автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Инвариантные геометрические методы качественной теории моделирования и управления системами с нелинейной динамикой

На правах рукописи

НИКУЛЬЧЕВ Евгений Витальевич

ИНВАРИАНТНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ II УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ С НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКОЙ

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 2006

Работа выполнена в Московском государственном университете приборостроения и информатики

Научный консультант:

> доктор технических наук,

профессор С. II. Музыки»

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. А. Антонец

Ведущая организация:

Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН

Защита состоится « 18 » апреля 2006 г. в 12°° на заседании диссертационного совета Д 212.119.02 в Московском государственном университете приборостроения и информатики по адресу 107996 Москва, Стромынка, 20 (тел. 268-01-01).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУПИ.

Автореферат разослан «И» марта 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор техн. наук, доцент __

доктор физико-математических наук, профессор Е. И. Веремей

доктор технических наук Б. II. Гаврнлин

М. В. Ульянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Высокие требования к надежности и качеству функционирования сложных систем в промышленности могут обеспечиваться совершенствованием конструкций и технологий, а также развитием математических методов моделирования и алгоритмов управления.

В динамике управляемых процессов многих технических систем наблюдаются нелинейные явления: имеют место нерегулярные и хаотические колебания, бифуркации. К таким системам относятся, например, промышленные объекты, в которых происходят процессы теплообмена, поток вязких жидкостей, химические реакции и др. Часто сложные конструкции промышленных объектов не позволяют строить математические модели, учитывающие нелинейную автоколебательную природу явлений. Отсутствие моделей определяет практический подход к управлению техническими систем промышленных объектов: устанавливается дополнительное оборудование; системы автоматического управления строятся по принципу следящей системы; вводится несколько дополнительных контуров управления; искусственно вводятся дополнительные ограничения и пр., все это ухудшает показатели качества функционирования технических систем.

В теории нелинейной динамики сформировалось направление, связанное с оценкой инвариантных характеристик систем и реконструкцией аттракторов по временным рядам (Ф. Такенс, Д. Рюэль, Н. Пакард, А. Вольф, В. С. Анищенко, Т. Е. Владивласова, В. В. Астахов, А. Б. Нейман, Г. Г. Малинецкий, А. Н. Павлов, Н. Б. Янсон и др.). В области реконструкции моделей по экспериментальным данным разработаны только общие рекомендации. При этом по одномерной реализации восстанавливается фазовый потрет, который, согласно теореме Такенса, топологически эквивалентен аттрактору динамической системы. На следующем этапе идентифицируются параметры априорно заданных уравнений. Классические и наиболее универсальные методы реконструкции состоят в идентификации коэффициентов разложений Тейлора и Лежандра (Д. Кремерс, А. Халберт, Д. П. Кручфилд, Б. С. МакНамара, Т. Капитаниак и др.), что не позволяет в полной мере описывать качественное поведение систем с нелинейной динамикой. Существует ряд работ по использованию нелинейных уравнений (О. Л. Аносов, О. Я. Бутковский, Я. А. Кравцов, Д.Л. Вреден, Р. Браун, Е. Р. Трайс и др.), уравнений с задержкой (М. Д. Буннер, М. Попп, Т. Мейер, Д. Париси и др.). Отличительной особенностью большинства публикаций является то, что предлагаемые алгоритмы тестируются на модельных примерах, когда результат заранее известен. Все это, с одной стороны, создает предпосылки для разработки методологических основ моделирования нелинейных явлений по экспериментальным данным, с другой — нерешенной остается задача создания математических методов и моделей, позволяющих описывать качественное динамическое поведение реальных технических систем с заранее неизвестными структурами моделей.

Моделирование нерегулярных явлений позволит расширить возможности по улучшению качества функционирования технических систем. Для хаотических систем малые воздействия позволяют управлять переходами возможных режимов работы и временем переходных процессов. Задача подавления хаотических колебаний, то есть перевода системы либо к устойчивым периодическим движениям, либо в состояние равновесия, может быть сформулирована как классическая задача автоматического управления. Базовый поход к управлению хаосом, заключающийся в стабилизации периодических орбит, встроенных в аттрактор, был предложен в работе Е. Отта, С. Гребожи, Д. А. Йорка (метод ОСУ). На основе метода СЮУ было построено множество алгоритмов управления хаосом в различных системах, включая гидродинамические, механические, химические и медико-биологические (В. С. Анищенко, Р. Лима, Л. Фронтзони, Р. Хасон, М. Пеггини, В. В. Астахов и др.). Разработаны методы по проектированию систем управления, основанные на нечеткой логике и принципах адаптивности (Л. М. Пекора, Дж. X. Пенг, К. Танака и др.). Аналитическому конструированию регуляторов посвящены работы А. А. Колесникова, Ю.-Ч. Лау, С. Гребоджи, Т. Ушио, Н. А. Магницкого, Е. В. Сидорова.

В качестве математического аппарата для разработки методов повышения качества функционирования технических систем используется дифференциально-геометрическая теория. Актуальность этого аспекта диссертации определяется следующим. Качественное поведение динамической системы описывается фазовым потоком, порожденным векторным полем, т. е. однопараметрической группой преобразований пространства состояний. Управляемая система представляет собой семейство векторных полей, что позволяет совместно с разработкой моделей адаптировать и обобщить методы геометрической теории управления. В последние десятилетия получены значительные теоретические результаты в области оптимального управления нелинейными системами, сформулированные в терминах групп конечных преобразований — групп симметрий, допускаемых управляемыми нелинейными системами, и главной линейной части этих преобразований — алгебр Ли (Р. У. Брокетт, А. Г. Бутковский, Ю. Н. Павловский, Г. Н. Яковенко, В. И. Елкин, К. Лобри, Г. В. Кондратьев, К. Г. Гареев, А. П. Крищенко, А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков).

Таким образом, разработка комплекса инвариантных геометрических методов исследования и моделирования систем с нелинейной динамикой, методов обеспечивающих повышение качества функционирования управляемых технических систем, является актуальной задачей системного анализа и теории управления, имеющей важное практическое значение.

Цель: разработка инвариантных дифференциально-геометрических методов качественной теории моделирования и исследования систем с нелинейной динамикой, обеспечивающих повышение качества функционирования управляемых технических систем.

Задачи, решаемые в работе:

1. Обзор и анализ методов качественной теории систем с нелинейной динамикой.

2. Анализ и развитие математического аппарата групп симметрий, как одного из эффективных методов исследования нелинейных систем.

3. Разработка методов качественного анализа фазовых траекторий управляемых систем на центральном многообразии в локальной области.

4. Разработка моделей, реконструируемых по экспериментальным данным функционирования нелинейных систем.

5. Создание инвариантного метода математического моделирования и методики параметрической идентификации систем с нелинейной динамикой.

6. Разработка принципов и технологий управления для систем с нелинейным поведением, основанных на дифференциально-геометрической теории.

7. Практическое применение разработанных методов и моделей для проектирования систем автоматического управления промышленными объектами.

8. Оценка эффективности использования разработанных методов при управлении сложными техническими объектами.

9. Внедрение результатов исследований в учебный процесс.

Методы исследования. В диссертации использованы методы нелинейной динамики, системного анализа, математической теории управления, качественной теории нелинейных динамических систем, теории многокритериальной оптимизации, геометрической теории гладких управляемых систем, математической физики, дифференциальной геометрии и топологии, теории групп симметрий, теории инвариантов и информационные технологии.

Объект исследования. Данные, полученные в результате исследования функционирования управляемых технических систем, в динамическом поведении измеряемых параметров которых наблюдаются нелинейные явления — регулярные или хаотические колебания.

Предмет исследования. Разработка инвариантных методов моделирования и качественного исследования нелинейных динамических систем, а также геометрических методов построения алгоритмов управления, обеспечивающих повышения качества функционирования технических систем.

Научная новизна. Полученный в работе комплекс теоретических результатов, обобщений и исследований позволил решить научно-техническую проблему создания теоретико, методологических основ повышения качества функционирования технических систем на базе разработанных инвариантных геометрических методов исследования и моделирования нелинейных явлений.

Наиболее существенные научные результаты заключаются в следующем:

- разработан метод моделирования систем с нелинейной динамикой по экспериментальным данным, на основе использования теории групп симметрий;

- теоретически обоснована редукция систем с нелинейной динамикой на инвариантное центральное многообразие в локальной области, основанная на модифициро-

ванном аппарате групп однопараметрических преобразований для непрерывных и дискретных моделей систем с управлением;

- разработан метод построения параметрически-идентифицируемых моделей нелинейных систем на основе представления систем на центральном многообразии и дифференциально-геометрическом анализе;

- разработан геометрический метод построения алгоритмов управления системами с нелинейной динамикой, учитывающий особенности предложенных идентифицируемых моделей и результаты анализа инвариантных характеристик;

- разработан метод построения парето-оптимальных решений для задач управления нелинейными системами в условиях нескольких заданных критериев качества, на основе исследования групп вариационных симметрии;

- разработана технология, обеспечивающая повышение качества функционирования управляемых технических систем с нелинейной динамикой контролируемых процессов, на основе созданных геометрических методов и моделей.

Достоверность и обоснованность научных положений, результатов, выводов и рекомендаций, приведенных в диссертационной работе, подтверждена результатами компьютерного моделирования и экспериментальными исследованиями на реальных промышленных объектах, а также апробацией и обсуждением результатов работы на международных и всероссийских научных конференциях, рецензированием и предварительной экспертизой научных статей, опубликованных в ведущих научных изданиях..

Практическая значимость и внедрение. На основе полученных в работе теоретических результатов и методических рекомендаций создан комплекс геометрических методов, обеспечивающий решение важной научно-технической задачи повышения качества функционирования управляемых технических систем и промышленных объектов, включающий анализ экспериментальных данных, моделирование, исследование и разработку алгоритмов управления.

Результаты работы использованы при выполнении проекта «Разработка геометрических методов исследования управляемых динамических систем», по программе Рособразова-ния РФ «Развитие научного потенциала высшей школы 2005 г.» (код 63372); НИР по заказу НИИ «Энергия» Главного управления информационных систем Спецсвязи РФ, выполняемой во исполнение Постановления Правительства РФ от 02.02.96 №87-04 и Указа Президента РФ от 03.04.95 №334 (выполнена в 2004); НИР «Разработка теории, методов, и средств математического моделирования систем» в рамках тематического плана МГАПИ (2001-2003).

Результаты исследований внедрены в информационной системе поддержки принятия решений в НИИ «Энергия» ГУИС Спецсвязи РФ, в системе управления на ТЭЦ-17 Филиала Мосэнерго, в системе регулирования на ЗАО «Ступинская металлургическая компания», в системе управления теплообменником в компании «Марс», в системе управления потоком

вязкой жидкости для ООО «Центр передовых технологий «Базис» и моделировании процессов теплообмена на ряде промышленных предприятий.

Использование разработанных методов и моделей позволило увеличило быстродействие систем теплообмена в 1,5-2 раза, и повысить качество и надежность их функционирования.

Результаты диссертационной работы использованы в учебном процессе кафедры «Управления и моделирования систем» Московского государственного университета приборостроения и информатики, кафедры «Моделирования систем и информационных технологий» «МАТИ» — Российского государственного технологического университета им. К. Э. Циолковского.

Результаты внедрения подтверждены соответствующими актами.

Основные положения, выносимые на защиту.

- метод, позволяющий на основании экспериментальных данных, полученных при исследовании технических систем с нелинейной динамикой, строить динамические модели систем, редуцированных на инвариантное центральное многообразие в локальной области и допускающие группы симметрий;

- теоретическое обоснование и методика параметрической идентификации моделей управляемых систем с нелинейной динамикой, использующая дифференциально-геометрический анализ;

- геометрические методы построения алгоритмов управления нелинейными системами с нелинейной динамикой, на основе исследования инвариантных характеристик и группового анализа;

- технология повышения качества функционирования управляемых технических систем и промышленных объектов.

Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 36 международных и всероссийский научных конференциях, в том числе: 1-й, 2-й Международной на-уч.-техн. конф. «Моделирование и исследование сложных систем» (Кашира, 1996; Озеры, 1998); Международной науч.-практ. конф. «Теория активных систем» (Москва, 2001); 2-й, 3-й, 4-й, 5-й Всероссийской науч. конф. молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (Новосибирск, 2001; 2002, 2004; Красноярск 2003, везде — пленарные доклады); 4-ой конференции молодых ученых «Навигация и управление движением» (С.-Петербург, 2002); 1-й, 2-й Всероссийской науч. конф. «Проектирование научных и инженерных приложений в системе МАТЬАВ» (Москва, 2002, 2004); 2-ой Международной научной школе «Моделирование и анализ безопасности в сложных системах» (С.-Петербург, 2002); 11-ом Международном науч.-техн. семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Крым, Алушта, 2002); 3-й Международной науч.-практ. конф. «.Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2003); Международной конф., поев. 100-летию со дня ро-

ждения А.Н. Колмогорова «Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2003); Международной конф. по теории управления, поев. памяти акад. Б. Н. Петрова (Москва, 2003); 5-ой молодежной науч.-техн. конф. «.Наукоемкие технологии и интеллектуальные системы» (Москва, 2003); 2-ой Международном конференции по проблемам управления (Москва, 2003); Международной науч.-техн. конференции «Автоматизация и управление в технических системах» (Пенза, 2004); 8-м международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», поев, памяти Е. С. Пятницкого (Москва, 2004); Всероссийской науч.-техн. конф. «Информационные технологии» (Воронеж, 2005), а также на регулярных научных семинарах под рук. проф., д. т. н. С. Н. Музыкина (1995-2004) под рук. д. т. н., проф. Б. М. Михайлова (2004-2005), под рук. д. т. н. М. В. Ульянова (2005).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 48 работах, основные 35 публикаций приведены в конце автореферата, включая 10 статей в ведущих периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 11 статей в других журналах и сборниках трудов, 14 работ в сборниках трудов международных и всероссийских "научных конференций.

В работах, выполненных в соавторстве, Никульчеву Е. В. принадлежат результаты, относящиеся к разработке геометрических методов и моделей сложных систем, а так же результаты по их практическому использованию.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, б глав, заключения, списка использованных источников из 284 наименований, приложения. Общий объем работы 317 с., из них 283 с.— основное содержание, включая 67 рисунков, 9 с. — приложение (акты о внедрении результатов на промышленных предприятиях и в учебный процесс вузов), 25 с.— список использованных источников.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность диссертации, сформулированы цели, задачи, объект, предмет и методы исследования, приведены научная новизна и практическая ценность работы, дана общая характеристика работы.

В первой главе «Теоретические основы геометрического подхода к моделированию фазовых траекторий управляемых систем с нелинейной динамикой» проведен аналитический обзор подходов к исследованию и управлению систем с нелинейной динамикой, определен объект исследования, применительно к которому сформулированы понятия качественной теории систем; проведен анализ и обобщены положения геометрического подхода к моделированию фазовых траекториях систем с управлением; уточнены задачи и направления исследования.

Исследованы особенности качественного анализа нелинейных динамических систем, основанного на классических методах А. Пуанкаре, А. М. Ляпунова, Л. С. Понтрягина, А. А.Андронова, Е. А Леонтович, А. Г. Майера, Д. Д. Биркгофа, В. И. Арнольда и др. Прове-

ден анализ современных моделей, основанных на представлениях о гомоклинических структурах (С. Смейл, Л. П. Шильников) и моделях с хаотической динамикой (системы Э. Лоренца, А. Реслера, Л. Чуа). Рассмотрены важные для практического применения методы реконструкции аттрактора и вычисления инвариантных характеристик по временному ряду (Ф. Такенс, Д. Рюэль, Н. Пакард, А. Вольф, Г. Г. Малинецкий, В. С. Анищенко, П. Гросберг, М. Розенштейн, Р. Хеггер, И. Проксиа, Н. Канц, Т. Сауэр, В. В. Астахов, А. Б. Нейман и др.).

