автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Конструирование решений в задачах динамики систем на конечном промежутке времени

005061357

На правах рукописи

Зимовец Артем Анатольевич

Конструирование решений в задачах динамики систем на конечном промежутке времени

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 и:он ¿013

Челябинск - 2013

005061357

Работа выполнена в ФГАОУ ВПО «-Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»

Научный руководитель

член-корреспондент РАН, доктор математических наук, профессор Ушаков Владимир Николаевич

физико-

Официальные оппоненты Петров Николай Никандрович,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет», профессор

Алеева Сюзанна Рифхатовна. кандидат физико-математических наук, ФГВОУ ВПО «Челябинский государственный университет», доцент

Ведущая организация ФГВОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

Защита состоится «2о » июня 2013 г. в 14 -оо на заседании диссертационного совета Д 212.296.02 по защите докторских и кандидатских диссертаций при ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет» по адресу: 454001, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет». . .

Автореферат разослан «_22_» мая 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., проф.

Федоров В.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

В диссертации изучаются вопросы, связанные с моделированием поведения динамических систем, представнмых в виде системы дифференциальных уравнений с параметром, величиной которого можно управлять, или соответствующего ей дифференциального включения (д. в.). Изучение всех возможных вариантов поведения таких систем приводит нас к важным для теории и практики понятиям множества достижимости и интегральной воронки управляемой системы.

Как оказалось, задача построения множеств достижимости и интегральных воронок тесно связана с задачами о сближении управляемых систем в различных постановках, рассматриваемыми в математической теории управления. В этих задачах требуется из множества различных траекторий выделить ту, которая переводит моделируемый объект из заданного начального состояния в конечное и при этом удовлетворяет определенному критерию качества.

Современный облик математической теории управления в значительной степени определился работами выдающихся отечественных математиков Л.С. Понтрягина и H.H. Красовского. Большой вклад в развитие этой теории внесли В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, А.Б. Куржанский, A.B. Кряжимский, Е.Ф. Мищенко, Ю.С. Осипов, А.И. Субботин, Ф.Л. Чер-ноусько, их сотрудники и ученики. Среди зарубежных исследователей, внесших весомый вклад в развитие теории, отметим Р. Айзекса, Р. Белл-мана, Р. Калмана, Дж. Лейтмана, У. Флеминга и других.

Задача о сближении управляемой системы (или д. в.) с заданным целевым множеством в фиксированный момент времени — одна из ключевых задач в математической теории управления. С ней связаны другие важные задачи, такие, например, как задача об оптимальном быстродействии или задача о сближении управляемой системы с целевым множеством не позже фиксированного момента времени. К этой задаче также можно свести и многие другие задачи динамики систем, имеющие важное прикладное значение.

Существует несколько подходов для решения таких задач.

Один из иих основан на применении принципа максимума Л.С. Понтрягина1-2 •!-4. Принцип максимума Л.С. Понтрягина применялся и применяется в настоящее время как основной аппарат исследования широкого круга задач оптимального управления. С помощью него были исследованы и решены многие математические задачи, задачи из теории управления, механики, экологии, экономики.

Другой подход к решению многих задач математической теории управления, теории дифференциальных игр и, в частности, упомянутой здесь задачи о сближении основан на использовании множеств разрешимости при конструировании решений5'6,7,8. При этом под множеством разрешимости понимаем множество исходных позиций управляемой системы, из которых разрешима задача о сближении.

Множество разрешимости в задаче о сближении управляемой системы (или д. в.) с целевым множеством в фиксированный момент времени может быть представлено в терминах так называемого «обратного» времени как начинающаяся на целевом множестве интегральная воронка управляемой системы (или д. в.). Множество разрешимости в этой задаче удобнее всего конструировать как эту интегральную воронку.

Интегральные воронки управляемых систем и дифференциальных включений обладают свойством (сильной) инвариантности. Свойство (сильной) инвариантности используется при конструировании интегральных воронок. Однако далеко не во всех случаях интегральные воронки удается

1Арутюнов A.B., Магарил-Ильяев Г.Г.. Тихомиров В.М. Принцип максимума Понтрягина. Доказательство и приложения. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2006. 144 с.

2Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН им. В.А.Стеклова. 1985. Т. 169. С. 194-252.

'^Дикусир В.В., Милютин A.A. Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука, 1989. 144 с.

Ткштрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматлит, 1961. 391 с.

5Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 518 с.

6Красовский H.H., Субботин А.И. О структуре игровых задач динамики // Прикл. матем. и механ. 1971. Т. 35, вып. 1. С. 110-122.

7Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. II // Докл. АН СССР. 1967. Т. 175. № 4. С. 764-766.

8Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука. 1981. 288 с.

выделить точно. В связи с этим возникает потребность в разработке численных методов построения интегральных воронок управляемых систем.

Степень разработанности темы

Свойства слабом инвариантности и инвариантности и связанные с ними задачи удержания движений динамической системы на замкнутом множестве W в пространстве позиций, а также вопросы описания интегральных воронок изучались в работах отечественных и зарубежных математиков A.B. Куржанского и Т.Ф. Филипповой9-10, A.A. Толстоногова11. ЕЛ. Тонкова12. Е.С. Половинкина13, В.А. Дыхты14, J.-P. Aubin15, P. Saint-Pierre и M. Quincampoix11', M. Nagumo17 и других. Отметим также работу G. Haddad18, в которой был получен критерий слабой инвариантности в инфинитезимальной форме, связывающий правую часть дифференциального включения с конусом касательных направлений Булигана. Именно инфинитезимальные конструкции производных многозначных отображений, базирующиеся на понятии конуса Булигана, используются в первой главе диссертации для определения введенных в ней понятий дефектов инвариантности и слабой инвариантности множеств.

Как известно, множество разрешимости в задаче о сближении обладает свойством слабой инвариантности относительно управляемой системы. Это

9Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. Об описании множества выживающих траекторий дифференциального включения // Докл. АН СССР. 1986. Т. 289, № 1. С. 38-41.

