автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Использование индекса Конли в задачах анализа нетривиальных инвариантных множеств динамических систем в гильбертовом пространстве

На правах рукописи

КУЗНЕЦОВ ЮРИЙ ОЛЕГОВИЧ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНДЕКСА КОНЛИ

В ЗАДАЧАХ АНАЛИЗА НЕТРИВИАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Специальность: 05.13.01 — ¡Системный анализ, управление и обработка информации»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003464242

Москва 2009

003464242

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте системного анализа (ИСА РАН); лаборатория (2-1) «математические методы анализа и синтеза сложных систем».

Научный руководитель:

академик РАН,

доктор технических наук, профессор Коровин Сергей Константинович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Арутюнов Арам Владимирович

кандидат физико-математических наук Канатников Анатолий Николаевич

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Вычислительный центр РАН

Защита состоится 23 марта 2009 г. в 11 часов 00 минут на заседании Диссертационного совета Д. 002.086.02 при Учреждении Российской академии наук Институте системного анализа по адресу: 117312, г. Москва, проспект 60-летия Октября, д. 9, ауд. 15.06.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института системного анализа

РАН.

Автореферат разослан 20 февраля 2009 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д. 002.086.02 д.т.н., профессор

А. И. Пропой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Понятие индекса Конли (обобщенного индекса Морса) возникло в 70-х годах прошлого века и стало основой бурно развивающейся области прикладной математики. Исторически отправной точкой послужила теорема Важевского, позволяющая локализовать ограниченные траектории динамической системы. Эту теорему можно рассматривать как первый принципиально новый метод качественного исследования динамических систем. В дальнейшем возникли различные направления таких исследований. Вот лишь некоторые из них:

1. Новые методы доказательства существования решений нелинейных операторных уравнений.

2. Исследование бифуркаций.

3. Качественные характеристики инвариантных множеств динамических систем.

4. Исследования нелинейной динамики: доказательство хаотических свойств, например, наличия марковских кодирований.

5. «Строгие вычисления» (rigorous computations): строгое математическое исследование конечномерной динамики на основе приближенных численных результатов.

Не вдаваясь в детали, можно отметить актуальность качественных методов исследования нелинейных динамических систем. С развитием вычислительной техники и численных методов все более востребовано аналитическое описание и доказательство общих свойств нелинейных объектов, в то время как те или иные количественные характеристики (траектории и орбиты) могут быть вычислены с высокой степенью точности.

На сегодняшний день теория динамических систем на локально компактных (конечномерных) пространствах развита достаточно полно; все более актуальными становятся бесконечномерные задачи. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, классические понятия динамики здесь приобретают ясные прикладные толкования: неподвижная точка соответствует решению стационарного операторного (например, дифференциального) уравнения, сепаратрисса — решению эволюционного уравнения с фиксированным исходным и конечным состоянием, бифуркация — потере устойчивости системы, а, следовательно, любое утверждение о качественном поведении бесконечномерного потока позволяет сде-

лать вывод об объекте, для которого записано уравнение и соответствующий поток. Во-вторых, бесконечномерная динамика представляет самостоятельный интерес и естественно присутствует, например, в гидродинамике и волновой физике. Настоящая диссертация посвящена, в основном, приложениям бесконечномерного индекса Конли.

Первая фундаментальная монография, посвященная индексу Конли инвариантного множества в банаховом пространстве — работа Кжишто-фа Рыбаковского "Гомотопический индекс и дифференциальные уравнения в частных производных". Автор определяет бесконечномерный индекс Конли, доказывает корректность такого определения и, в качестве приложений, устанавливает существование положительных решений параболических уравнений и периодических решений нестационарных градиентных систем. В дальнейшем появились альтернативные определения бесконечномерного индекса Конли, основанные в основном на теореме о неявной функции, или конечномерных аппроксимациях задач. Однако такие определения не позволяют исследовать явление множественности решений, характерное, например, для дифференциальных уравнений с сильными нелинейпостями.

Объект исследований. Градиентоподобные динамические системы в гильбертовом пространстве; индекс Конли совокупности инвариантных множеств; квазилинейные уравнения с сильной нелинейностью.

Цель работы. Основная цель работы — топологическое исследование явления множественности решений операторных уравнений с сильной нелинейностью, в том числе:

1. Определение класса задач, для которых возможно применение методов индекса Конли. Аксиоматическое определение и теорема о представлении соответствующих операторов.