Рассмотрены методы реконструкции моделей по экспериментальным данным. Основная идея реконструкции состоит в возможности восстановления фазового портрета методом задержки по одномерной реализации. Восстановленный портрет, отражает качественное поведение функционирующей системы, и является, по теореме Такенса, топологически эквивалентным ее аттрактору. Все методы ориентированы на параметрическую идентификацию заданных уравнений. Как правило, вычисление параметров основано на методе наименьших квадратов. Анализ работ показывает, что исследованы и разработаны практические методики только для разложений Тейлора и Лежандра (Д. Кремерс, А. Халберт, Д. П. Кручфилд, Б. С. МакНамара и др.), что не позволяет в полной мере описывать качественное поведение систем с нелинейной динамикой. Проведен анализ работ по использованию нелинейных уравнений (О. Л. Аносов, О. Я. Бутковский, Я. А. Кравцов, Д.Л. Бреден, Р. Браун, Е. Р. Трайс и др.), уравнений с задержкой (М. Д. Буннер, М. Попп, Т. Мейер, Д. Париси и др.). Отмечено, что, в основном, предлагаемые в публикациях алгоритмы тестируются на модельных примерах малой размерности. В результате сделан вывод об актуальности разработки и наличии теоретических предпосылок использования моделей нелинейной динамики для решения задач моделирования технических систем.

Проведен анализ работ по управлению нелинейными системами. Отмечено, что системы, чувствительные по отношению к малым возмущениям параметров, допускают эффективное управление посредством внешнего контролируемого воздействия. Целью такого воздействия может быть реализация в системе периодического режима вместо хаоса или попадание в заданную область фазового пространства. Идея, первоначально предложена группой исследователей из университета штата Мериленд (Е. Отт, С. Гребоджи, Д. Йорк, метод OGY) нашла широкое применение. Приведены примеры практического использования указанного подхода в различных областях: в механических системах, системах обработки сигналов, в радиотехнике и электронике (С. П. Кузнецов, Б. П. Безручко, Е. П. Селезнев, А. В. Шабунин, В. В. Астахов, А. Н. Сильченко, и др.). Рассмотрены методы аналитического конструирования регуляторов (А. А. Колесников, Ю.-Ч. Лау, С. Гребоджи, Т. Ушио, Н. А. Магницкий, Е. В. Сидоров), адаптивные методы, использующие нечеткие и нейросетевые модели (Л. М. Пекора, Дж. X. Пенг, К. Танака, Р. Лима, Л. Фронтзони, Р. Хасон, М. Петтини), работы по управлению хаосом представителей школы Саратовского государственного университета (В. С. Анищенко и др.). Приведенные результаты позволяют считать, что моделирова-

ние динамики технических объектов позволяет строить качественные и надежные системы управления.

Во втором разделе первой главы определен класс моделей и проведен обоснованный выбор инструментов исследования и подходов для создания методов исследования нелинейных процессов.

Рассмотрены методы моделирования динамических систем. Определение динамической системы включает три компонента: (1) метрическое пространство £>, называемое фазовым пространством; (2) время которое может быть либо непрерывным, то есть * е К1, либо дискретным, то есть г е 2; (3) закон эволюции, то есть отображение любой заданной точки х в фазовом пространстве О и любого значения г в однозначно определенное состояние ф(/,дг)е£), удовлетворяющее следующим теоретико-групповым свойствам: ф(0,х) = х\,х)) = ф(/, +12,х)); допускают непрерывные преобразования по

С*,Г). Если / непрерывна, условия определяют непрерывную систему, или поток, представляющий собой однопараметрическую группу гомеоморфизмов фазового пространства £>.

Для дискретной динамической системы последовательность гДе = УС**),

называется траекторией точки лго. Существует три типа траекторий. (1). Неподвижная точка хо гомеоморфизма \|/(дг), то есть отображение при помощи у(х) в себя. (2) Цикл

(х0,..., хк_,), где х, = н/'(х0), I = 0,к -1, а х0=\ук(х0), * х} при » * у . (3) Бесконечная в обе

стороны траектория, то есть последовательность {хк , где х( ф х] при / ф у.

Предполагается, что в модели исследуемых нелинейных процессов могут быть представлены в виде преобразования Ох1/-+ТхХ:

* = /(*(').')+ Л(*(0)"(')> (1-1) где х — «-мерный вектор состояний системы из О — область в многообразии X,

отождествляемом либо с К" (или с Е"+|, многообразие включает независимую переменную I— время); либо с тором Т"; ы(/) — р-мерный вектор управления из множества допустимых управлений [/сИ' (р <, п); хе ТхХ\ ТхХ— касательное пространство к!в точке х, определяемое допустимыми управлениями; /(•) = (/¡, ...., /,), Л(-) = (Л,, ...., Л„)— С-гладкие

(г ^1) вектор-функции, определенные в области £>.

В зависимости от выбора управляющих сигналов, система (1.1) преобразуется к автономной. Таким образом, вспомогательной моделью являются автономные системы:

* = /(*).- (1-2) При заданных начальных условиях х0еО, существует единственное решение <р(0,

определенное на некотором интервале (?+, /-), содержащем значение I = /о.

Разрабатываемые инвариантные методы позволяют создать единый геометрический подход как для непрерывных, так и для дискретных моделей. Дискретные динамические системы определяются гомеоморфизмом у : £) н» О:

, *(/ + 1) = у(*(0). (1.3)

Рассмотрены виды аттракторов для управляемых систем. Показано, что при малом изменении управляющего сигнала происходят те же явления, что и при изменении бифуркационных параметров. Выделены основные виды последовательностей бифуркаций (сценарии) перехода к нерегулярному аттрактору: сценарий Рюэлля-Такенса; сценарий Фейгенбау-ма (удвоение периода); сценарий Помо-Манневиля (перемежаемость); сценарий Шильникова (возникновение петли типа седло-фокуса).

Для достижения цели исследования обоснован выбор последнего сценария для моделирования. Существование нерегулярных аттракторов в технических объектах связано с существованием гомоклинических кривых или контуров Пуанкаре, включенных в окрестность, в которую при I -> со входят все решения. В самой окрестности не исключается существование устойчивых режимов, причем их может быть счетное множество.

В третьем разделе приведен анализ геометрических принципов качественного исследования фазовых портретов систем с управлением.

В заключении делается вывод о том, что дифференциально-геометрические методы исследования объектов с нелинейной динамикой могут быть выбраны в качестве эффективного подхода к разработке методов моделирования, направленных на повышение качества функционирования управляемых технических систем.

Во второй главе «Аппарат групп снмметрий для исследования моделей управляемых систем» изложены вопросы применения группового анализа для рассматриваемого класса систем с управлением; разработан аппарат непрерывных групп симметрий дискретных моделей; определены основные результаты для анализа фазовых портретов систем с нелинейной динамикой.

В главе проведен групповой анализ нелинейных динамических систем с управлением, базирующийся на фундаментальных результатах и базовых понятиях, полученных Л. В. Овсянниковым, Н. X. Ибрагимовым, П. Олвером и результатах для управляемых систем Ю. Н. Павловского, В. И. Елкина, Г. Н. Яковенко, Г. В. Кондратьева, А. Г. Бутковского, К. Г. Гареева, А. П. Крищенко, А. А. Аграчева, Ю. Л. Сачкова и др.

Рассмотрено качественное поведение фазовых траекторий, включающих состояния равновесия, периодические траектории, незамкнутые траектории. Если отображение ср(/,дг)— диффеоморфизм, поток представляет собой гладкую динамическую систему. В этом случае фазовое пространство й имеет некоторую дополнительную гладкую структуру. Фазовым пространством Д может быть либо М", либо «-мерный тор, гладкая поверхность или многообразие. При этом можно установить соответствие между гладким потоком и векторным полем путем определения поля скоростей.

Для управляемых систем с нелинейной динамикой (1.1) проведен групповой анализ. Описана процедура построения полной системы, имеющей вид:

+ 1\f/{t,x,u)^-, у = Гр, (2.1)

8t tJ дх.

X* к = р + \,т, (2.2)

где fj(/, л*, и) = f.(t, x,Uj), линейно несвязанны. Операторы (2.1) есть результат последовательности вычисления коммутаторов [•, •] операторов (2.2).

На основе особенностей аппарата групп симметрий, заключающейся в возможности вычисления первых интегралов нелинейных систем, изложена техника их вычисления и исследования управляемых нелинейных систем на регулярность.

Рассмотрена группа симметрий фазовых траекторий, которая характеризуется следующим преобразованием графиков:

graph {cp(*(0, «('))} graph {<p(*(f), i/(t))>, Пусть существует группа однопараметрический преобразований в ¿»-области (т — групповой параметр):

х = x(t, х, т),

с инфинитезимальным оператором

охк т-0

Здесь переменные t и и преобразуются тождественно; преобразования группы не зависят от' управления и.

Алгебру Ли Ао, соответствующую группе, определяют:

В случае отсутствия нетривиальных первых интегралов, алгебра Ао операторов У симметрии конечномерна, и ее размерность q не превосходит размерности п пространства состояний: О <q<n\

где числа Су — структурные постоянные ^-мерной алгебры Ли.

Определены критерии определения систем с функциональной мощностью множества допустимых управлений м(г), для которых множество преобразований сдвигов вдоль решети принадлежит конечнопараметрической группе. Показано, что у системы с управлением множество преобразовании сдвигов вдоль решений имеет функциональную мощность, а

единственным преобразованием симметрии является тождественное. Обсуждается классификация групповых систем.

Разработан и обобщен аппарат непрерывных симметрии конечно-разностных моделей, развитие которого происходит в математической физике (В. А. Дородницын (2001), М. К. Кросс (1998), Р. О. Григорьев (2000)). В диссертации впервые разработаны теоретические основы группового анализа дискретных систем с управлением.

Показано, что для описания дискретных систем необходимо привлечение пространств последовательностей. Дифференцирование О определено как отображение:

£>(/) = 1, £>(*1) = *2, •••> £>(х_1)=*Л5в1,2,...

Пусть Ф— пространство аналитических функций /(*) от конечного числа переменных х (при этом разные функции /(*), входящие в Ф , могут зависеть от разного набора переменных из (I, дп, хг, ...), но сам набор конечен всегда). Отождествляя £> с действием линейного дифференциального оператора первого порядка

Л э д д

д1 1 дх2 дх,

тем самым распространим дифференцирование £> на функцию из Ф, при этом £>(/(х)) е Ф.

Введено в рассмотрение пространство последовательностей формальных степенных рядов от параметра х:

с ^ ?

где /'(^,т) = ^Ф^(2г)т|г, 1 = 1,2,..., Ф^(х) е Ф, причем Ф,° = ; х, — /-я координата вектора из

к-О

= XI, х2,...).

Сравшггельный групповой анализ позволил определить, что для формальных однопа-раметротеских групп справедливо экспоненциальное представление через инфинитезималь-ный оператор так же, как и для классических локальных групп Ли преобразований. Это позволило установить, что касательное векторное поле £,'(х) = (<у'(х,т)/Эт)| связано с рядами (1.3) с помощью уравнений Ли, т. е. последовательность формальных рядов (/1,/2, ...), образующих группу с касательным полем £'(•*)> удовлетворяет системе (1.3), и, обратно, для любой последовательности функций (^'(^Х V (-*)> •••), £'(*)6 Ф» решение системы (1.3) образует формальную однопараметрическую группу.

На однопараметрические группы дискретных систем распространяется такая же связь группы и оператора, как и в классических локальных группах Ли. В случае когда формальные степенные ряды сходятся и образуют достаточно гладкие дифференцируемые функции, имеют место группы Ли точечных или касательных преобразований. Таким образом, точечные и контактные преобразования составляют часть формальных групп, но не исчерпывают их целиком. Дополнительным классом к группам точечных и касательных преобразовании

являются группы Ли-Беклунда. Для формальных групп определено понятие инварианта и инвариантного многообразия. В работе на основе введенных процедур дифференцирования (правого и левого) получены результаты по применению групп симметрии к уравнениям, описывающих динамику управляемых объектов.

С учетом используемых формальных групп, введено, что в динамической системе имеет место преобразование симметрии, если нелинейное динамическое уравнение с управлением

х(/ + 1) = ц,(х(0М0) , (2.3)

сохраняет свою структуру при линейных преобразованиях х —> х, в пространстве состояний, т. е. уравнение допускает группу симметрий С?, если выполняется:

У(я(л),м) = г(\1/(дг,ы)), хеХ.

С целью практического применения проведено исследование системы, линеаризованной вдоль ее программной траектории. Доказано, что при линеаризации структура симметрий эволюционного уравнения (2.3) заменяется связанной динамической симметрией. Это определяется свойствами алгебры Ли, представляющей собой, в определенном смысле, локальную линеаризацию группы Ли.

Рассматривается полная группа симметрий Ь линеаризованного уравнения автономной системы (Ды(0 = 0), такая, что:

^АЛх) = А^Ах); е Ь, (2.4)

где А = с1\\1(х)/(кс. Группа Ь, описывающая симметрию линеаризованной системы, включает все преобразования С?с . При этом множество ограничений на управление опреде-

ляет однопараметрическую подгруппу ¿'с£. В касательном пространстве ТхХ, под действием преобразований £ из произвольной подгруппы Ь' полной группы Ь, образуется группа, которая может быть заданна в виде оператора Т в матричном представлении:

Ых)),={т(8)х\=£ти(8)х;, Ух<=ТхХ. (2.5)

Согласно теории симметрий, алгебра Ли, отвечающая группе Ли — пространство ле-воинвариантных векторных полей на группе Ли с операцией [•, •] — скобкой Ли (коммутатором векторных полей). Группа является группой симметрий уравнения, если она переводит любое решения этого уравнения в некоторое решение того же уравнения. Доказано, что необходимым и достаточным условием этого является выполнение равенства {[А,Т] = 0):

где Г определяется соотношением (2.5).

Показано, что в условиях существования симметрий матрица линеаризованного уравнения является блочно-диагональной, где каждый блок так же является блочно-диагональным, определяемым базисным набором инфинитезимальных операторов разложения группы симметрий.

В третьей главе «Редукция на центральное многообразие систем, допускающих группы симметрий» рассмотрено поведение фазовых портретов на инвариантном торе; сформулированы и доказаны теоремы для редукции систем, допускающих группы симметрий, на устойчивое и неустойчивое многообразие; сформулировано обобщение теоремы о центральном многообразии на основе однопараметрических преобразований.

Проведен анализ поведения траекторий на многообразии и двумерном инвариантном торе с использованием критерия существования устойчивых торов Афраймовича-Шильникова Показано, что исследование поведения траекторий управляемых систем сводится к их анализу на двумерном инвариантном торе. Определены принципы редуцирования систем на центральное многообразие.

Обоснован выбор способа моделирования поведения систем на инвариантном торе в окрестности седла, поскольку седло может иметь двояко-асимптотические траектории, принадлежащие как устойчивому, так и не устойчивому многообразию (гомоклинические петли). При состоянии «седло-фокус», из одной гомоклинической петли может возникнуть бесконечное множество периодических траекторий.

Проанализировано влияние резонансов на подходы к исследованию систем. Важной характеристикой колебательных систем являются характеристические показатели или показатели Ляпунова, связанные с собственными значениями р* матрицы линеаризованного уравнения вдоль периодической траектории (мультипликаторами) соотношением:

X ,

Для практического применения важно, что показатели Ляпунова, являясь инвариантами, могут быть вычислены на основании временного ряда.

Рассмотрены особенности приведения С°°-системы в окрестности положения равновесия к нормальным формам: к нормальной форме Пуанкаре ( у = Ау) и к нормальной форме Дюлака (у = А(у) + R(y), где R(y) — полином конечного порядка, составленный из резонансных мономов). При гладкой замене переменных сохраняются собственные значения (А.|,..., А.„) матрицы А; более того, при замене переменных локально близкой к тождественной, сохраняется и сама матрица А.

Рассмотрены геометрические аспекты преобразований фазовых траекторий нелинейных систем. Показано, что симметрии сдвига и аффинные преобразования допускаются системами, в динамике которых наблюдаются колебательные процессы.

Рассмотрены классы задачи, составляющие предмет теории локальных бифуркаций, основанной на теореме Тураева о центральном многообразии. Существование центрального многообразия позволяет свести решение задач, связанных с критическими случаями, к исследованию m-мерной системы. Ее размерность равна количеству характеристических показателей, лежащих в критический момент времени на мнимой оси, и не зависит от размерности исходной системы (dim = и), которая может быть неограниченно большой.