10Kurzhanski A.B.. Filippova T.F. On the set-valued calculus in problems of viability and control for dynamic processes: the evolution equation //' Les Annales de l'Institut Henri Poincare, Analyse non-lineaire. 1989. P. 339-363.

nTiuiv.Tnimi4m A.A. OG уравнении ишчтралыюй воронки диф<]кчх:|щиалыюго включения // Мат. заметки. 1982. Т. 32, № 6. С. 841-852.

12Тонков Е.Л. Динамические задачи выживания // Вестн. Перм. гос. тех. ун-та. Функционально-дифференциальные уравнения. 1997. ft* 4. С. 138-148.

13Половинкин Е.С., Смирнов Г.В. Дифференцирование многозначных отображений и свойства решений дифференциальных включений // Докл. АН СССР. 1986. Т. 288, № 2. С. 296-301.

14Дыхта В.А., Самсонюк О.Н., Сорокин С.П. Слабая инвариантность, оценки интегральных воронок и необходимые условия оптимальности в динамических системах с неограниченными и импульсными управлениями , / Вестник Бурятского гос. ун-та. 2010. Вып. 9. С. 35-47.

15Aubin J.-P. Viability theory. Boston. Birkhausen 1991.

16Saint-Pierre P.. Quincampoix M. An algorithm for viability Kernels in Holderian case: approximation by discrete dynamical systems // J. Math. System Estim. Control. 1995. Vol. 5, № 1. P. 115-118.

17Xagumo M. Uber die Lage der Integralkurven gewöhnlicher Differentialgleichungen // Proc. Pliys. Math. Japan. 1942. Vol. 24. P. 551-559.

18Haddad G. Monotone trajectories of differential inclusions and functional differential inclusions with memory // Israel J. Math. 1981. Vol. 39. P. 83-100.

свойство позволило для тех исходных позиций системы, которые принадлежат этому множеству, построить эффективную процедуру управления с поводырем19,20, обеспечивающую попадание движения системы на целевое множество. Вопросы конструирования множеств разрешимости и использования этих множеств для решения задач математической теории управления изучались многими отечественными математиками21,22'2'''24,25'26 27.

Цель работы

Цель диссертационной работы состоит в дальнейшем изучении свойств слабой инвариантности и инвариантности множеств относительно дифференциального включения, в расширении понятий слабой инвариантности и инвариантности, а также в разработке эффективных численных методов построения множеств достижимости и интегральных воронок управляемых систем и дифференциальных включений.

Научная новизна

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Введены понятия дефекта слабой инвариантности и дефекта инвариантности множеств относительно дифференциального включения.

2. Показано, как, используя введенные понятия дефекта слабой инвариантности и дефекта инвариантности множества в пространстве позиций, расширить это множество до слабо инвариантного либо инвариантного множества с тем же самым начальным (временным) сечением.

19Красовский H.H., Суббстин А.И. Аппроксимация в дифференциальной игре //' Прикл. матем. и механ. 1973. Т. 37, вып. 2. С. 197-204.

20Крцсонский H.H., Суппотип А.И. Позиционные диффе^пцналыгие жры. М.: Наука. 1974. 4Г>6 с.

21Дарьнн А.Н., Куржанский А.Б. Метод динамического программирования в задачах синтеза управлений // Труды международной конференции «Проблемы управления и приложения: техника, производство, экономика». '2005. Т. 2. С. 51-65.

22Куржанский А.Б. Альтернированный интеграл Понтрягина в теории синтеза управлений /'/ Труды МИАН. 1999. Т. 224. С. 234-248.

23Кряжимскнй A.B., Оси нов Ю.С. Дифференциально-разностная игра сближения с функциональным целевым множеством // Прикл. матем. и механ. 1973. Т. 37, вып. 1. С. 3-13.

24Осипов Ю.С. Дифференциальные игры систем с последействием // Доклады АН СССР. 1971. Т. 196, № 4. С. 779-782.

25Никольский М.С. О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования // Математический сборник. 1985. Т. 128 (170), № 1 (9). С. 35-49.

26Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр //Доклады АН СССР. 1969. Т. 184. Л*' 2. С. 285-287.

27Ухоботов В.И. Аналитическая схема построения стабильных мостов для операторов программного поглощения с инвариантными семействами множеств // Изв. ИМИ УдГУ. 2005. .V 2 (32). С. 23-34.

3. Разработан численный метод приближенного построения множеств достижимости управляемых систем в пространстве И", основанный на аппроксимации множеств достижимости узлами заданной «кубической» сетки и применении техники ломаных Эйлера к дифференциальным включениям. В ходе вычислений используются только точки приграничных слоев рассматриваемых множеств. Обоснована, сходимость разработанного численного метода.

4. Разработаны структуры данных для хранения множеств, состоящих из узлов заданной «кубической» сетки, позволяющие избежать непосредственного хранения информации о координатах каждой точки этих множеств.

Теоретическая и практическая значимость работы

Введенные в работе понятия дефекта слабой инвариантности и дефекта инвариантности множеств относительно дифференциального включения позволяют расширить множества, не обладающие свойствами слабой инвариантности и инвариантности, до слабо инвариантных и инвариантных множеств с теми же самыми начальными (временными) сечениями. Множество, обладающее малым дефектом слабой инвариантности относительно заданного дифференциального включения, может быть использовано для организации процедуры управления, обеспечивающей решение задачи о сближении с целевым множеством в фазовом пространстве в фиксированный момент времени. Эта процедура гарантирует для начальных позиций, принадлежащих множеству, существование движения управляемой системы (или д. в.), приходящего в упомянутый момент времени в малую окрестность целевого множества. Тем самым решается задача о сближении с целевым множеством в «ослабленной» постановке — задача о сближении движений управляемой системы (или д. в.) с малой окрестностью целевого множества. Таким образом, введение понятие дефекта слабой инвариантности расширяет наши возможности при построении решений ряда математических и прикладных задач управления.