2. Определение и доказательство корректности индекса Конли совокупности инвариантных множеств.

3. Приложение полученных результатов к теории операторных уравнений: доказательство принципа множественности решений операторных уравнений с сильной нелинейностью.

4. Сравнительный анализ аналогичных классов задач в различных литературных источниках.

5. Формализация доказательства теоремы о седловой точке с помощью базовых методов алгебраической топологии

Используемые методы. В работе использованы методы нелинейного функционального анализа, общей и алгебраической топологии и теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Научной новизной в предлагаемой работе обладают следующие пункты:

1. Аппроксимационное определение бесконечномерного индекса Кон-ли совокупности критических точек функционала и связывающих сепаратрисе.

2. Принцип доказательства существования бесконечного множества решений дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью, основанный на свойствах такого индекса.

3. Аксиоматическое и аналитическое описание класса задач, для которых справедлива построенная теория.

На защиту выносится: понятие и методы исследования индекса Конли нетривиальных инвариантных множеств в гильбертовом пространстве; методика исследования структуры решений операторных уравнений с сильной нелинейностью; аксиоматическое определение и теоремы о представлении класса допустимых уравнений; формализация доказательства теоремы о седловой точке в условиях пониженной гладкости.

Практическая значимость. Результаты настоящей работы могут быть использования для эффективного исследования динамических систем и операторных уравнений, возникающих во многих областях прикладной математики, в том числе: теории управления, оптимизации, теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Московского государственного университета и Института проблем управления РАН.

Личный вклад соискателя. Все результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно. В тексте диссертации присутствует глава 3, содержание которой составляет статья [1], выполненная в соавторстве: в этом случае автору принадлежит формализация утверждений.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении приводится аксиоматическое описание конечномерного индекса Коням, его основных свойств и отличий от классической теории вращения векторных полей (теории степени Лерэ—Шаудера).

Все потоки в данной работе порождены градиентными полями дифференцируемых функционалов, так что понятия «поток», «поле» и «функционал» однозначно соответствуют друг другу.

Как и вращение, индекс Конли некорректен в случае бесконечномерного поля общего положения. Следовательно, необходимо выделить класс потоков (или соответствующих полей, функционалов), для которых справедлива соответствующая теория. Существуют различные условия — условия компактности — позволяющие это сделать. В главе Основные классы функционалов проводится сравнительный анализ двух условий компактности, первое из которых (^-правильность) используется далее, а второе (С-условие) традиционно для англоязычных работ по нелинейному анализу. В главе доказано, что соответствующие множества функционалов различны, т.е. не содержатся одно в другом. Построены соответствующие примеры и доказаны теоремы о принципиальных различиях. В частности, (С)-условие неявно требует от функционала «регулярного поведения» на бесконечности, что в нашем случае является ограничительным и лишним требованием. Более подробное исследование Я-правильных функционалов проводится в последней главе.

В дальнейшем нам понадобится понятие Я-правильности, введенное Н. А. Бобылевым. Пусть В(р, v) — шар радиуса р с центром в точке v в се-парабельном гильбертовом пространстве. Функционал /(•) : В(р, v) ^ Ж называют Н-правильным, если /(и) непрерывно дифференцируем по Фреше на B(p,v), а его градиент V/(u) локально Липшицев на B(p,v) и удовлетворяет следующему условию (S): если последовательность ип слабо сходится к элементу и»: (и„ -^и,) и

lim (Vf(un),un - ut) < 0, (1)

n—>оо

ТО

lim |lu„ - u*|l = 0.

П-УОО

В главе Индекс Конли особой точки в гильбертовом пространстве дано аппроксимационное определение индекса Конли изолированной критической точки Я-правильного функционала и доказана теорема об инвариантности индекса относительно невырожденных деформаций.

Это иллюстрирует методы конечномерной редукции, которые будут использованы в дальнейшем.

Цепочку вложенных друг в друга конечномерных подпространств Н\ С Н2 С . ■. пространства Н называют исчерпывающей, если любой элемент х € Н можно приблизить с любой точностью элементом, принадлежащим одному из этих пространств. Ортопроектор на подпространство Нп будем обозначать через Рп.

