В.В.Немыцкого, М.М.Вайнберга, М.А.Красносельского (теоремы существования в задаче о точках бифуркации), Э.Хопфа, Ю.Наймарка, Н.Брушлинской (рождение периодических решений в п-мерном случае), В.А.Треногина (диаграмма Ньютона и обобщенная жорданова структура линеаризованной задачи), В.И.Юдовича (использование групповой симметрии), В.А.Треногина и Н.А.Сидорова (наиболее общая теорема существования бифуркации). В бесконечномерных системах исследование бифуркации рождения цикла выполнено в работах В.И.Юдовича, М.Г.Крандалла и П.Рабиновича, Марсде-на и Мак-Кракена, Ж.Иоосса, В.А.Треногина.

Теория непрерывных групп преобразований возникла в конце 19-го столетия в работах норвежского математика Софуса Ли. В начале 20-го столетия развивается теория инвариантов групп преобразований. Теоретико-групповые методы находят многочисленные применения в теоретической физике. Однако глубокая связь математического моделирования и современного группового анализа дифференциальных (и вообще функциональных) уравнений была развита в работах новосибирской школы академика Л.В.Овсянникова. Термином "большая модель" Л.В.Овсянников называет систему соотношений математической физики - дифференциальных уравнений и дополнительных связей.

В 80-х годах Л.В.Овсянниковым была разработана "Программа подмодели", согласно которой если "большая" модель допускает некоторую группу О, то она допускает и любую подгруппу Н С О, а неподвижные элементы действия группы Н называются инвариантными Н-решениями, образующими класс решений.

Первые результаты применения групповой симметрии в теории ветвления принадлежат В.И.Юдовичу (1967), исследовавшему вместе с сотрудниками задачи многомерного ветвления в гидродинамике. Дальнейшее развитие теории ветвления в условиях групповой симметрии было продолжено Б.ВЛогиновым и В.А.Треногиным (1971), где был предложен метод группового расслоения для построения редуцированного У Р. Обзору результатов в симметрийных задачах теории ветвления до 80-го года посвящена монография Б.В.Логацова (1985).

Бифуркация рождения цикла в системах с симметрией изучалась в работах В.И.Юдовича, Д.Рюэля," А.Вандербауведе, Голубицкого и Шеффе-

pa, Б.В.Логинова и В.Л.Треногина.

Последовательное применение методов группового анализа дифференциальных уравнений в задачах теории ветвления содержится в работах Б.В.Логинова и его сотрудников. Теория С.Ли-Л.В.Овсянникова инвариантных многообразий применена здесь при построении общего вида УР по допускаемой группе.

Математическое моделирование нелинейных явлений требует также исследования устойчивости решений функциональных уравнений, моделирующих конкретные изучаемые процессы в естественно-научных дисциплинах. Основы теории устойчивости решений дифференциальных уравнений также были заложены в работах А.М.Ляпунова (1892). Дальнейшее развитие теории устойчивости связано с именами Н.Г.Четаева, Р.Беллмана, В.М.Матросова, Н.Барбашина, И.Г.Малкина и многих других российских и зарубежных ученых.

Теория многомерного ветвления по-прежнему далека от окончательного завершения и в настоящее время. Поэтому остается актуальным математическое моделирование критических явлений, описываемых сингулярными функциональными уравнениями и исследование устойчивости их решений.

Цель диссертационной работы. Целью работы является развитие теории конечномерных эквивалентов моделей нестационарной бифуркации, вычисление асимптотики рождающихся решений и исследование их устойчивости. Эта цель достигается решением следующих задач:

1. Построение конечномерных разрешающих систем бифуркационных задач Андропова-Хопфа для сингулярных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и доказательство теорем о наследовании ими групповой симметрии основной нелинейной задачи.

2. Построение общего вида уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта для различных моделей бифуркации Андронова-Хопфа определяемых групповой симметрией нелинейных уравнений.

3. Вычисление асимптотики разветвляющихся решений, представляющихся сходящимися рядами по степеням малого параметра для нестационарных бифуркационных задач о нарушении симметрии.

4. Исследование устойчивости разветвляющихся стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений в банаховых простран-

б

ствах с вырожденным оператором при старшей производной. Методы исследования. Для получения результатов работы использовались методы нелинейного функционального анализа и современный групповой анализ дифференциальных уравнений. Научная новизна положений, выносимых на защиту.

1. Теория конечномерных разрешающих систем (РС) применена впервые при исследовании бифуркации Лндронова-Хопфа для дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной в банаховых пространствах.

2. Для РС доказаны теоремы о наследовании групповой симметрии нелинейного дифференциального уравнения.

3. Построены новые хонечномерные модели нестационарной бифуркации по наследуемой ими симметрии кристаллографических групп.

4. Для модельных бифуркационных задач вычислена асимптотика семейств разветвляющихся решений.

5. Для сингулярных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах получены критерии устойчивости разветвляющихся стационарных и периодических решений. Известные ранее критерии устойчивости решений бифуркационных задач были установлены для эволюционных уравнений без вырождения при производной.

Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты вычисления асимптотики и устойчивости разветвляющихся решений могут быть применены для исследования модельных классов критических явлений вне зависимости от конкретного физического содержания нелинейных задач. Практическая значимость работы подтверждена поддержкой ее результатов грантом РФФИ (К 01-01-00019) и стипендией Президента Российской Федерации для стажировки за рубежом.

Достоверность полученных результатов подтверждена корректным использованием современного математического аппарата, а также сравнением с результатами других авторов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международных конференциях "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, КГУ, ИВМ СО РАН, 1999 г.), СА1М 2000, САМ 2002 (Питеш-ти, Румыния, октябрь 2000 г., октябрь 2002 г.), "Функциональный анализ" (Валенсия, Испания, 2000 г.), "Математическое моделирование, статисти-

ка, информатика" (Самара, СГЭЛ, июнь 2001 г.), "Теория операторов и их приложения" (Ульяновск, УлГПУ, 2001), "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, ИПУ РАН, 2002 г.), "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, СамГУ, 2002г.), "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2002), "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (Саранск, 2002 г.), на IX и X межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1999, 2000) и на научно-технической конференции УлГТУ в 2002 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 работ, в том числе 12 статей и б тезисов.

Личный вклад. Результаты первой и третьей главы опубликованы совместно с руководителем и принадлежат авторам в равной мере, результаты второй главы были выполнены соискателем на основе консультаций с научным руководителем.

Структура и обьем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав (9 параграфов), заключения, списка литературы (134 наименования) и приложения. Работа изложена на 150 страницах. Формулы, теоремы, леммы и замечания имеют самостоятельную нумерацию в каждом параграфе. При ссылках внутри параграфа указывается этот номер, при ссылках на другой параграф указывается номер параграфа и номер утверждения. В остальных случаях нумеруется и глава.

Содержание работы

Во введении содержатся сведения исторического характера, обос-повапа актуальность работы и практическая значимость, а также даны некоторые определения и факты из теории ветвления решений нелинейных уравнений и методов группового анализа. Это вывод уравнения разветвления (УР) и построение разрешающих систем по схемам А. М.Ляпунова и Э.Шмидта, основные положения теории инвариантных многообразий по С.Ли-Л.В.Овсянникову и схема ее применения к построению общего вида УР по допускаемой группе симметрии.

В первой главе диссертации рассмотрено построение и исследование эквивалентных РС при бифуркации Андронова-Хопфа, основанное на

результатах

В параграфе 1.1 дан вывод УР бифуркации Андронова-Хопфа для дифференциальных уравнений 5-того порядка в банаховых пространствах Ei и Ег с вырожденным оператором при старшей производной

Здесь Ак: DAC Et,Da — Е\,В : DbC Ег,Ьв = Е\ - замкнутые

линейные операторы, Db С Да и Ак,к = 1, s подчинены В (т.е. |].А*х|| < ||Ва;|| на DB) или Дд С Дд и В подчинен /Ц, к = 17« (т.е. ||Вх|| < ||.<4*х|| на

Da)', операторы А, и В фредгольмовы и Л(х,х^,... непрерывно

дифференцируемый в некоторой окрестности нуля в нелинейный

оператор; Лх(ч(0,... ,0) = 0, к = l,s —1. Рассматривается общий случай 2, когда А-спектр <та{В) оператора В (обобщённой задачи на собственные

ж

значения (В — А(А))у? = (В — ¿¡2 ^kAt)ip = 0) пересекает мнимую ось в конечном числе конечнократных собственных значений, изолированных от остальной части спектра аа{В)> лежащей строго в левой полуплоскости.

Сведение уравнения (1) к уравнению в пространстве вектор-функций в предположении достаточной гладкости нелинейного оператора от векторного аргумента позволяет применить схему построения УР А.Ляпунова и Э.Шмидта для дифференциальных уравнений первого порядка. Введены четыре оператор-функции спектрального параметра, связанные с уравнением (1), установлена эквивалентность их жордановой структуры. Это позволяет доказать теорему о наследовании уравнением разветвления групповой симметрии нелинейного уравнения (1). В диссертации для уравнения порядка (1) теория разрешающих систем не применяется

ввиду громоздкости их построения.

Для упрощения изложения в параграфе 1.2 в условиях параграфа 1.1 рассматривается дифференциальное уравнение (1.1) при а = 1

(1)

Замена А. Пуанкаре t = jj^j, x(t) = у{т) сводит задачу построения

'Loginov B.V., Kooopleva I.V., Symmetry of resolving syrtema in degenerated functional equations // Symmetry and Differential Equations: Proc. of Int.Conf.,Kraimoyar8bICM Siberian Branch RAN,2000,145-148 'Logmov B.V.,Trenogin V.A., Brandling equation of Atwlronorv-Hopf bifurcation under group symmetry conditions // CHAOS, AmerJnat.Phye., 7(2)(1997),229-238

^^-периодических решений (1.1) к определению 27Г-периодических решений уравнения с двумя малыми параметрами

{Ву){г) = Ву{т)~аА% (2)

в комплексифицированных банаховых пространствах = Е^+гЕц., к — 1,2, в предположении что оператор Я(ж, е) допускает достаточно гладкое расширение на эти пространства. Операторы В и С отображают пространство У 27Г—периодических непрерывно дифференцируемых функций т со значениями в в пространство Z2я-—периодических непрерывных функций со значениями в Используются функционалы специального вида 2*

<»./»= ¿/ < »(т)>/(г) > <*т> у е у,/ е у* или у е е 2*.