Предложенный в работе численный метод приближенного вычисления множеств достижимости позволяет сократить объем вычислений за счет

использования в ходе итерационного процесса только точек, расположенных вблизи границ рассматриваемых множеств, т. е. точек приграничного слоя. На базе предложенного метода разработан комплекс программ, позволяющий конструировать приближенные решения ряда задач управления и, в том числе, ряда задач о сближении с целевым множеством в фиксированный момент времени.

Методология и методы исследования

Теоретическую и методологическую основу исследования составляют работы отечественных и зарубежных ученых в области негладкого и вы-

99

пуклого анализа - и численных методов исследования математических моделей30,'и.

Исследование свойств слабой инвариантности и инвариантности множеств и расширение понятий слабой инвариантности и инвариантности осуществлялось с использованием инфинитезимальных конструкций производных многозначных отображений. Такой характер исследования соответствует использованию понятия производной в математическом анализе. Применение инфинитезимальных конструкций проводилось в рамках той техники описания инвариантных и слабо инвариантных множеств, которая используется в Уральской математической школе по теории управления.

В основе разработанных численных методов построения множеств достижимости лежит пиксельный способ представления множеств в фазовом пространстве рассматриваемой динамической системы вкупе с применением идеологии ломаных Эйлера. В связи с этим многие из алгоритмов работы с такими множествами построены на базе соответствующих алгоритмов компьютерной графики. Обоснование сходимости разработанных методов существенно опирается на теоремы и конструкции выпуклого анализа.

Положения, выносимые на защиту

1. Способы расширения множеств, не являющихся слабо инвариантными

28Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 431 с.

29Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 280 с.

л0Галаннн М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. M.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2010. 591 с.

31 Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. 488 с.

либо инвариантными относительно заданного дифференциального включения, до слабо инвариантных и инвариантных множеств, а также утверждения, обосновывающие корректность этих способов.

2. Метод приграничного слоя для приближенного построения множеств достижимости управляемых систем.

3. Способы описания множеств, состоящих из узлов заданной «кубической» сетки.

Степень достоверности и апробация результатов

Проверка основных теоретических положений диссертации, а также разработанных методов построения множеств достижимости выполнялась при помощи специально созданных компьютерных программ, обеспечивающих построение и визуализацию решений рассматриваемых в работе задач.

Результаты работы докладывались на следующих конференциях: Международная научно-практическая конференция «Связь-пром 2010», Екатеринбург, 2010; 42-я Всероссийская молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики», Екатеринбург, 2011; Международная научно-практическая конференция «Связь-пром 2011», Екатеринбург, 2011; X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Нижний Новгород, 2011; Международная научная конференция «Колмогоровские чтения - V. Общие проблемы управления и их приложения», 2011; «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Международная конференция, посвященная памяти В.К. Иванова, Екатеринбург, 2011; Международная (43-я Всероссийская) молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики», Екатеринбург, 2012.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах, из них три в изданиях из перечня ВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего 190 наименований. Общий объем работы составляет 149 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе рассматривается управляемая система на конечном промежутке времени (t0 < i9 < ос)

x = f(t,x,u), ивР, (1)

где х — фазовый вектор системы из евклидова пространства К"; управление и выбирается из компакта Р С Мр; f(t,x,u)— вектор-функция переменных t,x,u, удовлетворяющая следующим условиям

Условие А. Функция f(t,x,u) определена и непрерывна по совокупности переменных t,x,u, и для любой ограниченной и замкнутой области VC [¿о, Щ х существует такая постоянная L = Ь{Т>) 6 (0, оо), что

(2)

(t, а;», и) € V х Р, г = 1,2. Условие В. Существует такая постоянная ¡л € (0, оо), что

llf(t,x,v)ll^/i(l + llxll), (¿,x,u)e[t0,19]xRnxP. (3)

Наряду с управляемой системой (1) в первой главе рассматривается дифференциальное включение на [io,$]

х е F{t,x), (4)

где F(t,x) = co{/(i,a;, и): и 6 Р}~ выпуклая оболочка множества точек (f(t,x,u): и е Р} С R".

Тематика главы I близка к работам Х.Г. Гусейнова, А.И. Субботина, H.H. Субботиной, В.Н. Ушакова32 33,34,35, в которых изучалось свойство u-стабильности в игровой задаче о сближении.

■^Гусейнов Х.Г., Ушаков В.Н. Сильно и слабо инвариантные множества относительно дифференциального включения, их производные и применение к задачам управления // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 11. С. 1888-1894.

33Субботин А.И., Субботина H.H. Свойства потенциала дифференциальной игры '/ Прикл. матем. и механ. 1982. Т. 46, вып. 2. С. 204-211.

34Ушаков В.Н., Малёв А.Г. К вопросу о дефекте стабильности множеств в игровой задаче о сближении /У Тр. ИМ.М УрО РАН. 2010. Т. 16, К< 1. С. 199-222.

35Guseinov H.G., Subbotin A.I., and Ushakov V.N. Derivatives for multivalued mappings with applications to game-theoretical problems of control // Problems Control Inform. Theory. 1985. Vol. 14, P. 155-167.

В параграфе 1.1 вводится компакт W С [fo,i5] х М.™, W(t) = {х G К" : (t, х) G И'} ф 0 при t G [£0,1?], а также интегральная воронка Z(tn, х(>) д. в. (4) с начальной позицией (to,xo). По W определяется ограниченная и замкнутая область D С х К", W С D, а также вводится некоторая

ее окрестность Dz С [¿о, Щ х К", £ > 0.

Определение 1. Множество W С D назовем слабо инвариантным относительно д. в. (4), если для любых (t,,xt) G W существуют решения x(t), x(£„) = X, д. в. (4) такие, что (t,x{t)) G W, te [i„i?].

Определение 2. Множество W С D назовем инвариантным относительно д. в. (1), если Z(£»,x») С W для всех (£„, х,) G W.

Введем множество DW(f„i.) = id G Ма: ci = lim (tk — — x„),

l k—*oo

{{tk,Wk)} — последовательность в W, где tk J, t, и —> х„ при к —> оо|. Множество DW(f„l,) будем называть производным множеством многозначного отображения £ и-» W(t), i G [é*, в точке (£*,х») £ W.