Впервые получен результат о редукции на центральное многообразие для систем, допускающих группы симметрий.

Рассматривается класс динамических систем

х = /(х,и), (3.1)

где /— С-гладкая относительно всех своих аргументов функция, определенная на £)х {/. Проведены качественные исследования области устойчивости периодических траекторий. Пусть при и = ы° система (3.1) имеет экспоненциально устойчивую периодическую траекторию. Строится отображение Пуанкаре, при этом пересечение периодической траектории с секущей плоскостью является неподвижной точкой отображения О0 (х = *„). Корни характеристического уравнения (1е11Д, - "К11= 0 соответствующей линеаризованной системы х = А^х лежат слева от мнимой оси. Здесь А^ = \д/(х, и)/бх\х^ ыши . Согласно теореме о неявной функции, при <1е11 Ад 0 существует такое малое 5 > 0, что при | и ~и° |< 5 система (3.1) имеет точку пересечения Ои(х = х(и)), близкую к Оо- При этом неподвижная точка Ои остается устойчивой для всех | и - и01< 50 5 5, так как корни характеристического уравнения сЫ | А(и)-Х11= 0, где А(и) = [б/(х(и),и)/8х], непрерывно зависят от и. Рассмотрим произвольно выбранное управление м', удовлетворяющую условию —и° |<50. Повторяя рассуждения, можно найти новую окрестность \и — их |<6,, в которой система (3.1) имеет периодическую траекторию. Рассуждая аналогично, в пространстве параметров можно построить максимальное открытое множество Т, которое является областью грубой устойчивости периодической траектории.

Проведен анализ границ областей устойчивости периодических траекторий. Выделены два типа: а) бифурцирующая периодическая траектория существует, когда параметр лежит на границе; б) периодическая траектория не существует на границе. Для состояний равновесия границ второго типа нет, в то время как периодические траектории могут исчезать при достижении момента бифуркации. Для рассматриваемой цели моделирования значение имеют границы первого типа. Следовательно, в момент бифуркации необходимо изучение поведения траекторий соответствующего отображения Пуанкаре в окрестности бифуркационной неподвижной точки О.

Рассматривается случай, когда и принимает значения, близкие к некоторой критической величине и* (далее полагаем, что и' — 0). Это приводит к системе вида (1.2). Показано, что для моделирования поведения траекторий вблизи точки О недостаточно анализа только линеаризованной системы, т. к. существуют характеристические показатели на мнимой оси.

Система, у которой справа, слева и на мнимой оси есть характеристические показатели, согласно теореме Гробмана-Хартмана, и теореме Шильникова-Овсяникова, может быть записана в виде:

У= Ву + /{(х,у,2),

¿ = Сг+/2(х,у,2), (3.2)

х = Ах + у0(х,у, г),

где 5рес1гЛ = {^,,...,Д.т}, = 0, (у' = 1,1я); эресй- В = ..Л»}, ЯеХ^сО,

(У = »| + 1,Л); вреЛг С = {^4+|>-Д„}> ЯеХу>0, (у = А + 1,и); .дсеК"; ^еМ*; геК"-""*;

С -функции 1|/0,/| ивместе со своими первыми производными обращаются в нуль в начале координат.

В случае, когда правая часть системы гладко зависит от и, центральное многообразие также гладко зависит от и. Таким образом, если функции/иц! являются С -гладкими относительно (х, у, и), то многообразие может быть выбрано в виде С -гладкой функции от (х, и). Этот результат получается формальным добавлением к системе (3.1) уравнения й = 0. Если теперь рассматривать (х, и) в качестве нового состояния х, то вид расширенной системы будет аналогичен исходной системе.

В соответствии с теоремой Тураева о центральном многообразии, в малой окрестности О существует (т + &)-мерное инвариантное центрально-устойчивое многообразие :у = ф*с(л:,;у) класса С, которое содержит О и касается в этой точке подпространства {г - 0}. Многообразие включает в себя все траектории, остающиеся в малой окрестности О при всех положительных значениях времени.

Центрально-устойчивое многообразие определено неоднозначно, для любых двух'" многообразий и функции ф^ и ф^, являющиеся траекториями одной системы в одной локальной области. Показано, что функции имеют одинаковое инфинитезимальные образующие, а, следовательно, локально могут бьггь описаны одной группой симметрий. Это справедливо в каждой точке, траектория которой остается в малой окрестности О при всех значениях (£0.

Аналогично рассматривается и часть спектра характеристических показателей, соответствующая переменным 2 путем обращения времени (I —> -/), т. е. матрицы А, В и С переходят в -А, -В и -С соответственно. К полученной системе снова можно применить теорему о центрально-устойчивом многообразии. В этом случае в малой окрестности О существует (и - Аг)-мерное С-гладкое инвариантное многообразие :у = ф,оС(л,.у)> содержащее точку О и касающееся в этой точке подпространства {у = 0}.

Аналогично, показано, что функции ф^ и ф1^, определяющие центрально-

неустойчивые многообразия Щ'"с и имеют одинаковые инфинитезимальные образующие однопараметрической группы преобразований в каждой точке, траектория которой остается в малой окрестности точки О при всех значениях I ^ 0.

Пересечение центрально-устойчивого и центрального неустойчивого многообразий является С-гладким «/-мерным инвариантным центральным многообразием ^Кж = П . определяемым уравнением вида (у, г) = фг(д:). По построению, центральное многообразие содержит множество всех траекторий, остающихся в малой окрестности точки О при всех значениях времени I е (-оо, +оо). Кроме того, функция фс, вместе со всеми производными однозначно определена во всех точках множества N. В частности, группа симметрии однозначно определяется системой. Следовательно, система может быть идентифицирована на основании группового анализа фазовых траекторий.

Таким образом, с помощью преобразования, принадлежащего группе симметрии, систему (3.2) локально можно привести к виду:

х = Ах + % (*) + (ж, у, г)у + (х, у, 1)2, где Ч*,, б С , , , Ч*, е С"1; Уо(0,у,г) = = Ч*, (*.<>,*) = 0.

Локальное центрально-неустойчивое многообразие задается уравнением {у = 0}, локальное центрально-устойчивое многообразие — {г = 0}, а локальное центральное многообразие — (у = 0, г = 0}. То есть, локальное центральное многообразие определяется уравнениями:

х = Ах(0 + Ч'0(х).

где Ч'Д.х,/) определяется допускаемой исходным уравнением преобразованием симметрии.

Аналогично проведен анализ для дискретных систем. Пусть система имеет размерность (и + 1); таким образом, секущая и-мерна. Пусть т мультипликаторов периодической траектории лежат на единичной окружности, к мультипликаторов лежат строго внутри единичной окружности, а остальные (п - т - к) мультипликаторов строго больше 1 по абсолютной величине. Отображение Пуанкаре вблизи неподвижной точки О записывается в виде

у (/ +1) = ВуО) + Л (х(0. у (0. *(')),

2((+1)=Сг(0 + /2(х(0,у(/),2(0), (3.3)

х (Г +1) = Ах(Г) + ц,(х( г), у( 0, «(О),

где эреаг Л = .....Дт}, |\,|=1, О = 1т); эрейг В — {Хт+1,...,Хк}, | |< 1, 0 = т + 1,/с);

эреаг А = ......Хк}, | 1> 1, (у = т + 1,к); * е 1Г; у е К*; г е К"-""*; Сг -функции /\

и/2 вместе со своими первыми производными обращаются в нуль в начале координат. Предполагаем, что правые части отображения могут непрерывно зависеть от управлений и. В этом случае многообразия и слоения будут непрерывно зависеть от и.

Рассуждая аналогично случаю непрерывных систем, локальное центральное многообразие определяется уравнениями:

х(/ + 1) = /1л:(0 + ^0(х,0, где Т0(л:,0 определяется допускаемой исходным уравнением преобразованием симметрии.

Полученные результаты сформулированы в виде теорем.

Теорема 1. В локальной области качественное динамическое поведение систем с нелинейной динамикой может описываться редуцированной на центральное многообразие моделью

х = Ах(1) + Ч „(*,'), (3.4)

где (х,0 — С-гладкая функция (^„(х,,,*) = Ч^Сх:,,,/) = 0, х0 = 0), которая определяется преобразованием симметрии, допускаемой реконструируемой по экспериментапьным дан-ньш минимальной инвариантной непрерывной системой.

Теорема 2. В локапьной области качественное динамическое поведение дискретных систем с нелинейной динамикой может описываться редуцированной на центральное многообразие моделью

+ = +(*,'), (3.5)

где х{1 + 1)— п-мерный диффеоморфизм; Ш0{х,1)— С-гладкая функция (Ч/о(хо,0 = Ч'о(*0»О = 0,жо =0), которая определяется преобразованием симметрии, допускаемой реконструируемой по экспериментальным данным минимачьной инвариантной дискретной системой.

Сделан вывод о том, что в результгте применения разработанного метода, качественное исследование поведения системы в локальной области сводится к системе меньшей размерности. На основании анализа модели делается вывод о возможности ее параметртеской

I

идентификации на основании наблюдаемых процессов систем с нелинейной динамикой.

В четвертой главе «Моделирование систем с нелинейной динамикой по экспериментальным данным» проведена классификация методов оценки характеристических показателей по временным рядам; изложен модифицированный метод восстановления аттракторов нелинейных систем; разработан метод построения идентифицируемых моделей; приводятся примеры моделирования реальных систем по экспериментальным данным.

Исходными данными для моделирования и оценки характеристик служат результаты экспериментального наблюдения измеряемых процессов динамических систем.

Проведен анализ и классификация методов оценки показателей Ляпунова (характеристических показателей) на основании временных рядов. Сумма показателей Ляпунова для фазовой траектории характеризует скорость изменения фазового объема в ее окрестности. Известно, что наличие в спектре положительных показателей определяет режим странного аттрактора, реализуемый в диссипативных системах. Если сумма показателей Ляпунова равна нулю, то фазовый объем системы во времени не изменяется — система консервативна, если отрицательна — система является диссипативной. В случае положительной суммы по-

казателей Ляпунова фазовый объем во времени нарастает. С физической точки зрения тежой режим как стационарный не реален.

Выделены два класса алгоритмов оценки показателей Ляпунова: матричные методы и методы аналога. К матричным относятся методы, связанные с восстановлением в каком-либо виде уравнений движения, аппроксимацией матрицы Df и расчетом показателей. Методы аналога основаны на непосредственном измерении скорости расходимости траекторий L » е^, где L — расстояние между близкими фазовыми траекториями, "к -старший показатель Ляпунова. Проведен анализ методов, имеющих наибольшее распространение в практике — метод Вольфа, метод Канца, метод Розенштейна. Сформулированы рекомендации по выбору методов в зависимости от типа исследуемых данных.

Проведен обоснованный выбор исследуемых инвариантных характеристик (корреляционная размерность, показатели Ляпунова, оценки энтропии) и методов их оценки по временным рядам.

Рассмотрены и обобщены результаты по реконструкция аттракторов. Согласно теореме Такенса, восстановленный по одномерной реализации фазовый потрет, топологически эквивалентен аттрактору динамической системы.

Рассмотрен подход к реконструкции аттракторов по единственному измеряемому процессу y(t), предложенный Паккардом и др. (1980), согласно которому, выход является функцией неизвестного вектора внутренних состояний s(t) системы:

y(t) = H(s(t))> (4.1)

где 5 = (ii, S2,..., sn), и состоит в последовательном измерении >?(/). Реконструкция состояний системы со скалярного выходного сигнала происходит с использованием временных задержек т,, т2,т„: л(/) = [>'(/ + т1),>'(Г + т2),...,>'(/ + тя)]г. Ф. Такенс (1981) показал, что для скалярного выходного процесса (4.1), «правильно» выбранных: времени задержки т, и размерности реконструкции п (л > и* + 1, где пн —хаусдорфова размерность) идентифицируется отображение: s(t) —» x{t), которое обеспечивает глобальное взаимно-однозначное представление фазового пространства. В результате применения метода Паккарда-Такенса восстанавливается отображение (4.1), определяя состояния хк = x{tk), где /0, (г,....— время последовательных пересечений соответствующим образом выбранного сечения Пуанкаре в пространстве М" восстановленных состояний дг(г).

Разработан комплекс инвариантных геометрических основ реконструкции систем по экспериментальным данным. Используется обобщение теоремы о вложениях (Ж. Кинг и И. Стеварт, 1996) для систем, допускающих симметрии, согласно которой наблюдаемый выход был векторной функцией состояния системы s{t).

На основе дифференциально-геометрических критериев управляемости и наблюдаемости нелинейных систем доказано, что идентифицируемая динамическая система должна

быть наблюдаемой, при этом установлено, что локальная наблюдаемость определяется размерностью базиса инфинитезимальных операторов группы симметрии.

Рассмотрена группа симметрий Г, определяемая выражением (2.5), которая может быть определена базисным набором преобразований в виде:

Т = />,7"' Ф р2Т2 Ф ...Ф ряТч, (4.3)

где п = р1с!1+р2с12+...+ рч<1ч; рг —число эквивалентных представлений Тг в декомпозиции, и 9 — общее число инфинитезимальных образующих в базисе. Аналогично (4.3) может быть разложено само касательное пространство ТхХ на сумму инвариантных подпространств ££, таких,что

ТхХ = (4.4)

где £ГГ = Ф Ф... ф £0[г; а = 1, рг — индексы возможных инвариантных подпространств, которые вписываются в группу Т.

На основании группового анализа систем, редуцированных на центральное многообразие впервые получен следующий результат.

Теорема 3. Если в системе нет случайных вырождений, и группа Т (2.5) содержит не более одной копии каждого элемента декомпозиции (4.4) представления группы симметрий, то для реконструкции динамических систем в окрестности состояния л/г) необходимо, что бы число (т) измеряемых скалярных выходных сигналов у,((), равнялось размерности конечнопараметрической алгебры Ао, отвечающей группе силшетрий графиков фазовых траекторий.

На основе доказанных утверждений разработан оригинальный метод моделирования по экспериментальным данным, представляющий собой реконструкцию систем, редуцированных на центральное Многообразие. Наиболее эффективно практическое применение метода для повышения качества функционирования существующих систем. Как правило, в этом случае — наблюдаемые в результате эксперимента процессы являются грубыми периодическими траекториями. Алгоритм метода можно представить в виде 4 этапов.

1. Оценка инвариантных характеристик и реконструкция аттрактора. Включает оценку размерности минимального инвариантого множества; применение методов вычисления по временному ряду выбранных характеристик и построение аттрактора системы с учетом сформулированной теоремой (3).

2. Вычисление преобразований, допускаемых системой. При этом идентифицируются наблюдаемые по экспериментальным данным замены координат, переводящие одну область решений в другую, с учетом существования симметрии сдвига. Эта процедура возможна, в случае наблюдаемости системы, описывающей переход от оператора группы к преобразованиям, а также определяется линейностью алгебры Ли.

3. Определение вида функции с учетом ее коммутирования с инфинитези-. мальным оператором, т. е. на основании теоремы Ли и формулы Хаусдорфа.

4. Идентификация параметров системы в форме, предложенной в теореме 1 wiu теореме 2 с помощью метода наименьших квадратов. Для приведенных в работе примеров использовался метод наименьших квадратов, реализованный Л. Льюнгом в System Identification Toolbox for MATLAB 7 (R14).

Приведены примеры реконструкции уравнений по модельным примерам и данным экспериментов реальных технических систем. Изложены вопросы планирования эксперимента и предварительного анализ данных.

Для тестирования использовались данные, полученные при компьютерном моделирован™ известных систем, так и данные, полученные в результате экспериментального исследования реальных систем.

Одним из классических примеров хаотических систем является система Реслера. Сравнение динамики исходной и построенной модели показано на рис. 1. На рис. 2 приведе-

ние. 1. Сравнение динамики исследуемого Рис. 2. Реконструированный

ряда и построенной модели. аттрактор системы.

Получена модель для реальной системы охлаждения алюминиевых сплавов: у1 — скорость охлаждения сплава, у2 — расход хладоносителя. Результаты сравнения динамики смоделированного процесса с реальными данными приведены на рис. 3, на рис. 4 показан аттрактор системы.