о

Оператор предполагается фредгольмовым.

Пусть -натуральные числа

не имеющие нетривиальных общих делителей) собственное значение кратности п, с собственными элементами ич- = -М'игф т.е. = га,Аи^ = гк,аАи^, Вй,; = -га.Ам.у = ~{к,аЛй^, j = 1,...,п„ а. г.,- = + собственные элементы сопряженных операторов.

Тогда подпространства нулей ЩВ) и ЩВ*) операторов В и В* = Л* + 2п—мерны, п = П1 + ... -+- пт

и их базисным элементам отвечают А-жордановы (соответственно Л*-жордановы) цепочки длин

р,;, причем

>= < = Ьр^М, (3)

Техника разрешающих систем применяется в параграфе 1.2 для уравнения первого порядка. РС А.М.Ляпунова и Э.Шмидта представляют собой уравнения разветвления в корневых подпространствах (УРК) следующего

вида

О = t/iUf?'0* « í,»,e)+t-V + (-<P,e),ti? », â"} = « ЛЫС (,C,e) + (-v + (. e). tfí? »

d2) = « я(и((, + + <p, e), № »,

i = l,...,n„ s — l,...,m.

В общем случае наличия обобщенных жордановых цепочек УРК (4) являются дифференциально-алгебраическими системами превращающимися при их отсутствии в обычные УР - алгебраические системы трансцендентных уравнений. В данном параграфе установлена эквивалентность УРК по А.М.Ляпунову и по Э.Шмидту, доказана теорема о наследовании ими групповой симметрии уравнения (1). Мы не останавливаемся более подробно на результатах первой главы, т.к. при всей громоздкости изложения она дает лишь вспомогательный материал для выполняемого в третьей главе исследования устойчивости разветвляющихся решений;

В главе II рассматривается построение модельных УР в задачах о нарушении симметрии по пространственным переменным при бифуркации Андронова-Хопфа. Основной целью является построение асимптотики разветвляющихся решений. На примерах построения модельных УР с сим-метриями дискретных, плоских и пространственных кристаллографических групп последовательно обосновывается утверждение об однозначном определении общего вида УР допускаемой им группой симметрии. Именно поэтому каждой группе симметрии соотносится "модельное" УР, допускающее именно эту группу, и соответственно приводит к определенному типу ветвления. Тем самым в этой главе реализуется программа "модели" акад. Л.В.Овсянникова в задачах бифуркации Андронова-Хопфа.

В параграфе 2.1 рассматривается построение УР /(£;/*,е):=0 определения разветвляющихся решений бифуркации Андронова-Хопфа с циклической группой Сп порядка n по одной пространственной переменной: Теорема 1. УР с симметрией Сп имеет вид

Ш\*«) = Ы1+ЬПЫ. - -, 16.1; л e) = о, Г(О = (6,il),

где F - непрерывная функция. В аналитическом случае функция F зависит от квадратов модулей

В параграфе 2.2 рассмотрено построение общего вида УР в задачах о нарушении симметрии при бифуркации Лндронова-Хопфа, сопровождающееся в каждом модельном случае вычислением асимптотики разветвляющихся решений. Прежде всего излагается общая теория уравнения разветвления в задачах о нарушении симметрии. Затем рассматривается построение УР с симметрией плоских кристаллографических групп и вычисление асимптотики разветвляющихся решений.

2.2.1. Прямоугольная решётка.

В комплексных переменных N(B) = span{tp, = v exp(»[< l},q >

При принятом соглашении о нумерации вершин прямоугольника группа симметрии УР выражается подстановками р\ = (12)(34), р2 = (13)(24), рз = (14)(23). Непрерывная группа симметрии уравнения разветвления гомоморфна прямой сумме группы сдвигов по времени (автономность дифференциального уравнения) и группы сдвигов по пространственным переменным. По схеме построения инвариантных многообразий определяется система разветвления

(1)

Остальные уравнения определяются условием симметрии УР относительно группы прямоугольника, т.е. применением подстановок pit к первому уравнению. Согласно общей схеме построения асимптотики малых решений, определяются подпространства инвариантные относительно левой части УР (1). Полная система инвариантных подпространств имеет вид

При рассмотрении полученного УР в каждом подпространстве полной системы строится асимптотика разветвляющихся решений.

Во второй части пункта 2.2.1. рассмотрено построение УР с группой симметрии прямоугольной решетки в случае 12-кратного вырождения оператора В (элементарная ячейка периодичности - неправильный гексагон).

2.2.2. Квадратная решётка.

Схема построения инвариантных многообразий по Л.В Овсянникову позволяет построить общий вид УР. Выписывается полная система подпространств инвариантных относительно левой части УР и в каждом из них строится асимптотика разветвляющихся решений.

2.2.3. Гексагональная решбтка.

Построено модельное УР в случае шестимерного вырождения оператора В. Выписапа полная система 15 инвариантных относительно левой части УР подпространств. Однако построение асимптотики решений не приводится, т.к. оно практически полностью повторяет его в случае пространственной решетки с элементарной ячейкой в виде октаэдра.

В параграфе 3 рассматривается построение модельных УР с симметрией простой кубической решетки.

2.3.1. Элементарная ячейка — октаэдр. Подпространство N(B) имеет вид

N{B) = span {(p} = vexp [t(< T},q > +t)], ф„ j = 1,..., 6},

Группа симметрии соответствующей решетки порождается вращениями вокруг осей 4-го порядка и отражением относительно центра октаэдра

Cj15 = (3546), Cf ~ (1625), С|5) й (1324), J = (12)(34)(56).

Первое уравнение системы разветвления имеет вид:

р.»

Символом [• .-]0"' обозначена факторизация выражения внутри скобки по найденным связям между использованными инвариантами. Раскрывая сим-

вол [.. .]ом< получаем общий вид первого уравнения системы разветвления

Остальные уравнения получаются действием группы подстановок вершин октаэдра: /з(£;/х,е) = <?<*'/,(£; = 0, М(ц1,с) = СР'Щщ.е) = 0, /2*(£;/*,£•) = = 0- Найденная полная система подпространств

инвариантных относительно левой части УР позволяет выписать асимптотику разветвляющихся решений.

2.3.2. Элементарная ячейка периодичности - кубооктаэдр. Здесь определен общий вид УР и выписана полная система 48-ми

инвариантных подпространств, состоящих из семи групп. Однако асимптотику разветвляющихся решений удалось выписать только для первых четырех групп инвариантных подпространств.

2.3.3. Элементарная ячейка — куб.

Группа симметрии соответствующей решетки порождается вращениями вокруг осей 4-го порядка и отражением относительно центра куба:

С^^(1547Х2638), ¿7^(1763X2854), С^5)£(1385Х7624), /=(12X34X56X78).

По матрице коэффициентов инфинитезимальных операторов определяется система инвариантов необходимая для построения общего вида системы разветвления, первое уравнение которой иеет вид

Остальные уравнения получаются действием группы подстановок вершин куба:

Построена полная система 22-х инвариантных подпространств, в каждом из которых найдена асимптотика разветвляющихся решений.

Математическое моделирование предполагает обязательное исследование устойчивости разветвляющихся решений, т.к. в практических приложениях реализуются именно устойчивые решения- Поэтому в главе 3 рассматриваются вопросы устойчивости стационарных и периодических (на основе предложенного аналога теории Флоке) разветвляющихся решений для дифференциального уравнения с вырожденным оператором при старшей производной. Здесь определяющую роль в общем случае играют уравнения разветвления в корневых подпространствах.

В первом параграфе в вещественных банаховых пространствах Е\,Ег в предположениях п.1.1 рассматривается уравнение

(1)

Далее считаем, что в обозначениях = — .. ,ха — уравнение (1) можно привести к эквивалентному уравнению

(2)

(3)

где произвольный оператор, имеющий ограниченный обратный.

Определение 1. Определенное при t > О решение гоСО уравнения (1) устойчиво по Ляпунову, если для любого е > 0 существует 5 > 0, такое

что для любого решения x(t) с £ ||xW(0) — Хо^(0)|| < $ пРи t > О вы~

полнено неравенство a{t) — ||xW(t) — x^WII < е> и асимптотически

устойчиво,если a(t) —> 0 при t —> оо.

Справедливы следующие утверждения

Лемма 1. ОЖЦэлементов {Ф/^'^бЛ^Л) относительно оператор -функции А-цАъ имеют вид 0,-.,0), <Р,0,...,0),...,

где .....к — 1,п, ОЖНсоответствующий базисным элементам

N(B) полиномиальнойоператор-функцииВ—рАх—^Ач—.. .~ц'А,. Теорема 1. Пусть операторы В и А, фредгольмовы, оператор А, имеет полный ОЖН {^f'}, j = k = l,...,m, относительно

оператор-функции А, + A_A,_j +... + — ВХ' и спектр а\ (В) обоб-

щенной задачи на собственные значения ,

лежит в левой полуплоскости .Re{fi\p G <7д(В)} < О (хотя бы одна точка сг^(В) попадает в правую полуплоскость). Тогда тривиальное решение линейного однородного уравнения ( 1) асимптотически устойчиво (неустойчиво).

Теорема 2. Пусть оператор F(X, t) в (2) непрерывно дифференцируем по X и t для t > 0 и X из некоторой окрестности 0 6 Е\ ф — Ф £\,

a

до порядка L включительно, где L максимальная длина ОЖЦ базисных элементов {^t}™ € N (А,) относительнооператор-функцииА, + XA,-i + ... + Х'~1А1-ВХпричм\\0>Р{Х,Ь)\\=о{\\Х\\) при ||Л"|| 0,

равномерно по t > 0 (в автономном случае F{X) непрерывно дифференцируем по X до порядка L).