Определение 3. Множество УУ С D назовем слабо инвариантным относительно д. в. (4), если для любых (t,,xt) G W, £» G [£о,$)

F(i„i,)nflW(i„i,)/0. (5)

Определение 4. Множество W С D назовем инвариантным относительно д. в. (4), если для любых (t,,x,) G W, U G

F(t„x.) С DW(t„x,). (6)

В параграфе 1.1 также вводится константа Я G (0,оо) такая, что

F(t, х) <zG — В(0; Я), (t, х) G Г>£; (7)

здесь ß(0; Я) — замкнутый шар в К" с центром в 0 радиуса Я.

В параграфе 1.2 изучаются вопросы, связанные со свойством слабой инвариантности множества W относительно д. в. (4). Предполагается, что в дополнение к условию W(t) ф 0, t G [£о,$], выполняется условие

Условие С.1. При некотором Я G (0, оо) справедливо неравенство

h(W(t,), W{f)) < R(t* - U), t0 < t, < t* s? (8)

где И7'2') — хаусдорфово отклонение компакта W^ от W^l в К".

Возникает вопрос о том. в какой мере множество IV не обладает свойством слабой инвариантности. Для аккуратной постановки этого вопроса и ответа, на него в параграфе 1.2 вводится и изучается понятие дефекта слабой инвариантности множества IV относительно д. в. (4).

Каждой точке Е и € сопоставляется число

где р(Ф„Ф*) = inf -u>*||: (w„w*) еФ.х Ф*} , Ф.хФ'сГх R".

Число e(tt,xr) называем дефектом слабой инвариантности множества W в точке (i,,:г») € dW, t„ е [toi^) относительно д. в. (4), 8W =

U (t, dW(t)), dW(t) - граница множества W(t) в К".

ЩиА

Далее каждому моменту tt £ [io, i9) сопоставляется функция

которую доопределим в точке Ь = $ значением е($) = 0.

Неотрицательная функция е(£) на [¿о,$] есть числовая характеристика, оценивающая сверху степень слабой неинвариантности множества IV относительно д. в. (4). Предполагается, что функция удовлетворяет условию

Условие Е.1. Функция е(£) измерима по Лебегу на [<о,$].

Слабая инвариантность У/ относительно д. в. (4) означает, что е(£) = 0 на [¿о,^]- Это индуцирует предположение о том, что в случае, когда множеству IV соответствует малая функция е(£) на [¿о, г?], это множество ТУ можно погрузить в некоторое слабо инвариантное относительно д. в. (4) множество УУ, УУ(£о) = И^о), сечения УУ(£) которого незначительно отличаются от сечений Ил(£) (в хаусдорфовой метрике).

Принимая во внимание, что условие Е.1 выполнено, сопоставим функции е(г), т е в каждый момент £ 6 [£о,^] интеграл

е(£„ О = p(Bw(t„ х„), F{t„x,)) > О,

(9)

e(t,) = sup e(f„:г»),

x,€dW(t.)

(10)

и введем множество W, С [£о,$] х :

W,(t) = W(t) + B(0,x.(t)), te[t0,ti};

(И)

здесь интеграл в (11) есть интеграл Лебега, a IV^ + W^ = {ги^ + WC2), (w(i)iU;P)) е iy(i) х w(2)}.

Величину

Г°

е,г = = / ei(tf-T)£(r)dr

Jto

назовем дефектом слабой инвариантности множества W относительно д. в.

(4).

Сформулируем основное утверждение параграфа 1.2. Теорема 1. Пусть компакт W С D гаков, что W(i) ф 0, t е [io,^] и выполнены условия С.1, Е.1. Тогда множество W = W, П D слабо инвариантно относительно д. в. (4) на

Понятие дефекта слабой инвариантности родственно понятию дефекта стабильности в диффсренциапьных играх, в определении которого используется дифференциальное включение из унифицированной модели H.H. Красовского. Теорема 1 аналогична соответствующей теореме о дефекте стабильности'®6, но получена при более слабых условиях на W и другими методами.

В параграфе 1.3 вводится и изучается понятие дефекта инвариантности множества W относительно д. в. (4). Предполагается, что в дополнение к условию W{t) Ф 0, t G [t0, выполняются условия

Условие С.2. Прн некотором R £ (0, оо) справедливо неравенство

d(W(t,), W{f)) s; R(t* - t,), t0 s: t, < t* < tf, (12)

где d{W^l\ W^)— хаусдорфово расстояние между компактами И7'1' и Wв R". Считаем, что R в (7) и условии С.2 — одно и то же число.

Условие D. Существует такая функция т/*(<5) ^ 0 на (0, — ig), монотонно стремящаяся к нулю при S J. О, что

h(x, + 5DcW{t„ х,), W(t, + Ö)) s: 5т]*(5), {t„x,)edw, t,e[t0,d), 5e{Q,d-t„),

где

DcW{t„ x„) = DW{t„xt) П B(0; 3R).

(13)

36Ушаков В.H., Малёв A.Г. К вопросу о дефекте стабильности... С. 207.

Параграф 1.3 посвящен изучению того, в какой мере множество IV не инвариантно относительно д. в. (4). Для этого вводятся понятия, аналогичные тем, которые использованы в параграфе 1.2. однако понятие дефекта инвариантности определяется при помощи другой функции, что влечет существенные различия в доказательствах основных утверждений параграфов 1.2 и 1.3.

Каждой точке € £» £ [£о,$) сопоставляется число

С(и,х.) = £ 0, (14)

называемое дефектом инвариантности множества IV в точке (£„,:г„) £ дУ/, £* € относительно д. в. (4).

Далее каждому моменту £„ £ [£о,$) сопоставляется функция

С(г,)= вир (15)

х.ед\У(и)

которую доопределим в точке £ = $ значением £($) = 0.