Теорема 1. Пусть — единственная критическая точка Н-правильного функционала в шаре В(0,1), а {Нп} — исчерпывающая последовательность конечномерных подпространств пространства Н. Пусть {Рп} ~ семейство потоков, определяемых в пространствах Нп уравнениями

X =

Тогда при всех достаточно больших п множество В(0,1 )Г\Нп является изолирующей окрестностью для некоторого инвариантного множества 5„ относительно потока рп. Индекс Конли Ь(Зп,/п) этого инвариантного множества одинаков при всех достаточно больших п и не зависит от выбора исчерпывающей последовательности конечномерных подпространств.

Как и в конечномерном случае, справедлива деформационная теорема. Рассмотрим однопараметрическое семейство {/(•; А)} Я-правильных функционалов, непрерывно зависящих от А Е [0,1]: /(я; А) и Чх1{х]\) непрерывны по А равномерно относительно х € В(0,1). Предположим, что начало координат х — 0 является единственной критической точкой каждого из этих функционалов в шаре В(0,1). Тогда определено семейство индексов Конли Л(А) = 0, /(•; А)) этой критической точки, соответствующих разным значениям А.

Теорема 2. Индекс Конли /г(А) одинаков при всех А 6 [0,1].

В главе Индекс Конли нетривиальных инвариантных множеств содержится основной результат работы — теорема о бесконечном множестве решений операторного уравнения с сильной нелинейностью. Для исследования свойств такого оператора построена теория индекса Конли совокупности инвариантных множеств.

Здесь нужно сказать о принципиальных отличиях индекса Конли тривиального, т.е. одноточечного, инвариантного множества от индекса нетривиального множества. Чтобы определение индекса из предыдущей главы

осталось справедливым для произвольной совокупности инвариантных множеств, содержащихся, например, в шаре Вт с центром в нуле, приходится налагать условие типа ||V/(a;)|| ^ а > 0, ||ж|| > г что уже противоречит цели наших исследований — доказательству наличия критических точек со сколь угодно большой нормой. Один из возможных выходов - рассматривать такие функционалы, для которых любой шар с центром в нуле являлся изолирующей окрестностью, если только на его границе нет критических точек. Первый пункт данной главы посвящен определению таких функционалов.

Пусть <р — гладкий функционал. Положим

А%,е) = М(е) = {х G Я : |(Vv>(®),aO - IWPl < е}. е >

Будем говорить, что ip(-) удовлетворяет условию (Con) на области Cl, если найдется функция с G С1 (К2, R) такая, что выполнены соотношения

f {4<р{х), ®) = С(Ф), NI) Va; е М(£) п П>

дс(<р, г)

¡

^ ё > 0 VV G К, Vr ^ 0.

I dip

Теперь определим класс функционалов, для которых будет построена теория гомотопического индекса нетривиальных инвариантных множеств.

Функционал /(■) будем называть допустимым на области П, если:

1. / Я-правильный на со О;

2. Для любой последовательности ортопроекторов {.Rn}, поточечно сходящейся к нулю, (R„Vf(x),x) > £\\Rnx\\2 для всех хеП таких что \\RnX\\ ^ £„ > 0, еп —>■ 0, п оо, е зависит только от /;

3. f(x) = 1/2||х||2 - <р{х), где ip(-) удовлетворяет условию (Con) на П.

Условия 1 и 2 в определении — это условия компактности, а условие

3 — локальное условие выпуклости интегральных кривых вблизи касаний к сферам с центром в нуле.

Простейшим примером здесь может служить /(х) = 1/2||ж||2 - <р(х), где <р(-) — гладкий слабо непрерывный однородный степени р > 0 функционал.

Следующая теорема утверждает корректность индекса Конли совокупности инвариантных множеств для таких функционалов.

Теорема 3. Пусть f — допустимый на окрестности шара Вг функционал и Vf(x) ф в, х G дВг. Тогда Вг изолирует свое максимальное инвариантное подмиооюеетво и определен индекс Конли h = h(InvBr; — V/), обладающий стандартными свойствами:

1. индекс h устойчив относительно возмущений f, малых по норме С\В1), е > 0;

2. имеет место свойство Важевского: если h ф 0, то найдется хд, ||а;о|| < г такой, что V/(xо) = 9. Здесь 0 — одноточечное топологическое пространство с отмеченной точкой;

3. если / —допустимый в окрестности шарового слоя ТТиг2 = Д-2 \ intBri, 0 < г\ < Г2 < оо, определены индексы h(lnvBr2), /i(Inv ВГ1) и они различны, то существует точка xq £ intTri,f2 такая, что V/(a:о) = 0;

4. если два допустимых на окрестности шара ВТ функционала /о, /i связаны невырожденной на ВГ деформацией, то индексы h(Inv Вг\ —V/o) и h(lm ВТ; — V/i) совпадают.