Если фредголъмов оператор В имеет полный ОЖН относительно оператор-функцииВ — —... — Л*-1 А\ — X'At и спектр ах (В) обобщн-ной задачи на собственные значения ( 1.1.4) -лежит в левой полуплоскости (хотя бы одна его точка попадает в правую полуплоскость), то триви-альноерешение уравнения ( 1) асимптотически устойчиво (неустойчиво).

Во втором параграфе исследована устойчивость стационарных разветвляющихся решений уравнения (1.1) (глава I) с нелинейным оператором R(x,e). Из теоремы 2 первого параграфа следует принцип линеари-

зованной устойчивости : ответвляющееся от тривиального х = 0 решение хо (с) уравнения

Вх- И(х,е) - О (1)

устойчиво, если спектр <гл (В — Ях (хо (с) ,е)) оператор-функции

В-Их{ха{е),е)-цА1-...-11,А„ (2)

(т.е. спектр производной Фреше оператора (1) на ре-

шении лежит в левой полуплоскости, и неустойчиво, если существует хотя бы одна точка в правой полуплоскости.

Поэтому доказано следующее утверждение

Теорема1. Пустькорневыечислак (Л,; ..., -АиВ) = 91+...+

дт ик{В;Аъ,..,А.) = Р1+...+Рп конечны.ТогдаметоддиаграммыНьютона применнный куравнениюразветвления в корневом подпространстве оператор-функции (2)позволяет вычислить главные членыасимптоти-

П

ки р— собственных значений) задачи

ответвляющихся от собственного щЦЧ)ениЯ и, тем самым, опре-делитьустойчивость (неустойчивость) стационарногорешенищ (е).

Теорема 1 служит основой получения критериев устойчивости разветвляющихся решений связанных с соответствующим УР.

Теорема 2. Пусть ОЖЦбазисныхэлементов<р,}"-1относительно оператор-функциЯ—\iA\-...— ц'^А,^—ц'А, имеютединичныедлины, т.е. и корневое число

оператораА, конечно. Пусть далее элементам € N {В) отвечает полный канонический ОЖН оператор-функции—11х(х(£) ,е) с длинами 0ЖЦГ1<Г2<...<Г„. Тогда стационарноерешениех(е) уравнения(1.1) устойчиво, если для соответствующегорешенияуравненияразветвления £(е) главные члены асимптотики собственныхзначениш/^е), ] = 1,п определяемые главнойчастьюматрицыЯкоби 3 — Ц =

= (-!)"&«[< 1Цх(е),е){1 - ГД.(х(е),е)Г1^,Л > = 0, (4)

имеют отрицательные вещественные части, и неустойчиво, если хотя бы один из них положителен.

Следствие 1. В условиях теоремы 2 устойчивость стационарного решения х(е) уравнения (1.1) определяется принципом линеаризованной устойчивости для системы обыкновенных дифференциальных уравнений ^ = t(£,E), где t(£, е) правая часть х-УР

В параграфе 3 исследована устойчивость периодических решений. Прежде всего в предположениях главы I рассмотрена задача о периодических решениях дифференциального уравнения с вещественным малым параметром

= Вх - R(x,e), R(0,e)s0, = 0.

at

(1)

Периодическое решение x = p(t) следует рассматривать как t-параметризованную замкнутую кривую (траекторию) в х-пространстве. Поэтому ниже исследуется асимптотическая орбитальная устойчивость: замкнутая траектория - решение р (t) асимптотически устойчиво в том смысле, что каждое решение (1), которое проходит вблизи траекториир (t), стремится при

Определение 1. Периодическое решение p(t) = р (i + w) называет' ся орбиталъно-устойчивым (орбитально асимптотически устойчивым), если множество Г = {р(^),0 < t < ш} устойчиво (асимптотически устойчиво), т.е. если для любой окрестности V множества Г существует окрестность V этого множества, такая что если Xi £ V, то определенное при t > 0 решение x(t,xi) , x(0,ii) = Х\ принадлежит U

Введенные нормы графика для операторов А и В в п. 1 позволяют считать их ограниченными в соответствующих банаховых пространствах.

Лемма 1. Если операторы A(t) и B(t) Ш-периодические, оператор A (t) непрерывно обратим при 0 < t < Ы U U(t) разрешающий оператор для уравнения

. . . ах _ . .

(2)

A(t)^ = B(t)x,

то 11 (£ + и) также является разрешающим оператором для этого уравнения, причем

иц) = г(1)*1Я, (*+«) = 2 (о (з)

с обратимым операторомZ(1).

Собственные числа р разрешающего оператора II (и) называются мультипликаторами уравнения (2). Они являются собственными значениями ОПеЛЯ

ратора е . Соответственно собственные значения к оператора R называются характеристическими показателями уравнения (2) или экспонентами Флоке, соответственно связи р = еик.

Лемма 2. В условиях леммы 1 экспоненты Флоке определяются как числа к при которых задача

ал

(4)

имеет нетривиальные решения.

Рассмотрим теперь задачу об ^-периодических решениях уравнения с постоянными фредгольмовыми операторами А и В ^ — 0 в уравнении (1)

(5)

Лемма 3. Пусть в уравнении (5) N (А) = $рап{ф\,..., фт} и оператор А имеет полный В-жорданов набор. Тогда экспоненты Флоке для задачи об ш-периодических решениях уравнения (5) определяются как числа к, при которых задача

¿х

А— = Вх - кАх, х (0) = х (и) аЪ

(6)

имеет нетривиальные решения.

Если теперь хе = е) является «--периодическим решением уравнения (1), то мультипликаторы и экспоненты Флоке (1) определяются как мультипликаторы и экспоненты Флоке для линеаризованной на решении хе задачи

А^- = Ви) — Нх[хе,£)го, и;(0) = и>(ц;).

(7)

Будем далее предполагать, что для решения хе единица является простым мультипликатором Флоке. Поэтому справедлив следующий принцип линеаризованной устойчивости: если мультипликаторы Флоке линеаризованной задачи (7) по модулю меньше единицы, то ответвившееся ш = ^¡^у периодическое решение орбитально асимптотически устойчиво, если же

имеется хотя бы один из них по модулю больший единицы, то ответвивше-

2*

еся ^¿^-периодическое решение неустойчиво.

Следовательно критерием линеаризованной устойчивости являются знаки вещественных частей экспонент Флоке - собственных значений к — к(е) задачи

(8)

ответвившихся от 2п-кратного собственного значения к = 0 задачи (5). Отметим, что число 2п=2(лг1---И*) является геометрической кратностью к =

О, его алгебраической кратностью является 2/сд(5), где = 52 Рп-

После выполнения подстановки А.Пуанкаре критерий линеаризованной устойчивости, выраженный в форме задачи на собственные значения (8) переписывается в виде задачи на собственные значения

(9)

7г„(уе, ^(г),*)* = ц{е)Съ + Я„(ус, фг, w(0) = -»(2*)

в комллексифицированных банаховых пространствах и Определяются знаки вещественных частей собственных значений

ответвившихся от собственного значения к = 0 задачи Вчт = 0. Таким образом, в предположениях п.1.1 справедливо утверждение

Теорема 1. Устойчивость ответвившегося -—-^-периодического решения уравнения (1) определяется знаками вещественных частей экспонент Флокек(е) -собственныхзначенийзадачи(9)привозмущении

В пункте 3.3.3. получен критерий устойчивости для дифференциального уравнения

А.& + + + = Вх - Щх,£,...,Й-«).

Л(0,0,...,0,е) = 0.

в предположениях главы I. Доказан аналог леммы 3.

Лемма4-Пустькорневоечисло к (Л,; — Л»-!,—А^ В) — ^ +... + qm конечно. Тогда экспоненты Флоке для задачи оби-периодическихре-шениях линеаризованного уравнения (10) (т.е. при Я = 0) определяются как числа к при которых задача

(10)

умеет нетривиальное решение.

Пусть спектр 0л{В) пересекает мнимую ось в конечном количестве собственных значений ±»£,-0, г = где кг натуральные числа, не имеющие нетривиальных общих делителей. В критерии леммы 4 для линеаризованного уравнения (10) (т.е. при Я — 0) АС = 0 является 2 (г»! + П2 + ... + п„)-кратным собственным значением задачи (11).

Действительно, при к — 0 задача (11) принимает вид Вх — — ... — А, = 0, х (а) = х(0),с собственными функциями х=^(рг) — и,, е1ктСЛ =

Если теперь х£ = х^,е) является

-периодическим решением уравнения (10), то мультипликаторы и экспоненты Флоке определяются для линеаризованной на решении задачи

■ ■+А1^=Ви>-^Г11х{фе,хМ.....х^.е)? ™

и=о

Л»

ш(0) = ги(-

2чг

у)-

I ^ {\г (12)

Соответствующий критерий линеаризованной устойчивости леммы 4 для уравнения (12)

определяет знаки вещественных частей экспонент Флоке к = к(е') = к((1{е),е) - собственных значений задачи (13) ответвившихся от -кратного собственного значения к = 0 задачи (11). Теорема 2. После выполнения подстановки Пуанкаре t — W(t) = У(т), 1£(£) = Ус(т) критерий линеаризованной устойчивос-

а+ц

ти выраженный в виде задачи на собственные значения (13) переписыва-

ется о виде задачи на собственные значения

Следствие 1. Приs = 1 получаемрезультаттеоремы 1, т.е. крите-рийлинеаризованнойустойчивости, выраженный в видезадачина собст-

венныезначения

2т

Bv1-(a + ti)Al-£■ = Rx{ye,e)vl + кAlV1, V (0) = г (2тг). (15)

В пункте 3.3.4. показано, что критерии устойчивости периодических решений п.3.3.2. допускают более эффективную реализацию с помощью метода диаграммы Ньютона. Для упрощения изложения рассматривается уравнение первого порядка (1). Здесь существенно используются результаты первой главы. Пусть выполнены предположения главы I для уравнения (1) и 1,(0 = х,(г,б)

его ответвившееся -периодическое решение, достаточно гладкое (или аналитическое) по дробной степени е^* = е. Тогда согласно критерию линеаризованной устойчивости (8),(15) устойчивость решения определяется знаками вещественных частей собст-

венных значений задачи

Вь}=/л(е)А^+Яу{уе,е)т+кАю='}1у(уг,1м(е),€)ю+кАт, Ц0)=зд(2ж), (16)

ответвившихся от 2п-кратного собственного значения к — 0 (16) при е = 0. К задаче на собственные значения (16) можно применить теорию возмущений дискретного спектра фредгольмовых операторов. На этом пути получаем уравнение разветвления в корневом подпространстве (УРК) /(/с,е) =0,

причем /(«,0) = к

Это означает, что справедливо следующее

Утверждение 1. У/'К,[(к,() = 0имеет ^ Р&} паркомплексно

сопряженныхкорнеШ}(е), определяемыхпометодудиаграммыНьютона, знаки вещественных частей которых определяют орбитальную асимп -тотическуюустойчивость ответвившегосяпредельного цикла. Если все

вещественные части н}(е) отрицательны, то ответвившееся периодическое решение асимптотически устойчиво , и если хотя бы одна из них положительна, то неустойчиво.