Неотрицательная функция £(£) на [¿о, есть числовая характеристика, оценивающая сверху степень неинвариантности множества IV относительно д. в. (4). Предполагается, что функция £(£) удовлетворяет условию Условие Е.2. Функция £(£) измерима по Лебегу на [£о,$]. Введем множество IV* С [£о, 1?] х К" :

W•(t) = W(t) + B(0,к*(t)), £ € [¿о,^],

где

Jt„

(16)

п„

Интеграл в (16) есть интеграл Лебега. Величину

назовем дефектом инвариантности множества IV относительно д. в. (4). Приведем основное утверждение параграфа 1.3.

Теорема 2. Пусть компакт И^ С В таков, что 1У(£) ^ 0, £ £ [£0, г)\ и выполнены условия С.2, О, Е.2. Тогда множество УУ = IV" П О инвариантно относительно д. в. (4) на [£о,0].

Теоремы 1 и 2 могут быть использованы при выяснении, насколько то или иное замкнутое множество W С D является интегральной воронкой относительно д. в. (4).

Параграф 1.4 содержит примеры расчета дефектов слабой инвариантности и инвариантности множеств относительно дифференциальных включений. Рассматриваются множества с относительно простой геометрической структурой, для которых выполняется расчет дефекта слабой инвариантности или дефекта инвариантности относительно дифференциального включения, соответствующего некоторой нелинейной управляемой системе.

Глава II диссертации посвящена конструированию решений задач управления на конечном промежутке времени и. в частности, разработке методов и алгоритмов приближенного вычисления множеств достижимости управляемых систем.

В параграфе 2.1 диссертации приводится общее описание пиксельного подхода к приближенному построению множества достижимости системы (1) и соответствующего ей д. в. (4) в момент времени с множеством начальных позиций x(to) £ Xq. В рамках этого подхода в фазовом пространстве R" вводится некоторая «кубическая» сетка Л^ с шагом h, а промежуток времени [£о, подменяется конечным разбиением Г = {io, t\,..., £jv = !?} с диаметром разбиения Д = max А;, Д; = \ — i;, г — Q,N — 1. Ос-

2=0,JV—1

новная суть подхода состоит в том, чтобы последовательно, шаг за шагом, построить набор множеств Xj1, г = О, N состоящих из конечного числа узлов сетки А/,, сходящихся в хаусдорфовой метрике с уменьшением шага h и диаметра Д к множествам достижимости за,данной управляемой системы. При этом в ходе вычислений д. в. (4) подменяется некоторым более удобным с вычислительной точки зрения д. в.

х € F{t,x)

с правой частью, представляющей собой конечный набор точек в R" и удовлетворяющей соотношению

d(F(t,x),F{t,x)) 15

где (£>*(Д) — некоторая положительная функция переменной Д > 0, монотонно убывающая к нулю при Д | 0.

В параграфе 2.2 предлагается способ построения множества по известному множеству Х-1, исключающий появление пустот между локальными множествами достижимости соседних точек из X-1 путем применения операции построения выпуклой оболочки. В основной теореме данного параграфа утверждается, что построенное таким образом множество X^ сходится в хаусдорфовой метрике с уменьшением шага /г и диаметра Д к множеству достижимости д. в. (4) в момент времени д.

Одна из основных трудностей, возникающих при построении множеств достижимости управляемых систем, состоит в том, что для построения множества достижимости с приемлемой точностью зачастую требуется очень большой объем вычислений, существенно увеличивающийся при уменьшении шага к и диаметра Д.

В параграфе 2.3 предлагается метод приграничного слоя для построения описанного в параграфе 2.2 набора множеств Х^, г = О, /V. В основе метода приграничного слоя лежит идея построения границы множества по известному множеству Хр. Процесс построения множества Хг^+1 разбивается на следующие этапы:

1. Построение множества, содержащего все граничные точки и некоторую часть внутренних точек множества

2. Выделение из построенного множества всех граничных точек множества Х?+1.

3. Построение всех внутренних точек множества Х1'+1 по известной границе множества Хг^+1.

В параграфе 2.3 показано, что для выполнения поставленных задач достаточно иметь лишь некоторый набор точек множества Х^, расположенных вблизи границы множества Х-1 — точек приграничного слоя множества Х^. Это позволяет исключить из вычислительного процесса точки множества Xрасположенные за пределами приграничного слоя, сократив таким образом объем вычислений.

В параграфе 2.4 предлагается способ оптимизации вычислений в ме-

тоде приграничного слоя. Предлагаемый способ оптимизации основан на замене операции построения выпуклой оболочки для некоторых точек из приграничного слоя более простой с вычислительной точки зрения операцией построения спмплнциального комплекса. Однако применение данного способа допустимо лишь в тех случаях, когда внутренние точки множества движущиеся на промежутке времени [¿¡,£¡+1] по ломаным Эйлера, не могут опередить граничные точки множества Х-1, также движущиеся на промежутке [¿,-, 1] по ломаным Эйлера. В основной теореме данного параграфа формулируются условия, позволяющие избежать возникновения подобных ситуаций.

В параграфе 2.5 приводится описание структур данных, используемых для представления сеточных множеств, т. е. множеств, состоящих из узлов сетки А/,. К этим структурам данных предъявляется достаточно широкий набор требований. В частности, они должны обеспечивать возможность реализации эффективных алгоритмов добавления, удаления, поиска и перебора точек, а также занимать возможно меньший объем памяти ЭВМ. Поскольку удовлетворить одновременно все эти требования практически невозможно, в параграфе рассматриваются две структуры данных, одна из которых описывает сеточное множество с использованием набора граничных точек, объединенных в виде дерева двоичного поиска, а вторая — с использованием набора вложенных друг в друга прямоугольных областей, представляющего собой усовершенствованный вариант битовой карты.

В параграфе 2.6 приводятся алгоритмы работы с сеточными множествами. Данный набор алгоритмов используется как для реализации сеточных методов построения множеств достижимости, так и для приближенного вычисления дефектов слабой инвариантности и инвариантности множеств относительно дифференциальных включений.