В следующем пункте сформулирован и доказан основной результат работы.

Будем рассматривать допустимые функционалы вида f(x) = 1/2||:г||2— <р{х), х Е Н. Кроме того, предположим, что <р б C2(L, j| • ||*), где L — некоторое всюду плотное в Н линейное многообразие, снабженное нормой || • II». Для приложений такое требование, как правило, не ограничительно.

Теорема 4. Предположим, что / — четный функционал, а соответствующей ему (р — коэрцитивный на любом конечномерном подпространстве Щ бесконечномерного подпространства N С L:

('Чу{х),х) lim , / = оо. И->оо ЦяЦ2 яеД'о

Тогда либо для всех достаточно больших радиусов г на дВг лежит нуль градиента V/(-), либо найдется последовательность {rj}, Tj —» оо, j оо такая, что /i(InvBrj; -V/) ф h(lnvBrk; —V/), i ф к.

Следствие 1. Свойство (3) индекса Конли гарантирует, что в условиях теоремы 4 в окрестности бесконечности лежит бесконечно много критических точек V/.

Следствие 2. Свойство (1) дает устойчивость любого конечного набора различных индексов, а значит и соответствующих критических точек /.

Кроме вывода о множественности решений уравнения Vf(x) — в в окрестности бесконечности, теорема 4 дает объяснение причине этого

явления. Исключим случай, когда критические точки образуют непрерывную ветвь в окрестности бесконечности. Для шара Вг, Vf(x) ф О, х 6 дВг обозначим через /гг индекс Конли максимального инвариантного подмножества этого шара. Тогда гомологическая сложность индексов Лг бесконечно возрастает при )—> со. Это и приводит к «бифуркационным точкам» при смене одного индекса другим.

Используя деформационные свойства такого индекса, доказана аналогичная теорема для функционала с четной главной частью.

Через РзФ(х), х ф в будем обозначать проекцию значения оператора Ф(х) на касательное многообразие к единичной сфере 5 в точке я/ЦжЦ.

Будем говорить, что гладкий однородный функционал обладает четной главной частью, если для всех х € 5 таких, что Ч(р{х) ф Х\х, У(р{—х) ф А-}Х, АьАг е К вектор Р$Ч<р{х) не сонаправлен вектору Р5\7<^(-а;), т.е.

Р3У<р{-х)

\\Р8Ч<р{х)\\ *

Теорема 5. Пусть </?(•) — гладкий, слабо непрерывный и положительный во всех точках х ф в функционал. Пусть, кроме того, ¡р(-) — однородный степени р > 2. Тогда если </>(■) обладает четной главной частью, то функционал /(х) = 1/2||гс||2 — ср(х) имеет бесконечно много критических точек в окрестности бесконечности.

В следующем пункте показано преимущество исследования операторных уравнений с помощью индекса Конли перед классической теорией вращения векторных полей. Понятие индекса Конли нетривиального инвариантного множества оказывается более тонким инструментом в следующем смысле: существуют вполне непрерывные поля, для которых вращение на границе любой области (если только определено) равно либо нулю, либо единице. В то же время можно указать бесконечную последовательность областей с бесконечным числом различных индексов Конли. В пункте 4.3 построен соответствующий пример.

Следующий пункт посвящен классической задаче математической физики с сильной иелинсйностыо.

Рассмотрим квазиэллиптическое уравнение

Гдя:(4) = -¥>(*, *(«)), геп, \®(<) = о, teдQ,

где П — область в N > 2 с достаточно гладкой границей; <р(-,-) £ С(О, х Е,Е), <р(1,0) = 0, ( 6 П и х) — липшицева по х равномерно

относительно £ € П. Предположим, что для некоторого числа 7 е (2,2*), 2* = 2Ы/{Ы — 2), выполнена оценка

+ - = 1. (3) 7 7

Обозначим через <рд^,х) первообразную <р по переменной х, обращающуюся в 0 при х = 0, (¿>(£, х) = ж), < £ П, 2; £ К.