Отмечено, что критерий орбитальной асимптотической устойчивости периодических решений уравнения (10) также может быть реализован с помощью метода диаграммы Ньютона.

Аналогично стационарному ветвлению доказывается следующая

Теорема 3. Пусть в условиях п.1 для уравнения (1) v = l,Pi} = pj = l,j = l,...,ni = n, корневое число кд = diтК(Л;В) конечно и элементам С Л'(В) отвечает полный обобщенный жорданов набор относительно оператор-функци1В—Иц(уе,ц(е),е) с ОЖЦдлинт\ < r2 < • ■ • < Тогда 'периодическое решением,(t) уравнения (1) орби-тально асимптотически устойчиво, если для соотвветствующего у-УР бифуркацииЛндронова-ХопфаХ^^С) — 0, i* = — Q,k — 1,...,п главные члены асимптотики собственных значений Л}{(),j — 1,...,п, определяемые главной частью матрицы Якоби J = щ'^

= det( « Пу{ г - гтг,]-Vi, », < Пу\1 - тп^Фь i>j» +АЛ =0 V < Ky[i - пг»]_ Vb « Kv[I - гту-v», i>}» J

имеют отрицательные вещественные части и неустойчиво, если хотя бы одна из них положительна.

Замечание 1. Тем самым устойчивость ответвившегося периодического режима в условиях теоремы 3 определяется принципом линеаризованной устойчивости для системы обыкновенных дифференциальных уравнений ^ = t(£,|,i), = Таким образом, дано новое дока-

зательство результата 3 об устойчивости периодических решений при бифуркации Андронова-Хопфа для простой пары чисто мнимых комплексно сопряженных Л-собственных значений оператора В и его обобщение на случай кратной пары. Однако результат теоремы 3 при наличии нескольких пар кратных чисто мнимых А-собственныхзначений оператора В остается открытым.

*Loginor D.V., Rueak Yu В., Generalized Jordan structure In the problem of the stability of bifurcating solutions Ц Nonlinear Analysis, ТМЛ, 17(1991), J, 219-231

Следствие 2. Теорема3веепредположенияхсправедлива дляурав-нения $-того порядка (10). Доказательство проводится сведениемлине-аризованного уравнения к системе (13).

В параграфе 4 результаты критериев устойчивости стационарных и периодических разветвляющихся решений при бифуркации Андронова-Хопфа обобщаются на нелинейные уравнения в условиях групповой симметрии.

Заключение

В настоящей работе исследована бифуркация Андронова-Хопфа для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при старшей производной и устойчивость ответвившихся решений. Во всем изложении последовательно развита идея о том, что группа симметрии диктует определенную модель ветвления. Основой этой идеи служат теоремы о наследовании групповой симметрии первоначальной нелинейной задачи конечномерными эквивалентными разрешающими системами и, в частности, уравнениями разветвления. По допускаемой группе симметрии строится общий вид уравнения разветвления. Он оказывается независимым от конкретной физической реализации, меняется только численное выражение коэффициентов уравнения разветвления.

Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты и выводы имеющие научную и практическую ценность:

1. Для бифуркационных задач Андронова-Хопфа о ветвлении периодических решении сингулярных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах введено понятие эквивалентных уравнений разветвления в корневых подпространствах (УРК), являющихся дифференциально-алгебраическими системами.

2. Доказаны теоремы о наследовании УРК групповой симметрии нелинейной задачи.

3. Выполнено построение общего вида уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта для различных моделей бифуркации Андронова-Хопфа по наследуемой ими групповой симметрии нелинейных уравнений.

4. Определена асимптотика семейств разветвляющихся решений для нестационарных бифуркационных задач о нарушении симметрии.

5. Получены критерии устойчивости разветвляющихся стационарных и

периодических решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при старшей производной. Они основаны на варианте классической теории Флоке-Ляпунова, сводящем вычисление экспонент Флоке к задаче о возмущении дискретного спектра фредгольмовых операторов при использовании метода диаграммы Ньютона и уравнений разветвления в корневых подпространствах.

Публикации автора по теме диссертации

1. Логинов Б.В., Макаров М.Ю. О роли обобщенной жордановой структуры при построении и исследовании уравнения разветвления бифуркации Андронова-Хопфа // Вестник Самарской Государственной Экономической Академии, 1999,1,224-233.

2. Логинов Б.В., Макаров М.Ю. Обобщённая жорданова структура и уравнение раэ-ветвления бифуркации Андроиова-Хопфа // Сборник научных трудов УлГТУ "Механика и процессы управления" 2000,41-51.

3. Логинов Б.В.,Махаров М.Ю. Обобщённая жорданова структура при построении и исследовании уравнения разветвления бифуркация Андронова-Хопфа//Труды международной конференции "Математические метеля н методы их исследования", Красноярск,Институт Вычислительного Моделирования СО РАН,1999,141-142

4. Логинов Б.В.,Макаров М.Ю. Задачи о нарушения симметрии при бифуркации Андронова-Хопфа.1 // Вестник Самарского гос. Университета 2000, N2(16^54-68.

5. Логинов Б.В.,Макаров М.Ю., Групповая симметрия уравнения разветвления в хор-вевом подпространстве в динамическом ветвлении // Труды VII межд. семинара "Устойчивость я* колебания нелинейных систем управления", Москва, Институт проблем управления РАН, 2002, 82-83.

6. Логинов Б.В.,Махаров М.Ю., Групповая симметрия уравнения разветвления бифуркации Андрояова-Хопфа в корневом подпространстве // Труды междун. конферен-иия "Дифференциальные уравнения я лх приложения", Самара, 2002, 220-223.

7. Логинов Б.В., Макаров М.Ю. Устойчивость периодических решений дифференциальных уравнения с вырожденным оператором при старшей производной // Вестник Самарского гос. техн. Университета "Дифференциальные уравнения и их приложения", 2(22), 2003, 148-156.

8. Логинов Б.В., Русак Ю.Б., Махаров М.Ю. Об устойчивости стационарных я периодических решения уравнений с вырожденным оператором при старшей производной// Вестам УлГТУ, 2000, 2, 4-12.

9. Махаров М.Ю., Уравнение разветвления бифуркация Андронов -Хопфа для дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной // Труды IX научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, СамГТУ, 1999, 83-86.

10. Макаров М.Ю., Уравнение разветвления бифуркации Андронова-Хопфа с симметрией простой кубической решётки // Труды X научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, СамГТУ, 2000,101-104.

11. Макаров М.Ю., Уравнение разветвления бифуркации Андронова-Хопфа с симметрией гексагональной решетки // Труды международной конференции "Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой". Самарская Гос. Экономическая Академия, 2001, 209-212.

12. Макаров М.Ю., Инвариантное представление уравнения разветвления бифуркации Андронова-Хопфа // Труды международной конференции по теории операторов я ее приложениям, Ульяновский Гос. педагогический Университет, 2001, 28-31.

13. Макаров М.Ю., Уравнение разветвления бифуркации Андронова-Хопфа с симметрией ромбической решётки // Ученые записки УлГУ "Фундаментальные проблемы математики и механики",1(11),2002,Ш-119.

14. Коноплева И.В. Догниов Б.В.,Макаров М.Ю. Метод Ляпунова-Шмидта построения уравнения разветвления в корневом подпространстве в динамическом ветвлении // Труды Средневолжского математического общества "Математическое моделирова-нне,числеяные методы и комплексы программ" Сарансх,3-4,№1,2002,68-72.

15. Loginov B.V., Makaxov M.Yu., On the role of generalized Jordan structure at the construction and investigation of branching equation for Andronov-Hopf bifurcation // Buletin stiint. Ser. Math. Inform., University of Pite§ti, Romania, N6, 2000, 115-200.

16. Loginov B.V., Makarov M.Yu., Branching equation in the root subspace group symmetry in dynamic bifurcation // Proc. П1 International Conference "Symmetry and Diff. Equations", Krasnoyarsk, ИВМ CO PAH, 2002, 148-153.

17. Loginov B.V., Makaxov M.Yu., Branching equation in the root eubspace for Andronov-Hopfbifurcation // Proc. of International Conference CAIM-X, Pitesti University, 2003.

18. Loginov B.V., Makarov M.Yu., Rousak Yu.B. Canonical Jordan Sets and Andronov-Hopf bifurcation, Proc. of International Conference "Functional analysis" ,Valencia,2000,74-75.

Макаров Миханл Юрьевич

МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ БИФУРКАЦИИ В УСЛОВИЯХ ГРУППОВОЙ СИММЕТРИИ Автореферат

Подписано в печать 21.04.04. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Усл.печ.л. 1, 63. УЧ.-изд.л. 1,00. Тираж 80 экз. Заказ ¿Ш Типографня УлГТУ, 43202Т, г. Ульяновск, Сев.Венец, 32.