В параграфе 2.7 рассматриваются примеры некоторых задач управления динамическими системами на плоскости и в трехмерном пространстве. Решение рассматриваемых задач осуществляется путем конструирования с заданной точностью сечений интегральных воронок динамических систем, выраженных либо в «прямом», либо в «обратном» времени.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложены способы расширения множеств, не являющихся слабо инвариантными либо инвариантными относительно заданного дифференциального включения, до слабо инвариантных и инвариантных множеств путем введения понятий дефекта слабой инвариантности и дефекта инвариантности множества.

2. Предложен метод приграничного слоя для приближенного вычисления множеств достижимости управляемых систем в пространстве R" и обоснована его сходимость.

3. На основе предложенных в диссертации конструкций и методов создан комплекс программ, предназначенных для моделирования поведения динамических систем (управляемых систем или д. в.), основу которого составляют схемы приближенного вычисления множеств достижимости. Проведены численные расчеты в ряде примеров.

Перспективы дальнейшего развития темы состоят в разработке параллельных алгоритмов решения поставленных задач, а также создании принципиально новых методов вычисления множеств достижимости.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах

1. Ушаков, В.Н. Дефект инвариантности множеств относительно дифференциального включения / В.Н. Ушаков, A.A. Зимовец // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2011. - № 2. - С. 98-111.

2. Ушаков, В.Н. К вопросу о слабой инвариантности множеств относительно дифференциального включения, порожденного управляемой системой / В.Н. Ушаков, A.A. Зимовец // Труды Института'математики и механики УрО РАН. - 2012. - Т. 18, Д* 4. - С. 271-285.

3. Зимовец, A.A. Метод приграничного слоя для приближенного построения множеств достижимости управляемых систем / A.A. Зимовец // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». — 2013. — Т. 5, № 1. — С. 18-25.

Другие публикации

4. Матвийчук, А.Р. Численные методы решения некоторых задач управления с фазовыми ограничениями / А.Р. Матвийчук, А.Г. Малев. A.A. Зи-мовец // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2011. - № 4, часть 2. - С. 228-229.

5. Ушаков, В.Н. Дефект инвариантности множеств относительно дифференциального включения / В.Н. Ушаков, A.A. Зимовец // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. — 2011. - Т. 16, вып. 4. - С. 1201-1202.

6. Ушаков, В.Н. К вопросу об инвариантности множеств относительно дифференциальных включений / В.Н. Ушаков, A.A. Зимовец // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тезисы докладов международной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова. — 2011. — С. 281— 282.

7. Зимовец, A.A. Об одной из реализаций сеточного метода построения множеств достижимости / A.A. Зимовец // Современные проблемы математики: тезисы международной (43-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. - Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2012. — С. 130-132.

Подписано в печать 16.05.2013. Формат 60x90 1/16. Ризография. Усл. печ. л. 1. Уч.-изд. л. 1.5. Тираж 150 экз. Заказ № 001677. Отпечатано в ООО «Компания «А-Принт». 620027, г. Екатеринбург, пер. Лобачевского, 1.

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»

На правах рукописи

04201559157

Зимовец Артем Анатольевич

Конструирование решений в задачах динамики систем на конечном

промежутке времени

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н. В.Н. Ушаков

Екатеринбург - 2013

Содержание

Введение 4

1 Свойства слабой инвариантности и инвариантности множеств относительно дифференциального включения 20

1.1 Слабо инвариантные и инвариантные множества относительно дифференциального включения ......................................20

1.2 Дефект слабой инвариантности множества относительно дифференциального включения ..............................................25

1.3 Дефект инвариантности множества относительно дифференциального включения......................................................42

1.4 Примеры ................................................................51

1.4.1 Пример расчета дефекта слабой инвариантности............51

1.4.2 Пример расчета дефекта инвариантности....................55

2 Построение множеств достижимости управляемых систем 61

2.1 Сеточный метод построения множеств достижимости..............61

2.2 Операция овыпукления в сеточном методе построения множеств достижимости............................................................65

2.3 Метод приграничного слоя............................................73

2.4 Оптимизированный метод приграничного слоя......................79

2.5 Структуры данных для представления сеточных множеств .... 99

2.5.1 Представление сеточных множеств с использованием множества граничных точек........................................99

2.5.2 Представление сеточных множеств с использованием многоуровневой битовой карты..................101

2.6 Алгоритмы работы с сеточными множествами...........104

2.6.1 Алгоритм построения симплициального комплекса с вершинами в точках сеточного множества ...........104

2.6.2 Алгоритмы аппроксимации симплексов точками сеточного множества............................109

2.6.3 Алгоритм приближенного построения выпуклой оболочки 114

2.6.4 Алгоритмы вычисления расстояний между сеточными множествами ............................117

2.7 Примеры ................................119

2.7.1 Задача построения множества достижимости управляемой системы на плоскости.....................119

2.7.2 Задача остановки вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки..................121

Заключение 127

Список цитированной литературы

128

Введение

Актуальность темы исследования

В диссертации изучаются вопросы, связанные с моделированием поведения динамических систем, представимых в виде системы дифференциальных уравнений с параметром, величиной которого можно управлять, или соответствующего ей дифференциального включения (д. в.). Изучение всех возможных вариантов поведения таких систем приводит нас к важным для теории и практики понятиям множества достижимости и интегральной воронки управляемой системы.

Как оказалось, задача построения множеств достижимости и интегральных воронок тесно связана с задачами о сближении управляемых систем в различных постановках, рассматриваемыми в математической теории управления. В этих задачах требуется из множества различных траекторий выделить ту, которая переводит моделируемый объект из заданного начального состояния в конечное и при этом удовлетворяет определенному критерию качества.

Современный облик математической теории управления в значительной степени определился работами выдающихся отечественных математиков JI.C. Понтрягина и H.H. Красовского. Большой вклад в развитие этой теории внесли В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, А.Б. Куржанский, A.B. Кряжим-ский, Е.Ф. Мищенко, Ю.С. Осипов, А.И. Субботин, Ф.Л. Черноусько, их сотрудники и ученики. Среди зарубежных исследователей, внесших весомый вклад в развитие теории, отметим Р. Айзекса, Р. Беллмана, Р. Калмана, Дж. Лейтмана, У. Флеминга и других.