Метод использован в НИИ «Энергия» для прогнозирования динамического поведения ряда параметров. Пример прогнозирования приведен на рис. 5. Размерность пространства состояний л = 5, время пересечения — 12, ошибка прогнозирования — 27.4%. Для проверки качества модели построена автокорреляционная функция (рис. 6).

Рис. 5. Сравнение результатов моделирования Рис. б. Автокорреляционная функция,

с реальными данными.

Проведенные исследования показали соответствие реконструированных аттракторов с результатами, известными из научных публикаций. Особенностью предложенного в диссертации метода является значительное (до 3 раз) сокращение количество данных, необходимых для реконструкции фазовых портретов диссипативных систем.

Сделан вывод об эффективности предложенного метода моделирования систем, допускающих однопараметрические группы преобразований.

В пятой главе «Разработка геометрических методов построения алгоритмов управления нелинейными системами» изложены подходы к управлению хаотическими системами; рассмотрены геометрические критерии локальной управляемости нелинейных систем; сформулированы геометрические принципы сведения рассматриваемых классов задач управления

к исследованию множества достижимости; разработан метод построения алгоритмов управления нелинейными системами, допускающими группы симметрии; создан метод нахождения парето-оптимального управления на основе построения вариационных симметрии лагранжианов для заданных критериев качества.

Сформулирована задача управления системами с нерегулярными колебаниями в контролируемых процессах. Управление такими процессами подразумевает преобразование динамического поведения системы в регулярное или хаотическое, но с другими свойствами. В качестве методологической основы разрабатываемых методик используется идея метода OGY, согласно которому малое воздействие на параметры системы обеспечивает движение системы вблизи желаемой периодической орбиты. Таким образом, задача об управлении хаосом сводится к задаче о стабилизации определенных периодических орбит, встроенных в аттрактор. '

Предложено использовать свойства однопараметрических преобразований групп симметрий, описывающих изменение фазового потока. Рассматриваются управляемые переходы между симметричными решениями. Вопросы управления нелинейными явлениями в технических системах непосредственно связаны с задачами управляемой синхронизации. С помощью целенаправленных воздействий определенные хаотические подмножества, соответствующие синхронным движениям, можно преобразовать в устойчивые по одним собственным направлениям, при сохранении неустойчивости по другим. В результате будет осуществлен управляемый переход от несинхронных хаотических колебаний к режиму полной синхронизации хаоса.

Рассмотрены задачи оценки управляемости, достижимости рассматриваемого класса моделей (1.1), (3.4). В настоящее время развитие дифференциально-геометрической теории позволило получить ряд эквивалентных критериев локальной управляемости в терминах групп симметрий (К. Лобри, Г. В. Кондратьев, А. П. Крищенко и др.). Модели (3.4), реконструированные в соответствии с описанным в четвертой главе методом, являются, как правило, неуправляемыми, что является следствием симметрии. Это подтверждается также тем, что моделируемые колебания имеют место в рассматриваемом классе функционирующих управляемых системах, т. е. не смотря на наличие управляющего сигнала, эти явления имеют место и ухудшают показатели качества.

В работе сформулирован критерий управляемости, ориентированный для применения в рамках предмета диссертационного исследования. Согласно полученному геометрическому критерию система (1.1) локально управляема, если существует и линейно независимых векторов {А*}, определяющих касательное пространство ТхХ:

п-к

(5.1)

Здесь [6, Ь2 ••• br] = f (*(/)>u(t))d/du ; г — число управляющих воздействий.

Таким образом, управление системами, допускающих группы симметрии, должно обеспечиваться путем увеличения количества управляющих параметров, с целью расширения множества (5.1) до определения каждого собственного пространства ТхХ.

На основе сформулированных принципов сведения задачи управления к исследованию множества достижимости, разработан геометрический метод синхронизации колебаний. Пусть движение системы рассматривается на интервале [/„, ] и начинается в точке х0 е X. Введем вспомогательную управляемую систему на расширенном пространстве

XR = R х X = {Jc = (q,x) | q e R, x e X), т. е. рассмотрим систему на Л«:

у = М«), xsXK, ueU, (5.2)

at

с правой частью

fit.. . \\

хе X, и е (J,

Цх,и)

где Ц ) — лагранжиан интегрального критерия качества. Тогда траектория системы (5.2) приходит на траншу множества достижимости этой системы:

хО^едММ,

где Л/,0(г) = {*(/) | и е ¿"([О,/],I/)}— множество достижимости. Показано, что для исследования множества достижимости может быть применено достаточное условие компактности, определяется теоремой А. В. Филипова.

Разработаны геометрические принципы построения алгоритмов управления нелинейными системами, допускающих группы симметрий. Впервые получен следующий результат.

Теорема 4. Пусть имеется управляемая система (I), допускающая группу симметрии, в условиях возможности редукции на центральное инвариантное многообразие. Решение задачи синтеза программного управления и*(1) при заданном желаемом выходе у* в локальной области, может быть найдено как преобразование симметрии, переводящее на границу множества достижимости расширенной системы (5.2):

и*=Е(и°(0),

где g— преобразование симметрии, связывающее у* и траекторию движения у0 системы при известном управлении и°(1) .

Таким образом, окончательно метод управления можно сформулировать в виде алгоритма, состоящего из пяти этапов.

1. Определение числа управляющих воздействий в соответствии с критерием (5.1).

2. Определение критериев качества управления и желаемого поведения системы.

3. Определение структуры множества достижимости расширенной системы (5.2).

4. Вычисление преобразования симметрии решений.

5. Построение алгоритмов управления, на основании теоремы 4.

В рамках диссертационного исследования разработан оригинальный метод построение алгоритмов управления многокритериальными системами. Метод представляет собой выбор парето-оптимальных решений основе исследования групп симметрий лагранжианов заданных критериев качества и построении дивергентных законов сохранения.

Поиск инвариантных лагранжианов основан на результате Е. Бесселя-Хагена, заключающегося в том, что точную инвариантность функционала можно заменить на условие дивергентной инвариантности, не меняющее инвариантность уравнений Эйлера.

В условиях, когда заданы функционалы, определяющие качество управления:

•/, = _[£, (*,*(/), и(0) (5-5)

о

удовлетворяется требование дивергентной инвариантности

где ЧР — вектор-функция. В частности, если 4х. = то последнее условие инвариантности

ч

преобразуется в условие инвариантности Ь относительно оператора X, факторизованного по группе Тейлора Для построения законов сохранения используется теорема Нётер (для дискретных систем — конечно-разностный аналог, полученный В. А. Дородницыным, 1993).

Локальной однопараметрической группы симметрий (7 вариационной задачи с функционалом (5.5) и ее инфинитезимальной образующей

V = л (дс, и) ~ + ££ {х,и) ~, д( ^ дх,

соответствует характеристика касательного векторного поля

п да

1=1 с»

которая является также характеристикой закона сохранения для уравнений Эйлера—Лагранжа Е(1) = 0.

Иными словами, имеется набор из ц функций Р(х, и) = (Р\,Рч) , такой, что

О1уР = 0.Е(£)

- закон сохранения в характеристической форме для уравнения Эйлера-Лагранжа Е(£)=0.

На основании вышесказанного строится предположение о возможности построения законов сохранения, отражающих компромиссную зависимость критериев качества.

Показывается, что уравнения Эйлера-Лагранжа каждого функционала качества определяют общий комплекс уравнений некоторой вариационной задачи. Этот вывод строится на основании теоремы Нётер и того факта, что переменные в функционалах связаны одной системой дифференциальных уравнений. Инвариантность этого комплекса относительно групп симметрий позволяет сформировать парето-оптимальное решение задачи за счет добавления к системе уравнений, определяющих закон сохранения.

Приведены результаты компьютерного моделирования и внедрения на промышленных предприятиях, на основании которых делается вывод об эффективности разработанных методов построения алгоритмов управления.

В шестой главе «Технология повышения качества функционирования управляемых технических систем» на основе использования созданных инвариантных геометрических методов и моделей разработана технология, обеспечивающая повышение качества функционирования управляемых технических систем с нелинейной динамикой; приведены результаты, полученные при внедрении разработанных методов при моделировании и управлении промышленных систем. ■

Проведен анализ применимости разработанных моделей, методов и методик. Разработана оригинальная технология повышения качества функционирования управляемых технических систем, с нелинейной динамикой. Технология включает шесть этапов.

1. Проведение экспериментов и обработка исходных данных. Включает использование методов, разработанных и используемых в теории нейронных сетей: методы предварительной обработки данных, методы оценки статистических характеристик и др., а так же описанного в четвертой главе модифицированного метода реконструкции аттрактора и методов оценки инвариантных характеристик.

2. Идентификация параметров модели системы. Используется, предложенный в четвертой главе метод моделирования по экспериментальным данным систем, редуцированных на центральное многообразие.

3. Формулировка требований к качеству управления. Представляет собой формализацию критериев качества и надежности, а так же применение сформулированных в пятой главе геометрических критериев локальной управляемости, наблюдаемости и критерия компактности множества достижимости.

4. Проектирование системы управления с применением геометрических методов. Применяются разработанные в пятой главе методики построения алгоритмов управления с учетом характеристик построенных моделей (аттрактора, спектра показателей Ляпунова, ин-финитезимальных операторов и др.) и заданных критериев качества.

5. Имитационное моделирование схемы управления и адаптация. Заключается в настройке параметров управляющих механизмов в различных режимах функционирования.

6. Внедрение разработанной СА У. Обеспечивает анализ результатов внедрения и возможность модификации параметров модели при значительном изменении условий эксплуатации промышленной системы.

Разработаны методологические рекомендации по повышению качества систем для различных областей промышленности.

Наибольшую эффективность применение разработанных методов дает в системах, в которых происходят нерегулярные и хаотические явления, связанные, например, с процессами теплообмена, потока вязких жидкостей и химическими реакциями. Хотя конструкции

промышленных устройств делают математическое моделирование физических явлений задачей трудно выполнимой, реконструкция эволюционных уравнений позволяет строить модели качественного поведения на минимальном инерциальном множестве.

Проведенное компьютерное моделирование и анализ результатов внедрения показал, что построенные модели позволяют реализовать требования к качеству функционирования системы, связанные с управлением нелинейных явлений. Учет нерегулярного поведения технических систем позволил уменьшить энергетические затраты на управление, сократить время переходных процессов и обеспечить заданные параметры надежности систем.

В главе проведен анализ результатов внедрения на промышленных предприятиях и научных центрах. Результаты внедрения в НИИ «Энергия» Главного управления информационных систем Спецсвязи РФ в рамках информационной системы поддержки принятия решений дали возможность построить аттракторы для моделей изменения параметров, анализ которых позволил увеличить качество прогнозирования необходимых значений.

Полученные результаты моделирования процесса нагрева одного из котлов на филиале Мосэнерго ТЭЦ-17 позволили увеличить надежность, связанную с устранением колебаний при разогреве системы.

Решена задача повышения качества функционирования процесса охлаждения слитков диаметром 190 мм из сплава АД31 (6063), изготовляемых для нужд оборонной промышленности. Контролировались расход масла и давление охлаждающей воды. Внедрение созданной методики позволило исключить ручную подрегулировку параметров. На основе модели построен регулятор, в результате улучшилось качество изделия, что связано с уменьшением колебаний при охлаждении.

Приведены результаты моделирования и управления промышленными системами теплообмена. Разработаны и внедрены алгоритмы управления промышленным теплообменником в компании «Марс». Система состоит из бесконтактного теплообменника, на вход которого в качестве теплоносителя подается пар, теплоприемником является сильно вязкая среда. Сложность задачи состоит в нелинейности процесса теплообмена и неравномерном нагреве вязкой среды, т. е. имеет место динамически-сложное поведение системы. К системе предъявляются следующие требования: ограничения на максимально допустимое значение температуры вязкой среды, ограничения на скорость роста давления пара, и другие ограничения, связанные с надежностью функционирования. Цель состояла в повышении быстродействия и устранения избыточных клапанов, изменение схемы поэтапного разогрева и удалении усложненной трехконтурной схемы управления. Разработанная технология позволила решить задачу проектирования системы регулирования теплообменника по заданным критериям качества. В результате применения метода быстродействие выхода системы на заданный режим функционирования повысилось в 2,3 раза.

Произведено моделирование управление дозировкой подачи вязкой жидкости для ООО «Центр передовых технологий «Базис». Особенность задачи заключалась в невозмож-

ности оперативного измерения потока, что увеличивало объем бракованного выходного продукта. Наличие эволюционной модели, связывающей существующие управляющие сигналы с объемом жидкости, позволило увеличить показатели качества выходного продукта.

Полученные результаты позволяют сделать вывод о решении практически важной задачи разработки теоретико-методологических основ повышения качества функционирования технических систем с нелинейной динамикой. Внедрение результатов позволило значительно увеличить надежность и технико-экономические показатели систем, имеющих важное значение для различных отраслей промышленности.

В заключении диссертации приведены основные результаты и выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан метод моделирования систем с нелинейной динамикой по экспериментальным данным, на основе использования на теории групп симметрий.

2. Теоретически обоснована редукция систем с нелинейной динамикой на инвариантное центральное многообразие в локальной области, основанная на модифицированном аппарате групп однопараметрических преобразований для непрерывных и дискретных моделей систем с управлением.

3. Разработан метод построения параметрически-идентифицируемых моделей нелинейных систем на основе представления систем на центральном многообразии и дифференциально-геометрическом анализе.

4. Проведен анализ применимости метода для решения прикладных задач. Получено, что в сравнении с методами, применяющимися в настоящее время, для реконструкции аттракторов нелинейных систем требуется значительно меньшее количество данных.

5. Разработан геометрический метод построения алгоритмов управления системами с нелинейной динамикой, учитывающий особенности предложенных идентифицируемых моделей и анализ Инвариантных характеристик

6. Предложен метод построения парето-оптимальных решений для задач управления нелинейными системами в условиях нескольких заданных критериев качества, на основе исследования групп вариационных симметрий.

7. Разработана технология, обеспечивающая повышение качества функционирования управляемых технических систем с нелинейной динамикой контролируемых процессов, на основе созданных геометрических методов и моделей.

8. Разработаны методологические рекомендации повышения качества управления функционирующих систем и определены области применимости разработанных методов.

9. Проведен анализ результатов внедрения разработанных методов в различных отраслях промышленности: в НИИ «Энергия» Спецсвязи РФ, филиале Мосэнерго ТЭЦ-17, ЗАО «Ступинская металлургическая компания», ООО «Марс», ООО «Центр передовых тех-

нологий «Базис»; ООО «Кампина» и др. Получено подтверждение эффективности предложенных подходов.

10. Использование разработанных методов и моделей позволило повысить быстродействие систем теплообмена в 1,5-2 раза и увеличить качество и надежность их функционирования.

11. Результаты использованы в учебном процессе кафедры «Управления и моделирования систем» Московского государственного университета приборостроения и информатики, кафедры «Моделирования систем и информационные технологии» «МАТИ» — Российского государственного технологического университета им. К. Э. Циолковского.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Никульчев Е. В. Качественное исследование управляемых систем с нелинейной динамикой на центральном многообразии // Вестник МГАПИ. Естественные и технические науки — 2006.— № 1.— С. 149-164.

2. Никульчев Е. В. Многокритериальные системы принятия решений для задач управления // Автоматизация в промышленности.— 2005.— № 7.— С. 45-46.

3. Никульчев Е. В., Назаркин И. А. Обработка данных и формирование обучающей выборки для прогнозирования динамического поведения сложных технических систем // Вестник МГАПИ. Естественные и технические науки.— 2005.— № 1.— С. 63-70.

4. Никульчев Е. В. Технология моделирования сложных и хаотических процессов, допускающих группы симметрии // Автоматизация и современные технологии.— 2004.— №11.—С. 29-33.

5. Никульчев Е. В. Моделирование и идентификация динамически-сложных систем на основе группового анализа // Мехатроника, автоматизация, управление.— 2004 — №10,—С. 2.-7.

6. Никульчев Е. В. Применение геометрических методов в задачах управления дискретными системами // Exponento Pro. Математика в приложениях.— 2004.— № 3-4 (7-8).— С. 178-180.

7. Никульчев Е. В. Проектирование систем регулирования и моделирование сложных технических систем в MATLAB // Автоматизация в промышленности.— 2004.— № 7.— С. 46-47.