Предыдущая теория позволяет сделать следующий вывод об обобщенных решениях задачи (2):

Пусть функция <ро(-, ■) удовлетворяет условиям гладкости и роста, перечисленным выше, а также неравенству

х)х ^ и<раЦ, х) > О, Ь Е П х £ К, х ф 0 (4)

с х > 2. Пусть —четная по переменной х. Тогда задача (2)

имеет бесконечно много обобщенных решений вне любого ограниченного

о

подмножества соболевского пространства Н1(&).

Сам по себе этот факт известен и может быть доказан различными способами. Однако понятие индекса Конли нетривиального инвариантного множества поясняет топологическую структуру решений уравнения: размерности (в смысле групп сингулярных гомологий) гомотопических индексов совокупности решений, содержащихся в шаре просгран-

о

ства Я1 (О) с центром в нуле, возрастают с ростом радиуса шара. Кроме того, такой метод доказывает устойчивость любого конечного набора обобщенных решений относительно малых возмущений нелинейности.

В главе Принцип минимакса предлагается альтернативное доказательство теоремы о седловой точке в формулировке Обэна и Экланда. Цель данной главы состоит в том, чтобы продемонстрировать эффективность используемых в работе топологических методов: с помощью элементарных понятий алгебраической топологии и дискретного аналога оператора Пуанкаре—Андронова сдвига по траекториям дифференциальных уравнений доказана классическая теорема. При этом доказательство не использует вариационные принципы, теоремы о выпуклых функциях и другие методы, применяемые Обэном и Экландом.

В главе Индекс Конли суммы двух полей описан частный случай, в котором удается выразить индекс нуля относительно суммы двух полей через индексы нуля относительно слагаемых. В общем случае, разумеется, такое невозможно.

Пусть даны функции /, д £ С1+а(Но), где Но — евклидово пространство, для которых

V/(z) = в<*х = в, Vg(x) = в-^х-в, V/(a;) + д{х) = в О х = 0,

для х из окрестности нуля. Тогда определены индексы Конли hi = h(e,f), h>2 = h(9,g) и индекс нуля относительно потока, определенного суммой полей h = h(6, f + д). Через А будем обозначать топологическое произведение пространств с отмеченными точками.

Теорема 6. Пусть для функций f,ge любой паре точек (г/ьг/2) Ф в, У1,У2 £ 0$ С Щ исключена следующая ситуация: векторы V/(j/i), отложенные от точек у\, у2, лежат на прямой, проведенной через у\, у2, направлены вне отрезка [j/j, 2/2] и одинаковы по норме. Тогда

h = h\ A h2-

Эта теорема может быть использована, например, для выяснения достаточного условия тривиального индекса. Пусть Н0 = R", п > 2.

Вектор х = (xi,x2, ■ ■ ■ ,хп) назовем положительным (х > в), если Xi ^ 0, i = 1,... ,п, х ф в, и отрицательным (я < в) если (—х > 9).

Векторное поле F : Но Щ назовем положительным, если А (х) > в при х ф в.

Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 7. Пусть функции f, g удовлетворяют условиям из начала пункта. Предположим, что V/(-) не принимает отрицательных значений, a Vgr(-) — положительный оператор. Тогда

h{0,f + g) = 0.

Понятие //-правильности используется в работе как условие «компактности» функционалов, заданных на гильбертовом пространстве. В основе этого понятия лежит формальная импликация — условие (S) — которая эффективно проверяется на практике. Однако крайне желательно описать множество //-правильных функционалов в классических терминах. Именно эта задача решена в главе Представление Я-правильного функционала.

А. В. Булатов установил критерий Я-правильности квадратичной формы на гильбертовом пространстве f(x) = (Ах, х) + (Ь, х) + с, b £ Н,

с 6 Ж, А — А* ё £(Я) (для краткости, свойство (В)) в терминах спектра оператора А. В первой теореме главы доказано отличие общего случая от квадратичного: гессиан Я-правильного функционала может не обладать свойством (В) всюду на Я, кроме того, даже если гессиан некоторого функционала всюду обладает этим свойством, функционал не обязан быть Я-правильным.

Для описания структуры Я-правильных функционалов мы перейдем к более узкому множеству, содержащему, тем не менее, все значимые примеры, после чего получим для нового множества удобный критерий.