Задача о сближении управляемой системы (или д. в.) с заданным целевым множеством в фиксированный момент времени — одна из ключевых задач в математической теории управления. С ней связаны другие важные задачи, такие, например, как задача об оптимальном быстродействии или задача о сближе-

нии управляемой системы с целевым множеством не позже фиксированного момента времени. К этой задаче также можно свести и многие другие задачи динамики систем, имеющие важное прикладное значение.

Существует несколько подходов для решения таких задач.

Один из них основан на применении принцииа максимума Л.С. Понтря-гина [2,4,6,7,11,19,35,37,69,96]. Принцип максимума Л.С. Понтрягина позволил исследовать и получить решение многих прикладных задач, которые не укладывались в рамки вариационного исчисления. Подход к решению задач, основанный на применении принципа максимума, используется, в основном, для решения задач оптимального управления, в которых управляемая система описывается векторным дифференциальным уравнением с правой частью, обладающей определенной степенью гладкости. Как хорошо известно, этот подход оказался эффективным при исследовании и решении многих задач механики, математики и экономики.

Другой подход к решению задач математической теории управления, теории дифференциальных игр и, в частности, упомянутой здесь задачи о сближении основан на использовании множеств разрешимости при конструировании решений [31,49,52-55,58,78,80-82,93,94,97,98,108,115,116,157]. При этом под множеством разрешимости понимаем множество исходных позиций управляемой системы, из которых разрешима задача о сближении.

Как известно, множество разрешимости в задаче о сближении слабо инвариантно относительно управляемой системы, и для тех исходных позиций системы, которые принадлежат множеству разрешимости, существует эффективная процедура управления с поводырем (см. [51,54,108]), обеспечивающая попадание движения системы на целевое множество. Процедура основана на отслеживании поводыря, движущегося в множестве разрешимости вплоть до встречи с целевым множеством. При этом существенно используется свойство слабой инвариантности множества разрешимости относительно управляемой системы.

Можно сказать, что это свойство является центральным при реализации этой процедуры. Основная тяжесть здесь ложится на выделение множества разрешимости в пространстве позиций. К сожалению, его удается выделить (точно) или описать аналитически далеко не всегда; мы вынуждены поэтому конструировать множество разрешимости приближенно.

В результате приближенного конструирования получаем множество в пространстве позиций, не обладающее свойством слабой инвариантности - дефектное множество. При этом, естественно, возникает вопрос о том, в какой мере сконструированное множество не обладает свойством слабой инвариантности. Эта мера влияет на точность приведения движений управляемой системы на целевое множество из начальных позиций, принадлежащих сконструированному множеству. В главе I диссертации для аккуратной постановки этого вопроса и ответа на него вводится некоторая числовая характеристика, оценивающая эту меру сверху — дефект слабой инвариантности множества (см. 1118]). Эта характеристика оценивает сверху степень несогласованности эволюции (временных) сечений множества и динамики системы с точки зрения понятия слабой инвариантности. Тематика первой главы примыкает к работам [119-121,187].

Множество разрешимости в задаче о сближении управляемой системы (или д. в.) в конечный момент времени может быть представлено в терминах так называемого «обратного» времени как начинающаяся на целевом множестве интегральная воронка управляемой системы (или д. в.), но выраженная в терминах «обратного» времени. Множество разрешимости в этой задаче удобнее всего конструировать как упомянутую интегральную воронку, имеющую начальным множеством целевое множество задачи о сближении.

Интегральные воронки управляемых систем и дифференциальных включений обладают свойством (сильной) инвариантности; это свойство используется при конструировании интегральных воронок. При этом при пошаговом (по времени) конструировании интегральных воронок оно выступает как полу-

групповое свойство множеств достижимости управляемых систем. Для нетривиальных управляемых систем интегральные воронки удается сконструировать лишь приближенно. В связи с этим возникает вопрос, аналогичный тому, который возникал относительно аппроксимаций множеств разрешимости в задаче о сближении: «В какой мере построенное приближение интегральной воронки является инвариантным множеством (относительно соответствующей динамической системы)?»

Таким образом, мы отметили два подхода к решению задач управления и, в частности, задачи о сближении с целевым множеством в конечный момент времени. Мы отметили, что тот подход к построению решений задачи о сближении, который основан на вычислении множеств разрешимости, тесно связан с понятиями инвариантности и слабой инвариантности. Реализация его в конкретных задачах о сближении осуществляется в два этапа: первый этап — конструирование множеств разрешимости как соответствующих обладающих свойством инвариантности интегральных воронок динамической системы (управляемой системы или д. в.), выраженной в «обратном» времени; второй этап — реализация процедуры построения разрешающего управления в «прямом» времени, использующей сконструированное множество разрешимости и его слабую инвариантность относительно динамической системы. Поскольку во многих случаях интегральные воронки не удается выделить точно, то возникает потребность в разработке эффективных численных методов построения интегральных воронок управляемых систем.

Степень разработанности темы

Свойства слабой инвариантности и инвариантности и связанные с ними задачи удержания движений динамической системы на замкнутом множестве W в пространстве позиций изучались в работах отечественных и зарубежных математиков А.Б. Куржанского, А.И. Субботина, Т.Ф. Филипповой, E.JI. Тон-кова, В.А. Дыхты, В.Н. Ушакова, Х.Г. Гусейнова, J.-P. Aubin, P. Saint-Pierre,

M. Quincampoix, Z. Kannai, P. Tallos, G. Hacldacl и многих других [3,5,24,25,33, 36,60,66-68,75,88,104,112, ИЗ, 128,137-139,150,158,161,165,166,170,181].

Отметим также полезные для теории интегральных воронок динамических систем исследования Е.С. Половинкина и его сотрудников [89,90,92], в которых многие важные задачи изучаются с активным использованием конструкций негладкого и выпуклого анализа и, в том числе, касательных конусов Булигана и Кларка.