8. Никульчев Е. В. Моделирование промышленной системы теплообмена И Автоматизация в промышленности.— 2004.— № 7.— С. 48—50.

9. Никульчев Е. В. Использование групп симметрий для идентификации сложных систем // Вычислительные технологии.— 2004.— Т. 9.— № 3.— С. 72—80.

10. Никульчев Е. В. Группы симметрий дискретных управляемых систем // Вестник МГАПИ. Естественные и технические науки.— 2004.— № 1.— С. 150-161.

11. Никульчев Е. В. Simulink как средство исследования дифференциальных моделей // Exponento Pro. Математика в приложениях.— 2004.— № 1(5).— С. 91—93.

12. Никульчев Е. В. Симметрии в динамических моделях систем управления // Вестник Тамбовского государственного университета. Естественные и технические науки.— Т. 8,— № 3.— 2003.— С. 423.

13. Никульчев Е. В., Волович М. Е. Модели хаоса для процессов изменения курса акций // ЕхропеМа Рго. Математика в приложениях.— 2003.— № 1 (1).— С. 49—52.

14. Никульчев Е. В. К вопросу моделирования и синтеза управления на основе дифференциальной геометрии // Гироскопия и навигация.— 2002.— № 3(34).— С. 134.

15. Никульчев Е. В. Технология автоматизированного расчета параметров регулирования технологическими процессами // Промышленные АСУ и контроллеры.— 2001.— №11.— С. 23-26.

16. Никульчев Е. В. Хныкин А. П. Система распределения электроэнергии на промышленных предприятиях//Наука-производству.— 1998.— № II.— С. 46—48.

17. Никульчев Е. В. Метод управления системами с хаотической динамикой // Математическое моделирование и управление в сложных системах: Сборник научных трудов. / Под ред. А. П. Хныкина. Вып. 8.—М.: МГАПИ, 2005.— С. 58-62.

18. Никульчев Е. В. Разработка геометрических методов синтеза управления дискретными системами // Информационные технологии: Материалы всероссийской научно-технической конференции (Воронеж, 2005).— Воронеж: Научная книга, 2005.— С. 324-326.

19. Никульчев Е. В. Аппарат групп симметрий для идентификации квазистационарных режимов технических систем с хаотической динамикой // Автоматизация и управление в технических системах: Труды международной научно-технической конференции (Пенза, 2004).— Пенза: ИИЦ ПТУ, 2004.— С. 241-244.

20. Никульчев Е. В. Групповой анализ и моделирование динамически-сложных систем // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления'. Труды 8-го международного семинара, посвященного памяти Е. С. Пятницкого (Москва, 2004).— М.: ИПУ РАН, 2004,—С. 134-136.

21. Никульчев Е. В. Управление сложными системами с использованием аппарата групп симметрий // Конференция по теории управления, посвященная памяти академика Б. Н. Петрова-. Сборник трудов (Москва, 2003).— М.: ИПУ РАН, 2003.— С. 40-41.

22. Никульчев Е. В., Волович М. Е. Реконструкция фазового портрета системы теплообмена // Наукоемкие технологии и интеллектуапьные системы. Сборник научных трудов 5-ой молодежной научно-технической конференции (Москва, 2003).— М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.— Т. 2.— С. 132-135.

23. Никульчев Е. В. Применение методов групп симметрий для задач управления // Сборник трудов 2-ой международной конференции по проблемам управления. (Москва, 2003).— М.: ИПУ РАН, 2003,— Т. 1.— С. 34.

24. Никульчев Е. В. Математические методы и модели управления сложными системами: аппарат групп симметрий // IV всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям'. Материалы (Красноярск, 2003).— Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2003,— С. 37.

25. Ннкульчев Е. В. Применение аппарата групп симметрий к исследованию управляемых процессов теплообмена // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике: Материалы 3-й международной научно-практической конференции (Новочеркасск, 2003).— Новочеркасск: ЮРГТУ, 2003.— 4.2.— С.20-23.

26. Ннкульчев Е. В. Идентификация динамических систем на основе групп симметрий // 3-я всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям'. Материалы (Новосибирск, 2002).— Новосибирск. ИВТ СО РАН, 2002,— С. 33.

27. Ннкульчев-Е. В., Никульчева Е. В. Моделирование процессов управления динамическими системами в условиях безопасности И Моделирование и анализ безопасности в сложных системах: Труды 2-й международной научной школы (С.-Петербург, 2002).— СПб.: Бизнес-Пресса, 2002.— С. 388-393.

28. Ннкульчев Е. В. Математическое моделирование и исследование процессов управления на основе конечных алгебр Ли // Современные проблемы информатизации в экономике и непромышленной сфере: Сборник трудов. Вып. 7.— Воронеж: Центр.-Чернозем. кн. изд-во, 2002.— С. 84-85.

29. Ннкульчев Е. В. Проектирование систем управления на основе групп и алгебр Ли // Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB: Труды 1-й всероссийской научной конференции (Москва, 2002).— М.: ИПУ РАН, 2002.— С. 452-457.

30. Никульчев Е. В. Применение методов дифференциальной геометрии к задачам управления в сложных системах // Электронный журнал «Rusycon». Российский журнал по системам и управлению.— 5.1.2002.— С. 1-12. (www.rusycon.ru)

31. Никульчев Е. В. Группы непрерывных симметрий для расчета параметров тепловых процессов // Новые информационные технологии: Материалы 4-й всероссийской научно-технической конференции (Москва, 2001).— М.: МГАПИ, 2001.— С. 130-132.

32. Никульчев Е. В. Построение компромиссной зависимости в системах с несколькими целями // Теория активных систем: Труды международной научно-практической конференции (Москва, 2001) / Под ред. В.Н.Буркова, Д.А.Новикова.— М.: ИПУ РАН, 2001.— Т. 1.— С. 98-99.

33. Никульчев Е. В. Разработка дифференциально-геометрических моделей и программных средств исследования систем управления // 2-я всероссийская конференция молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике'. Материалы (Новосибирск, 2001).— Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2001.— С. 32-33.

34. Ннкульчев Е. В., Волович М. Е. Идентификация фазовых портретов динамических систем по временным рядам // Научные труды МАТИ им. К. Э. Циолковского.— Вып. 4 (76).— М.: ЛАТМЭС, 2001,— С. 463-467.

35. Никульчев Е. В. Об одном математическом методе обеспечения качества управления в многокритериальных системах // Математическое моделирование и управление в сложных системах: Сборник научных трудов. / Под ред. С. Н. Музыкина. Вып. 3.— М.: МГАПИ, 2000,— С. 33-39.

ЛР № 020418 от 08.10.1997 г.

Подписано к печати 13.03.2006 г. Формат 60x84 1/16. Объем 2,0 п. л. Тираж 150 экз. Заказ № 42.

Московский государственный университет приборостроения и информатика 107996, Москва, Стромынка, 20

ВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПОДХОДА К МОДЕЛИРОВАНИЮ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКОЙ.

1.1. Обзор методов моделирования и исследования нелинейных систем.

1.2. Математические модели нелинейных систем.

1.3. Качественное исследование динамических систем.

1.4. Геометрический подход к исследованию фазовых портретов.

1.5. Топологическая классификация грубых состояний равновесия.

Выводы по главе.

ГЛАВА 2. АППАРАТ ГРУПП СИММЕТРИИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ.

2.1. Групповой анализ нелинейных систем с управлением.

2.3. Методика группового анализа систем с управлением.

2.3.1. Применение классификации систем, допускающих группы симметрий для анализа решений.

2.3.2. Методика исследования групповых систем.

2.3.3. Методика исследования симметрий по состоянию.

2.4. Аппарат непрерывных симметрий дискретных моделей.

2.5. Группы симметрий фазового пространства.

Выводы по главе.

ГЛАВА 3. РЕДУКЦИЯ НА ЦЕНТРАЛЬНОЕ МНОГООБРАЗИЕ СИСТЕМ, ДОПУСКАЮЩИХ ГРУППЫ СИММЕТРИЙ.

3.1. Методика анализа динамики систем, допускающие симметрию на инвариантном торе.

3.1.1. Методика исследования в инвариантном торе.

3.1.2. Использование групповых свойств для построения эквивалентных отображений.

3.2. Метод моделирования систем, редуцированных на инвариантное многообразие в локальной области.

3.2.1. Исследования инвариантного многообразия.

3.2.2. Метод редукции систем на центральное многообразие.

3.3. Обобщение теоремы о центральном многообразии для систем, допускающих группы симметрий.

Выводы по главе.

ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКОЙ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ.

4.1. Оценка показателей Ляпунова по временному ряду.

4.2. Методика использования свойств показателей Ляпунова для моделирования.

4.2. Методы расчета показателей Ляпунова.

4.3. Разработка алгоритмов оценки показателей Ляпунова по временному ряду.

4.4. Разработка алгоритмов оценки инвариантных характеристик.

4.5. Модифицированный метод реконструкция аттракторов для систем, допускающих группы симметрий.

4.6. Метод моделирования нелинейных систем по экспериментальным данным.

Выводы по главе.

ГЛАВА 5. РАЗРАБОТКА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ.

5.1. Постановка задачи проектирования алгоритмов управления в системах с нелинейной динамикой.

5.2. Разработка геометрических принципов управления.

5.2.1. Геометрическое представление фазовых потоков и задач управления.

5.2.2. Геометрические критерии управляемости и достижимости.

5.3. Методики построения алгоритмов управления.

5.3.2. Редукция к исследованию множества достижимости.

5.3.1. Построение алгоритмов управления на основе параметрического периодического воздействия для систем малой размерности.

5.3.3. Геометрический метод построения алгоритмов управления.

5.3.4. Методика исследования управляемых систем на основе принципа усреднения.

5.4. Геометрический метод парето-оптимального управления.

Выводы по главе.

ГЛАВА 6. ТЕХНОЛОГИЯ ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

6.1. Технология обеспечения повышения качества функционирования управляемых систем.

6.2. Методика применения прогнозирующих моделей.

6.3. Управление системой теплообмена с вязкой средой.

6.4. Управление процессом охлаждения алюминиевых слитков.

Выводы по главе.

Актуальность. Развитие вычислительной техники и совершенствование промышленных технологий обуславливают повышение требований к качеству и надежности технических систем, которые определяются не только конструктивными особенностями и техническими возможностями систем автоматического управления, но и используемыми математическими методами моделирования управляемых процессов.

Динамическое поведение управляемых процессов многих технических систем носит нелинейный характер: имеют место нерегулярные и хаотические явления, бифуркации. К ним относятся системы, в которых происходят процессы теплообмена, потока вязких жидкостей, химические реакции и др. Часто сложные конструкции промышленных устройств не позволяют строить математические модели, учитывающие нелинейную автоколебательную природу явлений. Отсутствие моделей определяет практический подход к управлению техническими объектами промышленных систем: устанавливается дополнительное оборудование; системы автоматического управления строятся по принципу следящей системы; вводится несколько дополнительных контуров управления; искусственно вводятся дополнительные ограничения и пр., все это ухудшает показатели качества функционирования технических систем.

В теории нелинейной динамики сформировалось направление, связанное с реконструкцией инвариантных характеристик и аттракторов систем по временным рядам (Ф. Такенс, Д. Рюэль, Н. Пакард, А. Вольф, В. С. Анищенко, Т. Е. Владивласова, В. В. Астахов, А. Б. Нейман, Г. Г. Малинецкий, и др.). В области реконструкции моделей по экспериментальным данным разработаны только общие рекомендации. При этом по одномерной реализации восстанавливается фазовый потрет, который, согласно теореме Такенса, топологически эквивалентен аттрактору динамической системы. На следующем этапе идентифицируются параметры априорно заданных уравнений. 5

Классические и наиболее универсальные методы реконструкции состоят в идентификации коэффициентов разложений Тейлора и Лежандра (Д. Кремерс, А. Халберт, Д. П. Кручфилд, Б. С. МакНамара и др.), что не позволяет в полной мере описывать качественное поведение систем с нелинейной динамикой. Существует ряд работ по использованию нелинейных уравнений (О. J1. Аносов, О. Я. Бутковский, Я. А. Кравцов, Д.Л. Вреден, Р. Браун, Е. Р. Трайс и др.), уравнений с задержкой (М. Д. Буннер, М. Попп, Т. Мейер, Д. Париси и др.). Отличительной особенностей большинства публикаций является то, что предлагаемые алгоритмы тестируются на модельных примерах, когда результат заранее известен. Все это, с одной стороны, дает предпосылки для создания методологических основ моделирования нелинейных явлений по экспериментальным данным, с другой — нерешенной остается задача создания математических методов и моделей, позволяющих описывать качественное динамическое поведение реальных технических систем с заранее неизвестными структурами моделей.

Наличие моделей хаотических явлений расширяет возможности по улучшению качества функционирования технических систем— малые воздействия позволяют управлять переходами возможных режимов работы системы и временем переходных процессов. Задача подавления хаотических колебаний, то есть перевода системы либо к устойчивым периодическим движениям, либо в состояние равновесия, может быть сформулирована как классическая задача автоматического управления. Базовый поход к управлению хаосом, заключающийся в стабилизации периодических орбит, встроенных в аттрактор, был предложен в работе Е. Отта, С. Гребожи, Д. А. Йорка (метод OGY). На основе метода OGY было построено множество алгоритмов управления хаосом в различных системах, включая гидродинамические, механические, химические и медико-биологические (В. С. Анищенко, Р. Лима, Л. Фронтзони, Р. Хасон, М. Петтини, В. В. Астахов и др.). Разработаны методы по проектированию систем управления, основанные на нечеткой логике и принципах адаптивности (JI. М. Пекора, Дж. X. Пенг, К. Танака и др.). Аналитическому конструированию регуляторов посвящены работы А. А. Колесникова, Ю.-Ч. Лау, С. Гребоджи, Т. Ушио.

В качестве базового аппарата для получения результатов повышения качества функционирования технических систем, выбрана дифференциально-геометрическая теория. Актуальность этого аспекта диссертации определяется следующим. Качественное поведение динамической системы описывается фазовым потоком, порожденным векторным полем, т. е. однопараметрической группой преобразований пространства состояний. Управляемая система представляет собой семейство векторных полей, что позволяет совместно с разработкой моделей адаптировать и обобщить методы геометрической теории управления. В последние десятилетия созданы теоретические результаты по оптимальному управлению нелинейными системами, полученные в терминах групп конечных преобразований — групп симметрий, допускаемых управляемыми нелинейными системами, и главной линейной части этих преобразований — алгебр Ли (Р. У. Брокетт, А. Г. Бутковский, Ю. Н. Павловский, Г. Н. Яковенко, В. И. Елкин, К. Лобри, Г. В. Кондратьева, К. Г. Гареев, А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков, М. К. Кросс, Р. О. Григорьев).

Таким образом, разработка комплекса инвариантных геометрических методов исследования и моделирования систем с нелинейной динамикой, с целью повышения качества функционирования управляемых технических систем, является актуальной задачей системного анализа и теории управления, имеющей важное практическое значение.

Цель: разработка инвариантных дифференциально-геометрических методов качественной теории моделирования и исследования систем с нелинейным динамическим поведением с целью повышения качества функционирования управляемых технических объектов.

Задачи, решаемые в работе:

1. Обзор и анализ методов качественной теории систем с нелинейной динамикой.

2. Анализ и развитие математического аппарата групп симметрий, как одного из наиболее эффективных методов исследования нелинейных систем.

3. Разработка методов качественного анализа фазовых траекторий управляемых систем на центральном многообразии в локальной области.

4. Разработка моделей, реконструируемых по экспериментальным данным функционирования нелинейных систем.

5. Создание инвариантного метода математического моделирования и методики параметрической идентификации систем с нелинейным динамическим поведением.

6. Разработка принципов и технологий управления для систем с нелинейным поведением, основанных на дифференциально-геометрической теории.

7. Практическое применение разработанных методов и моделей для проектирования систем автоматического управления промышленными системами.

8. Оценка эффективности использования разработанных методов при управлении сложными техническими объектами.

9. Внедрение результатов исследований в учебный процесс.