Функционал / G С1+Нр(Я) назовем сильно Н-правильным, если для любой последовательности {®n}5iLi С Я, хп —w х* при п —> оо выполнено неравенство:

lim(V/(a:n),x„ - х„) > dim \\хп - xt\\2, с > 0. (5)

ОС

Можно сказать, что сильная Я-правильность отличается от обычной примерно так же, как сильная выпуклость от обычной выпуклости. Например, если к Я-правильному функционалу добавить слагаемое еЦжЦ2, 0<£<1, получим сильно Я-правильный функционал.

Далее показано, что любой функционал (точнее его гессиан) из нового класса обладает свойством (В) всюду на Я.

Первый критерий имеет дифференциальную форму.

Теорема 8. Пустпь f G С2(Н), причем вторая производная V2/(-) — это компактное отображение Н в £(Я). Функционал / будет сильно Н-правильным, если и только если для любого ограниченного множества М С Я найдется такое подпространство Н+ = Н+(М) конечной коразмерности, что:

у2/(х)|я+ ^ Ух е м, (6)

Здесь х — положительная постоянная, зависящая только от f, и для A G Бут(Я) Л|я = P+AJ+, Р+ — ортопроектор на Н+, J+ — вложение Н+вН.

Второй критерий сформулирован в виде «представления».

Теорема 9. Пусть для f выполнены предположения теоремы 8.

Функционал / будет сильно Н-правильным тогда и только тогда, когда на любом ограниченном выпуклом множестве он представим в

виде суммы сильно выпуклого и слабо непрерывного равномерно дифференцируемого функционалов. При этом постоянные сильной Н-правильности и сильной выпуклости могут быть выбраны сколь угодно близко.

Эта теорема описывает структуру множества сильно .//-правильных функционалов в классических терминах.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Определен класс задач, для которых возможно корректное определение индекса Конли совокупности иивариантных множеств. Дано аксиоматическое определение соответствующих операторов и доказана теорема об их представлении.

2. Определен индекс Конли совокупности инвариантных множеств (решений); доказана его корректность и описаны основные свойства.

3. С помощью введенного индекса установлено существование бесконечного множества решений операторного уравнения с сильной нелинейностью.

4. Проведен сравнительный анализ различных классов допустимых задач.

5. Описана общая схема доказательства теорем о седловых точках в условиях пониженной гладкости.

Список литературы

[1] Бобылев Н. А., Булатов А. В., Кузнецов Ю. О. Аппроксимационная схема введения индекса Конли изолированных критических точек// Дифф. ур-ия. — 2004. — Т. 40, № 11.-С. 1462-1467.

[2] Кузнецов Ю. О. Об одном классе функционалов, определенных на гильбертовом пространстве// Сборник трудов ИПУ. — 2002. — Т. XVII. — 73-84.

[3] Кузнецов Ю. О. Ипдскс Конли нетривиальных инвариантных множеств в гильбертовом пространстве// Дифф. ур-ия. — 2008. — Т.44, № 2.—С. 186-195.

[4] Ismailov I. G., Kuznetsov Yu. О. Minimum residual-Type Methods for Nonlinear Integral Equations// Control sciences.— 2005. —№ 6. —pp. 18-22.

Подписано в печать: 19.02.2009

Заказ № 1609 Тираж - 80 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

1 Введение

1.1 Общая характеристика работы.

1.2 Аксиоматическое описание индекса Конли.

1.3 Отличие индекса Конли критической точки от топологического индекса

1.4 Краткое содержание.

1.5 Результаты.

2 Основные классы функционалов

2.1 Базовые типы «компактности».

2.2 Принципиальные отличия основных определений.

3 Индекс Конли особой точки в гильбертовом пространстве

3.1 Основная лемма.

3.2 Индекс Конли.

3.3 Гомотопическая инвариантность индекса Конли.

4 Индекс Конли нетривиальных инвариантных множеств в гильбертовом пространстве

4.1 Индекс Конли нетривиальных инвариантных множеств.

1.1 Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Понятие индекса Конли (обобщенного индекса Морса) возникло в 70-х годах прошлого века и стало основой бурно развивающейся области прикладной математики. Исторически отправной точкой послужила теорема Важевско-го, позволяющая локализовать ограниченные траектории динамической системы. Эту теорему можно рассматривать как первый принципиально новый метод качественного исследования динамических систем. В дальнейшем возникли различные направления таких исследований. Вот лишь некоторые из них:

1. Новые методы доказательства существования решений нелинейных операторных уравнений.