Р-935 3

Введение

1 Построение и исследование эквивалентных разрешающих систем при бифуркации Андронова-Хопфа

1.1 Обобщенная жорданова структура и уравнение разветвления для ДУ s-того порядка

1.2 Методы Ляпунова и Шмидта построения УР в корневом подпространстве

1.2.1 УРК А.Ляпунова. Теорема о наследовании групповой симметрии.

1.2.2 УРК Э.Шмидта. Теорема о наследовании групповой симметрии.

2 Построение и исследование модельных УР бифуркации Андронова-Хопфа с симметрией плоских и пространственных кристаллографических групп

2.1 Бифуркация Андронова-Хопфа с симметрией дискретных групп по пространственным переменным.

2.1.1 Симметрия Сп.

2.1.2 Симметрия Dn.

2.2 Задачи о нарушении симметрии при бифуркации Андронова-Хопфа. Построение асимптотики разветвляющихся решений

2.2.1 Прямоугольная решётка.

2.2.2 Квадратная решётка

2.2.3 Гексагональная решётка.

2.3 УР с симметрией простой кубической решётки.

2.3.1 Элементарная ячейка - октаэдр.

2.3.2 Элементарная ячейка периодичности - кубооктаэдр

2.3.3 Элементарная ячейка - куб.

3 Устойчивость стационарных и периодических решений

3.1 Критерий устойчивости.

3.2 Устойчивость стационарных решений.

3.3 Устойчивость периодических решений.

3.3.1 Постановка задачи.

3.3.2 Устойчивость периодических решений уравнения первого порядка

3.3.3 Устойчивость периодических решений уравнения 5-го порядка.

3.3.4 Устойчивость периодических решений и метод диаi граммы Ньютона

3.4 Устойчивость стационарных и периодических семейств разветвляющихся решений в условиях групповой симметрии

1. История вопроса

Моделирование нелинейных явлений основано на их описании системами нелинейных функциональных уравнений. Как правило эти дифференциальные уравнения допускают определенную групповую симметрию. В классической механике групповая симметрия выражает независимость дифференциальных уравнений от группы движений евклидова пространства. В квантовой механике группой допустимых преобразований является группа Лоренца. Известна задача построения общего вида дифференциального уравнения по допускаемой группе симметрии [12].

Теория непрерывных групп преобразований возникла в конце 19-го столетия в работах норвежского математика Софуса Ли [107]. В начале 20-го столетия развивается теория инвариантов групп преобразования [9]. Теоретико-групповые методы находят многочисленные применения в теоретической физике [55,8]. Глубокая связь математического моделирования и современного группового анализа дифференциальных (и вообще функциональных) уравнений была развита в работах новосибирской школы академика Л.В.Овсянникова [71, 72, 15]. Термином "большая модель" Л.В.Овсянников называет систему соотношений математической физики - дифференциальных уравнений и дополнительных связей. Данная система описывает распределение основных физических величин в пространстве и их эволюцию во времени. Свойство симметрии выражает факт независимости используемых моделей законов природы от систем отсчета, в которых наблюдаются и измеряются основные величины.

Следуя С.Ли говорят, что система дифференциальных уравнений Е допускает группу G преобразований пространства всех участвующих в Е величин, если система Е остается неизменной при всех преобразованиях, принадлежащих группе G. Для уравнений математической физики и механики характерны допускаемые классические группы Евклида, Галилея, Пуанкаре, а также их подгруппы и расширения. Фундаментальное свойство допускаемой системой дифференциальных уравнений Е группы G состоит в том, что группа G действует на множестве всех решений Е.

В 80-х годах Л.В.Овсянниковым была разработана "Программа подмодели" [73, 74, 75], согласно которой если "большая" модель допускает некоторую группу G, то она допускает и любую подгруппу Н С G, а неподвижные элементы действия группы if называются инвариантными Н-решениями, образующими класс решений. Для существования if-решений необходимо удовлетворение определенному условию, в случае выполнения которого инвариантные Я-решения выражаются через решения вспомогательной (всегда существующей) факторсистемы Е/Н. Данная факторсис-тема Е/Н образует инвариантную подмодель "большой" модели Еу дает все инвариантные Я-решения как точные решения Е и содержит меньшее число независимых переменных - ранг инвариантной подмодели (в случае четырехмерного пространства событий R4(t7x,yjz) ранг может принимать значения 3,2,1,0).

Классы решений, отыскание которых ведет к уравнениям пониженной размерности (одномерные, плоскопараллельные, осесимметричные, винтовые, стационарные, конические, автомодельные и т.п.) являются инвариантными решениями. Путем систематического использования свойств симметрии такой список можно полностью исчерпать.

Идея выдвижения "программы подмодели" возникла у акад. Л.В.Овсянникова при исследовании моделей механики сплошных сред. В работе [75] "программа подмодели" реализуется для уравнений газовой динамики. После изложения основ концепции программы подмодели, сведений о "больших" моделях газовой динамики и их общей симметрии дано общее описание алгоритма групповой классификации и приведен результат его применения к уравнениям газовой динамики. Построена оптимальная система подалгебр для конечномерных алгебр Ли группы допускаемой уравнениями газовой динамики.

Монографии Л.В.Овсянникова [72] и Н.Х.Ибрагимова [15] в сущности посвящены групповому анализу моделирования нелинейных явлений математической физики.

В последние 30 лет в теории нелинейных явлений выделилось новое направление, названное синергетикой [70, 90]. Говоря образным языком, синергетика изучает модели нелинейных явлений, в которых решения имеют определенную стационарную или пространственно-временную структуру (в нестационарных задачах) имеющую определенную групповую симметрию. Такие решения возникают при переходе характеризующих нелинейную задачу физических параметров через их критические значения. Поэтому вполне естественно, что основным математическим аппаратом синергетики является теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой симметрии (и, вообще, методы малого параметра), групповой анализ дифференциальных (функциональных) уравнений. Синергетика превратилась в междисциплинарную дисциплину, она находит применения при моделировании нелинейных явлений гидродинамики, тепло-массо-переноса [92], математической биологии и биофизики [78]. Популярное изложение идей синергетики можно найти в брошюрах [21, 86].

Настоящая работа также относится к направлению теоретико-группового моделирования нелинейных явлений, точнее, критических явлений в математической физике.

Известная в математическом анализе теорема о неявной функции допускает перенесение в банаховы пространства [7]. Однако, в приложениях часто встречаются случаи ее невыполнения. Возникает ветвление решений нелинейных уравнений.

Теория ветвления решений нелинейных уравнений как отдельное направление в качественной теории дифференциальных уравнений возникла на рубеже XIX-го и ХХ-го столетия в прикладных задачах математического описания возможных фигур равновесия вращающейся жидкой массы (А.М.Ляпунов [61], А.Пуанкаре [77]), а также в общей теории интегральных уравнений (Э.Шмидт [130]). В первой четверти 20-го столетия методами теории ветвления и конформных отображений А.И.Некрасовым [68] была решена плоская задача о гравитационных волнах (волнах на свободной поверхности бесконечного слоя жидкости). Несколько позднее аналогичные результаты были получены Т.Леви-Чивита [106] и Д.Стройкой [131]. Следом за ними Н.Е.Кочин решает плоскую задачу о волне на границе раздела двух жидкостей. Здесь следует отметить симметрию групп вращения для задачи о фигурах равновесия вращающейся жидкой массы и симметрию группы сдвигов в задаче о волнах на поверхности слоя жидкости. В 30-х годах были выполнены исследования Н.Н.Назарова о ветвлении решений нелинейных интегральных уравнений и точках бифуркации нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна. Таким образом, истоки теории ветвления относятся как к математическому моделированию гидродинамических процессов, так и к общей теории нелинейных функциональных уравнений. Далее теория ветвления развивалась как ветвь качественной теории дифференциальных уравнений в трудах В.В.Немыцкого [69], М.М.Вайнберга [6], М.А.Красносельского [20].

Состояние теории ветвления решений нелинейных уравнений к началу 70-годов отражено в [7]. Здесь изложены варианты конструкции Ляпунова-Шмидта приведения общей задачи теории ветвления к эквивалентным системам разветвления (уравнению разветвления (УР)), доказана теорема об эквивалентности уравнения разветвления исходной нелинейной задаче и представлении их решений рядами по дробным степеням малого параметра. Представлен метод диаграммы Ньютона и основанный на подготовительной теореме Вейерштрасса кронекеровский метод исключения. Дано детальное введение основных идей аппарата обобщённых жордановых цепочек и многие приложения теории ветвления к задачам теории возмущений и математической физики.

Теория многомерного ветвления по-прежнему далека от окончательного завершения и в настоящее время. Здесь нелинейная задача часто имеет семейства малых решений зависящих от одного или нескольких параметров. Обычно эти параметры имеют групповой смысл и нелинейная задача допускает (инвариантна = эквивариантна) некоторую группу преобразований. В различных прикладных задачах теории ветвления постоянно возникают системы с группой симметрии. Это вызвано тем, что уравнения математической физики инвариантны относительно подгрупп группы движений евклидова пространства. Иногда основное решение таково, что нелинейные уравнения возмущений допускают дополнительную симметрию относительно отражений. В теории краевых задач математической физики групповая симметрия индуцирована симметрией области. Например, уравнения в пространственном слое в Rs инвариантны относительно группы движений Rs} в частности относительно ^-мерной группы сдвигов. Если нелинейная задача задана на (5 — 1)-мерном многообразии без края в Rs, то она допускает группу симметрии этого многообразия.