Методы исследования. В диссертации использованы методы нелинейной динамики, системного анализа, математической теории автоматического управления, дифференциальной геометрии и информатики.

Объект исследования. Данные, полученные в результате функционирования управляемых сложных технических систем, в динамическом поведении контролируемых параметров которых наблюдаются нелинейные явления — регулярные или хаотические колебания.

Предмет исследования. Разработка инвариантных методов моделирования и исследования и геометрических методов синтеза управления с целью повышения качества функционирования технических системам.

Научная новизна. Полученный в работе комплекс теоретических результатов, обобщений и исследований позволил решить научно-техническую проблему создания теоретико-методологических основ повышения качества функционирования управляемых технических систем, на базе разработанных инвариантных геометрических методов исследования и моделирования качественного поведения нелинейных явлений. При этом:

1. Разработан метод моделирования качественного поведения систем с нелинейным динамическим поведением по экспериментальным данным, основанный на теории групп симметрий.

2. Теоретически обоснована редукция систем с нелинейной динамикой на инвариантное центральное многообразие в локальной области, основанная на модифицированном аппарате групп однопараметрических преобразований для непрерывных и дискретных моделей систем с управлением.

3. Создана методика построения параметрически-идентифицируемых моделей систем с нелинейным динамическим поведением на основе представления систем на центральном многообразии и дифференциально-геометрическом анализе.

4. Разработан инвариантный геометрический метод управления систем с нелинейным динамическим поведением, учитывающий особенности предложенных идентифицируемых моделей.

5. Предложен метод нахождения парето-оптимального управления на основе построения вариационных симметрий лагранжианов, определяющих заданные критерии качества.

6. Разработана технология повышения качества функционирования систем управления промышленными объектами с нелинейным динамическим поведением, на основе созданных геометрических методов и моделей.

Достоверность и обоснованность научных положений, результатов, выводов и рекомендаций, приведенных в диссертационной работе, обеспечивается корректным использованием дифференциально-геометрической теории, использованием вычислительно-надежных методов исследования и подтверждается экспериментальными данными, полученными в ходе моделирования и проектирования систем управления техническими объектами; апробацией и обсуждением результатов работы на международных и всероссийских научных конференциях; рецензированием и предварительной экспертизой научных статей, опубликованных в ведущих научных изданиях.

Практическая значимость и внедрение. На основе полученных в работе теоретических и методологических результатов создан комплекс геометрических методов, позволяющий решать важную научно-техническую задачу повышения качества функционирования технических объектов и промышленных систем, включающий анализ экспериментальных данных, моделирование, исследование и разработку систем автоматического регулирования.

Результаты работы использованы при выполнении:

- НИР «Разработка геометрических методов исследования управляемых динамических систем», по программе Рособразования РФ «Развитие научного потенциала высшей школы 2005 г.» (код проекта: 63372);

- НИР по заказу НИИ «Энергия» Главного управления информационных систем Спецсвязи РФ, выполняемой во исполнение Постановления Правительства РФ от 02.02.1996 г. №87-04 и Указа Президента РФ от 03.04.95 №334;

- НИР «Разработка теории, методов, и средств математического моделирования систем» в рамках тематического плана МГАПИ (2001-2003 г.г.).

Результаты исследований внедрены в системе управления на ТЭЦ-17

10

Филиал Мосэнерго, в информационной системе поддержки принятия решений в НИИ «Энергия» ГУИС Спецсвязи РФ, в системе регулирования на ЗАО «Ступинская металлургическая компания», в системе управления теплообменником в ООО «Марс», в системе управления потоком вязкой жидкости для ООО «Центр передовых технологий «Базис» и моделировании процессов теплообмена на ряде промышленных предприятий.

Использование разработанных методов и моделей позволило повысить быстродействие систем теплообмена в 1,5-2 раза, и увеличить качество и надежность их функционирования.

Результаты диссертационной работы использованы в учебном процессе кафедры «Управления и моделирования систем» Московского государственного университета приборостроения и информатики, кафедры «Моделирования систем и информационных технологий» «МАТИ» — Российского государственного технологического университета им. К. Э. Циолковского.

Результаты внедрения подтверждены соответствующими актами.

Основанные положения, выносимые на защиту.

- метод, позволяющий на основании экспериментальных данных технических систем с нелинейным поведением, строить динамические модели систем, редуцированных на инвариантное центральное многообразие в локальной области, допускающих группы симметрий;

- теоретическое обоснование и методика параметрической идентификации моделей управляемых систем с нелинейным динамическим поведением, использующая дифференциально-геометрический анализ;

- геометрические инвариантные методы и технологии управления систем с нелинейным динамическим поведением, допускающих группы симметрий.

- технология повышения качества функционирования систем управления промышленными объектами с нелинейным динамическим поведением.

Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 36 международных и всероссийский научных конференциях, в том числе:

1-й, 2-й Международной науч.-техн. конф. «Моделирование и исследование слоэюных систем» (Кашира, 1996; Озеры, 1998);

Международной науч.-практ. конф. «Теория активных систем» (Москва, 2001);

2-й, 3-й, 4-й, 5-й Всероссийской науч. конф. молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (Новосибирск, 2001; 2002, 2004; Красноярск 2003, везде— пленарные доклады);

4-ой конференции молодых ученых «Навигация и управление движением»(С.-Петербург, 2002);

1-й и 2-й Всероссийской науч. конф. «Проектирование научных и инженерных приложений в системе MATLAB» (Москва, 2002, 2004);

2-ой Международной научной школе «Моделирование и анализ безопасности в сложных системах» (С.-Петербург, 2002);

11-ом Международном науч.-техн. семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Крым, Алушта, 2002);

3-й Международной науч.-практ. конф. «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2003);

Международной конф., поев. 100-летию со дня рождения А.Н. Колмогорова «Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2003);

Международной конф. по теории управления, посвященная памяти акад. Б. Н. Петрова (Москва, 2003);

5-ой молодежной науч.-техн. конф. «Наукоемкие технологии и интеллектуальные системы» (Москва, 2003);

2-ой Международном конференции по проблемам управления (Москва, 2003);

Международной науч.-техн. конференции «.Автоматизация и управление в технических системах» (Пенза, 2004);

8-м международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», поев, памяти Е. С. Пятницкого (Москва, 2004);

Всероссийской науч.-техн. конф. «Информационные технологии» (Воронеж, 2005), а также на регулярных научных семинарах ИПУ РАН и семинарах МГАПИ под рук. проф., д. т. н. С. Н. Музыкина (1995-2004), под рук. д. т. н., проф. Б. М. Михайлова (2004-2005), под рук. д. т. н. М. В. Ульянова (2005).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 60 работах, основные 35 публикаций приведены в конце автореферата, включая 10 статей в ведущих периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 11 статей в других журналах и сборниках трудов, 14 работ в сборниках трудов научных конференций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработан метод моделирования систем с нелинейной динамикой по экспериментальным данным, на основе использования на теории групп симметрий.

2. Теоретически обоснована редукция систем с нелинейной динамикой на инвариантное центральное многообразие в локальной области, основанная на модифицированном аппарате групп однопараметрических преобразований для непрерывных и дискретных моделей систем с управлением.

3. Разработан метод построения параметрически-идентифицируемых моделей нелинейных систем на основе представления систем на центральном многообразии и дифференциально-геометрическом анализе.

4. Проведен анализ применимости метода для решения прикладных задач. Получено, что в сравнении с методами, применяющимися в настоящее время, для реконструкции аттракторов нелинейных систем требуется значительно меньшее количество данных.

5. Разработан геометрический метод построения алгоритмов управления системами с нелинейной динамикой, учитывающий особенности предложенных идентифицируемых моделей и анализ инвариантных характеристик

6. Предложен метод построения парето-оптимальных решений для задач управления нелинейными системами в условиях нескольких заданных критериев качества, на основе исследования групп вариационных симметрий.

7. Разработана технология, обеспечивающая повышение качества функционирования управляемых технических систем с нелинейной динамикой контролируемых процессов, на основе созданных геометрических методов и моделей.

8. Разработаны методологические рекомендации повышения качества управления функционирующих систем и определены области применимости разработанных методов.

9. Проведен анализ результатов внедрения разработанных методов в различных отраслях промышленности: в НИИ «Энергия» Спецсвязи РФ, филиале Мосэнерго ТЭЦ-17, ЗАО «Ступинская металлургическая компания», ООО «Марс», ООО «Центр передовых технологий «Базис»; ООО «Кампина» и др. Получено подтверждение эффективности предложенных подходов.

10. Использование разработанных методов и моделей позволило повысить быстродействие систем теплообмена в 1,5-2 раза и увеличить качество и надежность их функционирования.

11. Результаты использованы в учебном процессе кафедры «Управления и моделирования систем» Московского государственного университета приборостроения и информатики, кафедры «Моделирования систем и информационные технологии» «МАТИ» — Российского государственного технологического университета им. К. Э. Циолковского.

1. Аграчеев А. А., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления.— М.:Физматлит, 2005.

2. Андриевский Б.Р., Фрадков Ф.Л. Управление хаосом: методы и приложения. I Методы. Автоматика и телемеханика.— 2003.— №1.— 2003.—С.3-45.

3. Андронов А. А. Предельные циклы Пуанкаре и теория автоколебаний // Собрание трудов А. А. Андронова.— М.: Изд-во АН СССР, 1956.

4. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка.— М.: Наука, 1966.

5. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости.— М: Наука, 1967.

6. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой: лекции соросовского профессора: Учебное пособие.— Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000.

7. Анищенко В. С., Астахов В. В., Вадивасова Т. Е. и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / Под ред. В. С. Анищенко.— М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

8. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Постнов Д.Э., Сафонова М.А. Внешняя и взаимная синхронизация хаоса // Радиотехника и электроника.— 1991.— Т.36.—С.338.

9. Анищенко B.C., Павлов А.Н., Янсон Н.Б. Реконструкция динамических систем в приложении к защите информации // ЖТФ.— 1998.— т.68.— №12.

10. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.З.— М.: ВНИТИ, 1985.

11. Арнольд В. И. Доказательство теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона//УМН,— 1963.—Т.18,—Вып. 5 (113).—С. 130.

12. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике // УМН.— 1963.— Т. 18.— Вып. 6(114)—.С. 81-192.

13. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— М: Наука. 1989.

14. Ассарин Е. А., Козякин В. С., Красносельский М. А., Кузнецов Н. А. Анализ устойчивости рассинхронизированных дискретных систем.— М.: Наука, 1992.

15. Астахов В. В., Сильченко А. Н., Стрелкова Г. И., Шабунин А. В., Анищенко В. С. Управление и синхронизация хаоса в системе связанных генераторов // Радиотехника и электроника.— 1996.— Т. 41.— С. 1323.

16. Афраймович В. С. Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов // В сб. Нелинейные волны / Под ред. А. В. Гапонова-Грехова и М. И. Рабиновича,—М.: Наука, 1987,— С. 189-213.

17. Афраймович B.C., Быков В. В., Шильников Л. П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // ДАН СССР.— 1977.— Т. 234.— № 2.— С. 336-339.

18. Афраймович B.C., Гаврилов H.lK., Лукьянов В. И., Шильников Л. П. Основные бифуркации динамических систем.-— Горький: Изд-во ГГУ (ННГУ), 1985.

19. Афраймович B.C., Веричев Н.Н., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах // Изв. Вузов. Радиофизика.— 1986.—Т.29.—С.795.

20. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос.— М.: Наука, 1992.

21. Бабичев А. В., Бутковский А. Г., Похьолайнен С. К единой геометрической теории управления. М.: Наука, 2001. 352с.

22. Батхин А. Б., Батхина А. Б., Сумароков С. И. Бифуркации удвоения периода в задаче Хилла // Вестник ВолГУ. Серия 1. Математика. Физика.— 2000,— Вып. 5 — С.6-11.

23. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.— М.: Наука, 1976.

24. Белюстина Л.Н., Белых В.Н. Качественное исследование динамических систем на цилиндре // Дифф. уравнения.— 1973.— Т. 9.— № 3.— С. 403415.

25. Березовский С. В., Клепиков В. Ф., Середа Ю. В., Лысенко М. А. Симметрии в системах с несоразмерными фазами // Вестник Харьковского национального университета. Серия: Физическая. Ядра, частицы, поля.— 1999.— Т.443.— Вып. 2 (6).

26. Берже П., И. Поио, Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности: пер. с франц.— Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 1998.

27. Беркс У. Пространство — время, геометрия, космология.— М.: Мир. 1985.

28. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы.— М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. (переизд. 1941)

29. Бланк М. Л. Устойчивость и локализация в хаотической динамике.— М.: МЦНМО, 2001.

30. Бобылев А. В., Ибрагимов Н. X. Взаимосвязь свойств симметрии уравнений динамики, кинетической теории газов и гидродинамики // Математическое моделирование.— 1989.— Т.1.— №3.— С. 100-109.

31. Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике.— Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, Изд. дом «Удмуртский университет», 1999.

32. Бурбаки Н. Общая топология.— М: Наука, 1975 (1969).

33. Бутковский А. Г. Фазовые портреты управляемых динамических систем.— М.: Наука. 1985.

34. Вишняков С., Геворкян В., Казанцев Ю. Автоматизированное проектирование высокодобротной колебательной системы транзисторного генератора. Численные методы расчета электромагнитного поля // Электроника: Наука, Технология, Бизнес.— 2004.— № 2.— С.52-56

35. Волович М. Е. Средства исследования диссипативных хаотических систем по временным рядам // Дисс. . канд. техн. наук: 05.13.01.— М.: МГАПИ, 2003.

36. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Методы осреднения в теории нелинейных колебательных систем.— М.: Изд-во МГУ, 1971.

37. ГайшунИ. В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения.— Минск: Наука и техника, 1983.

38. Гарев К. Г. Приложения непрерывных групп симметрий к дифференциальным уравнениям // Соросовский образовательный журнал.— 1998,—№ 12,—С. 113-118.

39. Гелъфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление,-— М.: ГИФМЛ, 1961.

40. Гукенхеймер Дж. Странный, странный аттрактор // Кн. : Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Гл. 12.— М.: Мир, 1980.—С. 284-293

41. Данилов Н. Ю., Павловский Ю. Н., Соколов В. И., Яковенко Г. Н. Геометрические и алгебраические методы в теории управления. М.: Изд. МФТИ, 1999.

42. Данилов Ю. А. Лекции по нелинейной динамике.— М.: Постмаркет, 2001.

43. Делюкова Я. В. Редукция определяющих систем при наличии симметрии // Дифференциальные уравнения и процессы управления.— 2003.— №2.— С.1-7.

44. Дмитриев М. Г., Коняев Ю. А. Асимптотика типа Биркгофа некоторых сингулярно возмущенных задач оптимального управления // Математическое моделирование.— 2000.— Т. 14.— № 3.— С.27-29.

45. Дородницын В. А. Групповые свойства разностных уравнений.— М.: Физматлит, 2001.

46. Дородницын В. А. Конечно-разностный аналог теоремы Нётер // Доклады РАН.— 1993.—Т.328.—№6.—С.678-682.

47. Дородницын В. А., Еленин Г .Г. Симметрия в решениях уравнений математической физики.— М.: Знание, 1985.

48. Драгунов Т.Н., Морозов А.Д. К исследованию систем типа Хенона-Хейлеса // Регулярная и хаотическая динамика.— 1997.—• Т. 2.— № 1.— С. 43-54.

49. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия.— М.: Наука, 1986.

50. Елкин В. И. Редукция нелинейных управляемых систем: дифференциально-геометрический подход.— М.: Наука, 1997.

51. Емельянова И. С. Проблема "симметрия-интегралы движения" в аналитической динамике: Монография.— Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та, 1992.

52. Емельянова И. С. Свойства локальной группы Ли, имеющей в качестве инварианта функцию Гамильтона конечномерной системы // Дифференциальные уравнения.— 1994.— Т.З.— №. 10.— С. 1683-1686.

53. Жевакин С.А. Об отыскании предельных циклов в системах, близких к некоторым нелинейным // ПММ.— 1951.— Т. 15.— Вып. 2.— С. 237-244.

54. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры.— М.: Наука, 1981.

55. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // УФН.— 1971.— Т. 105.—Вып. 1,— С. 3-39.