По видимому, не случайно интерес к изучению свойства слабой инвариантности проявился впервые в 40-е годы XX века. Одной из первых известных работ, посвященных изучению этого свойства, явилась работа М. Нагумо [175[, в которой получен критерий слабой инвариантности для обыкновенных векторных дифференциальных уравнений вида х — f(x), где f{x)— однозначная функция. Отметим и другие работы, посвященные слабой инвариантности, в которых рассматривались динамические системы с однозначной правой частью [145,152,180]. В 1975 г. Ф. Кларком было рассмотрено д. в. с многозначной правой частью и получен критерий слабой инвариантности (см. [149]).

Серьезное внимание в 70-е - 80-е годы XX века уделялось исследованию инвариантности в линейных управляемых системах. Эти исследования велись как отечественными, так и зарубежными математиками [135,141]. Отметим монографию М. Уонэма «Линейные многомерные системы управления», «Наука», 1980 г. [114], в которой рассматривались различные задачи управления линейными системами на основе геометрического подхода и, в частности, изучалась проблема инвариантности линейных систем к возмущениям.

В 80-е - 90-е годы XX века тематика слабо инвариантных и инвариантных множеств получила дальнейшее развитие, которое было связано с применением конструкций негладкого анализа в теории дифференциальных включений (см. [3,20,28,29,32,33,38,40,68,92,104,106,107,111]). Отметим здесь работу G. Haddad [158], в которой был получен критерий слабой инвариантности в

инфинитезимальной форме, связывающий правую часть дифференциального включения с конусом касательных направлений Булигана.

Тематика главы I близка к работам Х.Г. Гусейнова, А.И. Субботина, H.H. Субботиной, В.Н. Ушакова [24,27-29,157,186], в которых изучалось свойство u-стабильности в игровой задаче о сближении. Свойство u-стабильности в позиционных дифференциальных играх представляет собой свойство слабой инвариантности множеств в пространстве позиций игры относительно некоторого набора дифференциальных включений, связанного с динамикой конфликтно-управляемой системы. Это свойство, являющееся ключевым в теории позиционных дифференциальных игр, было введено в конце 60-х - начале 70-х годов в работах H.H. Красовского и А.И. Субботина [46, 50, 53]. Оно представлено в известной монографии H.H. Красовского и А.И. Субботина «Позиционные дифференциальные игры», «Наука», 1974 г. [54]. Именно эти исследования H.H. Красовского л А.И. Субботина индуцировали появление работ [105-108,157], посвященных инфинитезимальному описанию и-стабильных множеств.

Важное направление в математической теории управления, посвященное исследованию трубок (ансамблей) траекторий динамических систем, было развито A.B. Куржанским и его сотрудниками Т.Ф. Филипповой, О.И. Никоновым и др. Исследования в этом направлении посвящены созданию теории трубок траекторий управляемых систем [59,67,68]. В частности, изучались смежные задачи о построении прямых и попятных областей достижимости, образующих инвариантные множества соответствующих динамических систем с многозначными состояниями.

Одной из первых работ, посвященных задачам управления при наличии фазовых ограничений на управляемую систему, является работа A.B. Кур-жанского и Ю.С. Осипова [64]. Рассмотрение управляемых систем, стесненных фазовыми ограничениями, повлекло за собой изучение трубок траекто-

рий, выживающих относительно фазового ограничения. Введенный в работах [59,63,166,168] новый класс эволюционных уравнений (/ц.-уравнений) оказался полезным при описании ряда множеств и многозначных отображений, возникающих в математической теории управления и, в том числе, при описании внутренних и внешних оценок трубок траекторий и множеств достижимости управляемых систем. Это описание оказалось также полезным при разработке алгоритмов аппроксимации множеств достижимости эллипсоидами и полиэдрами.

Вопросам описания эволюции множеств достижимости управляемых систем и дифференциальных включений носвящсны работы A.A. Толстоного-ва [109,111] и А.И. Панасюка [84].

Понятие слабой инвариантности связано с теми задачами, в которых то или иное множество обладает способностью удерживать в себе хотя бы одну траекторию управляемой системы, т. е. с задачами выживаемости. Однако во многих современных задачах от множеств и управляемых систем не требуется выполнения такого жесткого условия как удержание траекторий на множестве в течение всего промежутка времени. Требуется лишь, чтобы для каждого промежутка времени существовали траектории, проводящие в множестве некоторую достаточно большую долю времени и при этом с увеличением длины промежутка эта доля стремилась к единице. Такое требование соответствует широкому кругу задач управления, встречающихся на практике. Этим обусловлено появление новых вариантов определения слабо инвариантных и инвариантных множеств. Так, относительно недавно в работах Е.Л. Тонкова, Е.А. Панасенко и Л.И. Родиной [83,102] было введено понятие статистически слабо инвариантного множества относительно управляемой системы. Параллельно с этим понятием в задачах управления с более жесткими требованиями, предъявляемыми к управлениям, было введено в работах [101,102] понятие множества, статистически инвариантного относительно управляемой системы. В работе [100] дано

подробное изложение результатов исследований, относящихся к статистически слабо инвариантным и статистически инвариантным множествам.

Опыт, накопившийся при решении задачи вычисления множеств достижимости, подтверждает, что точное вычисление множеств достижимости или их аналитическое описание возможны, как правило, для простых задач, тех, в которых управляемые системы имеют относительно простую динамику. Подавляющее же большинство задач таковыми не являются. Возникает необходимость в разработке методов и алгоритмов приближенного вычисления множеств достижимости.

Разработка методов и алгоритмов приближенного вычисления множеств достижимости, в свою очередь, стимулирует изучение различных теоретических вопросов, относящихся к множествам достижимости и интегральным воронкам. Изучение этих вопросов способствует разработке эффективных алгоритмов приближенного вычисления множеств достижимости. Так, изучаются геометрическая структура множеств достижимости и интегральных воронок упр