Первые результаты применения групповой симметрии в теории ветвления принадлежат В.И.Юдовичу [93, 76], исследовавшему вместе с сотрудниками задачи многомерного ветвления в гидродинамике. Дальнейшее развитие теории ветвления в условиях групповой симметрии содержится в [50, 51], где был предложен метод группового расслоения для построения редуцированного УР. Обзору результатов в симметрийных задачах теории ветвления до 80-го года посвящена монография Б.В.Логинова [22]. Здесь, в частности, доказана теорема о наследовании групповой симметрии нелинейной задачи соответствующим УР, предложены различные способы понижения порядка (редукции УР), среди них - с помощью полной системы функционально независимых инвариантов группы симметрии УР. Последний способ наиболее эффективен в потенциальном случае, когда левая часть уравнения разветвления является градиентом некоторого функционала. Это - один из аспектов принятого в школе профессора В.А.Треногина "принципа конечномерности": потенциальным является не первоначальное уравнение, а эквивалентное ему уравнение разветвления [132, 86, 129]. В указанной монографии рассмотрены приложения бифуркационной теории в условиях групповой симметрии к дифференциальным уравнениям в математической физике: 1° дифференциальное уравнение Ди+Лм = /(и) на сфере 52 в Й3 и на s-мерном компактном многообразии V с краем dV или без края в (s + 1)-мерном пространстве Rs+1,2° задача о фигурах равновесия вращающегося цилиндрического столба вязкой капиллярной жидкости в условиях невесомости, 3° периодические решения трёхмерной задачи о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном (случай 4-х-мерного вырождения линеаризованного оператора), 4° построение периодических решений задачи о фазовых переходах в статистической теории кристалла, явившееся яркой демонстрацией результатов симметрийной теории ветвления.

Доказанная в начале 70-х годов теорема [53, 54] о наследовании уравнением разветвления групповой симметрии первоначальной нелинейной задачи открыла новый подход в симметрийной теории ветвления - использование методов группового анализа дифференциальных уравнений [72, 73], позволивших решить задачу построения общего вида уравнения разветвления по допускаемой им группе симметрии. Эти результаты и некоторые их применения освещены в обзорах [24, 35, 55]. При этом, как и положено в математическом моделировании, допускаемая уравнением разветвления группа обуславливает вполне определенный его вид. В различных конкретных задачах он один и тот же, меняются только числовые значения коэффициентов.

С середины 70-х годов эквивариантная теория ветвления развивается независимо западными и советскими математиками. В частности, теорема о наследовании УР симметрии основной нелинейной задачи была использована в [125, 126, 127] для определения главной части УР задачи Бенара о конвекции в жидкости и других задачах о нарушении симметрии. В то же самое время результаты об образовании структур в бифуркационных задачах были получены в [25, 26, 27] и применены [26, 27] к задаче о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла.

Наиболее общая теорема существования точки бифуркации - собственного значения нечетной кратности аналитической оператор-функции спектрального параметра была доказана Н.А.Сидоровым и В.А.Треногиным [90, 84]. Согласно "принципу конечномерности" при доказательстве этих теорем теория степени отображения (вращения векторного поля) была применена непосредственно к уравнению разветвления. В симметрийной теории ветвления указанные результаты позволили получить [28, 29] теоремы существования решений инвариантных относительно подгрупп, в частности, нормальных делителей и, тем самым, разработать "программу подмодели" в теории ветвления, не зависящую от конкретной физической реализации. Общая схема построения таких решений была впервые предложена в работе Владимирова С.А. [11] для обыкновенных дифференциальных уравнений с дискретной группой симметрии и развита Логиновым Б.В. [28] применительно к задачам теории ветвления. Частные результаты этой теоремы за рубежом названы леммой об эквивариантном ветвлении [133, 134, 101].

Среди зарубежных работ по теории ветвления в условиях групповой симметрии следует прежде всего указать монографии А.Вандербауведе [134], М.Голубицкого, И.Стюарта и Д.Шеффера [103, 104]. Основным инструментом исследований [103,104] является теория особенностей гладких отображений. В русскоязычной литературе детальное изложение этой теории содержится в ряде обзоров В.И.Арнольда, среди которых отметим [1, 2]. Однако, по нашему мнению, развитые А.Д.Брюно методы многогранника Ньютона более эффективны, т.к. позволяют исследовать любые случаи высоких вырождений линеаризованного оператора.

Последовательное применение методов группового анализа дифференциальных уравнений в задачах теории ветвления содержится в работах Б.В.Логинова и его сотрудников (см. обзоры [24, 35, 55]). Теория С.Ли

Л.В.Овсянникова инвариантных многообразий применяется здесь при построении общего вида УР по допускаемой группе. Изложена общая схема применения этих методов с приложениями к задачам о нарушении симметрии в теории ветвления, в частности, к задачам о фазовых переходах в статистической теории кристалла и о капиллярно-гравитационных волнах в пространственных слоях жидкости. Для нестационарного ветвления - бифуркации Андронова-Хопфа в дифференциальных уравнениях в банаховых пространствах с вырожденным оператором при производной (старшей производной) - доказана теорема о наследовании УР групповой симметрии основного нелинейного уравнения [30]-[55]. На основе уравнения разветвления в корневом подпространстве исследованы тесно связанные с ветвлением решений вопросы устойчивости рождающихся решений [23, 30, 119, 49, 37, 44].

Исследование бифуркации рождения предельного цикла, т.е. возникновения периодического автоколебательного режима при потере устойчивости равновесия или стационарного движения, восходит к работам А.М.Ляпунова (1892) и А.Пуанкаре [78, 62]. А.М.Ляпунов предложил [62] метод исследования устойчивости сложных состояний равновесия динамической системы с чисто мнимыми характеристическими корнями. А.А.Андронов [100] открыл бифуркацию рождения предельного цикла из состояния равновесия при изменении параметров системы и указал на связь этой бифуркации с результатами работ А.М.Ляпунова. В работах Н.Н.Баутина [3, 4] дано обобщение результатов Андронова на системы третьего и четвертого порядков. Условия рождения периодических решений в общем п-мерном случае получены Э.Хопфом [105] (1942 г.), Ю.И.Наймарком [68] и Н.Н.Брушлинской [5]. В бесконечномерных системах исследование бифуркации рождения цикла выполнено в работах В.И.Юдовича [95, 96], М.Г.Крандалла и П.Рабиновича [102], Марсдена и Мак-Кракена [64], Ж.Иоосса [106], В.А.Треногина [89]. Бифуркация рождения цикла в системах с симметрией изучалась в работах Д.Рюэля [124], В.И.Юдовича [67, 98, 99], А.Вандербауведе [134], Голубицкого и Шеффера [103, 104], Б.В.Логинова и

В.А.Треногина [31, 32, 109, 110, 111, 121, 122].

Математическое моделирование нелинейных явлений требует исследования устойчивости решений функциональных уравнений, моделирующих конкретные изучаемые процессы в естественно-научных дисциплинах. Основы теории устойчивости решений дифференциальных уравнений заложены А.М.Ляпуновым в начале ХХ-го века. Дальнейшее развитие теории устойчивости связано с именами Н.Г.Четаева, Р.Беллмана, Н.Барбашина, В.М.Матросова, И.Г.Малкина и других российских и зарубежных ученых.

В настоящей работе исследуется бифуркация Андронова-Хопфа для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при старшей производной и устойчивость ответвившихся решений. Во всем изложении последовательно развивается идея о том, что группа симметрии диктует определенную модель ветвления. Основой этой идеи служат теоремы о наследовании групповой симметрии первоначальной нелинейной задачи конечномерными эквивалентными разрешающими системами и, в частности, уравнениями разветвления. По допускаемой группе симметрии строится общий вид уравнения разветвления [42, 20, 116, 43]. Он оказывается независимым от конкретной физической реализации, меняется только численное выражение коэффициентов уравнения разветвления.

В первой главе освещена роль обобщенной жордановой структуры при построении и исследовании уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта бифуркации Андронова-Хопфа [38, 39, 40, 115, 59, 60] (п.1), в качестве разрешающих систем вводятся уравнения разветвления Ляпунова и Шмидта в корневых подпространствах, доказывается их эквивалентность и теорема о наследовании групповой симметрии [42, 20, 116, 43] (п.2). Во второй главе для задач с дискретной группой симметрии и задач о нарушении симметрии [31, 32,109,110,111,121,122, 41] на основе методов группового анализа строится общий вид модельного УР, отдельно для решений допускающих симметрию плоских и пространственных кристаллографических групп. С помощью техники инвариантных относительно левой части УР подпространств определяется асимптотика семейств разветвляющихся решений применительно к задачам о нарушении симметрии по пространственным переменным. Нелинейное уравнение допускает группу движений евклидовых пространств R или R3. При переходе бифуркационных параметров через их критические значения рождаются решения, периодические по времени и по пространственным переменным (решения ячеистой структуры). Эта глава диссертации посвящена, таким образом, математическим моделям синергетики в бифуркационных явлениях Андронова-Хопфа. Математическое моделирование предполагает обязательное исследование устойчивости разветвляющихся решений, т.к. в практических приложениях реализуются именно устойчивые решения. Поэтому в главе 3 рассматриваются вопросы устойчивости стационарных и периодических (на основе варианта классической теории Флоке) разветвляющихся решений для дифференциального уравнения с вырожденным оператором при старшей производной [49, 118]. Здесь определяющую роль в общем случае играют уравнения разветвления в корневых подпространствах. В приложение вынесена таблица умножения группы куба Oh

Обзор приложений дифференциальных уравнений с вырождением при производной (течения неньютоновских жидкостей Кельвина-Фойгта и Олд-ройта, теория фильтрации, нелинейные волны, реология, электрические цепи) содержится в монографии Г.В.Демиденко и С.В.Успенского [14]. Задачи нестационарной бифуркации в указанных приложениях еще не рассматривались.

Таким образом, в диссертации последовательно реализуется программа "модели" Л.В.Овсянникова для исследования бифуркации Андронова-Хопфа дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при ведущей производной. Введение содержит сведения исторического характера, а также некоторые определения и факты из теории ветвления решений нелинейных уравнений и методов группового анализа, используемые в диссертации и нужные для её прочтения без привлечения дополнительных источников. Используемые терминология и обозначения со

Заключение

1. Для бифуркационных задач Андронова-Хопфа о ветвлении периодических решений сингулярных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах введено понятие эквивалентных уравнений разветвления в корневых подпространствах (УРК), являющихся дифференциально-алгебраическими системами.