56. Зубер И. Б. Терминальное управление по выходу для нелинейных нестационарных систем // Дифференциальные уравнения и процессы управления,— 2004.— №2 — С.36-42.

57. Ибрагимов Н. X. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // УМН РАН.— 1992.—Т. 47,—Вып. 4 (286).— С.83-144.

58. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике.— М.: Наука, 1983.

59. Ибрагимов Н. X. Инвариантные вариационные задачи и законы сохранения // Теор. и матем. физика.— 1969.— Т.1.— №3/— С.350-359.

60. Ибрагимов Н. X. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // Успехи математических наук РАН.— 1992.— Т.47.— Вып.4 (268).— С.83-144.

61. Иоффе А. Д.,Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач.— М: Наука. 1974.

62. Калошин Д. А. О построении бифуркационной поверхности существования гетероклинических контуров седло-фокусов в системе Лоренца // Дифференциальные уравнения.— 2004.— Т. 40.— № 12.— С. 1705-1707

63. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // ЖЭТФ,— 1951.— Т.21.— С.588.

64. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // УФН.— 1951.— Т.44.— С.7.

65. Каплан Д.Л., Йорке Дж.А. Предтурбулентность: режим, наблюдаемый в течении жидкости, описываемой моделью Лоренца // В сб. «Странные аттракторы».— М.: Мир, 1981.

66. Каток А. Б., Хассельблат Б. введение в современную теорию динамических систем.— М.: Факториал УРСС, 1999.

67. Келли Дж. Общая топология.— М: Наука, 1968.

68. Кириллов А. А. Элементы теории представлений.— М.: Наука, 1972.

69. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике.— Ижевск: изд-во Удм. ун-та, 1995.

70. Колесников А. А. Аналитическое конструирование агрегированных регуляторов: управление хаосом // Управление и информационные технологии: Сб. докл. всерос. науч. конф.— С.-Пб., 2003.— Т.1.— С. 1822.

71. Колесников А. А. Синергетические методы управления сложными системами: Теория системного анализа.— М.: КомКнига, 2006.

72. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР.— 1954.— Т. 98.— С. 527-530.

73. Кондратьев Г. В. Геометрический подход к решению задачи оптимального синтеза стационарных гладких систем управления // Дисс. . докт. физ.-мат. наук.— НГТУ, 2000.

74. Кондратьев Г. В. Геометрическая теория синтеза оптимальных стационарных гладких систем управления.— М.: Физматлит, 2003.

75. Коровин С. К., Бобылев Н. А., Емельянов С. В. Геометрические методы в вариационных задачах.— М.: Магистр, 1998.

76. Костылев И. А., Малинецкий Г. Т., Потапов А. Б. Параметры порядка в нейронной сети Хопфилда // Журнал вычисл. математики и матем. физ.— 1994.— Т. 34.— С.1733-1740.

77. Краснощеков В. И. Геометрические методы исследования систем управления // Теория и компьютерные методы исследования стохастических систем / Пупков К. А. и др. Приложение 3.— М.: Физматлит, 2003,— С.350-399.

78. Крищенко А. П. Исследования управляемости и множества достижимости нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика.— 1984.— №6.— С.30-36.

79. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П. Критическая динамика одномерных отображений. 4.1. Сценарий Фейгенбаума // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика.— 1993.— Т.1.—№1/2.— С.15-33.

80. Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций). Серия: современная теория колебаний и волн.— М.: Наука, 2001.

81. Кусюмов А. Н., Павлов В. Г. Частные симметрии системы внешних дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения и процессы управления.— 2002.— №4.— С. 1-16.

82. Кусюмов А. Н. Симметрии и законы сохранения невариационных систем уравнений // Дифференциальные уравнения и процессы управления.— 2003.— № 1.—■ С. 100-107.

83. Линчук Л. В. Формальные операторы, допускаемые обобщенными дифференциальными уравнениями, и принцип факторизации // Дифференциальные уравнения и процессы управления.— № 1.— 2001.— С.71-115.

84. Лобри К. Динамические полисистемы и теория управления // Сб.: Математические методы в теории систем.— М.: Мир, 1979.— С. 134-179.

85. Лоренц Э.Н. Детерминированное непериодическое течение // В книге «Странные аттракторы».— М.: Мир. 1981.—С.88-116.

86. Магницкий Н. А. О стабилизации неподвижных точек хаотических динамических систем // Докл. РАН.— 1997,— Т. 352,—№ 5,— С.610-612.

87. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики.— М.: Едикториал УРСС, 2004.

88. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О некоторых подходах к проблеме управления диффузионным хаосом // Дифференциальные уравнения.— 1999,— Т.35.—№ 5,— С.664-669.

89. Макарычев П. П. Моделирование непрерывных и дискретных динамических систем. Учебное пособие.— Пенза: Пенз. политехи, ин-т, 1988.

90. Малинецкий Г. Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. Изд. 4-е.— М.: КомКнига, 2005.

91. Малинецкий Г.Г. Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики.— М.: Эдиториал УРСС. 2000.

92. Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. Нелинейная динамика и проблемы прогноза // Доклады РАН.— 2001,— т. 71,— № 3.— С. 210-232

93. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях // Тр. моек. мат. об-ва.— 1963.— Т. 12.— С.3-52.

94. Методы классической и современной теории управления. Т.З. Методы современной теории автоматического управления / Под ред. Н. Д. Егупова.— М. МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. 748 с.

95. Михайлов JI. В., Шабаш JI. Б., Ямилов Р. И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук.— 1987.— Т.42.— Вып.4(256).— С.3-54.

96. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии.— М.: МГУ, 1980.

97. Морозов А. Д., Драгунов Т. Н. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем.— М.-Ижевск: Ин-т комп. иссл., 2003.

98. Морозов А.Д. О резонансах и хаосе в параметрических системах // ПММ,— 1994,— Т. 5 8.— Вып. 3.— С. 41-51.

99. Музыкин С. Н., Родионова Ю. М. Моделирование систем.— М.: МГАПИ, 2004.

100. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания.— М.: Наука, 1987.

101. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений.— М., JL: Гостехиздат, 1947.

102. Нётер Э. Инвариантные вариационные задачи // Сб.: Вариационные принципы механики.— М.: Физматгиз, 1959.— С. 611-630.

103. Новиков С. П., Фоменко А. Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии.— М.: Наука, 1987.

104. Овсянников JI. В. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности // Доклады АН СССР.— 1959.— Т. 125,— №3.— С.492-495.

105. Овсянников J1. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1978.

106. Овсянников Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений.— Новосибирск: СОАН СССР, 1962.

107. Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Тр. моек. мат. об-ва.— 1968.—Т. 19 — С. 179-210.

108. Павлов А. Н., Янсон Н. Б., Анищенко В. С. Реконструкция динамических систем // Радиотехника и электроника.— 1999.— Т.44.— №9.— С. 10751092.

109. Павловский Ю. Н., ЯковенкоГ. Н. Группы, допускаемые динамическими системами // Методы оптимизации и их приложения.— Новосибирск: Наука, 1982,—С. 155-189.

110. Палис Ж., Мелу В. ди. Геометрическая теория динамических систем: Введение.— М.:Мир, 1986.

111. Плисс В. А., Пилюшин С. Ю. Сохраняющиеся структуры для диффеоморфизмов с эргодической инвариантной мерой // Доклады РАН,— 1995.—Т.343.—№3.—С.312-313.

112. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов.— М.: Физматгиз. 1961.

113. Понтрягин Л.С. О динамических системах, близких к гамильтоновым // ЖЭТФ.— 1934.—Т. 4.—Вып. 9.—С. 883-885.

114. Постников М.М. Дифференциальная геометрия.— М.: Наука, 1989.

115. Пуанкаре А. Избранные труды. Новые методы небесной механики. Т. 1, Т. 2.—М.: Наука, 1971.

116. Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными.— М.: Гостехиздат. 1947.

117. Рейсинг Р, Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1974.

118. Рокафеллер А.Ф. Выпуклый анализ.— М.: Мир. 1973.

119. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств.— М.: Наука. 1981.

120. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности. Странные аттракторы.— М.: Мир, 1981.—С. 117-151

121. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы.— М.: Наука, 1989.

122. Свирщевский С. Р. Групповые свойства модели теплопереноса с учетом релаксации теплового потока.— М.: ИПМ АН СССР, 1988. 16 с.—(Препр. ИПМ АН СССР; №105).

123. Селезнев Е. П., Захаревич А. М. Динамика нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии // Письма в ЖТФ.— 2005.— Т. 31.— Вып. 17,—С. 13-18

124. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли.— М.: Мир, 1969.

125. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / Под ред. Виноградова А. М. и Красильщика И. С.— М.: Факториал, 1997.

126. Симо К., Брур X., Джервер Дж., Джиорджилли А., Лазуткин В.Ф., Монтгомери Р., Смейл С, Стучи Т., Шенсине А. Современные проблемы хаоса и нелинейности.— Москва-Ижевск: Изд-во Института Компьютерных Исследований, 2002.

127. Синг Дж.Л. Классическая динамика. М.: Наука. 1963.

128. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи мат. наук.— 1970,—Т.25,—№1.—С. 113-185

129. Смейл С. Математические проблемы следующего столетия // Кн.: Современные проблемы хаоса и нелинейности.— Ижевск : ИКИ, 2002.— с. 280-303

130. Спеньер Э. Алгебраическая топология / пер. с англ.— М.: Мир, 1972

131. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.— М.: Гостехтеориздат. 1953.

132. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных.— М.: ИЛ. 1957.

133. Трофимов В.В. Введение в геометрию многообразий с симметриями.

134. Труды семинара «Софус Ли»: Теория алгебр Ли. Топология групп.— Л.: ИИЛ, 1962.

135. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.: Мир, 1970. 720 с.

136. Хенон М. Двумерное отображение со странным аттрактором // В сб. «Странные аттракторы». М.: Мир, 1981. С. 152-163.

137. Хрящев С. М. Оценки времени управления в системах с хаотическим поведением. Часть 1,2// Автоматика и телемеханика.— 2004.— №10, 11.

138. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли,— Л.: ГИТТЛ, 1940.

139. Чернышев В. Е. Сильно устойчивые слоения над контурами лоренцова типа // Вестник С.-Пб. гос. у-та. Сер. 1 — 1996 — Вып. 4 (№22).— С.44-52.

140. Чернышев В. Е. Структура окрестности гомоклинического контура с седловой точкой покоя // Дифференц. уравнения.— 1986,-—Т.22/— №3.— С.43 9-445.

141. Чурин Ю. В. Об исчезновении периодических решений квазиоднородных систем, имеющих лишь простые исключительные множества // Дифф. уравнения,— 1975.— Т.11.—№ 4.— С.678-686.

142. Шилов Т.Е. Введение в теорию линейных пространств.— М.: Гостехтеориздат. 1956.

143. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамики.—■ М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

144. Шильников Л. П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Матем. сборник.— 1970.—Т. 81(123).—№1.—С. 92-103.

145. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца // Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Добавление II — М. : Мир, 1980,—С. 317-335

146. Шмырин Д. А. Разработка симметричных моделей и алгоритмов смешанного управления пространственно-распределенных систем // Автореф. . канд. физ.-мат. наук: 05.13.14,05.13.01.— Донецк, 1998.

147. Шориков А. Ф. Минимаксное оценивание и управление в дискретных динамических системах.— Екатеринбург: Изд-во уральского у-та, 1997.

148. Яковенко Г. Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы с управлением — сравнительный групповой анализ // Дифференциальные уравнения и процессы управления.— 2002.— №3.— С.40-83.

149. Яковенко Г. Н. Принцип суперпозиций для нелинейных систем: Софус Ли и другие,—М.: Изд. МФТИ, 1997.

150. Яковенко Г. Н. Регулярные математические модели систем с управлением: инвариантность, симметрии // Автореф. доктора физ.-мат. наук: 05.13.18,—М. ВЦ РАН, 1995.

151. Яковенко Г. Н. Теоретико-групповой анализ взаимодействующих популяций // Электронный журнал «Исследовано в России».— 2003.— С.981-990.(http:Wzhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/088.pdf)

152. Янсон Н. Б., Павлов А. Н., Капитаниак Т., Анищенко В. С. Глобальная реконструкция по нестационарным данным // Письма в ЖТФ.— 1999.— Т.25,—Вып. 10.—С.75-81.

153. AguirreL. A., MendesE. М. Global nonlinear polynomial models: structure, term clustering and fixed points // Int. J. Bifurc. Chaos.— 1996.— V.6(2).— P.279-294.

154. Aguirre T. A., Billings S. A. Identification of models for chaotic systems from noisy data: implications for performance and nonlinear filtering // Physica D.— 1995,—V.85.—P. 239-258.

155. Allie S., Mees A., Judd K., Watson D. Reconstructing noisy dynamical systems by triangulation//Phys. Rev. E.— 1997,— V.55(l).— P. 87-93.

156. Anderson I. M., Kamran M., Olver P.J. Internal, External and Generalized Symmetries.—Preprint, 9/4/90, 1990.

157. Baker С. Т., Collub J. P., Blackburn J. A. Inverting chaos extracting system parameters from experimental data // Chaos.— 1996.— N. 4.— P. 528-533.

158. Baptista M.S., Caldas I. T. Easy-to-implement method to target nonlinear systems // Chaos.— 1997.— V. 8,— N. 1.— P. 290-299.

159. Brawn R., Rulkov N. F., Tracy E. R. Modelling and synchronizing chaotic systems from time-series data // Pthys. Rev. E.— 1994.— V.49.— P. 3784.

160. Breeden J. L., Hubler A. //Phys. Rev. A.— 1990,—V. 42,—N.10.—P.5817-5826.

161. CaoL. Practical method for determining the minimum embedding dimension of a scalar time series // Physcai D — 1997 — V.l 10.— P.43-50.

162. Castro, R., Sauer T. Correlation dimension of attractors through interspike intervals // Phys. Rev. E.— 1997.— V.55(l).— P.287-290.

163. Chason R. Suppresion of chaos by selective resonant parametric perturbations // Phys. Rev. E. — 1995,— V. 51.—P.761.

164. Chen С. C., Chuo Y. J., Wang F. L., Yen H. Y., Chen С. H. Correlation dimension and its temporal variations in geomagnetic total field during storms // TAO.— V. 16.— N.2.— P.43 5-443

165. Chester W. A. General theory of resonance between weakly coupled oscillatory systems. Part 2. Nonconservative systems // J. Inst. Math, and Appl. 1980. V. 26, No. 2. P. 199-207.

166. Chua L. O., Komyro M., Matsumoto T. The double scroll family // IEEE Trans. Circuits Syst, CAS-33, 1986,—P. 1072.

167. Chua's Circuit: a Paradigm for Chaos, ed. R.N.Madand.— World Sci. Ser. on Nonlinear Sci. Series В. V. 1., 1993.

168. Cicogna G., Fronzoni L. Effects of parametric perturbations on the onset of chaos in the Josephson—Junction model: Theory and analog experiments // Phys. Rev.— 1990.—V. A42.— P. 1901.

169. Cremers X., Hubler A. // Z. Naturforschung A.— 1987,— V. 42,— P.797-802.

170. Crutchfield J.P, McNamara B.S. // Complex Systems.— 1987.— V. 1— P.417-452.

171. Eckman J.-P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and stmge attractors // Rev. of Modern Phys.— 1985.—V. 57.— N.3.— P.617-656.

172. Elliott J. P., DawberP. G. Symmetry in Physics.— London: The Macmillan Press Ltd., 1979.

173. Falconer K. J. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.

174. New York: John Wiley, 1990.

175. Farmer J. D., Sidorowich J. J. Predicting chaotic time series // Phys. Rev. Lett.1987,— V.59.— P.845-848.

176. Fronzoni L., Giocondo M., Pettini M. Experimental evidence of suppression of chaos by resonant parametric perturbations // Phys. Rev. A.— 1991.— V. A43.1. P.6483.

177. Goodwin R.M. The nonlinear accelerator and the persistence of business cycles //Econometrica.— 1951.—V. 19.—P. 1-17.