2. Исследование бифуркаций.

3. Качественные характеристики инвариантных множеств динамических систем.

4. Исследования нелинейной динамики: доказательство хаотических свойств, например, наличия марковских кодирований.

5. «Строгие вычисления» (rigorous computations): строгое математическое исследование конечномерной динамики на основе приближенных численных результатов.

Не вдаваясь в детали, можно отметить актуальность качественных методов исследования нелинейных динамических систем (в данной работе под таковыми понимаются непрерывные потоки). С развитием вычислительной техники и численных методов все более востребовано аналитическое описание и доказательство общих свойств нелинейных объектов, в то время как те или иные количественные характеристики (траектории и орбиты) могут быть вычислены с высокой степенью точности.

На сегодняшний день теория динамических систем на локально компактных, в том числе конечномерных, пространствах развита достаточно полно; все более актуальными становятся бесконечномерные задачи. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, классические понятия динамики здесь приобретают ясные прикладные толкования: неподвижная точка соответствует решению стационарного операторного (например, дифференциального) уравнения, сепаратриса —решению эволюционного уравнения с фиксированным исходным и конечным состоянием, бифуркация — потере устойчивости системы, а, следовательно, любое утверждение о качественном поведении бесконечномерного потока позволяет сделать вывод об объекте, для которого записано уравнение и соответствующий поток. Во-вторых, бесконечномерная динамика представляет самостоятельный интерес и естественно присутствует, например, в гидродинамике и волновой физике. Настоящая диссертация посвящена, в основном, приложениям бесконечномерного индекса Конли.

Первая фундаментальная монография, посвященная индексу Конли инвариантного множества в банаховом пространстве — работа Кжиштофа Рыбаковского «Гомотопический индекс л дифференциальные уравнения в частных производных» [20]. Автор определяет бесконечномерный индекс Конли, доказывает корректность такого определения и, в качестве приложений, устанавливает существование положительных решений параболических уравнений и периодических решений нестационарных градиентных систем. В дальнейшем появились альтернативные определения бесконечномерного индекса Конли, основанные в основном на теореме о неявной функции, или конечномерных аппроксимациях задач. Однако такие определения не позволяют исследовать явление множественности решений, характерное, например, для дифференциальных уравнений с сильными нелинейностями.

Объект, исследований. Градиентоподобные динамические системы в гильбертовом пространстве; индекс Конли совокупности инвариантных множеств; квазилинейные уравнения с сильной нелинейностью.

Цель работы. Основная цель работы — топологическое исследование явления множественности решений операторных уравнений с сильной нелинейностью, в том числе:

1. Определение класса задач, для которых возможно применение методов индекса Конли. Аксиоматическое определение и теорема о представлении соответствующих операторов.

2. Определение и доказательство корректности индекса Конли совокупности инвариантных множеств.

3. Приложение полученных результатов к теории операторных уравнений: доказательство принципа множественности решений операторных уравнений с сильной нелинейностью.

4. Сравнительный анализ аналогичных классов задач в различных литературных источниках.

5. Формализация доказательства теоремы о седловой точке с помощью базовых методов алгебраической топологии.

Используемые методы. В работе использованы методы нелинейного функционального анализа, общей и алгебраической топологии и теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Научной новизной в предлагаемой работе обладают следующие пункты:

1. Аппроксимационное определение бесконечномерного индекса Конли совокупности критических точек функционала и связывающих сепаратрис.

2. Принцип доказательства существования бесконечного множества решений дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью, основанный на свойствах такого индекса.

3. Аксиоматическое и аналитическое описание класса задач, для которых справедлива построенная теория.

Научные положения, защищаемые авторолг. Это понятие и методы исследования индекса Конли нетривиальных инвариантных множеств в гильбертовом пространстве; методика исследования структуры решений операторных уравнений с сильной нелинейностью; аксиоматическое определение и теоремы о представлении класса допустимых уравнений; формализация доказательства теоремы о седловой точке в условиях пониженной гладкости.

Практическая значимость. Результаты настоящей работы могут быть использования для эффективного исследования динамических систем и операторных уравнений, возникающих во многих областях прикладной математики, в том числе: теории управления, оптимизации, теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Московского государственного университета и Института проблем управления РАН.