2. Доказаны теоремы о наследовании УРК групповой симметрии нелинейной задачи.

3. Выполнено построение общего вида уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта для различных моделей бифуркации Андронова-Хопфа по наследуемой ими групповой симметрии нелинейных уравнений.

4. Определена асимптотика семейств разветвляющихся решений для нестационарных бифуркационных задач о нарушении симметрии.

5. Получены критерии устойчивости разветвляющихся стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при старшей производной.

В перспективе предполагается исследовать приложения полученных результатов при бифуркации Андронова-Хопфа в конкретных моделях математической физики, в которых исследуются колебательные процессы (волновые движения неньютоновских жидкостей, флаттер пластин в сверхзвуковом потоке газа, нелинейная оптика и др.)

Соискатель выражает искреннюю признательность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Борису Владимировичу Логинову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1978, 304с.

2. Арнольд В.И. Динамические системы, N.6, 1985, ВИНИТИ, Москва.

3. Баутин Н.Н. Критерии опасных и безопасных границ области устойчивости // ПММ-1948/Г.12,6,691-728.

4. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи области устойчивости, M.-JL: ОГИЗ Гостехиздат,1949,164 С.

5. Брушлинская Н.Н. Качественное интегрирование одной системы дифференциальных уравнений в области, содержащей особую точку и предельный цикл // Докл. АН СССР, 1961,Т.139,1,9-12.

6. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: ГИТТЛ, 1956, 344с.

7. Вайнберг М.М.,Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.,Наука,1969-524С.; Noordorf Int. Publ., Leyden,1974.

8. Ван дер Варден Б.Л. Метод теории групп в квантовой механике. РХД, 2000, 232 С.

9. Г.Вейль. Классические группы, их инварианты и представления. ИЛ, 1947, 498С.

10. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М. Наука. 1981. 176 С.

11. И. Владимиров С.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения с дискретной группой симметрии // ДУ. 12(1975). 7. 1180-1189.

12. Гельфанд И.М., Минлос P.JI., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. М., 1958.

13. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения.-М.:Наука, 1985, 408 с.

14. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск, Научная книга, 1998, 438с.

15. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. 1967. 472 с.

16. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике.-М.: Наука, 1983, 280 с.

17. Йохвидов И.С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Москва, Наука, 1974, 264 с.

18. Коддингтон Э.А. Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ. 1958. 474 с.

19. Коноплева И.В.,Логинов Б.В. Обобщенная жорданова структура и симметрия разрешающих систем в теории ветвления// Вестник Самарского Гос. Университета, 2001, 4(22), 56-84.

20. Красносельский Н.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956, 392с.

21. Курдюмов С.П.,Малинецкий Г.Г. Синергетика теория самоорганизации. Идеи, методы, перспективы. Математика, кибернетика. М.:3нание, 2, 1983, 64с.

22. Логинов Б.В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. Ташкент, Фан, 1985-184 С.

23. Логинов Б.В. Ветвление решений нелинейных уравнений и групповая симметрия// Вестник Самарского Гос. Университета. 1998. 2(8). 15-70.

24. Логинов Б.В. Задачи теории ветвления, инвариантные относительно группы движений R*// Известия АН УзССР, ф.м.н., 1978,3,2023.

25. Логинов Б.В. Применение теории ветвления в условиях групповой инвариантности при построении периодических решений задачи о фазовых переходах в статистической теории кристалла// УМН,36(1981),4,209-210.

26. Логинов Б.В. Об инвариантных решениях в теории ветвления// ДАН СССР,246(1979),5,1048-1051.

27. Логинов Б.В. Инварианты и инвариантные решения в теории ветвления// Сб.,"Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными и их приложения", Ташкент, Фан, 1978,117-133.

28. Логинов Б.В. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при производной// Известия АН УзССР, ф.м.н., 1988,1,29-32; Письмо в редакцию.1988, 1,28-32;2,С.78.

29. Логинов Б.В. Общий подход к исследованию бифуркации рождения цикла в условиях групповой симметрии// Известия АН УзССР, ф.м.н.,1990,6, 16-18.

30. Логинов Б.В. Об определении уравнения разветвления его группой симметрии// Доклады РАН, 331 (1993),6,677-680; Russ.Acad.Sci.Dokl. Math.,48(1994),1,203-205.

31. Логинов Б.В. Уравнение разветвления в корневом подпространстве: групповая симметрия и потенциальность// Функциональный анализ, УлГПУ, 35 (1994),С.16-28.

32. Логинов Б.В. Бифуркация и симметрия в задачах о капиллярно-гравитационных волнах // Сибирский математический журнал, 42 (2001), 4, 868-887.

33. Логинов Б.В., Применение бифуркационных задач с нарушением симметрии. Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения, Коллективная монография (под ред. В.А.Треногина, А.С.Филиппова), 120-144.

34. Логинов Б.В., Ким-Тян Л.Р. Об устойчивости разветвляющихся решений дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения, 24 (1988), 4, 695-698.

35. Логинов Б.В., Макаров М.Ю. О роли обобщенной жордановой структуры при построении и исследовании уравнения разветвления бифуркации АндроновагХопфа// Вестник Самарской Государственной Экономической Академии 1999, 1, 224-233.

36. Логинов Б.В., Макаров М.Ю. Обобщённая жорданова структура и уравнение разветвления бифуркации Андронова-Хопфа// Сборник научных трудов Ульяновского Государственного Университета "Механика и процессы управления" 2000,41-51.

37. Логинов Б.В., Макаров М.Ю. Задачи о нарушении симметрии при бифуркации Андронова Хопфа. I// Вестник Самарского государственного университета. 2000. N 2 (16).54-68.

38. Логинов Б.В.,Макаров М.Ю. Групповая симметрия уравнения разветвления бифуркации Андронова-Хопфа в корневом подпространстве// Труды междун. конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Самара, 2002, 220-223.

39. Логинов Б.В., Рахматова Х.Р., Юлдашев Н.Н. О построении уравнения разветвления по его группе симметрии (кристаллографические группы)// В сб. "Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей". Ташкент. 1987. 183-195.

40. Логинов Б.В., Русак Ю.Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления// Сб." Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными и их приложения", Ташкент, Фан, 1978,113-148.

41. Логинов Б.В., Русак Ю.Б. Обобщенная жорданова структура аналитической оператор-функции и ее роль в теории ветвления. Депонированная рукопись N.1782-77-Деп, М.,ВИНИТИ-81с.; Дополнение-Депонированная рукопись N.29-78-Деп, М.,ВИНИТИ,-11с.

42. Логинов Б.В., Русак Ю.Б. Полные жордановы наборы в линейных задачах теории ветвления с групповой симметрией// Дифференциальные уравнения и их применения в механике, Ташкент, 1985, С.136-153.

43. Логинов Б.В., Ю.Б.Русак, М.Ю. Макаров Об устойчивости стационарных и периодических решений уравнений с вырожденным оператором при старшей производной// Вестник Ульяновского Государственного Технического Университета 2000, 2,4-12.

44. Логинов Б.В.,Сидоров Н.А.,Русак Ю.Б. Теорема существования точки бифурации в присутствии одной обобщённой жордановой цепочки нечётной длины// Математ. Моделирование. Росс. Акад. Наук 1997, т.9,10,30-31.

45. Логинов Б.В.,Треногин В.А. О применении непрерывных групп в теории ветвления// ДАН СССР, 197(1971),1,36-39; Soviet Math.Dokl.,12(1971)

46. Логинов Б.В.,Треногин В.А. Об использовании групповых свойств для определения многопараметрических семейств решений нелинейных уравнений// Математический Сборник, 85(1971),440-454; Math.USSR Sbornik, 14(1971),3,438-452.

47. Логинов Б.В.,Треногин В.А. Идеи групповой инвариантности в теории ветвления// В kh."Y Казахстанская межвузовская конференция по математике и механике" ,1, Математик,Алма-Ата,1974,206-208.

48. Логинов Б.В.,Треногин В.А. Об использовании групповой инвариантности в теории ветвления// ДУ, 11(1975),8,1518-1521.

49. Логинов Б.В.,Треногин В.А. Групповые матоды в теории ветвления. Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения// Коллективная монография (под ред. В.А.Треногина,А.С.Филлипова), 89-112.

50. Любарский Г.Я. Теория групп и ее применения в физике. М. ГИТТЛ. 1958. 356 С.

51. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.:Наука, 1965, 520с.

52. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения, М.-Л.: Гостехиздат, 1950,471 С.

53. Макаров М.Ю. Уравнение разветвления бифуркации Андронов -Хопфа для дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной// Труды IX научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи".1999,83-86.

54. Макаров М.Ю. Уравнение разветвления бифуркации Андронова-Хопфа с симметрией простой кубической решётки// Труды X научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". 2000,101-104.

55. Макаров М.Ю. Инвариантное представление уравнения разветвления бифуркации Андронова-Хопфа// Труды международной конференции по теории операторов и ее приложениям, Ульяновский Гос. педагогический Университет, 2001, 28-31.

56. Макаров М.Ю. Уравнение разветвления бифуркации Андронова-Хопфа с симметрией ромбической решётки// Ученые записки Ул-ГУ "Фундаментальные проблемы математики и механики", 1 (11), 2002, 111-119.

57. Марсден Дж.,Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и её приложения, М.:Мир,1980,368 С.

58. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики, М. Наука. 1969.

59. Моршнева И.В. Бифуркация рождения цикла в динамических системах с симметрией и свободная конвекция в жидкости: дис. канд. ф.м.н. Ростов-на-Дону, 1989, 130С.

60. Моршнева И.В., Юдович В.И. О ветвлении циклов из положений равновесия систем с инверсионной и вращательной симметрией// СМЖ, 26(1985),1,124-133.

61. Наймарк Ю.И. О некоторых случаях зависимости периодических движений от параметров// Докл.АН СССР,1959,Т. 129,4,736-739.

62. Некрасов А.И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. М.:Изд-во АН СССРб 1951, 96с.