178. Gouesbet G, Maquet X. // Physica D.— 1992,— V. 58,— P. 202-215.

179. Gouesbet G., Letellier C. //Phys. Rev. E.— 1994.—V.49.—P. 4955-4972.

180. Grassberger P., Hegger R., Kantz H., Schaffrath C., SchreiberT. On noise reduction methods for chaotic data // Chaos.— 1993,— V.3.— P. 127-141.

181. Grigoriev R. O. Symmetry and localized control of extended chaotic systems // Thesis of Doctor Philosophy.— Pasadenta, California: California Inst, of technology, 1999.

182. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields.—N.-Y.: Springer, 1983.

183. Guckenheimer J., Williams R. F. Structural stability of Lorenz attractors // Publ. Math. IHES.— 1979.— V.50.—P.59-72.

184. Haken H. Transition Phenomena in Nonlinear Systems // Stochastic Nonlinear Systems in Physics, Chemistry and Biology. Proc. of the Workshop (Bielefeld,

185. Fed. Rep. of Germany, 1980) / Eds, L. Arnold, R. Lefever.— Springer-Verlag, 1981.— P.12-19.

186. Hegger R., Bunner M.J., Kantz K, Giaquinta A // Phys. Rev. Lett.— 1998— V. 81.—P. 558-561.

187. Henon M, Heiles C. The applicability of the third integral of motion. Some numerical experiments // Astron J.— 1964.— V. 69.— P. 73-79.

188. Henon M. Numerical study of quadratic area-preserving mappings // Quarterly of Appl. Math.— 1969.— V.27.— N.3.

189. Hermann M. Mesure de Lebesgue et nombre de rotation // Proc. Symp. Geomerty and Topology; Lecture notes in Math.— Springer-Verlag: NY, 1971.—V.597 —P.371-395.

190. Hirsch M., Smale S. Differential equations, dynamical systems and linear algebra.— N.-Y.: Academic Press, 1974.

191. Huerta R., Bazhenov M., Rabinovich M. Clusters of synchronization and bistability in lattices of chaotic neurons // Europhys. Lett.— 1998.—V.43.— N.6.— P.719-724.

192. Jaeger L., Kantz H. Effective deterministic models for chaotic dynamics perturbed by noise // Phys. Rev. E.— 1997,— V.55(5).— P.5234-5247.

193. Judd K., Mees A. On selecting models for nonlinear time series // Physica D.— 1995.—V.82.—P.426-444.

194. Kantz H., Schreiber T. Nonlinear time series analysis.— Cambridge: Cambridge University Press, 1997.

195. Kaplan D., Schreiber T. Signal separation by nonlinear projections: The fetal electrocardiogram // Phys. Rev. E.— 1996,— V.53(5) — P.R4326-R4329.

196. Kennel M. В., Brown R. ,Abarbanel H. D. I. Determining embedding dimension for phase-space reconstruction using a geometrical construction // Phys. Rev. A.— 1992.— V.45.— P.3403-3411.

197. King G. P., Steward I. Phase space reconstruction for symmetric dynamical systems // Physica D: Nonlinear Phenomena.— 1992,— V.58.— P.216-228.

198. Kocarev L., Shang A., Chua L. O. Transitions in dynamical regimes by driving: A unified method of control and synchronization of chaos // Int. J. Bif. Chaos.— 1993,—V.3.— P.479.

199. Lakshmanan M. Chaos for engineering: theory, applications and control.— Singapore: World Scientific, 1999.

200. Lai Y.-Ch., Grebogi C. Synchronization of chaotic trajectories using control // Phys. Rev.— 1993,—V. E47.—P.2357.

201. Lie S. Vorlesungen uber continuerliche Gruppen.— Leipzig: Teubner, 1893.

202. Lima R., Pettini M. Suppression of chaos by resonant parametric perturbations //Phys. Rev.— 1990,—V. А41,—P.726.

203. Ljung L. System Identification — Theory for the User.— Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J. 2nd edition, 1999.

204. Lorenz E. N. Deterministic Nonperiodic Flow // J. Atmos. Sci.— 1963.— V.20.— P.130-141

205. Lorenz H.-W., Nusse H.E. Chaotic attractors, chaotic saddles, ands fractal basin boundaries: Goodwin nonlinear accelerator model reconsidered // Chaos, Solitons and Fractals.— 2002.—V. 13.—P. 957-965.

206. Macau E. Targeting in chaotic scattering // Phisical Rewiew E.— 1998.— V.57.— N.5.— P.5337-5347.

207. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature.— Freeman & Co., 1983. Перевод на русский: Б. Мандельброт Фрактальная геометрия природы.— М.: Изд-во ЖИ, 2002.

208. Mira С, Gardini L., Barugola A., Chatala J.-C. Chaotic dynamics in two-dimensional noninvertible maps.— World Sci., Series A. 1995.

209. Murali K., Lakshmanan M. Drive response scenario of chaos synchronization in identical nonlinear systems // Phys. Rev.— 1994.— V. E49.— P.4882.

210. Olver P. J. Applications of Lie Groups to Differential Equations.— Springer, New York, 1986.

211. Ott E, Grebogi C, Yorke J. Controlling chaos // Physical Review Letters.— 1990.— V.64.— N. 11.— P. 1195-1199.

212. Packard, N. H., Crutchfield, J. P., Farmer, J. D., Shaw, R. S. Geometry from a time series // Phys. Rev. Lett.— 1980,—V.45.— P.712-716.

213. Palus M., Dvorak I. Singular-value decomposition in attractor reconstruction: pitfalls and precautions // Physica D.— 1992.— V.55.— P.221-234.

214. Pecora L. M., Caroll Т. I., Jonnson G. A, Mar D. J., Heagy J. F. Fundamentals of synchronization in chaotic systems. Concepts and applications // Caos.— 1997.— V.7.— N.4.— P.520-543.

215. Pecora, L. M., Carroll T. L. Synchronization in chaotic systems // Phys. Rev. Lett. — 1990—V.64.—P.821-824.

216. Peng J. H., Ding E. J ., Ding M., Yang W. Synchronizing hiperchaos with a scalar transmitted signal // Ph. Rev. Lett.—1996.—V.76.— №6.— P 904-907.

217. Pikovsky A. S. On the interaction of strange attractors // Z. Phys.— 1984.— V. B55.— P.149.

218. Pragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback // Phys. Lett. A. — 1992.—V. 170.—P.421-428.

219. Rosenstein M. Т., Collins J. J., DeLucaC. J. Reconstruction expansion as a geometry-based framework for choosing proper delay times // Physica D.— 1994,— V.73.— P.82-98.

220. Rossler O.E. // Phys. Lett. A.— 1976,— V.57.— P.397-398.

221. Rulkov N. F., Sushchik M. M., Tsimring L. S., Abarbanel H. D. Generalized synchronization of chaos in directional coupled chaotic systems // Pthys. Rev. E. — 1995.— V.51 (2).— P. 980-994.

222. Rul'kov N. F., Volkovskii A. R., Rodriguez-Lozano A., Del Rio E., Velarde M. G. Mutual synchronization of chaotic self — oscillators with dissipative coupling // Int. J. Bif. Chaos.— 1992,— V.2.— P.669.

223. Rychlik M. Lorenz attractors through a Shilnikov-type buforcation, Part 1. Ergodic theory dynamical systems— 1989.— V.10.— P.793-821.

224. Sauer T. Reconstruction of dynamical systems from interspike intervals // Phys. Rev. Lett.— 1994.— V.72.— P.3 811-3814.

225. Schreiber Т. Constrained randomization of time series data // Phys. Rev. Lett.— 1998.— V.80(10).— P.2105-2108.

226. Schroer C, Ott E. Tarketing in hamiltonian systems that have mixed regular/chaotic phase spaces // Chaos.— 1997.— V. 7.— N.4.

227. Shindort Т., Gtebodi C., Yorke J. A. Using small perturbations to control chaos // Nature.— 1993— V.363.— N.3— P.411-417/

228. Sparrow C. The Lorenz equations : Bifurcations, chaos and strange attractors.-N.-Y.: Springer Verlag, 1982.

229. Szpiro G. G. Forecasting chaotic time series with genetic algorithms // Phys. Rev. E — 1997.—V. 55(3).—P. 2557-2568.

230. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence // Dynamical Syst. and Turbulence / Eds.: Rand D.A., Young L.-S.— Berlin: Springer, 1981.— P. 366-381.

231. Takens F. Detecting nonlinearities in stationary time series // Int. J. of Bifurcation and Chaos.— 1993.— V.3.— P.241-256.

232. Tanaka K., Jkeda Т., Wang H. O. A Unified Approach to Controlling Chaos via an LMIBased Fuzzy Control Systems Design // IEEE Trans. Circuits Syst. J.— 1998.— V.45.— N. 10,— P. 1021-1040.

233. Tucker W. A rigorous ODE solver and Smale's 14th problem // Found. Comput. Math.— 2002.— V.2.— P.53-117.

234. Ushio T. Chaotic synchronization and controlling chaos based on contraction mappings//Phys. Lett.— 1995.—V. A198 —P.14.

235. Voss K, Kurths X // Phys. Lett. A.— 1997.— V. 234.— P. 336-344.

236. Williams R. F. The structure of the Lorenz attractors // Publ. Math. IHES.— 1979.— V.50.— P.321-347

237. Wolf, A., J.B. Swift, L. Swinney, J.A. Vastano, Determining Lyapunov exponents from a time series //PhysicaD.— 1985.— V.16.— P.285-317.

238. Yamada Т., Fujisaka H. Stability theory of synchronized motions in coupled oscillator systems // Progr. Theor. Phys.— 1984.— V.69.— P.32.

239. Yang L., Liu Z., Zheng Y. "Midle"periodic orbit and its application to chaos control // International Journal of Bifurcation and Chaos.— 2001.— V.12.— N.8.— P.1869-1876.

240. Yorke J. A., Yorke E. D. Metastable chaos : the transition to sustained chaotic oscillations in a model of Lorenz // J. Stat. Phys.—1979—V.21— P.263-267.

241. Young L.-S. Capacity of attractors / Ergod. Theory and Dyn. Syst., Part 1.— 1981.—P. 381-388; Part 2.— 1982.— P.109-124.

242. Никульчев Е. В. Хныкин А. П. Система распределения электроэнергии на промышленных предприятиях // Наука-производству.— 1998.— №11.— С. 46-48

243. Никульчев Е. В., Волович М. Е. Идентификация фазовых портретов динамических систем по временным рядам // Научные труды МАТИ им. К. Э. Циолковского.—Вып. 4 (76).—М.: ЛАТМЭС, 2001.—С.463-467.

244. Никульчев Е. В., Волович М. Е. Реконструкция фазового портрета системы теплообмена // Наукоемкие технологии и интеллектуальныесистемы: Сб. науч. трудов 5-ой молодеж. науч.-техн. конф. (Москва, 2003).—М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.—Т. 2.—С. 132-135.

245. Никульчев Е. В., Волович М. Е. Модели хаоса для процессов изменения курса акций // Exponenta Pro. Математика в приложениях.— 2003.— №1,— С.49-52.

246. Никульчев Е. В. Об одном математическом методе обеспечения качества управления в многокритериальных системах // Математическое моделирование и управление в сложных системах: Сб. науч. трудов под ред. С. Н. Музыкина. Вып. 3,—М.: МГАПИ, 2000.—С.33-39.

247. Никульчев Е. В. Разработка многокритериальных систем управления динамическими объектами // Информационные технологии в науке и образовании: Матер. II межднарод. науч.-практ. конф. Шахты: ЮРГУЭС, 2001. С.42-44.

248. Никульчев Е. В. Построение компромиссной зависимости в системах с несколькими целями // Теория активных систем: Труды международ, науч.-практ. конф. (Москва, 2001) / Под ред. В.Н.Буркова, Д. А. Новикова.—М.: ИПУ РАН, 2001.—Т.1.—С.98-99.

249. Никульчев Е. В. Технология автоматизированного расчета параметров регулирования технологическими процессами // Промышленные АСУ и контроллеры.— 2001.— №11.— С.23-26.

250. Никульчев Е. В. Применение методов дифференциальной геометрии к задачам управления в сложных системах // Rusycon. Российский журнал по системам и управлению (Электронный журнал ИПМАШ РАН).— 5.1.2002.— С. 1-12. (www.rusycon.ru)

251. Никульчев Е. В. Проектирование систем управления на основе групп и алгебр Ли // Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB: Труды 1-й всероссийск. научн. конф. (Москва, 2002).— М.: ИПУ РАН, 2002.— С.452-457.

252. Никульчев Е. В. К вопросу моделирования и синтеза управления на основе дифференциальной геометрии // Гироскопия и навигация.— 2002,—№3(34).—С. 134.

253. Никульчев Е. В. Идентификация динамических систем на основе групп симметрий // 3-я всероссийск. конф. молодых ученых по математическомумоделированию и информационным технологиям: Материалы (Новосибирск, 2002).—Новосибирск. МВТ СО РАН, 2002.— С. 33.

254. Никульчев Е. В. Управление сложными системами с использованием аппарата групп симметрий // Конференция по теории управления, посвященная памяти академика Б. Н. Петрова: Сб. трудов (Москва, 2003).— М.: ИПУ РАН, 2003.— С. 40-41.

255. Никульчев Е. В. Применение методов групп симметрий для задач управления // 2-я международ, конф. по проблемам управления: Сб. тр. (Москва, 2003).—М.: ИПУ РАН, 2003.—Т. 1,— С. 34.

256. Никульчев Е. В. Симметрии в динамических моделях систем управления // Вестник Тамбовского гос. университета. Серия: Естественные и технические науки.— Т.8.— №3.— 2003.— С.423.

257. Никульчев Е. В. Групповой анализ и моделирование динамически-сложных систем // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Труды 8-го международ, семинара, посвященного памяти Е. С. Пятницкого (Москва, 2004).— М.: ИПУ РАН, 2004,— С.134-136.

258. Никульчев Е. В. Simulink как средство исследования дифференциальных моделей // Exponenta Pro. Математика в приложениях.— 2004.— №1.— С.91-93.

259. Никульчев Е. В. Применение геометрических методов в задачах управления дискретными системами // Exponenta Pro. Математика в приложениях.— 2004.— №3-4.— С. 178-180.

260. Никульчев Е. В. Группы симметрий дискретных управляемых систем // Вестник МГАПИ. Естественные и технические науки.— 2004.— №1.— С.150-161.

261. Никульчев Е. В. Использование групп симметрий для идентификации сложных систем // Вычислительные технологии.— 2004.— Т.9.— №3.— С.72-80.

262. Никульчев Е. В. Проектирование систем регулирования и моделирование сложных технических систем в MATLAB // Автоматизация в промышленности.— 2004.—■ №7.— С.46-47.

263. Никульчев Е. В. Моделирование промышленной системы теплообмена // Автоматизация в промышленности.— 2004.— №7.-— С.48-50.

264. Никульчев Е. В. Моделирование и идентификация динамически-сложных систем на основе группового анализа // Мехатроника, автоматизация, управление.— 2004,— №10.— С 2.-1.

265. Никульчев Е. В. Технология моделирования сложных и хаотических процессов, допускающих группы симметрий // Автоматизация и современные технологии.— 2004.— №11.— С.29-33.

266. Никульчев Е. В. Разработка геометрических методов синтеза управления дискретными системами // Информационные технологии: Материалы всероссийск. науч.-техн. конф. (Воронеж, 2005).— Воронеж: Научная книга, 2005.— С.324-326.

267. Никульчев Е. В. Многокритериальные системы принятия решений для задач управления // Автоматизация в промышленности.— 2005.— №7.— С.45-46.

268. Никульчев Е. В. Метод управления системами с хаотической динамикой // Математическое моделирование и управление в сложных системах: Сб. науч. трудов под ред. А. П. Хныкина. Вып. 8.—М.: МГАПИ, 2005.— С.58-62.

269. Никульчев Е. В., Назаркин И. А. Обработка данных и формирование обучающей выборки для прогнозирования динамического поведения сложных технических систем // Вестник МГАПИ. Естественные и технические науки.— 2005.— №L— С. 150-161.

270. Никульчев Е. В. Качественное исследование управляемых систем с нелинейной динамикой на центральном многообразии // Вестник МГАПИ. Естественные и технические науки.— 2006.— № 1.— С. 150-161.