Личный вклад соискателя. Все результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно. В тексте диссертации присутствует глава 3, содержание которой составляет статья [2], выполненная в соавторстве: в этом случае автору принадлежит формализация утверждений.

8 Заключение

Результаты настоящей работы можно подытожить следующим образом.

1. Определен класс задач, для которых возможно корректное определение индекса Конли совокупности инвариантных множеств. Дано аксиоматическое определение соответствующих операторов и доказана теорема об их представлении.

2. Определен индекс Конли совокупности инвариантных множеств (решений); доказана его корректность и описаны основные свойства.

3. С помощью введенного индекса установлено существование бесконечного множества решений операторного уравнения с сильной нелинейностью.

4. Проведен сравнительный анализ различных классов допустимых задач.

5. Описана общая схема доказательства теорем о седловых точках в условиях пониженной гладкости.

Наряду с индексом Конли специального вида функционалов, в работе показана эффективность методов деформаций и общей топологии в анализе нелинейных задач. С помощью таких методов получены не только робастные (грубые) результаты — например, существование решений, — но и качественные характеристики нелинейных объектов.

1.1 [23 К6710 [Н12131415

2. Бобылев Н. А. О деформации функционалов, имеющих единственную критическую точку // Мат. заметки. —1983. —Т. 34, № 3. —С. 387-398.

3. Бобылев Н. А., Булатов А. В., Кузнецов Ю. О. Аппроксимационная схема введения индекса Конли изолированных критических точек// Дифф. ур-ия. — 2004.— Т. 40, № 11.-С. 1462-1467.

4. Бобылев И. А., Емельянов С. В., Коровин С. К. Геометрические методы в вариационных задачах. — М.: Магистр, 1998.

5. Емельянов С. В., Коровин С. К., Бобылев Н. А., Булатов А. В. Гомотопии экстремальных задач. — М.: Наука, 2001.

6. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. — М.: Гостехиздат, 1956.

7. Кузнецов Ю. О. Об одном классе функционалов, определенных на гильбертовом пространстве// Сборник трудов ИПУ. — 2002. — Т. XVII. —С. 73-84.

8. Кузнецов Ю. О. Индекс Конли нетривиальных инвариантных множеств в гильбертовом пространстве// Дифф. ур-ия. — 2008. — Т.44, № 2. —С. 186-195.

9. Обен Ж. П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. —М.: Мир, 1988.

10. Плотников П.И. Неединственность решений задачи об уединенных волнах и бифуркации критических точек гладких функционалов// Изв. АН СССР. Сер. ма-тем. -1991. - Т. 55, № 2. - С. 339-366.

11. Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971.

12. Ambrosetti A., Rabinowitz P. Dual variational methods in critical point theory and applications// J. Funct. Anal. —1973. — V. 14, —C. 349-381.

13. Angenent S., Vorst R. A Superquadratic Indefinite Elliptic System and its Morse-Conley-Floer Homology// Math. Z. —1999. —V. 231.-C. 203-248.

14. Bartsch T. Critical Point Theory on Partially Ordered Hilbert Spaces// J. Funct. Anal.-2001.-V. 186. -C. 117-152.

15. Cerami G. Un criterio di esistenza per i punti su varieta illimitate // Istit. Lombardo Accad. Sci. Lett. Rend. - 1978. -V. 112.-C. 332-336.

16. Conley C. Isolated invariant sets and the Morse Index// Reg. Conf., Ser. Math. Providence.— AMS, 1978.

17. Conley C. On a generalization of the Morse index// Ordinary Differential Equations. Academic Press, New York and London. —1971. — C. 27-33.

18. Conley C., Easton E. Isolated invariant sets and isolating blocks// Trans. AMS. — 1971.-V. 158. — C. 35-61.

19. Ismailov I. G., Kuznetsov Yu. 0. Minimum residual-Type Methods for Nonlinear Integral Equations// Control sciences. — 2005. — V 6. — C. 18-22.

20. Mischaikow R., Mrozek M. Conley Index theory// Handbook of dynamical systems. Amsterdam: North-Holland.— 2002, —V. 2. —C. 393-460.

21. Rybakowski K.P. The Homotopy Index and Partial Differential Equations, Berlin: Springer, 1987.

22. Wazewski T. Sur un principe topologique de l'examen de l'allure asymptotique des intégrales des équations différentielles ordinaires// Ann. Soc. Polon. Math.— 1947.— V. 20.-C. 279-313.