63. Немыцкий В.В. Структура спектра нелинейных вполне непрерывных операторов// Мат.сб., т.33(75), 3, 1953, 545-558.

64. Николис Г., Пригожин М. Самоорганизация в неравновесных системах. М.:Мир, 1979, 512с.

65. Овсянников JI.B. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений, Новосибирск, НГУ, 1966 131 С.

66. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978 400 С.; Academic Press, NY, 1982.

67. Овсянников Л.В. Программа подмодели. Институт гидродинамики РАН, Новосибирск, 1992, 12с.

68. Овсянников Л.В. Об оптимальных системах подалгебр// Доклады РАН, 333, N3, 1993, 702-704.

69. Овсянников Л.В. Программа подмодели.Газовая динамика.// ПММ, 58(3), 1994, 30-55.

70. Овчинников С.Н., Юдович В.И. Расчет вторичного стационарного течения между вращающимися цилиндрами// ПММ, 32(1968),5,858-868.

71. Пуанкаре А. Избранные труды. Т.1.Новые методы небесной механики, Изд-во АН СССР, 1971,771 С.

72. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. М.:Наука, 1984, 304с.

73. Русак Ю.Б. Обобщенная жорданова структура аналитической оператор-функции и сопряженной к ней// Известия АН УзССР, ф.м.н.,1978,2,15-19.

74. Русак Ю.Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления. Кандидатская диссертация// Ташкент, Институт математики АН УзССР, 1979,126С.

75. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов// Успехи мат. наук,1994,49 4,47-74; Engl.transl.Russian Math.Surveys (1994).

76. Свиридюк Г. А. Фазовое пространство нелинейных уравнений типа Соболева с относительно сильным секториальным оператором// Алгебра и анализ.1994.Т.6, 5,252-271. Engl.transl.6(1995).

77. Сидоров Н.А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления, Иркутский Университет, 1982.-314 С.

78. Сидоров Н.А., Благодатская Е.Б. Дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшем дифференциальном выражении// ДАН СССР,1991,1087-1090;Engl.transl.Soviet Dokl.Math.,v.36(1991).

79. Сидоров Н.А.,Треногин В.А. Условия потенциальности уравнения разветвления и точки ветвления нелинейных операторов// Узбекский мат. журнал, 1992, N 2, 40-49.

80. Тер-Крикоров A.M. Нелинейные задачи и малый параметр. Математика, кибернетика. М.:3нание, 3, 1984, 64с.

81. Треногин В.А. Функциональный анализ.-М.:Наука, 1980, 495с.

82. Треногин В.А. Периодические решения и решения типа перехода в абстрактных уравнениях реакции-диффузии// Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск, Наука, СО АН СССР,1988,134-140.

83. Треногин В.А., Сидоров Н.А. Исследование точек бифуркации и нетривиальных ветвей решений нелинейных уравнений// Дифференциальные и интегральные уравнения, Иркутский Университет, 1(1972),216-247.

84. Хакен Г. Синергетика. М.:Мир, 1980, 404с.

85. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир. 1985.

86. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. М.:Мир, 1979, 279с.

87. Юдович В.И. Свободная конвекция и ветвление// ПММ, 31 (1967), 1, 101-111.

88. Юдович В.И. Возникновение автоколебаний в жидкости// ПММ, 35(1971), 4, 638-655; J.Appl.Math.Mech.,35(1971).

89. Юдович В.И. Исследование колебаний сплошной среды,возникающих при потере устойчивости стационарного режима// ПММ, 36(1972), 3, 450-459; J.Appl.Math.Mech.,36(1972).

90. Юдович В.И. Метод линеариззации в гидродинамической теории устойчивости. Университет Ростов-на-Дону, 1984, 132с.

91. Юдович В.И. О бифуркации рождения цикла из семейства равновесия динамической системы т ее затягиваний // ПММ, т.62,.1, 1998, 22-34.

92. Юдович В.И. Косимметрия вырождения решения операторных уравнений, возникновения фильтрационных конвекций // Математические заметки, т.49, 5, 1991, 142-148.

93. Andronov A.A., Witt A., Sur la theorie mathematiques des autooscillations, C.R.Acad.Sci.Paris.l930.-V.190,256-258.

94. Cicogna G. Symmetry breakdown from bifurcation, Letters Nuovo Cimento, 31(1981), 600-602.

95. Crandall M.G., Rabinowitz P.H. The Hopf bifurcation theorem in infinite dimensions// Arch.Rational Mech.Analysis, 67, 1, 1977, 5372.

96. Golubitsky M., Schaeffer D. Singularities and groups in bifurcation theory, Appl.Math.Sci., 51(1),1984 463 p.

97. Golubitsky M.,Stewart I.,Schaeffer D. Singularities and groups in bifurcation theory, 69(2),1985 534 p.

98. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Losung von einer stattionaren Losung eines Differential systems, Ber.Math.-Phys. Sachsische Academie der Wissenschaften Leipzig, 1942,V.94,H.l-22.

99. Iooss G., Adelmeyer M. Topics in Bifurcational Theory and Appl., 1998, World Sci.Singapore, Subject-central manif.

100. Levi-Civita T. Determination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie// Math.Ann., 1925, bd.93, s.264-324.

101. Lie S. Theorie der Transformationsgruppen, Teubner, 1893, 632 s.

102. Loginov B.V. On the determination of branching equation in nonstationary branching by its group symmetry// "Modern Group Analysis and Problems of Mathematical Modelling", Proc. XI Russian Colloq., Samara University,7-11 June 1993,112-114.

103. Loginov B.V. Bifurcation equation of nonstationary branching with symmetry induced by spatial variables// Uzbek Math. J.,1995,1,58-67.

104. Loginov B.V. Determination of the branching equation by its group symmetry Andronov-Hopf bifurcation// Nonlinear Analysis. TMA, 28(1997),12,2033-2047.

105. Loginov B.V. Branching equation in the root subspace// Nonlinear Analysis.TMA,32(1998),3,439-448.

106. Loginov B.V., Konopleva I.V. Symmetry of resolving systems in degenerated functional equations// Symmetry and Differential Equations: Proc. of Int. Conf.-Krasnoyarsk:ICM Siberian Branch RAN, 2000, p.145-148

107. Loginov B.V., Konopleva I.V. Symmetry of resolving systems for differential equations with Fredholm operator at the derivative// Proc.Int.Conf. MOGRAN-2000: Ufa, USATU (V.A.Baikov, R.K.Gazizov, N.H.Ibragimov, F.M.Mahomed-eds), p.116-119.

108. Loginov B.V., Makarov M.Yu. On the role of generalized Jordan structure at the construction and investigation of branching equation for Andronov-Hopf bifurcation// Buletin stiint. Ser. Math. Inform., University of Pitesti, Romania, N6, 2000, 115-200.

109. Loginov B.V., Makarov M.Yu. Branching equation in the root subspace group symmetry in dynamic bifurcation// Proc. Ill International Conference "Symmetry and Diff. Equations", Krasnoyarsk, 2002, 148153.

110. Loginov B.V., Makarov M.Yu. Branching equation in the root subspace for Andronov-Hopf bifurcation// Proc. of International Conference CAIM-X, Pitesti University, 2003.

111. Loginov B.V., Makarov M.Yu., Rousak Yu.B. International Conference "Functional analysis. Valencia 2000" Abstracts "Canonical Jordan Sets and Andronov-Hopf bifurcation" 3-7 07.2000, p.74-75.

112. Loginov B.V., Rusak Yu.B. Generalized Jordan structure in the problem of the stability of bifurcating solutions// Nonlinear Analysis. TMA, 17(1991),3, 219-231.

113. Loginov B.V.,Sidorov N.A.,Trenogin V.A. Existence of bifurcation at the presence of one Jordan chain of an odd length// Uzbek Math. J.,1993,3,64-68

114. Loginov B.V., TVenogin V.A, Group Symmetry of Bifurcation Equation in Dynamic Branching// ZAMM, 76(1996) ,suppl.2, 237-240.

115. Loginov B.V.,Trenogin V.A. Branching equation of Andronov-Hopf bifurcation under group symmetry conditions// CHAOS, Amer.Inst.Phys., 7(2)(1997),229-238.

116. Poincare H. Les methodes nouvelles de la mecanique celeste. Paris, Gauthier-Villars, 1892.

117. Ruelle D. Bifurcations in the presence of a symmetry group// Arch. Rat. Mech. Anal.,1973, V.51, 2, 136-152.

118. Sattinger D.H. Group representation theory and branch points of nonlinear equations// SIAM J.Math.Anal.,8(1977),2,179-201.

119. Sattinger D.H. Group representation theory,bifurcation theory and pattern formation// J.Funct.Anal.,28(1978),1,58-101.

120. Sattinger D.H. Group theoretic methods in bifurcation theory. Lecture Notes in Math., 762(1979) -240 p.

121. Sidorov N.A., Loginov B.V., Sinitsyn A., Falaleev M. Lyapounov-Schmidt methods in nonlinear analysis and applications. Kluwer Academic Publishers, 2002, 548p.

122. Sidorov N.A., Trenogin V.A., Loginov B.V. Bifurcation, potentiality-group-theoretical and iterative methods// ZAMM, 76 (1996), 2, 246248.

123. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Teil 3. Uber die Auflosungen der nichtlinearen1.tegralgleichungen und die Verzweigung ilirer Losungen.-Math.Ann.,1908,v.65, s.370-399.

124. Struik D.J. Determination rigoureuse des ondes irrotationelles periodiques// Math.Ann., 1926, bd.95, s.595-634.

125. Trenogin V.A., Sidorov N.A., Loginov B.V. Potentially, group symmetry and bifurcation in the theory of branching equation// Differential Integral Equations, 3(1990), N 1, 145-154.

126. Vanderbauwhede A. Local bifurcation and symmetry, Habilitation Thesis, Rijksuniversiteit Gent, 1980.

127. Vanderbauwhede A. Local bifurcation and symmetry, Res.Notes Math., 75(1982), Pitman, Boston 350 p.